HIMPUNANDiajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah

TEORI HIMPUNAN DAN LOGIKA

NAMA : AHMAD FAUZI

NIM : 0901125009

DOSEN : Andi Sessu, Mpd / Lala Isum, Spd

Prodi : Matematika

Fakultas : FKIP

UHAMKA

2009

2 | U H A M K A

PENEMU TEORI HIMPUNANGeorg Cantor (1845-1918) ialah seorang matematikawan asal Jerman keturunan

Yahudi. Ia adalah orang pertama yang menemukan teori himpunan. Ketika teori

himpunan diperkenalkan pertama kalinya oleh Georg Cantor, tidak banyak

matematikawan yang melihat seberapa penting teori itu. Akan tetapi, sekarang teori

himpunan digunakan sebagai dasar untuk mempelajari matematika modern.

PENGERTIAN

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga

dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam

himpunan tersebut. (Cara pengumpulan objek – objek itu biasanya berdasarkan sifat/keadaan

mereka yang sama, ataupun berdasarkan suatu aturan tertentu yang ditentukan)

Contoh :

Misalnya himpunan yang terdiri dari mahasiswa – mahasiswa Jakarta atau himpunan dari semua

bilangan asli yang lebih besar dari 9, ataupun himpunan yang terdiri dari ayam, bebek dan sapi.

Catatan :

i. Objek – objek diatas disebut elemen (unsure anggota) himpunan dan biasanya dinyatakan

dengan huruf kecil, misalnnya a, b, p, x dan lain – lain.

ii. Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya himpunan A, B, P, Y dan

lain – lain.

iii. Bila a merupakan elemen dari himpunan A, sedangkan b bukan elemen dari himpunan A,

maka kita dapat menuliskan sebagai

Kita mengenal 2 bentuk dalam penulisan suatu himpunan sebagai berikut :

1. Bentuk pendaftaran (Tabular form) yaitu dengan menuliskan semua element himpunan

tersebut didalam kurung kurawal.

Sebagai contoh :

Himpunan A = {Jakarta, Medan, Surabaya}

Himpunan N = {1, 2, 3, …}

2. Bentuk perincian (Set Builder Form) yaitu dengan menuliskan sifat/ketentuan mengenai

element himpunan tersebut. Sebagai Contoh :

Himpunan S = {x|x adalah bilangan genap}

Himpunan T = {x|x adalah pelajar yang pandai}

*kita dapat mengubah penulisan himpunan dari tabular form ke set builder atau sebaliknya.

3 | U H A M K A

MACAM – MACAM HIMPUNAN

1. Himpunan Berhingga

Himpunan yang memilika banyak anggota berhingga ,

Contoh :

Jika A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 13 maka dengan .

2. Himpunan Tak Berhingga

Himpunan yang memiliki banyak anggota takberhingga,

Contoh :

Jika B = {bilangan asli yang habis dibagi 2}, maka B = { 2, 4, 6, . . .}

3. Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan di notasikan dengan atau

Contoh :

Jika P adalah himpunan persegi yang mempunyai tiga buah sisi, maka himpunan P tidak ada atau

kosong

4. Himpunan Semesta

Himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan Semesta

(Semesta Pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S.

Contoh:

Jika P = {pisang, jeruk, apel, anggur} maka semesta pembicaraan dari himpunan P adalah himpunan S

= {buah – buahan}. Dengan kata lain, S adalah himpunan semesta dari P. Himpunan S memuat

semua anggota himpunan P.

5. Himpunan Bagian

Contoh :

A = {a, b, c}

B = {a, b, c, d, e}

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, bila setiap anggota A menjadi anggota B , ditulis

dengan notasi .

4 | U H A M K A

Bila digambarkan dalam bentuk diagram Venn adalah sebagai berikut :

Gambar 1

Dari diagram Venn pada gambar 1, dapat juga dikatakan bahwa himpunan B memuat A, ditulis

dengan Notasi

dibaca “A himpunan bagian dari B”

dibaca “B memuat A”

6. Himpunan Terbilang

Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpuna n A tersebut dapat ditunjukkan

atau dihitung satu persatu.

Contoh :

a. A = 3,2,1

Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab dapat dihitung satu persatu,

sekaligus contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3.

b. B = ...3,2,1

Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh

himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.

7. Himpunan Tak Terbilang

Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat dihitung satu

persatu.

Contoh :

R = realbilanganxxx ,32

Himpunan R merupakan contoh himpunan tak terbilang, karena anggotanya tak dapat dihitung satu

persatu. Himpunan R juga merupakan himpunan tak berhingga, karena n(R) = ~.

5 | U H A M K A

8. Himpunan Terbatas

Himpunan A dikatakan himpunan t erbatas bila himpunan A mempunyai batas di sebelah kiri saja

disebut himpunan terbatas kiri. Dan jika himpunan tersebut hanya mempunyai batas sebelah kanan

disebut himpunan terbatas kanan. Batas sebelah kiri juga disebut batas bawah sedangkan batas

sebelah kanan disebut batas atas.

Contoh :

a. P = 3,2,1,0 , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 4.

b. Q = Rxxx ,30 , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 3.

Tetapi 0 R dan 3 Q.

Khusus untuk himpunan tak terbatas yang semesta pembicaraanya bilangan real penulisan

himpunanya dapat menggunakan notasi interval.

Contoh :

a. A = 50 xx dapat ditulis 5,0

b. B = 50 xx dapat ditulis 5,0

c. C = 50 xx dapat ditulis 5,0

d. D = 50 xx dapat ditulis (0,5)

9. Himpunan Tak Terbatas

Himpunan A dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak memiliki batas.

Contoh :

R = Rxxx ~,~

10. Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua

himpunan bagiian dari A, termasuk himpunan kosong dari A itu sendiri. Notasinya P(A) atau 2 A.

Contoh :

Jika A = { 1, 2, }, maka P(A) = { { 1 },{ 2 }, { 1, 2 , }, }

11. Himpunan Saling lepas

Dua buah himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Notasi A // B.

Contoh :

A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c} maka A //B.

6 | U H A M K A

OPERASI PADA HIMPUNAN

1. Gabungan (Union), dinotasikan dengan

Dalam diagram Venn :

A = {Fridus, Bambang, Tukimin }

B = {Tukimin, Fauzi}

Dari himpunan A dan B, dapat dibentuk himpunan {Fridus, Bambang, Tukimin, Fauzi}.

Himpunan tersebut merupakan himpunan yang anggota anggotanya terdiri atas anggota A saja ,

anggota B saja, dan anggota persekutuan A dan B . Himpunan itu merupakan gabungan himpunan A

dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis .

Gambar 4

Gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota – anggotanya merupakan

anggota A saja, Anggota B saja, dan anggota persekutuan A dan B . Dengan notasi pembentukan

himpunan, gabungan A dan B , didefinisikan sebagai :

CATATAN : (Berlaku)

i.

ii.

iii.

iv.

Gambar 2Gambar 3

7 | U H A M K A

2. Irisan (Interseksi), dinotasikan dengan

Suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut

Didalam diagram Venn :

Bila A dan B saling lepas (gambar 6) maka

Catatan :

i.

ii.

iii.

iv.

Contoh 1 :

A = {Malih, Bolot, Nasir, Sule}

B = {Aziz, Sule, Malih}

Sule dan Malih menjadi anggota himpunan A dan sekaligus menjadi anggota himpunan B.

{Sule, Malih} yang anggotanya merupakan anggota pers ekutuan himpunan A dan B disebut irisan

himpunan A dan B, ditulis :

Gambar 7

Dengan notasi pembentukan himpunan, irisan A dan B didefinisikan sebagai :

Gambar 5 Gambar 6

8 | U H A M K A

Contoh 2 : (Kedua Himpunan Sama)

A = {Bilangan Asli kurang dari 6}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

Tentukan anggota ?

Penyelesaian :

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

Karena A = B, maka

Contoh 3 : (Kedua himpunan tidak saling lepas)

Himpunan A dan B tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B mempu nyai sekutu, tetapi masih ada

anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A.

Misalkan : P = {bilangan asli kurang dari 11} dan Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, tentukan anggoa

?

Penyelesaian :

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},

Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16},

3. Selisih (Difference), dinotasikan dengan

Dalam diagram Venn :

Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A

tetapi bukan anggota dari B.

A – B = A\B dibaca : Selisih A dan B,

Gambar 8Gambar 9

9 | U H A M K A

Contoh 1 :

Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {a, c, f, g}.

Selisih A dan B adalah A – B = {a, b, c,d} – {a, c, f, g} = {b, d}

sedangkan selisih B dan A adalah B – A = {a, c, f, g} – {a, b, c, d} = {f, g}

Contoh 2:

Diketahui A = dan B =

Selisih A dan B adalah A – B = {2, 3, 5, 7, 11} – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {11}

Selisih B dab A adalah B – A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {2, 3, 5, 7, 11} = {0, 1, 4, 6, 8, 9, 10}

Catatan:

i.

ii.

iii.

4. Komplemen Suatu Himpunan , dinotasikan

Dalam diagram Venn :

Komplemen Himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota – anggotanya merupakan anggota

S tetapi bukan anggota A.

Contoh 1 :

Misalkan ,

maka = {a, e, i, o, u}

Gambar 10 Gambar 11

10 | U H A M K A

Contoh 2 :

Diketahui S = {1, 2, 3, …, 10} adalah himpunan semesta, dan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7},

tentukan :

a.

b.

c.

Penyelesaian :

Diketahui :

S = {1, 2, 3, 4,, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 3, 5, 7}

a.

b. 1, 4, 6, 8, 9, 10}

c.

Catatan :

i. ;

ii.

iii. S’ = ,

iv.

v.

vi.

11 | U H A M K A

Sifat – Sifat Operasi Himpunan

a. Sifat Irisan dan Gabungan Himpunan

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5}

C = {4, 5, 6}

1. Sifat Komutatif Irisan

2. Sifat Asosiatif Irisan

3. Sifat Idempotent Irisan

Untuk setiap himpunan A dengan semesta pembicaraan S, berlaku

a. Sifat Identitas Irisan

b. Sifat Komplement Irisan

4. Sifat distributive Irisan terhadap gabungan

b. Sifat – sifat selisih himpunan

A = {factor dari 6}

B = {bilangan cacah kurang dari 6}

C = {2, 4, 6}

1. Identitas Pada selisih Himpunan

A = {1, 2, 3, 6}

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

C = {2, 4, 6}

A – A = {1, 2, 3, 6} – {1, 2, 3, 6} =

A - = {1, 2, 3, 6} – = {1, 2, 3, 6} = A

2. Sifat distribuif selisih terhadap himpunan

A – (B C) = {1, 2, 3, 6} – {2, 4} = {1, 3 6}

12 | U H A M K A

3. Sifat distributive selisih terhadap gabungan

PENEMU DIAGRAM VENN

John Venn (1834-1923) ialah seorang matematikawan asal Inggris yang menemukan

diagram Venn. Dengan menggunakan diagram Venn, relasi antar himpunan lebih mudah

dipahami.

PENGERTIAN

Untuk menggambarkan hubungan antar himpunan – himpunan dapat kita gunakan diagram venn.

Himpunan kita gambarkan sebagai daerah lingkaran sedangka n Semesta sebagai daerah empat

persegi panjang. Perhatikan contoh – contoh berikut :

Contoh :

Misalkan dapat kita gambarkan sebagai berikut :

Misalkan pula A dan B tidak dapat diperbandingkan, gambar 13, A dan B tidak saling lepas dan

gambar 14, A dan B saling lepas.

Gambar 13

Gambar 12

Gambar 14

13 | U H A M K A

Catatan :

Ketentuan membuat diagram Venn adalah sebagai berikut :

a. Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan pojok kiri atas diberi

symbol S

b. Setiap anggota himpunan semesta ditu njukan dengan sebuah noktah didalam persegi

panjang itu, dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya.

Missal : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Diagram Venn dari himpunan S ditunjukan pada gambar 15

c. Setiap himpunan yang termuat didalam himpunan sem esta ditunjukan oleh kurva tertutup

sederhana

Missal : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {2, 4, 6, 8}

Karena semua anggota himpunan A termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A berada

didalam himpunan S.

d. Dalam menggambarkan himpunan – himpunan yang mempunyai anggota sangat banyak,

pada diagram Venn-nya tidak menggunakan noktah.

Missal : S = {siswa di sekolahmu}

D = {siswa dikelasmu}

Gambar 15 Gambar 16 Gambar 17

14 | U H A M K A

MENYAJIKAN OPERASI HIMPUNAN DALAM DIAGRAM VENN

Misalkan :

S = {1, 2, 3, …, 10}

P = {1, 3, 5, 7, 9}

Q = {2, 3, 5, 7}

Himpunan , sehingga dapat dikatakan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn

yang menyatakan hubungan S, P, dan Q seperti gambar 18.

Daerah yang diarsir pada diagram venn ( gambar18) menunjukan .

Himpunan , berdasarkan himpunan tersebut dapat digambarkan dengan

diagram venn :

Gambar 19

Gambar 18

15 | U H A M K A

DAFTAR PUSTAKA

Yahya, Yusuf dan Suryadi, D HS : Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi . Ghalia Indonesia.

Jakarta, 1992.

Adinawan, Cholik M dan Suginjo : Matematika 1 untuk MTS/SMP Kelas VII . Erlangga, 2002.

Nuharini, Dewi dan Wahyuni, Tri : Matematika Konsep dan aplikasi . Pusat pembukuan Departemen

Pendidikan Nasional, 2008.

Georg Cantor, http://id.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

John Venn, http://id.wikipedia.org/wiki/John_Venn

Media Pembelajaran Matematika, http://nahlia-

matematika.blogspot.com/2009/01/himpunan_8214.html

Berita Cuaca : Matimatika, http://www.blog-sharing.co.cc/2009/12/matematika.html

Macam Himpunan, http://kuliah.ung.ac.id/courses/TH/document/topik_2.doc?cidReq=TH

Dan dari berbagai Sumber.