Algebra de Bolle y Reticulos

Algebras de Boole Retıculos de Boole Funciones booleanas Formas canonicas Metodo de Quine-McCluskey

Tema 4: Algebras de Boole


1 Algebras de Boole

2 Retıculos de Boole

3 Funciones booleanas

4 Formas canonicas

5 Metodo de Quine-McCluskey


El algebra de Boole

Las algebras de las funciones proposicionales y de la teorıa de conjuntostienen una serie de propiedades identicas. Se define el concepto de algebrade Boole como una estructura algebraica caracterizada por todas estaspropiedades comunes.

George Boole (1815-1864) fue unmatematico y filosofo britanico. Comoinventor del algebra de Boole, la basede la aritmetica computacionalmoderna, Boole es considerado comouno de los fundadores del campo delas Ciencias de la Computacion. En1854 publico “An Investigation of theLaws of Thought”. En el desarrollabaun sistema de reglas que le permitıaexpresar, manipular y simplificar,problemas logicos y filosoficos cuyosargumentos admiten dos estados(verdadero o falso) porprocedimientos matematicos.


Definicion de algebra de Boole

Un algebra de Boole es un conjunto A dotado de dos leyes de composicioninterna + y · que verifican las siguientes propiedades ∀ a, b, c ∈ A:

1 Propiedades asociativas.

a + (b + c) = (a + b) + ca · (b · c) = (a · b) · c

2 Propiedades conmutativas.

a + b = b + aa · b = b · a

3 Propiedades distributivas.

a + (b · c) = (a + b) · (a + c)a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

4 Elementos neutros. Existen dos elementos 0, 1 ∈ A tales que:

a + 0 = aa · 1 = a

5 Elementos complementarios. Para todo a ∈ A existe a ∈ A tal que:

a + a = 1a · a = 0 (a tambien se suele denotar por a′)


Ejemplos

El algebra de Boole mas simple es aquella en la que Atiene un solo elemento (A = {a}) y las l.c.i. se definencomo a + a = a y a · a = a, siendo a = a. Aquı se tiene que0 = 1 = a = a = a. Se denomina algebra de Boole trivial.Por ejemplo, {∅} con las operaciones dadas por la “union”y la “interseccion” es una algebra de Boole trivial.Sea E un conjunto. P(E) es una algebra de Boole con lasoperaciones “union” e “interseccion”.El conjunto cociente de las formas proposicionalesrespecto a la relacion de “equivalencia logica” (que es unaR.B.E.) es una algebra de Boole con las operaciones ∨ y∧.El algebra de Boole binaria es A = {0, 1} (con 0 �= 1) conlas operaciones obvias.


Dualidad: dos teoremas por el precio de uno

DefinicionDada una proposicion sobre una algebra de Boole, definimossu dual como la proposicion obtenida sustituyendo + por ·, ·por +, 0 por 1 y 1 por 0.

Ejemplo: Dados dos elementos a y b de una algebra de BooleA, la proposicion dual de (a + b) ·a ·b = 0 es (a ·b)+ a + b = 1.

Puesto que la definicion axiomatica de algebra de Boole constade pares de axiomas duales, se tiene el siguiente principio:

Principio de DualidadEl dual de cualquier teorema sobre una algebra de Boole estambien es un teorema.


Primeras propiedades

1 Los elementos neutros 0 y 1 son unicos.2 Dado un elemento a ∈ A, existe un unico elemento a ∈ A

tal que a + a = 1 y a · a = 0.3 Leyes de idempotencia: ∀ a, b ∈ A se verifica que

a + a = a y a · a = a.4 Propiedades de absorcion: 1 + a = a + 1 = 1 y

0 · a = a · 0 = 0 ∀a ∈ A.5 Propiedades simplificativas: a + (a · b) = a y

a · (a + b) = a ∀a, b ∈ A.6 Doble complementario: a = a ∀a ∈ A.7 Leyes de De Morgan: a + b = a · b y a · b = a + b

∀a, b ∈ A.8 0 = 1 y 1 = 0.


1 Algebras de Boole



4 Formas canonicas



Relacion de orden en una algebra de Boole

Veremos a continuacion que una algebra de Boole tambienpuede considerarse como un conjunto ordenado que verificadeterminadas propiedades. De esta manera, podremos veralgebra de Boole desde dos puntos de vista distintos: como unconjunto dotado de dos leyes de composicion interna, y comoun conjunto ordenado.Consideremos una algebra de Boole A. Definimos en A lasiguiente relacion binaria:

Para todo a, b ∈ A, a ≤ b si a + b = b.

Ejercicio: Demostrar que la relacion ≤ definida es una relacionbinaria de orden.


Propiedades

Si A es una algebra de Boole, la relacion de orden asociada ≤verifica las siguientes propiedades:

1 Para cualquier par de elementos a, b ∈ A se tiene quesup{a, b} = a + b y inf{a, b} = a · b. Por tanto, (A,≤) es unretıculo.

2 1 es el maximo de A y 0 es el mınimo de A.3 Para cualquier a ∈ A se tiene que sup{a, a} = 1 e

inf{a, a} = 0.

Ejercicio: Sea E = {a, b, c}. Considera el retıculo definido apartir del algebra de Boole P(E) y representa su diagrama deHasse.


Retıculo de Boole

Definicion

Un retıculo de Boole es un conjunto A dotado de una relacion de orden ≤ talque:

(A,≤) es un retıculo (es decir, todo subconjunto formado por doselementos de A admite supremo e ınfimo).

El retıculo (A,≤) es distributivo, es decir, las leyes de composicioninterna ∨ y ∧ definidas por

a ∨ b := sup{a, b}, a ∧ b := inf{a, b}satisfacen las propiedades distributivas, es decir:

a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c) y a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) ∀a, b, c ∈ A.

El retıculo (A,≤) es complementado, es decir, existen el maximo(denotado por 1) y el mınimo (denotado por 0) y, para todo a ∈ A, existea ∈ A (llamado complementario de a) tal que a ∨ a = 1 y a ∧ a = 0.


Algebras de Boole y Retıculos de Boole

Hemos visto que cualquier algebra de Boole es un retıculo deBoole (con la relacion de orden ≤ definida a partir de lasoperaciones internas + y ·).Recıprocamente, se tiene el siguiente resultado:

TeoremaTodo retıculo de Boole es una algebra de Boole, con las leyesde composicion internas dadas por

a + b := a ∨ b, a · b := a ∧ b

para todo a, b ∈ A.


Ejemplo

Para todo numero natural n, denotemos por Dn al conjunto de sus divisoresnaturales con la relacion de divisibilidad (que es una relacion binaria deorden). Es decir, consideramos la relacion ≤ definida pora ≤ b ⇔ a | b ∀a, b ∈ Dn.

Propiedades

Dn es un retıculo distributivo, y ademas

a ∨ b = sup{a, b} = mcm(a, b) y a ∧ b = inf{a, b} = mcd(a, b).

Dn tiene maximo (que es n) y mınimo (que es 1).

Por tanto: Dn sera un retıculo de Boole si y solo si cada elementoa ∈ Dn admite complementario, es decir, si existe a ∈ Dn tal quemcm(a, a) = n y mcd(a, a) = 1.

Ejercicio: ¿Es D30 un retıculo de Boole? ¿Y D12?Ejercicio: En general, ¿cuando es Dn un retıculo de Boole?


1 Algebras de Boole



4 Formas canonicas



Funciones booleanasSea A una algebra de Boole.

Una variable booleana es una variable a la cual se le pueden asignarelementos del conjunto A.

Dada una variable booleana x , el complemento de x , denotado por xes una variable tal que x = b siempre que x = b (para cualquier b ∈ A).

Un literal es una variable booleana x o su complemento x .

Definicion

Las funciones booleanas de orden n son aplicacionesf : An → A, ; (x1, . . . , xn) �→ f (x1, . . . , xn) definidas, de forma recurrente, dela siguiente manera:

xi es una funcion booleana de orden n para todo i = 1, 2, . . . , n.

Si f y g son dos funciones booleanas de orden n, entonces lasfunciones (f + g)(x1, . . . , xn) := f (x1, . . . , xn) + g(x1, . . . , xn),(f · g)(x1, . . . , xn) := f (x1, . . . , xn) · g(x1, . . . , xn) yf (x1, . . . , xn) := f (x1, . . . , xn) tambien lo son.


Ejemplos

Consideremos un algebra de Boole cualquiera A y la aplicacionf : A3 → A dada por:

f (x , y , z) := x + x · y + y · z.

Entonces f es una funcion booleana de orden 3. Si, porejemplo, A es el algebra de Boole P(E), donde E es unconjunto, esta funcion se corresponderıa con:

(A, B, C) → A ∪ (A ∩ B) ∪ (Bc ∩ C).

Observese que, aplicando la propiedad simplificativa, laanterior funcion es la misma que

f (x , y , z) = x + y · z.


Objetivos

Una misma funcion booleana admite diferentes expresiones,sin mas que aplicar las identidades propias del algebra deBoole. Cabe plantearse, ası, dos problemas, que se resolverana lo largo del tema:

¿Como averiguar, de una manera sistematica, si dosexpresiones distintas corresponden a la misma funcionbooleana?¿Como obtener expresiones que representen a unafuncion booleana, pero que sean “lo mas sencillasposible”?


Terminos minimales y terminos maximales

Definicion

Un termino minimal (o minitermino) de orden n es una funcion booleana dela forma

m(x1, x2, . . . , xn) = b1 · b2 · · · bn,

donde bi ∈ {xi , xi} para todo i = 1, 2, . . . , n.

Ejemplos: m(x , y , z) = x · y · z es un termino minimal de orden 3,m(x , y , z, t) = x · y · z · t es un termino minimal de orden 4.

Definicion

Un termino maximal (o maxitermino) de orden n es una funcion booleana dela forma

M(x1, x2, . . . , xn) = b1 + b2 + . . . + bn,

donde bi ∈ {xi , xi} para todo i = 1, 2, . . . , n.

Ejemplos: M(x , y , z) = x + y + z es un termino maximal de orden 3,M(x , y , z, t) = x + y + z + t es un termino maximal de orden 4.


Notacion para los miniterminos y maxiterminos

Convendremos en sub-indexar un miniterminom(x1, x2, . . . , xn) = b1 · b2 · · ·bn mediante un numero binario den dıgitos, en el que el n-esimo dıgito es 1 si bi = xi y 0 sibi = xi , o bien mediante el correspondiente numero escrito enbase 10.

Por ejemplo, para el caso n = 3:

m0 = m000 = x · y · z m1 = m001 = x · y · zm2 = m010 = x · y · z m3 = m011 = x · y · zm4 = m100 = x · y · z m5 = m101 = x · y · zm6 = m110 = x · y · z m7 = m111 = x · y · z

Procederemos analogamente para los maxiterminos. Porejemplo: M2 = M010 = x + y + z


Propiedades

1 Dos miniterminos distintos definen funciones booleanas distintas.Razon: Veamoslo para el caso n = 3 (el caso general es analogo). Dado un minitermino cualquiera de

orden 3, mijk (donde ijk son las cifras de un numero en base dos) se tiene que mijk (i, j, k) = 1 (por

ejemplo, m110(1, 1, 0) = 1) y la imagen de cualquier otra combinacion de ceros y unos que no sea la

correspondiente a su subındice es igual a 0. Esto obliga a que todos los miniterminos definan funciones

booleanas distintas.

2 Cualquier termino maximal es el complementario de un terminomınimal (el obtenido al intercambiar unos por ceros y ceros por unos enel subındice binario). Por ejemplo: M100 = x + y + z = x · y · z = m011,como consecuencia de la Ley de de Morgan.

3 Dos maxiterminos distintos definen funciones booleanas distintas(como consecuencia de las dos propiedades anteriores).

4 El numero de terminos minimales (y maximales) de orden n en unaalgebra de Boole no trivial es 2n (como consecuencia de lasubindexacion con numeros binarios y de las propiedades anteriores).

5 La suma de todos los miniterminos de orden n es igual a 1 (puedeprobarse por induccion sobre n).

6 El producto de todos los maxiterminos de orden n es igual a 0 (es lapropiedad “dual” de la anterior).


1 Algebras de Boole



4 Formas canonicas



Forma canonica disyuntiva

Teorema-DefinicionSea f (x1, x2, . . . , xn) funcion booleana de orden n. Entonces fpuede expresarse de manera unica como suma deminiterminos. Esta expresion se denomina forma canonicadisyuntiva de f y, ademas, es la siguiente:

f (x1, x2, . . . , xn) =∑

f (e1, e2, . . . , en)me1e2···en ,

donde la suma se toma sobre todas las n-tuplas (e1, e2, . . . , en)tales que ei ∈ {0, 1} ∀ i = 1, 2, . . . , n.


Ejemplo: deduccion de la forma canonicadisyuntiva a partir de la “tabla de verdad”

Sea la funcion booleana de orden 2 dada porf (x , y) = x · y + x . Consideremos su “tabla de verdad”:

x y f (x , y)

0 0 10 1 11 0 01 1 1

Usando esta tabla, segun la formula dada en el teoremaanterior, la forma canonica disyuntiva de f sera:

f (x , y) = 1 · m00 + 1 · m01 + 0 · m10 + 1 · m11 =

m00 + m01 + m11 = x · y + x · y + x · y


Ejemplo: deduccion de la forma canonicadisyuntiva a partir de la “propiedad del elementocomplementario”

Otra forma alternativa de deducir la forma canonica disyuntivaes mediante el uso de la propiedad a + a = 1. En el ejemploanterior:

f (x , y) = x · y + x = x · y + x · 1 = x · y + x · (y + y) =

x · y + x · y + x · y


Forma canonica disyuntiva del complementario de una funcion booleana (1)

Los 23 = 8 miniterminos de orden 3 (con los subındices expresados en base10) son m0, m1, m2, m3, m4, m5, m6 y m7.Consideremos la siguiente funcion booleana de orden 3 (expresada en suforma canonica disyuntiva):

f (x , y , z) = x · y · z + x · y · z + x · y · z = m001 + m010 + m111.

Expresando los subındices de los miniterminos en base 10 obtenemos:

f (x , y , z) = m1 + m2 + m7.

Por un lado: f (x , y , z) + f (x , y , z) = 1 (por complementariedad).Por otro lado, segun una propiedad vista:

m1 + m2 + m7︸︷︷︸f (x,y,z)

+m0 + m3 + m4 + m5 + m6 = 1

Debido a la unicidad de la forma canonica disyuntiva se obtiene:

f (x , y , z) = m0 + m3 + m4 + m5 + m6 =

m000 +m011 +m100 +m101 +m110 = x ·y ·z +x ·y ·z +x ·y ·z +x ·y ·z +x ·y ·zObservese que en f estan exactamente los miniterminos que no estan en f .


Forma canonica disyuntiva del complementario de una funcion booleana (2)

Este hecho es claramente generalizable para cualquier funcionbooleana:

TeoremaSea f una funcion booleana de orden n. Entonces la formacanonica disyuntiva de su funcion complementaria, f , es igual ala suma de los miniterminos de orden n que no aparecen en laforma canonica disyuntiva de f .

Ejercicio: Calcula la forma canonica disyuntiva def (x , y , z, t) = x · y · z + x · y · z · t + x · y + z + t y la de f .


Forma canonica conjuntiva

El enunciado dual del teorema de existencia de la formacanonica disyuntiva es el siguiente:

Teorema-DefinicionSea f (x1, x2, . . . , xn) funcion booleana de orden n. Entonces fpuede expresarse de manera unica como producto demaxiterminos. Esta expresion se denomina forma canonicaconjuntiva de f .


Calculo de la forma canonica conjuntiva a partir de la forma canonica disyuntiva

Consideremos la funcion booleana (expresada segun su forma canonicadisyuntiva) del ejemplo anterior.

f (x , y , z) = x · y · z + x · y · z + x · y · z = m001 + m010 + m111 = m1 + m2 + m7.

Hemos visto que la forma canonica disyuntiva de su funcion complementariase obtiene sumando los miniterminos que no aparecen en la de f , es decir:

f (x , y , z) = m0 + m3 + m4 + m5 + m6 =

m000 + m011 + m100 + m101 + m110.

Aplicando “doble negacion” y “de Morgan”:

f (x , y , z) = f (x , y , z) = m000 + m011 + m100 + m101 + m110 =

= m000 ·m011 ·m100 ·m101 ·m110 = M111 ·M100 ·M011 ·M010 ·M001 =

(x + y + z) · (x + y + z) · (x + y + z) · (x + y + z) · (x + y + z).


Calculo de la forma canonica conjuntiva a partir de la tabla de verdad (1)

Consideremos la funcion booleana del ejemplo anterior (expresada en suforma canonica disyuntiva):

f (x , y , z) = x · y · z + x · y · z + x · y · z.

Su tabla de verdad es la siguiente:

x y z f (x , y , z)

0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Hemos visto en la transparencia anterior que la forma canonica conjuntiva def se obtiene de la siguiente manera:

f (x , y , z) = m000 ·m011 ·m100 ·m101 ·m110 = M111 ·M100 ·M011 ·M010 ·M001


Calculo de la forma canonica conjuntiva a partir de la tabla de verdad (2)

A partir de las consideraciones anteriores es sencillo deducir losiguiente:

TeoremaLa forma canonica conjuntiva de una funcion booleanaf (x1, x2, . . . , xn) es el producto de todos los maxiterminos de laforma Mb1b2...bn (con subındice en binario) tales que

f (b1, b2, . . . , bn) = 0.

Dicho de otro modo, se consideran las filas de la tabla deverdad correspondientes a valores nulos de la funcion y setoman los maxiterminos cuyos subındices son los“complementarios” de los valores de las variables (se cambianlos unos por ceros y los ceros por unos).


1 Algebras de Boole



4 Formas canonicas



Objetivo

Dada una expresion de una funcion booleana f de orden n,describiremos un proceso (denominado Metodo deQuine-McCluskey) que nos conducira a una expresion de fmas “simple”. En lo que sigue consideraremos inicialmente laforma canonica disyuntiva de f �= 0, que sabemos que esunica, y la simplificaremos escribiendola como suma deproductos con el mınimo numero de literales posible. Untratamiento dual podrıa hacerse con la expresion de la formacanonica conjuntiva de f �= 1.

El Metodo de Quine-McCluskey consta de dos fases:1 La primera trata de encontrar terminos posibles de la

expresion mınima de f (denominados implicantes primos).2 En una segunda fase, se determinan cuales de los

implicantes primos constituyen una expresion “mınima” def .


Descripcion de la primera fase (1)

Consideremos la siguiente funcion booleana de orden 4,expresada segun su forma canonica disyuntiva:

f (x , y , z, t) = x ·y ·z · t +x ·y ·z · t +x ·y ·z · t +x ·y ·z · t +x ·y ·z · t+

x ·y ·z · t +x ·y ·z · t +x ·y ·z · t +x ·y ·z · t +x ·y ·z · t +x ·y ·z · tExpresada usando la “notacion de miniterminos” consubındices binarios:

f (x , y , z, t) = m0000 + m0010 + m0011 + m0110 + m0111+

m1000 + m1001 + m1100 + m1101 + m1110 + m1111



Se escriben en una columna, a la izquierda,los subındices binarios de los terminosminimales de f . Estaran separados porbloques de manera que los numeros delprimer bloque no contienen ningun 1, los delsegundo bloque contienen exactamente un1, los del tercero contienen dos 1’s, etc.



Se consideran todos los pares de numeros binariospertenecientes a bloques contiguos que se diferencien soloen un dıgito, se marcan con un ∗ y se escribe, en otracolumna a la derecha, la expresion resultante de sustituir eldıgito diferente por un guion −. Por ejemplo, el termino 0000(perteneciente al primer bloque) y el termino 0010(perteneciente al segundo) se diferencian solo en un dıgito;por tanto, deben “marcarse” y se debe anadir el termino00− 0 en la columna de la derecha.La razon es la siguiente: los miniterminos correspondientes a0000 y 0010 son x · y · z · t y x · y · z · t . Aplicando la propiedaddistributiva y la complementariedad su suma se “simplifica”:

x · y · t · (z + z) = x · y · t =: m00−0

De esta manera podemos sustituir, en la expresion de la f.c.d.de f , la suma m0000 + m0010 por m00−0. Observese que 0000puede “combinarse” tambien con 1000 dando lugar a −000;esto puede hacerse porque el minitermino m0000 puedeconsiderarse “repetido” como sumando en la expresion de ftantas veces como queramos usando la idempotencia.



Se procede igual que antes con los nuevos bloques,“combinando” aquellos terminos correspondientes abloques contiguos con exactamente un dıgito distinto.Observamos que no podemos combinar ningunelemento del primer bloque con elementos delsegundo. Tambien, por ejemplo, el termino 001−puede combinarse con 011− dando lugar a 0− 1−.Es decir:

m001− + m011− = x · y · z + x · y · z = x · z · (y + y) =

x · z =: m0−1−

Seguirıamos el proceso hasta que no puedan“combinarse mas terminos”. En nuestro ejemplo,hemos llegado ya a esta situacion.Se denominan implicantes primos a los terminos quequedan sin “marcar”. En nuestro caso serıan:m00−0 = x · y · t , m−000 = y · z · t , m0−1− = x · z,m1−0− = x · z, m−11− = y · z y m11−− = x · y .



Deducimos, tras lo dicho hasta ahora, que la funcion booleanaoriginal se expresa como suma de los implicantes primos:

f (x , y , z, t) = m00−0+m−000+m0−1−+m1−0−+m−11−+m11−− =

x · y · t + y · z · t + x · z + x · z + y · z + x · y

Hemos llegado, ası, a una expresion “mas simple” de la funcionf . En la segunda parte veremos como obtener expresionestodavıa mas simples, eliminando algunos implicantes primos“sobrantes”.


Descripcion de la segunda fase (1)

DefinicionDiremos que un termino r cubre a un cierto minitermino m sitodos los literales que son factores de r lo son tambien de m.

Por ejemplo, el termino m−0−1 = y · t cubre al miniterminom1001 = x · y · z · t .

El siguiente paso consistira en determinar a que miniterminosde la forma canonica disyuntiva de f cubre cada uno de losimplicantes primos que aparecen en la expresion “simplificada”de f que hemos obtenido.



0000 0010 0011 0110 0111 1000 1001 1100 1101 1110 111100− 0 X X−000 X X0− 1− X X X X1− 0− X X X X−11− X X X X11−− X X X X

Construimos una tabla de manera que cada fila corresponde aun implicante primo y cada columna corresponde a unminitermino de la forma canonica disyuntiva de f .

Marcamos con una cruz aquellas casillas en las que elimplicante primo (asociado a su fila) cubra al minitermino(asociado a su columna).



0000 0010 0011 0110 0111 1000 1001 1100 1101 1110 111100− 0 X X−000 X X0− 1− X

⊗X X

1− 0− X⊗

X X−11− X X X X11−− X X X X

Buscamos las columnas que solo contengan una cruz yencerramos en un cırculo estas cruces. Esto quiere decir quelos correspondientes miniterminos solo son cubiertos por unimplicante primo. Estos son los implicantes primos esenciales(senalados en verde), y tendran que aparecer necesariamenteen cualquier expresion minimal de f (ya que, de lo contrario,habrıa miniterminos que no quedarıan “cubiertos”):

f (x , y , z, t) = m0−1− + m1−0− + · · · = x · z + x · z + · · ·



0000 0010 0011 0110 0111 1000 1001 1100 1101 1110 111100− 0 X X−000 X X0− 1− X

⊗X X

1− 0− X⊗

X X−11− X X X X11−− X X X X

Senalamos de alguna manera todos los miniterminos que soncubiertos por los implicantes primos esenciales (los escritos enrojo, en la tabla). Ası pues, la expresion:

m0−1− + m1−0− = x · z + x · z

ya “cubre” a todos los miniterminos escritos en rojo. Solo“faltan por cubrir” los escritos en azul.



0000 0010 0011 0110 0111 1000 1001 1100 1101 1110 111100− 0 X X−000 X X0− 1− X

⊗X X

1− 0− X⊗

X X−11− X X X X11−− X X X X

Los miniterminos que “faltan por cubrir” son cubiertosunicamente por los implicantes primos senalados tambien enazul. Por lo tanto:

Las expresiones minimales de f se obtendran sumando, a losimplicantes primos esenciales (que han de aparecernecesariamente en todas las expresiones minimales), unacantidad mınima de implicantes primos no esenciales demanera que se “cubran” todos los miniterminos.



0000 0010 0011 0110 0111 1000 1001 1100 1101 1110 111100− 0 X X−000 X X0− 1− X

⊗X X

1− 0− X⊗

X X−11− X X X X11−− X X X X

En nuestro caso podemos obtener 4 expresiones minimales def (“jugando” con los 4 implicantes primos no esenciales):

f (x , y , z, t) = m0−1− + m1−0− + m00−0 + m−11− =x · z + x · z + x · y · t + y · zf (x , y , z, t) = m0−1− + m1−0− + m00−0 + m11−− =x · z + x · z + x · y · t + x · yf (x , y , z, t) = m0−1− + m1−0− + m−000 + m−11− =x · z + x · z + y · z · t + y · zf (x , y , z, t) = m0−1− + m1−0− + m−000 + m11−− =x · z + x · z + y · z · t + x · y


Justificacion de la segunda fase del Metodo de Quine-McCluskey

Ası como la primera parte del Metodo de Quine-McCluskey (la deduccion dela expresion de una funcion booleana como suma de los implicantes primos)ha sido justificada durante el desarrollo del ejemplo, no ha quedado muyclaro hasta ahora por que las expresiones obtenidas a partir de la tablaanterior se corresponden con la funcion f . Justificaremos ahora este hecho.La forma canonica disyuntiva de una funcion booleana queda determinadapor su tabla de verdad. Por tanto, se tiene el siguiente resultado:

Proposicion

Dos funciones booleanas f y g de orden n son iguales si y solo sif (b1, b2, . . . , bn) = g(b1, b2, . . . , bn) para todas las n-tuplas(b1, b2, . . . , bn) ∈ {0, 1}n.

Como consecuencia:

Corolario

Dos funciones booleanas f y g de orden n son iguales si y solo si para todo(b1, b2, . . . , bn) ∈ {0, 1}n se satisface la equivalencia:

f (b1, b2, . . . , bn) = 1 ⇔ g(b1, b2, . . . , bn) = 1.


Sea f (x1, x2, . . . , xn) una funcion booleana de orden n y seaf = m′1 + m′2 + · · ·+ m′s su forma canonica disyuntiva (los sumandos m′irepresentan los terminos minimales que aparecen en la misma).

Aplicando la primera fase del Metodo de Quine-McCluskey se tiene quef (x1, x2, . . . , xn) = r1 + r2 + · · ·+ rm, siendo r1, r2, . . . , rm los implicantesprimos.

Sea g(x1, x2, . . . , xn) = r1 + r2 + · · ·+ rt (con t ≤ m) una de las expresiones“minimales” obtenidas al finalizar la aplicacion del Metodo deQuine-McCluskey a f . Probaremos que g = f usando el corolario anterior.Consideremos, por tanto, un elemento (b1, b2, . . . , bn) ∈ {0, 1}n arbitrario.

Si g(b1, b2, . . . , bn) = 1 entonces ri(b1, b2, . . . , bn) = 1 para alguni ∈ {1, 2, . . . , t}; y como f = r1 + r2 + · · ·+ rm, es claro quef (b1, b2, . . . , bn) = 1.

Supongamos ahora que f (b1, b2, . . . , bn) = 1. Entonces existe unminitermino m′i tal que m′i (b1, b2, . . . , bn) = 1. Pero, teniendo en cuentacomo se ha construıdo g, existe un termino ri (con 1 ≤ i ≤ t) tal que ri

cubre a m′i . Luego ri(b1, b2, . . . , bn) = 1 y, por lo tanto,g(b1, b2, . . . , bn) = 1.

Aplicando el corolario anterior queda probado que f = g.


Bibliografıa recomendada

C. Alegre Gil, A. Martınez Pastor y M. C. Pedraza Aguilera.Problemas de Matematica Discreta. Servicio dePublicaciones UPV, Valencia, 1997.J. C. Ferrando y V. Gregori. Matematica Discreta. Reverte,Barcelona, 1995.R. Fuster, Matematica discreta. Monografies de la UPV.Servei de Publicacions UPV, Valencia, 2009.R. Garnier, J. Taylor, Discrete Mathematics for newtechnology, Institute of Physics Publishing.R. P. Grimaldi. Matematicas Discretas y Combinatoria.Addison Wesley Longman, Mexico, tercera edicion, 1998.

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