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Analise Matematica
Thomas Kahl
2008/2009
Conteudo
1 Calculo diferencial em R 31.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Subconjuntos de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Exemplos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Operacoes com funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Limites e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Funcoes derivaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Regras de derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4 Teoremas fundamentais sobre funcoes derivaveis . . . . . . . . . . . 81.3.5 Estudo de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.6 Funcoes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Calculo integral em R 122.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Regras de primitivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3 Primitivacao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4 Primitivacao por substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Teoremas fundamentais sobre integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Regras de integracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.2 Integracao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.3 Integracao por substituicao ou mudanca de variaveis . . . . . . . . 18
3 Equacoes diferenciais 203.1 Equacoes diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Equacoes diferenciais separaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Calculo diferencial no plano 254.1 O plano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 O espaco vectorial R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.2 Norma e distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.3 Discos, conjuntos abertos e pontos de acumulacao . . . . . . . . . . 25
4.2 Funcoes reais de duas variaveis reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.1 Conceitos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.2 Limite de uma funcao num ponto de acumulacao . . . . . . . . . . 264.2.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Derivadas parciais e direccionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.1 Derivadas direccionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.2 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.3 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Extremos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4.1 Vocabulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4.2 Pontos crıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4.3 Derivadas parciais de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4.4 Matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Integrais duplos 325.1 Funcoes integraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.2 Propriedades do integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.4 Area e volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Topicos computacionais 356.1 Polinomio interpolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2 Metodo dos mınimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.3 Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.4 Regra do trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1 Calculo diferencial em R
1.1 Preliminares
1.1.1 Subconjuntos de R
Os conjuntos dos numeros reais, racionais, inteiros e naturais sao denotados por R, Q, Ze N. Tem-se
N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.
Sejam a e b numeros reais tais que a < b. Aos seguintes subconjuntos de R chama-seintervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b};
]a, b[= {x ∈ R | a < x < b};
[a, b[= {x ∈ R | a ≤ x < b};
]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b};
[a,+∞[= {x ∈ R | a ≤ x};
]a,+∞[= {x ∈ R | a < x};
]−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b};
]−∞, b[= {x ∈ R | x < b};
]−∞,+∞[= R.
Note-se que +∞ e −∞ nao sao numeros reais, apenas dois sımbolos empregues nadesignacao destes conjuntos.
Aos intervalos ]a, b[, ]a,+∞[, ]−∞, b[ e R chama-se intervalos abertos. Os intervalos[a, b], [a,+∞[, ]−∞, b] e R sao chamados intervalos fechados.
1.1.2 Funcoes
Sejam D e E dois conjuntos. Uma funcao f : D → E e uma regra que faz correspondera cada elemento x do conjunto D um e so um elemento do conjunto E. Este elemento edenotado por f(x) e chamado imagem de x por f . O conjunto D e chamado o domınioda funcao f . O conjunto E e chamado o conjunto de chegada de f .
Exemplo. Consideremos a funcao f : R → R definida por f(x) = x2. O domınio def e R, o conjunto de chegada de f e R. A imagem de um elemento x do domınio R e oelemento x2 do conjunto de chegada R.
Neste exemplo o domınio e o conjunto de chegada da funcao sao subconjuntos de R. Umatal funcao diz-se uma funcao real de uma variavel real.
No exemplo acima a regra da funcao e dada por uma formula f(x) = . . . . Costuma-setambem definir a regra de uma funcao usando a escrita x 7→ . . . . Assim podemos escreverx 7→ x2 em vez de f(x) = x2 para definir a funcao do exemplo.
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A imagem de uma funcao f : D → E e o subconjunto Imf de E definido por
Imf = {f(x) | x ∈ D}.
O grafico de uma funcao f : D → E e o conjunto Gf dos pares ordenados (x, f(x)) comx ∈ D,
Gf = {(x, f(x))| x ∈ D}.Exemplo. A imagem da funcao f : R→ R definida por f(x) = x2 e o conjunto
Imf = {x2 | x ∈ R} = [0,+∞[.
O grafico de f e o conjunto Gf = {(x, x2) | x ∈ R}.
No caso de uma funcao f de uma variavel real a valores reais o grafico de f e um subcon-junto do plano R2 que indicamos, se isto for possıvel, por um esboco.
Uma funcao f de uma variavel real a valores reais define-se as vezes so por uma formula
f(x) = . . . ou x 7→ . . .
sem mencao explıcita do domınio e do conjunto de chegada. Quando tal ocorrer, ficaraimplıcito que o conjunto de chegada e R e o domınio e o maior subconjunto de R para oqual a regra em questao faz sentido. Nestes casos o domınio da funcao f sera designadopor Df .
Exemplo. Consideremos a funcao definida por f(x) =1
x. O conjunto de chegada de f
e R e domınio de f e o conjunto Df = R\{0}.
Ate mencao em contrario, so trataremos a partir de agora de funcoes reais de uma variavelreal cujos domınios sao intervalos ou reunioes finitas de intervalos.
1.1.3 Exemplos de funcoes
1. Seja n > 0 um numero natural e f a funcao definida por f(x) = xn. Tem-se Df = Re
Imf =
{[0,+∞[ n par,R n ımpar.
2. Seja g a funcao definida por g(x) =√x. Tem-se Dg = [0,+∞[ e Img = [0,+∞[.
3. Seja f a funcao definida por x 7→ |x|. Tem-se Df = R e Imf = [0,+∞[.
4. Uma funcao f : D → E diz-se constante se existir um elemento c ∈ E tal que, paratodo o x ∈ D, f(x) = c; a imagem de f e o conjunto Imf = {c} e o grafico de f ea recta y = c.
5. Seja n ∈ N. Uma funcao f : R→ R dada por
f(x) = anxn + · · · a1x+ a0,
onde a0, . . . , an sao numeros reais fixos tais que an 6= 0, denomina-se funcao polino-mial de grau n. Nota-se que o grafico de uma funcao polinomial de grau ≤ 1 e umarecta.
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6. Uma funcao racional f e uma funcao dada por f(x) =p(x)
q(x)onde p e q sao duas
funcoes polinomiais; o domınio de f e o conjunto Df = {x ∈ R | q(x) 6= 0}.
7. As funcoes trigonometricas seno, co-seno e tangente sao denotadas por sen , cos etg . Tem-se Dsen = Dcos = R e Dtg = R \ {π
2+ kπ | k ∈ Z}. Recorde-se a formula
fundamental cos 2x+ sen 2x = 1 (x ∈ R).
8. Seja a > 0 um numero real. A funcao f : R→ R definida por f(x) = ax denomina-se funcao exponencial de base a. A funcao exponcial de base e e particularmenteimportante.
9. Sejam a > 1 e x > 0 numeros reais. Entao existe um unico numero real t tal queat = x. Este numero t denomina-se logaritmo de x na base a e indica-se por loga x.A funcao f : ]0,+∞[→ R definida por x 7→ loga x e chamada funcao logarıtmica nabase a. Usa-se a abreviacao lnx = loge x.
1.1.4 Operacoes com funcoes
Operacoes algebricas
Sejam f : D → E e g : D → E (D,E ⊆ R) duas funcoes.
(a) A soma de f e g e a funcao f + g : D → R dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x).
(b) Para uma constante c ∈ R, a funcao c · f : D → R dada por (c · f)(x) = c · f(x) e oproduto de f por c.
(c) O produto de f e g e a funcao f · g : D → R dada por (f · g)(x) = f(x) · g(x).
(d) Se g(x) 6= 0 para todo o x ∈ D, a funcaof
g: D → R definida por (
f
g)(x) =
f(x)
g(x)e
o quociente de f e g .
Composicao
Sejam X, Y e Z subconjuntos de R e f : X → Y e g : Y → Z duas funcoes. A funcaog ◦ f : X → Z definida por
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
denomina-se funcao composta de g e f .
Exemplo. Consideremos a funcao f : R → [0,+∞[ dada por f(x) = x2 e a funcaog : [0,+∞[→ R dada por g(y) =
√y. A funcao composta g ◦ f : R→ R e dada por
(g ◦ f)(x) =√x2 = |x|.
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1.2 Limites e Continuidade
Definicao. A aderencia de uma reuniao finita de intervalos e a reuniao dos intervalosfechados correspondentes. A aderencia de D e denotada por D.
Definicao. Sejam f : D → E uma funcao, a ∈ D e L um numero real. Dizemos que ftende para L quando x tende para a se, para todo o numero real ε > 0 existe um numeroreal δ > 0 tal que, para todo o x ∈ D \ {a},
a− δ < x < a+ δ ⇒ L− ε < f(x) < L+ ε.
O numero real L diz-se limite de f quando x tende para a e escrevemos limx→a
f(x) = L. De
maneira semelhante definem-se limites infinitos.
Definicao. Sejam f : D → E uma funcao e a ∈ D. Dizemos que f e contınua em ase lim
x→af(x) = f(a). A funcao f diz-se contınua se f e contınua em todo o ponto do seu
domınio.
Proposicao. Sejam f : D → R e g : D → R duas funcoes contınuas e c ∈ R umaconstante. Entao as funcoes f + g, cf e fg sao contınuas. Se g(x) 6= 0 para todo o
x ∈ D, entao a funcaof
ge contınua.
Proposicao. Sejam f : D → E e g : E → F duas funcoes contınuas. Entao a funcaocomposta g ◦ f : D → F e contınua.
Exemplos
1. Todas as funcoes da seccao 1.1.3 sao contınuas.
2. A funcao χQ : R→ R definida por
χQ(x) =
{1 se x ∈ Q,0 se x /∈ Q.
e descontınua em todo o ponto x ∈ R.
1.3 Funcoes derivaveis
1.3.1 Derivadas
Definicao. Uma funcao f : D → E diz-se diferenciavel ou derivavel em a ∈ D se olimite
limx→a
f(x)− f(a)
x− aexiste e e finito. Se f e derivavel em a, o valor deste limite chama-se derivada de f em
a e indica-se por f ′(a) oudf
dx(a). A funcao f diz-se derivavel se e derivavel em todos
os pontos de D. A funcao f diz-se derivavel num subconjunto A ⊆ D se e derivavel emtodos os pontos de A. Se f e derivavel, entao a funcao f ′ : D → R, x 7→ f ′(x) e chamada
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derivada de f .
Exemplos. (a) A funcao f : R→ R definida por f(x) = x e derivavel.(b) A funcao f(x) = |x| e derivavel em R\{0}. Esta funcao, mesmo que contınua em
0, nao e derivavel em 0.
Teorema. Sejam f : D → E uma funcao e a ∈ D. Se f e derivavel em a, entao f econtınua em a.
Equacao da tangente
Seja f : D → E uma funcao. Se f e derivavel num ponto a ∈ D, entao o grafico de f temuma recta tangente em a cuja equacao e
y = f(a) + f ′(a)(x− a).
1.3.2 Regras de derivacao
Regras algebricas
Sejam f, g : D → R duas funcoes derivaveis em a ∈ D. Entao
(i) a funcao f + g e derivavel em a e
(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a);
(ii) para toda a constante k ∈ R, a funcao k · f e derivavel em a e
(k · f)′(a) = k · f ′(a);
(iii) a funcao f · g e derivavel em a e
(f · g)′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a);
(iv) se, para todo o x ∈ D, g(x) 6= 0, entao a funcaof
ge derivavel em a e
(f
g
)′(a) =
f ′(a) · g(a)− f(a) · g′(a)
g(a)2.
Regra da cadeia
Sejam f : D → E e g : E → F duas funcoes e a ∈ D. Se f e derivavel em a e g e derivavelem f(a), entao a funcao composta g ◦ f e derivavel em a e
(g ◦ f)′ (a) = g′(f(a)) · f ′(a).
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1.3.3 Exemplos
Sao validas as seguintes formulas de derivacao:
1. (xn)′ = nxn−1 (n ∈ N\{0}, x ∈ R);
2. (x−n)′ = −nx−n−1 (n ∈ N, x ∈ R\{0});
3. (ex)′ = ex (x ∈ R);
4. (lnx)′ =1
x(x > 0);
5. (senx)′ = cosx (x ∈ R);
6. (cosx)′ = −senx (x ∈ R);
7. (tg x)′ =1
cos 2x= 1 + tg 2x (x 6= π
2+ kπ, k ∈ Z);
8. (ax)′ = ax ln a (a > 0, x ∈ R);
9. (xρ)′ = ρxρ−1 (ρ ∈ R, x > 0);
10. (√x)′ =
1
2√x
(x > 0).
1.3.4 Teoremas fundamentais sobre funcoes derivaveis
Definicao. Sejam f : D → R uma funcao e c ∈ D.
• f diz-se crescente se, quaisquer que sejam x, y ∈ D,
x < y ⇒ f(x) ≤ f(y).
• f diz-se estritamente crescente se, quaisquer que sejam x, y ∈ D,
x < y ⇒ f(x) < f(y).
• f diz-se decrescente se, quaisquer que sejam x, y ∈ D,
x < y ⇒ f(x) ≥ f(y).
• f diz-se estritamente decrescente se, quaisquer que sejam x, y ∈ D,
x < y ⇒ f(x) > f(y).
• f diz-se monotona se f e crescente ou decrescente.
• f diz-se estritamente monotona se f e estritamente crescente ou estritamentedecrescente.
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• Diz-se que f tem um maximo local em c se existe δ > 0 tal que f(x) ≤ f(c) paratodo o x ∈]c− δ, c+ δ[∩D.
• Diz-se que f tem um mınimo local em c se existe δ > 0 tal que f(x) ≥ f(c) paratodo o x ∈]c− δ, c+ δ[∩D.
• Diz-se f tem um extremo local em c se f tem um maximo ou um mınimo local emc.
Seja A ⊆ D um subconjunto do domınio de f . A funcao f diz se crescente, decrescente,estritamente crescente, ... em A se a restricao de f a A, isto e a funcao f |A : A → Edefinida por f |A(x) = f(x), e crescente, decrescente, estritamente crescente, ...
Proposicao. Seja f :]a, b[→ E uma funcao derivavel. Se f tem um extremo local emc ∈]a, b[, entao f ′(c) = 0.
Teorema de Lagrange. Se f e contınua em [a, b] e derivavel em ]a, b[, entao existe
pelo menos um c ∈]a, b[ tal que f ′(c) =f(b)− f(a)
b− a.
Corolario 1. Seja f contınua em [a, b] e derivavel em ]a, b[. Se f ′(x) = 0 para todo ox ∈]a, b[, entao f e constante em [a, b].
Corolario 2. (Monotonia das funcoes reais) Seja f uma funcao contınua, definida numintervalo I. Seja J o maior intervalo aberto contido em I. Suponhamos que f e derivavelem J .
(i) Se f ′(x) ≥ 0 para todo o x ∈ J , entao f e crescente em I.
(ii) Se f ′(x) > 0 para todo o x ∈ J , entao f e estritamente crescente em I.
(iii) Se f ′(x) ≤ 0 para todo o x ∈ J , entao f e decrescente em I.
(iv) Se f ′(x) < 0 para todo o x ∈ J , entao f e estritamente decrescente em I.
1.3.5 Estudo de funcoes
O estudo de uma funcao real f inclui a determinacao do domınio de f , a discussao daspropriedades de monotonia e de concavidade de f , a determinacao dos extremos locais edos pontos de inflexao de f e o esboco do grafico de f .
Derivadas de ordem superior
Uma funcao derivavel f : D → E diz-se derivavel ate a 2a ordem se a derivada f ′ forderivavel. A derivada de f ′ denomina-se derivada de 2a ordem de f e e indicada por f ′′
ou por f (2). De modo analogo, define-se as derivadas de ordens superiores a 2 de f .
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Pontos crıticos e extremos locais
Seja f : D → E uma funcao derivavel. Um ponto c ∈ D diz-se ponto crıtico de f sef ′(c) = 0. Sabemos da seccao 1.3.4 que os extremos locais de uma funcao derivavel numintervalo aberto sao pontos crıticos da funcao.
Proposicao. Sejam I um intervalo, f : I → E uma funcao derivavel ate a 2a ordem ec ∈ I um ponto crıtico de f .
(i) Se f ′′(c) < 0, entao f tem um maximo local em c.
(ii) Se f ′′(c) > 0, entao f tem um mınimo local em c.
Proposicao. Sejam f : D → E uma funcao contınua e c ∈ D. Entao f tem um mınimo(respectivamente maximo) local em c se existe um numero real r > 0 tal que f e crescente(resp. decrescente) em D∩]c, c+ r[ e decrescente (resp. crescente) em D∩]c− r, c[.
Concavidade e pontos de inflexao
Definicao. Sejam f : D → E uma funcao derivavel e I ⊆ D um intervalo.
1. Diz-se que f tem concavidade para cima em I se
∀x, a ∈ I f(x) ≥ f(a) + f ′(a)(x− a).
2. Diz-se que f tem concavidade para baixo em I se
∀x, a ∈ I f(x) ≤ f(a) + f ′(a)(x− a).
3. Um ponto c ∈ D diz-se ponto de inflexao de f se existe um numero real r > 0 talque ]c− r, c+ r[⊆ D e f tem
– concavidade para cima mas nao para baixo em ]c− r, c[ e concavidade para baixomas nao para cima em ]c, c+ r[
– ou concavidade para baixo mas nao para cima em ]c − r, c[ e concavidade paracima mas nao para baixo em ]c, c+ r[.
Teorema. Sejam f : D → E uma funcao derivavel ate a 2a ordem e I ⊆ D umintervalo. Entao
(i) f tem concavidade para cima em I se e so se f ′′(x) ≥ 0 para todo o x ∈ I;
(ii) f tem concavidade para baixo em I se e so se f ′′(x) ≤ 0 para todo o x ∈ I.
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1.3.6 Funcoes inversas
Definicao. Uma funcao f : D → E diz-se bijectiva se, para cada y ∈ E, a equacaof(x) = y admite uma unica solucao. A funcao E → D que faz corresponder a cada y ∈ Eo unico x ∈ D tal que f(x) = y e chamada funcao inversa de f e e indicada por f−1.
Atencao! A notacao f−1 e reservada pela funcao inversa de f . Em geral, f−1(x) 6=f(x)−1 (= 1
f(x)).
Observacoes. (i) Seja f : D → E uma funcao. Se existir uma funcao g : E → D talque f(g(y)) = y para todo o y ∈ E e g(f(x)) = x para todo o x ∈ D, entao f e bijectivae g = f−1.
(ii) Seja f uma funcao bijectiva. Entao os graficos das funcoes f e f−1 sao simetricosem relacao a recta y = x.
Exemplos. (i) A funcao f : R\{0} → R\{0}, f(x) =1
xe bijectiva e a funcao inversa e
dada por f−1(y) =1
y. Neste exemplo temos f−1 = f .
(ii) Para todo o ρ ∈ R\{0}, a funcao f :]0,+∞[→]0,+∞[ definida por f(x) = xρ e
bijectiva e a funcao inversa e dada por f−1(y) = y1ρ .
(iii) Para qualquer a > 1, a funcao f : R→]0,+∞[ definida por f(x) = ax e bijectiva ea funcao inversa e dada por f−1(y) = loga y. Em particular, a funcao f(x) = ex e bijectivae f−1(y) = ln y.
Teorema. Seja f uma funcao bijectiva definida num intervalo I. Se f e derivavel emx ∈ I e f ′(x) 6= 0, entao a funcao inversa f−1 e derivavel em y = f(x) e
(f−1)′(y) =1
f ′(x)=
1
f ′(f−1(y)).
Funcoes trigonometricas inversas
1. A funcao sen : [−π2,π
2]→ [−1, 1] e bijectiva. A funcao inversa e chamada arco-seno
e e indicada por arcsen . A funcao arco-seno e derivavel em ]− 1, 1[ e
arcsen ′(x) =1√
1− x2(−1 < x < 1).
2. A funcao cos : [0, π]→ [−1, 1] e bijectiva. A funcao inversa e chamada arco-co-senoe e indicada por arccos . A funcao arco-co-seno e derivavel em ]− 1, 1[ e
arccos ′(x) = − 1√1− x2
(−1 < x < 1).
3. A funcao tg :] − π
2,π
2[→ R e bijectiva. A funcao inversa e chamada arco-tangente
e e indicada por arctg . A funcao
arctg : R→]− π
2,π
2[
11
e derivavel. A derivada da funcao arco-tangente e dada por
arctg ′(x) =1
1 + x2(x ∈ R).
2 Calculo integral em R
2.1 Primitivas
Definicao. Seja f uma funcao definida num intervalo I. Uma funcao derivavelF : I → R diz-se primitiva de f se, para todo o x ∈ I, F ′(x) = f(x).
Exemplo. A funcao F : R → R dada por F (x) =1
2x2 e uma primitiva da funcao
f : R→ R, f(x) = x.
Proposicao. Sejam f uma funcao definida num intervalo I e F : I → R uma primitivade f . Entao uma funcao G : I → R e uma primitiva de f se e so se existe uma constanteC ∈ R tal que, para todo o x ∈ I, G(x) = F (x) + C.
Exemplo. As primitivas da funcao f : R → R dada por f(x) = x sao as funcoes
F : R→ R, F (x) =1
2x2 + C, C ∈ R.
O sımbolo∫f(x)dx
Sejam f uma funcao definida num intervalo I e F : I → R uma primitiva de f . Vamosexprimir o facto que as primitivas de f sao as funcoes G : I → R da forma G(x) =F (x) + C, onde C ∈ R e uma constante, escrevendo∫
f(x)dx = F (x) + C, C ∈ R.
Assim, a formula ∫x2dx =
1
3x3 + C, C ∈ R
significa que as s primitivas da funcao f : R → R dada por f(x) = x2 sao as funcoes
G : R→ R da forma G(x) =1
3x3 + C, onde C ∈ R e uma constante.
Primitivas fundamentais
Sao validas as seguintes formulas de primitivacao em qualquer intervalo contido no domıniodas funcoes:
1.∫k dx = kx+ C, C ∈ R (k ∈ R);
2.∫xα dx =
1
α + 1xα+1 + C, C ∈ R (α 6= −1);
3.∫ 1
xdx = ln |x|+ C, C ∈ R;
12
4.∫ex dx = ex + C, C ∈ R;
5.∫
cosx dx = senx+ C, C ∈ R;
6.∫
senx dx = −cosx+ C, C ∈ R;
7.∫ 1
cos 2xdx = tg x+ C, C ∈ R;
8.∫ 1
x2 + 1dx = arctg x+ C, C ∈ R.
2.2 Regras de primitivacao
2.2.1 Linearidade
1. Sejam f e g duas funcoes definidas num intervalo I, F uma primitiva de f e Guma primitiva de g. Entao a funcao F + G : I → R e uma primitiva da funcaof + g : I → R.
Exprimimos este facto tambem escrevendo∫(f(x) + g(x))dx =
∫f(x)dx+
∫g(x)dx.
2. Sejam f uma funcao definida num intervalo I, F uma primitiva de f e k ∈ R umaconstante. Entao a funcao k · F : I → R e uma primitiva da funcao k · f : I → R.
Exprimimos este facto tambem escrevendo∫k · f(x)dx = k ·
∫f(x)dx.
Exemplo. Temos ∫3x2 − 2x4dx =
∫3x2dx+
∫−2x4dx
= 3
∫x2dx− 2
∫x4dx
= 3 · 1
3x3 − 2 · 1
5x5 + C
= x3 − 2
5x5 + C, C ∈ R.
2.2.2 Primitivas imediatas
Sejam I eJ dois intervalos e f : I → J e g : J → R duas funcoes derivaveis. Entao∫g′(f(x))f ′(x)dx = g(f(x)) + C, C ∈ R.
Exemplos. (i) Temos∫xex
2
dx =1
2
∫ex
2 · 2xdx =1
2ex
2
+ C, C ∈ R.13
(ii) Seja u : I → J uma funcao derivavel com J ⊆]0,+∞[ ou J ⊆] −∞, 0[. Entao afuncao x 7→ |u(x)| e derivavel em I e∫
u′(x)
u(x)dx =
∫(|u(x)|)′
|u(x)|dx
=
∫ln′(|u(x)|) · (|u(x)|)′dx
= ln |u(x)|+ C, C ∈ R.
Assim temos ∫tg xdx = −
∫−senx
cosxdx = − ln |cosx|+ C, C ∈ R
em qualquer intervalo contido no domınio da funcao tg .
2.2.3 Primitivacao por partes
Sejam f e g derivaveis num intervalo I e H uma primitiva da funcao f ·g′ : I → R. Entaoa funcao f · g −H e uma primitiva da funcao f ′ · g : I → R.
Exprimimos este facto tambem escrevendo∫f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x)−
∫f(x)g′(x) dx.
Exemplo. Temos ∫xsenx dx = x(−cosx)−
∫1 · (−cosx) dx
= −xcosx+ senx+ C, C ∈ R.
2.2.4 Primitivacao por substituicao
Teorema. Seja f uma funcao definida num intervalo I. Sejam J um intervalo, g :J → I uma funcao bijectiva derivavel cuja derivada nunca se anula e H : J → R umaprimitiva da funcao (f ◦g) ·g′. Entao a funcao F : I → R definida por F (x) = H(g−1(x))e uma primitiva de f , breve :∫
f(x)dx =
[∫f(g(t))g′(t)dt
]t=g−1(x)
.
O teorema permite determinar as primitivas de f fazendo em∫f(x)dx a substituicao
x = g(t) e dx = g′(t)dt
e calculando portanto∫f(g(t))g′(t)dt em vez de
∫f(x)dx; voltando no resultado a variavel
x com a substituicao t = g−1(x) obtemos as primitivas de f .
Exemplo. Pretende-se determinar as primitivas da funcao f : ]1,+∞[→ R dada por
f(x) = ln√x− 1.
14
A funcao g : ]0,+∞[→]1,+∞[, t 7→ t2+1, e bijectiva e derivavel e, para todo o t ∈]0,+∞[,g′(t) = 2t > 0. Podemos entao fazer a substituicao x = t2 + 1, dx = 2t dt. Temos∫
ln(√t2 + 1− 1)2t dt =
∫2t ln t dt
= t2 ln t−∫t2
1
tdt
= t2 ln t−∫t dt
= t2 ln t− t2
2+ C, C ∈ R.
Voltando a variavel x com a substituicao t =√x− 1 obtemos∫
ln√x− 1 = (x− 1) ln
√x− 1− x− 1
2+ C, C ∈ R.
2.3 Integral de Riemann
Sucessoes. Uma sucessao e uma funcao
n 7→ an,
a valores reais, cuja domınio e um subconjunto de N da forma {n ∈ N |n ≥ q} onde q ∈ Ne um numero natural fixo. Costuma-se definir uma sucessao dizendo, por exemplo, “Seja(an)n≥3 a sucessao de termo geral an = . . . ”. Dizemos que uma sucessao (an)n≥q convergepara a ∈ R se, para todo o ε > 0, existe N ∈ N tal que para todo o n ≥ N ,
a− ε < an < a+ ε.
Uma sucessao diz-se convergente se existe a ∈ R tal que a sucessao converge para a. Estenumero a diz-se o limite da sucessao e escrevemos
limn→+∞
an = a.
Uma sucessao que nao e convergente diz-se divergente.
Notacao. Sejam (an)n≥q uma sucessao e l, k ∈ N tais que q ≤ l ≤ k. Definimos
k∑i=l
ai = al + al+1 + · · ·+ ak.
Assim, por exemplo,7∑i=3
1
i=
1
3+
1
4+
1
5+
1
6+
1
7
ek∑i=1
i = 1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2.
15
Teorema. Seja f contınua em [a, b]. Entao a sucessao (sn)n≥1 de termo geral
sn =n−1∑i=0
f(a+ i · b− an
) · b− an
e convergente.
Definicao. Seja f contınua em [a, b]. O integral (de Riemann) de f e o numero real
b∫a
f(x)dx = limn→∞
n−1∑i=0
f(a+ i · b− an
) · b− an
.
Exemplo Para qualquer constante c ∈ R,
b∫a
cdx = limn→∞
n−1∑i=0
c · b− an
= limn→∞
(c · b− an
+ · · ·+ c · b− an
)
= limn→∞
(c · n · b− an
)
= limn→∞
(c · (b− a))
= c · (b− a).
2.4 Teoremas fundamentais sobre integrais
Sejam f contınua num intervalo I e a, b ∈ I tais que a < b. Definimos
a∫b
f(x)dx = −b∫
a
f(x)dx e
a∫a
f(x)dx = 0.
Teorema. Sejam f contınua num intervalo I e a, b, c ∈ I. Entao
b∫a
f(x)dx =
c∫a
f(x)dx+
b∫c
f(x)dx.
Teorema do valor medio do calculo integral. Seja f contınua em [a, b]. Entaoexiste c ∈ [a, b] tal que
b∫a
f(x)dx = f(c)(b− a).
Teorema fundamental do Calculo. Sejam f contınua num intervalo I e a, b ∈ I.Entao
16
(i) a funcao F : I → R definida por
F (x) =
x∫a
f(t)dt
e uma primitiva de f ;
(ii) para qualquer primitiva G de f ,
b∫a
f(x)dx = G(b)−G(a).
Exemplo.π∫0
senxdx = −cos π + cos 0 = 2.
Notacao. Para uma funcao F e a, b ∈ DF escrevemos tambem [F (x)]ba em vez deF (b) − F (a). Do mesmo modo exprimimos a parte (ii) do Teorema fundamental doCalculo escrevendo
b∫a
f(x)dx =
[∫f(x)dx
]ba
.
2.5 Regras de integracao
2.5.1 Linearidade
1. Sejam f e g contınuas em [a, b]. Entao
b∫a
(f(x) + g(x))dx =
b∫a
f(x)dx+
b∫a
g(x)dx.
2. Sejam f contınua em [a, b] e k ∈ R uma constante. Entao
b∫a
k · f(x)dx = k ·b∫
a
f(x)dx.
2.5.2 Integracao por partes
Definicao. Seja n ≥ 1 um numero natural. Uma funcao f : D → E diz-se de classeCn se ela e derivavel ate a ordem n e se a n-esima derivada de f e contınua. Uma funcaof : D → E diz-se de classe C∞ se ela admite derivadas de todas as ordens.
Proposicao. Sejam f e g de classe C1 em [a, b]. Entao
b∫a
f ′(x)g(x)dx = [f(x)g(x)]ba −b∫
a
f(x)g′(x)dx.
17
Exemplo. Pretende-se determinarπ∫0
excosx dx. As funcoes ex e cos x sao de classe C∞
em R e entao de classe C1 em [0, π]. Fazendo as duas integracoes por partes possıveisobtemos
π∫0
excosx dx = [excosx]π0 +
π∫0
exsenx dx
eπ∫
0
excosx dx = [exsenx]π0 −π∫
0
exsenx dx.
Logo
2 ·π∫
0
excosx dx = [excosx]π0 + [exsenx]π0
ou seja
π∫0
excosx dx =1
2(eπcosπ − e0cos 0
+eπsen π − e0sen 0)
=1
2(−eπ − 1)
= −1
2(eπ + 1).
2.5.3 Integracao por substituicao ou mudanca de variaveis
Teorema. Sejam f contınua em [a, b], I um intervalo, g : I → [a, b] de classe C1 eα, β ∈ I tais que g(α) = a e g(β) = b. Entao
b∫a
f(x)dx =
β∫α
f(g(t))g′(t)dt.
Nota. Se compararmos as hipoteses do teorema acima e aquelas do teorema de pri-mitivacao por substituicao (6.2.4) podemos observar a seguinte diferenca: Numa primi-tivacao por substituicao a mudanca de variaveis g tem de ser uma funcao derivavel bi-jectiva cuja derivada nunca se anula; no teorema acima a funcao g tem de ser de classe C1.
Exemplo. Pretende-se calcular1∫−1
arcsenx dx. A funcao g : [−π2,π
2]→ [−1, 1] definida
porg(t) = sen t
e de classe C1 e temos g(−π2
) = −1 e g(π
2) = 1. Podemos entao fazer a substituicao
x = sen t, dx = cos t dt.18
(Nota-se que g e bijectiva e derivavel mas g′(−π2
) = g′(π
2) = 0.) Temos
1∫−1
arcsenx dx =
π2∫
−π2
arcsen (sen t)cos t dt
=
π2∫
−π2
tcos t dt
= [tsen t]π2
−π2−
π2∫
−π2
sen t dt
= [tsen t]π2
−π2
+ [cos t]π2
−π2
= [tsen t+ cos t]π2
−π2
=π
2+ 0− (
π
2+ 0)
= 0.
19
3 Equacoes diferenciais
Uma equacao diferencial ordinaria (EDO) de 1a ordem e uma equacao cuja incognita euma funcao real de uma variavel real e que se escreve em termos da variavel (denotada,por exemplo, por x), da funcao incognita (denotada, por exemplo, por y) e da sua derivada(denotada por y′).
3.1 Equacoes diferenciais lineares
Definicao. Seja I ⊆ R um intervalo aberto. Uma equacao diferencial (ordinaria) linearde 1a ordem em I e uma equacao diferencial da forma
(∗) a(x)y′(x) + b(x)y(x) = c(x)
onde a, b e c sao funcoes (conhecidas) contınuas em I tais que para todo o x ∈ I, a(x) 6= 0.Costuma-se indicar o domınio I da equacao diferencial na propria equacao escrevendo
a(x)y′(x) + b(x)y(x) = c(x), x ∈ I.
Se nao se dizer nada sobre o domınio da equacao diferencial supoe-se I = R.Uma funcao derivavel y definida em I que satizfaz a condicao (∗) diz-se solucao da
equacao diferencial (∗). A equacao diferencial linear (∗) diz-se homogenea se a funcaoc(x) e constante igual a 0. Uma equacao diferencial linear com coeficientes constantes euma equacao diferencial linear da forma (∗) em que as funcoes a(x) e b(x) sao constantes.
Resolucao das equacoes diferenciais lineares de 1a ordem
Uma maneira de resolver uma equacao diferencial linear
(∗) a(x)y′(x) + b(x)y(x) = c(x), x ∈ I
consiste no seguintes passos:
• Transformar a equacao (∗) na equacao
(∗∗) y′(x) + p(x)y(x) = q(x)
em que p(x) =b(x)
a(x)e q(x) =
c(x)
a(x). As duas equacoes diferenciais sao equivalentes,
isto e, tem as mesmas solucoes.
• Determinar uma primitiva P de p.
• Multiplicar a equacao (∗∗) por eP (x). Obtem-se uma equacao equivalente em que olado esquerdo e
eP (x)y′(x) + eP (x)p(x)y(x) = (y(x)eP (x))′.
• Determinar uma primitiva Q da funcao do lado direito da equacao obtida no passoanterior, isto e da funcao eP (x)q(x). A equacao diferencial e entao equivalente aequacao
eP (x)y(x) = Q(x) + C, C ∈ Rque ja nao e uma equacao diferencial.
20
• Resolver a ultima equacao em ordem a y(x). Obtem-se assim a solucao geral de (∗):y(x) = e−P (x)Q(x) + Ce−P (x), C ∈ R, x ∈ I.
Indica-se aqui novamente o domınio I.
Exemplo. Pretende-se resolver a equacao diferencial linear
(∗) x2y′(x) + y(x) = x3e1x , x ∈]0,+∞[.
No domınio da equacao (∗) temos
x2y′(x) + y(x) = x3e1x
⇔ y′(x) +1
x2y(x) = xe
1x
⇔ e−1xy′(x) + e−
1x
1
x2y(x) = xe
1x e−
1x
⇔ (e−1xy(x))′ = x
⇔ e−1xy(x) =
x2
2+ C, C ∈ R
⇔ y(x) =x2
2e
1x + Ce
1x , C ∈ R, x ∈]0,+∞[.
As solucoes da equacao diferencial linear (∗) sao as funcoes y :]0,+∞[→ R da forma
y(x) =x2
2e
1x + Ce
1x , C ∈ R.
Teorema. Sejam I ⊆ R um intervalo aberto e a, b e c funcoes contınuas em I tais quepara todo o x ∈ I, a(x) 6= 0. Entao para quaisquer numeros x0 ∈ I e y0 ∈ R, a equacaodiferencial linear
a(x)y′(x) + b(x)y(x) = c(x), x ∈ Iadmite uma unica solucao y que satizfaz a condicao inicial y(x0) = y0.
Exemplo. Pretende-se resolver o problema com condicao inicial
(∗){y′(x) + y(x) = 0y(0) = 2.
Temos
y′(x) + y(x) = 0
⇔ exy′(x) + exy(x) = 0
⇔ (exy(x))′ = 0
⇔ exy(x) = C, C ∈ R⇔ y(x) = Ce−x, C ∈ R.
Ora,y(0) = 2⇔ C = 2.
A solucao do problema com condicao inicial (∗) e a funcao y : R→ R dada por
y(x) = 2e−x.21
3.2 Equacoes diferenciais separaveis
Definicao. Uma equacao diferencial separavel e uma equacao diferencial da forma
(∗) y′(x) = g(x)h(y(x)), x ∈ I, y ∈ J
em que I e J sao intervalos abertos, g e uma funcao contınua definida em I e h e umafuncao contınua definida em J que nunca se anula. Se nao se dizer nada sobre umdos intervalos I e J supoe-se que este intervalo e R. Uma funcao derivavel y : I ′ → Jdefinida num intervalo aberto I ′ ⊆ I que satizfaz a condicao (∗) diz-se solucao da equacaodiferencial (∗). Uma solucao y : I ′ → J de (∗) diz-se maximal se nao existe nenhumasolucao y : I → J de (∗) com I ′ $ I e tal que para todo o x ∈ I ′, y(x) = y(x).
Resolucao das equacoes diferenciais separaveis
A resolucao de uma equacao diferencial separavel
(∗) y′(x) = g(x)h(y(x)), x ∈ I, y ∈ J
consiste nos seguintes passos:
• Como h nunca se anula, e possıvel “separar as variaveis” x e y e transformar aequacao (∗) na equacao diferencial equivalente
(∗∗) y′(x)
h(y(x))= g(x).
• Determinar uma primitiva H da funcao1
he substituir o lado esquerdo da equacao
(∗∗) por (H(y(x))′.
• Determinar uma primitiva G de g. A equacao diferencial e entao equivalente aequacao
H(y(x)) = G(x) + C, C ∈ R
que ja nao e uma equacao diferencial.
• Como a sua derivada nunca se anula, a funcao H : J → ImH e estritamentemonotona e entao bijectiva. Podemos entao substituir a ultima equacao por
y(x) = H−1(G(x) + C), C ∈ R.
• Determinar os valores possıveis para a constante C e, em funcao disso, o maiordomınio possıvel da solucao encontrada. Indica-se a solucao (maximal) geral de (∗)sob a forma
y(x) = H−1(G(x) + C), C ∈ . . . , x ∈ . . .
22
Exemplo. Pretende-se resolver a equacao diferencial
(∗) y′(x) = xy(x)3, x ∈ R, y > 0.
No domınio da equacao (∗) temos
y′(x) = xy(x)3
⇔ y′(x)y(x)−3 = x
⇔(−1
2y(x)−2
)′= x
⇔ −1
2y(x)−2 =
1
2x2 + C, C ∈ R
⇔ y(x)−2 = −x2 +K, K ∈ R
⇔ y(x)2 =1
−x2 +K, K ∈ R
⇔ y(x) =1√
−x2 +K, K ∈ R.
Tem-se
−x2 +K > 0
⇔ K > x2
⇔ K > 0 e x ∈]−√K,√K[.
A solucao geral de (∗) e dada por
y(x) =1√
−x2 +K, K > 0, x ∈]−
√K,√K[.
Teorema. Sejam I e J intervalos abertos, g uma funcao contınua definida em I e huma funcao contınua definida em J que nunca se anula. Entao para quaisquer numerosx0 ∈ I e y0 ∈ J , a equacao diferencial separavel
y′(x) = g(x)h(y(x)), x ∈ I, y ∈ J
admite uma unica solucao maximal y que satizfaz a condicao inicial y(x0) = y0.
Exemplo. Pretende-se determinar a solucao maximal do problema com condicao inicial
(∗){y′(x) = xy(x)3, x ∈ R, y > 0,y(0) = 1.
Pelo exemplo precedente a solucao geral da equacao diferencial dada e
y(x) =1√
−x2 + C, C > 0, x ∈]−
√C,√C[.
23
Temos
y(0) = 1
⇔ 1√C
= 1
⇔√C = 1
⇔ C = 1.
A solucao maximal do problema com condicao inicial (∗) e a funcao y : ]− 1, 1[→]0 +∞[dada por
y(x) =1√
−x2 + 1.
24
4 Calculo diferencial no plano
4.1 O plano R2
Indicamos por R2 o conjunto dos pares ordenados (x, y) em que x e y sao numeros reais.Os elementos de R2 sao chamados pontos ou vectores do plano R2. Dado um ponto (x, y)em R2, os numeros reais x e y sao as componentes ou coordenadas de (x, y).
4.1.1 O espaco vectorial R2
Dados (x, y), (x′, y′) ∈ R2 e um numero real λ definimos a soma (x, y)+(x′, y′) e o produtoλ · (x, y) pondo
(x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′),
λ · (x, y) = (λx, λy).
Estas operacoes fazem de R2 um R-espaco vectorial de dimensao 2 no qual o elementoneutro para a adicao e (0, 0) e o simetrico de (x, y) e −(x, y) = (−x,−y). Os vectorese1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) formam uma base de R2 a qual chamaremos base canonica de R2.
4.1.2 Norma e distancia
A norma de um vector (x, y) ∈ R2 e definida por
‖(x, y)‖ =√x2 + y2.
Geometricamente a norma de um vector (x, y) de R2 e o comprimento deste vector, istoe, a distancia de (x, y) a origem (0, 0). A distancia de dois pontos (x, y), (x′, y′) ∈ R2 edada pela norma
‖(x, y)− (x′, y′)‖ =√
(x− x′)2 + (y − y′)2.
4.1.3 Discos, conjuntos abertos e pontos de acumulacao
O disco (ou a bola fechada) de centro (a, b) ∈ R2 e raio r > 0 e o conjunto
Br(a, b) = {(x, y) ∈ R2 | (x− a)2 + (y − b)2 ≤ r2}.
Assim, o disco de centro (a, b) e raio r e o conjunto dos pontos de R2 cuja distancia aoponto (a, b) e menor ou igual a r.
Um subconjunto D ⊆ R2 diz-se aberto se para cada ponto (a, b) ∈ D existe um numeroreal r > 0 tal que Br(a, b) ⊆ D.
Um ponto (a, b) ∈ R2 diz-se ponto de acumulacao de um conjunto D ⊆ R2 se paratodo o numero real r > 0, D ∩Br(a, b) \ {(a, b)} 6= ∅.
25
4.2 Funcoes reais de duas variaveis reais
4.2.1 Conceitos basicos
Uma funcao real de duas variaveis reais e uma funcao f : D → E em que o domınio De um subconjunto de R2 e o conjunto de chegada E e um subconjunto de R. Assim, fassocia a cada elemento (x, y) de D um (e so um) numero real f(x, y).
Uma funcao f de duas variaveis a valores reais defina-se as vezes so por uma formula
f(x, y) = . . .
sem mencao explıcita do domınio e do conjunto de chegada. Quando tal ocorrer, ficaraimplıcito que o conjunto de chagada e R e o domınio e o maior subconjunto de R2 para oqual a regra em questao faz sentido. Nestes casos o domınio da funcao f sera designadopor Df .
Para uma funcao f : D → E de duas variaveis (D ⊂ R2, E ⊂ R) podemos consideraros seguintes conjuntos:
• a imagem de f , que e um subconjunto de R:
Imf = {f(x, y) | (x, y) ∈ D};
• o grafico de f , que e um subconjunto do espaco R3 = {(x, y, z) |x, y, z ∈ R}:
Gf = {(x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ D};
• a curva de nıvel k ∈ R, que e um subconjunto de R2:
f−1({k}) = {(x, y) ∈ D | f(x, y) = k}.
4.2.2 Limite de uma funcao num ponto de acumulacao
Sejam f : D → E uma funcao real de duas variaveis (D ⊆ R2 e E ⊆ R), (a, b) um pontode acumulacao de D e L ∈ R. Dizemos que f tende para L quando (x, y) tende para(a, b) se para todo o numero real ε > 0 existe um numero real δ > 0 tal que para todo o(x, y) ∈ D \ {(a, b)},
(x, y) ∈ Bδ(a, b) ⇒ |f(x, y)− L| < ε.
O numero real L diz-se limite de f quando (x, y) tende para (a, b) e escrevemos
lim(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L.
Exemplo. Para qualquer ponto (a, b) ∈ R2 tem-se
lim(x,y)→(a,b)
x = a
elim
(x,y)→(a,b)y = b.
26
4.2.3 Continuidade
Nesta seccao consideramos um conjunto D ⊆ R2 tal que todos os pontos de D sao pontosde acumulacao de D.
Definicao. Sejam f : D → E uma funcao real e (a, b) ∈ D. Dizemos que f e contınuaem (a, b) se
lim(x,y)→(a,b)
f(x, y) = f(a, b).
A funcao f diz-se contınua se e contınua em todos os pontos de D.
Proposicao. Sejam f e g duas funcoes contınuas definidas em D e c ∈ R uma cons-tante. Entao as funcoes f+g, cf, fg : D → R (definidas de maneira obvia) sao contınuas.
Se em cada ponto (x, y) ∈ D, g(x, y) 6= 0, entao a funcaof
g: D → R (definida de maneira
obvia) e contınua.
Proposicao. Se f : D → E e g : E → F (E,F ⊆ R) sao duas funcoes contınuas entaoa funcao composta g ◦ f : D → F definida por
g ◦ f(x, y) = g(f(x, y))
e contınua.
Exemplo. A funcao f : R2 → R definida por
f(x, y) = sen (xy) + e3x−y
e contınua.
4.3 Derivadas parciais e direccionais
Nesta seccao consideramos um conjunto aberto D ⊆ R2 e um ponto (a, b) de D.
4.3.1 Derivadas direccionais
Definicao. Sejam f uma funcao real definida em D e (v, w) um vector de R2. Aderivada direccional de f em (a, b) na direccao do vector (v, w) e, se existir, o limite
D(v,w)(a, b) = limt→0
f((a, b) + t(v, w))− f(a, b)
t.
Exemplo. Seja f : R2 → R a funcao dada por
f(x, y) = x2 + y2.
27
A derivada direccional de f em (0, 1) na direccao do vector (1, 2) e
D(1,2)f(0, 1) = limt→0
f((0, 1) + t(1, 2))− f(0, 1)
t
= limt→0
f(0 + 1t, 1 + 2t)− f(0, 1)
t
= limt→0
t2 + (1 + 2t)2 − 1
t
= limt→0
t2 + 1 + 4t+ 4t2 − 1
t= lim
t→05t+ 4
= 4.
4.3.2 Derivadas parciais
Seja f : D → E uma funcao real de duas variaveis x, y. A derivada direccional de f em(a, b) na direccao do vector e1 = (1, 0) e chamada a derivada parcial de f em ordem a x
em (a, b) e e denotada por∂f
∂x(a, b). Assim,
∂f
∂x(a, b) = lim
t→0
f(a+ t, b)− f(a, b)
t.
Do mesmo modo, a derivada direccional de f em (a, b) na direccao do vector e2 = (0, 1)
e chamada a derivada parcial de f em ordem a y em (a, b) e e denotada por∂f
∂y(a, b).
Assim,∂f
∂y(a, b) = lim
t→0
f(a, b+ t)− f(a, b)
t.
Se a derivada parcial em ordem a x existe em cada ponto de D entao a funcao real de-
finida em D por (x, y) 7→ ∂f
∂x(x, y) e chamada derivada parcial de f em ordem a x e e
denotada por∂f
∂x. De maneira analoga define-se a derivada parcial de f em ordem a y,
∂f
∂y.
Nota. A derivada parcial de f em ordem a x em (a, b) coincide com a derivada em ada funcao de uma variavel dada por
x 7→ f(x, b).
Assim, a derivada parcial de f em ordem a x obtem-se derivando f em ordem a variavelx, mantendo a variavel y constante. Analogamente a derivada parcial de f em ordem a yobtem-se derivando f em ordem a variavel y, considerando a variavel x constante.
Exemplo. Seja f : R2 → R a funcao dada por f(x, y) = x2 +xy2. As derivadas parciaisde f sao dadas por
∂f
∂x(x, y) = 2x+ y2 e
∂f
∂y(x, y) = 2xy.
28
Definicao. Uma funcao f definida em D diz-se de classe C1 se as derivadas parciais∂f
∂xe∂f
∂xexistem e sao contınuas.
Proposicao. Sejam f uma funcao de classe C1 em D e (v, w) ∈ R2 um vector. Entao
D(v,w)f(a, b) =∂f
∂x(a, b) · v +
∂f
∂y(a, b) · w.
4.3.3 Gradiente
Seja f uma funcao definida em D tal que as derivadas parciais de f em (a, b) existem. Ogradiente de f em (a, b) e o vector
∇f(a, b) =
(∂f
∂x(a, b),
∂f
∂y(a, b)
).
Teorema. Sejam f uma funcao de classe C1 em D e (v, w) ∈ R2 um vector. Suponhamosque ∇f(a, b) 6= (0, 0) e que ||(v, w)|| = 1. Entao:
(i) O valor maximo de D(v,w)f(a, b) e igual a ||∇f(a, b)|| e e atingido quando
(v, w) =∇f(a, b)
||∇f(a, b)||.
(ii) O valor mınimo de D(v,w)f(a, b) e igual a −||∇f(a, b)|| e e atingido quando
(v, w) = − ∇f(a, b)
||∇f(a, b)||.
Nota. Se ||(v, w)|| = 1, a derivada direccional D(v,w)f(a, b) mede a variacao da funcaoem (a, b) na direccao do vector (v, w). O teorema acima significa entao que
(i) o vector ∇f(a, b) aponta na direccao e no sentido em que f cresce mais rapidamente;
(ii) o vector −∇f(a, b) aponta na direccao e no sentido em que f decresce mais rapida-mente.
4.4 Extremos locais
4.4.1 Vocabulario
Sejam f uma funcao real de duas variaveis (D ⊆ R2, E ⊆ R) e (a, b) um ponto de D.
Dizemos que f tem um maximo local em (a, b) (ou que (a, b) e um ponto de maximo localde f) se existe um disco Br(a, b) (de centro (a, b) e raio r > 0) tal que para todo o ponto(x, y) ∈ Br(a, b) ∩D,
f(x, y) ≤ f(a, b).29
Dizemos que f tem um mınimo local em (a, b) (ou que (a, b) e um ponto de mınimolocal de f) se existe um disco Br(a, b) (de centro (a, b) e raio r > 0) tal que para todo oponto (x, y) ∈ Br(a, b) ∩D,
f(x, y) ≥ f(a, b).
Se f tiver um maximo ou um mınimo local em (a, b) dizemos que f tem um extremolocal em (a, b) e que (a, b) e um ponto de extremo local de f .
4.4.2 Pontos crıticos
Seja f uma funcao definida num aberto D ⊆ R2.
Proposicao. Se f tem um extremo local em (a, b) ∈ D e o gradiente ∇f(a, b) existeentao
∇f(a, b) = (0, 0).
Um ponto (a, b) em que o vector gradiente e nulo e chamado ponto crıtico de f . Existempontos crıticos que nao sao pontos de extremo local (por exemplo o ponto (0, 0) para afuncao f(x, y) = x2 − y2). Tais pontos sao chamados pontos de sela.
4.4.3 Derivadas parciais de segunda ordem
Seja f uma funcao real definida num aberto D ⊆ R2. Se existirem, as derivadas parciais∂f
∂xe∂f
∂ysao funcoes de duas variaveis (definidas em D) e podemos considerar as suas
derivadas parciais, caso existam. Estas funcoes sao as derivadas parciais de f de ordem2.
Notacao:
∂2f
∂x∂y=∂(∂f
∂y)
∂x,
∂2f
∂y∂x=∂(∂f
∂x)
∂y,
∂2f
∂x2=∂(∂f
∂x)
∂xe
∂2f
∂y2=∂(∂f
∂y)
∂y
Dizemos que f e uma funcao de classe C2 em D se as suas derivadas parciais de ordem 2existem e sao contınuas.
Teorema de Schwarz. Seja f uma funcao de classe C2 definida num aberto D ⊆ R2.Entao
∂2f
∂x∂y=
∂2f
∂y∂x.
30
4.4.4 Matriz Hessiana
Seja f uma funcao de classe C2 definida num aberto D ⊆ R2. Definimos a matriz Hessianade f em (a, b) ∈ D por
Hf(a, b) =
∂2f
∂x2(a, b)
∂2f
∂y∂x(a, b)
∂2f
∂x∂y(a, b)
∂2f
∂y2(a, b)
Pelo Teorema de Schwarz temos
∂2f
∂y∂x(a, b) =
∂2f
∂x∂y(a, b),
ou seja, a matriz e simetrica em relacao a diagonal. O determinante da matriz Hessianae entao dada por
det Hf(a, b) =∂2f
∂x2(a, b) · ∂
2f
∂y2(a, b)−
(∂2f
∂x∂y(a, b)
)2
.
Teorema. Sejam f uma funcao de classe C2 definida num aberto D ⊆ R2 e (a, b) ∈ Dum ponto crıtico de f .
(i) Se det Hf(a, b) > 0 e∂2f
∂x2(a, b) > 0 entao (a, b) e um ponto de mınimo local.
(ii) Se det Hf(a, b) > 0 e∂2f
∂x2(a, b) < 0 entao (a, b) e um ponto de maximo local.
(iii) Se det Hf(a, b) < 0 entao (a, b) e um ponto de sela.
(iv) Se det Hf(a, b) = 0 entao nada se pode dizer.
31
5 Integrais duplos
5.1 Funcoes integraveis
Sejam
R = [a, b]× [c, d]
= {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
um rectangulo e f : R→ R uma funcao. A uma particao
a = x0 < x1 < ...xi−1 < xi < ... < xn = b
do intervalo [a, b] em n intervalos e a uma particao
c = y0 < y1 < ...yj−1 < yj < ... < ym = d
do intervalo [c, d] em m intervalos associamos uma particao P do rectangulo R em nmrectangulos
Rij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj]
= {(x, y) ∈ R2 |xi−1 ≤ x ≤ xi, yj−1 ≤ y ≤ yj}.
A area do rectangulo Rij e o produto ∆xi∆yj onde ∆xi = xi − xi−1 e ∆yj = yj − yj−1.
Para cada par (i, j) de ındices escolhemos um elemento (xij, yij) ∈ Rij. O numero
n∑i=1
m∑j=1
f(xij, yij)∆xi∆yj
e chamado soma de Riemann de f relativa a particao P e a escolha dos pontos (xij, yij).
Dada uma tal particao P do rectangulo R, ∆ designara o maior dos numeros
∆x1, ...,∆xn,∆y1, ...,∆ym.
Seja L ∈ R um numero real. Diremos que a soma de Riemann
n∑i=1
m∑j=1
f(xij, yij)∆xi∆yj
tende para L quando ∆ tende para 0 se para todo o ε > 0 existe δ > 0 tal que quaisquerque sejam a particao P e os pontos (xij, yij),
∆ < δ ⇒ |n∑i=1
m∑j=1
f(xij, yij)∆xi∆yj − L| < ε.
Se existir, tal numero L e unico. Este numero e chamado integral duplo de f em B e eindicado por ∫ ∫
R
f(x, y) dxdy.
Se o integral duplo de f em R existe, dizemos que f e integravel em R.
Teorema. Se f e contınua entao f e integravel.32
5.2 Propriedades do integral
Proposicao. Sejam f e g duas funcoes reais comntınuas definidas num rectanguloR = [a, b]× [c, d] de R2 e λ ∈ R. Entao:
(a)
∫ ∫R
(f(x, y) + g(x, y)) dxdy =
∫ ∫R
f(x, y) dxdy +
∫ ∫R
g(x, y) dxdy
(b)
∫ ∫R
λf(x, y) dxdy = λ
∫ ∫R
f(x, y) dxdy
(c) f ≥ 0⇒∫ ∫
R
f(x, y) dxdy ≥ 0
(d) f ≥ g ⇒∫ ∫
R
f(x, y) dxdy ≥∫ ∫
R
g(x, y) dxdy.
Teorema de Fubini. Seja f uma funcao real contınua definida num rectangulo R =
[a, b] × [c, d]. Entao as funcoes [a, b] → R, x 7→∫ d
c
f(x, y)dy e [c, d] → R, y 7→∫ b
a
f(x, y)dx sao contınuas e
∫ ∫R
f(x, y) dxdy =
∫ b
a
∫ d
c
f(x, y) dy dx
=
∫ d
c
∫ b
a
f(x, y) dx dy.
5.3 Coordenadas polares
Seja (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} um ponto. Este ponto encontra-se na circunferencia de raior =
√x2 + y2 e de centro (0, 0). Existe entao θ ∈ R tal que
(x, y) = (rcos θ, rsen θ).
Aos numeros r, θ chama-se coordenadas polares de (x, y). Nota-se que r e unico mas θnao.
Sejam r1, r2, θ1, θ2 ∈ R tais que 0 ≤ r1 < r2 e θ1 < θ2 ≤ θ1 + 2π e seja f uma funcaoreal contınua definida no conjunto
B = {(rcos θ, rsen θ)| r1 ≤ r ≤ r2, θ1 ≤ θ ≤ θ2}.
Seja R = [−r2, r2]× [−r2, r2] e seja g : R→ R a funcao definida por
g(x, y) =
{f(x, y) se (x, y) ∈ B,0 se (x, y) /∈ B.
33
Entao g e integravel e define-se o integral de f em B por∫ ∫B
f(x, y) dxdy =
∫ ∫R
g(x, y) dxdy.
Teorema. Sejam r1, r2, θ1, θ2 ∈ R tais que 0 ≤ r1 < r2 e θ1 < θ2 ≤ θ1 + 2π e seja f umafuncao real contınua definida no conjunto
B = {(rcos θ, rsen θ)| r1 ≤ r ≤ r2, θ1 ≤ θ ≤ θ2}.
Seja R = [r1, r2]× [θ1, θ2]. Entao a funcao R→ R,
(r, θ) 7→ f(rcos θ, rsen θ)r
e contınua e ∫ ∫B
f(x, y) dxdy =
∫ ∫R
f(rcos θ, rsen θ)r drdθ.
5.4 Area e volume
Nesta seccao B designa ou um rectangulo [a, b]× [c, d] ou um conjunto da forma
{(rcos θ, rsen θ)| r1 ≤ r ≤ r2, θ1 ≤ θ ≤ θ2}
em que r1, r2, θ1, θ2 sao numeros reais tais que 0 ≤ r1 < r2 e θ1 < θ2 ≤ θ1 + 2π.
Definicao. (1) A area de B e o integral duplo
area(B) =
∫ ∫B
1dxdy.
(2) Sejam f, g : B → R duas funcoes contınuas tais que f(x, y) ≤ g(x, y) para todo o(x, y) ∈ B. O volume do conjunto
E = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ B, f(x, y) ≤ z ≤ g(x, y)}
e definido por
vol(E) =
∫ ∫B
g(x, y)− f(x, y)dxdy.
34
6 Topicos computacionais
6.1 Polinomio interpolador
Consideremos n+ 1 pontos (x0, y0), . . . , (xn, yn) de R2 tais que as abcissas x0, . . . , xn saotodas diferentes. Entao existe um unico polinomio p de grau ≤ n tal que p(xi) = yipara i = 0, . . . , n. Este polinomio e chamado polinomio interpolador de Lagrange para ospontos (x0, y0), . . . , (xn, yn) e e dado por
p(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + · · ·+ ynLn(x)
onde
Lk(x) =(x− x0) · · · (x− xk−1)(x− xk+1) · · · (x− xn)
(xk − x0) · · · (xk − xk−1)(xk − xk+1) · · · (xk − xn).
6.2 Metodo dos mınimos quadrados
Consideremos n+ 1 pontos (x0, y0), . . . (xn, yn) de R2. Existe uma unica recta
r(x) = ax+ b
que minimiza a soman∑i=0
(axi + b− yi)2.
Os coeficientes desta recta dos mınimos quadrados sao dados por
a =
n∑i=0
xin∑i=0
yi − (n+ 1)n∑i=0
xiyi(n∑i=0
xi
)2
− (n+ 1)n∑i=0
x2i
,
b =1
n+ 1
(n∑i=0
yi − an∑i=0
xi
).
Nota. O metodo dos mınimos quadrados estende-se a outros tipos de funcoes alem derectas.
6.3 Metodo de Newton
Seja f : [a, b]→ R uma funcao de classe C2 tal que
• f(a)f(b) < 0;
• f ′ nunca se anula;
• f ′′ ≥ 0 ou f ′′ ≤ 0.
Entao a equacaof(x) = 0
35
admite uma unica solucao ξ ∈ [a, b]. A solucao e dada por
ξ = limn→∞
xn
onde (xn)n∈N e a sucessao definida por
xn+1 = xn −f(xn)
f ′(xn)
e
x0 =
a se f(a) < 0, f(b) > 0, f ′′ ≤ 0
ou f(a) > 0, f(b) < 0, f ′′ ≥ 0,b caso contrario.
Para todo o n ∈ N tem-se
|xn − ξ| ≤|f(xn)|
minx∈[a,b]
|f ′(x)|.
Exemplo. Pretende-se determinar um valor aproximado x de√
2 tal que o erro |x−√
2|e menor do que 0, 001.
Consideremos a funcao f : [1, 2]→ R definida por
f(x) = x2 − 2.
Entao f e de classe C2. Temos
• f(1)f(2) = (−1)2 = −2 < 0;
• f ′(x) = 2x > 0 para todo o x ∈ [1, 2];
• f ′′(x) = 2 > 0 para todo o x ∈ [1, 2].
Logo√
2 = limn→∞
xn onde (xn)n∈N e a sucessao definida por x0 = 2 e
xn+1 = xn −x2n − 2
2xn=x2n + 2
2xn.
Tem-se minx∈[1,2]
|f ′(x)| = 2 e logo
|xn −√
2| ≤ |x2n − 2|
2.
Ora,|x2n − 2|
2< 0, 001⇔ 1, 998 < x2
n < 2, 002.
Basta entao calcular os termos da sucessao ate se verificar a condicao 1, 998 < x2n < 2, 002.
Temos x0 = 2 e x20 = 4 > 2, 002. Temos
x1 =x2
0 + 2
2x0
=4 + 2
4=
3
2
36
e x21 =
9
4> 2, 002. Temos
x2 =x2
1 + 2
2x1
=17
12
e x22 =
289
144> 2, 002. Temos
x3 =x2
2 + 2
2x2
=577
408e
x23 =
332929
166464=
2 · 166464 + 1
166464= 2 +
1
166464e portanto
1, 998 < 2 < x23 < 2 +
1
500= 2, 002.
Assim x =577
408e um valor aproximado de
√2 com |x−
√2| < 0, 001.
6.4 Regra do trapezio
Seja f : [a, b] → R uma funcao de classe C2. Seja M ∈ R tal que |f ′′(x)| ≤ M para todoo x ∈ [a, b]. Tem-se ∫ b
a
f(x)dx = limn→∞
n−1∑i=0
Tn,i
onde
Tn,i =
(f
(a+ i
b− an
)+ f
(a+ (i+ 1)
b− an
))b− a2n
.
Tem-se para qualquer n ≥ 1∣∣∣∣∣∫ b
a
f(x)dx−n−1∑i=0
Tn,i
∣∣∣∣∣ ≤ M(b− a)3
8n2.
Assim, para um dado ε > 0 a soman−1∑i=0
Tn,i e uma aproximacao do integral
∫ b
a
f(x)dx tal
que ∣∣∣∣∣∫ b
a
f(x)dx−n−1∑i=0
Tn,i
∣∣∣∣∣ < ε
desde que n >
√M(b− a)3
8ε.
37
