Analízis 2 - Eötvös Loránd Universityvaldar.web.elte.hu/downloads/anal2_zh2s.pdf · hallgatóknak készült Analízis 2 kurzus második zárthelyi dolgozatához. Remélem tudtam

Analízis 2

Segédanyag a második zárthelyi

dolgozathoz

Nagy Krisztián

Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK

Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar

2

Tartalomjegyzék Deriválási alapok ............................................................................................................................................. 3

Elemi függvények deriváltjai ......................................................................................................................... 3

Deriválási szabályok műveletekre ................................................................................................................ 4

Első feladat típus ............................................................................................................................................. 5

Érintő egyenletének felírása egy adott pontban .......................................................................................... 5

Invertálhatóság, inverz deriválhatósága ...................................................................................................... 6

Második feladat típus ...................................................................................................................................... 7

L’Hospital szabály ......................................................................................................................................... 7

Harmadik feladat típus .................................................................................................................................... 8

Taylor-polinom-os feladatok ........................................................................................................................ 8

Negyedik feladat típus ................................................................................................................................... 10

Lokális és abszolút szélsőértékes feladatok ................................................................................................ 10

Ötödik feladat típus ....................................................................................................................................... 11

Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolás lépései .............................................................................. 11

Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolásos feladat ........................................................................... 14

Utószó ............................................................................................................................................................ 15



3

Elemi függvények deriváltjai

és



4

Deriválási szabályok műveletekre

Jelöljük –et -nek és –et -nek



5

Érintő egyenletének felírása egy adott pontban

Emlékeztető

Az ábra alapján leolvasható egyenletre szükségünk van

ahhoz, hogy meg tudjuk határozni az érintő

meredekségét.

Ahhoz, hogy meg tudjuk adni egy a-beli érintő egyenes

egyenletét, szükségünk van az a-beli érintő

meredekségére. Mivel a-beli érintőről van szó így

figyelembe kell vennünk azt, hogy az x-szel az a-hoz

tartunk. (

Ezek alapján az a-beli érintő meredeksége:

lesz.

A fentiek alapján pedig fel tudjuk írni az érintő egyenes egyenletét:

lesz.

Nézzünk rá egy feladatot!

Írja fel az y =

görbe érintőjének az egyenletét a (2,1) pontban!

Amennyiben egy megadott pontban kell felírni az érintőt fontos tudni, hogy a koordinátákat,

hogyan értelmezzük, mert szükségünk lesz rájuk a feladat megoldásához. Jelen esetben a 2 fog

megfelelni -nak és az 1 az -nak. {Megjegyzés: Sok feladatban az -t -al jelölik, ez ne

rémisszen el senkit a feladat megoldásától. Ha csak az (vagy ) érték van megadva, akkor ki kell

számolnunk az – t (vagy – t. Ez esetben sem nehéz a dolgunk, hiszen csak be kell írni a

megadott értéket az -ek helyére és meg is kapjuk a másik koordinátát. Ez azért van így, mert

a függvény értékét jelenti, az helyen.}

Szükségünk van – miatt az eredeti függvényünk deriváltjára.

Ha helyen vesszük a deriváltat, akkor megkapjuk az érintő meredekségét.



6

Mostmár tudunk mindent az egyenesünk egyenletéhez, mivel jelen esetben:

az egyenletünk. Írjuk be az ismert és kiszámolt értékeket ebbe az

egyenletbe és megkapjuk a feladat megoldását.

Invertálhatóság, inverz deriválhatósága

Emlékeztető

invertálható, ⇒ és

Nézzünk meg egy feladatot!

Bizonyítsuk be, hogy az függvény invertálható, az inverze

deriválható és határozzuk meg értékét!

Mivel , ezért a tételből tudjuk, hogy csak olyan függvények invertálhatóak, melyek

szigorúan monoton függvények és folytonosnak kell lennie!

Monotonitás vizsgálathoz jól alkalmazható eszköz:

,akkor a függvény szigorúan monoton növekvő, ha pedig , akkor a függvény

szigorúan monoton csökkenő. (Egyenlőséget megengedve csak monoton növekvő, vagy monoton

csökkenő)

Ezek alapján írjuk fel az függvény deriváltját:

Ez nagyobb, mint 0, az feltétel miatt, ezért szigorúan

monoton növekvő függvényről van szó. Ebből az következik, hogy a függvény invertálható.

-ből következik, hogy . Ezekből az állításokból pedig

következik, hogy , tehát az függvény inverze deriválható.

. Logikusan gondoljuk végig. Ekkor = a, ez akkor és csak

akkor igaz, ha Ez az egyenlet, pedig akkor és csak akkor teljesül, ha

. Ezek alapján

(Megjegyzés: –et már fentebb kiszámoltuk, így helyére 1-et kellett beítnunk.)



7

L’Hospital szabály

Emlékeztető

⇒

=

(Megjegyzés: és függvényt külön-külön kell deriválni, nem pedig a hányados deriváltja

szabályt alkalmazni!)

Első feladat:

Képzeletben beírva a 0-át, láthatjuk, hogy ez egy

típusú kritikus eset lenne, ezért alkalmazzuk a

L’Hospital szabályt.

Ez még mindig

típusú kritikus eset lenne, ezért

újraalkalmazzuk a L’Hospital szabályt.

= 1

Második feladat:

= ? Képzeletben beírva a 0-át, láthatjuk, hogy ez egy

típusú kritikus eset lenne,

ezért alkalmazzuk a L’Hospital szabályt.

Alakítsuk át úgy a fenti függvényt, hogy a későbbiek során elemi függvények deriválását és a

deriválási szabályokat is használni tudjuk.

Ezek alapján: határértékét keressük. Mivel az exponenciális függvény folytonos

( ), ezért elég, ha a kitevőben vizsgáljuk a határértéket.

. Vizsgáljuk meg külön a kitevőt.

Képzeletben beírva az 1-et, láthatjuk, hogy ez egy

típusú kritikus eset lenne, ezért

alkalmazzuk a L’Hospital szabályt.

. Beírva a kitevőbe az így kapott határértéket, azt kapjuk, hogy

. Ezzel megoldottuk a feladatunkat.



8

Taylor-polinom-os feladatok

Emlékeztető

–ből következik, hogy

Taylor-polinom körül (Megjegyzés: ⇒

Taylor-sor)

⇒ \

⇒

Lagrange- dék

⇒

⇒

⇒

Speciális eset: (legfeljebb -ed fokú polinomok halmaza) , ⇒

⇒

Bevezető feladat:

Írjuk fel hatványai szerint a polinomot.

Mivel a polinomban a legnagyobb fokszám 3, ezért a harmadfokú Taylor-polinomot célszerű felírni.

Továbbá, mivel hatványai szerint akarjuk felírni, ezért tudjuk, hogy a hatványsor közepű

lesz. Ezek alapján:

egyenlet alapján lehet felírni a

polinomot.

Mivel -at akarunk felírni, így szükségünk van a polinomunk első,második és harmadik

deriváltjára.

⇒

⇒

=

Ezzel megoldottuk a feladatot.



9

Második feladat:

Adjunk becslést az alábbi eltérésre!

Ha ránézünk a fenti függvényre, akkor láthatjuk, hogy nagyon hasonlít a szerkezete, az egyik előző

oldalon leírt képlethez. (

Ezek alapján látjuk, hogy továbbá

-ben az -ek mellett nem áll

semmilyen szám, ezért 0 középpontú hatványsort láthatunk és mivel a legnagyobb fokszámú –es

tag az , ezért arra következtetünk, hogy ez egy másodfokú Taylor-polinom lehet. ( )

Első lépésben meg kell vizsgálnunk, hogy ez a Taylor-polinom, az Taylor-polinoma-e.

Azaz

Mivel másodfokú Taylor-polinomot keresünk, ezért szükségünk van első és második

deriváltjára.

⇒

⇒ Tényleg ez az másodfokú Taylor-polinomja.

Az eltérés megbecsléséhez szükségünk van a Lagrange-maradéktag-ra:

A képletek amiket használnunk kell az előzőoldalról:

;

Ezek alapján:

A feltétel miatt tudjuk, hogy

Szükségünk van harmadik deriváltjára.

. Mivel intervallumon vizsgálódunk, ezért

felülrőlbecsülve 1-et kapunk. Ezért:

⇒

⇒

Tehát függvény eltérése az

polinomtól a (0,1) intervallumon

.



10

Lokális és abszolút szélsőértékes feladatok

Emlékeztető

Elsőrendű szükséges feltétel: -nek -ban van lokális szélsőértéke

⇒ . Az egyenlet megoldásai adják a stacionális hely(ek)et. (Stacionális hely, egy olyan

hely, ahol lehet a függvénynek szélsőértéke, de nem biztos,hogy van is.)

Másodrendű szükséges feltétel: ; ⇒ -ban lokális minimum van,

⇒ -ban lokális maximum van.

előjelet vált -ban

Abszolút szélsőértékek:

Weierstrass-tétel: , kompakt ⇒

Ilyenkor abszolút szélsőérték lehet belsőpontban, ahol vagy a határpontokban.

Feladat:

Határozzuk meg az függvény szélsőértékeit, amennyiben

léteznek.

⇒ (stacionális hely)

0

- - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + +

-ban előjel váltás történik. A táblázat alapján ezen a helyen lokális minimum található,

melynek az értéke. Ez a hely abszolút minimum is. Lokális és abszolút maximuma

nincsen -nek.



11

Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolás lépései

1. Az értelmezési tartomány meghatározása ( )

2. A tengelymetszési pontok meghatározása (zérushely, tengelypont)

3. Paritás és periodicitás vizsgálat

4. Monotonítás és szélsőérték vizsgálat

5. Konvexitás és inflexiós pontok vizsgálata

6. Asszimptoták vizsgálata

7. Táblázat készítés az átláthatóság miatt

8. A függvény ábrázolása

1.Az értelmezési tartomány meghatározása ( )

Egy kifejezés értelmezési tartománya azon azokat az értékeket jelöli, amelyen az adott

kifejezésben szereplő változók értelmezhetőek. Jelölése függvények esetében:

1. Logaritmus esetén: numerusz > 0 alap > 0 és alap ≠ 1

2. Törtes kifejezés esetén: nevező ≠ 0

3. Gyökös kifejezés esetén: páros kitevőjű gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ha csak

nem a komplex számok halmazán kell vizsgálni az adott kifejezést.

4. Exponenciális kifejezések esetén: ax , ahol a > 0

5. Tangensre:

⇒ ⇒

, ahol

6. Kotangensre:

⇒ ⇒ x ≠ , ahol

2. A tengelymetszési pontok meghatározása (zérushely, tengelypont)

Egy függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre

f(x) = 0

A függvény tengelypontja az a pont, ahol a függvény metszi az y tengelyt.

Kiszámítása: A függvényben x helyére 0-át írunk (x=0).

3. Paritás és periodicitás vizsgálat

Egy f függvényt párosnak nevezünk, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén –

x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x)=f(x). Páros

függvény grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre.

Egy f függvényt páratlannak nevezünk, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme

esetén –x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x)=-f(x).

Páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. (Megjegyzés: Ha egy

függvény páros vagy páratlan, akkor elegendő részhalmazon vizsgálni, majd a függvény

ábrájának készítésekor a szimmetriát felhasználni.)



12

4.Monotonítás és szélsőérték vizsgálat

Monotonitás vizsgálathoz jól alkalmazható eszköz:

,akkor a függvény szigorúan monoton növekvő

, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő

,akkor a függvény monoton növekvő

, akkor a függvény monoton csökkenő

Szélsőérték vizsgálatához jól alkalmazható eszköz:

Elsőrendű szükséges feltétel: -nek -ban van lokális szélsőértéke

⇒ . Az egyenlet megoldásai adják a stacionális hely(ek)et. (Stacionális hely,

egy olyan hely, ahol lehet a függvénynek szélsőértéke, de nem biztos,hogy van is.)

Másodrendű szükséges feltétel: ; ⇒ -ban lokális

minimum van,

⇒ -ban lokális maximum van.

előjelet vált -ban

Abszolút szélsőértékek:

Weierstrass-tétel: , kompakt ⇒

Ilyenkor abszolút szélsőérték lehet belsőpontban, ahol vagy a határpontokban.

5. Konvexitás és inflexiós pontok vizsgálata

Konvexitás:

konvex (alak: ) ⇒ monoton növekvő ⇒

konkáv (alak: ) ⇒ monoton csökkenő ⇒

Inflexiós pontok:

, helyen lehetnek inflexiós pontok.

Akkor lesz a fentebb említett helyen inflexiós pont, ha a függvény az adott helyen konvexitást vált.

(Azaz a függvény megváltoztatja az alakját)

6. Asszimptoták vizsgálata

⇒ vízszintes asszimptotája -nek a

-ben

⇒

függőleges asszimptotája -nek (a 0 környezetében)

⇒ vízszintes asszimptota nincs, de ferde asszimptota lehet!

Ferde asszimptota

Ferde asszimptota meredeksége: (Ha ez végtelen, akkor nincs ferde

asszimptota)

Ferde asszimptota konstans tagja:

ferde asszimptota -ben



13

7. Táblázat készítés az átláthatóság miatt

Minta (kinézet miatt)

- - - - - 0 + + + 0 - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

* lok lok lok *

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

konvexitás infl.

* - határértékek a nevezetes helyeken

8. A függvény ábrázolása

Az előbbi pontok alapján, a táblázat segítségével már egyszerű ábrázolni a függvényt egy

koordináta-rendszerben.



14

Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolásos feladat

Végezz teljes függvényvizsgálatot, majd ábrázold az alábbi függvényt:

!

(1)

-ban metszi a tengelyeket

(3)

⇒ nem páros a függvény

⇒ nem páratlan a függvény

Nem periodikus

(4)

⇒

⇒

⇒

(5)

⇒

⇒

⇒

(6) ; ⇒ vízszintes asszimptota -ben

⇒ függőleges asszimptota

(7)

- - - - - - - - - + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

+0

l.mx

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + +

konvexitás infl.

⇒ lokális maximum, abszolút maximum; lokális minimum, abszolút minimum

nincs

Inflexiós pont:

(8)



15

Utószó

A jegyzet elsősorban az Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Karán tanuló

hallgatóknak készült Analízis 2 kurzus második zárthelyi dolgozatához.

Remélem tudtam segítséget nyújtani neked a tanuláshoz!

Készítette: Nagy Krisztián

Dátum: 2011.12.14

ELTE-IK Programtervező informatikus BSc 2008

ELTE-IK HÖK 2011. december

Matematikát Népszerűsítő Projekt (MANÉP)

Elérhetőségek:

Nagy Krisztián: valdar(at)ikhok.elte.hu

ELTE-IK HÖK weboldala: http://ikhok.elte.hu

Saját weboldalam: http://people.inf.elte.hu/naksabi

A jegyzet átírás nélkül szabadon terjeszthető!

http://ikhok.elte.hu/

http://people.inf.elte.hu/naksabi

Documents

Analízis 2 - Eötvös Loránd Universityvaldar.web.elte.hu/downloads/anal2_zh2s.pdf · hallgatóknak készült Analízis 2 kurzus második zárthelyi dolgozatához. Remélem tudtam