3.4 APLIKASI LOGIKA PADA TEORI HIMPUNAN: BEBERAPA BUKTI

Defenisi 1:Misalkan and himpunan:a. Misalkan A & B himpunan, A

dikatakan sama dengan B (disimbolkan A=B) jika dan hanya jika pernyataan adalah benar.

b. A dikata subset dari B jika dan hanya jika pernyataan adalah benar.

Defenisi

B u

Contoh 1

Solusi : misalkan A sebarang himpunan. berdasarkan defenisi Adit : benar

Oleh karena salah untuk suatu objek , maka kondisi adalah benar untuk suatu . Terlepas dari nilai kebenaran . sehingga pernyataan benar, jadi, terbukti bahwa

Contoh 2: buktikan bahwa untuk suatu himpunan A

Solusi: misalkan sebarang himpunan BenarAdit :Benar

Solusi Oleh karena predikat memiliki bentuk dan merupakan tautoligi sehingga ] BenarTerbukti

Contoh 4 : : buktikan bahwa, untuk suatu himpunan A dan B, dan

• Membuktikan Misalkan Adit:

mAdit

Solusi : Karena s karena diketahui maka terbukti bahwa

Solusi :Karena (diket)Maka apapun nilai kebenaran dari pastilah benar untuk atau Terbukti

Contoh 7 buktikan bahwa untuk suatu himpunan , dan jika dan maka

Solusi : Diketahui : berarti B berarti Adit :

Bukti :Ambil sebarang Karena maka Karena maka Sehingga Dengan modus ponen ----------

Membuktikan kesamaan himpunan

Contoh 8Dengan teorema asumsikan “ untuk semua bilangan real dan , jika , maka atau , buktikan bahwa himpunan sama denga himpunan B .

Solusi . untuk membuktikan kita membuktikan saling inklusi; yaitu kita membuktikan dan .

Untuk membuktikan , misalkan Adit :

• kita harus membuktikan adalah bilangan Real yang memenuhi . karena maka salah satunya atau

untuk

Jadi untuk a=(5,-7) memenuhi

• kita harus membuktikan adalah bilangan real yang memenuhi

, seehingga menurut teorema diasumsikan ,salah satunya atau maka , terbukti

Sebaliknya untuk membuktikan , misalkan Adit :

Buktikan bahwa, untuk suatu himpunan A, B, dan C,

CONTOH 10

Membuktikan (i) (ii)

Bukti(i) Misalkan Adit:

Karena berarti

dengan kata lain

Sehingga

Akibatnya

Dengan demikian

Karena mengakibatkan

Sehingga terbukti bahwa

Bukti(ii) Misalkan Adit:

Karena berarti

dengan kata lain

Sehingga

Akibatnya

Dengan demikian

Karena mengakibatkan Sehingga terbukti bahwa

Buktikan bahwa, untuk suatu himpunan A,

CONTOH 11

Andaikan Adit: terjadi kontradiksi

Karena maka terdapat

Sehingga dan .

Dengan kata lain dan

Karena bentuk pernyataan merupakan suatu kontradiksi maka

berlaku juga bahwa dan merupakan suatu kontradiksi,

sehingga pengandaian salah.

Dengan demikian haruslah

INFINITE UNIONS AND INTERSECTION

Definisi 1

Koleksi dari himpunan-himpunan , memuat himpunan yang

berkorespodensi dengan setiap bilangan bulat positif (dimana

suatu semesta himpunan memuat setiap himpunan pada

koleksi) disebut family (atau koleksi) dari himpunan berindeks

dengan himpunan dari semua bilangan bulat positif. Bilangan

bulat positif digunakan untuk label himpunan pada koleksi

disebut indeks.

Contoh 1

Misalkan untuk setiap sehingga merupakan koleksi dari himpunan-himpunan singleton.

Perhatikan bahwa bilangan bulat positif dan merupakan bilangan yang berbeda, sehingga . Untuk alasan ini kita mengatakan bahwa famili dari himpunan-himpunan ini adalah saling terpisah (saling lepas).

Definisi 2

Misalkan koleksi dari himpunan-himpunan berindeks . Kita definisikan:

a. Gabungan dari koleksi , dinyatakan ( juga dinyatakan dan ) menjadi himpunan untuk suatu demikian sehingga

b. Irisan dari koleksi , dinyatakan ( juga dinyatakan dan ) menjadi himpunan untuk setiap .