Analiziranje matematičkih zadataka korištenjem MATH taksonomije

1

ISSN (p) 2303-4890, ISSN (o) 1986–518X ISTRAŽIVANJE MATEMATIČKOG OBRAZOVANJA

http://www.imvibl.org/dmbl/meso/imo/imo2.htm

Vol. VII (2015), Broj 13, 1–12

Originalni istraživački rad

Analiziranje matematičkih zadataka

korištenjem MATH taksonomije

Siniša Crvenković Univerzitet u Novom Sadu, Departman za matematiku, Trg Dositeja Obradovića 4, 21000 Novi Sad, Srbija

e-mail: [email protected]

Mirela Mrđa

Univerzitet u Novom Sadu, Pedagoški fakultet Sombor, Podgorička 4, 25000 Sombor, Srbija


Daniel A. Romano Univerzitet u Istočnom Sarajevu, Pedagoški fakultet Bijeljina,

76300 Bijeljina, Semberskih ratara b.b., Bosna i Hercegovina


Marina Zubac

Universitet u Mostaru, Fakultet pirodoslovno-matematičkih i odgojnih nauka,

88000 Mostar, Matice Hrvatske b.b., Bosna i Herzegovina


Sažetak: U ovom tekstu izložena je analiza jednog modela testiranja studenata na sadržaje univerzitetskog kursa

Matematika 1 uz upotrebu MATH taksonomije.

Ključne riječi i fraze: testiranje, Matematika 1, MATH taksomomija

Abstract. In this article an analyse of a mathematical task model using by MATH taxonomy is presented.

Key words and phrases: student testing, Mathematics 1, MATH taxonomy

Math. Subject Classification (2010): 97B40, 97D60

Didactic Subject Classification (2010): C70, D60

Uvod

Podsjetimo se kako su Jeremy Kilpatrick, Jane Swafford i Bradford Findell, u svojoj čuvenoj knjizi

“Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics” (Kilpatrick et all, 2001) opisali matematička umjeća.

Priznajući da ne postoji termin koji bi u potpunosti pokrio sve aspekte stručnosti, sposobnosti, znanja i

vještina u nastavi matematike, odabrali su da terminom „matematička umjeća’ pokriju sve ono što

akademska zajednica istraživača matematičkog obrazovanja vjeruje da je potrebno svakome da uspješno

nauči matematiku. Prema toj knjizi, sastoje se od slijedećih pet isprepletanih struna:

• Konceptualno razumijevanje – Razumijevanje matematičkih pojmova (objekata i procesa), operacija sa

njima i njihovih meĎusobnih odnosa (Konceptualno razumijevanje odnosi se na integralno i funkcionalno

shvaćanja matematičkih ideja.)

• Proceduralne vještine - Vještost u obavljanju postupaka fluentno, tačno, učinkovito i na odgovarajući

način (Proceduralne vještine se odnosi na znanje o procedurama, poznavanje kada i kako ih koristiti na

odgovarajući način, te vještine u njihovom izvoĎenju fleksibilno, tačno i učinkovito.)

• Strateška nadležnost - Mogućnost formulisanja, predstavljnja i rješavanje matematičkih problema

(Strateška nadležnost se odnosi na sposobnost da se formulišu matematički problemi, da se predstave i da

mailto:[email protected]



IMO, Vol. VII (2015), Broj 13 S.Crvenković , M.MrĎa, D.A.Romano, M.Zubac

2

se umiju riješiti. (Postoje meĎusobno podržavajuće veze izmeĎu strateških sposobnosti i oba prethodno

pomenuta umjeća – razumijevanje koncepata, procesa sa njima i njihovo fluentno korištenje u

procedurama.)

• Prilagodljivo rasuĎivanje – Kapacitet za logičko razmišljanje, promišljanje, objašnjavanje i opravdavanje.

(Adaptivno rasuĎivanje se odnosi na sposobnost da se misle logično o odnosima meĎu pojmovima i

situacijama.)

• Produktivna dispozicija / Operativna sklonost – stalna sklonost da se na Matematiku gleda kao na

racionalnu, korisnu i aplikativnu ljudsku djelatnost uz vlastitu uvjerenost u marljivost i sopstvenu

efikasnost.

Kako se to postiže? – pitanje je koji svaki realizator nastave matematike postavi sebi (ali i svom

okruženju – društvenoj i akademskoj zajednici) na početku svoje nastavničke karijere. U nas, većina

univerzitetskih nastavnika, podučavajući buduće nastavnike Metodici nastave matematike, pozivajući se na

Bloomovu taksonomiju, operacionalizaciju ciljeva nastave matematike realizuje zadacima nastave

matematike podučavajući svoje studente vještinama rješavanja matematičkih zadataka. U domeni

‟Istraživanje matematičkog obrazovanja‟ akademska zajednica razvila je različite taksonomije kako da se

analiziraju i klasifikuju matematički zadaci. Te taksonomije zasnovane su na različitim principijelno-

filozofskih pristupima. Takve su na primjer slijedeće taksonomije: (1) Tradicuionalni pristup; (2) Bloom-ova

taksonomija; (3) SOLO taksonomija; (4) MATH taksonomija; (5) TMS taksonomija; (6) Gelbrajt-Hejnesova

taxonomija i (7) Taksonomija komponentnih procjena; (8) Procjenjivanje pitanjima sa više izlaznih

mogućnosti; (9) Procjenjivanje pitanjima sa ponudjenim odgovorima.

Slijedeća pitanje, koja se postavljaju, su:

- Kako se provjerava da li su dosegnuti ciljevi nastave matematike?

- Koje pokazatelje bi trebalo procijenjivati da se utvrdi da li su se kod studenta razvila poželjna

matematička umjeća?

- Kako ustanoviti skalu za procjenjivanje nivoa usvojenih umjeća?

U ovom tekstu, mi nudimo jedan od mogućih modela za procjenu uspješnosti studenata u ovladavanju

znanjima i vještinama koje potražuje nastavni program enciklopedijskog kursa ‟Matematika 1‟ na tehničkim

fakultetima u nas. Da bi procjenili njegovu svrsihodnost, očekivane aktivnosti studenata pri rješavanju

zadataka ponuĎenog modela determinisani su elementima MATH taksonomije (‟The Mathematical

Assessment Task Hierarchy‟ taxonomy). U daljem, analizira je njegova primjena na završnim testiranjima

studenata Tehnološkog i Mašinskog fakuklteta Univerziteta u Banjoj Luci. Procjenjujući studentske

uspješnosti deskriptorima ove taksonomije dedukovane su slijedeće hipoteze /zaključci:

- Primjena MATH taksonmije na modele procjene studentske uspješnosti daje drugačije pokazatelje

nego je to bio slučaj primjenom tradicionalnih procjena.

- Prethodnim upoznavanjem testiranih studenata o aktivnostima pri rješevanju zadataka koje potražuje

ova taksonomija dobija se više kvalitetnijih pokazatelja nego je to slučaj kada nisu upoznati.

- Kategorije ove taksonomije omogućavaju uvid u kognitivni domen studentske uspješnosti.

- Radi sticanja uvida i u afektivni domen studentskih usvojenih umjeća trebalo bi analiziranje modela

procjenjivanja studentske uspješnosti kombinovati i drugim taksonomijama.

O opravdanosti ovih zaključaka i signifikantnosti parametara na kojima su zasnovani trebalo bi da su

predmet dugotrajnijih i detaljnijih ispitivanja. Ovo su namjere novoformiranog istraživačkog tima (Bijeljina,

Mostar, Novi Sad i Sombor). Naša slijedeća namjera je konstruisanje i analiziranje modela procjene

studentske uspješnosti kotištenjem elemenata više različitih taksonomija.

Modeli procjena

Karakter modela procjene proizlazi iz aspekata procjene. Različite metode i svrhe za procjenu

podrazumijevaju više dimenzija. Prva dimenzija ovog okvira uključuje procjenjivanje studentskog

razumijevanja koncepta matematičkih objekata i matematičkih procesa, procjenjivanje usvojenih vještina,

sposobnosti aplikacija, procjenjivanje njihovih stavova i uvjerenja. Niss (1993) koristi termin „režim

procjene’. Pod tim terminom on podrazumijeva slijedeće:

Subjekti procjene, tj. ko se procjenjuje.


3

Predmet procjene.

Objekte procjene.

Stavke procjene, odnosno koje vrste izlaznih pokazatelja se ocjenjuju.

Povodi i motivi procjene, odnosno kada i zašto se procjena odvija.

Postupcima i okolnosti procjene.

Poentiranje u procjeni, odnosno ono što je naglasio u postupcima procjenjivanja.

Izvještavanje o ishodima procjene.

Za potrebe ove studije, fokusiraćemo se na objekte procjene, odnosno vrste matematičkih sadržaja i koje

vrste studentskih matematičkih umjeća prepoznajemo procjenjivajući nivo usvajanjem tih pomenutih

sadržaja. Ovo uključuje:

(A) Znanje matematičkih činjenica. Misli se na procjenjivanje nivoa znanja definicija, teorema, formula,

odreĎenih specifičnih dokaza, istorijske i biografske podatke.

(B) Standardne metode i tehnike za dobijanje matematičkih rezultata. Ovo uključuju kvalitativne i

kvantitativne zaključke, rješenja problema i prikaz rezultata.

(C) Standardne aplikacije koje uključuju poznate, karakteristične vrste matematičkih situacija koje se mogu

tretirati pomoću ranije prihvaćenih i detaljno determinisanim matematičkim alatima.

U manjoj mjeri, objekti procjene takoĎer uključuju:

(D) Heurističke metode dokazivanja kao načina stvaranja matematičkih rezultata u ne-rutinskim

kontekstima.

(E) Rješavanje nestandardnih problema.

(F) Modeliranje konteksta u matematičke probleme.

Na kraju, u matematici susrećemo i

(G) Istraživanje hipoteza generalizacija kao predmet procjene.

Prve tri stavke zahtijevaju znanje činjenice, ovladavanje standardnim metodama i tehnikama i učinak

standardnih matematičkih aplikacija, a sve u tipičnim, poznatim situacijama. U daljem, u ovom modelu treba

obratiti pažnju na procjenjivanje studentskih sposobnosti sagledavanja matematičkih objekata i procesa koje

podrazumijevaju razumijevanje kognitivno zahtijevnijih matematičkih ideja. Zahtijevanjem od studenata da

reprodukuju dokaze, da rješavaju matematičke probleme, da modeliraju kontekste u matematičke zadatke, da

prepoznaju potrebne i dovoljne uslove za egzistenciju matematičkih objakata i procesa procjenjuju se

studentska umjeća za:

- Rješavanje problema otvorenog tipa;

- Rješavanje kompleksnijih problema;

- Realizovanje modeliranja realnih situacija;

- Istraživanje matematičkih struktura; i

- Analiziranje hipotetičkih generalizacija.

Prihvata se da su stavke (A)-(G) u ovom modelu procjenjivanja i korespodentna studentska umjeća opšte

prihvaćene kao esencijalne reprezentacije onoga što se smatra da matematika i matematičke aktivnosti

stvarno jesu. Prve tri stavke na gornjoj listi naglašavajući usvojene rutine karakterišu nizak nivo

matematičkih aktivnosti. Preostale stavke su kognitivno zahtijevnije. Pokazatelji (A), (B) i (C) su osnovni

slučajevi matematičkih znanja, razumijevanja i sposobnosti. U našem obrazovnom sistemu najčešći modeli

za procjenjivanje u matematičkom obrazovanju su ograničena na samo ove prve tri stavke. Jedan od razloga

za to je što metode za procjenu stavki (A), (B) i (C) najlakše osmisliti. Osim toga, tradicionalne metode

procjene ispunjavaju zahtijeve valjanosti, pouzdanosti i, najčešće ne ostavljaju prostora da različiti

procjenjivači različito procjenjuju studentske aktivnosti. Daleko teže je osmisliti alate za ocjenjivanje stavki

(D) - (G). Uključivanje ovih instanci u model procjene sigurno unosi i druge dimenzije važnosti u

procjenjivanju matematičkih uspješnosti. Ako se ograničimo samo na procjenjivanje stavki (A), (B) i (C) i

izostavimo stavke (D) - (G) izvan opsega procjene, ne samo da sebe ograničavamo u procesu procjenjivanja,

već se može desiti da steknemo iskrivljen i pogrešan dojam o uspješnosti testiranih kandidata. (Webb and

Romberg 1992; Niss, 1993).

Descriptori MATH taksonomije

Za potrebe ovog rada fokusiraćemo se na taksonomiju koja dolazi iz kognitivne tradicije „The

Mathematical Assessment Task Hierarchy taxonomy‟ (u daljem, MATH taksonomija), koju su 1996. godine


4

razvili Geoffrey H. Smith, Leigh N. Wood, Marry Coupland, Brain Stefenson, Kethrin Crawford i Geoff

Ball (Smith et all, 1996; Bennie, 2005; D‟Souza and Wood, 2003).

Cilj taksonomija je pomoći predavačima da razviju uravnotežene procjene matematičkih zadataka za

čije rješavanje se zahtijeva niz znanja i vještina. Principijelne kategorije ove taksonomje dizajnirane su da bi

se opisala "priroda aktivnosti ... a ne stepen složenosti ili stepen poteškoća” (Smith et al. 1996, 68). MATH

nomenklatura (vidi Tabelu 1.) je dizajnirana za analiziranje ispitnih zadataka u starijim razredima srednje

škole i dodiplomskim studijama.

Nivoi kompleksnosti Niži nivo

Grupa A

Srednji nivo

Grupa B

Viši nivo

Grupa C

A1. Znanje činjenica

B1. Prenos informacija

C1. Argumentacija i

tumačenje

A2. Razumijevanje

B2. Primjena u novim

situacijama

C2. Implikacije, pravljenje

hipoteza i uporeĎivanje

A3. Rutinska upotreba

Procedura

C3. Evaluacija

Tabela 1 (Kategorije MATH taksonomije)

Grupa A. Zahtijevno je potpuno determinisati sadržaj koji bi trebalo da pokrije ova kategorija. To se

odnosi na veliki broj zapamćenih specifičnih formula, definicija i teorema. Naravno, moguće je

reprodukovati iskaz nekog teorema bez razumijevanja, ali reprodukcija dokaza tog teorema zahtijeva

razumijevanje meĎuodnosa objekata i procesa koji se pri tome pojavljuju. Da bi demonstrirao to

razumijevanje, učenik bi trebalo da:

- Bude u mogućnosti da sa pouzdanjem obrazloži da li su neki od uslova koji se pojavljuju u

definicijama zadovoljeni ili ne;

- Razumije važnost simbola u formulama, definicijama i iskazima teorema; i

- Prepoznaje primjere i kontraprimjere.

U demonstriranju ovladanim vještinama razumijevanja i korištenja procedura student bi trebalo da je vičan

upotrebi procedura po analogiji.

Grupa B. B.1. može biti pokazano posredstvom slijedećih zadataka:

- Transformacijom informacija iz jednog u drugi oblik;

- Procjenjivanjem da li su u nekom konkretnom slučaju uslovi neke definicije zadovoljeni ili ne;

- Prepoznavanje primjenljivosti neke formule ili metoda u različitim kontekstima;

- Prepoznavanje neprimjenljivosti neke genetičke formule u nekim kontekstima;

- Sublimiranje informacija u netehničkim terminima za različite potrebe;

- Formulisanje matematičkih argumenata;

- Uočavanje i argumentacija meĎuodnosa komponenata nekog materijala;

- Konstruisanjem prihvatljivih obrazloženja procesa;

- Rekonstruisanje komponenata neke argumentacije u logički redoslijed;

B2. Primjena u novim situacijama uključuje i slijedeće:

- Modeliranje realnih situacija;

- Dokazivanje ranije nepoznatih tvrdnji ili rezultata koji dolaze iza korištenja rutinskih procedura;

- Korištenje poznatih procedura u novim situacijama;

- Izbor i primjena prihvatljivih statističkih tehnika;

- Izbor i primjena prihvatljivih algoritama.


5

Grupa C. C1. Ovdje se misli na sposobnost studenata da procijene i/ili da interpretiraju date ili

dobijene podatke. Ovo uključuje:

- Dokazivanje teorema u namjeri da se procjeni rezultat, metod ili model;

- Sposobnost de se uoče i rekonstruišu grešeke u razmišljanju;

- Sposobnost procjenjivanja da li je neki model prihvatljiv;

- Prepoznaju ograničenja u modelima;

- Prepoznaju ograničenja primjenenih algoritama i izvori pogrešaka;

- Interpretiranje regresivnih modela;

- Sposobnost voĎenja razgovora o signifikantnosti datih primjera ili kontraprimjera;

- Prepoznavanje neodrživih pretpostavki.

C2. Imajući ili dobijajući rezultate / situaciju student bi trebalo da je sposoban opisati implikacije i

meĎuodnose objekata u dobijenim podacima. TakoĎe, trebalo bi da je sposoban da ih procijeni ili dokaže.

Studenti bi trebalo da su sposobni da uporede procjene u različitim matematičkim kontekstima. Primjeri za

prethodno su:

- Sposobnost da se uoče ili naprave veze zasnovane na individualnuim ili heurističkim elementima;

- Sposobnost da se uočene veze dokažu korištenjem rigoroznih metoda;

- Sposobnost uporeĎivanja upotrebljibih algoritama;

- Sposobnost dedukovanja implikacija iz dobijenih podataka;

- Konstrukcija primjera i kontraprimjera.

C3. Evaluacija se odnosi na sposobnost procijenjivanja vrijednosti materijala u naznačene namjere

prema reterminisanim kriterijima. Od studenata se može zathijevati da prepoznaju i determinišu kriterije u

nekom kontekstu. Ovo uključuje i slijedeće:

- Sposobnost da se prave procjene;

- Sposobnost da se razvrstaju informacije po značajnosti;

- Sposobnost da se koherentno raspravlja o cjelini i o elementima ponaosob nekog algoritma;

- Organizacione vještine;

- Kreativnost koja uključuje snalaženje sa objektima i imformacijama prethodno dobijenim,

preureĎenje podataka i informacija u novi niz, i sagledavanje informacija koje nisu očigledno

ponuĎene (prisutne).

Na osnovu dostupne literature o modelima procjene i taksonomije u matematici (Anderson et all, 2001;

Bloom et all, 1956; Niss, 1993; Smith et al., 1996; Huntley, Engelbrecht and Harding, 2009), za potrebe ove

studije bilo je potrebno kompilirati neke od taksonomija kako bi se odgovorilo na pitanje procjene nivoa

kognitivnih zahtjevnosti matematičkih zadataka, kao i kognitivne sposobnosti povezane sa svakim od nivoa.

Sa ovim ciljem, poslužićemo se tzv. Taksonomijom komponentnih procjena (U originalnu: Assessment

component taxonomy) koju su razvili Belinda Huntley, Johann Engelbrecht i Ansie Harding (Huntley,

Engelbrecht and Harding, 2009). Ova taksonomija se sastoji od skupa sedam stavki, u daljem tekstu

matematike komponente procjene. Ovaj set od sedam matematičkih komponenti je determinisan nivoima

kognitivne kompleskonsti kao i prirodom matematičkih zadataka. Komponente procjene su:

(1) Tehnička,

(2) Predmetna,

(3) Konceptualna,

(4) Logička,

(5) Modeliranje,

(6) Rješavanje problema, i

(7) Konsolidacija.

Pitanja koja uključuju manipulacije i račun se smatraju tehničkim. Oni koji se oslanjaju na memoriju i

reprodukciju znanja i činjenice tretiraju se kao predmetnim komponentama. Komponente procjene (1) i (2)

uključuju pitanja zasnovana sa matematičkim činjenicama i standardnim metodama i tehnikama.

Konceptualne komponenta (3) uključuje umjeća razumijevanje i rad sa algebarskim, verbalnim, numeričkim

i vizualnim (grafičkim) pitanjima vezanim za standardne aplikacije. Komponente procjene (4), (5) i (6)

odgovaraju logičkim pitanjima u vezi sa dokazivanjem, modeliranje sa prevoĎenjem konteksta u

matematičke simbole a rješavanja problema pronalaženje matematičke metode da se doĎe do rješenja.

Komponenta procjene (7) konsolidacija uključuje procese sinteze (okupljanje različitih tema u jedno


6

pitanje), analize (razbijanje pitanja u različite teme) i evaluacija zahtijeva istraživanja i generacija hipoteza.

Veza izmeĎu ovih komponenata i MATH taksonomije je slijedeća:

Tabela 2: Komponente procjene MATH taksonomije i nivo kognitivnih zahtijevnosti

Kognitivni nivo zahtjevnosti Komponente procjene MATH (1) Tehnički Nivo nižih kognitivnih zahtijeva / grupa A

(2) Predmetni

(3) Konceptualni Nivo srednjih kognitivnih zahtijeva / grupa B

(4) Logički

(5) Modeliranje Nivo viših kognitivnih zahtijeva / grupa C

(6) Rješavanje problema

(7) Konsolidacija

Tabela 3. sumira predloženi komponente procjene matematike i odgovarajući kognitivne potrebne

vještine u okviru svake komponente.

Komponente procjene MATH /

Kognitivni nivo zahtjevnosti

Kognitivne sposobnosti

Tehničke Manipulacija

Izračunavanje

Matematičke Memorija

Znanje činjenica

Konceptualne Razumijevanje

- algebarsko razumijevanje

- verbalno razumijevanje

- numeričko razumijevanje

- vizuelno-grafičko razumijevanje

Logičke - UreĎenost

- dokazivanje

Modelitanje Transformacija konteksta u matematičku

simboliku

Rješavanje problema Identifikacija i primjena matematičkih metoda u

cilju dobijanja rješenja

Konsolidacija - Analiza

- Sinteza

- Evaluacija

Tabela 3: Komponenta procjene MATH taksonomija i kognitivnih umjeća

Teorijske osnove za istraživanje

Znatan broj članova Zajednice realizatora nastave matematike i Zajednice istraživača matematičkog

obrazovanja prihvataju konstruktivističke teorije matematičkog obrazovanja kao što su, na primjer ‟Teorija

didaktičkih situacija‟ i ‟Teorija realističkog matematičkog obrazovanja‟ za poboljšanje učenja matematike.

Prema tim teorijama, učenje se javlja u direktnom odnosu studenta prema onome što je već naučio. To

predznanje je organizovano u mentalne modele, vjerovanja i uvjerenja i gradi jedan sistem referencije u

njihovim umovima. Posredstvom tog sistem razumijevaju se, tumače i usvajaju značenja novoformiranih

matematičkih ideja, objekata, procesa i procedura sa njima. Studenti, u konstruktivističkom okruženju, u

interakciji sa tim svojim vlastitim okruženjem, razvijaju svoje sposobnosti i usvajaju nove vještine kreirajući

ekstenzije reinterpretiraju vlastite interpretacije stvarnosti u skladu sa ranije pomenutim sistemo lične

referencije. Učenje se realizuje kada se ostvari konsolidacija tog novog znanja. To bi trebalo da se

prepoznaje kao studentska sposobnost u izgradnji smislenih reprezentacija elemenata novoformiranog

znanja.


7

Procjena uspješnosti u realizaciji nastave matematike najčešće se vrši pismenim i usmenim testiranjem

učenika / studenata. Većina tih testiranja zasnovani su na zahtijevima da se prepoznaju, registruju i procijene

matematička umjeća studenata u skladu sa ciljevima nastave matematike.

Model

Zadatak 1. (13 bodova) Označimo sa 2N skup svih parnih prirodnih brojeva. Data je implikacija :

n22N n2N.

1.1 Izdvoj hipotezu i iskaži je riječima.

1.2 Izdvoj konsekvent i iskaži ga riječima.

1.3 Konstruiši obrat ove implikacije.

1.4 Konstruiši kontrapoziciju date implikacije.

1.5 Dokaži datu implikaciju.

1.6 Dokaži kontrapoziciju date implikacije.

Zadatak 2. (18 bodova) Dati su skupovi: А = {1,3,5,7,9} i B = {0,2,4,6,8}. Konstruiši korespodenciju izmeĎu

skupa А i skupa B tako da:

2.1. nije funkcija izmeĎu A i B;

2.2. јeste funkcija izmeĎu A i B;

2.3. D() A;

2.4. D() = A;

2.5. јeste surjekcija i nije injekcija izmeĎu A i B;

2.6. јeste bijekcija izmeĎu А i B.

Zadatak 3. (12 bodova) Neka je А podskup polja R realnih brojeva.

3.1. Definiši pojam gornja granica skupa А .

3.2. Determiniši koncept supA.

3.3. Definiši pojam donja granica skupa А .

3.4. Determiniši concept infA.

3.5. Pokaži da je skup А = { 1 +1

𝑛 𝑛

:𝑛 ∈ 𝑁} ograničen.

3.6. Obrazloži zašto postoji sup{ 1 +1

𝑛 𝑛

:𝑛 ∈ 𝑁} u polju R .

Zadatak 4 (17 bodova) Dati su kompleksni brojevi z1 = 2-3i и z2 = -5+4i kao elementi linearnog prostora C nad

poljem R realnih brojeva.

4.1. Izračunaj njihove norme i ustanovi da li su normirani.

4.2. Ustanovi da li su meĎusobno ortogonalni.

4.3. Ustanovi da su linearno nezavisni.

4.4. Ustanovi da kompleskni brojevi z1 = 2-3i i z2 = -5+4i čine bazu lineranog prostora C nad poljem R .

4.5. Prikaži kompleksne brojeve z3 = 1, z4 = 0 , z5 = i z6 = -3-2i i z7 = 4-5i u bazi B1 = {z1, z2}.

4.6. Izračunaj skalarni proizvod brojeva z6 = -3-2i i z7 = 4-5i u bazama B = {0, i} i B1 = {z1, z2}.

Zadatak 5 (28 bodova) Date su funkcije f, g i h sа f(x) = 𝑥

ln(𝑥+1), g(x) =

𝑥2−1

𝑥+2, h(x) = x arctgx.

5.1. Izračunaj domene ovih funkcija.

5.2. Ustanovi ponašanje ovih funkcija na rubovima domena.

5.3. PronaĎi asimptote ovih funkcija.

Zadatak 6 (12 bodova) Za matricu А = 3 10 1

indukcijom pokaži da vrijedi Аn =

3𝑛 1

2 3𝑛 − 1

0 1 za n 1.

Napomene. 0. Zadaci su vrednovani neravnomjerno. Minimalan broj bodova koji kandidat treba da prikupi pri rješavanju

seta zadataka je 51% od ukupnog broja bodova.

1. Kod „‟ znači da kandidat nije ponudio bilo kakve informacije kao odgovor na postavljeno pitanje.

2. Kod „0‟ znači da su informacije koje je kandidat ponudio kao odgovor na postavljeno pitanje bile potpuno

neptrihvatljive.

3. Svaki pojedinačni korak u svakom pojedinačnom zadatku vrednovan je shodno njegovoj kompleksnosti.

Vrednovanje 1. 2. 3. 4. 5. 6

Zadatak 1 1.5 1.5 1.5 1.5 3.0 4.0 13


8

Zadatak 2 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 18

Zadatak 3 1.5 1.5 1.5 1.5 3 3 12

Zadatak 4 3.0 2.0 2.0 1.5 4 4.5 17

Vrednovanje (a) (b) (c) i Zadatak 5.1 0.5 1.0 1.0 2.5

28 Zadatak 5.2 0.5+1.0+1.0+1.0 1.5+0.5+0.5+0.5 0.5+0.5 7.5

Zadatak 5.3 7.5 7.5 3.0 18

Vrednovanje I II III IV

Zadatak 6 2.0 2.0 4.0 4.0 12

Procjena modela

Zadatak 1. Zadatak se sastoji od šest podzadataka. Neki od njih zahtijevaju samo memorijske aktivnosti

(podkategorija A1: zadaci 1.1, 1.2.), a neki (zadaci 1.3. i 1.4.) zahtijevaju i razumijevanje koncepta

implikacije (Podkategorija A2). Svaki od prethodno nabrojanih podzadataka zahtijeva samo jednu aktivnost.

Podzadatak 1.5. zahtijeva rekonstrukciju dokaza valjanosti implikacije n22N n2N. Dokaz se izvodi

indirektnim putem oslanjanjem na logičke alate „Princip isključenja trećeg‟ i „Princip nekontradikcije‟

(Podkategorija A3). Podzadakat 1.6., (n2N) (n22N), ne treba dokazivati jer su implikacija i njena

kontrapozicije logički ekvivalentne. Zadatak razvrstavamo u podkategoriju B1 sa logičkim nivoom

kognitivnih zahtijevnosti.

Zadatak 2. Pri konstruisanju prihvaljivih odgovora na pitanja ovog zadatka, student će eksponirati nivo A1

(znanje definicija), nivo A2 (razumijevanje definicija), B1 (Procjenjivanjem da li su u nekom konkretnom

slučaju uslovi neke definicije zadovoljeni ili ne) i nivo C2 kognitivnih zahtijevnosti (Konstrukcija primjera i

kontraprimjera).

Zadatak 3. Zadatak nije kompleksan. Podrazumijeva nivo A kognitivnih zahtjevnosti : (A1) Reprodukcija

definicija ili skoro definicaja za potraživane koncepte: Pitanja 3.1-3.4; (A2) Vještine razumijevanja i (A3)

Korištenja procedura: Pitanja 3.5. i 3.6.

Zadatak 4. Zadatak razvrstavamo u kategoriju A (A2 - A3: podzadaci 4.1-4.3, 4.6), u obje podkategorije

B1 (Transformacija informacija iz jednog u drugi oblik: 4.3) i B2 (Korištenje poznatih procedura u novim

situacijama: 4.2, 4.3 i 4.5) i podkategoriju C2 (Sposobnost dedukovanja implikacija iz dobijenih podataka:

4.4), tj. rješavanje ovog zadatka pretpostavlja, izmeĎu ostalih, i konsolidaciju.

Zadatak 5. Rješavanje zadatka ima devet dijelova: 3 puta po tri analogna dijela.

(Korak 1) OdreĎivanje domena funkcija f, g i h pronalaženjem rješenja nejednačina

(a) D(f): x+1 0 ln(x+1) 0 ; (b) D(g): x2-1 0 x+2 0 ; (c) D(h): xR.

Dakle, domeni ovih funkcija su:

D(f) = -1,0 0,+; D(g) = -,-2 -2,1] [1,+ i D(h) = -,+.

Ovaj korak u rješavanju zadatka je ultimativno važan, jer njegovo afirmativno i potpuno precizno izvršenje

omogućava ostale aktivnosti. Ovaj korak razvrstavamo u podkategorije A2 (Postavljenje zahtjeva kojima se

determinišu domeni) i u podkategoriju A3 (Efektivno potraživanje odgovora na zahtjeve determinisanosti

domena).

(Korak 2) Izračunavanje jednostranih limesa

a1 lim𝑥−1+ 𝑓(𝑥), a2 lim𝑥0− 𝑓(𝑥), (a3) lim𝑥0+ 𝑓(𝑥) i (a4) lim𝑥+∞ 𝑓(𝑥) ;

b1 lim𝑥−∞ 𝑔(𝑥), b2 lim𝑥−2− 𝑔(𝑥), (b3) lim𝑥−2+ 𝑔(𝑥) i (b4) lim𝑥+∞ 𝑔(𝑥) ;

c1 lim𝑥−∞ 𝑕(𝑥) i (c2) lim𝑥+∞ 𝑕(𝑥).


9

U rješavanju limesa (a2) – (a4) neophodna je korištenje l‟Hospitalovih pravila. Zbog toga ove aktivnosti

razvrstavamo u podkategoriju B1 (Prepoznavanje primjenljivosti neke formule ili metoda u različitim

kontekstima). Limesi (b2)-(b4) mogu se izračunati standardnim procedurama bez poteškoća. Izračunavanje

limesa (b1) zahtjeva viši kognitivni nivo od prethodnih. Specifičnost izračunavanja ovog limesa je

demonstrirana niže:

lim𝑥−∞

𝑥2 − 1

𝑥 + 2= lim

𝑥−∞

𝑥2(1 −1𝑥2)

𝑥 + 2= lim

𝑥−∞

𝑥 1 −1𝑥2

𝑥 + 2=

lim𝑥−∞

−𝑥 1−1

𝑥2

𝑥+2= lim𝑥−∞

− 1−1

𝑥2

1+1

𝑥

= − 1.

Ovaj dio razvrstavamo u podkategorije B1 (Prepoznavanje neprimjenljivosti neke formule ili metoda u

različitim kontekstima) i podkategoriju B2 (Korištenje poznatih procedura u novim situacijama).

(Korak 3) UtvrĎivanje postojanja asimptota funkcija i traganje za jednačinama tih asimptota.

3.1. Funkcija f ima horizontalnu asimprotu u procesu x-. Drugih asimptota nema.

3.2. Funkcija g ima dvije različite horizontalne asimptote: y = -1 (u procesu x-) i y = 1 (u procesu

x +); vertikalnu asimprotu x = -2 (u procesima x−2− i x−2+).

3.3. Funkcija h ima dvije različite kose asimptote sa koeficijentima pravca k = - 𝜋

2 (u procesu x-) i k =

𝜋

2 (u procesu x+). Za izračunavanje odsječka n na osi ordinata, potrebno je uočiti da standardna

metoda izračunavanja limesa se ne može primjentiti (podkategorija B1), i prepoznati potrebu

upotrebe l‟Hospitalovog pravila (B2), pri čemu toj upotrebi prethodi prethodno neophodna

algebarska transformacija (B1).

Zadatak 6. Tvrdnja zadatka se dokazuje pozivanjem na „Princip matematičke indukcije‟:

(Korak 1) Treba pokazati da je tvrdnja zadatka tačna za n = 1 i n = 2.

- Realizujući aktivnost (Korak 1) učenik / student reprezentuje da je sposoban da izvrši provjeravanje

da li je izraz P(n) = 3𝑛

1

2 3𝑛 − 1

0 1 odgovararajućeg oblika za n = 1 i n = 2. Dakle, ova aktivnost

daje odgovore na tehničke zahtjeve aritmetičko-algebarskog izračunavanja.

(Korak 2) Treba napraviti hipotezu indukcije: Pretpostaviti da je tvrdnja zadatka tačna za n = k .

- Realizujući aktivnost (Korak 2) student eksponira sposobnost da odgovori na logički zahtjev

prepoznavanja hipoteze u Modusu ponensu P(k), P(k) P(k+1).

(Korak 3) Iz hipoteze P(k) = 3𝑘

1

2 3𝑘 − 1

0 1 treba dokazati da takoĎe vrijedi P(k+1) =

3𝑘+1 1

2 3𝑘+1 − 1

0 1 .

- Realizacijom aktivnosti (Korak 3) student pokazuje da:

(1) Razumije koncept logičke implikacije i njene elemente ;

(2) Udovoljava tehničkom zahtjevu algebarskog računanja;

(3) Razumije proces izdvajanja zaključka u pravilu zaključivanja „Modus ponens‟

P(k), P(k) P(k+1) ǁ P(k+1).

(Korak 4) Zasnovano na izvršenim aktivnostima (Korak 1) – (Korak 3), pozivajući se na „Princip

matematičke indukcije‟, utvrditi da je tvrdnja zadatka tačna za svako, ma kako izabrano, nN.

(4) Razumije process deduktivnog dokazivanja zasnovanog na aksiomu indukcije.

Izostanak realizacije poslednje aktivnosti indukuje zaključak da student nije osposobljen da zadovolji srednji

nivo kognitivnih zahtjeva. Zanemarivanje utvrĎivanja studentske uspješnosti u realizaciji ove aktivnosti

stiče se pogrešna slika o nivou kognitivnih umjeća testirane populacije. Prema izloženom, ovaj zadatak

razvrstavamo u kategoriju A i u podkategoriu B2 (Korak 4).

Niže je izložena tabela u kojoj su razvrstane aktivnosti pri rješavanju zadataka ovog modela.

Zadatak A1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 C3

1 + + + + +

2 + + + +

3 + + +


10

4 + + + +

5 + + + +

6 + +

Tabela 4

Zaključne napomene

Ovaj model je primjenivan u završnom testiranju studenata na sadržaje nastavnog predmeta

„Matematika 1‟ Tehnološkog (TF) i Mašinskog fakulteta (MF) Univerziteta u Banjoj Luci u više navrata.

Naša iskustva zasnovana na tim primjenama mogu se sublimirati sa:

(1) U početku primjene ovog modela testiranja studenata, značajan broj kandidata bi odmah

odustajao od testiranja uz obrazloženje da se pitanja i zadaci znatno razlikuju od uobičajenih.

Na prvom primjenjivanju ovog modela procjenjivanja ispita iz predmeta ‟Matematika 1‟ prijavila su 84

studenta a odustala 47 studenta (ili oko 67%). Niže su izloženi detaljnjiji pokazatelji koji potkrepljuju

prethodno pomenuto iskustvo:

Fakultet A. Popul.

(c.c.)

B.

Prijavili B/A

(%)

C.

Pristupili C/B

(%)

D.

Odustali D/C

(%)

MF 300 57 19.0 46 80.7 29 63.04

TF 120 27 22.5 24 88.89 18 75.0

Ukupno 420 84 20.0 70 87.5 47 67.14

Tabela 5.1: Prva primjena modela

Fakultet A. Popul.

(c.c.)

B.

Prijavili B/A

(%)

C.

Pristupili C/B

(%)

D.

Odustali D/C

(%)

MF 300 72 24.0 69 95.83 11 15.94

TF 120 37 30.83 33 89.19 8 24.24

Ukupno 420 109 25.95 102 93.38 19 18.63

Tabela 5.2: Druga primjena modela

Fakultet A. Popul.

(c.c.)

B.

Prijavili B/A

(%)

C.

Pristupili C/B

(%)

D.

Odustali D/C

(%)

MF 300 102 34.0 101 99.02 7 6.93

TF 120 43 35.83 43 100 2 4.65

Ukupno 420 145 34.52 144 99.31 9 6.25

Tabela 5.3: Treća primjena modela

(2) Dalja primjena ovog modela davala je znatno više pokazatelja od interesa za istraživanje

matematičkog obrazovanja nego je to bio slučaj sa primjenom tradicionalnog načina testiranja.

Tradicionalni pristup procjenjivanja studentske uspješnosti se prepoznaje sa:

(a) Studenti se testiraju komplesknim matematičkim zadacima koje možemo opisati kao nelinearno

složene. Bar jedan od njih je nestandardan.

(b) Da bi studentska uspješnost tretiranana kao zadovoljavajuća, od ponuĎenog broja zadataka kandidati

moraju bez značajnijih grešaka uraditi minimalno 51% .

(c) Konstruisanjem prihvatljivih odgovora za pitanja u ponuĎenim zadacima student su eksponirali

vještine prepoznavanja matematičkih koncepata, procesa sa njima i vještine primjene standardnih

(i/ili nestandardnih) procedura.

(d) Zadaci su tretirani kao nerazdvojive cjeline. Rijetko, ili gotovo nikada, primjenjivana je „dio po dio

analiza‟ procjenjivanja zadataka.


11

Uporedićemo naša zapažanja povratnih informacija koje nude tradicionalni spistup procjenjivanja i

MATH taksonomija. Koristićemo se kategorijalnim pojmovima revidirane Blomove taksonomije (Anderson

et al, 2001), adaptirane za nastavu matematike, i klasterima Kilpatrikovih matematičkih umijeća (Kilpatrick

et al, 2001).

U prvom slučaju, parametri su:

Nelinearno složeni zadaci. Konstruišući prihvatljiva rješenja zadataka studenti pokazuju da su sposobni

da: (i) nauče kognitivno zahtijevan sadržaj i da ga mogu reproduikovati; (ii) su sposobni da naučeni sadržaj

primjene u novim situacijama.

Dakle, pomenute pokazatelje ovi istraživači prepoznaju kao proceduralne vještine.

Nestandardni zadaci: Konstruisanje prihvatljivih rješenja nestandardnih zadataka identifikujemo kao

studentsku sposobnost da prepoznaju i razumiju veze izmeĎu različitih matematičkih objekata.

Dakle, ovi istraživači ovo prepoznaju kao razvijenu stratešku nadležnost.

U drugom slučaju, parametri su:

Zadaci tipa A: (i) Poznavanje termina kojim su pokriveni matematički koncepti (na primjer: hipoteza,

konsekvent) i procesi (na primjer: implikacija, obrat implikacije i kontrapozicija implikacije); (ii) rutinska

upotreba procedura (na primjer: dokazovanje implikacije n22N n2N u Zadatku 1.5, ili njene

kontrapozicije u zadatku 1.6); (iii) prihvatanje dualnosti matematičkih objekata - razumjevanje koncepata i

procesa sa njima (na primjer: implikacija i njena kontrapozicija su logički ekvivalentne, i dovoljno je

dokazati jednu od njih i pozvati se na pomenutu logičku ekvivalentnost).

Zadaci tipa B: (i) Konstruisanje prihvatljivih obrazloženja uz dokaz implikacije n22N n2N i njene

kontrapozicije (n2N) (n22N) u Zadatku 1.5 i Zadatku 1.6;

(ii) Rekonstruisanje komponenata neke argumentacije u logički redoslijed.

(iii) Procjenjivanje da li su u nekom konkretnom slučaju uslovi neke definicije zadovoljeni ili ne. Na

primjer, u svim podzadacima Zadatka 2, potražuje se da student procjene da li konstruisani objekti

zadovoljavaju determinacije potraživanih objekata ili ne (aktivnost B1).

Zadaci tipa C: (i) Konstrukcija primjera i kontraprimjera (na primjer: podzadaci 2.1.-2.6. Zadatka 2

zahtijevaju aktivnosti od studenata koje prepoznajemo kao sposobnosti konstruisanja primjera i

konstruisanja kontraprimjera (aktivnost C2) uz obavezno provjeravanje da li konstruisani objakat

zadovoljava uslove determinacije potraživanih objekata.

(3) Postoje pokazatelji u sagledavanju studentskih umjeća koje ova taksonomija ne registruje, ili

nedovoljno pouzdano registruje. To se naročito odnosi na kategorije B i C.

Elemente matematička umjeća pokrivena kolokvijalnim terminima „Adapritvno zaključivanje‟ i

„Operativna sklonost‟ (Kilpatrick et al, 2001) analiziranjem ovog modela registrujemo sa poteškoćama.

TakoĎe, ova taksonomija nema razvijene skale prepoznavanja i procjenjivanja signifikantnosti za

prepoznavanje aktivnosti kao što su:

- Transformacijom informacija iz jednog u drugi oblik;

- Prepoznavanje neprimjenljivosti neke genetičke formule u nekim kontekstima;

- Sublimiranje informacija u netehničkim terminima za različite potrebe;

- Formulisanje matematičkih argumenata;

- Uočavanje i argumentacija meĎuodnosa komponenata nekog materijala;

- Sposobnost de se uoče i rekonstruišu grešeke u razmišljanju;

- Prepoznaju ograničenja u modelima;

- Prepoznaju ograničenja primjenenih algoritama i izvori pogrešaka;

- Interpretiranje regresivnih modela;

- Sposobnost voĎenja razgovora o signifikantnosti datih primjera ili kontraprimjera;

- Prepoznavanje neodrživih pretpostavki.

- Sposobnost da se uoče ili naprave veze zasnovane na individualnuim ili heurističkim elementima;

- Sposobnost da se prave procjene;

- Sposobnost da se razvrstaju informacije po značajnosti;

- Sposobnost da se koherentno raspravlja o cjelini i o elementima ponaosob nekog algoritma;

- Organizacione vještine;


12

- Kreativnost koja uključuje snalaženje sa objektima i imformacijama prethodno dobijenim,

preureĎenje podataka i informacija u novi niz, i sagledavanje informacija koje nisu očigledno

ponuĎene (prisutne).

(4) Autori ovog teksta su uz dosta poteškoća primjenom MATH taksomomije prepoznavali elemente

afektivnog domena.

Radi sticanja uvida i u afektivni domen studentskih usvojenih umjeća trebalo bi analiziranje modela

kombinovati i drugim taksonomijama. Podsjetimo se da Krathwohl-Bloom-Masieva taksonomija afektivnog

domena (Krathwohl, Bloom and Masia, 1964) opisuje slijedeće kategorijalne ciljeve: (1) Prihvatanje; (2)

Refleksije; (3) Usvajanje vrijednosnih orijentacija (socijalne i socio-matematičke norme (Yackel and Cobb,

1996)); (4) Organizacija vrijednosnih orijentacija; i (5) Primjena vrijednosnih orijentacija.

Radi ilustracije, osvrnimo se na Zadatak 6 u ovom modelu. Kompletno rješenje ovog zadatka potražuje

od studenata aktivnost (Korak 4). Prepoznavanje i isticanje opredjeljenja ‟dokazivanje tvrdnje pozivanjem

na Princip matematičke indukcije‟, koju smo u analizi ovog modela determinisali kao (Korak 4), student

eksponira svoju uvjerenost da dokazivanje neke tvrdnje mora biti provedeno u skladu sa pravilima

dokazivanja i argumentovano na prethodno usvojenim tvrdnjama (u ovom slučaju aksiomi indukcije). Ovo

poslednje prepoznajemo kao primjenu vrijednosne orijentacije.

Zahvala. Autori se zahvaljuju recenzentima na sugestijama koje su znatno podigle kvalitet teksta.

Literatura

[1] Anderson, L. W., Krathwohl, D. R., & Bloom, B. S. (2001). A Taxonomy for Learning, Teaching, and Assessing:

A Revision of Bloom’s Taxonomy of Educational Objectives. Boston, MA: Ally & Bacon.

[2] Bennie, K. (2005). The MATH taxonomy as a tool for analysing course material in Mathematics: A study of its

usefulness and its potential as a tool for curriculum development. African Journal of Research in Mathematics,

Science and Technology Education, 9(2): 81-95.

[3] Bloom, B. S., Engelhart, M. D., Furst, E. J., Hill, W. H., & Krathwohl, D. R. (1965). Taxonomy of Educational

Objectives: Cognitive Domain. New York: McKay.

[4] D‟Souza, S. M., & Wood, L. N. (2003). Designing assessment using the MATH taxonomy. In Mathematics

Education Research: Innovation, Networking, Opportunity. Proceedings of the 26th

Annual Conference of

MERGA Inc., (pp. 294-301). Deakin University, Geelong, Australia

[5] Huntley, B., Engelbrecht, J. and Harding, A. (2009). An assessment component taxonomy for alternative

mathematics assessment formats. In: D. Wessels (Ed.), Proceedings of the 7th

Southern Right Delta Conference

on the Teaching and Learning of Undergraduate Mathematics and Statistics (pp. 117–128). Gordons Bay, South

Africa: International Delta Steering Committee.

[6] Kilpatrick, J., Swafford, J. and B. Findell (2001). Adding it up: helping children learn mathematics. National

Academy Press Washington, DC

[7] Krathwohl, D.R., Bloom, B.S. and Masia, B.B. (1964), Taxonomy of educational objectives, Book II. Affective

domain. New York, NY. David McKay Company, Inc.

[8] Niss, M. (1993). Investigations into assessment in mathematics education. An ICMI study. Dordrecht: Kluwer

Academic Publishers.

[9] Smith, G. H., Wood, L. N., Crawford, K., Coupland, M., Ball, G., & Stephenson, B. (1996). Constructing

mathematical examinations to assess a range of knowledge and skills. International Journal of Mathematical

Education in Science and Technology, 27(1): 65-77.

[10] Webb, N., & Romberg, T.A. (1992). Implications of the NCTM standards for mathematics assessment. In T.A.

Romberg (Ed.), Mathematics Assessment and Evaluation: Imperatives for Mathematics Educators (pp. 37-60).

Albany: State University of New York Press.

[11] Yackel, E. and Cobb, P. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal

for Research in Mathematics Education, 27: 458-477.

Primljeno u redakciju Časopisa: 20.06.2015; Revidirana verzija: 28.07.2015;

Dostupna na Internetu: 01.09.2015.

Documents

Analiziranje matematičkih zadataka korištenjem MATH taksonomije