analogna integrisana elektronika

Analogna integrisana elektronikaAktivni filteri

Prof. dr. Aljo Mujcic

april 2011

Fakultet elektrotehnike Univerziteta u Tuzli

Laboratorij za informacijsko-komunikacijske tehnologije1 / 42

Aktivni filteri

I Filteri predstavljaju elektricne sklopove koji propustaju elektricne signale naodreenoj frekvenciji ili opsegu frekvencija, a blokiraju na ostalim frekvencijama.

I Primjena

I Aktivni filteri za nize frekvencije (induktiviteti)

I RLC filter na visokim frekvencijama



Niskofrekventni (NF) filteri

Slika: Pasivni NF filter prvog reda

I Izlazni napon

Uizl =XC

R + XCUul (1)

I Naponsko pojacanje u s domenu

A(s) =1sC

R + 1sC

=1

RC

s + 1RC

=1

1 + sRC(2)

gdje je s = jω + σ, kompleksna frekvencija. Za sinusne signale je σ=0, sto znacida ce s biti imaginaran broj tj. s = jω.




I Za normaliziranu predstavu prenosne funkcije

S =s

ωc=

jω

ωc= j

f

fc= jΩ (3)

I Granicna frekvencija filtera

fc =1

2πRC(4)

sto znaci da ce S sada postati S = sRC te prenosna funkcija filtera ima slijedecioblik

A(S) =1

1 + S(5)

I Amplitudska karakteristika je

|A(s)| = 1√1 + Ω2

(6)




Slika: Niskofrekventni filter cetvrtog reda sa operacionim pojacavacima

I Kaskadno povezivanje filtera

I Prenosna funkcija

A(s) =1

(1 + α1s)(1 + α2s)...(1 + αns)(7)

I U slucaju da svi filteri imaju istu granicnu frekvenciju fc , koeficijenti αn postaju

α1 = α2 = ... = αn = α =√

n√

2− 1 i fc pojedinih filtera je 1/α puta veci od fccijelog filtera.




Slika: Amplitudska karakteristika NF filtera1. i 4. reda

Slika: Fazna karakteristika NF filtera 1. i 4.reda




Pri projektovanju, s ciljem dobijanja idealnog filtera, potrebno je ispuniti slijedecekriterije

I razlika izmeu propusnog i nepropusnog dijela mora biti sto veca tj. potrebno jeizolovati zeljenu od susjedne frekvencije i imati sto ostriji prijelaz iz propusnog unepropusni dio,

I dio krive u propusnom dijelu mora biti sto ravniji i

I fazni odziv mora biti linearan

I Predstavljanje prenosne funkcije:

A(S) =A0

(1 + a1s + b1s2)(1 + a2s + b2s2)...(1 + ans + bns2)=

A0∏i

(1 + ais + bis2)

(8)Prenosna funkcija predstavlja kaskadnu vezu niskofrekventnih filtera drugogreda, gdje su ai i bi pozitivni realni koeficijenti. Ovi koeficijenti odreuju poloveza svaki pojedinacni stepen drugog reda, a samim time i ponasanje njegoveprenosne funkcije.




Tri tipa koeficijenata filtera koji ispunjavaju navedene kriterije i to:

I Butterworthovi koeficijenti, gdje se vrsi optimizacija koeficijenata za postizanjeravne karakteristike u propusnom podrucju;

I Tschebyscheffevi koeficijenti, gdje se optimizacijom postize sto brzi prelaz izpropusnog u neporpusni opseg;

I Besselovi koefcijenti, cime se vrsi postizanje linearnije faze do frekvencije fc




I Koeficijenti filtera su daju tabelarno

I Proracun vrijednosti elemenata filtera

Slika: Usporedba amplitudnih karakteristika pojedinih izvedbi filtera



Niskofrekventni (NF) filteri prvog reda

I Opsti oblik prenosne funkcije filtera prvog reda

A(s) =A0

1 + a1s(9)

I Dobije tako sto se u izraz za kaskadnu vezu NF filtera drugog reda uvrsti b1 = 0I Analizirat cemo dvije izvedbe filtera prvog reda i to

I Filterski stepen u neinvertujucem spojuI Filterski stepen u invertujucem spoju



Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaFilterski stepen u neinvertujucem spoju

Slika: NF filter prvog reda u neinvertujucem spoju

I Napon U1 iznosi

U1 =

1SωcC1

R1 + 1SωcC1

Uul (10)

I Izlazni napon je

Uizl = (1 +R2

R3)V1 = (1 +

R2

R3)

1

1 + SωcC1R1Uul (11)



Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaFilterski stepen u neinvertujucem spoju

I A(s) iznosi

A(s) =Uizl

Uul=

1 + R2R3

1 + SωcC1R1(12)

I Usporedbom sa opstim oblikom prenosne funkcije NF filtera prvog reda mozemopisati

A0 = 1 +R2

R3(13)

I Koeficijent filtera a1 iznosia1 = ωcC1R1 (14)

I Pri poznatoj granicnoj frekvenciji fc , pojacanju A0 i vrijednosti kapaciteta C1,mozemo odrediti vrijednosti otpornika R1 i R2

R1 =a1

2πfcC1(15)

iR2 = R3(A0 − 1) (16)

I a1 se uzima iz tabele



Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaFilterski stepen u invertujucem spoju

Slika: NF filter prvog reda u invertujucem spoju

I Struja koja protice kroz otpornik R1 i paralelnu vezu R2 i C iznosi

I =Uul

R1(17)

I Izlazni napon

Uizl = −IR2

1SωcC

R2 + 1SωcC

=−Uul

R1

R21

SωcC

R2 + 1SωcC

(18)



Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaFilterski stepen u invertujucem spoju

I Prenosna funkcija filtera

A(S) =

−R2

sωcC1

R2+1

sωcC1

R1=

−R2R1

1 + SωcR2C1(19)

I Pojacanje istosmjerne komponente A0

A0 = −R2

R1(20)

I Kod invertujuceg spoja dolazi do promjene faznog stavaI Koeficijent filtera a1 iznosi

a1 = ωcR2C1 (21)

I Ukoliko poznajemo a1 i C1, a zelimo projektovati filter sa pojacanjem A0 igranicnom frekvencijom fc , tada na osnovu ovih parametara odreujemovrijednosti otpornika

R2 =a1

2πfcC1(22)

i

R1 = −R2

A0(23)



Niskofrekventni (NF) filteriFilteri drugog reda

I Opsta prenosna funkcija ima slijedeci oblik

A(s) =A0

1 + a1s + b1s2(24)

I Koriste se dvije topologije i toI Sallen-Key topologijaI Topologija NF filtera sa visestrukom povratnom vezom



Niskofrekventni (NF) filteriFilteri drugog reda - Sallen-Key topologija

Slika: Sallen-Key NF filter drugog reda



Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaNF filteri drugog reda - Sallen-Key topologija

Slika: Sallen-Key NF filter drugog reda

Uul = R1I1 + XC2 I3 + Uiz (25)

Uul = R1I1 + (R2 + XC1 )I2 (26)

I3 = I1 − I2 (27)

I2 =

R3R3+R4

Vizl

XC1(28)



Niskofrekventni (NF) filteriFilteri drugog reda - Sallen-Key topologija

Kao konacni izraz dobijamo prenosnu funkciju niskofrekventnih filtera Sallen-Keytopologije

A(s) =A0

1 + ωc [C1(R1 + R2) + (1−A0)R1C2]S + ωc2R1R2C1C2S2

(29)

Poreenjem A(s) sa opstim oblikom prenosne funkcije NF filtera drugog redazakljucujemo da koeficijenti filtera a1 i b1 imaju vrijednosti

a1 = ωc [C1(R1 + R2) + (1−A0)R1C2] (30)

b1 = ω2cR1R2C1C2 (31)



Niskofrekventni (NF) filteriFilteri drugog reda - Sallen-Key topologijaKada je pojacanje A0 = 1 tada je potrebno otpore R3 i R4 kratko spojiti.

Slika: Sallen-Key NF filter sa pojacanjem A0 = 1

Prenosnu funkciju novodobijenog filtera je:

A(s) =1

1 + ωcC1(R1 + R2)S + ωc2R1R2C1C2S2

(32)

Koeficijenti filtera se takoe mijenjaju i iznose

a1 = ωcC1(R1 + R2) (33)

b1 = ωc2R1R2C1C2 (34)



Niskofrekventni (NF) filteriFilteri drugog reda - Topologija NF filtera sa visestrukompovratnom vezom

Slika: NF filter sa visestrukom povratnom vezom



Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaNF filteri drugog reda - Topologija NF filtera sa visestrukompovratnom vezom

Slika: NF filter sa visestrukom povratnom vezom i oznacenim strujama u kolu

Uul = R1I1 + XC2 I2 (35)

Uul = R1I1 + R3I3 (36)

Uul = R1I1 + R2I4 + Uizl (37)

I1 = I2 + I3 + I4 (38)



Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaNF filteri drugog reda - Topologija NF filtera sa visestrukompovratnom vezom

Prenosna funkcija topologije NF filtera sa visestrukom povratnom vezom ima oblik

A(s) =−R2

R1

1 + ωcC1(R2 + R3 + R3R2R1

)S + ωc2C1C2R3R2S2

(39)

Odnos −R2/R1 predstavlja pojacanje istosmjerne komponente A0

A0 =−R2

R1(40)

a koeficijenti a1 i b1 su ocigledno

a1 = ωcC1(R2 + R3 +R3R2

R1) (41)

b1 = ωc2C1C2R3R2 (42)



Niskofrekventni filteri viseg reda

I Koristimo kada zelimo istaknuti neku od karakteristika filtera npr. brzi prijelaziz propusnog u nepropusni opseg.

I Kaskadno se povezuju filteri prvog i drugog reda

I Optimizirani frkeventni odziv cjelokupnog filtera



Visokofrekventni (VF) filteri

Slika: Karakteristike VF i NF filtera




Slika: Pasivni VF filter prvog reda

I U usporedbi sa elementarnim NF filterom dolazi do zmjene mjesta kondenzatorai otpornika te se moze pisati

Ω→ 1

Ω(43)

S → 1

S. (44)

I Granicna frekvencija VF filtera je

f =1

2πτ=

1

2πRC(45)




Slika: Odreivanje granicne frekvencije VF filtera

I Kao i kod NF filtera normalizovana predstava prenosne funkcije, S ima

S =s

ωc= j

ω

ωc= j

f

fc= jΩ (46)

gdje je ωc odnosno fc donja granicna frekvencija filtera.I Apsolutna vrijednost prenosne funkcije daje amplitudsku karakteristiku filtera:

|A| = 1√1 + Ω2

(47)




Slika: VF filter cetvrtog reda

I Prenosna funkcija u slucaju filtera cetvrtog reda glasi

A(s) =A0

[1 + a1s

+ b1s2

][1 + a2s

+ b2s2

][1 + a3s

+ b3s2

][1 + a4s

+ b4s2

](48)

gdje je A0 pojacanje istosmjerne komponenete ulaznog signala.I Prenosna funkcija A(s) u opstem slucaju glasi:

A(s) =A0∏

i [1 + ais

+ bis2

](49)

I Ukoliko je koeficijent b = 0, prenosna funkcija ima oblik

A(s) =A0

[1 + a1s

](50)




Slika: Koeficijenti VF filtera



Visokofrekventni filteri prvog reda

I Prenosna funkcija VF filtera 1. reda ima oblik:

A(s) =A0

1 + a1s

(51)

I Visokofrekventni filteri prvog reda realizirani primjenom operacionih pojacavacamogu imati konfiguracije u invertujucem i u neinvertujucem spoju.



Visokofrekventni filteri prvog redaFilter sa operacionim pojacavacem u neinvertujucem spoju

Slika: VF filter prvog reda u neinvertujucem spoju

Napon U1 iznosi

U1 =R1Uul

R1 + 1SωcC

(52)

Ulazni napon se moze izraziti u obliku

Uul =U1

(R1 + 1

SωcC

)R1

(53)



Visokofrekventni filteri prvog redaFilter sa operacionim pojacavacem u neinvertujucem spojuIzlazni napon

Uizl =

(1 +

R2

R3

)U1 (54)

Prenosna funkcija predstavlja odnos izlaznog i ulaznog napona

A(s) =Uizl

Uul= (1 +

R2

R3)

U1

U1(R1 + 1(SωcC)

)/R1

(55)

odnosno

A(s) =1 + R2

R3

(1 + 1R1SωcC)

(56)

Ukoliko dobijenu prenosnu funkciju ovog stepena uporedimo sa opstom prenosnomfunkcijom, pojacanje istosmjerne komponente napona u ovom slucaju iznosi

A0 = 1 +R2

R3(57)

a koeficijenti

a1 =1

R1Cωc, (58)

ib1 = 0 (59)



Visokofrekventni filteri prvog redaFilter sa operacionim pojacavacem u invertujucem spoju

Slika: VF filter prvog reda u invertujucem spoju

Ulazni napon iznosi

Uul = I

(1

sωcC1+ R1

). (60)



Visokofrekventni filteri prvog redaFilter sa operacionim pojacavacem u invertujucem spojuIzlazni napon predstavlja pad napona na otporniku R2

Uizl = −IR2 (61)

Prenosna funkcija filtera je odnos izlaznog i ulaznog napona

A(s) =Uiz

Uul=

−IR2

I 1sωcC1

+ R1

=−R2

1sωcC1

+ R1

(62)

odnsno

A(s) =−R2

R1

1 + 1R1C1ωcS

(63)

Pojacanje istosmjerne komponente je

A0 = −−R2

R1(64)

a vrijednost koeficijenata

a1 =1

R1ωcC1(65)

ib1 = 0. (66)



Visokofrekventni filteri prvog redaFilter sa operacionim pojacavacem u invertujucem spoju

I Vrsi obrtanje faze signala ulaza na izlaz.

I Ukoliko poznajemo granicnu frekvenciju fc vrijednost kapaciteta C , te A0

vrijednosti otpora koji odgovaraju za ovaj filter su sljedeci

R1 =1

2πfca1C(67)

iR2 = −R1A0. (68)



Visokofrekventni filteri drugog reda

Visokofrekventni filteri drugog reda ce analizirani za sljedece dvije topologije

I Sallen Key Topologiju i

I toplogiju sa visestrukim povratnim vezama.

Prenosna funkcija VF filtera drugog reda ima oblik:

A(s) =A0

1 + a1s

+ b1s2

(69)



Visokofrekventni filteri drugog reda - Sallen Key Topologija

Slika: VF filter drugog reda u invertujucem spoju sa Sallen Key topologijom



Visokofrekventni filteri drugog reda - Sallen Key Topologija

A(s) =Uiz

Uul=

1k

1 + R2(C1+C2)+R1C2(1−k))ωcR1R2C1C2

1s

+ 1ω2c R1R2C1C2

1s2

(70)

Jedinicno pojacanje se dobija kada R4 → 0 i R3 →∞. Sema dobijenog kola jeprikazana na slici.

Slika: VF filter drugog reda u invertujucem spoju sa Sallen Key topologijom i jedinicnimpojacanjem



Visokofrekventni filteri drugog reda - Sallen Key TopologijaDa bi se pojednostavilo projektovanje obicno se koristi jedinicno pojacanje iC1 = C2 = C . Prenosna funkcija sada glasi

A(s) =1

1 + 2ωcR1C

1s

+ 1ω2c R1R2C2

1s2

(71)

Koeficijenti filtera sada iznose

A∞ = 1 (72)

a1 =2

ωcR1C(73)

b1 =1

ω2cR1R2C 2

. (74)

Ako poznajemo vrijednosti kapaciteta C, vrijednosti otpora mozemo odreditisljedecim relacijama

R1 =1

πfcCa1(75)

R2 =a1

4πfcCb1. (76)



Visokofrekventni filteri drugog reda - Topologija sa visestrukimpovratnim vezama

Slika: VF filter drugog reda sa topologijom visestruke povratne veze



Visokofrekventni filteri drugog reda - Topologija sa visestrukimpovratnim vezama

Zamjenom dobijenih vrijednosti struja dobija se

Uul

XC− Uizl

R1= −XCUizl

R1R2− Uizl

R1− XCUizl

XC2R1− Uizl

XC2

(77)

odnosno

Uul

XC= Uizl

(1

R1− XC

R1R2− 1

R1− XC

R1− 1

XC2

)= Uizl

(− XC

R1R2− XC

XC2R1− 1

XC2

)(78)

Uizl

Uizl= − 1

X2C

R1R2+

X2C

XC2R1

+ XCXC2

(79)

Smjenom Xc = 1ωcsC

prenosna funkcija dobija oblik

A(s) =− C

C2

1 + 2C2+CωcR1C2C

1s

+ 1ω2c R2R1C2C

1s2

(80)



Literatura

T. E. Price,Analog Electronics,Prentice Hall, 1997.

T. Brodic,Analogna integrisana elektronika,Svjetlost, Sarajevo, 1989.

A.S. Sedra, K.C. Smith,Microelectronic Circuits, 4th ed.,Oxford University Press 1998.

P. R. Gray, P. J. Hurst, S. H. Lewis, R. G. Meyer,Analysis and Design of Analog Integrated Circuits,,John Wiley & Sons, 2001.

P.Biljanovic,Elektronicki sklopovi,Skolska knjiga, Zagreb, 1995.



Documents

analogna integrisana elektronika