ALUNO (A) :____________________________________

PROFESSOR (A): ANDRÉ (MAL) DISCIPLINA: MATEMÁTICA DATA: 23 / 05 / 2016

POLIEDROS 1. Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices deste polígono a) 90. b) 72. c) 60. d) 56. 2. A figura mostra uma peça feita em 1587 por Stefano Buonsignori, e está exposta no Museu Galileo, em Florença, na Itália. Esse instrumento tem a forma de um dodecaedro regular e, em cada uma de suas faces pentagonais, há a gravação de um tipo diferente de relógio. Em 1758, o matemático Leonard Euler (1707-1783) descobriu o teorema conhecido por relação de Euler: em todo poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, vale a

relação V A F 2. Ao se aplicar a relação de Euler no poliedro da figura, o número de arestas não visíveis é a) 10. b) 12. c) 15. d) 16. e) 18. 3. De cada vértice de um prisma hexagonal regular foi retirado um tetraedro, como exemplificado para um dos vértices do prisma desenhado a seguir. O plano que definiu cada corte feito para retirar os tetraedros passa pelos pontos médios das três arestas que concorrem num mesmo vértice do prisma. O número de faces do poliedro obtido depois de terem sido retirados todos os tetraedros é a) 24. b) 20. c) 18. d) 16. e) 12. 4. Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas triangulares. Nestas condições, assumindo que tal poliedro exista, o número esperado de vértices para este será a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 5. O número de faces de um poliedro convexo com 20 vértices e com todas as faces triangulares é igual a: a) 28 b) 30 c) 32 d) 34 e) 36 6. Considere o icosaedro a seguir (Fig.1), construído em plástico inflável, cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão marcados. A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros congruentes foram formados em cada face do icosaedro. Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de

circunferências, como ilustrado na figura 2. Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmentos de reta, obtém-se uma nova estrutura poliédrica de faces triangulares, denominada geodésica. (Fig. 3)

O número de arestas dessa estrutura é igual a: a) 90 b) 120 c) 150 d) 180 7. Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente: a) 8 e 8 b) 8 e 6 c) 6 e 8 d) 8 e 4 e) 6 e 6 8. Um poliedro convexo é formado por faces quadrangulares e 4 faces triangulares. A soma dos ângulos de todas as faces é igual a 12 retos. Qual o número de arestas desse poliedro? a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1 9. Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras. Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a: a) 7,0 m b) 6,3 m c) 4,9 m d) 2,1 m 10. O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui a) 33 vértices e 22 arestas. b) 12 vértices e 11 arestas. c) 22 vértices e 11 arestas. d) 11 vértices e 22 arestas. e) 12 vértices e 22 arestas.

2

PRISMAS 1. Os vértices do hexágono sombreado, na figura abaixo, são pontos médios das arestas de um cubo. Se o volume do cubo é 216, o perímetro do hexágono é

a) 32 b) 62 c) 92

d) 122 e) 182 2. (Ufrgs 2014) Na figura abaixo, encontra-se representada a planificação de um sólido de base quadrada cujas medidas estão indicadas. O volume desse sólido é a) 144. b) 180. c) 216. d) 288. e) 360. 3. Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a

aresta lateral é 3/3 Aumentando-se a aresta da base em 2 cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 108 cm

3. O volume do

prisma original é

a) 18 cm3 b) 36 cm

3 c) 183 cm

3

d) 363 cm3 e) 40 cm

3

4. No cubo de aresta 10, da figura abaixo, encontra-se representado um sólido sombreado com as alturas indicadas no desenho. O volume do sólido sombreado é a) 300. b) 350. c) 500. d) 600. e) 700. 5. Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular, com uma tampa no formato de pirâmide regular, como mostrado na figura. As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm. A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são revestidas com um adesivo especial, sendo necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de fabricação do produto. A área da parte revestida, em cm

2, é igual a

a) 72(3 + 3) b) 36(6 + 5)

c) 108(2 + 5) d) 27( 8 + 7)

e) 54(4 + 7 ) 6. Uma indústria de cerâmica localizada no município de São Miguel do Guamá no estado do Pará fabrica tijolos de argila (barro) destinados à construção civil. Os tijolos de 6 furos possuem medidas externas:

91419 centímetros e espessura uniforme de 8 mm, conforme a figura abaixo. Utilizando 1 metro cúbico de argila, o número de tijolos inteiros que podem ser fabricados é, aproximadamente: a) 740 b) 960 c) 1020 d) 1090 e) 1280

7. Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma hapa retangular de metal, com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir:

O volume, em dm

3 da caixa assim obtida é

a) 80x – 36x2 + 4x

3 b) 80x + 36x

2 + 4x

3

c) 80x – 18x2 + x

3 d) 80x + 18x

2 + x

3

e) 20x – 9x2 + x

3

8. Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta 8 de maneira que dois de seus vértices, P e Q sejam os pontos médios respectivamente das arestas AD e BC e os vértices da face superior desse sólido coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura abaixo. O volume desse sólido é a) 64 b) 128 c) 256 d) 512 e) 1024 9. A altura, em centímetros, do nível da água armazenada em um reservatório com a forma de um prisma reto de base retangular é igual a x, conforme mostra a figura. Usando todo esse volume de água armazenado, pode-se encher completamente uma quantidade exata de recipientes com capacidade de 20 litros cada, ou uma quantidade exata de recipientes com capacidade de 50 litros cada. Se x = h/3 onde h é a altura do reservatório, então a menor capacidade, em litros, desse reservatório cheio é a) 200. b) 300. c) 400. d) 500. e) 600. 10. As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes. Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a:

a) √𝟑𝟑

b) √𝟒𝟑

c) √6 d) √8 11. As medidas em centímetros das arestas de um bloco retangular são as raízes da equação polinomial x

3 – 14x

2 + 64x – 96 = 0 Denominando-se r, s e t essas

medidas, se for construído um novo bloco retangular, com arestas medindo ( r – 1 ), (s – 1) e (t – 1) ou seja, cada aresta medindo 1 cm a menos que a do bloco anterior, a medida do volume desse novo bloco será a) 36 cm

3 b) 45 cm

3 c) 54 cm

3

d) 60 cm3 e) 80 cm

3

3

12. Fernando pretende abrir um aquário para visitação pública. Para tanto, pretende construí-lo com a forma de um bloco retangular com 3 m de comprimento, 1,5 m de largura e 2 m de altura. Assim sendo, o volume desse aquário será de a) 6,5 m

3. b) 7,0 m

3. c) 8,5 m

3. d) 9,0 m

3. e) 10 m

3.

13. Em uma gráfica, há uma pilha de papel no formato A4 com 1 m. O papel A4 tem a forma retangular com 21 cm de largura por 30 cm de comprimento. Assim sendo, o volume ocupado pela pilha de papel é de a) 630 cm

3. b) 51 cm

3. c) 151 cm

3.

d) 51 000 cm3. e) 63 000 cm

3.

14. Lúcia pediu a seu pai, o Sr. Paulo, para montar um aquário em seu quarto. Os dois foram a uma loja especializada e compraram os equipamentos necessários. As dimensões do aquário eram: 1,2 metros de largura, 0,6 metros de comprimento e 0,65 metros de altura. Depois que o aquário estava com água, o Sr. Paulo percebeu que tinha se esquecido de colocar um castelo de pedra para enfeite. Com cuidado, ele colocou o castelo dentro do aquário e percebeu que o nível da água subiu 15 cm. Lembrando-se de suas aulas de matemática, ele resolveu calcular o volume do castelo. Depois de efetuados os cálculos, ele percebeu que o volume do castelo era, em dm

3,:

a) 1,08 b) 10,8 c) 108 d) 1.080 e) 10.800 15. A figura mostra um paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH com base quadrada ABCDde aresta a e altura 2a em centímetros. A distância, em centímetros, do vértice A à diagonal BHvale:

a) a5/6

b) a6/6

c) a5/5

d) a6/5

e) a5/6 16. Um reservatório d’água na forma de um paralelepípedo reto de base quadrada e cuja altura é metade do lado da base, está com 80% de sua capacidade máxima ocupada. Se fosse preciso acabar de encher este reservatório seriam necessários 500 baldes iguais cheios d’água com capacidade de 12800 mL cada. Com base nesses dados, é correto afirmar que a altura da água que há neste reservatório a) é exatamente 15 dm b) é exatamente 1600 mm c) NÃO passa de 145 cm d) está a 0,5 m de atingir seu máximo. 17.O fabricante de uma marca de sabão em pó comercializa seu produto em embalagens na forma de paralelepípedo de dimensões 5cm x 20 cm x 20 cm que contém 1 kg de sabão em pó. A empresa quer diminuir o custo com embalagem e decide criar uma nova embalagem com o dobro do volume da original, ou seja, que conterá 2 kg de sabão em pó. Entretanto deseja-se preservar a proporcionalidade das dimensões da caixa, pois o fabricante acredita que esta proporção agrada os clientes. Nestas condições as dimensões da nova embalagem devem ser a) 10 cm x 40 cm x 40 cm

b) 53 cm x 203 cm x 203 cm

c) √𝟐𝟑

cm x 4√𝟐𝟑

cm x 4√𝟐𝟑

cm d) 10 cm x 20 cm x 20 cm

e) 5√𝟐𝟑

cm x 20√𝟐𝟑

cm x 20√𝟐𝟑

cm

PIRÂMIDES 1. Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 m, então podemos afirmar que

a) a altura é igual a 33 m

b) a altura é igual a 36 m c) a altura é igual a 4,5 m.

d) o volume é igual a 273/2 m3

e) o volume é igual a 182 m3

2. Em uma pirâmide quadrangular regular, a área lateral é o dobro da área da base. Nesse caso, cada face lateral forma com o plano da base um ângulo que mede a) 15°. b) 30°. c) 45°. d) 60°. e) 75°. 3. Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a

a) a3 b) a2 c) a3/2 d) a2/2 e) a2/4 4. Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua altura à metade, o volume desta pirâmide a) será reduzido à quarta parte. b) será reduzido à metade. c) permanecerá inalterado. d) será duplicado. e) aumentará quatro vezes. 5. Um sólido maciço foi obtido quando a base de uma pirâmide hexagonal regular de altura 6 cm foi colada à base de uma pirâmide reta de base retangular e altura 3 cm de forma que 4 dos 6 vértices da base da primeira coincidam com os vértices da base da segunda, conforme figura. Desprezando-se o volume da cola, se a aresta da base da pirâmide hexagonal

mede 5 cm então, o volume do sólido obtido, em cm

3 é

igual a

a) 153

b) 203

c) 253

d) 303 6. Nesta figura estão representados dois poliedros de Platão: o cubo ABCDEFGH e o octaedro MNOPQR Cada aresta do cubo mede 6 cm e os vértices do octaedro são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral e o volume do octaedro medem, respectivamente:

a) 723 cm2 e 54 cm

3

b) 363 cm2 e 18 cm

3

c) 363 cm2 e 36 cm

3

d) 182 cm2 e 36 cm

3

e) 362 cm2 e 18 cm

3

7. Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da base

mede 103/3 cm. Então o raio da esfera, em cm, é igual a

a) 103 / 3 b) 13/3 c) 15/4 d) 23 e) 10/3 8. Há 4.500 anos, o Imperador Quéops do Egito mandou construir uma pirâmide regular que seria usada como seu túmulo.

4

As características e dimensões aproximadas dessa pirâmide hoje, são: 1.ª) Sua base é um quadrado com 220 metros de lado; 2.ª) Sua altura é de 140 metros. Suponha que, para construir parte da pirâmide equivalente a 1,88 × 10

4 m

3, o número médio de

operários utilizados como mão de obra gastava em

média 60 dias. Dados que 2,22 × 1,4 ≅ 6,78 e 2,26 ÷ 1,88

≅ 1,2 e mantidas estas médias, o tempo necessário para a construção de toda pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de, aproximadamente, a) 20. b) 30. c) 40. d) 50. e) 60. 9. A base de uma pirâmide hexagonal regular está inscrita em um círculo que é a base de um cilindro reto

de altura 63 cm. Se esses sólidos têm o mesmo volume, então a medida, em centímetros, da altura da pirâmide é a) 9 π. b) 12 π. c) 15 π. d) 18 π. e) 24 π. 10. Na figura abaixo, está representado um sólido

geométrico de faces, obtido a partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas desse

sólido têm medida , então as medidas da altura

(distância do ponto à face ABCD) e da superfície total desse sólido são, respectivamente,

a) ( 2 2)

2 e 2 3 4

b) ( 2 2)

2 e 2 3 5

c) ( 3 2)

2 e

2 35

4

d) 2

2 e 2 3 5

e) 3

2 e

2 34

4

11. Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a a) 5/9 b) 4/9 c) 1/3 d) 2/9 e) 1/9 12.Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? a) 156 cm

3.

b) 189 cm3.

c) 192 cm3.

d) 216 cm3.

e) 540 cm3.

CILINDROS 1. Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro a) é reduzido em 50%. b) aumenta em 50%. c) permanece o mesmo. d) é reduzido em 25%. 2. No Paraná, a situação do saneamento público é preocupante, já que o índice de tratamento de esgoto é de apenas 53%, ou seja, quase metade das residências no Estado ainda joga esgoto em fossas. José possui, em sua residência, uma fossa sanitária de forma cilíndrica, com raio de 1 metro e profundidade de 3 metros. Supondo que José queira aumentar em 40% o volume de sua fossa, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, de quanto o raio deve ser aumentado

percentualmente. Dado: 1,4 = 1,183 a) 11,8% b) 14,0% c) 18,3% d) 60,0% e) 71,2% 3. Um torneiro mecânico construiu uma peça retirando, de um cilindro metálico maciço, uma forma cônica, de acordo com a figura 01 a seguir: Considere π = 3 Qual é o volume aproximado da peça em milímetros cúbicos? a) 2,16x10

5

b) 7,2x104

c) 2,8 x 105

d) 8,32 x 104

e) 3,14 x 105

4. Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de raio 5, como indica a figura abaixo. Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro seja igual a 72π

a) 13 – 2 b) 3. c) 32

d) 25 e) 4. 5. Uma empresa de produtos de limpeza deseja fabricar uma embalagem com tampa para seu produto. Foram apresentados dois tipos de embalagens com volumes iguais. A primeira é um cilindro de raio da base igual a 2 cm e altura igual a 10 cm; e a segunda, um paralelepípedo de dimensões iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm. O metro quadrado do material utilizado na fabricação das embalagens custa R$ 25,00. Considerando-se π = 3 o valor da embalagem que terá o menor custo será a) R$ 0,36. b) R$ 0,27. c) R$ 0,54. d) R$ 0,41. 6. Um fabricante de bebidas, numa jogada de marketing, quer lançar no mercado novas embalagens de latas de alumínio para os seus refrigerantes. As atuais latas de 350 mL devem ser substituídas por uma nova embalagem com metade desse volume, conforme mostra a figura: De acordo com os dados anteriores, qual a relação entre o raio r’ da embalagem de 175 mL e o raio r da embalagem de 350 mL?

a) r ' r

b)

rr '

2

c) r ' r

d) r ' 2r

e) 3r ' 2

9

V

5

7. A figura apresenta a vista superior de uma piscina e suas dimensões internas.

Na figura, temos o seguinte: - ABEF é um retângulo de dimensões 3 m por 6 m e

- O arco CD̂ é uma semicircunferência com diâmetro 2 m, Considerando que a profundidade da piscina é constante e igual a 1,2 m, a capacidade da piscina é, em litros, Adote: π = 3 a) 23 400. b) 25 200. c) 28 800. d) 36 000. e) 38 500. 8. Um cilindro circular reto de raio da base igual a 4 cm contém água até uma certa altura. Um objeto é colocado no seu interior, ficando totalmente submerso. Se o nível da água no cilindro subiu 3 cm, podemos afirmar que o volume desse objeto é de, aproximadamente: a) 174 cm

3 b) 146 cm

3 c) 162 cm

3

d) 183 cm3 e) 151 cm

3

9. Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12m

3, cuja base tem um

raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4m

3. Para satisfazer as

condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de a) 1,6. b) 1,7. c) 2,0. d) 3,0. e) 3,8. 10. Uma esfera e um cilindro possuem volumes e raios iguais. O raio da esfera ao cubo é igual ao triplo do quadrado do raio do cilindro. A altura do cilindro, em unidades, é a) 2. b) 3. c) 4. d) 8. 11. Uma coluna de sustentação de determinada ponte é um cilindro circular reto. Sabendo-se que na maquete que representa essa ponte, construída na escala 1:100 a base da coluna possui 2 cm de diâmetro e 9 cm de altura, o volume, em m

3 de concreto utilizado

na coluna, é: (Use π = 3,14) a) 2,826 b) 28,26 c) 282,6 d) 2826 12. Um galão cilíndrico, com 1m de altura e 1m de diâmetro da sua base, está cheio de um líquido até sua borda. Abrindo-se completamente uma torneira localizada na sua base, a velocidade de escoamento do líquido é de 15 litros/ minuto Considerando a abertura total da torneira e que 1 dm

3 = 1 litro o tempo

estimado para o esvaziamento do galão está entre a) 16 e 17 minutos. b) 52 e 53 minutos. c) 66 e 67 minutos. d) 21 e 22 minutos.

13. Um poço cilíndrico circular reto, de profundidade 15 m e diâmetro 6 m, foi escavado por 18 trabalhadores em 25 dias. Admitindo-se sempre proporcionalidade direta ou inversa entre duas das três grandezas envolvidas no problema (volume escavado, número de trabalhadores e dias necessários para o serviço), para aumentar o diâmetro do poço já escavado em mais 2 m, e com 4 trabalhadores a menos, serão necessários e suficientes mais a) 20 dias. b) 21 dias. c) 23 dias. d) 24 dias. e) 25 dias.

cones 1. Um artesão resolveu fabricar uma ampulheta de volume total V constituída de uma semiesfera de raio 4 cm e de um cone reto, com raio e altura 4 cm, comunicando-se pelo vértice do cone, de acordo com a figura abaixo. Para seu funcionamento, o artesão depositará na ampulheta areia que corresponda a 25% de V. Portanto o volume de areia, em cm

3, é

a) 16 π . b) 64 π /3 . c) 32 π d) 128 π /3 . e) 64 π 2. Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça cujo formato é um sólido de revolução obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno da base menor, como mostra a figura a seguir. As dimensões do trapézio são: base maior igual a 15 cm, base menor igual a 7 cm e altura do trapézio igual a 3 cm. Considerando-se π = 3 o volume, em litros, da peça fabricada corresponde a a) 0,212. b) 0,333. c) 0,478. d) 0,536. 3. Prato da culinária japonesa, o temaki é um tipo de sushi na forma de cone, enrolado externamente com nori, uma espécie de folha feita a partir de algas marinhas, e recheado com arroz, peixe cru, ovas de peixe, vegetais e uma pasta de maionese e cebolinha. Um temaki típico pode ser representado matematicamente por um cone circular reto em que o diâmetro da base mede 8 cm e a altura 10 cm. Sabendo-se que, em um temaki típico de salmão, o peixe corresponde a 90% da massa do seu recheio, que a densidade do salmão é de 0,35 g/cm

3, e tomando

π = 3 a quantidade aproximada de salmão, em gramas, nesse temaki, é de a) 46. b) 58. c) 54. d) 50. e) 62. 4. Um cone reto com raio da base medindo 10 cm e altura de 12 cm será seccionado por um plano paralelo à base, de forma que os sólidos resultantes da secção tenham o mesmo volume. A altura do cone resultante da secção deve, em cm ser

a) 6. b) 8. c) 62. d) 6√𝟐𝟑

. e) 6√𝟒𝟑

. 5. Um chapeuzinho, distribuído em uma festa, tem a forma de um cone circular reto e, quando planificado, fornece um semicírculo com 10 cm de raio. Para o cone, que representa o formato do chapeuzinho, a) o raio da base é 10 cm. b) a área da base é 50π cm

2.

c) a área lateral é 25π cm2. d) a geratriz mede 5 cm.

e) o volume é (125 π 3)/3 cm3.

6

6. Um cone circular reto de madeira, homogêneo, com 20 cm de altura e 20 cm de diâmetro da base, flutua livremente na água parada em um recipiente, de maneira que o eixo do cone fica vertical e o vértice aponta para baixo, como representado na figura a seguir. Denotando-se por h a profundidade do vértice do cone, relativa à superfície da água, por r o raio do círculo formado pelo contato da superfície da água com o cone e sabendo-se que as densidades da água e da madeira são 1,0 g/cm

3 e 0,6 g/cm

3, respectivamente,

os valores de r e h, em centímetros, são, aproximadamente:

Dados: √𝟑𝟑

= 1,44

√𝟓𝟑

= 1,71 a) 5,8 e 11,6 b) 8,2 e 18,0 c) 8,4 e 16,8 d) 8,9 e 15,0 e) 9,0 e 18,0 7. A figura representa um sorvete de casquinha, no qual todo o volume interno está preenchido por sorvete e a parte externa apresenta um volume de meia bola de sorvete. Considerando que o cone tem 12 cm de altura e raio 6 cm, então o volume total de sorvete é a) 216 π cm

3 b) 360 π cm

3

c) 288 π cm3 d) 264 π cm

3

8. A prefeitura de certo município realizou um processo de licitação para a construção de 100 cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município. Esse sistema de armazenamento de água é muito simples, de baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora estipulou o preço de 40 reais por m

2 construído, tomando por base a

área externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone, conforme a figura abaixo. Considerando que a construção da base das cisternas deve estar incluída nos custos, é correto afirmar que o valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das 100 cisternas será, no máximo, de: Use: π = 3,14 a) 100.960 b) 125.600 c) 140.880 d) 202.888 e) 213.520 9. Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26 m

2, considerando π =

3,14, a altura h será igual a a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 9 m. e) 16 m. 10. A superfície lateral de um cone circular reto, quando planificada, torna-se um setor circular de 12 cm de raio com um ângulo central de 120 graus. A medida, em centímetros quadrados, da área da base deste cone é a) 144 π. b) 72 π. c) 36 π. d) 16 π.

11. A figura indica a planificação da lateral de um cone circular reto:

O cone a que se refere tal planificação é

a) b) c)

d) e) 12. Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual. Considere:

3

esfera

2

cone

4V R e

3

1V R h

3

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de a) 1,33. b) 6,00. c) 12,00. d) 56,52. e) 113,04.

troncos 1. Uma indústria de bebidas criou um brinde para seus clientes com a forma exata da garrafa de um de seus produtos, mas com medidas reduzidas a 20% das originais. Se em cada garrafinha brinde cabem 7 ml de bebida, podemos concluir que a capacidade da garrafa original é de: a) 875 ml b) 938 ml c) 742 ml d) 693 ml e) 567 ml 2. Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será

a) ∛𝟕

𝟐h b)

∛𝟕

𝟑 h

c) ∛𝟏𝟐

𝟐𝐡 d)

∛𝟐𝟑

𝟐 h

e) ∛𝟐𝟑

𝟑 h

7

3. Se a geratriz, a altura e o raio menor de um tronco

de cone reto são, respectivamente, 13 cm , 3 cm e 3 cm então o volume do cone original é: a) 98 π cm

3 b) 49 π cm

3 c) 13,5 π cm

3

d) 62,5 π cm3 e) 76 π cm

3

4. Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura: Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são a) um tronco de cone e um cilindro. b) um cone e um cilindro. c) um tronco de pirâmide e um cilindro. d) dois troncos de cone. e) dois cilindros. 5. Uma caixa de um perfume tem o formato de um tronco de pirâmide quadrangular regular fechado. Para embrulhá-la, Pedro tirou as seguintes medidas: aresta lateral 5 cm e arestas das bases 8 cm e 2 cm A quantidade total de papel para embrulhar esta caixa, supondo que não haja desperdício e nem sobreposição de material, foi: a) 88 cm

2 b) 168 cm

2 c) 80 cm

2 d) 68 cm

2 e) 148 cm

2

6. Considere um balde para colocação de gelo no formato de um tronco de cone circular reto apresentando as medidas indicadas na figura a seguir. Considerando que esse balde esteja com 25% de sua capacidade ocupada com gelo derretido (água) e, consequentemente, com um volume de água igual a 0,097π litros, qual é o valor (em cm) do raio da base maior R? a) 8,5 b) 9 c) 8 d) 7,5 7. Considere um tronco de pirâmide regular, cujas bases são quadrados com lados medindo 4 cm e 1 cm Se o volume deste tronco é 35 cm

3 então a altura da

pirâmide que deu origem ao tronco é: a) 5cm b) 5/3cm c) 20/3cm d) 20cm e) 30cm 8. Na figura abaixo, estão representados um cubo de aresta 3 e uma pirâmide triangular de altura 9. Os pontos A, B e C são vértices da pirâmide e do cubo, e V pertence ao prolongamento de BG. O volume comum aos dois sólidos é a) 15/2. b) 8. c) 17/2. d) 9. e) 19/2. 9. Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração abaixo. Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a: a) 1/2 b) 3/4 c) 5/6 d) 7/8 10. Um cilindro reto de 4m de diâmetro e 8m de altura é cortado por um plano não paralelo à sua base,

resultando no sólido ilustrado na figura abaixo. O volume do sólido é: a) 6 π m

3. b) 8 π m

3.

c) 10 π m3. d) 12 π m

3.

e) nda. 11. Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cme altura 27 cm. Podemos afirmar, utilizando π = 3,14 , que a capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26 12. A figura abaixo representa a planificação de um tronco de cone reto com a indicação das medidas dos raios das circunferências das bases e da geratriz. A medida da altura desse tronco de cone é a) 13 cm b) 12 cm c) 11 cm d) 10 cm e) 9 cm 13. A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura. Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8%. Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 14. O metrônomo é um relógio que mede o tempo musical (andamento). O metrônomo mecânico consiste num pêndulo oscilante, com a base fixada em uma caixa com a forma aproximada de um tronco de pirâmide, como mostra a foto. Na representação a seguir, a é o lado da base maior, b é o lado da base menor e V é o volume do tronco de pirâmide ABCDEFGH. Se a = 4b e p é o volume total da pirâmide ABCDI, então: a) V = 3p/4 b) V = 3p/16 c) V = 15p/16 d) ) V = 15p/64 e) V = 63p/64 15. Ao seccionarmos um cone circular reto por um plano paralelo a sua base, cuja distância ao vértice do cone é igual a um terço da sua altura, obtemos dois sólidos: um cone circular reto S1 e um tronco de cone S2. A relação

2

1

volume(S )

volume(S ) é igual a:

a) 33. b) 27. c) 26. d) 9. e) 3.

8

EsFERAS 1. Um círculo de raio R gira em torno de seu diâmetro, gerando uma esfera de volume V. Se o raio do círculo é aumentado em 50%, então o volume da esfera é aumentado em a) 100,0 %. b) 125,0 %. c) 215,0 %. d) 237,5 %. 2. Sua bexiga é um saco muscular elástico que pode segurar até 500ml de fluido. A incontinência urinária, no entanto, tende a ficar mais comum à medida que envelhecemos, apesar de poder afetar pessoas de qualquer idade; ela também é mais comum em mulheres que em homens (principalmente por causa do parto, mas também em virtude da anatomia do assoalho pélvico). Considerando-se que a bexiga, completamente cheia, fosse uma esfera e que π = 3 pode-se afirmar que o círculo máximo dessa esfera seria delimitado por uma circunferência de comprimento, em cm, igual a a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 3. Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta de 12 gomos exatamente Iguais. A superfície total de cada gomo mede:

a) 3

24cm

3

π b)

324

cm9

π c)

224

cm3

π

d) 2

24cm

9

π e) 3 24 cmπ

4. Uma esfera e um cilindro possuem volumes e raios iguais. O raio da esfera ao cubo é igual ao triplo do quadrado do raio do cilindro. A altura do cilindro, em unidades, é a) 2. b) 3. c) 4. d) 8. 5. Uma fruta em formato esférico com um caroço também esférico no centro apresenta 7/8 de seu volume ocupado pela polpa. Desprezando-se a espessura da casca, considerando que o raio da esfera referente à fruta inteira é de 12 cm, então a superfície do caroço apresenta uma área de a) 121π cm

2 b) 144π cm

2 c) 169π cm

2 d) 196 π cm

2

6. Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão unidas. Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema:

Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida:

a) 2πR

2 b)

23πR

2 c)

23πR

4 d)

24πR

3

7. Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera em 20%, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará a) 60% b) 63,2% c) 66,4% d) 69,6% e) 72,8%

8. Um designer criou pesos para papel usando cubos e esferas. Nas peças criadas a esfera está inscrita no cubo, que tem aresta medindo 6 cm. Para dar um efeito visual, ele colocou na parte interna do cubo, e externa à esfera, um líquido vermelho. Com 1 litro desse líquido o designer pode confeccionar no máximo quantas peças? a) 9 b) 12 c) 18 d) 24 e) 27 9. (Uepa) A ideologia dominante também se manifesta por intermédio do acesso aos produtos do mercado, sobretudo daqueles caracterizados por tecnologias de ponta. O “Cubo Magnético” é um brinquedo constituído por 216 esferas iguais e imantadas. Supondo que esse brinquedo possa ser colocado perfeitamente ajustado dentro de uma caixa, também no formato de um cubo, com aresta igual a 30 mm a razão entre o volume total das esferas que constituem o “Cubo Magnético” e o volume da caixa que lhe serve de depósito é: a) π/6 b) π/5 c) π/4 d) π/3 e) π/2 10. Um artesão produz peças ornamentais com um material que pode ser derretido quando elevado a certa temperatura. Uma dessas peças contém uma esfera sólida e o artesão observa que as peças com esferas maiores são mais procuradas e resolve desmanchar as esferas menores para construir esferas maiores, com o mesmo material. Para cada 8 esferas de 10 cm de raio desmanchada, ele constrói uma nova esfera. O raio da nova esfera construída mede a) 80,0 cm b) 14,2 cm c) 28,4 cm d) 20,0 cm 11. Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais influentes na arquitetura moderna internacional. Ele contribuiu, através de uma doação de um croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade de Santa Maria.

Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 28 m de diâmetro, vazada por 12 partes iguais, as quais são aproximadas por semicírculos de raio 3 m. Sabendo que uma lata de tinta é suficiente para pintar 39 m

2 de área, qual a quantidade mínima de

latas de tinta necessária para pintar toda a cobertura do planetário? (Use π= 3 ) a) 20. b) 26. c) 40. d) 52. e) 60. 12. (Udesc 2012) Seja S uma seção de uma esfera determinada pela interseção com um plano, conforme figura. Se S está a 3 cm do centro da esfera e tem área igual a 16 cm

2 então o volume

desta esfera é: a) 36 π cm

3

b) 256π/3 cm3

c) 100 π cm3

d) 16 π cm3

e) 500π/3 cm3

9

13. Um reservatório de água é constituído por uma esfera metálica oca de 4 m de diâmetro, sustentada por colunas metálicas inclinadas de 60° com o plano horizontal e soldadas à esfera ao longo do seu círculo equatorial, como mostra o esquema

abaixo. Sendo 3 = 1,73, a altura h da esfera em relação ao solo é aproximadamente igual a: a) 2,40 m b) 2,80 m c) 3,20 m d) 3,40 m e) 3,60 m 14. Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto com duas semiesferas acopladas em suas extremidades, conforme representado na figura a seguir. O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada um, 4dm, e o volume de uma esfera de raio r é

34r .

3π

Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da capacidade do reservatório, em litros, é a) 50. b) 60. c) 70. d) 80. e) 90.

GABARITO GABARITO - POLIÉDROS

1: [C] 2: [A] 3: [B] 4: [E] 5: [E] 6: [B] 7: [B] 8: [A] 9: [B] 10: [E] GABARITO - PRISMAS

1: [E] 2: [A] 3: [B] 4: [C] 5: [E] 6: [B] 7: [A]

8: [C] 9: [B] 10: [B] 11: [B] 12: [D] 13: [E] 14: [C]

15:[E] 16:[B] 17: [E] GABARITO - PIRÂMIDES

1: [E] 2: [D] 3: [D] 4: [D] 5: [B] 6: [C] 7: [E]

8: [A] 9: [B] 10: [B] 11: [D] 12: [B] GABARITO – CILINDROS

1: [A] 2: [C] 3: [A] 4: [E] 5: [A] 6: [C] 7: [A]

8: [E] 9: [A] 10: [C] 11: [B] 12: [B] 13: [E]

GABARITO - CONES

1: [A] 2: [B] 3: [D] 4: [E] 5: [E] 6: [C] 7: [C]

8: [E] 9: [B] 10: [D] 11: [B] 12: [B]

GABARITO – TRONCOS

1: [A] 2: [A] 3: [D] 4: [D] 5: [E] 6: [C] 7: [C]

8: [E] 9: [D] 10: [B] 11: [B] 12: [B] 13: [B]

14: [E] 15: [C]

GABARITO – ESFERAS

1: [D] 2: [C] 3: [A] 4: [C] 5: [B] 6: [C] 7: [E]

8: [A] 9: [A] 10: [D] 11: [B] 12: [E]

13: [C] 14: [D] 15: [B]