Anova

ANALIZA VARIJANCEANALIZA VARIJANCE

ANOVAANOVA

AnAnalysisalysis

oof f vavariancerianceAnAnalysisalysis

ooff

meansmeans

usingusing

vavarianceriance


ANOVA ANOVA je tehnika upotrebe razlika između je tehnika upotrebe razlika između prosjeka uzoraka u zakljuprosjeka uzoraka u zaključčivanju o postojanju (ili ivanju o postojanju (ili ne) rne) razlika između prosjeka populacijaazlika između prosjeka populacija

Jedinstveni postupak kojim je moguJedinstveni postupak kojim je mogućće rae raššččlaniti i laniti i procijeniti varijabilnosti uvjetovane razliprocijeniti varijabilnosti uvjetovane različčitim itim ččimbenicima imbenicima –– izvorimaizvorima

tt--test kad su samo dva uzorka test kad su samo dva uzorka

HHoo: :

--

tt--test vrijedi samo za test vrijedi samo za slusluččajneajne

usporedbeusporedbe

--

gubi se na preciznosti i pouzdanosti ragubi se na preciznosti i pouzdanosti raččunanja unanja varijancivarijanci koja je uvjetovana varijabilnokoja je uvjetovana varijabilnoššćću svih grupau svih grupa

Pretpostavke za Pretpostavke za ANOVAANOVA--uu

OpaOpažžaji (aji (oobservationsbservations)) su su normalnonormalnodistribuirani unutar svake populacijedistribuirani unutar svake populacije

Varijance populacija su jednake Varijance populacija su jednake ––homogenehomogene (h(homogeneityomogeneity of variance or of variance or homoscedasticityhomoscedasticity))

OpaOpažžaji su aji su neovisnineovisni


Usporedba veUsporedba veććeg broja eg broja prosjeprosječčnih vrijednosti nih vrijednosti odjednomodjednom

Nulta hipoteza HNulta hipoteza H00

::prosjeci svih populacija su prosjeci svih populacija su

jednakijednaki

Alternativna hipoteza Alternativna hipoteza HH11

::nisu svi prosjeci populacija nisu svi prosjeci populacija

jednakijednaki

n

n

xxxxHH

========

...:...:

3210

3210 μμμμ


UKUPNA VARIJABILNOST

između grupaunutar grupa (error)


sir sir RonaldRonald FisherFisher je razradio postupak:ANOVAje razradio postupak:ANOVA

FisherovaFisherova analiza varijanceanaliza varijance

Ukupna varijabilnost se rastavlja: na varijabilnost Ukupna varijabilnost se rastavlja: na varijabilnost izmeđuizmeđuprosjeprosječčnih vrijednosti grupa i na varijabilnost nih vrijednosti grupa i na varijabilnost unutar unutar grupagrupa

VarijabnilnostVarijabnilnost između srednjih vrijednosti grupa v između srednjih vrijednosti grupa v.s. .s. varijabilnost unutar grupavarijabilnost unutar grupa

Postupak za prouPostupak za prouččavanje varijabilnosti između prosjeavanje varijabilnosti između prosječčnih nih vrijednosti,mjeri se vrijednosti,mjeri se varijancomvarijancom


--test za testiranje varijanci test za testiranje varijanci (F test)(F test)

--test za testiranje razlika između test za testiranje razlika između prosjeprosječčnih vrijednosti nih vrijednosti (t (t --

test)test)

Kalkulacija:Kalkulacija:

Definirati Sume kvadrata (Definirati Sume kvadrata (Sum of SquaresSum of Squares-- SSSS) )

SSSStotaltotal

SSSSgrupgrupaa

SSSSerrorerror

IzraIzraččunati stupnjeve slobode (unati stupnjeve slobode (degrees of degrees of freedomfreedom -- dfdf))IzraIzraččunati srednje kvadrate unati srednje kvadrate tjtj. varijance . varijance ((meanmean squaressquares MSMS) i ) i FF vrijednostvrijednost

Kalkulacija SS:Kalkulacija SS:

( )

grupatotalerror

jgrupa

total

SSSSSS

XXnSS

XXSS

−=

−Σ=

−Σ=

2..

2.. )(

•

ukoliko je H0

točna, tada varijabilnost između uzoraka nije veća od varijabilnosti unutar uzoraka (pogreške)

•

procjena varijabilnosti (sume kvadrata):

( )nxxSSUKUPNO

22 ∑

∑ −=

( ) ( ) ( ) ..2

2

22

1

21 FC

nx

nx

nxSS

k

k

UZORAKAIZMEDU −∑++∑+∑= K

( ) ..2

FCnx

=∑

UZORAKAIZMEDUUKUPNO

UZORAKAUNUTAR SSSSSS −=

između grupa između grupa < unutar grupa< unutar grupa

između grupa između grupa > unutar grupa> unutar grupa

između grupa između grupa > unutar grupa> unutar grupa signifikantno!signifikantno!

GrafiGrafiččko ko predstavljnjepredstavljnje varijabilnostivarijabilnosti

Slika A: Slika A: varijabilnost između grupa varijabilnost između grupa <<varijabilnosti unutar grupavarijabilnosti unutar grupa

Slika B:Slika B:varijabilnost između grupa varijabilnost između grupa >>varijabilnosti unutar grupavarijabilnosti unutar grupa

Slika C:Slika C:varijabilnost između grupa varijabilnost između grupa >>varijabilnosti unutar grupavarijabilnosti unutar grupa

sve varijante jedne razlikuju se od svih varijanata drugih grupasve varijante jedne razlikuju se od svih varijanata drugih grupa

HipotetiHipotetiččan primjer:uzorak sa dvije grupean primjer:uzorak sa dvije grupe

A B19 2314 1915 1917 2120 18

suma 85 100 185n 5 5 10x 17 20 18,5

GRUPE

ukupno

grupa A grupa B Ukupno19 23

14 19

15 19

17 21

20 18

Σ

x 85,0 100,0 185,0⌧ 17,0 20,0 18,5n 5 5 10

BA

BA

xxHH

==

::

0

0 μμZadatak:Zadatak:

Jednosmjerna analiza varijance > ANOVA 1Jednosmjerna analiza varijance > ANOVA 1

Nulta hipoteza:Nulta hipoteza:

Provesti analizu varijance:Provesti analizu varijance:

ili Ho:D = 0ili Ho:D = 0

Odstupanja se izraOdstupanja se izražžavaju sumama kvadratnih avaju sumama kvadratnih odstupanja (SS)odstupanja (SS)

Svaka varijanta uzorka odstupa od prosjeSvaka varijanta uzorka odstupa od prosječčne ne vrijednosti grupe i prosjevrijednosti grupe i prosječčne vrijednosti cijelog ne vrijednosti cijelog uzorkauzorka

ProsjeProsječčna vrijednost grupe odstupa od na vrijednost grupe odstupa od prosjeprosječčne vrijednosti cijelog uzorkane vrijednosti cijelog uzorka

BA XXH =:0

Ukupna varijabilnost:Ukupna varijabilnost: odstupanje svake varijante uzorka od prosjeodstupanje svake varijante uzorka od prosječčne vrijednosti ne vrijednosti

uzorkauzorka

SS=Suma kvadrata =SS=Suma kvadrata =SumSum of of SquaresSquares

SS= (19SS= (19--18,5)18,5)22+(14+(14--18,5)18,5)22++………….+ .+ +(18+(18--18,5)18,5)22=64,5=64,5

SS = (19SS = (1922 + 14+ 1422 ++……+18+1822) ) -- (185)(185)22/10=64,5/10=64,5

Varijabilnost između grupaVarijabilnost između grupa:: odstupanje prosjeka svakeodstupanje prosjeka svake

grupe od prosjeka uzorka, ali da se grupe od prosjeka uzorka, ali da se

svaka varijanta svake grupe predstavi svojom srednjom svaka varijanta svake grupe predstavi svojom srednjom vrijednovrijednoššććuu

SS= 5(17SS= 5(17--18,5)18,5)22+ 5(20+ 5(20--18,5)18,5)22= 22,5= 22,5

grupa A grupa Bgrupa A grupa B

SS= (85SS= (8522/5+100/5+10022/5)/5)--18518522/10= 22,5/10= 22,5

grupaAgrupaA

+ + grupaBgrupaB

Varijabilnost unutar grupa:Varijabilnost unutar grupa: odstupanje svake varijante u grupi od prosjeodstupanje svake varijante u grupi od prosječčne vrijednosti ne vrijednosti

grupegrupe

SS= SS unutar grupe A+ SS= SS unutar grupe A+ SSunutarSSunutar grupe Bgrupe B

SS=(19SS=(19--17)17)22++……+(20+(20--17)17)22++

(23(23--20)20)22++……+(18+(18--20)20)22=42,0=42,0SS = SS = SSukupnoSSukupno--SSizmeđuSSizmeđu grupa= grupa=

64,564,5--22,5=42,022,5=42,0

Prof. Prof. drdr. . scsc. Marija . Marija PecinaPecina, Agronomski fakultet Sveu, Agronomski fakultet Sveuččiliiliššta u Zagrebuta u Zagrebu

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0,422018...20231720...1719

5,225,182055,18175

5,645,1818...5,18145,1819

2222.

22.

222

=−++−+−++−=

=−⋅+−⋅=

=−++−+−=

grupaunutar

grupaizmedu

ukupno

SS

SS

SS

grupa A grupa B Ukupno19 23

14 19

15 19

17 21

20 18

Σ

x 85,0 100,0 185,0⌧ 17,0 20,0 18,5n 5 5 10

∑ −= 2)( xxSS

Prof. Prof. drdr. . scsc. Marija . Marija PecinaPecina, Agronomski fakultet Sveu, Agronomski fakultet Sveuččiliiliššta u Zagrebuta u Zagrebu

( )

0,425,225,64

5,2210

1855

1005

85

5,6410

18518...1419

..

222

.

2222

=−=−=

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=−+++=

grupaizmeduukupnogrupaunutar

grupaizmedu

ukupno

SSSSSS

SS

SS

( )∑ ∑−=

nx

xSS2

2grupa A grupa B Ukupno

19 23

14 19

15 19

17 21

20 18

Σ

x 85,0 100,0 185,0⌧ 17,0 20,0 18,5n 5 5 10

TABLICA ANALIZE VARIJANCE:TABLICA ANALIZE VARIJANCE:

Izvori varijabilnostiIzvori varijabilnosti nn--11 SSSS varijancavarijanca FexpFexpFtabFtab

(za1 i 8)(za1 i 8)

Ukupna varijabilnostUkupna varijabilnost 1010--1=91=9 64,564,5

Varijabilnost između Varijabilnost između grupagrupa 22--1=11=1 22,522,5 22,522,5

4,29 4,29 n.s. n.s.

5,32 (5%)5,32 (5%)11,2611,26(1%)(1%)

Varijabilnost unutar Varijabilnost unutar grupagrupa 99--1=81=8 4242 5,255,25

Izvori varijabilnosti df SS s2 F exp Ftab 0.05 Ftab 0.01

Ukupno 9 64.5

Između grupa 1 22.5 22.50 4.29 ns 5.32 11.26Unutar grupa 8 42.0 5.25

Tablica analize varijance:

= 22.50 : 5.25očitati iz prvog stupca i osmog reda F tablica

= SS : df

ZakljuZaključčak iza F testa u ANOVAak iza F testa u ANOVA--i i 1:1:

F F expexp < F < F tabtab

HH0 0 se prihvase prihvaććaagrupe A i B pripadaju istoj uzorkugrupe A i B pripadaju istoj uzorkuprosjeci grupa A i B se ne razlikuju signifikantnoprosjeci grupa A i B se ne razlikuju signifikantno

grupe grupe AA i i BB grafigrafiččkiki

B

B B B B

A A A A A

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

⌧A ⌧B⌧A

-

⌧B

= Dexpns

Jedan dio ukupne

varijabilnosti pripada razlikama između

grupa

(tretiranje, gnojidba...),

a ostatak varijabilnosti pripada razlikama unutar grupa (error)

0

20

40

60

80

100

120

Sorta 1 Sorta 2 Sorta 3 Sorta 4

prinosX

Ukupna varijabilnost:Ukupna varijabilnost:

ukupna varijabilnost 64,522,5

42

između grupa

unutar grupa

PITANJA ... PREDAAAH...PITANJA ... PREDAAAH... TheThe

BiologistBiologist, , thethe

StatisticianStatistician, , thethe

MathematicianMathematician, ,

and and thethe

ComputerComputer

ScientistScientist

A A biologistbiologist, a , a statisticianstatistician, a , a mathematicianmathematician, and , and a a computercomputer

scientistscientist

are on a are on a photophoto--safarisafari

in in

AfricaAfrica. . TheyThey

drivedrive

outout

into into thethe

savannahsavannah

in in theirtheir

jeepjeep, stop, and , stop, and scourscour

thethe

horizonhorizon

withwith

theirtheir

binocularsbinoculars. . TheThe

biologistbiologist: ": "LookLook! ! ThereThere's a 's a herdherd

of of zebraszebras! !

AndAnd

therethere, in , in thethe

middlemiddle: a : a whitewhite

zebra! zebra! ItIt's 's fantasticfantastic! ! ThereThere

are are whitewhite

zebraszebras! ! WeWe'll 'll bebe

famousfamous!" !" TheThe

statisticianstatistician: ": "ItIt's 's notnot

significantsignificant. . WeWe

onlyonly

knowknow

therethere's one 's one whitewhite

zebra." zebra." TheThe

mathematicianmathematician: ": "ActuallyActually, we , we knowknow

therethere

existsexists

a zebra a zebra whichwhich

is is whitewhite

on one side." on one side." TheThe

computercomputer

scientistscientist: "Oh no! A : "Oh no! A specialspecial

casecase!"!"

Ishrana gusjenica razliIshrana gusjenica različčitim travamaitim travama

C J L M206 114 90 140

178 253 270 210

255 313 173 354

300 112 97 124

168 130 62 199

142 157 193 273

296 198 211 221



(za3i 24)(za3i 24)

Ukupna varijabilnostUkupna varijabilnost 2727 150.209,25150.209,25

Varijabilnost između Varijabilnost između grupagrupa 33 19.532,9619.532,96 6.510,996.510,99

1,20 1,20 n.s. n.s.

3,01 (5%)3,01 (5%)4,724,72(1%)(1%)

Varijabilnost unutar Varijabilnost unutar grupagrupa 2424 130.676,29130.676,29 5.444,845.444,84

Trajnost automobilskih baterijaTrajnost automobilskih baterija

A B C D

53 48 65 60

61 52 72 53

63 56 58 68

59 50 59 55

62 51 71

68



(za3 i 16)(za3 i 16)

Ukupna varijabilnostUkupna varijabilnost 1919 953,2953,2

Varijabilnost između Varijabilnost između grupagrupa 33 492492 164164 5,695,69

****

3,24 (5%)3,24 (5%)5,295,29(1%)(1%)

Varijabilnost unutar Varijabilnost unutar grupagrupa 1616 461,2461,2 28,82528,825

Documents

Anova