Aljabar_Linier

5/14/2018 Aljabar_Linier - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aljabarlinier 1/17

1

BUKU RANCANGAN PENGAJARAN

Aljabar Linier

Disusun oleh:

Kasiyah M [email protected]

Heru [email protected]

Fakultas Ilmu KomputerUniversitas Indonesia

Agustus 2008



2

Bab 1

INFORMASI UMUM

Nama mata ajar : Aljabar Linier

Kode mata ajar : IKI 20600

Diberikan pada : Semester 3

Jumlah sks : 3

Jenis sks : 3 x 50 menit pemelajaran mandiri/ kelompok

1 x 50 menit latihan mandiri

2 x 50 menit diskusi di forum

Prasyarat : -

Kaitan dengan mata ajar lain : Grafika Komputer

Pengolahan Citra

Analisa Numerik

Aproksimasi Sistem Non-Linier

Aljabar Linier Numerik

Dosen : Kasiyah M Junus

[email protected]

Tutor :

Bagan hubungan dengan mata kuliah lain:

Grafika Komputer (Sem 3)

Pengolahan Citra (Sem 3)

Aljabar Linier

Analisa Numerik Aljabar Linier Numerik (Sem 4)

(Sem 3) Aproksimasi Sistem Non-Linier(Sem 3)



3

Petunjuk Perkuliahan

Pemelajaran Aljabar Linier ini diselenggarakan dengan blended method antara

interaktif tatap muka dan e-Learning dengan pendekatan student-centered learning .

Oleh karena itu, istilah yang dipergunakan adalah pemelajaran (learning) bukan

pembelajaran (instruction ). Pada sesi e-Learning , mahasiswa mempelajari modul

yang disediakan dan mengerjakan lembar kerja yang sesuai. Mahasiswa secara

mandiri mempelajari materi dan berkolaborasi serta berinteraksi dengan sesama

mahasiswa dan fasilitator melalui forum diskusi.

Sesi tatap muka dapat dibedakan dalam macam kegiatan, yang pertama pemelajaran

materi baru dalam bentuk kuliah interaktif, maupun diskusi kelompok, dan yang

kedua adalah tutorial, yang membahas kesulitan-kesulitan belajar, serta memberikan

pengarahan dan sharing hal-hal khusus yang tidak mungkin disajikan secara

elektronik, misalnya sharing and pulling untuk mendukung pemelajaran dengan e-

Learning . Perlu difahami bahwa sesi ini tidak dapat disubstitusi dengan aktifitas lain,

dan bukan pengulangan pemberian materi pada sesi e-Learning . Pada kegiatan

perkuliahanpun dilakukan secara interaktif dua arah, dan mahasiswa dituntut untu

secara aktif terlibat dalam aktivitas ini. Oleh karenanya, mahasiswa diharapkan untuk

datang pada sesi ini.

Pada kedua mode pada blended method ini, mahasiswa diharapkan mempersiapkan

diri terlebih dahulu dengan membaca sumber bacaan dan mempersiapkan worksheet

(lembar kerja) yang sesuai. Suksesnya proses pemelajaran amat tergantung pada

keaktifan mahasiswa.

Selama masa pemelajaran berlangsung, mahasiswa diharapkan untuk aktif

mengerjakan lembar kerja yang dberikan. Pengerjaan lembar kerja selama proses

pemelajaran bukan dimaksudkan hanya untuk melakukan latihan soal, namun lebih

penting lagi, sebagai bagian proses membentuk pengetahuan (construction of

knowledge ) dan pendalaman (internalisasi).

Pertanyaan-pertanyaan pada lembar kerja sudah dirancang untuk menunjang proses

pemelajaran. Mahasiswa yang sudah memahami tanpa perlu mengerjakan lembar

kerja lebih lanjut dapat meneruskan proses pemelajaran tanpa harus mengerjkan

keseluruhan pertanyaan satu demi satu. Secara singkat, selama pemelajaran



4

mahasiswa diharapkan ready to think , dan ready to work , tidak sekedar menjadi

pembaca atau pendengar untuk menjamin terjadinya proses pemelajaran yang

efektif.

Pemelajar harus senantiasa memantau kemajuan belajarnya sendiri. Pengerjaan

lembar kerja dapat dipergunakan untuk itu. Jika mengalami kesulitan dalam

mengerjakan lembar kerja, harap segera menyampaikan di forum. Sebelum

mengikuti pemelajaran, mahasiswa diharapkan untuk mempersiapkan diri dengan

membaca materi dari buku acuan.

Keaktifan mahasiswa dalam berkontrubusi dalam forum menjadi salah satu kriteria

penialian. Tidak hanya frekuensi terlibat d forum saja yang diperhatikan, melainkan

mutu dari kontribusinya juga.



5

Bab 2

SASARAN PEMELAJARAN

Tujuan umum

Mata ajar ini mempersiapkan mahasiswa untuk dapat menyelesaikan masalah yang

terkait dengan aljabar matriks dan konsep ruang vektor. Disamping itu, mata kuliah

ini membekali mahasiswa dengan logical reasoning dan abstraksi matematika. Oleh

karena itu, keterlibatan aktif dari siswa memegang peranan penting.

Sasaran pemelajaran

Sesuai dengan tujuan pemelajaran Matematika, perkulaihan Aljabar Linier

mempunyai dua tujuan utama yang saling terkait yaitu mengasah kemampuan

bernalar dan problem solving. Secara rinci, tujuan tersebut dijabarkan dalam sasaran

pemelajaran terminal dan penunjang berikut ini.

Sasaran pembelajaran terminal

1. Apabila diberi suatu sistem persamaan linier, mahasiswa mampu memilih

srtategi yang paling efektif untuk menentukan penyelesaiannya atau

menetukan penyelesaian kuadrat terkecil (LSS ).

2. Mahasiswa mampu mengidentifikasi apakah suatu fungsi merupakan

transformasi linier, mampu menentukan matriks transformasi linier, dan dapat

menginterpretasikan sifat-sifat transformasi linier pada bidang dan ruang.

3. Mahasiswa mampu mengidentifikasi matriks-matriks persegi yang dapat

didiagonalkan secara orthogonal, dan dapat membuat prosedur untuk

mendiagonalkannya.

Sasaran pemelajaran penunjang

Setelah selesai mengikuti mata kuliah ini, peserta didik diharapkan memiliki

kemampuan sebagai berikut.

1. Apabila diberikan sistem persamaan linier (SPL) konsisten berukuran kecil,

mahasiswa mampu menetukan konsistensinya; dan menyelesaikan dengan

metode eliminasi-substitusi, geometris, dan metode Gauss-Jordan dengan

tepat.



6

2. Apabila diberikan matriks-matriks, mahasiswa mampu melakukan operasi-

operasi aritmetika dengan tepat, dan mampu menentukan inverse matriks

persegi secara efektif.

3. Apabila diberikan matriks persegi, mahasiswa dapat menghitung

determinannya. Jika matriks tersebut matriks koefisien suatu SPL dan

mempunyai inverse, mahasiswa mampu menentukan solusi SPL dengan

aturan Cramer; kemudian mampu membandingkan efektifitas Aturan Cramer

dan Metode Eliminasi Gauss-Jordan.

4. Mahasiswa mampu melakukan operasi-operasi vektor pada bidang dan ruang

(ruang vektor Euclid R 2 dan R 3) baik secara aljabar maupun geometris.

5. Jika diberikan garis dan bidang, mahasiswa mampu menentukan persamaan

vektornya

6. Berdasarkan pemahaman operasi vektor di R 2 dan R 3, mahasiswa mampu

membuat generalisasi dari ruang vektor Euclid ke ruang vektor umum.

7. Jika diberikan ruang vektor, mahasiswa mampu mengkonstruksi subruang,

dan menentukan apakah suatu sub himpunan dengan syarat keanggotaan

tertentu merupakan subruang.

8. Jika diberikan himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vektor, mahasiswa

mampu menentukan hubungan dependensi linier antara vektor-vektor.

9. Jika diberikan ruang vektor berhingga dan himpunan vektor-vektor,

mahasiswa mampu mengkonstruksi suatu basis ruang vektor tersebut dan

menentukan dimensinya.

10. Jika diberikan matriks, mahasiswa mampu menentukan ruang kolom, ruang

baris, ruang null, dan dimensinya.

11. Jika diberikan ruang hasil kali dalam, mahasiswa dapat menetukan hubungan

ortogonalitas antara dua vektor, vektor dan subruang, dan dua subruang.



7

Kemudian mahasiswa dapat menentukan hubungan ortogonalitas antara

ruang kolom dan ruang null matriks dengan tepat.

12. Jika diberikan basis suatu ruang hasil kali dalam berdimensi hingga,

mahasiswa mampu mengubah basis tersebut menjadi basis ortonormal

dengan Proses Gramm Schmidt secara tepat.

13. Mahasiswa memahami penurunan penyelesaian kuadrat terkecil, dapat

menerapkannya pada curve fitting to data secara efektif.

14. Jika diberikan matriks persegi, mahasiswa mampu menentukan vektor dan

nilai eigen, melakukan diagonalisasi, menganalisis sifat matriks berdasarkan

nilai eigen, dapat menjelaskan ruang eigen sebagai ruang null

15. Mahasiswa mampu mengidentifikasi apakah suatu fungsi merupakan

transformasi linier, mampu menentukan matriks transformasi linier, dan dapat

menginterpretasikan sifat-sifat transformasi linier pada bidang dan ruang, dan

dapat menjelaskan ruang eigen sebagai Kernel suatu transformasi linier.

16. Jika diberikan operator linier T dari ruang Euclid ke ruang Euclid, mahasiswa

mampu menjelaskan interpretasi nilai eigen [T] secara geomeris, dan dapat

menentukan hubungan antara Kernel (T), Null(T), Null([T]); juga hubungan

antara Range(T) dan Coll([T]).



8

Diagram alur pokok bahasan

Sistem Persamaan Linier (Modul 1)

dan

Aljabar Matriks (Modul 2)

Vektor pada bidang

dan ruang (Modul 3)

Ruang vektor umum

Determinan dan Ruang hasil kali dalam (Modul 5)

Aturan Cramer (Modul 4)

Ortogonalitas Nilai eigen, vektor eigen Transformasi linier

(Modul 7) di R 2 dan R 3

LSS (Modul 6)Diagonalisasi Transf. linier umum

(Modul 8)

Aplikasi Aljabar Linier: Principal Component Analysis

Keterangan:

Diagram alur tujuan pembelajaran di atas juga memperlihatkan keterkaitan antara

pokok-pokok pembahasan. Urutan penyampaian materi sedikit berbeda dengan

diagram alur. Determinan dan aturan Cramer dibahas terlebih dahulu sebelum

pembahasan vektor pada bidang dan ruang, dengan dua pertimbangan. Pertama,

mahasiswa sudah mempunyai dasar pengetahuan yang cukup dari SMU; kedua,

pokok bahasan ini terkait erat dengan pokok bahasan operasi baris pada matriks.



9

Bab 3SUBPOKOK BAHASAN DAN RUJUKAN

No

Pokok Bahasan Subpokok bahasan Rujukan MODUL

1 Sistem persamaanLinier dan Matriks

1.1 Pengenalan Sistem Persamaan linier

1.2 Metode Eliminasi Gauss

1.3 Operasi-operasi pada matriks

1.4 Matriks inverse, matriks elementer dan

metode menentukan A -1 dengan obe

1.5 Hubungan beberapa sifat matriks dan SPL

[1] chap 1

[2] 1.1-.5,

chap 2

[3] chap 1

Modul 1, 2

2 Determinan 2.1 Pengertian determinan sebagai fungsi

2.2 Menghitung determinan dengan obe

2.3 Sifat-sifat fungsi determinan

2.4 Ekspansi kofaktor

2.5 Aturan Cramer

[1] chap 2

[2] chap 3

[3] chap 6

Modul 3

KI

3 Vektor pada bidangdan ruang

3.1 Jenis-jenis vektor(fisik, geometri, aljabar)

3.2 vektor nol, kesamaan vektor

3.3 Operasi-operasi pada vektor: jumlahan,

perkalian dengan skalar, dot dan cross product,

perkalian triple skalar

3.4 Persamaan bidang dan ruang

[1] chap

3, 4

[3] chap

2, 3

Modul 4

4 Ruang Vektor Umum 4.1 Ruang vektor R n

4.2 Dari ruang R 2, R 3, …, R n

4.3 Ruang vektor umum

4.4 Subruang

4.5 Hubungan dependensi linier

4.6 Basis dan dimensi ruang vektor

4.7 Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank

dan nulitas

[1] chap 5

[2] chap 4

[3] 5.1-.4

Tatap

muka

(Modul 5)

4.1 (Kuliah

interaktif)

4.2 (CL

think-pair-

share)

4.3 – 4.4

(CL jigsaw)

4.5 – 4.7(Kuliah



10

interktif)

5 Ruang hasil kali

dalam

5.1 Ruang hasil kali dalam

5.2 Ortogonalitas

5.3 Proses Gramm-Schmidt (optional)

5.4 Penyelesaian Kuadrat terkecil

5.5 Matriks ortogonal, pergantian basis

[1] chap 6

[2] chap 6

[3] 5.6

5.1- 5.3

(KI)

Modul 6

KI

6 Vektor dan NilaiEigen

6.1 Pengertian nilai dan vektor, dan ruang eigen

6.2 Geometri nilai dan vektor eigen

6.3 Diagonalisasi

6.4 Dekomposisi QR

[1] chap 7

[2] chap 5

[3] chap 4

Modul 7

7 Transformasi Linier 7.1 Fungsi linier: syarat dan sifat-sifatnya

7.2 Geometri transformasi linier pada bidang

dan ruang

7.3 Kernel dan range

7.4 Operasi, Komposisi dan inverse

transformasi linier

7.5 Matriks representasi dari transformasi linier

7.6 Ruang eigen sebagai Kernel transformasi

linier

7.7 Similaritas

[1] chap 8

[2] chap

1.7, 1.8

[3] 5.7-.9

Modul 8

Ujian III

Ujian Komprehensip

Rujukan

Utama[1] Anton, Howard; Elementary Linear Algebra ; 8th Edition, Jhon Wiley & Sons.

Inc; New York, NY, 2000

Penunjang

[2] Lay, David C.; Linear Algebra and Its Apllication ; 2nd Edition, Addison-Wesley

Publ. Co.; Reading, Mass, 2000



11

[3] Johnson, Lee W., R. Dean Riess, Jimmy T. Arnold; Introduction to Linear

Algebra , Addison Wesley, New York, NY, 2002

Bab 4

MATRIKS KEGIATAN

Metode pemelajaran:1. Diskusi Interaktif (DI)2. Belajar Mandiri (BM)3. Kuliah Interaktif/ tatap muka (KI)

Sumber Pemelajaran1. Buku Teks2. Handout

3. Internet4. Manual Matlab

Media Instruksional1. Internet (I)2. White board,3. Infocus (Wbi)

Matriks Kegiatan Perkuliahan

Sasaran Pemelajaran Metode PemelajaranMinggu

Terminal Penunjang O L U

Subpokok Bahasan

Media/Modul

1 1, 2 KI, BM BM DI SistemPersamaan

Linier

I/1

2 2 KI, BM BM BM AljabarMatriks

I/2

3 3 KI, BM BM BM Determinan I/3

4 4 KI,BM BM DI Vektor padabidang dan

ruang

I/4

1, 2, 3, 4 KI KI KI Ruang Euclid WbiUjian 1

5 5 KI PBL PBL Ruang VektorUmum

Wbi/5

6 6 PBL PBL Pleno Ruang hasilkali dalam

Wbi/5

7

1

7 KI KI KI Metodekuadratterkecil

Wbi/5

8 8 KI, BM BM DI Vektor dannilai eigen

I/6

9 8 KI, BM BM DI Ruang eigen I/6

10

2

8 KI KI KI Diagonalisasi WbiUjian 2

11, 12 9 KI, BM BM DI Transformasi

linier diruang Euclid

I/7

13, 14

3

9 KI, BM BM DI Transformasilinier umum

I/8



12

15 9 BM, KI BM BM Similaritas I/9

16 9 KI KI KI Aplikasi Aljabar

Linier

Wbi

Ujian Sumatif

Bab 5

CONTOH-CONTOH PERTANYAAN PENGARAH

Minggu Soal Ket

1, 2 1. Tentukan semua kemungkinan bentuk matriks 3x3 yang

tereduksi. Jika matriks tersebut menyatakan matriks

augmented suatu SPL, tentukan matriks mana yang

menyajikan SPL yang konsisten dengan banyak solusi, satu

solusi, atau tidak konsisten.

2. Buatlah algoritma untuk meyelesaiakn SPL dengan metode

eliminasi substitusi, grafis, dan Eliminasi Gauss Jordan.

Kemudian, analisa kelebihan dan kekurangan masing-masingmetode.

3. Diberikan SPL, mahasiswa diminta untuk menyelesakan

dengan Eliminasi Gauss Jordan secara manual. Kemuadian

dibandingkan hasilnya dengan menggunakan Matlab.

3 1. Menganalisi sifat-sifat determinan untuk menyelesaiakan

masalah tertentu.

2. Menentukan kesalahan yang dibuat ketikan menghitung

determinan matriks 4x4 atau lebih besar dengan aturanSarrus.

3. Diberikan beberapa SPL, mahasiswa diminta untuk membuat

konjektur, kapan aturan Cramer bisa diterapkan dan efektif.

4, 5 1. Mahasiswa diminta melakukan generalisasi sifat-sifat dari R,

R 2, R 3, …, R n sebagai langkah awal untuk mendefinisikan

ruang vektor umum.

2. Mahasiswa diminta untuk mendefinisikan ruang vektor umum,

kemudian mengidentifikasi apakah suatu himpunan yang

dilengkapi operasi jumlahan dan perkalian skalar merupakan



13

ruang vektor.

3. Mahasiswa diminta mendefinisikan vektor.

4. Mahasiwa diminta untuk melakukan refleksi berkaitan dengan

proses generalisasi dan abstrasi dari ruang vektor Euclid ke

ruang vektor umum.

6 1. mahasiswa diminta untuk menyusun algoritma Plus Minus,

untuk membnetuk basis suatu ruang vektor berdimensi

hingga.

2. Mahasiswa diminta untuk menyelidiki hubungan dependensi

linier vektor-vektr pada ruang vektor.

3. Mahasiswa diberi basis suatu ruang hasil kali dalam,

mahasiswa diminta untuk mengubah menjadi basis

ortonormal.

7 Mahasiswa diberi data dan diminta untuk mencari dugaan kurva (suku

banyak derajat 2) yang paling cocok (secara manual dan dengan

komputer)

9 Diberikan matriks, mahasiswa diminta untuk menentukan vektor

eigen, nilai eigen, dan ruang eigen.

10 Diberikan matriks, mahasiswa diminta untuk mengnalisis hubungan

antara ruang null, ruang eigen, dan ruang kolom.

Diberikan beberapa transformasi linier pada ruang, mahasiswa diminta

untuk menentukan, matriks transformasi, vektor eigen, dan nilai

eigennya.

14 Mahasiswa diminta memetakan pemahamannya (refleksi diri) tentang

materi kuliah secara keseluruhan dengan menggambarkan keterkaitan

berbagai konsep



14

Bab 6

EVALUASI HASIL PEMELAJARAN

Bentuk/jenis instrumen1. Tugas individu

2. Tugas Kelompok (laporan hasil diskusi)

3. Kuis (isian singkat, pilihan ganda)

4. Ujian Tertulis (essay , jawaban singkat, pilihan ganda)

Skema Penilaian Akhir

No Komponen Bobot

1. Tugas Individu/Kelompok (3-5) 10%

2. Kontribusi/ keaktifan 5%

5. Ujian 1, 2, 3 3 x20 =60%

6. Ujian Akhir Semester (komprehensip) 25%

Total 100%

Kisi-kisi naskah Ujian 1, 2, dan 3Ranah Kognitif Instrumen Jumlah soal bobot

K5 Extended response essay (membuat/ mengajukan prosedurpenyelesaian, mengaitkan bebera -pa sifat penting, memformulasikanrumus berdasarkan ketentuan yangdiberikan)

3-4 50%

K4 Restricted response essay

(menerapkan prosedur, analisissifat-sifat sederhana)

2-4 30%

K3 Pilihan ganda dengan alas an,

BENAR/SALAH, isian singkat

5-10 20%

Jumlah 10-18 100%

Kisi-kisi naskah Ujian Sumatif

Ranah Kognitif Instrumen Jumlah soal bobot



15

K6 Extended response essay (memilih/ menilai prosedur-prosedur penyelesaian, memberiargumentasi)

1-3 20%

K6 Restricted response essay (menghitung, mengidentifikasi,mengklasifikasi)

8-10 40%

K5 Pilihan ganda, BENAR/SALAH

(dengan alasan), isian singkat

10-15 40%

Jumlah 10-16 100%



16

Bab 7

CONTOH-CONTOH SOAL

Contoh Soal Ujian Akhir

Waktu : 120 menitSifat : closed book, tanpa kalkulator

A. Pilihan ganda dan alasan singkat

[Bobot nillai 4]

1. Diberikan matriks-matriks berukuran nxn A, B , dan C . Lingkarilah

pernyataan yang BENAR.

(a) Jika A dan B berukuran nxn maka det( AB ) = det(BA ).

(b) Jika A adalah matriks persegi sedemikian hingga A k adalah matriks

nol untuk suatu k, maka det( A ) = 0.

(c) Jika det(A) = 1 maka Adj [ Adj ( A )] = A .

(d) Jika AB = AC dan det( A ) ≠ 0, maka B = C

(e) Jika det( A ) ≠ 0, maka A A Adj A)det(

11)]([ =−

Penjelasan:…………………………………

B. Jawablah dengan singkat dan jelas

[Bobot nilai 10]

W adalah subruang dari C[-π, π] yang terdiri atas fungsi-fungsi yang

berbentuk:

xb xa cossin +

Formulasikan prosedur untuk menentukan suatu basis dari W.

12

C.Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut

[Bobot nilai 25]

1. Jika A dapat didiagonalkan oleh P, maka A = PDP-1.

a. Berdasarkan persamaan di atas, tentukan rumus untuk menghitung

A 2, A 3, …, A n.

b. Apa yang dapat Anda simpulkan jika P adalah matriks orthogonal?



17

c. Jika

B =

−

−

12

34

tentukan diagonalisasi dari B.

d. Apakah diagonalisasi dapat menjawab pertanyaan: apakah vektor-

vektor Eigen matriks B membentuk basis ortogonal dari R 2?

e. Menurut Anda, mengapa vektor Eigen tidak boleh nol?

2. T: x a A x adalah fungsi dari R n ke R n

a. Tunjukkan bahwa T adalah transformasi linier.

a. Jika det(A) = 2, apa yang Anda simpulkan tentang Kernel (T)?

b. Apa hubungan antara Null(A) dengan Kernel(T)?

c. Jelaskan interpretasi geometris transformasi linier T jika

−

01

10

Documents

Aljabar_Linier