Algunas distribuciones teóricas continuas

Dr. Pastore, Juan Ignacio Profesor Adjunto.

Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas

Distribución Continuas:

a) Distribución Uniforme

b) Distribución de Exponencial

c) Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial.

d) Distribución Normal

Distribución Uniforme

Se dice que la variable aleatoria X se distribuye uniformemente en el intervalo [a,b] si

su función de densidad de probabilidades (f.d.p) está dada por:

Esperanza

Varianza

2

b aE X

2

12

b aV X

1

( ) -

0

si a x bf x b a

en otro caso

0 si x < a

F(x)= si a x b

1 si x > b

x a

b a

Distribución Uniforme

Si X es una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [a,b] su

función de distribución acumulativa (FDA) está dada por:

f(x)

1

b a

fdp

x x

FDA F(x)

1

a b a b

Distribución Uniforme

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

2.0

Se dice que X, que toma todos los valores no negativos, tiene una

distribución exponencial, con parámetro , si su fdp está dada por: 0

- si x 0f(x)

0 si x < 0

xe

(en la distribución de Poisson)

1.0

0.5

Distribución Exponencial

Esta distribución: suele ser el modelo de aquellos fenómenos

aleatorios que miden el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de

dos sucesos.

Demostrar las características numéricas de la función exponencial:

2

1 1( ) V(x)=E x

Distribución Exponencial

La FDA está dada por:

1 si x 0F(x)

0 si x<0

xe

F(x)

1

x

Distribución Exponencial

Sea X una v.a distribuida exponencialmente, con parámetro , su

función de distribución acumulativa (FDA) está dada por:

0

La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando.

( ) ( ) ( )( / )

( ) 1 ( )

P s x s t F s t F sP x s t x s

P x s F s

( )1 1 ( 1)

1 (1 )

s t s as t s s t

s s s

e e e e e e e

e e e

1 ( ) ( )te F t P x t

Propiedad fundamental de la Distribuciones Exponencial

La distribución exponencial no tiene memoria :

P( x< s + t / x> s ) = P( x< t )

Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial

La v.a X que es igual a la distancia entre conteos sucesivos de un proceso

de Poisson con media tiene una distribución exponencial con

parámetro :

0 0

Sea X una variable de Poisson que mide el número de ocurrencias de un determinado suceso en un período t. Entonces: La probabilidad de que no haya ocurrencias en el período de tiempo t está dado por:

La variable T : tiempo transcurrido hasta la primera ocurrencia de Poisson en el período t es una variable exponencial de parámetro λ. Entonces la probabilidad de que la variable aleatoria T exceda el tiempo t está dada por

0

00!

t

te t

P X e

0tP T t e P X

: º 1min

.( )

!

30.10.5 ( 2)01 ( 2) 1 ( 0) ( 1

60

1 0,91 0,09

k

X n de partìculas en

eP X k

k

P X P X P X P X

Sea X el número de partículas emitidas por una fuente radioactiva. Si se sabe que

el número esperado de demisiones en una hora es de 30 partículas: ¿Cuál es la

probabilidad de que sean emitidas al menos 2 partículas en un lapso de 1 minuto?

Solución/

Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial

Sea X el número de partículas emitidas por una fuente radioactiva. Si se

sabe que el número esperado de demisiones en una hora es de 30

partículas: Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre emisiones

sucesivas sea mayor a 3 minutos?

Solución/

0 1.5

: (min) ,

30.3: 3min, 1.5

60

(1.5) .( 3) ( 0) 0.22

0!

T tiempo hasta que ocurre la prox emision

Y partìculas emitidas en

eP T P Y

Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial

Sin duda la distribución de

probabilidad continua más

importante, por la frecuencia con

que se encuentra y por sus

aplicaciones teóricas, es la

distribución normal, gaussiana o de

Laplace - Gauss. Fue publicada por

primera vez en 1733 por De Moivre.

A la misma llegaron, de forma

independiente, Laplace (1812) y

Gauss (1809), en relación con la

teoría de los errores de observación

astronómica y física .

Pierre Simon de Laplace (1749-1827)

Karl F. Gauss (1777-1855)

Distribución Normal

Se dice que X que toma todos los valores reales, tiene una distribución normal, si su

fdp está dada por:

21

21f(x) con - < x <

2

x

e

Distribución Normal

2( ) ( )E x y V x

La función depende de únicamente de dos parámetros, μ y σ, su media y

desviación estándar, respectivamente. Una vez que se especifican μ y σ, la

curva normal queda determinada por completo.

Distribución Normal: Principales Características:

1.La función tiene un máximo en x = .

2.La curva es simétrica alrededor del eje vertical x=μ, donde coinciden la

mediana (Me) y la moda (Mo ).

3.Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores en x=μ ± σ, es

cóncava hacia abajo si μ-σ<X< μ+σ, y es cóncava hacia arriba en cualquier

otro punto.

4.La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica

conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección, es decir Para x

tendiendo a , el límite f(x) =0.

5.El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1.

6.Los parámetros μ y σ son realmente la media y la desviación estándar de

la distribución normal.

+ - +

Puntos de

inflexión

=Mo=Me

Distribución Normal: Principales Características:

Distribución normal con =0 para varios valores

0

0.4

0.8

1.2

1.6

-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50

0.25

0.5

1

p(x)

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

5 5

10

Distribución normal con distintas medias y dispersión

N(μ, σ):

Interpretación geométrica

• La media se puede interpretar como un factor de traslación.

• Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión,…

Estandarización de la Distribución Normal

Dada la dificultad que se encuentra al resolver las integrales de una

funciones densidades de probabilidades asociada a una v.a. normal, es

necesario contar con una tabulación de las áreas de la curva normal para

una referencia rápida. Sin embargo, sería una tarea difícil intentar

establecer tablas separadas para cada valor de μ y σ.

Afortunadamente, podemos transformar todas las observaciones de

cualquier v.a. normal X a un nuevo conjunto de observaciones de una

variable normal Z con media 0 y desviación estándar 1.

2Si X N , Z= , Z N 0,1

x

2

21

2

tz

P Z z z e dt

Sea X una v.a su función de distribución acumulativa (FDA)

está dada por: 0,1X N

P(Z<z)

Estandarización de la Distribución Normal

P P

a x ba x b

P

a b b aZ

2Si X N , y Z= N 0,1

xZ

Estandarización de la Distribución Normal

2Si X N ,

P P Px x x

1

2 1

Cálculo de la probabilidad de desviación prefijada. P x

Regla de las tres sigmas

Es un caso particular de desviación prefijada.

Si = 3 P 3 P 3 3 P 3 3x x x

3 33 3

3 1 3 2. 3 1 0,9974

Esto significa que el suceso 3x

Es prácticamente un suceso cierto, o que el suceso contrario es poco probable y

puede considerarse prácticamente imposible.

Regla de las tres sigmas: Su esencia.

Si una variable aleatoria está distribuida normalmente, entonces la desviación respecto de la esperanza matemática, en valor absoluto, no es mayor que el triple de la dispersión.

En la práctica se aplica así: si la distribución de una variable no se conoce, pero se cumple la condición

3x

3 0,9974P x

2 0,9545P x

0,6827P x

Para ilustrar el uso de las Tablas, calculemos la probabilidad de que Z sea menor

que 1.64. Primero localizamos un valor de z igual a 1.6 en la primera columna

(izquierda), después nos “movemos” a lo largo de la fila hasta encontrar la columna

correspondiente a 0.04, donde leemos 0.9594. Por lo tanto P(Z<1.64)=0.9495.

Para encontrar un valor de z que corresponda a una probabilidad dada, el proceso se

invierte. Po ejemplo, el valor de z que deja un área de 0.9 bajo la curva a la izquierda

de z es de 1.28.