Analisi delle Decisioni Probabilita’ condizionate

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

Analisi delle Decisioni

Probabilita’ condizionate

Chiara Mocenni


Probabilità condizionate

• Le probabilità in gioco non sempre sono indipendenti da specifici eventi

• Quando ciò non è più vero, si hanno probabilità condizionate

P(A|B)

probabilità che si verifichi A supponendo che si verifichi B


Esempio: ecografia

• Si considerino i seguenti eventi relativi alla nascita di un bambino:

• M il nascituro è maschio

• F il nascituro è femmina

• EM l’ecografia prevede “maschio”

• EF l’ecografia prevede “femmina”


Esempio: ecografia

• Si consideri dapprima la probabilità che due eventi si verifichino entrambi (probabilità congiunta):

P(M,EM)


Esempio: ecografia

• Valgono le seguenti espressioni:

P(M,EM) = P(M|EM) P(EM)

P(M,EM) = P(EM|M) P(M)


Teorema di Bayes

• Quindi:

P(M|EM) P(EM) = P(EM|M) P(M)

ossia

P(M|EM) =P(EM|M) P(M)

P(EM)


Esempio: ecografia

Supponiamo

• P(M) = 0.5 P(F) = 0.5

• P(EM|M) = 0.9 P(EM|F) = 0.05

e di conseguenza

• P(EF|M) = 0.1 P(EF|F) = 0.95


Esempio: ecografia

Possiamo ora calcolare

P(EM) = P(EM|M) P(M) + P(EM|F) P(F) = 0.9 0.5 + 0.05 0.5 = 0.475

P(EF) = 1- P(EM) = 0.525

Possiamo ora applicare la formula di Bayes


Esempio: ecografia

P(M|EM) =P(EM|M) P(M)

P(EM)

=0.9 0.5

0.475= 0.947


Esempio: ecografia

P(F|EF) =P(EF|F) P(F)

P(EF)

=0.95 0.5

0.525= 0.904


Teorema di Bayes

• In generale, dati due eventi A e B:

P(A|B) =P(B|A) P(A)

P(B)


Teorema di Bayes

P(A|B) =P(B|A) P(A)

P(B)

Probabilità a-prioriProbabilità condizionate


Teorema di Bayes

• È uno strumento per integrare in modo quantitativo le informazioni disponibili (prob. a-priori) con quelle rilevabili o misurabili (prob. condizionate)


Esempio: il concerto

• Supponiamo ora che sia disponibile ulteriore informazione sul tempo di domani

• Questa informazione non è perfetta

• Come determinare il valore di questa informazione?


Attendibilità dell’informazione

• Caratterizziamo l’attendibilità della nuova informazione in termini di probabilità condizionata:

P(“Sereno”|Sereno) = 0.8

P(“Pioggia”|Pioggia) = 0.8



• L’informazione a-priori in questo caso è data da:

P(Ser) = 0.4

P(Piog) = 0.6



• La probabilità che la nuova informazione indichi “sereno”sarà:

P(“Ser”) = P(“Ser”|Ser) P(Ser) +

P(“Ser”|Piog) P(Piog) =

0.8 0.4 + 0.2 0.6 = 0.44

P(“Piog”) = 1- 0.44 = 0.56



• Con Bayes possiamo calcolare

= 0.8 0.4 / 0.44 = 0.727

P(Piog|”Ser”) = 1- P(Ser|”Ser”) = 0.273

P(Ser|”Ser”) =P(“Ser”|Ser) P(Ser)

P(”Ser”)



• E analogamente

= 0.8 0.6 / 0.56 = 0.857P(Ser|”Piog”) = 1- P(Piog|”Piog”) =

0.143

P(Piog|”Piog”) =P(“Piog”|Piog) P(Piog)

P(”Piog”)


Valore dell’informazione imperfetta• Per molti decisori il valore

dell’informazione si determina ancora come differenza tra equivalente certo della decisione con informazione gratuita e equivalente certo della decisione in assenza di informazione

• Attenzione: ora le probabilità in gioco sono probabilità condizionate


aperto

chiuso

sereno (0.727)

sereno (0.727)

sereno (0.727)

pioggia (0.273)

pioggia (0.273)

pioggia (0.273)1

0

0.57

0.67

0.95

0.32

0.727

0.5970.778

portico

aperto

chiuso

sereno (0.143)

sereno (0.143)

sereno (0.143)

pioggia (0.857)

pioggia (0.857)

pioggia (0.857)0.143

0.6550.178

portico

L’oracolo prevede“sereno” (0.44)

L’oracolo prevede“pioggia” (0.56)

0.778

0.655

0.7091

0

0.57

0.67

0.95

0.32€ 5,470

Informazione gratuita(Avi)


Il valore dell’informazione (Avi)

Quindi il valore dell’informazione imperfetta per Avi è:

equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 5,470

-

equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4,600

= € 870


Informazione e decisioni

• Il valore dell’informazione perfetta per Avi era di € 2,000

• L’imperfezione nell’informazione determina un cambiamento di decisione (Portico anziché Aperto nel caso in cui l’oracolo preveda tempo sereno)


aperto

chiuso

sereno (0.727)

sereno (0.727)

sereno (0.727)

pioggia (0.273)

pioggia (0.273)

pioggia (0.273)1

0

0.4

0.5

0.9

0.2

0.727

0.4270.709

portico

aperto

chiuso

sereno (0.143)

sereno (0.143)

sereno (0.143)

pioggia (0.857)

pioggia (0.857)

pioggia (0.857)0.143

0.4850.3

portico

L’oracolo prevede“sereno” (0.44)

L’oracolo prevede“pioggia” (0.56)

0.727

0.485

0.591

0

0.4

0.5

0.9

0.2€ 5,900

Informazione gratuita(Inat)


Il valore dell’informazione (Inat)

Quindi il valore dell’informazione imperfetta per Inat è:

equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 5,900

-

equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4,800

= € 1,110


Confronto tra decisori: Avi

• Senza informazione: Chiuso

• Con informazione imperfetta: se l’oracolo prevede sereno, allora Portico, altrimenti Chiuso


Confronto tra decisori: Inat

• Senza informazione: Portico

• Con informazione imperfetta: se l’oracolo prevede sereno, allora Aperto, altrimenti Chiuso


Confronto tra decisori

• Il valore dell’informazione imperfetta per Inat è di € 1,110, per Avi è di € 870

• Il motivo per cui Inat, pur essendo più propensa al rischio rispetto a Avi, sia disposta a pagare di più è che ancora, in assenza di informazione, le scelte sono diverse


Analisi di sensibilità rivistaUna volta introdotti il concetto di probabilità soggettiva e il teorema di Bayes, possiamo estendere l’analisi di sensibilità effettuata per la determinazione della funzione di utilità anche alla assegnazione delle probabilità soggettive. Riprendiamo perciò l’esempio della tavola di decisione.


a1

Stati di natura

110

< -3 [-3,+2] > +2

a2

a3

110 110

100 105 115

90 100 120

Decisioni

probabilità 0.2 0.4 0.4


I valori di utilita’ degli eventi elementari erano:

u(90)=0

u(100)=0.4

u(105)=0.6

u(110)=0.8

u(115)=0.95

u(120)=1


Osserviamo nuovamente che

P(2) = P(3).

Supponiamo che il decisore abbia espresso qualche dubbio sul fatto che effettivamente queste due probabilità fossero uguali.

Poniamo allora

P(2) = p

P(3) = q


P(1) = 1 - p - q

Inoltre

U[a1] = 0.8, U[a2] = 0.7, U[a3] = 0.56.

U[a1] > U[a2]

0.8 > (1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95 8 > 4p+11q

Ne consegue che


U[a1] > U[a3]

0.8 > (1-p-q)*0.0 + p*0.40 + q*1 4 > 2p + 5q

U[a2] > U[a3]

(1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95> (1-p-q)* 0.0 + p*0.4 + q*1

8 > 4p+9q

Analogamente


1.0

0.5 1.00

0.5

D

C

B

A

(0.4,0.4)

p + q = 1

p

q

4p + 9q = 8

2p + 5q = 4

4p + 11q = 8


Nella regione A si ha U[a1] > U[a2] > U[a3]

Nella regione B si ha U[a2] > U[a1] > U[a3]

Nella regione C si ha U[a2] > U[a3] > U[a1]

Nella regione D si ha U[a3] > U[a2] > U[a1]


Il punto (0.4,0.4) si trova all’interno della regione A. Quindi l’investimento a1 sembra essere il più conveniente, coerentemente con quanto visto in precedenza.Quello che dobbiamo verificare, e che in questo caso è evidente, è che per piccole variazioni di p e q il punto stimato (0.4,0.4) rimanga all’interno della regione A.

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