První úvahyZenón z Eleje (490-430 př. n. l.)

Historie matematické analýzy začíná ve starověkém Řecku:

• Kolem roku 450 př.n.l. Zenon z Eley sestavil řadu problémů založených na pojmu nekonečna (tzv. aporií).

• Nejznámější z aporií je o Achillovi a želvě (Arist. Physica VI, 239 b 15-19):

Tvrdí, že Achilles nikdy nemůže dohonit želvu: Představme si, že želva má náskok 100 m před Achillem. Urazí-li Achilleus 100 m, má želva ještě 10 m náskok (musí to být neobyčejně pohyblivá želva), uběhne-li Achilleus těchto 10 m, má želva náskok ještě 1 m. Ačkoli se odstup neustále zmenšuje, nikdy se Achilleovi nepodaří želvu předstihnout

• Jeho logické paradoxy byly ve své době matematicky nevyvratitelné a vyvrátit se je povedlo až Pascalovi a Leibnizovi

Achilles a želva• Zenón předložil problém, který se snažila

rozluštit řada pozdějších myslitelů. Matematikové, popř. logikové nemohli na řešení Zenónových aporií přijít po dobu delší než dva tisíce let. Účinná kritika mohla nastat teprve s objevením diferenciálního a integrálního počtu v 2. polovině 17. století.

• Podívejme se, jak se dnes matematik může vypořádat s aporií Achilles a želva:

• Pro ilustraci uvažujme, že Achiles je desetkrát rychlejší než želva a že dal této želvě náskok 100 m. Achilles potřebuje 1 sekundu k tomu, aby doběhl tam, odkud vyběhla želva. Za tuto dobu želva uběhne 1 metr. Achillovi bude trvat pouze desetinu sekundy doběhnout do tohoto místa. Za tuto dobu želva uběhne 10 centimetrů, které Achilles uběhne za setinu sekundy a tak dále (viz obrázek). Matematicky můžeme čas, po který bude Achilles dohánět želvu, vyjádřit jako součet nekonečné řady:

Achilles a želva – pokračování• Náskok želvy před Achillem se tedy neustále snižuje, ale nikdy nebude

nulový (to by znamenalo, že Achiles želvu dohonil).

• Zkušenost nám potvrzuje, že rychlejší vždy předhoní pomalejšího. Ale místo toho, aby Zenón považoval svou úvahu za chybnou, protože odporuje zkušenosti, učiní opačný závěr: čisté logické úvahy jsou správné, a proto naše zkušenosti nespolehlivé. Nám se pouze zdá, že se Achilles a želva pohybují, ve skutečnosti však pohyb neexistuje

• V případě apórie Achilles a želva Zenón odmítá možnost, že by v konečném čase bylo možno sečíst nekonečnou řadu, uběhnout nekonečně mnoho úseků, projít nekonečně mnoha body. Odmítá tedy pojem aktuálního nekonečna.

• Paradox tedy můžeme vyřešit, pokud přijmeme myšlenku, že součet nekonečné řady čísel může být konečné číslo - přijetí této myšlenky trvalo matematikům přes 2000 let. Těchto 2000 let trvalo, než se zrodil diferenciální a integrální počet. Nazýváme je společným názvem infinitezimální počet, protože pracují s nekonečně malými veličinami.

Aristoteles (384 - 322 př. n. l.)• zabýval se kritikou Zenónových aporií – rozšířil chápání pojmu nekonečna:v XI. kapitole Metafyziky rozlišuje tři druhy nekonečna:• Bludné nekonečno – „Nekonečným nazýváme to, co nemá žádného východiska

nebo hranic, ačkoliv by je podle své povahy míti mělo.“ Jedná se o nejstarší podobu nekonečna, známou už ve starověkém Egyptě. Slůvko „bludné“ je v tomto případě velmi signifikantní. Takovému nekonečnu se podobá např. pohyb po kružnici. Pohybujeme se stále dokola, aniž bychom došli konce.

Bludné nekonečno bylo po dlouhou dobu jediným známým nekonečnem.

• Aktuální přirozené nekonečno – „Nekonečným nazýváme to, čím lze procházet stále dál bez konce, a nebo jen stěží do konce.“ Na rozdíl od prvního typu nekonečna „nebloudíme“ kolem dokola, ale pohybujeme se stále dál a dál.

• Potenciální přirozené nekonečno – „Něco může bez konce přibývat nebo ubývat“. Důležité je slůvko může, které nás odkazuje do sféry možnosti. Přičemž tyto možnosti nemusí být vůbec čerpány, i když čerpány být mohou. Jsou-li však nevyčerpatelné, pak v nich musí být nekonečno přítomno (a to i v případě, že by tyto možnosti čerpány nebyly). Toto nekonečno je skryto v pouhých možnostech.

• podal vysvětlení pojmu „spojitost“

Platónova a Eudoxova škola• v této škole se vyvinul pojem

„hranice“ za pomoci tzv. „exhaustační metody“ (metody výplní): podstata této metody spočívá v tom, že veličina, která má být spočtena (např. obsah kruhu), se „ohraničí“ dvěma jinými známými veličinami, z nichž jedna stále roste, zatímco ta druhá se zmenšuje.

• Příklad: pro určení obsahu kruhu potřebujeme vepsaný a opsaný pravidelný n-úhelník, přičemž n nabývá hodnot 6, 12, 24…. Rozdíl mezi stále se zmenšující a naopak zvětšující se veličinou se stále více zmenšuje, takže nakonec můžeme určit námi hledanou hodnotu s libovolnou přesností.

• Tento způsob výpočtu se ukázal být natolik plodný, že jej uvádí také Euklides (asi 300 př.Kr.) ve svých Základech.

Archimédes (287 - 212 př. n. l.)• nejvýznamněji přispěl k počátkům

matematické analýzy:• kolem roku 225 př.n.l. zjistil, že obsah

části paraboly odpovídá 4/3 obsahu trojúhelníku se stejnou základnou a výškou: sestrojil nekonečnou posloupnost trojúhelníků počínaje trojúhelníkem o obsahu A a dalšími menšími trojúhelníky vyplňujícími postupně oblast, která byla vymezena parabolou. Dostal nekonečnou posloupnost obsahů

A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ....

Obsah části paraboly je proto roven A[1 + 1/4 + (1/4)2 + (1/4)3 + ...] = (4/3)A . • Tento výsledek je prvním známým

příkladem součtu nekonečné řady.

Archimédes• také se pokusil použít metodu výplní

pro výpočet obsahu kruhu. Můžeme říci, že šlo o první příklad integrace, který vedl k určení přibližné hodnoty čísla л. Archimédes využil pravidelných mnohoúhelníků vepsaných a opsaných kružnici. Vyšel ze šestiúhelníku a další mnohoúhelník měl vždy dvakrát více stran. Svůj odhad velikosti čísla л dostal pro 96-úhelník.

• metodou výplní určil objem a povrch koule, objem a povrch kužele, povrch elipsy, objem části paraboloidu a hyperboloidu. Na jeho hrobě byla zobrazena koule a jí opsaný válec, protože objevil poměr objemů a povrchů těchto těles.

Kepler (1571 – 1630)• rozšířil používání nekonečně malých

veličin na řešení úloh z teorie maxim a minim a na počítání objemů těles.

• ve své práci o pohybu planet vypočetl obsah částí elipsy. Svoji metodu založil na představě plochy jako součtu úseček, která v podstatě byla metodou integrace. Kepler ale neměl čas se problémem výpočtu zabývat s řeckou přesností a byl rád, že získal správné výsledky poté, co odstranil ve své práci dvě chyby.

• Tím byla připravena půda pro skutečný objev diferenciálního a integrálního počtu, který spadá do let 1615 – 1684.

Descartes (1596-1650) • zkoumal vztah mezi algebrou a

geometrií a vytvořil tak analytický podklad pro infinitezimální počet:

ve své práci "La Géometrie" z roku 1637 publikoval důležitou metodu určování normál, která vycházela z dvojnásobného protnutí. De Beaune jeho metodu rozšířil a použil ji na tečny, kde dvojnásobné protnutí převedl na dvojnásobný kořen. Hudde objevil jednodušší metodu známou pod názvem Huddeovo pravidlo, která vychází z derivací funkce. Descartova metoda a Huddeovo pravidlo ovlivnily práci Isaaca Newtona.

Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) • Jeho výklad infinitezimálního počtu je

jednoduchý a vychází ze scholastické teorie "indivisibilií". Říkal, že pohybem bodu vznikne přímka, pohybem přímky rovina. Nepotřeboval proto žádné atomy, či infinitezimální veličiny.

• Svoje výsledky shrnul do tzv. Cavalieriho principu: dvě tělesa o stejné výšce mají stejný objem, jestliže rovinné řezy, vedené ve stejných výškách mají vždy stejnou plochu. Plochu získává jako součet jakýchsi "nitek", ploch o velmi malé šířce. Podobně objem získává jako součet ploch o velmi malé tloušťce. Tyto získané útvary ("nitky" nebo tenké "vrstvy") jsou tzv. indivisibilie.

• Cavalieri na základě Keplerovy metody integrace vypracoval svoji vlastní metodu, ale nepopsal ji příliš přesně. Použitím této své metody Cavalieri ukázal, že:

1

1

0

n

adxx

na n

Roberval (1602 - 1675)• zabýval se problémy stejného

typu jako Cavalieri, ale mnohem přesněji. Zkoumal oblasti omezené křivkou a přímkou a jejich obsah počítal pomocí součtu nekonečně mnoha nekonečně se zmenšujících pravoúhlých proužků. Roberval svoji metodu použil na výpočet integrálu

• a nalezl přibližnou hodnotu

a dále ukázal, že pokud n roste nade všechny meze, uvedený výraz se blíží k 1/(m+1).

1

)1(210

m

mmmm

n

n

dxxn1

0

Fermat (1608 - 1665)• používal metody integrálního počtu

k výpočtům obsahu určité plochy, délky křivky nebo polohy těžiště

• byl také ve svých úvahách přesný, ale neuvedl žádné důkazy. Zobecnil pojem paraboly a hyperboly.

• také studoval maxima a minima: Zjistil, že funkce dosahuje svého maxima nebo minima, když je tečna křivky této funkce rovnoběžná s osou x. Svoji metodu popsal Descartovi tak, jak ji chápeme dnes: lokální maximum nebo minimum funkce se nachází v bodech, kde je derivace funkce rovna nule. Lagrange proto považoval Fermata za zakladatele matematické analýzy.

John Wallis (1616-1703) a Blaise Pascal (1623 - 1662)

• V rozvoji infinitezimálního počtu pokračovali Angličan John Wallis a Francouz Blaise Pascal: Wallis již počítal s nekonečnými řadami, Pascal již dokonce používal vícenásobné integrály.

• Wallis zavedl např. nekonečné řady a nekonečné součiny, používal imaginární čísla, záporné i lomené exponenty. Pokoušel se i matematicky vyjádřit nekonečno. Vedle matematických a fyzikálních prací (zabýval se dynamikou) vypracoval např. jako první metodu, jak vyučovat hluchoněmé. Zajímavost: Ve svých 53 letech byl vyzván, aby vypočetl odmocninu z čísla, které mělo 53 číslic. Celý výpočet provedl Wallis zpaměti.

• Pascal se pomocí Cavalierovy metody nedělitelnosti pokusil vyřešit problém plochy segmentu cykloidy a problém těžiště tohoto segmentu. Také vyřešil problémy objemu a povrchu oblasti tělesa, které vznikne rotací cykloidy kolem osy x.

• Pascal vypsal soutěž na vyřešení problémů, se kterými si sám nevěděl rady

Úlohy infinitezimálního počtu V matematické historii se postupně objevilo mnoho úloh,

jejichž řešení vyžadovalo počítání s nekonečně malými veličinami.

Takovými úlohami byly:• Určení polohy těžiště v mechanice a objasnění a užití

pojmu rychlosti v kinetice• Problém tangent (určení bodu dotyku).• Teorie maxim a minim• Počítání obsahů rovinných útvarů, délky oblouku dané

křivky, objemy a povrchy těles.• Počítání s nekonečnými řadami.

Newton (1642-1727) a Leibniz (1646-1716)

Ještě bylo třeba postřehnout vnitřní souvislost mezi těmito všemi úlohami a vnést řád do metod, které byly dosud nepřístupné širšímu kruhu matematiků.

– Tento poslední a nejdůležitější krok učinili anglický matematik a astronom Newton a německý matematik a filosof Leibniz.

– Tito dva pánové jsou také považováni za vlastní objevitele infinitezimálního počtu. Newton použil již v roce 1665 při svém počítání fluxí metody, které jsou stěžejní pro diferenciální počet. Vše ale uveřejnil až v roce 1711. Naproti tomu Leibniz uveřejnil své výsledky již v roce 1684. Zdá se, že oba myslitelé došli ke svým závěrům nezávisle na sobě. Přesto delší dobu poté existoval spor o prioritu objevu. Ani ne tak mezi oběma významnými vědci, jako spíše mezi jejich žáky. Terminologie, která je v této oblasti dodnes užívaná, pochází z větší části od Leibnize.

Isaac Newton

Leibniz

Další významní matematikové• Na práce Isaaca Newtona a Gottfrieda Wilhelma Leibnize navázali Jacob

Bernoulli a Johann Bernoulli. V roce 1734 Berkeley ve své práci "Analyst" kritizoval nepřesnost infinitezimálního počtu a zabýval se logikou, na níž by měl být postaven. Maclaurin se proto pokusil infinitezimální počet rigorózně definovat na geometrickém základě, ale uspokojivé rigorózní základy položil až v 19. století Cauchy.

• Do dějin infinitezimálního počtu přirozeně zasáhl Euler (1707-1783), neproduktivnější matematik všech dob. Např. popsal vztah, který se dnes nazývá Eulerův Maclaurinův součtový vzorec. O dva roky později Eulerovi napsal Sterling, že Maclaurin bude publikovat knihu o fluxonech, ve které jsou dvě věty pro součet řad s derivacemi členů, které mu Euler již dříve zaslal. Euler odpověděl, že nechce nic ubírat ze slávy Mclaurina, který objevil některé věty o řadách před ním, a že si zaslouží být označován za jejich objevitele.

• Z českých matematiků nabyl světového významu Vojtěch Jarník (1877 – 1970).

Jacob Bernoulli Johannes Bernoulli Leonhard Euler McLaurin Cauchy

Zdroje dalších informací

• http://www.fpv.ukf.sk/km/_private/zaujimavosti/zenon/zenon.htm

• http://home.pf.jcu.cz/~novakp08/Matematika/Historie.htm

Vývoj matematické analýzyZenón z Eleje

Aristoteles

Platón Eudoxus

Archimédes

Kepler

Descartes Cavalieri

Fermat

Roberval

Wallis

Pascal

Newton

Leibniz

bratři Bernoulliové

Cauchy

Lagrange

McLaurin

Euler

O prezentaci

Zdroje prezentace

materiály o PowerPointu

internet

vlastní znalosti

Děkuji za pozornost!Jiřina Forbelská,

studentka 1. ročníku navazujícího studia Učitelství

matematiky a výpočetní techniky pro SŠ