Embed Size (px)
Citation preview
Nguyen Ngoc Tang 1
ÁP DỤNG BĐT CÔ-SI
CHỨNG MINH BĐT HOÁN VỊ VÒNG QUANH
Bài 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1) b
ca
a
bc
c
ab
ab
c
ca
b
bc
a 333
; 2) b
ca
a
bc
c
ab
b
ac
a
cb
c
ba3
3
3
3
3
3
;
3) b
ca
a
bc
c
ab
b
ac
a
cb
c
ba5
33
5
33
5
33
; 4) b
ca
a
bc
c
ab
ab
c
ca
b
bc
a3
5
3
5
3
5
.
Giải
1) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:
)1(c
ab2
ca
b
bc
a 33
; )2(a
bc2
ab
c
ca
b 33
; )3(b
ca2
bc
a
ab
c 33
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta được
b
ca
a
bc
c
ab
ab
c
ca
b
bc
a 333
. (đpcm).
Dấu “=” xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
cba
ac
cb
ba
bc
a
ab
c
ab
c
ca
b
ca
b
bc
a
33
33
33
.
2) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:
)1(c
ab2
a
bc
c
ba3
3
; )2(a
bc2
b
ca
a
cb3
3
; )3(b
ca2
c
ab
b
ac3
3
.
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta được b
ca
a
bc
c
ab
b
ac
a
cb
c
ba3
3
3
3
3
3
. (đpcm).
Dấu “=” xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
Nguyen Ngoc Tang 2
cba
abc
cab
bca
c
ba
b
ac
b
ac
a
cb
a
cb
c
ba
23
23
23
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
.
3) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
)1(c
ab3
b
ca
a
bc
c
ba5
33
; 3 3
53 . (2)
b c ca ab bc
a b c a
3 3
53 . (3)
c a ab bc ca
b c a b
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta được
b
ca
a
bc
c
ab
b
ac
a
cb
c
ba5
33
5
33
5
33
. (đpcm)
Dấu “=” xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
cba
ca
bc
ab
a
bc
c
ab
b
ac
c
ab
b
ca
a
cb
b
ca
a
bc
c
ba
5
33
5
33
5
33
.
4) Bạn đọc tự chứng minh.
Bài 2. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc =1 . Chứng minh rằng:
1) 3
2
3
2
3
2
4
6
4
6
4
6
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a ; 2)
3
2
3
2
3
2
111111 a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a ;
3) 3
2
3
2
3
2
12
8
12
8
12
8
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a ; 4)
3
2
3
2
3
2
11
7
11
7
11
7
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a .
Giải
1) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có: 6 6 3 2 2
4 4 2 3 32 2 2 ( 1 ). (1)
a c a c a aabc do abc
c b b b b
Nguyen Ngoc Tang 3
)2(a
c2
a
cabc2
a
bc2
a
b
b
c3
2
3
2
2
3
4
6
4
6
; 6 6 3 2 2
4 4 2 3 32 2 2 . (3)
b a b a b babc
a c c c c
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta được
3
2
3
2
3
2
4
6
4
6
4
6
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a . (đpcm).
Dấu “=” xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
1cba
1abc
ab
bc
ca
1abc
acb
bac
cba
1abc
c
a
a
b
a
b
b
c
b
c
c
a
7
7
7
523
523
523
4
6
4
6
4
6
4
6
4
6
4
6
.
2) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:
2 4 2
11 3 9 3 3 6 32 2 2 ( 1). (1)
( )
a b a a ado abc
b c b c abc b b
Tương tự, ta có:
)2(c
b2
a
c
c
b3
2
3
2
11 ;
2 2
11 3 32 . (3)
c a c
a b a
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta được
3
2
3
2
3
2
111111 a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a . (đpcm).
Dấu “=” xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
1cba
1abc
ab
ca
bc
1abc
acb
cba
bac
1abc
b
a
a
c
a
c
c
b
c
b
b
a
1310
1310
1310
1211
1211
1211
1111
1111
1111
.
3) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
Nguyen Ngoc Tang 4
8 2 2 5 6 2
3 312 3 3 10 9 3
3 3 3 ( 1). (1)( )
a b c a a ado abc
b c a b c abc b b
Tương tự, ta có:
)2(c
b3
b
a
a
c
c
b3
2
3
2
3
2
12
8
; 8 2 2 2
12 3 3 33 . (3)
c a b c
a b c a
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta được
3
2
3
2
3
2
12
8
12
8
12
8
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a . (đpcm).
Dấu “=” xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
1cba
1abc
a
c
c
b
b
a
cb
ba
ac
1abc
a
c
c
b
b
a
acb
cba
bac
1abc
c
b
b
a
a
c
b
a
a
c
c
b
a
c
c
b
b
a
12
8
12
8
12
8
7
7
7
12
8
12
8
12
8
235
235
235
3
2
3
2
12
8
3
2
3
2
12
8
3
2
3
2
12
8
.
4) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
7 7 2 4 6 2
3 311 11 3 2 11 2 9 3
3 3 3 1 . (1)( )
a b a b b bdo abc
c a b a c abc c c
Tương tự, ta có:
)2(a
c3
c
b
b
c
a
b3
2
3
2
11
7
11
7
; 7 7 2 2
11 11 3 33 . (3)
c a c a
b c a b
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta được
3
2
3
2
3
2
11
7
11
7
11
7
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a . (đpcm).
Dấu “=” xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
Nguyen Ngoc Tang 5
1cba
1abc
b
c
a
b
c
a
ac
cb
ba
1abc
a
c
c
a
b
c
c
b
b
c
a
b
b
a
a
b
c
a
11
7
11
7
11
7
1013
1013
1013
3
2
11
7
11
7
3
2
11
7
11
7
3
2
11
7
11
7
.
Nhận xột:
Với cách chứng minh như trên, bạn đọc hãy chứng minh các bất đẳng thức
sau:
Cho a, b, c > 0 x, y, z . Ta luôn có:
a) z
yx
z
yx
z
yx
zyx
zyxzyx
zyx
zyxzyx
zyx
zyxzyx
b
ac
a
cb
c
ba
b
ac
a
cb
c
ba
;
b) z
yx
z
yx
z
yx
z2y
y2xzx2
z2y
y2xzx2
z2y
y2xzx2
b
ac
a
cb
c
ba
b
ac
a
cb
c
ba
;
c) z
yx
z
yx
z
yx
z3yx
zy3xzyx3
z3yx
zy3xzyx3
z3yx
zy3xzyx3
b
ac
a
cb
c
ba
b
ac
a
cb
c
ba
;
d)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
.
x y z x y z x y z x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y x y x y
z z z
a b b c c a
c a b
a b b c c a
c a b
Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
a)
3
3
3
3
3
3
3
32
222
222
222
22
b
d
d
b
a
c
c
aabcd
bc
ad
ab
dc
da
cb
cd
ba;
b) c
dab
b
cda
a
bcd
d
abc
c
abd
b
dac
a
cdb
d
bca3
3
3
3
3
3
3
3
;
c) c
dab
b
cda
a
bcd
d
abc
c
bad
b
adc
a
dcb
d
cba5
33
5
33
5
33
5
33
;
d) )dcba(abcdc
dab
b
cda
a
bcd
d
abc 2222
3333
.
Nguyen Ngoc Tang 6
Bài 3. Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn abcd = 1. Chứng minh rằng:
1) b
d
d
b
a
c
c
a
b
d
d
b
a
c
c
a 2222
6
3
6
3
6
3
6
3
;
2) 3
2
3
2
3
2
3
2
13
45
13
45
13
45
13
45
b
da
a
cd
d
bc
c
ab
b
ad
a
dc
d
cb
c
ba .
Giải
1) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
3 3 3 3 2 2
36 6 6 3 6 3 2
3 3 33 ( 1). (1)
( )
a c b b b b bdo abcd
c a d c d a cd a abcd d d
Tương tự :
3 3 3 2
6 6 6
3(2)
c b d c
a d b a ;
3 3 3 2
6 6 6
3; (3)
b d a a
d b c c
3 3 3 2
6 6 6
3. (4)
d a c d
b c a b
Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4), ta được
b
d
d
b
a
c
c
a
b
d
d
b
a
c
c
a 2222
6
3
6
3
6
3
6
3
. (đpcm)
Dấu “=” xảy ra (1), (2), (3), (4) cùng xảy ra đẳng thức
1dcba
1abcd
b
d
d
b
a
c
c
a
ca
db
db
ca
1abcd
a
c
c
a
b
d
c
a
b
d
d
b
b
d
d
b
a
c
d
b
a
c
c
a
6
3
6
3
6
3
6
3
99
99
99
99
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
.
2) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
5 4 2 2 2 5 3 6 2
3 313 3 3 10 9 3
33 3 ( 1). (1)
( )
a b bc cd a b a b abdo abcd
c d a c d abcd c c
Tương tự, ta có
Nguyen Ngoc Tang 7
5 4 2 2 2
13 3 3 3
3; (2)
b c cd da bc
d a b d
5 4 2 2 2
13 3 3 3
3(3)
c d da ab cd
a b c a ;
5 4 2 2 2
13 3 3 3
3. (4)
d a ab bc da
b c d b
Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4), ta được
3
2
3
2
3
2
3
2
13
45
13
45
13
45
13
45
b
da
a
cd
d
bc
c
ab
b
ad
a
dc
d
cb
c
ba . (đpcm).
Dấu “=” xảy ra (1), (2), (3), (4) cùng xảy ra đẳng thức
1dcba
1abcd
b
ad
a
dc
d
cb
c
ba
abdc
adcb
cdba
bcad
1abcd
d
bc
c
ab
b
ad
c
ab
b
da
a
dc
b
da
a
cd
d
cb
a
cd
d
bc
c
ba
13
45
13
45
13
45
13
45
35
35
35
35
3
2
3
2
13
45
3
2
3
2
13
45
3
2
3
2
13
45
3
2
3
2
13
45
.
Nhận xột: Với cách chứng minh như trên, bạn đọc hãy chứng minh các bất đẳng
thức sau:
Cho a, b, c, d > 0 ; x, y, z, t . Ta luôn có:
1)2 2 2 2
`
x y z x y z x y z x y z
t t t t
x t x y y z x t x y y z x t x y y z x t x y y z
z t z t z t z t
a b c a b c a b c a b c
d d d d
a b c b c d c d a d a b
d a b c
2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
.
x t x y y z x t x y y z x t x y a y z x t x y y z
z t z t z t z t
x y z x y z x y z x y z
t t t t
a b c b c d c d c d a b
d a b c
a b c b c d c d a d a b
d a b c
Nguyen Ngoc Tang 8
3) 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3
x z t x y t x y z x z t x y t x y z x z t x y t x y z
y z t y z t y z t
a b c b c d c d a
d a b
+
t
zyx
t
zyx
t
zyx
t
zyx
t3zy
z3yxty3xtzx3
c
bad
b
adc
a
dcb
d
cba
c
bad
;
4)
3( ) 3( ) 3( ) 3( ) 3( ) 3( ) 3( ) 3( )
3( ) 3( ) 3( ) 3( )
2 2 2 2.
x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z
x z x z x z x z
x x x x
z x y z y z x y z y z x y z y z x y z y
a b b c c d d a
c d a c
a b c d
b c d c d a d a b a b c
5)
3 3 3 3
.
x y z x y z x y z x y z x z t x y t x y z
t t t t y z t
x z t x y t x y z x z t x y t x y z x z t x y t x y z
y z t y z t y z t
a b c b c d c d a d a b a b c
d a b c d
b c d c d a d a b
a b c
Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng
33335
2
5
2
5
2
5
2
d
1
c
1
b
1
a
1
a
d
d
c
c
b
b
a . ( ĐHTL -1998 )
Bạn đọc tự chứng minh.
Bài 5. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2001. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN)
của biểu thức
11
20
11
20
11
20
x
z
z
y
y
xF . ( Toán học & tuổi trẻ )
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 20 số dương, ta có:
9
lan11
99
lan9
11
20
11
20
x20y...yy
x...
y
x
hay 20
9 9
119 11 20 . (1)
xy x
y
Dấu “=” của (1) xảy ra yxyxyy
x 20209
11
20
.
Tương tự, ta có 20
9 9
1111 20 . (2)
yz y
z
Nguyen Ngoc Tang 9
Dấu “=” của (2) xảy ra y = z.
Tương tự, ta có 20
9 9
119 11 20 . (3)
zx z
x
Dấu “=” của (3) xảy ra z = x.
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta được
999
11
20
11
20
11
20
zyxx
z
z
y
y
xF . (4)
Dấu “=” của (4) xảy ra x = y = z.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 9 số dương, ta có 8
lan8
99
9
3
2001x9
3
2001...
3
2001x
hay
8 9
9 2001 20019 8 . (5)
3 3x x
Tương tự, ta có:
8 9
9 2001 20019 8 (6)
3 3y y
và
8 9
9 2001 20019 8 . (7)
3 3z z
Cộng từng vế của (5), (6), (7), ta được: 8 9
9 9 9 2001 20019 ( ) 24
3 3x y z x y z
.
Theo giả thiết: x + y + z = 2001 9
999
3
20013zyx
9
3
20013F
.
Suy ra GTNN của
9
3
20013F
đạt được khi (4), (5), (6), (7) cùng xảy ra đẳng
thức 3
2001zyx .
Bài 6. Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng
666
333
c
1
b
1
a
1
a
c
c
b
b
a .
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
Nguyen Ngoc Tang 10
)1(b
3
a
1
a
1
b
a666
3
; 3
6 6 6
1 1 3; (2)
b
c b b c
3
6 6 6
1 1 3. (3)
c
a c c a
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta được
666
333
c
1
b
1
a
1
a
c
c
b
b
a . (đpcm).
Dấu “=” xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức cba
ac
cb
ba
.
Bài 7. Cho a, b, c, d dương. Chứng minh rằng:
dcbaba
d
ad
c
dc
b
cb
a23
6
23
6
23
6
23
6
.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 6 số dương, ta có
a6ccbbbcb
a23
6
hay a6c2b3cb
a23
6
. (1)
Tương tự, ta có:
b6d2c3dc
b23
6
(2); c6a2d3ad
c23
6
(3); d6b2a3ba
d23
6
. (4)
Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4), ta được
dcbaba
d
ad
c
dc
b
cb
a23
6
23
6
23
6
23
6
. (đpcm)
Dấu “=” xảy ra (1), (2), (3), (4) cùng xảy ra đẳng thức a = b = c = d.
Bài 8. Cho a, b, c, d dương thỏa mãn 2005dcba .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .b.a
dd
a.d
cc
d.c
bb
c.b
aaF
3333
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 9 số dương, ta có
Nguyen Ngoc Tang 11
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
lan4
33a.9ccbbb
c.b
aa...
c.b
aa
hay 3
2
3
2
3
2
3a.9c2b3
c.b
aa4 . (1)
Tương tự, ta có:
3
2
3
2
3
2
3b.9d2c3
d.c
bb4 (2); 3
2
3
2
3
2
3c.9a2d3
a.d
cc4 ; (3)
3
2
3
2
3
2
3d.9b2a3
b.a
dd4 . (4)
Cộng từng vế của (1), … , (4), ta được
3
2
3
2
3
2
3
2
3333dcba.4
b.a
dd
a.d
cc
d.c
bb
c.b
aa.4
hay .dcbaF 3
2
3
2
3
2
3
2
(*)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số dương, ta có:
2
13
1
3
4
3
2
3
2
3
2
a.4
2005.4
4
2005aaa
a.4
2005.4
4
2005a3
3
1
3
4
3
2
. (1’)
Tương tự, ta có:
b.4
2005.4
4
2005b3
3
1
3
4
3
2
; (2’)
c.4
2005.4
4
2005c3
3
1
3
4
3
2
; (3’)
d.4
2005.4
4
2005d3
3
1
3
4
3
2
. (4’)
Cộng từng vế của (1’), … , (4’), ta được
Nguyen Ngoc Tang 12
dcba.4
2005.4
4
2005.4dcba3
3
1
3
4
3
2
3
2
3
2
3
2
3
4
3
4
3
2
3
2
3
2
3
2
4
2005.16
4
2005.4dcba3
hay 3
4
3
2
3
2
3
2
3
2
4
2005.4dcba
. (**)
Kết hợp (*) và (**), ta suy ra 4
320054.
4F
.
Vậy GTNN của
2
4
2005F
đạt được khi (*) và (**) cùng xảy ra đẳng thức và
2005dcba
2
4
2005dcba
.
![[GSTT.VN] BÀI GIẢNG BĐT ÔN THI ĐH](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5537d72c4a795977028b461f/gsttvn-bai-giang-bdt-on-thi-dh.jpg)
![[Www.toancapba.net] bđt-gtln và gtnn](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/559115681a28abf6158b46bf/wwwtoancapbanet-bdt-gtln-va-gtnn.jpg)
![[Tố Tụng Dân Sự] Chứng Cứ và Nghĩa Vụ Chứng Minh](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/58f0a7151a28ab29228b465d/to-tung-dan-su-chung-cu-va-nghia-vu-chung-minh.jpg)
