SREDNJI NIVO

Algebra i funkcije

Pre nego li krenete sa proučavanjem ove oblasti obavezno pogledajte pripremni fajl iz oblasti sistemi jednačina! Sistem je prost pa ga odmah možemo rešavati.Zadatak ćemo rešiti metodom suprotnih koeficijenata. 2 3 4..................... / *3

3 2 7................... / *2

6

x y

x y

x

+ =

− + =

9 12

6

y

x

+ =

− 4 14

13 26

262

13

y

y

y y

+ =

=

= → =

Sad se vratimo u bilo koju od jednačina iz prostog sistema ( birajte naravno onu gde su manje brojke.......) 2 3 4

2

2 3 2 4

2 6 4

2 4 6

2 2

21

2

x y

y

x

x

x

x

x x

+ =

=

+ ⋅ =

+ =

= −

= −

−= → = −

Rešenje, kao što smo već rekli , obavezno zapisujemo kao uredjeni par: ( , ) ( 1, 2)x y = −

Dakle, zaokružićemo odgovor pod g)

Pogledajte pripremni fajl jednačine, pa onda krenite na rešavanje!

5

3 3 7 2....................................... / *15 ( 15 je NZS za 3 i 5)

3 1 5

15

x x x+ += −

3 3

3

x +⋅

3

15 151

x= ⋅ −

7 2

5

x +⋅

(*5 (*15 (*33 3 7 2 možete pisati ovako a može i , !

3 1 5

5(3 3) 15 3(7 2)

15 15 15 21 6

15

x x xsve jedno je

x x x

x x x

x

+ += −

+ = − +

+ = − −

15x− 21 6 15

21 21

21

21

1

x

x

x

x

+ = − −

= −

−=

= −

Ovde je naravno jedan način da svaki sistem rešimo posebno pa da proverimo koji ima ponudjeno rešenje. Ali , to je mnogo posla.... Jednostavnije je rešenja ( , ) ( 1, 2)x y = − − zamenjivati redom u svaki sistem i onaj kod koga su obe jednakosti istinite je traženi sistem! Idemo redom:

2 3 0 umesto x stavljamo -1 a umesto y stavljamo -2

3

1 2( 2) 3 0 1 4 3 0 0 0 istinito!

2 1 3 2 4 !

x y

y x

ne valja

− − =

= −

− − − − = → − + − = → =

− = − − → − = − →

Ovo nije traženi sistem, proveravamo sledeći:

2 2 3 0 umesto x stavljamo -1 a umesto y stavljamo -2

2 3

2( 1) 2( 2) 3 0 2 4 3 0 1 0 !

x y

x y

ne valja

− − =

− + =

− − − − = → − + − = → − = →

Drugu jednačinu nećemo ni proveravati jer prva ne valja! Idemo na sledeći ponudjeni sistem:

3

2 3

1 ( 2) 3 1 2 3 1 1 dobro je

2( 2) 1 3 4 4 i ovo je dobro!

x y

y x

= − −

= −

− = − − − → − = + − → − = −

− = − − → − = −

Evo dakle traženog rešenja! Ali da proverimo mi i ovu poslednju ponudu:

2 3

3

1 2( 2) 3 1 4 3 1 7

x y

y x

= −

= −

− = − − → − = − − → − = −

Dokazali smo da ona nije dobra, pa je rešenje sistem pod v).

2

2 1 1 1........................... / *4

2 1 2 4

4

m m+ +− = −

2

2

m +⋅

214 4

1− ⋅ =

1

2⋅

1

4−1

4

m +⋅

2( 2) 4 2 1( 1)..............PAZITE NA -1 ISPRED m + 1 MORA ZAGRADA

2 4

m m

m

+ − = − + →

+ 4− 2 1

2 2 1

3 1

1

3

m

m m

m

m

= − −

+ = −

=

=

www.matematiranje.in.rs

Najpre ćemo rešiti datu jednačinu a onda izabrati jedno od ponudjenih rečenja!

(*2 (*1 (*62 3 5 6 2................................... / *6

3 6 12(2 3) 1(5 6) 12

4 6

x x

x x

x

− −− = −

− − − = −

− 5 6x− + 12

4 5 12

1 12

12

1

12

x x

x

x

x

= −

− = −

− = −

−=−

=

Treba zaokružiti rešenje pod v) jer je 12 izmedju 10 i 20.

Sad je na redu da proučite pripremni fajl stepenovanje i kvadratni koren, pa onda u borbu sa zadacima! a) b) v)

3 22 (0,5)

8 0, 25 7,75

− =

− =

2 3 2

2

2

(5 3 )

(25 27)

( 2) 4

− =

− =

− =

2144 2 81 11

12 2 9 11

12 18 11 19

+ − =

+ ⋅ − =

+ − =

Pazite, ovde ne možemo koristiti pravila za stepenovanje dok ne napravimo da su osnove iste! Ideja je da stavimo 24 2= i 38 2= . Da vidimo:

( )( )

312 212 3 12 6 183

55 15 153

2 22 4 2 2 22

8 2 22

⋅⋅ ⋅= = = =

Odgovor je pod g).

a) b)

4 253 1

9 16

2 53 1

3 4

3 2 53

3 3 4

3

⋅ − ⋅ =

⋅ − ⋅ =

⋅ − ⋅ =

1

3⋅

5 5 11

4 4 4⋅ = =

1 9 36:

1 25−

100

25 9 9:

25 25

16 9:

25 25

4 3 4:

5 5 5

=

−=

=

= =5⋅

4 11

3 3 3= =

www.matematiranje.in.rs

( )21 22 1 4

4 4

3 33 9 3 3

( 3) 3

⋅⋅ ⋅= =

− 43

13 3= =

Dakle, odgovor je pod b)

4 3 4 3 75 5 5 5+⋅ = = , ovde je očigledno NETAČNO

( ) ( )4 33 3 4 12 4 4 3 122 2 2 i 2 2 2⋅ ⋅= = = = , ovde treba zaokružiti TAČNO

5 4 5 4 13 :3 3 3 3−= = = TAČNO

9 16 9 16

3 4 25

7 5

+ = +

+ =

=

ovde je NETAČNO

www.matematiranje.in.rs

Najpre da se podsetimo kako izgleda formula za kvadrat binoma:

2 2 2( ) 2I II I I II II+ = + ⋅ ⋅ + i 2 2 2( ) 2I II I I II II− = − ⋅ ⋅ +

2 2 2

ovo je I ovo je II

2

( 2 0, 2 ) (2 ) 2 2 0, 2 0, 2

4 0,8 0,04

x x x

x x

+ = + ⋅ ⋅ +

= + + jer je 2 2 0,2 4 0,2 0,8x x x⋅ ⋅ = ⋅ = i 20,2 0,2 0, 2 0,04= ⋅ =

Tačan odgovor je pod v) 24 0,8 0,04x x+ +

a) b) v)

(3 ) (2 3 )

3 2 3

= 5m+2n

M N m n m n

m n m n

+ = − + +

= − + +

(3 ) (2 3 )

3 2 3

= m-4n

M N m n m n

m n m n

− = − − +

= − − − 2 2

2 2

(3 ) (2 3 )

6 9 2 3

= 6 7 3

M N m n m n

m mn mn n

m mn n

⋅ = − ⋅ +

= + − −

+ −

( )( )( )

2 2

22 2

2 2

2

9 8 2 (3 1)

9 8 2 3 2 3 1 1

9 8 2 9 6 1

9

x x x

x x x x

x x x x

x

− + − + =

− + − + ⋅ ⋅ + =

− + − + + =

28 2 9x x− + − 6 1 14 1x x− − = − +

( ) ( ) 2 22 3 5 3 10 6 15 9 10 21 9a a a a a a a− + ⋅ − + = − − + = − + NETAČNO , zaokružujemo NE

2 2 2 2(2 3) (2 ) 2 2 3 3 4 12 9x x x x x− = − ⋅ ⋅ + = − + TAČNO, zaokružujemo DA

2 2( 2 3)( 3 2) 6 4 9 6 6 13 6a a a a a a a− + − + = − − + = − + TAČNO, zaokružujemo DA

2 2 2 2(2 3) (2 ) 2 2 3 3 4 12 9x x x x x+ = + ⋅ ⋅ + = + + NETAČNO , zaokružujemo NE

Koristimo 2 2 2( ) 2I II I I II II− = − ⋅ ⋅ +

2 21 1

22 2m n m

− = −

1

2⋅ 2 2 21

4m n n m mn n⋅ + = − + odgovor je pod b) 2 21

4m mn n− +

www.matematiranje.in.rs

Najpre dobro proučite pripremni fajl proporcije pa onda krenite u borbu sa ovim zadacima. Najpre zapišemo podatke i stavimo strelicu od X ka poznatom podatku.

4 jaja 280g

3 jaja X g

Sad razmišljamo: da li je X veći ili manji od gornjeg broja? Ako za 4 jaja treba 280 g , onda za 3 jaja treba manje grama šećera! Dakle, X je manji broj od gornjeg! Pošto ova strelica ide od manjeg ka većem, tako mora i druga strelica da ide (od manjeg ka većem).

4 jaja 280g

3 jaja X g

Sad pratimo smer strelica i napravimo proporciju ( uvek krenite od X, da bi Vam bilo lakše):

70

: 280 3: 4

4 3 280 uvek izrazite X, jer će možda imati nešto da se krati!

3 280

x

x

x

=

⋅ = ⋅

⋅=

4

3 70

210

x

x g

= ⋅

=

Odgovor je: Za 3 jajeta potrebno joj je 210 grama šećera.

Obeležimo sa X broj dečaka. Onda važi proporcija:

60

: 480 7 :8

8 480 7

480

X

X

X

=

⋅ = ⋅

=7

8

⋅

60 7

420

X

X

= ⋅

=

Našli smo da u školi ima 420 dečaka. Broj učenika je onda 480+420=900. U školi “ Radost ” ukupan broj učenika je 900.

Pogledajte najpre pripremni fajl linearna funkcija.

1 2 3 4

1

2

x

y

Uočimo da prava prolazi kroz tačke (0,0) i (4,2) . Dakle redom u ponudjene odgovore menjamo x je 4 a y je 2.

a) 1 1 4

2 4 23 3 3

y x= → = ⋅ → = NETAČNO v) 2 2 2 4 2 8y x= → = ⋅ → = NETAČNO

b) 1 1

2 4 2 22 2

y x= → = ⋅ → = TAČNO g) 3 2 3 4 2 12y x= → = ⋅ → = NETAČNO

Odgovor je pod b) 1

2y x=

(x,y)= ( 2,3) (x,y)= (4,1) (x,y)= (2,1) (x,y)= (2,4) Na graficima smo uočili tačke koje će nam trebati u ispitivanju! Sad da napravimo funkciju. Obeležimo sa: x je olovo y je cink U zadatku kaže da su olovo i cink zastupljeni u odnosu 2:1, pa imamo

: 2 :1

2

1

2

x y

y x

y x

=

=

=

Sad redom menjamo koordinate tačaka sa svakog grafika da proverimo koja tačka zadovoljava 1

2y x=

Očigledno je to tačka (x,y)= (2,1) sa grafika v) jer je 1 1

1 2 1 12 2

y x= → = ⋅ → =

Za ostale ponudjene grafike bi bilo:

(x,y)= ( 2,3) je 1 1

3 2 3 12 2

y x= → = ⋅ → = NETAČNO

(x,y)= (4,1) je 1 1

1 4 1 22 2

y x= → = ⋅ → = NETAČNO

(x,y)= (2,4) je 1 1

4 2 4 12 2

y x= → = ⋅ → = NETAČNO

a)

8 metara 2400 dinara

12 metara x dinara

300

: 2400 12 :8

8 2400 12

2400

x

x

x

=

= ⋅

=12

8

⋅

3600x =

12m platna košta 3600 dinara.

b)

8 metara 2400 dinara

x metara 750 dinara

:8 750 : 2400

2400 8 750

8

x

x

x

=

= ⋅

=300

750

2400

⋅ 75 0=

30 0

752,5

30

2,5x

= =

=

Za 750 dinara može se kupiti 2,5 metara platna.

Obeležimo sa : x je cena 1 kg jagoda y je cena 1 kg trešanja Jednačina bi glasila: 5 2 300x y+ = , znamo da je jagode platila 156 dinara, pa 5x menjamo sa 156 156 2 300

2 300 156

2 144

144

2

72

y

y

y

y

y din

+ =

= −

=

=

=

Kilogram trešanja košta 72 dinara.

Obeležimo da Relja sada ima x dinara.

Pre 30 dana je ima polovinu od sadašnje sume, pa će to onda biti 2

x dinara.

Svakog od tih 30 dana je odvajao po 50 dinara. Jednačina je:

30 502

15002

1500........................... / *2

2 1 13000 2

2 3000

3000

3000 .

xx

xx

x x

x x

x x

x

x din

+ ⋅ =

+ =

+ =

+ =

− = −

− = −

=

Relja sada ima 3000 dinara.

Osnovica jednakokrakog trougla je a = x

Krak jednakokrakog trougla je b = x+3

Obim je O= a+2b. Zamenimo:

2

2( 3) 42

2 6 42

3 42 6

3 36

36

3

12

a b O

x x

x x

x

x

x

x cm

+ =

+ + =

+ + =

= −

=

=

=

Dakle , osnovica a=12cm a krak je b=12+3=15cm

Dužina kraka je 15cm.

Da postavimo najpre problem:

1. dan

2.dan

3.dan

375kg

375-105=270kg

x kg

ostalo 200kg

Kad saberemo zaokružene brojeve trebamo dobiti 1200kg. Imamo: 375 270 200 1200

845 1200

1200 845

355

x

x

x

x kg

+ + + =

+ =

= −

=

Trećeg dana je prodato 355 kg brašna.

Obeležimo sa x dinara Petrovu ušteñevinu. Postavimo problem!

1/3 potrošio 2/3 od x din mu ostale,

to jest 800din

x dinara

Rekosmo već da reč OD menjamo sa operacijom množenje!

400

2800

32

800 :3

800

x

x

x

⋅ =

=

=3

1 2⋅

1200x dinara=

Dakle: Petrova ušteñevina je bila 1200 dinara.

www.matematiranje.in.rs