FIUBA 07-05-11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 1

1. Sea f(x, y) =

{x2 − y si x 6=

√3y

2 si x =√

3y

Describir el conjunto de los puntos de discontinuidad de f en coordenadas polares.

2. Sea ~G(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) con u(1, 2) = −1, v(1, 2) = 2, un campo vectorial de clase C2

definido en R2 cuya matriz jacobiana es

∂(u, v)

∂(x, y)=

(x2 2y

−x −y

)

y sea f(x, y) ={

[u(x, y)]2 + 2v(x, y)}2

. Hallar la derivada direccional de f en el punto (1, 2)

en la direccion del vector (1, 2).

3. Sea la curva C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 = a2 ∧ 2xz + y2 + 2y = 3}, con a ∈ R − {0} y S

la superficie parametrizada por ~σ(u, v) = (u + v2, 3u − v, 2u + v2) con (u, v) ∈ R2. Hallar, si

existe, un valor de a de modo tal que la recta tangente a C en el punto (0, 1, a) sea paralela a

la recta normal a S en el punto Q0 = (1/36, 1/6, 1/36).

4. Mostrar que la ecuacion eyz + xz+ 2z− x2 + 3 = 0 define a z = f(x, y) en un entorno de (1, 0).

Hallar la ecuacion del plano tangente al grafico de f en el punto (1, 0, z0).

5. a) Definir maximo absoluto para una funcion escalar definida en un subconjunto abierto

de R2.

b) Encontrar los extremos relativos de f(x, y) = x+ 8y +1

xyen el primer cuadrante,

(x > 0, y > 0), y clasificarlos.

FIUBA 09-05-11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 1

1. Sea f(x, y) =

{x2 + y2 − 9 si x · y ≥ 0

x+√

3y si x · y < 0

Graficar el conjunto de nivel cero de f y expresarlo en coordenadas polares.

2. Sea f : R2 → R una funcion C3(R2) cuyo polinomio de Taylor de grado 2 en (1,−2) es

p(x, y) = 3x− y + xy − 3. Hallar todos los valores de a 6= 0 de manera que la funcion

g(x, y) = (x− 1)f(x, y)− a(y + 2)2 tenga extremo en el (1,−2) y clasificarlo.

3. a) Enunciar la definicion de diferenciabilidad en un punto para un campo vectorial

~F : R2 → R2

b) Sea ~F (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) un campo vectorial diferenciable en R2 cuya matriz jaco-

biana en el punto (0, 0) es:

∂(u, v)

∂(x, y)(0, 0) =

(1 0

−2 −1

)con ~F (0, 0) = (2, 3), y sea h = g ◦ ~F , siendo g(u, v) = u2 + v.

Hallar un versor w tal que∂h

∂w(0, 0) sea nula.

4. Demostrar que (x2 + ln(x + z) − y, yz + exz − 1) = (0, 0) define una curva C regular en un

entorno del punto (1, 1, 0), y hallar un vector tangente a la curva en dicho punto.

5. Sean C la curva parametrizada por ~α(t) = (t3 − 1,1

t− 2, cos(t − 1)) con 0 < t < 2, y S la

superficie definida por: x3 + y3 + z3− xyz = 0. Determinar si la recta tangente a C en el punto

(0,−1, 1) esta contenida en el plano tangente a la superficie en dicho punto.

FIUBA 04-06-11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 1

1. Sea f(x, y) definida por

f(x, y) =

{x2 + y2 − 4 si y > 0

y2 − 3x2 si y ≤ 0

a) Hallar A = {(x, y) ∈ R2 : f(x, y) > 0} y describir el conjunto en coordenadas polares.

b) Analizar la continuidad de f en los puntos P0 = (0, 3) y Q0 = (−2, 0).

2. Dada la ecuacion 6 ex z − y z = 0

a) Mostrar que define a z = f(x, y) en un entorno de (0, 2, z0).

b) Si g(x, y) = f(x, y) + sen(x y) + y, hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto

(1, 0,−2) y es perpendicular al plano tangente al grafico de g en el punto (0, 2, g(0, 2)).

3. Sea S la superficie parametrizada por ~σ(u, v) = (u cos(v), u, u sen(v)) con (u, v) ∈ [1, 3]× [0, π]

y L la recta normal a S en el punto (0, 2, 2). Analizar si L tiene algun punto en comun con la

curva parametrizada por ~γ(t) = (3− t, t2 + 1, t− 1), t ∈ R.

4. Sea f : R2 → R, C3(R2), cuyo polinomio de Taylor de segundo orden en el punto (2, 2) es

p(u, v) = 14 + v2 − 2u v − u2. Si h(x, y) = f(x2 − 2 y, y2 + x y − 1), estimar el valor de

h(1.98, 1.02) usando una aproximacion lineal.

5. Sea f :R2 → R es una funcion estrictamente positiva y C3(R2) cuyo gradiente se anula solo en

P1 = (3,−3) y en P2 = (−3, 3), cuyo determinante Hessiano en esos puntos es no nulo, y tal

que en P1 tiene un maximo relativo de valor 10 y en P2 tiene un mınimo relativo de valor 5.

Estudiar los extremos de g(x, y) = 1f(x,y)

.

FIUBA 06-06-11 Analisis Matematico II Recuperatorio - Diferido

1. Sea f(x, y) =x2 + y2 − 4

x2 − y2, describir en coordenadas polares el Dominio de f(x, y) y el conjunto

de nivel cero de f(x, y).

2. Sea ~σ(t) = (cos(t), asen(t), bt/π) con 0 < t < 2π una parametrizacion de la curva C. Determinar

a, b ∈ R para que P0 = (0, 2, 1) pertenezca a la curva y ademas el vector tangente a C en P0

tenga la direccion del vector (3π, 0, 2).

3. Verificar que el punto (1, 0) es un punto estacionario de f(x, y) = y u(x), con u(x) definida

implıcitamente por la ecuacion u x+ eu − x = 0, y clasificarlo.

4. Sea h : R2 → R una funcion C2 calcular el gradiente de h en el punto (−1, 2), sabiendo la

ecuacion del plano tangente de g(x, y) = h ◦ ~F (x, y) en el punto (2, 1, z0) es z = 3 + 2y, siendo

~F : R2 → R2 una funcion C2 con ~F (2, 1) = (−1, 2) y la matriz de derivadas de ~F es:

D~F (2, 1) =

(1 3

−1 0

)

5. Sea f(x, y) =

ex3 + y3 − 1

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

Calcular todas las derivadas direccionales de f en el punto (0, 0).

FIUBA 30-06-11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 1

1. Sea la curva definida en coordenadas polares por la ecuacion r2(1 + cos2(θ))− 1 = 0. Hallar a

y b para que dicha curva sea el conjunto de nivel1

ede f(x, y) = eax

2+y2+b.

2. Hallar a ∈ R para que la recta interseccion de los planos de ecuaciones x+z = 1 y x−2y+z = 3

sea tangente a la superficie parametrizada por ~σ(u, v) = (1 + 2v, au + v2, 2uv) con (u, v) ∈ R2

en el punto (1,−1, 0)

3. Sea f es un campo escalar de clase C1 en el plano. Sabiendo que 2x2 − y3 = 7 es la ecuacion

de una curva de nivel 5 de f y que ∂f∂x

(2, 1) = 4, hallar la ecuacion del plano tangente al grafico

de f en el punto (2, 1, f(2, 1)).

4. Probar que para todo a ∈ R, a 6= 0, f(x, y, z) = ax+y

ax+

1

y+ ln(1 + z2) tiene un mınimo

relativo de valor 3.

5. Dada z = h(x − y, x y), h ∈ C2(R2), demostrar que en puntos de la recta y + x = 0 resulta∂2z∂x2 − ∂2z

∂y2= 0.

Ejercicio 2. Sea el campo escalar (x, y) = h(g(x, y)), donde g(x, y) = 2 3 (x1)2/2 (y2)

2+ 2 (x1) (y2), mientras que la función

escalar h: → es de clase C2(

2) y satisface h’(t) > 0 para todo t en . Estudiar los extremos de y clasificarlos.

Ejercicio 3. Dado el sistema { 2u + v = x, 4evy v = 4y}, siendo P0 = (x0, y0, u0, v0) = (2, 1, 1, 0) y A0 = (x0, y0) = (2, 1) se pide: (a)

Probar que el sistema define implícitamente los campos escalares u = u(x, y), v = v(x, y) en un entorno de A0; (b) Si w(x, y) ≝ [u(x, y)]

2, estimar mediante una aproximación lineal el valor de w en A1 = (1.98, 1.1).

Ejercicio 4. Determinar la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas (k ) dada por y = k (x+1), graficando la que pasa por el punto P0 = (0, 2) y su correspondiente trayectoria ortogonal.

Ejercicio 5. Determinar los puntos P0 = (x0, y0, z0) 3 y los valores de c para los que el vectorv = (1, 1, 2) resulte, en el

punto P0, tangente a la curva C intersección de las superficies S1 = {(x, y, z) 3: x2

+ y2

= 2cx} y S2 = {{(x, y, z) 3: z = 4 x2 y

2}.

Ejercicio 1. Para el campo escalar ( ) {

se pide: (a) determinar y graficar, para k = 0, 1,

1, los conjuntos de nivel Ck(); (b) Analizar la continuidad y diferenciabilidad en P0 = (0, 0).

Parcial 29/10/11

FIUBA 31-10-11 Analisis Matematico II Parcial - Complementario

1. Sea el campo escalar definido en R2 como f(x, y) =√x4 + y2. Analizar la existencia de:

a) la derivada direccional en la direccion y sentido del versor v = (0, 1) en el origen.

b) la derivada parcial de la funcion respecto de la variable y, tambien en el origen.

2. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1, |x| ≤ y/√

3}.

a) Describir al conjunto A usando coordenadas polares.

b) Hallar los extremos absolutos del campo escalar f : R2 → R definido por

f(x, y) =√

x4 + y2, restringidos a A.

3. Sea la ecuacion:

ln(x2 + y2 + z2 + w2) = −2x + 6y2 − 3z + ln(6)

a) Sabiendo que (x0, y0, z0, w0) = (0,−1, 2, 1) es una solucion de la ecuacion, probar que de

la misma se puede definir a w como funcion de (x, y, z) en un entorno del punto (0,−1, 2).

b) Si S = {(x, y, z) ∈ R3 : w(x, y, z) = 1}, hallar la ecuacion de la recta normal a la superficie

S en el punto (0,−1, 2).

4. Resolver el siguiente problema de valores iniciales:

x2y′ = y2 + xy, con y(1) = 1

5. Sean el campo vectorial ~F definido sobre R2 por ~F (x, y) = (x + 1, 2y − ex) y el campo escalar

g : R2 → R diferenciable en R2. Definiendo h : R2 → R por h(x, y) = g(~F (x, y)), si su polinomio

de Taylor de segundo orden en el punto (0, 1) es:

p(x, y) = 4 + 3x− 2y − x2 + 5xy,

hallar la ecuacion del plano tangente al grafico de g en el punto (1, 1, g(1, 1)).

FIUBA 19 - 11 - 11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 2

1. Hallar los versores para los cuales la derivada direccional de la funcion dada en (0, 0) es maxima,

mınima, nula, y sus valores.

f(x, y) =

x3 + y4

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

2. Sea la familia de curvas descripta en coordenadas polares por: cos θ = Ksen θ, con

K ∈ R. Describir la familia en coordenadas cartesianas y hallar, analıticamente, la familia de

trayectorias ortogonales.

3. Sea C ⊂ R3 la curva paramentrizada por −→γ (t) = (cos t , cos2 t + 2 , sen t), t ∈ [0, 2π]. Hallar

todos los puntos de C en los que su plano normal es paralelo al plano yz.

4. Sea ~h(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) con u(2, 1) = 1, v(2, 1) = 1, un campo vectorial de clase C2

definido en R2 cuya matriz jacobiana es:

∂(u, v)

∂(x, y)(x, y) =

(y2 2x

−y −x

)

Hallar la ecuacion del plano tangente a la grafica de f(x, y) = 2 [u(x, y)]2+[v(x, y)]2 en el punto

(2, 1, f(2, 1)).

5. Sea f(x, y, z) = z +x

z+y

x+

1

y. Hallar los puntos estacionarios, analizar si en ellos la funcion

alcanza extremos relativos y, en ese caso, calcular su valor.

FIUBA 21-11-11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 1

1. Hallar, analıticamente, la familia de trayectorias ortogonales a la familia dada por y = k(x+1),

con k ∈ R.

Describir en coordenadas polares la curva, de la familia hallada, que pasa por el origen.

2. Sea F ∈ C1 tal que F (x, y, z) = 0 define a z = f(x, y) con en un entorno del punto (2, 3, 1).

Si el plano tangente a la grafica de f en (2, 3, 1) tiene ecuacion ~X(u, v) = (2+u, 3+v, 1+5u−4 v)

con (u, v) ∈ R2, calcular la derivada direccional de f en el punto (2, 3) en la direccion que va

del punto (2, 3) al punto (3, 4).

3. Sea f :R2 → R una funcion C3(R2) cuyo gradiente se anula solo en P1 = (1,−1) y en P2 =

(−1, 1), cuyo determinante Hessiano en esos puntos es no nulo, y tal que en P1 tiene un maximo

de valor 10 y en P2 tiene un mınimo de valor 3.

Estudiar los extremos de g(x, y, z) = z3/3− z + f(x, y).

4. Sea S la superficie parametrizada por −→γ (u, v) = (u, u2, v) con (u, v) ∈ R2.

Encontrar los puntos pertenecientes a S tales que el plano tangente se perpendicular al vector

(−2, 1, 0)

5. Sea f : R2 → R, f ∈ C3(R2) cuyo polinomio de Taylor de orden 2 en el (0, 0) es p(x, y) = y+xy,

y sea−→h (u, v) = (2 u, u− v).

Hallar ∂2g/∂u2(0, 0) siendo g(u, v) = f(h(u, v)).

FIUBA 15-12-11 Analisis Matematico II Parcial - Tema 1

1. Resolver la ecuacion diferencial y′ =y2 − x2

2xycon condicion inicial y(2) = 2.

2. Sea f un campo escalar de clase C1(R2). Sabiendo que la derivada direccional de f en (−1, 1)

respecto del versor v = (

√5

5,2√

5

5) es igual a

4√

5

5y que 2x2 + 3y2 = 5 es la curva de nivel 5

de f , hallar la ecuacion del plano tangente al grafico de f en el punto Q = (−1, 1, 5).

3. Sea g un campo escalar de clase C3(R3), P = (0, 0, 0) un punto estacionario para g y la matriz

Hessiana de g en el punto P es:

Hg(P ) =

−2 1 0

1 −3 1

0 1 1

.

a) Clasificar el punto estacionario P de la funcion g.

b) Hallar el valor de∂2f

∂x2(1, 1, 0) sabiendo que f(x, y, z) = g(x2 − y, x3 − xy, z).

4. Sean S1 la superficie parametrizada por ~X(u, v) = (sen(2u), v, 1− cos(2u))

con (u, v) ∈ [0, π] × [−4, 4] y S2 el plano de ecuacion x = y. Si C es la curva interseccion

entre ambas superficies, hallar los puntos de C cuyos vectores tangentes son paralelos al vector

(1, 1, 1).

5. Dado el sistema {x2 + y2 + z = 4

2x2 + y2 − 2z = −1

a) Probar que en un entorno de P = (1,−1, 2) el sistema define implıcitamente funciones

y = y(x) y z = z(x).

b) Si w = 2yz + e2 z, hallar el valor de w′(x) para x = 1.