Algebra - Zagreb

SVEUCILIŠTE U RIJECI

FILOZOFSKI FAKULTET U RIJECI

Diplomski rad

Ciklotomi cki polinomi

autor : Sanda Bujacicmentor : René Sušanj

Ciklotomicki polinomi – p. 1

Uvodna pitanja 1/3

Što je polinom?

Kad su polinomi medusobno jednaki?

Koja je algebarska struktura skup polinoma,R[x], s obzirom na operaciju zbrajanja imnoženja?

Što su nultocke polinoma?

Osnovni teorem algebre i koji je njegovznacaj?

Gaussova lema


Uvodna pitanja 2/3

Definicija ciklotomickog polinoma

Povijest istraživanja ciklotomickog polinoma

Svojstva ciklotomickog polinomaCjelobrojnost koeficijenataNormiranost polinomaIreducibilnost polinoma

Stupanj ciklotomickog polinoma


Uvodna pitanja 3/3

Proširenja polja Q

Ciklotomicko proširenje polja Q

Teorija Galoisa

Prilozi


Uvod

Polinom je toliko cesto korišten pojam u matematici da se cak i osnovnoškolci vrlo

brzo upoznaju s njegovim najosnovnijim definicijama i tvrdnjama koje zadovoljava.

Polinomi su matematicki alat kojim se predstavljaju mnogobrojni problemi u

matematici i znanosti opcenito, od vrlo jednostavnih jednadžbi s jednom

nepoznanicom do iznimno kompliciranih problema kao što je numericka

aproksimacija razlicitih funkcija, konstrukcija prstena polinoma i mnogi drugi

iznimno korišteni pojmovi u algebri i algebarskoj geometriji.


1. Polinomi: Osnovne definicije 1/2

Definicija 1.1Polinom stupnja n nad skupom realnih brojeva R, odnosno nad skupomkompleksnih brojeva C, je funkcija P : R → R, odnosno P : C → C, definirana s

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0,

gdje su ai, i ∈ 1, 2, . . . n realni brojevi, odnosno, kompleksni brojevi, i gdje jean 6= 0.

Brojeve ai, i ∈ 1, 2, . . . n zovemo koeficijentima polinoma. Koeficijent an

zovemo vode cim koeficijentom , a koeficijent a0 zovemo slobodnim

koeficijentom .


Osnovne definicije 2/2

Definicija 1.2

Ako je vodeci koeficijent polinoma P jednak jedan, an = 1, tada takav polinom P

zovemo normiranim polinomom .

Definicija 1.3

Broj n ∈ N0 polinoma u Definiciji 1.1 zovemo stupnjem polinoma P i

oznacavamo sa st(P ) = n ili deg(P ) = n.

Definicija 1.4

Ako je stupanj polinoma P jednak nuli, polinom P nazivamo konstantnim

polinomom ili konstantom .

Definicija 1.5

Polinom P koji ima svojstvo da je P (x) = 0, x ∈ R zovemo nul-polinomom .


Jednakost polinoma

Definicija 1.6

Neka su P i Q polinomi. Za polinome P i Q kažemo da su jednaki ako

(x ∈ R) P (x) = Q(x). Tada pišemo P = Q.

Lema 1.7

Polinom P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 je nul-polinom ako i samo

ako su svi njegovi koeficijenti ai = 0, i ∈ 0, 1, 2, . . . , n.

Teorem 1.8

Polinomi P i Q su jednaki ako i samo ako su istog stupnja i ako im se odgovarajuci

koeficijenti u kanonskom prikazu podudaraju.


Algebra polinoma

Definicija 1.9

Skup svih polinoma na skupu realnih brojeva R, odnosno kompleksnih brojeva C,

oznacavamo s R[x], odnosno C[x].

Kakva je struktura skup R[x] s obzirom na operaciju zbrajanja i množenja?

Teorem 1.10

(R[x], +, ·) je komutativni prsten s jedinicom


Nultocke polinoma 1/2

Definicija 1.11Broj x1 za koji vrijedi P (x1) = 0 naziva se nulto cka polinoma P . Ako je

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0,

onda se jednadžba P (x) = 0, odnosno

anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0

naziva algebarska jednadžba n-tog stupnja . Rješenja algebarske jednadžbe su

nulto cke pripadnog polinoma.

Teorem 1.12

Broj α je nultocka polinoma P (x) ako i samo ako je polinom P (x) djeljiv

polinomom (x − α).


Nultocke polinoma 2/2

Teorem 1.13 - Liouvilleov teorem

Neka je Ω ⊂ C podrucje, f : Ω → C analiticka funkcija na Ω sa svojstvom

f ′(z) = 0, ∀z ∈ Ω. Tada je f(z) konstanta.

Teorem 1.14 - Osnovni teorem algebre

Svaki polinom s koeficijentima u C koji ima stupanj st(P ) ≥ 1 ima barem jednu

nultocku u skupu C.

Teorem 1.15 - Posljedica Osnovnog teorema algebreSvaki polinom n-tog stupnja s kompleksnim koeficijentima može se na jedinstvennacin prikazati u obliku produkta n linearnih faktora. Ako je an vodeci koeficijentpolinoma P , a x1, x2, . . . xn nultocke polinoma P (x), onda je

P (x) = an(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn).


Gaussova lema

Definicija 1.16

Za polinom P s cjelobrojnim koeficijentima, P ∈ Z[x], kažemo da je ireducibilan

(nerastavljiv) nad Z ako se ne može predstaviti u obliku produkta dva ili više

nekonstantnih polinoma s cjelobrojnim koeficijentima.

Lema 1.17 - Gaussova lema

Ako je polinom P polinom s cjelobrojnim koeficijentima, P ∈ Z[x], reducibilan nad

Z, onda je reducibilan i nad Q.


2. Ciklotomicki polinomi: Povijesni razvoj 1/3

Ciklotomija u doslovnom prijevodu znaci "rezanje kruga" i bila je enigma koju se

zapoceli još prije 2000 godina rješavati grcki filozofi i matematicari. Oni su tada

koristili dva predmeta u dokucivanju procesa dijeljenja kruga: ravnalo kojim su

crtali pravce i šestar kojem su crtali kružnice. Problem ciklotomije bio je podijeliti

krug na n, ne bilo kakvih, vec jednakih dijelova.

Euklidova škola pronašla je nacin kako konstruirati pravilni trokut, cetverokut,

peterokut i šesterokut. Dalje od ovih konstrukcija nisu dospjeli. Više od dvije tisuce

godina matematicari su bili u zabludi i mislili da se pravilni n-terokut ne može

konstruirati za bilo koji prim broj veci od pet.


Povijesni razvoj 2/3

Razvoj ideje o ciklotomickom polinomu nastavio se u 18. stoljecu. Još davne

1771.g. Leonard Euler proucavao je slucajeve ciklotomickog polinoma kada je

n < 10. Njegovo je istraživanje bilo temelj modernog izucavanja teorije o

ciklotomickom polinomu. U daljnjem izlaganju istaknut cemo važnost njegovih

zakljucaka.

Godinu dana nakon, Lagrange se takoder bavio istom temom i predstavio par vrlo

važnih teorema o svojstvima ciklotomickih polinoma kojima cemo se baviti nešto

kasnije. On je prvi postavio razliku izmedu korijena iz jedinice i primitivnog korijena

iz jedinice.


Povijesni razvoj 3/3

No, devetnaestogodišnji Karl Friedrich Gauss nastavio je izucavanje starih Grka. U

svojem istraživanju dokazao je da se može konstruirati pravilni sedamnaesterokut.

No, u svom istraživanju nije stao samo na tom zakljucku, vec je u potpunosti

okarakterizirao sve brojeve n ∈ N za koje se mogu konstruirati pravilni n-terokuti.

Mnogi su se poznati matematicari takoder bavili ovom temom. Poznatiji medu

njima bili su Niels Henrik Abel, Leopold Kronecker i Sergei Eisenstein. Posljednji

od njih je postavio iznimno važan kriterij za ireducibilnost polinoma koji je vrlo

cesto korišten u teoriji o ciklotomickim polinomima i dokazivanju njihove

ireducibilnosti, ali i u ostalim granama matematike.



Definicija 2.1

Broj r je n − ti korijen iz jedinice ako vrijedi rn = 1.

Definicija 2.2

Broj r je primitivni n − ti korijen iz jedinice ako je n najmanji prirodni broj takav

da je rn = 1.

Definicija 2.3Za svaki n ∈ N definira se:

Φn(x) =Y

ζk

(x − ζk), k ∈ 1, . . . n, M(k, n) = 1

gdje je ζk = e2πik/n primitivni korijen iz jedinice. Takav polinom nazivamo n-ti

ciklotomi cki polinom .



Definicija 2.4

Eksponent korijena iz jedinice je najmanji prirodni broj n > 0 takav da vrijedi

ζn = 1, gdje je ζ korijen iz jedinice.

Napomena 2.5Eksponent od 1 jednak je 1.Eksponent od −1 jednak je 2.1 je uvijek n-ti korijen iz jedinice, n ∈ N.

−1 je uvijek n-ti korijen iz jedinice, n neparan prirodni broj.



Napomena 2.6U nekim slucajevima izrazi koji odreduju n-te korijene iz jedinice nisu uvijeknajjednostavnijeg zapisa. Promotrimo:cetvrti korijeni iz jedinice su: ±1, ±

√−1.

Osmi korijeni iz jedinice su: ±1, ±√−1, ±

p√−1, ±

p

−√−1,

Lema 2.7

Neka je k eksponent korijena iz jedinice i neka je m ∈ N. Tada je ζm = 1 ako i

samo ako k|m.



Propozicija 2.8

Neka su ζ i η korijeni iz jedinice s eksponentima m i n. Ako su m i n relativno

prosti, M(m, n) = 1, tada je i ζη korijen iz jedinice i to eksponenta mn.

Lema 2.9Neka je µ skup n − tih korijena iz jedinice. Tada vrijedi:

xn − 1 =Y

ζ∈µ

(x − ζ).


Primjer 1.: prvih pet ciklotomi ckih polinoma

n = 1 ⇒ x1 = 1 ⇒ x1 − 1 = x − 1 = Φ1(x)

n = 2 ⇒ x2 = 1 ⇒ x2−1 = (x − 1)| z

Φ1(x)

(x+1) = Φ1(x)(x+1) ⇒ x+1 = Φ2(x)

n = 3 ⇒ x3 = 1 ⇒ x3 − 1 = (x − 1)| z

Φ1(x)

(x2 + x + 1) ⇒ x2 + x + 1 = Φ3(x)

n = 4 ⇒ x4 = 1 ⇒ (x − 1)| z

Φ1(x)

(x + 1)| z

Φ2(x)

(x2 + 1) = 0 ⇒ x2 + 1 = Φ4(x)

n = 5 ⇒ x5 = 1 ⇒ x5 − 1 = (x − 1)| z

Φ1(x)

(x4 + x3 + x2 + x + 1) ⇒

⇒ x4 + x3 + x2 + x + 1 = Φ5(x)


Svojstva ciklotomickih polinoma 1/5

CJELOBROJNOST KOEFICIJENATAGaussova lema odgovara na pitanje o polinomima s cjelobrojnim koeficijentima. Ako je

P (x) = xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0,

polinom s cjelobrojnim koeficijentima i P (x) = Q(x)R(x), gdje su Q, R ∈ Q[x], moraju li

i njihovi koeficijenti biti cjelobrojni?

Lema 2.12 - Gaussova lema

Ako su P, Q ∈ Q[x] normirani polinomi i PQ ∈ Z[x], tada P, Q ∈ Z[x].

Teorem 2.13

Normirani polinom Φ(x) ciji su korijeni n − ti primitivni korijeni iz jedinice ima

cjelobrojne koeficijente.



Naizgled se može ciniti da su koeficijenti ciklotomickih polinoma iskljucivo jednaki 1, −1

ili 0. No, to nije tako. Prvi kontraprimjer je polinom Φ105(x). Ako bolje promislimo, ne

zacuduje što je prvi kontraprimjer relativno visokog stupnja. Vrijednost koeficijenata

polinoma ovisi, ne toliko o broju n, koliko o tome na koliko ce se neparnih prostih faktora

faktorizirati broj n. Prvi takav broj n je produkt brojeva 3, 5 i 7, odnosno n = 105.

Primjer 2.: 105. ciklotomi cki polinom

Φ105(x) = x48 + x47 + x46 − x43 − x42 − 2x41 − x40 − x39 + x36 + x35 + x34 +

x33 + x32 + x31 − x28 − x26 − x24 − x22 − x20 + x17 + x16 + x15 + x14 + x13 +

x12 − x9 − x8 − 2x7 − x6 − x5 + x2 + x + 1



NORMIRANOST

Teorem 2.14

Neka je n prirodan broj, n ∈ N. Tada je Φn(x) normirani polinom s cjelobrojnim

koeficijentima, tj. vrijedi Φn(x) =Q

ζ(x − ζ), gdje je ζ primitivni n − ti korijen iz

jedinice.


Svojstva ciklotomickog polinoma 4/5

IREDUCIBILNOST

Teorem 2.15 (Eisensteinov kriterij za ireducibilnost poli noma)Neka je P(x) polinom

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 ∈ Z[x].

Neka je p ∈ P prost broj. Ako vrijedi:

p ne dijeli an

p dijeli ai, 0 ≤ i ≤ (n − 1)

p2 ne dijeli a0,

tada je polinom P (x) ireducibilan nad Z.


Svojstva ciklotomickog polinoma 5/5

Propozicija 2.16

Polinom Φp(x) = xp−1x−1

= xp−1 + xp−2 + . . . + x + 1, gdje je p prost broj, p ∈ P,

ireducibilan je nad Q.

Teorem 2.17 Ciklotomicki polinom Φn(x) je ireducibilan nad poljem Q.


Faktorizacija binoma xn− 1 1/2

x − 1 = Φ1(x)

x2 − 1 = Φ1(x)Φ2(x)

x3 − 1 = Φ1(x)Φ3(x)

x4 − 1 = Φ1(x)Φ2(x)Φ4(x)

x5 − 1 = Φ1(x)Φ5(x)

x6 − 1 = Φ1(x)Φ2(x)Φ3(x)Φ6(x)

x7 − 1 = Φ1(x)Φ7(x)

x8 − 1 = Φ1(x)Φ2(x)Φ4(x)Φ8(x)

x9 − 1 = Φ1(x)Φ3(x)Φ9(x)

x10 − 1 = Φ1(x)Φ2(x)Φ5(x)Φ10(x)


Faktorizacija binoma xn− 1 2/2

Definicija 2.18Opcenito, sve n − te korijene iz jedinice možemo razluciti na klase i − tih

primitivnih korijena iz jedinice, odnosno, binom xn − 1 možemo napisati kaoumnožak ciklotomickih polinoma:

xn − 1 =Y

i|nΦi(x)

Propozicija 2.19

Neka je n pozitivan cijeli broj. Tada se binom xn − 1 može faktorizirati na produkt

polinoma s cjelobrojnim koeficijentima koji se sastoji od τ(n) faktora.


Stupanj ciklotomi ckog polinoma 1/2

Postavlja se pitanje kako odrediti stupanj n − tog ciklotomickog polinoma. S obzirom da

se svaki binom oblika xn − 1 može faktorizirati na onoliko ciklotomickih polinoma koliko

ima djelitelja broja n, jednostavno je zakljuciti da je stupanj n − tog ciklotomickog

polinoma, Φn(x), jednak broju relativno prostih brojeva s brojem n.

EULEROVA FUNKCIJA

Definicija 2.20

Za bilo koji pozitivni cijeli broj n, ϕ(n) je broj svih cijelih brojeva koji su manji ili

jednaki broju n i koji su s njim relativno prosti, tj. M(k, n) = 1,

k ≤ n. Funkcija ϕ(n) : N → N zove se Eulerova funkcija .


Stupanj ciklotomi ckog polinoma 2/2

Teorem 2.21Ako je n = pα1

1 pα2

2 · . . . · pαnn kanonska faktorizacija broja n, pi ∈ P, onda je

ϕ(n) = n(1 − 1

p1)(1 − 1

p2) · . . . · (1 − 1

pn).

Lema 2.22

Polinom Φd(x) ima stupanj ϕ(d) gdje je ϕ Eulerova funkcija.


3. Proširenje polja: Ciklotomi cko proširenje polja Q 1/5

Definicija 3.1

Polje (F, +, ·) je algebarska struktura u kojoj su (F, +) i (F, ·) abelove grupe te

vrijedi i lijeva i desna distributivnost množenja prema zbrajanju.

Definicija 3.2

Neka je (L,+, ·) polje. Ako vrijedi da je K ⊆ L i K je takoder polje u odnosu na

iste operacije kao i polje (L, +, ·), onda kažemo da je (K, +, ·) potpolje polja

(L,+, ·) i pišemo K ≤ L. Polje (L, +, ·) je ujedno i proširenje ili ekstenzija

potpolja (K, +, ·) pa tada pišemo da je skup L/K proširenje polja K poljem L.


Ciklotomi cko proširenje polja Q 2/5

Definicija 3.3

Neka je F polje. Za proširenje polja F kažemo da je korjensko ako je prošireno

korijenima nekog polinoma P (x) nad poljem F .

Primjer 3.Riješimo sada algebarske jednadžbe prvih par ciklotomickih polinoma.n = 1 ⇒ x1 − 1 = 0 ⇒ x1 = 1

n = 2 ⇒ x1 + 1 = 0 ⇒ x1 = −1

n = 3 ⇒ x2 + x + 1 = 0 ⇒ x1 = − 12

+ i√

32

, x2 = − 12− i

√3

2

n = 4 ⇒ x2 + 1 = 0 ⇒ x1 = i, x2 = −i

Uocimo da vec korijeni treceg ciklotomickog polinoma nisu elementi polja Q.



Definicija 3.4

Proširimo li polje racionalnih brojeva Q korijenima ciklotomickih polinoma, onda se

proširenje oblika Q(ζ1, . . . , ζn), gdje su ζi, i ∈ 1, 2, . . . , n korijeni ciklotomickih

polinoma zove ciklotomi cko proširenje polja Q.

Definicija 3.5Neka je E proširenje polja F . Grupa Galoisa je Gal(E/F ), skup svihautomorfizama polja E koji fiksiraju polje F, odnosno pišemo

Gal(E/F ) = σ : F → F |σ ∈ Aut(F ), σ(α) = α, a ∈ F.



Definicija 3.6

Kažemo da je L normalno proširenje polja F ako se radi o konacnom proširenju i

ako i samo ako vrijedi |Gal(L/F )| = [L : F ].

Definicija 3.7

Abelovo proširenje polja F je ono normalno proširenje polja F za koje je

pripadna Galoisa grupa abelova.



Napomena 3. 8

Ciklotomicko proširenje polja je abelovo.

Definicija 3.9

Cikli cko proširenje polja F je ono normalno proširenje polja F za koje je

pripadna grupa Galoisa ciklicka.

Napomena 3.10

Ciklotomicko proširenje polja je ciklicko.


Zaklju cak

Znacaj ciklotomickog polinoma najbolje isticu mnogi znacajni matematicari

spomenuti u ovom radu koji su mnoge godine svoga rada posvetili istraživanju

ovog matematickog pojma neumorno tražeci odgovore na pitanja koje su postavili

Grci još dvije tisuce godina unatrag postavljajuci naizgled jednostavno pitanje:

"Kako podijeliti krug na n jednakih dijelova?", i ne sluteci kakva ce sve istraživanja

i studije pokrenuti.


HVALA NA PAŽNJI!!!


Documents

Algebra - Zagreb