การวเคราะหความแปรปรวน (Analysis of Variance)

การวเคราะหความแปรปรวนใชส าหรบทดสอบความแตกตางระหวางคาเฉลยของกลมตวอยางตงแต 3 กลมขนไป (ใชส าหรบกลมตวอยาง 2 กลมกได แตกลมตวอยาง 2 กลม ใช t-test สะดวกกวา) เหตทไมใช t-test กบกลมตวอยางตงแต 3 กลม ขนไป เนองจากใช t-test ทดสอบไดทละคเทานน ถามกลมตวอยางมากกวา 2 กลม ตองท า t-test หลายครง เชน ถามกลมตวอยาง 3 กลม แลวทดสอบดวย t-test จะตองท า t-test ถง 3 ครง คอ เปรยบเทยบกลม 1 กบ กลม 2 , กลม 1 กบ กลม 3 และ กลม 2 กบ กลม 3 ซงเสยเวลามาก และท าใหมความคลาดเคลอนแบบท 1 เพมขน กลาวคอ ความนาจะเปนทจะไดผลการทดสอบแตกตางกนอยางมนยส าคญโดยความบงเอญมมากขน เพอขจดปญหาดงทกลาวมาน จงจ าเปนตองใชการวเคราะหความแปรปรวน ซงสามารถท าการทดสอบความแตกตางระหวางคาเฉลยของกลมตวอยางไดทละหลายกลมในครงเดยวกน

การทดสอบคาเฉลยมากกวา 2 คาขนไปจงใชเทคนคการวเคราะหความแปรปรวน ซงเรยกยอ ๆ วา แอนโนวา (ANOVA)

1. ความเขาใจพนฐานเกยวกบการวเคราะหความแปรปรวน 1) ในการเปรยบเทยบคาเฉลยระหวางกลมหลาย ๆ กลม จะมความแปรปรวนทตองค านวณอย

2 ตว คอ ความแปรปรวนระหวางกลม และความแปรปรวนภายในกลม ก. ความแปรปรวนระหวางกลม (Between-groups variance) แสดงขนาดของความ

แตกตางระหวางคาเฉลยของกลมตาง ๆ ถาระหวางกลมมคาเฉลยแตกตางกนมาก คาความแปรปรวนระหวางกลมจะมคามากดวย

ข. ความแปรปรวนภายในกลม (Within-groups variance) แสดงการกระจายของคะแนนแตละตวภายในแตละกลมวามการกระจายมากหรอนอย คาทค านวณไดเรยกวาความคลาดเคลอน

2) สตรทใชในการทดสอบคอ F-ratio โดยเอาความแปรปรวนระหวางกลมเปนตวตงหารดวยความแปรปรวนภายในกลม แลวเปรยบเทยบคา F ทค านวณไดกบคา F ในตารางคาวกฤต F (Critical values of F) เพอสรปผลการวเคราะหขอมล

2. ขอตกลงเบองตนในการวเคราะหความแปรปรวน 1) ขอมลทจะน ามาวเคราะหตองอยในมาตราอนตรภาคหรออตราสวน 2) กลมตวอยางแตละกลมตองสมมาจากประชากรทมการแจกแจงเปนโคงปกต 3) กลมตวอยางแตละกลมตองเปนอสระจากกน 4) กลมตวอยางแตละกลมตองไดมาจากประชากรทมความแปรปรวนเทากน

3. ผลบวกของคะแนนเบยงเบนยกก าลงสอง (The sum of squares) ในการวเคราะหความแปรปรวน ตองหา sum of squares ทงหมด 3 ตว คอ

1) Total sum of squares ( ) ซงน าไปใชหาความแปรปรวนรวม

(Mean square total: MST)

2) Sum of squares between-groups ( ) ซงน าไปใชหาความแปรปรวนระหวางกลม

(Mean square between-groups: MSB)

3) Sum of squares within-groups ( ) ซงน าไปใชหาความแปรปรวนภายในกลม

(Mean square within-groups: MSW)

4. การวเคราะหความแปรปรวนแบบทางเดยว (One-way analysis of variance) หรอ การวเคราะหความแปรปรวนแบบม 1 ตวประกอบ

การวเคราะหความแปรปรวนแบบทางเดยว เปนการวเคราะหเพอตรวจสอบวา ตวแปรอสระ 1 ตว ซงแบงออกเปน k ประเภท จะใหผลตอตวแปรตามแตกตางกนหรอไม โดยมกลมตวอยาง k กลมซงจ านวนสมาชกในแตละกลมควรจะเทากนหรอใกลเคยงกน เชน ตองการเปรยบเทยบวธการจดการเรยนร 3 วธ วาจะสงผลใหผลการเรยนรของผเรยนในแตละวธ แตกตางกนหรอไม

ก. ลกษณะขอมลทใชในการวเคราะหความแปรปรวนแบบทางเดยว

ตาราง 1 แสดงขอมลของกลมตวอยาง k กลม ทเปนผลจากตวแปรอสระ 1 ตว แบงเปน k ประเภท กลม 1 กลม 2 กลม 3 … กลม j … กลม k

แทน ขอมลตวท 1 ใน กลมท 1 แทน ผลรวมขอมลทง n ตว ในกลมท 1 แทน ขอมลตวท 2 ใน กลมท 1 แทน ผลรวมขอมลทง n ตว ในกลมท 2

แทน ขอมลตวท i ใน กลมท j แทน ผลรวมขอมลทง n ตว ในกลมท 3 แทน ขอมลตวสดทายในกลมท 3 แทน ผลรวมขอมลทง n ตว ในกลมท j

ตาราง 2 ตวอยางคะแนน 3 กลม ทเปนผลจากตวแปรอสระ 1 ตว คอวธสอน ซงแบงเปน 3 แบบ

, และ เปนจ านวนขอมลในกลมท 1, กลมท 2 และ กลมท 3 ตามล าดบ

ข. สตรการทดสอบ

เมอ F แทน คาสถตเอฟ

แทน ความแปรปรวนระหวางกลม (Mean square between-groups)

แทน ความแปรปรวนภายในกลม (Mean square within-groups)

หา และ ไดจากสตรในตาราง 3

กลม 1 ( = 9) กลม 2 ( = 11) กลม 3 ( = 10) 7 6

15 8

15 6

12 8

16

11 12 9 7

17 12 19 11 13 8

10

17 6

18 14 16 8 7

15 9

11

93 129 121

ตาราง 3 แสดงสตรการวเคราะหความแปรปรวนแบบทางเดยว (มตวแปรอสระ 1 ตว)

Source of variation

df Sum of square

(SS) Mean square

(MS) F

Between-groups

Within-groups

Total -

เมอ F แทน คาสถตเอฟ แทน ความแปรปรวนระหวางกลม (Mean square between-groups) แทน ความแปรปรวนภายในกลม (Mean square within-groups)

แทน ผลบวกของคะแนนเบยงเบนยกก าลงสองระหวางกลม (Sum of squares between groups)

แทน ผลบวกของคะแนนเบยงเบนยกก าลงสองภายในกลม (Sum of squares within groups)

แทน ผลบวกของคะแนนเบยงเบนยกก าลงสองทงหมด (Total Sum of squares)

แทน จ านวนขอมลในแตละกลมตวอยาง k แทน จ านวนกลมตวอยาง N แทน จ านวนขอมลทงหมด

แทน ผลรวมของคะแนนในแตละกลมตวอยาง T แทน ผลรวมของคะแนนทงหมด

แทน ผลรวมทงหมดของคะแนนแตละตวยกก าลงสอง

ค. ตวอยางขนตอนการทดสอบ (ใชตวอยางขอมลในตาราง 2) 1) ตงสมมตฐาน

อยางนอยทสดมคาเฉลยของกลมตวอยาง 2 กลมไมเทากน 2) ก าหนดระดบนยส าคญทางสถต : α = 0.05 3) ค านวณคาสถต F จากสตร

ตวอยาง : น าขอมลจากตาราง 2 มาค านวณตามสตรในตาราง 3 ดงแสดงในตาราง 4

ตาราง 4 แสดงตวอยางการจดกระท าขอมลตามสตรในตาราง 3

N = 9 + 11 + 10 = 30 T = 93 + 129 + 121 = 343 = 117649

=

= = 961 + 1512.818 + 1464.1 – 3921.633 = 16.285

- = = 4383 3921.633 = 461.367

= 461.367 16.285 = 445.082

= = 8.1425 = = 16.4845

= = 0.4939

กลม 1 ( = 9) กลม 2 ( = 11) กลม 3 ( = 10)

7 6

15 8

15 6

12 8

16

49 36

225 64

225 36

144 64

256

11 12 9 7

17 12 19 11 13 8

10

121 144 81 49

289 144 361 121 169 64

100

17 6

18 14 16 8 7

15 9

11

289 36

324 196 256 64 49

225 81

121

= 93 = 1099 = 129 = 1643 = 121 = 1641 = 8649 =16641 =14641

4) เปดตารางคาวกฤต F (Critical values of F) df ของตวเศษ คอ df ของ และ df ของตวสวน คอ df ของ

ตามสตรในตาราง 3 df ของ คอ k – 1 = 3 – 1 = 2 = df1

df ของ คอ N – k = 30 – 3 = 27 = df2

df ของตวเศษ คอคา df1 ตามแนวนอนในตารางคาวกฤต F (ตารางคาวกฤต F มแนบทายหนงสอสถตฯ) df ของตวสวน คอคา df2 ตามแนวตงในตารางคาวกฤต F

df1 (degrees of freedom ของตวเศษ) DEGREES OF FREEDOM FOR NUMERATOR

1 2 … 30 … 500 ∞

df 2 (de

grees

of fre

edom

ของตวส

วน)

DEGR

EES

OF F

REED

OM F

OR D

ENOM

INAT

OR

1 161 200 250 254 254

4052 4999 6258 6361 6366 . . .

27 4.21 3.35 1.94 1.74 1.73 7.68 5.49 2.58 2.23 2.21

.

.

.

∞ 3.84 2.99 1.46 1.11 1.00 6.64 4.60 1.69 1.15 1.00

ในแถวคแตละค แถวบนเปนคาวกฤต F ท α = 0.05 แถวลางเปนคาวกฤต F ท α = 0.01

ท df1=2 พบ df2 = 27 นน แสดงคาวกฤต F = 3.35 ท α = 0.05 และคาวกฤต F= 5.49 ท α = 0.01

น าคา F ทค านวณไดในขอ 3 คอ F = 0.49 มาเปรยบเทยบกบคาวกฤต F = 3.35 ท α = 0.05 พบวา คา F ทค านวณได < คาวกฤต F ดงนน จงยอมรบ เสนอผลการวเคราะหดวยตารางไดดงน

แหลงความแปรปรวน df SS MS F

ระหวางกลม 2 16.285 8.1425 0.49

ภายในกลม 27 445.082 16.4845

รวมทงหมด 29 461.367

F.05 (2, 27) = 3.35 สรปไดวา วธสอนทง 3 แบบใหผลแตกตางกนอยางไมมนยส าคญทางสถต หรอกลาว

อกอยางหนงวา วธสอนทง 3 แบบใหผลไมแตกตางกน

ในกรณท คา F จากการค านวณ คาวกฤต F จะเปนการปฏเสธ ยอมรบ

(Reject Accept ) แสดงวา มคาเฉลยอยางนอย 1 ค แตกตางกนอยางมนยส าคญทางสถต ณ ระดบ α ทก าหนด ตองท าการทดสอบตอไปวาคาเฉลยคใดบางทแตกตางกน และแตกตางกนอยางไร โดยใชการเปรยบเทยบพหคณ (Multiple comparison test) ตามวธของเชฟเฟ (Scheffe’s method) การทดสอบ HSD ของทกย (Tukey’s HSD test) หรอ วธของนวแมนคลส (Newman Keuls method) ซงเปน “post hoc” หมายถง วธการทตามมาหลงการวเคราะหความแปรปรวน

ทมา : http://www.krupai.net/stat/stat.htm