FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE

Aplikácie metód neštandardnej analýzy

DIPLOMOVÁ PRÁCA

2009 Juraj Holos

Aplikácie metód neštandardnej analýzy

DIPLOMOVÁ PRÁCA

Juraj Holos

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

KATEDRA MATEMATICKEJ ANALÝZY A NUMERICKEJ MATEMATIKY

9.1.1 MATEMATIKA

Vedúci diplomovej práce prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc.

BRATISLAVA 2009

3

Čestne prehlasujem, že som svoju diplomovú prácu napísal samostatne a výhradne s použitím citovanej literatúry.

4

Chcel by som sa poďakovať pánovi profesorovi Zlatošovi za pomoc a za jeho čas, ktorý mi venoval nielen pri tvorbe tejto práce.

5

Obsah

Abstrakt ............................................................................................................................................. 6

Úvod .................................................................................................................................................. 7

Čo a načo je neštandardná analýza?............................................................................................... 10

1. Cantorova konštrukcia reálnych čísel ......................................................................................... 13

2. Hyperreálne čísla ........................................................................................................................ 25

3. Základy neštandardnej analýzy ................................................................................................... 34

3.1. Úvod do logiky ..................................................................................................................... 34

3.2. Ultraprodukty a ich aplikácie ............................................................................................... 38

3.3. Neštandardné modely hyperreálnych čísel ......................................................................... 43

4. Základy infinitezimálneho kalkulu na � ...................................................................................... 47

4.1. Spojitosť ............................................................................................................................... 48

4.2. Diferenciálny počet .............................................................................................................. 52

4.3. Integrálny počet ................................................................................................................... 56

Záver ............................................................................................................................................... 60

Bibliografia ...................................................................................................................................... 61

Zoznam obrázkov

Obrázok 1 - Mnohouholník vpísaný do kruhu1 ............................................................................... 47

Obrázok 2 – Ilustrácia výpočtu derivácie funkcie v bode2 .............................................................. 52

1 Prevzaté z ���� a následne upravené. 2 Prevzaté z ���� a následne upravené.

6

Abstrakt

Bc. Juraj Holos, Aplikácie metód neštandardnej analýzy, Diplomová práca, Univerzita Komenského, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, Katedra matematickej analýzy a numerickej matematiky, školiteľ: prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc.

Práca podáva Cantorovu konštrukciu reálnych čísel a konštrukciu hyperreálnych čísel z reálnych čísel pomocou ultrafiltrov. Ďalej pojednáva o základoch neštandardnej analýzy a ich aplikácii na reálne čísla. Ukáže alternatívnu konštrukciu reálnych čísel pomocou ultrafiltrov. Posledná časť práce sa venuje budovaniu základných pojmov matematickej analýzy na reálnych číslach pomocou nekonečne malých a nekonečne veľkých hyperreálnych čísel.

Kľúčové slová: neštandardná analýza, reálne a hyperreálne čísla, nekonečne malé čísla, ultrafilter, ultraprodukt

7

Úvod

Cieľom práce je priblížiť základné pojmy neštandardnej analýzy a ich využitie. My sa sústredíme na použitie metód neštandardnej analýzy na rehabilitáciu techník, ktoré používali zakladatelia infinitezimálneho počtu. To jest výpočtov, v ktorých vystupovali nekonečne malé a nekonečne veľké veličiny.

Matematická analýza sa stala jednou z najdôležitejších matematických disciplín. Umožnila zachytiť pohyb alebo inak povedané nejakú zmenu v závislosti od nejakej veličiny (napr. času). Preto sa stala základom pre modernú fyziku. Sama však pevné základy v podobe, ktorú jej dali Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz, nemala. Problém bol v samotnom chápaní reálnych čísel, ešte presnejšie v „aritmetizovaní priamky“, v priraďovaní čísel bodom priamky. Nadnesene povedané v „aritmetizovaní geometrického názoru“. Leibniz a Newton k reálnym číslam pristupovali intuitívne vychádzajúc z „naivnej“ predstavy kontinua. Úvodzovky sú na mieste, veď doteraz sa vedú spory o tom, ako sa na kontinuum vlastne pozerať. Môžeme ju naivnou nazvať azda len preto, že napriek ich nemalej snahe nevedeli popísať, s akými pojmami to vlastne pracujú. A vďaka tomu sa neopatrný počtár mohol ľahko dopustiť chyby3.

Nečudo, že matematici sa s týmto stavom nechceli zmieriť. Pretože ani úporná snaha o nejaké plauzibilné vysvetlenie pojmu nekonečne malej veličiny nepriniesla ovocie, rozhodli sa matematici vybudovať matematickú analýzu bez infinitezimálií4, a teda vlastne bez aktuálneho nekonečna. Toto úsilie o upevnenie základov infinitezimálneho počtu trvalo viac ako jeden a pol polstoročia. Ak to povieme stručne, tak nástrojom, ktorý to umožnil, bol pojem limity. Hoci sa implicitne vyskytoval v prácach niektorých matematikov (napr. D´Alambert) už v 17. storočí, prvý, kto ho definoval, bol Bernard Bolzano v roku 1817. Jeho práce sa ale objavili až začiatkom 20. storočia. Teda tým, kto pojem limity sprístupnil matematickej komunite, bol v roku 1821 Augustin Louis Cauchy. Vďaka limite bolo možné zachytiť pojem „blíženia sa“ dvoch veličín. Matematikom, ktorý budovanie základov matematickej analýzy dokončil, bol Karl Weierstrass. Niekedy v sedemdesiatych rokoch 19. storočia zaviedol �� definíciu limity, spojitosti a derivácie v podobe, ktorá sa vyučuje dodnes. Tým sa z matematiky nekonečne malé veličiny stratili.

Napriek tomu, že matematika sa nekonečne malých veličín zbavila, fyzici sa ich nevzdali nikdy a pomocou nich dosahovali pozoruhodné výsledky5. Až

3 No, neopatrný ako neopatrný. Chybám sa nevyhli ani taký géniovia ako Euler. 4 Neprajník by mohol povedať, že problému ušli. Prajník by však oponoval, pretože matematikom v prvom rade nešlo o nekonečne malé veličiny ale o istotu a pevné základy analýzy. 5 Napríklad zostavovanie diferenciálnych rovníc sa bez infinitezimálnych úvah zaobíde ťažko.

8

v šesťdesiatych rokoch 20. storočia Abraham Robinson objavil spôsob, ako modelovať nekonečne malé veličiny. A my využijeme jeho postupy.

Prvá časť práce, ako už napovedá jej názov „Čo a načo je neštandardná analýza“, slúži ako stručný náčrt. Povieme si, o čom zhruba neštandardná analýza je a aký má zmysel sa ňou zapodievať.6

V prvej kapitole si priblížime Cantorovu konštrukciu poľa reálnych čísel � a dokážeme o ňom, že je archimedovské. Inak povedané, nenachádzajú sa v ňom nekonečne malé veličiny, a teda prirodzene sa v ňom nedajú opakovať postupy, ktorými Newton a Lebniz budovali diferenciálny a integrálny počet.7

Neštandardnú analýzu môžeme zaradiť k matematickým teóriám pracujúcim s konceptom ideálnych prvkov. Ich zavedenie vo všeobecnosti umožňuje zjednodušenie danej matematickú teórie a umožňuje nový vhľad do jej problémov. Spomeňme si napríklad na konštrukciu komplexných čísel alebo na zavedenie bodov v nekonečne v projektívnej geometrii. Neštandardná analýza umožňuje zaviesť ideálne prvky, ktoré sú nekonečne blízko objektov, s ktorými pracujeme, alebo na druhej strane sú od nich nekonečne ďaleko.

V druhej kapitole skonštruujeme poľa hyperreálnych čísel � z reálnych čísel a pole hyperracionálnych čísel z racionálnych čísel pomocou ultrafiltra. Ukážeme, že polia � a sú vnorené do � a zároveň, že � obsahuje prvky menšie než ľubovoľné reálne číslo. Ďalej skonštruujeme faktorovú množinu konečných hyperreálnych čísel podľa nekonečne malých čísel a ukážeme, že je izomorfná s reálnymi číslami. 8

Uvedomme si, že samotné zavedenie takýchto ideálnych prvkov k reálnym číslam nie je až také náročné. Problémy nastávajú akonáhle chceme na takéto prvky aplikovať nejaké transcendentné funkcie. Mohlo by nás zvádzať napísať ako Leibniz �� �� � ��� � �� � � �� � ���� �� � �� � ��� � �� ��, kde �� je ideálny prvok nekonečne blízko k �. Uvedomme si ale, že tu vyvstávajú hneď dva problémy. Jednak to, že sínus je zadefinovaný len pre reálne čísla a druhak nevieme, či platia súčtové vzorce pre sínus, ak je argument tvaru � � ��. Tieto problémy dokážeme vyriešiť s pomocou matematickej logiky. Leibniz v podstate anticipoval riešenie týchto ťažkostí tým, že reálnym číslam obohateným o nekonečne malé a nekonečne veľké veličiny pripísal tie isté vlastnosti, aké majú čísla reálne. My tento Leinizov postulát sformalizujeme v tretej kapitole.

Tretia kapitola je rozdelená na tri časti. Prvú časť venujeme výkladu základných pojmov z logiky.9 Tie nám v druhej časti poslúžia na vybudovanie

6 Pri jej písaní sme použili zdroje ��� str. 1-4, ��� a ����. 7 Prvá kapitola je spracovaná na podľa���� str.11-60 a ���� str. 33-78. 8 Druhá kapitola je spracovaná s pomocou ��� str.174-193, ���� str. 11-22, ���� str. 9-46. 9 Prvá časť tretej kapitoly je spracovaná na základe ��� str.51-83,��� str.7-10,��� str. 18-36 a ���, ����.

9

základných pojmov neštandardnej analýzy. Zavedieme pojem ultraproduktu štruktúr nejakého jazyka � logiky prvého rádu a dokážeme základnú vetu o ultraproduktoch. Tá nám umožní skrz pravdivosti formúl v štruktúrach jazyka � nachádzajúcich sa v ultraprodukte rozhodovať o pravdivosti formúl jazyka � v samotnom ultraprodukte. Ďalej zaručí, že prvorádové vlastnosti sa prenášajú medzi štruktúrami a ich ultraproduktom. Vlastne práve o tomto hovoril Leibniz.10 V tretej časti sa budeme venovať aplikovaniu poznatkov o ultraproduktoch na reálne čísla. Najdôležitejším výsledkom tejto poslednej časti tretej kapitoly bude „natiahnutie“ všetkých funkcií a relácií z � na �. Ako aplikáciu si ukážeme alternatívna konštrukcia reálnych čísel z čísel racionálnych.11

V štvrtej kapitole využijeme hyperreálne čísla na alternatívne definovanie pojmov spojitosti, derivácie a integrálu pomocou nekonečne malých čísel. Ukážeme, že tieto definície sú ekvivalentné �� definíciám týchto pojmov a dokážeme si niektoré základné tvrdenia diferenciálneho počtu. Takto v istom zmysle zrehabilitujeme výpočty, ktoré robili zakladatelia infinitezimálneho kalkulu.12

10 Druhá časť tretej kapitoly je spracovaná na základe ��� str. 211-449. 11 V tretej časti tretej kapitoly sme využili ��� str. 36-56. 12 Štvrtú kapitolu sme spracovali s pomocou ��� str. 45-67, ����, ���� str. 32-83 a ���� str. 53-127.

10

Čo a načo je neštandardná analýza?

Môžeme zjednodušene povedať, že neštandardná analýza je technika, pomocou ktorej môžeme modelovať a skúmať nekonečne malé a veľké veličiny. V našom prípade to budú akési „čísla“, ktoré sú síce kladné, ale napriek tomu menšie než ľubovoľné číslo reálne a vice versa. Ako ale takéto čísla nájsť? A aký to má zmysel?

Odpoveď na prvú otázku dali s časti koncom päťdesiatych rokov minulého storočia nemecký matematici Curt Schmieden a Detlef Laugwitz. Základná myšlienka je vcelku jednoduchá. Zobrali všetky nekonečné postupnosti reálnych čísel.13

Pracovali s prvkami priestoru ��. Teda reálne čísla stotožnili s nekonečnými postupnosťami tvaru ��� !"� . Sčitovanie a násobenie funguje po zložkách a takisto po zložkách sa tieto postupnosti aj porovnávajú. Teda napríklad:

#"$ % "& % "' % ( ) � #"* % "+ % ", % ( ) � #+' % -$. % "*&$ % ( ),

�/% / � �% / � �%( ��0% 0% 0% ( � � �/0% /0 � 0% / � �0%( �, #"$ % "& % "' % ( ) 1 #"* % "+ % ", % ( ), lebo

"$ 1 "* % "& 1 "+ % "' 1 ", % ( atď.

Prvý takúto konštrukciu14 urobil Cantor, keď zavádzal reálne čísla pomocou racionálnych. On ale zobral iba fundamentálne postupnosti racionálnych čísel15. Označme si túto množinu 2. Ak zavedieme sčitovanie a násobenie po zložkách, potom �2%�%3% �% �� je okruh. Množina 4 prvkov z 2, takých že 5�6 7� 8 � � je ideál v 2. To jest môžeme 2 faktorizovať podľa 4. Tým rozbijeme množinu 2 na triedy ekvivalencie. A práve tie Cantor prehlásil za reálne čísla. Vráťme sa ale späť k Schmiedenovi a Laugwitzovi.

Skonštruujme číslo Y � ��% �% �%( % 9%( �. Ľahko sa o ňom presvedčíme, že je väčšie než ľubovoľné reálne číslo � � :�; !"� ,<� = �. Vďaka Archimedovej axióme totiž platí, že od nejakého indexu<9 = � pre >? = �%?< 1 9 máme<� � �@ A ?.16 Teda Y je na nekonečne veľa miestach väčšie než �. Ak si vezmeme postupnosť čísel<Y � �,<Y � �,<(, vidíme, že sme vlastne istým spôsobom17 predĺžili radu prirodzených čísel o čísla nekonečne veľké. Podobne môžeme skonštruovať aj čísla Y � B pre � = �.

13 Pracovali teda s prvkami množiny ��. 14 To jest konštrukciu pracujúcu s nekonečnými postupnosťami. 15 Postupnosť 8 � �8 � !"� je fundamentálna, ak >� 1 �% C9 = �% �0<>? 1 9D<E8@ � 8 E A �. 16 Teda E je na nekonečne veľa miestach väčšie než �. Intuícia nám napovedá, že to stačí na to, aby<E 1 �. Neskôr túto úvahu spresníme. 17 No možno skôr veľmi neistým, ale vrátime sa k tomu.

11

Na druhej strane sme získali aj čísla nekonečne malé. O tom, že napríklad

číslo � � "Y� #"" % "$ % "* % ( % " % ( ) je také, isto netreba nikoho presviedčať. Podobne

môžeme vytvoriť aj čísla �F � "YGH pre � = �. Týmto spôsobom sme vlastne doplnili,

rozšírili reálne čísla. Okolo každého čísla sme utvorili akýsi „oblak“ z nekonečne malých čísel, ktoré ho obklopujú. Množinu reálnych čísel doplnenú o čísla nekonečne malé budeme nazývať hyperreálnymi číslami.

Mali by sme sa zamyslieť nad tým, ako porovnávať postupnosti, ak sa líšia v nejakom počte indexov a zároveň zas v inom počte indexov sa rovnajú. Aký rozdiel bude medzi číslami ��% �% �%( % 9%( � a ��% �% �%( % 9%( �? Alebo medzi číslami ��% �% �%( %�%( �, ��% �% �% I%(�% �9 � �%( � a �<�% �% I(�9 � �% �%( �? Vyvstáva tu taký istý problém ako napríklad pri konštruovaní racionálnych čísel s čísel celých.

Totižto aký je rozdiel medzi číslami "$ a

$&? A čo potom postupnosti ��% �% �%( %�%( �, ��% �% �% I%( % �% �9 � �%( � a �<�% �% I( %�9 � �% �( �? V sme to vyriešili tak, že pre zlomky sme zaviedli triedy ekvivalencie a racionálne čísla stotožnili s nimi. Takýmto spôsobom budeme postupovať aj tu. Otázka ale je, ako a aké triedy ekvivalencie máme vytvoriť.

Intuitívne by sme povedali, že triedy ekvivalencie budú tvoriť čísla, ktoré sa líšia len v konečne veľa členoch. Touto cestou sa vydali už spomínaný Schmieden

a Laugwitz. Za ideál v �� vzali množinu J � :K% K = ��% E:9% K L �;E A M.;, teda množinu všetkých postupností, ktoré majú len konečne veľa nenulových členov.

Toto je však slepá ulička, pretože prvky množiny �� JN nebudú tvoriť pole – budú

medzi nimi delitele nuly18. Riešenie tejto ťažkosti ponúkol A. Robinson.

Iným spôsobom zaviedol nekonečne malé čísla Edward Nelson. Zjednodušene môžeme povedať, že k axiómam ZF teórie množín pridal ďalšie tri19 �O% P% Q�. Pomocou nich dokázal vytvoriť model reálnych čísel, v ktorom boli priamo zahrnuté aj čísla nekonečne malé. Musel ale ukázať, že ZF teória množín s axiómami O% P% Q je bezosporná. A to sa mu aj podarilo. Ukázal, že ak je sporná jeho teória, ktorú nazval OPQ, tak sporná je aj ZF teória množín.20

Rozdiel prístupov Robinsona a Nelsona si môžeme ilustrovať príkladom, ktorý vymyslel doc. Kupka. Predstavme si dvoch otcov, ktorých deti milujú zvieratá. Rozhodnú sa pomôcť im v ich spoznávaní. Prvý otec zaplatí výlet do Brazílie a tam uvidia pumy, sladkovodné delfíny, pirane, a tak ďalej. Samozrejme, že tento výlet stál veľa peňazí i námahy. Druhý otec si povedal, že za neznámymi zvieratami predsa

18 Ako uvidíme neskôr. 19 Idealisation, Standardisation, Transfer 20 Toto nám môže pripomínať bezospornosť neeuklidovských geometrií – ak sú sporné, sporná je aj euklidovská geometria. Teda je to relatívna bezospornosť.

12

netreba nikam cestovať a kúpil deťom mikroskop. Doma sa doň s deťmi pozreli a zbadali roztoče, pavúčiky, blchy...21

Robinson konštruoval nekonečne malé a veľké čísla (neboli tu a už sú), zakiaľ čo Nelson akoby zmenil naše pozorovacie stanovisko (boli tu stále, len my sme ich nedokázali vidieť). Dôležité ale je, že sa dopracovali k tomu istému – modelovali nekonečne malé a veľké veličiny a umožnili tak počítanie s aktuálnym nekonečnom.

Pred odpoveďou na druhú otázku sa najprv zamyslime nad názvom neštandardná analýza. Ukrýva v seba jemný paradox. Na jednej strane jej názov hovorí o tom, že vznikla využitím neštandardných modelov teórie množín, no na druhej strane samotný infinitezimálny kalkulus sa zrodil pomocou nekonečne malých veličín. Teda v istom zmysle je ��- analýza „menej štandardná“ než neštandardná analýza.

Sčasti nám to odpovedá na našu otázku. Pomocou modelov reálnych čísel, ktoré nám priniesol Robinson, môžeme exaktne opakovať úvahy stojace na počiatku infinitezimálneho počtu. Ich ďalšou výhodou je väčšia jasnosť základných pojmov a dôkazov než v ��- analýze22, to jest sú tu dôvody pedagogické. A v neposlednom rade sú tu aj dôvody technické. Niektoré úvahy sa pomocou neštandardnej analýzy dajú výrazne zjednodušiť a skrátiť. V skratke máme tri motivácie pre skúmanie neštandardnej analýzy – historické, pedagogické a technické.

21 Samozrejme, ako každé prirovnanie aj toto pokrivkáva, pretože neštandardná analýza skúma aj nekonečne veľké čísla. Teda prvý otec by musel deťom zaplatiť aj výlet na Jupiter, kde by mohli nájsť obrovské žijúce plynové oblaky, ako ich opisuje A. C. Clarke vo Vesmírnej odysei 2010. Druhý otec by zas musel svojim ratolestiam zaopatriť teleskop, ktorým by sa na jupiterskú faunu mohli pozrieť. 22 Tu musíme spomenúť snahy prof. Vopěnku, ktorý sa historickými a pedagogickými aspektmi neštandardnej analýzy podrobne zaoberal.

13

1. Cantorova konštrukcia reálnych čísel

Ako sme už spomenuli, Cantor skonštruoval reálne čísla pomocou fundamentálnych postupností čísel racionálnych. Je legitímne pýtať sa, prečo Cantor robil túto konštrukciu.

Prvým dôvodom je to, že pole nie je spojito usporiadané. Na to stačí ukázať, že v ňom existuje zhora ohraničená množina, ktorá nemá supremum. Poslúži nám

známy príklad množiny kladných racionálnych čísel menších než R�, ktorý sa preberá hádam v každom úvodnom kurze matematickej analýzy.

Po druhé pole je neúplné23. Neúplnosťou rozumieme to, že v existuje fundamentálna postupnosť, ktorá tu nemá limitu. Takou postupnosťou je napríklad

postupnosť :8 ; !"� , 8 � � � ""S � "$S�(� " S. Aj tento príklad je známy začínajúcim

študentom matematiky.

Uvedomme si, že intuitívnu predstavu o reálnych číslach mali napríklad aj Newton a Leibniz. Reálne čísla chápali tak, že je to množina čísel, ktorá sa dá bijektívne zobraziť na priamku. Vedeli aj, že ku každému „reálnemu“ číslu dá sa priblížiť ľubovoľne blízko. Lenže takáto predstava nestačila. Cantorova konštrukcia spočíva vlastne v tom, že sa rozhodol všetky tieto priblíženia zobrať v ich „uskutočnení“. A čo je ešte dôležitejšie, zaviedol medzi týmito „uskutočneniami“, teda fundamentálnymi postupnosťami ekvivalenciu.24 Toto bol dôležitý moment, pretože Newton ani Leibniz nerozlišovali medzi rovnosťou a ekvivalenciou.

Povedali sme si o dvoch nedostatkoch poľa racionálnych čísel, vďaka ktorým bola potrebná konštrukcia dokonalejšej číselnej štruktúry – poľa reálnych čísel. Teraz si podrobnejšie ukážeme, ako Cantor postupoval pri jeho zavádzaní.

Na množine fundamentálnych postupností 2 zavedieme reláciu ekvivalencie, vďaka ktorej sa nám 2 rozpadne na triedy ekvivalencie. Na množine tried ekvivalencie � zadefinujeme dve operácie (sčítanie a odčítanie) a ukážeme, že � s týmito operáciami tvorí pole. Jeho prvky budeme nazývať reálnymi číslami.

Dohodnime sa, že postupnosti racionálnych čísel :T ; !"� , :U ; !"� , T ,<U = budeme pre jednoduchosť označovať T% U. Ďalej ak T% U sú postupnosti racionálnych čísel, tak definujeme

T � U � :T � U ; !"� , T � U � :T � U ; !"� ,<TU � :T U ; !"�

a ak U L � pre každé 9 = �, tak 23 Na tento problém narazili už pytagorejci, keď zistili, že v racionálnych číslach nedokážu vyjadriť ani takú jednoduchú vec, akou je uhlopriečka štvorca so stranou dĺžky �. 24 Uvedomme si, že pojem faktorová množina, hoc technicky jednoduchý, nie je starší ako 130 rokov. A možno preto je to pojem, ktorý študentom zo začiatku robí značné potiaže.

14

VW � XYZ[Z\ !"�

Postupnosti T � U,<T � U,<TU, resp. VW budeme nazývať súčet, rozdiel, súčin,

resp. podiel postupností T% U.

Na množine<2 zavedieme reláciu ] takto:

T]U (T je ekvivalentné z U) ^U_ 5�6 7��T � U � � �

Sformulujme o relácii ] nasledovnú vetu.

Veta 1.1. Relácia ] je reláciou ekvivalencie.

Dôkaz vety je jednoduchý, a preto ho neuvádzame.

Vďaka vete 1.1. môžeme faktorizovať množinu 2 podľa ]. Označme

symbolom � množinu 2 ]` . Jej prvky budeme označovať �T�% �U�,.... Teraz by sme chceli na � definovať operácie sčitovania a násobenia. Urobíme to tak, aby tieto operácie zodpovedali operáciám na množine fundamentálnych postupností. Teda �T� � �U� � �T � U�, �T��U� � �TU�.

Vyvstávajú tu dva problémy. Musíme jednak zistiť, či �T � U�, resp. �TU� patrí do 2 a druhak, či výsledok sčítania, resp. násobenia tak, ako sme ho zadefinovali, nezáleží od voľby reprezentanta. Aby sme mohli tieto problémy vyriešiť, budeme potrebovať nasledujúce pomocné vety.

Lema 1.2. Ak<T a :�; !"� , tak existuje � = kladné a ? = � také, že pre každé 9 1 ? platí ET E b � 1 �.

Dôkaz: Z definície relácie ] a z predpokladu lemy vidíme, že existuje nejaké c kladné racionálne, že pre nekonečne veľa ? platí ET@E b c 1 �. Označme symbolom d. množinu týchto ?. Potom môžu nastať dve možnosti:

�e� pre nekonečne veľa ? z d. platí T@ 1 �,

�ee� pre nekonečne veľa ? z d. platí T@ A �.

Pozrime sa bližšie na prípad �e�. Vieme, že T je fundamentálna postupnosť, to jest existuje také prirodzené číslo ^, že pre všetky prirodzené _% 9 1 ^ platí ETf � T E A g$. Zvoľme teraz ? = d. väčšie ako ^. Potom T@ 1 �. Nech aj 9 1 ^.

Potom T � T@ � �T � T@� a z toho odvodíme, že T b T@ � ET � T@E, a teda T b c � g$ � g$. Podobne overíme aj prípad �ee�. Pretože T je fundamentálna a T a :�; !"� , tak prípady �e� a �ee� nemôžu nastať súčasne. Vidíme, že stačí za � zvoliť g$ a dôkaz je hotový.

h

15

Lema 1.3. Každá fundamentálna postupnosť poľa je ohraničená.

Dôkaz: Nech 8 = 2. Zvoľme kladné � = . Potom teda existuje 9 = � také, že pre všetky prirodzené čísla _% i b 9 platí E8f � 8jE A �. Označme k � ?c�:E8"E% E8$E%( % E8 E;. Teraz E8@E l E8@ � 8 E � E8 E A � � E8 E pre všetky ? b 9. To jest E8@E A <� � km

h

Lema 1.4. �n� Nech T% U = 2. Potom aj T � U% T � U% TU = 2.

�nn� Nech T% U = 2. Nech U L � pre každé 9 = � a nech U a :�; !"� . Potom aj Y[ = 2.

Dôkaz: �n� Nech � = je kladné. Pretože T% U = 2, tak existuje<9 = �, že pre všetky prirodzené čísla _% i b 9 platí

ETf � TjE A o$ a EUf � UjE A o$

Potom ale pre<_% i 1 ? dostávame

E�Tf � Uf� � �Tj � Uj�E l ETf � TjE � EUf � UjE l �� � �� � �

Podobne to môžeme urobiť pre<T � U.

Ešte nám načim ukázať, že TU = 2. Počítajme

ETfUf � TjUjE � ETfUf � TfUj � TfUj � TjUjE l ETfEEUf � UjE � EUjEETf � TjE Z lemy 1.2. vieme, že existuje k = také, že ET@E% EU@E A k pre všetky ? = �.

Potom za � nám stačí zvoliť číslo p$q, a teda ETfUf � TjUjE A p$ � p$ � <�. Preto TU = 2.

r

�nn� Máme

sYt[t � Yu[us � sYt[uvYt[twYt[tvYu[t[t[u s � < xYt[uvYt[twYt[tvYu[txx[txx[ux <l < xYtxx[uv[txwx[uxxYtvYuxx[t[ux

Vieme, že U a :�; !"� , a teda na základe lemy 1.1. existuje<� = kladné také, že pre

každé 9 1 ? platí EU E b � 1 �. To ale znamená, že

sYt[t � Yu[us A yz{:ETfEEUj � UfE � EUjEETf � TjE;. Nech � = je kladné. Podobne ako pri dôkaze<TU = 2 ukážeme, že výraz

ETfEEUj � UfE � EUjEETf � TjE je menší než � � p|{. Ale to znamená, že sYt[t � Yu[us A �, to jest Y[ = 2.

16

h

Touto lemou sme zodpovedali otázku uzavretosti 2 vzhľadom na sčítanie a násobenie. Teraz sa pozrieme na to, či je výsledok zadefinovaných operácií nezávislý od výberu reprezentantov.

Lema 1.5. �n� Nech T% U% T%% U % = 2. Nech T]T%, U]U %. Potom aj

�T � U�]�T% � U %�% �T � U�]�T% � U %�% �TU�]�T%U %� = 2.

�nn� Nech T% U% T%% U % = 2. Nech U L � L U % pre každé 9 = � a nech U a :�; !"� . Potom aj U % a :�; !"� = 2 a Y[<]<Y%[% .

Dôkaz: Je podobný dôkazu predchádzajúcej lemy. Dokážeme len �ee�. �nn� Najprv si uvedomme, že U % a :�; !"� . Pretože U a :�; !"� , tak z lemy 1.1. dostávame, že existuje � = kladné a ? = � také, že pre každé 9 1 ? platí EU E b � 1 �. Z predpokladu U]U % vyplýva 5�6 7��U � U % � � �. Ale ak by platilo U %]:�; !"� , tak 5�6 7��U � U % � sa 0 rovnať nemôže, čo je spor s

predpokladom<U]U %. Potrebujeme ešte ukázať, že }Y[]<Y%[%~, to jest 5�6 7� #YZ[Z � <YZ%[Z% ) � �. Máme

VZWZ � VZ%WZ% � VZWZ% �VZWZGVZWZ�VZ% WZWZWZ% � <VZWZ% �VZWZGVZWZ�VZ% WZWZWZ% <� YZ}[Z% v[Z~[Z[Z% � �VZ% �VZ�WZ%

Ale pretože T]T%, U]U % a všetky členy postupností T% U% T%% U % sú ohraničené, tak

dostávame, že 5�6 7� #YZ[Z � <YZ%[Z% ) � �.

h

Vďaka leme 1.3. a leme 1.4. nám už nič nestojí v ceste pri definovaní základných operácií na množine �. Prvky � budeme kvôli prehľadnosti označovať malými gréckymi písmenami.

Definícia 1.6. �n� Nech � � �T� = �% � � �U� = �. Potom definitoricky kladieme

� � <� � �T � U�, � � <� � �T � U�, �<� � �TU�.

�nn� Nech<� � �T� = �% � � �U� = �, �U� L ��%�%( �. Potom definitoricky kladieme

�� � �Y[�. Teraz si môžeme sformulovať vetu o základných vlastnostiach operácií na �.

17

Veta 1.7. Nech �% �% �% = �. Potom platí:

�n� � � � � � � �, �� � ��,

�nn� � � �� � �� � �� � �� � �, ����� � �����,

�nnn� ��� � �� � �� � ��,

�n�� pre každé � = � platí � � ��%�%( � � �,

��� pre každé � = � platí ���%�%( � � �,

��n� � � �� � �� � �,

��nn� ak � L ��%�%( �, tak � �� � �.

Dôkaz: Vďaka leme 1.4. sú dôkazy týchto tvrdení triviálne. Na ukážku dokážeme tvrdenia �U� a �Ue�. ��� Ak � = �, tak � � �T�. Potom ���%�%( � � �T���%�%( � � �T�% T�%( � � �T� � �.

��n� Ak �% � = �, tak � � �T�% � � �U�. Potom

� � �� � �� � �T� � ��U� � �T�� � �T� � �U � T� � �T � U � T� � �U� � <�.

h

Začína sa nám rysovať tento výsledok o štruktúre ��%�%3�. Veta 1.8. Štruktúra ��%�%3� je pole.

Dôkaz: Vďaka predchádzajúcej vete nám stačí ukázať len existencie inverzných prvkov vzhľadom na operácie 3 a �. Označme si �� prvok ��� � �. Je zrejmé, že � � ���� � � � ��� � � � ���. Nech � � �T�, �U� L ��%�%( �. Označme si ��" � �U�"�. Potom ���" � ���.

h

Môžeme sa teraz pýtať, aký je vzťah medzi množinou a množinou �. Z tohto pohľadu sú v � dôležité prvky, ktorých reprezentantmi sú stacionárne postupnosti. Označme si � množinu všetkých �T� = �, kde T je stacionárna postupnosť. Snáď ani netreba overovať, že ak �, � = �, tak aj � � �,<�� = �. Preto dostávame takýto výsledok.

Veta 1.9. Pole �%�%3� je izomorfné z poľom ��% �%3�. Dôkaz: Nech 8 = . Majme zobrazenie �D 7 � také, že ��8� � �8�. Ľahko

nahliadneme, že � je prosté zobrazenie. Načim nám ukázať surjektívnosť �. Je jasné, že ku každému �8� = � prislúcha jedno a práve jedno 8 = . Teda � je bijekcia. Ďalej vieme, že ak �,<B = , tak

18

��� � B� � ���� � ��B�, ���B� � ������B�, ���8� � ���� � ���� � �����, ��8�"� � �8�"� � �8��" � ��8��" a

���� � ���% ���� � ���, to jest � je homomorfné zobrazenie poľa na �. Môžeme to isté povedať aj o ��"? Preskúmajme, či platí

��"��� � B�� � <� � B, ��"���B�� � <�B, ��"������ � <���"�����, ��"����"�� � }��"�����~�" a

��"����� � �% ��"����� � �.

Využijeme, že � je homomorfizmus a že zobrazenie ��" je inverzné k �. Potom

��"��� � B�� � <� � B � ���"��� � B�� � ��� � B� � �� � B� � ��� � B�. Podobne ukážeme aj ostatné vlastnosti. Z toho dostávame, že � je izomorfizmus.

h

Z tohto nám triviálne vyplýva tento dôsledok.

Dôsledok: Pole ��%�%3� je rozšírením poľa �%�%3�. Podarilo sa nám teda skonštruovať rozšírenie poľa racionálnych čísel. Treba

si ale spomenúť, čo nás viedlo k snahe túto konštrukciu vôbec robiť. Pole< malo dve zásadné nedokonalosti, ktoré sme spomínali na začiatku tejto kapitoly. Otázka teraz znie, či pole � dokáže v tomto smere racionálne čísla prekonať.

Od � teda očakávame, že bude spojito usporiadaným poľom. Lenže na � zatiaľ nemáme nijaké usporiadanie. Pri jeho prípadnom definovaní si musíme uvedomiť, že je viac než žiaduce, aby zachovávalo usporiadanie dané na racionálnych číslach25. Pristúpime k tejto téme všeobecnejšie.

Definícia 1.10. Nech �K%�%3 %�%�� je okruh. Množinu � � K takú, že pre všetky � = K, �% � = � platí,

�n� �B���<��� �<�<6�� ����D<� = �% � � �%�� = �,

�nn� �� = �,

�nnn� � � � = �% budeme nazývať množinou kladných prvkov okruhu K.

25 Nakoľko sme ukázali izomorfizmus medzi a �, nebudeme už medzi týmito štruktúrami rozlišovať.

19

Definícia 1.11. Na K definujeme usporiadanie A takto:

� A � pvk � � � = �.

Lema 1.12. Nech �K%�%3� je okruh a � � K je množina kladných prvkov okruhu K. Potom A je usporiadanie na okruhu K a pre všetky �% �% � = K platí:

�n� ak � A �, tak � � � A � � �,

�nn� ak � A � a � A <�, tak �� A ��.

Dôkaz: Ukážeme, že �K%A� je usporiadaná množina.

(antisymetrickosť) Je zrejmé, že ak � A �, tak � � �, pretože � � � = �, to jest �� � �� � � (definície 1.10 �eee�).

(tranzitívnosť) Ak � A �, � A �, tak � � � � �� � �� � �� � �� = �, a teda � A �.

(trichotómia) Vyplýva z definície 1.10 �eee�, pretože � A �, resp. � � �% resp. � 1 � je ekvivalentné tomu, že � � � = �, resp. � � �, resp. ��� � �� = �.

Dokážme body �e� a �e�. �n� Máme � A �. Ale �� � �� � �� � �� � � � � = �.

�nn� �� � �� � ��� � ��, ale � A �% � A � implikuje, že � = �, a preto aj ��� � �� = �.

h

Okruh K s reláciou A nazývame usporiadaným okruhom26. Z našich úvah vyplýva, že usporiadanie na okruhu K je jednoznačne určené množinou kladných prvkov. Dokážeme si ešte jednu vetu týkajúcu sa usporiadania, ktorú budeme potrebovať neskôr.

Definícia 1.12. Nech ��%A� je neprázdna, reláciou „A“ usporiadaná množina. Hovoríme, že O � � je konvexný prvoideál, ak platí:

�n� ak e,   = O, tak aj e �   = O, �nn� ak e = O, � = �, tak e� = O, �nnn� ak e,   = O a existuje _ = � také, že e A _ A  , tak _ = O, �n�� ak e  = O, tak e = O, alebo   = O.27

26 Pole s reláciou A analogicky nazývame usporiadaným poľom. 27 Prvé dve vlastnosti definujú ideál, tretia konvexnosť a �eU� je vlastnosť prvoideálu.

20

Veta 1.13. Nech K je usporiadaný okruh, O � K konvexný prvoideál a � � K množina kladných prvkov okruhu K. Potom množina ¡ � :���% � = � � O;, kde prvok ��� je :�% � � � = O; = K ON , je množinou kladných prvkov okruhu K ON .

Dôkaz: Nájdeme množinu kladných prvkov okruhu K ON . Dokážme, že ¡ je

množina kladných prvkov okruhu K ON . Nech ��� = K ON , ���% ��� = ¡.

�n� Pre ��� máme nasledovné dve možnosti. Ak � = O, tak ��� � �. Ak � � O, tak ��� L �, a potom buď � = � � O, a teda ��� = ¡, alebo �� = � � O, a teda ���� = ¡.

�nn� Z �e� vieme, že �% � = � � O. Chceme ukázať, že aj � � � = � � O. Keby teda � � � = O, tak � A � A � � �% � A � A � � � a z konvexnosti ideálu O plynie, že aj �% � = O. To je však spor s tým, že ���% ��� = ¡.

�nnn� Opäť z �e� vieme, že �% � = � � O. Chceme ukázať, že aj �� = � � O. Pretože O je prvoideál, tak máme, že �� = O implikuje, že � = O alebo � = O je v O. A to je spor s predpokladom.

h

Využime lemu 1.12. na usporiadanie poľa �. Potrebujeme teda nájsť množinu kladných prvkov. Ako bude vyzerať, nám povie nasledujúca lema.

Lema 1.13. Označme symbolom �G množinu tých prvkov � � �T� = �, pre ktoré platí, že existuje také � = kladné a také ? = �, že pre každé 9 1 ? je T b � 1 �. Potom �G je množina kladných prvkov.

Dôkaz: Je takéto zavedenie množiny korektné? Nech U = 2, U]T. Keďže 5�6 7¢�U � T � � �, tak existuje _ = �, že pre každé 9 1 _ platí EU � T E A o$.

Potom ale U � T � U � T b T � EU � T E 1 � � o$ � o$ 1 �, a množina �G je

korektná. Dokážme, že �G má vlastnosti �e�, �ee� a �eee�. Tvrdenie �eee� vyplýva z lemy 1.2.

Dokážeme �ee�. Nakoľko � � �T�% � � �U� = �G, tak existuje � 1 �, že pre každé 9 1 ? = � platí T b <� 1 � a existuje � % 1 �, že pre každé 9 1 ?% = � platí U b � % 1 �. No potom pre ?c�:?%?%; máme T U b �� % 1 �, teda �� � �TU� = �G.

Vlastnosť �e� sa dokazuje podobne.

h

Pomocou množiny kladných prvkov dokážeme teda zaviesť na � usporiadanie. Spĺňa takto zadefinované usporiadanie podmienku, ktorú sme od neho požadovali, to jest aby zachovávalo usporiadanie dané na �%A�? Nech 8% � = , 8 A �. Potom ��� � �8� � �� � 8� = �G. Teraz je triviálne ukázať, že zobrazenie � zadefinované vo vete 1.3. je aj izotónne, teda zachovávajúce usporiadanie.

21

Našou snahou v nasledujúcom bude ukázať, že ��%�%3% A� je archimedovsky usporiadané pole28. To je ekvivalentné tomu, že podpole je husté v �,29 teda pre každý otvorený interval O � � platí, že O £ L ¤. Na dôkaz tohto tvrdenia budeme potrebovať nasledujúce lemy.

Lema 1.14. Nech � = �, c = je kladné. Potom existuje 8 = také, že E� � 8E A c.

Dôkaz30: Nech � � �T�. T je fundamentálna postupnosť, a preto existuje _ = �, že pre každé ?% 9 1 _ platí � g$ A T � T@ A g$ ��. Zvoľme pevné ? 1 _

a zostrojme postupnosti racionálnych čísel:

T" � T@ � c% T$ � T@ � c%( % T � T@ � c%(

T" � T@ � c% T$ � T@ � c%( % T � T@ � c%(

Je jednoduché nahliadnuť, že obe tieto postupnosti sú fundamentálne a

�T" � T@ � c% T$ � T@ � c%( % T � T@ � c%( � � <� � T@ � c

�T" � T@ � c% T$ � T@ � c%( % T � T@ � c%( � � <� � T@ � c

Z �� máme � g$ � c A T � T@ � c pre 9 1 _, T � T@ � c A g$ � c pre 9 1 _.

Potom už určite aj � A � � T@ � c% � � T@ � c A �. To znamená �c A � � T@ A c. Stačí teda zvoliť 8 � T@.

h

Lema 1.15. Nech ¥ = �% ¥ 1 �. Potom existuje také 8 = , že � A 8 A ¥.

Dôkaz: Nech ¥ � �T�. Podľa predpokladu existuje kladné � = a ? = �, že

pre každé 9 1 ? platí T b � 1 �. Pre 9 1 ? platí tiež T � o$ b o$ 1 �. Teda

�T" � o$ % T$ � o$ % ( � � ¥ � o$ 1 �,

z čoho vyplýva, že ¥ 1 o$. Stačí zvoliť 8 � o$.

h

Veta 1.16. Pre ľubovoľný otvorený interval O � � platí, že O £ L ¤.

Dôkaz: Ľubovoľný otvorený interval O obsahuje aspoň dva body. Zvoľme �% � = O, � A �% � � �G�$ % � � � � � 1 �. Potom �� � �% � � �� � ��% �� � O. Na

základe lemy 1.7. môžeme voliť 8 = tak, aby � A 8 A �. To ale znamená, že

28 �>�% � = �G% � A �% C9 = �D � A 9�� 29 Viď ���� str. 30, veta 1.4.3. 30 Táto lema vlastne hovorí, že každý interval tvaru �� � 8% � � 8� obsahuje nejaké racionálne číslo.

22

¦ � �� � 8% � � 8� � �� � �% � � �� � O a vďaka leme 1.6. interval ¦ obsahuje nejaké racionálne číslo.

Ak uveríme, že „hustosť“ v � nám zaručí archimedovskú usporiadanosť �,31 môžeme sformulovať nasledujúcu vetu.

Veta 1.17. Pole ��% �%3% A� je archimedovsky usporiadané.

O � si ešte ukážeme, že je aj spojito usporiadané (teda že každá zhora ohraničená množina má supremum). Pripomeňme si, že aj v � si môžeme pomocou absolútnej hodnoty zadefinovať pojem konvergentnej a fundamentálnej postupnosti. Definície snáď netreba pripomínať.

Skúsme sa zamyslieť nad vzťahom medzi konvergenciou tried postupností v � a ich „označovaním“ v tejto množine.

Lema 1.18. Nech � � �T� = �. Potom T 7 � (postupnosť :T ; !"¢ konverguje k �).

Dôkaz: Z dôkazov liem 1.6. a 1.7. vyplýva, že ak � � �T� a � 1 �, tak existuje ? = � také, že pre každé 9 1 ? platí E<� � T E A �.

h

Vieme, že z konvergencie postupnosti prvkov v � vyplýva i fundamentálnosť tejto postupnosti. Koniec koncov to platí v každom usporiadanom poli. Nedostatkom bolo, že toto tvrdenie sa nedalo obrátiť. Ukážeme si, že v poli � podobný nedostatok nie je.

Veta 1.19. Pole ��% �%3% A� je úplné (to jest každá fundamentálna postupnosť je aj konvergentná).

Dôkaz: Nech :� ; !"¢ je fundamentálna postupnosť prvkov z �.

Na základe lemy 1.6. jestvuje ku každému _ = � Tf = , že E�f � TfE A "f.

Nech � = � je kladné. Keďže :� ; !"¢ je fundamentálna postupnosť, existuje také i = �, že pre ?% 9 1 i prirodzené platí E�@ � � E A o$. Bez ujmy na všeobecnosti

možno predpokladať, že _ je zvolené tak, aby platilo "f A o&. Potom dostávame, že

ET@ � T E A ET@ � �@E � E�@ � � E � E�@ � T E A "@ � o$� " A o$� $j A o$ � o$ A �,

čiže T � :T ; !"¢ je fundamentálna postupnosť. Preto existuje v � nejaký prvok � � �T�.

31 Viď �� str. 30, veta 1.4.3.

23

Teraz dokážme, že � 7 �. Nech ¥ = � je kladné. Na základe lemy 1.8. k číslu §$ existuje také ^ = �, že pre každé 9 1 ^ platí E� � T E A §$. Môžeme predpokladať,

že "̈ A §$. Potom ale pre každé 9 1 ^ platí

E� � �E l E� � T E � ET � �E A " � §$ A "̈ � §$ A §$ � §$ A ¥,

to jest � 7 �.

h

Aby sme mohli ukázať, že každá ohraničená množina má supremum, musíme zistiť, ako sa správajú monotónne ohraničené postupnosti v � vzhľadom na konvergenciu. O tom bude hovoriť nasledujúca veta.

Veta 1.20. Každá monotónna ohraničená postupnosť reálnych čísel konverguje.

Dôkaz: Nech :� ; !"¢ je neklesajúca zhora ohraničená postupnosť reálnych čísel, teda �" l �$ l ( l � l � G" l (. Môžeme predpokladať, že pre nekonečne mnoho 9 platí � l � G". Nech to platí pre 9 � 9" A 9$ A (. Na základe lemy 1.6.

nájdeme pre každé _ prirodzené také racionálne číslo Tf , že Tf = }� t % � twy~, � A � t � Tf A "f <��. Potom T" A T$ A ( A Tf A ( je zhora ohraničená postupnosť racionálnych

čísel. Vieme, že každá ohraničená postupnosť racionálnych čísel je fundamentálna32, a preto � � �:T ; !"¢ �. Na základe lemy 1.8. máme T 7 �, ale potom z �� hneď

vyplýva<� 7 �.

h

Na základe predchádzajúcich výsledkov33 môžeme sformulovať poslednú vetu tejto kapitoly.

Veta 1.21. Množina ��%A� je spojito usporiadaná.

Pripomenuli sme si teda konštrukciu reálnych čísel z čísel racionálnych pomocou nekonečných fundamentálnych postupností, to jest pomocou istej

špeciálnej podmnožiny �� a istej špeciálnej relácie na tejto množine zavedenej.

Ak sa chceme držať tohto typu konštruovania nových obsiahlejších štruktúr aj pri konštrukcii hyperreálnych čísel, môžeme v zásade postupovať dvoma spôsobmi. Prvý, snáď „metafyzicky“ čistejší, je zavedenie si hyperracionálnych čísel

pomocou množiny � a relácie ekvivalencie, ku ktorej konkrétnej špecifikácii sa dostaneme neskôr a následná konštrukcia čísel hyperreálnych pomocou

32 Viď ���� str. 45, lema 2.1.1. 33 A použijúc ���� str. 38, veta 1.5.4.

24

fundamentálnych postupností prvkov hyperracionálnych čísel podobná tej, o ktorej

sme v tejto kapitole hovorili. Jednoduchšia a rýchlejšia cesta vedie cez množinu ��, pretože tu môžeme využiť fakt, že reálne čísla už máme skonštruované.

V nasledujúcom sa pokúsime ukázať, ako postupovať pomocou druhej načrtnutej možnosti pri konštrukcii hyperreálnych čísel.

25

2. Hyperreálne čísla

Dohodnime sa, že symbolom © budeme označovať pole � alebo . Uvažujme

množinu ©� � ::� ; !"¢ % � = ©% 9 = �;; prvky ©� budeme pre jednoduchosť značiť �� �. Zaveďme si na ©� operácie sčítania � a násobenia 3 .34 Pre ľubovoľné �� �, �8 � = ©� definujme �� � � �8 � � �� � 8 � a �� � 3 �8 � � �� 8 �. Vidíme, že � a 3 sú v istom zmysle indukované sčítaním a násobením z poľa ©.

Je ľahké presvedčiť sa, že �©�% �%3% �% �� je komutatívny okruh s jednotkou35.

Zadefinujme si zobrazenie  D © 7 ©� tak, že  ��� � ���. Je zrejmé, že zobrazenie   je

monomorfizmus medzi © a ©�, to jest   je vnorenie © do ©�.

Našou ďalšou úlohou je pokúsiť sa „rozbiť“ množinu ©� na systém

disjunktných množín, ktorý by z vhodne rozšírenými operáciami z okruhu ©� tvoril pole. V úvode sme povedali, že ak v ňom za ideál vezmeme množinu

¦ � :�� � = ©�% E:?% �@ L �;E A M.;, nebude ©� ¦N pole. Naozaj, uvažujme dve postupnosti �c �% �ª � prvkov z © také, že c$ � �% c$ G" � � a ª$ G" � �% ª$ � �. Potom �c � L � L �ª �, ale �c ��ª � � �.

Musíme preto skúsiť iný postup. Na ©� potrebujeme nejako zaviesť

ekvivalenciu prvkov, potrebujeme vedieť, kedy môžeme dva prvky z ©� prehlásiť za to isté. Ak by sme postupnosti z © stotožňovali, len ak sa líšia v nanajvýš konečnom počte členov, získali by sme tak v istom zmysle príliš „veľa“ prvkov, príliš „malé balíky“, to jest triedy ekvivalencie na to, aby tvorili pole. Preto potrebujeme toto

kritérium zjemniť. Urobíme to tak, že na ©� sa pokúsime nájsť nejaký vhodnejší ideál O. Na to ale budeme potrebovať zaviesť pojem voľného ultrafiltra na množine �. Pripomeňme si, čo je voľný ultrafilter.

Definícia 2.1. Nech � je neprázdna množina. Voľným ultrafiltrom na množine � budeme nazývať taký systém « � ¬���, že platí:

�n� ¤ � «,

�nn� ak d, k = «, tak d £k = «,

�nnn� ak d = «, k = ¬��� a d � k, tak k = «,

�n�� buď d = «, alebo � � d = «

��� ak EdE A M., tak d � «

34 Pre jednoduchosť budeme sčítanie a násobenie na všetkých štruktúrach, s ktorými sa ďalej v texte stretneme, vždy označovať � a 3. 35 Namiesto �, resp. 1 mali by sme písať ��� � :�; !"� ,resp. ��� � :�; !"� , ale kvôli prehľadnosti budeme i v ďalšom označovať neutrálny prvok vzhľadom na �, resp. 3 ako �, resp. �.

26

Uvažujme voľný ultrafilter « na množine prirodzených čísel. Vďaka �U� a �eU� vidíme, že ak ­ je konečná množina, tak �� � ­� = «. Keďže � je dobre usporiadaná množina, existuje v � � ­ minimálny prvok _. To ale potom znamená, že �� � ­� � :_% _ � �%( ;. A z �eee� vyplýva, že :_% _ � �%( ; = «.

Vráťme sa k ideálu, ktorý chceme v ©� nájsť. Vhodným kandidátom je

množina O � :�e � = ©�D<:9% e � �; = «;. Uvedomme si, že vďaka vlastnosti �eU� v definícií 2.1. sme získali potrebné zjemnenie kritéria padnutia prvkov do jednej triedy ekvivalencie. Existuje totižto nekonečne mnoho nekonečných podmnožín prirodzených čísel, ktoré sa v O nachádzajú a nekonečne mnoho, ktoré zas v O nebudú. Nenastane nám preto prípad, že súčin postupností �c �% �ª � prvkov z © takých, že c$ � �% c$ G" � � a ª$ G" � �% ª$ � � bude rovný nule, pretože buď množina párnych alebo nepárnych čísel padne do «, a teda buď množina nepárnych alebo párnych v « nebude.

Lema 2.3. Množina O je ideál.

Dôkaz: Potrebujeme dokázať, že ak �� �, �8 � = O, tak aj �� � � �8 � = O. Pretože �� � = O, tak existuje množina d" = « taká, že � � � pre každé 9 = d". Podobne existuje takáto množina d$ pre �8 �. Potom ale existuje množina k ® d" £ d$ taká, že pre každé 9 z k platí � � 8 � �, a to znamená, že �� � � �8 � = O.

Za druhé musíme ukázať, že ak �� � = O, �8 � = ©� , tak �� � 3 �8 � = O. Vieme, že existuje množina d = « taká, že � � � pre každé 9 = d. To jest � 8 � � na nejakej množine k ® d, a preto skutočne aj �� � 3 �8 � = O.

h

Dokázali sme teda, že O je ideál. Preto má zmysel uvažovať faktorovú množinu ©�< ON . Označme si ju ©; jej prvky budeme označovať malými gréckymi písmenami36

a pre jednoduchosť ich budeme nazývať číslami (ak © � �, tak hyperreálnymi, ak © � , tak hyperracionálnymi). Ďalej vieme, že existuje epimorfizmus �D<©� 7 ©, ­0���� � O. Z toho okamžite dostávame, že množina © s operáciami indukovanými homomorfizmom � je komutatívny okruh s jednotkou. Teda aby © bolo poľom, musíme už len dokázať existenciu inverzného prvku vzhľadom na násobenie v ©.

Predtým si uvedomme jednu drobnosť. Pri Cantorovej konštrukcii reálnych čísel sme v každej triede ekvivalencie mali nekonečne mnoho prvkov, pretože limitu postupnosti neovplyvní konečný počet prvkov. Pri konštruovaní tried ekvivalencie množiny © vidíme, že ekvivalencia podľa ideálu O je ešte benevolentnejšia, pretože túto ekvivalenciu neovplyvní ani zmena nekonečného počtu prvkov, ak teda množina indexov prislúchajúca k daným prvkom nepatrí do nášho ultrafiltra «.

36 To jest � = © znamená, že � � ��c �� � �c � � O, kde ��c �� � :�ª �% �c � � �ª � = O<;.

27

Veta37 2.4. �©% �%3% �% �% � je pole.

Dôkaz: Nech � L � � ��c �� = ©. To jest množina d � :9% c � �; � «.38

Preto k � �� d = «. Nech � � ��ª ��, kde ª � ¯ �% 9 = d"c9 % 9 = k<°. Potom � L � a �� � �m h

Ako zaviesť usporiadanie poľa ©? Spomeňme si, ako sme usporiadanie zaviedli na reálnych číslach pri Cantorovej konštrukcii.

Definícia 2.5. Označme ako ± množinu :² � ��� �� = ©D :9% � 1 �; = «;. Jej prvky budeme nazývať kladnými, resp. pozitívnymi.

Lema 2.6. Množina ± je množina kladných prvkov, to jest spĺňa

�n� Ak �% ³ = ± tak � � ³ = ±

�nn� Ak �% ³ = ± tak �³ = ±

�nnn� Pre každé � = ± platí práve jeden spomedzi výrokov39:

� 1 �, � � �, �� 1 �

Dôkaz: Pretože � � ��� ��% � � ��´ �� sú prvkami �, tak existujú množiny d"% d$ z ultrafiltra « také, že pre všetky 9 = d", resp. 9 = d$ je c 1 �, resp. ª 1 �, a potom na množine d � d" £ d$ = « je � � ´ 1 �, resp. � ´ 1 �, a teda aj � � ³ � ��� � ´ �� = ±, resp. �³ � ��� ´ �� = ±. Dokážme ešte bod �eee�.

Uvažujme prvok � � ��� �� a tri množiny z ultrafiltra d"% d$% d* také, že pre 9" = d", resp. pre 9$ = d$, resp. pre 9* = d* je � y A �, resp. � { � �, resp. � µ 1 �.

Ak by ani jedna z týchto množín nepatrila do «, tak by do « patrila množina d � � � �d" £ d$ £ d*�. Pretože však reálne čísla sú usporiadané pole, tak d � ¤, a to je spor z vlastnosťou ultrafiltra �e�. Ak by naopak do « patrili aspoň dve z množín d"% d$% d*, tak by do « padol aj ich prienik, ktorý by však opäť musel byť rovný ¤, čo by bol rovnaký spor. Teda do « patrí práve jedna z množín d"% d$% d*.

h

Lema 1.12. nám potom dáva, že na poli © môžeme pomocou množiny ± zaviesť usporiadanie A takto: � A � pvk � � � = ±. Teda © je usporiadané pole s reláciou A.

Pozrime sa na vzťah polí © a ©. Skúsme nájsť vnorenie, označme ho , D© 7 ©. Stačí položiť <� � ¶  . Naozaj,  , � sú homomorfizmy, a teda aj je 37 Viď ���� str.35, veta 1.3.21. 38 Pretože � � � pvk.<�c � = O. 39 Pretože � = ± pvk � 1 � atď.

28

homomorfizmus. Pozrime sa teraz na ­0���. ­0��� sa ale rovná :�;, lebo ­0���� � O a z definície O je jasné, že  ��� = O len pre � � �.40 Z toho vyplýva, že je monomorfizmus. Teda � � ����� pre � = ©. � budeme značiť aj �. Uvedomme si ešte, že je aj izotónne zobrazenie.

Máme © ·< �©� � ©. Preto budeme písať, že © � ©. Prvky �©� budeme označovať �% ^% 8%(.

Aký je vzťah medzi poľami �©% �%3% �% �% A� v závislosti na voľbe ©? Získame pole hyperracionálnych čísel pre © � a pole hyperreálnych čísel � pre © � �. Je zrejmé, že existuje vnorenie do �.

Lema 2.7. Jestvuje izotónny monomorfizmus z do �.

Dôkaz: Stačí nám vziať zobrazenie iD< 7 � také, že i}��8 ��~ � ��8 ���,

kde symbol ��8 �� označuje triedu ekvivalencie prislúchajúcu �8 � v �; analogicky ��8 ��� označuje triedu ekvivalencie prislúchajúcu �8 � v ��. To je triviálne, pretože � �. Tiež je jasné, že i je izotónny monomorfizmus.

h

Potom samozrejme aj � · i��� � ©. Prvky i��� budeme označovať ¸% ¥% ¹% º(. Z definície zobrazenia je zrejmé, že � ·< ��� � ©. Prvky ��� budeme zapisovať ako 9%?% _%(. Toto isté platí aj o množine ». Ďalej budeme znaky � (poprípade ») a chápať ako podmnožiny �.

Konečne máme všetko nachystané na to, aby sme mohli ukázať, že © je nearchimedovké pole, to jest v © existuje prvok, ktorý je väčší než ľubovoľné prirodzené číslo.

Veta 2.8. �©% �%3% �% �� je nearchimedovské pole.

Dôkaz: Položme ¹ � ��9 �� = © a nech ? je ľubovoľné prirodzené číslo patriace do ©.41 Potom platí, že 9 � 9 1 ? pre všetky 9 1 ?, to jest platí to na množine indexov :? � �%? � �%( ; = «. Čiže ¹ 1 ? pre každé ? prirodzené.

h

Zastavme sa na chvíľu pri množine �. Už vieme, že � � � L ¤, lebo tam patrí prvok ¹. Potom tam ale musí patriť aj ¹ � 9 pre všetky 9 prirodzené. Naozaj, nech _ = � je také, že ¹ � _ = �. To ale znamená, že ¹ � _ � _ � ¹ = �. To je ale spor, pretože ¹ je väčšie než ľubovoľné prirodzené číslo. Takisto zrejme do � � � patrí aj ¹ � 9 pre všetky 9 prirodzené.

40 Ak � L �, tak  ��� � :�; !"� , to jest � � � L � pre každé 9 = �. Pretože však ¤ � «, tak ani  ��� � O. 41 To znamená, že ? má tvar ��?��.

29

Utvorme ľubovoľný iný prvok množiny � � �. Napríklad ¼ � :�% �% �% �% �% �%( % 9%( % 9%( ;. Vidíme, že ¼ A ¹. Aj preň platí ¼ ½ 9 = � � � pre všetky 9 prirodzené. Pomaly získavame určitú predstavu o štruktúre množiny �. Totižto je evidentné, že množiny :�% �% �%( ; a :¾% ¾ � <�% ¾ � <�%( ;, kde ¾ = � �� je ľubovoľné sú izomorfné. To isté platí aj o množine » a množinách tohto tvaru :( % ¾ � <�% ¾ � �% ¾% ¾ � <�% ¾ � <�%( ;.

Ďalej aj pre ¿f platí, že

¿f � 9 je nekonečne veľké pre každé 9 = �, kde _ je

ľubovoľné také, pre ktoré existuje nejaký prvok k ultrafiltra «, že pre všetky ? = k

je Àf prirodzené číslo. Navyše pretože 9 A ¿f, tak aj<9 �

¿f A ¾ pre každé 9 = �.

To jest okolo � máme rozmiestnené prirodzené čísla na jednu i druhú stranu a za všetkými prirodzenými číslami máme symetricky rozložené nekonečné množstvo so » izomorfných štruktúr so stredmi42 vo všetkých možných nekonečne veľkých číslach. Uvedomme si, že na množine � môžeme zaviesť nasledovnú reláciu Á. Povieme, že dva prvky � sú v relácií Á, ak ich rozdiel je konečné číslo.

Zaujímavé je, že hoci dve nekonečné veľké čísla ¹% ¾, ¹ A ¾ sú od seba vzdialené o nejaké nekonečne veľké číslo, tak medzi k nim prislúchajúcimi triedami ekvivalencie danými reláciou Á je vždy ešte nejaká ďalšia trieda ekvivalencie.

Napríklad �º� � �ÂG¿$ �. To jest triedy ekvivalencie sú husto usporiadané.

Vráťme sa späť k poľu ©. Je zrejmé, že prvok � � �# " Z)� je nekonečne malé

číslo. Preto má zmysel zaviesť nasledujúce pojmy43.

Definícia44 2.9. Prvok à poľa © nazývame:

�n� konečný, ohraničený (konečné číslo), ak existuje také � = ©, že EÃE A �, (ich množinu si označme Ä©),

�nn� nekonečný (nekonečne veľké číslo), ak nie je konečný, (ich množinu si označme © � Ä©),

�nnn� nekonečne malý (nekonečne malé číslo), ak � l EÃE A � pre každé kladné � = ©% (ich množinu si označme e©)

Než pokročíme ďalej, uvedomme si, že Ä© je podokruh ©.

Pozrime sa bližšie na množinu e©. Nech �,<� patria do e© a nech à je z Ä©.

Potom pre ľubovoľné � = © platí E�E% E�E A F$. Teda E� � �E l E�E � E�E A �. Skúsme sa

teraz pozrieť na súčin �Ã. Vieme, že existuje 9 prirodzené také, že à A 9. Ďalej � je 42 „Stred“ nie je veľmi jednoznačný. Aj pre celé čísla môže byť „stred“ ktorékoľvek číslo. 43 Táto definícia má zmysel aj pre archimedovské pole Å, ale vtedy ovšemže ÄÅ � Å, �Å � :�; a Å � ÄÅ � ¤. 44 Viď ���� str.39, definícia 1.3.30.

30

menšie ako ľubovoľné � = ©. Položme teda �@ � "@ . Potom E�ÃE � E�EEÃE A �@9 � "@

pre každé ? = �. Overme konvexnosť e©, teda či Æ = e©, ak � A Æ A �. Ale to je zrejmé z geometrického názoru (stačí si predstaviť všetky rozloženia �% Æ, � okolo �). A nakoniec nech ��je z e©. To jest �� je nekonečne malé. Potom je ale zrejmé, že buď � = e©, alebo � = e©, pretože súčin dvoch nie nekonečne malých čísel nie je nekonečne malé číslo. To, čo sme teraz dokázali, môžeme zhrnúť ako

Lema 2.10. e© je konvexný prvoideál v Ä©.

Pretože e© je ideál v Ä©, môžeme uvažovať faktorovú množinu Ä© e©N .

Označíme si ju Ç�©�. Vieme tiež, že existuje epimorfizmus resp. surjektívny homomorfizmus ÈD Ä© 7 Ç�©�, ­0��È� � e©, a teda �Ç�©�%�<%3% �% �� je okruh. Jeho prvky budeme značiť È�, È�, atď. Aby sme ukázali, že Ç�©� je pole, potrebujeme nájsť inverzný prvok vzhľadom na násobenie v Ç�©�.< Veta 2.11. �Ç�©�%�<%3% �% �� je pole.

Dôkaz: Nech È� = Ç�©�. È� L �, to ale znamená, že � � ­0��È� � e©, to jest E�E 1 " É pre nejaké 9. prirodzené. Z toho plynie, že s"�s A 9.. To znamená, že

"� = Ä©, a môžeme písať È� 3 È #"�) � È #� "�) � È� � �.

h

Keďže e© je aj konvexný prvoideál, tak vďaka leme 1.12. vieme v poli Ç�©� nájsť množinu kladných prvkov poľa Ç�©�, a teda na ňom zaviesť usporiadanie.

Ďalej si uvedomme, že Ç�©� je aj archimedovské pole.

Veta 2.12. �Ç�©�%�<%3% �% �� je archimedovské pole.

Dôkaz: Z È� = Ç plynie � = e©, teda existuje 9 = � (v množine ©) také, že È� l 9 A 9 � �.

h

Jednoduchými dôsledkom viet 2.4. a 2.11. je, že O a e© sú maximálne ideály.

Zopakujme si, čo presne sme doteraz robili. Vyštartovali sme z usporiadaného poľa �©%�%3% �% ��. Z neho sme prešli na usporiadaný komutatívny okruh s jednotkou #©�% ���% �3�% ���% ���). Pomocou maximálneho konvexného ideálu O sme získali

usporiadané pole #©� ON % ��� ON % �3� ON % ��� ON % <��� ON ), čo sme označili �©% �%3% �% �% A�. Ďalej

sme ukázali, že ©� ON �© je nearchimedoské pole a zadefinovali sme si jeho

podmnožiny Ä #©� ON ) a e #©� ON ). Uvedomili sme si, že Ä #©� ON ) je usporiadaný

31

komutatívny okruh s jednotkou a že e #©� ON ) je v ňom maximálny konvexný ideál.

Vďaka tomuto sme získali usporiadané pole (ktoré sme označili �Ç�©�%�<%3% �% ��):

ÊËÌÄ #©� ON ) e #©� ON )Í % ��� e #©� ON )Î % �3� e #©� ON )Î % ��� e #©� ON )Î % <��� e #©� ON )Î

ÏÐÑ.

Aký je ale vzťah medzi poľami �©%�%3% �% �� a �Ç�©�%�<%3% �% ��? Odpoveďou je, že existuje vnorenie © do Ç�©�. Veta 2.13. Zobrazenie zložené z È je vnorenie �©%�%3% �% �� do �Ç�©�%�<%3% �% ��. Označme ho Ò.

Dôkaz: Pripomeňme si, že D© 7 ©, ÈD Ä© 7 Ç�©�. Pretože � � �����, je jasné, že obor hodnôt je len množina Ä©. Zobrazenie a È sú homomorfizmy, to jest musíme už len ukázať, že Ò je injektívne. Nech teda Ò � � È� �� � È� 8� �<Ò 8 pre �% 8 = ©. To znamená, že �� � 8� = e©. Lenže �% 8 = © implikuje � � 8 � ^ = ©, Pretože © £ e© � �, tak ^ = e©, len ak ^ � �. Z toho plynie, že � � 8.

h

Čo sa stane, ak © položíme rovné �? Zmení sa odpoveď na otázku na vzťah ��%�%3% �% �� a �Ç���%�<%3% �% ��? Zamyslime sa nad tým, čo je vlastne zač štruktúra Ç��� � Ä� e�N . Je to vlastne pohľad na hyperreálne čísla bez teleskopu

i mikroskopu. To jest nedovidíme na čísla nekonečne veľké a zároveň od seba nerozlíšime ani elementy nekonečne malé. Intuitívne chápeme že to, čo nám potom zostane, to čo „reálne uvidíme“, budú reálne čísla. Teda nejakú predstavu o tom máme. Na to, aby sme tieto úvahy zopakovali rigorózne, budeme potrebovať nasledovnú reláciu.

Definícia 2.14. Nech �% � = ©. Ak � � � = e©, tak budeme hovoriť, že � je nekonečne blízko �. Budeme to značiť � Ó �.

Je zrejmé, že „byť si nekonečne blízko“ je relácia ekvivalencie. Všimnime si, že ak � = � a � = e©, tak � � � = Ä©, � Ó � � � a ak � L �, tak � � � � �.

Kľúčovou je nasledujúca veta.

Veta45 2.15. Ku každému � = Ä� existuje jediné � = � také, že � Ó �.

Dôkaz: Uvažujme množinu Ô � :� = �% � A �;. Pretože � = Ä�, existuje � = �, � l �. Teda Ô je zhora ohraničená. Zároveň, keďže � je konečné hyperreálne číslo, existuje nejaké i = �, že i A �. Teda Ô L ¤. Pretože Ô je neprázdna zhora

45 Viď ���� str.42, veta 1.4.3.

32

ohraničená množina, tak podľa axiómy suprema46 existuje horné ohraničenie Ô v množine �. Označme si ho �. Preskúmajme tri polohy � a � z hľadiska usporiadania.

�n� Ak � = �, môžeme položiť � � �. Potom � � � � �, teda � Ó �.

�nn� Nech � � � a nech � A � a nech neplatí � Ó �. Potom � � � � e�, to jest

existuje 9 = � také, že<� � � 1 " . Potom ale � A � � " A �, čo je spor

s predpokladom, že � je supremum množiny Ô. Preto � Ó �.

�nnn� Nech � � � a nech � 1 � a nech neplatí � Ó �. Potom � � � � e�, to jest

existuje 9 = � také, že<� � � 1 " . Potom ale � A � � " A �, čo je spor

s predpokladom, že � je supremum množiny Ô. Preto � Ó �.

Ešte musíme dokázať jednoznačnosť. Nech �", �$ = � a nech �" Ó � Ó �$. Potom ale �" Ó �$, čo znamená, že �" � �$ = e�. Ale �", �$ = �, teda �" � �$ = �. Existuje však len jedno reálne číslo, ktoré je nekonečne malé a to �. Teda �" � �$.

h

Táto veta nám vlastne hovorí, že každé reálne číslo je obklopené nekonečne malými hyperreálnymi číslami. To jest okolo každého reálneho čísla existuje nejaké jeho okolie, monáda tvorená nekonečne malými veličinami. Inak povedané, množina Ä� � :� � e�% � = �;. Spomeňme si na nekonečné hyperprirodzené čísla a na reláciu ekvivalencie Á. Nič nám nebráni reláciu Á rozšíriť aj na množinu � � Ä�, teda stotožníme dva prvky z � � Ä�, ak ich rozdiel je prvok Ä�. Teda � ÁN vyzerá ako nekonečné množstvo balíkov daných reláciou Á, z ktorých každý je izomorfný s množinou Ä�. Ako vidíme, � je „hodne“ nekonečná množina...

Reálne číslo �, pre ktoré platí � Ó �, � = �, budeme nazývať štandardná časť hypereálneho čísla � a budeme to značiť ´Õ<�. Je zrejmé, že ak � = �, tak<� � ´Õ<�. Núka sa nám tak ďalšia definícia. Prvok � = � budeme nazývať štandardným, ak c � ´Õ<c, inak ho budeme nazývať neštandardným.

Pozrime sa teraz na zobrazenie ÖD Ä� 7 �, Ö ��� � ´Õ<�. Vďaka vete 2.15. je dobre definované a ďalej je ľahké overiť, že priradenie Ö ��� � ´Õ<� je epimorfizmus. Overme ešte, že � l � implikuje Ö ��� l<Ö ���. Uvažujme dve možnosti. Ak � Ó �, tak Ö ��� �<Ö ���. Ak neplatí � Ó �, tak existuje nie nekonečne malé kladné � = Ä� také, že � � � � �. Teda Ö ��� �<Ö �� � �� �<Ö ��� �<Ö ��� 1<Ö ���. Preto je Ö aj

izotónne zobrazenie.

Čo je jadro Ö ? ­0��Ö� � e�. Skutočne, ak � = e�, potom Ö ��� � ´Õ<� � �. Teda z vety o faktorovom homomorfizme47 dostávame, že

46 Čitateľ ju nájde napr. v ���� str. 20 III. 5..

33

� · #Ä� ­0��Ö�N ) � }Ä� e�N ~.

Tým sme dokázali nasledovnú vetu.

Veta 2.16. � · Ç���. Dodajme že, funkciu Ö môžeme rozšíriť na celé �. Pre prvky z Ä� bude naďalej Ö ��� � ´Õ<�. Pre prvky z � � Ä� budeme písať Ö �¹� � ´Õ<¹ � �×, resp. �× pre kladné, resp. pre záporné ¹, kde �×%�× sú konštanty, ktoré pridáme do ���. Zrejme pre ne platí �× A � A �× pre všetky � = �.

Všimnime si, že veta 2.15. prejde aj pre Ä. Ďalej s Cantorovej konštrukcie reálnych čísel vieme, že ku každému reálnemu číslu � nájdeme takú postupnosť

racionálnych čísel �8 �, že pre každé 9 prirodzené E� � 8 E A "$Z. Teda pre nejaké ¹

nekonečne veľké hyperprirodzené bude E� � 8ÂE A "$Ø Ó �. Teraz môžeme zopakovať

úvahy vedúce k dôkazu vety 2.17. s tým, že Ä� nahradíme Ä. Dostaneme � · Ç��. To vlastne znamená, že sme našli alternatívnu konštrukciu reálnych čísel.

Ak sa pozrieme na to, čo sme dosiahli, vidíme, že sme skonštruovali dve usporiadané nearchimedovské polia – pole a pole �. Zistili sme, že � �. Ďalej sme ukázali, že � · Ç��� · Ç��, čo inak znamená, že Ç��� je spojito usporiadané pole, ďalej triviálne Ù Ç��. To je síce pekné, ale na reálnych číslach existuje množstvo rôznych operácií (t.j. funkcií) a relácií. Je tu nejaká možnosť konštrukcie hyperreálnych čísel tak, aby sa na ne zároveň preniesli všetky spomínané operácie a relácie z � a my by sme ich nemuseli prácne nanovo definovať?

Odpoveď na túto otázku nám poskytnú postupy založené na metódach neštandardnej analýzy.

47 Čitateľ ju nájde v ��� str.160, veta 3.8.4. 48 Zrejme pre nejaké kladné Ú = � � Ä�, je ´Õ<Ú � ×, pre záporné zas ´Õ<Ú � �×.

34

3. Základy neštandardnej analýzy

3.1. Úvod do logiky

Ako sme naznačili na konci minulej kapitoly, neštandardná analýza nám umožní konštrukciu hyperreálnych čísel, vďaka ktorej budeme môcť „natiahnuť“ na pole � aj všetky relácie a operácie z reálnych čísel. Oproti napríklad Cantorovej konštrukcii čísel reálnych z racionálnych bude teda konštrukcia � omnoho bohatšia. Na to, aby sme toto „natiahnutie“ dokázali uskutočniť, budeme musieť bližšie preskúmať jazyk matematických teórií, budeme sa musieť pozrieť na jeho formalizáciu.

Všimnime si, že chceme prenášať funkcie a relácie len na prvkoch �, inými slovami operácie a predikáty. To sú objekty logiky prvého rádu. Ak by sme chceli na pole � preniesť aj nejaké vlastnosti logiky druhého rádu, to jest tvrdenia, v ktorých kvantifikujeme cez množiny, vo všeobecnosti by sme neuspeli. Ako jeden príklad nám môže poslúžiť vlastnosť suprema. V reálnych číslach platí, že každá ich podmnožina má supremum. V hyperreálnych číslach ale takúto vlastnosť nemáme, pretože napríklad množina nekonečne malých čísel �� supremum isto nemá. Preto sa budeme zaoberať logikou prvého rádu.

Všetky jazyky 1. rádu majú spoločný systém tzv. logických symbolov:

�n� symboly pre premenné: �% Û% Ü% �.% �"% (

�nn� symboly pre logické spojky: Ý%Þ%ß%7%à

�nnn� symboly pre kvantifikátory: >% C

�n�� symbol rovnosti49: �

��� pomocné symboly: �% � Jazyk 1. rádu je určený dvoma množinami špeciálnych (mimologických)

symbolov:

��� množinou operačných, funkcionálnych symbolov á � :â% ã% �%( ; a

��� množinou relačných, predikátových symbolov K � :^% 8% �%( ; pričom aspoň jedna z nich je neprázdna a funkciou äD K å á æ �. takou, že ä��� 1 � pre všetky prvky z K. Funkcia ä určuje „árnosť“ relácií a funkcií. Teda môžeme si označiť symbolom á , resp. K množinu obsahujúcu všetky â také, že<ä�â� � 9, resp. všetky � také, že ä��� � 9. Potom môžeme písať á � ç á ¢ !. , resp. K � ç K ¢ !. . Ak ä�â� � � hovoríme, že f je konštantný symbol (konštanta). Jazyk 1. rádu značíme

49 Jestvujú samozrejme i jazyky bez rovnosti, ale tými sa nebudeme zaoberať.

35

� � �á% K% ä�. Ak � � �á% K% ä�, kde á � á, K � K a je funkcia ä rozšírením funkcie ä, tak jazyk � nazývame rozšírením jazyka �. 50

Ak už máme zadanú trojicu �á% K% ä�,51 môžeme sa pýtať, ako jej priradiť nejaký konkrétny obsah, ako ju interpretovať. Uvažujme usporiadanú dvojicu è � �Ô% O�, kde Ô L ¤ je množina, ktorú nazývame nosič, príp. základná množina è a O je zobrazenie, interpretácia jazyka � v množine Ô, ktoré každému symbolu â = á

priradí funkciu O�â�D Ôé�ê� æ Ô a každému symbolu � = K reláciu O��� � Ôé�F�.52 Usporiadanú dvojicu è � �Ô% O� budeme nazývať štruktúrou jazyka �. Zastavme sa ešte pri nulárnych funkcionálnych symboloch. Ak ä�â� � �, potom O�â� je zobrazenie z :¤; do Ô, to jest O�â� je jednoznačne určeným prvkom O�â��¤� z Ô, teda O�â� môžeme chápať ako konštantu. Poznamenajme ešte, že miesto O�â�, O��� budeme

písať aj âë , �ë , resp. âè, �è, alebo len â, �, ak nemôže dôjsť k nedorozumeniu.

Nech � je rozšírením jazyka �. Potom určite môžeme písať, že � � � å ì, kde ì chápeme ako množinu symbolov, ktoré sú v jazyku � naviac oproti jazyku �. Ak máme danú štruktúru è � �Ô% O� jazyka �, tak ju vždy môžeme rozšíriť na štruktúru �. Ak O je interpretácia symbolov z množiny ì, tak potom môžeme è � �Ô% O å O� chápať ako štruktúrou jazyka � a nazývame ju rozšírením è do �.

Jazyk 1. rádu obsahuje logické spojky, premenné, funkcionálne symboly, atď. a všetky tieto znaky môžeme rôzne spájať. Preto je prirodzené uvažovať nad tým, ktoré spojenia, postupnosti znakov sú pre nás užitočné, majú matematický zmysel. Také výrazy môžeme rozdeliť do dvoch skupín – termy a formule.

Q0�?<� je najmenšia53 množina taká, že

�n� ak � je premenná, tak � = Q0�?<�,

�nn� ak â = á a Õ"% Õ$% ( % Õ = Q0�?<�, tak aj â�Õ"% Õ$% ( % Õ � = Q0�?<�.

Prvky množiny Q0�?<� nazývame termy. Dohodnime sa, že ak â = á$, budeme písať Õ"â<Õ$ namiesto â�Õ"% Õ$� a ak napíšeme Õ��"% �$% ( % � �, vždy predpokladáme, že medzi �"% �$% ( % � sa nachádzajú všetky premenné termu Õ. Pozrime sa teraz na interpretáciu termu Õ��"% �$% ( % � � v štruktúre è � �Ô% O�. Bude

ňou zobrazenie ÕëD<Ô æ Ô definované nasledovne:

�n� ak Õ � �í , � l e l 9, tak Õë�c"% c$% ( % c � � cí , pre c"% c$% ( % c = Ô,

50 K rozšíreniu jazyka � viď ��� str.19. 51 Čo je len množina v podstate ľubovoľných symbolov. 52 Všimnime si, že aj O�â� môžeme chápať ako reláciu, predikát „árnosti“ ä�â� � �. Preto sa logika 1. rádu nazýva aj predikátový počet. 53 „Najmenšosť“ môžeme nahradiť tým, že budeme požadovať, aby všetky termy vznikli konečným počtom použití �e� a �ee�.

36

�nn� ak Õ je tvaru â�Õ"% Õ$% ( % Õf�, kde â = áf a Õ"% Õ$% ( % Õf = Q0�?<�, tak Õë�c"% c$% ( % c � � <â#Õ"ë�c"% c$% ( % c �% Õ$ë�c"% c$% ( % c �%( % Õfë �c"% c$% ( % c �).

áî�?<� je najmenšia množina taká, že

�n� ak Õ"% Õ$ = Q0�?<�, tak Õ" � Õ$ = áî�?<�,

�nn� ak � = K a Õ"% Õ$% ( % Õ = Q0�?<�, tak ��Õ"% Õ$% ( % Õ � = áî�?<�,

Formuly utvorené podľa �e�, �ee� nazývame atomické.

�nnn� ak ï, ð = áî�?<�, tak aj ]ï% ï Þ ð, ï ß ð, ï 7 ð, ï ñ ð = áî�?<�,

�n�� ak � je premenná a ï = áî�?<�, tak aj �>��ï, �C��ï = áî�?<�.

Prvky množiny áî�?<� nazývame formuly. Dohodnime sa, že ak � = K$, budeme písať Õ"�<Õ$ namiesto ��Õ"% Õ$�. Ak ò je kvantifikátor, budeme namiesto �ò�"��ò�$�( �ò� � písať �ò�"% �$% ( % � �. Ďalším dôležitým pojmom je uzavretosť. Najprv si všimnime výskyt premennej vo formule z hľadiska kvantifikátora. Hovoríme, že premenná � má vo formule ï viazaný výskyt, ak je ï tvaru �ò��ð�( % �%( �. Inak má voľný výskyt. Hovoríme, že formula ï je uzavretá, ak neobsahuje voľné premenné. Ak napíšeme ï��"% �$% ( % � �, budeme predpokladať, že všetky voľné premenné ï sú obsiahnuté v zozname �"% �$% ( % � .

Najdôležitejšia otázka znie, ako budeme rozhodovať o tom, či formula platí, resp. je splnená, je pravdivá v štruktúre è? Na túto otázku odpovedal A. Tarski takto.

Nech ï��"% �$% ( % � � je formula, è � �Ô% O� štruktúra jazyka � a c"% c$% ( % c = Ô. Hovoríme, že formula ï je splnená na prvkoch c"% c$% ( % c , alebo v è platí ï�c"% c$% ( % c � a pod. (budeme to zapisovať è ó ï ), ak

�n� ak je ï tvaru Õ" � Õ$,

tak è ó ï�c"% c$% ( % c �, ak Õ"ë�c"% c$% ( % c � � Õ$ë�c"% c$% ( % c �; �nn� ak je ï tvaru ��Õ"% Õ$% ( % Õ �, tak è ó ï�c"% c$% ( % c �, ak }Õ"ë�c"% c$% ( % c �% Õ$ë�c"% c$% ( % c �%( % Õ ë �c"% c$% ( % c �~ = �ë;

�nnn� ak je ï tvaru ]ð,

tak è ó ï�c"% c$% ( % c �, ak nie je pravda, že è ó ð�c"% c$% ( % c �, �nnn� ak je ï tvaru ð" Ò ð$, kde Ò je jedna z logických spojok Þ%ß%7%à,

tak è ó ï�c"% c$% ( % c �, ak è ó ð"�c"% c$% ( % c � Ò ð$�c"% c$% ( % c �; �n�� ak je ï tvaru �C��<ð,

tak è ó ï�c"% c$% ( % c �, ak existuje c = Ô také, že è ó ð�c% c"% c$% ( % c �,

37

�n�� ak je ï tvaru �>��<ð,

tak è ó ï�c"% c$% ( % c �, ak pre všetky c = Ô platí, že è ó ð�c% c"% c$% ( % c �. Dohodnime sa, že pred voľné premenné vo formule môžeme písať veľký

kvantifikátor, teda ï�c"% c$% ( % c % �"% �$% ( % �@� je splnené v è práve vtedy, keď �>�"% �$% ( % �@�ï�c"% c$% ( % c % �"% �$% ( % �@� je splnené v è.

Zadefinujme si pojem teória jazyka �. Teória jazyka � je ľubovoľná množina formúl Q � áî�?<�. Prvky množiny Q nazývame axiómy teórie Q. Hovoríme, že è � �Ô% O� je modelom teórie Q, ak pre každú formulu ï = Q platí, è ó ï. Triedu všetkých modelov teórie Q značíme kî��Q�.

Zaveďme si ďalší užitočný pojem - pojem podštruktúry. Hovoríme, že è � �Ô% O� je podštruktúrou štruktúry<ô � �õ% ¦�, ak Ô � õ a pre ľubovoľné â = á

platí âè � âô ö Ô , resp. pre ľubovoľné � = K platí �è � �ô £ Ô . To jest pre

ľubovoľné c"% c$% ( % c = Ô platí âè�c"% c$% ( % c � � âô�c"% c$% ( % c � a �c"% c$% ( % c � = �è práve vtedy, keď �c"% c$% ( % c � = �ô. Ekvivalentne to môžeme zapísať takto: pre každú atomickú formulu ï��"% �$% ( % � � a pre ľubovoľné c"% c$% ( % c = Ô platí è ó ï�c"% c$% ( % c � práve vtedy, keď ô ó ï�c"% c$% ( % c �. Označujeme to è � ô.54

Zatiaľ sme neuvažovali zobrazenia medzi štruktúrami jazyka �. Zobrazenia, ktoré nás budú zaujímať sú hlavne tie, čo zachovávajú operácie a relácie, teda homomorfizmy. Presnejšie, nech è � �Ô% O�, ô � �õ% ¦� sú štruktúry jazyka � a � je zobrazenie z Ô do õ. Nech ďalej â = á , � = K , c"% c$% ( % c = Ô sú ľubovoľné. Ak

platí � #âè�c"% c$% ( % c �) � âô}��c"�% ��c$�%( % ��c �~ a ak z �c"% c$% ( % c � = �è

plynie }��c"�% ��c$�%( % ��c �~ = �ô, tak zobrazenie � nazývame homomorfizmus è

do ô. Značíme ho �Dè 7 ô. Ak naviac � je bijektívne a aj jeho inverz je homomorfizmom, tak � nazývame izomorfizmus55 è na ô. Budeme to značiť è · ô.

Pomocou izomorfizmu si môžeme definovať ďalší užitočný pojem a to vnorenie<� štruktúry è do štruktúry ô. Vnorenie je vlastne izomorfizmus56 na podštruktúru, to jest pre každú atomickú formulu ï��"% �$% ( % � � a pre ľubovoľné c"% c$% ( % c = Ô platí è ó ï�c"% c$% ( % c � práve vtedy, keď ô ó ï}��c"�% ��c$�%( % ��c �~. Zapíšeme to �Dè ÷ <ô.

Posledné pojmy, ktoré budeme definovať, sú v istom zmysle zoslabením pojmov, ktoré sme si už zaviedli a budú pre nás najdôležitejšie. Hovoríme, že è, ô sú elementárne ekvivalentné, ak pre ľubovoľnú uzavretú formulu ï jazyka � platí è ó ï práve vtedy, keď ô ó ï. Označíme to è ø ô. Ďalej povieme, že è � �Ô% O� je

54 Hovoríme tiež, že ô je rozšírením è. 55 Pre relácie potom platí �c"% c$% ( % c � = �è pvk }��c"�% ��c$�%( % ��c �~ = �ô. 56 Teda izomorfizmus môžeme chápať ako surjektívne vnorenie.

38

elementárnou podštruktúrou štruktúry ô � �õ% ¦�, ak Ô � õ a pre ľubovoľnú formulu ï��"% �$% ( % � � jazyka � a prvky c"% c$% ( % c = Ô platí è ó ï�c"% c$% ( % c � práve vtedy, keď ô ó ï�c"% c$% ( % c �. Zapíšeme to è ù ô. A nakoniec homomorfizmus � nazývame elementárne vnorenie è do<ô, ak pre ľubovoľnú formulu ï��"% �$% ( % � � jazyka � a prvky c"% c$% ( % c = Ô platí è ó ï�c"% c$% ( % c � práve vtedy, keď ô ó ï}��c"�% ��c$�%( % ��c �~.

3.2. Ultraprodukty a ich aplikácie

Na to, aby sme dokázali zachytiť všetky možné funkcie a relácie na množine reálnych čísel, budeme potrebovať pojem ultraproduktu57. Najprv si ho zavedieme čisto množinovo.

Nech O je neprázdna množina, ú je vlastný filter58 na O a pre každé e = O je Ôí neprázdna množina. Nech û � ü Ôíí=ë je karteziánsky súčin týchto množín. Teda û je množina všetkých funkcií s definičným oborom O takým, že, T�e� = Ôí pre každé e z O. Budeme hovoriť, že funkcie T, U = û sú ú - ekvivalentné, ak :e = O% T�e� � U�e�; = ú. Zapíšeme to T �ý U.

Dá sa ľahko ukázať, že �ý je relácia ekvivalencie na û. Označme si triedu ekvivalencie funkcie T ako Tý , to jest Tý � :U = û% T �« U;. Teraz môžeme zadefinovať redukovaný súčin množín Ôí modulo «.

Definícia 3.1. Hovoríme, že redukovaný súčin množín Ôí modulo ú je množina všetkých tried ekvivalencie relácie �ý. Označujeme ho ü Ôíý . Teda potom ü Ôíý � :Tý % T = ü Ôíí=ë ;.

Pre nás bude dôležitý prípad, keď ú bude ultrafilter a Ôí bude rovné Ô pre všetky e z O. Potom redukovaný súčin ü Ôíý budeme nazývať ultraprodukt a symbol ü Ôý budeme čítať ako ultramocnina Ô modulo ú.

Je potrebné ešte povedať, že zápis ü Ôíý nie je úplne presný, pretože redukovaný súčin závisí nielen na filtre ú, ale aj na funkcii þÔíD e = O�.59 Uvedomme si, že ak O je spočítateľná množina, tak þÔíD e = O� môžeme písať ako �Ôíy % Ôí{ % ( % ÔíZ % ( �.

Skúsme predchádzajúcu definíciu aplikovať na štruktúry jazyka � � �á% K% ä�. Opäť nech O je neprázdna množina a ú je vlastný filter na O a pre každé e = O je èí � �Ôí % ¦í� štruktúra jazyka �. Dohodnime sa, že interpretáciu relácie � = K,

57 Zaviedol ho v roku 1930 nórsky matematik Thoralf Albert Skolem (viď ����). 58 Definíciu filtra získame z definície 2.1. odstránením podmienok �eU� a �U�. Vlastný filter znamená, že je rôzny od množiny O. 59 Symbolom þÔíD e = O� rozumieme nejakú funkciu  , ktorá každému e priradí práve jedno Ôí.

39

respektíve funkcie â = á v štruktúre èí budeme značiť �í , respektíve âí . Konštanty v èí budeme značiť cí . Definícia60 3.2. Redukovaný súčin ü èíý je štruktúra jazyka �, ktorá spĺňa:

�n� Základná množina ü èíý je ü Ôíý

�nn� Nech � je n-árny relačný symbol v jazyku<�. Interpretácia � v ü èíý je

relácia � taká, že ��Tý" % Tý$ % ( % Tý � práve vtedy, keď

�e = O% �í}Tý" �e�% Tý$ �e�%( % Tý �e�~� = ú

�nnn� Nech â je n-árny funkcionálny symbol v jazyku<�. Interpretáciou â v ü èíý je funkcia â daná predpisom

â�Tý" % Tý$ % ( % Tý � � þâí}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~D e = O�ý .61

�n�� Nech � je konštanta v jazyku �. Interpretáciou � je prvok � = ü Ôíý , kde

� � þ�íD e = O�ý

Je samozrejme potrebné overiť korektnosť definície, teda či pojmy, v ktorých vystupujú triedy ekvivalencie, nezávisia od svojich reprezentantov. Pretože však stačí použiť len definície ultrafiltra a relácie ekvivalencie ním danej, môžeme povedať, že je to triviálne.

Teraz si dokážeme dve dôležité tvrdenia o ultraproduktoch. Prvé z nich hovorí o prechode z jazyka � na jeho rozšírenie �. Veta62 3.3. }����<�<B����B� �~ Nech � je rozšírením jazyka �. Nech O je neprázdna

množina a pre každé e z O nech èí je štruktúra � a ôí je rozšírenie èí do �. Nech ú je filter na O. Potom redukovaný súčin ü ôíý je rozšírením redukovaného súčinu ü èíý do �.

Dôkaz: Pre každé e majú modely èí a ôí rovnakú základnú množinu Ôí � õí . Preto aj ü Ôíý � ü õíý . Pretože ôí je rozšírením èí do �, tak každý symbol v � má rovnakú interpretáciu v ôí aj v èí . Z definície 3.2. vidíme, že interpretácia v ü èíý závisí len na interpretáciách v štruktúrach èí , na základnej množine a na filtre ú. To však znamená, že každý symbol z � má v ü èíý aj v ü ôíý rovnakú interpretáciu, ergo druhý redukovaný súčin je rozšírením prvého do jazyka �.

h

60 Viď ��� str.216, 4.1.6. 61 Pod þâí}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~D e = O� rozumieme nejaká funkciu �D O 7 ì, kde ì je množina, ktorej

prvky majú tvar âí}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~; âí je interpretáciou â v èí,<T"% T$% ( % T sú pevne dané funkcie a e = O. Vidíme, že funkcia � každému e = O priradí nejaký prvok z Ôí, to jest � patrí do û, a preto má zmysel uvažovať aj �ý. 62 Viď ��� str.216, 4.1.8.

40

O dôležitosti druhého tvrdenie napovedá už jeho názov.

Veta63 3.4. (Základná veta o ultraproduktoch) Nech è je ultraprodukt ü èíý a nech O je indexová množina. Potom:

�n� Pre každý term Õ��"% �$% ( % � � jazyka � a Tý" % Tý$ % ( % Tý = è � ü Ôíý platí Õè�Tý" % Tý$ % ( % Tý � � þÕè�}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~D e = O�ý ,

�nn� Ak ï��"% �$% ( % � � je formula jazyka � a Tý" % Tý$ % ( % Tý = è, tak potom è ó ï�Tý" % Tý$ % ( % Tý � práve vtedy, keď �e = OD èí ó ï}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~� = ú,

�nnn� Pre každú uzavretú formulu ï jazyka � platí è ó ï práve vtedy, keď :e = OD èí ó ï; = ú.

Dôkaz: �eee� okamžite plynie z �e� a �ee�. Dôkazy �e� a �ee� budeme robiť indukciou vzhľadom na termy a formule.

�n� Z definície redukovaného súčinu vidíme, že �e� platí, ak Õ��"% �$% ( % � � je tvaru â��"% �$% ( % � � a tiež ak Õ��"% �$% ( % � � je konštanta alebo premenná. Predpokladajme, že

Õ��"% �$% ( % � � � â}Õ"��"% �$% ( % � �% Õ$��"% �$% ( % � �%( % Õ@��"% �$% ( % � �~,

kde â je funkionálny symbol jazyka � a termy Õ"% Õ$% ( % Õ@ spĺňajú �e�. Potom z definície interpretácie termov máme

Õè�Tý" % Tý$ % ( % Tý � �â}Õ"è�Tý" % Tý$ % ( % Tý �% Õ$è�Tý" % Tý$ % ( % Tý �%( % Õ@è�Tý" % Tý$ % ( % Tý �~,

kde funkcia â je interpretácia symbolu â v ultraprodukte è. Pretože Õ"% Õ$% ( % Õ@ spĺňajú �e�, tak pre _ � �% �%( %? platí

Õfè�Tý" % Tý$ % ( % Tý � � þÕfè�}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~D e = O�ý Uýf .

Z definície 3.2. �eee� máme

â�Uý" % Uý$ % ( % Uý@� � þâí}U"�e�% U$�e�%( % U@�e�~D e = O�ý.

Opätovným užitím definície interpretácie termov dostávame, že

Õè�}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~ � âí}U"�e�% U$�e�%( % U@�e�~.

Ak to všetko spojíme, dostaneme

Õè�Tý" % Tý$ % ( % Tý � � â�Uý" % Uý$ % ( % Uý@� �

� â}Õf"�Tý" % Tý$ % ( % Tý �% Õ$è�Tý" % Tý$ % ( % Tý �%( % Õ@è�Tý" % Tý$ % ( % Tý �~ �

63 Viď ��� str.217, 4.1.9.

41

� þâí}Õf"�Tý" % Tý$ % ( % Tý �% Õ$è�Tý" % Tý$ % ( % Tý �%( % Õ@è�Tý" % Tý$ % ( % Tý �~D e = O�ý �

� þÕè�}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~D e = O�ý

To jest Õ��"% �$% ( % � � spĺňa �e�. r

�nn� Pomocou �e� ľahko overíme, že �ee� platí pre atomické formuly. Ďalej budeme postupovať podobne, ako pri dôkaze �e� – teda budeme využívať definíciu interpretácie štruktúry ô.

Predpokladajme, že ï � ]ð��"% �$% ( % � � a �ee� platí pre ð��"% �$% ( % � �. Potom nasledujúce výroky sú ekvivalentné:

è ó ï�Tý" % Tý$ % ( % Tý �; nie je pravda, že è ó ð�Tý" % Tý$ % ( % Tý �; �e = OD èí ó ð}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~� � ú;

�e = OD ��<��<�B����% ��<èí ó ð}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~� = ú;64

�e = OD èí ó ï}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~� = ú.

Ďalej musíme ukázať, že ak formuly ð"% ð$ spĺňajú �ee�, tak to spĺňa aj formula ï � ð"<ð$. Opäť sú nasledujúce výroky sú ekvivalentné:

è ó ï�Tý" % Tý$ % ( % Tý �; �e = OD èí ó ð"<ð$}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~� = ú;

�e = OD èí ó ð"}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~<<èí ó ð$}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~� = ú;

�e = OD èí ó ð"}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~� £ �e = OD èí ó <ð$}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~� = ú

è ó ð"�Tý" % Tý$ % ( % Tý �<<è ó ð$�Tý" % Tý$ % ( % Tý �.65

Potrebujeme ešte dokázať, že ak �ee� platí pre ð��.% �"% ( % � �, tak platí aj pre ï��"% �$% ( % � � � �C�.�ð��.% �"% ( % � �. Potom nasledujúce výroky sú ekvivalentné:

è ó ï�Tý" % Tý$ % ( % Tý �; existuje nejaké âý. = è také, že è ó ð�Tý. % Tý" % ( % Tý �;

�� existuje nejaké âý. = è také, že �e = OD èí ó ð}T.�e�% T"�e�%( % T �e�~� = ú;

64 Využili sme vlastnosť ultrafiltra �eU� z definície 2.1., aby sme ukázali ekivalenciu tretieho a štvrtého riadku. Toto je jediný prípad, kedy potrebujeme, aby ú bol ultrafilter. 65 Využili sme, že pre každý filter ú platí d £k = ú pvk d%k = ú. Je to tak, pretože d £k � d%k.

42

Keďže èí ó ð}T.�e�% T"�e�%( % T �e�~ implikuje èí ó ï}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~, tak �� implikuje

�� �e = OD èí ó ï}T"�e�% T$�e�%( % T �e�~� = ú;

Na druhej strane ak �� platí, tak môžeme vybrať nejakú funkciu T. = ü Ôíí=ë takú, že platí ��. To ale znamená, že �� a �� sú skutočne ekvivalentné, a preto je �� ekvivalentný aj výrok è ó ï�Tý" % Tý$ % ( % Tý �, to jest formula ï má naozaj vlastnosť �ee�.

h

Časť �ee� práve dokázanej vety sa nazýva tiež Łośova66 lema. Časť �eee� je jej špeciálny prípad a zvykne sa nazývať princíp prenosu.

Vráťme sa k tomu, čo je našim cieľom. Chceli by sme rozšíriť reálne čísla na hyperreálne a zároveň na � preniesť aj všetky funkcie a relácie z �. Základ na prenášanie relácií a funkcií už máme – sú ním ultramocniny. Skúsme teraz popísať, ako to bude fungovať.

Najprv si zadefinujme jeden veľmi užitočný pojem, ktorý, ako uvidíme, nám už je vlastne známy. Nech je O neprázdna množina, ú vlastný filter na O a è je štruktúra jazyka �. Prirodzené vnorenie štruktúry è do ü èý je taká funkcia , že �c� je triedou ekvivalencie konštantnej funkcie, ktorej hodnota je c, to jest �c� � þcD e = O�ý. Obor hodnôt značíme ako �Ô� a zúženie ü èý na �Ô� zas ako �è�.

Teraz uvažujme štruktúru è � �Ô% O� jazyka � nekonečnej mohutnosti �. Teda na množine Ô je práve �� rôznych funkcií a relácií. Rozšírme jazyk � pridaním nových symbolov pre každú funkciu a reláciu na Ô a konštantný symbol pre každý

prvok Ô. To jest v takto utvorenom jazyku �� bude �� nových funkcionálnych a relačných symbolov a � nových konštantných symbolov. Nech štruktúra è� � �Ô% O�� je rozšírením è do jazyka ��, kde každému novému symbolu je

priradená jeho prirodzená interpretácia, to jest ak ��, resp. â�, resp. �� je nový konštantný symbol prislúchajúci prvku �, resp. funkcionálny symbol prislúchajúci nejakej funkcii â, resp. relačný symbol prislúchajúci nejakej relácii �, tak

interpretácia �� v è�je �, resp. interpretácia â� v è� je â, resp. interpretácia �� v è�

je �. Potom budeme è� nazývať zúplnenie è.

Nech è%ô sú dve štruktúry jazyka � a nech è� je zúplnenie è. Budeme hovoriť, že zobrazenie â je úplné vnorenie è do ô práve vtedy, keď existuje

rozšírenie � štruktúry ô do jazyka �� taká, že âDè� ù �. Inými slovami, â je elementárne vnorenie a my môžeme rozšíriť všetky funkcie a relácie z Ô na funkcie

66 Podľa poľského matematika Jerzyho Łośa (viď ����).

43

a relácie na õ tak, že â bude elementárne vnorenie aj z rozšírenia è na rozšírenie z ô. Teda úplné vnorenie je elementárne vnorenie špeciálneho typu.

Nakoniec si uveďme jedno jednoduché tvrdenie, ktoré dáva do súvislosti prirodzené vnorenie s elementárnym a s úplným vnorením.

Lema67 3.5. Nech ú je ultrafilter a è je štruktúra jazyka �. Potom:

�n� prirodzené vnorenie je elementárne vnorenie è do ultramocniny ü èý ,

�nn� prirodzené vnorenie je úplné vnorenie è do ultramocniny ü èý .

Dôkaz: �n� Nech ï��"% �$% ( % � � je formula jazyka � a c"% c$% ( % c = Ô. Potom vďaka vete 3.3. sú nasledujúce výroky ekvivalentné:

ü èý ó ï� c"% c$% ( % c �; :e = OD<è ó ï�c"% c$% ( % c �; = ú;

è ó ï�c"% c$% ( % c �. r

�nn� Nech è� je zúplnením è. Z vety 3.3. vieme ukázať, že D<è� ù ü è�ý .

A z vety 3.2. dostávame, že ü è�ý je rozšírením ü èý do jazyka ��. h

3.3. Neštandardné modely hyperreálnych čísel

Máme v rukách všetky prostriedky na to, aby sme zvládli na hyperreálne čísla preniesť okrem reálnych čísel a vzťahov medzi nimi aj všetky funkcie a relácie z �. Aby sme si pripomenuli, ktoré vlastnosti reálnych čísel sú pre nás najdôležitejšie, zopakujme si axiómy teórie reálne uzavretých polí �2. Jej jazyk budeme značiť � � ��%3% �% �% A<�,68 kde �%3 sú binárne funkcionálne symboly a �% � zas nulárne. Znak A je binárny relačný symbol. Modelom �2 sú samozrejme reálne čísla so sčitovaním, násobením a reláciou menší ��%�%3% �% �% A<� - túto štruktúru budeme značiť �. �2 má štyri skupiny axióm:

�n� axiómy poľa,

�nn� axiómy ostrého usporiadania pre reláciu A,

�nnn� �>�% Û�}�� A Û� 7 �� � Ü A Û � Ü�~ a

�nnn� �>�% Û% Ü��}�� A Û� Þ �� A Ü�~ 7 ��Ü A ÛÜ��, 67 Viď ��� str. 221, 4.1.13. a str.448, 6.4.1. 68 Na Cantorovu počesť.

44

�n�� �>���CÛ� }�� � Û$� ß �� � �Û$�~

��� schéma: pre všetky nepárne prirodzené 9 1 � platí

�>T"% T$% ( % T ��C���� � T"� �" � <�T �" � T � �� Axiómy �eU� a �U� môžeme nahradiť tzv. schémou axiómy o supreme.

�n��� Pre ľubovoľnú formulu ï��% �"% �$% ( % � �, označme ju ï���, je nasledujúca formula axióma:

�C^��>����� 7 � l ^� 7

7 �C8���>���ï��� 7 � l 8� Þ �>^��>��}ï��� 7 ï�^�~ 7 �8 l ^��. čo znamená, že ak pre každé �, ktoré spĺňa ï, existuje nejaké ohraničenie ^, tak existuje také ohraničenie 8, ktoré je najmenšie.

Využime poznatky predchádzajúcej podkapitoly a spojme ich s výsledkami druhej kapitoly. Ako indexovú množinu O si zvoľme prirodzené čísla �. Vezmime na

nich voľný ultrafilter «. Teraz vytvorme ultramocninu ü �« a utvorme jazyk ��.

Označme si ako �� rozšírenie štruktúry � do jazyka ��. Veta 3.2. nám hovorí, že ü ��« je rozšírením ü �« do jazyka ��. Z vety 3.3. vieme, že na ultramocninu ü �« sa prenášajú všetky vlastnosti, ktoré má štruktúra �. Teda keď to spojíme, tak

môžeme povedať, že v ü ��« sa nachádzajú všetky funkcie a relácie, ktoré sú na reálnych číslach<�. A nakoniec lema 3.4. nám dáva, že reálne čísla sú vnorené do ü ��« .

Skúsme si to teraz rozmeniť na drobné. Základná množina ultramocniny ü ��« , je ultramocnina �ü �¢ !" �« � ����« � �. Namiesto znaku ü ��« budeme

používať symbol �. Ak sa pozrieme na definíciu 3.1., tak

�n� základná množina štruktúry � je potom množina �. �nn� Nech �� je m-árny relačný symbol v jazyku<�� a ²"% ²$% ( % ²@ = �, kde ²í � �}8 í ~� pre e � �% �%( %?. Interpretácia relácie �� v � je relácia � taká, že

��²"% ²$% ( % ² � pvk :9 = �% ��8 " % 8 $% ( % 8 @�; = «,

to jest relácia ��� "% � $% ( % � @� je splnená na množine indexov 9, ktorá patrí do

ultrafiltra «, kde � je interpretáciou symbolu �� jazyka �� v štruktúre ��.

�nnn� Nech â� je m-árny funkcionálny symbol v jazyku<�� a ²"% ²$% ( % ²@ = �.

Interpretáciou symbolu â� v � je funkcia â daná predpisom:

â�²"% ²$% ( % ² � � ��â�8 " % 8 $% ( % 8 @�D 9 = ���,

45

čo je trieda ekvivalencie prislúchajúca k postupnosti :â�8 " % 8 $% ( % 8 @�; !"¢ , kde â je

interpretáciou symbolu â� jazyka �� v štruktúre ��.

�n�� Interpretáciou konštanty c� z jazyka �� je nejaký prvok � = �, kde � � ��c��. Vetu 3.5. sme aplikovali o odsek vyššie. Najdôležitejšia je veta 3.4. Pre náš

jazyk �� a štruktúru � vyzerá takto:

�n� Pre každý term Õ��"% �$% ( % �@� jazyka �� a ²"% ²$% ( % ²@ = � platí

Õ��²"% ²$% ( % ² � � �#Õ���8 " % 8 $% ( % 8 @�)�.69

�nn� Ak ï��"% �$% ( % �@� je formula jazyka �� a ²"% ²$% ( % ²@ = �, tak potom

� ó ï�²"% ²$% ( % ² �<^U_<:9 = �D�� ó ï�8 " % 8 $% ( % 8 @�; = «.

�nnn� Pre každú uzavretú formulu ï jazyka �� platí

� ó ï<^U_<:9 = �D�� ó ï; = «.

To ale vlastne znamená, že � ó ï práve vtedy, keď �� ó ï, to jest všetky

uzavreté formule sa prenášajú medzi štruktúrami �� a �, čiže všetky prvorádové vlastnosti reálnych čísel sa prenesú na čísla hyperreálne. Takže vidíme, že � je modelom reálne uzavretých polí, lebo axiómy sú uzavreté formuly.

Pokúsme sa teraz využiť vedomosti o štruktúre � na iný dôkaz toho, že � · Ç��. Vieme, že je vnorené do a tiež, že hyperracionálne čísla sú vnorené do �. Podobne môžeme pristúpiť aj k prirodzeným číslam. Symbolom � sme označili hyperprirodzené čísla. Ďalej vieme, že množina je hustá v �. To jest

� ó �>� = ���>9 = ���C8 = � #E� � 8E A " ).70

Inak povedané, ku každému reálnemu číslu existuje racionálne, ktoré mu je ľubovoľne blízko – „nekonečne blízko“. To nám isto evokuje definíciu nekonečnej blízkosti 2.14. pre hyperreálne čísla.

Princíp prenosu hovorí71, že

� ó �>à = ���>¸ = ���C� = � #Eà � �E A "�),

kde à � ��� ��, Nech ¸ � �9@� je nekonečne veľké prirodzené číslo. Potom zo

sémantiky jazyka �� plynie, že k à = � existuje nejaké � = také, že Eà � �E A "f

69 To jest je to trieda ekvivalencie prislúchajúca nekonečnej postupnosti �Õ���8 " % 8 $% ( % 8 @�� !"¢

. 70 A teda aj ��. 71 Viď ��� str.53, theorem 2.6.

46

pre všetky72 prirodzené _, teda73 Ã Ó �. Opäť vidíme, že pole Ç�©� nezávisí na tom, či dosadíme za © pole � alebo a že Ç��� · Ç�� · �. Okrem iného to znamená, že k množine � sa môžeme dopracovať dvojnásobným opakovaním konštrukcie pomocou ultrafilra. Rozpísané to vyzerá nasledovne:

� � #Ä eN ) �ÊËÌÄ �

�< ON � e #�< ON )ÍÏÐÑ� ÊËÌÄ �

�< ON � e #�< ON )ÍÏÐÑ�

O�

Pripomeňme si, že princíp prenosu nám zaručí platnosť všetkých uzavretých formúl zo štruktúry � aj v štruktúre �. Takto by sa nám potom mala preniesť aj archimedovskosť. Ale o poli � sme si predsa ukázali, že je nearchimedovské.

Aby sme tento rozpor vyriešili, pozrime sa bližšie na to, čo presne urobí princíp prenosu s archimedovskosťou. V � môžeme túto vlastnosť zapísať ako � ó �>� = ���C9 = ���� A 9�. Potom teda princíp prenosu hovorí nasledovné: � ó �>à = ���C¸ = ���à A ¸�. Lenže toto znamená iba, že ku každému à = � existuje nejaké ¸ hyperprirodzené a nie, že jestvuje také ¸ prirodzené. Teda dostávame vlastne akúsi - archimedovskosť.

Naozaj, nech Ú je nejaké nekonečne veľké hyperreálne číslo. Teda Ú � ��� ��. Potom z archimedovskosti � plynie, že pre každé prirodzené 9 jestvuje 9@ také, že � A 9@. Teda � � ¹ � ��9@�� 1 Ú.

Tento príklad nás upozorňuje na to, že musíme byť veľmi opatrný pri používaní princípu prenosu. Je teda dôležité uvedomovať si, ktorým jazykom sa bavíme o ktorej štruktúre.

72 Ak EÃ � �E A "�, tak o to skôr EÃ � �E A "f pre každé ^ = �. 73 To ľahko ukážeme z definície 2.9. �eee�.

47

4. Základy infinitezimálneho kalkulu na �

Dohodnime sa, že pojmom nekonečne malá veličina bude označovať veličinu menšiu než každé reálne číslo v zmysle Newtona a Leibniza. Prvky množiny e� budeme nazývať nekonečne malé čísla a ak nepovieme inak, budú vždy rôzne od nuly.

Vybudovali sme aparát, ktorý nám umožňuje narábať s nekonečne malými a nekonečne veľkými veličinami. Pozrime sa najskôr na dva príklady jeho využitia.

Príklad74 4.1. Pokúsme sa odvodiť vzorec na výpočet obsahu � kruhu ú s polomerom � = �, ak vieme, že jeho obvod je P � �/�. Vpísaný pravidelný n-uholník aproximuje obsah kruhu ú tým presnejšie, čím je 9 väčšie. Obsah n-uholníka

je rovný � � 9 �Z�Z$ � �Z$ P , kde � je výška a Ü základňa trojuholníka, ako to vidno

na obrázku.

Nech ¹ je nejaké nekonečne veľké prirodzené číslo. Potom �Â Ó � a PÂ Ó P. To

jest75 Ö � �<Ö #�Ø$ PÂ) � F$ P � /�$ � �, čo je

obsah kruhu. Alebo inak. Vieme, že obsah nekonečne malého trojuholníka so stranou �Â

a základňou Ü je �Ø�Ø$ . Ale �Â Ó �, teda obsah

� � � �Ø�Ø$ � �Ø$ � Ü � �Ø$ PÂ Ó F$ P � /�$ � �.

Toto bol Leibnizov prístup.

Môžeme postupovať aj obrátene. To jest

vieme, že obsah kruhu ú je ���� � /�$ a chceme odvodiť jeho obvod P���. Vieme, že ak sa polomer � zväčší o nekonečne malé číslo �, tak obsah kruhu sa zväčší o nekonečne tenký pruh s obsahom ��� � �� � ���� � /�� � ��$ � /�$ � �/�� � �$. Vieme ale, že ��� � �� � ���� je identické obsahu obdĺžnika76 P����, to jest P���� � �/�� � �$, a potom platí Ö P��� �<Ö ��/� � �� � �/�.

Príklad 4.2. Pozrime sa na Diracovu funkciu �. Je definovaná tak, že ���� � ×, ���� � � pre � L � a � ���� �� � �G¢�¢ . Neštandardná analýza nám umožňuje

Diracovu funkciu definovať veľmi elegantne. Nech � = e� je ľubovoľné. Potom ���� � "$� na uzavretom intervale77 �– �% �� a ���� � ���� � � inde.78 To jest

74 Viď ��� str.96, príklad 4.1.1. a ���� str.73-74. 75 Pripomeňme, že ÖD Ä� 7 �, Ö c � ´Õ<c. 76 Pretože � je nekonečne malé, tak aj P��� Ó P�� � ��. 77 Čo znamená interval v � špecifikujeme nižšie.

Obrázok 1 - Mnohouholník vpísaný do kruhu

48

Ö � ���� �� �<Ö � ���� �� �<Ö #�� "$�)G���G¢�¢ �<Ö � � �.79

r

4.1. Spojitosť

Často krát budeme pracovať s nejakou podmnožinou reálnych čísel Ô. Je dôležité vedieť, ako bude vyzerať množina Ô. Princíp prenosu hovorí, že à = Ô práve vtedy, keď existuje nejaká množina d z ultrafiltra « taká, že � = Ô pre všetky 9 = d, teda<Ô � :à � ��� �� = �D<:9% � = Ô; = «;. Napríklad pre otvorený interval O � �c% ª� platí, že O � :à � ��� �� = �D<:9% c A � A ª; = «;. Podobne rozšírime do � aj ostatné typy intervalov.

Kľúčovým pojmom v ��-analýze je pojem limity80. Ten nám umožnil vyhnúť sa nekonečne malým veličinám – infinitezimáliám pri definovaní základných pojmov matematickej analýzy. Pretože vieme nekonečne malé veličiny uchopiť, nepotrebujeme pojem limity ako základný nástroj, ktorým budeme budovať matematickú analýzu.

Pripomeňme si pojem spojitosti funkcie v bode.

Definícia 4.3. Nech âD ��.� 7 �, kde ��.� je okolie bodu �., je funkcia. Nech �% � = �. Hovoríme, že â je spojitá v bode �., ak

�>� 1 ���C� 1 ��}>� = ��.�~D �E� � �.E A �� 7 �Eâ��� � â��.�E A ��. Pokúsme sa využiť naše vedomosti o hyperreálnych číslach na alternatívnu definíciu spojitosti. Spomeňme si na vetu 2.15. Vďaka nej vieme, že každé reálne číslo je vsadené medzi hyperreálne čísla, ktoré sú mu nekonečne blízko. Skúsme využiť tento fakt.

Veta 4.4. Funkcia âD ��.� 7 � je spojitá v bode �. práve vtedy, keď

�>� = e��D }â��. � �� Ó â��.�~

to jest Ö }â��. � ��~ � ´Õ<â��. � �� � â��.�, kde â��.� je reálne číslo.

Funkcia Ö predstavuje iný spôsob, ako zachytiť nekonečnú blízkosť dvoch čísel. V podstate pomáha zachytiť prechod z hyperreálnych čísel späť na čísla reálne.

78 Teda Ö ���� � × na uzavretom intervale �– �% �� a pre všetky � = �– �% �� platí Ö � � �. 79 Diracova funkcia musí byť hladká, ale to nie je problém zabezpečiť. 80 Pre pripomenutie, hovoríme, že funkcia âD ��.� 7 � má v bode �. limitu rovnú c = �, ak pre každé � kladné existuje � kladné také, že pre všetky � = ��.�, � L �. platí Eâ��� � cE A �.

49

Ešte pred dôkazom si všimnime, kde nám pri neštandardnej definícii spojitosti „zmizli“ dva kvantifikátory. Využili sme, že každé reálne číslo � je v � obklopené nekonečne malými číslami. To jest ku každému � jestvuje jeho okolie tvorené prvkami množiny e�. Nepresne ale o to názornejšie Ö �� � e�� � �. Teda existencia takéhoto okolia je esenciálnou vlastnosťou každého prvku z � v hyperreálnych číslach, a preto jeho existenciu netreba zvlášť pripomínať.

Alebo inak. V klasickej definícií spojitosti musíme zachytiť to, že malá zmena argumentu funkcie spôsobí malú zmenu funkčnej hodnoty. Ale malosť vieme reprezentovať len akoby dynamicky – to jest „pohybovaním“ � hýbeme aj �. Čiže � je funkciou �. Naproti tomu vďaka nekonečne malým číslam a teda aj nekonečne malým veličinám vieme priamo povedať, čo je malá zmena na vstupe a prislúchajúca malá zmena na výstupe.

Dôkaz: (nutná podmienka) Nech â je spojitá. Zvoľme nejaké � 1 �. Potom k nemu existuje � 1 � také, že �E� � �.E A �� 7 �Eâ��� � â��.�E A ��.

Nech<� � ��� �� = e�. Potom isto �. � � = ��. � �% �. � �� a �. � � Ó �.. To jest existuje nejaká množina d z ultrafiltra « taká, že pre každé 9 = d je E�. � � � �.E � � A �.81

Potom ale tiež Eâ��. � � � � â��.�E A �, to jest â��. � �� Ó â��.�.82

(postačujúca podmienka) Nech â nie je spojitá v bode �.. Ukážme, že existuje à = � také, že Ã Ó �. ale â�Ã� ! â��.�. Pretože â nie je spojitá v bode �., existuje reálne � 1 � také, že pre ľubovoľné

reálne � 1 � existuje nejaké �y" také, že #�y" � �.# A � a #â ��y"�� â��.�# b �.

Voľme za � postupne " . To jest dostaneme postupnosť reálnych čísel �� �

takých, že E� � �.E A � a Eâ�� � � â��.�E b �. To ale znamená, že à � ��� �� Ó �. a zároveň â�Ã� ! â��.�, čo je spor.

Uvedomme si ešte, že à � �. � �, kde � � ��� �� � ��� � �.�� = e�. h

Veta 4.2. vlastne zadáva alternatívnu, neštandardnú definíciu spojitosti. Vidíme, že oproti definícií štandardnej si vystačí len s jedným kvantifikátorom. Tým pádom je aj názornejšia, čo je jej ďalšia výhoda.

Teraz ľahko zavedieme neštandardne aj definíciu spojitosti v bode sprava, resp. zľava.

81 � = e�, to jest � A � pre všetky � = �, a teda aj pre naše �. Nezabudnime, že relácia A bola na množine� zadefinovaná po zložkách. 82 Pretože � bolo ľubovoľné.

50

Lema 4.5. Hovoríme, že funkcia âD ��.� 7 � je spojitá v bode �. sprava, resp. zľava, ak pre všetky kladné � = e� platí

â��. � �� Ó â��.�, resp. â��. � �� Ó â��.� Skúsme využiť neštandardnú definíciu spojitosti na dôkaz niektorých

vlastností spojitých funkcií v bode.

Veta 4.6. Nech âD "��.� 7 �<% ãD $��.� 7 � sú funkcie spojité v bode �.. Nech � = �. Potom sú spojité aj funkcie â ½ ã, âã, �â a ak ã��.� L �, tak aj ê$.

Dôkaz: Všetky tieto vlastnosti spojitých funkcií triviálne odvodíme z toho, že zobrazenie Ö je homomorfizmus.

h

Veta 4.7. Nech âD ��.� 7 � je funkcia spojitá v bode �. a nech ãD }â��.�~ 7 � je

funkcia spojitá v bode â��.�. Potom funkcia � � ã ¶ â je spojitá v bode �..

Dôkaz: Nech � = e� je ľubovoľné. Potom

���. � �� � �ã ¶ â���. � �� � ã #â��.� � }â��. � �� � â��.�~).

Ale â je spojitá v bode �., a preto â��. � �� � â��.� je nekonečne malé číslo, a teda zo spojitosti ã v bode â��.� dostávame, že

ã #â��.� � }â��. � �� � â��.�~) Ó ã}â��.�~ � ���.�. h

Definícia 4.8. Hovoríme, že funkcia âD O 7 � je spojitá na intervale O, ak

�>� = O��>� = e��D }â�� � �� Ó â���~ a â je spojitá sprava v pravom, resp. zľava v ľavom koncovom bode intervalu O, ak tieto body do intervalu O patria.

Veta 4.9. Nech âD O 7 � je spojitá funkcia na uzavretom intervale O � �c% ª�. Potom je ohraničená. To jest existuje také % = �, že pre všetky � = �c% ª� je % 1 Eâ���E

Dôkaz: Nech neexistuje také % = �. Teda ku každému reálnemu % nájdeme �& = �c% ª� také, že % A Eâ��&�E. Princíp prenosu nám dáva, že pre každé ' z � existuje nejaké Ã( = O také, že Eâ�Ã(�E A '. Pretože to platí pre ľubovoľné hyperreálne číslo, tak to platí aj pre nejaké )= � � Ä�. Potom teda existuje dáke

51

Ã) = O také, že )A Eâ�Ã)�E. Ale zároveň platí Ö Ã) � � = O.83 Zo spojitosti potom máme â�Ã)� Ó â��� = �. Ale to je spor.

h

Veta 4.10. (Weierstrassova veta o maxime, resp. minime) Nech âD O 7 � je spojitá funkcia na uzavretom intervale O � �c% ª�. Potom existuje � = �c% ª� také, že â v ňom nadobúda maximum, resp. minimum, to jest pre každé � = �c% ª� platí â��� l â���, resp. â��� b â���.

Dôkaz: Uvažujme prípad maxima. Z vety 4.9. vieme, že â je ohraničená na O. Preto existuje supremum84 množiny â�O� � :â���% � = O; . Označme ho Ô. Potom pre ľubovoľné kladné � = � existuje nejaké �o = O také, že â��o� b Ô � �. Princíp prenosu hovorí, že pre ľubovoľné kladné � = � existuje nejaké Ã� � ��� ��� = O také, že â�Ã�� b �Ô � �� � ��Ô � ���. To jest existuje nejaká množina d z ultrafiltra « taká, že pre všetky 9 = d je â�� �� b Ô � �. Uvažujme kladné � = e�. Potom Ô � � Ó Ô a zo spojitosti â vyplýva â�Ã�� Ó â���� pre �� = O, Ã� Ó �� . Položme �� � �. To jest â��� � Ô. Dôkaz pre minimum je obdobný.

h

Dôkaz Weierstrassovej vety môžeme ale urobiť aj nasledovne:

Nech ¹ je nejaké nekonečne veľké číslo. Rozdeľme interval O ekvidištantne na ¹ častí. Vyberme množinu bodov :c � Ã.% Ã"% ( % à� ª; � O, pre ktoré platí Ãí � Ãí�" � *�g � �Â. To jest Ãí � c � e�Â. Vidíme, že � je nekonečne malé číslo,

a teda Ãí Ó Ãí�"% e � �% �%( % ¹. Pozrime sa na postupnosť :â�c � 9�Â�; !" . Z hľadiska množiny � je to konečná potupnosť, a preto dokážeme vybrať jej najväčší prvok. Označme si bod, v ktorom ho postupnosť dosahuje, ako c � ?�Â. Teda platí, že â�c � ?�Â� b â�c � 9�Â� pre každé 9 l ¹. Lež pre každý bod intervalu O platí (a tým skôr pre interval O), že k nemu existuje nejaký bod è � c � ^�Â% ^ l ¹, ktorý mu je nekonečne blízko. Zo spojitosti potom plynie, že Ö â�c �?�Â� b â��� pre každé � z O. Stačí teraz položiť � �<Ö �c � ?�Â�. Pre minimum je dôkaz podobný.

h

Uvedomme si, že druhý dôkaz Weierstrassovej vety nepotreboval vetu 4.9. Tá nám z neho vyplynula ako triviálny dôsledok.

Veta 4.11. (Bolzanova veta o medzihodnote) Nech âD O 7 � je spojitá funkcia na uzavretom intervale O � �c% ª� a â�c�â�ª� l �. Potom existuje bod � = O taký, že â��� � �.

83Pretože Ã) = O a O � :à � ��� �� = �D<:9% c l � l ª; = «;. 84 Vďaka tomu, že reálne čísla sú modelom reálne uzavretých polí.

52

Dôkaz: Ak â�c�â�ª� � �, tak tvrdenie vety je triviálne. Nech teda â�c�â�ª� A �. Bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať, že â�c� A �. Nech ¹ je nejaké nekonečne veľké číslo. Opäť rozdeľme interval O na ¹ častí. Vyberme

množinu bodov :c � Ã.% Ã"% ( % à� ª; � O, pre ktoré platí Ãí � Ãí�" � *�g � �Â. To

jest Ãí � c � e�Â. Vidíme, že � = e�, a preto Ãí Ó Ãí�"% e � �% �%( % ¹. Vytvorme množinu k � :9 l ¹% â�c � 9�Â� A �<;. Pretože â�ª� 1 �, tak isto existuje maximum množiny k. Označme ho ?. To jest â�c � ?�Â� A � a zároveň â�c � �? � ���Â� b �. Ale platí c � ?� <Ó c � �? � ���Â, a teda zo spojitosti plynie, že aj â�c � ?�Â� Ó â�c � �? � ���Â�. To znamená, že pre � �<Ö �c � ?�Â� platí Ö â�c � ?�Â� �<Ö â�c � �? � ���Â� � â��� � �.

h

Všimnime si, že delenie intervalu na nekonečne mnoho dielikov nám umožnilo urobiť dôkaz Weierstrassovej a Bolzanovej vety vlastne tým istým spôsobom. Využili sme to, že každý bod intervalu bol nekonečne blízko nejakému bodu delenia intervalu a že funkcia bola spojitá na intervale.

4.2. Diferenciálny počet

Dokázali sme si niektoré tvrdenia o spojitosti. Postúpme teraz ďalej k pojmom, ktoré boli historicky zavedené pomocou nekonečne malých veličín a vlastne kvôli tomu aj najviac kritizované.

Newton funkcie chápal ako pohyb bodu v čase. Úlohe o hľadaní derivácie prislúchajúcej k nejakej funkcii potom rozumel ako snahu o nájdenie okamžitej rýchlosti v danom časovom momente. Naproti tomu Leibniz deriváciu funkcie chápal geometricky ako smernicu dotyčnice funkcie v danom bode. V oboch prípadoch tieto

úvahy vedú k podielu ê�+ÉG|+��ê�+É�,+ pre nejaké �� L �. Obrázok nám ilustruje, že pre

�� blížiace sa k 0 sa podiel ê�+ÉG|+��ê�+É�|+ bude blížiť k okamžitej rýchlosti v �., resp.

k smernici dotyčnice v bode �.. Klasická definícia derivácie znie:

Definícia 4.12. Budeme hovoriť, že funkcia âD ��.� 7 � má v bode �. deriváciu, ak existuje

limita 5�6|+7. ê�+ÉG|+��ê�+É�|+ .

Deriváciu â v bode �. budeme značiť â���.�. Veta 4.13. Funkcia âD ��.� 7 �

Obrázok 2 – Ilustrácia výpočtu derivácie funkcie v bode

53

má v bode �. deriváciu, ak â���.� je reálne číslo a pre každé<� = e�platí

ê�+ÉG���ê�+É�� Ó â���.�, čiže Ö #ê�+ÉG���ê�+É�� ) � â���.�. Dôkaz: (nutná podmienka) Nech existuje 5�6|+7. ê�+ÉG|+��ê�+É�|+ � â���.�. To

znamená, že pre každé reálne � kladné existuje reálne � kladné také, že pre všetky E��E A �, platí sê�+ÉG|+��ê�+É�|+ � â���.�s A �. Nech E��E � � Ó �. Zvoľme ľubovoľné

reálne � 1 �. K nemu potom existuje kladné reálne � také, že pre E��E A � je sê�+ÉG|+��ê�+É�|+ � â���.�s A �. Pretože E��E � � = e�, tak je � určite menšie ako �, a

teda platí sê�+ÉG���ê�+É�� � â���.�s A �. Pretože � bolo ľubovoľné, tak naozaj

ê�+ÉG|+��ê�+É�|+ Ó â���.�. (postačujúca podmienka) Nech pre ľubovoľné<� nekonečne malé platí ê�+ÉG���ê�+É�� Ó â���.� a zároveň nech neexistuje derivácia funkcie â v bode �.. Teda

existuje reálne � kladné, že pre všetky reálne � kladné existuje nejaké ��y" také, že

��y" A � a sê�+ÉG|+��ê�+É�|+ � â���.�s b �. Voľme za � postupne " . To jest dostaneme

postupnosť reálnych čísel ��� � takých, že E�� E A " a sê�+ÉG|+Z��ê�+É�|+Z � â��.�s b �

pre všetky 9 prirodzené. To ale znamená, že � � ���� �� = e� a zároveň ê�+ÉG���ê�+É�� ! â��.�, čo je spor.

h

Vidíme, že dôkaz ekvivalencie klasickej a neštandardnej definície je veľmi podobný dôkazu ekvivalencie definícií spojitosti. To nie je veľmi prekvapivé nakoľko platí, že ak âD ��.� 7 � má v bode �. deriváciu, tak â je v bode �. aj spojitá. Naozaj,

nech � = e� je ľubovoľné. Vieme, že platí ê�+ÉG���ê�+É�� Ó â���.�. To implikuje, že â��. � �� � â��.� Ó �â���.�. Ale �â ���.� Ó �, a teda aj â��. � �� � â��.� Ó �.

Vymenujme základné vlastnosti derivácie v bode.

Lema 4.14. Budeme hovoriť, že funkcia âD ��.� 7 � má v bode �. deriváciu sprava, resp. deriváciu zľava, ak â���.� je reálne číslo a pre každé kladné<� = e�, resp. každé záporné � = e� platí

ê�+ÉG���ê�+É�� Ó â���.�.

54

Veta 4.15. Nech funkcie âD "��.� 7 � resp. ãD $��.� 7 � majú v bode �. deriváciu â���.�, resp. ã���.� a nech � = �. Potom aj funkcie �â% â � ã% âã majú v bode �. deriváciu a platí:

��â����.� � �â���.�% �â � ã����.� � â���.� � ã���.�% �âã����.� � âã���.� � â�ã��.� Dôkaz: To, že funkcie �â% â � ã majú deriváciu v bode �. a že ich derivácie

majú príslušný tvar je jasné z definície.

Pozrime sa na deriváciu funkcie âã v bode �.. Zvoľme � = e�. Potom použitím I. Mojžišovho triku85 a vďaka spojitosti â v bode �. dostávame:

ê�+ÉG��$�+ÉG���ê�+É�$�+É�� � â��. � �� }$�+ÉG��G$�+É�~� � ã��.� }ê�+ÉG���ê�+É�~� Ó Ó â��.�ã���.� � â���.�ã��.�. h

Veta 4.16. Nech funkcia âD ��.� 7 � má deriváciu â���.� v bode �. a funkcia ãD }â��.�~ 7 � má deriváciu ã���.� v bode â��.�. Potom aj funkcia ã ¶ â má

deriváciu v bode �. a �ã ¶ â����.� � ã�}â��.�~â���.�. Dôkaz: Zvoľme � = e�. Potom použitím II. Mojžišovho triku86 a vďaka

spojitosti â v bode �. dostávame:

$}ê�+ÉG��~�$}ê�+É�~� � $}ê�+ÉG��~�$}ê�+É�~ê�+ÉG���ê�+É� 3 ê�+ÉG���ê�+É�� Ó ã�}â��.�~â���.�. h

Pri dôkazoch dvoch predchádzajúcich viet bol kruciálnym fakt, že derivácia v bode implikuje spojitosť v bode. Inak by oba dôkazy stroskotali, pretože v oboch sme na ich dokončenie potrebovali, aby â��. � �� Ó â��.�.

Obráťme teraz pozornosť na výpočet derivácií konkrétnych funkcií.

Príklady 4.17. Ukážme, čomu sa rovná derivácia funkcie â��� � �$ v bode �.. Nech � = e�. Potom

Ö #ê�+ÉG���ê�+É�� ) �<Ö #+É{G$�+ÉG�{�+É{� ) �Ö ���. � �� � ��..

Podobne nech â��� � �. Potom ê�+ÉG���ê�+É�� � +ÉG��+É� � �.

Na týchto príkladoch sme demonštrovali, ako sa „zbaviť“ nekonečne malých čísel potom, čo nám preukázali svoje „služby“. V podstate sme zopakovali postup,

85 To jest � � c � c. 86 To jest � � gg.

55

akým deriváciu funkcie �$, či � odvodil Newton, len namiesto nekonečne malých veličín sme pracovali s nekonečne malými číslami. Na rozdiel od neho však vďaka neštandardnej analýze vieme presne povedať, prečo sme mohli nekonečne malým číslom � deliť a zároveň ho v poslednej rovnosti považovať za �.

Postup, ktorý sme uviedli na výpočet derivácie funkcie �$ v bode �., má všeobecnejší charakter. Pozostáva z týchto krokov:

�e� Vyjadríme rozdiel â��. � �� � â��.�. �ee� Upravíme ho na tvar �}Ô��.� � õ��.% ��~, pričom v õ��.% �� sa � nachádza

len v tvare súčinu.

�eee� Tento výraz vydelíme veličinou �.

�eU� „Zanedbáme“ výraz õ��% ��. Pokyny bodov �e� a hlavne �ee� sú otázkou techniky. Zdôvodnenie bodov �eee�

a �eU�, teda že raz je � nenulové a potom zas nulové, však predstavovalo pre Newtona, Leibniza a ich nasledovníkov neprekonateľnú prekážku. My sme vybudovali techniku, ktorá nám problém bodov �eee� a �eU� umožňuje obísť. Obísť, nie vyriešiť. Jeho riešenie je totižto obor filozofie matematiky a tá nad týmto obrom doposiaľ nezvíťazila.

Pozrime sa na niektoré klasické výsledky diferenciálneho počtu.

Definícia 4.18. Nech âD O 7 � je spojitá funkcia na intervale O. Hovoríme, že â je diferencovateľná na intervale O, ak existuje derivácia â���� pre každé � = O a â má v pravom koncovom bode intervalu O deriváciu sprava, resp. v ľavom deriváciu zľava, ak tieto body do intervalu O patria.

Veta 4.19. (Rolleho veta) Nech âD O 7 � je spojitá funkcia na uzavretom intervale O � �c% ª� a diferencovateľná na intervale �c% ª�. Nech â�c� � â�ª�. Potom existuje bod �. = O taký, že â���.� � �.

Dôkaz: Nech â ø �, � reálne. Potom triviálne â ���� � � pre každé � = O. Nech â - �. Vieme, že funkcia â nadobúda na O extrém. Nech â nadobúda maximum a �. je bod maxima. Potom platí â��.� b â��� pre každé � = O a princíp prenosu hovorí, že â��.� Ó â�Ã.� b â�Ã� pre každé à = O. To jest pre kladné � = e�, resp. záporné . = e� platí

ê�+ÉG���ê�+É�� l �, resp. ê�+ÉG/��ê�+É�/ b �. Ale â je diferencovateľná

v bode �., a preto musí byť â���.� � �. Pre minimum je dôkaz obdobný.

h

Veta 4.20. (Lagrangeova) Nech âD O 7 � je spojitá funkcia na uzavretom intervale O � �c% ª� a diferencovateľná na intervale �c% ª�. Potom existuje bod �. = �c% ª� taký, že â�ª� � â�c� � â���.��ª � c�.

56

Dôkaz: Uvažujme funkciu ã��� � â��� � â�c� � �� � c� ê�*��ê�g�*�g . Ľahko

overíme, že spĺňa predpoklady Rolleho vety, a teda existuje nejaký bod �. = �c% ª� taký, že ã���.� � �, to jest � � â���.� � ê�*��ê�g�*�g .

h

Veta 4.21. Nech âD O 7 � je spojitá funkcia na uzavretom intervale O � �c% ª� a diferencovateľná na intervale �c% ª�. Nech â���� � � pre každé � = O. Potom je â konštantná ne celom intervale O.

Dôkaz: Nech c A � A Û A ª. Potom podľa predchádzajúcej vety existuje Ü. = ��% Û� také, že � � â��Ü.� � ê�0��ê�+�0�+ . To jest â�Û� � â���. Pretože â je spojitá

sprava v bode c a zľava v bode ª, tak platí aj â�c� � â��� � â�ª� pre každé � = �c% ª�. h

Veta 4.22. (Cauchyho) Nech âD O 7 �% ãD O 7 � sú diferencovateľná na intervale �c% ª�. Nech ã���� L � pre každé � = O. Potom existuje taký bod �. = �c% ª�, že platí ê��+É�$��+É� � ê�*��ê�g�$�*��$�g�. Dôkaz: Z Lagrangeovej vety vieme, že existuje Û. = �c% ª� také, že $�*��$�g�*�g � ã��Û.� L �. Preto ã�ª� � ã�c� L �. Uvažujme funkciu

���� � < }â��� � â�c�~<}ã�ª� � ã�c�~ � }ã��� � ã�c�~}â�ª� � â�c�~< Funkcia � zrejme spĺňa predpoklady Rolleho vety, a preto existuje �. = �c% ª�, tak, že

� � ����.� � â���.�<}ã�ª� � ã�c�~ � ã���.�}â�ª� � â�c�~ h

Posledné štyri vety sme dokázali vlastne rovnako, ako sa to robí v ��- analýze. To jest dokázali sme ich len pomocou štruktúry �. Princíp prenosu potom natiahne ich platnosť aj na štruktúru �. Uviedli sme ich preto, aby sme ukázali, že v metódach neštandardnej analýzy sa nachádza aj aparát identický nástrojom klasickej analýzy.

4.3. Integrálny počet

Pokúsme sa teraz pomocou nekonečne malých veličín zaviesť pojem určitého integrálu. Majme spojitú funkciu â na uzavretom intervale O � �c% ª�. Uvažujme delenie intervalu O na 9 rovnakých častí. Dostaneme tak nejakú množinu bodov

57

ú � :c � �.% �"% ( % � � ª;. Teda �í � �í�" � *�g pre e � �% �%( % 9. Vyberme

z každého intervalu ��í�"% �í� nejaký bod �í pre e � �% �%( % 9 � �. Označme ako û množinu :�"% �$% ( % � ;. Množinu û nazveme výber. Je ľahké nahliadnuť, že súčet á�9% û � � � â��í� í!" *�g � � â��í�� í!" ,

kde � � *�g , je odhadom plochy pod grafom funkcie â. Taktiež je uveriteľné, že čím

je 9 väčšie, tým bude odhad presnejší. Geometricky vlastne sčitujeme stĺpčeky z výškou â��í� a základňou � . Čím je teda 9 väčšie, tým je základňa menšia a tým menej máme v istom zmysle „priestoru“ na výber �í .

Ak si zvolíme nejaké nekonečne veľké číslo ¹ a interval O rozdelíme na ¹ častí,

tak Ãí � Ãí�" � *�g � � je nekonečne malé číslo, to jest Ãí�" Ó Ãí pre e � �% �%( % ¹,

kde Ãí � ���í�� � �í pre e � �% �% �%( % ¹. Nech ¾Â je množina prvkov �í kde �í = �Ãí�"% Ãí� pre e � �% �%( % ¹. Potom

á�¹% ¾Â� 1 � â��í��ÂÂí!" .

Pretože však â je spojitá, tak platí â�Ãí�"� Ó â�Ãí� pre e � �% �%( % ¹, a teda je jedno, ktorý bod z intervalu ��í�"% �í� � �Ãí�"% Ãí� vyberieme. To jest ak â má integrál, tak triviálne platí napríklad

áÀ 1 � }6� 2�=�3�vy%3�� <:â��í�"�;~�ÂÂí!" Ó � }6�42�=�3�vy%3��:â��í�"�;~� 1 á5Âí!" ,

kde zmysel týchto výrazov zabezpečuje Weierstrassova veta, nakoľko â je spojitá a intervaly �Ãí�"% Ãí� sú uzavreté. Označme si vyššie uvedenú ekvivalenciu ako �¶�.

Núka sa nám takáto definícia plochy pod grafom funkcie â.

Definícia 4.23. Nech â je spojitá funkciu na uzavretom intervale O � �c% ª�. Budeme

hovoriť, že â má integrál � â�����*g , 87 ak � â�����*g = � a

�>Y = � � ��D<á�Y% ¾Â� Ó � â�����*g ,

kde ¾Â je ľubovoľný výber.

Z „reálneho“ pohľadu vlastne sčitujeme nekonečne veľa stĺpčekov s nulovou základňou – teda úsečky a vieme nahliadnuť, že plochu pod grafom taký súčet aproximuje nekonečne presne, teda vyplní množinu :��% Û�D<� = O% Û � â���;.88 Teraz sa môžeme pokúsiť ukázať ekvivalenciu medzi našou definíciou a definíciou ��- analýzy. Pripomeňme si ju.

87 � â�����*g predstavuje zatiaľ iba symbol. 88 Teda presnejšie plochu vyplní, ak â je nezáporná funkcia.

58

Definícia 4.24. Nech â je spojitá funkciu na uzavretom intervale O � �c% ª�. Nech funkcia áD� 7 � je definovaná rovnosťou á�9% û � � � â��í�� í!" 1 á�9�, kde û je

ľubovoľný výber. Budeme hovoriť, že funkcia â má na intervale O integrál, ak

existuje 5�6 7¢ á�9�. Výraz 5�6 7¢ á�9� budeme značiť � â�����*g .

Veta 4.25. Nech â je spojitá funkciu na uzavretom intervale O � �c% ª�. Nech funkcia áD� 7 � je definovaná rovnosťou á�9% û � � � â��í�� í!" 1 á�9�, kde û je

ľubovoľný výber. Potom existuje 5�6 7¢ á�9�. Dôkaz: Z Weierstrassovej vety vieme, že spojitá funkcia nadobúda na uzavretom intervale svoje maximum i minimum. Uvažujme výbery

�kí % kí � 6�46�=�+�vy%+��:â��í�"�; % e � �% �%( % 9�, resp.

�?í % ?í � 6� 6�=�+�vy%+��:â��í�"�; % e � �% �%( % 9�. Položme %�9� � � kí�77í!" , ú�9� � � ?í�77í!" . Je ľahké ukázať, že platí

�>?% 9 = ��D }%�?� b ú�9�~ a �>� 1 ���C9.��>9 b 9.�D �%�9� � ú�9� A �� Označme prvú vlastnosť �� a druhú ��. Pre �� nám princíp prenosu dáva, že %�¹� Ó ú�¹� pre nejaké ¹ = � � �. Zo zrejmej nerovnosti ú�9� l á�9� l %�9� pre 9 prirodzené plynie s princípu prenosu, že aj ú�¹� l á�¹� l %�¹� pre ľubovoľný výber ¾Â. Z �� vieme, že ú�¹� l %�º� pre ¹% º = � � �. Teda máme, že

á�¹� l %�¹� Ó ú�¹� l %�º� Ó ú�º� l á�º� Dostali sme, že Ö á�¹� l <Ö á�º� a analogicky dostaneme aj Ö á�º� l<Ö á�¹�.89 Preto Ö á�º� �<Ö á�¹� pre všetky ¹% º = � � �. Položme P �<Ö á�¹�. Potom P Ó á�¹�.

To jest pre všetky reálne � 1 � platí EP � á�¹�E A �. Teda, existuje množina d z ultrafiltra « taká, že pre ¹ � �� 8�� je EP � á� 8�E A �. Nech zároveň platí, že ku každému prirodzenému 9 existuje � kladné, že EP � á� �E 1 �. To ale okamžite dáva spor s EP � á�¹�E A �, čo znamená, že P � 5�6 7¢ á�9�.

h

Z dôkazu a z �¶� je jasné, že štandardná i neštandardná definícia integrálu je ekvivalentná. Dôkaz predchádzajúcej vety je zaujímavý v tom, že sme ukázali existenciu 5�6 7¢ á�9� pre všetky možné výbery bodov z intervalu O naraz.

Uvedomme si, ako ľahko ukážeme nezávislosť hodnoty integrálu od konečného počtu bodov. Naozaj nech funkcia â je spojitá na uzavretom intervale O 89 Uvedomme si, že to platí pre všetky možné aj od seba rôzne výbery aY aj ab.

59

Zmeňme v bodoch �í hodnotu â��í� na â��í� � �í pre ľubovoľné �í reálne, kde e � �% �%( % 9. Potom � â�����*g Ó � â��í��ÂÂ" � � �í í!" �Â Ó � â��í��ÂÂ" , pretože

každé �í je konečné číslo.

Pokúsme sa odvodiť Newton Leibnizov90 vzorec. Uvažujme nezápornú

funkciu â na uzavretom intervale O � �c% ª�. Označme ako 9��� funkciu � â�Õ��Õ+g .

Ako sa zmení 9���, keď zväčšíme jej argument o nekonečne malé číslo �? Evidentne sa zväčší o výraz â����.91 Zo spojitosti â máme, že â��� Ó â�� � ��, a

teda 9�� � �� � 9��� Ó â����. Potom :�+G���:�+�� Ó â��� pre každé � = e�, to jest 9���� � â���. Nech ; � :c � �.% �"% ( % � � ª;, �í � �í�" � � pre e � �% �%( % ¹.

Môžeme písať

� â�����*g � � 9������*g Ó á�¹%;Â�, pretože z definície integrálu, vieme, že vo funkcii á�¹� môžeme voliť ľubovoľný výber. Ďalej

á�¹%;Â� � � �9����í��ÂÂí!" � � :�+���:�+��|Ø�|ØÂí!" �Â,

pretože � = e� a definícia derivácie umožňuje voliť ľubovoľné nekonečne malé číslo. A nakoniec

� �9����í��ÂÂí!" � � 9��í � �Â� � 9��í�Âí!" � 9�ª� � 9�c� Ó 9�ª� � 9�c�, pretože 9 je diferencovateľná na celom O, a teda je aj spojitá.

Vidíme, že pomocou neštandardnej analýzy sme Newton Leibnizov vzorec odvodili aj bez znalosti pojmu primitívnej funkcie. Zároveň sme ukázali, aký zmysel

má symbolické počítanie typu |ê�+�|+ �� � �â���. Toto odvodenie je pekné aj kvôli

tomu, že sme v ňom použili vlastnosť spojitosti, diferencovateľnosti i integrovateľnosti funkcie â na intervale O.

90 Gramaticky správne je Newtonov Leibnizov vzorec, ale uznajme, že to znie zle. 91 Je ľahké predstaviť si to geometricky. Ak uvažujeme „reálny“ pohľad, tak vlastne k ploche danej číslom 9��� pridáme úsečku z výškou â���.

60

Záver

Robinsonova neštandardná analýza je pokusom odpovedať na výzvu, tristo rokov starú, po upevnení základov analýzy vo forme, ktorú jej dali Leibniz a Newton. To znamená povedať, čo sú zač infinitezimáliá a ako sa s nimi rigorózne počíta.

Uvedomme si istú podobnosť medzi Cantorom a Robinsonom. Cantor pri konštrukcii reálnych čísel vlastne ukázal, čo presne budú reálne čísla. Podobne aj Robinson ukázal, ako možno chápať nekonečne malé a nekonečne veľké veličiny.

Metódy, ktoré Robinson používa, sú metódami Cantorovej teórie množín. Pripomeňme, že dôkaz existencie netriviálneho ultrafiltra vyžaduje axiómu výberu. Tím sa od nekonečne malých veličín objavivších sa v geometrickom názore dostávame hodne ďaleko.

Na druhej strane, ak len využijeme, že nekonečne malé veličiny sú skonštruované a nepátrame potom, ako sa to udialo, teda ak ich napríklad zavedieme axiomaticky, získame skutočne nástroj umožňujúci manipulovať s nekonečne malými a nekonečne veľkými číslami. Uvedomme si, že to isté vlastne robíme aj s reálnymi číslami. V drvivej väčšine prípadov k nim predsa nepristupujeme ako k triedam ekvivalencie fundamentálnych postupností racionálnych čísel. Ak sa takto pozrieme aj na hyperreálne čísla, teda ako na nejaké ideálne niekde existujúce objekty, môžeme opäť obnoviť „geometrickú“ intuíciu narábania s nekonečne malými a nekonečne veľkými veličinami.

Ďalej tým, že Robinson vytvoril model pre nekonečne malé a nekonečne veľké veličiny v rámci teórie množín, zabezpečil ich relatívnu bezospornosť. Voľne povedané, ak by sa našiel nejaký spor u neho, má ho aj teória množín.

Vďaka neštandardnej analýze sme teda dokázali rigorózne zopakovať úvahy Leibniza a Newtona. Aby sa nám to podarilo, museli sme prejsť kus cesty. Najdôležitejšia z tohto pohľadu bola tretia kapitola, kde sme vybudovali nástroje, ktoré nám umožnili skonštruovať model teórie reálne uzavretého poľa, ktorý bol nearchimedovský, boli v ňom vnorené reálne čísla a zároveň naň boli natiahnuté aj všetky funkcie a relácie, ktoré na reálnych číslach jestvujú.

Nearchimedovskosť základnej množiny tohto modelu, hyperreálnych čísel, vlastne hovorí o tom, že sa medzi nimi nachádzajú aktuálne nekonečné veľké čísla. Tie nám umožňujú pracovať, alebo teda aspoň nejako uchopiť nekonečno. Asi najmarkantnejšie sme operácie s nekonečne malými a veľkými číslami využili pri odvodení Newton Leibnizovej formuly. A tým sme demonštrovali prostriedky, ktoré núka neštandardná analýza na budovanie základov matematickej analýzy.

61

Bibliografia ��� DAVIS, Martin. Applied nonstandard analysis. New York : Wiley-Interscience publications, 1977.

��� ŠTĚPÁNEK, Petr. Matematická logika. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1982.

��� ŠPAKULA, Ján. Aplikácie neštandardnej analýzy (Diplomová práca). Bratislava, 2003.

��� KATRIŇÁK, Tibor a iní. Algebra a teoretická aritmetika 1. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2002.

�I�. GORDON, E. I., KUSRAEV, A. G. a KUTATELADZE, S. S. Infinitesimal Analysis. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2002.

��� VOPĚNKA, Petr. Calculus infinitesimalis pars prima. Praha : Práh, 1996.

��� KEISLER, Jerome H. a CHANG, Chen Chung. Model theory. New York : Elsevier science publishing company, INC., 1990.

��� Wikipedia. [Online] 11. December 2008. [Dátum: 15. December 2008.] http://en.wikipedia.org/wiki/Nonstandard_analysis.

��� ZLATOŠ, Pavol. Teória množín a matematická logika (1) - prednášky. Bratislava, UK FMFI, 2008.

���� —. Teória množín a matematická logika (2) - prednášky. Bratislava, UK FMFI, 2009.

���� ROSINGER, Elemér E. arXiv.org. Cornel University Library. [Online] 10. Júl 2004. [Dátum: 19.

Február 2009.] arxiv.org/pdf/math/0407178.

���� KUPKA, Ivan. Seminár z reálnej analýzy - prednášky. Bratislava, UK FMFI, 2008.

���� KOLMAN, Vojtěch. Filosofie čísla. Příbram : Filosofia, 2008.

���� www.mathematica.sk. [Online] 18. Marec 2005. [Dátum: 11. Apríl 2009.] http://www.mathematica.sk/Geometria1/Theory/06Theory.xml.

��I� MAC LANE, Saunders a BIRKHOFF, Garrett. Algebra. Bratislava : Alfa, 1974.

���� NEUBRUNN, Tibor, RIEČAN, Beloslav a RIEČANOVÁ, Zdena. O nekonečne malých veličinách.

Bratislava : ALFA, 1987.

���� ŠALÁT, Tibor, a iní. Algebra a teoretická aritmetika (2). Bratislava : ALFA, 1986.

���� ŠALÁT, Tibor. Reálne čísla. Bratislava : ALFA, 1982.

���� VELICHOVÁ, Anna. www.evlm.stuba.sk. [Online] 15. September 2006. [Dátum: 17. Apríl 2009.] http://www.evlm.stuba.sk/~velichova/PREDNASKY/Prednaska9.xml.

���� O'CONNOR, J. J. a ROBERTSON, E. F. University of St Andrews. [Online] Február 2005. [Dátum: 25. Marec 2009.] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Skolem.html.

���� BALCERZYK, Stanislaw. JSTOR. [Online] 18. Február 2000. [Dátum: 25. Marec 2009.] http://www.jstor.org/pss/20016194.

���� KLUVÁNEK, Igor, MIŠÍK, Ladislav a ŠVEC, Marko. Matematika I. Bratislava : Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, 1962.

���� VOPĚNKA, Petr. Vyprávění o kráse novobarokní matematiky. Praha : Práh, 2004.