MATEMATIČKA ANALIZA 1GRUPA 2

1. Ako je |a| < 1 i |b| < 1, odrediti

limn→∞

1 + a+ a2 + ...+ an

1 + b+ b2 + ...+ bn.

2. Neka je {an}n∈N niz. Dokazati da je limn→∞ an = 0⇔ limn→∞ |an| = 0.3. Ispitati da li je niz an = cos 1!

1 + cos 2!22 + ...+ cosn!

n2 Košijev.4. Odrediti

limn→∞

lnnn1/k

, k ∈ N.

5. Odreditilimx→1

xm+1 − xn+1 + xn −mx+m− 1(x− 1)2 , m, n ∈ N.

6. Ispitati neprekidnost funkcije

f(x) = 2x2 − 4x|x+ 1|+ |x− 3| − 2 .

7. Odrediti prvi izvod inverzne funkcije za funkciju f datu sa:a) f(x) = x2 − 2x, x > −1 b) f(x) = x+ ln x, x > 0.

8. Odrediti jednačine tangente i normale krive xy + ln y = 1 u tački A(1,1).9. Dokazati da je | arctan x− arctan y| ≤ |x− y|, x, y ∈ R.10. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

f(x) = 2x1− ln x2 .

i

MATEMATIČKA ANALIZA 1GRUPA 3

1. Odreditilim

n→∞

1 · 1! + 2 · 2! + ...+ n · n!(n+ 1)! .

2. Odrediti lim supn→∞ fn i lim infn→∞ fn ako je

fn = 1 + 2(−1)n+1 + (−1)n(n+1)

2 .

3. Ako važe jednakosti

limx→a

f(x) = L i limy→L

g(y) = K,

da li tada mora bitilimx→a

g(f(x)) = K ?

Ako ne, navesti primjer!4. Odrediti

limx→0

x2√

1 + x sin x−√

cosx.

5. Odreditilim

x→2+

1x2 + e

12−x

i limx→2−

1x2 + e

12−x

.

6. Odrediti n-ti izvod funkcije f(x) = ln a+ bx

a− bx, a2 − b2x2 > 0.

7. Dokazati da je n(b− a)an−1 < bn − an < n(b− a)bn−1, 0 < a < b, n ∈ N.8. Razviti funkciju

f(x) = x2 + 3ex

e2x

u Maklorenov red.9. Odrediti intervale konveksnosti za funkciju f(x) = x sin(ln x), x > 0.10. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

f(x) = arctan x2

x2 − 4 .

ii

MATEMATIČKA ANALIZA 1GRUPA 1

1. Odreditilimx→0

x2 − (cosx)√

2

x2 .

2. Ako su data dva niza {an}n∈N i {bn}n∈N i neka je niz {cn}n∈N određen sacn = a1bn+...+anb1

n, n ∈ N. Ako je limn→∞ an = 0 i |bn| ≤ B za svako n ∈ N, tada

važi limn→∞ cn = 0. Dokazati.3. Odrediti

limx→1

(x5 − x+ 1

x7 − x5 + x3 − x2 − x+ 1 −1

x2 − 1

).

4. Odreditilim

x→∞

ln(1 + 4x)ln(1 + 3x) .

5. Neka je data funkcija

f(x) =

1−cos x

x2 , x 6= 0

λ, x = 0.

Odrediti λ tako da funkcija bude neprekidna.6. Odrediti parametar k tako da prava y = kx + 1 bude tangenta parabole{(x, y)|y2 = 4x, x ≥ 0} i odrediti tačke dodira.7. Neka je f diferencijabilna funkcija na [0, 1] pri čemu je f ′(0) = 1 i f ′(1) = 0.Dokazati da postoji c ∈ (0, 1) takvo da je f ′(c) = f(c).8. Odrediti

limx→0

(cos(xex)− ln(1− x)− x)1/x3.

9. Dokazati da je(a+ b

2

)n

≤ an + bn

2 , a, b > 0, a 6= b, n ≥ 2.

10. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

f(x) = ex2

x2−1 .

iii

MATEMATIČKA ANALIZA 1GRUPA 4

1. Pokazati po definiciji da je

limn→∞

3n sinn3

3n−1 + 3n = 3.

2. Odreditilim

n→∞

∑nk=1(2k − 1)2

n3 .

3. Odrediti

limx→0

n√

1 + ax m√

1 + bx− 1x

, m, n ∈ Z/{0}, a, b ∈ N.

4. Odrediti tačke prekida i njihovu vrstu za funkciju

f(x) =

xb 1

xc, x 6= 0

0, x = 0.

5. Odrediti prve izvode slijedećih funkcija:a) f(x) = x

√x b) f(x) = ln(ln2(ln3(x2))).

6. Odrediti jednačine tangente i normale krive date parametarski sa

x = 2t+ t2

1 + t2, y = 2t− t2

1 + t2

u tački t = 0.7. Dokazati da je ex > 1 + x, x ∈ R.8. Razviti funkciju

f(x) = ln 2− 3x3 + 2x

u Maklorenov red.9. Odrediti

limx→0

( 1sin x arctan x −

1tan x arcsin x

).

10. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

f(x) = x3√x2 − 1

.

iv