E-tananyag Matematika – 9. évfolyam

2014.

1. oldal – Függvények | VISZKI

Függvények

Függvények értelmezése

Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük

hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést az

A halmazon értelmezett függvénynek nevezzük.

Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya.

A B halmaz a képhalmaz. A B halmaz azon elemei, amelyeket az A halmazhoz rendeltük

alkotják a függvény értékkészletét.

Az A halmazbeli elemeket ősöknek, a B halmazbeli elemeket képeknek is mondjuk.

Azokat a hozzárendeléseket, amelyeknél minden A halmazbeli elemnek pontosan egy képe

van, és minden értékkészletbeli elemnek pontosan egy őse van, kölcsönösen egyértelmű

hozzárendelésnek (kölcsönösen egyértelmű függvénynek) nevezzük.

Függvények megadása

a) Hozzárendelési szabállyal pl. ( )

b) Táblázattal

c) Grafikonnal

x 1 2 3 4

f(x) 2 4 6 8

A B

1

2

3

1

2 3

4 5

6

y

x

E-tananyag Matematika – 9. évfolyam

2014.

2. oldal – Függvények | VISZKI

Lineáris függvény

Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0 és m, b elsőfokú függvénynek

nevezzük.

Az f(x) = mx + b képletben

- a „b” megmutatja, hogy a függvény hol metszi az y tengelyt

- az „m” (meredekség) megmutatja, hogy az előbb kapott pontból egységnyit jobbra

haladva hány egységet lépünk fölfelé (m > 0) vagy lefelé (m < 0)

Konstans függvény

f(x) = b

Két függvény párhuzamos egymással, ha a

meredekségük megegyezik.

Másodfokú függvény

Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvényeket, amelyek hozzárendelési szabálya

( ) ( ) alakú, másodfokú függvénynek nevezzük.

A másodfokú függvények grafikonja parabola.

Más alakban felírva ( ) ( )

A normál parabola ( ) függvény jellemzése:

ÉT.:

ÉK.: ( )

Zérushely: x = 0

Szélsőérték:

Minimum hely: x = 0

Minimum érték: f(0) = 0

Monotonitás:

Szigorúan monoton csökken:

Szigorúan monoton nő:

E-tananyag Matematika – 9. évfolyam

2014.

3. oldal – Függvények | VISZKI

Abszolútérték függvény

Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvényeket, amelyek hozzárendelési szabálya

f(x) = a|x + b| + c ( ) alakú, abszolútérték függvényeknek nevezzük.

Az abszolútérték függvény grafikonja V alakú.

Az f(x) = |x| függvény jellemzése

ÉT.:

ÉK.: ( )

Zérushely: x = 0

Szélsőérték:

Minimum hely: x = 0

Minimum érték: f(0) = 0

Monotonitás:

Szigorúan monoton csökken:

Szigorúan monoton nő: [0; +

Lineáris törtfüggvény

Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvényeket, amelyek hozzárendelési szabálya

( )

( ) alakú lineáris törtfüggvényeknek nevezzük.

A lineáris törtfüggvények grafikonja hiperbola.

Az ( )

függvény jellemzése

ÉT.:

ÉK.: ( )

Zérushely: nincs

Szélsőérték: nincs

Szigorúan monoton csökken:

A függvénynek x = 0-ban szakadása van.

E-tananyag Matematika – 9. évfolyam

2014.

4. oldal – Függvények | VISZKI

Négyzetgyökfüggvény

Azt a függvényt, amely egy nemnegatív valós számhoz a négyzetgyökét rendeli,

négyzetgyökfüggvénynek nevezzük.

Az ( ) √ függvény jellemzése

ÉT.:

ÉK.: ( )

Zérushely: x = 0

Szélsőérték

Minimum hely: x = 0

Minimum érték: f(0) = 0

Szigorúan monoton nő

E-tananyag Matematika – 9. évfolyam

2014.

5. oldal – Függvények | VISZKI

Egészrész függvény

Az x szám egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb az x számnál.

Jele: [x] pl. [1] = 1 [-1]= - 1

[1,2] = 1 [-0,9] = 0 [-1,1] = 1

f(x) = [x]

ÉT.:

ÉK.: ( )

Törtrész függvény

Az x szám törtrészén az x – [x] számot értjük.

Jele: {x} pl. {0} = 0 {

}

{1} = 0 {1,2} = 0,2

{-0,9} = - 0,9 – [-0,9] = -0,9 + 1 = 0,1

ÉT.:

ÉK.: ( )

Előjel függvény

Előjel függvény vagy szignumfüggvény (sgn) nevezzük az

{

eljárással megadható függvényt.

ÉT.:

ÉK.: {-1; 0; 1}

E-tananyag Matematika – 9. évfolyam

2014.

6. oldal – Függvények | VISZKI

A függvények jellemzésekor előforduló fogalmak

Zérushely:

Ahol a függvény metszi az x tengelyt.

Valamely f függvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartományának mindezokat az x

értékeit, amelyeknél f(x) = 0.

Növekedés, csökkenés:

Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely értékeinél a

függvényértékekre ( ) ( ) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény

szigorúan monoton növekvő.

Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely értékeinél a

függvényértékekre ( ) ( ) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény

szigorúan monoton csökkenő.

Szélsőérték:

Egy függvénynek minimuma van a változó egy értékénél, ha az ott felvett ( )

függvényértéknél kisebb értéket sehol sem vesz fel a függvény.

Egy függvénynek maximuma van a változó egy értékénél, ha az ott felvett ( )

függvényértéknél nagyobb értéket sehol sem vesz fel a függvény.