ANÁLISIS VECTORIAL I

2

Murray R. Spiegel

Incluye 329 problemas resueltos,totalmente explicados.

Contiene capítulos relativos a las coordenadascurvilíneas y análisis tensorial.

Contiene 410 problemas suplementarioscon solución.

Schaum

ANÁLISIS VECTORIAL

y una introducción al

ANÁLISIS TENSORIAL

MURRAY R. SPIEGEL, PH. D. Professor of Mathematics

Rensselaer Polytechnic Institute

TRADUCCIÓN Y ADAPTACIÓN

LUIS GUTIÉRREZ DÍEZ Ingeniero de Armamento

ÁNGEL GUTIÉRREZ VÁZQUEZ

Ingeniero de Armamento Licenciado en Ciencias Físicas

Diplomado en Ingeniería Nuclear

McGRAW-HILL

MÉXICO BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK PANAMÁ SAN JUAN SANTAFÉ DE BOGOTÁ SANTIAGO SAO PAULO AUCKLAND HAMBURGO MILÁN MONTREAL NUEVA DELHI PARÍS SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TOKIO TORONTO

Gerente de Producto: Carlos Granados Islas Supervisora de edición: Leticia Medina Vigil Supervisor de producción: Zeferino García García ANÁLISIS VECTORIAL Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 1998, 1991, 1988 respecto a la primera edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. Una División de The McGraw-Hill Companies Inc. Cedro Num 512, Col. Atlampa Delegación Cuauhtémoc 06450 México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN 970-10-2096-0 Traducido de la primera edición en inglés de SCHAUM’S OUTLINE OF VECTOR ANALYSIS Copyright © MCMLXVII, by McGraw-Hill, Inc., U. S. A. ISBN 0-07-060228-X 1602345789 G. A. 91 09876543201 Impreso en México Printed in Mexico Esta obra se terminó de imprimir en Junio del 2001 en Diagráficos Unión, S.A. de C.V. Calle Azucena Núm. 29 Col. Hacienda de la Luz Atizapán de Zaragoza C.P. 54500 Edo. De México Se tiraron 2500 ejemplares

P r ó l o g o

El análisis vectorial, que se inició a mediados del siglo pasado, constituye hoy en día una parte esencial de las matemáticas necesaria para matemáticos, físicos, ingenieros y demás científicos y técnicos. Esta necesidad no es casual; el análisis vectorial no sólo constituye una notación concisa y clara para presentar las ecuaciones del modelo matemático de las situaciones físicas y problemas geométricos, sino que, además, proporciona una ayuda inestimable en la formación de las imágenes mentales de los conceptos físicos y geométricos. En resumen, el análisis vectorial puede considerarse, sin lugar a dudas, como el más rico lenguaje y forma del pensamiento de las ciencias físicas.

Por la forma y manera de exposición, este libro se puede utilizar como texto en un curso de análisis

vectorial o como un magnífico libro complementario de cualquier otro texto. Asimismo, puede ser de gran valor para todos los alumnos de las asignaturas de física, mecánica, electromagnetismo, aerodi- námica e infinidad de otras correspondientes a los distintos campos de la ciencia y de la técnica en que se emplean los métodos vectoriales.

Cada capítulo comienza exponiendo claramente las definiciones, principios y teoremas pertinentes,

con ejemplos ilustrativos y descriptivos. A continuación se presenta una colección de problemas totalmente resueltos y otros suplementarios con respuesta pero sin resolver, todos ellos de progresiva dificultad. Los problemas resueltos aclaran y amplían la teoría, evidencian los puntos esenciales sin los que el estudiante se sentiría continuamente poco seguro y proporcionan la repetición de los principios fun-damentales tan necesarios para conocer la materia a fondo. Asimismo, en los problemas resueltos se incluyen numerosas demostraciones de teoremas y deducciones de fórmulas. Los numerosos problemas suplementarios sirven de completo repaso del tema de cada capítulo,

Los temas tratados son, a grandes rasgos, el álgebra y el cálculo diferencial e integral de vectores,

teoremas de la divergencia, del rotacional y demás teoremas integrales, haciendo muchísimas aplicaciones a campos muy diversos. Atención especial merecen los capítulos relativos a las coordenadas curvilíneas y al análisis tensorial, que tan evidentes ventajas proporcionan en el estudio de ingeniería, física y mate-máticas superiores.

El libro contiene mucho más material de lo usual en la mayoría de los primeros cursos de ciencia

e ingeniería. Con ello la obra se ha hecho más completa, constituyendo un libro de consulta muy útil y, a la vez, catalizador del interés por temas más elevados.

El autor agradece la colaboración del señor Henry Hayden en la preparación tipográfica y dibujo

de las figuras. El realismo de las figuras realza el valor de la obra en la que la exposición visual juega un papel tan importante.

M. R. SPIEGEL

Índice de materias

CAPÍTULO PÁGINA 1. VECTORES Y ESCALARES ........................................................................................................ 1

Vector. Escalar. Álgebra vectorial. Leyes del Álgebra vectorial. Vector unitario. Vectores unitarios trirrectangulares. Vectores componentes. Campo escalar. Campo vectorial.

2. PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL ................................................................................ 16 Producto escalar o interno. Producto vectorial o externo. Productos triples. Sistemas de vectores recíprocos.

3. DIFERENCIACIÓN VECTORIAL............................................................................................... 35 Derivada de un vector. Curvas en el espacio. Continuidad y derivabilidad. Fórmulas de deri-vación. Derivadas parciales de un vector. Diferencial de un vector. Geometría diferencial. Mecánica.

4. OPERACIONES DIFERENCIALES: GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTA- CIONAL ........................................................................................................................................... 57 Operador diferencial vectorial nabla. Gradiente. Divergencia. Rotacional. Fórmulas en las que interviene el operador nabla. Invarianza.

5. INTEGRACIÓN VECTORIAL ..................................................................................................... 82 Integral de un vector. Integral curvilínea. Integral de superficie. Integral de volumen.

6. OPERACIONES INTEGRALES: TEOREMAS DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL Y OTROS TEOREMAS INTEGRALES................................................. 106 Teorema de la divergencia de Gauss. Teorema del rotacional de Stokes. Teorema de Green en el plano. Otros teoremas integrales. Forma integral del operador nabla.

7. COORDENADAS CURVILÍNEAS ............................................................................................... 135

Transformación de coordenadas. Coordenadas curvilíneas ortogonales. Vectores unitarios en sistemas de coordenadas curvilíneas. Elementos de línea y de volumen. Gradiente, divergencia y rotacional. Casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales. Coordenadas cilíndricas. Coordenadas esféricas. Coordenadas cilíndricas parabólicas. Coordenadas paraboidales. Coordenadas cilíndricas elípticas. Coordenadas esferoidales alargadas. Coordenadas esferoidales achatadas. Coordenadas elipsoidales. Coordenadas bipolares.

8. ANÁLISIS TENSORIAL ................................................................................................................ 166 Leyes físicas. Espacios de N dimensiones. Transformación de coordenadas. Convenio de sumación de los índices repetidos. Vectores contravariantes y covariantes. Tensores contra-variantes, covariantes y mixtos. Delta de Kronecker. Tensores de orden superior. Escalares o invariantes. Campos tensoriales. Tensores simétricos y hemisimétricos. Operaciones funda-mentales con tensores. Matrices. Álgebra matricial. El elemento de línea y el tensor métrico. Tensor recíproco. Tensores asociados. Módulo de un vector. Ángulo entre dos vectores. Componentes físicas de un vector. Símbolos de Chrisoffel. Leyes de transformación de los símbolos de Christoffel. Líneas geodésicas. Derivada covariante de un tensor. Símbolos y tensores alternantes. Forma tensorial del gradiente, divergencia, rotacional y laplaciana. Derivada absoluta o intrínseca. Tensores relativo y absoluto.

ÍNDICE ...................................................................................................................................................... 218

1

Capítulo 1

Vectores y escalares

VECTOR. Es una magnitud cuya determinación exige el conocimiento de un módulo, una direc- ción y un sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales son el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el ímpetu, etc.

Gráficamente, un vector se representa por un segmento orien-tado OP (Fig. 1); la longitud del segmento es el módulo del vector, la dirección del segmento es la correspondiente del vector y la flecha indica el sentido del vector. El punto O se llama origen o punto de aplicación y P el extremo del vector. La recta en que se apoya el segmento se llama directriz del vector.

Analíticamente, un vector se representa por una letra con una

flecha encima, por ejemplo A

en la Fig. 1, el módulo se escribe A

o

bien A. Otros autores prefieren emplear una letra negrilla, por

ejemplo A, con lo que A

o A indica su módulo. En este libro emplea-

remos esta última notación. El vector OP también se puede escribir

OP

, o bien, OP; en este caso su módulo es OP, OP ,

o bien, OP .

ESCALAR. Es una magnitud cuya determinación sólo requiere el conocimiento de un número, su cantidad respecto de cierta unidad de medida de su misma especie. Ejemplos típicos de escalares son la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura, el trabajo, la energía, etc., y cualquier número real. Los escalares se indican por una letra de tipo ordinario. Las operaciones con escalares obedecen a las mismas reglas del álgebra elemental.

ÁLGEBRA VECTORIAL. Las operaciones de adición o suma, diferencia o resta, multiplicación o producto del álgebra elemental entre números reales o escalares, se pueden generalizar, introduciendo determinadas definiciones, al álgebra entre vectores. Veamos las definiciones fundamentales.

1. Dos vectores A y B son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección e idéntico sentido. Si

además tienen el mismo origen o punto de aplicación, son iguales. Tanto la equipolencia como la igualdad entre los vectores dados la representaremos por A B (Fig. 2). Geométricamente se reconoce que dos vectores son equipolentes si el polígono que resulta al unir sus orígenes por una parte, y sus extremos por otra es un paralelogramo.

2. Dado un vector A, el vector opuesto, –A es el que tiene el mismo módulo y dirección pero sentido contrario

(Fig. 3).

Fig. 2 Fig. 3

Fig. 1

2 VECTORES Y ESCALARES

3. Suma o resultante de dos vectores A y B es otro vector C obtenido trasladando el origen de B al extremo de A y uniendo el origen de A con el extre-mo B (Fig. 4). Analíticamente se expresa .A + B = C

Obsérvese que trasladando los dos vectores a un origen común, el vector suma corresponde a la diagonal del paralelogramo con el origen en el origen común. Por ello, se dice que la suma de vec-tores obedece a la ley del paralelogramo (véase Prob. 3).

La generalización a la suma de varios vectores es inmediato sin más que ir sumando de dos en dos sucesivamente (véase Prob. 4).

4. La diferencia de los vectores A y B, que se representa analíticamente por A B , es otro vector C, tal que

sumado a B produce el vector A. Dicho de otra manera, para restar dos vectores se suma al vector minuendo el opuesto al vector sustraendo, es decir, C A B A B . La diferencia de vectores es un caso

particular de la suma. 5. El producto de un escalar m por un vector A es otro vector, mA, de la misma dirección que A pero con un

módulo m veces el de A y un sentido igual u opuesto al de A según que el escalar m sea positivo o

negativo. Si 0m , mA es el vector nulo.

LEYES DEL ÁLGEBRA VECTORIAL. Sean A, B, y C tres vectores y m y n dos escalares. En estas condiciones se verifica:

1. A B B A Propiedad conmutativa de la suma 2. A B C A + B + C Propiedad asociativa de la suma

3. A = Am m Propiedad conmutativa del producto por un escalar

4. A = Am n mn Propiedad asociativa del producto por un escalar

5. A = A Am n m n Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto

de la suma de escalares 6. A B = A Bm m m Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto

de la suma de vectores

Obsérvese que no aparecen más las propiedades del producto de un escalar por un vector. En el Cap. 2 definiremos los productos entre vectores.

Estas leyes permiten considerar y tratar las ecuaciones vectoriales de la misma forma que si fueran escalares (ecuaciones algebraicas). Por ejemplo, si A B C , trasponiendo términos, A C B .

VECTOR UNITARIO. Es todo vector de módulo unidad. Si A es un vector de módulo distinto de cero, 0A , el vector AA es un vector unitario de la misma dirección y sentido que A.

Todo vector A se puede representar por el producto de un vector unitario a de la dirección y sentido que aquel mul-tiplicado por el módulo de A, que es un escalar. Analítica-mente, pues, se escribe, AA a .

VECTORES UNITARIOS TRIRRECTANGULARES i, j,k . Un sistema muy importante de vectores unitarios son los que tienen por direcciones las correspondientes a los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio,

, , ,x y z con sentidos los positivos de estos ejes y que se llaman

vectores unitarios i, j, k (Fig. 5). Mientras no se diga lo contrario, supondremos que el

sistema de coordenadas trirrectangulares es «dextrorsum»

Fig. 4

Fig. 5

j

k

i

VECTORES Y ESCALARES 3

o a derechas. Esta denominación deriva del hecho que un tornillo con rosca a derechas girando 90º desde Ox a Oy avanza en el sentido positivo de Oz, como se muestra en la Fig. 5.

En general, tres vectores A, B, y C con el mismo origen y no coplanarios, forman un sistema «dextrorsum» o a derechas si un tornillo de rosca a derechas girando de A a B por el menor ángulo avanza en la dirección y sentido de C, como se representa en la Fig. 6.

VECTORES COMPONENTES. Todo vector A en el espacio (3 dimensiones) se puede representar con su origen en el correspondiente O de un sistema de coordenadas trirrectangulares (Fig. 7). Sean 1 2 3, ,A A A las coorde-

nadas cartesianas del punto extremo del vector A cuyo origen es O. Los vectores 1 2 3, yA A Ai j k se llaman vectores componentes rectangulares o simplemente vectores componentes de A según las direcciones x, y y z, respectivamente. Los escalares 1 2 3, y A A A se llaman componentes rectangulares o simplemente componentes del vector A según las direcciones

y , , ,x y z respectivamente.

La suma o resultante de los tres vectores 1 2 3, y i j kA A A

es el vector A, esto es,

1 2 3 + A i j kA A A

El módulo de A es Fig. 7

2 2 21 2 3 AA A A A

En particular, el vector de posición o radio vector r cuyo origen es el punto O y cuyo extremo es el punto , ,x y z , se escribe en la forma

x y zr i j k

que tiene de módulo 2 2 2 r x y zr .

CAMPO ESCALAR. Si en cada punto , ,x y z de una región R del espacio se le puede asociar

un escalar , , x y z , hemos definido un campo escalar en R. La función depende, pues, del punto

y, por ello, se llama función escalar de posición, o bien, función de punto escalar.

Ejemplos. (1) Las temperaturas en cada punto interior o sobre la superficie de la tierra, en un cierto instante, definen un campo escalar.

(2) 3 2, , x y z x y z define un campo escalar.

Si un campo escalar es independiente del tiempo, se llama permanente o estacionario.

CAMPO VECTORIAL. Si en cada punto , ,x y z de una región R del espacio se le puede asociar

un vector , ,x y zV , hemos definido un campo vectorial V en R. La función V depende, pues, del punto y, por ello,

se llama función vectorial de posición, o bien, función de punto vectorial.

Ejemplos. (1) Las velocidades en cada punto , ,x y z en el interior de un fluido en movimiento, en un cierto

instante, definen un campo vectorial. (2) 2 3 2, , 2 x y z xy yz x zV i j k define un campo vectorial.

Si un campo vectorial es independiente del tiempo se llama permanente o estacionario.

Fig. 6


Problemas resueltos

1. De las magnitudes dadas a continuación indicar las de carácter escalar y las de carácter vectorial. (a) peso (c) calor específico (e) densidad (g) volumen (i) potencia (b) calor (d) ímpetu (f ) energía (h) distancia (j) intensidad del campo magnético

Sol. (a) vectorial (c) escalar (e) escalar (g) escalar (i) escalar (b) escalar (d) vectorial (f ) escalar (h) escalar (j) vectorial

2. Represente gráficamente: (a) una fuerza de 10 newtons en la dirección Este 30º Norte, (b) una fuerza de 15 newtons en la dirección Norte 30º Este.

Con la unidad de módulos indicada, los vectores pedidos aparecen representados en las figuras.

3. Un automóvil recorre 3 kilómetros hacia el Norte y luego 5 kilómetros hacia el Nordeste. Representar estos desplazamientos y hallar el desplazamiento resultante: (a) gráficamente, (b) analíticamente.

El vector OP o A representa el desplazamiento de 3 km hacia el Norte.

El vector PQ o B representa el desplazamiento de 5 km hacia el Nordeste.

El vector OQ o C representa el desplazamiento resultante o suma de los vectores A y B, es decir, C A B . Puede observarse la ley del triángulo de la suma de vectores.

El vector resultante OQ también se puede obtener tra- zando la diagonal del paralelogramo OPQR construido con los vectores y OP A OR (igual al vector o PQ R ). Esta es la ley del paralelogramo de la suma de los vectores, es decir, de su composición.

(a) Determinación gráfica de la resultante. Se mide la longitud de la diagonal con la misma unidad de longitud de 1 km adop-tada para los otros vectores. Así se deduce el valor de 7,4 km aproximadamente. Mediante un transportador o semicírculo graduado se mide el ángulo 61,5ºEOQ . Por lo tanto, el vector OQ tiene de módulo 7,4 km, y dirección y sentido Este 61,5º Norte.

(b) Determinación analítica de la resultante. En el triángulo OPQ, llamado A, B, C a los módulos de los vectores A, B, C, respectivamente, el teorema del coseno permite escribir:

2 2 2 2 22 cos 3 5 2 3 5 cos135º 34 15 2 55, 21 OPQC A B AB

de donde C 7,43 (aproximadamente).


Aplicando ahora el teorema de los senos se deduce la dirección y el sentido:

sen sen

A C

OQP OPQ

Por lo tanto,

3 0,707sen

sen 0,2855, de donde, 16 35 .7,43

A OPQ

OQP OQPC

El vector OQ, en consecuencia, tiene de módulo 7,43 km y una dirección que forma un ángulo con la dirección Este de (45° + 16°35') = 61°35', esto es, su dirección y sentido quedan definidos por Este 61°35' Norte.

4. Hallar la suma o resultante de los siguientes desplazamientos: A, 10 metros hacia el Noroeste; B, 20 metros, Este 30° Norte; C, 35 metros hacia el Sur. (Fig. a.) En el extremo de A se sitúa el origen de B. En el extremo de B se sitúa el origen de C. La resultante D se obtiene uniendo el origen O del vector A con el extremo de C, es decir . D A B C

Siguiendo el método gráfico se deduce que el vector D tiene de módulo 4,1 unidades 20 5 m, y una dirección y sentido definido por Este 60° Sur.

Fig. (a) Fig. (b)

5. Demostrar que la suma de vectores goza de la propiedad conmutativa; A B B A (Fig. (b)).

o bien,

y o bien,

, ,, .

OP + PQ = OQ A + B = C

OR + RQ = OQ B + A = C

Por lo tanto, . A B B A

6. Demostrar que la suma de vectores goza de la propiedad asociativa: A B C A B C

y

,

.

OP + PQ = OQ A + B

PQ + QR = PR B + C

, es decir, .

, es decir, .

OP + PR = OR D A + B C D

OQ + QR = OR D A + B C = D

Entonces, A + B + C = A + B + C

Generalizando los resultados de los problemas 5 y 6 se demuestra que en la suma de cualquier número de vectores la resultante es independiente del orden en que se tomen.


7. Sobre un sólido puntual P actúan las fuerzas 1 2 6, ,..., .F F F Hallar la fuerza que es necesario aplicar en P para que el sólido permanezca en reposo.

Como el orden de los vectores sumandos no altera el valor de la suma o resultante, podremos comenzar con cualquier vector, por ejemplo, con 1F . A 1F le sumamos 2 ,F al resultado le añadimos 3F , y así sucesivamente, con lo que se obtiene el polígono de vectores, en este caso de fuerzas, que aparece en la figura. La resultante es el vector cuyo origen es el correspondiente a 1F y cuyo extremo es el de 6F , es decir,

1 2 3 4 5 6. R F F F F F F La fuerza que se debe aplicar al sólido puntual para mantenerlo en reposo es R , esto es, el vector

opuesto a la fuerza resultante, razón por la cual se llama la fuerza equilibrante.

8. Dados los vectores , y A B C (Fig. 1a), construir los vectores (a) 2 , A B C (b) 123 2 C A B

(a)

(b)


9. Un avión se mueve en la dirección y sentido del Nor-oeste a una velocidad, relativa a la Tierra, de 250 km/h debido a la existencia de un viento hacia el Oeste con una velocidad de 50 km/h, relativa a la Tierra también. Hallar la velocidad, dirección y sentido del vector velo-cidad que llevaría el avión si no hubiese viento.

Sean W velocidad del viento a V velocidad del avión con viento

b V velocidad del avión sin viento En estas condiciones,

,a b V V W de donde .b a a V V W V W

Midiendo la longitud del vector bV se obtiene 6,5 unidades que equivalen a 325 km/h; la dirección y sentido vienen dados por Oeste 33° Norte.

10. Dados dos vectores y a b de distinta dirección, hallar la expresión de cualquier vector r del plano determinado

por aquellos. Los vectores dados no tienen la misma directriz. Por lo tanto,

determinan un plano. Sea r cualquier vector de dicho plano y traslademos los vectores , y a b r de manera que tengan el origen común O. Por el extremo R de r tracemos paralelas a las direcciones de y ,a b respectivamente, formando el para-lelogramo ODRC. De la figura se deduce:

,

,

OD OA a

OC OB b

x x

y y

en donde x e y son escalares. Ahora bien, según la ley de composición del paralelogramo, , OR OD OC o bien, r a bx y

que es la expresión pedida. Los vectores a bx y son los componentes vectoriales, o vectores componentes,

de r, según las direcciones de y a b respectivamente. Los escalares x e y pueden ser positivos o negativos, según los sentidos de los vectores. De la construcción geométrica se desprende que x e y son únicos para

, y a b r dados. Los vectores y a b son los vectores en la base del sistema de coordenadas definido por sus direcciones en el plano que determinan.

11. Dados tres vectores no coplanarios ni paralelos , y ,a b c hallar la expresión de cualquier vector r en el espacio

tridimensional.

Sea r un vector cualquiera del espacio de origen O al que trasladamos los tres vectores dados , y .a b c Por el extremo R de r tracemos planos paralelos, respectivamente, a los que determinan y ,a b y ,a c y y a c formándose el paralelepípedo PQRSTUV. De la figura se deduce,

en donde son escalares

)

)

)

OV OA a

OP OB b

OT OC c

x x

y y x, y, z

z z

Ahora bien , OR OV VQ QR OV OP OT o bien, . x y zr a b c

De la construcción geométrica se desprende que x, y, y z son únicos para , , y a b c r dados.


Los vectores , y x y za b c son las componentes vectoriales, o vectores compuestos, de r según las direc-

ciones de , y ,a b c respectivamente. Los vectores , y ,a b c son los vectores en la base del sistema de coordenadas definido por sus direcciones en el espacio.

Como caso particular, si , y a b c son los vectores unitarios y , ,i j k respectivamente, mutuamente perpendiculares, cualquier vector r se puede expresar, de forma única, en función de los vectores unitarios según los ejes por . x y zr i j k

Así mismo, si ,c 0 el vector r pertenecerá al plano formado por y ,a b obteniéndose el resultado del problema 10.

12. Demostrar que si los vectores y a b no tienen la misma dirección, la igualdad vectorial x ya b 0 implica

que .0 x y

Supongamos que 0.x Entonces, de x ya b 0 se deduce que , x ya b es decir a by x .

Esto quiere decir que y a b tienen la misma dirección, lo cual es contrario a la hipótesis. Por consiguiente,

0x , y de yb 0 se desprende que 0y .

13. Demostrar que si y a b son dos vectores cuyas direcciones se cortan, la igualdad vectorial 1 1 x ya b

2 2x ya b implica que 1 2 1 2 e x x y y .

1 1 2 2 x y x ya b a b

, o bien .1 1 2 2 1 2 1 2 a b a b 0 a b 0x y x y x x y y

Por lo tanto, según el problema 12, 1 2 1 2 1 2 1 20, 0, o bien, , . x x y y x x y y

14. Demostrar que si , y a b c no son coplanarios ni paralelos, la igualdad vectorial x y za b c 0 implica que 0. x y z

Supongamos que 0.x Entonces, de x y za b c 0 se deduce que , x y za b c es decir,

. y x z xa b c Ahora bien, y x z xb c es un vector del plano que forman y b c (problema

10), esto es, a pertenece al plano de y ,b c lo cual es contrario a la hipótesis de que , y a b c no son coplanarios. Por lo tanto, 0.x Razonando de análoga manera, suponiendo 0y y luego 0z se llega a sendas contradicciones, con lo que queda demostrado lo pedido.

15. Demostrar que si , y a b c son tres vectores no coplanarios ni paralelos, la igualdad vectorial 1 1 1 x y za b c =

2 2 2 x y za b c implica 1 2 1 2 1 2, , . x x y y z z

La ecuación dada se puede escribir en la forma .1 2 1 2 1 2 x x y y z za b c 0 Entonces, según

el problema 14, 1 2 1 2 1 20, 0, y 0, x x y y z z o bien, , , .1 2 1 2 1 2 x x y y z z

16. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Sea ABCD el paralelogramo dado cuyas diagonales se cortan en el punto P. Como BD a b , . BD b a Entonces .x BP b a

Como , AC a b . yAP a b

Ahora bien, , AB AP PB AP BP con lo que,

. y x x y x ya a b b a a b

Como las direcciones de y a b se cortan, según el pro-

blema 13, e 1 0, x y y x es decir, 12. x y

Por lo tanto, P es el punto medio de las dos diagonales 17. Demostrar que el polígono que resulta al unir los puntos medios

de los lados de un cuadrilátero es un paralelogramo. Sea ABCD el cuadrilátero dado y P, Q, R y S los puntos medios de sus lados (Fig. a). Entonces, 1 1 1 1

2 2 2 2, , , . PQ a b QR b c RS c d SP d a

Ahora bien, . a b c d 0 Por lo tanto,

y 1 1 1 12 2 2 2 . PQ a b c d SR QR c d d a PS

Como los lados opuestos del polígono formado son iguales y paralelos, dicho polígono es un parale-logramo.


18. Sean 1 2 3, ,P P P tres puntos fijos respecto de un origen O y 1 2 3, ,r r r sus respectivos vectores de posición.

Demostrar que si la ecuación vectorial es válida 1 1 2 2 3 3 r r r 0a a a es válida respecto de O también lo es

respecto de otro origen O’ sí, y solo sí se verifica 1 2 3 0. a a a

Sean 1 2 3, , r r r los vectores de posición de 1 2 3, y P P P respecto de O' y v el vector de posición de O' res-

pecto de O. Veamos en qué condiciones se verifica la ecuación 1 1 2 2 3 3 r r r 0a a a en la nueva referencia.

De la Fig. (b) se deduce que 1 1 2 2 3 3, , , r v r r v r r v r con lo que la ecuación

1 1 2 2 3 3a a a r r r 0 se transforma en

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 1 2 2 3 3

r r r v r v r v r

v r r r 0

a a a a a a

a a a a a a

La condición necesaria y suficiente para que 1 1 2 2 3 3a a a r r r 0 es

1 2 3 , v 0a a a es decir, 1 2 3 0. a a a

Este resultado puede generalizarse sin dificultad.

Fig. (a) Fig. (b)

19. Hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos A y B cuyos vectores de posición respecto al origen O son y ,a b respectivamente.

Sea r el vector de posición de un punto genérico P de la recta AB.

De la figura adjunta se deduce, , OA AP OP o bien, , a AP r de donde AP r a y , OA AB OB o bien, , a AB b de donde . AB b a

Ahora bien, como y AP AB son colineales, ,tAP AB

o bien, .t r a b a Por lo tanto, la ecuación pedida es

,t r a b a o bien, 1 .t t r a b

Si esta ecuación se escribe en la forma 1 ,t t a b r 0

la suma de coeficientes de y ,a b r es 1 1 0.t t Por consiguiente, según el problema 18, el punto P pertenece a la recta que une A y B, independientemente de la elección del origen O.

Otro método. Como y AP PB son colineales, siendo m y n dos escalares se verifica:

,m nAP PB o bien, , m nr a b r

de donde se deduce ,

m n

m n

a br que se llama forma simétrica.


20. (a) Hallar los vectores de posición 1 2y r r de los puntos

2 4 3, ,P y 1 5 2, ,Q en un sistema de coordenadas

trirrectangular en función de los vectores unitarios i , , .j k (b) Determinar gráfica y analíticamente la suma

o resultante de dichos vectores. (a) 1 2 4 3 r OP OC CB BP i j k

2 5 2 r OQ OD DE EQ i j k

(b) Gráficamente, la resultante de 1 2yr r se obtiene

por la diagonal OR del paralelogramo OPRQ. Analíticamente viene dada por

1 2 2 4 3 5 2 3 5 r r i j k i j k i j k

21. Demostrar que el módulo A del vector A viene dado por

1 2 3 A A Ai j k es 2 2 21 2 3 . A A A A

Por el teorema de Pitágoras,

2 2 2 OP OQ QP

en donde OP es el módulo del vector OP, etc.

Análogamente, 2 2 2. OQ OR RQ

Por lo tanto, 2 2 2 2 OP OR RQ QP o

2 2 2 21 2 3 , A A A A es decir, 2 2 2

1 2 3 . A A A A

22. Dados los vectores 1 2 33 2 2 4 3 2 2, , , r i j k r i j k r i j k hallar los módulos de:

(a) 3,r (b) 1 2 3, r r r (c) 1 2 32 3 5 . r r r

(a) 2 2 23 1 2 22 2 3 r i j k

(b) 1 2 3 3 2 2 4 3 2 2 4 4 0 4 4 r r r i j k i j k i j k i j k i j

Por lo tanto, 2 2 2

1 2 3 4 4 0 4 4 0 32 4 2 5 66. r r r i j k

(c) 1 2 32 3 5 2 3 2 3 2 4 3 5 2 2

6 4 4 6 12 9 5 10 10 5 2 .

r r r i j k i j k i j k

i j k i j k i j k i j k

Por lo tanto, 2 2 2

1 2 3 52 3 5 5 2 2 1 30 5 48. . r r r i j k

23. Dados los vectores 1 2 3 42 3 2 2 3 3 2 5, , , y , r i j k r i j k r i j k r i j k hallar los

valores de los escalares a, b y c de manera que 4 1 2 3. a b cr r r r

3 2 5 2 1 3 2 2 3

2 2 3 2 3 .

a b c

a b c a b c a b c

i j k i j k i j k i j k

i j k

Ahora bien, los vectores , ,i j k no son ni coplanarios ni paralelos, según el problema 15, 2 2 3 3 2 2 3 5, , . a b c a b c a b c

Resolviendo este sistema de ecuaciones, 2 1 3, , , a b c con lo que 4 1 2 32 3 . r r r r

El vector 4r depende linealmente de los vectores 1 2 3y , ;r r r en otras palabras, 1 2 3 4, y,r r r r forman un sistema de vectores linealmente dependiente. Sin embargo, tres (o menos) de esos cuatro vectores son linealmente independientes.

En general, los vectores , , , ...A B C son linealmente dependientes si existe un conjunto de escalares,

a, b, c,…, no todos nulos, de manera que ... , a b cA B C 0 en caso contrario son linealmente independientes.


24. Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores 1 2 4 5 , r i j k

2 2 3 . r i j k

Resultante 1 2 4 5 2 3 3 6 2 . R r r i j k i j k i j k

2 2 23 6 23 6 2 7.R R i j k

Por lo tanto, un vector unitario en la dirección y sentido de R es 3 6 2 3 6 2

7 7 7 7.

R

R i j k

i j k

Comprobación: 2 2 23 6 27 7 7

3 6 21

7 7 7. i j k

25. Hallar un vector de origen 1 1 1, ,P x y z y extremo 2 2 2, , ,Q x y z

determinando luego su módulo.

El vector de posición de P es 1 1 1 1 r i j kx y z .

El vector de posición de Q es 2 2 2 2 r i j kx y z .

1 2 r PQ r o

2 1 2 2 2 1 1 1

2 1 2 1 2 1 .

x y z x y z

x x y y z z

PQ r r i j k i j k

i j k

Módulo de 2 2 2

2 1 2 1 2 1 . x x y y z zPQPQ

Obsérvese que este módulo no es otra cosa que la distancia entre los puntos P y Q.

26. Sobre un sólido actúan tres fuerzas A, B y C que en función de sus componentes, vienen dadas por las

ecuaciones vectoriales 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , . A A A B B B C C CA i j k B i j k C i j k Hallar el módulo de la fuerza resultante.

Fuerza resultante 1 1 1 2 2 2 3 3 3 . A B C A B C A B CR A B C i j k

Módulo de la resultante 2 2 2

1 1 1 2 2 2 3 3 3 . A B C A B C A B C

Este resultado se puede generalizar fácilmente al caso de varias fuerzas.

27. Determinar los ángulos , y que el vector x y zr i j k forma con los sentidos positivos de los ejes de coordenadas, y demostrar que

2 2 2cos cos cos 1. El triángulo OAP de la figura es rectángulo en A; por lo

tanto cos . x

r Análogamente, de los triángulos rectán-

gulos OBP y OCP se deducen cos y

r y cos ,

z

r

respectivamente. Asimismo, 2 2 2 . r x y zr

Por lo tanto, cos , cos , cos , x y z

r r r

de donde se deducen los valores de los ángulos , y pedi-dos. De estas expresiones se obtiene

2 2 2

2 2 22

cos cos cos 1.

x y z

r

Los números cos , cos , cos se llaman los cosenos directores del vector OP.

28. Determinar un conjunto de ecuaciones de la recta que pasa por los puntos 1 1 1 2 2 2 y , , , , .P x y z Q x y z


Sean 1 2 yr r los vectores de posición de P y Q, respectiva-mente, y r el correspondiente aun punto genérico R de la recta PQ.

1 , r PR r o bien, 1 PR r r

1 2, r PQ r o bien, 2 1 PQ r r Ahora bien, ,PR PQt siendo t un escalar. Por lo tanto,

1 2 1 r r r rt que es la ecuación vectorial de la recta.

En coordenadas rectangulares, como , r i j kx y z

1 1 1 2 2 2 1 1 1 i j k i j k i j k i j kx y z x y z t x y z x y z

o bien 1 1 1 2 1 2 1 2 1 i j k i j kx x y y z z t x x y y z z

Como , ,i j k no son coplanarios ni paralelos (son linealmente independientes), según el problema 15,

1 2 1 1 2 1 1 2 1, , x x t x x y y t y y z z t z z

que se llaman las ecuaciones paramétricas de la recta, siendo t el parámetro. Eliminando t se obtiene,

1 1 1

2 1 2 1 2 1

.

x x y y z z

x x y y z z

29. Dado el campo escalar definido por 2 3, , 3 5, x y z x z xy hallar el valor de en los puntos (a) 0 0 0, , ,

(b) 1 2 2, , , (c) 1 2 3, , .

(a) 2 30,0,0 3 0 0 0 0 5 0 0 5 5

(b) 2 31, 2,2 3 1 2 1 2 5 6 8 5 19

(c) 2 31, 2, 3 3 1 3 1 2 5 9 8 5 12

30. Representar gráficamente los siguientes campos vectoriales: (a) , , x y x yV i j (b) , , x y x yV i j (c) , , . x y z x y zV i j k

(a) En cada punto , ,x y excepto en el punto 0 0 0, , , del plano xy está definido un vector único x yi j de

módulo 2 2 ,x y cuya dirección pasa por el origen y sentido alejándose de él. Para simplificar los

métodos gráficos, observemos que todos los vectores asociados a los puntos de las circunstancias 2 2 2 , x y a con 0,a tienen módulo a. En la Fig. (a) aparece representado el campo vectorial en

cuestión a una determinada escala.

Fig. (a) Fig. (b)


(b) En este caso, cada vector es igual y opuesto al correspondiente de (a). En la Fig. (b) se representa el campo vectorial en cuestión. En la Fig. (a) el campo tiene el aspecto de un fluido que emerge de una fuente puntual O, siguiendo las direcciones y sentidos que aparecen. Por esta razón el campo se llama de fuente puntual. En la Fig. (b) el campo parece fluir hacia O, por lo que se llama de tipo sumidero puntual. En el espacio de tres dimensiones la interpretación corresponde a un fluido que emerge (o desagua) Radialmente de una fuente (o sumidero) lineal. El campo vectorial se llama bidimensional porque es independiente de z.

(c) Como el módulo de cada vector es 2 2 2 , x y z todos los puntos de la superficie esférica 2 2 2 x y z 2 , a con 0,a tienen el mismo vector de posición cuyo módulo es, precisamente, a. Por consiguiente,

el campo vectorial presenta el aspecto de un fluido que emerge de una fuente puntual en O según todas las direcciones. Es un campo de tipo fuente puntual en tres dimensiones.

Problemas propuestos

31. Entre las magnitudes que se citan decir cuáles son escalares y cuáles vectoriales. (a)Energía eléctrica,(b) inten-sidad del campo eléctrico, (c) entropía, (d) trabajo, (e) fuerza centrífuga, (f ) temperatura, (g) potencial gravita-torio, (h) carga eléctrica, (i) esfuerzo cortante, (j) frecuencia. Sol. (a) escalar, (b) vectorial, (c) escalar, (d) escalar, (e) vectorial, (f) escalar, (g) escalar, (h) escalar, (i) vectorial, (j) escalar.

32. Un avión recorre 200 km hacia el Oeste y luego 150 km Oeste 60° Norte. Hallar el desplazamiento resultante (a) gráficamente, (b) analíticamente.

Sol. Módulo 304,1 km, dirección y sentido Oeste 25° 17´ Norte.

33. Hallar el desplazamiento resultante de los siguientes: A, 20 km Este 30° Sur; B, 50 km hacia el Oeste; C, 40 km hacia el Noreste; D, 30 km Oeste 60° Sur.

Sol. Módulo 20,9 km, dirección y sentido Oeste 21° 39´ Sur.

34. Demostrar gráficamente que . A B A B

35. Sobre un sólido puntual en P actúan las tres fuerzas coplanarias que muestra la Fig. (a). Hallar la fuerza que es

necesario aplicar en P para mantener en reposo al sólido dado. Sol. 323 N directamente opuesta a la de 150 N.

36. Dados los vectores A, B, C y D representados en la Fig. (b), construir el vector (a) 3 2 A B C D

(b) 1 22

2 3. C A B D

100 N

150 N

200 N

P

C

A

D

B

Fig. (a) Fig. (b)


37. Sean ABCDEF los vértices de un exágono regular, hallar la resultante de las fuerzas representadas por los vectores AB, AC, AD, AE y AF. Sol. 3 AD.

38. Siendo A y B dos vectores demostrar las desigualdades (a) , A B A B (b) . A B A B

39. Demostrar la desigualdad . A B C A B C

40. Dos ciudades A y B están situadas una frente a la otra en las dos orillas de un río de 8 km de ancho, siendo la velocidad del agua de 4 km/h. Un hombre en A quiere ir a la ciudad C que se encuentra a 6 km aguas arriba de B y en su misma ribera. Si la embarcación que utiliza tiene una velocidad máxima de 10 km/h y desea llegar a C en el menor tiempo posible, ¿Qué dirección debe tomar y cuánto tiempo emplea en conseguir su propósito?

Sol . Debe seguir una trayectoria rectilínea formando un ángulo de 34° 28´ con la dirección de la corriente. 1 h 25 min.

41. Un hombre que se dirige hacia el Sur a 15 km/h observa que el viento sopla del Oeste. Aumenta su velocidad a 25 km/h y le parece que el viento sopla del Suroeste. Determinar la velocidad del viento así como su direc-ción y sentido. Sol. El viento viene en la dirección Oeste 56° 18´ Norte a 18 km/h.

42. Un sólido de 100 N de peso pende del centro de una cuerda como se observa en la figura. Hallar la tensión T en la cuerda. Sol. 100 N.

43. Simplificar la expresión 2 3 2 2 A B C A B

2 3 . A B C Sol. 5 3 . A B C

44. Sean ya b dos vectores de distinta dirección y 4 A ax y

2 1 bx y y 2 2 2 3 1 . B a by x x y

Hallar los valores de x y de y de manera que 3 2 .A B Sol. 2 1, . x y

45. Entre los vectores de las bases de dos sistemas de coordenadas, 1 2 3 1 2 3, y ,, ,a a a b b b existen las relaciones

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 32 3 2 2 2 2, , a b b b a b b b a b b b

Expresar el vector 1 2 33 2 F b b b en función de 1 2 3,, .a a a Sol. 1 2 32 5 3 . a a a

46. Sean , ,a b c tres vectores no coplanarios ni paralelos, determinar si los vectores 1 2 3 , r a b c 2 3 5 r a b

2 , c y 3 4 5 r a b c son linealmente independientes.

Sol. Como se verifica la relación 3 1 25 2 , r r r son linealmente independientes.

47. Construir el paralelogramo dados sus vectores diagonales A y B.

48. Demostrar que la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a su mitad (paralela media).

49. (a) Demostrar la igualdad vectorial , OA OB OC OP OQ OR siendo O un punto cualquiera interior al triángulo ABC y P, Q, R los puntos medios de los lados AB, BC, CA, respectivamente.

(b) ¿Es cierta la igualdad si O es un punto exterior al triángulo dado? Demostrarlo. Sol. Sí.

50. En la figura adjunta, ABCD es un paralelogramo y P y Q los puntos medios de los lados BC y CD, respectivamente. Demostrar que AP y AQ dividen a la diagonal BD en tres partes iguales mediante los puntos E y F.

51. Demostrar que las medianas de un triángulo se cortan en un punto, que se llama baricentro, a 1/3 del lado y 2/3 del vértice opuesto según cualquiera de ellas.

52. Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un trián-gulo se cortan en un punto, que se llama incentro y corres-ponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

53. Dado un triángulo cualquiera, demostrar que existe otro triángulo cuyos lados son iguales y paralelos a las me-dianas de aquel.


54. Sean p y q los vectores de posición, respecto de un origen O, de los puntos P y Q, respectivamente. Por otra parte, sea R un punto que divide al segmento PQ en la relación : .m n Demostrar que el vector de posición de

R viene dado por

p qr

m n

m n independientemente del origen elegido.

55. Sean 1 2, , , nr r r los vectores de posición, respecto de un origen O, de las masas puntuales 1 2, , , ,nm m m

respectivamente. Demostrar que el vector de posición del centro de masas viene dado por

1 1 2 2

1 2

...,...,

r r r

r n n

n

m m m

m m m

independientemente del origen elegido.

56. En los vértices de un cuadrilátero, 1 2 2 3 2 1 1 2 4 3 1 2, , , , , , , , , , , , A B C D se colocan masas de

1 2 3 y 4, , unidades, respectivamente. Hallar las coordenadas del centro de masas de dicho sistema.

57. Demostrar que la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados A, B, C, no alineados, de vectores de posición respectivos , ,a b c respecto de un origen O, viene dada por

a b c

rm n p

m n p

siendo m, n, p escalares cualesquiera. Comprobar que dicha ecuación es independiente del origen elegido.

58. Los vectores de posición de los puntos P y Q son, respectivamente, 1 2 3 , r i j k y 2 4 3 2 . r i j k

Determinar el vector PQ en función de , ,i j k y hallar su módulo.

59. Siendo 3 4 , A i j k 2 4 3 , B i j k 2 , C i j k hallar

(a) 2 3 , A B C (b) , A B C (c) 3 2 4 , A B C (d) un vector unitario con la dirección y sentido del

3 2 4 . A B C Sol. (a) 11 8i k (b) 93 9,64 (c) 398 19,95 (d) 3 2 4

19 95.

, A B C

60. Sobre un sólido puntual en P actúan las fuerzas 1 2 3 5 , F i j k 2 5 3 , F i j k 3 2 4 , F i j k

4 4 3 2 , F i j k medidas en newtons (N). Hallar (a) la fuerza resultante, (b) el módulo de dicha resultante.

Sol. (a) 2 ,i j (b) 2 24 N.,

61. En cada uno de los casos siguientes, determinar si los vectores dados son o no linealmente independientes (a) 2 3 , A i j k 4 , B i k 4 3 , C i j k (b) 3 2 , A i j k 2 4 , B i j k 3 2 . C i j k Sol. (a) linealmente dependientes, (b) linealmente independientes.

62. Demostrar que cada cuatro vectores en tres dimensiones deben ser linealmente dependientes.

63. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que los vectores 1 2 3 1 2 3, , A i j k B i j kA A A B B B

1 2 3 , C i j kC C C sean linealmente independientes es que el determinante1 2 3

1 2 3

1 2 3

A A A

B B B

C C C

sea distinto de cero.

64. (a) Demostrar que los vectores 3 2 , A i j k 3 4 , B i j k 4 2 6 C i j k pueden ser los lados de un triángulo, (b) Hallar las longitudes de las medianas de dicho triángulo. Sol. 2,45; 5,34; 6,12.

65. Dado el campo escalar 3 2, , 4 3 2, x y z yz xyz z hallar (a) 1, 1, 2 , (b) 0, 3,1 .

Sol. (a) 36, (b) -11.

66. Representar gráficamente los campos vectoriales definidos por

(a) , , V i jx y x y (b) , , V i jx y y x (c) 2 2 2

, , .

i j kV

x y zx y z

x y z

16

Capítulo 2

Productos escalar y vectorial

PRODUCTO ESCALAR O INTERNO. Dados dos vectores A y B, su producto escalar o interno, A B , se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Por lo tanto

cos , 0 ABA B Obsérvese que A B es un escalar, un número y no un vector.

Las propiedades del producto escalar son: 1. A B B A Propiedad conmutativa

2. A B C A B A C

3. , m m m mA B = A B A B A B

4. 1 0, i i = j j k k i j = j k k i

5. Dados 1 2 3 1 2 3 y A A A B B BA = i j k B = i j k , se verifica,

1 1 2 2 3 3

21 1 2 2 3 3

21 1 2 2 3 3

A B A B A B

A A A A A A A

B B B B B B B

A B

A A

B B

6. Si 0 A B y ninguno de los vectores es nulo, ambos son perpendiculares.

PRODUCTO VECTORIAL O EXTERNO. Dados dos vectores A y B, su producto vectorial o externo es otro vector C A B . El módulo de A B es el producto de sus módulos por el seno del

ángulo que forman. La dirección de C A B es la perpendicular al plano que forman A y B, y su sentido es tal que A, B, y C forman un triedro a derechas. Por lo tanto

sen , 0 ABA B u

siendo u un vector unitario que indica la dirección y sentido del producto A B . Si A B , o bien si A tiene la misma dirección que B, sen 0 , con lo que A B 0 .

Las propiedades del producto vectorial son: 1. A B B A (No goza de la propiedad conmutativa)

2. A B C A B A C

3. , m m m mA B = A B A B A B

4. , i i = j j k k 0 i j = k j k i k i j

5. Dados 1 2 3 1 2 3 y A A A B B BA = i j k B = i j k , se verifica,

Propiedad distributiva del producto escalarrespecto de la sumasiendo un escalarm

Propiedad distributiva del producto vectorialrespecto de la sumasiendo un escalarm

PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 17

1 2 3

1 2 3

A A A

B B B

i j k

A B

6. El módulo de A B representa el área del paralelogramo de lado A y B.

7. A B 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos tienen la misma dirección.

PRODUCTOS TRIPLES. Por medio de productos escalares y vectoriales de tres vectores , y ,A B C se pueden formar productos de la forma , y . A B C A B C A B C Se verifican

las propiedades siguientes:

1. A B C A B C

2. A B C B C A C A B volumen de un paralelepípedo de aristas , y A B C con signo

positivo o negativo según que , y A B C formen un triedro a derechas o a izquierdas. Si

1 2 3 1 2 3 1 2 3 y , , A A A B B B C C CA = i j k B = i j k C = i j k

1 2 3

1 2 3

1 2 3

A A A

B B B

C C C

A B C

3. A B C A B C (El producto vectorial no goza de la propiedad asociativa)

4.

A B C A C B A B C

A B C A C B B C A

El producto A B C se llama triple producto escalar y se representa por .ABC El producto

A B C recibe el nombre de triple producto vectorial.

En el producto A B C se pueden omitir los paréntesis y escribir A B C (Problema 41).

Sin embargo, esto no se puede hacer en el producto A B C (véanse los Problemas 29 y 47).

SISTEMAS DE VECTORES RECÍPROCOS. Dos sistemas de vectores , , y , , a b c a b c se llaman recíprocos, si

1

a a b b c c

a b a c b a b c c a c b 0

La condición necesaria y suficiente para que los sistemas de vectores , , y , , , a b c a b c sean recí- procos es que

, ,

b c c a a b

a b ca b c a b c a b c

siendo . a b c 0 (problemas 53 y 54).

18 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

Problemas resueltos

1. Demostrar que . A B B A

cos cos AB B AA B B A

Por consiguiente, el producto escalar goza de la propiedad conmutativa.

2. Demostrar que A B es igual a la proyección de A sobre B, siendo b el vector unitario en la dirección y sentido de B.

Como indica la figura, los planos perpendiculares a B trazados por el origen y el extremo de A cortan a aquél en los puntos G y H, respectivamente, por lo tanto,

Proyección de A sobre B cos GH EF A A b

3. Demostrar que . A B C A B A C

Sea a el vector unitario en la dirección y sentido de A, entonces,

Proyección de B C sobre A proyección de B sobre A

+ proyección de C sobre A

B C a B a C a

Multiplicado por A,

y

A A AB C a B a C a

B C A B A A C

Teniendo en cuenta la propiedad conmutativa del producto escalar,

A B C A B A C

luego el producto escalar goza de la propiedad distributiva respecto de la suma.

4. Demostrar que . A B C D A C A D B C B D

Del problema 3, . A B C D A C D B C D A C A D B C B D

Luego el producto escalar goza de las propiedades del álgebra ordinaria. 5. Hallar los productos escalares siguientes: (a) cos0 1 1 1 1 i i = i i

(b) cos90 1 1 0 0 i k = i k

(c) cos90 1 1 0 0 k j = k j

(d) 2 3 2 3 0 3 0 3 j i j k j i j j j k

(e) 2 3 2 3 3 6 2 3 6 0 0 0 6 i j i k i i k j i k i i i k j i j k

6. Si 1 2 3 1 2 3 y , , A A A B B BA = i j k B = i j k demostrar que 1 1 2 2 3 3. A B A B A BA B =

1 2 3 1 2 3

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

A A A B B B

A B B B A B B B A B B B

A B A B A B A B A B A B A B A B A B

A B = i j k i j k

i i j k j i j k k i j k

i i i j k k j i j j j k k i k j k k


1 1 2 2 3 3. A B A B A B=

ya que 1 i i = j j k k y todos los demás productos escalares son nulos.

7. Siendo 1 2 3 , A A AA = i j k demostrar que 2 2 21 2 3 . A A A AA A

2cos0 . A A AA A Luego, . A A A

También,

1 2 3 1 2 3

2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3

A A A A A A

A A A A A A A A A

A A = i j k i j k

del problema 6, tomando .B A

Por lo tanto, 2 2 21 2 3 A A A AA A es el módulo de A. Algunas veces A A se representa por 2A .

8. Hallar el ángulo formado por los vectores 2 2 A= i j k y 6 3 2 . B= i j k

2 2 2 2 2 22 2 1 3 6 3 2 7cos , , AB A BA B =

2 6 2 3 1 2 12 6 2 4 A B =

Por lo tanto,

4 4cos 0,1905,

3 7 21

AB

A B= de donde 79 , aproximadamente.

9. Si 0A B = y A y B son distintos de cero, demostrar que A es perpendicular a B.

Si cos 0, ABA B = entonces cos 0, o sea, 90 . Recíprocamente, si 90 0, . A B

10. Hallar el valor de a de forma que 2 aA= i j k y 4 2 2 B= i j k sean perpendiculares.

Del problema 9, A y B son perpendiculares si 0.A B = Por lo tanto, 2 4 2 1 2 8 2 2 0, a aA B = de donde, 3.a

11. Demostrar que los vectores 3 2 , A = i j k 3 5 , B i j k 2 4 C i j k forman un triángulo

rectángulo. Demostraremos, en primer lugar, que los vectores forman triángulo.

(a) (b) De las figuras se deduce que ello ocurre si

(a) uno de los vectores, por ejemplo (3), es la resultante de los otros dos (1) y (2). (b) La resultante de los vectores (1) + (2) + (3) es el vector nulo. Como indican las figuras, puede ocurrir que

dos vectores tengan el extremo común, o bien, que ninguno de los extremos coincidan. En nuestro caso es trivial que A B C y, por lo tanto, los vectores forman triángulo.

Como 3 1 2 3 1 5 14, A B = 3 2 2 1 1 4 0, A C = y

1 2 3 1 5 4 21, B C = se deduce que A y C son perpendiculares y que el triángulo

es rectángulo.


12. Hallar los ángulos que forma el vector 3 6 2 A = i j k con los ejes coordenados.

Sean , , los ángulos que forman A con los semiejes positivos , , ,x y z respectivamente.

2 2 21 cos 3 6 2 7cos

3 2 3 6 3

AA i =

A i = i 6j k i i i j i 2k i

Por lo tanto, cos 3 7 0,4286, de donde 64,6 , aproximadamente.

Análogamente, cos 6 7, 149 , de donde, cos 2 7, 73,4 .

Los cosenos de , , y se llaman cosenos directores de A (problema 27, Capítulo 1). 13. Hallar la proyección del vector 2 A = i j k según la dirección de 4 4 7 . B = i j k

El vector unitario en la dirección y sentido de B es 2 2 2

4 4 7 4 4 7.

9 9 94 4 7

B

B i j kb = i j k

Proyección de A sobre el vector

4 4 72

9 9 9

4 4 7 191 2 1 2,11

9 9 9 9

B A b i j k i j k

14. Demostrar el teorema del coseno de un triángulo cualquier.

En la Fig. (a) inferior, , B C A o bien, . C A B

Luego 2 C C A B A B A A B B A B

o sea, 2 2 2 2 cos . C A B AB

Fig. (a) Fig. (b)

15. Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares. (Fig. (b).)

, o bien, , de donde,

OQ OP PQ A B

OR RP OP B RP A RP A B

Luego 2 2 0, ya que . A B A BOQ RP A B A B

Por consiguiente, OQ es perpendicular a RP. 16. Hallar el vector unitario perpendicular al plano formado por 2 6 3 y 4 3 . A i j k B i j k Sea 1 2 3 c c cC i j k un vector perpendicular al plano formado por A y B. El vector C es perpendicular a A y a B. Luego,

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

2 6 3 0, o sea, ( ) 2 6 3

4 3 0, o sea, ( ) 4 3

c c c 1 c c c

c c c 2 c c c

C A

C B


Resolviendo el sistema forma por (1) y (2): 1 3 2 3 3

1 1 1 1, , .

2 3 2 3

c c c c C c i j k

Luego el vector unitario en la dirección y sentido de C es

3

2 222

3

1 13 2 62 3

.7 7 71 1

12 3

C

c i j kC

i j k

c

17. Hallar el trabajo realizado por la fuerza 2 F i j k al desplazar un sólido puntual a lo largo del vector

3 2 5 . r i j k (Fig. (a).) Trabajo realizado (módulo de la fuerza en la dirección y sentido del movimiento) (desplazamiento)

cos

2 3 2 5 6 2 5 9.

F r F r

i j k i j k

Fig. (a) Fig. (b) 18. Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector 2 3 6 A i j k y que pasa por el extremo del vector

5 3 . B i j k (Fig. (b).) Sea r el vector de posición del punto P, y Q el extremo de B.

Como PQ B r es perpendicular a A, 0, B r A o sea, r A B A es la ecuación vectorial

del plano buscado. En coordenadas rectangulares,

2 3 6 5 3 2 3 6 x y zi j k i j k i j k i j k

o bien, 2 3 6 1 2 5 3 3 6 35 x y z

19. En el problema 18, hallar la distancia del origen al plano. La distancia del origen al plano es igual a la proyección de B sobre A.

El vector unitario en la dirección y sentido de A es 2 2 2

2 3 6 2 3 6.

7 7 72 3 6

A

A i j ka i j k

Luego, la proyección de B sobre 5 3 2 7 3 7 6 7 1 2 7 5 3 7 6 3 7 5. A B a i j k i j k

20. Siendo A un vector cualquiera, demostrar que . A = A i i A j j A k k

Como 1 2 3 1 2 3 1, A A A A A A AA = i j k A i = i i j j k k

Análogamente, 2 3 y . A AA j = A k

Luego, 1 2 3 . A A AA = i j k A i i A j j A k k


PRODUCTO VECTORIAL

21. Demostrar que . A B B A

Fig. (a) Fig. (b) El módulo de A B C es senAB y su dirección y sentido son tales que A, B y C forman un triedro a derechas (Fig. (a)). El módulo de B A D es senBA y su dirección y sentido son tales que A, B y D forman un triedro a izquierdas (Fig. (b)). Por lo tanto D tiene el mismo módulo y dirección que C pero es de sentido contrario, es decir, , C D o sea, . A B B A El producto vectorial no goza de la propiedad conmutativa.

22. Siendo A B 0 y A y B no nulos, demostrar que A es paralelo a B. Si sen 0, ABA B u sen 0 y 0 ó 180°.

23. Demostrar que 2 2 2

. A B A B A B

2 2 2 2 2 2 2 2 2sen cos sen cos AB AB A B A BA B A B u

2 22 2 . A B A B

24. Hallar los productos vectoriales siguientes:

(a) i j k (f ) j j 0

(b) j k i (g) i k k i j

(c) k i j (h) 2 3 6 6 j k j k i

(d) k j j k i (i) 3 2 6 6 i k i k j

(e) i i 0 (j) 2 3 2 3 5 j i k k k k

25. Demostrar que A B C A B A C en el

caso en que A es perpendicular a B y también cuando lo sea a C.

Como A es perpendicular a B, A B es un vector perpendicular al plano formado por A y B y cuyo módulo es sen90 , AB AB o sea, el módulo de AB. Esto equivale a multiplicar el vector B por A y girar el vector resultante un ángulo de 90° hasta la posición que se indica en la figura. Análogamente, A C es el vector que se obtiene multiplicando C por A y girar el vector resultante un ángulo de 90° hasta la posición indicada en la figura.


De la misma forma, A B C es el vector que se obtiene al multiplicar B C por A y girar el vector

resultante un ángulo de 90° hasta la posición indicada en la figura.

Como A B C es la diagonal del paralelogramo cuyos lados son A B y ,A C se deduce,

. A B C A B A C

26. Demostrar que A B C A B A C en el caso

general en que A, B y C no sean coplanarios ni paralelos. Descomponiendo B en sus componentes, perpendicular a A, ,B y paralelo a A, ,B se tiene, . B B B

Llamando al ángulo formado por A y B, sen .B B

Por lo tanto, el módulo de A B es sen ,AB es decir,

igual que el de .A B La dirección y sentido de A B

son también las mismas que las de .A B Por consi-guiente, . A B A B Análogamente, si se descompone C en los vectores C y C paralelo y perpendicular, respectivamente, a A,

se obtiene, . A C A C

También, como B C B B C C B C B C se deduce,

. A B C A B C

Ahora bien, B y C son perpendiculares a A y, según el problema 25,

Por lo tanto,

A B C A B A C

A B C A B A C

que expresa que el producto vectorial goza de la propiedad distributiva respecto de la suma. Multiplicando por 1, y teniendo en cuenta el problema 21, . B C A B A C A Obsérvese que en el pro-

ducto vectorial hay que tener en cuenta el orden de los factores. Las propiedades usuales del álgebra se pueden aplicar únicamente si se toman los vectores en el orden establecido.

27. Siendo 1 2 3 1 2 3 y A A A B B B A = i j k B = i j k, , demostrar que 1 2 3

1 2 3

A A A

B B B

i j k

A B

1 2 3 1 2 3

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2 3

1 2 3

.

A A A B B B

A B B B A B B B A B B B

A B A B A B A B A B A B A B A B A B

A B A B A B A B A B A B A A A

B B B

A B i j k i j k

i i j k j i j k k i j k


i j k

i j

28. Dados 2 3 y 4 2 A = i j k B = i j k, , hallar (a) ,A B (b) ,B A (c) . A B A B

(a) 2 3 4 2 2 3 1

1 4 2

3 1 2 1 2 310 3 11

4 2 1 2 1 4

i j k

A B i j k i j k

i j k i j k

Otro método.

2 3 4 2 2 4 2 3 4 2 4 2

2 8 4 3 12 6 4 2

8 4 3 6 4 10 3 11

i j k i j k i i j k j i j k k i j k


0 k j k 0 i j i 0 i j k


(b) 4 2 2 3 1 4 2

2 3 1

4 2 1 2 1 410 3 11 .

3 1 2 1 2 3

i j k

B A i j k i j k

i j k i j k

Comparando con (a), . A B B A Obsérvese que esto equivale al teorema siguiente: Si en un determinante se permutan entre sí dos líneas (filas o columnas), el determinante cambia de signo.

(c) 2 3 4 2 3 3

2 3 4 2

A B i j k i j k i j k

A B i j k i j k i 7j k

Luego 3 3 3 1 3

1 7 1

1 3 3 3 3 120 6 22 .

7 1 1 1 1 7

i j k

A B A B i j k i 7j k

i j k i j k

Otro método.

2

2 10 3 11 20 6 22 , aplicando ( ).a

A B A B A A B B A B

A A A B B A B B 0 A B A B 0 A B

i j k i j k

29. Si 3 2 2 y 2 2 A = i j k B = i j k C = i j k, , ,hallar (a) , A B C (b) . A B C

(a) 3 1 2 7 5 .

2 1 1

i j k

A B i j k

Luego 7 5 2 2 1 7 5 24 7 5 .

1 2 2

i j k

A B C i j k i j k i j k

(a) 2 1 1 0 5 5 5 5 .

1 2 2

i j k

B C i j k j k

Luego 3 2 5 5 3 1 2 15 15 15 .

0 5 5

i j k

A B C i j k j k i j k

Así pues, , A B C A B C demuestra la necesidad de utilizar paréntesis en A B C

para evitar ambigüedades. 30. Demostrar que el área del paralelogramo de lados A

y B es .A B

Área del paralelogramo

sen

.

h

B

A B

A B

Obsérvese que el área del triángulo que tiene por lados A y B es igual a 1

2 .A B

31. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos 1 3 2 2 1 1 1 2 3P Q R, , , , , , , , .

2 1 1 3 1 2 4

1 1 2 3 3 2 2

PQ i j k i j k

PR i j k i j k


Del problema 30,

1 12 2

2 2 21 1 1 12 2 2 2

área del triángulo 4 2

1 4 1 5 9 5 1 9 107.

2 1 1

PQ PR i j k i j k

i j k

i j k

32. Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por 2 6 3 y 4 3 A = i j k B = i j k. A B es un vector unitario perpendicular al plano formado por A y B.

2 6 3 15 10 30

4 3 1

i j k

A B i j k

El vector unitario en la dirección y sentido de A B es

2 2 2

15 10 30 3 2 6.

7 7 715 10 30

A B i j ki j k

A B

El vector unitario de la misma dirección y sentido contrario es 3 2 6 7 i j k .

Comparar con el resultado del problema 16.

33. Deducir el teorema de los senos en triángulo plano. Sean , y a b c los lados del triángulo ABC que se re-

presenta en la figura; en estas condiciones . a b c 0 Multiplicando por , , , a b c sucesivamente, se obtiene

a b b c c a

es decir, sen sen senab C bc A ca B

o bien, sen sen sen

.A B C

a b c

34. Considerando un tetraedro de caras 1 2 3 4, , , ,F F F F y sean

1 2 3 4, , ,V V V V los vectores cuyos módulos son, respectiva-

mente, las áreas de 1 2 3 4, , , ,F F F F cuyas direcciones son perpendiculares a dichas caras y de sentido hacia el exte-rior del tetraedro. Demostrar que 1 2 3 4 . V V V V 0

Según el problema 30, el área de un triángulo de lados R y S es 1

2 .R S

Los vectores asociados con cada una de las caras del tetraedro son

1 1 1 11 2 3 42 2 2 2, , , V A B V B C V C A V C A B A

Luego

11 2 3 4 2

12 .

V V V V A B B C C A C A B A

A B B C C A C B C A A B A A 0

Este resultado se puede generalizar a un poliedro cerrado y, en caso límite, a una superficie cerrada cualquiera. Algunas veces, como hemos visto en este caso, resulta conveniente asignar dirección y sentido a un área, es decir, considerar con carácter vectorial a una superficie. Se puede hablar, en estas condiciones del vector área o vector superficie.

35. Hallar el momento de una fuerza F respecto de un punto P.

El módulo del momento M de una fuerza F respecto de un punto P es igual al módulo de la fuerza F,


multiplicando por la distancia del punto P a la directriz de F. Por lo tanto, llamando r al vector que une P con el origen Q de F, resulta,

sen senM F r rF r F

El sentido de r F corresponde al avance de un sacacor-chos en P con el sentido de rotación tal que lleve a coincidir el primer vector con el segundo por el menor de los ángulos que forman (regla del triedro a derechas que hemos visto anterior-mente). El momento de un vector se representa, entonces, por

. M r F

36. Un sólido rígido gira alrededor de un eje que pasa por O con una velocidad angular . Demostrar que la velocidad lineal v de un punto P del sólido cuyo vector de posición es r viene dada por , v ω r siendo un vector de módulo y cuya dirección y sentido son las del avance de un sacacorchos que gira en el sentido del movimiento. Como el punto P describe una circunferencia de radio r sen , el módulo de la velocidad lineal v es sen .r ω r

Por consiguiente, v es perpendicular a y a r de forma que r, y v formen un triedro a derechas. Luego v tiene el mismo módulo, dirección y sentido que

,ω r es decir, . v ω r El vector se llama velocidad angu-lar instantánea.

PRODUCTOS TRIPLES.

37. Demostrar que el valor absoluto de A B C es

igual al volumen de un paralelepípedo de aristas A, B y C.

Sea n el vector unitario perpendicular al paralelogramo I con la misma dirección y sentido que B C , y h la distancia del extremo de A al para-

lelogramo I.

Volumen del paralelepípedo altura (área del paralelogramo )

=

h I

A n B C

A B C n A B C

Si A, B y C no forman un triedro a derechas, 0 A n y el volumen . A B C

38. Si 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A A A B B B C C C A = i j k B = i j k C = i j k, , demostrar que

1 2 3

1 2 3

1 2 3

A A A

B B B

C C C

A B C

1 2 3

1 2 3

1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1 1 2 3

1 2 3

B B B

C C C

A A A B C B C B C B C B C B C

A A A

A B C B C A B C B C A B C B C B B B

C C C

i j k

A B C A

i j k i j k


39. Hallar 2 3 3 . i j i j k i k

Del problema 38, se obtiene

2 3 0

1 1 1 4.

3 0 1

Otro método. Haciendo operaciones,

2 3 3 3 3

2 3 3 3 3

2 3 3 3

2 3 2 3 2 1 3 2 0 3 4.

i j i i k j i k k i k

i j i i i k j i j k k i k k

i j 0 j k i j 0

i j i j k

40. Demostrar que . A B C B C A C A B

Del problema 38, 1 2 3

1 2 3

1 2 3

A A A

B B B

C C C

A B C

Teniendo en cuenta que en un determinante si se permutan entre sí dos líneas (filas o columnas) su valor cambia de signo,

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

A A A B B B B B B

B B B A A A C C C

C C C C C C A A A

A A A C C C C C C

B B B B B B A A A

C C C A A A B B B

B C A

B C A

41. Demostrar que . A B C A B C

Del problema 40, A B C C A B A B C

En el producto A B C se puede suprimir el paréntesis y escribir , A B C ya que en este caso no existe

ambigüedad; en efecto, las únicas interpretaciones posibles son de A B C y , CA B pero esta última

carece de sentido ya que no está definido el producto vectorial de un escalar por un vector. La igualdad A B C A B C se puede expresar diciendo que los productos escalar y vectorial, en

estas condiciones, son permutables.

42. Demostrar que 0. A A C

Del problema 41, 0. A A C A A C

43. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que los vectores A, B y C sean coplanarios es que

0. A B C Obsérvese que A B C no puede significar otra cosa que . A B C

Si A, B y C son coplanarios, el volumen del paralelepípedo formado por ellos es igual a cero. Luego, según el problema 37, 0. A B C Recíprocamente, si 0, A B C el volumen del paralelepípedo formado por los vectores A, B y C es cero, y, por tanto, los vectores son coplanarios.

44. Sean 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3, ,x y z x y z x y z r i j k r i j k r i j k los vectores de posición de los


puntos 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3P x y z P x y z P x y z, , , , , , , , . Hallar la

ecuación del plano que pasa por 1 2 3 y P P P, .

Supongamos que 1 2 3 y P P P, no están alineados, es decir, que determinan un plano. Sea x y z r i j k el vector de posición de un punto genérico del plano. Considerando los vectores

1 2 2 1 1 3 3 1 1 1, , y , P P r r P P r r P P r r que son coplanarios. Del problema 43, 1 1 2 1 3 0 ó P P P P P P

3 11 2 1 0 r rr r r r En coordenadas rectangulares,

1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 0x x y y z z x x y y z z x x y y z z i k i j k i j k

o bien según el problema 38, 1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

0.

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

45. Hallar el plano formado por los puntos 1 2 32 1 1 3 2 1 1 3 2P P P , , , , , , , , .

Los vectores de posición de 1 2 3P P P, , y de un punto cualquiera P x y z, , son, respectivamente,

1 2 32 3 2 3 2 y x y z r i j k r i j k r i j k r i j k, , , . Los vectores 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1, , P P r r P P r r P P r r están situados en el plano pedido, luego

r r r rr r 2 1 3 11 0

es decir,

01 3 2 3 42 1

01 11 5 132 1

11 5 13 0 o bien, 11 5 13 30.12 1

yx z

yx z

x y zyx z

i k i j k i j k

i k i j k

46. Sean a, b y c los vectores de posición de los puntos P, Q y R no alineados.

Llamemos r al vector de un punto genérico del plano formado por P, Q y R. Los vectores

, , y r a b a c a son coplanarios y, según el problema 43: 0 o bien, 0. r a b a c a r a a b b c c a

Luego a b b c c a es perpendicular a r a y también al plano formado por P, Q y R.

47. Demostrar que: (a) , A B C B A C C A B (b) . A B C B A C A C B

(a) Sean 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A A A B B B C C C A = i j k B = i j k C = i j k, ,

Se tiene

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

A A A B B B

C C C

A A A B C B C B C B C B C B C

i j k

A B C i j k

i j k i j k


1 2 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 1 2 2 2 1 3 3 1 3 1 3 3 2 3 3 3 2 1 1 2 1 2 1

1 3 1 1 1 3 2 2 3 2 3 2

A A A

B C B C B C B C B C B C

A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C

A B C A B C A B C A B C

i j k

i j

k

También, B A C C A B

1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3

3 1 1 3 2 2 3 1 1 3 2 2

B B B AC A C A C C C C A B A B A B

A B C A B C A C B A C B B AC B A C C A B C A B

B AC B A C C A B C A B

i j k i j k

i j

k

(b) A B C C A B A C B B C A B A C A B C habiendo sustituido A, B

y C de (a) por C, A y B respectivamente. Obsérvese que , A B C A B C es decir, el producto vectorial no goza de la propiedad

asociativa para todos los vectores , , .A B C 48. Demostrar que . A B C D A C B D A D B C

Del problema 41, . X C D X C D Sea ; X A B luego

, según el problema 47( ).b

A B C D A B C D B A C A B C D

B A C A B C

49. Demostrar que 0. A B C B C A C A B

Del problema 47(a),

A B C B A C C A B

B C A C B A A B C

C A B A C B B C A

Sumando miembro a miembro se obtiene el resultado pedido.

50. Demostrar que: . A B C D B A C D A B C D C A B D D A B C

Del problema 47(a), . X C D C X D D X C Sea ; X A B entonces,

A B C D C A B D D A B C

C A B D D A B C

Del problema 47(a), . A B Y B A Y A B Y Sea ; Y C D entonces,

A B C D B A C D A B C D

51. Sea PQR un triángulo esférico cuyos lados son p, q, r son arcos de círculo máximo. Demostrar que

sen sen sen

sen sen sen

P Q R

p q r

Supongamos que la esfera es de radio unidad, y sean A, B y C los vectores unitarios trazados desde el centro O de la esfera a los puntos P, Q y R, respectivamente. Del problema 50, (1) A B A C A B C A


El vector unitario perpendicular a y A B A C es A, por lo que de (1) se obtiene (2) sen sen senr q P A A B C A o

(3) sen sen senr q P A B C Por permutación cíclica de p, q, r, P, Q, R, y A, B, C se obtiene (4) sen sen senp r Q B C A

(5) sen sen senq p R C A B Como segundos miembros de (3), (4) y (5) son iguales (problema 40), sen sen sen sen sen sen sen sen senr q P p r Q q p R

de donde se deduce, sen sen sen

sen sen sen

P Q R

p q r

Este es el teorema de los senos de la trigonometría esférica.

52. Demostrar que: 2. A B B C C A A B C

Del problema 47(a), . X C A C X A A X C Sea ; X B C entonces,

B C C A C B C A A B C C

C A B C A B C C C A B C

Por lo tanto, 2

.

A B B C C A A B C A B C

A B C A B C A B C

53. Dados los vectores , , y ,

b c c a a b


demostrar que si 0, a b c

(a) 1, a a b b c c (b) 0, 0, 0, a b a c b a b c c a c b

(c) , entonces 1 ,V V a b c a b c

(d) , y a b c no son coplanarios si , y a b c no lo son.

(a) 1

b c a b c

a a a a aa b c a b c

1

c a b c a a b c

b b b b ba b c a b c a b c

1 a b c a b a b c

c c c c ca b c a b c a b c

(b) 0

b c b b c b b c

a b b a ba b c a b c a b c

Los otros resultados se deducen de forma análoga. También se pueden hallar observando, por ejemplo, que a tiene la misma dirección y sentido que b c y que, por lo tanto, debe ser perpendicular a b y a c, con lo cual, 0 y 0. a b a c De (a) y (b) se infiere que los sistemas de vectores , ,a b c y , , a b c son recíprocos. (Problemas propuestos 104 y 106.)


(c) , ,V V V

b c c a a b

a b c

Luego

3 3

2 2

3 3

1según el problema 52.

V V

V

V V V

b c c a a b a b b c c aa b c

a b c

(d) Del problema 43, si , y a b c no son coplanarios . a b c 0 Luego de (c) se deduce que a b c 0

con lo cual , y a b c no son coplanarios.

54. Demostrar que todo vector r se puede expresar en función de los vectores recíprocos del problema 53 en la forma

. r r a a r b b r c c

Del problema 5 B A C D A B C D C A B D D A B C

entonces,

A B C D B A C D C A B DD

A B C A B C A B C

Sea , , y . A a B b C c D r En estas condiciones,

r b c r c a r a br a b c

a b c a b c a b cb c c a a b

r a r b r ca b c a b c a b c

r a a r b b r c c


55. Hallar: (a) , k i j (b) 2 3 , i k j k (c) 2 3 3 2 3 . i j k i j k

Sol. (a) 0 (b) 6 (c) 1

56. Si 3 2 y 4 2 4 , A i j k B i j k hallar:

(a) ,A B (b) A, (c) B, (d) 3 2 ,A B (e) 2 2 . A B A B

Sol. (a) 10 (b) 14 (c) 6 (d) 150 (e) 14

57. Hallar el ángulo formado por (a) 3 2 6 y 4 3 , A i j k B i j k (b) 4 2 4 y 3 6 2 . C i j k D i j k

Sol. (a) 90 (b) arccos 8 21 67 36

58. ¿Para qué valores de a son 2 y 2 4a a a A i j k B i j k perpendiculares? Sol. 2, 1a

59. Hallar los ángulos agudos formados por la recta que une los puntos 1, 3, 2 y 3, 5,1 con los ejes coor-

denados. Sol. arccos 2 3, arccos 2 3, arccos 1 3 ó 48°12 , 48°12 , 70 32

60. Hallar los cosenos directores de la recta que pasa por los puntos 3, 2, 4 y 1, 1, 2 .

Sol. 2 7, 3 7, 6 7 ó 2 7, 3 7, 6 7

61. Dos lados de un triángulo son los vectores 3 6 2 y 4 3 . A i j k B i j k Hallar los ángulos del

triángulo. Sol. arccos 7 75 , arccos 26 75 , 90 ó bien, 36°4 , 53°56 , 90 62. Las diagonales de un paralelogramo son 3 4 y 2 3 6 . A i j k B i j k Demostrar que dicho

paralelogramo es un rombo y hallar sus ángulos y la longitud de sus lados.

Sol. arccos 5 3 2, arccos 23 75, 180 arccos 23 75, o bien, 4°33 , 72°8 , 107 52


63. Hallar la proyección del vector 2 3 6 i j k sobre el vector 2 2 . i j k Sol. 8 3 64. Hallar la proyección del vector 4 3 i j k sobre la recta que pasa por los puntos 2, 3, 1 y 2, 4, 3 . Sol. 1 65. Si 4 3 y 2 2 , A i j k B i j k hallar el vector perpendicular a A y B.

Sol. 2 2 3. i j k

66. Hallar el ángulo formado por dos diagonales de un cubo. Sol. arccos 1 3, o bien, 70°32 67. Hallar el vector unitario paralelo al plano xy y perpendicular al vector 4 3 . i j k Sol. 3 4 5 i j

68. Demostrar que 2 2 3, 2 2 3, y 2 2 3 A i j k B i j k C i j k son vectores unitarios

mutuamente perpendiculares. 69. Hallar el trabajo realizado para desplazar un cuerpo a lo largo de la recta que pasa por 3, 2, 1 y 2, 1, 4

en el campo de fuerzas dado por 4 3 2 . F i j k Sol. 15 70. Sea F un campo de fuerzas constante. Demostrar que el trabajo realizado para desplazar un cuerpo a lo largo

de un polígono cerrado en este campo es cero. 71. Demostrar que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

72. Sea ABCD un paralelogramo. Demostrar que 2 2 2 2 2 2

.AB BC CD DA AC BD 73. Siendo ABCD un cuadrilátero cualquiera y P y Q los puntos medios de sus diagonales, demostrar que

2 2 2 2 2 2 24AB BC CD DA AC BD PQ

Esto es una generalización del problema anterior. 74. (a) Hallar la ecuación vectorial del plano perpendicular a un vector dado A y que dista p unidades del origen.

(b) Expresar la ecuación de (a) en coordenadas rectangulares. Sol. (a) , siendo ;p A r n n A (b) 1 2 3A x A y A z Ap

75. Sean 1 2 y r r vectores unitarios del plano xy que forman los ángulos y con el semieje x positivo.

(a) Demostrar que 1 2cos sen , cos sen . r i j r i j

(b) A partir de 1 2 ,r r deducir las fórmulas trigonométricas

cos cos cos sen sen , cos cos cos sen sen

76. Siendo a el vector de posición de un punto dado 1 1 1, , ,x y z y r el vector de posición de un punto cualquiera

, , ,x y z hallar el lugar geométrico de r si (a) 3, r a (b) 0, r a a (c) 0. r a r

Sol. (a) Esfera, centro en 1 1 1, ,x y z y radio 3.

(b) Plano perpendicular a a que pasa por su extremo.

(c) Esfera de centro en 1 1 12 , 2 , 2x y z y radio 2 2 212 1 1 1 ,x y z o sea, una esfera de diámetro (a).

77. Siendo 3 2 y 2 4 A i j k B i j k los vectores de posición de los puntos P y Q respectivamente: (a) Hallar la ecuación del plano que pasa por Q y es perpendicular a la recta PQ. (b) ¿Cuál es la distancia del punto 1,1,1 al plano?

Sol. (a) 0, r A A B o bien, 2 3 6 28;x y z (b) 5

78. Efectuar los productos indicados: (a) 2 3 4 , j i k (b) 2 , i j k (c) 2 4 2 , i k i j (d) 4 2 3 , i j k i k (e) 2 3 2 4 i j k i j k

Sol. (a) 8 6 , i k (b) 2 ,i j (c) 8 4 4 , i j k (d) 10 3 , i j k (e) 2 11 7 i j k

79. Si 3 2 y 2 3 , A i j k B i j k hallar: (a) ,A B (b) 2 2 , A B A B (c) . A B A B

Sol. (a) 195, (b) 25 35 55 , i j k (c) 2 195 80. Si 2 3 , 2 y 3 2 , A i j k B i j k C i j k hallar:

(a) , A B C (c) , A B C (e) A B B C

(b) , A B C (d) , A B C (f ) A B B C

Sol. (a) 5 26, (b) 3 10, (c) 20, (d) 20, (e) 40 20 20 , i j k (f ) 35 35 35 i j k 81. Demostrar que si se verifican simultáneamente las condiciones: (a) A B A C y (b) , A B A C siendo

,A 0 se tiene que ,B C pero que si solo se cumple una de ellas, entonces B C necesariamente.

82. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son 3 2 y 3 4 . A i j k B i j k Sol. 5 3


83. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos 3, 1,2 , 1, 1, 3 y 4, 3,1 . Sol. 1 2 165

84. Si 2 3 y 2 , A i j k B i j k hallar un vector de módulo 5 perpendicular a los vectores A y B.

Sol. 5 3

3 i j k

85. Teniendo en cuenta el problema 75, deducir las fórmulas

sen sen cos cos sen , sen sen cos cos sen

86. Se aplica la fuerza 3 2 4 en el punto 1, 1,2 . F i j k Hallar el momento de F respecto del punto

2, 1,3 . Sol. 2 7 2 i j k

87. La velocidad angular de un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo viene dada por 4 2 . ω i j k

Hallar la velocidad lineal de un punto P del sólido cuyo vector de posición respecto de un punto del eje es 2 3 . i j k Sol. 5 8 14 . i j k

88. Simplificar . A B B C C A Sol. 2 A B C

89. Demostrar que

A a A b A c

A B C a b c B a B b B c

C a C b C c

90. Hallar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son 2 3 4 , 2 , 3 2 . A i j k B i j k C i j k Sol. 7

91. Siendo 0 , A B C demostrar que, o (a) A, B y C son coplanarios no siendo colineales dos de ellos, o (b) dos de los vectores A, B y C son colineales, o (c) los tres vectores A, B y C son colineales.

92. Hallar la constante a de forma que los vectores 2 , 2 3 y 3 5a i j k i j k i j k sean coplanarios.

Sol. 4a 93. Siendo 1 1 1 2 2 2 3 3 3, y ,x y z x y z x y z A a b c B a b c C a b c demostrar que

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x y z

x y z

x y z

A B C a b c

94. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que A B C A B C es . A C B 0

Discutir los casos en los que 0, A B o bien, 0. B C 95. Los vectores de posición, con respecto al origen, de los puntos P, Q y R son 1 3 2 , r i j k 2 3 4 r i j k

y 3 2 2 , r i j k respectivamente. Hallar la distancia de P al plano OQR. Sol. 3

96. Hallar la distancia desde el punto 6, 4,4 a la recta que pasa por 2,1,2 y 3, 1,4 . Sol. 3

97. Dados los puntos 2,1,3 , 1,2,1 , 1, 2, 2 y 1, 4,0 ,P Q R S hallar la mínima distancia entre las rectas

PQ y RS. Sol. 3 2 98. Demostrar que las alturas de un triángulo se cortan en un punto (ortocentro). 99. Demostrar que las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto (circuncentro).

100. Demostrar que 0. A B C D B C A D C A B D

101. Sea PQR un triángulo esférico cuyos lados p, q, r son arcos de círculo máximo. Deducir el teorema del coseno de los triángulos esféricos,

cos cos cos sen sen cosp q r q r P

Por permutación cíclica de las letras, se deducen fórmulas análogas para cos y cos .q r

[Ind: Interpretar los dos miembros de la identidad . A B A C B C A A A C B A ]


102. Hallar un sistema de vectores recíprocos al formado por 2 3 , 2 , 2 2 . i j k i j k i j k

Sol. 2 1 8 7 7 5

, ,3 3 3 3 3 3

i k i j k i j k

103. Si , , y ,

b c c a a b


demostrar que

, ,

b c c a a b


104. Siendo , , , y , , , a b c a b c tales que

1 a a b b c c

0 a b a c b a b c c a c b demostrar que se verifica

, , ,

b c c a a b


105. Demostrar que el único sistema de vectores que es recíproco de sí mismo es el formado por los vectores

unitarios , , .i j k

106. Demostrar que solo existe un sistema de vectores recíproco de uno dado de vectores no coplanarios ni paralelos a, b, c.

35

Capítulo 3

Diferenciación vectorial

DERIVADA DE UN VECTOR. Sea uR un

vector función de la variable escalar u; en estas con-diciones

u u u

u u

R RR

en donde u es el incremento de la variable u, como puede verse en la figura adjunta.

La derivada del vector uR respecto del escalar u se define por

0 0lim limu u

u u ud

du u u

R RR R

si existe el límite.

Como d

d u

R depende también de u, se puede hallar de forma análoga, su derivada respecto de u.

Si ella existe se representa por 2

2.

d

du

R Análogamente se pueden definir las derivadas de orden superior.

CURVAS EN EL ESPACIO. Si, en particular, uR es el vector de posición ur que une el origen

O de un sistema de coordenadas con un punto , , ,x y z cualquiera,

u x u y u z u r i j k

en donde ur establece la relación funcional de x, y y z respecto de u.

Dando valores a u, se obtiene distintos valores de ur y el lugar geométrico de su extremo es una curva

en el espacio cuyas ecuaciones paramétricas son

, ,x u y u z u

En estas condiciones u u u

u u

r rr

es un

vector de la misma dirección y sentido que ,r como

se observa en la figura adjunta. Si existe el 0

limu u

r

,d

dt

réste es un vector en la dirección de la tangente a

la curva en el punto , ,x y z y viene dado por

d dx dy dz

du du du du

ri j k

En caso de que la variable u sea el tiempo t, d

d t

r

representa la velocidad instantánea v con la que el extremo de r describe la curva en cuestión. Análo-

gamente, 2

2

d d

d t d t

v r es su aceleración instantánea a lo largo de dicha curva.

DIFERENCIACIÓN VECTORIAL

36

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. Una función escalar u es continua en u si 0

limu

u u

,u o bien, si para todo número positivo existe otro de forma que

para .u u u u

Una función vectorial 1 2 3u R u R u R u R i j k es continua en u si lo son las tres funciones escalares

1 2 3, y ,R u R u R u o bien, si 0

lim .u

u u u

R R Dicho de otra manera, uR es continua en u si

para todo número positivo existe otro de forma que

para todo .u u u u R R

Una función vectorial o escalar es derivable de orden n cuando existe su derivada enésima. Una función derivable es continua necesariamente, pero el recíproco no es cierto. Mientras no se advierta lo contrario, supondremos que todas las funciones que vamos a considerar son derivables. FÓRMULAS DE DERIVACIÓN. Sean A, B y C funciones vectoriales derivables de un escalar u, y una función escalar derivable de u. En estas condiciones,

1. d d d

du du du

A B A B

2. d d d

du du du

A B B AA B

3. d d d

du du du

A B B AA B

4. d d d

du du du

A A

A

5. d d d d

du du du du

A B C C B AA B A C B C

6.

d d d d

du du du du

A B C C B AA B A C B C

Con respecto al orden de los factores, hay que tener en cuenta que el producto vectorial no es conmutativo. DERIVDAS PARCIALES DE UN VECTOR. Sea A un vector función de dos o más variables escalares, por ejemplo, de x y z, , , esto es, x y zA A , , . La derivada parcial de A respecto de x es, por

definición,

0

, , , ,limx

x x y z x y z

x x

A AA

si existe este límite. Análogamente,

0

, , , ,limy

x y y z x y z

y y

A AA

0

, , , ,limz

x y z z x y z

z z

A AA

son las derivadas parciales de A respecto de y y de z, respectivamente, siempre que los límites existan.

DIFERENCIACIÓN VECTORIAL 37

Los conceptos de continuidad y derivabilidad de funciones de una variable se pueden generalizar a las funciones de dos o más variables. Por ejemplo, una x y , es continua en un punto x y, si

00

xy

x x y y x y

lim , , , o bien, si para todo número positivo existe otro de forma

que para todo y x x y y x y x y , , . Análogas definiciones se pueden

establecer en el caso de funciones vectoriales. En el caso de funciones de dos o más variables el término derivable indica que la función tiene primeras derivadas parciales continuas. Las derivadas de orden superior se definen de la misma forma que en el cálculo diferencial ordinario. Así por ejemplo,

2 2 2

2 2 2, ,

x x x y y y z z z

A A A A A A

2 2 3 2

2 2, ,

x y x y y x y x x z z z

A A A A A A

Si A tiene derivadas parciales continuas de segundo orden se verifica 2 2

x y y x

A A

es decir, el orden de la

derivación es indiferente. Las reglas de la derivación parcial de vectores son análogas a las del cálculo diferencial ordinario para las funciones escalares. Por lo tanto, si A y B son funciones de x y z, , se tiene

1.

x x x

A B B A

A B

2.

x x x

A B B A

A B

3.

2

2 2

, etc.

y x y x y x x

y x y x x y y x

A B B AA B A B

B A B A B AA B

DIFERENCIAL DE UN VECTOR. Las fórmulas de diferenciación de un vector son análogas a las del cálculo diferencial ordinario. Por ejemplo,

1. Si 1 2 3A A A A i j k, entonces 1 2 3d dA dA dA A i j k

2. d d d A B A B A B

3. d d d A B A B A B

4. Si x y zA A , , , se tiene etc.d dx dy dzx y z

A A A

A ,

GEOMETRIA DIFERENCIAL. Constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio.

Sea C una curva en el espacio definida por la función ;ur según hemos visto, d

d u

r es un vector en la di-

rección de la tangente a C. Considerando al escalar u como la longitud de arco s medida a partir de un

punto fijo de C de la curva d

d u

r es un vector tangente a C y que llamaremos T como se observa en la figura.


38

La variación de T respecto de s es una medida de la

curvatura de C y viene dada por .d

ds

T La dirección

de d

ds

T en un punto cualquiera de C es la correspon-

diente a la normal a la curva en dicho punto (Pro- blema 9). El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal a la curva. Así pues,

,d

dsT

N siendo la curvatura de C en el punto dado.

El recíproco de la curvatura, 1 se llama radio de curvatura. El vector unitario B definido por el producto vectorial , B T N perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, B forman un triedro trirrectángulo a derechas en cualquier punto de C. Este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denominación de triedro móvil. Las fórmulas de Frenet-Serret que relacionan los vectores , y T N B con sus derivadas, son las siguientes:

, ,d d d

ds ds ds

T N BN B T N

en donde el escalar se llama torsión. El recíproco de la torsión 1 es el radio de torsión. MECÁNICA. El estudio del movimiento de una partícula a lo largo de una curva es una parte de la mecánica que se denomina cinemática y en cuyo estudio se aplican algunos conceptos de geometría diferencial. La dinámica es la parte de la mecánica que estudia las fuerzas aplicadas a los sólidos para ponerlos en movimiento. La ley fundamentad de la mecánica es debida a Newton y expresa que la fuerza F que actúa sobre un sólido de masa m, desplazándolo a una velocidad variable v, viene dada por

dm

d tF v

siendo mv el ímpetu o cantidad de movimiento del sólido. Si m es constante, la fórmula anterior se reduce

a ,d

m mdt

v

F a siendo a la aceleración del sólido.



1. Siendo u x u y u z u R i j k y y x y z, funciones de un escalar u demostrar que

.d dx dy dz

du du du du

Ri j k

0

0

0

lim

lim

lim

u

u

u

u u ud

du u

x u u y u u z u u x u y u z u

ux u u x u u y u u y u z u u z u

u u udx dy dz

du du du

R RR

i j k i j k

i j k

i j k

2. Siendo sen cos ,t t t R i j k hallar (a) ,d

dt

R (b)

2

2,

d

dt

R (c) ,

d

dt

R (d)

2

2.

d

dt

R

(a) sen cos cos send d d d

t t t t tdt dt dt dt

R

i j k i j k

(b) 2

2cos sen 1 sen cos

d d d d d dt t t t

dt dt dt dt dt dt

R Ri j k i j

(c) 2 2 2cos sen 1 2

dt t

dt

R

(d) 2

2 2

2sen cos 1

dt t

dt

R

3. Una partícula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramétricas son , 2 cos 3 ,tx e y t 2 sen 3 ,z t siendo t el tiempo.

(a) Hallar su velocidad y su aceleración en función del tiempo (ley de velocidades y aceleraciones). (b) Hallar el módulo de la velocidad y de la aceleración en el instante 0.t

(a) El vector de posición r de la partícula es 2 cos3 2sen 3 .tx y z e t t r i j k i j k

La velocidad es 6sen 3 6cos3tde t t

dt

rv i j k

y la aceleración 2

218cos3 18sen 3td

e t tdt

r

a i j k

(b) En el instante 0,t 2

26 y 18 .

d d

dt dt

r ri k i j Por lo tanto,

2 2

2 2

módulo de la velocidad en 0, 1 6 37

módulo de la aceleración en 0, 1 18 325.

t

t

4. Una partícula se mueve a lo largo de la curva 2 22 , 4 , 3 5,x t y t t z t siendo t el tiempo. Hallar las

componentes de la velocidad y de la aceleración en el instante 1t y en la dirección 3 2 . i j k


40

2 2Velocidad 2 4 3 5

4 2 4 3 4 2 3 en 1.

d dt t t t

dt dtt t t

ri j k

i j k i j k

El vector unitario en la dirección 3 2 i j k es 2 2 2

3 2 3 2.

141 3 2

i j k i j k

Luego la componente de la velocidad en la dirección dada es

2 2 2

4 2 3 3 2 4 1 2 3 3 2 16 8 14

714 141 3 2

i j k i j k

2

2Aceleración 4 2 4 3 4 2 0 .

d d d dt t

dt dt dt dt

r ri j k i j k

La componente de la aceleración en la dirección dad es

4 2 0 3 2 4 1 2 3 0 2 2 14

714 14 14

i j k i j k

5. Las ecuaciones paramétricas de una curva C son , , ,x x s y y s z z s siendo s la longitud de arco

de C medida desde un punto fijo de ella. Llamando r al vector de posición de un punto genérico de C, demos-trar que es un vector unitario tangente a C.

El vector d d dx dy dzx y z

ds ds ds ds ds

ri j k i j k es tangente a la curva , ,x x s y y s

.z z s Para demostra que su módulo es la unidad, tenemos

2 2 22 2 2

21

dx dy dzd dx dy dz

ds ds ds ds ds

r

ya que 2 2 2 2ds dx dy dz según se estudia en cálculo.

6. (a) Hallar el vector tangente unitario en un punto cualquiera de la curva 2 21, 4 3, 2 6 .x t y t z t t

(b) Hallar el vector tangente unitario en el punto correspondiente al instante 2.t (a) El vector tangente a la curva en uno de sus puntos es

2 21 4 3 2 6 2 4 4 6d d

t t t t t tdt dt

r

i j k i j k

El módulo del vector es 2 2 22 4 4 6 .

dt t

dt

r

Luego el vector tangente unitario pedido es

2 2 2

2 4 4 6

2 4 4 6

t t

t t

i j kT

Obsérves que, como , .d ds d dt d

dt dt ds dt ds

r r rT

(b) En 2,t el vector tangente unitario es 2 2 2

4 4 2 2 2 1.

3 3 34 4 2

i j kT i j k

7. Siendo A y B funciones derivables de un escalar u, demostrar:

(a)

,d d d

du du du

A B B AA B (b)

d d d

du du du

A B B AA B


(a)

0

0

0

lim

lim

lim

u

u

u

d

du u

ud d

u u u du du

A B A A B B A B

A B A B A B

B A A B AA B B A B


42

Índice

A derechas, sistema, 3 Absoluta, derivada, 174 Absoluto, movimiento, 53 tensor, 175 Aceleración, a lo largo de una curva en el espacio, 35, 39, 40, 50,56 centrípeta, 43, 50, 53 de coriolis, 53 de una partícula, 38, 42, 43, 50, 52, 84, 203, 205 en coordenadas cilíndricas, 143, 204 en coordenadas curvilíneas, 204, 205 en coordenadas esféricas, 160, 212 en coordenadas polares, 56 relativa a observadores fijo y móvil, 52, 53 Achatadas, coordenadas esféricas, 140, 145, 160, 161 Adición, de matrices, 170 de tensores, 169 Adjunto, 171, 187, 188 Afín, transformación, 59, 210, 213 Alabeada, cúbica, 55 Alargadas, coordenadas esféricas, 139, 160, 161 Algebra, de matrices, 170 de vectores, 1, 2 Alternante, símbolo y tensor, 173, 174,211 Angular, velocidad, 26, 43, 52 Angulo, de dos superficies, 63 entre dos vectores, 19, 172, 190 sólido, 124, 125 Area, de la elipse, 112 de un triángulo, 24, 25 de una superficie, 104, 105, 162 del paralelogramo, 17, 24 forma vectorial, 25, 83 limitada por una curva cerrada, 111 . Areolar, velocidad, 85, 86 Asociados, tensores, 171, 190, 191, 210 Asociativa, propiedad, 2, 5, 17 Autovalores, 210 Base, vectores en la, 7, 8, 136 unitarios, 136 Binormal, 38, 45, 47, 48

Bipolar, coordenadas, 140, 160 Brahe, Tycho, 86 . Cálculo de variaciones, 173 Calor, 126, 127 ecuación, 126, 127, 161 en coordenadas cilíndricas elípticas, 155 en coordenadas esféricas, 161 específico, 126 flujo, régimen permanente, 127 Campo, 3, 12, 13, 168 conservador, 73, 83, 90, 91, 93 de tipo fuente, 13 de tipo sumidero, 13 irrotacional, 72, 73, 90 rotacional, 72 solenoidal, 67. 73, 120, 126 tensorial, 168 Característica, ecuación, 210 Carga, densidad, 126 Cartesianos, tensores, 210 Central, fuerza, 56, 85 Centrípeta, aceleración, 43, 50, 53 Centro de masas, 15 Cero vector, 2 Cicloide, 132 Cilíndricas, coordenadas, 137, 138, 141,142,160,161 divergencia, 153,200,201 ecuación de continuidad, 212 elemento de línea, 143 elemento de volumen, 144, 145 gradiente, 153, 154 Jacobiano, 161 laplaciana, 153, 154, 201 líneas geodésicas, 211 rotacional, 153, 154 símbolos de Christoffel, 195, 211 tensor métrico, 187 tensor métrico conjugado, 189 velocidad y aceleración, 143, 204,205 Cilíndricas elípticas, coordenadas, 139, 155, 160, 161,211 Cinemática, 38 Cinética, energía, 94, 204 Cinético, momento, 50, 51, 56 Circulación, 82, 131 Circuncentro, 33 Cociente, ley, 169, 184

Colineales, vectores, 8, 9 no —, 7, 8 Columna, matriz o vector, 169 Componentes, contravariantes, 136, 156, 157, 167, 168 covariantes, 136 de un tensor, 157, 167;1 68 de una diada, 73 Componentes vectoriales, 3, 7, 8 rectangulares, 3 Conductividad térmica, 126 Conformes, matrices, 170 Cónica sección, 87 Conjugado, tensor métrico, 171, 188, 189 Conjugados, tensores, 171 Conmutativa, propiedad, 2, . 5, 16, 17 Conservación de la energía, 94 Conservador, campo, 73, 83, 90, 91,93 condición necesaria y suficiente para, 90, 91 movimiento de una' partícula en, 93, .94 Continuidad, 36, 37 ecuación de, 67, 126, 212 Contracción, 169, 181, 182 Contravariante, tensor, de primer orden, 157, 167 de segundo, y superior, orden, 168 Contravariante, vector, 136, 156, 157, 167 Contravariantes, componentes, 136, 156, 157, 167, 168 de un tensor, 157, 167, 168 de un vector, 136, 156, 157, 167 . Coordenadas curvilíneas, 135-165 Coordenadas, líneas, 135 Coordenadas, superficies, 135 Coordenadas, transformación, 58, 59, 76, 135,.166 Coplanarios, vectores, 3 condición necesaria y suficiente para, 27 no-, 7, 8 Coriolis, aceleración de, 53 Corriente, densidad de, 126 Coseno, teorema del, 20, 33 Cosenos, directores, 11, 58 Covariante, derivada, 173, 197-


199, 211 Covariante, tensor de curvatura, 207 Covariante, tensor de primer orden,158 Covariante, vector, 136, 157, 158, 167 Covariantes, componentes, 136, 157, 158, 167 de un tensor, 167, 168 de un vector, 136, 157, 158, 167 Cuadrática, forma fundamental, 148 Cuántica, mecánica, 161 Cúbica, alabeada, 55 Curvatura, 38, 45, 47, 113 radio de, 38, 45, 46, 50 Riemann-Christoffel, 206 tensor de, 207 Curvas en el espacio, 35 aceleración, 35, 39, 40, 50, 56 binormal, 38,45,47,48 curvatura, 38,45,47,113. elemento de línea, 37. 56, 136, 148 normal principal, 38, 45, 46, 50 radio de torsión, 38; 45 tangente, 37, 38, 40, 47, 48, 50 Curvilíneas, coordenadas, 135-165 aceleración,143,204, 205,212 definición, 135 elemento de línea, 56, 136, 148 elemento de volumen, 136, 137, 159 generales, ,148,156-159 ortogonales, 49, 135 superficiales, 48, 49, 56, 155 ChristoffeJ, símbolos, 172,192 195,211 leyes de transformación, 172, 193,194 Delta, de Kronecker, 168, 179, 180 Densidad, 126 de carga, 126 de corriente, 126 tensorial, 175, 203 Dependencia lineal , 10, 15 Derivabilidad, 36, 37 Derivable, campo escalar, 57 campo vectorial, 57 Derivación de vectores, 35-56 ordinaria, 35, 36, 39-43 parcial, 36, 37, 44, 45 Derivada, absoluta o intrínseca, 174, 202, 211 covariante, 1.73, 197-199,211 según una dirección, 57, 61-63 Derivada de un vector, 35-56 fórmulas , 36, 37, 40, 41 orden de la 37, 69 ordinaria, 35, 36 parcial, 36, 37

Descartes, folio de, 132 Determinante, adjunto en un, 171, 187,188 de una matriz, 170, 209 derivada de un, 41 Jacobiano, 79, 133, 146, 147, 148, 159, 161 , 162, 175, 202, 203 producto vectorial en forma de, 17, 23 rotacional expresado por un, 57, 58 triple producto escalar en forma de, 157 Dextrosum, sistema, 3 Diada, 73 Diádica, 73-75, 81 Diagonal de una matriz cuadrada, 169 Diferencia, de matrices, 170 de tensores, 169 de vectores, 2 Diferencial, 37 exacta, 83, 93, 111 condición necesaria y suficiente, 93 Diferencial, geometría, 37, 38, 45- 50,54-56, 166, 212-213 Diferenciales, ecuaciones, 54, 104 Difusividad, 127 Dinámica, 38 ecuaciones de Lagrange, 196, 205 ley de Newton, 38, 50, 53 Direccional, derivada, 57, 61-63 Directores, cosenos, 11, 58 Distancia entre dos puntos, 11 Distributiva, propiedad, 2 de las formas diádicas, 74 de matrices, 170 producto escalar, 16, 18 producto vectorial, 16, 22, 23 Divergencia, 57, 64-67 del gradiente, 58, 64 del rotacional, 58, 69, 70, 211 en coordenadas cilíndricas, 153, 200, 201 en coordenadas cilíndricas para- bólicas, 161 en coordenadas curvilíneas, 137, 150 en coordenadas esféricas, 161, 200, 201 forma tensorial , 174, 200, 201 invarianza, 81 significado físico, 66, 67, 119, 120 teorema de Gauss, 106, 10, 111, 115-127 demostración, 117, 118 enunciado, 115 forma rectangular, 116 forma tensorial, 206 significado físico, 116, 117 teorema de Green como caso particular, 106, 110, 111

Einstein, teoría de la relatividad, 148, 207, 213 Electromagnética, teoría, 54, 72, 206 Elemento, de línea, 170, 187-189 de volumen, 136, 137, 159 Elemento de línea, 37, 56,136, 148 en coordenadas curvilíneas, 56, 148 en coordenadas curvilíneas ortogonales, 136 sobre una superficie, 56 Elementos de una matriz, 169 Elipse, 63, 139 área, 112 órbita de los planetas, 86, 87 Elipsoidal, coordenadas, 140, 160 Energía, 94 cinética, 94, 204 conservación de, 94 potencia!, 94 Equilibrante, 6 Escala, factores, 135 Escalar, 1, 4, 168 campo, 2, 12, 168 función de posición, 3 función de punto, 3 potencial, 73, 81, 83, 91, 92 producto, 16, 18-21 , 182 triples productos, 17, 26-31 variable, 35 Escalar, producto, 16, 18-21 propiedad conmutativa, 16, 18 propiedad distributiva,.16, 18 Esféricas, coordenadas, 137, 138, 141, 147, 160, 161 componentes covariantes, 177, 178 divergencia, 161 , 200, 201 ecuación de continuidad, 212 ecuación de transmisión de calor, 161 elemento de volumen, 144, 145 gradiente, 161 Jacobiano, 161 laplaciana, 154, 201 líneas geodésicas, 211 rotacional, 154 símbolos de Christoffel, 195, 211 tensor métrico, 187 tensor métrico conjugado, 189 velocidad y aceleración, 160, 212 Esferoidales, coordenadas, achatadas, 140, 145, 160, 161 alargadas, 139, 160, 161 Espacio, de Euclides, 170 de N dimensiones, 166 de Riemann, 171 Especial, teoría de la relatividad, 213 Euclideo, espacio, 170 de N dimensiones, 171 Euler, ecuaciones, 196


44 Excentricidad, 87 Exterior, normal, 49, 83 Externa, multiplicación, 169 Extremal, 196 Extremo de un vector, 1, 2, 5, 11 Fijo y móvil, sistemas de referencia, 51-53 Fila, matriz o vector, 169 Físicas, componentes, 172, 200, 201, 205, 211 Fluido, movimiento, 66, 67, 72, 116, 117, 125, 126 incompresible, 69, 126 Fluidos, mecánica, 82 Flujo, 83, 120 Forma cuadrática fundamental, 148 Frenet-Serret, fórmulas, 38, 45, 213 Frontera, 113 Fuente, 13,67, 120 campo de tipo, 13 Fuerza, central, 56, 85 de Coriolis, 53 de la gravitación universal, 86 de repulsión, 85 momento de una, 25, 26, 50 sobre una partlcula, 203, 205 Fuerzas, 53 resultante, 11 Fundamental, tensor, 171 Gauss, ley de, 134 Gauss, teorema de la divergencia, 106, 110, 111, 115-127 demostración, 117, 118 enunciado, 115 forma rectangular, 116 forma tensorial, 206 significado físico, 116, 117 teorema de Green como caso particular, 106, 110, 111 Geodésicas, lineas, 172, 173, 196, 197, 211 Geometría diferencial, 37, 38, 4550, 54-56, 166, 212-213 Gradiente, 57, 58, 59-63, 177 de un vector, 73 en coordenadas cilíndricas, 153, 154 en coordenadas cilíndricas para- bólicas, 161,211 en coordenadas curvilineas ortogonales, 137, 148, 149 en coordenadas esféricas, 161 forma integral, 122, 123 forma tensorial, 174, 200 invarianza, 77 Gráfica, suma de vectores, 4 representación de un vector, 4 Gravitación, ley universal de New- ton, 86

Green, primera identidad o teorema, 107,121 segunda identidad o teorema si- métrico, 107, 121 teorema, en el espacio, 106, 110, 111; 115-127 teorema en el plano, 106, 108- 115 como caso particular del t. de Gauss, 106, 11 O, 111 como caso particular del t. de Stokes, 106, 110 para regiones múltiplemente conexas, 112-114 para regiones simplemente conexas, 108-110

Hamilton, principio, 205 Hamilton-Cayley, teorema, 210 Hélice circular, 45 Hipérbola, 87 Hiperplano, 176 Hipersuperficie, 176 Hipocicloide, 132 Igualdad, de matrices, 170 de vectores, 1 Impetu,38 Independencia, del camino de inte- gración, 83, 89, 90, 111, 114, 129, 130 del origen, 9 Independencia lineal, 10, 15 Índice, libre, 167 umbral, 167 Inercial, sistema, 53 Integración, de línea, 82, 87-94, 111 de superficie, 83, 94-99 de vectores, 82-105 de volumen, 83, 99-101 definida, 82 indefinida, 82 ordinaria, 82 teoremas, 107, 120, 121, 124, 125, 130 Integral, forma del operador nabla, 107, 123 Interna, multiplicación, 169, 182 Interno, producto, 169, 182 Intrínseca, derivada, 174, 202, 211 lnvariante, 59, 168, 190 Invarianza, 58, 59, 76, 77,81 Inversa de una matriz, 170 Irrotacional, campo, 72, 73, 90 Jacobiano, 79, 133, 146, 147, 148, 159,161,162,175,202,203 Kepler, leyes, 86, 87, 102 Kronecker, delta de, 168, 179, 180 símbolo, 77, 208

Lagrange, ecuaciones, 196, 205 Lagrangiana, 205 Laplace, ecuación, 65, 127, 134 en coordenadas cilíndricas pa- rabólicas, 154, 155 transformada, de, 162 Laplaciana, operador 2 , 58, 64, 81, 200 en coordenadas cilindricas, 153, 154, 201 en coordenadas cilindricas pa- rabólicas, 154, 155, 211 en coordenadas curvilíneas, 137, 150, 151 en coordenadas esféricas, 154, 201 forma tensorial, 174,200 invarianza, 81 Lemnisca, 132 Leyes del álgebra vectorial, 2, 18 Libre, índice, 167 Línea, elemento de, 170, 187-189 Línea, integral, 8i, 87-94, 111 cálculo, 87-89, 111 circulación, 82, 131 independiente del camino, 83, 89, 90, 111, 114, 129, 130 teorema de Green y cálculo de, 112 trabajo, 82, 88 Lineal, fuente, 13 sumidero, 13 Linealmente dependientes, vectores, 10, 15 Lorentz, transformación, 213 Lorentz - Fitzgerald, contracción, 213 Luz, velocidad, 81 Matrices, 169, 170, 185, 186 conforme, 170 igualdad, 70 operaciones, 170 suma, 170 Matriz, 73, 169 álgebra, 170 columna, 169 cuadrada, 169 determinante de una, 170, 209 diagonal principal, 169 elementos, 169 fila, 169 inversa, 170,209,210 nula, 169 singular, 170 traspuesta, 170, 210 Maxwell, ecuaciones, 72, 81 en forma tensorial, 206 Mecánica, 38, 56 de fluidos, 82 Métrico, tensor, 170, 171, 187-189 Métricos, coeficientes, 148 Mixto, tensor, 167, 168 Módulo de un vector, 1 Moebius, banda, 99


Momento cinético, 50, 51, 56 Momento de una fuerza, 25, 26, 50 Móvil, triedro, 38 Móvil y fijo, sistema, 51-53 Movimiento, de planetas, 85-87 de un fluido, 66, 67, 72,116,117, 125, 126 Múltiplemente conexa, región, 110, 112-114 Multiplicación, de determinantes, 159 de matrices, 170 de tensores, 169 de un vector por un escalar, 2 escalar, 16, 18-21, 182 externa, 169, 181 interna, 169, 182 vectorial, 16, 17, 22-28 Nabla , 57, 58 fórmulas en que aparece, 58 invarianzade, 107, 123 operador en forma integral, 107, 123 Newton, ley de, 38, 50, 53 de la gravitación universal, 86 en forma tensorial, 203 Normal, a una superficie, 49, 50, 56,61 . exterior o positiva, 49, 83 plano, 38, 48 principal, 38, 45, 47, 48, 50 Nula, matriz, 169 Nulo, vector, 2 Ondas, ecuación, 72 Operaciones con tensores, 169, 179-184 Operador, derivado respecto del tiempo en sistemas fijo y móvil, 51, 52 laplaciana, 58, 64, 81,200 nabla, 57 Orden, de un tensor, 167 de una matriz, 169 Orientable, superficie, 99 Origen, de un vector, 1 independencia de una ecuación vectorial, respecto del, 9 . Ortocentro, 33 Ortogonal, transformación, 59 Ortogonales, coordenadas, bipolares, 140, 160 cilíndricas, 137, 138 cilíndricas elípticas, 139, 155, 160,161,211 cilíndricas parabólicas, 138 curvilíneas, 49, 135, .137-141, 191 elipsoidales, 140, 160 esféricas, 137, 138 esferoidales achatadas, 140, 145, 160, 161 esferoidales alargadas, 139, 160, 161, 211 Ortogonales, coordenadas,

paraboloidales, 139, 160, 161, 211 toroidales, 141 Osculador, plano, 38, 48 Par, 50, 51 Parábola, 87, 138 Parabólicas, coordenadas, cilíndri- cas, 138, 144, 154, 155, 160, 161,211 divergencia, 161 elemento de línea, 144 elemento de volumen, 145 gradiente, 161,211 Jacobiano, 161 laplaciana, 154, 155,211 rotacional, 161 Schröedinger, ecuación, 161 símbolo de Christoffel, 211 Paraboloidales, coordenadas, 139, 160, 161, 211 Paralelogramo, área, 17,24 ley, suma de vectores, 2,4_ Paramétricas, ecuaciones, de una curva, 39, 40 de una recta, 12 de una superficie, 48, 49 Periodo de un planeta, 102 Permanente, campo escalar, 3 Peso de un tensór, 175 Pitágoras, teorema, 10 Planetas, movimiento, 85-87 Plano, distancia al origen, 21 ecuación, 15, 21, 28 normal, 38, 48 osculador, 38, 48 rectificante, 28, 48 tangente, 49~ 50, 61 vector perpendicular a un, 28 vectores en el, 3 Poisson, ecuación, 134 Polar, coordenadas, 98 Posición, vector, 3 Positiva, normal, 83 Positivo, dirección y sentido, 89, 106, 113 Potencial,·energía, 94 escalar, 73, 81, 83, 91, 92 vector, 81 Principal, diagonal, 169 Principal, normal, 38, 45, 47, 48, 50 Producto, de determinantes, 159 de matrices, 170 de tensores, 169 de un vector por un escalar, 2 . escalar, 16, 18-21, 182 externo, 169, 181 interno, 169, 182 triple escalar, 17 vectorial, 16, 17,22-28 Propio, vector, 2 Propios, valores, 210 Proyección, de superficies, 95, 96 de un vector, 18,20 Proyectil, 102

Punto, función escalar y vectorial, 3 Radio, de curvatura, 38, 45, 46, 50 de torsión, 38, 45 Recíprocos, conjuntos o sistemas de vectores, 17, 30, 31, 34, 136, 147 tensores, 171 Recta, ecuación, 9, 12 forma paramétrica, 12 forma simétrica, 9 Rectangulares, sistema de coordenadas, 2 vectores componentes, 3 Rectificante, plano, 38, 48 Régimen -permanente, flujo calorí- fico, 127 campo escalar, 3 campo vectorial, 3 Región, múltiplemente conexa, 110,112-114 simplemente conexa, 110, 113, 114 Relativa, aceleración, 53 velocidad, 52 Relatividad, teoría, 148, 207, 213 Relativo, tensor, 175, 202, 20} 212 Resultante de vectores, 2, 4, 5, 6, 10 Riemann, espacio de, 171, 172 líneas geodésicas, 172, 196, 197 . Riemann-Christoffel, tensor, 207, 212 Rígido, sólido, movimiento, 59 velocidad, 26, 33 Rotación, de ejes, 58, 76, 77 invarianza, 58; 59, 76, 77, 81 pura, 59 sistema de coordenadas, en, 51, 52 Rotacional, 57, 58, 67-72 definición en forma integral, 123, 152, 153 del gradiente, 58, 69, 211 en coordenadas cilíndricas, 153, 154 en coordenadas cilíndri-cas parabólicas, 161 en coordenadas curvilineas ortogonales, 137, 150 en coordenadas esféricas, 154 forma tensorial, 174, 200 invarianza, 81 significado físico, 72, 131 Schröedinger, ecuación, 161 Senos, teorema, triángulos planos, 25 triángulos esféricos, 29, 30 Seudíndice, 167 Simétrica, forma de la ecuación de una recta, 9 Simple, curva cerrada, 82, 106 área limitada por una, 111


46 Simplemente conexa, región, 110, 113, 114 Singular, matriz, 170 punto, 141 Sistema de referencia, 58, 166 Solenoidal, campo, 67, 73,120,126 Sólido, ángulo, 124, 125 Stokes, teorema del rotacional, 106, 1lO, 126-131 demostración, 127-129 forma tensorial , 212 teorema de Green como caso particular, 110 Suma, de matrices, 170 de tensores, 169 Suma de vectores, 2, 4, 5 ley del triángulo, 4 ley del paralelogramo, 2, 4 propiedad asociativa, 2, 5 propiedad conmutativa, 2, 5 Sumación, convenio de los índices repetidos, 167, 175, 176, 207 Sumidero, 13, 67, 120 campo de tipo, 13 Superíndices, 166 Superficie, área de una, 104, 105, 162 coordenadas curvilíneas sobre una superficie, 48, 49, 56, 155 elemento de línea, 56, 148 integral de, 083, 94-99 Superficies, 37 ángulo, 63 . coordenadas, 135 de dos caras, 83 de una cara, 99 elemento de línea, 56 normal exterior. 83 orientables, 99 Sustracción, de tensores, 169 de vectores, 2 Tangente a una curva en el, espacio, 37, 38, 40. 45, 47, 48, 50 plano, 49, 50, 61 Tensor, absoluto, 175 asociado, 171 , 190, 191 , 210 campo, 168 cartesiano, 210

Tensor, conjugado, 171 contravariante, 157, 167, 168 covariante, 158, 167, 168 curvatura, 207 densidad, 175, 203 fundamental, 171 hemisimétrico, 168, 169 métrico, 170 mixto, 167, 168 orden de un, 167 recíproco, 171 relativo, 175,202,203, 212 simétrico, 168 Tensorial, análisis, 73, 137, 158, 166-217 campo, 168 densidad, 173, 203 Tensores, operaciones fundamentales, 169, 179-184 Térmica, conductividad, 126 Toroidales, coordenadas, 141 Torsión, 38, 45, 47, 213 radio de, 38, 45 Trabajo, 21, 82, 88-91 como integral de línea, 88-91 Transformación, afín, 59, 210, 213 de coordenadas, 58, 59, 76, 135, 166 ortogonal, 59 Traslación, 59 Traspuesta de una matriz, 170,210 Triada, 38 Triádicas, 73 Triángulo, área, 24, 25 ley de la suma de vectores, 4 Triedro móvil, 38 Triple producto, 17, 26-31 Umbral, índice. 167 Unitaria, diada, 73 matriz, 169 Unitarios, rectangulares, 2, 3 vectores, 2, 11 Variable, 35, 36 Vector, área, 25, 83 campo, 3, 12, 13, 168 columna, 169 derivada respecto del tiempo, 51,52 ecuación, 2, 9 fila, 169

Vector, función de posición, 3 función de punto, 3 módulo, 1, 10 nulo, 2 operador nabla, 57, 58 potencial, 81 producto, 16, 17, 22-26 posición, 3 radio, 3 triple producto, 17,26-31 Vectores, 1, 4 álgebra, 1, 2 ángulo, 19, 172, 190 colineales, 8 componentes, 3, 7, 8 componentes contravariantes, 136, 156, 157, 167 componentes covariantes, 136, 157, 158, 167 coplanarios, 3 derivación, 35-36 en la base, 7, 8, 136 extremo, 1 igualdad, 1 origen, 1 recíprocos, 17 representación analítica, 1 representación gráfica, 1, 4 resultante, 2, 4, 5, 6, lO suma, 2, 4 unitarios, 2, 136 Vectorial, producto, 16, 17, 22-26 forma de determinante, 17, 23 propiedad distributiva, 16, 22, 23 Velocidad, 4 angular, 26, 43, 52 Velocidad, a lo largo de una curva en el espacio, 35, 39, 40 angular, 26, 43, 52 aerolar, 85, 86 de la luz, 81 de un fluido , 179 de una partícula, 42, 52, 203, 204 lineal, 26 relativa a observadores fijo y móvil, 52, 53 Volumen, del paralelepípedo, 17, 26 elemento de, 136, 0137, 159 en coordenadas curvilíneas, 136, 137, 159 integrales de, 83, 99-101 Vértices, campo de, 72

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ANÁLISIS VECTORIAL I