aotra

ngtb.

com

Chng 2

Bt ng thc

2.1 Phng php s dng bt ng thc Cauchy

2.1.1 Bt ng thc Cauchy - So snh gia tng v tch

Cho ba s khng m a, b, c, ta c :

1.a + b

2 ab, du bng xy ra khi a = b ;

2.a + b + c

3 3abc, du bng xy ra khi a = b = c.

2.1.2 Mt s h qu trc tip

H qu 1 : So snh gia tng nghch o v tng.Cho ba s dng a, b, c c :

1.1a +

1b

4a + b ; 2.

1a +

1b +

1c 9

a + b + c .

H qu 2 : So snh gia tng bnh phng v tng.Cho ba s thc a, b, c c :

1. 2(a2 + b2) (a + b)2 ; 2. 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c).

H qu 3 : So snh gia tng, tng bnh phng v tch.Cho ba s thc a, b, c c :

1. (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) ; 2. a2 + b2 + c2 ab + bc + ca.

2.1.3 Bi tp ngh

Bi 2.1 : Cho a, b, > 0. Chng minh rng :

ab(a + b)2

a + b2

3 (a + b)(a

2 + ab + b2)

6 a3 + b3

2 (a

2 + b2)3

(a + b)3 .

Bi 2.2 : Cho a, b > 0 v a + b 1. Chng minh rng :

37

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1.1a +

1b 4 ; 2.

1a +

1b + a + b 5.

Bi 2.3 : Cho cc s khng m a, b, c c a + b + c 3. Chng minh rng :

1. a + b + c ab + bc + ca ; 2. a + b + c ab + bc + ca.

Bi 2.4 : Cho x, y > 0. Chng minh rng : (1 + x)(1 + y) (1 + xy)2.

Bi 2.5 : Cho x, y > 0. Chng minh rng : x2 + y2 + 1x+

1y 2( x + y).

Bi 2.6 : Cho x, y > 0 v x + y = 1. Tm gi tr nh nht ca P = 1x2 + y2

+1xy.

Bi 2.7 : Cho x, y, z > 0 v x + y + z = 1. Tm gi tr ln nht ca P = xx + 1

+y

y + 1+

z

z + 1.

Bi 2.8 : Cho a, b > 0 v a + b = 1. Chng minh rng : a2

a + 1 +

b2b + 1

13 .

Bi 2.9 : Cho cc s thc dng a, b, c. Chng minh rng :

1a + 3b +

1b + 3c +

1c + 3a

12a + b + c +

12b + c + a +

12c + a + b .

Bi 2.10 : Chng minh rng vi mi a, b, c > 0 u c :

1.1

a(b + c) +1

b(c + a) +1

c(a + b) 27

2(a + b + c)2 ; 2.1

a(a + b) +1

b(b + c) +1

c(c + a) 27

2(a + b + c)2 .

Bi 2.11 : Cho a, b > 0 v a + b 1. Tm gi tr nh nht ca S = ab + 1ab .

Bi 2.12 : Cho a, b > 0. Tm gi tr nh nht ca biu thc S = a + bab

+

ab

a + b .

Bi 2.13 : Cho a, b, c > 0 v a + b + c 32. Tm gi tr nh nht ca biu thc S = a + b + c + 1

a +

1b +

1c.

Bi 2.14 : Chng minh rng vi mi s dng x, y, z u c : x2 + y2 + z2 2(xy + yz).Bi 2.15 : Cho a, b, c > 0 v a + b + c = 4. Chng minh rng :

aba + b + 2c +

bcb + c + 2a +

ca

c + a + 2b 1.

Bi 2.16 : Cho a, b, c > 0. Chng minh rng :

aba + 3b + 2c +

bcb + 3c + 2a +

ca

c + 3a + 2b a + b + c

6 .

Bi 2.17 : Cho a, b, c > 0. Chng minh rng :

1.a + b

c +

b + ca

+c + a

b 6 ;

2.a

b + c +b

c + a+

c

a + b 32 ;

3.a2

b + c +b2

c + a+

c2

a + b a + b + c

2 ;

4.a3

b + c +b3

c + a+

c3

a + b a2 + b2 + c2

2 .

Bi 2.18 : Cho a, b, c > 0 v abc = 1. Tm gi tr nh nht ca cc biu thc sau :

1. P =a2

b + c +b2

c + a+

c2

a + b ;

2. Q = a3

b + c +b3

c + a +

c3

a + b ;

3. R =a2

a

b + c +b2

bc + a

+c2

c

a + b ;

4. S = bca2b + a2c +

ca

b2c + b2a +ab

c2a + c2b ;

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Bi 2.19 : Cho x, y, z, t > 0 v xyzt = 1. Tm gi tr nh nht ca biu thc :

P =1

x3(yz + zt + ty) +1

y3(zt + tx + xz) +1

z3(tx + xy + yt) +1

t3(xy + yz + zx) .

Bi 2.20 : Cho a, b, c > 0. Tm gi tr nh nht ca biu thc sau :

1. P =a

b + 2c +b

c + 2a +

c

a + 2b . 2. Q =a

b + mc +b

c + ma +

c

a + mb , m N,m > 2.1

Bi 2.21 : Cho a, b, c > 0. Chng minh rng :

1. (a + b)(b + c)(c + a) 8abc ; 2. bca+

ca

b +bac a + b + c.

Bi 2.22 : Cho a, b, c l di ba cnh ca mt tam gic. Chng minh rng :

1.a

b + c a +b

c + a b +c

a + b c 3 ; 2.a2

b + c a +b2

c + a b +c2

a + b c a + b + c.

Bi 2.23 : 1. Cho a, b, c l di ba cnh ca mt tam gic, p l na chu vi ca tam gic. Chng minh rng :

(p a)(p b)(p c) abc8 .

2. Cho tam gic ABC c chu vi bng 3 v di ba cnh ca tam gic l a, b, c. Chng minh rng :

4(a3 + b3 + c3) + 15abc 27.

Bi 2.24 : Cho a, b, c, d > 0 v a + b + c + d = 1. Chng minh rng :

1a 11

b 11

c 1 1

d 1 81.

Bi 2.25 : Cho a, b 1. Chng minh rng : a b 1 + b a 1 ab.Bi 2.26 : Cho a, b, c 0 v a + b + c = 1. Chng minh rng : ab + bc + ca + abc 10

27.

Bi 2.27 : Cho a, b, c > 0. Chng minh rng : 2a2 + bc

12

1ab +

1ac

.

Bi 2.28 : Cho a, b > 0 v a + b = 1. Chng minh rng : 3ab +

2a2 + b2 16.

Bi 2.29 : Cho a, b, c > 0 v 11 + a

+1

1 + b +1

1 + c 2. Chng minh rng : abc 18 .

Bi 2.30 : Cho a > b > 0 v ab = 1. Chng minh rng : a2+ b2

a b 2

2.

Bi 2.31 : Tm gi tr nh nht ca A = (1 + x) 1 + 1y

+ (1 + y) 1 + 1x

vi x, y > 0 tha mn x2 + y2 = 1.

Bi 2.32 : Cho x, y, z > 1 tha mn x + y + z = xyz. Tm gi tr nh nht ca :

P =y 2

x2+

z 2y2

+x 2

z2 .

Bi 2.33 : Cho a, b, c > 1. Chng minh rng :

alogb c + blogc a + cloga b 3 3

abc.

1Mt cch tng qut, tm gi tr nh nht ca R =a

xb + yc+

bxc + ya

+c

xa + yb vi a, b, c, x, y l nhng s dng

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Bi 2.34 : Cho a, b, c > 0 v a + b + c = 1. Chng minh rng :

1 +1a

1 +1b

1 +1c

64.

Bi 2.35 : Cho a, b > 0. Chng minh rng : (a + b)2 + 1a +

1b

2 8.

Bi 2.36 : Cho a, b, c > 0. Chng minh rng :

bca2b + a2c +

ca

b2c + b2a +ab

c2a + c2b 12

1a+

1b

+1c

.

Bi 2.37 : Cho a, b, c > 0. Chng minh rng :

aba + b +

bcb + c +

ca

c + a a + b + c

2 .

Bi 2.38 : Cho a 3. Tm gi tr nh nht ca biu thc S = a + 1a.

Bi 2.39 : Cho a 2. Tm gi tr nh nht ca biu thc S = a + 1a2

.

Bi 2.40 : Cho a, b, c 0 tha mn a2 + b2 + c2 = 1. Tm gi tr nh nht ca biu thc

S = a + b + c + 1abc .

Bi 2.41 : Cho x, y > 0 v x + y = 1. Tm gi tr nh nht ca biu thc S = x1 x +

y1 y .

Bi 2.42 : Cho a, b, c 0 v a + b + c = 1. Tm gi tr ln nht ca biu thc

S = 3

a + b + 3

b + c + 3

c + a.

Bi 2.43 : Cho a, b, c > 0 v a + b + c = 3. Tm gi tr ln nht ca biu thc

S =

3 a(b + 2c) +

3 b(c + 2a) +

3 c(a + 2b).

Bi 2.44 : Cho a 2; b 6; c 12. Tm gi tr ln nht ca biu thc

S = bc

a 2 + ca 3b 6 + ab 4c 12abc .

Bi 2.45 : Chng minh rng : ab +bc+

c

a

2 3

2

a + bc

+b + c

a+

c + a

b

vi mi a, b, c > 0.

Bi 2.46 : Cho a, b, c > 0 v a + b + c = 3. Chng minh rng :

a3

(a + b)(a + c) +b3

(b + c)(b + a) +c3

(c + a)(c + b) 34.

Bi 2.47 : Cho a, b, c > 0 v a + b + c = 3. Chng minh rng :

a3

b(2c + a) +b3

c(2a + b) +c3

c(2b + c) 1.

Bi 2.48 : Cho a, b, c > 0 v a2 + b2 + c2 = 1. Chng minh rng :

a3

b + 2c +b3

c + 2a +

c3

a + 2b 13 .

Bi 2.49 : Cho a, b, c > 0 v a2 + b2 + c2 = 1. Chng minh rng :

a3

a + b +b3

b + c +c3

c + a 1

2.

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Bi 2.50 : Cho a, b, c > 0 v ab + bc + ca = 1. Chng minh rng :

a1 + a2

+b

1 + b2+

c1 + c2

32.

Bi 2.51 : Cho a, b, c > 0 v ab + bc + ca = 1. Chng minh rng :

1a(a + b) +

1b(b + c) +

1c(c + a)

92.

Bi 2.52 : Cho a, b, c > 0 v a + b + c = 1. Chng minh rng :

a

(b + c)2 +b

(c + a)2 +c

(a + b)2 94.

Bi 2.53 : Cho a, b, c > 0 v a2 + b2 + c2 = 3. Chng minh rng : abc +

bca +

ca

b 3.Bi 2.54 : Cho a, b, c > 0 v a + b + c = 1. Chng minh rng :

bca + bc

+ca

b + ca+

abc + ab

12.

Bi 2.55 : Cho a, b, c > 0 v a + b + c = 2. Chng minh rng :

bc2a + bc

+ca

2b + ca+

ab2c + ab

1.

Bi 2.56 : Cho a, b, c > 0 v abc = 1. Chng minh rng :

a3

(1 + b)(1 + c) +b3

(1 + c)(1 + a) +c3

(1 + a)(1 + b) 34.

Bi 2.57 : Cho a, b, c > 0 v abc = 1. Chng minh rng :

1a3(b + c) +

1b3(c + a) +

1c3(a + b)

32.

Bi 2.58 : Cho a, b, c > 0. Chng minh rng : 1a +

1b +

1c 2 1

a + b +1

b + c +1

c + a .

Bi 2.59 : Cho a, b, c > 0 v a + b + c 1. Chng minh rng : 1a2 + 2bc +

1b2 + 2ca +

1c2 + 2ab 9.

Bi 2.60 : Cho a, b > 0 v a + b 1. Chng minh rng : 1a2 + b2 +

1ab 6.

Bi 2.61 : Cho a, b > 0 v a + b 1. Chng minh rng : 1a2 + b2 +

1ab + 4ab 7.

Bi 2.62 : Cho a, b, c > 0 v ab + bc + ca = abc. Chng minh rng :

1a + 2b + 3c +

1b + 2c + 3a +

1c + 2a + 3b 0 v a + b + c = 1.Bi 2.64 : Cho x, y, z > 0 v x2 + y2 + z2 = 1. Tm gi tr nh nht ca biu thc :

P =x

y2 + z2 +

yz2 + x2

+z

x2 + y2 .

Bi 2.65 : Cho x, y l hai s thc thay i. Tm gi tr ln nht v gi tr nh nht ca biu thc :

P =(x + y)(1 xy)

(1 + x2)2(1 + y2)2 .

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Bi 2.66 : Cho x, y, z l ba s thc tha mn x + y + z = 0. Tm gi tr nh nht ca

P =

2x + 3 +

2y + 3 +

2z + 3.

Bi 2.67 : Cho cc s thc x, y, z tha mn x + y + z = 6. Chng minh rng : 8x + 8y + 8z 4x+1 + 4y+1 + 4z+1.Bi 2.68 : Cho 0 < a b c d e v a + b + c + d + e = 1. Chng minh rng :

a(bc + be + cd + de) + cd(b + e a) 125 .

Bi 2.69 : Cho a, b, c l ba s dng tha mn iu kin ab + bc + ca = abc. Chng minh rng :

a2

a + bc +b2

b + ca +c2

c + ab a + b + c

4 .

Bi 2.70 : Cho a, b, c l cc s thc dng, chng minh rng :

b + ca +

3 4(b3 + c3)+

c + a

b +

3 4(c3 + a3)+

a + bc +

3 4(a3 + b3) 2.

Bi 2.71 : Cho a, b, c l cc s thc dng, chng minh rng :

1a3 + b3 + abc +

1b3 + c3 + abc +

1c3 + a3 + abc

1abc .

Bi 2.72 : Cho a, b, c l cc s thc dng tha mn abc = 1. Chng minh rng :

a3 + b3a2 + ab + b2 +

b3 + c3b2 + bc + c2 +

c3 + a3

c2 + ca + a2 2.

Bi 2.73 : Cho ba s thc dng a, b, c. Chng minh rng :

2

a

a3 + b2 +2

bb3 + c2 +

2

c

c3 + a2 1

a2+

1b2 +

1c2 .

Bi 2.74 : Cho a, b, c > 0. Chng minh rng :

1a2 + bc +

1b2 + ca +

1c2 + ab

a + b + c2abc .

Bi 2.75 : Cho a, b, c l ba s dng sao cho ab + bc + ca 1. Chng minh rng :

a3

b2 + 1 +b3

c2 + 1 +

c3

a2 + 1

34

.

2.2 Bt ng thc hnh hc

Bi 2.76 : Cho a, b, c R. Chng minh rng :

a2 + b2 + 4c2 + 4ac +

a2 + b2 + 4c2 4ac 2

a2 + b2.

Bi 2.77 : Vi mi a, b, c, d R. Chng minh rng :

a2 + b2 + c2 + d2 + 2ac + 2bd

a2 + b2 +

c2 + d2.

Bi 2.78 : Cho x, y, z > 0. Chng minh rng :

x + 2 y + 3 z

14(x + y + z).

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Bi 2.79 : Cho bn s a, b, c, d R tha mn a2 + b2 = 1 v c + d = 3. Chng minh rng :

ac + bd + cd 9 + 6

24

.

Bi 2.80 : Vi mi a, b, c R. Chng minh rng :

a2 + ab + b2 +

a2 + ac + c2

b2 + bc + c2.

Bi 2.81 : Vi mi x, y R. Chng minh rng :

4 cos2 x cos2 y + sin2(x y) +

4 sin2 x sin2 y + sin2(x y) 2.

Bi 2.82 : Vi mi x, y R. Chng minh rng :

4x2 + y2 + 12x + 9 +

4x2 + y2 4x 6y + 10 5.

Bi 2.83 : Cho a + b + c = 1, ax + by + cz = 4 vi a, b, c , 0. Chng minh rng :

9a2 + a2x2 +

9b2 + b2y2 +

9c2 + c2z2 5.

Bi 2.84 : Cho a, b, c > 0. Chng minh rng :

a2 ab

2 + b2 +

b2 bc

3 + c2 q

a2 ac

2

3 + c2.

Bi 2.85 : Cho a, b, c > 0 v abc + bc + ca = abc. Chng minh rng :

b2 + 2a2ab +

c2 + 2b2

bc +

a2 + 2c2ac

3.

Bi 2.86 : Cho x2 + y2 = 1. Chng minh rng : x2

5 + 2xy y2 5 6.

Bi 2.87 : Cho

8

0.

Bi 2.95 : Cho x l s dng, y l s thc ty . Tm gi tr ln nht, gi tr nh nht (nu c) ca biu thc :

P = xy2

(x2 + 3y2) x +

x2 + 12y2 .

Bi 2.96 : Tm gi tr nh nht ca biu thc P = x2 + y2, vi 2x2 + y2 + xy 1.Bi 2.97 : Cho cc s thc x, y tha mn iu kin : 3

x( 3x 1) + 3y( 3y 1) = 3xy. Tm gi tr ln nht, nh nht ca

biu thc : P = 3

x + 3y + 3xy.

Bi 2.98 : Cho x, y tha mn iu kin : x2 xy+ y2 = 3. Tm gi tr ln nht v nh nht ca biu thc : P = x2 + xy2y2.Bi 2.99 : Cho hai s thc x, y tha mn iu kin : x 3 x + 1 = 3 y + 2 y. Tm gi tr ln nht, nh nht ca biuthc P = x + y.

Bi 2.100 : Cho hai s thc x, y tha mn : x2 + y2 = 2(x + y) + 7. Tm gi tr ln nht, gi tr nh nht ca biu thcP = 3

x(x 2) + 3y(y 2).

Bi 2.101 : Cho cc s thc x, y tha mn : 4x2 3xy + 3y2 = 6. Tm gi tr ln nht, gi tr nh nht ca biu thcP = x2 + xy 2y2.Bi 2.102 : Cho cc s thc x, y tha mn :

x +

y = 4. Tm gi tr ln nht, gi tr nh nht ca biu thc P =x + 1 +

y + 9.

Bi 2.103 : Cho cc s thc x, y tha mn : xy + x + y = 3. Tm gi tr ln nht, gi tr nh nht ca biu thc P =3x

y + 1+

3yx + 1

x2 y2.

Bi 2.104 : Cho a, b 0 v a2 + b2 + ab = 3. Tm gi tr nh nht v gi tr ln nht ca biu thc

P = a4 + b4 + 2ab a5b5.

Bi 2.105 : Cho cc s thc x, y tha mn x + y = 2. Tm gi tr ln nht ca P = (x3 + 2)(y3 + 2).

2.4 Bt ng thc trong cc k thi tuyn sinh H

Bi 2.106 (C08) : Cho hai s thc x, y thay i v tho mn x2 + y2 = 2. Tm gi tr ln nht v gi tr nh nht ca biuthc: P = 2(x3 + y3) 3xy.Bi 2.107 (C10) : Cho hai s thc dng thay i x, y tha mn iu kin 3x + y 1. Tm gi tr nh nht ca biu thcA =

1x +

1xy.

Bi 2.108 (A03) : Cho x, y, z l ba s dng v x + y + z 1. Chng minh rng :

x2 +1x2+

y2 +1y2+

z2 +1z2

82.

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Bi 2.109 (A05) : Cho x, y, z l cc s dng tho mn :1x +

1y +

1z = 4. Chng minh rng :

12x + y + z

+1

x + 2y + z +

1x + y + 2z

1.

Bi 2.110 (A06) : Cho hai s thc x , 0, y , 0 thay i v tho mn iu kin : (x + y)xy = x2 + y2 xy. Tim gi tr lnnht ca biu thc A =

1x3+

1y3 .

Bi 2.111 (A07) : Cho x, y, z l cc s thc dng thay i v tho mn iu kin xyz = 1. Tm gi tr nh nht ca biuthc :

P =x2(y + z)

y y + 2z z +y2(z + x)

z

z + 2x

x+

z2(x + y)x

x + 2y y .

Bi 2.112 (A09) : Chng minh rng vi mi s thc dng x, y, z tha mn x(x + y + z) = 3yz ta c :

(x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) 5(y + z)3.

Bi 2.113 (B05) : Chng minh rng vi mi x R, ta c :12

5

x

+154

x

+203

x

33 + 4x + 5x.Khi no ng thc xy ra.

Bi 2.114 (B06) : Cho x, y l cc s thc thay i. Tm gi tr nh nht ca biu thc :

A =

(x 1)2 + y2 +

(x + 1)2 + y2 + |y 2|.

Bi 2.115 (B07) : Cho x, y, z l ba s thc dng thay i. Tm gi tr nh nht ca biu thc :

P = x

x

2+

1yz

+ y y2+

1xz

+ z

z

2+

1xy

.

Bi 2.116 (B08) : Cho hai s thc x, y thay i v tho mn h thc x2 + y2 = 1. Tm gi tr ln nht v gi tr nh nht

ca biu thc P =2(x2 + 6xy)

1 + 2xy + 2y2 .

Bi 2.117 (B09) : Cho cc s thc x, y thay i tha mn (x + y)3 + 4xy 2. Tm gi tr nh nht ca biu thc :

A = 3(x4 + y4 + x2 + y2) 2(x2 + y2) + 1.

Bi 2.118 (B10) : Cho cc s thc khng m a, b, c tha mn a + b + c = 1. Tm gi tr nh nht ca biu thc M =3(a2b2 + b2c2 + c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2

a2 + b2 + c2.

Bi 2.119 (D05) : Cho cc s dng x, y, z tho mn xyz = 1. Chng minh rng :

1 + x3 + y3

xy +

1 + y3 + z3

yz +

1 + z3 + x3

zx 3

3.

Bi 2.120 (D07) : Cho a b > 0. Chng minh rng : 2a + 12ab

2b + 12ba

.

Bi 2.121 (D08) : Cho x, y l hai s thc khng m thay i. Tm gi tr ln nht v gi tr nh nht ca biu thc :

P =(x y)(1 xy)(1 + x)2(1 + y)2 .

Bi 2.122 (D09) : Cho cc s thc khng m x, y thay i v tha mn x + y = 1. Tm gi tr ln nht v gi tr nh nhtca biu thc :

S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.

Bi 2.123 (D10) : Tm gi tr nh nht ca hm s y =x2 + 4x + 21

x2 + 3x + 10.

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2.5 Bi tp tng hp

Bi 2.124 : Gi s x, y l hai s dng thay i tho mn iu kin x + y = 54. Tm gi tr nh nht ca biu thc :

S = 4x+

14y

.

Bi 2.125 : Gi s a, b, c, d l bn s nguyn thay i tho mn 1 a < b < c < d 50. Chng minh ab +c

d b2 + b + 50

50bv tm gi tr nh nht ca biu thc : S = ab +

c

d .

Bi 2.126 : Cho x, y, z l ba s tho mn x + y + z = 0. Chng minh rng :

3 + 4x +

3 + 4y +

3 + 4z 6.

Bi 2.127 : Chng minh rng vi mi x, y > 0 ta c :

(1 + x) 1 + yx

1 + 9y

2 256.

ng thc xy ra khi no.

Bi 2.128 : Cho a, b, c l ba s dng tho mn a + b + c = 34. Chng minh rng :

3a + 3b + 3

b + 3c + 3

c + 3a 3.

Khi no ng thc xy ra?

Bi 2.129 : Chng minh rng 0 y x 1 th x y y x 14. ng thc xy ra khi no ?

Bi 2.130 : Cho x, y, z l ba s dng v xyz = 1. Chng minh rng :

x2

1 + y+

y2

1 + z+

z2

1 + x 3

2.

Bi 2.131 : Cho x, y l cc s thc tho mn iu kin x2 + xy + y2 3. Chng minh rng :

4

3 3 x2 xy 3y2 4

3 3.

Bi 2.132 : Cho cc s thc x, y, z tho mn iu kin 3x + 3y + 3z = 1. Chng minh rng :

9x3x + 3y+z

+9y

3y + 3z+x+

9z3z + 3x+y

3x + 3y + 3z

4 .

Bi 2.133 : Cho hai s dng x, y thay i v tho mn iu kin x + y 4. Tm gi tr nh nht ca biu thc A =3x2 + 4

4x +

2 + y3

y2 .

Bi 2.134 : Tm gi tr nh nht ca hm s : y = x +112x

+

r

4 1 +

7x2

, x > 0.

Bi 2.135 : Cho x, y, z l cc s thc dng. Tm gi tr nh nht ca biu thc :

P = 3 4(x3 + y3) + 3 4(y3 + z3) + 3 4(z3 + x3) + 2

x

y2 +

yz2 +

z

x2

.

Bi 2.136 : Cho a, b l cc s dng tho mn ab + a + b = 3. Chng minh rng :

3ab + 1 +

3ba + 1

+ab

a + b a2+ b2 + 3

2.

Bi 2.137 : Cho x, y > 0 v xy = 100. Hy xc nh gi tr nh nht ca biu thc P = x2+ y2

x y .

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Bi 2.138 : Gi s phng trnh ax2 + bx + c c hai nghim thuc on [0; 1]. Xc nh a, b, c biu thc P c gi tr nhnht, gi tr ln nht, trong P =

(a b)(2a c)a(a b + c) .

Bi 2.139 : Cho x, y > 0 tha mn x + y = 1. Tm gi tr nh nht ca biu thc P =

x2 +1y2

y2 +1

x2 .

Bi 2.140 : Chng minh cc bt ng thc sau vi a, b, c l cc s nguyn khng m :

3 1 +

a

1 +

b+

1 +

b1 +

c+

1 +

c

1 +

a 3 + a + b + c.

Bi 2.141 (*) : Cho 6 s thc x1, x2, . . . , x6 [0; 1]. Chng minh rng :

(x1 x2)(x2 x3)(x3 x4)(x4 x5)(x5 x6)(x6 x1) 116 .

Bi 2.142 : Cho x, y, z > 0. Chng minh rng : 2xx6 + y4

+2y

y6 + z4+

2zz6 + x4

1x4+

1y4+

1z4 .

Bi 2.143 : Cho x1, x2, x3, x4 > 0 tha mnP

4

i=1 x1 = 1. Hy tm gi tr nh nht ca T =

P

P

4

i=1 x4i

4

i=1 x3i

.

Bi 2.144 : Cho x, y l hai s dng thay i tha mn xy = 1. Tm gi tr ln nht ca biu thc A =x

x4 + y2 +

yx2 + y4

.

Bi 2.145 : Cho hai s thc x, y tha mn x2 + y2 = x + y. Tnh gi tr ln nht, gi tr nh nht ca biu thc

A = x3 + y3 + x2y + xy2.

Bi 2.146 : Cho ba s thc dng x, y, z tha mn iu kin x2 + y2 + z2 3. Tm gi tr nh nht ca biu thc :

P =1

xy + z2 +

1yz + x2

+1

zx + y2 .

Bi 2.147 : Cho ba s dng a, b, c tha mn iu kin ab + bc + ca = 2abc. Chng minh rng

1a(2a 1)2 +

1b(2b 1)2 +

1c(2c 1)2

12.

Bi 2.148 : Cho x, y l cc s thc dng thay i tha mn iu kin xy y 1. Tm gi tr nh nht ca biu thcP =

x2

y2 + 9 y

3

x3 .

Bi 2.149 : Cho cc s thc khng m x, y, z tha mn x2 + y2 + z2 = 3. Tm gi tr ln nht ca biu thc A = xy + yz +zx +

5x + y + z

.

Bi 2.150 : Cho cc s thc dng x, y, z tha mn x+y+z = 1. Tm gi tr nh nht ca biu thc P = x3

x2 + yz+

y3

y2 + zx+

z3

z2 + xy.

Bi 2.151 : Cho x, y, z > 0 tha mn 13x + 5y + 12z = 9. Tm gi tr ln nht ca biu thc A = xy2x + y

+3yz

2y + z +

6xz2z + x

.

Bi 2.152 : Cho cc s thc x, y, z tha mn iu kin x2 + y2 + z2 = 3. Tm gi tr ln nht ca A = x3(y + z) + y3(z + x) +z3(x + y).Bi 2.153 : Gi s x, y, u, v R tha mn iu kin x2 + y2 = 1, u2 + v2 + 16 = 8u + 4v. Tm gi tr ln nht ca biu thcM = 8u + 4v 2(ux + vy).

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Bi 2.154 : Cho a, b, c l cc s thc dng thay i v tha mn iu kin a + b + c =

3. Tnh gi tr nh nht ca

P =

a2 + ab + b2 +

b2 + bc + c2 +

c2 + ca + a2.

Bi 2.155 : Cho x, y R tha mn x2 + y2 2x 4y + 4 = 0. Chng minh rng

x2 y2 + 2

3xy 2(1 + 2

3)x + (4 2

3)y 5 4

3.

Bi 2.156 : Gi s x, y, z l cc s thc tha mn x + y + z = 6. Chng minh rng

8x + 8y + 8z 4x+1 + 4y+1 + 4z+1.

Du ng thc xy ra khi no ?

Bi 2.157 : Cho cc s thc dng x, y, z tha mn x + y + z = 1. Tm gi tr nh nht ca biu thc :

P =x2(y + z)

yz+

y2(z + x)zx

+z2(x + y)

xy .

Bi 2.158 : Cho a, b, c l cc s dng tha mn abc = 8. Hy tm gi tr ln nht ca biu thc

P =1

2a + b + 6 +1

2b + c + 6 +1

2c + a + 6 .

Bi 2.159 : Cho x, y > 0 v tha mn x + y = 1. Chng minh rng x1 x2

+ y

1 y2 2

3.

Bi 2.160 : Cho hai s thc khng m x, y tha mn x2 + y2 + xy = 3. Tm gi tr ln nht, gi tr nh nht ca biu thc

P = x3 + y3 (x2 + y2).

Bi 2.161 : Cho a, b, c l cc s thc khng m, khc nhau tng i mt v tha mn iu kin ab + bc + ca = 4. Chngminh rng

1(a b)2 +

1(b c)2 +

1(c a)2 1.

Bi 2.162 : Cho x, y, z l ba s thc thuc (0; 1]. Chng minh rng1

xy + 1 +

1yz + 1

+1

zx + 1 5

x + y + z.

Bi 2.163 : Cho a, b, c l di ba cnh ca mt tam gic. Chng minh rng

a

13a + b +

13a + c

+2

2a + b + c

+b

3a + c+

c

3a + b < 2.

Bi 2.164 : Cho a, b, c l nhng s dng tha mn a2 + b2 + c2 = 3. Chng minh rng

1a + b +

1b + c +

1c + a

4a2 + 7

+4

b2 + 7 +4

c2 + 7.

Bi 2.165 : Cho x, y R, chng minh rng |x y|1 + |x y|

|x|1 + |x| +

|y|1 + |y| .

Bi 2.166 : Cho hai s dng x, y tha mn x + y = 5. Tm gi tr nh nht ca biu thc P = 4x + yxy

+2x y

4 .

Bi 2.167 : Cho a, b, c l cc s thc dng tha mn a + b + c = 1. Tm gi tr nh nht ca P = (1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 a)(1 b)(1 c) .

Bi 2.168 : Cho a, b, c l cc s thc dng tha mn a + b + c = abc. Chng minh rng :

1. c

ab 1 +

1 + c2;

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2. ab + bc + ca 3 +

a2 + 1 +

b2 + 1 +

c2 + 1.

Bi 2.169 : Cho a, b, c l cc s thc dng tha mn ab + bc + ca = 3. Chng minh rng :

11 + a2(b + c) +

11 + b2(c + a) +

11 + c2(a + b)

1abc .

Bi 2.170 : Cho x, y, z l cc s thc dng tha mn xyz = 1. Chng minh rng :

1x + y + 1

+1

y + z + 1+

1z + x + 1

1.

Bi 2.171 : Cho x, y, z > 0. Chng minh rng 2

x

x3 + y2 +

2 yy3 + z2

+2 z

z3 + x2 1

x2 +

1y2 +

1z2 .

Bi 2.172 : Cho a, b, c l di ba cnh ca mt tam gic. Chng minh rng :

4ab + c a +

9bc + a b +

16ca + b c 26.

Bi 2.173 : Cho cc s thc khng m a, b. Chng minh rng :

a2 + b + 34

b2 + a + 34

2a + 12

2b

+12

.

Bi 2.174 : Cho cc s thc dng a, b, c thay i tha mn a + b + c = a. Chng minh rng :

a2 + bb + c +

b2 + cc + a

+c2 + a

a + b 2.

Bi 2.175 : Cho cc s thc dng x, y, z. Chng minh rng :

x2 xyx + y

+y2 yzy + z

+z2 zxz + x

0.

Bi 2.176 : Cho cc s dng a, b, c tha mn abc = 1. Chng minh rng

1a2 +

1b2 +

1c2 + 3 2(a + b + c).

Bi 2.177 : Cho ba s dng x, y, z tha mn x + y + z = yz3x

. Chng minh rng x 2

3 36 (y + z).

Bi 2.178 : Cho cc s thc x, y tha mn 0 x 3 v 0 y

3 . Chng minh rng cos x + cos y 1 + cos(xy).

Bi 2.179 : Cho s nguyn n (n > 2) v hai s thc khng m x, y. Chng minh rng n

xn + yn

n+1 xn+1 + yn+1. ng

thc xy ra khi no?

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