La PROBABILITA’

è …

lo studio delle caratteristiche di regolarità dei fenomeni casuali

Sono fenomeni casuali

• Il lancio di un dado

• L’estrazione di una pallina numerata da un’urna

• Il lancio di una moneta

• Il diffondersi di un’epidemia

Un fenomeno complesso che si ripete più volte può essere studiato come

aleatorio, dal latino “alea”

Il calcolo delle probabilità permette di associare ad “eventi futuri” un modello

di tipo non deterministico, uno strumento che rende razionale il

comportamento dell’uomo di fronte all’incertezza: quando i fatti

osservabili non sono prevedibili e si devono prendere decisioni in base ad

ipotesi riguardanti le modalità di eventi futuri

E se gli eventi futuri ai quali sono legate le nostre decisioni ..

• sono ripetibili, in condizioni che possiamo ritenere uniformi, permette di fare previsioni quantitative e di regolare il nostro comportamento in modo da ottimizzare certe situazioni, che possiamo rappresentare mediante opportune “funzioni obiettivo” ( es lancio di un dado)

• NON sono ripetibili: serve a giustificare il nostro comportamento e a controllarne eventualmente la coerenza ( es: epidemie…)

Un modello si dice deterministico

• Se tutte le informazioni relative alla situazione che si sta esaminando in un istante permettono di determinare con certezza, con leggi semplici, quale sarà la situazione dopo qualsiasi intervallo di tempo;

CIOE’

• le grandezze in ingresso x i ( le condizioni iniziali)

permettono di calcolare le grandezze in uscita y i

La funzione associata ad un modello deterministico è

)(xfy

x0 y0

f

Un modello si dice non deterministico

• se non è possibile determinare a priori con certezza il valore della variabile in uscita y

i, ma si sa che essa assumerà uno dei valori di un insieme di eventi, chiamati

eventi casuali

In un fenomeno aleatorio:

• Tutti i possibili risultati sono punti dello spazio campione

• Ogni evento è un sottoinsieme dello spazio

• L’evento certo è lo spazio • L’evento impossibile è , l’insieme vuoto• E’ un evento il risultato di qualsiasi

operazione tra i sottoinsiemi di

Esempio: Lancio di un dado

• Spazio campione

• Evento:” uscita di un numero pari”

• L’evento: “uscita di un numero pari”può essere considerato come unione di eventi

singoli

1

23

4

5

6

Evento - risultato

• Nel lancio del dado l’evento: “uscita di un numero pari” ha come risultato x, un valore tra i tre possibili:

X=6

2

4

X: variabile casuale

• Si chiama variabile causale una variabile x che può assumere uno tra gli n valori possibili.

X=xm

x1

x2

…

La variabile casuale x

Può variare tra un insieme di punti dello spazio campione:

• Finito

• Infinito numerabile

• Infinito non numerabile

che sono distribuiti in un dato intervallo in modo continuo o discreto

La funzione P: A P(A)

Associa ad ogni sottoinsieme A di , l’insieme di punti-evento, un numero reale, che soddisfa ai seguenti assiomi:

Assiomi:

• A1 :

• A2 :

• A3 : Se Ai e Aj sono eventi incompatibili, cioè

allora

0)( AP

1)( P

)( ji AA

)()( AA iPiP

I simboli…• Insieme punti-evento

• F = {A1, A2, …, An} successione finita o

no, di eventi a due a due incompatibili

• P Numero reale

• Spazio di probabilità),,( PF

Teorema 1

• Se valgono

A1 :

e A2 :

Allora

la probabilità è un numero compreso tra zero e uno

dim-th1.ppt

0)( AP

1)( P

1)(0 AP

Teorema 2probabilità dell’evento impossibile

La probabilità dell’evento impossibile è zero

dim-th2

0)( P

Teorema 3probabilità dell’evento complementare

Un evento A e il suo complementareriempiono lo spazio campione

Può essere formulato:

• P(A) + P( )=1

oppure:

• P(A B) + P(B ) = P(B)

A

A

A

Teorema 4probabilità di eventi non disgiunti

• Se A e B sono eventi:)()()()( BAPBPAPBAP

A

B

BA

Eventi indipendenti

Definizione:

Gli eventi A e B sono indipendenti se:

)()()( BPAPBAP

Teorema 5probabilità di eventi indipendenti

Gli eventi A, B, C sono indipendenti

se e solo se:

• Sono indipendenti a due a due

• )()()()( CPBPAPCBAP

Probabilità condizionata P(A|H)

Definizione:

Dato uno spazio di probabilità

e due eventi H (che chiamiamo ipotesi o condizione), tale che P(H) 0, e A, la probabilità condizionata di A dato H è:

),,( PF

)(

)()(

HP

HAPHAP

Eventi indipendenti

Due eventi A e B sono indipendenti se il conoscere che uno si è verificato non altera la probabilità del verificarsi dell’altro.

In questo caso le tre leggi sono equivalenti: • • •

)()()( BPAPBAP

)()( APBAP

)()( BPABP

Teoremi della probabilità condizionata

)()()(, CBAPAPAP CBCB

...)()()()()( 2211 HPHAPHPHAPAP

...)()()()()( 2211 HHPHAPHHPHAPHAP

)...()...()()()...( 12121312121 nnn AAAAAPAAAPAAPAPAAAP

jjj

iii

HPHBP

HPHBPBHP

)()(

)()()(

Teoremi della probabilità condizionata

• Legge del condizionamento ripetuto

• Legge delle alternative

• Legge condizionata delle alternative

• Legge delle probabilità composte

• Legge di Bayes o probabilità delle cause

Legge del condizionamento ripetuto

)()()(, CBAPAPAP CBCB

Legge delle alternative

Un insieme di alternative è una partizione dell’insieme

(incompatibilità)

(esaustività)

per ogni indice i0)(

....

i

ii

ji

HP

H

jiHH

...)()()()()( 2211 HPHAPHPHAPAP

Legge condizionata delle alternative

Gli eventi H sono un insieme di alternative per H quando:

(incompatibilità)

(esaustività)

per ogni indice i0)(

....

i

ii

ji

HP

HH

jiHH

...)()()()()( 2211 HHPHAPHHPHAPHAP

Legge delle probabilità composte

)...()...()()(

)...(

121213121

21

nn

n

AAAAAPAAAPAAPAP

AAAP

Legge di Bayes o probabilità delle cause

jjj

iii

HPHBP

HPHBPBHP

)()(

)()()(