numerikus analízis[2]

8/14/2019 numerikus analízis[2]

http://slidepdf.com/reader/full/numerikus-analizis2 1/63

Numerikus Analızis II.

Sovegjart o Andras

Jegyzet programozó es programtervez˝o

matematikus szakos hallgat´ oknak

2004.



Tartalomjegyzek

1. INTERPOL ACI O 31.1. LAGRANGE - INTERPOL ACIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. A Lagrange - interpol acio keplethibája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. ITER ALT INTERPOL ACIO, AITKEN - NEVILLE ALGORITMUS . . . . . . . . . . 71.3. NEWTON - INTERPOL ACIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. HERMITE INTERPOL ACIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1. A Hermite - interpol acio hibaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5. AZ INTERPOL ACIOS ELJ ARAS KONVERGENCI AJA . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. CSEBISEV POLINOMOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7. SPLINE INTERPOL ACIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7.1. Az interpol acios spline minimum tulajdons´ aga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.2. A kobos interpolaciós spline konstrukciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7.3. Konvergenciatetel k¨ obos spline interpoláciora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8. AZ m - EDREND U POLINOMI ALIS SPLINEOK TERE: Sm (Ωn ) . . . . . . . . . . 301.9. B - SPLINEOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2. NUMERIKUS INTEGR AL AS 392.1. KLASSZIKUS KVADRAT URAFORMUL AK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.1. Teglalapformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.2. A teglalapformula hib´ aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.3. Osszetett teglalapformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.4. Az osszetett teglalapformula hibaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.5. Trapezformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.6. A trapezformula hib´ aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.7. Osszetett trapezformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.8. Osszetett trapezformula hibaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.9. Simpson - formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.10. A Simpson - formula hibája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.11. Osszetett Simpson - formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.12. Osszetett Simpson - formula hib´ aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2. INTERPOL ACIOS T IPUS U KVADRAT URAFORMUL AK . . . . . . . . . . . . . . . 452.3. ZART NEWTON - COTES FORMUL AK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4. ORTOGON ALIS POLINOMOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5. GAUSS T IPUS U KVADRAT URAFORMUL AK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6. KLASSZIKUS ORTOGON ALIS POLINOMOK SEG ITS EGEVEL FEL EP ITETT GAUSS

- KVADRAT URAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.1. Legendre - Gauss kvadrat´ ura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.2. Csebisev - Gauss kvadrat´ ura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. APPROXIM ACI OELM ELET 63



numerikus anal ızis ii. 3

1. INTERPOL ACI O

Alapfeladat :

Adott x0, . . . , x n kulonbozo alappontokban a hozz´ ajuk tartozo y0, . . . , y n fuggvenyertekek(meresi eredmenyek). Hat arozzunk meg olyan f uggvenyt, amelyik az el˝ oırt alappontokban az adottfuggvenyertekeket veszi fel! Ezt az elj´ ar ast interpolácionak nevezz uk.Az interpolaci´ o fontos szerepet j atszik peldául a numerikus integr´ alasn al es differencialegyenletek nu-merikus megold asan al is.

INTERPOL ACI O POLINOMOKKAL

Tetel

Legyen adott x0, . . . , x n (n + 1) darab külonbozo alappont es a nekik megfelel˝ o y0, . . . , y n

ertekek.

Ekkor ∃! olyan legfeljebb n - ed foku P n (x ) polinom, amelyre teljesül, hogy:

P n (x i ) = yi , i = 0 , . . . , n .

Bizonyıt as

Legyen P n (x) = a0 + a 1x + . . . + a n xn alak u polinom, ahol a i - k ismeretlen egy utthat´ ok.

Figyelembe veve, hogy P n (x i ) = yi , a kovetkez o egyenletrendszert kapjuk az a i egyutthat´ okmeghat aroz asara:

a 0 + a 1x i + . . . + a n xni = yi , i = 0 , . . . , n

Ennek az egyenletrendszernek a determin´ ansa az ugynevezett Vandermonde - determin´ ans:

(1) det1 x0 · · · xn

0...

...1 xn · · · xn

n

=0≤ i<j ≤ n

(x j −x i ) , ami nem nulla, mivel x i = x j , ha i = j .

=⇒ az (1) - nek ∃! megoldasa a i - kre.




1.1. LAGRANGE - INTERPOL ACI O

Az interpol acios polinomot megkonstru´ aljuk.

Denıci´ o :

Lagrange - alappolinomok :

lk (x ) , k = 0 , . . . , n

Legyen

(2) lk (x i ) :=0 , ha i = k

1 , ha i = k

lk (x ) n - edfoku es x i - k, i = k az lk (x ) polinom gyokei.

Igy: lk (x ) = Ak (x −x0) (x −x1) . . . (x −x k− 1) (x −xk+1 ) . . . (x −xn )

ahol az Ak foegyutthat´ ot a (2) feltetelb˝ol kaphatjuk:

lk (xk ) =⇒ Ak (xk −x0) (xk −x1) . . . (x k −xk− 1) (xk −xk+1 ) . . . (x k −xn ) = 1

=⇒ Ak =1

(xk −x0) (x k −x1) . . . (xk −xk− 1) (x k −x k+1 ) . . . (xk −xn )

Igy =⇒ lk (x) =(x −x0) (x −x1) . . . (x −xk− 1) (x −xk+1 ) . . . (x −xn )

(xk −x0) (x k −x1) . . . (xk −xk− 1) (x k −x k+1 ) . . . (xk −xn )=

n

i =0i= k

x −x i

xk −x i

Az lk (x ) - eket Lagrange - fele alappolinomoknak nevezz¨ uk.

Az interpol acios polinom Lagrange - fele alakja:

L n (x) =n

k=0

yk lk (x) =n

k =0

yk

n

i =0i= k

x −x i

x k −x i




Denıci´ o :

Vezess uk be a k ovetkez o (n + 1) - edfok u polinomot:

ω (x) := ( x −x0) (x −x1) . . . (x −xk− 1) (x −xk ) (x −xk+1 ) . . . (x −xn )

Ennek segıtsegevel Ln (x ) a kovetkez o alakban is ırhat´ o:

L n (x ) =n

k=0

ykω (x)

(x −xk ) ω (xk ), lk (x) =

ω (x )(x −xk ) ω (x k )

Ugyanis:

ω (x) = ( x −x1) . . . (x −xn ) + ( x −x0) (x −x2) . . . (x −xn ) + . . . +

+ . . . + ( x −x0) . . . (x −xk− 1) (x −xk+1 ) . . . (x −x n ) + . . . + ( x −x0) . . . (x −x n − 1)

=⇒ ω (x k ) = ( xk −x0) . . . (x k −xk− 1) (xk −xk+1 ) . . . (x k −x n )

Legyenek az yi eloırt ertekek egy f (x) fuggveny ertekei x i - ben (i = 0 , . . . , n ) .

L n (x i ) = f (x −i) , i = 0 , . . . , n

1.1.1. A Lagrange - interpolaci´ o keplethibaja

Becsuljuk meg az Ln (x) polinom es f (x) fuggveny hibáj at x i - ken kıv ul is!

Tetel

Legyen f ∈C n +1 [a , b ] , x0, . . . , x n ∈[a , b ].

Ekkor ∀ x∈[a , b ] - re ∃ ξ∈I [x0, . . . , x n , x ] , amelyre

(3) f (x)

−Ln (x) =

f (n +1) (ξ)

(n + 1)!ω (x)




Bizonyıtas

Ha x = x i , i = 0 , . . . , n , akkor triviális, ugyanis mindket oldal nulla.

Tegy uk fel, hogy x = x i , i = 0 , . . . , n .

Tekintsük a k ovetkez o fuggvenyt:

F (x) := f (x) −L n (x) −K ·ω (x) , ahol K alland o (hat arozatlan).

A K - t adjuk meg ugy, hogy az F (x) fuggveny az x helyen nulla legyen!

Teh at: F (x) = f (x) −L n (x) −K ·ω (x) = 0

Innen =⇒ K =f (x) −Ln (x )

ω (x )( )

Vizsgaljuk F (x ) - et!

F (x ) - nek legal abb ( n + 2) darab gyöke van I - ben: x0, . . . , x n , x

A Rolle - tetel miatt F (x) - nek legalabb ( n + 1) darab gyöke van, stb.,

F (n +1) (x) - nek letezik legalább egy gy oke, legyen ez a gyok ξ.

Mivel F (n +1) (x) = f (n +1) (x) −K (n + 1)! =⇒

=⇒ F (n +1) (ξ) = 0 =⇒ f (n +1) (ξ) −K (n + 1)! = 0

Rendezve: K =f (n +1) (ξ)(n + 1)!

Ezt ( ) - gal osszevetve =⇒ (3)

Legyen M := maxx∈[ a , b ]

f (n +1) (x ) .

Ekkor az interpolácio hibajara a k ovetkez o becsles adhat´ o:

(4) |f (x) −Ln (x)| ≤M

(n + 1)! |ω (x )| (felso becsles)






Legyenek y0, . . . , y n az f (x ) fuggveny ertekei az x0, . . . , x n alappontokban.

Vezess uk be a k ovetkez o kifejezest (f uggvenyt):

L01 (x ) :=1

x1 −x0

y0 x0 −xy1 x1 −x

L01 (x) x - ben elsofoku polinom, s ot: L01 (x0) = y0 , L01 (x1) = y1

Teh at L01 (x) elsofoku Lagrange - interpolácios polinom az x0 , x1 alappontokban.

Hasonl oan: L12 :=1

x2

−x1

y1 x1 −xy2 x2

−x , stb. . .

L12 (x) olyan elsofoku polinom, amelyre L12 (x1) = y1 , L12 (x2) = y2 , teh at Lagrange - in-terpol acios polinom az x1 , x2 alappontokban.

Tov abb a legyen:

L012 (x ) :=1

x2 −x0

L01 (x) x0 −xL12 (x) x2 −x

=⇒ L012 (x) masodfoku Lagrange - interpolácios polinom az x0 , x1 , x2 alappontokban.

Azaz: L012 (x0) = y0 , L012 (x1) = y1 es L012 (x2) = y2

Hasonl oan: L123 (x ) , L234 (x) , . . .

Igy az x0, . . . , x n alappontokra t´ amaszkod o interpol acios n - edfoku polinom a k ovetkez o formulavalkapható meg:

L012 ...n (x) :=1

xn −x0

L012 ...n − 1 (x) x0 −x

L123 ...n (x) xn −x

Nyılv an az alappontok indexelese es sorrendje L012 ...n (x) erteket nem befoly´ asolja. Gyakor-latban ugy indexelik oket, hogy t avolsaguk az x ponttól monoton n ovo legyen, ugyanis a hibatagbeliω (x ) erteke akkor lesz minden lepesben minim´ alis. De nem biztos, hogy a hibatag is minim´ alis lesz.

Az algoritmus :

A szamıtógepes realizáciohoz kenyelmesebb a k¨ ovetkez o jelolesek használata:

Legyen Q ij (x) := L i− j,...,i − 1,i .




Teh at Q ij olyan j - edfoku interpolácios polinom, amelyik az x i− j , x i− j +1 , . . . , x i alappontokrat amaszkodik.

Tov abb a legyen:

Q i− 1 j − 1 := L i− j +1 ,...,i − 1

Q i j − 1 := L i− j +1 ,...,i

Igy =⇒ Q ij (x) =1

x i −x i− j

Q i− 1 j − 1 (x) x i− j −xQ i j − 1 (x) x i −x

i = 1 , . . . , n j ≤ i

=⇒

=⇒ Q ij (x) =(x i

−x) Q i− 1 j − 1 (x)

−(x i− j

−x) Q i j − 1 (x)

x i −x i− j

i = 1 , . . . , n j = 1 , . . . , i

Vegeredmeny¨ ul kapjuk, hogy Qnn (x) = Ln (x)

Gyakorlatban :

Legyen Q i 0 := yi i = 0 , . . . , n

j = 0 j = 1 j = 2 j = 3 j = 4 · · · j = nx0 y0

↑ x1 y1 Q11i x 2 y2 Q21 Q22

↓ x3 y3 Q31 Q32 Q 33...

xn yn Qn 1 Q n 2 Qn 3 Q n 4 · · · Qnn = Ln (x)

1.3. NEWTON - INTERPOL ACI O

Keress uk az interpolácios polinomot a k ovetkez o alakban:

(1) P n (x) = a0 + a 1 (x −x0) + a 2 (x −x0) (x −x1) + . . . + an (x −x0) . . . (x −xn − 1)

es legyenek adottak az x0, . . . , x n alappontok es a hozz´ ajuk tartozó y0, . . . , y n fuggvenyertekek.




Az interpol acio feltetele: P n (x i ) = yi i = 0 , . . . , n (2)

Az (1) polinom a i egyutthat´ oit a (2) interpolácios feltetelekb˝ol hat arozhatjuk meg:

P n (x0) = y0(1)=⇒ P n (x0) = a 0 =⇒ a0 = y0

Kell: P n (x1) = y1

(1) =⇒ P n (x1) = a 0 + a1 (x1 −x0) =⇒ y1 = y0 + a1 (x1 −x0) =⇒

=⇒ a1 =y1 −y0

x1

−x0

P n (x2) = y2 = a 0 + a 1 (x2 −x0) + a 2 (x2 −x0) (x2 −x1) =⇒

=⇒ y2 = y0 +y1 −y0

x1 −x0(x2 −x0) + a 2 (x2 −x0) (x2 −x1) =⇒

=⇒ a2 =y2 −y0 −

y1 −y0

x1 −x0(x2 −x0)

(x2

−x0) (x2

−x1)

=

y2 −y1

x2 −x1 −y1 −y0

x1 −x0x2

−x0

Denıci´ o :

Vezess uk be az ugynevezett m - edrend u osztott differenciákat:

1. rend˝ u osztott differencia :

( x0 , x1 alappontokon t´ amaszkod o 1. rendu osztott differencia)

[x1 , x0 ] :=y1 −y0

x1 −x0, hasonl oan: [ x2 , x1 ] :=

y2 −y1

x2 −x1

2. rend˝ u osztott differencia :

[x2 , x1 , x0 ] :=[x2 , x1 ]−[x1 , x0 ]

x2

−x0

=

y2 −y1

x2 −x1 −y1 −y0

x1 −x0x2

−x0




m - edrend˝ u osztott differencia :

(Ket ( m −1) - edrend u osztott differencia segıtsegevel deni´ aljuk.)

[xm , . . . , x0 ] :=[xm , . . . , x 1 ] −[xm − 1 , . . . , x0 ]

xm −x0

Ez az x0, . . . , x m alappontokra t´ amaszkod o m - edrend u osztott differencia.

Hasonl oan: x i , x i+1 , . . . , x i+ m alappontokra t´ amaszkod o m - edrend u osztott differencia:

[x i+ m , x i+ m − 1 , . . . , x i ] =[x i+ m , . . . , x i+1 ]

−[x i+ m − 1 , . . . , x i ]

x i+ m −x i

Igy az osztott differenciák segıtsegevel az ´ ugynevezett Newton - fele interpol´ acios polinom a k ovetkez oformaban ırhat´ o:

(3)N n (x) = P n (x ) = y0 + [ x1 , x0 ] (x −x0) + [ x2 , x1 , x0 ] (x −x0) (x −x1) + . . . +

+ . . . + [ x n , . . . , x0 ] (x −x0) (x −x1) . . . (x −xn − 1)

A gyakorlatban egy tablazatot keszıt¨ unk :

[x i+1 , x i ] [x i+2 , x i+1 , x i ]x0 y0

[x1 , x0 ]

x1 y1 [x2 , x1 , x0 ]

[x2 , x1 ]

x2 y2 [x3 , x2 , x1 ]

· · · [x3 , x2 ] [xn , . . . , x0 ]

· · · ......

......

[x n − 1 , xn − 2 ]

xn − 1 yn − 1 [x n , xn − 1 , xn − 2 ]

[x n , xn − 1 ]

xn yn




Megjegyzes :

1.

A Newton - interpolácios polinom elonye, hogy uj alappont hozzávetelekor csak egy újabb ( n + 1) -edfoku tagot kell kisz amıtani, ellentetben a Lagrange - fele interpol´ acios polinommal.

2.

Ha egy f (x) fuggveny ertekeivel adjuk meg az x i alappontokbeli függvenyertekeket ( yi = f (x i )) ,akkor az osztott differencia jel¨ oleseben szerepeltetj¨ uk az f - et: f [xn , . . . , x 0 ]

Ekkor:

(3 ∗) N n (x) = f (x0) + f [x1 , x0 ] (x −x0) + . . . + f [x n , . . . , x0 ] (x −x0) . . . (x −xn − 1)

Legyen adott az f fuggveny es x i i = 0 , . . . , n eseten f (x i ) fuggvenyertekek.

Ekkor a Newton - fele interpol´ acios polinom alakja: (3 ∗)

Vegyuk hozz a az alappontokhoz es a f¨ uggvenyertekekhez a k¨ ovetkez o part: x , f (x ) .

Ekkor (3 ∗) =⇒

(4) N n +1 (x ) = f (x0) + f [x1 , x0 ] (x −x0) + . . . + f [xn , . . . , x0 ] (x −x0) . . . (x −xn − 1) +

+ f [x , x n , . . . , x0 ] (x −x0) (x −x1) . . . (x −x n − 1) (x −xn )

De x - ben f (x) - et kell, hogy felvegyen: N n +1 (x) = f (x)

(4) =⇒ f (x) = f (x0) + f [x1 , x0 ] (x −x0) + . . . +

+ . . . + f [x , x n , . . . , x0 ] (x −x0) (x −x1) . . . (x −xn − 1) (x −xn )

Ha f ∈C (n +1) (I ) es x i →x0 (i = 1 , . . . , n ) eseten pedig a (4) formula a m ar j ol ismertTaylor - formulát adja!

f (x) = f (x0) + f (x0) (x −x0) +f (x0)

2!(x −x0)2 + . . . +

f (n ) (x0)n !

(x −x0)n +f (n +1) (ξ)(n + 1)!

(x −x0)n +1

NEWTON - AZONOSS AG , ami tetsz˝oleges f fuggvenyre ervenyes.




Vizsgaljuk az interpolácio hibajat:

(4) =

⇒

f (x)

−N n (x) = f [x , x n , . . . , x0 ]

ω(x )

(x

−x0) . . . (x

−xn − 1) (x

−xn )

Tudjuk: f (x) −Ln (x ) =f (n +1) (ξ)(n + 1)!

(x −x0) . . . (x −x n )

Igy, ha f ∈C n +1 [a , b ] =⇒ f [x , x n , . . . , x0 ] =f (n +1) (ξ)(n + 1)!

(n + 1) alappontra = ⇒ f [xn , . . . , x0 ] =f (n ) (ξ ∗)

n !

ALTAL ANOS ITOTT K OZ EP ERT EKT ETEL

Specialis eset :

n = 1 =⇒ f [x1 , x0 ] = f (ξ)1!

=⇒f (x1) −f (x0)

x1 −x0= f (ξ)

LAGRANGE - F ELE K OZ EP ERT EKT ETEL

1.4. HERMITE INTERPOL ACI O

Legyen adott x0, . . . , x m (m + 1) darab alappont.

Irjunk el o az alappontokban a függvenyertekeken kıv¨ ul bizonyos sz amu deriv altat is:

xk - ban f (x k ) , f (xk ) , . . . , f (N k − 1) (xk ) k = 0 , . . . , m

Igy osszesen N 0 + N 1 + . . . + N m fuggvenyerteket es derivaltat ırtunk el˝ o.

Legyen n := N 0 + . . . + N m −1




Feladat :

Adjuk meg azt a H n (x) n - edfoku polinomot, amelyre teljes¨ ul, hogy:

(1) H ( i )n (x k ) = f ( i ) (xk ) k = 0 , . . . , n

i = 0 , . . . , N k −1

Denıci´ o :

Az (1) feltetelnek eleget tev˝ o H n (x) polinomot Hermite - fele interpol´ acios polinomnak ne-vezzuk.

Tetel

Az (1) felteteleket teljesıt˝ o H n (x) n - edfoku interpolácios polinom letezik es egyertelm˝ u.

Bizonyıt as

Legyen az interpolácios polinom a k ovetkez o:

H n (x) := a 0 + a 1x + . . . + a n xn n = N 0 + . . . + N m −1

Az (1) feltetelek az a i - kre i = 0 , . . . , n (n + 1) darab egyenletet adnak; ( n + 1) darabegyenletb ol allo linearis egyenletrendszer.

Eleg bizonyıtani, hogy az (1) - bol szarmaz o homogen lineáris egyenletrendszernek csak a trivi´ alismegoldasa letezik, azaz a i = 0 ∀ i - re.

Tekintsük xk - t:

(2) H ( i)n (xk ) = 0 k = 0 , . . . , m

i = 0 , . . . , N k

−1

H n (xk ) = 0H (xk ) = 0

...H (N k − 1) (x k ) = 0

Innen =⇒ xk N k - szoros gyoke (2) - nek.

Igy osszesen H n (x) - nek N 0 + . . . + N m = n + 1 darab gyöke van =

⇒=⇒ A H n (x) n - edfoku polinom azonosan nulla = ⇒ ∀a i = 0 i = 0 , . . . , n




Megjegyzes :

1.

Ha csak a fuggvenyertekek adottak az alappontokban, azaz N 0 = . . . = N n = 1 , akkor aLagrange - fele interpol´ acios polinomot kapjuk vissza: H n (x) ≡L n (x ).

2.

Ha k = 0 = m , azaz egy alappontunk van, akkor a feladat megoldasa a

(n = N 0 −1) H n (x) = y0 +y01!

(x −x0) + . . . +y(N 0 − 1)

0(N 0 −1)!

(x −x0)N 0 − 1 Taylor - polinom.

3.

HERMITE - FEJ ER INTERPOL ACI O

Ha N 0 = . . . = N m = 2 , azaz az alappontokban a f¨ uggvenyer tek es a derivalja vanmegadva, akkor a H n (x) felırható explicit alakban:

H n (x) =m

k =0

yk 1 −ω (x k )ω (xk )

(x −xk ) l2k (x) +

m

k=0

yk (x −xk ) l2k (x )

ahol lk (x ) :=ω (x)

(x −xk ) ω (xk )k = 0 , . . . , m es ω (x) = ( x −x0) . . . (x −xm )

1.4.1. A Hermite - interpolaci´ o hibája

Legyen Ω (x

) := (x

−x

0)N 0

(x

−x

1)N − 1 . . .

(x

−x

m )N m f

∈

C n +1

[a , b

], x

i∈[

a , b]

, x=

xi

Ekkor a Hermite interpol´ acio hibaja az x pontban a következ o modon adhato meg:

f (x) −H n (x ) =f (n +1) (ξ)(n + 1)!

Ω (x)

Bizonyıt as

Tekintsük F (x) = f (x) −H n (x) −K ·Ω (x) , ahol K alland o.

A K - t adjuk meg ugy, hogy az F (x) fuggveny az x helyen nulla legyen!




Teh at: F (x) = f (x) −H n (x) −K ·Ω (x) = 0

Innen =

⇒

K =f (x) −H n (x)

Ω (x)( )

Vizsgaljuk F (x ) - et!

F (x ) - nek legal abb ( n + 2) darab gyöke van,

F (x) - nek legal abb ( n + 1) darab gyoke van, stb.,

F (n +1) (x) - nek letezik legalább egy gy oke, legyen ez a gyok ξ.

Mivel F (n +1) (x) = f (n +1) (x) −K (n + 1)! =⇒

=⇒ F (n +1) (ξ) = 0 =⇒ f (n +1) (ξ) −K (n + 1)! = 0

Rendezve: K =f (n +1) (ξ)(n + 1)!

( )

Ezt ( ) - gal osszevetve =

⇒

kovetkezik az allıtás.

1.5. AZ INTERPOL ACI OS ELJ AR AS KONVERGENCI AJA

Legyen f

∈

C [a , b ] es tekintsük [ a , b ] - ben az alappontok halmaz´ anak k ovetkez o sorozat at:

Ω0 := x00

Ω1 := x10 , x1

1

Ω2 := x20 , x2

1 , x22

...

Ωn :=

xn

0 , xn1 , . . . , xn

n

(n

→ ∞) , ahol Ωn

⊂

[a , b ].

Ekkor megadhat´ o az L n (f , x ) interpol acios polinomoknak egy sorozata Ω n - en.




K ERD ES :

Tart - e az interpol´ acios eljar as

f (x) −L n (f , x )

hib aja null ahoz, ha az alappontok sz´ amat [ a , b ] - ben noveljuk?

Lehet pontonkenti es peld´ aul egyenletes konvergenci´ at is tekinteni.

Denıci´ o :

Azt mondjuk, hogy az interpolaci´ os eljar as az f fuggvenyre az x∗∈[a , b ] pontban konver-

gens, ha

limn →∞

L n (f , x ∗) = f (x∗).

Denıci´ o :

Az Ln (f , x ) interpolaci´ os polinom - sorozat egyenletesen konverg´ al [a , b ] - ben az f fuggvenyhez,

hamax

x∈[ a , b ] |f (x) −Ln (f , x )| −−−→n →∞0 , f (x ) −Ln (f , x ) ∞ −−−→n →∞

0

Termeszetes azt v´ arni, hogy tetsz˝oleges folytonos f fuggveny tetsz˝ olegesen jol approxim alható egyen-letesen interpolácios polinomok sorozatával.

DE : Az interpol acios sorozat konvergens vagy divergens tulajdons´ aga fugg mind az alappont -sorozat megv alaszt asat ol es az f fuggveny simaságat ol.

PÉLDA : BERNSTEIN (1912) P

ÉLD

ÁJA DIVERGENS INTERPOL

ÁCI

ÓS ELJ

ÁR

ÁSRA

Legyen f (x ) = |x| a [−1 , 1 ] intervallumon. Bernstein megmutatta, hogy ekvidisztans alap-pontrendszerrel konstru´ alt interpolácios eljar as egyetlen pontban sem konverg´ al |x| - hez [−1 , 1 ]intervallumon, kiveve a −1 , 0 , 1 pontokat, pedig |x| mindenhol deriválható x = 0 - t kiveve.

P ELDA : RUNGE P ELD AJA (1901)

Legyen f (x) =1

1 + x2 , x∈[−5 , 5 ].

Megmutatta, hogy az f - et interpolálo polinom - sorozat egyenletes felosztás eseten |x| ≤3.63ertekre konverg´ al csak, a t obbi x - re diverg al, pedig f (x) analitikus f uggveny [ −5 , 5 ] interval-lumot is tartalmaz´ o tartományon. Igaz, x1 , 2 = ±i - ben szingularitása van, amivel magyar´ azható afenti tula jdonsag.




T ETEL : MARCINKIEWICZ (1937)

Tetsz˝oleges f ∈C [a , b ] fuggvenyre letezik az alappontoknak Ω n ⊂[a , b ] sorozata ( m → ∞),hogy a hozzajuk tartozó interpol acios polinomok sorozata egyenletesen konverg´ al f (x ) - hez [a , b ]- n.

T ETEL : FABER (1914)

Tetsz˝oleges Ωn ⊂[a , b ] (n → ∞) feloszt as - sorozathoz letezik olyan f ∈C [a , b ] folyto-nos fuggveny, amelyre az interpolaci´ os polinom - sorozat nem konverg´ al egyenletesen az f fuggvenyhez.

T ETEL : KONVERGENCIA - T ETEL

Legyen f : [a , b ] →R valos ertek˝u, val os valtoz oju egesz f uggveny. Ekkor tetsz˝ olegesΩn ⊂[a , b ] (n → ∞) felosztas - sorozat eseten a hozz´ ajuk tartozó interpol acios polinomoksorozata egyenletesen konverg´ al f - hez [a , b ] - n.

T ETEL : JACKSON (1930)

Tetsz˝oleges f ∈C 1 [a , b ] valos fuggveny eseten a T n (x) Csebisev - polinom gy okein vettLn interpolácios polinom - sorozat egyenletesen konverg´ al f - hez [a , b ] - n.

1.6. CSEBISEV POLINOMOK

Lattuk, hogy az interpol´ acio hibaja:

(1) f (x ) −Ln (f , x ) =f (n +1) (ξ)(n + 1)!

ω (x) x∈[a , b ] , f ∈C n +1 [a , b ]

|f (x) −L n (f , x )| ≤ M n +1(n + 1)! |ω (x)|

A hiba fugg maxx∈[ a , b ] |ω (x)| ertekt˝ ol, ez pedig fugg az x i alappontokt´ ol.

K ERD ES :

Hogyan lehetne az interpol´ acio (1) hib ajat csokkenteni az x i alappontok alkalmas megv´ alaszt asaval?(Mik az optimalis alappontok?)




FELADAT :

Hat arozzuk meg azt az 1 f oegyutthat´ oju P n (x) n - edfoku polinomot, amelyre

maxx∈[ a , b ] |P n (x)| minim alis: min

P n ∈M nmax

x∈[ a , b ] |P n (x)|

A megoldast a Csebisev polinomok ( T n (x ) 1 foegyutthat´ oju Csebisev polinom) adják meg. Ezeka null at ol legkevesbe elter˝ o polinomok.

I. ESET :

Legyen [ a , b ] = [

−1 , 1 ]

Denıci´ o :

A (2) T n (x) := cos( n ·arccos x ) polinomot n - edfoku Csebisev polinomnak nevezzükx∈[−1 , 1 ].

Legyen Θ := arccos x .

Igy (2) =⇒ T n (x) = cos ( n Θ) (3)

Mivel:

cos ((n + 1) Θ) = cos ( n Θ + Θ) = cos n ΘcosΘ −sin n ΘsinΘ

cos ((n −1)Θ) = cos( n Θ −Θ) = cos n Θ cos Θ + sin n ΘsinΘ+—————————————————————————————

T n +1 (x) + T n − 1 (x ) = 2 x ·T n (x ) =⇒ T n +1 (x) = 2 x ·T n (x) −T n − 1 (x)

(1) =⇒

T 0 (x) ≡1

T 1 (x) = xx∈[−1 , 1 ]

(3) =⇒

T 2 (x) = 2 x2 −1

T 3 (x) = 4 x3 −3x




De T n (x) nem 1 f oegyutthat´ oju polinom, f oegyutthat´ oja: 2n − 1

T n (x ) :=

1

2n − 1 T n (x) = 21− n

T n (x)

Ez 1 foegyutthat´ oju n - edfoku Csebisev polinom [ −1 , 1 ] intervallumon.

T n (x) GY OKEI :

(2) =⇒ cos(n ·arccos x) = 0

n ·arccos x =π2

+ k π

arccos x =2k + 1

2nπ

( ) xk = cos2k + 1

2nπ k = 0 , . . . , n −1

A T n (x) 1 foegyutthat´ oju Csebisev polinomoknak is ezek a gyökei.

T n (x) EXTREM ALIS HELYEI :

|cos(n ·arccos z)| = 1 , n ·arccos z = j π , j ∈Z =⇒ z j = cos

j πn

Ezekben a pontokban T n (z j ) = ( −1) j .

Az 1 foegyutthat´ oju T n polinomok extremális ertekei z j - ben pedig:

T n (z j ) = ( −1) j 21− n = ( −1) j1

2n − 1






Aza + b

2, 0 ponton atmen˝o egyenes egyenlete:

t

−t0 =

m(x

−x

0)

t =2

b −ax −

a + b2

=⇒ t −2

b −ax −

b + ab−a

Igy a T n (t) = 2 1− n cos(n ·arccos t) 1 foegyutthat´ oju n - edfoku Csebisev polinom [ a , b ] in-tervallumra val´ o transzform altja:

F n (x) = 2 1− n cos n

·arccos

2

b −ax

−a + b

b −ax

∈

[a , b ]

De ez meg nem 1 f oegyutthat´ oju n - edfoku polinom, ugyanis:

tn ≡2n

(b −a )n xn + . . .

Az 1 foegyutthat´ oju n - edfoku Csebisev polinom [ a , b ] -n :

(4) T n (x ) =(b −a)n

22n − 1 ·cos n ·arccos2

b −ax −

a + bb −a

x∈[a , b ]

T n (x) EXTREM ALIS ERT EKE [a , b ] - N :

maxx∈[ a , b ]

T n (x) =(b −a)n

22n − 1

T n (x) GY OKEI [a , b ] - BEN :

(4) =⇒ n ·arccos2

b −ax −

a + bb −a

=π2

+ k π k ∈Z

2b −a

x −a + bb −a

= cos2k + 1

2nπ

x k =b

−a

2 ·cos2k + 1

2n π +b + a

2 k = 0 , . . . , n −1




Az interpolaci´ o hibaj´ anak optimalizalasa :

|f (x)

−Ln (f , x )

| ≤M n +1

(n + 1)! |ω (x)

|K ERD ES : Mikor lesz ez az ertek a legkisebb?

Tetel

[−1 , 1 ] intervallumon az interpol´ acio hibaja akkor lesz a legkisebb, ha ω (x) = T n +1 (x)

azaz, ha az interpolácios alappontoknak a T n +1 (x) Csebisev polinom gy okeit v alasztjuk.

Ekkor az interpolácio hibaja:

|f (x) −L n (f , x )| ≤M n +1

(n + 1)! 2 n x∈[−1 , 1 ]

[a , b ] intervallumon pedig a transzform´ alt T n +1 (x ) Csebisev polinom gy okeinek, mint alap-pontoknak a valaszt´ asa eseten lesz az interpol´ acio hibaja optimális:

|f (x) −L n (f , x )| ≤M n +1 (b −a )n +1

(n + 1)! 22n +1 x∈[a , b ]

1.7. SPLINE INTERPOL ACI O

A kalsszikus interpoláciot magas foksz amra nem el onyos alkalmazni a polinomok oszcillálo tulajd-onsaga miatt. El˝onyosebb a szakaszonkent (alacsony) adott fokszam´ u interpolácio (spline interpolácio)alakalmaz asa sok esetben. Tov´ abb a, gyakran a zikai feltetelekb˝ ol adodoan kell, hogy az approximálofuggveny is folytonosan differenci´ alható legyen. Ez ugynevezett szakaszonkent Hermite - tıpus´ u inter-polaci ot jelent. A nehezseg itt az lehet, hogy az approxim´ aland o fuggveny ertekei adottak csak sokesetben, de a deriváltak ertekei nem.

A legegyszerubb folytonosan deriv´ alható (ugynevezett sima) approxim´ alo fuggveny a szakaszonkentmasodfoku polinom. Napjainkban legelterjedtebb (legnepszer˝ ubb) a k obos spline interpolácio.

A spline interpoláciot (splineok elmeletet) a gyakorlati sz¨ uksegletek hozt´ ak letre: hajóepıtes, na-

vigacio, sima approximálo fuggveny konstru´ alasa ballisztikai tábl azatok alapján, computer graka,differencialegyenletek numerikus megold´ asa, stb.A ,,spline f uggveny” elnevezest (jelentese: rugalmas femp´ alca, amivel adott pontokon ´ atmen˝o

sima gorbe rajzolható) 1946 - ban I. J. Sch onberg vezette be, bár m ar kor abban is használt ak




a szakaszonkenti polinom - approxim´ aciot. Peld´ aul Euler törottvonal módszere k ozonseges diffe-renci alegyenletek kezdetiertek - feladat´ anak megoldas´ ara.

Denıci´ o :

Harmadfok´ u (köb os) interpolaci´ os spline :

Legyen f ∈C [a , b ] adott es a = x0 < x 1 < . . . < x n = b, f (x i ) = yi i = 0 , . . . , n .

Az f fuggvenyt interpol´ alo kobos S (x) x∈[a , b ] spline-t a kovetkez o modon deni aljuk:

1. S szakaszonkent harmadfok´ u polinom, S i (x) := S [ x i , x i +1 ] i = 0 , . . . , n −1

2. S (x i ) = yi i = 0 , . . . , n (Tehát S interpol alja f - et.)

3. S i (x i+1 ) = S i+1 (x i+1 ) i = 1 , . . . , n −2 (Folytonosan csatlakoznak.)

4. S i (x i+1 ) = S i+1 (x i+1 ) i = 1 , . . . , n −2 (S - nek nincsenek sarkai.)

5. S i (x i+1 ) = S i+1 (x i+1 ) i = 1 , . . . , n −2 (Gorbuletek egyenl osege.)

6. Tov abb a teljes ul meg valamelyik a következ o peremfeltetelek k¨ ozul:

a.) S (a) = S (b) = 0 termeszetes peremfeltetelek

b.) S (a) = f (a ) , S (b) = f (b) Hermite - peremfeltetelek

c.) S (a ) = S (b) , S (a ) = S (b) periodikus peremfeltetelek

1.7.1. Az interpolaci´ os spline minimum tulajdonsaga

Legyen adott f ∈C [a , b ] , f (x i ) = yi a = x0 < x 1 < . . . < x n = b.

FELADAT : Kozelıts¨ uk f - et olyan g fuggvennyel, amely a k¨ ovetkez o tulajdonságokkalrendelkezik:

1. g (x i ) = yi i = 0 , . . . , n

2. g , g ∈C [a , b ]

3. g t obbi deriv altjai is szakaszonkent folytonosakes minden csom´ opontban letezik g deriv altjainak jobb es bal oldali hat´ arerteke.




4. Legyen az 1 - 3. tulajdonságu fuggvenyek közul g az a fuggveny, amelyre a

(1) J [g] =b

a

g (x)2

dx integr al (funkcion al) minim alis.

Tetel

Az 1 - 4. felteteleknek eleget tev˝ o g fuggveny egyertelm˝ uen letezik.

Bizonyıt as

Eloszor bel atjuk, hogy g egy szakaszonkent harmadfok´ u polinom kell legyen, bizonyos tulaj-dons agokkal. Majd megkonstru´ aljuk ezt a k obos splinet, ami bizonyıtja g letezeset. A konstrukci´ oegyertelm˝usege g egyertelm˝useget is bizonyıtja.

A 4. miatt =⇒ J [g] ≤ J [g] tetszoleges 1 - 3. tulajdonsággal rendelkez o g fuggvenyre.

Tekintsük g - t a kovetkez o alakban: g = g + ε ·h , ahol ε ∈R adott szám es a h olyan

fuggveny, amelyre 1. helyett h (x i ) = 0 teljes ul es kielegıti 2 - tes 3 - at. Igy g - re 1 - 3.

teljes ul.

g - nek ezt az alakj at (1) - be ırva =⇒ J [g] =b

a

g (x) + ε ·h (x)2

dx =: J [ε]

Ez ε - ban m asodfoku polinom.

Tudjuk, hogy ε = 0 - ra J [ε] - nak minimuma van, azaz J [0] = J [g] minimalis ertek.

=

⇒

J [ε] derivaltf uggveny ε = 0 - ban nulla.

Negyzetre emeles es deriv´ alas ut an:

(2) J [0] = 2b

a

g (x)

u

h (x)

v

dx = 0

Ketszer parci´ alisan deriv alva (2) - t reszintervallumonkent:

12

J [0] =b

a

g (x) h (x) dx =n − 1

i=0

x i +1

x i

g (x ) h (x) dx =n − 1

i=0

g (x) h (x)x i +1

x i −x i +1

x i

g (x) h (x) dx =




=n − 1

i=0

g (x) h (x)x i +1

x i −g (x) h (x)x i +1

x i

+

x i +1

x i

g (4) (x ) h (x) dx =

= −g (x0) h (x0) + g x−1 h x−

1 −g x+1 h x+

1 + g x−2 −g x+ −

2 h (x2) + . . . +

+ . . . + g (x n ) h (xn ) +n − 1

i=0

x i +1

x i

g iv (x) h (x) dx = 0

tetsz oleges h megengedett függvenyre.

Hogy az ut obbi kifejezes nulla legyen, kell hogy:

a.) g (4) (x) = 0

b.) g x−i = g x+

i i = 1 , . . . , n −1

c.) g (x0) = 0 , g (xn ) = 0

Teh at a fenti 1 - 3. tulajdonságu es a 4. integr alt minimalizálo g fuggveny egy ketszer foly-tonosan deriválható, szakaszonkent harmadfok´ u (interpolácios) spline kell legyen.

Megjegyzes :

A fenti tetel es a minimum tula jdons´ ag a masik ket peremfeltetel eseten is igaz.

A tetel zikai jelentese :

Az adott f fuggvenyt interpol´ alo fuggvenyek közul a k obos interpol acios spline eseten lesz adeform acios energia a legkisebb (minimális).

1.7.2. A k¨ ob os interpolaci´ os spline konstrukci´ oja

Legyen az [ x i , x i+1 ] intervallumon a spline (harmadfok´ u polinom) alakja a következ o:

S i (x ) = a i0 + a i1x + a i2x2 + a i3x3

S i− 1 (x i ) = S i (x i )

Igy n darab harmadfok´ u polinomot kell meghat´ arozni. Ez 4 n darab ismeretlen.




A feltetelek szama :

S (x i ) = yi =⇒ (n + 1) darab feltetel

S , S , S folytonos a bels o pontokban =⇒ 3 (n −1) darab feltetel

Ez eddig 4n −2 darab feltetel.

A hianyz o ket feltetelt megadja valamelyik a peremfeltetelek k¨ ozul.

Az S (x ) kobos spline-t az S (x i ) = M i i = 0 , . . . , n ugynevezett momentumai segıtsegevelallıtjuk elo.

Legyen h i+1 := x i+1 −x i i = 0 , . . . , n −1.

Az S kobos spline masodik deriv altja szakaszonkent line´ aris fuggveny.

Az x∈[x i , x i+1 ] intervallumon:

S (x ) = M ix −x i+1

x i −x i+1+ M i+1

x −x i

x i+1 −x i

Ez tula jdonkeppen az L1 (x) elsofoku Lagrange interpolácios polinom.

(3) S (x ) = M ix i+1 −x

h i+1+ M i+1

x −x i

h i+1x∈I i = [ x i , x i+1 ]

(3) - at ketszer integr´ alva:

(4) S (x) = −M i(x i+1 −x)2

2h i+1+ M i+1

(x −x i )2

2h i+1+ A i x∈[x i , x i+1 ]

(5) S (x) = M i(x i+1 −x)3

6h i+1+ M i+1

(x −x i )3

6h i+1+ A i (x −x i ) + B i

ahol A i , B i integr acios alland ok.

S (x i ) = yi =⇒ M i(h i+1 )2

6+ B i = yi =⇒ B i = yi −M i

(h i+1 )2

6




S (x i+1 ) = yi+1 =⇒ M i+1(h i+1 )2

6+ A i h i+1 + yi −M i

(h i+1 )2

6= yi+1 =⇒

=⇒ A i = yi+1 −yih i+1 −h i+16 (M i+1 −M i )

Igy az S kobos spline az adatok es az M i momentumok segıtsegevel meghat´ arozható.

Legyen:

(6) S (x) = δi + γ i (x −x i ) + β i (x −x i )2 + α i (x −x i )3 alak u x∈[x i , x i+1 ] - on

S (x i ) = yi =⇒ δi = yi

S (x i ) = γ i =⇒ γ i =yi+1 −yi

h i+1 −2M i + M i+1

6h i+1

S (x i ) = 2 β i =⇒ β i =M i2

S (x i ) = 6 α i =

⇒

α i =M i+1 −M i

6h i+1

Az M i momentumok meghat´ arozasa :

Ezeket az S spline deriv altj anak a bels o csomopontokbeli folytonosságab ol lehet meghatározni.

S x+i = S x−

i i = 1 , . . . , n −1

x∈[x i− 1 , x i ] S i (x ) = −M i− 1(x i −x )2

2h i+ M i

(x −x i− 1)2

2h i+

yi −yi− 1

h i −h i

6(M i −M i− 1)

x∈[x i , x i+1 ] S i (x ) = −M i(x i+1 −x )2

2h i+1+ M i+1

(x −x i )2

2h i+1+

yi+1 −yi

h i+1 −h i+1

6(M i+1 −M i )

Igy

S x−i =

yi −yi− 1

h i+

h i

3M i +

h i

6M i− 1 i = 1 , . . . , n −1

S x+i =

yi+1 −yi

h i+1 −h i+1

3M i −

h i+1

6M i+1 i = 1 , . . . , n −1




Ezek egyenl osegeb˝ol M i - kre a kovetkez˝o (n −1) darab egyenletb˝ ol allo rendszer j on:

(7)h i

6M i− 1 +

h i + h i+1

3M i +

h i+1

6M i+1 =

yi+1 −yi

h i+1 −yi −yi− 1

h ii = 1 , . . . , n

−1

(7) - et szorozzuk6

h i+1 + h i- vel =⇒

=⇒ µi M i− 1 + 2 M i + λ i M i+1 = di i = 1 , . . . , n −1 ahol

µi =h i

h i+1 + h i, λ i =

h i+1

h i+1 + h idi =

6h i+1 + h i

yi+1 −yi

h i+1 −yi −yi− 1

h i

0 - ra es n - re legyen λ 0 = d0 = µn = dn = 0

Igy M i - kre kapott lineáris egyenletrendszer:

2M 0 + λ 0M 1 = d0

µ1M 0 + 2 M 1 + λ 1M 2 = d1

...µn − 1Mn −2 + 2 M n − 1 + λ n − 1M n = dn − 1

µn M n − 1 + 2 M n = dn

Vagy m atrix alakban:

2 λ 0 0 · · · 0µ

12 λ

10 µ2 2 λ 2

...

... . . . . . . . . .0

µn − 1 2 λ n − 10 · · · 0 µn 2

·

M 0

M 1M 2

...

M n − 1M n

=

d0

d1d2

...

dn − 1dn

Ez tridiagonális matrix u egyenletrendszer, ami a r¨ ovidıtett Gauss - algoritmussal hatekonyan meg-

oldható.




1.7.3. Konvergenciatetel k¨ ob os spline interpolaci´ ora

Legyen f ∈

C (4)

[a , b ] es f (a ) = f (b) = 0.Jel oljuk g ∞ := max

x∈[ a , b ] |g (x)| , M 4 := f (4)∞ .

S h (x ) az f - et interpolálo kobos spline [ a , b ] - n Ωh egyenletes felosztas eseten( h := x i+1 −x i lepesköz ).

Ekkor ervenyesek a k¨ ovetkez o becslesek:

f (x ) −S h (x ) ∞ ≤M 4 ·h4

f (x) −S h (x ) ∞ ≤M 4 ·h3

f (x) −S h (x) ∞ ≤M 4 ·h2

Teh at, ha h →0 , akkor az S h (x) , S h (x) , S h (x) fuggvenyek egyenletesen konverg´ alnaka megfelelo f (x ) , f (x) , f (x ) fuggvenyekhez.

Termeszetes peremfeltetelek mellett:

S (a ) = S (b) = 0.

Megjegyzes :

Az egyenletes konvergencia igaz a m´ asik ket peremfeltetel eseten is.

Hasonl o tetel ervenyes nem egyenletes feloszt´ as eseten is, csak a konvergencia egy kicsit lassabb.

1.8. AZ m - EDREND U POLINOMI ALIS SPLINEOK TERE: S m (Ω n )

Legyen Ωn := x0 = a < x 1 < . . . < x n = b,

I k := [xk , xk− 1] k = 1 , . . . , n ,

h i := x i −x i− 1 i = 1 , . . . , n .

Denıci´ o :

Az S (x) : [a , b ] →R fuggvenyt m - edfoku polinomi alis spline - nak nevezz uk, ha




1. S (x) | I k ∈P m (x) szakaszonkent m - edfoku polinom.

2. S (x)∈C (m − 1) [a , b ] (m −1) - szer folytonosan deriválható ”feszıtett” spline.

Ha azt tesszük fel csak, hogy S ∈C (q) [a , b ], ahol q < m −1 , ”laza” spline-r ol (subspline-ról)beszel unk.

Ha adott f ∈C [a , b ] eseten meg teljes¨ ul, hogy

3. S (x i ) = f (x i ) (i = 0 , . . . , n ) akkor az S (x ) - et m - edfoku interpolácios spline - naknevezzuk.

Pelda:

m = 1 eseten a szakaszonkent line´ aris ”t orottvonal” függveny, els˝ofoku spline.

m > 1 eseten:

m - EDFOK U EGYOLDALI SPLINEOK

Deriv aljuk a

qm i (x) : [a , b ] →R fuggvenyt a következ o modon:

(1) qm i (x) :=(x −x i )m

+ , ha x ≥x i

0, ha x < x i

(i = 0 , . . . , n −1).

Denıci´ o :

A fent denialt m - edfoku splineok teret jel¨ olje: S m (Ωn ).

Nyilvanval oan: S m (Ωn )⊂C (m − 1) [a , b ].




S m (Ωn ) struktúr aja:

Tetel

Az S m (Ωn ) (m + n ) dimenzi os vektorter ( S m (Ωn )⊂C (m − 1) [a , b ])

ahol p1, . . . , p m , qm 1 , . . . , q m n − 1 egy bazis S m (Ωn ) - ben, ahol

pi (x) := x i , i = 0 , . . . , m

es qm i (x) az (1) - gyel denialt egyoldal u splineok.

Tov abb a,

∀

S

∈

S m (Ωn ) egyertelm˝uen ırhat´ o a kovetkez o alakban:

S (x) =m

j =0

a j x j +n − 1

i=1

bi ·qm i vagy

(2)

S (x) =m

j =0

a j x j +n − 1

i=1

bi ·(x −x i )m+

Bizonyıt as

Tekintsük az I 1 = [x0 , x1] intervallumot.

Ezen S m - edfoku polinom =⇒ I 1 - en S (x) a kovetkez o alakban ırhat´ o:

S (x) =m

j =0

a j x j , ami a (2) eloallıtás.

Tegy uk fel, hogy I k := [x0 , xk ] intervallumon ervenyes a (2) eloallıtás, azaz

S (x) =m

j =0

a j x j +k− 1

i=1

bi (x −x i )m+ .

Belatjuk, hogy az elo´ allıtás ervenyes az I k+1 := [x0 , xk+1 ] intervallumon is.

(x) := S (x ) −m

j =0

a j x j −k− 1

i=1

bi (x −x i )m+ .

A (x ) fuggveny a [ x0 , xk ] intervallumon nulla,

≡0, x∈[x0 , xk ]




Tov abb a ∈C (m − 1) =⇒ (xk ) = 0 , (x k ) = 0 , . . . , (m − 1) (x k ) = 0 =⇒

=

⇒

xk a (x) - nek m - szeres gyoke

=⇒ Igy S - t az I k+1 = [xk , xk+1 ] intervallumon a következ o alakban ırhatjuk:( m - edfoku I k - n is)

= S (x) −m

j =0

a j x j −k− 1

i=1

bi (x −x i )m+ = bk (x −x k ) I k+1 - en.

=⇒ S (x) =m

j =0

a j x j +k

i=1

bi (x −x i )m+ .

k = n −1 - et veve megkapjuk a (2) eloallıtást.

Denıci´ o :

A ξ∈[a , ]¯

az S (x)∈S m (Ωn ) spline lenyeges gyöke, ha ξ∈[x i , x i+1 ) S (ξ) = 0, de azS az egesz [x i , x i+1 ) intervallumon nem nulla.

Ha az [x i , x i+ j ] intervallumon S azonosan elt unik, akkor x i+ j az S - nek m - szeres lenyegesgyoke.

Ha S (b) = 0, akkor a b lenyeges gy ok.

Tetel

Az S ∈S m (Ωn ) spline lenyeges gyökeinek szamara ( r - re) ervenyes a k¨ ovetkez o becsles:

r ≤m + n −1

Bizonyıt as

Legyen az S lenyeges gy okeinek szama r .

S ∈C (m − 1) [a , b ] =⇒

az (m −1) - edrend u deriv altj anak legal abb r −(m −1) darab lenyeges gy¨ oke van.

De az S (m − 1) (x) szakaszonkent line´ aris fuggveny!




Ezert [ a , b ] - n legfeljebb n darab gy oke lehet

=⇒ r −(m −1) ≤n =⇒ r ≤m + n −1

1.9. B - SPLINEOK

VOLT: Ω n veges felosztás.

S n (Ωn ) veges dimenziós alter.

A bazis az ugynevezett egyoldalú splineok.

MOST: Ω∞ alappontok vegtelen halmaza.

S m (Ω∞ ) vegtelen dimenzios ter.

A bazis a kompakt tartoj´ u fuggvenyek (splineok), a B - splineok.

Tetel B - SPLINEOK EGZISZTENCI AJA

Legyen Ω∞ :=

x i : i

∈

Z

olyan, hogy

x i → −∞, ha i → −∞x i →+ ∞, ha i →+ ∞

.

Ekkor ∀i∈Z - hez es x i - hez ∃!S ∈S m (Ω∞ spline, amelyre teljesül, hogy

S (x) = 0, ha x ≤x i es x ≥x i + m + 1,

Tov abb a ervenyes S - re az un.

NORM ALASI FELT ETEL:

(4)+ ∞

−∞

S (x ) dx =

x i + m +1

x i

S (x) dx = 1.

Bizonyıt as

Tekintsük az [x i− 1 , x i+ m +1 ] intervallumot.

Mivel S (x) = 0, ha x ∈[x i− 1 , x i ], azert a (2) eloallıtásat tekintve S - nek az [x i− 1 , x i ]intervallumon az els˝o szumm aja elt unik, mivel S (x) = 0 x∈[x i− 1 , x i ].




Igy S a kovetkez o modon ırhat´ o:

(3) S (x) =

k

j =0b j (x −x j )

m+ .

Legyen k = m + 1. Ekkor (3) =⇒

S (x) =m +1

j =0

b j (x −x i+ j )m+

Az S - rol meg tudjuk, hogy S (x) = 0, ha x ≥x i+ m +1 .

Teh atm +1

j =0

b j (x

−x i+ j )m

+ = 0 x

≥x i+ m +1 .

Ebb ol a b j - kre a kovetkez o egyenleteket kapjuk:

(5)

xm egyutthat´ oja 0 kell legyen:

b0 + b1 + . . . + bm +1 = 0

xm − 1 b0x i + b1x i+1 + . . . + bm +1 x i+ m +1 = 0...

..

.x0 b0x mi + b1x m

i+1 + . . . + bm +1 xmi+ m +1 = 0

(m + 1) darab egyenlet, ( m + 2) darab ismeretlen b j - kre.

Meg egy feltetelt a norm´ alasi feltetel ad.

(4) - et interpolalva [ x i , x i+ m +1 ] - en =⇒

xi

+m

+1

x i

m +1

j =0

b j (x −x i+ j )m+ dx = 1

=⇒

m +1

j =0

b j

m + 1(x −x i+ j )m +1

+

x i + m +1

x i

= 1

Mivel x i - ben a0

==⇒

m − 1

j =0

b j (x i+ m +1 −x i+ j )m+ = m + 1.

Az (5) egyenletrendszert gyelembe veve a hi´ anyz o egyenlet a k ovetkez o lesz:

b0xm +1i + b1xm +1

i+1 + . . . + bm +1 x m +1i+ m +1 = ( −1)m +1 (m + 1).




Ezt (5) - hoz hozzaveve ( m + 2) darab egyenletb˝ ol allo rendszert kapunk, amelynek a deter-min ansa a Vandermonde determin´ ans, ami nem nulla, ebb˝ ol kovetkezik, hogy egyertelm˝ uen letezikmegoldas b j - kre.

Denıci´ o :

A tetelbeli splineokat MINIM ALIS TART OJ U B - SPLINEOKNAK nevezzük, ugyanis belátható,hogy nem letezik sz˝ukebb tart´ oju, a tetelbeli felteteleket kielegıt˝ o spline.

Az S m (Ω∞ ) - ben bevezethet˝o un.

LOKALIS BAZIS:

Legyen qm (t, x ) fuggveny a következ o

(6) qm (t, x ) :=(t −x )m

+ , ha t ≥x

0, ha t < x

Megjegyzes :

Mostantól t i - k jelolik az alappontokat.

Denıci´ o :

A t i alapponthoz tartoz´ o m - edfoku B - splinet a k ovetkez o modon deni aljuk:

B mi (x) := ( t i+ m +1 −t i )[t i , . . . , t i+ m +1 ]qm (·, x )

ahol qm (

·, x ) fuggveny a (6) - tal deni alt es [ t i , . . . , t i+ m +1 ]qm (

·, x ) a q fuggveny osztott dif-

ferenciajat jeloli.

SPEC. ESET:

m = 1

B 1i (x) = ( t i+2 −t i )[t i , t i+1 , t i+2 ]q1(·, x )

B 1i (x) = ( t i+2 −t i )

q1(t, x ) =(t −x)1

+ , ha t ≥x

0, ha t < x




B 1i (x) = ( t i+2 −t i ) ·(t i+2 −x )+ −(t i+1 −x )+

t i+2 −t i+1 −(t i+1 −x )+ −(t i −x )+

t i+1 −t i

t i+2 −t i=

=(t i+2 −x )+ −(t i+1 −x)+

t i+2 −t i+1 −(t i+1 −x)+ −(t i −x)+

t i+1 −t i.

1. Ha x∈[t i , t i+1 ] :

B 1i (x) =(t i+2 −x)+ −(t i+1 −x)+

t i+2

−t i+1 −

(t i+1 −x)+

t i+1

−t i

=t i+2 −t i+1

t i+2

−t i+1 −

t i+1 −xt i+1

−t i

=

=t i+1 −t i −t i+1 + x

t i+1 −t i=

x −t i

t i+1 −t i.

2. Ha x∈[t i+1 , t i+2 ] :

B 1i (x) =t i+2 −x

t i+2 −t i+1.

3. Ha x < t i =⇒ q1(t, x ) t - ben elsofoku polinom, akkor a másodrend u osztott differenciájanulla =⇒ B 1i (x) ≡0.

4. Ha x ≥ t i+2 =⇒ B 1i (x) ≡0.

§

¦

¤

¥Allıtas

Az ıgy denialt B mi (x) splineok azonosak a tetelbeli B - splineokkal egy normálasi alland ot ol el-

tekintve. Ugyanis a denıci´ obeli B - splineok minim alis tartójuak, azaz tartójuk az [t i , t i+ m +1 ]intervallum, amelyen kıv¨ ul B mi (x) elt unik.

3. alapj an altal aban is =⇒ B mi (x) ≡0, ha x ≤ t i ,

ugyanis t - ben az m - edfoku qm polinom ( m + 1) - edrend˝u osztott differenciája nulla.

4. =⇒ ha x > t i+ m +1 , akkor B mi (x) ≡0.

Tov abb a belatható, hogy B mi (x) > 0 a [t i , t i+ m +1 ] intervallumon.

§

¦

¤

¥Allıtas

A B - splineok pozitıvak a [ t i , t i+ m +1 ] intervallumon.




Tekintsük S m (Ωn ) szakaszonkent m - edfoku splineok teret [ x0 , xn ] intervallumon (( m + n )dimenzi os vektorter).

Tekintsük azon B - splineokat, amelyeknek van nem nulla erteke [ x0 , xn ] - on. Ezek:

( ) B m 1 − m , . . . , B m 1 0, B m 1 1, . . . , B m 1 n − 1

(m + n ) darab spline.

Ezek line arisan f uggetlenek =⇒

=

⇒

( ) B - splineok egy b azis S m (Ωn ) - ben.

Tetel REPREZENT ACI OS T ETEL

∀S ∈S m (Ωn ) spline egyertelm˝uen ırhat´ o fel a ( ) B - splineok line aris kombin aciojakent,azaz

S (x) =n − 1

i= − m

α i B mi (x).

A B - SPLINEOK TOV ABBI TULAJDONS AGAI

EGYS EGOSZT AS :

i∈Z

B mi (x) ≡1 ∀x∈R .

REKURZI OS FORMULA B - SPLINEOK EL OALL IT AS ARA :

B mi (x) =x −t i

t i+ m −t i ·B m − 1 , i − 1(x ) +t i+ m +1 −x

t i+ m +1 −t i+1 ·B m − 1 , i (x)

B 0i (x) ≡1 x∈[t i , t i+1 ].




B - SPLINEOK DERIV ALTJ ARA ERV ENYES :

Bmi

(x) = m

·B m − 1 , i − 1(x)

t i+ m −t i −B m − 1 , i (x)

t i+ m +1 −t i+1.

2. NUMERIKUS INTEGR AL AS

Hat arozott integr´ alok numerikus kiszámıtása a matematika egyik legregebbi problem´ aja. Peld´ aulgorbek altal határozott tartom´ any ter uletenek meghat´ aroz asa. R aad asul evezredekkel azel˝ ott, hogy

az analızisbeli integr´ alfogalom a XVII., XVIII. században bevezetesre ker¨ ult.Peldául a k or ter ulete: Archimedes (287 - 212 Kr.e.) : 3

1071

< π < 317

. A numerikus kvadrat´ uraelnevezes a kör negyszögesıtesenek problem´ ajab ol jon.Numerikus kubat´ ura elnevezes ketdimenzi´ os integr alok kiszamıtásara. Newton I. (1643 - 1727)n - dimenzi os numerikus integrálas elnevezes n - dimenzi os integr alok numerikus kiszámıtásara. Leib-niz G. W. (1646 - 1716)Ha mar van integrálfogalom, analızis, akkor miert kell a numerikus integr´ alas?

MOTIV ACIO: Numerikus integrálasi muveletekre sz ukseg van, ha

1. Az integr aland o fuggveny primitıv f¨ uggvenyet nem lehet megadni elemi f¨ uggvenyek segıtsegevel.

2. A primitıv függveny olyan bonyolult, hogy kvadrat´ ura formula használata el onyosebb.

3. Az integr aland o fuggvenyt csak pontokban ismerj¨ uk, peldául meresek eredmenyelent.

4. Differencial-egyenletek, integr´ al-egyenletek numerikus megold´ asakor sok esetben numerikus in-tegr alasi modszerekre is sz ukseg van.

Fontos feladatok megoldásaban segıtett, pl. Keplernek a boroshord´ o terfogatának kisz amıtásaban

(1612).

FELADAT :

Azb

a

f (x) dx = I hat arozott integr´ al kiszamıtása.

Ezt az I N =N

k=0

ck f (x k ) osszeggel k ozelıtjük, ahol ck alland ok.




Ervenyes a kovetkez˝ o kozelıt˝o egyenloseg:

b

a

f (x) dx

≈

N

k=0

ck f (xk ) = I N

KVADRAT URAFORMULA

ck - k a kvadratúraformula súlyai.

A ψN := I − I N kulonbseget a kvadrat´ uraformula hibáj anak nevezz uk, ami f ugg a ck egyutt-hat ok valaszt asat ol es az xk csomopontok [ a , b ] intervallumbeli elhelyezkedeset˝ ol.

Tegy uk fel, hogy a feloszt as egyenletes [ a , b ] - n es f kelloen sima fuggveny.

Mivelb

a

f (x) dx =N

i=1

x i

x i − 1

f (x) dx ,

azert eleg az [ x i− 1 , x i ] reszintervallumon k¨ ozelıt˝o formulat találni.

2.1. KLASSZIKUS KVADRAT URAFORMUL AK

2.1.1. Teglalapformula

Az f gorbe alatti ter¨ uletet a teglalap ter¨ uletevel közelıtj uk.

x i

x i − 1

f (x) dx ≈ f x i −12

h h := [x i− 1 , x i ]

2.1.2. A teglalapformula hibaja

A teglalapformula hib´ aja az i - edik reszintervallumon:

ψi :=

x i

x i − 1

f (x) dx −f x i −12

h =

x i

x i − 1

f (x) −f x i− 12

dx

A Taylor - formula alapj´ an =⇒

f (x) = f x i− 12

+ f x i− 12

x −x i− 12

+f (ξ)

2!x −x i− 1

2

2.




Igy =⇒ ψi =

x i

x i − 1

f (ξ)2!

x −x i− 12

2dx, mivel

x i

x i − 1

x −x i− 12

dx = 0.

Ezt kiintegrálva:

|ψi | ≤M 2i

2 ·h3

12=

M 2i

24 ·h3

ahol M 2i := max x∈[x i − 1 , x i ] |f (x)|.

2.1.3. Osszetett teglalapformula

b

a

f (x) dx ≈h f x 12

+ f x 32

+ . . . + f xN − 12

=N

i=1

f x i− 12

h

A kvadratúraformula alappontjai nem azonosak az intervallumot meghat´ arozoo alappontokkal.

2.1.4. Az ¨ osszetett teglalapformula hibaja

N ·h = b −a = x n −x0

|ψ| ≤N

i=1|ψi | ≤

N ·M 224 ·h3, ahol M 2 := max

x∈[ a , b ]f (x) .

|ψ| ≤M 2(b −a)

24 ·h2

Azaz a teglalapformula hib´ aja O h2

2.1.5. Trapezformula

Az f gorbe alatti ter¨ uletet a trapez ter¨ uletevel közelıtjük.

x i

x i − 1

f (x) dx ≈f (x i− 1) + f (x i )

2 ·h

EGYSZER U TRAP EZFORMULA




Most az f fuggvenyt az els˝ofoku (Lagrange) interpol´ acios polinommal helyettesıtett¨ uk, L1i (x) - szel.

2.1.6. A trapezformula hibaja

Az i - edik reszintervallumon:

ψi :=

x i

x i − 1

f (x ) dx −f (x i− 1) + f (x i )

2 ·h =

x i

x i − 1

f (x ) dx −x i

x i − 1

L1(x ) dx =

x i

x i − 1

[f (x) −L1(x)] dx =

=

x i

x i − 1

f (ξ)2!

ω(x ) dx =

x i

x i − 1

f (ξ)2

(x −x i− 1)(x −x i )

h 36

dx

M 2i := maxx∈[x i − 1 , x i ]

f (x)

=⇒ |ψi | ≤M 2i

2 ·h3

6=

M 2i

12 ·h3

2.1.7. Osszetett trapezformula

b

a

f (x) dx ≈h12

f (x0) + f (x1) + f (x2) + . . . + f (xN − 1) +12

f (xN ) =N

i=1

f (x i ) + f (x i− 1)2 ·h

2.1.8. Osszetett trapezformula hib´ aja

N :=b−a

h

|ψ| ≤N ·M 2

12 ·h3, ahol M 2 := max x∈[ a , b ] |f (x)|

|ψ| ≤M 2(b −a)

12 ·h2

Teh at a trapezformula szinten O (h2) nagysagrend u, de ez ketszer akkora hiba, mint a teglalapformul´ an al.




2.1.9. Simpson - formula

Az elozo altal anosıtásakent, most az f (x) fuggvenyt az [ x i− 1 , x i ] intervallumon

az f (x i− 1), f x i− 12 , f (x i ) pontokon atmen˝o parabol aval k ozelıtjük. Ez m asodfoku Lagrange in-terpol acios polinom, L2i (x ) az [x i− 1 , x i ] - n.

x i

x i − 1

f (x) dx ≈x i

x i − 1

L2i (x), x∈[x i− 1 , x i ].

Irjuk fel L2i (x ) - et explicit alakban:

L2i (x) =2

h2f (x i− 1) x

−x i− 1

2

(x

−x i )

−2f x i− 1

2

(x

−x i− 1) (x

−x i ) + f (x i ) (x

−x i− 1) x

−x i− 1

2

Integr alas ut an:

x i

x i − 1

L2i (x) dx =h6

f (x i− 1) + 4 f x i− 12

+ f (x i )

Igy az egyszeru Simpson - formula:

x i

x i − 1

f (x) dx ≈ h6

f (x i− 1) + 4 f x i− 12

+ f (x i )

2.1.10. A Simpson - formula hib´ aja

Harmadfokú Hermite interpol´ acios polinom alkalmazásaval bel atható, hogy a Simpson forula hibája:

|ψi | =

x i

x i − 1

(f −L2) dx =

x i

x i − 1

f (ξ)3! ·ω(x ) dx . . .

|ψi | ≤M 4i

2880 ·h5

ahol M 4i := max x∈[x i − 1 , x i ] f (IV ) (x) .




2.1.11. Osszetett Simpson - formula

b

af (x) dx ≈

h6 f (x0) + f (xn ) + 2 f (x1) + . . . + f (xN − 1) + 4 f x 1

2 + f x 32 + . . . + f xN − 1

2

2.1.12. Osszetett Simpson - formula hib´ aja

|ψ| ≤M 4(b −a )

2880 ·h4

ahol M 4 := max x∈[ a , b ] f (IV ) (x ) .

A t ortindexek elkerülesere legyen: n = 2 m, f i = f (x i ), h :=h2

=⇒ h = 2 h, h =b −a2m

b

a

f (x) dx ≈h3

[f 0 + f 2m + 2( f 2 + f 4 + . . . + f 2m − 2) + 4( f 1 + f 3 + . . . + f 2m − 1)]

A keplethiba most:

|ψi | ≤M 4i

90 ·h5 =⇒ x∈[x i− 1 , x i ]

|ψ

| ≤M 4(b −a)

180 ·h4 =

⇒

x

∈

[a , b ]

Denıci´ o :

A kvadratúraformula pontos adott f fuggvenyre, ha a kvadrat´ uraformulában ≈ helyett =ırhat o, azaz

b

a

f (x ) dx =n

k=0

ck f (x k ).




Megjegyzes :

1. A trapezformula minden els˝ ofoku polinomra pontos.2. A Simpson - formula minden harmadfok´ u polinomra pontos.

2.2. INTERPOL ACI OS T IPUS U KVADRAT URAFORMUL AK

Legyenek [ a , b ] - ben az alappontok

a = x0 < x 1 < . . . < x n = b es f (x) - et interpolaljuk a Lagrange interpol´ acios polinommal.

Ekkor: f (x) = L n (f, x ) + H n (f, x ), ahol H n (f, x ) a hibatag.

=⇒

b

a

f (x ) dx =b

a

Ln (f, x ) dx +b

a

H n (f, x ) dx .

Ha a hibaintegrál kicsi, elhagyva f integr alja helyett L n integr alj at sz amolhatjuk.

(1)b

a

f (x) dx ≈b

a

Ln (f, x ) dx.

Mivel

L n (f, x ) dx =n

k=0

f (x k )lk (x) =n

k=0

f (xk ) ·ω(x)

(x −xk )ω (xk ),

azert ezt beırva = ⇒b

a

Ln (f, x ) dx =b

a

n

k=0

f (xk )ω(x)

(x −x k )ω (x k )dx =

n

k=0

f (xk )b

a

ω(x)(x −x k )ω (x k )

dx

A k

.

Denıci´ o :

Legyen

(2) Ak :=b

a

ω(x)(x −xk )ω (xk )

dx ,




amit az (1) kvadratúraformula együtthat´ ojanak nevezz uk.

Az olyan kvadratúraformulákat, amelyek együtthat´ oi (2) alak uak, interpolácios (tıpusú)kvadratúraformulának nevezz uk.§

¦

¤

¥Allıtas

n

k=0

Ak = b−a

Az interpol acios kvadratúraformula pontoss´ agara ervenyes a k¨ ovetkez o

Tetel

Legyen (n + 1) alappontunk. Ekkor a kvadrat´ uraformula pontos minden legfeljebb n - edfokupolinomra akkor es csak akkor, ha a kvadrat´ uraformula interpol´ acios tıpusú.

Bizonyıt as

⇐

Legyen interpolácios tıpusú kvadratúraformula es legyen f n - edfoku polinom.

Belatjuk, erre pontos az (1) kvadratúraformula.

Trivi alis, ugyanis n - edfoku f polinom n - edfoku interpolácios polinomja onmaga.

⇒

Tegy uk fel, hogy a kvadratúraformula pontos minden legfeljebb n - edfoku polinomra.

Innen k ovetkezik, hogy a kvadrat´ uraformula pontos minden lk (x) Lagrange alappolinomra is.

=⇒

b

a

lk (x) dx =n

j =0

A j lk (x j )

ha j = k =⇒ lk (x j ) = 0, ıgy a jobb oldalon Ak marad csak =⇒

(3) Ak =b

a

lk (x) dx

ami a (2) pont!




2.3. Z ART NEWTON - COTES FORMUL AK

Legyenek az alappontok ekvidisztansak es x0 = a, x n = b, h :=b −a

n.

Ebben az esetben számoljuk ki a (3) egyutthat´ okat:

(3) Ak =b

a

ω(x)(x −xk )ω (xk )

dx

Vezess uk be a k ovetkez o jeloleseket:

x := x0 + t ·h t∈[0 , n ]

xk := x0 + k ·h k = 0 , . . . , n

Ezek gyelembe vetelevel:

ω(x) = ( x −x0)(x −x1) ·. . . ·(x −xn ) = t ·h ·h (t −1) ·. . . ·h (t −n ) = h n +1 ·t(t −1) ·. . . ·(t −n )

(x −xk ) = h ·(t −k)

ω (xk ) = ( xk −x0)(xk −x1) ·. . . ·(xk −x k− 1)(xk −x k+1 ) ·. . . ·(xk −xn ) = . . . = ( −1)n − k

·hn

·k!(n −k)!

dx = h ·dt

Ezeket (3) - ba ırva =⇒

Ak =b

a

h n +1 t(t −1) · . . . ·(t −n )h(t −k)(−1)n − k h n ·k!(n −k)! ·h dt =

=(b −a )(−1)n − k

n ·k!(n −k)!

b

a

t(t −1) ·. . . ·(t −k + 1)( t −k −1) · . . . ·(t −n ) d t

Az (a −b) - t lev alasztva:

B k :=(−1)n − k

n ·k!(n −k)!

b

a

t(t

−1)

·. . .

·(t

−n ) d t

NEWTON - COTES EGY UTTHAT OK




TULAJDONS AGAI:

1.n

k=0

B k = 1

2. B k = B n − k

A B k egyutthat´ ok erteke neh´ any n - re:

n együtthat´ ok nev

1 B 0 = B 1 =

1

2 TRAPÉZFORMULA

2 B 0 = B 2 =16

, B 1 =46

SIMPSON - FORMULA

3 B 0 = B 3 =18

, B 1 = B 2 =38

NEWTON38

- OS FORMUL AJA

4B

0 =B

4 =

7

90, B

1 =B

3 =

32

90, B

2 =

12

90 MILNE - FORMULA

n = 3 m Newton38

- os formulaja:

b

a

f (x ) dx ≈3h8

[y0 + y3m + 2( y3 + y6 + . . . + y3m − 3) + 3( y1 + y2 + y4 + y5 + . . . + y3m − 1)]

A hibatag:

H 38

=M 4(b −a )

80 ·h4

Tetel

Ha az n paros szam, akkor az interpol´ acios tıpusú kvadratúraformula pontos minden legfeljebb(n + 1) - edfok u polinomra is.




Megjegyzes :

Nagy n - ekre (n = 6 , 7, . . . ) a Newton - Cotes formulákat nem celszer˝ u haszn alni, ugyanis

• a hibatagbeli f (n +1)

(x ) deriv altakat nehez becs¨ ulni,

• a B k egyutthat´ ok kozt negatıv sz´ amok is elofordulnak, ami a kerekıtesi hibat kedvez˝ otlen ulbefolyasolja.

2.4. ORTOGON ALIS POLINOMOK

Denıci´ o :

A Φ0, . . . , Φn n∈N fuggvenyek lineárisan f uggetlenek [ a , b ] - n, ha abbol, hogy

(1) c0Φ0 + . . . + cn Φn ≡0, ∀x∈[a , b ] - re,

akkor =⇒ ∀ci = 0 ( i = 0 , . . . , n ).

P ELDA :

Legyen P n legfeljebb n - edfoku polinomok tere [ a , b ] - n.

Az 1, x ,x 2, . . . , x j , . . . , x n∀n∈

N linearisan független f uggvenyrendszer [ a , b ] - n.

Bizonyıt as

Indirekt.

Tegy uk fel, hogy (1) bal oldal an letezik legalább egy c j , ami nem nulla.

Φ j = x j x∈[a , b ].

=⇒ A bal oldali legfeljebb n - edfoku polinom ∀x ∈[a , b ] - re nulla =⇒ vegtelen sok gyöklenne, ami ellentmond´ as.

Denıci´ o :

Az integr alható (x) ≥0 fuggvenyt súlyfuggvenynek nevezz¨ uk [ a , b ] - n, ha az [a , b ] egyet-len reszintervallum´ an sem nulla.




Denıci´ o :

Az f es g fuggvenyeket a sulyfuggvenyre nezve ortogon´ alisaknak nevezzük [ a , b ] - n, ha

b

a

(x)f (x)g(x) dx = 0

x , y =n

i=1

x i yi , x , y∈R n

Denıci´ o :

A Φ0, . . . , Φn fuggvenyek ortogon´ alis fuggvenyhalmaz [ a , b ] - n a sulyfuggvenyre nezve,

ha

b

a

(x)Φi (x)Φ j (x ) dx =0 i = j

α i j = i, ahol α i > 0 alland o.

x , y =n

i=1

x i yi , x , y∈R n

x =

(x , x) = 1

Azxx

olyan vektor, aminek a hossza 1.

§

¦

¤

¥Allıtas

Ha Φ0, . . . , Φn ortogon alis fuggvenyhalmaz, akkor a f¨ uggvenyhalmaz line´ arisan f uggetlen.Φ j pontosan j - edfoku polinom =⇒ ∀P n - beli P (x) legfeljebb n - edfoku polinom egyertelm˝ uenırhat o fel a kovetkez o alakban:

P n (x) =n

k=0

α k Φk (x).

Tetel

Tetsz˝oleges [a , b ] intervallumes (x) sulyfuggveny eseten ∃ Φn n =1 ortogon alis fuggvenyhalmaz

(∀n - re), ahol Φ j pontosan j - edfoku polinom, es ez az el oallıtás egyertelm˝u allandó szorzotóleltekintve. Schmidt - fele ortogonaliz´ acio.




Pelda :

Ha a = −1, b = 1 es (x ) =1

√1

−x2

tudjuk, hogy a Csebisev polinomok:

T n (x ) (n = 1 , . . . , n ) ortogon alis polinomok a sulyfuggvenyre.

Tetel

Legyenek Φ0, . . . , Φn ortogon alis polinomok a (x) sulyfuggvenyre nezve [ a , b ] - n, aholΦ j (x) pontosan j - edfoku polinom.

Ekkor Φ j (x) - nek j darab k ulonbozo gyoke van az ( a , b ) intervallumban.

Bizonyıt as

Tekintsük Φ0(x) = c, ahol c = 0 alland o.

Vizsgaljuk:

b

a

(x)Φ0(x)Φk (x ) dx = 0 = c

b

a

(x )Φk (x) = 0 ( k < j ) =

⇒

Φk elojelet kell, hogy v altson [ a , b ] - ben.

Legyen a Φk elojelvalt asainak sz ama s, s < k . Legyen r i i = 1 , . . . , s ,

ahol elojelet v alt Φk (x ) =⇒

=⇒ r i - k a Φk paratlan multiplicit´ asu gyokei.

Tekintsük a k ovetkez o polinomot:

P (x ) := ( x −r 1) ·. . . ·(x −r s )

Ezert P (x)Φk (x ) - nek r 1, . . . , r s paros multiplicitásu gyokei =⇒ nem v alt elojelet.

Feltehet˝o, hogy P (x )Φk (x) ≥0 =⇒

( )b

a

(x)P (x)Φk (x) dx > 0.




A P (x) s - edfoku polinom ( s < k ) =⇒ P (x) =s

i=0

ci Φi (x ) alakban ırhat´ o.

Tekintsük:

b

a

(x)P (x )Φk (x ) dx =b

a

(x)s

i=0

ci Φi (x ) Φk (x) dx =s

i=0

b

a

(x)Φi (x)Φk (x) dx = 0 ( i = k)

Φk - nak pontosan k darab egyszeres gyöke van [ a , b ] - ben, ami ellentmondás.

2.5. GAUSS T IPUS U KVADRAT URAFORMUL AK

Lattuk, hogy az n - edfoku interpolácios kvadratúraformula pontos minden legfeljebb ( n −1) -edfoku polinomra az alappontrendszer tetsz˝ oleges megvalaszt asa eseten. S˝ot, p aratlan sok alapponteseten ( n paros) a z art Newton - Cotes kvadrat´ uraformula pontos minden n - edfoku polinomra is (afelosztas egyenletes es az intervallumok felez˝ opontjai is alappontok).

KERD ES :

Az alappontok alkalmas megv´ alaszt asaval az interpolácios kvadratúraformula pontoss´ a tehet˝o-emagasabb fokszámu polinomokra is?

Ezt Gauss vizsgálta el oszor, ezert e formulákat Gauss tıpus´ u kvadratúraformuláknak nevezz uk.

Az interpol acios kvadratúraformula által anosıtása a kovetkez˝ o:

Legyen (x) ≥0 sulyfuggveny [ a , b ] - ben es x1, . . . , x n ⊂[a , b ] alappontok.

Ekkor az interpolácios kvadratúraformula alakja a k¨ ovetkez o:

(1)b

a

(x )f (x) dx ≈n

k=0

Ak f (x k ),

ahol most az (1) interpol acios tıpusú kvdratúraformula együtthat´ oi:

Ak =b

a

(x)ω(x )

(x −xk ) ω (xk )dx




Levezetese hasonlóan megy, mint korábban.

ELONYEI :

a.) Azb

a

ϕ(x) dx ≈ Akϕ(xk ) (x) ≥0 x∈[a , b ] kvdrat uraformula helyett a

ϕ(x) = (x)f (x) felbont assal alkalmazva (1) - et, az (1) jobb oldal an csak f (x k ) erteketkell szamolni ϕ(x k ) helyett (esetleg könnyebb).

b.) A hibaformul aban is ϕ deriv altjai helyett elegend˝ o f deriv altjait számolni.

(1) - re is igaz a kovetkez o tetel:

Tetel

Az n alapponttal rendelkez˝ o interpol acios tıpusú kvadratúraformula pontos minden legfeljebb(n −1) - edfoku polinomra.

FONTOS :

Ezent ul az alappontok számıtásat [ a , b ] - ben x1 - gyel kezdjuk nem x0 - lal!

a ≤x1 < x 2 < . . . < x n ≤b

Tegy uk fel, hogy

P m (x ) =m

k=0

a k xk

az a legmagasabb fokszámu polinom, amelyre az

(2)b

a

(x )F (x ) =n

k=1

Ak f (xk )

nem feltetlen¨ ul interpol acios tıpusú kvadratúraformula pontos.

Ha (2) pontos minden legfeljebb m - edfoku P m polinomra, akkor pontos x j j = 0 , 1, . . . , mpolinomra is. =

⇒(3)

b

a

(x )x j dx =n

k=1

Ak x jk j = 0 , . . . , m




Ez (m + 1) darab feltetel (egyenlet) 2 n darab ismeretlenre ( n darab alappont es n darab Ak

egyutthat´ o).

A (3) - nak akkor varhat´ o, hogy letezik megoldása, ha

2n ≤m + 1 =⇒ 2n −1 ≤m ,

amib ol kovetkezik, hogy mivel (3) kvadratúraformula, legfeljebb (2 n −1) - edfoku polinomra lehetpontos.

Tetel

Az n alapponttal rendelkez˝ o (x1, . . . , x n ) most m ar interpolácios tıpusú kvadratúraformula min-den legfeljebb (2 n −1) - edfoku polinomra pontos ⇐⇒ha az alappontokkal alkotottω(x ) := ( x −x1) · . . . ·(x −xn ) n - edfoku polinom ortogonalis minden legfeljebb ( n −1) - edfokupolinomra, a sulyfuggvenyre nezve.

Bizonyıt as

⇒

Tegy uk fel, hogy a kvadratúraformula pontos minden legfeljebb (2 n −1) - edfoku polinomra.

Legyen Q(x ) legfeljebb (n −1) - edfoku polinom.

Be kell latni, hogy ω(x) ortogon alis Q - ra a sulyfuggvenyre nezve.

=⇒ f (x ) = ω(x)Q(x ) (2n −1) - edfoku polinom.

Teh at erre (2) pontos, azaz

b

a

(x)f (x) dx =b

a

(x)ω(x)Q (x) dx(2)=

n

k=1

Ak ω(xk )Q(xk ) = 0

⇐

Tegy uk fel, hogy ω(x ) ortogon alis minden legfeljebb ( n −1) - edfoku polinomra.

Legyen f (x ) legfeljebb (2n

−1) - edfoku polinom. Ekkor f a kovetkez o alakban ırhat´ o:

( ) f (x) = ω(x )Q(x ) + r (x),




ahol ω(x) mint fent, Q(x ) es r (x) legfeljebb (n −1) - edfoku polinom

=⇒

b

a

(x)f (x) dx =b

a

(x)ω(x)Q (x) dx

0

+b

a

(x)r (x) dx( )=

n

k=1

Ak f (xk )

De az x1, . . . , x n alappontok meg nem ismertek!

Denıci´ o :

Azb

a

(x)x j dx =: µ j integr alt a fuggveny j - edik momentumának nevezz uk.

Vezess uk be a k ovetkez o D j matrixot:

D j :=

µ0 µ1 · · · µ j

µ1 µ2 · · · µ j +1...

......

µ j µ j +1 · · · µ2 j

Tetel

det D j = 0

Bizonyıt as

Belatjuk, hogy a( ) D j a = 0

homogen egyenletrendszernek csak trivi´ alis megold asa van.

a = ( a 1, . . . , a j )

Tekintsük ( ) k - adik sor at:

j

i=0

µk+ i ·a i =b

a

(x)x k a 0 + a1x + . . . + a j x j dx = 0




Ezt a k - val szorozva es k = 0 , . . . , j - re osszegezve

b

a

(x) a 0 + a1x + . . . + a j x j 2 dx = 0

ami csak akkor teljesülhet, ha

∀a i = 0

Denıci´ o :

Tekintsük a k ovetkez o n - edfoku polinomot:

(4) ω(x) :=1

det D n − 1 ·

µ0 · · · µn − 1 1

µ1 · · · µn x...

......

µn − 1 · · · µ2n − 2 xn − 1

µn · · · µ2n − 1 xn

Utols o oszlop szerint kifejtve

ω(x ) pontosan n - edfoku 1 foegyutthat´ oju polinom, ugyanis a f˝oegyutthat´ oja:

1det D n − 1 ·det D n − 1 = 1.

Tetel

Tetsz˝oleges [a , b ] intervallum es (x) sulyfuggveny eseten a (4) - gyel denialt ω(x) n -edfoku polinom

a.) ortogon alis minden legfeljebb q, ( n −1) - edfoku polinomra a sulyfuggvenyre nezve.

b.) ω(x) gyokei x1, . . . , x n egyenesek es ( a , b ) - be esnek.

c.) az ω(x) x1, . . . , x n gyokein vett (2) interpolaci´ os tıpusú kvadratúraformula pontos mindenlegfeljebb (2n −1) - edfoku polinomra.

Bizonyıt as

a.) Szorozzuk (4) - et (x)xk - val (k = 0 , . . . , n −1)






3.) Nem letezik olyan 2 n - edfoku polinom, amelyre a kvadrat´ uraformula pontos lenne.

4.) A kvadratúraformula hibája:

H n (f ) =f (2n ) (ξ)

(2n )!

b

a

(x)ω2(x) dx .

Az f (2n ) (ξ) melletti egy utthat´ okat adott - raes ortogonális polinomrendszer eseten t´ abl azatokbanadjuk meg.

OSSZEFOGLALVA :

Adott [ a , b ] intervallum es adott (x) sulyfuggveny eseten tekints¨ uk a P n (x)N (∞ )n =0 orto-

gonalis polinomok halmaz´ at [ a , b ] - n.

P n (x) - nek letezik n darab x1, . . . , x n egyszeres gyoke [a , b ] - ben.

x1, . . . , x n - t a kvadratúraformula alappontjainak veve az

b

a(x)f (x) dx ≈

n

k=1 Ak f (xk )

pontos lesz minden legfeljebb (2 n −1) - edfoku polinomra.

(5) Ak =b

a

(x)P n (x)

(x −x k )P n (xk )dx ,

P n (x) = a n (x

−x0)

·. . .

·(x

−xn )

Az Ak egyutthat´ ok kiszamıtásat megk onnyıti az úgynevezett

CHRISTOFFEL - DARBOUX - F ELE AZONOSS AG :

Ak = −an +1 γ n

a n P n +1 (xk )P (x : k)(k = 1 , . . . , n )

ahol γ n =b

a

(x)P 2(x) dx (k = 1 , . . . , n )




Igy a kvadratúraformula hibája:

H n (f ) =γ n

a2n (2n )!

f (2n ) (ξ).

2.6. KLASSZIKUS ORTOGON ALIS POLINOMOK SEG ITS EG EVEL FEL EP ITETTGAUSS - KVADRAT UR AK

2.6.1. Legendre - Gauss kvadrat´ ura

Legyen (x)

≡1, [a , b ] = [

−1 , 1 ], es jelolje P n (x) az n - edfoku ortogon alis polinomot.

Konnyu arrol meggyoz˝ odni, hogy

(1) P n (x ) =n !

(2n )! ·dn x2 −1 n

dx n

RODRIGUES - FORMULA

n !(2n )!

helyett tetsz˝ oleges K n egyutthat´ oval.

Nyilvan P n (x ) foegyutthat´ oja 1. Vezessuk be a k ovetkez o jelolest:

(2) ϕ(x ) :=n !

(2n )! · x2 −1 n

Ekkor P n (x) = ϕ(n )(x), es vil agos, hogy

(3) ϕ(k ) (±1) = 0 , k = 0 , . . . , n −1.

Legyen Q∈C (n ) [a , b ]. Ekkor parci alisan integrálva es (3) - at felhaszn alva =⇒

1

− 1

P n (x )Q(x ) dx =1

− 1

Q (x)ϕ(n ) (x ) dx = Q(x )ϕ(n − 1) (x)1

− 1 −1

− 1

Q (x )ϕ(n − 1) (x) dx = . . .

. . . = ( −1)n

1

− 1

Q (n )(x)ϕ(x ) dx.




Ha Q (x) legfeljebb (n −1) - edfoku polinom, akkor Q (n )(x) ≡0, es ıgy

1

− 1P n (x)Q (x) dx = 0.

A P n (x) polinomokat LEGENDRE - POLINOMOK - nak nevezz¨ uk.

Gyokeiket es az Ak egyutthat´ okat t abl azatokban közlik.

P ELDA : n = 5 - re:

P 0(x ) = 1 P 0(x ) ≡1

P 1(x ) = x P 1(x ) = x

P 2(x ) =32

x2 −12

P 2(x ) =13

3x2 −1

P 3(x ) =52

x3 −32

x P 3(x ) =15

5x3 −3x

P 4(x ) =35

8

x4

−

15

4

x2 +3

8

P 4(x ) =1

35

35x4

−30x2 + 3

P 5(x ) =638

x5 −354

x3 +158

x

Itt: P n (x ) =1

2n ·n ! ·dn

dx n · x2 −1 n

Ak xk

0.236927 −0.9061800.478629 −0.5384690.568889 00.478629 0.5384690.236927 0.908180




A Legendre - Gauss kvadrat´ ura tetsz˝oleges veges [ a , b ] intervallumra is alkalmazhat´ o: A

t :=2

b −qx −

a + b2

, a ≤x ≤b

linearis helyettesıtes k¨ olcsonosen egyertelm˝u modon kepezi le [ a , b ] - t [−1 , 1 ] - re, ıgy =⇒

x =b −a

2t +

a + b2

.

Legyen

g(t) := f b−a

2t +

a + b2

. (kozvetett f uggveny)

Ekkor

b

a

f (x) dx =b −a

2

1

− 1

g(t) d t ≈b −a

2

n

k=1

Ak g(xk )

Miveldgdt

=b −a

2f (x), az [ a , b ] - n a HIBA:

( ) H n (f ) =(b −a)2n +1 (n !)4

(2n + 1)[(2 n )!]3f (2n ) (ξ) , (a ≤ξ ≤b).

Teh at a kvadrat´ ura hib aja az intervallum hossz´ anak (2 n + 1) - edik hatvány aval ar anyos.

Ez a hiba cs okkenthet˝o [a , b ] reszekre bontásaval.

Osszuk fel [ a , b ] - t m egyenlo reszre!

h =b−a

m, x j = a + jh, ( j = 0 , . . . , m ).

Igy:

b

a

f (x) dx =x 1

x 0

+x 2

x 1

+ . . . +x m

x m − 1

f (x ) dx ,

es alkalmazzuk mindegyik integr´ alra (minden reszintervallumon) az n alappontú Legendre - Gausskvadratúr at. Ekkor ( ) - bol =⇒ a hiba




H n (f ) =1

m 2n ·(b −a )2n +1 (n !)4

(2n + 1)[(2 n )!]3f (2n ) (ξ) , (a ≤ξ ≤b)

alakban ırhat´ o.

Teh at a hiba ıgy m 2n reszere csökken, ugyanis minden m´ as tenyez˝o valtozatlan marad.

Igy nyerj uk az ugynevezett OSSZETETT KVADRAT URA SZAB ALYT, ami nagyon hat´ asos modszera nu7merikus kvadrat´ ura pontosságanak n ovelesere.

REKURZ IV FORMULA LEGENDRE - POLINOMOKRA :

(n + 1) P n +1 (x) −(2n + 1) xP n (x ) + nP n − 1(x ) = 0

n = 1 - reP 0(x) = 1

P 1(x) = xahonnan =⇒ P 2(x) =

32

x2 + 1 , . . .

2.6.2. Csebisev - Gauss kvadrat´ ura

1

− 1

1√1 −x2

f (x) dx =n

k=1

Ak f (x k ) + H n (f ),

ahol

xk = cos(2k −1)π

2n, k = 1 , . . . , n alappontok a T n (x) = cos( n arccos x)

Csebisev polinomok gy okei.

an = 2 n − 1, γ n =π2

( ) Ak =π

T n +1 (xk )T n (x k ), k = 1 , . . . , n es

H n (f ) =2π

22n (2n )!f (2n ) (η)

A ( ) kifejezes egyszer usıthet o:




Legyen

θk := (2k −1)π2n

, k = 1 , . . . , n .

Ekkor

T n +1 (xk ) = cos( n + 1) θk = cos nθ k cos θk −sin nθ k sin θk = ( −1)k sin θk .

Igaz tov abb a, hogy

T n (xk ) =n sin nθ k

sin θk =(

−1)k− 1n

sin θk .

A ket utóbbi kifejezest ( ) - ba ırva =⇒

Ak =πn

k = 1 , . . . , n .

Teh at minden együtthat´ o egyenlo, es ıgy a Csebisev - Gauss kvadrat´ uraformula a következ o alakulesz:

1

− 1

f (x)√1 −x2

dx ≈πn

n

k=1

f (xk )

REKURZ IV FORMULA CSEBISEV POLINOMOKRA :

T n +1 (x) −2xT n (x) + T n − 1(x) = 0

3. APPROXIM ACI OELM ELET

Documents

numerikus analízis[2]