Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOŠKA FAKULTETA
Poučevanje, Poučevanje na razredni stopnji z angleščino
Sara Smrkolj
ANALIZA ZAHTEVNOSTI UČNIH VSEBIN PRI
MATEMATIKI V 5. RAZREDU
Magistrsko delo
Ljubljana, 2020
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOŠKA FAKULTETA
Poučevanje, Poučevanje na razredni stopnji z angleščino
Sara Smrkolj
ANALIZA ZAHTEVNOSTI UČNIH VSEBIN PRI
MATEMATIKI V 5. RAZREDU
Magistrsko delo
Mentorica: izr. prof. dr. Vida Manfreda Kolar
Ljubljana, 2020
i
»Plemenito je učiti se.
Še bolj plemenito je učiti druge.«
(Mark Twain)
Zahvala
Za nastanek, strokovno pomoč, hitro odzivnost, usmeritve in spremljanje pri pisanju
magistrskega dela se iskreno zahvaljujem mentorici izr. prof. dr. Vidi Manfredi Kolar.
Hvala tudi kolegicam, s katerimi smo skupaj preživele obilo smeha in veliko lepih študijskih
dni, se spodbujale in si pomagale.
Posebna zahvala gre tudi prijateljicam in fantu, ki so me v času študija in pri nastanku
magistrskega dela spodbujali, poslušali, se z menoj veselili in mi stali ob strani.
Največja zahvala gre moji družini, ki mi je omogočila študij in me podprla pri vseh
odločitvah na moji poti. Najlepša hvala za vaše zaupanje vame, za čas, ki ste ga namenili
poslušanju mojih težav, in moč, ki ste mi jo dali, da sem se z njimi spoprijela, ter za vaše
iskreno veselje ob mojih uspehih. Preprosto hvala, ker ste!
ii
iii
Povzetek
Učitelji si prizadevajo, da bi dobro učili, kar zahteva moč in energijo ter vpliv na ljudi, še
posebej na učence. Moč izhaja že iz samega položaja, vendar mora biti učitelj sposoben, da
uči na dinamičen način, predano in dobro (Paterson, 2005). Pomembno je, da v samem
učnem procesu upošteva številne didaktične elemente, kot so npr. motivacija, različne
metode, ki pomagajo učencem pri lažjem usvajanju znanja, nenehno spremlja njihov
napredek, jih spodbuja k razmišljanju, preverja njihove napačne predstave, itd. (Žakelj,
2003). Učiteljev prvi korak predstavljajo želeni dosežki oz. rezultati učencev ter jasna
opredelitev znanj, veščin in procesov za njihov razvoj. Izhodišče učiteljem predstavljajo učni
cilji v učnih načrtih, pri njihovem razumevanju mu kot pomoč služijo taksonomije. Slednje
usmerjajo njihovo pozornost na različne vidike znanj, veščin, spretnosti in procesov (Rutar
Ilc, 2003). V šolskem prostoru se učenci vsakodnevno srečujejo z različnimi učnimi
vsebinami na vseh področjih. Nekatere obravnavajo povsem na novo, pri drugih svoje znanje
nadgrajujejo. V magistrskem delu se osredotočamo predvsem na zahtevnejše matematične
učne vsebine v 5. razredu osnovne šole. V teoretičnem delu smo najprej natančneje
predstavili znanje in pouk, učenje in poučevanje, teorije učenja in poučevanja (zanimali so
nas predvsem behavioristični, kognitivni in konstruktivistični pristopi učenja in poučevanja).
Preučili smo vlogo le-teh ter vlogo reprezentacij pri oblikovanju matematičnih pojmov, prav
tako pa tudi pomen učiteljevega profesionalnega razvoja za kvalitetno poučevanje
matematike.
V empiričnem delu smo s pomočjo lastnega spletnega anketnega vprašalnika raziskali,
kakšno je učiteljevo mnenje o zahtevnejših učnih vsebinah pri matematiki v 5. razredu.
Zanimala so nas tudi njihova stališča do različnih pristopov poučevanja (predvsem
behavioristični, kognitivni in konstruktivistični), ki jih lahko uporabljajo pri poučevanju
zahtevnejših matematičnih vsebin in se med seboj razlikujejo glede na učenčevo vlogo in
aktivnost v samem učnem procesu.
Rezultati raziskave so pokazali, da so učitelji kot najzahtevnejšo učno vsebino tako z vidika
obravnave kot z vidika učenčevega razumevanja v večini izbrali pisno deljenje z
dvomestnim naravnim številom. Sledijo ji učne vsebine deli celote, obseg in ploščina ter
pretvarjanje merskih enot. Učitelji s krajšo delovno dobo (od 1 do 18 let) so izpostavili še
naslednje učne vsebine: liki in telesa, merjenje prostornine, pisno množenje, potence ter
enačbe in neenačbe. Učitelji z daljšo delovno dobo (od 19 do 40 let) pa so izpostavili še učne
vsebini mreža kocke in kvadra ter sklepni račun. Razloge za opredelitev zahtevnosti
omenjenih učnih vsebin učitelji večinoma pripisujejo težavnosti postopka ter kompleksnosti
razlage, kar nekaj učiteljev pa se ukvarja tudi z vprašanjem o izbiri najprimernejše
reprezentacije za določeno učno vsebino. Na podlagi rezultatov, prejetih v naši anketi, smo
zaznali tudi razliko med mnenji učiteljev o spremembi njihovega načina poučevanja v času
odkar poučujejo. Učitelji z daljšo delovno dobo menijo, da se je njihov način poučevanja z
leti spremenil oz. vsaj delno spremenil, učitelji s krajšo delovno dobo pa menijo ravno
nasprotno oz. so do tega vprašanja neopredeljeni. S pridobljenimi rezultati smo ugotovili
tudi, da učitelji k obravnavi učne vsebine pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom
iv
večinoma pristopijo na način, ki je najbližje behaviorističnim pristopom. V nasprotju z
omenjeno snovjo pa se pri obravnavi učne vsebine merjenje ploščine učitelji najbolj
poistovetijo s konstruktivističnim pristopom. Na podlagi pridobljenih ugotovitev lahko
zaključimo, da je izbor pristopa v veliki meri pogojen z naravo učne vsebine in ne toliko z
učiteljevo naravnanostjo do učne vsebine.
Ključne besede: zahtevnejše matematične vsebine, poučevanje matematike, 5. razred
osnovne šole, učni pristopi, učitelji
v
vi
Abstract
Teachers strive to teach well, which requires power, energy, and influence on people,
especially on students. Power comes from the school position itself, but the teacher must be
able to teach dynamically and be dedicated to the subject matter to reach the goal (Paterson,
2005).
They must take into account many didactic elements in the learning process itself, i.e.,
motivation, various methods that help students to acquire knowledge more efficiently,
constantly monitor students’ progress, encourage them to think, check their misconceptions,
etc. (Žakelj, 2003). The teacher’s first step in a teaching process is to determine the desired
achievements or students’ results as well as a clear definition of knowledge, skills, and
processes for students’ development. The basis for teaching are always the learning
objectives in the curricula and different taxonomies. Taxonomies direct teachers’ attention
to different aspects of knowledge, skills, abilities and processes (Rutar Ilc, 2003). Students
encounter various learning contents in all areas on a daily basis. Teachers present to students
some completely new topics as well as upgrade their previous knowledge in others.
In this master’s thesis, we focus mainly on more demanding mathematical learning content
in the 5th grade of primary school.
In the theoretical part, we first presented in more detail knowledge, learning, and lessons,
theories of learning and teaching (we were mainly interested in behaviorist, cognitive, and
constructivist approaches). We studied the role of these and the role of representations in the
formation of mathematical concepts, as well as the importance of the teacher’s professional
development for quality teaching of mathematics.
In the empirical part, with the help of our own online survey questionnaire, we researched
the teachers’ opinions on more demanding learning content in mathematics in the 5th grade.
We were also interested in their views on different teaching approaches (primarily
behaviorist cognitive, and constructivist), which can be used in teaching more complex
mathematical content and differ in terms of students’ role and activity in the learning process.
The results of the research showed that teachers chose written division with a two-digit
number as the most demanding learning content both for teaching and students’
understanding. It is followed by the learning contents parts of the whole, perimeter and area,
and the conversion of units of measurement. Teachers who teach for a shorter time (from 1
to 18 years) highlighted as demanding the following learning contents: geometric shapes and
solids, volume measurement, written multiplication, exponentiation, equations, and
inequalities. On the other hand, teachers who teach for a longer time (from 19 to 40 years)
highlighted as demanding the learning contents of the cube and square prism net and the
proportionality. Teachers have decided on the mentioned learning topics to be difficult
mostly because of the difficulty of the procedure and the complexity of the interpretation.
Some teachers also deal with the issue of choosing the most appropriate representation for
certain learning content. Based on the results received in our survey, we also noticed a
vii
difference between teachers’ opinions about the change in their way of teaching since they
have been teaching. Teachers with more experience (19 to 40 years of teaching) believe that
their way of teaching has partially or fully changed over the years. While, teachers with less
experience (1 to 18 years of teaching) think the exact opposite or are undecided on this issue.
With the obtained results, we also found that teachers usually approach the learning content
division with a two-digit natural number in a way that is closest to behaviorist approaches.
In contrast to the learning content measuring the area, where teachers mostly identify with
the constructivist approach. Based on the findings of the research, we can conclude that the
choice of teaching approach is to a large extent conditioned with the nature of content itself,
and not so much with the teacher's attitude towards learning content.
Key words: demanding mathematical content, teaching of mathematics, 5th grade of
primary school, learning approaches, teachers
viii
ix
Kazalo vsebine:
I. Uvod ............................................................................................................................... 1
II. Teoretična izhodišča ....................................................................................................... 2
1 Izobraževanje ...................................................................................................................... 2
1.1 Znanje in sposobnosti .................................................................................................. 2
1.2 Pouk ............................................................................................................................. 5
1.2.1 Naloge pouka......................................................................................................... 6
1.2.2 Dejavniki pouka .................................................................................................... 6
2 Učenje in poučevanje.......................................................................................................... 8
2.1 Učenje .......................................................................................................................... 8
2.2 Poučevanje ................................................................................................................... 8
2.2.1 Sodobni pristopi poučevanja ................................................................................. 9
2.3 Dejavniki učenja in poučevanja matematike ............................................................. 10
3 Teorije učenja in poučevanja ............................................................................................ 11
3.1 Behaviorizem ............................................................................................................. 11
3.1.1 Učenje z asociacijami .......................................................................................... 12
3.1.2 Klasično pogojevanje .......................................................................................... 12
3.1.3 Operativno pogojevanje ...................................................................................... 13
3.1.4 Behavioristični pristopi k poučevanju in upravljanju ......................................... 14
3.2 Kognitivizem ............................................................................................................. 15
3.2.1 Vloga učitelja pri kognitivističnem učenju ......................................................... 17
3.3 Konstruktivizem ......................................................................................................... 17
3.3.1 Konstruktivizem v vzgoji in izobraževanju ........................................................ 19
3.3.2 Realistično poučevanje matematike (RME) ........................................................ 20
3.3.3 Vloga učitelja pri konstruktivističnem učenju .................................................... 20
3.3.4 Vloga učenca pri konstruktivističnem pouku ...................................................... 21
3.3.5 Preverjanje in ocenjevanje znanja ....................................................................... 21
3.4 Vloge različnih teorij pri oblikovanju matematičnih pojmov na razredni stopnji ..... 24
3.4.1 Vloga behaviorizma pri oblikovanju matematičnih pojmov na razredni stopnji 24
3.4.2 Vloga kognitivnega pristopa pri oblikovanju matematičnih pojmov na razredni
stopnji ........................................................................................................................... 24
3.4.3 Vloga konstruktivizma pri oblikovanju matematičnih pojmov na razredni stopnji
...................................................................................................................................... 25
x
4 Reprezentacije pri pouku matematike .............................................................................. 26
4.1 Konkretne reprezentacije ........................................................................................... 28
4.2 Grafične reprezentacije .............................................................................................. 29
4.3 Simbolne reprezentacije ............................................................................................. 30
4.4 Abstraktne reprezentacije .......................................................................................... 32
4.5 Relacije med različnimi reprezentacijami .................................................................. 32
5 Učiteljev profesionalni razvoj .......................................................................................... 33
5.1 Faze oz. modeli učiteljevega profesionalnega razvoja .............................................. 34
5.2 Kariera ....................................................................................................................... 37
5.3 Dejavniki profesionalnega razvoja ............................................................................ 37
III. Empirični del ................................................................................................................ 39
6 Opredelitev raziskovalnega problema .............................................................................. 39
7 Raziskovalna vprašanja .................................................................................................... 39
8 Metodologija ..................................................................................................................... 39
8.1 Vzorec ........................................................................................................................ 40
8.2 Merski inštrumenti ..................................................................................................... 40
8.3 Opis postopka zbiranja podatkov ............................................................................... 40
8.4 Obdelava podatkov .................................................................................................... 40
9 Rezultati raziskave in interpretacija ................................................................................. 41
9.1 Rezultati anketnih vprašalnikov ................................................................................. 41
10 Glavne ugotovitve raziskave in odgovori na raziskovalna vprašanja............................. 55
10.1 Odgovor na raziskovalno vprašanje 1: Katere matematične vsebine 5. razreda je po
mnenju učiteljev najzahtevnejše predstaviti učencem? ................................................... 55
10.2 Odgovor na raziskovalno vprašanje 2: Kateri so razlogi za učiteljevo izbiro
zahtevnejših matematičnih vsebin v 5. razredu?.............................................................. 57
10.3 Odgovor na raziskovalno vprašanje 3: Ali so mnenja učiteljev o zahtevnosti
obravnave matematičnih vsebin 5. razreda odvisna od dolžine njihove delovne dobe? 60
10.4 Odgovor na raziskovalno vprašanje 4: Ali je način obravnave zahtevnejših
matematičnih vsebin 5. razreda odvisen od delovne dobe učiteljev? .............................. 63
10.5 Odgovor na raziskovalno vprašanje 5: Katere matematične vsebine 5. razreda so po
mnenju učiteljev najtežje razumljive učencem? .............................................................. 66
10.6 Odgovor na raziskovalno vprašanje 6: Kateri učni pristop prevladuje pri poučevanju
izbranih učnih vsebin? ..................................................................................................... 68
11 Sklep ............................................................................................................................... 71
xi
12 Viri in literatura .............................................................................................................. 73
13 Priloge ............................................................................................................................. 77
13.1 Anketni vprašalnik ................................................................................................... 77
Kazalo slik:
Slika 1. Didaktični trikotnik (Tomić, 1999). ......................................................................... 7
Slika 2. Spremenjeni didaktični trikotnik (Marentič Požarnik, 2004). .................................. 9
Slika 3. Proces okrepitve (Woolfolk, 2002, str. 158). ......................................................... 14
Slika 4. Predstavitev pojma na različne načine (Suban, 2018). ........................................... 22
Slika 5. Predstavitev števila na različne načine (Suban, 2018). .......................................... 23
Slika 6. Vrh ledene gore (Suban, 2018). ............................................................................. 23
Slika 7. Skupne značilnosti in razlike (Suban, 2018). ......................................................... 24
Slika 8. Semikonkretna reprezentacija računske operacije odštevanja. .............................. 30
Slika 9. Semiabstraktna reprezentacija računske operacije odštevanja. .............................. 30
Slika 10. Model reprezentacijskih preslikav (Hodnik Čadež, 2014, str. 41). ...................... 32
Slika 11. Hubermanov model učiteljevega poklicnega razvoja (Javornik Krečič, 2008). .. 35
Slika 12. Spremljanje in načrtovanje razvoja kariere učiteljev po S-modelu. Ljubljana:
Pedagoški inštitut, str. 27 (v Muršak idr., 2011, str. 40). .................................................... 36
Slika 13. Moje ime (lasten vir). ........................................................................................... 59
Slika 14. Diagram dela celote (Wiliam, 2006). ................................................................... 67
Kazalo tabel:
Tabela 1: Most med konkretnimi in abstraktnimi reprezentacijami (Hodnik Čadež, 2014, str.
38, prirejeno po Heddens, 1985, str. 14) ............................................................................. 29
Tabela 2: Prikaz odgovorov učiteljev na 2. vprašanje ......................................................... 42
Tabela 3: Izbrane matematične vsebine po zahtevnosti učencev ........................................ 47
Tabela 4: Usmerjenost učiteljeve pozornosti pri načrtovanju učne ure za poučevanje
zahtevnejše učne vsebine ..................................................................................................... 51
Tabela 5: Prikaz vrednosti 2Î Kullbackovega preizkusa (vpliv delovne dobe na izbiro
zahtevnejših vsebin) ............................................................................................................ 61
Tabela 6: Prikaz vrednosti 2Î Kullbackovega preizkusa (mnenje o vplivu delovne dobe na
spremembe v poučevanju) ................................................................................................... 62
Tabela 7: Pearsonov Hi-kvadrat preizkus za preverjanje delovne dobe učiteljev z načinom
vpeljave določene matematične vsebine.............................................................................. 63
xii
Kazalo grafov:
Graf 1. Sodelujoči učitelji glede na delovno dobo. ............................................................. 42
Graf 2. Prikaz odgovorov učiteljev na 3. vprašanje. ........................................................... 44
Graf 3. Prikaz izbire odgovora glede na izbrano učno vsebino. .......................................... 45
Graf 4. Vpliv delovne dobe na spremembo poučevanja zahtevnejših matematičnih vsebin.
............................................................................................................................................. 46
Graf 5. Prikaz odgovorov učiteljev na 7.1 vprašanje (1. del) .............................................. 48
Graf 6. Prikaz odgovorov učiteljev na 7.1 vprašanje (2. del) .............................................. 49
Graf 7. Učni pristop za učno vsebino pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom. ... 53
Graf 8. Prikaz izbranih odgovorov za učno vsebino merjenje ploščine. ............................. 54
1
I. Uvod
Vsaka skupnost ali država ima vrednote, prepričanja in tradicijo določenega izobraževalnega
sistema, kar se kaže tudi v organizaciji šolskega sistema, izobraževalni praksi in na podlagi
nje sprejetem učnem načrtu (Felda in Cotič, 2012). Tudi matematika se razvija preko
reševanja praktičnih problemov družbe (Ernest, 1998). Posledično je tudi »šolska«
matematika odvisna od družbenih vrednot in kulturnega okolja ter tako ni enolično
definirana. Njene vsebine so izbrane in prirejene, prav tako pa je izbrano tudi njihovo
zaporedje obravnave, način poučevanja in preverjanje znanja, ki sledi posamezni vsebini
(Felda in Cotič, 2012).
V teoretičnem delu smo predstavili, kaj je izobraževanje in kaj izobraženost. Slednji je
kvaliteta osebnosti, ki jo določajo znanje in sposobnosti. Podrobneje smo se osredotočili na
delitve znanja. Najprej smo opredelili splošno definicijo znanja, ki je z različnimi variacijami
poznana po vsem svetu in po kateri se zgledujejo tudi Gagnejeva, Marzanova in Bloomova
taksonomija znanja (Rutar Ilc, 2003). Vse taksonomije znanj predstavljajo osnovo za
določanje zahtevnosti znanj, hkrati pa se med seboj tudi razlikujejo glede na njihovo
osredotočenost. Poleg izobraževanja smo predstavili tudi pouk, njegove naloge, didaktični
trikotnik, različne vrste reprezentacij, učenje in poučevanje.
Zaradi stalih sprememb v današnjem času so sodobne strategije učenja in poučevanja
sčasoma prinesle številne spremembe tudi pri pouku matematike (Žakelj, 2003). Pomembno
je, da učitelj pozna in razume različne teorije učenja, saj mu to znanje omogoča uporabo
različnih metod in oblik poučevanja. Tako lahko skozi dejavnosti ter ob uporabi različnih
didaktičnih sredstev učencem omogoča uspešno izgrajevanje (matematičnega) znanja
(Klančar, Cotič, in Žakelj, 2019). Podrobneje smo se osredotočili na behavioristično,
kognitivino in konstruktivistično teorijo učenja ter pristope, ki so se razvili iz njih. V vsaki
teoriji najdemo pomanjkljivosti, vendar to ne sme biti razlog, da jih zavrnemo v celoti.
Posamezne teorije so imele namreč pomemben vpliv pri razvoju izobraževalnih praks
(Klančar, Cotič, in Žakelj, 2019).
Ker je učenje vseživljenjski proces vsakega posameznika, morajo za stalno izpopolnjevanje
skrbeti tudi učitelji sami. Kot nosilci vzgojno-izobraževalnega sistema je pomembno, da
učitelji sledijo novim spoznanjem na različnih področjih. Nenehno morajo nadgrajevati in
širiti svoje znanje ter uzavestiti željo in potrebo po vseživljenjskem učenju in vnašanju
novosti v sam učni proces (Gjuričić, 2011, str. 32).
V empiričnem delu smo raziskali, kakšno je učiteljevo mnenje o zahtevnejših učnih vsebinah
pri matematiki v 5. razredu, katere učne vsebine učitelji zaznavajo kot zahtevnejše za
obravnavo in katere so po njihovem mnenju zahtevnejše učencem za razumevanje. Raziskali
smo tudi razloge za njihovo odločitev in način obravnave izbranih vsebin, za katere smo
predvidevali, da so zahtevnejše. Zanimal pa nas je tudi vpliv delovne dobe učiteljev na izbiro
zahtevnejših učnih vsebin in na njihov način obravnave izbranih matematičnih vsebin.
2
II. Teoretična izhodišča
1 Izobraževanje
Ena izmed temeljnih pedagoških funkcij je izobraževanje, ki zajema hkrati znanje in
sposobnosti. Stopnjo izobraženosti določamo glede na obseg in globino znanja ter stopnjo
razvitosti različnih sposobnosti, torej je izobraženost kvaliteta osebnosti, ki jo določajo
znanje in sposobnosti (Tomić, 1999).
1.1 Znanje in sposobnosti
Kaj je znanje, je težko opredeliti z eno definicijo, saj so njegovi koncepti zelo raznovrstni in
izhajajo iz različnih ved, npr. filozofije, psihologije, pedagogike oz. didaktike, znotraj teh pa
spet iz različnih teoretskih izhodišč oz. šol (Rutar Ilc, 2003). Znanje ne zajema namreč le
mentalne sfere učenca, ampak obsega celoten družbeni kontekst, v katerem se vzdržuje tudi
interakcija med učencem in institucijami (Kuran, 2011). Zato znanja ne moremo enoznačno
opredeliti, saj ne obstaja najboljša definicija, ki bi izčrpala vse njegove pomembne vidike,
prav tako ni najboljšega »znanja« (Rutar Ilc, 2003).
Tomić (1999) v svojem delu predstavlja pet različnih stopenj znanja, ki jih tradicionalna
didaktika razlikuje glede na kvaliteto znanja:
1. Ko so določene vsebine spomnimo, a o njej ne znamo ničesar povedati, je naše znanje
na najnižji stopnji, t. i. spominsko znanje.
2. Ko vsebino prepoznamo, ji identificiramo pripadnost, a je še vedno nismo sposobni
razložiti, govorimo o prepoznavnem znanju.
3. Če znamo vsebino reproducirati v popolnoma enakem obsegu in globini, kot nam je
bila predstavljena npr. v knjigi, razlagi ipd., ter smo jo sposobni uporabiti v svojem
vsakdanjem delu, takrat govorimo o reproduktivnem znanju.
4. Kadar znamo vsebino razložiti in uporabiti tako v znanih kot v novih situacijah, torej
lahko z njo operiramo, imamo operativno znanje.
5. Najvišja stopnja kvalitete znanja, s katero lahko na podlagi predznanja ustvarjamo
nove materialne in duhovne dobrine, je kreativno ali ustvarjalno znanje.
Taksonomije znanja sistematično in po različnih ključih opredeljujejo vrste znanj. Poznamo
jih zelo veliko, z manjšimi variacijami ena najbolj znanih deli znanje na deklarativno,
proceduralno in kondicionalno ali strateško znanje. Uporablja jo več avtorjev, med drugimi
tudi Gagne (Rutar Ilc, 2003):
– Deklarativno znanje zajema preprosto znanje o podatkih, dejstvih, prepričanjih in
mnenjih, pa tudi kompleksno znanje o razlagah, teorijah in interpretacijah (Rutar Ilc,
2003). Navadno lahko deklarativno znanje izrazimo z besedami, s predavanji,
knjigami, pisanjem, matematičnimi izjavami ipd. Na kratko bi ga lahko opisali z
besedami »vedeti kaj« (Woolfolk, 2002).
3
– Proceduralno znanje je znanje o postopkih, ki jih uporabljamo v procesih oz. rutinah
(npr. računske operacije, merjenje dolžine) in ga izkazujemo v praktičnih aktivnostih
(Rutar Ilc, 2003). Omogoči nam »vedeti kako« nekaj narediti in mora biti prikazano
(Woolfolk, 2002).
– Kondicionalno ali strateško znanje pa je znanje o primernosti uporabe
proceduralnega in deklarativnega znanja, torej vedenje o tem, kdaj, kje in zakaj
uporabiti določeno znanje. Primer strateškega znanja je načrtovanje in kombiniranje
strategij ter postopkov za reševanje problemov (Rutar Ilc, 2003). Torej predstavlja
»vedeti kdaj in zakaj« uporabiti deklarativno in proceduralno znanje (Woolfolk,
2002).
Znanja lahko v grobem delimo tudi na vsebinska in procesna znanja. Vsebinska znanja se
navezujejo predvsem na predmetno področje, npr. matematične vsebine, procesna znanja pa
so splošnejša. Slednja so prenosljiva in se z vsebinskimi znanji prepletajo, zato jih med seboj
težko strogo ločimo. Omogočajo pa nam, da nova znanja odkrivamo, da se matematiko sploh
lahko učimo in jo razumemo ter nam pomagajo pri reševanju problemov. Izkustveno učenje,
dialogi in reševanje odprtih problemov so zgolj nekateri primeri aktivnosti, ki so del metod
učenja in poučevanja ter omogočajo učenje procesnih znanj. Lahko ga spodbujamo tudi z
različnimi oblikami dela pri pouku, kot sta na primer sodelovalno učenje in delo v paru
(Žakelj, 2003).
Enako delitev znanja je opredelil tudi Marzano s svojimi sodelavci. Vsebinska znanja so po
njihovem mnenju vezana na določen predmet in so specifična samo zanj, nanašajo se na
pojme, zakonitosti, principe ipd. Procesna znanja pa so tista znanja, veščine in procesi, ki so
skupna vsem predmetom in nam omogočijo, da z njihovo pomočjo usvojimo vsebinska
znanja ter le-ta nadgrajujemo. Sem spadajo na primer primerjanje in razvrščane, sklepanje,
luščenje bistva, raziskovanje, iskanje novih idej itd. (Rutar Ilc, 2003). »Procesna znanja, ki
vsebinska znanja naredijo vseživljenjska, avtorji delijo na procese kompleksnega
razmišljanja (primerjanje, razvrščanje, sklepanje z indukcijo in dedukcijo, utemeljevanje,
abstrahiranje, itd.), delo z viri (zbiranje, izviranje, analiza, interpretiranje, sinteza, presoja
uporabnosti in vrednosti podatkov, itd.) predstavljanje idej na različne načine (jasnost
izražanja, učinkovitost komuniciranja z različnim občinstvom na različne načine, itd.) in
sodelovanje (prizadevanje za skupne cilje, uporaba medosebnih veščin, prevzemanje
različnih vlog v skupnosti, itd.).« (Rutar Ilc, 2003, str. 20) Marzano glede na posameznikov
kognitivni sistem opisuje štiri hierarhično urejene kognitivne ravni. Slednje so ponovna
ponovitev, razumevanje, analiza in uporaba znanja. Naloge kognitivne ravni, ki so povezane
s ponovno ponovitvijo, zahtevajo, da učenec poda informacije nazaj v enaki obliki, kot so
mu bile prvotno predstavljene. Na ravni razumevanja se od učenca pričakuje, da izlušči
bistvo in si zapomni oz. ponotranji le najpomembnejše elemente. Na ravni analize se od
učenca pričakuje, da razširi svoje znanje in išče nove povezave med vsebinami. Kadar pa so
naloge na ravni uporabe znanj, se od učenca pričakuje, da zastavljeno nalogo reši na bolj
avtentičen način. Za Marzanovo taksonomijo znanja je značilno, da se kognitivne ravni med
seboj razlikujejo glede na stopnjo kognitivnega nadzora, ki je potreben pri reševanju ali
namernosti miselnih procesov, ki so potrebni, da učenec dokonča nalogo. Naloge, ki
4
temeljijo na ponovni ponovitvi in razumevanju, ne zahtevajo tolikšne obdelave podatkov, saj
pri njih učenci le poiščejo informacije v svojem spominu. Na drugi strani pa analiza in
uporaba znanja zahtevata več miselnega napora pri reševanju nalog. Marzanovi prvi dve
ravni se osredotočata predvsem na dostop in smiselnost obstoječega znanja, medtem ko se
drugi dve ravni navezujeta na ustvarjanje novega znanja (Toledo in Dubas, 2016).
Marzanova, Bloomova, Gagnejeva in zgoraj prva omenjena taksonomija znanja so najbolj
znane taksonomije kognitivnih znanj v pedagogiki. Skupni sta jim predpostavki o deloma
hierarhični strukturi taksonomskih stopenj in pa prepletanje različnih taksonomskih stopenj
znotraj posamezne naloge, kar otežuje njihovo enoznačno razmejevanje in določevanje. V
veliki meri so taksonomije namenjene postavljanju ciljev. Poznamo veliko različnih
taksonomij znanja, a vse niso enako uporabne za vsa predmetna področja. V našem šolskem
področju in pri matematiki so najbolj znane ravno prej omenjene taksonomije (Žakelj, 2003).
Po Gangeju prirejena klasifikacija znanj deli matematična znanja na različne tipe tj. osnovno
in konceptualno znanje, proceduralno znanje in problemsko znanje. Poznavanje pojmov in
dejstev ter njihov priklic vključujejo osnovna znanja, pri čimer pa se konceptualna znanja
osredotočajo na njihovo razumevanje. Proceduralna znanja se nanašajo na samo poznavanje
in obvladovanje različnih algoritmov in procedur znanja. Pri tem je pomembno, da je učenec
sposoben znanje (zakon, postopek) uporabiti in ne samo priklicati in da izbere ter izvede
ustrezen postopek in zna svojo izbiro utemeljiti. Problemsko znanje je tisto znanje, ki
združuje različne strategije in aplikativna znanja. Omogoča nam, da znanje uporabimo v
novih situacijah in kombiniramo različna pravila ter pojme pri soočanju s situacijo, ki nam
ni znana. Torej je sposobnost, da uporabimo konceptualno in proceduralno znanje.
Problemsko znanje je povezano predvsem s pojmi odkrivanja in raziskovanja (Žakelj, 2003).
Bloomova taksonomija znanja znanje deli na šest kognitivnih ravni kompleksnosti, pri čimer
naj bi učitelji spodbujali učence k doseganju predvsem zadnjih treh. Pomembno pa je
poudariti, da vsaka kognitivna raven zajema že osvojene ravni pred njo. Med nižje ravni
spadajo poznavanje, razumevanje in uporaba (Forehand, 2010). Poznavanje se osredotoča
predvsem na poznavanje definicij, struktur, formul, reševanje rutinskih nalog (npr. reševanje
enačb). Razumevanje učencu omogoča branje tabel, grafov, matematičnih simbolov ipd. ter
njihovo razlaganje, pojasnjevanje in povzemanje z lastnimi besedami, torej predpostavlja,
da učenec predela in sistematizira usvojeno znanje. Vprašanja na stopnji uporabe učencu
omogočajo povezovanje z drugimi področji in vedami, reševanje nalog v vsakdanjem
življenju. Višje ravni po Bloomu vključujejo analizo, sintezo in vrednotenje. Na stopnji
analize učenec podatke ovrednoti po pomembnosti, prepoznava vzročno-posledične odnose
med njimi in razčlenjuje gradivo na sestavne dele. Pri vprašanjih/nalogah na ravni sinteze
sestavlja posamezne dele v celoto tako, da struktura postane razvidna. Najvišja raven po
Bloomu je vrednotenje, na kateri učenec samostojno utemelji in kritično vrednoti določen
pojav, teorijo ali rešitev, do katere je prišel (Armstrong, 2016). V nasprotju z Bloomom se
Marzanova taksonomija znanja osredotoča predvsem na to, kako zahteven je miselni proces,
ki ga učenec potrebuje, da odgovori na vprašanje, in ne kako težko je samo vprašanje.
5
Kompleksnost po Bloomu ne velja le za razmišljanje višjega reda, ampak je bolj
osredotočena na pridobivanje samega znanja (Toledo in Dubas, 2016).
Izobraževanje poleg znanja zajema tudi sposobnosti. Tomić (1999, str. 22) »sposobnost
opredeljuje kot kvaliteto osebnosti, ki se kaže v človekovi uspešni dejavnosti, aktivnosti,
funkciji. Ker so sposobnosti neposredno povezane s človekovo smotrno aktivnostjo,
razlikujemo glede na različna področja človekove aktivnosti tudi različna področja
človekovih sposobnosti.«
Tomić (1999) sposobnosti razdeli na dve vrsti, senzorično ali perceptivno in intelektualno
sposobnost. Senzorične sposobnosti imajo vpliv predvsem v prvih letih življenja. So zelo
raznolike, vendar je navadno poudarek predvsem na vizualnem sistemu. Za intelektualne
sposobnosti pogosto uporabljamo izraz inteligenca, ki jo na nek način lahko opredelimo kot
sposobnost instinktivnega vedenja na podlagi preteklih izkušenj, sposobnost prepoznavanja
skupnih elementov v situacijah, ki na prvi pogled nimajo ničesar skupnega.
Človeško izobraževanje se kaže v enotnosti sposobnosti in znanja. »Pouk matematike je
namenjen graditvi pojmov in povezav, spoznavanju ter učenju postopkov, ki posamezniku
omogočajo vključitev v sistem (matematičnih) idej in posledično v kulturo, v kateri živimo.«
(Klančar, Cotič in Žakelj, 2019, str. 30)
1.2 Pouk
Pouk je pedagoško osmišljen, sistematično in namerno organiziran proces, katerega cilj je
vzgoja in izobraževanje posameznika. V času pouka posameznik doživlja spremembe
povezane z znanjem, sposobnostnimi in njegovimi osebnostnimi lastnostmi, zato je pouk
vzgojno-izobraževalni proces (Tomić, 1999). Široko gledano ima torej pouk dva temeljna
vidika. To sta vzgoja in izobraževanje, ki se kažeta tudi kot vzgojna in izobraževalna
funkcija. Vzgojna funkcija pouka se uresničuje predvsem preko ustvarjanja različnih
vzgojnih vplivov. Preplet socialne, kulturne in specifične individualne razsežnosti učencem
omogoča gradnjo osebnih in socialnih kompetenc in tako vpliva na razvoj celotne osebnosti
(Kramar, 2009). Vzgoja je namreč najučinkovitejša, kadar poteka sočasno z izobraževanjem,
izobraževanje pa je najučinkovitejše, kadar v posamezniku prebuja različna doživetja
(Tomić, 1999). Hkrati pouk vpliva na posameznikov proces razvoja kot družbenega bitja,
člana določene človeške družbe in oblikuje posameznika v ustvarjalca pogojev za lasten in
skupen družbeni obstoj in razvoj (Kramar, 2009).
Pouk mora učitelj strukturirati tako, da ima učenec v njem aktivno vlogo. Z različnimi
dejavnostmi opazovanja, razlage, preverjanja spoznanega ipd. učitelj v času sodobnega
pouka učencu omogoči, da učenec išče in odkriva bistvo pojavov, ob tem pa ne pridobiva
samo znanja, ampak si oblikuje tudi sistem vrednot. Zato pri pouku težimo k čim večjemu
prekrivanju vseh treh njegovih komponent, tj. kognitivne, afektivne in psihomotorične
(Felda in Cotič, 2012).
6
1.2.1 Naloge pouka
Naloge pouka nam omogočajo uresničevanje in konkretizacijo omenjenih funkcij pouka.
Sem sodijo konkretne dejavnosti, ki jih izvedejo učitelj in učenci, z namenom da bi slednji
dosegli konkretne cilje. Kljub temu da jih zaradi jasnejše in konkretnejše opredelitve
razčlenimo na vzgojne in izobraževalne, skupaj tvorijo celoto (Kramar, 2009).
Vzgojne in izobraževalne naloge pouka
Konkretne aktivnosti, ki so usmerjene v pridobivanje znanja, učenčevo razvijanje
sposobnosti in spretnosti ter kompetenc sodijo pod izobraževalno nalogo pouka. Slednja je
usmerjena predvsem k pridobivanju in usvajanju vsebinskega znanja ter k njegovemu
koriščenju v različnih situacijah. Vzgojne naloge pouka so tesno povezane z izobraževalnimi
nalogami pouka, saj predstavljajo njihove sestavne dele, hkrati pa niso omejene samo na čas
poteka pouka, ampak se prepletajo z učenčevim celotnim življenjem in delom, ki ga opravlja.
Omogočajo predvsem učenčevo vsestransko razvijanje osebnosti, saj si učenec tekom pouka
izgrajuje lasten sistem vrednot, prepričanj, stališč, motivov in navad, gradi na mnenju o sebi
in čutu za odgovornost (Kramar, 2009).
Poleg vzgojne naloge pouka Tomić (1999, str. 34) opredeljuje še materialne in funkcionalne
naloge pouka.
Materialne naloge pouka
Pouk je kljub stalnim spremembam v svojem zgodovinskem razvoju v vseh fazah ohranil
neke splošne značilnosti. Ena izmed njih je materialna oz. izobraževalna naloga pouka,
katere cilj je, da učenci usvojijo sistem dejstev in posplošitev, ki izhajajo iz učnih vsebin ter
pridobljeno znanje tudi praktično uporabijo. Rezultat pouka pa je izobrazba oz. izobraženost
(Tomić, 1999).
Funkcionalne naloge pouka
Med funkcionalne naloge pouka sodi razvijanje številnih in raznovrstnih človeških
sposobnosti. To je na primer razvijanje učenčevih sposobnosti za samostojno učenje ali
samoizobraževanje. V preteklosti temu vidiku niso posvečali toliko pozornosti, a danes se
vse bolj zavedamo, da je izobraževanje vseživljenjski proces, ki se ne konča s koncem
formalnega šolanja. Ločitev materialnih in funkcionalnih nalog pouka je mogoča samo
teoretično, saj ima vsako učenje nujno za posledico tudi razvijanje sposobnosti (Tomić,
1999).
»Le enotna realizacija materialnih, funkcionalnih, vzgojnih in izobraževalnih nalog daje
vzgojno-izobraževalnemu procesu značaj pravega pouka.« (Tomić, 1999, str. 36)
1.2.2 Dejavniki pouka
Na pouk vplivajo subjektivni (učenci, učitelji, starši, sodelavci) in objektivni dejavniki (učni
cilji, učna vsebina, učna sredstva in didaktično okolje) (Kramar, 2009). Tomić (1999) v
svojem delu predstavlja tri dejavnike pouka, in sicer učitelja, učenca in učno vsebino, kar je
7
ponazorila z didaktičnim trikotnikoma (Slika 1). V primeru odsotnosti kateregakoli izmed
teh treh dejavnikov to ni več pouk.
Slika 1. Didaktični trikotnik (Tomić, 1999).
Učitelj
V didaktičnem trikotniku je učitelj predstavljen kot vodja šolskega razreda, ki ga sestavlja
socialna skupina učencev. Zaradi svojega položaja mu po mnenju Žagarja (2009) pripadajo
tri osnovne vloge. To so:
– Vloga načrtovalca vzgojno-izobraževalnega procesa
Učitelj skrbi za realizacijo učnih ciljev iz učnega načrta tako, da na njihovi podlagi načrtuje
metode, sredstva, načine spremljanja svojega dela, dela učencev ipd.
– Vloga organizatorja pogojev dela
Učitelj usklajuje svoje delo z vsemi udeleženci vzgojno-izobraževalnega procesa, torej z
drugimi učitelji, učenci, svetovalno službo, starši ipd. Prav tako objektivne pogoje dela
usklajuje s postavljenimi učnimi cilji, učnimi oblikami, vsebinami in metodami poučevanja.
– Vloga ocenjevalca doseženih učnih rezultatov
Učitelj daje vsem posameznikom v razredu povratne informacije o njihovih napredkih in
dosežkih.
Učna snov
Osnovo, na kateri se razvija učni proces in preko katere se vzpostavljajo odnosi med
učencem in učiteljem, predstavlja učna snov. Učiteljevo podajanje učne snovi je odvisno od
njegovega doživljanja obravnavane učne vsebine, hkrati pa tudi učna snov vpliva na
učiteljevo odločitev o organizaciji učnega procesa, izbiri učnih metod in postopkov ter
uporabi izobraževalne tehnologije. Poleg tega vpliva tudi na učenca, saj pogojuje njegovo
stališče in stil učenja, prav tako pa tudi učenec na svojevrsten način učinkuje na učno snov
(Tomić, 1999).
Učenec
Učenci so osrednji dejavnik pouka, saj le-ta poteka zaradi njih in so hkrati pogoj za doseganje
lastnih dosežkov. Vsi ostali dejavniki, ki vplivajo na pouk, so tam z namenom, da bi
8
pomagali učencem osvojiti določene dosežke (Kramar, 2009). Po mnenju Tomić (1999)
učenec med poukom vzpostavlja razmerje do učne snovi in do učitelja.
Učna snov učenca aktivira, v njem vzbuja zanimanje, ga spodbuja, motivira za razumevanje,
obnavljanje, urjenje ipd. Učenec z osvajanjem nove učne snovi svoje znanje bogati in ga
nadgrajuje. Prav tako učna snov učinkuje na učenčevo čustveno območje osebnosti, saj
učenca vodi k temu, da doživlja, vrednoti in si oblikuje lasten odnos do določenih vrednot
in prepričanj. Predelovanje učne snovi pa ni odvisno le od same snovi, ampak tudi od
učencev. Vsak učenec ima namreč različne predispozicije za usvajanje učne snovi, zato tudi
končen rezultat ni vedno pri vseh učencih enak. Način poučevanja učne snovi pa je odvisen
od učitelja, ki močno vpliva tudi na učenčev interes. Način učiteljevega poučevanja pa ni
odvisen samo od učenčevega učenja, ampak tudi učenec s svojim odnosom vpliva na
njegovo poučevanje (Tomić, 1999).
2 Učenje in poučevanje
Kadar govorimo o učenju in poučevanju, imamo v mislih predvsem aktivnost učencev in
učiteljev, ki je pedagoško osmišljena in sistematično organizirana. Namen tovrstnih
aktivnosti, ki jih imenujemo pouk, je vzgajanje in izobraževanje učencev (Tomić, 1999).
2.1 Učenje
Kadar slišimo besedo učenje, nas le-ta največkrat spomni na šolo, razred, šolske ure, knjige
ipd. Obstaja več različnih definicij učenja, ena izmed uradno in strokovno priznanih pravi,
da je učenje vsaka sprememba v posameznikovem vedenju, znanju, razumevanju, stališčih
ali sposobnostih, ki je trajna in ne more biti pripisana posameznikovem razvoju oz. dednosti
(Unesco/ISCED, 1993, v Horvat Samardžija, 2011). Drugi učenje definirajo kot družbeni
proces interakcije med učiteljem, učencem, sodelavci, prijatelji in širšo socialno skupnostjo
(Rutar Ilc, 2003). Na splošno je učenje vsaka aktivnost, s katero spremenimo teoretsko,
delovno in socialno vedenje posameznika. Učenje je namreč (relativno) trajna in svojevrstna
sprememba posameznika, ki se odraža v njegovem vedenju na podlagi njegovih preteklih
izkušenj. Pomembno je tudi zavedanje, da učenje pri pouku zajema vse oblike učenja
nasploh in vse plati učenčeve aktivnosti in ne samo spoznavno ali samo pridobivanje znanja
(Tomić, 1999). Učenje je z drugimi besedami človekova psihofizična dejavnost. Preko
učenja učenec spoznava stvari, pojave in svet okoli sebe. Z njim namreč razvija lastne
kompetence, ki so pomembne za njegov obstoj, delovanje in razvoj ter se uči uveljavljati
svoje mnenje (Kramar, 2009).
Učenje je na nek način motiviran proces, ki od učenca zahteva, da si zapomni in shrani v
spominu določene informacije, da jih bo lahko kasneje uporabil v enakih ali podobnih
situacijah (Horvat Samardžija, 2011).
2.2 Poučevanje
Temeljno dejavnost pouka poleg učenja tvori poučevanje. Le-ta se kaže skozi učiteljevo
delovanje oz. njegovo podajanje znanja. Učitelj namreč poskuša učencem na različne načine
9
približati predmet učenja, da ga učenci zaznajo in z nadaljnjimi miselnimi aktivnostmi
razumejo ter usvojijo (Kramar, 2009). Poučevanje lahko pojmujemo kot učiteljevo
neposredno pomoč mladim pri usvajanju izbranih in prilagojenih spoznanj, spretnosti,
vrednot, izkušenj in sposobnosti. Poučevanja pa ni brez učiteljevega vključevanja v
neposredni učni kontakt z učno stvarnostjo in njegovega smotrnega vodenja pri čim bolj
aktivnem in samostojnem učenju (Blažič, Ivanuš Grmek, Kramar in Strmčnik, 2003). Učitelj
lahko poučuje na tradicionalen način, kar pomeni, da svoje znanje le predaja učencem in ga
ne povezuje z njihovimi izkušnjami ali vsakdanjim življenjem. V sodobnem poučevanju pa
učitelji večinoma uporabljajo drugačne možnosti poučevanja, ki so bližje učencem in jim
omogočajo lažje razumevanje (Horvat Samardžija, 2011).
2.2.1 Sodobni pristopi poučevanja
Sodobni pristopi poučevanja so prinesli tudi spremembe v njegovem pojmovanju. V prej
predstavljenem tradicionalnem didaktičnem trikotniku (Slika 1) so bili učenci sicer aktivni,
vendar so bili povsem podrejeni učiteljevemu poučevanju in vsebini, kateri je bil v veliki
meri podrejen tudi učitelj. V današnjem izobraževanju se razmerja spreminjajo, kljub temu
pa učiteljevo tradicionalno poučevanje še marsikje prevladuje (Marentič Požarnik, 2000).
Pri poučevanju se učitelji dandanes odmikajo od tega, da bi zgolj posredovali učne vsebine
učencem, temveč poskušajo vzpostaviti izobraževalni proces, v katerem so učitelji in učenci
enakopravni subjekti, med katerimi se stalno razvijajo medsebojni odnosi, didaktična
komunikacija in socialna interakcija (Klančar idr., 2019). Pri sodobnem poučevanju je
predvsem pomembno, da je učenec tisti, ki nekaj izvaja, izraža svoje mnenje in se hkrati uči,
učiteljeva naloga pa je, da ga skozi ta proces vodi, usmerja in ohranja motivacijo. Gre za
aktivno učenje (Horvat Samardžija, 2011).
Marentič Požarnik (2004) je v svojem delu predstavila spremenjen didaktični trikotnik, kot
ga prikazuje Slika 2. Shema nam kaže enakopravnost med učitelji in učenci v
izobraževalnem procesu in stalen medosebni odnos, didaktično komunikacijo in interakcijo.
Delovanje oboji usmerjajo k doseganju ciljev izobraževalnega procesa, dejavnost vseh
vključenih pa je vezana na vsebino kot objekt in na rabo didaktičnih sredstev. Vse je
usmerjeno k temu, da bi učenec dosegel zastavljene cilje (Marentič Požarnik, 2004).
Slika 2. Spremenjeni didaktični trikotnik (Marentič Požarnik, 2004).
10
Učitelj s svojim načrtovanjem in pripravo izobraževalnega procesa načrtuje in pripravlja tudi
učenčevo pridobivanje znanja z njegovo lastno aktivnostjo. S svojim delom učencu
nakazuje, približuje, pojasnjuje in utemeljuje cilje izobraževalnega procesa, hkrati tudi išče
možnosti in načine, kako bi tudi učenci lahko vplivali na predvidene cilje in druge sestavine
izobraževalnega procesa. Takšno učiteljevo ravnanje je skladno tudi s konstruktivističnim
pojmovanjem učenja, ki bo podrobneje opisan kasneje. Tak način poučevanja vsebuje tudi
neposredno posredovanje določenih sestavin ali delov vsebine. Opozoriti je potrebno tudi na
to, da učenje lahko poteka brez poučevanja (Marentič Požarnik, 2004).
2.3 Dejavniki učenja in poučevanja matematike
Na učenčevo konstruiranje pojmovnih predstav vpliva več dejavnikov. Eden izmed njih je
tudi učitelj, ki presoja časovno primernost uvajanja novih pojmov in konceptov, pozna
učenčevo konstruiranje lastnega znanja in skrbi za ustrezno strukturo že obstoječega znanja
ter vrstni red nadaljnjega učenja in poučevanja (Mešinović, Cotič in Žakelj, 2019).
Po mnenju Žakelj (2003) so dejavnosti, na podlagi katerih uvajamo, pridobivamo in
preverjamo pojme, lahko različne. Pojme namreč lahko predstavimo z modeli in diagrami,
lahko iščemo primere in protiprimere, izdelujemo modele, lahko se tudi navezujemo na
druga matematična in nematematična znanja (iskanje podobnosti, različnosti, analogije ipd.)
ali z uporabo definicij in izrekov. Sama konkretna dejavnost pa ni dovolj, potrebna je tudi
mentalna dejavnost. Pogoj za usvajanje znanja na ravni razumevanja je interakcija med
konkretno in miselno dejavnostjo. Učiteljeva naloga je, da učne cilje, učno vsebino in učno
tehnologijo usklajuje glede na učni načrt, jih prilagaja učencem ter o učnem procesu
neposredno odloča in zanj odgovarja. Učitelj pri poučevanju in učenju uporablja določen
didaktičen pristop, le-ta je lahko transmisijski ali procesno-didaktični. Kadar uporabi
transmisijski pristop, je učenje osredotočeno predvsem na memoriranje formul in postopkov
ali na učenje matematičnih dejstev (Žakelj, 2003). Pri tem pristopu si učitelj jasno zastavi
cilje in jih podrobno definira, prav tako učno uro načrtuje natančno in vsebino podrobno
razčleni ter poskrbi, da učenci rešijo tudi zadostno količino vaj in nalog. V ospredju tega
pristopa je predvsem urjenje in ponavljanje, kar pa vpliva na to, da učenci pogosto ostanejo
zgolj pri reprodukciji učiteljevega znanja. Ta pristop je bližje behaviorističnemu modelu
poučevanja, ki si ga bomo podrobneje ogledali v nadaljevanju (Javornik Krečič, Konečnik
Kotnik, Sternad Zabukovšek, 2013). Učencem takšen pouk ne omogoči izražanja lastnih
zamisli in povezovanja z njihovimi izkušnjami. Pouk v večini poteka frontalno, kar se kaže
tudi v nižji motivaciji, manjši želji po sodelovanju, premajhni trajnosti in uporabnosti
usvojenega znanja (Tomić, 2003).
Pri reševanju problemov pa je pozornost usmerjena predvsem na poučevanje, kako rešiti
določen tip problema. Zato pri procesno-didaktičnem pristopu učenja in poučevanja učenec
nove pojme usvaja skozi različne procese, npr. izkustveno učenje in dialog, s poudarkom na
interakciji med konkretno in miselno aktivnostjo. Učenje je v tem pristopu pojmovano kot
mentalna aktivnost, ki vzpostavlja nove miselne povezave. Kadar uporabimo ta pristop,
potrebujemo več časa, saj gre za aktivno učenje, kljub temu pa učenci začutijo pomen in
smiselnost vsebin, ki se jih učijo. To jim omogoča tudi, da rešujejo kompleksnejše in odprte
11
probleme ter pri tem uporabljajo različne strategije reševanja, pri čimer v ospredju ni le
rezultat same naloge (Žakelj, 2003). Učitelj z uporabo tega pristopa poskrbi, da učenec
samostojno išče, razmišlja in pridobiva določene izkušnje ter usvaja znanje, razsoja in
preverja ali so njegove sodbe, sklepi in usvojeni pojmi pravilni. Vse to pa poteka ob vodenju
učitelja (Tomić, 2003). Procesno-didaktični pristop je blizu kognitivno-
konstruktivističnemu modelu pouka, v katerem je učenje proces, ki »spodbuja intuicijo in
logično analitično razmišljanje, ki poudarja kompleksno razreševanje aktualnih težav in
ustvarjalno predvidevanje ter razreševanje predpostavk morebitnih neslutenih izzivov in
prihodnjih problemov.« (Kozel, Cotič in Žakelj, 2019, str. 55)
Poučevanje in učenje sta torej v izobraževalnem procesu med seboj tesno povezani
dejavnosti. Sta didaktični pojav, pri katerem ne gre le za posredovanje ali samo sprejemanje
znanja, temveč gre za splet in interakcijo obeh dejavnosti (Marentič Požarnik, 2004).
3 Teorije učenja in poučevanja
Že v antični Grčiji so se zanimali za učenje in iskali elemente, ki pomembno vplivajo nanj,
vendar pa se je znanstveno preučevanje učenja v pravem pomenu besede začelo v začetku
20. stoletja (Klančar idr., 2019). V tem času so se z učenjem ukvarjali številni psihologi. Na
podlagi njihovih ugotovitev so se razvile številne razlage in teorije učenja, ki jih uporabljamo
še danes (Žagar, 2009).
Poznavanje in razumevanje različnih teorij učenja učitelju omogoča, da izbere učinkovit in
ustrezen pristop poučevanja. To vpliva tudi na ustrezno izbiro metod in oblik poučevanja,
uporabo različnih dejavnosti in raznolikih didaktičnih sredstev. Z vsem skupaj učitelj
učencem omogoča uspešno izgrajevanje (matematičnega) znanja. V vsaki teoriji najdemo
pomanjkljivosti, vendar to ne sme biti razlog, da teorijo zavrnemo v celoti. Posamezne
teorije so imele namreč pomemben vpliv pri razvoju izobraževalnih praks. Učitelji zaradi
poznavanja različnih teorij učenja, njihovih zakonitosti in pristopov, lažje presojajo, čemu
dati prednost v določeni situaciji in kako izoblikovati lastno izobraževalno prakso (Klančar
idr., 2019), tako da v razredu ustvarijo situacije, ki učencem omogočajo lažje učenje,
razumevanje in pomnjenje (Woolfolk, 2002). V nadaljevanju bomo podrobneje predstavili
behavioristično, kognitivistično in konstruktivistično teorijo učenja in poučevanja.
3.1 Behaviorizem
V zgodnjih letih 20. stoletja se je v Združenih državah Amerike začel razvijati behaviorizem,
kjer je tudi prevladoval do preloma stoletja (Marentič Požarnik, 2000). Z vidika vzgoje je
behaviorizem ena najbolj optimističnih teorij, saj izpostavlja, da z vzgojo lahko naredimo
vse, kar si želimo. Behavioristi so namreč mnenja, da lahko z osredotočanjem na
posameznikovo vedenje oz. na osnovi razumevanja zunanjih dražljajev razumemo človeka
(Lesar in Peček Čuk, 2009). Mišljenje, predstave, cilji in pričakovanja ter drugi mentalni
procesi radikalnih behavioristov ne zanimajo, saj po njihovem mnenju ne morejo biti
predmet znanosti, ker niso dostopni objektivnemu raziskovanju (Marentič Požarnik, 2000).
Zgodnji behaviorizem izhaja iz empirizma Johna Locka (1632–1704), ki je človeka opisal
12
kot tabulo raso oz. nepopisan list papirja, ki ga oblikuje vzgoja. Edini pogoj, ki ga je imel,
je, da so otroci zdravi in oblikovani v za to določenem okolju (Lesar in Peček Čuk, 2009).
Za očeta behaviorizma velja John. B. Watson, ki je leta 1913, s svojim člankom Psychology
as the Behaviorist Views It, poudaril, da je psihologija le z opazovanjem človeškega vedenja
(angl. Behaviour), to je to, kar posameznik naredi ali reče, lahko znanost. Watson meni, da
je v psihologiji glavni vir preučevanja prav možnost nadziranja vedenja, zato ne preseneča,
da so se behavioristi osredotočili predvsem na preučevanje učenja (Batistič Zorec, 2014).
Ena temeljnih značilnosti behavioristične teorije je zanimanje za učenje (Batistič Zorec,
2014). Behavioristična teorija pravi, da je razvoj kontinuiran proces učenja, otroci pa v njem
igrajo relativno pasivno vlogo – naredijo le toliko, kot od njih zahteva okolje (Peček, Kroflič,
Medveš, Lesar in Žnidaršič, 2009). Woolfolk (2002, str. 152) pravi, da se »učenje pojavi
takrat, kadar izkušnje povzročijo relativno trajno spremembo v posameznikovem znanju ali
vedenju. Sprememba je lahko namerna ali nenamerna, na boljše ali na slabše. Da lahko
nečemu rečemo učenje, mora do spremembe priti zaradi izkušnje – z interakcijo osebe z
njenim okoljem.« S tem nam avtorica nakazuje, da je okolje ena izmed pomembnih
značilnosti te teorije. Zakon učenja preučuje odnos med dražljajem in reakcijo ter ga je
možno uveljaviti za vsakega posameznika, ne glede na starost (Woolfolk, 2002). Do
sprememb v vedenju prihaja zaradi usvajanja, krepitve in uporabe asociacij (vezi) med
dražljaji iz okolja in opaznimi odzivi posameznika (reakcijami) nanje. Lahko pa je
spremenjeno vedenje tudi posledica kompleksnejše povezave med mrežno povezanimi
elementi (Klančar idr. 2019). Ta vidik predstavlja temelj vsem behaviorističnim teorijam, ki
se razlikujejo predvsem glede na mehanizme, ki vplivajo na določanje vezi med dražljajem
in reakcijo (Marentič Požarnik, 2000).
Behavioristična teorija pozna tri različne procese učenja – učenje z asociacijami, klasično
pogojevanje in operativno pogojevanje. V nadaljevanju bomo podrobneje opisali vse tri.
3.1.1 Učenje z asociacijami
Aristotel (384–322 pr.n.št.) je oblikoval eno najzgodnejših razlag učenja, s katero je trdil, da
se stvari spomnimo skupaj, »kadar so si podobne, kadar si nasprotujejo in kadar se stikajo.«
(Woolfolk, 2002, str. 155) Načelo stičnosti pravi, da kadar se dva ali več dražljajev skupaj
pojavljajo dovolj pogosto, dražlaji postanejo povezani, kar pomeni, da tudi, ko se bo kasneje
pojavil eden izmed teh dražlajev, se bomo spomnili ostalih. To načelo velja za
najpomembnejšega, saj vključuje vse razlage učenja z asociacijami (Woolfolk, 2002).
3.1.2 Klasično pogojevanje
Ivan Pavlov je bil eden najbolj znanih behavioristov, ki se je ukvarjal s klasičinim
pogojevanjem v 20-ih letih 20. stoletja. Osredotoča se na učenje nehotenih čustvenih ali
fizioloških odzivov (npr. strah, potenje, slinjenje ipd.) oz. z avtomatičnimi odzivi na
dražljaje, ki jih pogosto imenujemo refleksi. Skozi proces učenja preko klasičnega
pogojevanja lahko urimo ljudi ali živali, da nehote reagirajo na dražlaj, ki prej zanje ni imel
nobenega učinka, ali pa je imel zanje povsem drugačen učinek (Woolfolk, 2002).
13
Pavlov je eksperimentiral na prebavnem sistemu psov. S svojimi eksperimenti je pri psih
preučeval učenje kot nastajanje pogojnih refleksov, torej nastajanje novih zvez med prej
nevtralnim dražljajem (npr. glasbene vilice) in brezpogojno (naučeno) reakcijo, kot je
slinjenje na hrano. S temi tremi elementi je pokazal, da lahko pogojujemo slinjenje psa ob
zvoku glasbenih vilic. Bistvo njegove raziskave je bilo ponavljanje. Nov dražljaj (zvok) se
je večkrat ponovil z brezpogojnim dražljajem (hrano), kar je izzvalo pogojno reakcijo
(slinjenje). Opisan proces imenujemo zakon vaje, saj oseba povezuje odgovor z dražljajem.
Moč povezave narašča s pogostostjo odgovora na dražljaj (Woolfolk, 2002).
Poleg tega je Pavlov kasneje identificiral še tri druge procese klasičnega pogojevanja:
generalizacijo, diskriminacijo in ugašanje. V procesu generalizacije so se psi začeli sliniti na
vse podobne zvoke pogojnega dražljaja. V procesu diskriminacije pa so se psi naučili
odzivanja na specifičen ton, kar je Pavlov dosegel tako, da je pes dobil hrano samo pri
pojavitvi določenega tona. Ugašanje pa se pojavi takrat, kadar je pogojni dražljaj
predstavljen večkrat zaporedoma, vendar mu ne sledi brezpogojni dražljaj, zato pogojna
reakcija popolnoma izgine (Woolfolk, 2002).
Njegove ugotovitve in ugotovitve drugih znanstvenikov, ki so preučevali klasično
pogojevanje, so uporabne še danes. Eden pogostih primerov je občutek treme, ko učitelj
prime redovalnico, saj sledi ocenjevanje (Woolfolk, 2002).
3.1.3 Operativno pogojevanje
Glavni vlogi pri preučevanju operativnega pogojevanja sta imela Edward Thorndike in B. F.
Skinner. Thorndike je s svojo raziskavo, v kateri je mačke postavil v problemske škatle,
postavil temelje operativnega pogojevanja. Mačke so namreč iz njegove problemske škatle
lahko pobegnile in prišle do hrane le, če so odstranile zapah ali drugače delovale v okolju.
Mačke so največkrat med divjim skakanjem naredile ustrezen gib čisto po naključju in se
rešile. Po več ponovitvah so se mačke naučile pravilnega odziva skoraj takoj po tem, ko so
jih postavili v škatlo. Thorndike je iz tega sklepal, da je eden pomembnih zakonov učenja
zakon učinka (Woolfolk, 2002).
Skinner je na podlagi Thorndikovih ugotovitev nadaljeval razvoj pojma operativno
pogojevanje. V svoji teoriji je poudarjal, da se v vedenju utrdijo dejavnosti, ki so bile deležne
podkrepitve. V primeru pozitivne podkrepitve se vedenje utrdi, kar pomeni, da je otrok po
določenem vedenju do živel nekaj prijetnega, ugodnega (npr. otrok dobi sladoled, pohvalo).
Kadar pa nekdo uporabi pri otroku negativno podkrepitev (npr. razne oblike kazni, kritiko),
pa se bo vedenje prenehalo (Lesar in Peček Čuk, 2009).
V behaviorističnem pogledu posledice, ki sledijo dejanju, v veliki meri določajo, ali se bo
vedenje, ki je pripeljalo do določenih posledic, ponovilo, kot je prikazano na Sliki 3. Vrsta
in časovna ureditev posledic lahko okrepita ali oslabita vedenje. Okrepitev ali ojačanje v
splošnem razumemo kot »nagrado«, vendar ima ta izraz v psihologiji prav določen pomen.
Ojačevalec je namreč katera koli posledica, ki bi okrepila vedenje (Woolfolk, 2002).
14
Slika 3. Proces okrepitve (Woolfolk, 2002, str. 158).
3.1.4 Behavioristični pristopi k poučevanju in upravljanju
Behavioristični vpliv na pouk (tudi na pouk matematike) »se kaže predvsem v
strukturiranosti pouka (splošni in operativni cilji), sekvenčnem posredovanju enot, ki temelji
na povečevanju kompleksnosti (elementarno znanje je torej osnova za bolj sestavljeno).«
(Klančar idr., 2019, str. 16) Učenje v tej teoriji temelji na pomnjenju dejstev in treniranju
matematičnih procedur, saj naj bi to krepilo vezi med dražljajem in reakcijo (Klančar idr.,
2019).
V skladu z behavioristično teorijo je učiteljeva naloga organizacija pouka in priprava
ustreznega gradiva, nadzorovanje celotnega procesa učenja, nudenje takojšnje povratne
informacije učencem in glede na ustrezno vedenje njihovo nagrajevanje (Klančar idr., 2019).
Poleg tega je pomembno, da si vsak učitelj zastavi jasne, specifične, dobro vidne in merljive
cilje ter jih premišljeno uresničuje, hkrati pa mora biti pozoren tudi na to, da usvojeno znanje
stalno preverja in ocenjuje, saj s tem omogoča dosledno sprotno pogojevanje z namenom
vzdrževanja znanja. Behavioristi so predstavili test znanja, ki je najobjektivnejša oblika
preverjanja in ocenjevanja znanja (Klančar idr., 2019).
Pouk, v našem primeru matematike, po behavioristični teoriji poteka tako, da učitelj daje
navodila, gradivo ali naloge, učenci pa jim sledijo oz. delajo po postopku, ki jim je bil
prikazan. Delo pri pouku poteka individualno ali v skupinah, prizadevajo pa se tudi za učenje
brez napak, vendar z veliko vaje in utrjevanja teorije z nalogami (Klančar idr., 2019).
Omenjeni pristopi, ki temeljijo na opredeljevanju učnih ciljev, tehnikah učenja spretnosti in
sistemih vodenja razreda, so po mnenju Woolfolkove (2002) še vedno uporabni, »in sicer,
kadar je učiteljev cilj, da si učenci zapomnijo določene informacije, se naučijo določenih
spretnosti (smiselno je učenje iz gradiv, ki so logična in sestavljena iz dejstev) ali kadar je
cilj sprememba določenega vedenja.« (Woolfolk, 2002, str. 16) Povežemo jih lahko tudi z
nekaterimi vrstami znanja po Gagnejevi klasifikaciji znanj, in sicer:
– z osnovnim znanjem, pri katerem učenci znajo povzeti izolirane informacije, definicije
formule, se seznanijo z osnovnimi simboli in terminologijo. Gre torej za nepovezane,
samovoljne informacije, ki se jih večinoma naučimo zgolj z memoriranjem, torej v enaki
obliki, kot so nam bile predstavljene.
– z rutinsko proceduralnim znanjem, ki ga učenci uporabljajo pri izvajanju rutinskih
postopkov, ali pri uporabi (matematičnih) pravil in obrazcev. Gre torej za standardne
računske postopke, na primer 5632 : 24 = (Žakelj, 2003).
Behavioristični koncept, ki navzven deluje zelo preprosto in učinkovito ter ga pogosto
opazimo tudi v vsakdanjem življenju, saj je (pogosto) učinek podkrepitve viden zelo hitro,
15
vloga učitelja in učenca pa je zelo jasna, je ne glede na to deležen nekaterih kritik (Peček,
Kroflič, Medveš, Lesar in Žnidaršič, 2009). Woolfolk (2002) izpostavlja predvsem dva
problema, ki se lahko pojavita. Eden izmed njiju je, da bi nagrajevanje učencev za njihovo
učenje lahko povzročilo izgubo njihovega interesa za učenje zaradi učenja samega. Poleg
tega pa lahko pohvala učenca, da je pameten, kadar uspe, spodkoplje njegovo motivacijo, če
naslednjič pri nalogi ne bo tako uspešen. Klančar idr. (2019, str. 17) so slabost
behavioristične teorije poudarili predvsem v dejstvu, »da slednja ne spodbuja razvoja
kompleksnega konceptualnega znanja in razvoja miselnih veščin ter ne upošteva socialnih
in čustvenih dejavnikov, ki vplivajo na učenje.« Poleg tega po tej teoriji učenci v učni
situaciji zavzemajo le pasivno vlogo in preko nje znanje samo prejemajo (Woolfolk, 2002).
Po Gagneju takšna vloga učenca ne spodbuja konceptualnega znanja, saj ne gre za
razumevanje pojmov in dejstev ali njihovo oblikovanje, niti problemskega znanja, ki učencu
omogoča, da znanje uporabi v novih situacijah, odkriva in raziskuje ter problem rešuje z
lastno miselno aktivnostjo (Žakelj, 2003). Tudi Marentič Požarnik (2000) poudarja, da
behavioristična teorija ne upošteva notranje motivacije za učenje, ki ključno vpliva na
trajnost pridobljenega znanja. Naravnanost na izid namreč ni ponotranjena in zato ne more
prinašati trajnega znanja. Peček idr. (2009) dodajajo še, da behavioristična teorija zanemarja
vpliv drugih dejavnikov razvoja, kot sta dednost in lastna aktivnost, saj se osredotoča le na
vplive okolja in na učenje preko pogojevanja. Hkrati navajajo, da ta teorija zanemarja tudi
celo vrsto drugih dejavnikov, ki vplivajo na posameznika (čustva, nezavedno ipd.),
kognitivne in čustvene vidike posameznikovega vedenja, kar ji hkrati preprečuje, da bi
pojasnila, zakaj določene podkrepitve delujejo in druge ne.
Proces učenja in njegovo razumevanje sta v zadnjem stoletju precej napredovala. Ker je v
začetku 20. stoletja prevladovala industrijska doba, je le tej najbolj ustrezala behavioristična
teorija. Sčasoma pa sta se zaradi napredka na vseh področjih in pomanjkljivosti v
behavioristični teoriji razvili dve novi teoriji – kognitivna in konstruktivistična (Bregar,
2010).
3.2 Kognitivizem
Razprave o naravi znanja, vrednosti in vsebini razuma segajo najmanj do antičnih filozofov,
kar kognitivno teorijo uvršča med najstarejše članice teorij učenja in poučevanja. Hkrati pa
kognitivna teorija velja tudi za najmlajšega člana, saj je njen razvoj doživel napredek med
drugo svetovno vojno, ko so potekale raziskave predvsem na področju razvoja kompleksnih
človeških sposobnosti, računalniške revolucije, prišlo pa je tudi do preobrata pri
razumevanju jezikovnega razvoja. Pred tem časom je bila kognitivna teorija potisnjena v
ozadje, saj je prevladoval behaviorizem (Woolfolk, 2002).
Prehod iz behavioristične teorije in napredek na področju kognitivistične teorije je povezan
tudi s prehodom od tradicionalne k sodobni šoli, v kateri v središču ni več učitelj, ampak
učenec. Tradicionalna šola je bila usmerjena predvsem v reprodukcijo oz. v transmisijo
znanja in od učenecv ni zahtevala veliko aktivnosti, saj je bila njihova naloga predvsem
sprejemanje in kopičenje vseh posredovanih spoznanj. V sodobni šoli pa učenci ne le
sprejemajo učiteljevo znanje, ampak pridobljeno znanje preoblikujejo, so bolj aktivni in
16
dosegajo višje spoznavne cilje (Štefanc, 2005). Kognitivizem tako kot behaviorizem sicer
upošteva vpliv okolijskih pogojev (razlago, demonstracijo, ilustracijo ipd.) na učenje.
Vendar pa se poleg tega osredotoča tudi na miselne dejavnosti učenca. Upošteva namreč
njihove misli, prepričanja, stališča in vrednote, ki vplivajo na sam učni proces (Ertmer in
Newby, 1993).
Kognitivizem se je začel vedno bolj osredotočati na pomen človekovih notranjih mentalnih,
predvsem spoznavnih, procesov pri učenju, kot so na primer učenčeva predznanja, cilji,
pričakovanja, ter na doseganje globljih razumevanj (Marentič Požarnik, 2000). Vse to pa
skupaj z našim znanjem, pričakovanji, občutki ter interakcijo z drugimi in okoljem vpliva na
to, kaj in kako se učimo (Woolfolk, 2002). Ta teorija posledično učenja ne razume zgolj kot
odzivanje na dražljaje, ampak kot predelovanje informacij oz. kot notranji aktiven miselni
proces, ki ga ne moremo opazovati neposredno (Marentič Požarnik, 2000). Da bi kognitivisti
dosegli svoj cilj učenja, so se osredotočali predvsem na to, kakšen je najuspešnejši in
najučinkovitejši prenos znanja na učence. Pri raziskovanju so se osredotočili na spoznavanje
in razumevanje notranjih mentalnih procesov, kot so na primer mišljenje, učenje in reševanje
problemov. Poleg tega so se ukvarjali tudi s strategijami, kot so na primer uporaba
učinkovitih strategij pri reševanju matematičnih problemov, ter s pojasnjevanjem
konceptualnih struktur, ki jih danes razumemo kot osnovo za razvijanje kompetenc (Klančar
idr., 2019). Ljudi obravnavajo kot aktivne učence, ki tvorijo izkušnje, iščejo informacije za
reševanje problemov in samostojno delajo na tem, da bi dosegli nov vpogled. Zato aktivno
izbirajo, vadijo, usmerjajo pozornost, razmišljajo in so aktivni pri konstruiranju lastnega
znanja (Woolfolk, 2002) .
Učenje je torej aktiven proces spreminjanja miselnih struktur, ki temelji na procesiranju
informacij in ni odvisen od verjetnosti odziva kot pri behavioristih. Kognitivisti se ukvarjajo
predvsem z vprašanji, kako učenec informacije sprejema, jih organizira in shranjuje. Samo
učenje ni osredotočeno toliko na to, kaj počnejo učenci, ampak na to, kaj vedo in kako znanje
pridobivajo (Ertmer in Newby, 1993). Znanje torej po mnenju kognitivistov ni le rezultat
samega učenja, ampak hkrati znanje tudi usmerja novo učenje. To, kar že vemo, v veliki
meri določa na kaj bomo bolj pozorni, kaj bomo zaznavali, se učili, si zapomnili in konec
koncev pozabili (Woolfolk, 2002). Kognitivni pogled poudarja predvsem notranje vire
motivacije pri posamezniku, kot so na primer radovednost, interes za nalogo, zadovoljstvo
pri učenju, čut za dovršenost ipd. Pri tej teoriji gre za povezavo predvsem med notranjo
motivacijo in človekovo potrebo po razumevanju stvari (Žagar, 2009).
Kognitivni pogled na znanje, predvsem na področju matematike, poudarja razumevanje
pojmov in splošne kognitivne sposobnosti, kot so sklepanje, načrtovanje, reševanje
problemov in samo razumevanje jezika, kar nam nakazuje, da obstajajo različne vrste znanja.
Specifično znanje se nanaša predvsem na določeno nalogo ali predmet. Na drugi strani pa je
splošno znanje, ki je znanje o tem, kako naj beremo, pišemo, uporabljamo slovar, uporabno
tako v šoli kot izven nje (Woolfolk, 2002). Po Gagneju kognitivistična teorija omogoča
razvoj:
17
– konceptualnega znanja, saj učenec prepoznava pojme, terminologijo in simboliko v dani
situaciji, ima predstavo o njih ter vzpostavlja povezave med njimi;
– problemskega znanja, ki učencu omogoča reševanje njemu neznanih primerov/nalog z
uporabo različnih pravil in pojmov, v nasprotju z behaviorističnim pristopom (Žakelj,
2003).
3.2.1 Vloga učitelja pri kognitivističnem učenju
Učiteljeve glavne naloge po mnenju kognitivistov so upoštevanje različnih učnih izkušenj,
ki jih v razred prinašajo učenci, in njihov vpliv na končni rezultat učenja, določitev
najučinkovitejšega načina organiziranja na novo pridobljenih informacij, da bodo nadgradile
učenčevo že pridobljeno znanje, sposobnosti in izkušnje, in učinkovito podajanje povratnih
informacij, da se bodo nove informacije učinkovito asimilirale v že usvojene učenčeve
kognitivne strukture. Kognitivistične učitelje zanima predvsem nagnjenost učenca k učenju
(npr. kako učenec vzdržuje in usmerja svoje učenje). Pomembno je oblikovanje navodil, da
so v povezavi z mentalnimi strukturami učenca. Nasprotno pa učitelji, ki uporabljajo
behavioristični pristop, usmerjajo pozornost predvsem na to, na kateri stopnji so trenutno
učenci in katere okrepitve bi morali izbrati, da bi bilo učenje najučinkovitejše (Ertmer in
Newby, 1993).
3.3 Konstruktivizem
Konstruktivizem je filozofija učenja, v skladu s katero vsak posameznik znanje izgrajuje z
lastno aktivnostjo na osnovi že obstoječega znanja in osmišljanja lastnih izkušenj (Woolfolk,
2002). Ljudje smo namreč »iskalci smisla«, saj v interakciji z izkušnjami predelujemo in
prilagajamo svoje mentalne strukture (Marentič Požarnik, 2004). V konstruktivistični teoriji
lahko najdemo več modelov konstruktivizma, večina njihovih perspektiv pa temelji
predvsem na raziskovanju Piageta, Vigotskega, Deweya, Brunerja itd. Ne obstaja pa enotna
konstruktivistična teorija učenja. Različni predstavniki postavljajo v ospredje različna
spoznanja (Woolfolk, 2002). Skupno izhodišče vsem zagovornikom konstruktivizma pa je,
da znanje ni le zapomnitev temveč je tudi interpretacija podatkov, pri kateri učenci
oblikujejo novo znanje v skladu s svojim predznanjem, izkušnjami, stališči, vrednotami,
osebnostnimi lastnostmi in okoljem (Marentič Požarnik, 2004). Konstruktivizem delimo na
dve obliki: psihološkega in socialnega.
Psihološki/individualni/kognitivni konstruktivisti se osredotočajo predvsem na notranje
psihično življenje ljudi oz. na način, kako posamezniki gradijo določene elemente svojega
kognitivnega ali čustvenega aparata. Zanima jih posameznikovo znanje, prepričanja in
samopodoba, zato jih lahko imenujemo tudi individualni konstruktivisti. Človekov razum
procesno-informacijski pristopi k učenju obravnavajo kot simbolni procesni sistem. Slednji
spremlja senzorni vnos v simbolne strukture, to so na primer predloge, predstave ali sheme.
Le-te nato obdeluje (ponavlja) in nam s tem omogoči, da lahko znanje shranimo v spomin
in ga po potrebi prikličemo. Zunanji svet posamezniku predstavlja vir za vnos, ko pa so
občutki znani in vstopijo v delovni spomin, se pomembno delo odvija v »glavi« posameznika
(Woolfolk, 2002). Individualni konstruktivizem temelji na delu Piagetovega kognitivnega
18
razvoja, ki pravi, da učencem ne moremo samo predati informacij, da jih bodo lahko
razumeli, ampak si jih morajo samostojno zgraditi (Kalina in Powell, 2009).
Vigotski je bil prepričan, da socialne interakcije, sredstva kulture in aktivnosti oblikujejo
posameznikov razvoj in učenje. Njegova teorija učenja zajema psihološki in socialni vidik.
V osnovi ga je sicer zanimal razvoj znotraj posameznika, vendar pa se pri pojasnjevanju
učenja v veliki meri zanaša na socialne interakcije in kulturni kontekst. S svojo teorijo je na
nek način postavil most med obema oblikama (Woolfolk, 2002).
Socialni konstruktivizem sloni na predpostavkah Vigotskega in poudarja, da razvoja
posameznika ni mogoče razumeti brez socialnega okolja in interakcije z njim (Marentič
Požarnik, 2000). Učenje in kognicijo socialni konstruktivisti razumejo kot interaktivno
dejavnost med situacijo, v kateri se odvija, in med posameznikom. Pri konstruktivističnem
pristopu je pomembno, da podpira sodelovalno učenje in socialno interakcijo med učenci v
razredu in med učenci in učiteljem. Medsebojno sodelovanje omogoča soočanje različnih
stališč in vpogled v drugačno razmišljanje, kar pa lahko povzroči tudi destabilizacijo
prvotnega razumevanja. To lahko dosežemo, kadar uporabimo različne oblike dela, kot so
skupinsko delo, sodelovalno učenje, delo v parih, skupinske razprave, pogovor in
posvetovanje v skupini (Klančar idr., 2019).
Marentič Požarnik (2004) pa je dodala še tretjo obliko, in sicer pragmatične socialne
konstruktiviste, ki upoštevajo predpostavke obeh skupin v zmerni obliki. Ideje ta skupina
črpa predvsem iz pragmatizma Johna Deweya in Jeroma Brunnerja (Marentič Požarnik,
2004).
Kljub temu da se konstruktivistične perspektive velikokrat razhajajo in da ne obstaja enotna
konstruktivistična teorija, obstaja nekaj področji, v katerih si je enotna večina
konstruktivistov. Woolfolk (2002) je opisala slednje:
Kompleksno učno okolje in izzivalne naloge: Učencem ne bi smeli dajati
poenostavljenih problemov za urjenje osnov, ampak bi jim morali po mnenju
konstruktivistov ponuditi slabo strukturirane in kompleksne probleme. Slednji imajo
raznovrstne, interaktivne elemente z več možnimi rešitvami. Prav tako ni ene same
poti do rešitve, zato lahko vsaka rešitev prinese nov niz problemov. Te kompleksne
probleme pa bi morali vstavljati v takšne situacije, s katerimi se bodo učenci soočali
takrat, ko bodo naučeno uporabljali v resničnem svetu. Ta vidik se tudi ujema s
situacijskim učenjem, ki poudarja učenje v situacijah, v katerih je to znanje tudi
uporabno.
Socialna pogajanja: Precej konstruktivistov se strinja s prepričanjem Vigotskega, da
se višji miselni procesi razvijajo skozi socialna pogajanja in interakcijo. Ravno zato
je pri učenju pomembno in cenjeno sodelovanje.
Raznovrstne predstavitve vsebine: Učenci, ki se naučijo le enega načina razumevanja
kompleksne vsebine, pogosto poskušajo enak pristop uporabiti v vsaki situaciji.
Razumevanje procesa konstruiranja znanja: Konstruktivisti poudarjajo, da morajo
učenci razumeti proces konstrukcije znanja, da bi se lahko zavedali vplivov na lastno
19
mišljenje. Le tako so namreč sposobni samokritično in spoštljivo do ostalih izbirati,
razvijjati in braniti svoja stališča.
Na učenca usmerjen pouk: Vsi konstruktivisti pa se ne glede na skupino, v katero
sodijo, ukvarjajo z iskanjem poti za dosego razumljivega znanja za vsakega
posameznika. Poleg tega pa priznavajo tudi različnost pristopov pri doseganju ciljev.
Prav tako ljudi obravnavajo kot aktivne učence, ki tvorijo izkušnje, iščejo informacije
za reševanje problemov in reorganizirajo to, kar že vedo, da bi dosegli nov vpogled
(Woolfolk, 2002).
Pomembno je omeniti tudi, da mnogi konstruktivizem štejejo za vejo kognitivizma, vendar
se le-ta od tradicionalne kognitivne teorije razlikuje na več načinov. Večina kognitivnih
psihologov um obravnava kot referenčno orodje za resnični svet, pri čimer pa konstruktivisti
verjamejo, da um samo filtrira vložek iz sveta posameznika in mu omogoča, da si ustvari
lastno resničnost. Konstruktivisti so namreč mnenja, da se znanja ne da le preslikati iz npr.
učitelja na učenca, ampak ga mora izgraditi učenec sam na podlagi izkušenj in interakcij s
svetom okoli njega (Ertmer in Newby, 1993).
3.3.1 Konstruktivizem v vzgoji in izobraževanju
Sodobna šola pričakuje vse zahtevnejše uresničevanje učnih ciljev, predvsem tistih, ki so
povezani s kvaliteto znanja. Učenci naj bi namreč pridobili trajno, prožno, povezano znanje,
ki ga lahko uporabijo v novih zvezah in raznolikih življenjskih in poklicnih situacijah, hkrati
pa naj bi ob tem razvijali svoje spoznavne spretnosti kritične presoje, ustvarjalno mišljenje,
učne strategije ter razmišljanja o svojem učenju. Vse to pa se povezuje tudi z njihovo
samozavestjo in veseljem do nadaljnega samoiniciativnega učenja. Konstruktivizem ima
svojo osnovno predpostavko, da znanja ne moremo le predati drugim, ampak si ga mora
vsakdo zgraditi z lastno miselno aktivnostjo (Marentič Požarnik, 2004).
Konstruktivistične teorije znanja so postale izhodišče za prenovo slovenskih učnih načrtov,
najprej pri matematiki nato pa tudi pri drugih predmetih. V metodološkem pogledu
konstruktivistični pouk poteka v dveh stopnjah. Učitelj najprej uporabi odprta vprašanja, ki
ne sprašujejo po znanju, temveč po mišljenju o znanju in izbrani tematiki. Na ta način učitelj
preveri miselne vzorce in učni poseg, saj mu dajo dani odgovori učencev podajo informacije
o tem, kdo kaj ve, kaj kdo misli, da ve, pa ne ve, in kaj ve, da ne ve (Marentič Požarnik,
2004).
Zbrane informacije učitelju omogočajo, da na njihovi osnovi pristopi k glavni fazi – učnemu
posegu. Pri pregledu miselnih vzorcev učenci uvidijo, da o istem pojavu obstajajo različna
mnenja in razlage ter se zavedo, da vsa ne morajo biti v celoti pravilna. Poučevanje pa je le
ena od vzpodbud in sprožilec procesa učenja, ne more pa opravljati s samim procesom
učenja, ki se odvija v posamezniku (Marentič Požarnik, 2004).
20
3.3.2 Realistično poučevanje matematike (RME)
Poseben primer konstruktivistično načrtovanega pouka je pristop RME (Realistic
Mathematics Education) ali učenje matematike v realnem kontekstu. RME je pristop, s
katerim se učenci učijo matematike preko različnih dejavnosti v povezavi z reševanjem
vsakdanjih in kontekstualnih problemov. Njegova osrednja ideja je, da je matematika
človeška dejavnost. Besedi realistic mathematics se navezujeta na postavljanje vprašanj, ki
so razumljiva učencem v povezavi z matematiko. Namen RME-ja je poučevati matematiko
na bolj zabaven in bolj smiseln način za učence. Pomembno je, da so izbrani primeri blizu
učenčevim izkušnjam in znanjem. Učiteljeva naloga pri uporabi pristopa RME-ja je, da
učencem pomaga pri reševanju in jih usmerja. Tak način poučevanja naj bi pozitivno vplival
na učenca in njegovo zmožnost razumevanja matematike ter ohranjanja njegovega
zanimanja zanjo. RME poveča učenčevo logično, kritično in ustvarjalno učenje in mu
pomaga konstruirati spoznanja na vsaki stopnji kreativnega razmišljanja. Vključuje dva
matematična vidika, ki ju povezuje med seboj, da bo naučeno znanje čim bolj trajnostno. To
sta horizontalna in vertikalna matematizacija. Horizontalna matematizacija je povezana s
preoblikovanjem vsakodnevnih problemov v simbole, vertikalna matematizacija pa je
proces/postopek, ki se odvija v okviru simbolov. Učenje se začne z neformalnim korakom,
ki kasneje učencu omogoči reševanje matematičnih nalog s simboli (Laurens idr. , 2017).
3.3.3 Vloga učitelja pri konstruktivističnem učenju
Učitelju konstruktivisti pripisujejo odločilno vlogo pri uresničevanju samoaktivnega učenja.
Njegova vloga je predvsem v ustvarjanju ugodnih pogojev za proces učenja, kar pomeni
vzpodbudno okolje in vzpodbudno socialno ozračje, saj bo le na ta način učencu omogočil
sprožitev dejavnega in samostojnega pridobivanja spoznanj in samostojno izgradnjo ter
oblikovanje njihovega znanja (Marentič Požarnik, 2004). Učence mora torej usmerjati in
spodbujati. Poleg tega mora paziti, da strategije poučevanja sproti prilagaja odzivom
učencev ter slednje spodbuja k analizi in interpretaciji informacij (Klančar idr., 2019).
Celotno znanje gre po tej teoriji neposredno do učenca samega (Marentič Požarnik, 2004).
Kramar (v Marentič Požarnik, 2004) vidi osrednjo učiteljevo nalogo v preučevanju, izbiri in
oblikovanju posameznih sestavin pouka in njihovem oblikovanju v logično urejeno celoto,
ki je nosilna struktura izobraževalnega procesa. Učitelj je torej tisti, ki pripravi objektivne
pogoje za izvajanje vzgojno-izobraževalnega procesa. Ta priprava zajema vse tri ravni učne
ure: globalno konceptualno, splošno operativno in neposredno izvedbeno, prav tako pa tudi
vse faze učne ure: načrtovanje, pripravo, izvajanje, verifikacijo in vrednotenje. Učitelj
najprej oblikuje temeljne didaktične značilnosti in usmeritve, t.i. oblikovanje programa, nato
pa sledi oblikovanje didaktičnih odločitev o mikroartikulaciji in neposrednem izvajanju
pouka, t.i. neposredna priprava. Učiteljeva vloga se stalno spreminja zaradi spremenjene
vloge in vse večjega pomena človekovega znanja oz. izobrazbe v proizvodnji in celotnem
družbenem in človekovem življenju, predvsem zaradi večje učinkovitosti in kakovosti
izobraževalnih procesov.
21
3.3.4 Vloga učenca pri konstruktivističnem pouku
Kadar učitelj uporabi primeren didaktični pristop (smiselno postavljena vprašanja, izzive ali
problemsko situacijo), to v učencu sproži kognitivni konflikt. Učenec preko slednjega začuti
potrebo po razširitvi znanja, kar privede do tega, da novo znanje poveže v mrežo obstoječega
znanja (proces asimilacije) oz. prilagodi ali spremeni lastno kognitivno strukturo, ko začuti
motnjo ali napetost v obstoječih miselnih strukturah (proces akomodacije) (Klančar idr.,
2019). Proces asimilacije po Piagetu učenca vodi do višjih stopenj razumevanja, pri čimer
je vsaka naslednja stopnja stabilnejša od prejšnje, kar pomeni, da so nova spoznanja bolj
prilagojena stvarnosti. Učenec namreč vključuje novo spoznane elemente v svojo obstoječo
psihološko strukturo. Proces akomodacije pa opisuje same odzive in prilagajanja na zahteve,
ki jih učencu postavi okolje. Ta proces je dolgotrajen, saj otrok pri odkrivanju novih pojmov
hitro ugotovi, da mu staro znanje ne zadošča, da bi razumel nove pojave (Von Glasersfeld,
1974). Oba procesa se odvijata, ko posameznik prehaja skozi štiri različne faze razvoja po
Piagetu.
Konstruktivisti se namreč, kot je že bilo omenjeno, posvečajo preučevanju notranjih
miselnih procesov. Njihova teorija temelji na ideji, da učenci niso le pasivni prejemniki
informacij (kot pri behaviorizmu), temveč aktivno vadijo svoje znanje in veščine skozi
interakcije z okoljem in z reorganizacijo lastnih miselnih struktur (Klančar idr., 2019).
Učenci si po njihovem mnenju zavestno prizadevajo, da bi razumeli, kar se dogaja okoli njih
glede na pretekle izkušnje in njihovo stanje v tistem trenutku, ta proces pa poteka preko
razmišljanja. Mentalnih procesov ne moremo opazovati, vendar se kažejo v visokem
individualnem odzivu na učenje. Posamezniki se namreč učijo tako, da ustvarjajo lastno
razumevanje in pri tem izhajajo iz lastne izkušnje. Ljudje so obravnavani kot aktivni učenci,
ki tvorijo izkušnje, iščejo informacije za reševanje problemov in reorganizirajo to, kar že
vedo, da bi dosegli nov vpogled (Woolfolk, 2002). Učenci se učijo predvsem tako, da
sodelujejo v diskusijah, oblikujejo vprašanja, se učijo reševati probleme ter razvijajo
metakognitivne strategije. V ospredju so torej procesi analiziranja, raziskovanja, sodelovanja
in združevanja že znanih stvari (Klančar idr., 2019).
3.3.5 Preverjanje in ocenjevanje znanja
Konstruktivisti poudarjajo pomen sprotnega preverjanja znanja v samem procesu učenja in
aktivne udeležbe učencev v procesu spremljanja in ocenjevanja lastnega napredka. Poudarek
je predvsem na avtentičnih oblikah ocenjevanja znanja, npr. seminarske naloge, projektno
delo, portfolio ipd. Zagovarjajo pa odpravo klasičnega ocenjevanja in testov.
Učitelj je pri tem postavljen pred zahtevno nalogo oblikovanja kriterijev in objektivnega
ocenjevanja izdelkov, predstavitev in drugih dejavnosti (Klančar idr., 2019).
Eden izmed načinov preverjanja razumevanja obstoječih pojmov učencev, njihovih napačnih
predstav in spremljanja njihovega napredka je tudi formativno spremljanje, ki poudarja
pomen aktivne vloge učenca pri izgradnji kvalitetnega in trajnega znanja (Suban, 2018). Za
formativno spremljanje sta Cauley in McMillan (2010) opredelila tri komponente, in sicer
22
zbiranje dokazov znanja in razumevanja učencev, povratne informacije, ki jih učitelji
podajajo učencem, in premiki na poti do želenega znanja. Wiliam (2013, v Suban, 2018)
poleg prvih dveh omenjenih izpostavi še tri ključne strategije. To so sodelovanje učenca pri
določanju in razumevanju namena učenja ter kriterijev za uspeh, samoobvladanje učenja in
sodelovanje med učenci, da postanejo drug drugemu vir poučevanja.
V nadaljevanju je predstavljenih nekaj načinov preverjanja učenčevega predznanja in
razumevanja izbranega pojma, ki so osnovani na konstruktivističnih načelih preverjanja in
ocenjevanja znanja, saj je učenec aktivno soudeležen v procesu spremljanja in ocenjevanja
lastnega napredka (Suban, 2018).
– Predstavitev pojma na različne načine: List razdelimo, kot je prikazano na Sliki 4.
Na sredino lista zapišemo glaven pojem obravnavane vsebine, nad njim njegovo
definicijo ali opredelitev, levo od izbranega pojma zapišemo primer v povezavi z
njim, desno pa protiprimer. Pod pojmom je okence, v katerem izbrani pojem opišemo
in vanj zapišemo njegove lastnosti (Suban, 2018).
Slika 4. Predstavitev pojma na različne načine (Suban, 2018).
– Predstavitev števila na različne načine: Shema prikazana na Sliki 5 omogoča preverjanje
učenčevega razumevanja izbranega pojma, ki ga zapišemo na sredino. Okrog njega pa v
posamezne kvadratke zapišemo ključne podatke (Suban, 2018).
23
Slika 5. Predstavitev števila na različne načine (Suban, 2018).
– Vrh ledene gore: Izbrani pojem zapišemo na vrh ledene gore prikazane na Sliki 6. Pod
njeno gladino izbrani pojem, koncept ali postopek zapišemo oz. ga predstavimo grafično,
vendar le s ključnimi podatki (Suban, 2018).
Slika 6. Vrh ledene gore (Suban, 2018).
– Skupne značilnosti in razlike: Spodnji učni list (Slika 7) nam pomaga ugotoviti skupne
značilnosti in razlike izbranih pojmov. Omogoča nam, da hkrati preverimo predznanje
in ugotovimo napačna razumevanja izbranih pojmov (Suban, 2018).
24
Slika 7. Skupne značilnosti in razlike (Suban, 2018).
3.4 Vloge različnih teorij pri oblikovanju matematičnih pojmov na razredni
stopnji
Učenje na splošno in zlasti učenje matematike je odvisno od številnih dejavnikov (Kalina in
Powell, 2009). Matematika je namreč bistveni element komunikacije in pomembno sredstvo
v vsakdanjem življenju. Posamezniku omogoča imaginacijo, intuitivnost in kreativnost
misli, sistematičnost ter samozaupanje v posameznikove matematične sposobnosti
(Marentič Požarnik, 2004).
O razumevanju matematike lahko govorimo šele takrat, ko lahko neko novo idejo umestimo
v večji okvir starih idej. Hodnik Čadež (v Marentič Požarnik, 2004) razumevanje opiše z
metaforo sestavljanke. Če nekomu ponudiš košček sestavljanke, ki jo sestavlja, ni nujno, da
mu bo le-ta koristil. Uborabi ga namreč lahko le, če ve, kam ga mora umestiti in zakaj ravno
na to mesto.
3.4.1 Vloga behaviorizma pri oblikovanju matematičnih pojmov na razredni stopnji
Behavioristični pristop pri matematiki lahko razložimo kot programirano učenje, ki poteka
počasi in zanesljivo skozi verigo različnih povezav v obliki vprašanje – odgovor. Pri tej
teoriji je za razumevanje predvsem pomembna povratna informacija. V primeru, da je
pozitivna, v posamezniku spodbudi željo po odgovoru na naslednje vprašanje. Ta pristop pa
nam ne omogoči vpogleda v učenčevo razumevanje matematičnega pojma, saj je njegovo
razumevanje v veliki meri odvisno od kvalitete njegove lastne refleksije rešenih
matematičnih nalog (Marentič Požarnik, 2004).
3.4.2 Vloga kognitivnega pristopa pri oblikovanju matematičnih pojmov na razredni stopnji
Učenec je pri kognitivnem pristopu postavljen v okolje, ki spodbuja učenje, v katerem lahko
odkriva in s svojim prizadevanjem zgradi razumevanje matematičnega pojma. Prav tako ta
pristop (bolj kot behavioristični) upošteva učenčevo predznanje ter zrelost oz. pripravljenost
za učenje določenega pojma (Marentič Požarnik, 2004).
25
3.4.3 Vloga konstruktivizma pri oblikovanju matematičnih pojmov na razredni stopnji
Dienes (Sarı in Tertemiz, 2017) obravnava učenje matematike kot postopek, ki zajema
abstrakcijo, posploševanje in prenos informacij. Je eden izmed avtorjev, ki so pomembno
prispevali h kognitivnim psihološkim pogledom na učenje matematike. Svojo teorijo o
učenju matematike je postavil na temeljih Piageta in Brunerja. Njegova glavna skrb je bila
zgodnje učenje matematičnih pojmov. Trdil je, da bi moralo poučevanje teh konceptov
vključevati več manipulativnih materialov in aktivnosti. Na podlagi izbranih materialov in
aktivnosti je oblikoval štiri načela, na katerih temelji tudi njegova teorija. To so:
– načelo dinamike: Dienes zagovarja, da vsa abstrakcija in s tem vsa matematika izhaja iz
izkušenj ter da razvoj konceptov temelji na psihodinamičnem procesu. Njegovo načelo
dinamike vključuje pouk na osnovi igre in izhaja iz Piagetovih spoznanj, ki nam
pojasnjujejo, da se učenci ne učijo tako hitro, kot si mi predstavljamo, zato za usvajanje
matematičnega pojma potrebujejo veliko časa. Za oblikovanje matematičnih pojmov je
oblikoval tri stopnje: stopnjo igre, stopnjo strukture in stopnjo vaje, kar vpliva na uspeh
učencev, njihovo zanimanje za matematiko in stališča.
– načelo konstrukcije: temelji na tem, da je matematika za učence konstruktivna in ne
analitična dejavnost. Učencem moramo omogočiti, da sami izgrajujejo svoje
matematično znanje preko raznolikih konkretnih dejavnosti in na podlagi svojih
ugotovitev izgrajujejo matematične pojme. To načelo v celoti temelji na
konstruktivističnem pristopu. Tudi študije, narejene na tem pristopu, kažejo, da povečuje
učenčev matematični uspeh, mu daje miselne sposobnosti višjega reda in pozitivno
vpliva na njihova zanimanja in stališča.
– načelo matematične spremenljivosti: Pri tem načelu je pomembno, da učitelj učencu
omogoči različne konkretne dejavnosti v povezavi z obravnavanim pojmom.
– načelo zaznave spremenljivosti: To načelo poleg tistega, kar poudarja načelo
matematične spremenljivosti, v ospredje postavlja tudi upoštevanje individualnih razlik
med učenci, kar lahko dosežemo z učenjem v manjših skupinah, z učnimi listi in
raznolikimi reprezentacijami (Sarı in Tertemiz, 2017).
Konstruktivizem zagovarja predvsem samostojno oblikovanje pojmov, pri tem pa posveča
veliko pozornost spreminjanju obstoječih, zlasti napačnih, pojmovanj. »Napačna
pojmovanja, ki jih zgradi učenec v procesu učenja, opredeljujejo pojem »kognitivna ovira«,
ki je tradicionalno učenje ne pozna.« (Marentič Požarnik, 2004, str. 324)
V teoriji konstruktivizma poznamo dve hipotetični definiciji:
I. »Znanje si vsak posameznik aktivno skonstruira in ga ne prejme neposredno iz
okolice.
26
II. Znanje je proces organizacije posameznikovega sveta izkušenj, posameznik ne
odkriva neodvisnega, že obstoječega sveta zunaj svoje misli.« (Marentič Požarnik,
2004, str. 324, 325)
Matematična aktivnost je pri pouku največkrat opredeljena kot aktivnost, pri kateri si učenci
z uporabo konkretnega oz. strukturiranega materiala pomagajo pri izgradnji določene
matematične ideje, pomembno pa je, da so hkrati tudi miselno aktivni. Pri
konstruktivističnemu pouku matematike je zato pomembno, da učitelj uporablja učne
metode, ki učencu zagotavljajo interakcijo med konkretno in miselno aktivnostjo (Marentič
Požarnik, 2004).
Bistvena značilnost konstruktivizma je, da se znanje ne more prenesti od roditelja na otroka
oz. od učitelja na učenca. Da učenec znanje usvoji, ga mora izgraditi sam, kar pa ne pomeni,
da je prepuščen samemu sebi, ampak so učitelji in starši tisti, ki ga vodijo v procesu učenja.
Učitelj je tisti, ki opredeli cilje pouka, izdela naloge, vodi dejavnosti, pripravi probleme,
projekte in druge oblike učenja, ki spodbujajo učenca in mu pomagajo doseči cilje. Pri
konstruktivističnem učenju matematike je zato pomembno, da učenci niso aktivni po
naključju, ampak je za to potreben načrt (Matrentič Požarnik, 2004). Pomembno pa je tudi,
da učitelj upošteva razvojno stopnjo mišljenja učenca, hkrati pa uporablja tudi ustrezne
reprezentacije pojma in prehode med njimi (Klančar idr., 2019).
Zelo pomembna pri učenju pa je tudi socialna interakcija. Nestrinjanja namreč spodbudijo
učence k razlagi, kako so prišli do določenih rezultatov, kar vodi do odobravanja ali
neodobravanja rezultata preostalih v skupini (Marentič Požarnik, 2004).
Klančar idr. (2019) navajajo, da je pomembna tudi samoregulacija učenja. Učenci, ki
obvladajo samoregulacijo, si znajo ogranizirati čas za učenje, zastavljajo si višje cilje ter jih
natančneje in pogosteje tudi nadzorujejo, pri delu so vztrajni in učinkoviti.
»Vse tri prevladujoče teorije o učenju, tj. behavioristična, kognitivna in konstruktivistična,
izhajajo iz mišljenja, da je znanje neki cilj ali stanje, ki se ga da doseči z mišljenjem in
izkušnjami in s tem, kako si posameznik pridobi znanje ali kako se uči. Ukvarjajo se z učnim
procesom, ne pa z vrednostjo naučenega. Z naraščanjem obsega znanja in informacij v
sodobni družbi pa je postala pomembna hitra evalvacija znanja, saj moramo delovati (in to
hitro) na podlagi informacij, ki so zunaj našega primarnega znanja.« (Bregar, 2010, str. 77)
4 Reprezentacije pri pouku matematike
V osnovnošolskem prostoru je pouk matematike namenjen graditvi novih pojmov in povezav
med njimi, spoznavanju ter učenju postopkov. Vse to bo kasneje posamezniku omogočilo
vključitev v sistem (matematičnih) idej. Z različnimi dejavnostmi spodbujamo različne
oblike mišljenja, spretnosti, ustvarjalnosti in formalnih znanj ter vplivamo na učenčevo
kognitivno, psihomotorično in afektivno področje, saj se učenec le tako razvija celostno. Z
otrokovo razvojno stopnjo je pogojena tudi vpeljava matematičnih vsebin, zato je
27
pomembno učencem ponuditi okolje, ki jim omogoča raziskovanje in oblikovanje novega
znanja (Klančar idr., 2019).
Večina učiteljev poučuje matematiko s pomočjo različnih reprezentacij (Tirosh, Tsamir,
Barkai in Levenson, 2018). Pri tem se moramo zavedati, da ima beseda reprezentacija več
pomenov, odvisno s katere teoretične perspektive gledamo nanjo. V matematičnem
mišljenju pa je povezana z načinom ponazoritve matematičnega koncepta (Chapman, 2010).
Različne reprezentacije učencem pomagajo razvijati bogato razumevanje in povezavo z
novimi koncepti (Chapman, 2010). Lahko vključujejo slike, konkreten material, diagrame,
simbole, jezik in realne situacije iz življenja (Van de Walle, Karp in Bay-Williams, 2013, v
Klančar idr., 2019). Pomen različnega reprezentiranja pri ustvarjanju razumevanja poudarja
tudi Eisner (v Klančar idr., 2019), ki je mnenja, da se le-ta nadgradi v ustvarjanju
novega/drugačnega razumevanja izbranega matematičnega pojma.
Hodnik Čadež (2000) je reprezentacije v svoji doktorski disertaciji razdelila na notranje oz.
kognitivne in na zunanje. K notranjim reprezentacijam sodijo miselne predstave oz. notranji
svet izkušenj vsakega posameznika. Zunanje reprezentacije pa so sestavljene iz
strukturiranih simbolnih elementov, ki so izbrani, da predstavljajo nekaj drugega. Objekt, ki
reprezentira drug objekt oz. pojem, razumemo kot simbol. Glavni namen njihove uporabe
je, da v učencih zunanje reprezentacije zbudijo miselno aktivnost, ki je potrebna, da učenci
začnejo razumeti nek abstrakten matematičen pojem (Hodnik Čadež in Manfreda Kolar,
2009). Razlika med notranjimi in zunanjimi reprezentacijami je predvsem v tem, da zunanje
lahko vidimo, slišimo in otipamo. Za uspešno učenje je pomembno aktivno oblikovanje
znanja v procesu interakcij med zunanjimi in notranjimi reprezentacijami (Hodnik Čadež,
2014).
Na izbiro reprezentacije ne vpliva le matematični kontekst, ampak tudi posameznik, ki rešuje
določeno matematično nalogo ali problem (Hodnik Čadež, 2014). Poleg tega ima pri izbiri
ustrezne reprezentacije veliko vlogo tudi učitelj, saj mora upoštevati dejstvo, da imajo učenci
različno predznanje in še nimajo razvite zmožnosti abstraktnega mišljenja, kot jo imamo
odrasli. Zaradi razvitega mišljenja odrasli na dano situacijo gledamo iz drugačne
perspektive, zato je pomembno, da se učitelj zna vživeti v učenca. V nasprotnem primeru
lahko z izbiro neustrezne reprezentacije učenca zmede in oteži njegovo pot do razumevanja
problema. Še posebej poudarjena reprezentacija pri pouku matematike je uporaba konkretnih
reprezentacij (Hodnik Čadež in Manfreda Kolar, 2009).
Ena izmed raziskav izvedenih na tem področju je pokazala, da je spretno rokovanje s
posamezno reprezentacijo in prehajanje med reprezentacijami, ko je to potrebno, bolj
učinkovito kot samo osredotočanje na reprezentacijo, ki ne temelji na relaciji z
matematičnim pojmom (Hodnik Čadež, 2014). Hodnik Čadež (2014) navaja primer pisnega
odštevanja, pri katerem se učenec osredotoča na reprezentacijo z desetiškimi enotami, ki pa
ne podpira pisnega algoritma, tj. simbolne reprezentacije, saj slednja temelji na pravilu
razlike, česar pa z desetiškimi enotami ne prikazujemo. V nasprotnem primeru, npr. pri
28
pisnem seštevanju, rokovanje z desetiškimi enotami odraža postopek pisnega algoritma,
torej se simbolna in konkretna reprezentacija v tem primeru med seboj dopolnjujeta.
Zunanje reprezentacije so tiste, ki podpirajo notranje, in posamezniku omogočijo
komunikacijo z drugimi osebami. Matematični koncepti so preko njih predstavljeni
konkretno, kar vodi k boljšemu razumevanju (Hodnik Čadež, 2000). Njihova vloga je
namreč »zunanja« predstavitev določene matematične »realnosti« (Hodnik Čadež, 2014).
Pri razumevanju abstraktnih pojmov je to predvsem v pomoč učencem z učnimi težavami.
Prav tako pa so zunanje reprezentacije odlično motivacijsko sredstvo in naredijo pouk
matematike še bolj zanimiv (Hodnik Čadež, 2000).
Pri pouku matematike je Hodnik Čadež (2014) ločila med tremi vrstami zunanjih
reprezentacij:
– didaktični material oz. konkretne reprezentacije,
– grafične oz. vizualne reprezentacije,
– matematični simboli.
Tirosh idr. (2018) poleg navajajo še IKT-reprezentacije, ki jih je uvedla predvsem uporaba
tablic z zaslonom na dotik. Le-te združujejo vizualni in manipulativni tip uporabe, poleg
tega pa imajo z uporabo IKT-reprezentacij učenci možnost tudi vključitve zvoka. Sfard
(1991, v Mešinović idr., 2019) navaja še abstraktno reprezentacijo.
4.1 Konkretne reprezentacije
Didaktični material oz. konkretne reprezentacije učenci in učitelji uporabljajo pri
pridobivanju znanja. Z njim učitelji poskušajo učencem na različne načine približati
abstraktne matematične ideje in aktivirati njihove različne senzorne kanale (Hodnik Čadež,
2014). Sem spadajo vse stvari, ki jih učenci uporabljajo z namenom, da se ob rokovanju z
njimi tudi učijo (Hodnik Čadež, 2000). Pri matematiki so pomembna predvsem zato, ker
učencem pomagajo razumeti matematične pojme, postopke, algoritme itd. (Hodnik Čadež in
Manfreda Kolar, 2009).
Učenec je tisti, ki da reprezentaciji pomen. Med seboj se didaktični materiali razlikujejo po
kompleksnosti (Klančar idr., 2019). Hodnik Čadež in Manfreda Kolar (2009) didaktični
material delita na umetnega in naravnega. Naravni material je tisti, ki izhaja iz naše okolice
in ga avtorici označita kot nestrukturiranega. Med navedeni material štejemo na primer fižol,
kamenčke, sponke, kocke, itd. Umetni material pa v nasprotju z naravnim ni uporabljen v
vsakdanjem življenju, ampak je izdelan posebej za učenje matematike. Ima določeno
strukturo, katere namen je, da jo učenec v procesu učenja usvoji, zato mu z drugo besedo
rečemo tudi strukturiran material (Hodnik Čadež, 2000). Med umetni material sodijo link
kocke, Dienesove plošče, pozicijsko računalo, stotični kvadrat, številska os idr.
Med manipuliranjem z didaktičnimi materiali se povežejo fizični in miselni procesi
posameznika, ki pri tem nastajajo. Za razumevanje abstraktnega matematičnega pojma je
potrebna miselna aktivnost, ki se odraža v manipuliranju z materialom. Učenci naj bi z
didaktičnim materialom manipulirali toliko časa, da se naučijo rešiti nalogo brez uporabe
29
tega materiala. Ko to dosežejo, ga ne potrebujejo več. Za opustitev določenega materiala pa
se učenci ne odločijo sami. Učitelj je namreč tisti, ki učence spodbuja k reševanju nalog brez
uporabe materiala in s tem preverja učenčevo zrelost za samostojno reševanje. Napačno pa
je ravnanje učitelja, kadar od učencev prehitro zahteva prestop na reševanje nalog brez
materiala. Učitelj se mora zavedati, da vsi učenci didaktičnega materiala ne zaznavajo enako.
Nekateri v njem prepoznajo matematične odnose, drugi pa ga zaznajo zgolj kot fizičen
objekt. Material namreč sam po sebi ne zagotavlja uspešnega učenja (Klančar idr., 2019).
Markovac (1990) k enemu izmed pomembnih faktorjev pri rokovanju z didaktičnim
materialom uvršča jezik. Ta namreč predstavlja povezavo med fizično in miselno
aktivnostjo. Med rokovanjem z didaktičnim materialom je namreč bistven miselni proces, ki
se odvija pri učencu in ne sama fizična manipulacija z materialom. S tem ko učenec fizično
aktivnost podkrepi z verbaliziranjem, le to ponotranji in s tem okrepi svoje razmišljanje.
Namreč kadar učenec glasno pojasnjuje svoje rokovanje z materialom, njegovo rokovanje
postane bolj osredotočeno na matematični pojem (Markovac, 1990).
Rokovanje s konkretnim materialom predstavlja le en del učenja, ki je sam po sebi
kompleksen proces. Le-to mora biti osmišljeno z natančno refleksijo procesa rokovanja in
obravnavano v relaciji z drugimi reprezentacijami v matematiki, da lahko vodi k uspešnemu
učenju matematičnih pojmov (Hodnik Čadež, 2014).
4.2 Grafične reprezentacije
»Grafične reprezentacije so v matematiki na razredni stopnji najbolj zastopane pri
ponazarjanju matematičnih idej. Matematični učbeniki, delovni zvezki ter drugo
matematično gradivo so polni grafičnih reprezentacij, ki se med seboj razlikujejo po
domiselnosti, izvirnosti ter korektnosti. Nekatere so celo matematično vprašljive in
didaktično neustrezne.« (Hodnik Čadež, 2014, str. 38)
Heddens (1986, v Hodnik Čadež 2014) je grafične reprezentacije predstavil kot nekakšen
most med konkretnimi reprezentacijami in reprezentacijami z matematičnimi simboli, kot
prikazuje Tabela 1. Grafične reprezentacije so po njegovem mnenju bodisi semikonkretne
bodisi semiabstraktne.
Tabela 1: Most med konkretnimi in abstraktnimi reprezentacijami (Hodnik Čadež, 2014,
str. 38, prirejeno po Heddens, 1985, str. 14)
KONKRETNE
REPREZENTACIJE
GRAFIČNE REPREZENTACIJE REPREZENTACIJE
Z
MATEMATIČNIMI
SIMBOLI
SEMIKONKRETNE
REPREZENTACIJE
SEMIABSTRAKTNE
REPREZENTACIJE
Razlika med semikonkretnimi in semiabstraktnimi reprezentacijami je v tem, kako jih
prikažemo. Hodnik Čadež (2014) ju je predstavila preko učne operacije odštevanja.
Kadar uporabimo semikonkretno reprezentacijo, na primer računsko operacijo odštevanja,
jo prikažemo grafično. To storimo tako, da na primer narišemo pet lubenic in tri prečrtamo,
30
kar vidimo na Sliki 8, kar pomeni, da rišemo objekte, ki so bili predmet konkretne
reprezentacije.
Slika 8. Semikonkretna reprezentacija računske operacije odštevanja.
Pri uporabi semiabstraktne reprezentacije pa na primer računsko operacijo odštevanja prav
tako prikažemo grafično, vendar ne nujno z reprezentacijo konkretnih objektov. Za primer z
lubenicami bi lahko narisali pet krogov in od tega prečrtali tri, kot na Sliki 9. Ta
reprezentacija se od semikonkretne razlikuje v tem, da ni več povezana s konkretno izkušnjo
v smislu uporabljenih objektov.
Slika 9. Semiabstraktna reprezentacija računske operacije odštevanja.
Izbira grafične reprezentacije je odvisna tudi od zahtevnosti snovi. Bolj kot je ta preprosta,
bolj preproste so tudi grafične reprezentacije. Zato je učiteljeva izbira vrste grafičnih
reprezentacij odvisna od obravnave določenega pojma. Za ponazoritev izbranih
matematičnih idej pa učitelj lahko uporabi različne slike, fotografije, grafe ipd. Grafične
reprezentacije se med seboj razlikujejo predvsem po vsebini sporočila, ki ga nosijo, tako kot
konkretne ali simbolne. Nekatere so za učenca preprostejše, druge zahtevnejše (Hodnik
Čadež, 2014).
»Pri učenju matematike se torej srečujemo z različnimi grafičnimi reprezentacijami, ki za
učenca niso nujno enostavnejše od konkretnih. Izbiro grafične reprezentacije določata narava
matematičnega pojma in uporaba konkretnega materiala pri obravnavi tega pojma. Ključno
je sprotno vzpostavljanje povezav med različnimi reprezentacijami.« (Hodnik Čadež, 2014,
str. 39)
4.3 Simbolne reprezentacije
Učenci v prvih letih šolanja spoznajo različne matematične simbole. Na področju aritmetike
so to:
– števke od 0 do 9,
– znaki za računske operacije (+, -, ‧, :),
– znaki za relacije (>,<, = ) (Učni načrt za matematiko, 2011).
31
Na področju geometrije pa so to na primer:
– daljica AB, a; dolžina daljice |AB|; premica p, q; poltrak k, h,
– odnosi med geometrijskimi elementi v ravnini: vzporednost ||, pravokotnost ⊥ , A
∈p, A p, skladnost AB CD,
– razdalja: d(A, p), d(p, q),
– koti (α, β, γ) (Učni načrt za matematiko, 2011).
Kadar zapišemo račun, enačbo ali neenačbo z matematičnimi simboli, dobimo simbolni
zapis. Kljub temu da je število znakov relativno majhno, obstaja zelo veliko število
kombinacij, ki jih lahko tvorimo z njimi. Veliko težav pa učencem povzročajo pravila, ki
veljajo za posamezne kombinacije teh simbolov. V nižjih razredih je rokovanje s simboli
tesno povezano s konkretnimi in grafičnimi reprezentacijami. Nemalokrat se tudi zgodi, da
rokovanje s simboli poteka zgolj na mehanični ravni, brez razumevanja (Hodnik Čadež,
2014), ali pa učenci uspešno uporabljajo simbole le v določenih situacijah. Kadar so le-te
situacije nekoliko spremenjene, imajo z reševanjem težave (Hodnik Čadež, 2003).
Hiebert (Hodnik Čadež, 2003) definira matematične simbole kot reprezentacijski simbol.
Deli ga na pet stopenj, ki jih mora učenec usvojiti, da rokovanje s simboli poteka uspešno.
Stopnje Hieberta, preko katerih učenci razvijajo svoje sposobnosti uporabe matematičnih
simbolov:
– »povezovanje simbolov z referencami,
– razvijanje postopkov s simboli,
– razširjanje postopkov s simboli,
– avtomatiziranje postopkov s simboli,
– uporabljanje simbolov in postopkov kot referenc bolj abstraktnih simbolnih
sistemov.
V procesu učenja je najpomembnejše, da učitelj pri učencu vzpostavi povezave med simboli
in referencami, ki morajo biti učencem blizu oz. morajo zanje nekaj pomeniti.« (Hiebert,
1988, po Hodnik Čadež, 2003, str. 9) V samem procesu učenja in poučevanja moramo torej
učencem omogočiti, da rokujejo z grafičnim in konkretnim materialom in vzpostavljajo
relacije med temi reprezentacijami in simboli. Zato mora pri prvi stopnji učitelj v procesu
učenja in poučevanja omogočiti učencem rokovanje s konkretnim in grafičnim materialom
ter vzpostavljati relacije med temi reprezentacijami in simboli, kar omogoči učencu, da se
nauči povezovanja simbolov z referencami (Hodnik Čadež, 2014).
Pri uvajanju matematičnih simbolov je zato pomembno učencem omogočiti čim več
konkretnih izkušenj, ki bodo zanje razumljive, smiselne in koristne. Le v tem primeru bodo
učenci konkretne izkušnje povezovali s simbolnimi zapisi in slednje tudi razumeli.
32
4.4 Abstraktne reprezentacije
Po mnenju Sfard (1991, v Mešinović idr., 2019) lahko abstraktne matematične ideje
razumemo na dva načina: strukturalno (kot objekte) in operacionalno (kot procese). Za
večino ljudi prvi korak v usvajanju novih matematičnih pojmov predstavljajo operacionalni
pojmi. Prehod od samega procesa do objekta pri vsakem posamezniku vzame precej časa in
mu povzroči kar nekaj težav. »Videti matematični pojem kot objekt pomeni biti sposoben
uporabljati ga kot realno stvar – sklicevati se nanj kot na statično strukturo. Operacionalni
pojem pa je bolj dinamičen.« (Mešinović idr., 2019, str. 28)
Sfardovova (1991, v Mešinović idr., 2019, str. 28) je oblikovala trifazni model
konceptualanega razvoja na podlagi obstoja zgodovinskih stopenj, med katerimi so se razvili
različni matematični pojmi:
– »prva faza: ponotranjanje (procesi se izvajajo na že znanih matematičnih objektih),
– druga faza: kondenzacija (operacija ali proces se zgosti v vodljivejše enote),
– tretja faza: konkretizacija (materializacija).«
4.5 Relacije med različnimi reprezentacijami
Razumevanje in pomnjenje sta ključna procesa pri učenju matematike. Model
reprezentacijskih preslikav (Slika 10) nam prikazuje povezovanje reprezentacij, kar je
ključno pri učenju matematike. Hodnik Čadež (2014) v okviru tega modela definira dva
koncepta. To sta koncept razumevanja in koncept pomnjenja, pri čimer učenčevo
razumevanje matematičnega pojma razumemo kot njegovo sposobnost prehajanja med
različnimi zunanjimi reprezentacijami, pomnjenje pa kot sposobnost upravljanja z določeno
zunanjo reprezentacijo. Med vsemi matematičnimi pojmi pa zaradi njihove narave ne
moramo prehajati.
Slika 10. Model reprezentacijskih preslikav (Hodnik Čadež, 2014, str. 41).
Ustrezne reprezentacije matematičnih pojmov igrajo ključno vlogo v matematičnem
izobraževanju. Vloge se med seboj razlikujejo in so lahko opredeljene kot način mišljenja
33
(interpretiranje reprezentiranega), način zapisovanja, predstavljanja idej (reprezentiranje
razmišljanja) in kot sredstvo komunikacije (npr. razlagalna vloga) (Chapman, 2001, v
Hodnik Čadež, 2014).
S pomočjo reprezentacij učenci komunicirajo na matematičen način. Preko reprezentacije
lahko modelirajo in interpretirajo realni, socialni in matematični kontekst problema. Tako
tudi lažje raziskujejo in interpretirajo različne pomene matematičnih pojmov, relacij med
njimi in procedur, ki jih uporabijo pri reševanju matematičnih problemov. Hkrati pa
reprezentacije oz. način učenčevega ravnanja z njimi omogočajo sprotno spremljanje in
ocenjevanje njihovega napredka v matematičnem znanju (Chapman, 2001, v Hodnik Čadež
2014).
5 Učiteljev profesionalni razvoj
Modernizacija šole v 21. stoletju prinaša veliko sprememb tudi učitelju in njegovi vlogi v
šolskem sistemu. Učiteljeva vloga v moderni družbi je namreč vse bolj usmerjena v
poznavanje učnih procesov in njihovo pospeševanje. V primerjavi s preteklostjo, ko je bil
učitelj predvsem posrednik znanja, so nam danes informacije, tudi v večjih količinah,
dostopne na različne načine (Muršak, Javrh, Kalin in Zuljan, 2011).
»Vsak učitelj prehodi v procesu svojega razvoja določena obdobja in vsako izmed njih ima
svoje značilnosti, vlogo in posledice.« (Krečič, Ivanuš-Grmek, in Čagran, 2008, str. 25). Na
profesionalni razvoj učitelja vplivajo predvsem procesi, ki se dogajajo v njem samem. Le-te
sicer lahko spodbujamo in podpiramo tudi »od zunaj«, vendar jih ne moremo dosegati
tehnološko. Gre namreč za notranji proces, saj ne obsega samo spremembe vedenja, ampak
veliko več (Muršak idr., 2011).
Valenčič Zuljan (2001, str. 131) opredeljuje učiteljev profesionalni razvoj kot »proces
signifikantnega in vseživljenjskega učenja, pri katerem (študenti) učitelji osmišljajo in
razvijajo svoja pojmovanja ter spreminjajo svojo prakso poučevanja; gre za proces, ki
vključuje učiteljevo osebnostno, poklicno in socialno dimenzijo in pomeni učiteljevo
napredovanje v smeri kritičnega, neodvisnega in odgovornega odločanja ter ravnanja.«
Učiteljev profesionalni razvoj lahko in ga moramo začeti spodbujati in ohranjati od zunaj,
vendar je za kakovostno poučevanje v središču učiteljeva kompetenca ekspertnosti v
poučevanju. Le-ta zajema socialne in sociomoralne kompetence, sposobnost
diagnosticiranja in svetovanja, sodelovanja s kolegi, starši in vodstvom v razvijanju
profesionalne kulture šole ter sposobnost opazovanja sebe kot učitelja (Muršak idr., 2011).
Učitelja profesionalca po mnenju Niemi in Kohonen (1995, v Muršak idr., 2011) označujejo:
– Profesionalna zavezanost k rasti in učenju: zaupanje v vrednost svojega dela, zaupanje
in spoštovanje učencev, občutljivost za njihove potrebe, pogumno razmišljanje o svojem
ravnanju, tveganje in toleriranje nepredvidljivosti, učenje iz svojih porazov in uspehov
ter kritična samorefleksija.
34
– Profesionalna avtonomija: opredeljevanje svojih vrednot in pojmovanj o človeku,
zaupanje v intuitivno mišljenje, učitelj je sam spodbujevalec učenja.
– Dinamično pojmovanje učenja: podpiranje učenja in spodbujanja učenčeve
soodgovornosti pri učenju, sprejemanje različnosti učencev kot izziv, dejavna skrb za
svoj intelektualni razvoj.
– Sodelovanje in povezovanje (interakcija): sodelovanje v šolski skupnosti in družbi,
povezovanje z novimi partnerji na področju tehnologije, kulture, poslovnega življenja in
socialnega dela, sposobnost sodelovanja v različnih timih.
Po njunem mnenju novi profesionalizem poudarja tudi, da morajo učitelji prevzeti dejavno
vlogo v izvajanju sprememb v šoli in družbi.
Za uspešen profesionalni razvoj so potrebni že prej omenjeni notranji in zunanji pogoji.
Navadno učiteljev razvoj zavira nizka predstava o sebi in učenju, nizka pričakovanja in
pomankanje učinkov, nizka toleranca nepredvidljivih težav, bojazen pred delanjem napak,
strah in izogibanje tveganju. Osebna prepričanja in stališča tako lahko negativno vplivajo na
učne dosežke (Muršak idr., 2011).
Za učitelje je pomemben stalen profesionalni razvoj in vseživljenjsko učenje, ki pa je možno
le, če učitelji delujejo v skupnosti (Muršak idr., 2011).
5.1 Faze oz. modeli učiteljevega profesionalnega razvoja
Fullerjeva (po Veenman, 1984, v Javornik Krečič, 2008) predstavlja enega izmed prvih
poskusov opredeljevanja učiteljevega razvoja, ki ga je povezala s spremljanjem učiteljevega
razmišljanja o poklicnih dilemah in skrbeh. Razvoj po njenem mnenju poteka skozi tri faze.
– Stopnja preživetja: V njej se učitelj prvič sreča z vodenjem razreda. V tej fazi se
osredotoča predvsem na svojo vlogo in položaj ter se sprašuje o lastni usposobljenosti,
ustreznosti in primernosti.
– Stopnja usposobljenosti oz. izkušenosti: Učitelj se na tej stopnji osredotoči predvsem v
sam proces poučevanja, zaupa vase, oklene se rutine in uporablja tradicionalne metode,
predvsem pa ga muči strah pred novostmi.
– Faza profesionalizma oz. ponovne dovzetnosti za spremembe: Učitelj se v tej fazi usmeri
predvsem na vpliv, ki ga ima njegovo ravnanje na učence. V tej fazi je učitelj ponovno
dovzeten in pripravljen na novosti ter se želi izogniti rutini, zaupa v lastne zmožnosti in
samopresojo situacije. V kasnejših raziskavah je bilo poudarjeno, da faze v modelu niso
čiste in tudi ne izolirane (Javornik Krečič, 2008).
Huberman (1993, Javornik Krečič, 2008) je model Fullerjeve razvejal in dopolnil (Slika 11).
Bil je eden izmed pomembnejših avtorjev, ki je proučeval učiteljev profesionalni razvoj.
Njegova raziskava je obsegala 160 švicarskih učiteljev, na podlagi njihovih odgovorov pa je
želel postaviti osnovo za »razvojno teorijo o poučevanju«. Po njegovem mnenju so v istem
profesionalnem obdobju zaradi delovanja različnih dejavnikov smeri oz. tendence
učiteljevega profesionalnega razvoja lahko različne, prav tako je učitelj razumljen kot
nosilec odgovornosti za svoj razvoj (Huberman, 1993, v Javornik Krečič, 2008). Pomen
njegovega modela so predvsem kritične točke, na katerih lahko učitelj zaide iz željene poti
35
v svoji karieri. V svojem poklicu namreč ne najde več smisla, zato postaja zagrenjen in
svojega dela ne opravlja zadovoljno (Javrh, 2011).
Leva stran Hubermanovega modela prikazuje bolj »harmonično« pot učiteljevega
profesionalnega razvoja (poklicna aktivnost in eksperimentiranje, sledjo ji
vedrina/sproščenost in umirjenost). Bolj »problematično« pot razvoja prikazuje desna stran
modela, saj se negotovost lahko nadaljuje v konservatizem in nazadnje v zagrenjen umik.
Značilnost njegovega modela pa je, da učitelji lahko določeno fazo tudi preskočijo ali se k
njej vrnejo (Javrh, 2011).
V nasprotju s Fullerjevo »ne opredeljuje potrebne stopnje in vsebine temeljne poklicne
kompetence, ki je značilna za neko fazo in jo je učitelj v svojem življenju dosegel ali ni
dosegel, prav tako ne opredeli dejavnikov, ki vplivajo na učiteljev profesionalni razvoj.«
(Javornik Krečič, 2008, str. 26)
Slika 11. Hubermanov model učiteljevega poklicnega razvoja (Javornik Krečič, 2008).
Začetno fazo, ki se podobno kot pri Fullerjevi imenuje faza preživetja in odkrivanja, po
njegovem označujejo opisi, kot so: »boleč začetek, napredovanje, negotova zaveza, vstop v
svet dela.« (Huberman, 1993, v Javornik Krečič, 2008, str. 27)
V njegovi drugi fazi poklicne stabilizacije je mogoče ločiti dve področji stabilizacije. Eno
področje je učiteljeva kariera (odločitev za kariero učitelja), drugo pa poučevanje (obdobje
razvoja kompetenc). Iz te faze je možno, da učitelj preide na tretjo fazo, ki se deli na dve
podfazi. Ena izmed podfaz je faza poklicne aktivnosti in eksperimentiranja, v kateri učitelji
analizirajo in preizkušajo različne načine svojega ravnanja in svoj vpliv na učence. Lahko
pa zaidejo v podfazo vnovičnega samovrednotenja. Če učitelji zaidejo v to fazo, večinoma
razmišljajo o zamenjavi poklica in so negotovi o svojem delu. Možen pa je tudi prehod iz
prve omenjene podfaze v drugo (Javornik Krečič, 2008).
36
Tudi njegova četrta faza je razdeljena na dve podfazi. Ena izmed podfaz je faza jasnosti in
vedrine ter odnos distance, za katero je značilno, da se postopna izguba energije in
entuziazma kompenzira z večjim samozaupanjem in samosprejemanjem. Posameznik pa
lahko preide tudi v fazo konzervatizma, za katero je v nasprotju s prejšnjo fazo značilno
stagniranje in zmanjšanje poklicnih ambicij (Javornik Krečič, 2008).
V končni fazi po Hubermanu se učitelj lahko poklicno poslovi na dva načina, in sicer
zagrenjeno, kritično ali umirjeno, sproščeno (Javrh, 2011).
Huberman se je s svojim modelom učiteljevega profesionalnega razvoja na nek način
oddaljil od klasičnega razumevanja kariere, ki karierni razvoj predstavlja kot vertikalno pot
od ene do druge faze. Kljub temu, da v svojem modelu govori o fazah učiteljevega
profesionalnega razvoja in jih opredeljuje z leti delovne dobe, poudarja, da se v določenih
obdobjih učitelji zaradi različnih dejavnikov lahko razvijajo v različnih smereh, prav tako
njegov model prikazuje različne možnosti prehajanja med fazami. V modelu razlikuje
zaželeno in neželeno smer ter prikazuje različne možnosti prehajanja znotraj modela. Hkrati
tudi opozori, da učitelj v svojem razvoju lahko naleti na kritična obdobja, v katerih lahko
zdrsne na neželeno pot (Javornik Krečič, 2008).
Pri razumevanju njegovega modela moramo upoštevati tudi, da so njegove ugotovitve stare
več kot desetletje. Huberman namreč dobesedno govori o »obrtniškem« modelu in učitelju
kot obrtniku, saj je podatke za svoj model pridobil iz prakse (Javrh, 2011).
Hubermanov fazni model učiteljevega profesionalnega razvoja pa je bil preverjen tudi na
slovenskih tleh med osnovnošolskimi in srednješolskimi učitelji. Na podlagi ugotovitev je
bil oblikovan fazni S-model, prikazan na Sliki 12 (Muršak idr., 2011).
Slika 12. Spremljanje in načrtovanje razvoja kariere učiteljev po S-modelu. Ljubljana:
Pedagoški inštitut, str. 27 (v Muršak idr., 2011, str. 40).
Tudi na njem lahko opazimo bolj »harmonično« oz. zaželeno in bolj »problematično« oz.
nezaželeno stran modela, ki pa se od Hubermanovega modela razlikuje v tem, da vključuje
tudi srednjo, tako imenovano »nevtralno« ali »običajno« pot (Javrh, 2011). S-model pa
37
prikazuje tudi, kako se vedri učitelji varujejo pred izgorelostjo. Kot enega izmed bistvenih
dejavnikov so učitelji izbrali zadovoljstvo, ki ga učitelji, ki dosežejo fazo sproščenosti največ
občutijo prav tam (Muršak idr., 2011).
Fazni modeli večinoma poskušajo slediti časovni dimenziji, vendar je pri tem pogosto v
ospredju kvantitativni vidik, npr. število let delovne dobe, kar pa ne pomeni nujno, da so
pridobljene izkušnje kvalitetne in pomenijo zanesljivejšo podlago za določanje in
napovedovanje poklicnega razvoja (Valenčič Zuljan, 2001).
5.2 Kariera
Kariera je po mnenju sodobne teorije eden izmed pomembnejših procesov, katerim je
izpostavljen posameznik/učitelj. Zato bi moral biti vsak odrasel, še posebej učitelj,
opremljen s specifičnim znanjem o tem, kateri mehanizmi vplivajo na individualno karierno
pot, kakšne vloge imajo odločitve o izobraževanju in usposabljanju, ki vodita k določenemu
razvoju osebnega poklicnega razvoja in želene kariere. To pa pomeni, da mora imeti sodobni
učitelj vrsto kompetenc, ki jih v preteklosti ta poklic ni poznal. Nove kompetence od učitelja
in od izobraževalnega sistema zahtevajo precejšne premike ne le v vsebinah, ampak tudi v
spretnostih, ravnanju in drži, ki jo učitelj vzpostavlja do dela in okolja (Muršak idr., 2011).
»Ne glede na razmere »preživijo« učitelji, ki so se izognili številnim pastem. Ti učitelji
delajo kakovostno, pri svojem delu uživajo, imajo odličen »stik« z učenci in kariero
končujejo zadovoljni, na pozitivni strani tako imenovanega S-modela kariernega razvoja.
Kariera se razvija učinkovito in harmonično, kadar je uspešno združenih več
najpomembnejših elementov: učenje in iskanje, vseživljenjsko izobraževanje, osebni načrt
razvoja kariere, uravnoteženje osebnih ambicij s potrebami družine, razsodno upoštevanje
stanja osebnega psihosocialnega razvoja, sprotno zaznavanje delodajalčevih potreb,
usklajevanje z njimi ter pravočasno prilagajanje trgu dela.« (Javrh, 2008, v Muršak idr.,
2011, str. 31, 32) Te kompleksne pogoje pa lahko doseže le posameznik, ki je zmožen
objektivno reflektirati svoj resnični položaj.
5.3 Dejavniki profesionalnega razvoja
Profesionalni razvoj pedagoškega delavca je, kot že omenjeno, vseživljenjski proces, pri
katerem učitelji osmišljajo in hkrati tudi razvijajo svoja obstoječa pojmovanja ter
spreminjajo svoje delo, kar pa ni mogoče brez ugodnih pogojev oz. dejavnikov, ki
vzpodbujajo in vplivajo na njihovo profesionalno rast (Valenčič Zuljan, 2001). Učitelj mora
imeti priložnost in podporo, da si sploh lahko zastavlja vprašanja, zakaj bi spreminjal svoje
delo, kako bi ga lahko spremenil in kaj bi spremenil, s kom bi sodeloval in kako bi
spremembe ovrednotil. Vse to lahko učitelj stori samo v šoli, v kateri si takšna vprašanja
zastavljajo tudi drugi učitelji, vodstvo in drugi podsistemi (starši, svetovalna služba, učenci)
ter širše okolje (strokovne institucije, vlada) (Javornik Krečič, 2008).
Javornik Krečič (2008, str. 25) je razdelila dejavnike, ki vplivajo na profesionalni razvoj, na
notranje in na zunanje. Notranji dejavniki so prepričanja in pojmovanja učitelja, zunanji
38
dejavniki pa so razne oblike izobraževanja in izpopolnjevanja, uvajanje novosti, sprememb
v vzgoji in izobraževanju, vpliv klime in staršev, pri čimer je potrebno poudariti tudi notranjo
povezanost.
»Loucks-Horsley (1987, v Muršak, 2011, str. 48) je opredelil deset pogojev uspešnega
učiteljevega poklicnega razvoja, ki vsebujejo prvine individualnega in institucionalnega
razvoja:
– sodelovanje, kolegialnost,
– pripravljenost za sprejemanje tveganja in preizkušanja (eksperimentiranja),
– pripravljenost za uporabo obstoječe baze znanja,
– ustrezna vključenost udeležencev pri oblikovanju odločitev, zastavljanju ciljev,
uresničevanju ciljev, izvajanju in evalvaciji,
– zadosten in ustrezen čas za razvoj zaposlenih in profesionalno učenje,
– jasno, podporno vodenje in podpora vodstva, uprave,
– ustrezna uporaba spodbud in nagrad,
– vključenost v profesionalno učenje z načeli učenja odraslih in procesov spreminjanja,
– usklajenost med osebnimi in institucionalnimi cilji,
– umestitev profesionalnega razvoja v organizacijsko strukturo in filozofijo šole ter
okolja.«
Po mnenju Javornik Krečič (2008) je profesionalni razvoj v večji meri odvisen tudi od
vodenja šole, šolske kulture in klime. Predvsem je potrebna ravnateljeva podpora,
vzpodbuda in načrtovanje dejavnosti, ki bodo vzpodbujale sodelovalno klimo. Royal (1997,
v Javornik Krečič 2008, str. 42) pravi, »da se z razvijanjem sodelovalne kulture razvijata
skupinska miselnost in šola kot skupnost.
Skupinska miselnost se veča:
– ko se ravnatelji odzivajo na potrebe učiteljev in jih podpirajo pri inovacijah;
– ko učitelji ugotavljajo, da jim je mar zanje;
– ko so učitelji učljivi, se uče drug od drugega;
– ko so pripravljeni pomagati drug drugemu in ko je program stalnega strokovnega
izpopolnjevanja izoblikovan po potrebah učiteljev;
– ko se tudi učitelji odzivajo na potrebe učencev;
– kjer učenci doživljajo, da učiteljem ni vseeno, kaj se z njimi dogaja.«
Učiteljev profesionalni razvoj se torej na eni strani povezuje s kulturo šole, na drugi pa s
posameznikovimi izkušnjami, stališči in sposobnostmi (Muršak idr., 2011).
39
III. Empirični del
6 Opredelitev raziskovalnega problema
V šolskem prostoru učenci vsakodnevno nadgrajujejo in usvajajo novo znanje, zato je
pomembno zaznavanje učiteljev o zahtevnejših matematičnih učnih vsebinah za obravnavo
in za samo razumevanje učencev. Učitelji morajo zato najprej dobro razumeti matematične
vsebine, ki jih posredujejo učencem, nadalje pa tudi poznati različne pristope in načine
posredovanja učne vsebine, na katere lahko oprejo svoj način poučevanja (Ma, 2010). Z našo
raziskavo smo želeli izvedeti, katere matematične vsebine 5. razreda je po mnenju učiteljev1
najzahtevnejše predstaviti učencem2. Poleg tega smo želeli raziskati razloge, ki jih učitelji
navajajo za opredelitev zahtevnejših učnih vsebin, in ali se izbor teh vsebin med učitelji
razlikuje glede na dolžino njihove delovne dobe. Zanimalo nas je tudi, kateri učni pristop
uporabljajo učitelji pri razlagi določenih učnih vsebin in na kakšen način svoje znanje
izpopolnjujejo. Na podlagi ugotovljenih podatkov nameravamo predlagati ustrezne rešitve
za primernejšo obravnavo izbranih vsebin in podati predloge glede ustreznosti posameznih
pristopov za poučevanje zahtevnejših matematičnih vsebin v 5. razredu osnovne šole.
7 Raziskovalna vprašanja
V raziskavi smo si zastavili naslednja raziskovalna vprašanja:
RV1: Katere matematične vsebine 5. razreda je po mnenju učiteljev najzahtevnejše
predstaviti učencem?
RV2: Kateri so razlogi za učiteljevo izbiro zahtevnejših matematičnih vsebin v 5. razredu?
RV3: Ali so mnenja učiteljev o zahtevnosti obravnave matematičnih vsebin 5. razreda
odvisna od dolžine njihove delovne dobe?
RV4: Ali je način obravnave zahtevnejših matematičnih vsebin 5. razreda odvisen od
delovne dobe učiteljev?
RV5: Katere matematične vsebine 5. razreda so po mnenju učiteljev najtežje razumljive
učencem?
RV6: Kateri učni pristop prevladuje pri poučevanju izbranih učnih vsebin?
8 Metodologija
Raziskava je bila izvedena v skladu s kvantitativno raziskovalno paradigmo. Uporabljeni sta
bili deskriptivna in kavzalno-neeksperimentalna metoda pedagoškega raziskovanja.
1 V magistrskem delu izraz učitelj velja enakovredno za učitelja in učiteljico. 2 V magistrskem delu izraz učenec velja enakovredno za učenca in učenko.
40
8.1 Vzorec
Raziskava je temeljila na namenskem in priložnostnem vzorcu učiteljev razrednega pouka,
ki poučujejo ali so poučevali v 5. razredu osnovne šole. Izvedli smo jo v šolskem letu
2019/2020, vanjo pa je bilo vključenih 93 učiteljev 3.
8.2 Merski inštrumenti
V raziskavi smo uporabili instrument anketni vprašalnik za učitelje, ki smo ga sestavili sami.
Na podlagi rešenih vprašalnikov smo pridobili odgovore na zastavljena raziskovalna
vprašanja. Anketni vprašalnik je bil sestavljen na spletni strani 1KA in je bil namenjen
učiteljem razrednega pouka, ki poučujejo v 5. razredu osnovne šole. Vprašalnik je
zagotavljal anonimnost in vseboval 10 vprašanj in 3 podvprašanja. Od tega je sedem
vprašanj zaprtega tipa (1, 3.1, 4, 7.1, 7.2, 9 in 10), pet vprašanj odprtega tipa (2, 3.2, 5, 6 in
7.3), 8. vprašanje predstavlja štiri stopenjska lestvica stališč. Na podlagi rezultatov,
pridobljenih s pomočjo anketnih vprašalnikov, smo želeli odgovoriti na zastavljena
raziskovalna vprašanja.
8.3 Opis postopka zbiranja podatkov
Zbiranje podatkov je potekalo od 20. 5. 2020 do 15. 7. 2020. Povprečen čas reševanja ankete
je bil 7 minut. Spletna anketa za učitelje je bila posredovana preko elektronske pošte na
posamezne elektronske naslove osnovnih šol. Prav tako je bila objavljena v nekaj zaprtih
skupinah na družbenem omrežju Facebook. S pomočjo vprašalnikov smo pridobili podatke
o tem, katere matematične vsebine so po mnenju učiteljev 5. razreda za učence
najzahtevnejše, kateri so razlogi za učiteljevo izbiro zahtevnejših učnih vsebin (osebne
težave učitelja z razumevanjem, težave s samim postopkom izbrane učne vsebine, ali težave
z razumevanjem zaradi kompleksnosti matematičnega pojma, abstraktnosti obravnavanega
pojma izbire ustrezne reprezentacije) in kako učitelji svoje znanje izpopolnjujejo. Poleg tega
nas je zanimalo tudi učiteljevo mnenje o matematičnih vsebinah, za katere opazijo, da so
zahtevnejše za učence. Anketirani učitelji so se morali pri izbranih zahtevnejših
matematičnih vsebinah opredeliti tudi glede pristopa, ki ga pri dani vsebini uporabljajo.
8.4 Obdelava podatkov
Podatki, ki smo jih pridobili s pomočjo spletnega anketnega vprašalnika, so bili obdelani z
ustreznimi statističnimi postopki. Dobljeni podatki so bili kvantitativno analizirani, obdelani
z računalniškim statističnim programom SPSS in v programu Microsoft Office Excel.
Podatke smo med seboj primerjali in pri utemeljitvi uporabili opisno in inferenčno statistično
analizo. Prikazali smo jih v tabelah in grafih, ki smo jih oblikovali s pomočjo računalniškega
programa Excel. Pri povzemanju podatkov smo se sklicevali na opisno in inferenčno
statistiko.
3 Vzorec učiteljev pri vseh vprašanjih ni enak zaradi neizpolnjenih ali nepopolno izpolnjenih posameznih
vprašanj.
41
9 Rezultati raziskave in interpretacija
V nadaljevanju so predstavljeni rezultati izpolnjenih anketnih vprašalnikov. Odgovori na
posamezna vprašanja so podani s tabelaričnim ali grafičnim prikazom. V poglavju 10 so
predstavljena naša raziskovalna vprašanja in ugotovitve.
9.1 Rezultati anketnih vprašalnikov
Na podlagi izvedene raziskave so v nadaljevanju predstavljeni rezultati vseh ustrezno
izpolnjenih anketnih vprašalnikov. Na vsako zastavljeno vprašanje so odgovori predstavljeni
ali s tabelaričnim prikazom, ali z grafičnim prikazom ali pa smo jih opisali deskriptivno.
Odgovori na odprt tip vprašanj so združeni v smiselne kategorije in tako tudi predstavljeni.
Rezultate bomo predstavili v enakem vrstnem redu kot so bila vprašanja zastavljena na
anketnem vprašalniku.
1. vprašanje: Delovna doba v vzgoji in izobraževanju pri poučevanju v 5. razredu osnovne
šole:
a) 1–3 let
b) 4–6 let
c) 7–18 let
d) 19–30 let
e) 31–40 let
Pri učiteljih, ki so pristopili k reševanju anketnega vprašalnika, smo s prvim vprašanjem
najprej pridobili podatke o njihovi delovni dobi v vzgoji in izobraževanju v 5. razredu
osnovne šole. Odgovor na to vprašanje je bil zaprtega tipa. Učitelje smo glede na delovno
dobo poučevanja v 5. razredu razdelili v 5 skupin. Pri odločitvi za razdelitev skupin smo se
sklicevali na fazni S-model profesionalnega razvoja. Le-ta prikazuje stopnje, skozi katere
prehaja učitelj na poti svojega poklicnega razvoja. To so faza preživetja in odkrivanja (1–3
let), faza stabilizacije (4–6 let), faza poklicne aktivnosti/eksperimentiranja ali faza
negotovosti/revizije (7–18 let), faza kritične odgovornosti ali faza sproščenosti ali faza
nemoči (19–30 let), zadnja faza sproščeno ali zagrenjeno izpreganje (31–40 let) (Javrh,
2011) (Slika 12). Odgovori na vprašanje so prikazani na Grafu 1.
42
Graf 1. Sodelujoči učitelji glede na delovno dobo.
Največji delež sodelujočih učiteljev (26,9 %) pripada učiteljem z delovno dobo 7–18 let.
22,6 % sodelujočih učiteljev ima delovno dobo 19–30 let, 18,3 % jih ima 1–3 leta in 17,2 %
jih ima delovno dobo 31–40 let. Najmanjši delež sodelujočih učiteljev (15,1 %) pripada
učiteljem z delovno dobo 4–6 let.
2. vprašanje: Zapišite tri matematične vsebine v 5. razredu, ki jih je po Vašem mnenju
najzahtevnejše predstaviti učencem.
Zastavljeno vprašanje je bilo odprtega tipa, na katerega so učitelji odgovarjali s kratkimi
odgovori. Vsak anketirani učitelj je zapisal tri matematične vsebine, ki jih je po njegovem
mnenju najzahtevnejše predstaviti učencem. Povzetek vseh treh odgovorov učiteljev je
prikazan v spodnji tabeli (Tabela 2).
Tabela 2: Prikaz odgovorov učiteljev na 2. vprašanje
Frekvenca
Delež izbrane učne
vsebine pri odgovorih
učiteljev
Pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom 86 92,5 %
Deli celote 47 50,5 %
Obseg in ploščina 36 38,7 %
Enačbe in neenačbe 23 24,7 %
Pretvarjanje merskih enot za dolžino, maso,
denar, čas, ploščino in votlih mer
23 24,7 %
Potence 21 22,6 %
Številski izrazi 9 9,7 %
Računski zakoni 5 5,4 %
Pisno množenje naravnih števil do milijona 5 5,4 %
0 %
20 %
40 %
1–3 let 4–6 let 7–18 let 19–30 let 31–40 let
Del
ež o
dgovoro
v
43
Odnosi med točko, premico, daljico in
poltrakom
4 4,3 %
Merjenje prostornine 4 4,3 %
Naravna števila do milijona 3 3,2 %
Množica, podmnožica, unija, presek, prazna
množica
3 3,2 %
Mreža kocke in kvadra 3 3,2 %
Sklepni račun 3 3,2 %
Razlikovanje med liki in telesi 3 3,2 %
Opazovanje in primerjanje kotov 1 1,1 %
Skupaj 279 100,0 %
Na podlagi pridobljenih rezultatov lahko ugotovimo, da se je večina učiteljev (92,5 %)
odločila, da je njim najtežje predstaviti učno vsebino pisno deljenje z dvomestnim naravnim
številom. Polovica učiteljev (50,5 %) je med zahtevnejšo učno vsebino navedla tudi dele
celot, 38,7 % učiteljev je navedlo učno vsebino obseg in ploščina, približno četrtina učiteljev
(24,7 %) je izbrala učni vsebini enačbe in neenačbe ter pretvarjanje merskih enot, dobra
petina učiteljev (22,6 %) pa je navedla učno vsebino potence. Manj kot 10,0 % učiteljev se
je odločilo za učne vsebine: številski izrazi; računski zakoni; pisno množenje naravnih števil
do milijona; odnosi med točko, premico, daljico in poltrakom; merjenje prostornine; naravna
števila do milijona; množica, podmnožica, unija, presek, prazna množica; mreža kocke in
kvadra; sklepni račun; razlikovanje med liki in telesi; opazovanje in primerjanje kotov.
3.1 vprašanje: Zakaj ste izbrali te vsebine? Izbirate lahko med več odgovori. (Možnih je več
odgovorov)
a) Lastne težave z razumevanjem vsebine.
b) Težavnost konkretne ponazoritve učne vsebine učencem.
c) Kompleksnost razlage matematičnega pojma.
d) Težavnost postopka.
e) Težavnost presoje najprimernejše reprezentacije za izbrano vsebino.
Odgovor na to vprašanje je bil zaprtega tipa in se je navezoval na odgovore izbrane pri 2.
vprašanju. Vsak anketirani učitelj je svoje tri izbire pri drugem vprašanju utemeljil z
izbranim odgovorom pri 3.1 vprašanju. Učitelji so lahko izbrali več možnih odgovorov, ki
so prikazani v spodnjem grafu (Graf 2).
44
Graf 2. Prikaz odgovorov učiteljev na 3. vprašanje.
Rezultati so pokazali, da se je največ učiteljev (34,0 %) odločilo, da je zahtevnejše
matematične vsebine najtežje predstaviti učencem zaradi težavnosti samega postopka
posamezne učne vsebine. Malo manj učiteljev (30,4 %) je kot razlog navedlo kompleksnost
razlage posameznega matematičnega pojma. Težavnost presoje najprimernejše
reprezentacije za izbrano vsebino je izbrala petina učiteljev (20,4 %), 14,2 % učiteljev je kot
razlog navedlo težavnost konkretne ponazoritve učne vsebine učencem. Skoraj nihče (1,0 %)
ni kot razlog za izbiro zahtevnejše učne vsebine izbral možnosti lastnih težav z
razumevanjem vsebine.
Kot zanimivost smo si podrobneje ogledali tudi razloge za izbiro treh najpogosteje izbranih
zahtevnejših učnih vsebin, ki so bile pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom, deli
celote ter obseg in ploščina (Graf 3). Zanimalo nas je, kako je razlog za zahtevnost učne
vsebine povezan z izborom vsebine. Učitelji, ki so kot zahtevnejšo vsebino izbrali pisno
deljenje z dvomestnim naravnim številom, so v večini (81,3 %) izbrali ta odgovor zaradi
težavnosti samega postopka razlage, 18,6 % učiteljev pa zaradi težavnosti konkretne
ponazoritve te učne snovi. Nihče od učiteljev se pri pisnem deljenju z dvomestnim naravnim
številom ni odločil za odgovor lastne težave z razumevanjem vsebine. Kot zahtevnejšo
vsebino so učitelji izbrali tudi dele celote, pri kateri se je 81,4 % učiteljev odločilo, da jim
večino težav povzroča kompleksnost razlage posameznega matematičnega pojma, najmanj
učiteljev (2,0 %) pa se je odločilo za odgovor lastne težave z razumevanjem vsebine. Enak
delež učiteljev se je za ta odgovor odločil pri utemeljitvi, zakaj so kot najzahtevnejšo učno
vsebino izbrali obseg in ploščino. Pri tej vsebini so sicer učitelji v največji meri (36,6 %)
označili, da jim težave povzroča težavnost presoje najprimernejše reprezentacije za
posamezno vsebino.
0 %
10 %
20 %
30 %
40 %
Lastne težave z
razumevanjem
vsebine
Težavnost
konkretne
ponazoritve učne
vsebine učencem
Kompleksnost
razlage
matematičnega
pojma
Težavnost
postopka
Težavnost presoje
najprimernejšega
ponazorila za
izbrano vsebino
Del
ež o
dgovoro
v
45
Graf 3. Prikaz izbire odgovorov glede na izbrano učno vsebino.
3.2 vprašanje: Drugo. Razlogi za izbiro zahtevnejše učne vsebine.
Učitelji so imeli pri tem vprašanju možnost lastne izbire odgovora, v primeru, da zanje ni bil
ustrezen noben odgovor pri 3.1 vprašanju. Učitelji so svojo izbiro utemeljili, da jim je
določena vsebina zahtevnejša za razlago učencem, saj imajo premalo časa, da bi naredili
dovolj vaj na konkretizaciji (1 odgovor), ali ker se jim zdijo postopki prezahtevni, da bi jih
učenci razumeli oz. po njihovem mnenju učenci še niso na ustrezni razvojni stopnji (1
odgovor). Nekaterim učiteljem težavo pri podajanju snovi predstavlja slabo utrjeno
predznanje učencev (npr. poštevanka) (2 odgovora).
4. vprašanje: Ali se je Vaš način poučevanja zahtevnejših matematičnih vsebin, ki ste jih
izbrali pri 2. vprašanju, spremenil od takrat, ko ste začeli s poučevanjem?
a) Da.
b) Delno.
c) Ne.
d) Ne vem.
Četrto vprašanje je zaprtega tipa. Pri tem vprašanju so se učitelji opredelili do tega, ali se je
njihovo poučevanje spremenilo tekom delovne dobe. Na zastavljeno vprašanje je odgovorilo
93 učiteljev. Rezultati so prikazani na Grafu 4.
0 %
20 %
40 %
60 %
80 %
100 %
Lastne težave zrazumevanjem
vsebine
Težavnostkonkretne
ponazoritve učnevsebine učencem
Kompleksnostrazlage
matematičnegapojma
Težavnost postopka Težavnost presojenajprimernejšega
ponazorila zaizbrano vsebino
De
lež
od
govo
rov
Pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom Deli celote Obseg in ploščina
46
Graf 4. Vpliv delovne dobe na spremembo poučevanja zahtevnejših matematičnih vsebin.
Pri večini učiteljev (50,5 %) se je poučevanje zahtevnejših matematičnih vsebin v 5. razredu
z daljšo delovno dobo spremenilo. 27,5 % učiteljev meni, da se je njihovo poučevanje
spremenilo le delno. 14,3 % učiteljev meni, da se njihovo poučevanje glede na delovno dobo
ni spremenilo. Nekaj učiteljev (7,7 %) se ne more opredeliti, ali se je njihovo poučevanje
spremenilo ali ne.
5. vprašanje: Pojasnite, kako oziroma na kakšen način.
Učitelji, ki so odgovorili, da se je njihovo poučevanje zahtevnejših matematičnih vsebin
skozi leta spremenilo, so v nadaljevanju zapisali tudi, kako oz. na kakšen način. Ker so si
bili odgovori zelo podobni, smo jih naknadno kategorizirali med sedem različnih odgovorov.
Razlage učiteljev so bile:
– izkušnje omogočajo hitrejšo izbiro ustreznega primera, postopka in ponazoritve učne
snovi (35,2 %),
– iskanje nove, drugačne ponazoritve učne snovi (18,3 %),
– izbira primernejše učne metode glede na izkušnje in več časa namenjenega utrjevanju
(16, 9 %),
– uporaba predvsem konkretnih reprezentacij (15,5 %),
– vertikalni pogled na učne vsebine, povezovanje z uporabnostjo neke vsebine in izkušnje
učencev (9,9 %),
– zmanjšan obseg vsakodnevnih nalog, več poudarka na skupinskem delu in samostojnem
odkrivanju postopkov, zakonitosti (4,2 %).
6. vprašanje: Zapišite tri zahtevnejše matematične vsebine v 5. razredu, pri katerih imajo po
Vašem mnenju UČENCI največ težav z razumevanjem.
Na zastavljeno vprašanje odprtega tipa so učitelji odgovarjali s kratkimi odgovori. Vsak
anketirani učitelj (93 učiteljev) je zapisal tri matematične vsebine, pri katerih imajo UČENCI
0 %
20 %
40 %
60 %
Da Delno Ne Ne vem
De
lež
od
govo
rov
47
največ težav z razumevanjem matematične vsebine v 5. razredu osnovne šole. Povzetek vseh
treh odgovorov učiteljev je prikazan v spodnji tabeli (Tabela 3).
Tabela 3: Izbrane matematične vsebine po zahtevnosti učencev
Frekvenca Odstotek primerov
Pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom 65 84,4 %
Pretvarjanje merskih enot za dolžino, maso,
denar, čas, ploščino in votlih mer
36 46,8 %
Deli celote 25 32,5 %
Obseg in ploščina 23 29,9 %
Enačbe in neenačbe 17 22,1 %
Odnosi med točko, premico, daljico in
poltrakom
12 15,6 %
Potence 11 14,3 %
Mreža kocke in kvadra 9 11,7 %
Merjenje prostornine 8 10,4 %
Matematični problemi (odprti in zaprti) 6 7,8 %
Množica, podmnožica, unija, presek, prazna
množica
5 6,5 %
Razlikovanje med liki in telesi 5 6,5 %
Številski izrazi 4 5,2 %
Naravna števila do milijona 3 4,0 %
Sklepni račun 1 1,3 %
Pisno množenje naravnih števil do milijona 1 1,3 %
Skupaj 231 100,0 %
Na podlagi pridobljenih rezultatov lahko ugotovimo, da se je večina učiteljev (84,4 %)
odločila, da imajo učenci največ težav pri razumevanju učne vsebine pisno deljenje z
dvomestnim naravnim številom. Skoraj polovica učiteljev (46,8 %) je med zahtevnejšo učno
vsebino navedla pretvarjanje merskih enot, 32,5 % učiteljev je navedlo učno vsebino deli
celote. Učno vsebino obseg in ploščina je navedlo 29,9 % učiteljev, približno petina učiteljev
(22,1 %) je izbrala učno vsebino enačbe in neenačbe. 15,6 % učiteljev je pod učno vsebino,
pri kateri imajo učenci največ težav pri razumevanju, zapisalo odnose med točko, premico,
daljico in poltrakom, 14,3 % jih je sem zapisalo potence, 11,7 % učiteljev je zapisalo učno
vsebino mrežo kocke in kvadra in 10,4 % merjenje prostornine. Manj kot 10 % pa so
pridobile učne vsebine: matematični problemi (odprti in zaprti); množica, podmnožica,
unija, presek, prazna množica; razlikovanje med liki in telesi; številske izraze; naravna
števila do milijona; sklepni račun; pisno množenje naravnih števil do milijona.
48
7.1 vprašanje: Navedla sem nekaj predlogov učnih vsebin. Zanima me, na kaj se najbolj
opirate pri vpeljavi določene matematične vsebine. Označite izbran odgovor.
Ustna
razlaga
(tabla in
kreda)
Interaktiv-
ni
pripomoč-
ki (spletne
strani,
aplikacije)
Konkretne
reprezen-
tacije
Grafični/
Slikovni
prikaz
Pisno deljenje z dvomestnim naravnim
številom.
Votle merske enote (dl, l, hl).
Enačbe in neenačbe.
Množica, podmnožica, unija, presek.
Merjenje ploščine.
Simetrija in vzorci.
Preiskava (uporaba znanj o obdelavi
podatkov).
Zakon o razčlenjevanju (distributivnost).
Daljica, premica, poltrak.
Mreža kocke in kvadra.
Drugo:
Sedmo vprašanje je odprtega tipa, pri katerem so se učitelji opredelili na kakšen način
vpeljujejo posamezno učno vsebino. Na zastavljeno vprašanje je odgovorilo 77 učiteljev.
Podatke smo zaradi lažje preglednosti predstavili z dvema grafoma (Graf 5 in Graf 6).
Graf 5. Prikaz odgovorov učiteljev na 7.1 vprašanje (1. del)
0 %
20 %
40 %
60 %
80 %
100 %
Pisno deljenje zdvomestnim
naravnim številom.
Votle merske enote(dl, l, hl).
Enačbe inneenačbe.
Množica,podmnožica, unija,
presek.
Merjenje ploščine.
De
lež
od
govo
rov
Ustna razlaga (tabla in kreda) Interaktivni pripomočki (spletne strani, aplikacije)
Konkretna ponazorila Grafični/Slikovni prikaz
49
Graf 6. Prikaz odgovorov učiteljev na 7.1 vprašanje (2. del)
Kot je razvidno z Grafa 5 se učitelji pri vpeljavi pisnega deljenja z dvomestnim naravnim
številom najbolj opirajo na ustno razlago (tabla in kreda) (82,9 %), zelo malo učiteljev se
odloči za interaktivne pripomočke (spletne strani, aplikacije) (6,6 %) in za grafični/slikovni
prikaz (6,6 %). Najmanj učiteljev se pri vpeljavi opira na konkretne reprezentacije (3,9 %).
Pri vpeljavi votlih merskih enot (dl, l, hl) se velika večina učiteljev najbolj opira na konkretne
reprezentacije (90,8 %), le redki uporabljajo interaktivne pripomočke (spletne strani,
aplikacije) (3,9 %), v najmanjši meri pa se učitelji odločajo za uporabo
grafičnega/slikovnega prikaza (2,6 %) in ustno razlago (tabla in kreda) (2,6 %).
Učitelji se pri vpeljavi enačb in neenačb najbolj opirajo na ustno razlago (tabla in kreda)
(42,1 %), nato na grafični/slikovni prikaz (28,9 %), na konkretne reprezentacije (15,8 %) in
najmanj na interaktivne pripomočke (spletne strani, aplikacije) (13,2 %).
Pri vpeljavi množic, podmnožic, unije in preseka se učitelji najbolj opirajo na
grafični/slikovni prikaz (52,6 %), nato na konkretne reprezentacije (34,2 %), sledijo jim
interaktivni pripomočki (spletne strani, aplikacije) (9,2 %). Učitelji se najmanj pri vpeljavi
množic, podmnožic, unije in preseka opirajo na ustno razlago (tabla in kreda) (3,9 %).
Na Grafu 5 lahko vidimo, da se pri vpeljavi učne vsebine, ki se na naša na merjenje ploščine,
učitelji v največji meri opirajo na konkretne reprezentacije (72,4 %), skoraj petina učiteljev
se opira na grafični/slikovni prikaz (19,7 %), 5,3 % učiteljev se opira na interaktivne
pripomočke (spletne strani, aplikacije), 2,6 % pa na ustno razlago (tabla in kreda).
Učitelji se pri vpeljavi učne vsebine simetrija in vzorci opirajo na grafični/slikovni prikaz
(43,4 %), sledijo jim konkretne reprezentacije (35,5 %), 19,7 % učiteljev se opira na
0 %
20 %
40 %
60 %
80 %
Simetrija in vzorci. Preiskava (uporabaznanj o obdelavi
podatkov).
Zakon orazčlenjevanju
(distributivnost).
Daljica, premica,poltrak.
Mreža kocke inkvadra.
De
lež
od
govo
rov
Ustna razlaga (tabla in kreda) Interaktivni pripomočki (spletne strani, aplikacije)
Konkretna ponazorila Grafični/Slikovni prikaz
50
interaktivne pripomočke (spletne strani, aplikacije), le 1,3 % učiteljev se opira na ustno
razlago (tabla in kreda).
Pri vpeljavi učne vsebine namenjene preiskavi (uporaba znanj o obdelavi podatkov) se
učitelji v največji meri zanašajo na grafični/slikovni prikaz (39,5 %), sledijo jim interaktivni
pripomočki (spletne strani, aplikacije) (32, 9 %), nato konkretne reprezentacije (19,7 %),
najmanjši delež učiteljev se zanaša na ustno razlago (tabla in kreda) (7,9 %).
Zakon o razčlenjevanju (distributivnost) je učna vsebina, pri kateri se v dobrih dveh tretjinah
anketiranih učitelji pri vpeljavi opirajo na ustno razlago (tabla in kreda) (65,8 %), sledi
vpeljava učne vsebine s konkretnimi reprezentacijami (14,5 %), grafični/slikovni prikaz
(11,8 %) in interaktivni pripomočki (spletne strani, aplikacije) (7,9 %).
Pri vpeljavi učne vsebine, ki se na naša na daljico, premico, poltrak se učitelji v največji meri
opirajo na grafični/slikovni prikaz (39,5 %), nato na ustno razlago (tabla in kreda) (30,3 %).
Na konkretne reprezentacije se opira 23,7 % učiteljev in na interaktivne pripomočke (spletne
strani, aplikacije) le 6,6 % učiteljev.
Mreža kocke in kvadra je učna vsebina, pri kateri se skoraj tri četrtinski delež anketiranih
učiteljev pri vpeljavi opira na konkretne reprezentacije (74,7 %), 13, 3 % učiteljev se pri
vpeljavi opira na grafični/slikovni prikaz, 8,0 % učiteljev se opira na interaktivne
pripomočke (spletne strani, aplikacije) in le 4,0 % na ustno razlago (tabla in kreda).
Opazili smo, da pri obravnavi določenih vsebin, npr. pri enačbah, neenačbah, zakonu o
razčlenjevanju, učitelji uporabljajo ustno razlago, kljub temu da se vsebino lahko predstavi
tudi konkretno (npr. preko tehtnice ali drugih ponazoril). Pri določenih primerih prav tako
opazimo, da ponekod grafični prikazi izpodrinejo vlogo konkretnih reprezentacij, kljub temu
da naj bi v osnovnošolskem izobraževanju z učenci najprej pojme uvajali na konkretni in
slikovni ravni, šele kasneje učence navajamo na simbolno in abstraktno raven (Klančar idr.,
2019)
7.2 vprašanje: Ali se poslužujete še katerega načina, ki zgoraj ni bil omenjen?
a) Da.
b) Ne.
7.3 vprašanje: Če ste odgovorili pritrdilno, katerega?
Učitelje smo vprašali, ali se pri vpeljavi matematičnih vsebin poslužujejo še katerega načina,
ki zgoraj ni bil omenjen. Določeni odgovori sodijo pod možnosti, ki so bile ponujene pri
vprašanju 7.1, le da so jih učitelji poimenovali drugače. 12,7 % učiteljev je odgovorilo
pritrdilno, in sicer navajajo, da uporabljajo didaktično igro; didaktične pripomočke;
PowerPoint projekcije; praktično delo, kjer je učenec aktivno udeležen; narobe učenje, kjer
preverimo učenčevo predznanje; kombinacijo omenjenih pristopov.
51
8. vprašanje: Pri načrtovanju učne ure za poučevanje zahtevnejše učne vsebine sem
pozoren/-na (označite odgovor, s katerim se najbolj strinjate) 1-nikoli, 4-vedno.
Pri 8. vprašanju so se učitelji (77 učiteljev) na lestvici stališč opredelili o tem, kako pogosto
našteti dejavniki vplivajo na načrtovanje učnih ur za poučevanje zahtevnejših matematičnih
vsebin. Učitelji so se opredelili na štiristopenjski lestvici, pri čimer je številka 1 pomenila,
da se nekega pristopa nikoli ne poslužujejo, s številko 4 pa so označili pristope, ki se jih
vedno poslužujejo. Rezultati so vidni v Tabeli 4.
Tabela 4: Usmerjenost učiteljeve pozornosti pri načrtovanju učne ure za poučevanje
zahtevnejše učne vsebine
M SD
da učence čim bolj vključujem v učni proces. 3,65 0,556
da je njena vsebina blizu učenčevim življenjskim izkušnjam in interesom. 3,61 0,542
da je njena vsebina raznolika. 3,27 0,599
da pred obravnavo s sodelavci in drugimi učitelji strokovno razpravljamo o
učnih temah, ki so učencem zahtevnejše na podlagi že pridobljenih izkušenj.
2,79 0,800
da svoje znanje predhodno poskušam podkrepiti z udeležbo na seminarjih,
kongresih ali drugih dodatnih izobraževanjih.
2,45 0,680
da svoje znanje predhodno poskušam podkrepiti z branjem strokovnih revij. 2,05 0,8
V Tabeli 4 lahko vidimo, da si pri poučevanju zahtevnejših matematičnih učnih vsebin v 5.
razredu osnovne šole učitelji najbolj prizadevajo za čim večjo vključitev učencev v učni
Nikoli Včasih Pogosto Vedno
da je njena vsebina raznolika. 1 2 3 4
da je njena vsebina blizu učenčevim življenjskim
izkušnjam in interesom.
1 2 3 4
da pred obravnavo s sodelavci in drugimi učitelji
strokovno razpravljamo o učnih temah, ki so
učencem zahtevnejše na podlagi že pridobljenih
izkušenj.
1 2 3 4
da učence čim bolj vključujem v učni proces. 1 2 3 4
da svoje znanje predhodno poskušam podkrepiti z
udeležbo na seminarjih, kongresih ali drugih
dodatnih izobraževanjih.
1 2 3 4
da svoje znanje predhodno poskušam podkrepiti z
branjem strokovnih revij.
1 2 3 4
Drugo: 1 2 3 4
52
proces (M 4 = 3,65, SD = 0,56). Ravno tako si zelo prizadevajo, da je učna vsebina blizu
učenčevim življenjskim izkušnjam in interesom (M = 3,61, SD = 0,54). Pozornost namenjajo
tudi raznolikosti vsebine (M = 3,27, SD = 0,59), strokovnemu razpravljanju o učnih temah s
sodelavci in drugimi učitelji na podlagi lastnih izkušenj pred obravnavo zahtevnejše učne
vsebine (M = 2,79, SD = 0,80) in svoje znanje predhodno poskušajo podkrepiti z udeležbo
na seminarjih, kongresih ali drugih dodatnih izobraževanjih (M = 2,45, SD = 0,68). Med
vsemi pridobljenimi predlogi se učitelji najmanj poslužujejo branja strokovnih revij z
namenom predhodne podkrepitve lastnega znanja (M = 2,05, SD = 0,80).
Učitelji so imeli pri tem vprašanju tudi možnost lastnega odgovora v primeru, da so pri
prejšnjem vprašanju izbrali odgovor »drugo«. Slednjo možnost so izbrali štirje učitelji. Eden
izmed njih namenja pozornost pri načrtovanju učne ure za poučevanje zahtevnejše vsebine
predvsem temu, da vsebino približa na otroku sprejemljiv način, drugi izmed učiteljev ideje
za učno uro poišče na internetu, tretji poskuša učno vsebino povezati s konkretnimi primeri
iz življenja (denar, kosi torte …), četrti pa načrtuje učno uro na podlagi preverjenega
predznanja učencev.
9. vprašanje: Navedla sem nekaj opisov učnih pristopov za učno vsebino PISNO
DELJENJE Z DVOMESTNIM NARAVNIM ŠTEVILOM. Izberite tistega, za katerega
menite, da najbolj ustreza vašemu načinu dela.
a) Učenca motiviram in usmerim v razmišljanje za obravnavo nove učne snovi preko
novega primera, ki se ga še niso učili. Učenci imajo nato v manjših skupinah
diskusijo o tem računu, postopku reševanja in njegovi rešitvi ter za tem predstavijo
svoje zaključke. Na koncu pravilen postopek predstavim še sama ob pomoči njihovih
idej. Nato učenci na novo usvojeno znanje utrjujejo in ga uporabljajo v različnih
situacijah. Na koncu je njihova naloga analiza in ocena lastnega znanja.
b) Učenca vodim skozi postopek reševanja pisnega deljenja z dvomestnim številom.
Skupaj/v paru/v skupini iščemo pravila za način reševanja in primerjamo odnose med
števili, ki jih uporabljamo.
c) Učencu najprej sam/-a pokažem postopek reševanja pisnega deljenja z dvomestnim
številom (kaj je pravilno, na kaj morajo biti pozorni). Učenci nato individualno
utrjujejo svoje znanje, vendar pod mojim nadzorom. Skupaj si pogledamo rešitve.
Pri učenju uporabljam pohvale v primeru, da je postopek reševanja pravilen.
Na podlagi učne vsebine pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom sem podala tri
različne razlage, ki temeljijo na behaviorističnem, kognitivističnem in konstruktivističnem
učnem pristopu. Učitelji so si izbrali tistega, ki najbolj ustreza njihovemu načinu dela. Na
zastavljeno vprašanje je odgovorilo 75 učiteljev. Podatki so prikazani v Grafu 7.
4 V magistrskem delu smo uporabili mednarodne kratice. M je oznaka za povprečno vrednost. SD je oznaka za
standardni odklon.
53
Graf 7. Učni pristop za učno vsebino pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom.
Večina učiteljev (57,3 %) je izbrala opis c), ki ustreza behavioristični teoriji poučevanja.
26,7 % učiteljev je izbralo opis a), ki ustreza konstruktivističnemu načinu poučevanja.
Najmanjši delež učiteljev (16,0 %) je izbral opis b), ki podpira kognitivističen način
poučevanja.
10. vprašanje: Navedla sem nekaj opisov učnih pristopov za učno vsebino MERJENJE
PLOŠČINE. Izberite tistega, za katerega menite, da najbolj ustreza vašemu načinu dela.
a) Učencem predstavim življenjski problem, in sicer, na katero pravokotno gredico
lahko posadimo več sadik solate. Učenci z raziskovanjem problema sami ugotovijo,
da vsaka sadika potrebuje določen prostor in da bi za označitev prostorčkov
posameznim sadikam lahko uporabili mrežo ter nato prešteli število nastalih enot.
Učenci novo usvojeno znanje utrjujejo in ga uporabljajo v različnih situacijah.
b) Učencem predstavim kvadratno mrežo kot pripomoček za merjenje ploščine
pravokotnika. Učenci (ob vodenju) ugotavljajo, kako bi lahko prešteli ali na krajši
način določili število vseh kvadratkov, ki pokrivajo ploskev pravokotnika.
c) Učencem predstavim pravilo za izračun ploščine pravokotnika (množenje dolžine
pravokotnika z njegovo širino). Učenci nato individualno računajo ploščine. Skupaj
si pogledamo rešitve. Pri učenju uporabljam pohvale v primeru, da je postopek
reševanja pravilen.
Na podlagi učne vsebine merjenje ploščine sem podala tri različne razlage, ki temeljijo na
behaviorističnem, kognitivističnem in konstruktivističnem učnem pristopu. Učitelji so si
izbrali tistega, ki najbolj ustreza njihovemu načinu dela. Podatke, ki smo jih pridobili z
raziskavo smo prikazali v Grafu 8. Na zastavljeno vprašanje je odgovorilo 75 učiteljev.
0 %
20 %
40 %
60 %
80 %
a) b) c)
Del
ež o
dg
ov
oro
v
54
Graf 8. Prikaz izbranih odgovorov za učno vsebino merjenje ploščine.
Največji delež učiteljev (73,3 %) je izbral opis a), ki ustreza konstruktivističnemu načinu
poučevanja. 24,0 % učiteljev je izbralo opis b), sestavljen na podlagi kognitivnega učnega
pristopa. Le 2,7 % učiteljev je izbralo opis c), ki predstavlja behavioristični način
poučevanja.
Primerjava 9. in 10. vprašanja
Omenjeni učni vsebini pri 9. in 10. vprašanju, torej pisno deljenje z dvomestnim naravnim
številom in merjenje ploščine, se vsebinsko precej razlikujeta. V skladu s tem se razlikujejo
tudi odgovori učiteljev pri izbiri opisa obravnave omenjenih vsebin. Pri pisnem deljenju z
dvomestnim naravnim številom je poudarek predvsem na učenju procedure. Temu primerno
so učitelji v večini izbrali opis, ki smo ga sestavili na podlagi behaviorističnega načina
poučevanja, saj je učenje pri omenjenem pristopu pojmovano kot aditiven proces kopičenja
novih informacij ter sprotnega spremljanja učencev na podlagi principa dražljaj–reakcija.
Poudarek je predvsem na učiteljevi jasni in strukturirani razlagi učne snovi, pri čimer učenec
ne more dosegati višjih oblik ustvarjalnega učenja (Kozel idr., 2019). Pri merjenju ploščine
pa so se učitelji večinoma odločili za konstruktivistični pristop poučevanja, ki poudarja
predvsem to, da posameznik sam izgrajuje lastno zanje. Le-to učitelj pri omenjeni snovi
lahko omogoči učencem na različne načine, ki jih bomo podrobneje predstavili pod 10. točko
naše magistrske naloge. Če si pogledamo Graf 6, vidimo, da se v največji meri učitelji opirajo
na konkretne reprezentacije pri obravnavi merjenja ploščine, pri obravnavi snovi z le temi
pa je potrebna aktivna vloga učencev, ki jo v ospredje postavljata konstruktivistična in
kognitivistična teorija učenja.
0 %
20 %
40 %
60 %
80 %
a) b) c)
De
lež
od
govo
rov
55
10 Glavne ugotovitve raziskave in odgovori na raziskovalna
vprašanja
Glavne ugotovitve naše raziskave so osnovane na podlagi podatkov, pridobljenih s pomočjo
anketnih vprašalnikov, ki smo jih nato analizirali in podrobneje opisali pod točko 9.1. Z
vprašalnikom smo želeli pridobiti odgovore na zastavljena raziskovalna vprašanja v
povezavi z zahtevnejšimi učnimi vsebinami pri pouku matematike v 5. razredu osnovne šole,
ki so opredeljena v uvodu empiričnega dela.
10.1 Odgovor na raziskovalno vprašanje 1: Katere matematične vsebine 5.
razreda je po mnenju učiteljev najzahtevnejše predstaviti učencem?
Zastavljeno raziskovalno vprašanje smo utemeljevali na podlagi pridobljenih odgovorov na
2 vprašanje v anketnem vprašalniku ter prikazanih odgovorov v Tabeli 2. Učiteljem smo
naročili, da naj zapišejo tri učne vsebine, ki jim predstavljajo najzahtevnejšo predstavitev
matematičnih vsebin učencem v petem razredu osnovne šole. Z našo raziskavo smo
ugotovili, da so bili učitelji v svojih odgovorih precej enotni. Skoraj vsi učitelji (92,5 %) so
enotno določili, da je za poučevanje najzahtevnejša učna vsebina pisno deljenje z
dvomestnim naravnim številom, pri kateri je v ospredju glede na Gagnejevo taksonomijo
znanja rutinsko (proceduralno) znanje, ki od učenca zahteva reševanje računskega postopka,
uporabo ustreznih pravil in obrazca. Učenec se namreč nauči rešiti določen račun na podlagi
procedure, ki mu jo predstavimo, tudi če jo težje razume (Žakelj, 2003).
Deljenje je ena izmed štirih osnovnih računskih operacij aritmetike in predstavlja obratno
računsko operacijo množenju. Omogoča nam, da števila razdelimo na mnoge enake dele.
Učenci se najprej učijo ustnega oz. miselnega deljenja. Ko učencem zastavimo račun, je
njihova naloga, da ga miselno, na pamet, rešijo. Šele nato jih učimo pisnega deljenja. Kadar
so števila prevelika za računanje na pamet, uporabljamo pisno ali dolgo deljenje, pri katerem
račun najprej zapišemo in nato učencem razložimo, da pri pisnem deljenju vedno začnemo
deliti na levi strani. Opozorimo jih tudi, da morajo vzeti najmanjše možno število, ki ga
lahko delimo z deljencem in razložimo sam postopek (Polovič, 2017). Na pisno deljenje po
mnenju J. Back (2011) vplivajo številni dejavniki. Učenci se učijo deljenja na podlagi
predznanja, ki ga imajo z računskimi operacijami seštevanja, odštevanja in množenja. Kar
pomeni, da je od njihovega predznanja naštetih računskih operacij odvisno samo
razumevanje koncepta pisnega deljenja, ki je nekoliko drugačno.
J. Black (2011) predlaga različne načine za lažje razumevanje deljenja in njegove obratne
operacije množenja. Predstavi problem, pri katerem npr. učencem ponudi vprašanje, koliko
kupčkov po 5 moramo imeti, da dobimo 15 kupčkov. Na koliko načinov bi lahko zapisali
račun? Učenec lahko kot rešitev ustvari veliko različnih opisov ali simbolnih zapisov.
Rešitve so npr. 3 × 5 = 15 (tri krat po pet kupčkov predstavlja petnajst kupčkov) ali obratno
5 × 3 = 15 ali 15 ÷ 5 = 3 ali 15 ÷ 3 = 5. Po njenem mnenju je pomembno, da učenci dojamejo
enakovrednost vseh različnih izrazov. Problem pri razumevanju postopka pisnega deljenja
56
predstavlja učencem predvsem to, da se omenjena računska operacija razlikuje od ostalih
računskih operacij (tj. pisnega seštevanja, odštevanja in množenja). Za razliko od ostalih
algoritmov je deljenje postopek, ki se računa od leve proti desni in navzdol, zato se sam
postopek zdi popolnoma drugačen.
Polovica anketiranih učiteljev (50,5 %) se je strinjala, da bi med zahtevnejše učne vsebine
umestili dele celote. V 5. razredu so postavljeni učni cilji v povezavi z deli celote: določanje
dela celote, ki ga prikazuje dana slika ali model, sem sodijo tudi primeri, kjer so deli celote
večji od same celote; ponazarjanje dela celote (grafično ali preko modela); izračunanje dela
celote (npr. 2
3 od 15 = ); uporabljanje strategije računanja z deli celote pri reševanju
besedilnih nalog in seštevanje ter odštevanje delov celote s pomočjo modelov ali slike (Učni
načrt, 2011). Za razumevanje delov celote/ulomkov sta bistveni komponenti po mnenju
Hechta in Vagija (2012) konceptualno in proceduralno znanje. Pri konceptualnem znanju je
v ospredju predvsem poznavanje dejstev in pojmov, proceduralnega pa smo že opredelili pri
pisnem deljenju z dvomestnim naravnim številom. V primeru, da imamo račun 1
2 +
1
4 = ,
konceptualno znanje npr. izrazimo tako, da pobarvamo določen del lika. Če uporabimo
proceduralno znanje, pa ulomkoma poiščemo najmanjši skupni večkratnik in ju nato
seštejemo. Moss (v Uranič, 2016) ugotavlja, da je učenje racionalnih števil zapleteno, saj
mora učenec izdelati kompleksno mrežo znanja, ki ne temelji na aditivnih, ampak na
multiplikativnih odnosih. Težave predstavljajo učencem novi simboli in predstavitve, ki jih
morajo razumeti pri usvajanju ulomkov (npr. pojem dela celote). Iz raziskave, ki jo je opravil
Wu (1999), vidimo, da so učitelji oblikovali priporočila za postopno uvajanje v obravnavo
delov celote v 5. razredu, ki pa jih še niso v celoti izpopolnili. V njih je bilo predlagano, da
je pomembna učiteljeva postopna razlaga ulomkov od čistega začetka. Izpostavili bomo le
koraka, ki jih uporabljamo v 5. razredu osnovne šole oz. v nižjih razredih. Prvi korak je torej,
da učitelj opredeli ulomek kot število (kot točko na številskem traku) in posploši na vse
ostalo v povezavi z ulomki. Z učenci se torej pogovori o ulomkih na vsakdanjih primerih
(pite, torte, pravokotniki ipd.). V drugem koraku naj bi učitelji stalno obnavljali preprosto in
pravilno definicijo ulomkov, operacije z njimi pa razlagali, kot podaljšek tistega, kar so se
učenci že učili s celimi števili. Pomembno je, da dobijo eno ustrezno definicijo, ki jo nato
povezujejo z ostalimi vsebinami, ki tudi vključujejo ulomke ali so z njimi povezane (npr.
decimalna števila). Učenje ulomkov naj bi bilo torej podobno učenju celih števil, ki so jih
učenci že usvojili.
Dobra tretjina učiteljev (38,7 %) je kot zahtevnejšo učno vsebino navedla obseg in ploščino,
s katerima se učenci prvič srečajo v 5. razredu osnovne šole. V učnem načrtu za 5. razred
osnovne šole sta obseg in ploščina zajeta znotraj teme geometrija in merjenje, bolj natančno
pod sklopom liki in telesa. Učenci se naučijo opredeliti obseg in ploščino lika ter razlikovati
med njima, znajo izmeriti in izračunati obseg lika (brez uporabe formul) kot vsoto dolžin
stranic, izmeriti ploščino pravokotnika in kvadrata s konstantno nestandardno enoto in
izračunajo ploščino pravokotnika in kvadrata brez uporabe obrazcev (Učni načrt, 2011). Po
mnenju strokovnjakov naj bi učenci velikokrat zamenjevali pojma obseg in ploščina, kar
pomeni, da se po Gagneju težave pojavljajo pri konceptualnem znanju (Žakelj, 2003). Eden
57
izmed razlogov po mnenju Van de Walla (2007, v Merčnik 2016) je, ker oba merimo oz. se
učenci naučijo formul za merjenje ploščine in obsega na pamet ter ju nato zamenjujejo. Van
de Wall je zato predlagal strategijo, ki bi izpopolnila znanje učencev o konceptu merjenja
obsega in ploščine. Učitelji naj učencem dajo mrežo, ki je sestavljena iz 36 ploščic kvadratne
oblike, vanjo pa naj imajo učenci možnost zarisovati pravokotnike. Za vsak pravokotnik, ki
ga narišejo, naj nato določijo in izračunajo obseg, za tem pa še ploščino. Na ta način učenci
pridejo do ugotovitve, da če imata pravokotnika enako ploščino, ne pomeni nujno, da imata
tudi enak obseg in obratno. Vse to pa velja tudi za ostale like.
Pri določitvi ostalih učnih vsebin si anketirani učitelji niso bili tako enotni. Rezultate smo
prikazali v Tabeli 2.
Odgovor na raziskovalno vprašanje 1: Po mnenju učiteljev so zahtevnejše učne vsebine v
5. razredu osnovne šole pri predmetu matematika pisno deljenje z dvomestnim naravnim
številom, deli celote ter obseg in ploščina.
10.2 Odgovor na raziskovalno vprašanje 2: Kateri so razlogi za učiteljevo izbiro
zahtevnejših matematičnih vsebin v 5. razredu?
Zastavljeno raziskovalno vprašanje smo utemeljevali na podlagi pridobljenih odgovorov na
2, 3.1 in 3.2 vprašanje v anketnem vprašalniku ter prikazanih odgovorov v Tabeli 2 ter Grafih
2 in 3. Učitelji so se med podanimi postavkami opredelili za izbiro zahtevnejših učnih
vsebin, in sicer, zakaj jim posamezna učna vsebina predstavlja težavnost pri poučevanju. Za
učitelje so določene učne vsebine zahtevnejše za razlago zaradi same težavnosti postopka,
kar so prikazali tudi rezultati našega analiziranega anketnega vprašalnika. Anketirani učitelji
so se v največji meri (34,0 %) odločili za odgovor: težavnost postopka izbrane učne vsebine.
Zelo zahteven proces pri pouku matematike učencem predstavlja usvajanje aritmetičnih
znanj in postopkov, saj od učenca zahteva več kot pa le učenje aritmetičnih dejstev na pamet.
Samo računanje je težaven proces, ker od učenca zahteva vzpostavljanje interakcij med
različnimi kognitivnimi mehanizmi (Tavčar, 2019). Kognitivni proces je proces, ki se odvija
v naših mislih, ko sprejemamo in obdelujemo nove podatke, že shranjene informacije, ali ko
prikličemo informacije iz spomina (Hongki, 2017). Ena izmed učnih vsebin matematike v 5.
razredu osnovne šole, pri kateri je težaven sam proces, je pisno deljenje z dvomestnim
naravnim številom, kar so nam potrdili tudi rezultati naše ankete. 81,3 % učiteljev je namreč
izbralo omenjen odgovor. V Chicagu (John, 1930) so na eni izmed osnovnih šol v dveh petih
razredih naredili raziskavo z željo, da bi lahko določili najustreznejši način postopka učenja
pisnega deljenja, saj je tudi po njihovem mnenju to ena izmed težjih vsebin aritmetike. Oba
razreda sta imela enake pogoje (istega učitelja, enako količino ur na teden, itd.).
Učitelj je v prvi skupini začel poučevati pisno deljenje na »kratek način«, pri katerem učenci
delijo z enomestnim deliteljem tako, da izberejo količnik in umsko opravijo potrebne
postopke množenja in odštevanja ter pridejo do rezultata. Nato je učitelj nadaljeval s
poučevanjem pisnega deljenja z dvomestnim deliteljem, vendar na »daljši način«, pri
58
katerem mora učenec najprej oceniti sam rezultat, da izbere prvo številko količnika, ki ga
nato množi z deliteljem in dobljeni rezultat odšteje od deljenca. Šele nato postopoma dodaja
preostala števila deljenca, rezultat ponovno oceni ter nadaljuje postopek enako kot prej.
V drugi skupini je učitelj prav tako učence učil postopek pisnega deljenja najprej z
enomestnimi deliteljem, vendar je začel s poučevanjem na daljši način in šele, ko so usvojili
sam postopek, uvedel še krajši način. Že ko sledimo temu postopku poučevanja, se določeno
število učencev sooči s težavo razumevanja samega procesa računanja pisnega deljenja, saj
je večina številk, s katerimi se učenec ukvarja/računa, nevidnih. Rezultati raziskave so
pokazali, da so bili uspešnejši učenci, ki so se učili najprej daljšega načina pisnega deljena.
Zato je najbolj smiselno, da se učenci najprej naučijo daljšega postopka in šele nato krajšega,
ki ga lahko uporabijo v primerih, kjer delijo npr. samo z deseticami. Ker je bil vzorec
premajhen, rezultatov niso mogli posplošiti na osnovno množico (John, 1930).
Kompleksnost razlage izbranega matematičnega pojma je kot razlog navedlo 30,4 %
anketiranih učiteljev. Samo področje kompleksnosti je po D. Glasnović Garcin (2018)
razdeljeno na neposredno uporabo osnovnih znanj in spretnosti (reprodukcijo), obravnavo
in gradnjo povezav ter na refleksijo oz. razmislek o usvojenem znanju. S samo analizo
vsebine in aktivnosti ne moremo prepoznati ravni miselne kompleksnosti, ki jih potrebuje
učenec, da bi bil uspešen pri reševanju. Znanje in neposredno rabo dejstev, pravil, postopkov
avtorica umešča pod reprodukcijo, kar po Gagnejevi teoriji sodi pod osnovno in
konceptualno znanje. Kjer je za reševanje potrebno poznati in povezati več pojmov
(matematičnih izrazov, teorij, metod, predstav) ali postopkov hkrati, je učenec po mnenju
avtorice osredotočen na gradnjo povezav. Glede na Gagnejevo teorijo bi lahko omenjeno
povezali s proceduralnim znanjem. Vse, kar zahteva premislek o matematičnih rešitvah, saj
te niso razvidne iz dane situacije, zahteva učenčevo refleksijo. Učenec mora namreč
uporabiti širše znanje in ustvarjalno mišljenje o matematiki, podobno kot je na taksonomski
ravni po Gagneju problemsko znanje (Glasnović Garcin, 2018 in Žakelj, 2003). Večina
učiteljev (81,4 %) je kompleksnost razlage matematičnega pojma izbrala v povezavi z učno
vsebino deli celote. Idejo, na kakšen način lahko učencem prikažemo pojem in preverimo
njihovo razumevanje, smo prikazali v RV1 in RV5.
Učitelji so se v manjši meri (18,6 %) odločili tudi za odgovor, da jim obravnava izbrane
vsebine povzroča težave zaradi izbire ustrezne reprezentacije, torej kako konkretno prikazati
določeno učno vsebino. Slednje predstavljajo ključno vlogo v učenčevem razvoju in njegovo
pot do znanja po mnenju Vigotskyga (Klančar idr., 2019). Na izbiro reprezentacije ne vpliva
samo matematični kontekst, v katerem bo uporabljena, ampak tudi posameznik, ki rešuje
problem/nalogo. Kot smo že omenili v teoretičnem delu, so ključne korelacije med
notranjimi in zunanjimi reprezentacijami, saj na tem procesu temelji kognitivni razvoj
učenca (Klančar idr., 2019). Kako vidimo razumevanje učenca, nam prikazuje tudi model
reprezentacijskih preslikav (Slika 10). V primeru, da je učenec zmožen prehajanja med
njimi, to pomeni, da razume matematične pojme (Hodnik Čadež, 2014). Če razložimo na
procesu računanja ulomkov, kadar učenec zna predstaviti operacijo seštevanja ulomkov s
konkretnim materialom (npr. pite), da izbrani reprezentaciji pomen. V primeru, da mu uspe
59
reprezentacijo s konkretnim materialom prevesti v reprezentacijo z matematični simboli
(npr. 2
3 +
1
3 =
3
3 = 1) ali v grafično reprezentacijo (npr. cel krog oz. pobarvani dve tretjini
kroga in ena tretjina kroga), pomeni, da razume celoten postopek seštevanja ulomkov.
Učitelji so se za ta odgovor v največji meri odločili v povezavi z učno vsebino obseg in
ploščina. Avtorica G. Connell (2012) je predlagala nekaj načinov, s katerimi lahko učitelji
pomagajo učencem razumeti sam koncept merjenja ploščine in/ali obsega na konkreten
način.
Poligon iz slamic
Učencem damo na razpolago slamice, ki so razrezane na različne dolžine (npr. 3 cm, 6 cm,
9 cm). Njihova naloga je, da sestavijo več različnih, vendar poljubnih oblik likov, pri čimer
morajo upoštevati, da so slamice različnih dolžin. To jim namreč omogoči, da spoznajo
obseg z različnimi dolžinami. Vsak oblikovan lik narišejo v zvezek, ga izmerijo, zabeležijo
dolžine in izračunajo njegov obseg.
Obseg je tukaj in tam
Na tla učilnice z lepilnim trakom naredimo poljubno število večjih poligonov. Vsako stran
označimo z določeno črko. Učenci v manjših skupinah hodijo od poligona do poligona ter z
merilnimi trakovi beležijo dolžine stranic in jih nato seštevajo, da dobijo obseg merjenega
lika. Ta dejavnost jim pomaga usvojiti predstavo, da je obseg vsota dolžin posameznih
stranic izbranega lika. Učenci lahko dejavnost nadaljujejo še z merjenjem vrat, omar, miz,
itd. v razredu.
Moje ime
Učencem razdelimo centimetrski grafični papir s kvadratnim centimetrom, na katerega nato
zapišejo svoje ime. Paziti morajo, da iz posameznih kvadratkov oblikujejo črke, pri čimer
morajo uporabiti cel kvadratek. Učenci nato primerjajo velikost črk med seboj in zapišejo
dobljen obseg, prav tako pa lahko iz kvadratkov izračunajo tudi ploščino (Slika 13).
Slika 13. Moje ime (lasten vir).
Geoplošča
Učenci s pomočjo elastičnih gumic na geoplošči in ustvarjajo like z različnim obsegom in
ploščino, ki jih lahko tudi prej zapišemo (zvezek, tabla). Navodilo je lahko npr. da naj na
geoplošči prikažejo pravokotnik z obsegom 18 cm in kvadrat z obsegom 10 cm.
60
Odgovor na raziskovalno vprašanje 2: Večina učiteljev razloge za zahtevnost učne vsebine
pripisuje težavnosti postopka ter kompleksnosti razlage. Kar nekaj učiteljev se ukvarja tudi
z vprašanjem, kakšno reprezentacijo bi bilo najprimernejše izbrati za določeno učno vsebino
in kako konkretno prikazati določeno učno vsebino. Učiteljem pa učna vsebina ni zahtevna
zaradi lastnega nerazumevanja vsebine.
10.3 Odgovor na raziskovalno vprašanje 3: Ali so mnenja učiteljev o
zahtevnosti obravnave matematičnih vsebin 5. razreda odvisna od dolžine
njihove delovne dobe?
Zastavljeno raziskovalno vprašanje smo utemeljevali na podlagi pridobljenih odgovorov na
1, 2, 3.1, 3.2, 4 in 5 vprašanju v anketnem vprašalniku ter prikazanih odgovorov v Tabeli 2
ter Grafih 1, 2, 3 in 4. Anketirane učitelje smo razdelili v dve skupini. Prvo skupino
predstavljajo učitelji s krajšo delovno dobo, sem smo umestili učitelje z delovno dobo od 1
do 18 let. V to skupino sodijo učitelji, ki so po S-modelu poklicnega razvoja v fazi preživetja
in odkrivanja (od 1 do 3 leta delovne dobe) ali v fazi stabilizacije (od 4 do 6 let delovne
dobe), ali pa v fazi poklicne aktivnosti oz. eksperimentiranja (od 7 do 18 let delovne dobe)
(Javrh, 2011). Učitelji v fazi preživetja in odkrivanja veliko pozornost namenjajo sebi,
raznolikosti dela, prilagajanju na novo šolo in njeno organizacijo, pri nekaterih prihaja tudi
do težav z disciplino v razredu in do vzpostavljanja ravnotežja med obveznostmi v šoli in
domačimi obveznostmi. V veliko pomoč so jim mentorji ter pozitiven odnos vodstva in
zaposlenih na šoli, na kateri poučujejo. Učitelji začetniki napredujejo v fazo stabilizacije, ki
pomembno odloča o kakovosti njihovega kariernega razvoja v šolstvu. Poteka hiter razvoj
njihovih strokovnih kompetenc, zanima jih dogajanje okoli njih, zato veliko opazujejo in
eksperimentirajo, svoj čas namenijo tudi poglabljanju v stroko. Večina učiteljev se v tem
obdobju tudi formalno zaposli ali pa zamenja okolje in službo zaradi dejavnikov iz
privatnega življenja. V fazi poklicne aktivnosti učitelji veliko preizkušajo, vnašajo novosti
in eksperimentirajo, so predani delu in še intenzivnejše osebno in strokovno zorijo. Pogosto
se učitelji v tej fazi tudi strokovno izpopolnjujejo in imajo želje po nadaljnjem študiju.
Namesto da bi učitelji vstopili v fazo poklicne aktivnosti, lahko vstopijo tudi v fazo
negotovosti ali revizije. Pri nekaterih učiteljih se namreč zgodi, da narašča nezadovoljstvo,
dobijo strah pred rutino, začnejo izgorevati in na nek način postanejo nesrečni. Razočaranje
je lahko tudi zaradi nezanimanja vodstva, nizkega ugleda poklica v družbi ali celo osebnega
ponižanja zaradi njega, nizkih denarnih nagrad. Značilno je tudi, da v tej fazi z učenci ne
morejo najti pristnega stika in začno razmišljati o umiku iz poklica in o spremembi kariere
(Javrh, 2011). Učitelji s krajšo delovno dobo kot zahtevnejše učne vsebine vidijo like in
telesa, merjenje prostornine, pisno množenje, potence in enačbe ter neenačbe.
Drugo skupino predstavljajo učitelji z daljšo delovno dobo, kamor smo umestili učitelje z
delovno dobo od 19 do 40 let. Učitelji z 19 leti delovne dobe lahko vstopijo v fazo
sproščenosti, največkrat ta faza sledi fazi poklicne aktivnosti. V slednji učitelji iščejo izzive,
61
pozitivne pritrditve, ohranjajo pozitiven stik z učenci in pridobivajo željo po mentorstvu. V
ospredju sta predvsem kariera in medosebni odnosi. Učitelji pa lahko vstopijo tudi v fazo
nemoči, saj se počutijo izgorele, nezadovoljne, začnejo se čutiti tudi vplivi starosti. Mnogi
učitelji, ki vstopijo v to fazo, izgubijo ambicije in svoj karierni razvoj vidijo zunaj poklica.
Z 31 leti delovne dobe učitelji vstopijo v fazo izpreganja, ki je lahko sproščena ali
zagrenjena. Nekatere značilnosti so skupne obema, po drugih pa se med seboj razlikujeta. V
fazi sproščenega izpreganja, učitelji občutijo vpliv svojih let, vendar ohranjajo karierne
ambicije, pripravljajo gradivo mlajšim kolegom, slabo prenašajo večje obremenitve, vendar
začnejo jasno in uravnoteženo izražati kritiko sistema. Učitelji v tej fazi začno tudi
razmišljati, kako bo naprej po upokojitvi, saj si želijo ostati dejavni. V nasprotnem primeru
lahko učitelji vstopijo v fazo zagrenjenega izpreganja, postanejo zgarani, nostalgični,
nezadovoljni. Težko pričakujejo upokojitev, so karierno neizpolnjeni in kritični. Prav tako o
sebi nimajo pozitivne podobe in ne načrtujejo ostati strokovno dejavni (Javrh, 2011). Učitelji
z daljšo delovno dobo kot zahtevnejše učne vsebine vidijo pretvarjanje merskih enot za
dolžino, maso, denar, čas, ploščino in votle mere; mrežo kocke in kvadra ter sklepni račun.
Zastavljeno raziskovalno vprašanje smo preverjali na podlagi dveh dejavnikov in njunih
vplivov na delovno dobo učiteljev. Najprej smo primerjali odgovore učiteljev o
matematičnih vsebinah, ki jih je najzahtevnejše predstaviti učencem (drugo vprašanje na
anketnem vprašalniku), in podatek o njihovi delovni dobi (prvo vprašanjem na anketnem
vprašalniku). Vpliv delovne dobe smo ugotavljali s 2Î Kullbackovim preizkusom. Na
podlagi dobljenih rezultatov, ki so razvidni iz Tabele 5, smo ugotovili, da je vrednost 2Î
Kullbackovega preizkusa statistično pomembna. Med učitelji s krajšo delovno dobo in
učitelji z daljšo delovno dobo v vzgoji in izobraževanju v 5. razredu osnovne šole se
pojavljajo statistično pomembne razlike v mnenju o zahtevnosti obravnave posameznih
učnih vsebin pri pouku matematike v 5. razredu osnovne šole.
Tabela 5: Prikaz vrednosti 2Î Kullbackovega preizkusa (vpliv delovne dobe na izbiro
zahtevnejših vsebin)
2Î Kullbackov preizkus
2Î g α
94,345 64 0,008
Učitelji s krajšo delovno dobo so kot zahtevnejše učne vsebine matematike v 5. razredu
osnovne šole v večji meri zapisali učne vsebine liki in telesa, merjenje prostornine, pisno
množenje, potence ter enačbe in neenačbe, medtem ko so učitelji z daljšo delovno dobo v
primerjavi z učitelji s krajšo delovno dobo v večji meri izbrali učne vsebine mreža kocke in
kvadra, številske izraze ter sklepni račun. Tako učitelji s krajšo delovno dobo kot učitelji z
daljšo delovno dobo so najpogosteje kot zahtevnejšo učno vsebino zapisali pisno deljenje z
dvomestnim naravnim številom, ravno tako so bili zelo enotni pri opredelitvi učne vsebine
deli celote ter računanju obsega in ploščine ter pretvarjanje merskih enot za dolžino, maso,
denar, čas, ploščino in votle mere. Kot nezahtevne učne teme za predstavitev učencem
62
učitelji enotno vidijo točko in premico, naravna števila, matematične zakone, kote in
množice.
Odgovor na 3. raziskovalno vprašanje smo želeli podkrepiti z nadaljnjo raziskavo o vplivu
dolžine delovne dobe na spremljanje učiteljevih stališč do poučevanja zahtevnejših
matematičnih vsebin. Z 2Î Kullbackovim preizkusom smo zato primerjali še delovno dobo
učiteljev in podatek o spreminjanju načina poučevanja zahtevnejših matematičnih vsebin.
Vrednost 2Î Kullbackovega preizkusa nam je pokazala, da so rezultati statistično pomembni
(2Î = 27,831, g = 12, α = 0,006). Med učitelji s krajšo delovno dobo in učitelji z daljšo
delovno dobo v vzgoji in izobraževanju v 5. razredu osnovne šole se pojavljajo statistično
pomembne razlike v mnenju o vplivu delovne dobe na spremembe v poučevanju, kot je
razvidno iz Tabele 6.
Tabela 6: Prikaz vrednosti 2Î Kullbackovega preizkusa (mnenje o vplivu delovne dobe na
spremembe v poučevanju)
2Î Kullbackov preizkus
2Î g α
27,831 12 0,006
Ugotovili smo, da so učitelji z daljšo delovno dobo v veliko večji meri na 4. zastavljeno
vprašanje na anketnem vprašalniku odgovorili pritrdilno. Torej, da so se spremembe pojavile
oz. vsaj delno pojavile, medtem ko so učitelji s krajšo delovno dobo večinoma mnenja, da
do sprememb še ni prišlo oz. se na zastavljeno vprašanje niso mogli opredeliti. Največjo
razliko smo opazili med učitelji začetniki, torej tistimi, ki so v fazi preživetja in odkrivanja
in učitelji v fazi poklicne sproščenost. Učitelji v fazi preživetja in odkrivanja (1–3 leta
delovne dobe) so na vprašanje: »Ali se je Vaš način poučevanja zahtevnejših matematičnih
vsebin, ki ste jih izbrali pri 2. vprašanju, spremenil od takrat, ko ste začeli s poučevanjem?«
odgovorili z odgovorom ne ali ne vem (53,0 %), v primerjavi z učitelji v fazi poklicne
sproščenosti (19–30 let delovne dobe), ki so večinoma odgovorili (95,0 %.) z da ali delno.
Najverjetneje se odgovori med seboj razlikujejo zato, ker učitelji v fazi preživetja veliko
pozornosti namenijo sebi in svojemu delu, prav tako se prilagajajo novemu okolju in stalnim
spremembam v šoli, pogosto se počutijo, kot da so na preizkušnji in so razočarani, vendar
ne obupajo. Pogosto imajo tudi težave z disciplino v razredu, v veliko pomoč pa jim je, če
imajo na šoli mentorja, ki jim pomaga, da se uvedejo (Javrh, 2011). Mentoriranje je odvisno
od faze, v kateri je učitelj, največkrat pa je le to značilno za učitelja v fazi preživetja.
Mentoriranje je odnos med dvema osebama, pri čimer ena oseba investira svoj čas, znanje
in prizadevanje, da bi spodbudila rast, znanje in spretnosti pri drugi osebi, da bi slednja
dosegla boljše dosežke v prihodnosti. Odnos med njima pa je soodvisen (Muršak idr., 2011),
pri čimer učitelji v fazi sproščenosti posegajo v vsebino in sam sistem, pozitivne pritrditve
jim dajejo občutek, da so suvereni in samostojni strokovnjaki (Javrh, 2011).
Odgovor na raziskovalno vprašanje 3: Mnenja učiteljev o zahtevnosti matematičnih
vsebin so odvisna od dolžine delovne dobe. Učitelji z daljšo delovno dobo kot zahtevnejše
63
učne vsebine ocenjujejo mrežo kocke in kvadra; številskih izrazih ter sklepni račun. V
nasprotju z njimi pa kot zahtevnejše učne vsebine učitelji s krajšo delovno dobo ocenjujejo
like in telesa, merjenje prostornine, pisno množenje, potence in enačbe ter neenačbe. Opazili
smo tudi, da ne glede na dolžino delovne dobe učitelji najpogosteje kot zahtevnejšo učno
vsebino navajajo pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom, ravno tako so bili zelo
enotni pri opredelitvi teme deli celote, računanju obsega in ploščine ter pretvarjanje merskih
enot za dolžino, maso, denar, čas, ploščino in votle mere. Učitelji z daljšo delovno dobo
menijo, da se je njihov način poučevanja zahtevnejših matematičnih vsebin spremenil v letih
poučevanja oz. vsaj delno spremenil, učitelji s krajšo delovno pa večinoma menijo, da se
njihov način poučevanja ni spremenil, ali pa se niso mogli opredeliti.
10.4 Odgovor na raziskovalno vprašanje 4: Ali je način obravnave zahtevnejših
matematičnih vsebin 5. razreda odvisen od delovne dobe učiteljev?
Zastavljeno raziskovalno vprašanje smo preverjali z vprašanji 1, 7.1, 7.2, 7.3 in 8 na
anketnem vprašalniku ter prikazanih odgovorov v Tabeli 4 ter Grafih 1, 5 in 6. Najprej smo
s Pearsonovim χ2 preizkusom (Tabela 7) primerjali delovno dobo učiteljev z načinom
vpeljave določene matematične vsebine. Nato smo s Kruskal-Wallis testom in Games-
Howell Post Hoc testom preverili še dejavnike, na katere so učitelji pozorni pri načrtovanju
učne ure za poučevanje zahtevnejših matematičnih vsebin in jih primerjali z njihovo delovno
dobo.
Tabela 7: Pearsonov Hi-kvadrat preizkus za preverjanje delovne dobe učiteljev z načinom
vpeljave določene matematične vsebine
Pearsonov Hi-kvadrat
Delovna doba v vzgoji in
izobraževanju pri poučevanju v
5. razredu osnovne šole:
Pisno deljenje z dvomestnim
naravnim številom.
Hi-kvadrat test 20,465
df 12
P-vrednost 0,059
Votle merske enote (dl, l, hl). Hi-kvadrat test 9,817
df 12
P-vrednost 0,632
Enačbe in neenačbe. Hi-kvadrat test 12,326
df 12
P-vrednost 0,42
Množica, podmnožica, unija,
presek.
Hi-kvadrat test 17,046
df 12
P-vrednost 0,148
Merjenje ploščine. Hi-kvadrat test 14,051
df 12
P-vrednost 0,297
64
Simetrija in vzorci. Hi-kvadrat test 14,663
df 12
P-vrednost 0,26
Preiskava (uporaba znanj o
obdelavi podatkov).
Hi-kvadrat test 12,174
df 12
P-vrednost 0,432
Zakon o razčlenjevanju
(distributivnost).
Hi-kvadrat test 10,569
df 12
P-vrednost 0,566
Daljica, premica, poltrak. Hi-kvadrat test 7,863
df 12
P-vrednost 0,796
Mreža kocke in kvadra. Hi-kvadrat test 11,216
df 12
P-vrednost 0,511
Results are based on nonempty rows and columns in each innermost subtable.
a. More than 20% of cells in this subtable have expected cell counts less than 5. Hi-kvadrat test
results may be invalid.
b. The minimum expected cell count in this subtable is less than one. Hi-kvadrat test results may
be invalid.
V Tabeli 7 vidimo, da v našem vzorcu vrednosti Pearsonovega χ2 preizkusa niso statistično
pomembne pri nobeni od določenih učnih vsebin. P-vrednost je pri vseh vsebinah večja od
0,05 zato o značilni soodvisnosti med spremenljivkama ne moremo govoriti. Podatkov iz
vzorca ne moremo posplošiti na osnovno množico. Pri vseh učiteljih, ne glede na delovno
dobo, pri obravnavi učne snovi pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom prevladuje
ustna razlaga (tabla in kreda). Zanimivo je, da pri učiteljih s krajšo delovno dobo
prevladujejo še interaktivni pripomočki, pri učitelji z daljšo delovno dobo pa grafični in
slikovni prikaz. Pri obravnavi votlih merskih enot (dl, l, hl) vsi učitelji, ne glede na delovno
dobo, večinoma uporabljajo konkretna ponazorila. Obravnava enačb in neenačb večinoma
pri vseh učiteljih poteka preko ustne razlage (tabla in kreda), nekateri učitelji pa ne glede na
delovno dobo uporabljajo tudi interaktivne pripomočke (spletne strani, aplikacije),
konkretna ponazorila ali grafični/slikovni prikaz. Pri vpeljavi množic, podmnožic, uniji in
presekov so si učitelji ne glede na delovno dobo precej enotni, saj večinoma uporabljajo
konkretna ponazorila ali grafični/slikovni prikaz, prav tako za obravnavo merjenja ploščine
in za obravnavo učne vsebine simetrija in vzorci. Obravnava preiskave pri vseh učiteljih
poteka z uporabo interaktivnih pripomočkov ali grafičnega/slikovnega prikaza. Zakon o
razčlenjevanju (distributivnost) učitelji ne glede na delovno dobo večinoma obravnavajo z
ustno razlago, nekateri učitelji s krajšo delovno dobo uporabljajo interaktivne pripomočke,
pri čimer nekateri učitelji z daljšo delovno dobo uporabljajo tudi konkretna ponazorila. Pri
obravnavi učne vsebine daljice, premice in poltraka pri učiteljih, ne glede na delovno dobo,
prevladuje obravnava preko ustne razlage ali grafičnega/slikovnega prikaza. Obravnava
učne vsebine mreža kocke in kvadra pa večinoma poteka preko konkretnih ponazoril ali
grafičnega/slikovnega prikaza. Na splošno pri učitelji z daljšo delovno dobo prevladuje
65
uporaba konkretnih ponazoril, pri učiteljih s krajšo delovno dobo pa grafični/slikovni prikazi
in ustna razlaga. Zanimivo je, da se najmanjše razlike prikazujejo pri interaktivnih
pripomočkih.
Učitelje smo povprašali, na kaj so pri načrtovanju učne ure za poučevanje zahtevnejših učnih
vsebin pozorni. Odgovori na zastavljeno vprašanje so pokazali, da so učitelji najbolj pozorni
na to, da učence čim bolj vključujejo v učni proces (M = 3,65, SD = 0,56) in na to, da je
njena vsebina blizu učenčevim življenjskim izkušnjam in interesom (M = 3,61, SD = 0,54)
ter na raznolikost same vsebine (M = 3,273, SD = 0,59). V manjši meri so pozorni tudi na
to, da pred obravnavo s sodelavci in drugimi učitelji strokovno razpravljajo o učnih temah,
ki so učencem zahtevnejše na podlagi že pridobljenih izkušenj (M = 2,79, SD = 0,80) in na
to, da svoje znanje poskušajo predhodno podkrepiti z udeležbo na seminarjih, kongresih ali
drugih dodatnih izobraževanjih (M = 2,45, SD = 0,68). Najmanj pa svoje znanje poskušajo
predhodno podkrepiti z branjem strokovnih revij (M = 2,05, SD = 0,80).
S pomočjo Kruskal-Wallis testa smo ugotavljali, ali se med učitelji z različno delovno dobo
kažejo razlike pri prizadevanjih, da je obravnava zahtevnejše matematične učne vsebine 5.
razreda raznolika. Ugotovili smo, da je vrednost Kruskal Wallis testa statistično pomembna
(χ2 = 14,655, g = 4, α = 0,005). Med učitelji z različno delovno dobo se pojavljajo razlike,
in sicer učitelji, ki imajo od 4 do 6 let delovne dobe (R = 55,81) pogosteje v primerjavi z
ostalimi uporabljajo raznolikost vsebine, najmanj pogosto pa to uporabljajo učitelji z
delovno dobo od 31 do 40 let (R = 29,31). Tudi Games-Howell Post Hoc test nam je pokazal,
da se znotraj omenjenih skupin z različno delovno dobo pojavljajo statistično pomembne
razlike glede raznolikosti vsebine, in sicer med drugo in prvo starostno skupino (α = 0,013),
drugo in četrto starostno skupino (α = 0,04) ter drugo in peto starostno skupino (α = 0, 001),
v vseh primerih prevladuje raznolikost vsebine pri drugi skupini (tj. starostna skupina od 4
do 6 let delovne dobe), medtem ko med ostalimi skupinami razlike niso statistično
pomembne.
Rezultati Kruskal-Wallis testa so nam pokazali, da se pojavljajo statistično pomembne
razlike (χ2 = 11,718, g = 4, α = 0,020) med učitelji z različno delovno dobo in njihovim
nadgrajevanjem znanja z branjem strokovnih revij. Učitelji z delovno dobo od 31 do 40 let
(R = 48,65) najpogosteje poskušajo predhodno podkrepiti svoje znanje z branjem strokovnih
revij v primerjavi z ostalimi, najmanj pa branju strokovnih revij posvečajo pozornost učitelji
z delovno dobo od 4 do 6 let (R = 23,34). Tudi Games-Howell Post Hoc preizkus je pokazal
statistično pomembne razlike v podkrepljevanju znanja z branjem strokovnih revij med
drugo in četrto starostno skupino (α = 0,017), kjer se branja strokovnih revij bolj poslužuje
četrta starostna skupina in med drugo in peto starostno skupino (α = 0,029), kjer se branja
strokovnih revij bolj poslužuje peta starostna skupina. Medtem ko med ostalimi skupinami
razlike niso statistično pomembne.
Odgovor na raziskovalno vprašanje 4: Med učitelji z različno dolžino delovne dobe, se ne
pojavljajo statistično pomembne razlike glede načina obravnave zahtevnejših matematičnih
vsebin v 5. razredu osnovne šole. V vzorcu smo opazili, da učitelji učno snov pisno deljenje
z dvomestnim naravnim številom večinoma obravnavajo z ustno razlago. Poleg tega pri
66
učiteljih s krajšo delovno dobo prevladuje uporaba interaktivnih pripomočkov, pri učiteljih
z daljšo delovno dobo pa grafični in slikovni prikaz. Učitelji so ne glede na dolžino delovne
dobe pri načrtovanju učne ure in njenem izvajanju pozorni, da učence čim bolj vključujejo
v učni proces, na to da je njena vsebina blizu učenčevim življenjskim izkušnjam in interesom,
na raznolikost vsebine, na strokovno razpravljanje s sodelavci o zahtevnejših učnih temah,
ter tudi na podkrepljevanje svojega znanja z udeležbo na seminarjih, kongresih ali drugih
dodatnih izobraževanjih. Nekateri učitelji svoje znanje poskušajo predhodno podkrepiti tudi
z branjem strokovnih revij. Največje razlike smo opazili med učitelji z delovno dobo od 4 do
6 let, ki pogosteje v primerjavi z ostalimi uporabljajo raznolikost vsebine. Pri čimer pa
učitelji z delovno dobo od 31 do 40 let svoje znanje najpogosteje poskušajo predhodno
podkrepiti z branjem strokovnih revij.
10.5 Odgovor na raziskovalno vprašanje 5: Katere matematične vsebine 5.
razreda so po mnenju učiteljev najtežje razumljive učencem?
Zastavljeno raziskovalno vprašanje smo preverjali z vprašanjem 6 na anketnem vprašalniku
ter prikazanih odgovorov v Tabeli 3.
Učiteljem smo zadali nalogo, da naj zapišejo tri matematične učne vsebine, ki so po
njihovem mnenju najtežje razumljive učencem 5. razreda. Skemp (2009, v Hongki, 2017) je
mnenja, da je matematika to, kar spodbudi naše razmišljanje, zato jo je potrebno poučevati
na načine, ki omogočajo učencem uporabo njihovih zmožnosti in ne samo golo učenje. Avtor
zagovarja dve načeli, ki bi ju morali zagotavljati učitelji. Če namreč želimo, da učenci
dosežejo višje ravni matematike, jim moramo omogočiti, da se učijo preko raznolikih
primerov in priložnosti ter jim ne zgolj podajati definicije. Njegovo drugo načelo pravi, da
morajo učenci sami oblikovati svoj koncept, ki ga bodo uporabljali v različnih situacijah
(Hongki, 2017).
Z raziskavo smo ugotovili, da so učitelji (84,4 %) kot učno vsebino, ki je najtežje razumljiva
učencem, večinoma navedli pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom. Matematika
učencem omogoča komuniciranje s svetom. Da bi bili učenci uspešni, morajo med njenimi
idejami in pojmi vzpostaviti relacijsko razumevaje. Mnogi učenci imajo težave pri prenosu
in povezovanju matematike z drugimi konteksti. K lažjemu spremljanju razumevanja
učencev in njihovih napačnih predstav pripomore formativno spremljanje, pri katerem je
nujno sodelovanje med učencem in učiteljem ter med učenci samimi (Wiliam, 2006). Učitelji
učencem omogočajo, da dokazujejo svoje znanje na različne načine (pisna besedila,
predstavitve, praktični izdelki ipd.), ki jih zbirajo npr. v mapi učenčevih dosežkov. Učencem
prav tako omogočajo sprotne povratne informacije in jih usmerjajo naprej ter spodbujajo.
Učitelji učencem zastavljajo odprta, problemska vprašanja, ki spodbujajo njihovo
razmišljanje. Omogočajo jim tudi sodelovanje pri oblikovanju kriterijev uspešnosti in
namenov učenja, ter njihovo presojanje svojih dosežkov in pomoč drug drugemu (Suban,
2018). Pomembno je torej, da so učenci aktivni v samem procesu, da govorijo o svojih idejah
in jih predstavljajo drugim, ter, da jih učitelji čim bolj spodbujajo in jim pripravljajo naloge,
67
ki jim bodo predstavljale izziv oz. se bodo njihova mnenja glede rešitev razlikovala (Wiliam,
2006). Primer naloge, ki jo lahko pripravimo za učence, da bi videli njihove napačne
predstave ali razumevanje za pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom je, da učencem
zapišemo poljuben račun, ki pa ima napačno rešitev. Na primer spodnji primer, skupaj z
ostalimi primeri:
4869 : 23 = 217
- 46
36
- 23
169
-161
8 ost.
Učenčeva naloga bi bila, da ugotovi ali je predstavljen primer pravilen ali napačen.
Predstavljen primer je napačen. Omenjena naloga lahko učencem pomaga ugotoviti, kaj jim
gre dobro, kje delajo napake sami, ter kako dobro razumejo postopek reševanja, saj je
usmerjena na sam proces reševanja in ne na rešitev (Wiliam, 2006).
Kar nekaj učencem je po mnenju učiteljev težje razumljiva učna vsebina deli celote
(32,5 %). Pri omenjenem načinu pouka, bi npr. učitelji učencem postavili vprašanje, kaj
predstavlja Slika 14.
Slika 14. Diagram dela celote (Wiliam, 2006).
Nekateri učenci bi na zastavljeno vprašanje odgovorili, da predstavlja 4
10 ali
2
5. Pri čimer bi
drugi lahko odgovorili, da predstavlja 6
10 ali
3
5. Ta primer jim npr. omogoča, da raziskujejo in
utrjujejo svoje razumevanje delov celote in razmerij med njimi (Wiliam, 2006).
Napake in napačni odgovori se pojavljajo v učnem procesu. Pomembno je, da so le-te v njem
cenjene. Omenjena primera prikazujeta nepričakovane rešitve – rešitve, ki so matematično
pravilne, vendar po mnenju učencev napačne, ali rešitve, ki so napačne, vendar učenci
menijo, da so pravilne (Wiliam, 2006). Po mnenju Piageta učitelji s takimi primeri izzovejo
kognitivni konflikt, saj ko učenci rešijo navedene ali podobne primere napredujejo v
razumevanju (Klančar idr., 2019).
68
Za učence težje razumljivo učno vsebino so učitelji navedli tudi pretvarjanje merskih enot
za dolžino, maso, denar, čas, ploščino in votlih mer (46, 8 %).
Mnenja učiteljev o zahtevnosti učnih vsebin matematike za obravnavo in o zahtevnosti učnih
vsebin matematike za razumevanje učencem v 5. razredu osnovne šole se razlikujejo samo
glede vsebin pretvarjanje merskih enot za dolžino, maso, denar, čas, ploščino in votlih mer
ter obsega in ploščine. Učitelji so namreč kot zahtevno učno vsebino za obravnavo navedli
obseg in ploščino, kot učno vsebino zahtevnejšo za razumevanje učencem pa so navedli
pretvarjanje merskih enot za dolžino, maso, denar, čas, ploščino in votlih mer. Kljub temu
pa so pretvarjanje merskih enot glede na rezultate umestili na četrto mesto.
Pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom in dele celote učitelji kot zahtevni vsebini
navajajo pri obeh dveh možnostih.
Odgovor na raziskovalno vprašanje 5: Po mnenju učiteljev so učencem najtežje razumljive
matematične vsebine 5. razreda pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom,
pretvarjanje merskih enot in deli celote.
10.6 Odgovor na raziskovalno vprašanje 6: Kateri učni pristop prevladuje pri
poučevanju izbranih učnih vsebin?
Zastavljeno raziskovalno vprašanje smo utemeljevali na podlagi pridobljenih odgovorov na
9. in 10. vprašanje na anketnem vprašalniku ter prikazanih odgovorov v Grafih 7 in 8.
PISNO DELJENJE Z DVOMESTNIM NARAVNIM ŠTEVILOM
Na podlagi učne vsebine pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom smo podali tri
različne pristope njegove obravnave (9. vprašanje na anketnem vprašalniku). Vsaka temelji
na eni izmed teorij, tj. behaviorizem, kognitivizem in konstruktivizem. Učitelji so si izbrali
tisti pristop, ki najbolj ustreza njihovemu načinu dela za izbrano vsebino. Več kot polovica
učiteljev (57,3 %) je za učno vsebino pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom izbrala
odgovor: »Učencu najprej sam/-a pokažem postopek reševanja pisnega deljenja z
dvomestnim številom (kaj je pravilno, na kaj morajo biti pozorni). Učenci nato individualno
utrjujejo svoje znanje, vendar pod mojim nadzorom. Skupaj si pogledamo rešitve. Pri učenju
uporabljam pohvale v primeru, da je postopek reševanja pravilen.« Dan pristop smo sestavili
na podlagi behavioristične teorije. V skladu z njenim načinom dela je naloga učitelja
predvsem orientacija na vedenje učencev, pri čimer pa se ne osredotočajo toliko na njihove
občutke in razloge za slabo vedenje (Žagar, 2009). V behavioristični teoriji je prenos znanja
rezultat posploševanja, njihov cilj pa je od učenca pridobiti želen odziv. Navodilo učitelja
mora biti zato strukturirano, spodbujeno in zagotavljati mora priložnost, da učenec uspešno
pride do želenega cilja (Ertmer in Newby, 1993). Nezaželeno vedenje se da po njihovem
mnenju odpraviti na tri načine, to so nagrajevanje, ukinjanje nagrade in kaznovanje.
Zaželeno vedenje najhitreje obdržimo tako, da ga ojačujemo z nagrajevanjem. V primeru,
da nekega vedenja ne nagrajujemo torej, da ukinemo nagrado, bo le to postopoma ugasnilo.
Učitelji pa lahko uporabijo tudi kaznovanje, saj potem nezaželeno vedenje postane manj
69
zanimivo in postopoma izgine (Žagar, 2009). Ker gre pri pisnem deljenju z dvomestnim
naravnim številom za ustrezno rabo algoritmov, pri katerih je potrebno, da jih učenec
pravilno uporabi, je na nek način razumljivo, da so učitelji v tolikšni meri izbrali naveden
odgovor.
Približno četrtina učiteljev (26,7 %) je izbralo odgovor: »Učenca motiviram in usmerim v
razmišljanje za obravnavo nove učne snovi preko novega primera, ki se ga še niso učili.
Učenci imajo nato v manjših skupinah diskusijo o tem računu, postopku reševanja in njegovi
rešitvi ter za tem predstavijo svoje zaključke. Na koncu pravilen postopek predstavim še
sama ob pomoči njihovih idej. Nato učenci na novo usvojeno znanje utrjujejo in ga
uporabljajo v različnih situacijah. Na koncu je njihova naloga analiza in ocena lastnega
znanja.« Omenjeni odgovor temelji na konstruktivistični teoriji, katere cilj je, da
posamezniki ne le poznajo določena dejstva, temveč da jih tudi razumejo. Konstruktivisti
poudarjajo posameznikovo fleksibilno uporabo že obstoječega znanja in ne samo priklic
usvojene sheme. Da bi bilo učenje uspešno, smiselno in trajno, so po njihovem mnenju
ključni trije dejavniki: aktivnost učenca (praksa), usvojen koncept (znanje) in kontekst
(različne situacije).
Le 16,0 % učiteljev je izbralo odgovor: »Učenca vodim skozi postopek reševanja pisnega
deljenja z dvomestnim številom. Skupaj/v paru/v skupini iščemo pravila za način reševanja
in primerjamo odnose med števili, ki jih uporabljamo.« Slednji pristop temelji na
kognitivistični teoriji, ki v nasprotju z behavioristično meni, da se moramo pri nezaželenem
vedenju osredotočiti na samo vedenje in upoštevati občutke in motive, ki nastanejo ob
takšnem vedenju. Pomembno je namreč, kako učenec zaznava okolje oz. situacijo v razredu.
Pri tem pristopu učitelj pomaga učencem pri oblikovanju in spoznanju pozitivnih
osebnostnih lastnosti, predvsem pri njegovi samopodobi. Učenje mora biti preko aktivnosti,
ki učence zanimajo, zato mora biti pouk zanimiv (Žagar, 2009).
MERJENJE PLOŠČINE
Učiteljem smo pripravili kratke opise tudi za obravnavanje matematične učne vsebine
merjenje ploščine (10. vprašanje na anketnem vprašalniku). Vsak povzetek je temeljil na eni
izmed teorij učenja in poučevanja. Učitelji so se morali odločiti za tistega, ki najbolj ustreza
njihovem načinu dela. V povezavi z omenjeno snovjo so se učitelji v večini (73,3 %) odločili
za povzetek, ki je bil narejen na podlagi konstruktivistične teorije. Le-ta se glasi: »Učencem
predstavim življenjski problem, in sicer, na katero pravokotno gredico lahko posadimo več
sadik solate. Učenci z raziskovanjem problema sami ugotovijo, da vsaka sadika potrebuje
določen prostor in da bi za označitev prostorčkov posameznim sadikam lahko uporabili
mrežo ter nato prešteli število nastalih enot. Učenci novo usvojeno znanje utrjujejo in ga
uporabljajo v različnih situacijah.« Konstruktivistični pristop je v sodobnih edukacijskih
vedah čedalje bolj v ospredju, saj poudarja aktivno vlogo učenca v konstrukciji spoznanj. V
samem procesu učenja so poudarjena tudi spoznavna sredstva, kot so strategije za reševanje
problemov ali splošni predlogi, ki učencu pomagajo usvojiti načine reševanja problemov, da
jih bo kasneje lahko uporabil tudi v drugih situacijah. Poleg spoznavnih procesov so
poudarjeni tudi čustveni in socialni vidiki učenja in poučevanja, kar omogoči trajnejše in
70
bolj kvalitetne učne rezultate (Žakelj, 2003). Dienes (1960, v Hodnik Čadež, 2004) je bil
eden izmed avtorjev, ki ga lahko obravnavamo kot začetnika konstruktivizma. Njegova ideja
o učenju matematike je blizu današnjemu poučevanju matematike, saj se učitelji trudijo, da
vsak posameznik konstruira svoje znanje. Učitelja podpira pri uporabi različnih učnih metod,
saj mora slednja zagotoviti interakcijo med učenčevo konkretno aktivnostjo (manipulacija z
reprezentacijami) in miselno aktivnostjo. Sama teorija konstruktivizma posveča veliko
pozornost spreminjanju obstoječih pojmovanj in zlasti tudi napačnih pojmovanj, ki jih v
procesu učenja opredeljujemo kot pojem kognitivna ovira. Sama teorija torej temelji na tem,
da si učenec izgrajuje znanje sam, vendar s pomočjo usmeritev, zelo pomembno pa je tudi
učenje na napakah (Hodnik Čadež, 2004).
24,0 % učiteljev je izbralo povzetek na podlagi kognitivnega učnega pristopa, ki se glasi:
»Učencem predstavim kvadratno mrežo kot pripomoček za merjenje ploščine pravokotnika.
Učenci (ob vodenju) ugotavljajo, kako bi lahko prešteli ali na krajši način določili število
vseh kvadratkov, ki pokrivajo ploskev pravokotnika.« Pri omenjenemu pristopu je
pomembno, da učitelji učenca vodijo skozi proces in mu s tem omogočijo, da konstruira
lastno znanje. Učitelj pa mora znati tudi gledati iz učenčevega zornega kota in ne samo s
svojega (Kalina in Powell, 2009).
Le 2,7 % učiteljev je izbralo odgovor: »Učencem predstavim pravilo za izračun ploščine
pravokotnika (množenje dolžine pravokotnika z njegovo širino). Učenci nato individualno
računajo ploščine. Skupaj si pogledamo rešitve. Pri učenju uporabljam pohvale v primeru,
da je postopek reševanja pravilen.« Učitelj je tu glavni in odgovoren za vedenje učencev,
kadar pride do nezaželenega vedenja, torej napačnih odgovorov je to po mnenju
behavioristov potrebno takoj zaustaviti (Žagar, 2009).
Najbolj ustreznega pristopa ni, zato na vprašanje, katerega uporabiti, ne moremo odgovoriti,
saj je odvisno dane situacije. Na učenje vpliva več faktorjev različnih virov, saj se sam proces
učenja konstantno spreminja. To, kar je najbolj učinkovito za mlajšega učenca, ni nujno
učinkovito za starejšega, saj le-ta že pozna kontekst. Običajno dejstev ne učimo enako kot
konceptov ali reševanja problemov (Ertmer in Newby, 1993).
Odgovor na raziskovalno vprašanje 6: Učni pristop, ki prevladuje pri učiteljih za učno
vsebino pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom, je behavioristični pristop, sledi mu
konstruktivistični pristop ter nato kognitivistični učni pristop. Za obravnavo učne vsebine
merjenje ploščine učitelji v največji meri uporabljajo konstruktivistični pristop, nekaj
učiteljev uporablja kognitivističnega, zanemarljiv odstotek učiteljev pa uporablja
behaviorističnega. Kateri pristop je najbolj ustrezen, je težko določiti, opazimo pa lahko, da
se odgovori razlikujejo glede na učno vsebino.
71
11 Sklep
V današnjem času se od učiteljev pričakuje, da s primernim pristopom vsem učencem
omogočijo usvojitev določenih matematičnih znanj. Učitelji se morajo zavedati različnih
vidikov, ravni in vrst znanja, na osnovi katerih načrtujejo pouk. Pomembno je, da glede na
izbrano učno vsebino izberejo ustrezen učni pristop, učno strategijo in metodo dela. Za vsako
obravnavano učno vsebino je pomembno, da znajo presoditi, kako uvesti, utrditi in
obravnavati različne pojme in postopke, ter na podlagi tega prilagoditi pouk. Vse to pa
vsakega učitelja postavi pred veliko preizkušnjo oz. izziv. Razmisliti mora namreč o tem,
kako prepoznati in poučevati zahtevnejše vsebine ter katere ukrepe oz. načine za obravnavo
vsebine izbrati, da bo njegovo poučevanje učinkovito.
V teoretičnem delu smo predstavili pojme, kot so izobraževanje, izobraženost, znanje in
avtorje različnih taksonomij znanja (Marzano, Bloom, Gagne) ter sposobnosti. Poleg tega je
del našega teoretičnega dela namenjen tudi pouku, njegovim nalogam, didaktičnemu
trikotniku, reprezentacijam, ki jih učitelji uporabljajo med poukom, učenju in poučevanju.
V zvezi z učenjem in poučevanjem smo se podrobneje osredotočili na behavioristično,
kognitivistično in konstruktivistično teorijo učenja in poučevanja. Osredotočili pa smo se
tudi na učiteljev profesionalni razvoj. Teoretični del nam je služil kot osnova za oblikovanje
našega anketnega vprašalnika in za razumevanje pridobljenih podatkov.
Namen našega magistrskega dela je bil analizirati matematične vsebine 5. razreda, ki jih je
po mnenju učiteljev najzahtevnejše predstaviti učencem. Raziskati smo želeli učiteljeve
razloge za opredelitev zahtevnejših učnih vsebin in ali se izbor med učitelji razlikuje glede
na dolžino njihove delovne dobe. Zanimalo nas je tudi, kateri učni pristop učitelji uporabljajo
pri razlagi določenih vsebin in na kakšen način svoje znanje izpopolnjujejo. Ugotovili smo,
da so učitelji kot najzahtevnejšo učno vsebino za obravnavo in učenčevo razumevanje ne
glede na njihovo delovno dobo v večini izbrali pisno deljenje z dvomestnim naravnim
številom, predvsem zaradi težavnosti samega postopka. Sklepamo, da so posledično zato kot
najpogostejši način obravnave izbrali odgovor ustna razlaga (tabla in kreda). Učitelji pa so
kot učni vsebini, ki ju je zahtevnejše predstaviti učencem, izbrali tudi dele celote, kar so
utemeljili s težavnostjo razlage zaradi same kompleksnosti razlage matematičnega pojma,
ter obseg in ploščino, zaradi izbire ustrezne reprezentacije. Odgovori so se v večini ujemali
tudi pri mnenjih učiteljev o učnih vsebinah, ki so zahtevnejše učencem. V večjem delu so
učitelji navedli, da je zahtevnejša vsebina za razumevanje pretvarjanje merskih enot (za
dolžino, maso, denar, čas, ploščino in votle mere), vendar pa je takoj za tem sledila učna
vsebina obseg in ploščina. Glede na rezultate, ki smo jih prejeli z našo anketo, smo zaznali
tudi razlike v mnenju učiteljev s krajšo in daljšo delovno dobo o spremembi njihovega
poučevanja. Učitelji z daljšo delovno dobo menijo, da se je njihov način poučevanja bolj
spremenil v primerjavi z učitelji s krajšo delovno dobo.
V našem vzorcu smo opazili tudi razlike pri načinu obravnave nove učne vsebine matematike
med učitelji s krajšo in učitelji z daljšo delovno dobo. Učitelji z daljšo delovno dobo več
pozornosti namenijo branju strokovnih revij, da s tem podkrepijo svoje zanje. Učitelji s
krajšo delovno dobo pa so bolj pozorni, da uporabijo raznolikost same vsebine. Vsi učitelji
72
pa so pozorni, da učne ure načrtujejo tako, da je njena vsebina blizu učenčevim življenjskim
izkušnjam in interesom, da je vsebina raznolika, da strokovno razpravljajo s sodelavci o
zahtevnejših učnih temah ter da podkrepijo svoje znanje z udeležbo na seminarjih, kongresih
ali drugih dodatnih izobraževanjih.
Pridobili pa smo tudi rezultate o tem, s katerim pristopom se učitelji najbolj identificirajo,
kadar obravnavajo učno vsebino pisno deljenje z dvomestnim naravnim številom ali
merjenje ploščine. Pri prvi omenjeni vsebini so se učitelji večinoma odločili za opis, ki
ustreza behaviorističnemu pristopu. Pri obravnavi učne vsebine merjenje ploščine pa se
najbolj poistovetijo s konstruktivističnim pristopom. Sklepamo lahko, da je izbor pristopa v
veliki meri pogojen z naravo matematične vsebine.
Enotnost učiteljev pri izbiri učne vsebine, ki jim je najzahtevnejša za poučevanje, kaže na
to, da bi morali učiteljem nameniti več podpore pri imenovanih učnih vsebinah. Potrebovali
bi več podkrepitev v priročnikih, več izobraževanj, več časa bi morali nameniti izbranim
vsebinam, že med samim potekom študija ipd., z namenom, da bi učiteljem omogočili lažjo
obravnavo zahtevnejših učnih vsebin.
Z našo raziskavo smo želeli doseči, da bi bralci dobili vpogled v mnenje učiteljev o
zahtevnejših matematičnih vsebinah in v to, ali so si mnenja učiteljev podobna. Prav tako
smo bralcem poskušali podati smernice za učinkovitejšo obravnavo zahtevnejših
matematičnih vsebin na podlagi raziskav že obstoječih raziskav. Predstavili smo jim nekaj
načinov poučevanja izbranih vsebin (obseg je tukaj in tam, moje ime, pravilni in napačni
primeri ipd.), ki jih lahko uporabijo pri sami obravnavi izbranih vsebin. Osredotočili smo se
tudi na različne pristope, ki so na voljo in se jih morda učitelji ne zavedajo. Bralce želimo
spodbuditi, da bi se na tem področju izvedlo še več raziskav in predlogov za obravnavo ter
tako omogočilo učiteljem preprostejšo in razumljivejšo obravnavo zahtevnejših
matematičnih vsebin.
73
12 Viri in literatura
Armstrong, P. (2016). Bloom’s taxonomy. Vanderbilt University Center for Teaching.
Pridobljeno s https://programs.caringsafely.org/wp-
content/uploads/2019/05/Caring-Safely-Professional-Program-Course-
Development.pdf
Back, J. (2011). Difficulties with Division – Stage 1 and stage 2. Primary Matematics.
Pridobljeno s https://nrich.maths.org/5450
Batistič Zorec, M. (2014). Teorije v razvojni psihologiji. Ljubljana: Pedagoška fakulteta.
Bregar, L. Z. (2010). Osnove e-izobraževanja. Priročnik. Pridobljeno s
https://arhiv.acs.si/publikacije/Osnove_e-izobrazevanja.pdf
Blažič, M., Ivanuš Grmek, M., Kramar, M. in Strmčnik, F. (2003). Didaktika. Novo mesto:
Visokošolsko središče, Inštitut za raziskovalno in razvojno delo.
Chapman, J. O. (2010). Teachers’ self-representations in teaching mathematics.
Mathematics Teacher Education, 13(4), 289–294.
Cauley, K. M., & McMillan, J. H. (2010). Formative assessment techniques to support
student motivation and achievement. The clearing house: A journal of educational
strategies, issues and ideas, 83(1), 1–6.
Connell, G. (2012). Schoalistic. Pridobljeno s https://www.scholastic.com/teachers/blog-
posts/genia-connell/10-hands-strategies-teaching-area-and-perimeter/
Ertmer, P. A. in Newby, T. J. (1993). Behaviorism, cognitivism, constructivism:
Comparing critical features from an instructional design perspective. Performance
improvement quarterly, 6(4), 50–72.
Felda, D., & Cotič, M. (2012). Zakaj poučevati matematiko. Journal of Elementary
Education, 5(2/3), 107–120.
Forehand, M. (2010). Bloom’s taxonomy. Emerging perspectives on learning, teaching,
and technology, 41(4), 47–56.
Glasersfeld, E. von (2014). Piaget and the radical constructivist epistemology.
Constructivism, 1, 94-107. doi: 10.23826/2014.02.094.107
Glasnović Garcin, D. (2018). Requirements in mathematics textbooks: a five dimensional
anlalysis of textbook exercises and examples. International Jurnal of Mathematical
Education in Science and Technology.
Hecht, S. A., & Vagi, K. J. (2012). Patterns of strengths and weaknesses in children’s
knowledge about fractions. Journal of Experimental Child Psychology, 111(2),
212–229.
Hodnik Čadež, T. (2000). Vloga različnih reprezentacij računskih algoritmov na razredni
stopnji (Doktorska disertacija). Filozofska fakulteta, Ljubljana.
74
Hodnik Čadež, T. (2003). Pomen modela reprezentacijskih preslikav za učenje računskih
algoritmov. Pedagoška obzorja, 18(1), 3–21.
Hodnik Čadež, T. (2004). Vloga konstruktivizma pri oblikovanju matematičnih pojmov na
razredni stopnji. V B. Marentič-Požarnik (ur.), Konstruktivizem v šoli in
izobraževanje učiteljev (str. 321–343). Ljubljana: Center za pedagoško
izobraževanje Filozofske fakultete.
Hodnik Čadež, T. in Manfreda Kolar, V. (2009). Didaktična sredstva z vidika motivacije
pri pouku matematike. V. M. Cotič (Ur.), Pouk v družbi znanja (str. 231–246).
Koper: Univerza na Primorskem, Pedagoška fakulteta.
Hodnik Čadež, T. (2014). Reprezentiranje matematičnih pojmov pri pouku matematike na
razredni stopnji. V A. Žakelj (ur.), Učne težave pri matematiki in slovenščini –
izziv za učitelje in učence (str. 32–44). Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za
šolstvo.
Hongki, J. (2017). The elementary school teachers’ ability in adding and subtracting
fraction, and interpreting and computing multiplication and division fraction. In
International Journal of Science and Applied Science: Conference Series (Vol. 1,
No. 1, pp. 55–63).
Horvat Samardžija, D. (2011). Alternativan i/ili tradicionalan način poučavanja i
ocenjivanja u 4. Razredu devetogodišnje osnovne škole. Metodički obzori: časopis
za odgojno-obrazovnu teoriju i praksu, 6(11), 161–184.
Javornik Krečič, M. (2008). Pomen učiteljevega profesionalnega razvoja za pouk.
Ljubljana: i2.
Javornik Krečič, M., Konečnik Kotnik, E., in Sternad Zabukovšek, S. (2013). Pojmovanja
univerzitetnih profesorjev o študentovih pristopih k študiju in lastnem učenju.
Solsko Polje, 24.
Javrh, P. (2011). Razvoj učiteljeve poklicne poti. Učno gradivo, 2. Ljubljana: Andragoški
center Slovenije.
John, L. (1930). The Effect of Using the Long-Division Form in Teaching Division by
One-Digit Numbers. The Elementary School Journal, 30(9), 675–692.
Kalina, C. in Powell, K. C. (2009). Cognitive and social constructivism: Developing tools
for an effective classroom. Education, 130(2), 241–250.
Klančar, A., Cotič, M. in Žakelj, A. (2019). Učenje in poučevanje geometrije z uporabo
informacijsko-komunikacijske tehnologije v osnovni šoli. Koper. Pridobljeno s
http://www.hippocampus.si/ISBN/978-961-7055-63-4.pdf
Kozel, L., Cotič, M. in Žakelj, A. (2019). Kognitivno-konstruktivistični model pouka
matematike v 1. triletju osnovne šole. Koper, Koper, Slovenija: Založba Univerze
na Primorskem. Pridobljeno s http://www.hippocampus.si/ISBN/978-961-7055-59-
7.pdf
Kramar, M. (2009). Pouk [Classes]. Nova Gorica: Educa, Melior.
75
Krečič, M. J., Ivanuš-Grmek, M., in Čagran, B. (2008). Pomen učiteljevega
profesionalnega razvoja za pouk. Ljubljana: i2.
Kuran, M. (2011). Razumevanja učenja odraslih in ranljivih skupin v okviru kognitivnih
teorij učenja. Andragoška spoznanja, 17(2), 44–58.
Laurens, T., Batlolona, F. A., Batlolona, J. R. in Leasa, M. (2017). How does realistic
mathematics education (RME) improve students’ mathematics cognitive
achievement? Eurasia Jurnal of Mathematics, Science and Technology Education,
14(2), 569–578.
Lesar, I. in Peček Čuk, M. (2009). Moč vzgoje: sodobna vprašanja teorije vzgoje.
Ljubljana: Tehniška založba Slovenije.
Ma, L. (2010). Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers' understanding
of fundamental mathematics in China and the United States. Hillsdale, NJ:
Erlbaum. Pridobljeno s
http://ndl.ethernet.edu.et/bitstream/123456789/28653/1/1..pdf
Marentič-Požarnik, B. (2000). Psihologija učenja in pouka. Ljubljana: DZS.
Marentič-Požarnik, B. (2004). Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev. Ljubljana:
Center za pedagoško izobraževanje Filozofske fakultete.
Markovac, J. (1990). Metodika početne nastave matematike. Zagreb: Školska knjiga.
Merčnik, M. (2016). Evalvacija e-učbenika za 5. razred - vsebina: obseg (Diplomsko
delo). Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta.
Mešinović, S., Cotič, M., & Žakelj, A. (2019). Učenje in poučevanje geometrije v osnovni
šoli. Koper: Založba univerze na Primorskem.
Muršak, J., Javrh, P., Kalin, J., & Zuljan, M. V. (2011). Poklicni razvoj učiteljev.
Ljubljana: Znanstvena založba Filozofske fakultete.
Paterson, K. (2005). 55 izzivov poučevanja in deset uporabnih rešitev za vsak dan.
Ljubljana: Rokus Klett.
Peček, M., Kroflič, R., Medveš, Z., Lesar, I., & Žnidaršič, L. (2009). Moč vzgoje: sodobna
vprašanja teorije vzgoje (1. natis.). Ljubljana: Tehniška založba Slovenije.
Polovič, K. (2017). Evalvacija i-učbenika za osnovne šole - Pisni algoritmi množenja in
deljenja (Magistrsko delo). Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta.
Rutar Ilc, Z. (2003). Pristopi k poučevanju, preverjanju in ocenjevanju. Ljubljana: Zavod
republike Slovenije za šolstvo.
Sarı, M. H. in Tertemiz, N. (2017). The Effects of Using Geometry Activities Based on
Dienes' Principles on 4th Graders' Success and Retention of Learning. Education &
Science/Egitim ve Bilim, 42(190).
76
Štefanc, D. (2005). Pouk, učenje in aktivnost učencev: razgradnja pedagoških fantazem.
Sodobna pedagogika, let. 56, št. 1, 34–57.
Tavčar, T. (2019). Obravnava učenca s primanjkljaji na področju učenja matematike in
svetovanje staršem pri delu z njimi (Magistrsko delo). Univerza v Ljubljani,
Pedagoška fakulteta.
Tirosh, D., Tsamir, P., Barkai, R., in Levenson, E. (2018). Engaging young children with
mathematical activities involving different representations: Triangles, patterns, and
counting objects. CEPS Journal, 8(2), 9–30.
Tomić, A. (1999). Izbrana poglavja iz didaktike. Ljubljana: Center za pedagoško
izobraževanje Filozofske fakultete.
Tomić, A. (2003). Izbrana poglavja iz didaktike. Ljubljana: Center za pedagoško
izobraževanje Filozofske fakultete.
Toledo, S. in Dubas, J. M. (2016). Encouraging higher-order thinking in general chemistry
by scaffolding student learning using Marzano’s taxonomy. Journal of Chemical
Education, 93(1), 64-69.
Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. (2011). Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo
in šport, Zavod RS za šolstvo.
Uranič, P. (2016). Analiza napak učencev pri računanju z ulomki (Diplomsko delo).
Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta.
Valenčič Zuljan, M. (2001). Modeli in načela učiteljevega profesionalnega razvoja.
Sodobna pedagogika, letn. 52, št. 2, str. 122–141.
Wiliam, D. (2006). Mathematics inside the black box: Assessment for learning in the
mathematics classroom. Granada Learning.
Woolfolk, A. (2002). Pedagoška psihologija. Ljubljana: Educy.
Wu, H. (1999). Some remarks on the teaching of fractions in elementary school.
Pridobljeno s https://math.berkeley.edu/~wu/fractions2
Žagar, D. (2009). Psihologija za učitelje. Ljubljana: Znanstvena založba Filozofske
fakultete, Center za pedagoško izobraževanje.
Žakelj, A. (2003). Kako poučevati matematiko: teoretična zasnova modela in njegova
didaktična izpeljava. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.
77
13 Priloge
13.1 Anketni vprašalnik
1. vprašanje: Delovna doba v vzgoji in izobraževanju pri poučevanju v 5. razredu
osnovne šole:
a) 1–3 let
b) 4–6 let
c) 7–18 let
d) 19–30 let
e) 31–40 let
2. vprašanje: Zapišite tri matematične vsebine v 5. razredu, ki jih je po Vašem mnenju
najzahtevnejše predstaviti učencem.
_____________________ _____________________ _____________________
3.1 vprašanje: Zakaj ste izbrali te vsebine? Izbirate lahko med več odgovori. (Možnih
je več odgovorov)
Lastne težave
z razumevan-
jem vsebine
Težavnost
konkretne
ponazoritve
učne vsebine
učencem
Kompleks-
nost razlage
matematične-
ga pojma
Težavnost
postopka
Težavnost
presoje
najprimernej-
še
reprezentacije
za izbrano
vsebino
Vaša 1. izbira pri
drugem vprašanju.
Vaša 2. izbira pri
drugem vprašanju.
Vaša 3. izbira pri
drugem vprašanju.
3.2 vprašanje: Drugo. Razlogi za izbiro zahtevnejše učne vsebine.
_________________________________________________________________________
78
4. vprašanje: Ali se je Vaš način poučevanja zahtevnejših matematičnih vsebin, ki ste
jih izbrali pri 2. vprašanju, spremenil od takrat, ko ste začeli s poučevanjem?
a) Da.
b) Delno.
c) Ne.
d) Ne vem.
5. vprašanje: Pojasnite, kako oziroma na kakšen način.
_________________________________________________________________________
6. vprašanje: Zapišite tri zahtevnejše matematične vsebine v 5. razredu, pri katerih
imajo po Vašem mnenju UČENCI največ težav z razumevanjem.
_____________________ _____________________ _____________________
7.1 vprašanje: Navedla sem nekaj predlogov učnih vsebin. Zanima me, na kaj se
najbolj opirate pri vpeljavi določene matematične vsebine. Označite izbran odgovor.
Ustna
razlaga
(tabla in
kreda)
Interaktiv-
ni
pripomoč-
ki (spletne
strani,
aplikacije)
Konkretne
reprezen-
tacije
Grafični/
Slikovni
prikaz
Pisno deljenje z dvomestnim naravnim
številom.
Votle merske enote (dl, l, hl).
Enačbe in neenačbe.
Množica, podmnožica, unija, presek.
Merjenje ploščine.
Simetrija in vzorci.
Preiskava (uporaba znanj o obdelavi
podatkov).
Zakon o razčlenjevanju (distributivnost).
Daljica, premica, poltrak.
Mreža kocke in kvadra.
Drugo:
7.2 vprašanje: Ali se poslužujete še katerega načina, ki zgoraj ni bil omenjen?
79
a) Da.
b) Ne.
7. 3 vprašanje: Če ste odgovorili pritrdilno, katerega?
_________________________________________________________________________
8. vprašanje: Pri načrtovanju učne ure za poučevanje zahtevnejše učne vsebine sem
pozoren/-na (označite odgovor, s katerim se najbolj strinjate) 1-nikoli, 4-vedno.
9. vprašanje: Navedla sem nekaj opisov učnih pristopov za učno vsebino PISNO
DELJENJE Z DVOMESTNIM NARAVNIM ŠTEVILOM. Izberite tistega, za
katerega menite, da najbolj ustreza vašemu načinu dela.
a) Učenca motiviram in usmerim v razmišljanje za obravnavo nove učne snovi preko
novega primera, ki se ga še niso učili. Učenci imajo nato v manjših skupinah diskusijo o
tem računu, postopku reševanja in njegovi rešitvi ter za tem predstavijo svoje zaključke.
Na koncu pravilen postopek predstavim še sama ob pomoči njihovih idej. Nato učenci
na novo usvojeno znanje utrjujejo in ga uporabljajo v različnih situacijah. Na koncu je
njihova naloga analiza in ocena lastnega znanja.
b) Učenca vodim skozi postopek reševanja pisnega deljenja z dvomestnim številom.
Skupaj/v paru/v skupini iščemo pravila za način reševanja in primerjamo odnose med
števili, ki jih uporabljamo.
Nikoli Včasih Pogosto Vedno
da je njena vsebina raznolika. 1 2 3 4
da je njena vsebina blizu učenčevim
življenjskim izkušnjam in interesom.
1 2 3 4
da pred obravnavo s sodelavci in drugimi
učitelji strokovno razpravljamo o učnih
temah, ki so učencem zahtevnejše na podlagi
že pridobljenih izkušenj.
1 2 3 4
da učence čim bolj vključujem v učni proces. 1 2 3 4
da svoje znanje predhodno poskušam
podkrepiti z udeležbo na seminarjih,
kongresih ali drugih dodatnih izobraževanjih.
1 2 3 4
da svoje znanje predhodno poskušam
podkrepiti z branjem strokovnih revij.
1 2 3 4
Drugo: 1 2 3 4
80
c) Učencu najprej sam/-a pokažem postopek reševanja pisnega deljenja z dvomestnim
številom (kaj je pravilno, na kaj morajo biti pozorni). Učenci nato individualno utrjujejo
svoje znanje, vendar pod mojim nadzorom. Skupaj si pogledamo rešitve. Pri učenju
uporabljam pohvale v primeru, da je postopek reševanja pravilen.
10. vprašanje: Navedla sem nekaj opisov učnih pristopov za učno vsebino MERJENJE
PLOŠČINE. Izberite tistega, za katerega menite, da najbolj ustreza vašemu načinu
dela.
a) Učencem predstavim življenjski problem, in sicer, na katero pravokotno gredico lahko
posadimo več sadik solate. Učenci z raziskovanjem problema sami ugotovijo, da vsaka
sadika potrebuje določen prostor in da bi za označitev prostorčkov posameznim sadikam
lahko uporabili mrežo ter nato prešteli število nastalih enot. Učenci novo usvojeno znanje
utrjujejo in ga uporabljajo v različnih situacijah.
b) Učencem predstavim kvadratno mrežo kot pripomoček za merjenje ploščine
pravokotnika. Učenci (ob vodenju) ugotavljajo, kako bi lahko prešteli ali na krajši način
določili število vseh kvadratkov, ki pokrivajo ploskev pravokotnika.
c) Učencem predstavim pravilo za izračun ploščine pravokotnika (množenje dolžine
pravokotnika z njegovo širino). Učenci nato individualno računajo ploščine. Skupaj si
pogledamo rešitve. Pri učenju uporabljam pohvale v primeru, da je postopek reševanja
pravilen.
