OBSAH

SoUŘADNIcE

1.1 Sou adnice v rovině

1.2 Sou adnice v prostoru

1.3 Vzdalenost bodri

l.4 St ed rlsečky

5

5

6

7

8

2

2.r2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

VEKTORY

orientovarré risďkyCo je vekf,or

Sčítání vektorri

Násobení vektoru číslem

Posunutí soustavy soďadnicSkďární součin vektorťr, velikost vektoru

otočení kartezské soustavy sou adnic

Pravotočivá a levotočivá báne '

Vektorov součin a smíšen součin

10

10

10

),2

13

16

t721,

22

22

Publikace byla p ipravena ve spolupráci s JČMF.Zpracoval PhDr. Ivan Bušek.Lektorovali doc. RNDr. Leo Boček, CSc., RNDr. Ji í Dittricha RNDr. Václav S kora, CSc.Revizi v sledkri provedl RNDr. Jind ich Teller.

1. vydání

@ Ivan Bušek, 1996

ISBN 80-7196-055-1

3 GEoMETRIE V RovINĚ

3.1 Parametrické vyjád ení p ímky

3.z Yzájemnápoloha p ímek dan; ch parametrick; mi rovnicemi

3.3 obecná rovnice p ímky

3.4 Řešení riloh v rovině

3.5 Směrnicov1 a írsekov; tvar rovnice p ímky

24

24

26

28

30

33

GEOMETRIE V PROSTORU

4.I Parametrické vyjád ení p ímky4.2 Paramatrické vyjád ení roviny4.3 obecná rovnice roviny4.4 Polohové rilohy v prostoru4.5 Metrické rilohy .

5 KUŽELoSEČKYA KULoVÁ PLoCHA

35

35

3638

3943

5.1

5.2

5.35.4

5.5b.o

5.7

KružniceKružnice a p ímkaElipsa i........Druhá definice elipsyParabolaHyperbolaKulová plocha

VÝSLEDKY Út'oH

STRUČNÝ PŘEHLED PoUŽITÉ SYMBOLIKY

47

4748

51

53

54

58

60

63

74

1 SoUŘADNICE

1.L Soďadnice v rovině

!.1 Zvo|tekartézskou soustavu sou adnic azobrazte v ní body:

a) Á[1,2J, BÍ5,-3], c[ _2,+), D|-4;L,5lb) Á[0,3], B[3,0], c[0,_2], D[0'0]

L.2 Y kartézské soustavě sou adnic v rovině zakreslete množinu všech bodri,

pro jejichž sou adnice x, g p|atia)reR,U=0 b) r=0,9 R

c) rž0,U=0 d)r=0,9Š0

1.3 V kartézské soustavě sou adnic v rovině zakreslete množinu všech bodri,

pro jejichž sou adnice t, y plati

")0= n!5,y-0 b)r:1,Y23

"j"éR, yŠ 2 d) -3s rŠ0, lŠyía

l.4 Y kafiézské soustavě sou adnic v rovině vyznačte šrafováním množinu

všech bodri, pro jejichž sou adnice r, g p|atía) u22, y2Oc)-1 Šfi13,y=)

b)-2=x14,yžId)re (0,3), y (-1,-3)

1.5 Zapište podmínky pro sou adnice všech bodri, které leží

a) v I. kvadrantu,b) ve IV. kvadrantu,c) na ose I. a III. kvadrantu,d) na p ímce rovnoběžné s osou x a ptocházející bodem M|3,2)'

1.6 Jsou dány body A|_2,4l, B|g,4|. Zapište podmínky pro sou adnice

všech bodria) risečky ÁB,b) polop ímky BA,c) polop ímky AB bez počátečního bodu,d) p ímky ÁB.

1.7 Jsou dány body A[L,I1, B[3,1], CI3,2], D[I,2]. Zapište podmínkypro sou adnice všech bodria) obdélníku ABCD,b) obdélníku ABCD s v jimkou strany áB,c) risečky BC bez krajního bodu B,d) rovinného pásu s hraničními p ímkami AD, BC.

I-.2 Sou adnice v prostoru

1.8 Ve volném rovnoběžném promítání zakreslete kartézskou soustavusou adnic oxgz. V ní zakreslete body AÍ2,3,4], B|3,0,0], C[0,3,0],D[0,0, 3], E[3,2,0].

1.9 V kartézské soustavě sou adnic oxyz zakreslete krychliABCDEFGIy', pro kterou platí á[0,3,0], B[3,3,0]' c[3,0,0]. Za-pište sou adnice ostatních vrcholri krychle.

1.10 v kartézské soustavě sou adnic oryz zakreslete krychliABCDEFGH, pro kterou platí,4[0,6,0], .8[6,6,0l, CÍ6,0,0]. Roz-hodněte, které z bodri K[6,6,3], L|3,6,6], MI2,6,1], l'r[1,3,2],P[0, 1,3], R[1, 1,6], s[6' 6, _3] leží na povrchu krychle.

1.11 Ve volném rovnoběžném promítání zakreslete kartézskou sousta-vu sou adnic oryz' V ní zakreslete body AÍ3,2,_4), B|3,_2,_4],c[-3,2, -4], D[-3, -2, -47, El3, -2,4].

1.12 Určete sou adnice vrcholri krychle, která je obrazem krychle danév riloze 1.9 v rovinové souměrnosti s rovinou souměrnosti ÁBC.

l.13 Určete sou adnice vrcholri krychle, která je obrazem krychle danév i|oze 1.9 ve st edové souměrnosti se st edem v počátku soustavysou adnic.

1.14 Určete sou adnice vrcholri krychle, která je obrazem krychle danév írloze L.9, v osové souměrnosti s osou iD.

1.15 V kartézské soustavě sou adnic oryz zakteslete pravideln čty bok;.ijehlan ABC DV , pro kter;i platí ,4[0, 4,0], B[4,4,0), DI0,0, 0] a jehožv ška je 5. Zapište sou adnice hlavního vrcholu I/.

1.16 Určete sou adnice vrcholri jehlanu, kter je obrazem jehlanu danéhov riloze 1.15, v rovinové souměrnosti s rovinou souměrnosti rz.

6

l.17 Určete sou adnice vrcholri jehlanu, kter je obrazem jehlanu daného

'v '6loze 1.15, ve st edové souměrnosti se st edem I/.

1.1E Určete sou adnice vrcholri jehlanu, kter je obrazem jehlanu danéhov iloze 1.15, ve st edové souměrnosti se st edem Á.

1.19 Určete sou adnice vrcholri jehlanu, kter je obrazem jehlanu danéhov riloze 1.15, v osové souměrnosti s osou

''.l.20 Jsou dány body A|I,2,3], B[_3,4,0], C[0,0, 5], D|O, _2,I],

,E[0, _3,0], .F'[0,0; 0,5], G[3,0, 3], HI2,2,2]' Zjistěte, zda dané body|ežinasou adnicov; ch osách. Pokud ano, určete na kter ch osách leží.

1.2I Zjistěte, které z bodri dan; ch v '6|oze I.20 rcleží na sou adnicov;íchosách a p itom Ieží v sou adnicov1 ch rovinách. Určete v kter1 ch rovi-nách leži.

1.3 Vzdálenost bodri

L.22 Yypočítejte vzdálenost bodri á, B, jeJi dáno:

1.23 Určete, kter z bodri Á[0, 3], B|_2,2], C|_7,3] má největší vzdále-nost od bodu M[1, -2].

l.24Yypočítejte vzdálenost bodri M, N,je-li dáno:

a) M[-6, -3,2], N[5, -1, -8] b) MI4, -1, -31, N[l, -5, 9]

a) A|l,_2], 8Í4,21c) Á[0,_1]' B[_1'3].) Alž,_2], B[1,-3]

c) Ml-3,2,5], I/[6, -1,5].) Ml+, -1,3], N[2, 1, -3]

b) ,4[5, -8], B[-7, -3]d) Al-4,21, Bl-3,-51f) Á[_ i,z], B [o,r; r,z]

d) Ml\, 4, -91, N[-2, 3, -4]Í) Mlr,*,_il, l/[_0,4; 0,3; 0,1]

1.25 Určete, kter z bodri ,4[3, _1,6], B[4,4,_IO], C|5\/r,1,3] má nej-menší vzdálenost od bodu M[0, _1, _3].

1.26 Na ose a určete bod tak, aby jeho vzdálenost od bodu Á[_2,8]byla 10.

1.27 Určete číslo r tak, aby platilo |Aa1: 4'a) Alr * 1,r - 21, Bl2,-31, d-4b) A12," - 51, B[4, -3], a = {I3

1.28 Určete číslo rrr. tak, aby platilo |AB| = d:

a) Alrn;-4,51, Bl2,m,íl, d,:3rtb) A|rn + 1, _4, _3], BÍz,m _ 3, _L], a : 2\/6c) Á[-1, t,ml, B[_4,m,0f, d: \E,d) Al2m - 2,2, 11, Bl2,nx + 5, -11, d = 2\/26

l'.29 Vypočítejte délky stran trojírhelníku ABC a rozhodněte, zda je pra-vorihl , je-li dáno:a) .4[_1,1j, B[3,1), CÍ-L,4lb) Al2,3l, B[5,4], C[5,-1]c) á[3,I], B|4,_l1, C|5,2)d) Á[1' 2, _3], BI4, _2, -3], c[1,3, _5]

e) Á[0, 1, _3], Bl_2, _1, 3], C[_2, _L, _3]

f) Á[3' z,Ll, B|5,4,1], c[3,2, _3]

1.30 Určete číslo s tak, aby vzdálenost |AB|by|a nejmenší:

a) A[5,3,_2], Bl'_3,s _ I,4) b) AÍ4,s * 5, _7], BL3,2,_6]c) Á[s,-1,3], B[I,s_2,_5) d),a[s -1,7,1], B[1,s*3,-1]

l.31 Na ose r najděte bod tak, aby měl od bodri Á[_3,2,2], B|2,1,_21stejnou vzdálenost.

1.32 Na ose 3r najděte bod tak, aby měl od bodu Á[0, -5,8] dvakrát většívzdálenost než od bodu B[3, -3' 0].

1.33 Jsou dány body AÍ2,_5,_41, 8Í_6,0,2]. Na ose z najdětebod' Ztak, aby platilo lAZl = ilBZl.

l'.4 St ed usečky

1.34 Vypočítejte sou adnice st edu ^9

risečky ÁB, jestliže platí:

a) Al-4,31, B[0, -1]c) Al-2,41, B[-3, -9].) AÍ+, $], a1o,s;-o,01

b) AÍ_7,_31, BÍ2,5]d) Á[_ s, }], a[s' |]t) Al\/2,,f1 a[rt,-5l5]

1.35 Vypočítejte sou adnice st edu S risečky AB, jestliže platí:a) A[3,-4,-l], B[-3,8, -5Jb) AÍ-2,0, -7], 8Í_2,4,7].) Alr, i, -il, Bl - t, 1, -tld) Á[0,4; 0,25;_0,5], BlI,_z,_tr]e) A[ll,_1+'3Í] , 8|2,6, _2,5, -0,15]Í) A|\/Ž,,/Ž + t/5, #] at _,/r,'/, _

^/5, #)

1.36 Ve st edové souměrnosti je obrazem bodu á[ _ +,g,

_tfr] boaA'|l,3; -1,6; _1,1]. Určete sou adnice st edu souměrnosti.

1.37 Vypočítejte sou adnice st edri stran trojírhelníku ABC, je-li dáno

A[4,,/, + $, +), Bl - 2, -\/r, *], c lt,,h -,n,-fl1.38 Jsou dány body Á, ^9. Vypočítejte sou adnice bodu B tak, aby bod

,9 byl st ed risečky áB.a) A[4,-5], S[-3,2]b) Á[1, -+], sl+,_i]c) Á[3, _2,7], s[_1,2,3]d) Á[_0,7;_0,8; 0,05], sIi'_?'-Í]

1.s9 Určete obraz bodu M ve st edové souměrnosti se st edem ^9

je.li dráno:

a) M|3,_1, _5], s[2,0, -3] b) M[á,_#'_+], s[_ i,?,_1)

1.40 Určete bod D tak, aby obrazec ABC D byl rovnoběžník, je-li dríno:

a) Á[1, _2!, B[5,7], CI_3,4lb) A[2,_3, 1], BÍ4,0, _3], CÍ_2,3, _4]

1.41 Vypočítejte délku těžnice . trojírhelníku ABC,je-li dáno:

a) Á[_5, _3l, Bí4,_Ij, C|2,4Jb) AÍ_7,_2,47, B[3,0, _2], C|1"4,8|

1.42 Jsou dány body AÍ_5,3,6], B[3, l, -2f, C[l, _11, _2], D|-7, -9, 6].

Body .4, B, C jsou vrcholy trojírhelníku. Dokažte, že obrazec ABC Dje rovnoběžník.

L.43 Zvo\tečty i body v rovině tak, aby tvo ily libovoln čty rihelník. ově -te, že st edy stran tohoto čty írhelníku jsou vrcholy rovnoběžníku.

1.44 Jsou dány body 51[5,-3,2], 52[6,1,-1]. K libovolnému bodu

A|r,a,z] určete nejprve jeho obraz Á1 ve st edové souměrnosti se

st edem,Sr. Pak najděte obraz bodu Á1 ve st edové souměrnosti se

st edem .92 a tento obraz označte Á2. Nakonec najděte bod 53, kter1

je st edem souměrnosti,v nižje bod A2 obrazem bodu ,4'

2 Vektory

2.1 orientované risečky

2.1 Je dán pravideln šestirihelník ABCDEF se st edem ,9 kružnice opsa-

né. Rozhodněte, které z uveden ch dvojic orientovan ch riseček majít ž směr:a) AB, DEd) AB, EF

2.2 V obdélnikl ABC D se st edem S vyhledejte všechny skupiny oriento-

van ch riseček, které mají krajní body,4, B, C, D, S a mají t ž smět'

Kolik takov ch skupin existuje?

2.2 Coje vektor

2.3 Zobrazte pravideln šestirihelník ABCDEF a jeho st ed označte S.Pomocí uveden] ch sedmi bodri (vrcholri a st edu šestirihelníku) zapište

všechna možná umístění vektorua) u: SC, b) v = AC.

2.4 Znázorněte pravideln šestibok hranol ABC D E F A' B' C' D' E' F' ' Yy-hledejte na něm všechny orientované risečky určené uspo ádan mi dvo'jicemi vrcholri hranolu, které jsou dalšími umístěními vektoru

a)o=BC, b) b: AC'.

2.6 V prostoru jsou dány body A, B.Vypočítejte sou adnice vektoruu: AB,je-Ii dáno:a) ,4,[3, 2,-I], BI2,2,1] b) AÍ_2,-3,_27, B|I,-2,_4).) Al- L,t,?1, Bl+,-i,il d),4[*,-8,-*], B[i%, -?,-t]

2.7 Zjislěte, zda orientovaná risečka ÁB je umístěním vektoru í/ = (5, _3),jeli dáno:a) Á[-3, 2), BÍ2, _l)c) Á[_8, -2), BÍ_3,L]

b) .4[-1, -L), Bl4,-2]d) Á[_6,5], BI-I,2)

2.8 Zjistěte, zd'a orientovaná risečka C D, : (3, l, _4),je-li dáno:

a) Cl2,-3,1], DI5,-2,-31 b) Cl-7,c) C[-3, -2,-2), Dl0,-I,2] d) C[-4'

je umístěním vektoru

-1,51, D[-4,2,7)-r,21, Dl-r,O, -2)

b) AB, FCe) AB, ED

c) ES, EBf.) cs, Fc

2.9 orientovaná risečka ÁB je umístěním vektoru u. Určete sou adnice

koncového bodu B, je-li dáno:

2.10 orientovaná risečka CD je umístěním vektoru y. Určete sou adnice

koncového bodu D, je-li dáno:a) C[1,-1,0], v: (-1,3,-4) b) C[-3, -2,6], v : (-4,4,3)

") Cl+,_+, i] , , : (t,?,_il d) C[B, ?,fž], v : (_I,_3'-3)

2.11 orientovaná rísečka ÁB je umístěním vektoru u. Určete sou adnicepočátečního bodu Á, je-li dáno:

a) A[I,7), u = (3, -8)c)Al-6,111, u=(6,9)

a) B[3,15], u=(1,8)c) Bl-7,91, u - (3, -4)

b) Á[-5, 2], u _ (_1' 3)

d) A[-7, -4], , = (-3, -5)

b) 814,-61, u: (7,3)

d) B[-5, -8], u = (-3, -6)

2.5 V rovině jsou dány body,4, B. Vypočítejte sou adnice vektoru v : AB,' jeJi dáno:

a) Á[3, 2], BÍ_2,4] b) Á[_1, _6], B[2, .5] -c) ai-o,o; t,71, 812,4;-0,8) d) Al1,-*], B[- ]'-+]

10

2.12 orientovaná risečka CD je umístěním vektoru y. Určete sou adnicepočátečního bodu C, je-li dáno:a) D[10,3,6], v: (8,3,9)b) D[5, -2,71, v : (7,-3, -1)c) Ditl,-si,zi), ,: (2{6,-3i,-i)d) Dl?, #, -3] , v = (0,4; -0,1;-1)

11

2.13 Určete čísla r, s tak, aby platilo u = AB:a) A|5, _2], BÍI,r), u = (", _3)b) á[r, _3], BÍ4, -1], ,, - (-2'")c) Á[_3, _5], B[r _ 3, _2], u : (2, s)

d) Al2r - 3,61, Bl4 - r, -31, u - (-5' t)

2.L4v kartézské soustavě sou adnic v rovině jsou dány body Á[_2,1],8[2,_51, CÍ4,31' Určete sou adnice bodu D tak, aby orientovanérisečky AB, cD byly umístěním téhož vektoru.

2.L5 v kartézské soustavě sou adnic v prostoru jsou dány bodyAÍ1',_2,3], B[0,3,5], CÍ_4,I,_7)'Určete sou adnice bodu D tak,aby orientované risečky AB, c D byly umístěním téhož vektoru.

2.3 sčítání vektoru

2.16 Vypočítejte součty a rozdily vektorri u, u, je-li dáno:

a)u:(6,-5), v=(4,3)b) u: (-.}, *), u: (-*, #)c) u : (7, *3,4), v : (3, -2, -5)d) u: (3,-r, -t), ,: (1i,|,i)

2.I7 Zjistéte sou adnice součtu vektorri o, b, c,je-li dáno:

a) o: (3,-4), b=(-5,2), c=(4,8)b) o: (+,_t), : (-*, t), ,: (_+'_á)c) a : (5-, -7;9), b : (-4,10, -3), c : (-2, *3, -5)d) a- (r,-+,-\/r), t: (1*,-+,+), c= (-#,-Lt,+)

2.1E Jsou dány vektory g = (3, _5, 7), b : (_L,4, -9), . : (_4,3,2).Určete sou adnice vektoru:a)u:o*b-c b) v=o-b-c c)w=-o+b-c

2.19 Jsou dány vektory a = (4,_8,5), = (3,_4,_6), . - (_1,10,1).Určete sou adnice vektoru:a)u=a-b-c b)v:b-a*c c)w=-a+b*c

2.20 Vyberte všechny dvojice navzájem rovn ch vektorri a dvojice vektorrinavzájem opačn ch z t ohy 2.19.

t2

2.21 Je dán kosodélnik ABCD. Vyjád ete pomocí vektorri c = AC,d=BDa) součet vektorri o, , b) součet vektorri o, _b,

c) součet vektorri _o, _b, d) rozdíl vektorri ' o,

e) rozdíl vektorri -o, b, f) rozdíl vektorri _o, _b,

je-li o = AB, b: BC.

2.22 Je dán kvádr ABCDEFG I. Určete součet vektorri BC + AE + FA++CF+HG,

2.23 Určete sou adnice bodu D tak, aby orientované írsečky AB, CD bylyumístěním dvou navzájem opačn;ich vektorri:a) .4[3, -2], Bl-5,41, CL-4,-61b) Al7,-5,21, Bl-3,4,81, c?1,2,6)

2.4 Násobení vektoru číslem

2.24 Jsoll dány vektory u : (3, _5), , : (_2,6). Vypočítejte sou adnice

vektorria) 2uc) u-4ve)lu+f,v

2.25 Jsou dány vektory u: (_1,3,7), v : (2,-6,12). Vypočítejte sou_

adnice vektorria) -3u u) *nd)5u-4v e)4u-lv

2.26 IJrčetelineární kombinaci au*bv*cw vektorri , : (2,5), , _ (_3,9),w = (4, -8), je-li:

a)a- -3, =0, c=5c) a:2, b : tr, ": -i

2.27 lJrčete lineární kombinaci au * bv * cw vektor u : (I,_2,3),v : (6, O,-4), w : (-3,2, 1), je-li:

a) a: -I, b:2, c = 0c) a:3, = *, ": -L

t) i,d) 3u -t 2vf)2(u-v)-3(u+v)

c)2u*vr) a(u - $v)

b) o: I, b:2, c: -2d) o: -+, b: !, .: f;

b) o: 2, b:3, c: -4d) a: i, b: -1, ": tr

13

2.28 Je dán obdélník ABCD se st edem S. Vyjád ete pomocí vektorrio=B-A, b=C -Bvektoryc=C-A, d=C-5, e=-A-C, f-S-D.

2.29 Je dán pravideln šestirihelník ABCDEF se st edem S' Vyjád etepomocí vektorri a = B _ A, b = C _ B vektory c = C _ F,d:A-S, e-D-C, f =B-8.

2.30 V rovině jsou dány body Á[_1, 11, BI2,2), C[L,5]. Vektor o je určenorientovanou risečkou ÁB, vektor je určen orientovanou írsečkou ÁC.Vypočtěte sou adnice bodu V tak, aby v:V _ A azároveh:

2.38 Jsoudányvektory u= _2i*3j, v = _i*4j,kdei = (1'0)' i = (0,1).a) Určete sou adnice vektoru a = 5u _ 3v.b) Vyjád ete vektor b: -4i * j pomocí vektorri u, v'

2.39 Zjistéte, zda vektorY U, V jsou rovnoběžné (tj', zda jeden vektor jenásobkem druhého vektoru):a)u=(1,3), v=(3,1) b)u=(2,-3), v=(-4,6)c) u= (-3,9), v:(2,-6) d) u- (+,t), v:(-0,4;-1,2)

2.40 Zjistěte, zda vektorY u, V jsou rovnoběžné:

a) u-(I,2,-3), v-(-1,-2,3) b) u= (t,i,-z), r:(-?,-t,t)c) u:(3,-4,6), r- (0,0,0) d) "- (3,-4,6), v: (-t,?,-Z)

2.41 Určete neznámé sou adnice vektorri u, v tak, aby tyto vektory bylyrovnoběžné:a) u = (u1,2,6), v: (1,u2,-2) b) u: (-6,ur,-9), , = (8,2,us)

2.42 Určete neznámou sou adnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineárníkombinací vektorri y' l4l:

a) u = (3,u2,5), v = (4,-1,0), w : (3,2,I)b) u - (u1,8,2),, :,(i,2,I), w : (2,12,5)

2.43 Určete neznámou sou adnici bodu Á tak, aby body Á, B, C leŽelyna jedné p ímce:a) A|a\,4], B[_7,6], c[-5,5] b) Á[_1' a2], B[_3,51, CF,_4]

2.44 Určete neznámé sou adnice bodu .4 tak, aby body Á, B, C |eže|y najedné p ímce:a) A|a1,_7,asf, B[1, _3,0], CÍ_7,_7,2}b) Á[1' a2,agf, BÍ3,-4,-1], C[_3, -1,8]

2.45 Rozhodněte, zda vektor w je lineární kombinací vektorri u, v.

a) w :(0,6,3), u = (2,0,1), v : (-I,3,2)b) w : (2,-I,1), u: (3,1,3), v': (I,I,2)c) w = (2, -3,0), u : (3, -2,4), v = (a,5; -3; 6)d) w-(-1,1,2), u: (L,5,2), v:(1,2,0)

2.46 Použijte zadání z rilohy 2.45 a rozhodněte, zda vektor u je lineárníkombinací vektorri v, w.

a)v=o*bd)v=-la

")B-A:k(L-M)c)r-K:k(C-K)e)T-L:k(A-T)

c) v=lbf) v= s++b

b) v =2ae) v=0

it

I

I

I

2.31 Je dán trojťrhelník ABC. St edy stran ÁB, BC, CA označte poadě písmenY K, L, M atěžišté trojírhelníku písmenem ?. Najděte

v každém z následujících p ípadri číslo k tak, aby platilo:b)c-A=k(K-L)d)M-L:k(B-A)t)r-K:k(K-c)

2.32 T je těžiště trojrihelníku ABC ' Yyjádete vektor T - A jako lineárníkombinacivektorri B-AaC -A. '

2.33 Vypočítejte sou adnice těžiště 7 trojírhelníku ABC, jeJi Á[3,2,_I],BÍL, _4,0], C[-1, 2, 6].

2.34 Je dán čty stěn ABCD, A[0,_2,L], B|3,2,_I), CÍ_I,4,2l,Dfl,\4]. označte.E st ed hrany BC a f'st ed htany BD. Vyjád etevektory u:E-A, v _ F _A, W:F_C jakolineárníkombinacevektorri b= B_A, c = C _A, d: D_Aa určetesou adnicevektor u, v1 w.

2.35 Jsou dány body KI3,2,_4], LI3,6,-5], ML_4,_1,0]. Vypočítejtesou adnicebodu N, jestliže plati L_ K _ u, M _ N = _2u.

2.36 Zjednodušte následující vyjád ení vektoru y pomocí vektorri o, b, c''

v = 4(o+ 3á _ 0,5c) _ 3(_2o + 4b _ c) _ 5(2o _ b + 0,4c)

2.37 Jsou dány vektory b : (1,_2,-5), . : (2,_7,l), d = (3,_9,2).Určete sou adnice vektoru o, platí-li:

T4

a) o- b+2c:3d b)2a+b:3c-d

2.47 Nenulov vektor o je lineární kombinací vektorri u, v. Vypl1 váztoho,že vektor v je lineární kombinací vektorri a, u? Své tvrzeni zdrivod-něte.

2,48 Zjistéte, zda dané t i body Ieží na p ímce:

a) Á[_3,2], BÍ_7,_4), C|_L,5]b) A|4,5), BÍ_2,8], c[7, -1]c) Á[3, -2,4], B|7,o,_2), CIL,_3,7)d) A|7,_1,3], BÍ5,2,2], C[1,8,1]

2.49 Jsou dány body A|4,_3,2}, BÍ5,0,-1].Určete čis|am, n tak, abybod Cf2,rn,n)ležel' na p ímce ÁB.

2.50 Určete čisla m, n tak, aby platilo:a) 2(rn,-3) - 3(1, -n): (7,6)b) 3(5, m * 4) + 4(3 - n, -2) : (3, -5)c) rn(3,1) + n(-6,5) : (9, -4)d) (rn + 1)(2, -3) - (n - 1)(-3,4) = (2, -1)

*2.51 Rozhodněte, zda body A, B, C, D leži v rovině, nebo na p ímce:

a) A[2, _5, -7l, BÍ_1,I,2), CÍ|, _3, _4], D[_3,5,8]b) Á[1, _2,3|, BÍ1,_2,4], CÍ3,_L,4], DÍ2,_l,47c) Á[1, _2,3), B|2,l,8l, C|2,1,I], D|-2,-11,9]

*2.52 Určete neznámou sou adnici bodu D tak, aby body á, B, C, D |eže]ry

v rovině:a) Á[_1, _1, _3], BÍ_2, _3, _4], C|_L,I, _1], D[dl, 1,3]

b) á[-1, 3, _2), 8[_4,6, 1], c[l, 4, -3), D|2,3,dgl

2. Posrrnutí soustavy sou adnic

2.53 y kartézské soustavě sou adnic ory je dán bod AÍ3, _4| Zjistěte sou-

adnice bodu Á v soustavě sou adnic o' ,'a' , která vznikne posunutímsoustavy oty určeném vektorema) u: (1,3),c) u: (-5,0),

b) u: (-4,5),d) u: (-2,-4).

2.54 v kartézské soustavě sou adnic oxg jsou dány body A|7,5), BÍ2, _97,

CI_6,1'), D|_4,-3]. Zjistěte sou adnice těchto bod v soustavě sou-

adnic o'r'a', která vznikne posunutím soustavy ory určeném vek-

torem u : (_S,7).

16

2.55v kartézské soustavě sou adnic oxg jsou dány bodyAÍ_t7 , _t2], B|23, _27], o'L_s, _ 19].

a) UrčLte sou adnice bodťr Á, B v posunuté soustavě sou adnic o'*'y''b) Vypočítejte a porovnejte sou adnice vektoru u : B _ A v dané

a posunuté soustavě sou adnic.c) Vypočítejte a porovnejte velikosti vektorri u : B - á v dané

a posunuté soustavě sou adnic.

2.56 V kartézské soustavě sou adnic orgz jsou dríny body A|5,3,_4!,BÍ7,_!,-6f, o'f4,_3,_5]. Určete sou adnice st edu risečky ÁBv soustavě sou adnic o'r'y'z'.

2.57 v kartézské soustavě sou adnic oxg je dán bod Á[_6' 5]. V posunuté

soustavě sou adnic o'r'a' má tento bod sou adnice [2, _3].

a) Určete sou adnice bodu o' v soustavě sou adnic ory.b) Určete v o'r'y'sou adnice bodu B, jehož sou adnice v oty jsou

[-8,7].c) Určetá v oty sou adnice bodu C, kter má v olďylsou adnice

[-4, -1].2.58 v kartézské soustavě sou adnic oryz je dán bod AÍ3, _4,7]. V posu-

nuté soustavě sou adnic o'fr'y'z' má tento bod sou adnice [_1, 3, _2l'Určete sou adnice vektoru posunutí.

2.59 V kartézské soustavě sou adnic orgz je dán bod Á[-5,3, -6]' V po-

sunuté soustavě sou adnic o'x'y' z' má tento bod sou adnice [_ 1, 0, 2] '

a) Určete sou adnice bodu o' v soustavě sou adnic otyz.b) Určete v o'r'y'z' sou adnice bodu B, jehož sou adnicev ox'yz jsou

L3, -4,21.c) Určete v otgz sou adnice bodu C, kter má v o'ťy'z'sou adnice

[6, 1, -7].

2.6 skďární součin vektorri, velikost vektoru

2.60 Vypočítejte velikost vektoru u : B - Á, jestliže ve zvolené soustavě

sou adnic platí:

a) Al4,-21, Bl-2,-51c) á[-8, 71, BII2, _14)

b) Á[_3\Á, _4], B|\/5,4]d) Alz\/r, t), Bl2, -4Jrl

t7

2.47 Nenulov vektor o je lineární kombinací vektorri u, v. Vypl váztoho,že vektor v je lineární kombinací vektorri a, u? Své tvrzení zdrivod-něte.

2.4E Zjistétq zda dané t i body leži na p ímce:

a) Á[_3,2], BÍ_7,_41, CÍ_I,s]b) A|4,5), BÍ_2,8], c[7, -1]c) Al3, -2, 47, Bl7,O, -2), Cl7, -3,77d) A|7,_1,3], BÍ5,2,2], C[1,8,1]

2.49 Jsou dány body AÍ4,_3,2), BÍ5,0,-1].Určete čísla rn, n tak, abybod C[2,rn,nf |ežel na p ímce ÁB.

2.50 Určete čísla rn, n tak, aby platilo:a) 2(rn,-3) - 3(1, -n): (7,6)b) 3(5, m * 4) + 4(3 - n, -2) : (3, -5)c) rn(3,1) + n(-6,5) : (9, -4)d) (rn + 1)(2, -3) - (n - 1)(-3, 4) = (2,-t)

*2.51 Rozhodněte, zda body A, B, C, D leživ rovině, nebo na prí*""'a) A[2, _5, _7l, B|_1,I,2), CÍI, _3, _4], D[_3,5,8]b) Á[1, _2,3), B[1,_2,4), C|3,_I,4], DÍ2,_I,47c) A[7, -2, 37, Bl2, 1, 8], C [2, 1, L], D[-2, - 1 1, 9]

*2.52 Určete neznárnou sou adnici bodu D tak, aby body á, B, C, D |eže|y

v rovině:a) Á[-1, _1, _3], BÍ_2, _3, _4], C|_L,7, _1], D[dl, 1,3]

b) á[_1, 3, _2], BÍ_4, 6, I], C|L, 4, -3f, D|2, 3, ]

2.5 Posrrnutí soustavy sou adnic

2.53 V kartézské soustavě sou adnic ory je dán bod AÍ3,_4| Zjistěte sou-

adnice bodu Á v soustavě sou adnic o' ,'a' , která vznikne posunutímsoustavy ory určeném vektorema) u: (1,3),c) u: (-5,0),

b) u: (-4,5),d) u: (-2,-4).

2.54 y kartézské soustavě sou adnic oxy jsou dány body A|7,5], B|2, -97,C[-6,t], D|_4,-3]. Zjistěte sou adnice těchto bodri v soustavě sou-

ad'nic o'r'a', která vznikne posunutím soustavy ory určeném vek-

torem u : (_S,7).

16

2.55 V kartézské soustavě sou adnic oxy jsou dány bodyAl-17, -12), 8123, -211, o' [-8, - 19].

a) Určlte sou adnice bodri Á, B v posunuté soustavě sou adnic o','y''b) Vypočítejte a porovnejte sou adnice vektoru u : B _ A v dané

a posunuté soustavě sou adnic.c) Vypočítejte a porovnejte velikosti vektorri u : B _ Á v dané

a posunuté soustavě sou adnic.

2.56 V kartézské soustavě sou adnic orgz jsou dríny body A|5,3,_4l,BÍ7,_I,_6f, o'f4,_3,-5]. Určete sou adnice st edu risečky ÁBv soustavě sou adnic o'ďy'z' .

2.57 v ka,rtézské soustavě sou adnic oxg je dán bod Á[_6' 5]. V posunuté

soustavě sou adnic o'r'a' má tento bod sou adnice [2, _3].

a) Určete sou adnice bodu o' v soustavě sou adnic ory.b) Určete v o'r'y' sou adnice bodu B, jehož sou adnice v oca jsou

[-8,7].c) Určetá v oay sou adnice bodu C, kter má v olďylsou adnice

[-4, -1].2.58 v kartézské soustavě sou adnic oryz je dán bod A|3,_4,7]. V posu-

nuté soustavě sou adnic o'r'y'z' má tento bod sou adnice [_1, 3, _2l'Určete sou adnice vektoru posunutí.

2.59 v kartézské soustavě sou adnic orgz je dán bod Á[_5,3, -6]' V po-

sunuté soustavě sou adnic o'x'y' z' má tento bod sou adnice [_ 1, 0, 2] '

a) Určete sou adnice bodu o' v soustavě sou adnic otyz'b) Určete v o' r' y' z' sou adnice bodu B, jehož sou adnice v otyz jsou

L3, -4,21.c) Určete v otyz sou adnice bodu C, kter má v o'ďy'z' sou adnice

[6, 1, -7].

2.6 skďární součin vektorri, velikost vektoru

2.60 Vypočítejte velikost vektoru u : B _ Á, jestliže ve zvolené soustavě

sou adnic platí:

a) Al4,-21, Bl-2,-51c) á[-8, 71, BII2, _I4]

b) Á[_3\Á, _+), a|,/s,_z]d) A[2\/r,L], Bl2,-4fr1

L7

2.61 Vypočítejte velikost vektoru y = N _ M, jestliže ve zvolené soustavě

sou adnic platí:a) Ml8, -3, -47, N[-3, -1,6] b) Mlr,3, -3], Nls, -2, 4l

2.62 Dvě síly jsou dány orientovan1 mi risečkami oA, AB, p ičemž o[0,0],Á[0, _6], B[5, _6]. Vypočítejte číselnou hodnotu velikosti

a) součtu, b) rozdílu těchto sil.

2.63 orientační běh probíhá v terénu, kter je zobrazen na mapce tvaruobdélníku ABCD. Zvo|me soustavu sou adnic tak,že,4 je počátek

soustavy' p ímka áB je osa z a p ímka AD je osag' V bodech K|l,z],LL4,I], M|g,6)jsou umístěna stanoviště hlídek. Určete sou adnice sta-

náviště S po adatele orientačního běhu, víte-Ii, že vzdálenost tohoto

stanoviště od všech t í stanovišť hlídek je stejná.

2.64 Hmotn bod se pohybuje rovnoměrně p ímoča e z bodu Ml_2,_?]do bodu N[1,6], p itom vzdálenost MN wazi za 6s' Vypočítejterychlost pohybu hmotného bodu za p edpokladu, že sou adnice bodrijsou udány v metrech.

2.65 Vypočítejte skalární součin u' v, je-li dáno:

a) lul : 7, lvl= 6, :60ob) |u| = 4, lr| __ 3{Ž, 9 - !$oc) lul = +rt, l:5, 9:150od) |u| = 3,5, |v| = 5t/Ž, P: 90o

2.66 Vypočítejte skalární součin u' v, je-li dáno:

a)u:(3,-4), v-(-2,I)b) u: (6,8)' v: (-4,3)c) u - (3, -3,5), v : (3, -7, -6)d) u = (4,-2,0), Y: (3,2,8)

2.67 Jsou dány body AÍ3,2,1], B[1, _3,0], CL0,2,5]. Určete skalární součin

vektorri u' v, kde u : B - A, v : C - A'

2.6E Určete U1, I Sp. u2, tak aby u' y = 0, je-Ii:

a) u= (rrr,6), v:(-2,1) b)u=(-3,u2),v-(5,-6)

2.69 Určete rl1 , f Sp. tl3 tak, aby u' y = 3, je-li:

a)u=(-2,3,4), v:(o1,1,-3) b) u- (-2,5,6), u-(2,-4,us)

18

2.70 Jsou dány vektory o = (3, _2), b = (-1,5). Určete vektor c, pro kter;í

platío'c=L7, b'c=3'

2.71 Jsou dány vektory o : (2,_l,-l), b _ (3,2,1), c = (7,_3,2)'Najděte sou adnice vektoru u' pro kter platí o ' u = 2, b' u ::7, c'u: -!'

2.72 stálásíIa o velikosti Í':200 N prisobí na těleso tak,Že se směrem posu-

nutí svírá rihel o:30". Určete vykonanou práci, je_li dráha s :25m.

2.73 Vagon je tažen pomocí lana, které svírá se směrem posunutí rihel

o velikosti 25o a je napínáno silou o velikosti 900 N. Určete práci

vykonanou p i tažení vagonu po dráze 15m.

2.74 Ruční vozík se pohybuje po vodorovné p ímé cestě dlouhé 25m; je

tažen stálou silou F, která má velikost 80 N a se směrem posunutí

svírá stál írhel a. Určete vykonanou práci, je-li:

a) o:0o b) o = 30o c) o:60o d) o = 90"

2.75 Zjistěte, zda vektorY u, V jsou kolmé:

a)u=(6,3), v=(4,-8)b) u: (-1,3), v: (-3,1)c) u : (7, -3, -9), , : (-3,8, -5)d) u = (2,17, -4), Y = (6, 0, 3)

2.76 Je dána krychle ABCDEFGH. Zvo|te vhodně soustavu sou adnic

v prostoru a pomocí skalárního součinu rozhodněte, zda platí:

a) AB LFG b)ÁrLBE c) BH LCE

2.77 Yypočitejte velikost ríhlu vektorri:

a) u: (-4,-2), v = (-1, -3)b) u - (-2,0), v = (-2,-2Ji)c) u = (-2,7,-9), n = (-tr,2,+)d) u- (-71,2,-10), v:(-I,2,-2)

2.78 Je dána krychle ABCDEFGH.Yypočítejte velikost rihlu vektorri:

a)C-A, F-Ec) A- F, H - F

b) c-A, D-Fd) f'- A, G-A

19

2.79 Yypočitejte délky stran a velikosti vnit ních írhlri trojírhelniku ABC,je-li:a),4[1, 2, -3f, Bl,-3,3, -2], C?!,I, -l)b) AÍ2, _7, _2f, BÍ2, _4, _5], C|-L, _4, _2]

c) A[-I,-3, 0], Bl-1,2,5), Cl-6,2,5)

2.80 Vypočítejte délky stran a velikosti vnit ních rihlri trojrihelniku ABC,jestliže platí Á[16, l, _2f, B|_9,t, _2], C[0, 1, 10]-

2.81 Jsou dány body A|3, _2O,0], B[3, _4, 0], c [e, r, srla]-a) Určete bod D tak, aby ABCD byl rovnoběžník.b) Vypočítejte velikost íthlru DAB.

2.82 Jsou dány body AÍ20, -5,10], B[8,4, _10], C|_4,73,10], D[8,4, 10]'

a) Dokažte, že ABCD je rovnoběžník.b) Vypočítejte velikost : .hlu DAB.c) Vypočítejte velikost :iuhlu ABD.

2.83 Jsou dány body Á [1 1, _3, -2\/q, B f_7,_3, -2\/i], C |-7,_3, 3\/ď),

Dl6,-3,3rh1.a) Dokažte, že ABCD je lichoběžník.b) Vypočítejte velikosti vnit ních rihlri lichoběž ku ABCD'

2.84 Vypočítejte odchylku p ímky AB od' os sou adnic, jestliže platíá[_5, _3,8), B|7,6, _12].

2.E5 Určete sou adnici 02 vektoru o tak' aby vektory o, byly kolmé,jestliže platí:a)o-(3,a2), :(-5,6)b) o: (9,a2,-5), b: (-3,4,-7)

2.86 Najděte vektor u, kter; je kolm k vektoru v : (3, 4) amá velikost 15.

2.E7 Jsou dány vektory u : (3,2,_7), v : (1,-4,3). Najděte všechny

vektory, které jsou kolmé k oběma dan m vektorrim.

2.EE Určete v prostoru dva rriznoběžné vektory, kteréjsou kolmé k vektoru

u : (4, -5, -3).2.89 Je dán pravideln čty bok jehlan ABCDV, délka jeho podstavné

hrany o = 6, v ška u : 3l/Ž. Zvo|te vhodně soustavu sou adnic

v prostoru a ešte niísledující rikoly:

a) Dokažte, že p ímky AV a CV jsou kolmé.b) Určete velikost rihlu vektorri V A a C B.

20

2.90 V soustavě sou adnic v prostoru jsou dány body Á[-3, 2,1'], B[2,4,5],

CÍ1,6,_2).v bodě .4 je umístěn hmotn bod, na kter prisobí stálá

síla F. Umístěním vektoru síly v soustavě sou adnic na začátku po-

hybu je vektor AB' Hmotn bod se posune do bodu C' Vypočítejtečíselnou hodnotu práce, kterou vykoná síla F p i tomto posunutí.

2.7 otočení kartézské soustavy sou adnic

2.91 V kartézské soustavě.sou adnic org jsou dány body Á[3,0], B[0, _6],

CÍ5,2!; DÍ_7,4]. Určete sou adnice těchto bodri v soustavě sou adnic

oL'v',utirarr"rriklu otočením soustavy sou adnic otg o rihel }n'

2.g2v kartézské soustavě sou adnic org jsou dány body AÍ2,4], B|4,2],

c|z'/5,z], o|zt/5,_2]' Určete sou adnice těchto bodri v soustavě

.or'r.d''i. o* y' , která vznikla otočením soustavy sou adnic or9o írhel }x.

2.93 V kartézské soustavě sou adnic ory jsou dány body AÍt,27, B[1, _3],

Cl_Jr,2\e, D[_5,1]. Určete sou adnice těchto bodri v soustavě

,o,r .drri" oi,v,, která vznikla otočením soustavy sou adnic oz3t

o írhel |n.

2.94v kartézské soustavě sou adnic or'a" která vznikla otočením sousta-

vy sou adnic ory o ríhel }n, jsou dány body A|2,0], B[0, 4), C|_l,5|,D\J2,_3J4. Určete sou adnice těchto bodri v soustavě sou adnic

ora.

2.95 V kartézské soustavě sou adnic or'y" která vznikla otočením sou-

stavy sou adnic oxy o rihel fn, jsou dány body Á[6,0], BÍ0,_2],

CÍ2:_q, D?l,3]. Určete souádnice těchto bodri v soustavě sou ad_

nic Ory.

2.96 V kartézské soustavě sou adnic oxy je dán trojirhelnik ABC,AÍ_4,_3], B[1,_1], CÍ-3,7)' Určete sou adnice st edu stra'ny BC. iczistc tiojrihelníku ABC v soustavě sou adnic or'y' , která vznikne

otočením soustavy ory o rihel $n.

il

it

27

trt2.8 Pravotočivá a levotočivá báze

2.97 Rozhodněte, jaké jsou následujícibáze, je-li báze (o,b,c) pravotoči-vá:a) (b,o,c) b) (c,o, ) c) (b,c,a) d) (o,c, )

e) (a,-b,c) f) (a,-b,-c) g) (-c,a,b) h) (-b,-a,c)

2.9E Rozhodněte, jaké jsou následuj ící báze, je-li báze (o, b, c) levotočivá:a) (b,a,c) b) (c, , a) c) (-a, b, c) d) (-o, -b, c)

e) (-a,b,-c) f) (-o, -b,-r) g) (-b,o,c) h) (-., -o,-b)

2.9 Vektorov součin a smíšen součin

2.99 Určete vektorov součin vektorri u, v' jestliže platí:

a) u: (-2,-3,!), v: (3,4,-2) b) u: (3, -5,7), v = (-I,2,-3)c) u: (4,7,-12), y: (2,3, -5) d) u: (5, -6,8), u: (6, -8,9)

2.100 Určete vektorov;Í součin vektorri u, v, jestliže platí u : B - A,v: C _ Á a p itom:a) A|_3,4,6], BÍ_5,3,7], c[0,8,4]b) AI-2, -1,5], 813,2, -6), C[1, 1, -1]

2.101 Najděte aspo jeden vektor, ktery je kolm k dan m vektorrimo : (6, 0, -12), b : (2,3, -6).

2.102 Užítím vektorového součinu vypočíteite obsah rovnoběžníku určené-ho vektory u: (-2,-3,2), v: (3,4,-2).

2.103 Užitím vektorového součinu vypočítejte obsah trojírhelníku s vrcholy:a) Á[5, 1, 4), B[_1, _2,6], CI2,3, _2]

b) K[3' _I,2), LÍI,3,2], M[5,I,5]

2.L04 Užitím vektorového součinu vypočítejte obsah trojrihelníku s vrcholy:a) A[-I,3], B[5, -3), C12,7)b) K[-3, -r], L[2,-6], Mu,r)

2.L05 Užitim vektorového součinu vypočítejte obsah trojrihelniht ABCa velikost ihhl CAB,jestliže platí:Al-6, 4, -2rt), Bl-2,1, s/5], c 12, -2, -2rhl

22

2.L06 Jsou dány vektory a : (2,3, _I), b : (I, _2,3), c = (2,_1, 1)'

Určete sou adnice vektoru-x, kter je kolm k vektoru o i k vektorua p itom x'c : -6.

2.107 Yypočítejte objem rovnoběžnos těnll ABCDEFGH,jestliže je dáno:

a) AlL,z,rl, 817,3, o], D[-1, 5, 2], .E[1, o, 6]

b) Á[1, _2,-3], B|4,1,_I], DÍ_3,3,1], E[2,0,5]

2.108 Vypočítejte objem čty stěnu ABCD, jestliže je dáno:

Al5, 2,-3], B[-3, 4, -r], C?r, -r, 31, Dl-|, L, -21

2.L09 Jsou dány body A|-2,I,4], B|_l,O,_I), C|_4,-1,6], D[_2,-2,_5]'a) Vypočítejte objem čty stěnu ABCD.b) Určete aspo jeden vektor' kter je kolm ke stěně ÁBC.c) Určete aspo jeden vektor, kter je kolm ke stěně ABD-

2.L10 Jsou dány body AÍ3,I,_2], BÍ_l,I,-2), C[I,6,10], '[3,

4,-2].a) Vypočítejte objem čty stěnu ABCD.b) Vypočítejte povrch čty stěnu ABCD.

2.ILl Považujte tenk kotouč za kruh se st edem '9 vepsan do podstavyABCD krychle; kotouč se mriže otáčet kolem osy, která je kolmák rovině podstavy aptocházi st edem S. V bodě 7, kde se kotoučedot ká htana AB, prisobí na kotouč síla F, kterou lze znázotnitorientovanou írsečkou TR ležicí v rovině podstavy. Vypočítejte ve-

likost momentu síly F k uvedené ose otáčení v p ípadě, kdy hranakrychle má délku 2 m, síla F má velikost 24 N a její směr je dán

a) polop ímkouTB,c) polop ímkouTC,e) polop ímkou ?.9,

b) polop ímkolTA,d) polop ímkou TD,f) polop ímkouTU, kde |j^97tl| : o.

ově te, zda ve všech uveden ch p ípadech lze moment síly F ke

zvolené ose otáčení vyjád it vektorov m součinem síly F a vekto-

ru 5r ve vhodném po adí.

23

3 Geometrie v rovině

3.1 Parametrické vyjád ení p ímky

3.1 Napište parametrické vyjád ení p ímky určené bodem Á a vektorem u,je-li:

3.9 Jsou dány body A[3,_2], BII,4], C[_1,_3]. Určete bod D tak, abyp ímka CD protínala risečku AB v jejim st edu S a aby p itom platilolcDl:3lcsl'

3.10 Těleso se pohybuje rovnoměrně p ímoča e. V čase = 0s je tělesov bodě A[7,21, v čase = 1s je v bodě B[3,5].a) Určete parametrické vyjád ení trajektorie tělesa.b) Vypočítejte sou adnice bodu C, ve kterém těleso bude za 15s.c) Určete čas, v němž bude poloha tělesa dána sou adnicemi [7, 11].

3.11 Rozhodněte, zda dané soustavy rovnic jsou parametrick; mi vyjád e-nimi téže p ímky:a) n: -3i-2t r: 1 - 6s

9:2-; R y:3s; seRb) x=3-2t r:5+3s

a:2-5;t R y=7+7,5s; s Rc) r:-3*3t o:3*3s

y=ti teR A- 3*s; s R

3.12 P ímkap je dána parametrick m vyjád ením r:3_4t, a: _2+* t; t R. Zjistěte, zda na p ímce p leži bodv:

3.2 Napište parametrické vyjád ení p ímky, která prochází bodem A a jerovnoběžná s vektorem u : BC,jestliže:a) Al2,-51, B[2,-4], CIs,-Ilb) á[_3' 0), BÍ_2,_7l, CL_z,-5)

3.3 Napište parametrické vyjád ení p ímky, která prochází bodem A|_2,3]a je rovnoběžnáa) s osou z, b) s osou g, c) s osou I. a III. kvadrantu.

3.4 Napište parametrické vyjád ení p ímky ÁB, jestliže:

a) Á[3, _7l, , = (-2,5)c)A15,0],u=(0,2)

a) A[a,O], Bl2,3Jc) A[*2, -3], B[1, *5]

b) Á[0' 2], u : (3, _6)d) ,4[0,0],u=(4,0)

b) Á[_3,2), BLI,2]d) Á[0' _5], B[3, _3] a) Á[_1' _1]

d) D [-3, +]

b) B[-5, o]

e) E[11, a]

c) C[-e, t]f) F[1;-1,5]3.5 Zjistěte, zda body AÍ_4,7], Bl_7,8], cll1, 8] leží na p ímce M N, je-li

M[2,5],lr[-1, 6].

3.6 Určete druhou sou adnici bodu C tak, aby ležel na p imce AB,,4[3, -1], B[1,3], jestliže:a) C[7,y] b) C[0, e] c) C12,5, sl

3.7 Jsou dríny body AÍ2, _3], B[_1, _2]. Napištea) parametrické vyjád ení risečky ÁB'b) parametrické vyjád ení polop ímky AB'c) parametrické vyjád ení polop ímky opačné k polop ímce ÁB,d) parametrické vyjád ení polop ímky BA.

3.8 Jsou dány body Á[_5, _6], BIIL,2], CIs,4].a) Napište parametrické vyjád ení p ímky AC.b) Napište parametrické vyjád ení těžnice o trojrlhelníhl ABC.c) Určete sou adnice těžiště 7 trojrihelníku ABC.

24

3.I'3 P ímka p jed'ána parametrick m vyjád enimr: _1+3 , ! =5__ 2t; t R. Určete body p ímky p pro t: 0; 1; _z; i; _?.

3.l4 Jsou dány body AÍ5,_2), B[1'6].a) Napište parametrické vyjád ení p ímky áB.b) Určete c2 tak, aby bod C[_3,c2] ležel na p ímce ,4B.c) Určete sou adnice bodu S, kter; je st edem risečky ÁB.d) Určete sou adnice takového bodu D ležícího na polop ímce AB,

jehož vzd'álenost od bodu Á je t ikrát větší než vzdálenost B od A'3.15 Napište parametrické vyjád ení p ímky, která prochází bodem A a ie

kolmá k vektoru n:a) .4[5, 4] n : (3,2) b) AÍ4, _3], n : (_2,5)

3.16 Napište parametrické vyjád ení osy risečky ,4,B:

a) Al3,-31, B[-I,-2) b) AI-4,-21, 815,2)

25

3.17 Určete reáIné číslo a tak, aby p ímka p ptocházela bodem -4.:

a)p:r:3lt, a=a'_5t; t .R, Á[1,3]b)p:r:2al3-4t, y:5+3t; t . R, Á[-3,2]

3.18 Určete reálné číslo p tak, aby vektor u byl směrov m vektorem p ímkyAB, je-Ii

a) Á[3, 3), B|4,7], , _ (_I,p) b) '4[_3,2), B[1,_4), ,: (2,p)

c) Á[5, _5), BI2,_I], ,: (1,p) d) A|2,8], B[-1'3], u: (-p,a)

3.19 Určete reálné číslo p tak, aby bod C ležel na p ímce AB, je-lí:

a) á[3, 1]' B[-1, 2), C|_p,p + L]

b) Al-4, -51, B[-1, 0], CIP,P - 5l

c) Á[_1, 2], B|3, -3), C|-p,p * 0,5]

d) Á[_3, -4), BÍ1',_5), C|2p,9p)

3.20 Rozhodněte, v kter ch částech rilohy 3.19 je bod C bodem polop ímkyAB, pop ipadě bodem risečky '4B.

3.2 Yzájemillrá poloha p ímekdan ch parametrick mi rovnicemi

3.2l" Určete vzájemnou polohu p ímek p(A,u), q(B,v),je-li dáno:

a) Al3,-71, ,: (-2,1), Bl4,-21, Y : (I,-2)b) .4[5, 2], , - (6, -9), B[3,5], Y : (-1; 1,5)

c) Áir, _2], ,: (+,3) , BI2,a), v: (l,2)d) AÍ7,_4], , - (]z,g), BI3,_2), n: (+,-;)

3.22 Určete vzájemnou polohu p ímek p7 q' S parametrick;imi vyjád eními:

a) p: r:3 _2t, g:4+ 3 ; Ú Rqir:6*3s, A:-0,5-4'5s; s R

b)p:r:I*4t, A=-t; t .Rqix,=3-I2s, A:-2*3s; s R

c)p:r--1+t,9:5-3; R

Qi:x:5-3s, A:-lts; s R

26

3.23 P esvědčte se, že p ímky p, q jsou rriznoběžné, a určete jejich prrisečík:

a) p: r - 2 - 3t, A = -5 *2t; t e RQi:t:6+5s, A:3+2s; s R

b) p: r :5_4t, a : _7*6Í; R

Qir:-7-5s, Y:8+3s; s Rc) p: r: 3*5Í, 9 :2_7t; t eR

Qtx::I*s, Y:2s; s Rd) p: r _ _1- *t, a:3.1-Ú; ť R

e:r:I-2s, a:-2*3s; s R

3.24 Napište parametrické vyjád ení p ímky, která prochází bodem A a je

rovnoběžná s p ímkou p:

a) A|2,5), p: t : 3 _t, a : 2+3Ú; R

b) Á[-3, 7), p: t: 5 * 9Ú, y : _t; t e. R

3.25 Napište parametrické vyjád ení p ímky, která prochází bodem '4 a je

rovnoběžná s p ímkou BC, je-l.i:

a) A|I, .2), BI5,3], CÍ4,6] b) '4[-3, 5), B[_I, -7], CI|, _4)

3.26 Napište parametrické vyjád ení p ímky, která prochází bodem A a je

kolmá k p ímce p:

a) A|4,_I], P: r : 3 *2t, g :5 - Í; Ú R

b) Á[3,-5),P:t:_4-6t, a:7_5 ; R

3.27 Určete, pokud existuje, prrisečík p ímky p a iseéky AB:a)p:r:5-3' a:-6*2t; te R, Á[3,-8],B[-9'10]b)p:r:3*4t, a:5_6ti t ' R, Á[5,-7),B|3,_4]c) p: r _ -7 +4t, a -8-5Ú; t R, AL4,_5], B[3'_3]

3.28 Určete reáIné číslo rn tak, aby p ímky p, qbyly rovnoběžné:

a)p:r:7-mt, A:-3-2t; te Rqilt-2+3s,9:I-9s; s R

b)p:r:3-*, A:7+lt; teAqir*5-4s, A:-z*ms; .s R

3.29 Určete reálné číslo a tak, aby p ímka s parametrick m vyjád ením:t:5-6t, a- a*2t; Ú R, procházelaprrisečíkem p ímekp, g:

a)p:r:2-s, A:I+2s; s R

QiÍ: _1*3r' !:_I_2r; r Rb)p:r:3*2s, A:-4-3s; s R

Qi Í :lI + 4r, a : -13_ 5r; r' R

27

3.30 Určete reálná čísla o, tak, aby p ímky p, q by|y totožné:

a)p:r--7+at, A-5-4t; t .RQ: r=2-9s, Y:b+6s; s R

b)p:r--7+2,5t, Y =a- ; R

Qtr=3.l s, A:-7*0,2s; s R

3.3 obecná rovnice p ímky

3.31 Napište obecnou rovnici p ímky AB, je-Ii:

a) á[3, _4l, B|_7,I)c) Á[6,2|, 8í6,_7]

3.32 Napište obecnou rovnici p ímky, která prochází bodem A a je kolmá

k vektoru u, je-li:

a) Al-2,9], u = (3' -1) b)Á[3,0], u=(_5'2)

3.33 Napište obecnou rovnici p ímky, která prochází bodem A a je kolmá

k vektoru v = BC, ie-li:a) A|4,_7], B|_g,5], c[-6,1] b) Á[_5,_3], B[11, _2], C|2,_2)

3.34 Napište obecnou rovnici p ímky, která prochází bodem A a je kolmá

k p ímce BC, je-lri:

a) Á[1, _4], BÍ3,_71, CÍ3,2) b) Á[0,6], B[0,_2], C[-3,-5]

3.35 Rozhodněte, které z bodri AIl,2], B[-3, -1], c[-1,21, D[_I7,_22]|eží na p ímce určené obecnou rovnicí 3r _ 2y * 7 : 0'

3.36 Určete sou adnice bodri Á[6, !), B|_3,a), CI,,0], D|r,_}] tat<, auy

body ležely na p ímce určené obecnou rovnicí 5x _ 39 _ 6 : 0'

3.37 Napište obecnou rovnici osy írsečky AB, jestl1že plati:

a) á[3, _7], B[_I,_5) b) At2,5l, B[-3,9]

3.38 Napište obecnou rovnici p ímky, která má parametrické vyjád ení:

a)r=3-2t,U--4*; R

b) "--5-3, A=-7-4t; t R

c)x:3,a:5;Ú Rd)r=7-I6t,Y=-4; teR

28

3.39 Je dán trojírhelnik ABC tak,že,4.[1, -3], BI_5,7l, CIs,11]' Napište

obecnou rovnici p ímky,a) na niž |eží strana AB,b) která prochází bodem C a je rovnoběžná s p ímkou ÁB,c) na níž Ieží těŽnice z vrcholu Á.

3.40 Napište obecnou rovnici tečny kružnice v bodě dotyku T|6,2],jestližest ed kružnice má sou adnice [3, -4].

3.41 Napište obecné rovnice všech v;fšek trojrihelníku ABC, je-|i,4[_1,3],

BI2, _2], CÍ-4, _3].

3.42 |Jrčetevzájemnou polohu p ímek P, Q.U rtnnobéžn ch p ímek určete

také jejich prrisečík P:a) p: 2r-3y*5 = 0, q: 3r -2Y 4-5 :Ob)p:5:rl3y-7:0, q: I0:r*6Y- 14:0c) p: 6t:-9U-l 15:0, q: 2x- 39-5:0ď) p: 5r - 49 _5=O, q: 2r _39+5 :0

3.43 Vypočítejte sou adnice vrcholri trojrihelníku , jehoŽ strany |eži na

p ímkách, které mají rovnice 7x_4y _ 1:0, t_2y*7:0, 2r**Y*4:0'

3.44 Napište obecnou rovnici p ímky, která prochází bodem M[3,5] a je

rovnoběžná s p ímkou p: 7x _ 39 * 2 : 0'

3.45 Napište obecnou rovnici p ímky, která prochází bodem M|4, _7] a je

kolmá k p ímce p: 2x _ 59 * 10 : 0.

3.46 Napište obecnou rovnici p ímky, která prochází bodem Á[_3, 5] a prri-

sečíkem p ímek p: r *2a _3 : 0, q| 2r _ 39*8 : 0'

3.47 Napište obecnou rovnici p ímky, která prochází bodem A|_4,2] a je

a) rovnoběžná s p ímkou p: 3r - 5y * 9 = 0'

b) kolmá k p ímce q: 4r _ ! * 3 : 0,

c) rovnoběžná s osou r,d) rovnoběžná s osou 3t,

e) rovnoběžná s osou I. a III. kvadrantu'

3.48 Napište obecné rovnice všech v;Íšek trojírhelníku ABC, A[_3,7),

B|i,_2], C[1,5]. Vypočítejte prrisečík dvou v šek a ově te' že iímprocházi i t etí q ška.

b) AÍ2,-7], B[-3' _5]

d) AÍ4, _5], BÍ_2, _5]

3.49 Určete reálné číslo rn tak, aby p ímka p procházela bodem Á:a)p: mx+(*-5)g+mt2=0, Á[-1' 1]

b) p: (3m* 5)r * (m + 9)s t 2rn -3 : 0, Al-3,21c) p: (3 -2m)r- (1- 2*)y -5m*L:0, AL-3,-21d) p: (6m - 5)" -2(3 - 7m)y *2m _13 = 0, AÍ_5,2)e) p: (4m-7)" - (8-ím)y -m*6:0, AL4,-31

3.50 Určete reálné číslo rn tak, aby p ímky p, q byly rovnoběžné:a)p: (m-1)r*3myl2:0, q: 2rl9yt5:0b) p: (m+3)r- (2-*)a*4:0, q:6x*2Iy-I0:0c) p: (7rn* 1)o * (5 - sm)g lm =0, q: 3t: - 49 +7 : 0d)p: mr -39*8:0, q:6r-(rn+7)g*m=0

3.51 Určete vzájemnou polohu p ímek r: 2x * ay : 4, s: t _ 3y l a = 0.

Provedte diskusi vzhledem k parametru o.

*3.52 Určete vzájemnou polohu p ímek p: azt - 9a -|18 = 0, q: x, _ 4y ** fa :0. Proveďte diskusi vzhledem k parametru a.

3.4 Řešení uloh v rovině

3.53 Napištea) obecnou rovnici osy r, b) obecnou rovnici osy g,

c) parametrické vyjád ení osy r, d) parametrické vyjád ení osy g.

3.54 Napište parametrické vyjád ení p ímky, jejíž obecná rovnice je

3.57 Určete, pro které reálné číslo o jsou p ímkY P, Q rovnoběžné.a) p: 3r*9y* 7 :0, q: x : 4* at, U - 5 -2t; t e Rb)p: r-4A* 5:0, g: r:I-Bt, y-2*at; teRc)p: at*2y_L:0, q:x:3-4t, a_ 5_ ; Ú Rd) p: 4(a-2)" -8g*9 =0, q: x =615t, y =3-2t; t R

3.58 Zjistěte, zda existuje prrisečík p ímky dané rovnicí 5x * 8y -f L7 = 0arísečky s parametrick m vyjád ením c:2-4t, a: _3*2t; t e

(0, 1).

3.59 Určete, pokud existuje, prrisečík osy írsečky AB, A|3,2], B[5,-4] aa) polop ímky dané parametrick m vyjád enim r = 3 + 4t, a : _Í +

+2t, t > 0,b) risečky CD, C|3,-1]' D[_1' -3].

3.60 Určete prrisečíky p ímky p s osami sou adnic, jestliže p ímka p máparametrické vyjád ení:a)r:4+t,y --1+2t; teRb)r=2t,A- 6-;, Rc)r=3-2t,y:-4; teRd)u:7,U:-3; R

3.61 V rovnici p ímky at _ 39 _ 8 - 0 určete o tak, aby tato p ímkaprocházela prrisečíkem p ímek p, g.

p:2x*5g*17=0, q:n:4+3t, g:-9-2t; t R.

3.62Zjistětq zda body AÍ2,_7l, BÍ_7,0] Ieží ve stejné polorovině s hra-niční p ímkou, která má rovnici 2r -l 3y * 15 : 0.

3.63 Zjistěte, zda body M|_6, -7], N[_1, _3] |eží ve stejné poloroviněs hraniční p ímkou, která má rovnici 3r _ 4y _ 7 = 0.

3.64 Jsou dány body A[5,4), BÍ_2,_21, C[_2,_3], D[-3, _3]. Rozhod-něte, které z těchto bodri leží v polorovině určené hraniční p ímkou,která má rovnici 5x _ 79_ 6 = 0 a bodem MÍ3,1').

3.65 Jsou dány body Á[3, _5], Bl'_7,2] a vektor u : (2, _3). Napišteanalytické vyjád ení poloroviny pB, je-li p(A,u).

3.66 Jsou drány body A|_7,_2], B|_5,I], CÍ_4,3]. Napište analytickévyjád ení poloroviny ABC (hraníční p ímkou je p ímka ,4'B).

a)r-fy*3=0,c)4r-39*8:0,

b)r+3y-2:0,d) 5r - 69 - 4:0.

3.55 Ukažte,žep imkap 4x_5y* 16:0 je rriznoběžná s p ímkou danouparametrick mvyjád enímr:2_3t, a: _4*2ti t R, aurčetejejich prrisečík.

3.56 Určete vzájemnou polohu p ímek p, q. Jsou-li p ímky rriznoběžné,určete jejich prťrsečík'a)p:2x-g+3:0) qir=3*2t, U-; Rb)p:3r*y-L0:0, q:r=4-t, A: -2*3; Rc) p: 5t _2y -|6 :0, q: t = _I*2t, y:4t5Ú; Rd)p:4r_3a*5=0, q:t:_2l5t, g =3*4Ú; R

30

3.67 Zjistěte, zda bod M je bodem konvexního ithlru AV B:a) Á[3, _2],vI-2,7], 8Í6,5], M[_I,2]b) á[-5' _3), v[4,1], B[_1, 2], MI_s, _2)

3.68 Zjistěte, zda body MÍ'_4,1], ,^'r[_3, _2] jsou vnit ními body trojíthel-níkl ABC, AÍ_7,_3], B[5,1], CI_2,4].

3.69 Vypočítejte sou adnice paty kolmice vedené bodem A k p ímce p:

a) Á[3, -7], Pi 5x _ 6y*4 : 0b) AÍ_4,2f, p: r : I +2t, a :2 _Ú; R

3.70 Vypočítejte vzdálenost bodu '4[1'3] od p ímky s parametrick m vy_jád ením r : 7 _ 3t, U

_ _2 -l 4t; t e R.

3.71 Vypočítejte vzdálenost bodu B[3,_7] od p ímky dané rovnicí 4z _

-3y*7:0..3.72 Najděte obecné rovnice p ímek, které procházejí bodem At2,3] a mají

od bodu B[0' _1] vzďá|enost u :4'3.73 Jsou dány body MI_2,3], á[5, _1], B[3, 7]. Určete všechny p ímky p,

které procházejí bodem M a mají od bodri ,4, B stejnou vzdálenost.

3.74 Na p ímce p; r-l2g _ 5 = 0 najděte bod, kter má od p ímky q: 3x __ 49 _ 5 :0 vzdáIenost o :2.

3.75 Vypočítejte délku v1 šky'u" v trojírhelníku ABC, kde Á[1,3], B[-3,0],CÍ4, _2J'

3.76 Ukažte, že p ímky p, q jsot rovnoběžné a pak vypočítejte jejichvzdálenost:a) p: 3r - 4A *15 =0, q:, 6r -8g : 0b)p: fu-I2g-l 10:0, q: r-2,4y-4,5:0c)p: r*2a_ 10:0, Qit:3_2t, a=2+; Ú Rd)p:r=7-6t, A=5+8t; t .R q:r:1,5s, A:3-2s; s R

3.77 Yypočítejte obsah čtverce, jehož rovnoběžné strany leží na p ímkáchdan chrovnicemi2r-6y *18:0, n- 39-1:0.

3.7E Napište rovnice os rihlri, jejichž ramena leži na p ímkách dan chrovnicemi 3x - 4y * 5 : 0 a 8r * 6y -f 7 : 0.

3.79 Vypočítejte obsah trojrihelníku ABC, je-li A|_I,2], B[3,5], CÍ4, _3).

3.E0 Vypočítejte obsah trojrihelníku ABC, jestllže A|2;I,5], 8[6;4,5)a vrchol C |eží na p ímce p dané rovnicí 3:t _ 4y * 30 : 0.

32

*3.81 Jedna strana pravorihlého rovnoramenného trojrihelnílr:.t ABC leží nap ímces parametrick mvyjád enímr: _6+4t, a: _7 1'3t; t '

R' Druhá strana tohoto trojírhelníku|eží na p ímce s parametrick mvyjád ením r= _7_3s, g _ 11*4s; s R. VrcholBmásou adnice

[6, 2]. Vypočítejte sou adnice zb1 vajících vrcholri.

*3.82 Vypočítejte sou adnice st edu ,S a poloměr p kružnice vepsané troj-rihelníku ABC, je-|í

'4'[_8, _5], B[6, _5], CI_3'7).

x3.83 Jsou dány body AÍ_2,2), .8[6' 8]' Bodem á vedte p ímku p a bodemB p ímku q tak, aby p ímky p, q byly navzájem kolmé a aby jejichprrisečík ležel na ose z'

3.E4 Zjistěte odchylku p ímky pi x _3 : 0 a p ímky q, n1/5_ 9 * 5 : 0.

3.85 Bodem AÍ2, _3] vedte p ímku kolmou k p ímce r; 2x - 7y * 73 :0'

3.86 Napište obecnou rovnici p ímky, která prochází prrisečíkem p ímekpi n*2y-l 5:0, q:5x-F3y _1=0a jekolmákp ímce r:3r_-4yt7=0'

3.87 Určete reálné číslo a tak, aby p ímka k: 4x * ay - 7 = 0 byla kolmákpímcel:3r_29*5:0.

3.88 Bodem MU,s] vedte p ímku, která svírá s p ímkou p 4a * 5 : 0

rihel o velikosti 45o.

3.5 Směrnicovy a ťrsekov tvar rovnice p ímky

3.89 Určete směrnici a napište směrnicov tvar rovnice p ímky, která jeurčena obecnou rovnicí 3r _ 29 * 4:0.

3.90 Napište obecnou rovnici p ímky, která má směrnici k a ptocháaí bo-dem Á, je-li:

a) /c: ?, AL6,-71 b) k: -r, A[-4,5]

3.91 Určete směrnici p ímky, která procházibody:a) á[_3, 21, B|_7, _6] b) Á[_1' 5), B[_7,7]c) AP\f2-2,4), a[-r/2,-s] d) AI-7,e1, 8[16,e]

33

3.93 Určete velikost rihlu, kter svírá p ímka daná obecnou rovnicí r _- rty + 4\/5* 3 : 0 s kladnou poloosou r.

3.94 Napište obecnou rovnici p ímky, která prochází bodem A[2,0]a s kladnou poloosou r svftá írhel o velikosti 60o'

3.95 Rozhodněte, zda p ímka daná obecnou rovnicí 7x * I4y * 8 : 0 jerovnoběžná s p ímkou AB je-li:

3.92 Napište obecnou rovnici p ímky, je-li dána její směrnice k a risek q,kter vytíná na ose 9.a)k:3, g=-2c) k: -i, q:4

4 Geometrie v prostoru

4.L Parametrické vyjád ení p ímky

4.1 Napište parametrické vyjád ení p ímky určené bodem ,4' a vektorem u,je-li:a),4[5, -8,2] u: (4,3,-1) b) AÍ2,0, _3] u : (_2,4,0)

4.2 Napište parametrické vyjád ení p ímky, která prochází bodem A a jerovnoběžná s p ímkou BC, je-li:a) á[9' _3, 1], BÍ_4, _7,6], C|2, _5,3]b) ,4[0' 4, _5], B[_3, 3, _8], CÍ_I,2, _8]

4.3 Napište parametrické vyjád ení p ímky ptochánejíci body ,4, B, je-Ii:

a) á[_1, 2, _5), B|3, _2, _4) b) Á[3' 0, _2), B[3, 5, _3]

c) Á[1' 0,0], B[4, -3,3] d) AÍ_7,_6, 4]' B|_7, 6, _4]

4.4 Napište parametrické vyjád ení p ímky M N, je-li MI2, _3,7],N[5, _1,4], a zjistěte, zdana p ímce MN ležibod,a) Al-4,-7,1f, b) B[11, 3, -2], CÍ_I, _7,4].

4.5 Hmotny bod se pohybuje rovnoměrně p ímoča e. P itom v čase : 0 sje v bodě M|l,3,4], v čase t :2s je v bodě N[5, 1,6].a) Určete parametrické vyjád ení trajektorie hmotného bodu.b) Vypočtěte sou adnice bodu, v němž bude hmotn bod v čase

: 0,5 s.c) Vypočtěte sou adnice bodu, v němž bude hmotn bod v čase

t: I2s.4.6 P ímka má parametrické vyjád ení:

a) r:-I-2t, A:5-4t, z- *3*6t; Rb) r : 3, A : -6-2t, z : 5l2t; t eRc) x:3+2t, A:4, z: -5; RUrčete prrisečíky dané p ímky s rovinami ta1 :tz1 yz'

4.7 Napište parametrické vyjád ení p ímky, která procházi bodemÁ[5, _3, 7] a je rovnoběžnáa) s osou r, b) s osou y, c) s osou z.

4.8 Zjistěte, zda p ímka daná parametrick m vyjád enímr:6*2t, a- -11-5t, z- 9-l3; Rprotíná některou sou adnicovou osu.

a) Al2,2l, B[8, -1]c) .4[-3,5], B[1,6]

a) ,4[5,0], B[0,2]c) Á[0,6]' B[_1'0]

b) k: -2, e:-5d)k:0, Q=7

b AÍ_2, _6], B[4, _9]

d) á[_3'5], B[_2'3]

b) AÍ4,0]' B[0' -3]d) á[0, **]' a[i'o]

3.96 Napište obecnou rovnici p ímky, která prochází bodem ,4[_1, 6] a jerovnoběžná s p ímkou danou rovnicí a :3t + 5.

3.97 Napište směrnicov1 tvar rovnice p ímky, kteráa) má obecnou rovnici 3x _ 29 _ 8 : 0,b) prochází body Á[_4, _3], B[1;4,5],c) má směrnici k: _} a vytíná na ose y risek g: $,d) prochází bodem AI3,4l a svírá s kladnou poloosou r rihel o veli-

kosti 30o.

3.98 Napište směrnicov1i tvar rovnice p ímky, která procházi bodem Aa je kolmá k p ímce p:a) A[4,3], pi U :2r -f L

b),4[6,7],Ta:-]r+l

3.99 Napište írsekov tvar rovnice p ímky AB, je-li:

3.100 Napište risekov tvar rovnice p ímky AB, má-li p ímka ÁB obecnourovntcl:a)2r-3y-6=0

34

b)4r-5y-120:0

35

4.9 Zjistéte, zda p ímka určená parametrick m vyjád ením

a)r-10-5, a:-3+1,5, z:-I*2t; t 'R,b)r= -4+t, !:10-2,5t, z=-6*1,5; R

pr ochází počátkem soustavy sou adnic'

4.10 Napište parametrické vyjád ení p ímky procházejici body K[3, -7 '2]'r']i,_+,'t1a určete zb vajici sou adnice bodu M tak, aby tento bod

ležel na p ímce KL je-lri:

a) Ml7,y,zl b) Mlr,2,z) c) Mlx,g,3]

4.11 Jsou dány body Á[5,3,6], B[_1,7,-2), Cl_g,_5,4|'a) Napište parametrické vyjád ení p ímky áB'b) Zjistěte, zdala,p ímce ABleží bod C'c) Napište parametrické vyjád ení p ímky, která prochází bodem Á

a st edem risečky BC'd) Napište parameirické vyjád ení p ímky ptochánejicí st edy irseček

AB a AC.

4.12 Jsou dány body A|2,g,_7), B|_4,3,5], C[6,5,_1]'a) Najděte p.ru*át.i"ké vyjád ení těžnice trojrihelníku ABC, ktetá

prochání bodem Á.b) Najděte parametrické vyjád ení p ímky CD, jestliže bod D je bo-

dem írsečky AB a platí |ÁD| :2lDBl'

4.13 Určete čísla o, b tak, aby bod C leŽel na pÍimce AB:a) A|L,2,3], BÍ3,_2,I), C|a,b,_3]b) AÍ2, -3:41, B|4, _5, _6|, C|a, + 5,9]

"j ,ti+, -b, 31, .8[6, 3, -t), cla,b - 4, a 't b]

i; ais, -2,i7, 817,6, -31, cla + 6,2b -t 3,3a - 2bl

4.2 Parametrické vyjád ení roviny

4.14 Napište parametrické vyjád ení roviny určené body:

a) AlI,3, -1], Bl2, 3, 31, Cl-2, -5, --7)b) ÁÍ-1, _1,0]' B[1, 1, 2l, CL2,2,3].) Al2,-3,51, B[1,0, -41, C10,2,7]d) Ál1,I,0], BÍ2,2,1], c[0,0,0]

36

4.15 Napište parametrické vyjád ení roviny určené bo{v- Á[1,0,3],

BÍ|z,3,0], C[-3, _2,4f a zjistěte, zda v rovině ABC |eži bod

Llo,l,2l.

4.16 Rozhodněte, které z bodri AU,2,3], 8[2,3,0], CÍ4, _7,3]|eži v rovině

danéparametrick mvyjád ením r:2_t*s, y = -1+t_2s' z=:3+2t-s; ,s R.

4.17 Určete sou adnice a!, bz, cs bodli A|a1, _3,7], B|0,b2,2f , C|_2,2, cg]

tak, aby uvedené body ležely v rovině dané parametrick m vyjád ením

n=1*4t-2s, A:-3t*s, z- -2+5t-s; s R'

4.18 Napište parametrické vyjád ení roviny dané

a) Lode* MÍ3,2,_1] a p ímkou, která má parametrické vyjád ení

r:2-t,9=3+2t, z:-t; t R,

b) lod"m Í'-r,1, -3] a p ímkou, která má parametrické vyjád ení

x=7-t, A:t, z: -2*3; R'

4.19 Zjistéta zda body A, B, C, D Ieží v jedné rovině:

a) Á[1,_1,0], BÍ3,_2,0], c[6, _2,.L], D|3,1,2]uj a[s, 2,L),- BÍI-,3, _1], C|2,_I,3J, DÍ_I,2,_2].7 ,l3,S,Zt, B[3, -6,1J, C[-,1, 1,0], D[-2, 1, --1]

O air, 2, -21, B[-3, 1; 3], c[0, 3,3], D[-2, 1, 1]

4.2o Zjistéte, zda bod B |eži v rovině určené bodem Á a p ímkou p:

uj a7s,_2,6], AÍ2,_l,3), p: x':3tť, a=2_t, Z:1]-2t; te R

ii aiz',-r',ri, Ais,-t,ol, p, r - 4-3t, a: -2+t, z:3-2t; t eR

4.2l Napište parametrické vyjád ení roviny, která prochází body A|L'0'2]'

ť

{

B|2,_t,4] a je rovnoběžnáa) s osou r, b) s osou g, c) s osou z.

'+,rL v soustavě sou adnic v prostoru je umístěn pravideln; čty bok jeh-

_ r bn ABCDV tak že 'o1o, o, 01, A|4,0,0], B[4, 4,Of, vÍ2,2,6]' Napište

parametrické vyjád ení roviny BCv '

4.23 Rovina má parametrické vyjád ení

a)r:3-3 -3s, A=-7t, z=5s;,s R,

b)": 2t*2s, a:6+6tz=9s;,s R'

Úrčete její prrisečíky s osami soustavy sou adnic'

4.24 Určete číslo a tak, aby bod Á ležel v rovině dané parametrick mvyjád ením x:3_t*s, y:t*2s, z: _I*tlas1' Í, s R, je-li:a) Á[0,0,0] b) Á[6' 0' 2] c) Á[8, 1,4]

4.3 obecná rovnice roviny

4.25 Najděte t i body v rovině dané obecnou rovnicí 2r _ y *3z _ 4:0,které tuto rovinu jednoznačně určují.

4.26 Rozhodněte, zda body A|2,1,3], B|_I, -8, 0], C[0, _7,2],D[Í7,I4,_I3] leží v rovině dané obecnou rovnicí 3x_g'l2z _ 11 :0.

4.27 ÍJ ete číslo d tak, aby rovina daná obecnou rovnicí 7x-8y_2z-ld: 0procházela bodem A|7,6, _3).

4.28 Napište obecnou rovnici roviny procházející body:a) A[2, _t,0], B[_1, 2, _3], CÍ_2, _3,7]b) A|_4,-1,3], 8Í7,I,6), CI6,3,2)c) Al2, -3, 11, B[0,0, 0], Cl-2,I, -5)

4.29 Napište obecnou rovnici roviny, která má parametrické vyjád enír:I- *3s, u:7+2t-s, z:-3* ts; ,s R.

4.30 Jakou obecnou rovnici má rovina, jejíž parametrické vyjád eníjer:-2+t, A:*t*s, z:3-2s;,s R?

4.31 Určete obecnou rovnici roviny, která má parametrické vyjád enír:3-|2t_s, y:_4t+2s, z: _5+ _3s; , s R,arozhodněte,zda je tato rovina rovnoběžná s některou sou adnicovou osou.

4.32 Napište obecnou rovnici roviny, která prochází body MÍ3,-2,_4],N|7,2,1] a je rovnoběžnáa) s osou a, b) s osou g, c) s osou z.

4.33 Najděte obecnou rovnici roviny, která prochází bodem MÍ7,9, _3] a jerovnoběžná s rovinou určenou sou adnicov mi osami a, 9.

4.34 Určete obecnou rovnici roviny, která prochází bodem Á[_3, 5, _7] a jekolmá k vektoru n: (1, _2,*I).

4.35 Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem AL2, _3,1] a jekolmá k p ímce dané parametrick m vyjád ením t : t, y :2+*3t,2:1-; R.

38

4.36 Napište obecnou rovnici roviny, která je určena bodem A[2,_3,I]a p ímkou mající parametrické vyjád ení tr : t, a :2*3t, z::1-; R.

4.37 Napište obecnou rovnici roviny, která procházi body A|4,_I,2],BI2,0, -1] a je rovnoběžná s p ímkou CD, C|3,2, _4], D[1, _1, _3].

4.38 Napište obecnou rovnici roviny, která prochází body A|3,2,_l1,B|4,I,1] a je rovnoběžná s p ímkou mající parametrické vyjád enír:5-t,A: -3+3, z:412t; t R.

4.4 Polohové ulohy v prostoru

4.39 Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají p ímky p, q, které jsou

dány parametrick mi vyjád eními:a) p: r : 8 - 4t, A = 4+8t, z = -72t; t e R

Qix:3+3s, A=1-6s,z: -2+9s; s R

b)p:r:3-t, U:-2*2t, z:3; Rqit-2*s,g:1-s, z:213s; s R

c) p: r:I-t, Y=2+t, z: -6-2t; t R

eix:4ls,y--1 -siz=2s; s Rd)p:x:3-t,A:-2 l2t,z:3; e R

Q;x,=2+s,g:1-s, z:913s; s R

4.40 Určete vzájemnou polohu p ímek p, q, jestIiže p ímka p je dána bodyAÍ2,0,3), BI_2,3,15], p ímka q body CÍ4,_I,8], D[1,2,_7).

4.41 Určete vzájemnou polohu p ímek p, q, jest|iže p ímka p je dána bodyA|7,6, -3], .8[6' 8, -6], p ímka q body C|6, _5,7), D|4, _1, 1].

4.42 P imky p, q maji parametrická vyjád ení:

a)p:r:2-3t, y:6+t, z:- ; eRq:r:L-2s, Y:3s, z:2ls; s R

b)p:r:4-2t,U:L+3t, z:-5-3; R

Qifi=7-7s, U:2+5s, z:-8-3s; s R

Zjistěte jejich vzájemnou polohu, a pokud jsou rriznoběžné, určetei jejich prrisečík.

4.43 Bodem á[-3,0,2] veďte p ímku rovnoběžnou s p ímkou, která máparametrickévyjád ení t:2t, a:1_3t, z__ 4*5 ; R.

39

4.44 Najděte reálné číslo o takové, aby dvě p ímky s parametrick mi vy-jád enímir:5,5-t, a:-3+2t, z:I*4t; te R,r=0,+3s, y- -2s, z:4-s; s R

byly rriznobéžné, a určete jejich prrisečík'

4.45ÍJkažte, že p ímky AB a CD, kde Á[-3,-5,1], 8[1,_8,0],C|8, _I2,7], DU4, -16,9], jsou rriznoběžné. Najděte jejich prrisečík.

4.46 Jsou dány body A|3,2,1], B[_5, _10, 5], CÍ4,7, _3], D[3' 5, _2]. Ur-čete, pokud existuje, prrisečíka) p ímky AB apÍimky CD,b) p ímky AB aisečky CD,c) risečky áB a p ímky CD.

4.47 IJ ete reálné číslo rn tak, aby p ímky AB, CD určené body Á[3, 2, 1],

B|2, _ 2, _ 4), C |_7, _3, 2), D|m, m + 2, 6) byly rriznoběžné.

4.48 Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají roviny p a o:

a) p: x :2*3u_u, 9 :I _9u-ťU, Z_ -3_ I2u_2u; u,u e Roi r : I -2s +t, A :2s - 3t, z : 2 - 4s - 4t; s, t eR

b) p: r:2*u-u, a:1-3u *u, z - -3- 4u-2u; u' o Roit:4_s'|t, a:_7*s_3t, z:*L7_2s_ 4t; s,ť R

c) p: r=3+2u-3u, A= -3u*u, z- -2+u*o1 u,'u Roi tr _3*4s lt, 9 : _6s, z _ _2+2s -t; s, Ú R

4.49 Ukažte, že roviny dané obecn mi rovnicemí 5r _ 3y * 2z - 5 : 0,

2r _ a _ z _ 7:0 jsou fivnoběžné, a zapište parametrické vyjád eníprrisečnice těchto rovin.

.4l'50 Vypočítejte odchylku osy r a pr sečnice rovin dan ch obecn mi rov-' " nicemi 2x*A-z*3:0, r-y+42:0.4.51 Určete vzájemnou polohu rovin p a o a v p ípadě, že jsou rriznoběžné,

určete i jejich prrisečnici:a) p: 2r - 5a -l 4z - I0 : 0, o: 4x - I0A *82- 10 : 0b) p: 2x - 5u *42 - I0 =0, oi n -y - z -2 :0c) p:2r-5A-l 4z-I0:0r o:4r-70y-22 -10:0

a.} Vyjád ete p ímku s parametrick m vyjád enim t : 3 _ 2t, y : 2 +.l' \'+ 2t, z = -5 * 3 ; R jako prrisečnici dvou rovin'

40

*4'53 P ímku z rílohy 4.52 vyjád ete jako prrisečnici dvou rovin' z nichžkaždá je rovnoběžná s některou osou soustavy sou adnic.

*4.54Pímkou s parametrick m vyjád ením r : 4_2t, a :3_t,\z _ _1 * ; R proložte roviny rovnoběžné s osami soustavysou adnic.

4.55 Určete sou adnice prrisečíkri roviny dané obecnou rovnicí x l3g _2z l* 6 : 0 s osami soustavy sou adnic.

4.56 Rovina má parametrické vyjád enía)r=3-3 -3s,y--7tz=5s; ,s R,

b) r:2t+2s, U=6+6t z:9s;,s R.

Určete její prrisečíky s osami soustavy sou adnic.

4.57 Rozh,odněte, jakou vzájemnou polohu má rovina p a p ímka p, znáte-l.ijejich parametrická vyjád ení:a) p: r=I-2r*5s, Y=213r, z:4s; r, s R

pi it : 4-3t, ! :5-3t, z : 4- 4t; t R

b) p: r:2-r *3s, g=3r- 4s, z:7 -l2r; r, s R

pi fr - 4+5t, a =3 _5t, z :1 t2Í; R

4.58 Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu má rovina p a p ímka p, jeJidáno:a) p:r-5a'f 4z-6:0

Pit:2-t, g:3t, z:31-4t; R

b) p:3r *a -32 - 13:0pir:3-2t, A=I+3t, z:-1- ; R

c) p:2x-7aiz-5:0pi r : 4_t, U= 8-3Ú, z :3*2t; t eR

4.59 Zjistéta jakou vzájemnou polohu má p ímka ÁB a rovina g, je-li dáno:

a) Al2,-3,-2f, B[3, -1,1],Pi t:2*r - 3, A :7+3r, z:312r*4s; r, s R

b) Á[6, _3, _5], BÍ7, _1, *5],

Qi r:3-r* s, A :5.|3s, z:9-1-4r"t-2s; r, s R

4.60 Zjistěte vzájemnou polohu p ímky AB a roviny p jeJi dáno:

a) Á[1, _4, _1], B|7, _4,ll, p: x * 2y _ 3z * 4 = 0b) AÍ7, _2, _3], B|4,_7,0], p: 2r _ 4y * 7z _ 3 : 0

4.61 Ukažte, že p ímka AB, kde A[3,_2,_I], 8|4,1,3], je r znoběžnás rovinou, která má obecnou rovnici 2t: _ 3y * z _ 2 = 0' Potom

' najděte jejich prrisečík.

4.62 DokaŽte, že body K[_7,2, _3), LÍ_2,3, _Illeži v opačn ch polopros-torech s hraniční rovinou, která má obecnou rovnici r*2g_3z_8 = 0.

Najděte prrisečík P p ímky K.L s danou rovinou aukažte, že je to bodisečky KL.

4.63 Najděte společné body roviny, která má obecnou rovnici 2x _y *3z __ 7 = O a p ímky AB, kde á[3, _1, 4], BÍ4, _I,2].

4.64Ukažte,že p ímka s parametrick m vyjád enim x:2 _ t, 9 _ _1 +* 3t, z : t; t R a rovina s parametrick m vyjád ením r : 6 **3r_ S, a:5_r_2s, z:r+s; r, s Rjsour znoběžné.Potomnajděte jejich prrisečík.

4.65 Zjistěte vzájemnou polohu a najděte společné body p ímky p a rovi-ny p:

a)p:x:-1 *2t,U-3+4t,z=3t; t .Rp:3r -3A *22 - 5:0

b)p:x:13-2t, Y:1-3, z:4-2t; t Rp:r*29-42*1:0

c)p:x:7*5t, y:4+t, z:5t4; Rp:3x-A*22-5:0

4.66 Jsou dány body A|I,_L'3], B[1,2,-3], CÍ2,_3,4]. Napište rovniciroviny ABC a určete její prrisečíky se sou adnicov mi osami r, y, z.

4.67 Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A|L, _3,0] a je

kolmá k p ímce s parametrick m vyjád ením r : I * t, y : 3 * 2t,

z : _7 _ 4t; t R. Pak zjistěte vzájemnou polohu a společné bodytéto roviny ap ímky s parametrick1ímvyjád ením o:5+3s, y::2sr z =1*s; s R.

4.68 Určete reálné čis|o m tak, aby p ímka AB,kde Af\,-l,m}, B[2,I,3],byla rovnoběžná s rovinou' která má obecnou rovnici 2r _ 3y * z _

-7=0.4.69 Zjistěte vzájemnou polohu roviny' která má obecnou rovnici x -l 29 -

_ z * 4: 0 a p ímky, kteráje prrisečnicí rovin p: 2t _ u _ 3z *3 = 0,

o:3xlA-42t7=0.

42

4.70 Jsou dány body AI2,0,3], B[2,2, -7], CL3, _I, _2] a rovina,ktetámáobecnou rovnici 3r * g - 2z - 5 : 0.a) Veďte bodem ,4 p ímku p rovnoběžnou s p ímkou BC.b) Ukažte, že p ímka p je r&znoběžná s danou rovinou, a najděte

jejich prrisečík.

4.71 Jsou dány p ímky nL, n, I)iŤTL:.r:5+3Ú, a=8-6t, z= _6*9 ; RniÍ:7_2r,a=4+4r, z: _6r; r Rp:iD:10+s, A:3-2s, z=2*3s; s R

a) Určete vzájemnou polohu p ímek ffit fu, P'b) Najděte obecnou rovnici roviny p, která ptochází bodem A[I,\_I]

a je kolmá k p ímce rn'c) Zjistěte vzájemnou polohu a najděte společné body p ímky p

a roviny g.

4.72Jsou dány roviny p:5t*3y'f 2z _5 _ 0, o:2x_a-z _1:0,r:4r-39*72-7:0.a) Určete parametrické vyjád ení prrisečnice p rovin p a o.b) Zjistěte vzájemnou polohu p ímky p a roviny 7'

4.5 Metrické ulohy

4.73 Napište obecnou rovnici roviny, ktetá ptochíní bodem M a je kolmák p ímce ÁB:a) Ml3,-1,61, Af3,2,-11, B[5, -1, -3]b) MI\, _7, _II), A|_4, _3, _2], BÍ-1, 2, _3]

4.74 Napište obecnou rovnici roviny' která prochází bodem AI7, _5,3] a jekolmá k p ímce s parametrick m vyjád ením:a) r :2+3t, A = 5t, z : 7 - 2t; t e Rb) x=L*4s, A - 17 - s, z:29; s .R

4;'75 Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem 1([-6,0, 13]' a je kolmá k p ímce p:

a)p:3r*2y-z*7:0 b)p:5r-A*22-L7=02r-y-32:0 x-99-4211=0

43

a t xu dány body A, B a rovina p. Najděte obecnou rovnici roviny,i která procházíbody A, B aje kolmá k rovině p, je-li:

' a) Á[1, _1, 3], B[_2, _I3,2), p: 2r _ 3y -f 8z _ 6 : 0b) AL2, -1,3], 814,5,7), p: 3r - 7a -l2z * 8 :0

4.77 Najděte obecnou rovnici roviny, která prochází p ímkou p a je kolmák rovině p, je-li:a)p:r =1+6t, A=-3-3t, z--2+3; R

p:6r-A*42*7:0b) p: r- -6- 2t, U - -7 +4t, z :7*2t; t R

p:2r-4y-52*19:0

4.78 Určete sou adnice paty kolmice vedené bodem K k p ímce p, je-li:

a) K[5,-7,2], pi!t.=I-t, a- -4+t, z:7*3 ; Rb)K|2,3,0], p: r:_3-2t,a:_I2_3t, z:1* ; Ú R

., ,") Kl4,-I,13], p: r:3-4t, y=-4+3t, z:2- 5; R

4.3'9 Je dán bod á a dvě roviny p, o. Najděte obecnou r vnici roviny, která' prochází bodem A a je kolmá k rovinám p, o, je-li:

a) AÍ1,_2,4f, p: 2r *g _ 3z *7 :O, oi t _2a _ zt4 :0b) Á[3'1,_1], p:r*3y_2z *16:0, o:5l:_a+z *9:0

4.80 Najděte obecnou rovnici roviny, která procházíbody M, N a je kolmák rovině p, je-Ii:a) M[4,2, -2],lf [-3, -1,3],

Ptr-3-2t+st a:2-4t+3s, z:4+t-3s;,s Rb) MIs, -6,61, N[-2,3,8],

Qi !I::7 +t+2s, a _ I+7t_2s, z:3_4t; Ú, s R

4.8L Je dána p ímka p: AB, AI_4,_4,I], Bl_I,_3,2), a rovina p =- KLM , K|2, -5, _6), L[_L,0,3], MÍ3, _3,2]'Najděte obecnou rov-nici roviny, která prochází p ímkou p a je kolmá k rovině p.

Určete obraz bodu AÍ3, _4, _6] v rovinové souměrnosti určené rovinousouměrnosti s obecnou rovnicí r _ y _ 4z _ 13 : 0.

ixjg Ure"t" obraz bodu M[O, _I,6] v rovinové souměrnosti určené rovinou/ ''souměrnosti ABC, AI_6,I,_5], B[7,_2,_I], CF\,_7,I).4p{ Určete obraz bodu K[2,6,8] v rovinové souměrnosti určené rovinou' _souměrnosti

s parametrick m vyjád ením r :7_r*s, a : I_r1 z ::6ts; r,s R.

44

4.85 Určete obraz bodu á[1, 10, -8] v osové souměrnosti s osou' která máparametrické vyjád ení t:I_2t, a _3It, z - _1+3 ; R.

4.86 Je dánarovina p:2t*3y _, -6= 0 ap ímka pi r =I_t, y _2*t 2t, z = 4 * 3 ; R. Napište parametrické vyjád ení p ímky q,

, která je pravorihl m prrimětem p ímky p do roviny p.

4.87 V krychli ABCDEFGÍI jsou dány roviny AFH = p a CGE : o.Dokažte, že plati Q L o.

4.EE Napište obecnou rovnici roviny' která prochází prrisečnicí rovin 4l, oa je zárove kolmá k rovině r, je-li:pi t _ a *I : 0, o: 2x * y * z : 0, Ťi 2x *y_ zt3 : 0.

4.89 Vypočítejte vzdálenost bodu AÍ5,_7,3] od p ímky s parametrick mvyjád ením t : -I * 2t, y : -5 f 3t, z : _2 1-2t; t e R.

4.90 Určete vzdálenost bodu M[3,_1,4] od p ímky AB, je-li A|0,2,Il,B[1,3,0].

4.91 Určete vzdálenost bodu B[I,2,3) od p ímky určené bodem,4[5, 10, -1] a směrov m vektorem U = (_1, _2, 1).

4.92 Vypočítejte vzdálenost bodu Á od roviny p, je-li:

a) Á[3'5,-6], p: 2x -2y * z-8 = 0b) á[_1' 3,2f, p: 3r _ 49 -l5z * 15 : 0

4.93 Jsou dány body AII,_2,_2], B[2,_1, _1], CII,_I,_2], D|0,2,_21.a) Vypočítejte vzdálenost bodu D od, roviny ABC.b) Najděte obraz bodu D v osové souměrnosti s osou ÁB'

4.94 ově te, že roviny dané obecn mi rovnicemi:x+y * z _6:0 a z ** a * z - 3 : 0 jsou rovnoběžné, a určete jejich vzdálenost.

4.95 Jsou dány roviny (t' o parametrick mi vyjád eními:

Qix:2t, y-2r, z=2-r-s; r,s Ro; t : I - u -2u, A - u,1 z : u; u, a e.Rově te, že jsou rovnoběžné, a určete jejich vzdáIenost.

4196 V kartézské soustavě sou adnic v prostoruje umístěn pravideln čty -bok jehlan ABC Dv tak, že A[2, 3, 0], B[4,3, 0], C[4, 1, 0], D[2, 1, 0],vÍ3,2,4]. Určete vzdálenost st edu S podstavné hrany BCa) od p ímky Av, b) od roviny ADV.

45

4.97 Yypočitejte odchylku clvou rovin dan ch obecn mi rovnicemi:a) rta*22 -5=0, r-2g-z*B=0b) 3r - 4y -l z- 6 : 0, 2r *a -22 * I - Oc) 3r * 4y - 5z - G:0, 4r - 5g t3z +2- 0

4.98 Vypočítejte odchylku roviny dané obecnou rovnicí 3r*5 : 0 a rovinys parametrick;fm vyjád ením a : 3 f r _ 2s, a : 2 _ r l 2s,z:-I-4r1 r,s R.

4.99 Určete odchylku p ímky s parametrick m vyjád ením r : 51-t, y =: 1 f 3t, z : _2t; t R a roviny dané obecnou rovnicí 2r _y 1-*32-4:0.4.100 Je dána p ímka I)i t = 1 * t, a : 2 _

p: 39 *8 : 0 a rovina o'. x :5 - r - 3s,*4r; r,s R.a) Vypočítejte odchylku p ímky p a tovíny p.b) Vypočítejte odchylku p ímky p atoviny o.c) Určete odchylku rovin p a o.

4.101 Určete odchylku p ímky p s parametrick m vyjád ením r: : _I __t,a: _1 +3', z_t; t Rasouadnicovérovínyl:g.

4.102 Je dáno:pir-glz*I:0 Q::x-A*z:0

r+A+32-3=0a) Vypočítejte odchylku p ímky p a roviny p.b) Určete prrinik p ímky p a rovinv p. ;

4.103 Je dán pravideln; čty boky jehlan ABCDv, délka jeho podstavnéhrany a - 6 cm, v1iška jehlanu u : 3t/Žcm. Zvo]te vhodně soustavusou adnic v prostoru a vypočítejte odchylkua) p ímky AV a rcviny podstavy jehlanu,

. b) roviny ADV a roviny podstavy jehlanu.

4.104 Určete odchylku dvou sousedních stěn ABE a BCE pravidelnéhoosmistěnu ABCDEF. Zvolte soustavu sou adnic .,, p.o.to.r, tak, žepočátek je st edem čtverce ABCD.

46

t,z:t;reR,rovinaa=16.lr-3s, z:3*

4.105 Je dán čty stěn ABCD, Á[0,1,3], BII,0,2), C|_2,_I,5],D[0, _2, _6]. Vypočítejtea) odchylku p ímky AD a rcviny ABC,b) odchylku rovin ABC a ABD,c) odchylku p ímky DC arovíny ABD,d) odchylku rovin ABC a BCD,e) obsah stěny ABC,f) objem čty stěnu ABCD.

*4.106 Paprsek vychánejíci z bodového zdroje P se oďtáží od rovinnéhorozhraní a po odrazu dopadá do bodu M. Určete sou adnice boduodrazu l ,

jestliže ve zvolené soustavě sou adnic v prostoru má bod Psou adnice[0' 0, 0], bod M má sou adnice[1 , _2,2) a rovinné rozhraníje určeno rovnicí r _ u _ 4z _ 13 : 0.

5 Kuželosečky

5.L Kružnice

a kulová plocha

5.1 Napište st edovou rovnici kružnice k(S, r)' je-li:a) .9[-4,3], r:5 b) S[3, -6], r:4 c) S[-1, -2], r: t/5

5.2 Najděte sou adnice st edu a poloměr kružnice, jejíž st edová rovniceje'

") (r - 2)' + (a- 3)t : 4 b) (r +2)2 + (a - 4)2 : r

c) (r*I)'+@*5)2:2,25 d) ("- 3)'+(a+I,5)2 -25.3 Najděte sou adnice st edu a poloměr kružnice' jejíŽ rovnice ie:

u) 12 +a2 _6:t-ť4a _23:0 b) 12 +a2 _4x *69 *3:0c) rz +a2 +8y-9 d)x2+92+2r:5")

12 +a2 +6r -8g* 13:0 f) x2 +az +t/8r - ivg:g5.4 Rozhodněte' která z následujících rovnic je rovnicí kružnice:

a) 12 +yz -3:x-f5y -7:O b) 12 +y2 -8r1_25:0c) 12 +y2 -6n-f4g -12:0 d) 3rz *3a2 -br-l4y f 11 :0

47

5.5 Napište rovnici kružnice, jejímž pr měrem ie ťrsečka,4B: 5.14 Určete rovnici kružnice, která prochází bodem K[_4,4] a prrisečíkykružnice dané rovnicí 12 +y2 _ 4r _ 4y : 0 s p ímkou, která má rovnici9: t'

6.15 Určete sou adnice společn ch bodri kružnic dan ch rovnicemi:u) ď + a2 : 25, ď + a2 *8r * 4y _ 65 : 0b) (" _ I)' + (a +6), _ 49, ď + y2 + 4t *6a _ 12 = 0

a) ,4[0,0], B[-4,G]c) ,4[0, -3], B[4,s]

u) r'+a2 =2c) ď +u2 =25e)12+y2+6r-8y=0

b) á[_3,0], B[3,6jd) A[2, -2], B[-2, _5]

b)ď+y2_5=0d)12+y2-8n-4y-5=0

y s kružnicí, jeJi dána její

b)ď+y2_Ily_24=0d)x2+a2+8r*6y+20=o

.16 Určete všechna o R,apímkaorovnicia)2r-ula:0

pro něž má kružnice s rovnicí x2 + y2 : 4

b) ax -4y -16:O

5.6 Zjistěte, pro které hodnoty parametru p jsou dané rovnice rovnicemikružnice. Určete sou adnice st edu kružnice a její poloměr.a) ď +y2 +4u_6y*p_0 b) 12 +y, Jžr'+LOyap:gc) ď +a2 _x _2y-fp_0 d) x2 +u2 _3t+5a'+p=o

5.7 Napište rovnici p ím^ky, která prochráaí st edy kružnic, jejichž st edovérovnice jsou (r - 2)2 + v2 = 16, ,, + (y _ B), = g.

5.E Určete polohu bodu ?[-2,1] vzhledem ke kružnici a k její vnit nía vnější oblasti; kružnice má rovnici:

5.9 Napište rovnici kružnice opsané trojťrhelníku ÁBC:a) A[_1,3], B[0, 2], CÍ, _| b) Á[0,0], B[3,0J, c[0,4]

5.10 Ukažte, že množinou všech bodri X roviny, které mají od boduA[_2,9] t ikrát větší vzdálenost než od bodí 8[6,_7],je kružnice.Určete sou adnice jejího st edu a poloměr.

právě jeden společn bod.

.17 Napište rovnice všech kružnic, které se dot; kají sou adnicov ch osa procházejí bodem:a) P[L,2] b) Q[2,1] c) .R[6,6] *d) T[0,5]

6.18 Napište rovnici kružnice, která má st ed v počátku soustavy sou adnica dot,ká se p ímky dané rovnicí r _ 3 = 0'

6.19 Najděte rovnici kružnice, jejíž st ed Ieží na ose Í a která se dot ká, p ímek dan ch rovnicemi x _ 8 = 0, 9 _ 3:0.

.20 Najděte rovnici kružnice souměrně sdružené s kružnicí, která má rov_nici (r_1)'+ @_2)':1vzhledem kp ímce o rovnici r_y_3=0'

6.2l Napište rovnici kružnice, je-li dán její st ed a rovnice p ímky, která sejí dot ká:a) .9[-4,0],r*y-O b)

^9[1, 2], 8x * 15e * 13 : 0

i6.22 Určete rovnici kružnice vepsané do trojrihelníku, jehož strany leži nap ímkách o rovnicích3r - 4y- 5 : 0, 8x -f69- 19 : 0, 5e t I2g -27 = 0.

6.23 Určete rovnice všech kružnic, které se dot kají osy e, proch ázeji bo-dem M[4,3] a mají st ed na p ímce procházející st edy kružnic bt, bz,jeJi dáno:b1:12*y2-6r*2y-6, bz:12*g2+I2n-4a:O

6.24 Napište rovnici kružnice, která prochází bodem AÍ4,21 a dot; ká seosy Í v bodě B[2,0].

5.2 Kružnice a p ímka

5.11 Určete sou adnice společn1 ch bodri os r,rovnlce:a)ď+y2_4I*59_0c)ď+v2_6y*8:0

5.12 Určete sou adnice společn ch bodri p ímky dané rovnicí 7x,_y*I2 = oa kružnice, která má st edovou rovnici (" - 7), + (y - 2), : zs.5.13 Určete vzájemnou polohu p ímky p a kružnice k:

a) p: 2r -y -6 = O, k: xz +yz - 4n_5y_ 1 : 0b) p: r * y - 8 : o, k: 12 + a2 + lgx * L4y * 114 = oc) p:2r -A:0, k: x2 +yz -Br*2y -J:0ď) p: x _2y_L=O, k: (r_D, +@ + 1)2 _ 5e) p: r+3y+ 10 = 0, k: ď +!2 =I

4849

5.25 Napište rovnici kružnice, kteráprocháaí bodem A[4,I]a dot ká se osyy v bodě B[0' 5].

5.26 Určete vzájemnou polohu kružnice dané rovnicí *2 + y2 - 4r * IOg I+ 24,5 = 0 a p ímky o rovnici r _ a + c : 0 v závislosti na hodnotěparametru c.

*5.27 Najděte rovnici kružnice, která prochází jak prrisečíky kružnic, které,'mají rovnice x2 +y2 +2x _2y _3:O, x2 *-a, +tzi+sa+30:0,taka) bodem P[0,0], b) bodem Q[2,7],c) prrisečíkemp ímeko rovnicích 2r_3y t4:0, 3r_5g*7:0'

5.28 Diskutujte počet společn ch bodri kružnic dan] ch rovnicemi ď +!!2 __ IDx _6y -l 78:0, :Í2 *y, _2l:*P = 0, v závislosti na hodnotěparametru p.

5.29 Určete hodnotu parametru p tak, aby rovnice *, +a2 _6r-2y *p : 0určovala kružnici, kteráa) prochází bodem A[_I,2], b) se dotyká osy gr,

c) se dot ká p ímky y : f,.

5.30 Najděte rovnice tečny kružnice k v daném bodě:a) k: x2 *a' :25, A[3,4]b) k: ď l y' = 13, B|2,9 > 0]c) k: ď -| a2 _ 6r _ I}y * 9 : 0, C?1,,2]

5.3L Určete všechna reálná čisla m, pro něž je p ímka p tečnou kružnice k:a) p: 3r * 4y * m : 0, k: ď + y2 = 25b)p:r--T+mt, U:-771-t; t R, &: t:2+g2=169

5.32 Určete rovnice tečen kružnice & v jejím bodě ?:a) k: rz I u2 :25, T[3,ys]b) k: (r - 3)t + (a + 5)2 :20, TIxo, -Jl

5.33 Napište rovnice tečen kružnice &, které jsou rovnoběžné s p ímkou p:a) k: (:r - 2)' + @ +6)' : 13, p: 2r - By* b : 0

' b) k: ď +y2 _5r *7g *I,5=O, p; 4x-la _7 :05.34 P i stejném zadáni írtvarri k, p jako v ítloze 5.33 určete rovnice všech

,) tečen kružnice k,kteréjsou kolmé k p ímce p.

50

5.35 Určete odchylky tečen kružnic dan ch v ítloze 5.15 ve společn;fchbodech těchto kružnic.

5.36 Vypočítejte velikost rihlu, pod kter m je vidět kružnici k z bodu R:a) k: ď + y2 + 3r * 4y_ 6 : 0, RI_7,_2]b) k: 12 I a, - 2r * 4y - 20 = O, RI-2,s)c) k: x.2 + a2 +2x - Bg- G : 0, R[3,0]

*5.37 Určete společné tečny kružnic k, l:a) k: (r- 3)t + @ + I), : 36, J: (r - II)2 + (y - 3), : 4b) k: ď + a2 +2x *6y- 6 : 0, l: x2 + !2 : 9c) k: ď + u' + 2a _ 8 : O, I: *2 + y2 f 8r * 69 * 16 : 0

*6.38 Jsou dány body A[L,I], BI5,-2]. Určete rovnice všech kružnic, kterése dot kají osy jÚ a v bodě A p ímky AB.

6.3 Elipsa

.39 Napište rovnici elipsy, jejíž osy spl vají s osami soustavy sou adnic,a která procháníbody K|21/5,r/a], r'1a,o1.

.40 Napište rovnici elipsy, jejíž hlavní vrcholy jsou ,4[0, _3], B[0, 3] avzdá-lenost ohnisek je 8.

5.4L Určete sou adnice ohnisek, délky hlavní a vedlejší poloosy a excentri-citu elipsy dané rovnicí:a) 9xz *25y2 = !,c) 2ď * y2 :32,

b) 16x2 *25y2 = 400,

6.42 Napište rovnici elipsy se st edem S[m,n], jejíž hlavní osa je osa ra je-li:a) a:5, :3b)

" _ 10, vzdálenost ohnisek |Er|: 6

.43 Napište rovnici elipsy se st edem S[rn,n), jejíž ohniska |eži naose gt aa) poloosy mají délky 7 a 9,b) vzdálenost ohnisek je 6, hlavní poloosa má déIku 4,c) vzdálenost ohnisek je 6, e : O,6a,d) vedlejší poloosa má délku 10, excentricita je e = #o.

tI

&

51

5.44 Jakou rovnici má elipsa, která se dot ká sou adnicov ch os, její osyjsou rovnoběžné se sou adnicov mi osami aa) st ed má sou adnice 5[6, _4],

b) osy r se dot ká v bodě RÍ_4,0|, osy 9 v bodě Q[0'5]?

5.45 Zjistěte, které z následujících rovnic jsou rovnicemi elipsy. Potomurčete sou adnice st edu a délky hlavní a vedlejší poloosy elipsy.a) 9n2 -t 25y2 - 54r - looy - 44 = ob) 7x2 -125y2 - 24r * 1009 * 139 = oc) 7r2 +5a2 - 28r * 38: o

d)9r2+y'+9r-4y-oe) 9n2 * 4a2 - 36x *72g * 360 = 0f) 4:r2 +9g2 -8x-32:0

5.46 Elipsa je dána rovnicí 4r2 + 9y2 : 36. Najděte její společné bodys p ímkou, která má rovnici:a)2ri-3s-6:0 b) "-y-6:0 ")

2x+3rty-12=05.47 Vypočítejte délku tětivy elipsy dané rovnicí :ť + 2g2 : 18, která leží

na ose I. a III. kvadrantu.5.4E Do elipsy je vepsán čtverec. Vyjád ete obsah čtverce pomocí délek

hlavní a vedlejší poloosy elipsy.*5.49 Na elipse o rovnici 4ď + 9g2 : 36 najděte body, které mají nejmenší

(největší) vzdálenost od p ímky dané rovnici 2l; * 33r _ 15 : 0.

Vypočítejte tuto vzdálenost.

5.50 Určete sou adnice společn1 ch bodri p ímky a elipsy, jsou-li dány jejich

rovnice:a) 3r - 4y - 3 = 0, 3t:2 -f 5g2 :129b) 5r -| y _ 20:0, 25ď + 392 : 300c) r *2g - 15 :0, 3r2 + 2gz :34d) r : t4 L, Y :2t -1; R, 9t2 +L6A2 :I44e) 3r * 2y - 76 : 0, 12 + 4y2'l 4r - 89 - 32 = 0

5.51 Určete všechny hodnoty parametru {, Pro které má p ímka danárovnicí U : r* q s elipsou o rovnici 9x2 + 7692 : I44 aspo jeden

společn bod.

5.52 Do elipsy, která má rovnici 12 + 9y2 = 9, je vepsán rovnostranntrojírhelník souměrn podle její hlavní osy. Určete sou adnice jeho

vrchohi.

52

t6.53 a) Je dána elipsa o rovnici b2ď +a2a2 = a2b2. Určete rovnici kružnice,která má s elipsou jedin společn bod B, má maximální možnpoloměr a její st ed ležina risečce SB' kde s[0,0], B|a,O)'

b) Řešte obdobnou rilohu pro bod C[0, Ď] a minimálni možn poloměr

kružnice se st edem na polop ímce SD, kde S[0,0], D[0, - ]'

5.54 okenní otvor 3,60 m širok se má p eklenout obloukem elipsy o vyšce

1,20m, jehož nejvyšší bod je od st edu elipsy vzdálen 1,70m' Určete

délky vzpěr v rámu, které jsou umístěny 0,8 m od okrajri otvoru'

5.55 Jeden z technick ch mechanismri tvo í dvě drážky v navzájem kolm ch

lištách, v drážkách se pohybují kolíky, kter; mi je zakončena tyč dlouhá

1,20m. Zkoumejte k ivky, které p i pohybu tyče opisují značky jejího

rozdělení na dgcimetrové dílky.

6.4 Druhá definice elipsy

.56 Elipsa je dána rovnicí Ť * * : ,

a) Určete délky poloos, excentricitu a sou adnice st edu, hlavních

i vedlejších vrcholri elipsy.b) Určetě ohniska elipsy a ke každému ohnisku najděte p íslušnou

ídicí p ímku.c) Vypo3ítejte numerickou v1 st ednost a ukažte, že d'aná elipsa je

množinou všech bodri, jejichž poměr vzdáleností od ohniska a p í-

slušné ídicí p ímky se rovná numerické v1 st ednosti'

5.57 Řešte rikoly zadarré v íioze 5'56 pro elipsu, která má rovnici

3(r*t)2+a@-3)2:L2.6.58 V rovině je dán bod M a p ímka p tak, že vzdálenost bodu M od

p ímky p je 6. Zvo|te vhodně soustavu sou adnic v rovině a určete

množinu všech bodri X roviny' pro které p|ati, že jejich vzdalenost

od bodu M je dvakrát menší než od p ímky p. Charakterizujte tutomnožinu bod .

5.59 Zdrivodněte, že množina všech bodri v rovině, které mají od p ímkyo rovnici z = 8 t ikrát větší vzdálenost než od bodu K|0,4],je elip-

sa. Určete její rovnici, délky poloos, excentricitu, sou adnice st edu,

ohnisek, hlavních a vedlejších vrcholri.

53

5.5 Parabola

5.60 Napište rovnice parabol, které mají dáno ohnisko ,F'a ídicí p ímku d:a) F[4,0], d,: y - 2 b) Í'[s, _B], d: a = _rc) f'[-6, 4), d,: y = $ a; ri_a, |á], i, a = _4e) F[2,5], d:x=Q il FÍ4,z], i' r=ss) F[6, 2), d,: x = 8 h) i'i-l,'B], d,; r = _0,5

5'61 Určete ohniska a ídicí p ímky parabol, které mají rovnice:a) 4r : 92 b) 6x = -0,725y2 c) 2(a - B) = u,d) 0,5(r * 2) _ a, e) 3r = 6(a _ 2), í7 o',zs, ! _@ + +),

5'62 Určete ohnisko, vrchol a ídicí p ímku paraboly dané rovnicí:a) 12 +4y -6x fJ: o b) xz +gy *6x_ 9 = o

") y2 +8y *Br - 6 = 0 d) y, +IOy+Sr+ 54 _ 0

5.63 Popište shodná zobtazeni, jimiž lze zobrazit vhodné paraboly, kterémají rovnice y = afi2, a ) 0, na jednotlivé paraboly dané v riloze5.62.

5.64 Popište shodná zobtazeni, jimiž lze zobrazit vhodné paraboly, kterémají rovnice a = _afi2, o ) 0, na jednotlivé paraboly d.né .,, írloz"5.62.

5'65 Určete vrcholové rovnice všech parabol, které mají osu rovnoběžnousosouyaa) mají vrchol {[s's] a procházejí bodem AI0,2],b) mají vrchol v!6, '?] a procházejí bodem

'B[s,'_s],

c) prochrázejí body c[0, _1], D[_2:7], EI5,I4]', 'd) mají vrcholovou tečnu ui a :2,5 i'prirnaráiibody K[3, 4], L[6,7].

5'66 Je dána trojice bod ,.A|2,4], BI_1,7), C[I,3]. Určete rovnice všechparabol, které procházeji body A, B,' C ' *.1ia) osu rovnoběžnou s osou 3l' b) osu rovnoběžnou s osou u.

5.67 Řešte ťrlohu 5.66 p i těchto zadáních bodri:aJ ,ai-5,31, B[1,9],

_C[-B-,b; 6] b) ,4[0, 0], B[4,5; s], CIr2, _61

c) ,4[3, J], B[0, Iz), C14,6)

54

6.68 Určete čísla o, b, c tak, aby parabola s rovnicí ! : ax2 * bx * cprocházela body:a) A[7,1], B[0, -4], CI-2,-21 b) ,4[1, J), BI2,-r), C[_1,_Z]

6.69 Prriměr parabolického automobilového reflektoru je 24cm, hloubkareflektoru je 12cm. Určete rovnici parabolického ezu a vypočtětepolohu vlákna žárovky,je-li reflektor zapnut na dálková světla (vláknoje v tomto p ípadě v ohnisku).

.70 Hmotn bod se pohybuje po p ímce z bodu o počáteční rychlostí48km'h_1a se zrychlením 3m.s-2. Ztychlení má opačn;. směr nežrychlost. Určete největší velikost posunutí, jíž hmotn; bod dosáhneod počátku pohybu; použijte graf závislosti velíkosti posunutí na čase.

i6.71 T}ubice dlouhá 2m je upevněna ve vodorovné poloze na stojanu vy_sokém 4,5m' Z jednoho konce trubice je vymrštěna kulička rychlostí^ -12m.s-', z opačného konce jiná kulička rychlostí 4m.s_1. Zvoltevhodnou soustavu sou adnic a napište rovnice k ivek, po nichž (p izanedbání odporu vzduchu) se kuličky pohybují' Zakreslete graÍ iá-vislosti jejich vzájemné vzdálenosti na čase.

.72 Vypočítejte sou adnice společnych bodri paraboly dané rovnicíx2 _ 4g: 0 a p ímky, která má rovnicia)r-A=0, b)o*g:0, c)x-2y*4=0.

6.73 Jak dlouhou tětivu vytíná parabola o rovnici a2 _ 8x = 0 na p ímcedanérovnicí r_u_2=0?

6.74 Určete sou adnice společn; ch bodri p ímky a paraboly, jsouJi dárryjejich rovnice:a)3r-2y-fS:a,y2=20rc) x*2A-4=0, 12 -l 32g:g

b)z+A-3:0,U2:-8rd) "-4=0, 12 -l 32y:g

.75 Je dána parabola o rovnici a = _8x2 a body AI2, -2], B[_I, _6],CI_-L,4], DI2,5]. Určete sou adnice všech společn}crr uáari p.rubolya tohoto ritvaru:a) írsečky ÁB, b) polop ímky CA, c) polop ímky BD,d) risečky DC, e) p ímky Dá, f) polop ímky CB.

5.76 Je dána parabola o rovnici 4x : _y2 a bod M ' Určete rovnice všechp ímek, které procházejí bodem M a maji s parabolou právě jedenspolečn bod. Volte:a) Ml0,0l b) M[-3, -1] c) M[0,5] d) MI2,-11

5.77 Je dána parabola o rovnici 9 = 2x2 _ 5r a bod K|2, *2]. Určetorovnice všech p ímek, které procházejí bodem K a maji s parabolouprávě jeden společn; bod.

5.78 Vyslovte charakteristickou vlastnost p ímky, která není tečnou para-boly.

5.79 Určete polohu daného bodu vzhledem k dané parabole, k její vnit nía vnější oblasti:a) parabola má rovnici 4t : y2 , body Á[_1, 3], B[3, _2], C|s,6]b) parabola má rovnici a2 +:t _ 2a * 1 : 0, body AÍ3, _4], B[_10, 1],

cl-25, -41c) parabola má rovnici 12 + 4x - 4g + 8 : 0, body á[1, 2], BI_1,5],

c[-2,r)5.80 Parabola o rovnici 2px = y2 se dot ká p ímky, která má rovnici

3:t _ 4y * 6 : 0. Určete parametr paraboly a sou adnice bodu dotyku.

5.81 Určete rovnici tečny paraboly v jejím bodě 7:a) parabola má rovnici 9 :2x,2 _ 5x * I, T|2,yg)b) parabola má rovnici r : _a2 * 4y _ 7, T[l:g, -2f

5.82 Napište rovnici tečny k dané parabole v jejím bodě Á:a) parabola má rovnici a2 :2x, AÍ2,_2]b) parabola má rovnici 3y2 + t _ I2a + 14: O, A[_2,2]c) parabola má rovnici 12 + 6r _ 2y * 15 : 0, ,4'[_3,3]d) parabola má rovnici y2 :7t, Aff,,u > O]

e) parabola má rovnici y2 :3l:, A[x,6]

5.83 Napište rovnici tečny dané paraboly procházejici bodem B:a) parabola má rovnici g2 :8x, B[_3, i]b) parabola má rovnici y2 _ 16r _ 4y _ 12 : 0, BI_7,0]

5.84 Napište rovnici tečny paraboly rovnoběžné s danou p ímkou p:a) parabola má rovnici a2 :9x, p: 5r _ 39 _ 2 : O

b) parabolamárovnici a2 _6fr_6y* 3=0, p:3r_29 *7=0

bt)

6.85 Určete rovnici každé tečny paraboly o rovnici y2 :6t, která má odosy paraboly odchylku:a) 60' b) 45' c) 75" d)*

.86 Určete velikost írhlu, pod nímž je z daného bodu vidět danou parabolu:a) M[0, _10], parabola má rovnici 12 : IOab) M|0, _1], parabola má rovnici a' _ 4r _ 2y * 13 : 0c) M|0,3], parabola má rovnici 4x: u2d) MÍ5,1], parabola má rovnici ď _ 6a -l 4x -f 4:0

.87 Vypočítejte odchylku tečen kružnice o rovnici x2 +y2 :225 aparabolydané rovnicí 92 = 16r v jejich společn ch bodech.

.88 Parabola je dána rovnicí a + 3 : 12 + 2:t. Určete rovnicea) všech tečen paraboly, které obsahují bod .tí[_3, _1],b) všech tečen paraboly kolm ch k p ímce pi a + tr :0,c) všech tečen paraboly rovnoběžn ch s p ímkou p: 2r _ a * 7 :0.

.89 Určete rovnice tečen libovolné paraboly o rovnici a: a(r+2)2,ktemají směrov vektor y : (_1, 1)' Zjistěte sou adnice bodri dotyku.

t .90 Dopravníkov pás se pohybuje vzhriru se sklonem 20o rychlostí2m.s-1. Vypočítejte vzdálenost, do které dopadá unášen materiálna vodorovnou plošinu umístěnou o 3m níže, než je konec pásu.

+ .01 V nádobě tvaru válce se udržuje stálá v ška hladiny, i když z otvorriv jejím plášti tryská voda. Nádoba je vysoká 2rn a její dno je ve v1 ši1 m nad zemí, otvory jsou na šroubovici ve v škách 0 m, 0,25 m7 . . .

'7,75m,2m od dna nádoby. Popište k ivky, které vytvo í vodní pa-prsky, a graficky znázotnéte závislost vzdálenosti, do které paprsekdopadá' na v šce otvoru nad dnem nádoby.

*6.92 Do terénu zasaženého lesním požárem shazují vodorovně letící letadlabomby s hasicími prost edky. V jaké vzdálenosti od cíle (na vodorovnéplanině) je místo, nad nímž ve v ši 800m odhazuje bombu letadlo,které letí rychlostí 180km.h-1?

*5.93 Parabolická nosná konstrukce mostu p es eku má vrchol 6m nadvodorovnou vozovkou 24m dlouhou. Svislé nosné traverzy jsol roz-místěny pravidelně ve vzdálenostech 3 m od sebe. Vypočítejte délkytraverz.

57

lr

irlhl

I

* 5'94 Rychlost vody proudící v korytě závisi natom, v jaké hloubce ji mě í-me' Rychlosti pro r zné hloubky znázorníme jilko orientované risečkys počátečními body na svislé ose souměrnosti koryta; spojíme-li jejichkoncové body, vytvo íme oblouk paraboly, která;á ;cťJ ve t etiněhloubky koryta (mě eno od hladiny). Určete rychlost u dna koryta,jeJi maximální rychlost v korytě 1,8m.s_l a rychlo.t ,r. rrt'ai.ra_tr,o m .s ..

5.6 Hyperbola

5.95 Určete délku hlavní osy hyperboly, která má rovnici gc2 _76y2 = I44.5.96 Určete sou adnice bodri '4[6, g], B[_6,a], C|r,3], nlr,_$] tat,

aby body ležely na hyperbole, která má rovnici g"i _ gir2 = 324.

5.97 Určete rovnice asymptot hyperboly dané rovnicí ť _ ť = r".36 255.98 Napište rovnici hyperboly, jejíž asymptoty mají rovnice 3:t *2y _ 0,

3x _ 2y: 0 a která prochází bodem Mp,+]'5.99 Napište rovnici hyne!_oty, jejíž vrcholy jsou současně ohnisky elipsy

dané rovnici 1612 * 2592 = 400 a jejiž ohniska jsou hlavní vrcholyelipsy.

5'100 Určete ohniska, excentricitu a rovnice asymptot hyperboly dané rov-nicí:

6.103 Určete vzájemnorr polohu hyperboly o rovnici 9x2 _4rz _I8r_I6y** 29 = 0 a p ímky dané parametrick m vyjád ením z = I _ t, a =:1*; R.

6.104 Hyperbola má asymptoty dané rovnicemi y - 3 : 2(x + I),a_3 = _2@+L) a prochází bodem K[a,9];určete rovnici hyperboly.

.105 Určete rovnici hyperboly, která má svá ohniska v hlavních vrcholechelipsy a své vrcholy v ohniscích elipsy. Elipsa má rovnici:a) 9r2 + 25yz - 225 b) 9x2 + t6(y - B)z = 144c) 5(r - 2)' + 8(a * 6)2 = EO d) bzxz + oia, :'q262

6.106 Napište rovnici hyperboly, která má ohniska E[-3,0], "F'[3,0] a pro-chríaí bodem L[5,4].

.l07 Napište rovnici hyperboly, která má ohniska .o[0,1], FL4,I] a pro-chází bodem L[4,4).

'l08 Určete množinu všech bodri, jejichž vzdálenosti od bodu [5,0] a odp ímky dané rovnicí x :3,2jsou v poměru 5 : 4'

6.109 Určete množinu všech bodri, které mají od bodu [-6, 0] dvakrát většívzdiálenost než od p ímky dané rovnicí z * 1 = 0.

.l10 Najděte rovnici tečny k hyperbole dané rovnicí v daném bodě:

^) 12 -9y2 =9,"[-J,0]

b 4(r - B)2 - 4s(y + 2)2 - 780, TI_r2,21

6.1l1 Napište rovnice tečen hyperboly o rovnici 4r2 _ 9yz :36 rovnoběž-n ch s p ímkou danou rovnicí x * y l 5 : O.

6.112 Napište rovnice tečen hyperboly o rovnici I6x2 _ 9y2 + 32xf 189 -_ 137:0, které jsou kolmé k p ímce dané rovnicí t *4y_3:0..113 Pro která reálná čisla rn p ímka daná rovnicí t _ a + rn = O

a) protíná hyperbolu o rovnici 4r2 _ 25y2 _ 100,

.x2 u2a)__g_:l'16 I - il+-{='5.101 Najděte st ed, vrcholy a ohniska hyperboly dané rovnicí:

a)12-9y2+4x-5=ob) 2Sr2 - I6yz - 1b0r * 224y _ 959 = 0

5'102 Určete sou adnice všech společn ch bod hyperboly a p ímky,jsou-lidány jejich rovnice:a) gx2 - I6y2 - 144, Bx - 4y_ 12 = 0b) 8ď _9a'=144, u_7y+22=0c) 64a2 - 8Ia2 = 51g4, 2x - y - O

d) 49z'2 - 50v, - 24s0, Tx _ 59 _ So = 0

58

b) dot ká se jí' c) nemá s ní společné body?

6.114 Pro která reálná čísla p ímka daná rovnicí 5x _ 2y - 2t = 0a) protíná hyperbolu o rovnici 4r2 - 92 - 36,b) dot;ilaí se jí, c) nemá s ní společné body?

59

5'115 U^rčete vzájemnou polohu a společné body hyperboly o rovnicix2 _4y2 : 16 a p ímky dané rovnicí nubo pa.'*"trick m vyjád ením:a)r-2=0, b)z=4-t,A=1,5; Rc)se:_6y_76:O d)t,=L*t,y:á+zt; teae)r--2+2t,y:-Z*; R

5.116 Jaké sou adnice má bod, kter , Ieži na hyperbole o rovnici 3r2 __ 76a' : I92 a od p ímky dané rovnicí x +iy _ 74 :0 má nejmenšívzdálenost?

5.117 Vypočítejte odchylku tečen hyperboly o rovnici ,2 _ a, :64,kteréprocházeji bodem a}z, ffl.

5.118 Určete velikost írhlu, pod kter m je z bodu HI_t2,2]vidět hyperboluo rovnici 4@ - B)2 - a5@ * 2)2 : 1gg.

5.7 Kulová plocha

5.l'19 Určete st ed a poloměr kulové plochy, která má rovnici:

B[-2,7,4], C[4, -2,L], D[0,3, 1o].plochy dané rovnici (" - 3), + @ +

b) polop ímky AC,d) polop ímky BA'

.l25Jedánap ímka p:r =4, a =I_6t, z =4_6t; t R, abodA[_6,6,5]. Najděte rovnici kulové plochy, která má st ed v bodě ,4a s p ímkou p má právě jeden společn bod.

8,126 Mezi kulov mi plochami, které mají rovnice (x + 4)2 + (y - 3)2 ++ (, _ l)2 + d: 0, kde d e R, určete ty, které mají s p ímiJou danouparametrick m vyjád enim x =7 +5t, y =3+2t, z = 6* ; R,právě jeden společn bod.

!.[27 Určete společné body p ímky dané parametrick m vyjád enímx = 3 * 2t, y _: 8 * t, z = _70 _ 4t; R a kulové plochyo rovnici (" - 2), + (y + I)2 + (z - J)2 = 62.

t.l2E Určete společné body p ímky dané parametrick;im vyjád ením z :: ) _t, z : 3+2t, z : _4-lt; t R a kulovéplochy o rovnici,2 + az * z2 - 6x * l}y- 1g : 0.

6.129 Určete společné body kulové plochy dané rovnicí ,2 +a2 + z2 +10x __ 6y _ 2z + 9 = 0 a p ímky AB, je-ti:

a) x2 +y2 +zz -6r*I\y-42*22:0b) x2 + a2 + 22 - 4:r -l7y - 3z : oc) x2 + a2 + z2 * 1or - 5g - 4z - 2 = od) rz + gz + 22 - r2x -l 4oy - 3z - 4 : o

5.120 Určete prrisečíky sou adnicovych os r, g,dan mi v rlloze 5.119.

5.121 Určete všechny hodnoty parametruvyjad uje kulovou plochu:

z s kulov;Ími plochami

rn e R, pro něž daná rovnice

6.124 Jsou dány body AÍ2,_I,O),Určete společné body kulové+2)z + zz :88 aa) írsečky.4B,c) p imky AD,

a) á[0,3, _1], B[-2,I, _3]c) A[1,2,0], B[0,-2,I]

b) á[5' 6, _ 16J, BI_7 , _2, 72]

a)ď+a2+22_4r*2zlrn:0b) 12 + a2 + z2 I 2tnr:- 6y * 1 : oc) *' + y2 + z2 + 4mx - 2mz t 2m2 = g

5.L22 Napište rovnici kulové plochy, která má st ed ,5[1, _2,3] a procházíbodem A|_3,7,_1]. Pak určete prrisečíky této ptochy s p?mkami,které procházejí bodem á a jsou rovnoběžné s osami-soustavy sou-adnic.

5.123 Ur .ete pr sečíky kulové plochy dané rovnicí (" _ 3), + (y + 2)2 +t z2 = 38 a p ímky, která prochází bodem Á[0, 3, r1 á ie ro"vnoběžnáse sou adnicovou osou z.

60

6.130 Mezi rovinami, které mají rovnice 2x _3y *2z * d':0;d, R, určetety, které se dot kají kulové plochy o rovnici 12 +g2 +z2 _4r*2z :0.[VyuŽijte st ed a poloměr kulové plochy.j

6.131 Určete tečné roviny kulové plochy n: (r_4)2 *(y+2)2 +(z_1)2 = 38v jejích bodech A[_1,1',3], B[_2,_1,0], CII,3,_I], D[2,1,6]'

6.132 Je dána kulová plocha n: x2 +y2 + 22 _ 4xl6y _1Oz = 0 a dvajejí body A|-4, _4,4l, BÍ_3,0,3]. Určete rovnice všech rovin, kterése dot; kají dané kulové plochy v bodě á nebo v bodě B'

61

5.133 a) Určete rovnice kulov;Ích ploch, které procházejíbody A|2,_1,0],

' ' ťt!'0,_4], C[0, _3, _2], D[3,6, _6].b) Určete rovnice tečn ch ,oiin rn,'ŤB, TC, 16r kulov ch ploch. zíiloby a) v bodech A, B, C, D.

c) Vypočítejte odchylky rovin rn, 16 a p ímek ra(\rp, r3 í)rg.5.134 Jsou dríny body AÍI,-3,2), B[3,1,4] a rovina p: 2l; f 9 _ z *3 = O.

a) Najděte rovnici ku"lové plochy rc, tterá '" aotyta .Jlrirry p v bo-dě A a ptochází bodem B'

b) Určete rovnici tečné roviny r kulové plochy rc v bodě B.c) Určete odchylku rovin p, r.

*5.135 Určete rovnice všech kulov] ch ploch, které se dot kají rovin o rov-nicích 2x _ 29 _ z-_ 9 : O, 2r _ 29 _ rf 9 : 0 a piocházejí bodyAL},r,2), ť13,0,21.

5'L36 Určete st ed a poloměr kružnice, v níž rovina daná rovnicí 2r * 9 __ z+6:0 protíná kulovou plochu o rovnici (" _3), + @ - 5)\ +*(z*1)2=58.5'137 Určete, pro které hodnoty d je prrinikem kulové plochy o rovnici,' + y2 * z2 _ 2r _ I}y -f 8z * 28 = 0 a roviny dané rovnicí 2x _ y **3z+d:0kružnice.

62

vÝstEDKY Úr,orr

I Sou adnice

l.1 Sou adnice v rovině

l,2 a) osa e; b) osa 9; c) kladná poloosa t; d) záporná poloosa g. l'3 a) Úsečka()^,o[0,0],Á[5,0]; b) polop ímkarovnoběžnáskladnoupoloosouyapočátečnímbo-r|nrrr Il, 3]; c) polorovina s hraniční p ímkou o rovnici 9 = 2 a vnit ním bodem nap . [0, 0];

rl) llbdélník ABCD, A[_3,I], B[0, 1], C|0,4), D|_3,4l' r.s a) zo, a ž 0; b) o Ž 0,y 5 0; .) r:g; d)n .R, g=2. l.6 a) _2Šr"Š3, g =4; b) nŠ3, g=4;rl) r) -2, a=4; d)aQR, y_4. 1.7 a) 1ŠtŠ3, 1ŠgŠ2; b) 1šcŠ3,.l <yš 2i c) t_3, I 1yšz; a) 1 Šz í3, 9 R.

t.t Sou adnice v prostoru

1.0 D[0,0,0], .E[0,3,3], r'[3,3,3], c[3,0,3], r1[0,0,3]. 1.ro K, L, M, p, R.l,l2 A'| = A, Bt = B, Ct = C, Dt = D, E,IO,3, -3], F/[8,8, -B], G/[3,0, -B],,l'Í0' 0' _3]. l'13 Al|0, _3,0], B/[-3, *3,0], ClÍ_3,o,0], D/[0, O,ol, E,[o, _3,-g],r"[ ".3, -3, -3], c'[-3,0, -3], .r1,[0,0, -3]. 1.14 At[0,-3,0], B'[3,-3, 0), Ct = C,f)t = D, E'10, -3,-31, r"[3, -3, -3], c'[3,0, -3], .a/[0,0, -B]. L.t5 vl2,2,sl.1,líl Á/[0' -4,0), Bl|4,_4,0], C| = C, D| - D, vl|2,-2,5). LL7 AlÍ4,0,L0],F't[0,0, 10], ClÍ0,4,10], D||4,4,I0], V|='{. I.18 A|: A, B'|_4,4,0], C'[-4,8,0],!,[0,8,0], vlÍ_2,6,_5]. 1'19 A|I0,-4,0), Bl[4,_4,0], C, : C, D| = D, v|[2,-2,-5).1.20 c z, E .g, Fez. |,2L Beéta, De++yz.Ge*+tz.

1.3 Vzdálenost bodri

l,l2 a) 5; b) 13; c) l/fr; a) sr/2; e) I,25; Í) 1' 1.23 Bod C. 1.24 a) 15; b) 13;

r)3y'10; a) 5rl5; e) 6,5; f) 3,e. 1.25 lAMl:lBMl=lCMl:3\/n. L26 [4,0],F8,01.l.2l a) 11 : I, rz =-L; b) 11 : 5, 12 =-I. ]'28 a) rn:-1; b) ntl = 3, rnz:-3;r') nr1 :3, nr2=-2; d)m1 :-3, rnz=5. L.29 a)lABl=4, lACl=3, lBCl=5,,in pravoírhl]i; b) |ÁB| : ,/T , |AC| = 5, |BC| : 5, není pravoirhl ; c) |AB| =

|AC| = ,/E, 1nc\ - ,/I0, je pravorihl ; d) |ÁB| = 5, lACl : {5, lBCl =, /38, není pravoírhl1f; e) |ÁB| _ 2\h|, |AC| = 2y'r, |BC| = 6, je pravorihl;i;

l) lABl - 2\/r, lACl = 4, lBCl = 2J6, ie pravorihl;i. 1.30 a) 4; b) -3; c) 1;

rl) 3. r.J1 [-*,0,0]. 1.s2 [0,1,0], [0, **,0]. 1.3t zLl0,0,r0l, z2l0;0;3,61.

l.4 St ed usečky

t.34 a) s[-2, 1]; b) s[-2,5; t]; c) Sl-2,5; -2,51; d) S [0, $] ; e) s[o,a; 0];

|) S[\/r,_2J1]. 1.35 a) ,5[0,2' -3]; b) S|_2,2,0l; c) s[-i' i' -á];

63

d) ^9[0,8; -0,5; _0,5]; e) s[2; _2; 1,8]; f) s[0, fr,_fl t.s6 .s[0,4; _0,5; _1,4j.

]ť' ii^" [,,.#, #1 1,o1p,s, f, +], s," f| t, $h,#i ;:; a) B[- 10, 9];b) B[o' _1]; c) 'a[-s,'o,*-t]; áť ,tr,i, ri _r,rí ;:'/ ;" M,[1,7, _1]jb) M'l[_l,3;1,1; _1]. l '-ao.a).D[_z,'t' 'ol

"i]n:9,0J. 1.41 a) o,s; b) t/al. tlz ÚsečkyAC a BD mají t'ž st ed .9[_i, _4,'2)-',

'.oi pul ově ení užijte postup z itlohy l.42'l'44 Ar[10 - t, -B - u,4 - "),

Ar[, *'2,a + B, z _ 6],Ss[o + t, u + 4, z _ 3).

2 Vektory

2.l orientované risečky

2'l T ž směr mají dvojice b), c), e)' 2.2 osm.

2.2 Coje vektor

2.3 a) AB, ED, FS; t) FD. 2.4 a) FE, B,C,,-FtE.t; b) FD,. 2.5 a) v = (_s,2);b) v = (3, L); c) v= (8,_2,S); !), = (2, j).'z.e a) u = (_1,0,2); b) a = (8, 1,_2);c)u=(1; -1,5; 0); a)u=^( r*,..r,ft1.'z.i'!1Ano; b)ne; c)ne; d)ano. 2.8 a)Ano;b) ne; c) ne; d) ano. ^.z.;-"{ flí,-rj; tÍ

"i' ulljl ) B19,:,ali:';i ,1_ro,-n1.2.10 a) D[0,2,-a]; b)

?l-.1,.r,s.1; c)1.o[i,,'_+]j airl.i,_'i,Ii ],.r, 4 A[2,7];b) Á[_3'_9]; .),4[_10,13.]; aj Át_i,_ii., r'r, u1 C1z,o,_a;; b) C[_2,I,2);

") c?ž,$,s]; a) c[o.,r,-j]

-'z.ti u1' '-_5, s=-4; b) r=$, s=2; c)r=2,s = 3; d) r = !, s = _9. z.ii np, _e1'. 2.15 D[_5,6, _s]..

2.3 sčítání vektorri

2.16 a) ut v=(10, -2),, v=(2,_8) tv_t!=(_2,S); b) u+r=(_2; 1,3), ,!_y==(1; -0,1), v_a=(_l;0,1); .'.)r*v=(10, 15,_1), ;_;= (4,_t,g),v _ tt = (_4, 1,_9); d), +, = (2,_+, _Ž),, _ r : l3,_i,'_Ž),-, _', = G, i,il.2'I7 a) (2'6); b) (_*'_#_)'

") (jr,o,í); al G,_2,0). 2.18 a) a = (6, _a,_+),b) v = (8, -I2,I4);.; r= (0,6,_18). Z.rS u1'r'= (2,_I4,tO); b) r, = (_2,r4,_L0);c) w = (-2,14,-10). 2,2o v = r, u = -'r, u'= _n. 2.21 a) c; b) _d; c) _c; d) d;e) -c; f) d. z.z2 BF. 2.2s a) D[a,_12]; b) D[s,_7,0].

2.4 Nrísobení vektoru číslem

2.24 a) (6, _10); b) (_1,^3); c) (l1, _29); d) (9., -3), E (i, _á); f) (7, -25).2-25 a) (3, -9, -21); il (?, -z,s); ") (0, o, za1, a1 (_1a, Je, _tB); e) (_s,r5,22);f) (-s,24,_9). z.zs.

'á7 G4,'_5 ;' L)' (!rr,r?), c) (L,In;i aj '1ri,_o1;

2'27 a) (11,2,_11); b) (.32,_I2,_10); ', ',") (ui."'_;,;á)''''',o)"(-J,-;,.51.

2.2E c=o+-b, d = i(o'+ b), e- _@ít1, f'= !(o_b). 2.29 c=2a, d =_$,e = b - o, r = z(a - b), ?.10

.l vt4,6l:;b) ytl,Bj; c) rz[o,J]; d) v[_2,5;0,5];.)V- A; f)v[s,4]. Z.Bt a)k='z;i)'*"=!zi,; ")*= ]; d) tc=_!; e)*=];

64

r) k = -!. 2.32 r - o,= ip- A)+ iG - A). 2.rr."[1,0, *J. 2.r4 u -*(r+.) =:..jt,-u.:-9,u), v.= j(biai = 1z;ais;o,s;,' w = !(b_td _2c) = (3;_2,5;_0,5).2.x6 N[-4,7,-2). 2.16 v=5b_c. z.si,z u1 o=(6,_1s,_1); b)o_(1,_s,3).2'JE a) o = (_7,3); b)

'b _ 3u _ 2v' 2'39 a) Nejsou rovnoběžné; b) jsou rovnoběžné;t:).jsou rovnoběžné; d) jsou rovnoběŽne. z'a a) Jsou rovnoběžné; b) jsou rovnoběžné;

') |T ::"TYné; ^d) nejsou rovnoběžné. 2.4l a) ul = _3, ,2' = _|i b) ,, _

-f, az = 12. 2.42 a) uz = IB; b) q - _q. 2.48 a) ar = _3; L4 ", = y2'44 a) a1 = 2, a3 _ -1; b) a2 = _3, as = 2. 2.a5 a) Není; bl není; c) není; d) je.l.46 a)Není; b)není; c)není; d) je. 2.47 Ne'Je-linap ' a=3.u*0.v,azároveítv f ku, pak vektor y není lineární kombinací vektorrl o, u. 2.4E a) Leží; b) neieží;r') lcží; d) neteží. 2.49 m =_9, n=8. 2. o a)m=5,n =4; b)m=_3,n=6j''J ."'

: l' n = _!; d) rn : _6, n = $- 2.51 a) Leží nap ímce; b) neleziv rovině't') lr:ží v rovině a ne],eži na p ímce. 2'62 a) i\ = -5; b) ds = _4.

l.6 Posunutí soustavy soďadnic

t, 3 a) [2,-7]; b) [7,-s]; c) [8,_a]; d) [s,0]. 2.64 A[12,_2), B[7,_16J, C[_1,_6],Í][l'_10]' 2'5 a)A[_9,7),BI3L,_2]; t)''.obo,'soustavách u=(40,_9); c)voboultlttltavách lul : +t. 2.56 s[2,4,0]. 2.67 a) o/[_8,8]; b) Bto,_i; !1' c7_n,r1't.r18 (4,-7,9). 2.69 a) O'[_a,3, _8]; b) B[7,_7,10h c)' cI;,4,'_15).'',

l.0 Skalrírní součin vektorri, velikost vektoru

l'Ú0 a) 3y'5; b) 9; c) 29; d) 3y'5' 2.61 a) 15; b) 3y'm. 2.62 a) L3; b) 5. 2.63 s[4,6].1.04 1,3 m.s-l. 2.68 a) 2r; b) 12; c) _30; d) o. 2.66 a) _2; b) 0; c) 0; d) 8.,,01 2. 2.68 a)u1 =3; b) uz=-2,5. 2,69 a)u1=_6; b) uB=4,5.'2.7O c_(7,2).Z,?t u - (2,-1,8). Z.72 4BBOJ, 2.TJ I22SSJ. 2.14 a) 2kJ; b) ITB2J;c) 1kJ; d) 0J.l.7li a)Ano; b)ne; c)ano; d)ano. 2'76 a)P!atí; b)platí; c)neplati. 2.77 a)45o;lr) 600; c) 90o; d) 38057/. 2'7E a) 45o; b) 90.; c) 60.; d) sá"tol. 2.79 a) |AB| ='. 3\/ž, lACl=IBC|=3, o _ 9 =-45o, 7=90o; b) IABI=|ACI=IBC|=3{Ž,tl = 9 =7=60o; c) |AB|=5JŽ, |AC|=5r/j, |BC|=5, o'=ai.tá,, B=9p.,1=54o44l. 2.80 |AB|=25, IAC1=20, IBCI= 15, o=36052, É=53o08i, ?=90o.z'8l a) D[3,_ts,5y'5] ; b) 600. 2'82;) 5áo08,; c;90o. z.ss r; a ='60o, 9 =. T = 90o, = 12Oo. 2.E4 6lolgr, 6g054r, 36052,. Z.g5 a) a2 = z,S; A1 o, = _2.2,E6 u - (-12,9) nebo u = (12,_9). Z.ET (k,_Sk,_Zk), kde,t e R. i.ee Nu"pr.v = (5,t,4/c,0), kde,t R, rry = (3Ú,0,4'), kde

' R. 2.89 b) 600. 2'9o 16.

2.7 otočení kartézské soustavy sou adnic

2.0l Á[0'-3], PF6,0], C[2,_5],.DÍ4,7). -2.g2

l,[y's+z,2\/5_1], BI2\/5+1,J|_z],(:[4,0], D[2,_2,\/q. r.:

^Lf , -+l' B[_z,/Ž, r/Ž], c1á, _i1, r1r,/z,rr/z1.2.04 A[.,/Ž,al, BI_2,/r,2^/ž], CI4r/Ž,z,/Ž), D[4,_2). 2.gg A[_3,-3 5],

65

BL-,/5, 11, cl-r-2,/s, z-lsl, plrf*r, +l z.st s['*-f ,r#1,r[++,/s,'-+] ' L z

2.E Pravotočivá a levotočivá báze

2'97 a) Levotočivá; b) pravotočivá; c) pravotočivá; d) levotočivá; e) levotočivá; f) pra-votočivá; g) levotočivá; h) pravotočivá. 2'98 a) Pravotočivá; b) pravotočivá; c) pra_votočivá; d) levotočivá; e) levotočivá; f) pravotočivá; g) levotočiví; h) pravotočivá'

2.9 Yektorov součin a smfien součin

2.ee a) (2,-I,1,); b) (r,2,1); c) (1, _4,_2); d) (10,8,_4). 2.100 a) (_2,_1,_5);b) (4, -3, 1). 2.101 Nap . u = (6,2,3). 2.102 3. 2.103 a) 24,5; b) 9. 2.to4 a) 2t;b) 15. 2.Lo5 2sy'5,60o. 2.106 x = (_8,3,s). 2.to1 a) 108; b) 128. 2.108 18.2.10e a) 2; b) (-3,2,-1); c) (-2,3,-1). 2.110 a) 24; b) 81,06. z.Lrt a)24N.m;b) 24N.m; c) 10,ZN.m; d) 10,7N.m; e) 0N.m; f) 24sinoN.m.

3 Geometrie v rovině

3.l Parnmetrické vyjád ení p ímky

3'1 a)r=3_2t, a=-7*5t; t R; b)o =3t, U=2_6t; Ú R; c) t=5, y==2ti t R; d) t = 4t, y = 0; Ú R. 3.2 a) r =2*t, g: _ 5*3t; Ú R;b)c=_3, u=ztit R. 3.3 a)l:-_2*t,a=i;t R; b) r_-2,y:3*Ú;

' R;c)r--2*t,A=3+t t R. g.4 a)r-4 2t,A=Bt;t R;b) u=_B*4t,A=2;Í R; c) t = *2*3t, a = _3-2t; te R; d), =3t, a = _5*2t;Ú R' 3'5 A, BIeží,Cneleží. 3.s a)y =3; b) a=5; c)u=O. 3'7 a) l:=2_ 3t, y=_3* ; Í (0,1);b)t_2-3t, y _-3+t; t (0,*oo); c) r=2 3t, y=-3+Í, kdeÚ( (-oo,0);d)a=-1-1_35 l a=_2_s, kdes (0,+oo). 3.E a)z=_5*8Ú, a=_6+10t; ' R;b)'- _5+I2s, y = _6*9s; s (0, 1i; c)

"[3,o]. 3.9 D; [á,9], D2[-10,_15].

3.10 a) z =L*2t, a =2*Bt;.r > 0; b) CpL,aTl; c) is. t.rr uJ'e"o; ui.ro; ";

r".3.l2 a) Leží; b) leží; c) leží; d) neleží; e) nelezii I lezi. 3.rr 1_1, 5),'[2,'3],[-10, 11]'[r'-4]'[-3'6á] 3.14 a) t=5_4t,;= _i+'ar, te R; b) cz=14; c).9[3,z];d) D[_7,22]. 3.15 a) c =5*2t, a =4_3Í; Ú R; b) t _ 4*5t, y_ _3+ 2t; t eR.3.16a)z=1*t, a=-2,5+4t; te R; b)r=0,5-4t,a=9t;t R. g.lz a)a=_7.b)a=-5. 3.18 a) p=2;b)p=-3; .)e=_Í; Ál ,=_r,,n. -iin''u1

o=r,C[-1,2);b) p = -10, C[-10,-ts]; c) p = -r, cl,_!l; d) p = _!, cy_r;_+,s1.3'2o a) Leží na risečce AB; b) neleží na polop ímcá AB;'c) Ieží na poiop írnce AB anení bodem risečky ÁB; d) leží na risečce ÁB.

66

t,2 Yzájemná poloha p ímek dan ch parametrick mi rovnicemi3'2l a) Rriznoběžn ; b) totožné; c) totožné; d) rovnoběžné rrlzné. 3'22 a) Totožné;lr) rovnoběžné r&zné; c) r znoběžné' 3'23 a)[-a,-1]; b) [3, 2]; c) [_7, 16]; á; 1;, _r1

':1,24 a)a=2-s, y=5*3s; s R; b)r= -3*gs, a=T-s; s R. 3.25 a)e_I_t,l!=-2+3;t R; b)o--3*2t,y- 5*St; t R. 3.26a)t=4*s, A=_t*2s;rC R; b)z=3*5s, y= -5-6s; s R. 5.2? a)[_L,_Z];D neexistrije (pllAB);r,) rrcexistuje, existuje však prrisečík P p ímek p a AB, PIL: _|' 3.28 ;)

^

a -á,lr) rn=6. 3.29 a)a=-b; b)a=0. J.JO a)a=6,b=_1; b)a:_B,b:_0,5.l.3 obecná rovnice p ímky

E,xl a) rt2yaS = 0; b) 2a*ía+BI = 0; c) o-6 = 0; d) U*5 = 0. J.I2 a) 3n_ y{I5 =-:0; b) 5z _2g_I5_O. 3'33 a) 30 _49_40=0; b)í+5-0' 3.34 a)g*4=0;lr) lx { y - 6 : 0. 3'35 B, C, D. 3.36 Á[6,8], Á[_3, _7], C|1,2,0]; bF,_i]'ě,xT a) 2c_y _ 8 = 0; b) 10z-8y*61 = 0. 3'38 a) t*2g+5 = o; tj ir_s, _t = o,t:) ru-g - 0; d) y+l = 0. t.39 a) tu*Ba*4= 0; b) 1a*Ba- 48 = 0; c) 6o*y_B = 0.!'{0 o+2g-I0=0. 3.4I uo:6t:*A*B=0,o : r+2A+2=0,u.: Bt:_by_3:0.!'d2 a) Rriznoběžné, P|_L,l]; b) totožné; c) rovnoběžné rrizné; d) rriznoběžné, Pt5,5]'a,{r [3,sJ,[-L,-2],[-8,2]. s.44 Tr_By_6 = 0. r.46 5ni_ 2y_6=o. r.46 Bx**2'tl -I=0. 3.47 a)3r-5y+ZZ:0; b) r*4u_4=0; c) a_2=0; d)r*a:0;e) a;- g*6 = 0. 3.48 oo: 3u -Ty*16 = 0, ab: a + A -2 = 0, u.: Ta_Bg*g = 0,vI'0,2,2,2)' 3.49 a) m _ 3; b) m = O; c) m = _2; d) rn je libovolné reálné číslo;a) ttrlvyhovuje žádné m. 3'6o a) rn = 3; b) m _ _5; c) rn = _I; d) *, - _9, rrt2 = )'!' l Pro a=_6 rovnoběžnér zné,proa R-{*6} rriznoběžni. 3'52 Pro;=títrl,ožné, pro a = _} rovnoběžné rtnné, pro |a| l ! rriznoběžné'

't,d Řešení riloh v rovině

á.l1:l a) 9=0; b)o=0; c)nap .c= 1* , a=0; t R; d)nap . o =0, a=I*t;t c R. 3.54 a) Nap.z= -f,_t, a:t; Ú R; b) nap . c- _1 + 3t, )=1- 1'l ť; R; c) nap . c _ _2+3t, y _ 4t; t qR; d) nap . x) = 6t, a : _?+it; t e n.a'ĎB P[-4'0]. 3. 6 a) Rriznoběžné, P[-3,_3]; b) totožné;

") .ovnlběžné ..izné;

l).^'u:".|uuiu'|-[Ť's1. 3.57^a)a=6; b) a=_4,5i c)a- -0,5; d)a- 1,2.

l:lt t-i, e (0,1),P[-1,-;]. t.5e a)Neexistuje; b)p[r,_2]. s.oo ajx1a,s;o;,l'[0'-9]; b) X[L2,o], y[o,6]; c) prr1sečík s osou z nexistuje, Y[0,_4]; d) x[7,0],|lrťlsečík s osou y neexistuje. 3'61 a = _1. 3.62 Neleží. 3.63 Leží. 3.64 C, D.J'06 3,' *2y+lŽ0. 3.66 3o _2a*L7 Šo. 3.67 a) Neleží; b) leží. 3.68 Bod M'jo' bod.l není. 3'69 a) P[_2,_1]; b) P[_3,4]. 3.70 3. 3'71 8. 3'72 p1:4t*3a_

17 =0,p2:A-3= O. .3.73

p1:41 Jg+S: Otp2iA -B = 0. g,?4[5,0] a[1,2].il'Ť6 u" :5,8. 3.76 a) 3; b) Z; .) T; d) 6,8. 3'77

^9 = 10. 3.7E o1 : zr+t.aa_e = o,u2:74r-2s*tT =0. J'29 .9= rz,b. 3.80 s- rb (prolibovoln; uoa cirimtyp,

67

protože AB ll il. ,.r, or:','.rr, cl[_l,3], Cz[s,_s), praqi rihel je p i vrcholu á.3'82 P i určování rovnic os 'lt'l,i

po"tup,rj'" "a"# :.t v loze 3.?8. s[_2, _7], Q = 4.

1.11 o, u t2y -2 = 0, q:2, - a _ s = o. ;;;r.86 4r+sy-r=0. s.sz o=6. r.88 r* ,_n!f j'_r;:r=I:*r, -8 = 0.

3.5 Směrnicov a rísekov tvar rovnice p ímky3.89 s- tr+2, k= *. ,8.90

a) 2r_By_BJ_0; b) o*2s_6=0. 3.9t a) k_2;:]l=^-tl "l* =#, d)&=0. r.e2 a) ,,,_r_z=0; b) 2t*u*5=0;c) x+2a-8 = 0; d) a-7 = 0. J.93 JOo. J.94 sx_rf.su.. a= 0. 8.95 a) Ano; b) ano;c) ne; d) ne. J.96 3r-a+g = 0. J.97

^1 , = {r_a; b) y= gr+S; c) y = _!r!6;qa=+z+4-\/s. J.e8 a)e =-ir*5; b) u_!r_s. J.se a)f *I=t;t) i+* = 1; c) j+# = 1, d)

t+_* = 1. 3.100 .) ?+3=1; b) = +Í = r.

4 Geometrie v prostoru

4.1 Parametrické vyjád eď p írrrky4'I a)e=5*4t, a=_2*|t, z=2_tj Í R; b)z =2_2t, a=4t, z=_3; R.4.2 a) r =9*6, !:_3*2t, z=

'_'', 'iÁ, b).u=)1, g=4_t, z_ _5; teR.4'3 a)a=_7*4t, a=2_4t, z=_s+t; tčn; tl ,=3, i=si, ),=--z_Ú; ' R;');r,;l|'.",o.rr;=_r:,z^.= 3t; Ú 'R;;j , _ _7, y = _6*I2t, z _ 4_

c)neleží. ,., ^1*=r*'rI,''}'='r1ť"!'i*í, ' 7- 3t'; t e R; .j ,irr, o7r.rr,

a.6 a)r-2,B,ot,t_i,r,g1,'yr,r,_q,"firi:l;i,ifX'_i]j';"'*l;l .],,1;'1.,o;;neexistuje,[o,4,-5J. a.í'"j r=rir,'i-=_i| ,^=_r, t e R; b) g=5,9= _3*s,z=7; s R; c)o =5' a=_3' z=7*r; r R' 4.8 Protíná;"r'o.,ry.ro"Ju"1o,n,o1.4,9 a) Ne; b) ano. 4.Lo r=Bl2t, u=)Z+rr,^" =2_t; I e R; a) M[7,_I,0];b) M[9,2,_1]; c) M[I,_10,3]. 4.7I'a) c=u-ur, y=3+ 4t, z|í_rr, ,a n'b) neleží; c) z _ 5 _ 70s, y = 3 _ 2s,

', = 6-_ 5s; s ( R; d) a = 2 - 4r, a = 5 -_6r, z =2*3r; r R.

'4.12 Eu'=2_r, r, ,=s_-5'., "_ _7+9Ú; e (0,|);!]:::,ii-'r,=.]'"';'rií::il n'i'"^1 , =7, b=-10; b) ] = r, ,= _r,

4.2 Parametrické vyjád ení roviny4.L4 a) t= I*1_3s, a = 3-8s, z = _|*4Ú_6s; Ú,s R; b) bodyležívjednépímce, neurčují jednu rovinu; c) e - 2_-r_i", u = _3+3r+5s, z = 5_9t**2s; t's e R; d) 7= 1* t_s, a=1+' _r,)-=Í; Ú,s( R' E.ts r=1 _3Ú-4s,u=3t_2s' z= 3-3Ú+s; Ú,s R;LležívrcviněABC. 4.16 A, Cleží,Bneleží'4.l7 a1 =l,b2= _1, ca=_5. 4.LE a)x-)_7a5, a=3+2t_s, z=_t_s.Ú,s R;

68

ll) ;r'= | _ t- 4s, , ,r,+'", 1= -2+3t_"; Ú,; R. 4.1'9 a) Leží; b) neleŽí; c) neleží;tl)lcží. 4.2o a)Leží; b) neleží. n.rí"El I r* +", a! _r,,":z+zr; ,,"e R;

i.,'-'.=*1 *

I:.rIi--' !'' ^' = 2 * 2r;',

" e R; c) z - | i,,, =--.;, z = 2 * 2r * s;i

;

,,, : i';' ; í,,;,a,^ ;';, - ;,' ;, í,j,t,,i ii, L i, í,' ;,", r ^:,:, ̂ ,

:: : r,; iií:,,ť,

4.jj obecná rovnice roviny

.l.2!'l Nap . A[2,0,0), B[3,2,Ol, C?t,0,2]. 4.26 A, C, D leží, B neleží. 4.27 d _ -7.4.28 a) r-5u-62-Z-0; b)ir_sris=0, c)TxJnr_i='o-^ o,.rn ,_rr_

,,,i;;'r;'- n}!'r':l2u + "+ r: p' 4'31'2r-|a - a:0;je rovnob.žr,á

" o"o,,

".4.l't r _ 2a _ z l. = 3. ") ií ;^i ;'],:*'; :) ; _

Í.;'r;j,r, ::ií,--'i : 34,i17 r - A - z - 3 = 0. 4.3g 4t: *2g _ z_ 17= e.

{.,í Polohové ríLlohy v prostoru

il'ilÍl a) Rovnoběžné r zné; b) mimoběžné; c) totožné; d) r znoběžné. 4.40 Mimoběžné.{'4l Rovnoběžné r zné. ' -4'42

.l ''-.''r'"r'

b) [0,7, -1i]. 4.43 z _ _.2 ll'2s,s= _3s,z=2*5s; s R. O.On,=-Z,ep,_Z,Sj. nn if_r,_rr.i{''líl a) P[-3, _?,a]; b)::e1:tuje; c) P[-3, _i,n1. o.o, m = 4. 4.48 a) Rovnoběžné,']']].', o) rovnoběžné spl vající; .) ..l"".buž"é.''1tln'l'í v l *a; ,..pr.-l': -r+5t, a: -5+ i;in"':Íl ''.'l "=^!3;i;;?,'{.lll a) Rovnoběžné rrizné; b) ,ťrrnoiéžré,, = st, y = _2 l2t, z =.-r, , a *,',,'"';;"1;':?i,==tJ i",,= ", ;:;;'";;. 4.52 Nap 2z- y*22*6 - o,t : - 2 = o, z . r" _

^:' ..,Ii =

::rr;r, : .i,

rr.^;r;,;lt,;ri

"t ^_;iZ|l,o'3]. 4.56 a) xí3,0'o], Yp,'-7,ol'-žp,']*

t .\t-?:o,0]' y[0, 6-,0]' ZL0,O,g].1'í7 a) pl| p,pleží v a;-b; pli p,p'""|rl"i'r'r' ",n'rr'o; pll p,pneležív p; b) pl! p,1t k'ží v p; .) p ll p. 4.59 a) !, t n, o1 oi 11 p, AB neleží v p- 4.60 a') AB leživ /1; b) AB }| p- 4'6t P[6,7,1L]-_ í.rz r:',"|*ží^ o'."u'o.á.,'uii"."ta"rrv:aar"r,iJ' '-1-t,'!!=2*t, z _ -^3.:2t,kdeÚ (0, r;. e.,i"";ltu P[_I,8,2,8,-:,4)odpovídá, i; I e (o, 1). 4.63 PI6'-I, _2]. )'ii, itr,','rl. 4.65 a) p Il p, p neleží v p;lr) ,rr.je části roviny p; c) r[z's. l] o.uu

''l* ,r' * ,^: a = o, x[!'0'0l , ylo,2' 0l,Zlll,o'4l. 4.67 :r *2y _ 4z + 5 - 0, rriznobězíé, P[_),-.4,-lj.- n.oi m = -5..l'ílíl |)1fi5gini6e ječástídanéroviny. n'r,

^1 ,=-'2 lt, g:-3t, z=3*5'; Ú R;lr) /'[l,5, 1'5,0,5J. 4.71 a) P ímkí -, ,,;' ;"

';' ; ; ;,' :' T :', ? í_ "]'

}! :* ^ = ;' ;; í bi

","

|i l| \T i' "^,',* :"!':;? xi," J2 T; i

69

4.5 Metrické rilohy

a.n a)2r-3s-22* S = 0; b) 3rlSA-z19:0. 4.74 a) 3l-*ba_22** 10 = 0; b) 4t - y - 33 = 0. 4.75 a) r -A+ z-T = 0; b) r *A _22_lJ2 = e-4.76 a) 9r *2y -32 -2 = 0; b) bzf A - 4z*B - 0. 4.7T a) 3rl2y _ 4z_b = 0;b) 2rJsf 19 = 0. 4.78 a) p[3, -6, 1]; b) p[b,0, -3]; c) p[2,-T,T]. 4.7s a) h*sl*52 -25 : 0; b) :r-IIy -16z -8 =0. 4.80 a) r*s*22-2 - 0; b) n*a_ zlT = 0.4.EI 4r-59-72 -f 3=0. 4.82 AtlI,_2,2]. 4.EB Mt[ ,_b,_10]. 4.E4 Kr[6,2,4].4.85 Á/[5,_6,0]. 4.E6 l:= -1 *16r, a:6_25r, z= 10_43r; r ( R. 4.E8 2n_- 5a - z * 4 = 0. 4.89 3. 4.s0 2\/6. 4.91 Nuta. a.92 a) 6; b) J2. a.$ ) f;b) D'14,-4,0). 4.s4 \/5. 4.ss +. 4.e6 a) *,/1; 11 { a.e7 a) c = 60o;b) o=90o; c)a:62o37t. 4.98 o=45o. 4.99 B=gQo. l.fiO a) 35ol6t.:b)74ol2t;c) 48011/. 4.10| L7o33|. a.Ioz a) o = 0o; b) p n p = Q. a.103 a) 45o; b) 54Ó44|.4.lo4 a = 70"32I' 4.105 a) 42o08l; b) 79o06/; c) 16036/; d) 64009/; e) zl/Ž; f) 6.4.106 N[3i, -3?,-#]

5. Kuželosečky a kulová plocha

5.1 Kružnice

5.1 a) (r+4)2+(a-3)2:25; b) (r-B)2+(a+6)2 = 16; c) (r+r)2+(a+2)2:5.5.2 a) Sl2,3l, r - 2; b) S[-2, 4), r : 1; c) S[-1,-b], r = 1,s; d),9[3, -r,S], r = y'2.5.3 a) S[3,-2),r- 6; b) S[2,-3],r:4; c)S[0,-4),r= s; d)S[_r,0),r={@.e) S[-3,4], r = y'n: I S[-y'r,J4,, : ,/u. 8.4 Jen a), c). r-e a) io +2)2 ++@_3)' _13; b) ď*(a-3)'=18; c) (z_ 2)2 1gz =13; d) ď*(a+3,5)2=6,25-5.6 a) p< 13' s[-2,3),r= {TT_p; b) p < 26, sU,-5],r: ,/7ď_p; c)p'-I,25,s[o'5; r]' r:{Tpí_p; d) p<8,5, S[1,5; -2,5],r=1f8,5_$_p. 5.7 3r*2y-6=0.5.E a) Vnější oblast; b) kružnice; c) vnit ní oblast; d) vnější oblast; e) vnit ní oblast.5's a)(rt4)2+(y+1)2 -25; b) (x-r,s)z+(y_ 2)2:6,25. 5.10 s[2,-9], r:,/as.5.2 Kružnice a p ímka

5.11 a)[0,0],[4,0],[0,-5]; b)|z,/6,o),[_zJ6,0],[0,-2],[0,12]; c)[0' a],[0,2]; d)žádné.5'L2 [_2, _2],|_0,76;6,68]. 5.r3 a), c) Sečna; b), e) vnější p ímka; d) tečna. 5.!4 :t2 +* (a - 4)2 = 16. 5.15 a) [5,0], [3,a]; b) [r,1], [-6, -6]. 5.16 a) +2y'8: b) ++t/i.5.17 a),b) 9-s)'+fu-s)2 =25,(r-r)2+(y-r)2: 1; .) (:r_r)2+(y-r), :12, , ==72*6t/2; d) ('- s)2 +(a-5)2 = 2s, (r+s)2 +(a-s)2 = 2s. 6.is u) 12 +s2 - g.s.r9 (z-5)2 * y2 = 9, (t-LL)2 *u2 :9. s.2o (r_s)2 +(u+2)2 = r. 6.zL a) k,-tl)z +*a2 : 8; t) (z- 1)2 +(u -2)' : g. 5.22 (r-2,2)2 +(s-0,9)2 = 0,16. 5.23 Neexistuje.5.24 (L_2)2+(u_2)2 = 4. 6.25 (n_a)2+(g-5)2 : Ia. 5.26 Pro c e (_10, -4) sečna,pro c {-10' -4} tečna, pro c (-oo, -1o) U (-4, oo) vnější p ímka. 5'27 a) (t f+1,5)2*(s-0,5)2 -2,5; b) (r-3)' +(s-3)'=S; .) (,n+t)2*(y_r)r_s.

70

'28 Pro p ž 1 neurčuje druhá rovnice kružnici, pro p (-80, 0) dva společné body, proP c {-80,0} jeden společn;y' bod, pro P (-oo, _80) U (0, 1) žádn společn bod.ťt'29 a)p = -15; b) p=I; c)p=6. 5.30 a) 3z *4g_25=0; b) 2x*3y-13:6.r)4u*3a-2=0. 5.31 a)m=*25; b) rn {-$;2, }. s.sZ a)ert4s_25=Q;lt)'2r-a-I=0,2x*y-il = 0. 5.sI a)2i-_3s_Bb=0,2r_3y_9 = 0;lt) 4:t{g -23,5 = 0, 4r+y+10,b : 0. .I4 a) 3r i-2a -7= 0, 3z *2! *19 =0; b)z-49-33,5=0, n-4a*O,S=0. 5.35 a)a . 12o32i. b)o= Blo4gt.Využijte vektory s počátkem ve společném bodě a s koncov;y'mi body ve st edech kruž-tric. 5.36 a)a !79003,;b)a!g2o04t; c) o- 106016/. 5.J7 a)r_9:0,32*l4y-35 = 0, lt -5 = 0, 4r-3y-45 = 0; b) z_3 = 0, a,r_3y*lb:0;c):r-2y-2+Brt=0, r-2a-2-Sr/E:0. s.38 (z _q)z+(a_S)2 =ZS,1,,-!)2+(y-3)r=#.

6.3 Elipsa

6.39 9r2+3692 =324. .40 gď+25y2 =225. 5'4L.)t--*'0] , t*'0] , o = !, l= !;Ir)[-3,0], [3,0], a=5, b=a; c)[0,_4], [0,4], o-4a/r,';=+,."i.a2'"l,s(i_m1z\1-'z5rz - 228; b) 36(r: - m)z I L0Oy2 = 3600. 5.48 a) 8Ir2 + a9(y ,), : ,'nun,b) L6r2 + 7(a - n)2 = tt2; c) 25a2 + 16(s - n)2 : 400; d) 676:t2'* root, _ n)z ==(i7600. 5.44 a)t6(a-6),+36(y+a)2 =b76; b) 25(t+4)2+L6(a_b)2 =400;l',45 b)' c), e) Nejde o elipsy; a) s[3,z], a:5, b:3; d) ,9[-0,5;2], a _ z,í. u: íu;ť) s[1'0]' a:3, b=2. 5.48-a)[3,0],[0, z];fia; c)[r,s; .vra_]

" 5.47 4'\/E. 5'48 Velipse

o rovnici b2t2 1a2rz = a2b2 vyjde S =4a2b2 : (o2 +b2). s.ns MezÁ p ímkami, kteréttrají rovnici 2u *3a * c = 0, hledejte ty, které mají s elipsou právě jeden společny bod;d,,,i,, i 1,81, dt .* I 0,b1. 8.50 a) ts,al, [-#t-if]; t) [s,5]; c) 0, a) Io, _sl,

, t#,#]; e)[4,2]. 5'51 q (-5,5). s.r-z is,,ii i''sibjvs]',]t,i,,_|g,;J|i. r.aírrluměrné podle osy y' 5'53 a) Kružnice má poloměr b2/a; b) Kružnice má poloměru2fb' Y rovnicich pro sou adnice společn ch bodri kruŽnice a elipsy vyjád ete podmínku1lro dvojnásobn ko en' 5.54 O,94rn. 5.55 Bod odctělující na tyči p decimetrri a t2 _ prlt:cimetrri opisuje elipsu o rovnici p2r2 + (I2 - p)2u2 _ p2(I2 _ p)2, 1Š p Š 1r.

6.4 Druhá definice elipsy

lí.Í16 a) a _ 2, b: J5, e - 1' s[O,o], A|._2,0], B[2,0], C[0' rt), o|o,-l/5l;l)) e'[-1,0], " - -4, Fll,ol, :: a;..) *. 6.5r a) a = 2,'b =',/9, .' _ 1, s[_1,8],/[l, 3], B[-3, 3], C[-1, 3 1 f]l o [-r, i _ Js); b) E[-2, 3], r _ _5,r'[0, 3], Í = 3;

, ) *. 5.5E Eliosa. E-l\' ''216- + b:1, Sl2,0l, a = 4, b = 2,/5, e :2, EL1,O1, Fl4,0l.

n.r,e (z+1)2 tfu-4)29 8 :I,a:3,6:2y'Ž, e = 1,,5[-1,4], E[-2,4], F|0,4),

,41-4,41, Bl2,4l, c[_r, 4 + 2,/2], Dl_1, 4 _ 2Al.

77

5.5 Parabola

5.60 a) -a@- 1) = (z -a)'; b) -a('y+2) = (x -5)2; .) -a(a- 5) = (z{6)2;d) -8(y+6) = (,*3)2; e) a(r- 1) = (g- 5)2; f)2(l-3,5) = (a-2)2; ď -a@-7):= (a - 2)2; h) -(r * 0,75) = (a - 3)'. 5.6r a) FII,O), d,: t = -r b) F'[-12,0],d: r = 12; c) F[3,5; 0), d,: n = 2,5; d) F[-1,875, O], d::r - -2,125; e) Fl0,f25;21,d,: r =-0,125; f) FF0,0625, -4), d: t = 0,0625. 5.62 a) F[3; 0'5]' V[3; L,5), d': v =: 2,5; b) F[-3;-0,25], vl-3,21, rt: y - 4,25; .) F[3,-4), V[?,-a), d: * : T;d) F'[_iŤ' _5),Vl-+,-s], d: '=

*3á. 5.63 a) a:0,25, souměrnost podle osy ra posunutí P[0,0] -+ V[3; 1,5]; b) o = }, souměrnost podle osv r a posunrttí P[0'0] -+

-+ V[_3,2}; c) a = {, otočení o 90o a posunutí P[0'0] -+ vl?,-4) ;d) a: {,

otočenío90o aposunutíP[0,0] -+y[_t,-5] ' ,64 a)a,=0,25,posunutíl b)o: $,posunutí; c)o= },otočenío(_90")aposunutí; d)a= },otočenío(-90')aposunutí.V každém p ípadě jde o posunutí z rilohy 5.63. '65 a) -3(y-5) = (x'_3)2; b) -3(y]_!2):(r-o)t; .) (y+z)=(r-r)t; d) 3(2- t/5) (a-2,5)= [z-1,5(1 +,/i))',3(2+\/5)(y-2,5) - [z-1,5(1 _J5))'' 5.66 a) (y_3) = ("-Í)'; b) -2(r--2,125) = (y - 4,5)2. .67 a) -a,s(y - 9,125) : (t -0,25)2, 6(" +5) = (a -3)2;b) -3(e-9,1875) = (z-5,25)2, o(z-pr,s; = (a-3)2; c) ](v-z,azs) : (r-2,5)2, -9(z--4):(a-6)2. 5.68 a) a:2,b:3,c=_4;b)a:_3, Ó=5,c= 1' 5'69 I2r:a2;3cm p ed vrcholem. 5'70 Asi 29,63m. .7L Zvo|me osu z ve stojanu, počátek v jeho

patě, jednotku 1m; konce trubičky Á[_1; a,5], BIt; a'5]' pomalejší kulička vymrštěná

z bodu Á opisujeparabolick]íoblouk, z=4,5_ I,25(I f r)2 pro rŠ -I, druhákuličkaoblouk z = 4,5 - 0,3L25(r- 1)2 pro z ž t' Je;ich vzdálenost v okamžiku t sekund od

vymrštění je rovna (2+6Ú) metrri, t s 0p. 5.72 a) [0,0], [a' +]; b) [0' 0]' [-4' +]; c) [a' a]'

[_2' 1]. 5.73 16. 5.74 a) [5, 10], t3 ' ť] ; b) 0; c) [8, _2]; d) [l' - i] . r.7r a) {M, N}'au ! 0,68, yp1 : -3,75, zru = -0,85, 3r,n,' = -5,80; b) 0; c) {P, a}, rp L 0,36, 'gp :

= -1,02' ÍQ = _O,82, ua = _5,32i d) 0; e) |2, _32); f) [-1' _8]. 6.76 a) t _- 0, a : 0i

b) y+1:0; c) t:=0, a*5a-25=0, A- 5 = 0; d) L-2A*4:0,:r'+A-I-=0, a*1:6. 5.77 r-2=o,3r -y-8 = 0' Ď'78 Neobsahujeprávě jeden

bod paraboly nebo obsahuje bod vnit ní oblasti paraboly. 5.79 a), b)' c) Á je bodem

vnější oblasti, B je bodem vnit ní oblasti a C leŽí na parabole. 5.E0 p _ 2,25,[2,3)'

5.E1 a) 3r-a- 7=0; b)z-89*3:0' 5.82 a)u-l 2a*2 =0; b) t*2:0;c) s-3 = 0; d) 4r-4A*7 - 0; e) t-4y!12 = 0. 5.83 a) 2t-3a*9 = 0, t*v*2:0;b) "-a*7 =0, 2r*3u *14:0. 5.84 a) 5e -3v*4,05:0; b) 3r-2v *11:0'5.8 a) 2t/5r +2s + \/5= 0; b) 2r: t2y{ 3 = 0; c) 2(2 + J-s), +2v + 3(2- y'3) : O;

d) 2k2rt2kA-13 :O. 5.86 a) 9 : 53008/; b) p : 63o26t; c) P = 108026/; d) p := II0o52|. .E7 a ž 70o34/. 5.88 a) 61111*19 :0,2lla*7 = 0; b) 4r_4y_13 :0;c) 2t _ g -3 = 0. 5.89 4al* 4a.u*8a* 1 = 0,rl-+, *) 5.90 Využijte známou

směrnici tečny paraboly v bodě na horním konci piísu; }rledaná vzdálenost d + I,57m'

72

5.91 Paraboly s vrcholy u otvorrj ve stěně nádoby; maximální vzdálenost 8,89 m pro

otvor u dna. 5.92 632,5m. 5.93 0,375m; 1,5m; 3,375m; 6m. 5.94 0,6m's-1.

5.6 Hyperbola

5.95 2o= 8. 5.96 y - 0, r- l3/E. 5.97 6y = *52. 5,98 9r2-4!J2 =36.5.99 I6t:2 -9a2 = 144. 5.100 a) [-5,0], [5,0], " - 5, 3z * 4v :0; b) [-/7,0] ,

lrt,o], ": J7, {5rI2y:o. 5.10r a) s[-2,0], Á[-5,0], B[1,0], El-2_ '/m'o]'F[-2+ y'ro, o]; t) s[3,7), Al-r,7], ,817,71, als-,/u,z), rls+,/m,t).

5.102 a) [a,0]; b)[6,4], [-:#,ffi]; .) 0; d) {K, L}, ,r :7,07, ax = -0,1, rt =: 2l,5, 9t' ! 20,I. 5.103 [1, 1], [-3,8; 5,8]' sečna' 6.L04 4(r + 1)2 _ (a - 3)2 : 6+.

5.105 a) gď * I6a2 = I44; b) 9u2 _7(g _ 3)' =63; c) 5(r -2)2 _3(g*6)2 : 15;

d) b2a2 _ (o, _ b,)a, = 6z(fi _ b2) pŤi a2 Ž b2, a2y2 - (b' _ a2)r2 = a2(b2 - a2) píib2Ža2. 6.Lo6 4t2-5!2 =20. 5.lo7 3(r_2)2-(a-L)z =3. 5'108 9t2_L6a2:L44.5.109 9(o-?)'-3g2=100. 5.110 a)or*3=0; b) r*3g*6=0. 5.111 z*g*=t/5=0.

- .L12 4u-y+5*8{Ž=g. .113 a) m (_oo, -r/n1 u(y'71,+-;;

b) rn {_rE, '/fr}; c1 m e (aI,xtrI). 5.114 a) Ú (-oo; -4'5) U (4,5; -|-oo);

b) t e {-a,5; 4,5}; c) t e (_4,5;4,5). í.1r5 a) P ímka je asymptota, žádné společné

body; b) sečna, [4,0], [5; _1,5]; c) tečna, [s' $]; a) vnější p ímka, žádné společné body;

e) rovnoběžka s asymptotou, [4,0]. 5.116 P ímka jedntr větev protíná; na druhé větvije jí nejblíže bod [-16,6]. 5.117 o = 10028/. 5.118 a + 33"t2| .

5.7 Kulová plocha

5.11e a) S[3, -5, 2), r : {; b) S[2; -3,5; 1,5], r = ../rs5; .) S[-5; 2,5; z], r : 'r/er,xid) s[6, -20, 1,5], r : /M\%. 5.120 a) Prrisečík s osou ''

neexistuje, [o, _s + r/5, o] ,

[o, -s _ /5,0], Rr,i"utík s osou z neexistuje; b) kromě [0, 0,0] ještě [4, 0, 0], [0, _7, 0]'

[0, 0, 3]; c) [-Ě + 3y'5, 0, 0]' [-s _ sy'5,0,0], [0; 0,5(5 + @); o1, [o; o,s1s - ./-s3); o]'

[0,0,2 + /o-], [0, 0,2 - {q; d) [6 + 2\ho,o,0], [6 - 2\/T ,0,0], [0, -20 + 2\/rot,o],

[o,-zo_ 2r/|oI,0] , [0,0,4], [0,0,-l]. 5.121 a) rrt 15i b) každé rn R; c) rn *+ O. 'L22 (r - 1)'+ @+2)2 +(z-3)2 = 41; kromě bodu Á ještě X[5, 1,-1],v[-3, -5, -r, zl-3,1,7). 5.123 [0,3,2], [0, 3, -2]. 5.124 a) [0, 3, 2]; b) [8, -+, -3];

g.L26 it = -26. 5.127 |_3,5,2]. .lzE Žádné společné body' á.129 a) |-L'z,-2];b) [-1,2, -2),I_4,0'5]; c) žádné společné body. 5.L3o iI = _2+y'85. 5.131 5z --3y -22*14 : 0, 6, - a + z III =0, 3z- 5y *22{ 14 : 0, 2t: -3y -52 129 = 0.

5'!32 6r*a*zl24=0, 5t_3u*2z*9 =O. á.133 a) ,'+(a_2)2 +(z14)2 :29;b) 2r - 3a * 4z - 7 = 0; 5r - 2y - 25 : 0, 5y - 2z * 11 = 0, 3r J 4y - 2z - 45 = 0;

c) a = 56031/, B : 37o 58' . 5.134 a) (, - 5)' + (y * I)2 J z2 : 24; b) r - y - 2z 16 : 0;

.) p = 60o. 5.135 (z- l)t + @*1)2 +Q-lz -9, (r-2)'+(u-2)'* z2 =9.5.136 S[-3,2,2), r =2. 6.L37 d (1' 29).

73

STRUČNÝ PŘEHLED PoUŽITÉ SYMBOLIKY

R

:;xA = {a,b,c}

a

AcBA:BA_BAUBAnB

bIA[a1, a2, a3)

IABIallb

a Lbu = (urruzrus)

lulu.vullvuLv

ABu: AB, resp. u: B - A

množina všech reáln ch čísel

a je prvkem množiny Aa není prvkem množiny AmnoŽina daná q čtem prvkriptázdná množina

množina A je podmnožinou množiny Bmnožina .4 se rovná množině ,Brozdíl množin A, Bsjednocení množin A, Bpr nik množin A, Babsolutní hodnota reálného čísla obod Á o sou adnicích a1, a2, a3

vzdálenost bodri á, B; délka írsečky ,4Bp ímka a je rovnoběžná s p írnkoup ímka o je kolmá k p ímce

vektor u o sou adnicich u1, u2, usvelikost vektoru u

skalární součin vektorri u, uvektor u je rovnoběžny s vektorem rr

vektory a, v jsou k sobě kolméorientovaná írsečka ÁBvektor u určen;f orientovanou risečkou ÁBposunutí určené bodem Á ajeho obtazem A|A_> A'

74