SEQUNCIAS LGICAS

PROFESSOR ALEX MAGNO

Lgica matemtica

Por influncia do pensamento de Aristteles, a lgica dizia respeito, tradicionalmente, apenas s proposies da linguagem verbal. A partir do sculo XIX, no entanto, seus princpios foram aplicados linguagem simblica da matemtica.

Lgica matemtica o conjunto de estudos que visam a expressar em signos matemticos as estruturas e operaes do pensamento, deduzindo-as de um pequeno nmero de axiomas, com o propsito de criar uma linguagem rigorosa, adequada ao pensamento cientfico, da qual estejam afastadas as ambigidades prprias da linguagem comum. Fundamenta-se na construo de sistemas formais, ou seja, modelos, para cuja definio se enunciam certos axiomas (conceitos bsicos) e mtodos de deduo ou demonstrao.

Evoluo histrica. O termo "sistema" foi proposto por Laozi (Lao-ts) 500 anos antes da era crist, ao dizer que "uma carroa mais que a soma de suas partes", ou seja, que a relao entre os diversos elementos que formam a carroa faz com que ela tenha propriedades especiais e diferentes da soma das propriedades de cada um de seus componentes em separado. Aristteles j assinalara um princpio de abstrao ao descrever sistema como um conjunto de funes, caractersticas e atributos que podem ser definidos. No entanto, o termo lgica matemtica denota preferencialmente o conjunto de regras e raciocnios dedutivos elaborado a partir da segunda metade do sculo XIX. Mediante a eliminao das imprecises e erros lgicos da linguagem comum e a adoo de critrios de formalizao e emprego de smbolos, a lgica formal converteu-se numa disciplina associada matemtica.

Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos, ou operadores, propostos por Aristteles para as proposies (do tipo "e", "ou", "no" etc.) seguiam regras similares s da soma e da multiplicao. Projetou, ento, a chamada lgebra de Boole, que se baseia na lgica binria de "verdadeiro" e "falso" como alternativas para cada proposio.

Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos conjuntos e suas operaes. Definiu conjunto como a unio de objetos que satisfazem propriedades exprimveis, e conjunto de conjuntos como um novo conjunto que contm a si mesmo, sendo um de seus prprios elementos. Bertrand Russell detectou o paradoxo desse raciocnio e argumentou que um conjunto pertence primeira categoria se no contm a si mesmo, e segunda se contm a si mesmo como elemento. Assim, se o conjunto A tem como elementos os conjuntos da primeira categoria, no pode, por deduo, pertencer a nenhuma das duas categorias mencionadas, ainda que inicialmente se atribusse uma categoria a cada conjunto.

Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de escolha sobre conjuntos no vazios, isto , que contm elementos. Numa famlia de conjuntos no-vazios, qualquer que seja seu tamanho, pode-se escolher ao mesmo tempo um elemento de cada conjunto e considerar o conjunto A, que no podia pertencer a nenhuma categoria, como constitudo desses elementos. Com esse axioma puderam ser demonstrados teoremas matemticos clssicos carentes de lgica aparente, mas ao mesmo tempo comeou a polmica quanto validade dos teoremas demonstrados com base nele, e a equiparao destes com aqueles que no necessitam desse axioma para sua demonstrao. Enfim, tornou-se prtica indicar se em determinado teorema havia sido usado ou no o axioma de escolha.

Para Kurt Gdel, um sistema matemtico que s fosse suficiente para a aritmtica clssica seria necessariamente incompleto. Acrescentou que qualquer sistema pode ser coerente ao se lhe incorporar o axioma de escolha, e assim se mantm quando nele se inclui a negao desse mesmo axioma. A hiptese de continuidade geral tambm coerente com a matemtica comum, que mantm a coerncia quando se lhe acrescentam simultaneamente o axioma de escolha e a hiptese de continuidade geral. Essa hiptese prope uma explicao provvel de um fato ou srie de fatos cuja verdadeira causa se desconhece.

Sistemas e subsistemas lgicos. No sculo XX, define-se sistema como um conjunto cujos elementos esto em interao e no qual prevalecem as relaes recprocas entre os elementos, e no os elementos em si. Por sua prpria natureza, sistema um conjunto de partes, o que significa que pode ser analisado. O conjunto como um todo, porm, no pode ser obtido pela simples acumulao das partes. A trama das relaes entre os elementos constitui a estrutura do sistema, ou, o que a mesma coisa, o mecanismo de articulao de suas partes.

As grandezas tomadas para descrever um sistema no so sempre as mesmas. Se uma delas se comporta de forma particular, deve ter propriedades que suscitam tal comportamento e dem lugar a certas regras de organizao. Os sistemas tm limites precisos, de modo que possvel determinar sem ambigidades se um elemento pretence a um ou a outro sistema.

Os sistemas classificam-se em fechados, se no permutam matria com o exterior, mesmo que haja permuta de energia para chegar ao equilbrio, e abertos, se podem permutar matria e energia com o exterior e tendem estabilidade. Os ltimos se caracterizam por um comportamento no plenamente determinado por uma cadeia causal, nem por puro acaso. Os sistemas abertos tendem a se manter no estado em que melhor se adequam a possveis perturbaes. Essa tendncia estabilidade lhes permite alcanar um estado final caracterstico a partir de estados iniciais distintos e caminhos diferentes. A atuao ou comportamento de cada subsistema ou componente de um sistema se difunde pelo sistema inteiro. Os sistemas so representados formalmente mediante modelos, e chama-se simulao a gerao de possveis estados do sistema pelo modelo que representa.

Conceitos de lgica matemtica. O processo dedutivo matemtico exige rigor. O modelo tradicional de um sistema consiste na apresentao das assertivas principais em forma de teoremas, como j o fizera Euclides na Grcia antiga. Formalmente, d-se o nome de teorema a uma proposio cuja validade se prova por demonstrao. Assim, os axiomas, que se definem como primeiros teoremas e se admitem sem demonstrao, pertencem a uma categoria lgica diferente. Os teoremas se demonstram a partir de outros teoremas, mediante procedimentos de deduo ou induo nos quais se encadeiam conseqncias lgicas. A axiomtica da matemtica, e das cincias em geral, constitui o elemento bsico para a deduo de teoremas derivados, e a escolha adequada dos axiomas um dos pontos mais delicados na elaborao dos modelos de qualquer sistema. Um conjunto de axiomas aceitvel, do ponto de vista matemtico, quando tem coerncia lgica, o que implica que de um mesmo axioma no possvel deduzir dois teoremas contraditrios.

Desenvolvendo certo raciocnio, conclui-se que, alm dos axiomas, as prprias regras de deduo deveriam estar sujeitas a variaes. Quando os axiomas e regras de deduo so abertos, fala-se de sistema matemtico, ou formal, que exige que o sistema seja coerente uma vez estabelecido o mtodo. Quando se pode demonstrar uma proposio ou sua negativa, o sistema completo. Se um sistema que contm um teorema se altera, a mesma proposio, ou a que corresponde nova entidade, passa a ser duvidosa ou inteiramente falsa. Mesmo que sua validade se mantenha, seria preciso uma nova demonstrao, devido possibilidade de que os axiomas ou as regras de deduo do sistema tenham perdido sua pertinncia.

As regras bsicas da lgica matemtica exigem a formulao de enunciados, nos quais se definem previamente os conceitos da proposio, e predicados ou sentenas matemticas que empregam os enunciados descritos anteriormente.

A terminologia e a metodologia da lgica matemtica tiveram, ao longo do sculo XX, importante papel no progresso das novas cincias da informtica e ciberntica. Desde as origens, elas adotaram as estruturas formais da lgica binria e da lgebra de Boole e empregaram a filosofia de enunciado-predicado em suas proposies, numa axiomtica e num conjunto de regras hipottico-dedutivos definidas previamente.DEFINIES:Neste roteiro, o principal objetivo ser a investigao da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um a CONCLUSO e os demais PREMISSAS.

Os argumentos esto tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS.

ARGUMENTO DEDUTIVO: vlido quando suas premissas, se verdadeiras, a concluso tambm verdadeira.

Premissa : "Todo homem mortal." Premissa : "Joo homem." Concluso : "Joo mortal."

ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas no basta para assegurar a verdade da concluso.

Premissa : " comum aps a chuva ficar nublado." Premissa : "Est chovendo." Concluso: "Ficar nublado." As premissas e a concluso de um argumento, formuladas em uma linguagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma anlise lgica apropriada para a verificao de sua validade. Tais tcnicas de anlise sero tratadas no decorrer deste roteiro.

UMA CLASSIFICAO DA LGICA LGICA INDUTIVA: til no estudo da teoria da probabilidade, no ser abordada neste roteiro. LGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida em :

LGICA CLSSICA- Considerada como o ncleo da lgica dedutiva. o que chamamos hoje de CLCULO DE PREDICADOS DE 1a ORDEM com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas.

Trs Princpios (entre outros) regem a Lgica Clssica: da IDENTIDADE, da CONTRADIO e do TERCEIRO EXCLUDO os quais sero abordados mais adiante.

LGICAS COMPLEMENTARES DA CLSSICA: Complementam de algum modo a lgica clssica estendendo o seu domnio. Exemplos: lgicas modal , dentica, epistmica , etc. AULA 02 - ESTRUTURA LGICA: INVESTIGAO

INVESTIGANDO

As questes de estrutura lgica, tambm chamadas de investigaes, esto presentes na maioria das provas de raciocnio lgico, mas cada edital descreve esse tipo de questo de maneira diferente. Podemos dizer que essas questes tratam do entendimento da estrutura lgica de relaes arbitrrias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictcios, deduzindo novas informaes a partir de relaes fornecidas e avaliao das condies usadas para estabelecer a estrutura daquelas relaes.Uma investigao um processo de construo do conhecimento que tem como metas principais gerar novos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento pr-existente. A investigao, no sentido de pesquisa, pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca de um conhecimento.

As questes de investigao so muito interessantes e prazerosas de se fazer. No enunciado, so dadas pistas que associadas a hipteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a concluses diretas, sem precisar supor. O primeiro passo ento, perceber se precisaremos ou no supor alguma coisa, ou seja, se todas as informaes so verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas as informaes forem verdadeiras, no haver necessidade de hipteses, mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer suposises para chegarmos as concluses.

HIPTESE

Uma hiptese uma teoria provvel, mas no demonstrada, uma suposio admissvel. Na matemtica, o conjunto de condies para poder iniciar uma demonstrao. Surge no pensamento cientfico aps a coleta de dados observados e na conseqncia da necessidade de explicao dos fenmenos associados a esses dados.

normalmente seguida de experimentao, que pode levar verificao (aceitao) ou refutao (rejeio) da hiptese. Assim que comprovada, a hiptese passa a se chamar teoria, lei ou postulado.

Podemos ento dizer que uma afirmao sujeita a comprovao.IDENTIFICANDO CADA CASO

Existem basicamente trs casos de questes de investigaes. Todos eles procuram deduzir novas informaes, com base nas informaes fornecidas no enunciado.Para resolver questes de investigao, devemos inicialmente identificar o caso (ordenao, associao ou suposio) e seguir os procedimentos peculiares a cada um deles.

1 CASO - Somente Verdades: ORDENAO.

Esse tipo de questo d apenas informaes verdadeiras, que nos permite colocar em ordem pessoas, objetos, datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que devem ser seguidas. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada permitir identificar o item correto a ser marcado.

EXEMPLO:

Aline mais velha que Bruna, que mais nova que Carol, mas esta no a mais velha de todas. Sejam A, B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, defina a ordem das idades.

CONCLUSES:

Sejam A, B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, ento

A > B (Aline mais velha que Bruna) e C > B (Bruna mais nova que Carol)

Como Carol no a mais velha, podemos ordenar as idades das meninas da seguinte forma:

A > C > B

2 CASO - Somente Verdades: ASSOCIAO.

Como todas as informaes dadas so verdadeiras, o que ser importante saber organizar as informaes em uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informaes de uma determinada pessoa e as linhas tratam das caractersticas dessas pessoas. O que devemos fazer preencher a tabela cruzando as informaes de cada uma das pessoas, iniciando pelas informaes diretas e posteriormente deduzindo as outras.

EXEMPLO:

Aline, Bruna e Carol fazem aniversrio no mesmo dia, mas no tm a mesma idade, pois nasceram em trs anos consecutivos. Uma delas Psicloga, a outra Fonoaudiloga e a mais nova Terapeuta. Bruna a mais nova e tm 25 anos. Carol a mais velha e no Psicloga.

CONCLUSES:

Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.

ABC

Profisso

Idade

Como Bruna a mais nova e tm 25 anos, e que a mais nova Terapeuta, deduzimos que Bruna Terapeuta. Logo podemos preencher os seguintes dados na tabela.

ABC

Profisso

T

Idade

25

Como Carol a mais velha e no Psicloga, deduzimos que Carol Fonoaudiloga e tm 27 anos, j que as trs nasceram em anos consecutivos e a mais nova tem 25 anos. Logo podemos acrescentar as seguintes informaes na tabela.

ABC

Profisso

TF

Idade

2527

Por excluso, deduz-se que Aline tem 26 anos e Psicloga. Assim, temos a tabela totalmente preenchida.

ABC

ProfissoPTF

Idade262527 3 CASO - Verdades e Mentiras: SUPOSIO.

Esse ltimo caso requer maior ateno, pois existem verdades e mentiras envolvidas no enunciado e atravs da anlise das hipteses chegaremos s devidas concluses. Por exemplo, quando um delegado procurar descobrir quem o verdadeiro culpado entre trs suspeitos, ele lana mo de hipteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de informao que ele possui, a fim de confirmar ou rejeitar a hiptese.

EXEMPLO:

Aline, Bruna e Carol so suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vov. Quando perguntadas sobre o fato, declararam o seguinte:

ALINE: Foi a Bruna que comeu

BRUNA: Aline est mentindo

CAROL: No fui eu

Sabendo que apenas uma delas est dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo, descubra quem comeu o bolo.

CONCLUSES:

1 PASSO:

(identificar que existem verdades e mentiras)

No enunciado, foi dito que apenas uma delas est dizendo a verdade, portanto duas delas mentem e outra fala a verdade, tratando-se de uma questo do 3 caso, ou seja, teremos que fazer suposies.

2 PASSO:

(construir a tabela e lanar as hipteses)

Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.

ANLISE DAS AFIRMAES HIPTESES

A B C

Se A foi quem comeu

Se B foi quem comeu

Se C foi quem comeu

3 PASSO:

(julgar a veracidade, ou no, das afirmaes, mediante cada uma das hipteses)

Como Aline disse que Foi a Bruna que comeu, ela s estar mentindo caso (na hiptese de) Bruna no tenha comido, caso contrrio estar falando a verdade, logo temos:

A B

C

A comeuF

B comeuV

C comeuF

Como Bruna disse que Aline est mentindo, temos que Bruna s mente no caso (na hiptese de) de Aline falar a verdade, caso Aline realmente esteja mentindo ento Bruna estar falando a verdade, ou seja, as colunas 2 e 3 tero valores lgicos contrrios, logo temos:

A B

C

A comeuF V

B comeuV F

C comeuF V

Finalmente, como Carol disse no fui eu, ela s estar mentindo caso (na hiptese de) ela tenha comido, caso contrrio estar falando a verdade, logo analisando essa afirmao, temos:

A B

C

A comeuF V

V

B comeuV F

V

C comeuF V

F

4 PASSO:

(aceitar ou rejeitar as hipteses, de acordo com o proposto no enunciado)

Foi dito no enunciado que apenas uma das meninas diz a verdade, ento com base nisso devemos identificar a nica linha que tem apenas uma afirmao verdadeira. Observe que apenas na terceira linha, ou seja, apenas no caso de Carol ter comido o bolo, teremos duas garotas mentindo e apenas uma dizendo a verdade. Portanto, podemos afirmar que a 3 hiptese foi aceita e as outras duas foram rejeitadas.

Concluso, Carol comeu a ltima fatia do bolo.

EXEMPLO DO 1 CASO - VERDADES: ORDENAES01. Em um prdio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor, cada um em um andar diferente. Sabe-se que Heitor no mora no 1 andar, Erick mora acima de Todos, Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor, Determine quem mora no 2 andar.

a) Heitor

a) Erick

d) Fred

e) Giles

SOLUO:

Com base nas informaes fornecidas no enunciado, vamos ordenar os moradores.

Inicialmente como Erick mora acima de todos, ento ele mora no 4 andar.

Como Fred mora acima de Heitor e Heitor no mora no 1 andar, ento Heitor tem que morar no 2 andar e Fred no 3 andar, para satisfazer essas condies.

Por excluso, Giles mora no 1 andar, o que satisfaz a condio de morar abaixo de Fred.

OBS.:

importante diferenciar em cima, acima, em baixo e abaixo. Por exemplo, se Geovanne mora no 10 andar de um prdio, outro morador que more:

EM CIMA, mora no andar imediatamente acima, ou seja, no 11 andar.

ACIMA, mora em um andar superior, no necessariamente em cima.

EM BAIXO, mora no andar imediatamente abaixo, ou seja, no 9 andar.

ABAIXO, mora em um andar inferior, no necessariamente em baixo.

EXEMPLOS DO 2 CASO - VERDADES: DEDUES02. (IPAD) Luciano, Cludio e Fernanda so trs estudantes de Filosofia. Sabe-se que um deles estuda Frege, o outro Kant e o terceiro Wittgenstein. Sabe-se ainda que: 1) Cludio ou Fernanda estuda Frege, mas no ambos; 2) Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas no ambos; 3) Luciano estuda Frege ou Cludio estuda Wittgenstein, mas no ocorrem as duas opes simultaneamente; 4) Fernanda ou Cludio estuda Wittgenstein, mas no ambos. Luciano, Cludio e Fernanda estudam respectivamente:

a) Kant, Wittgenstein e Frege.

b) Kant, Frege e Wittgenstein.

c) Wittgenstein, Kant e Frege.

d) Frege, Kant e Wittgenstein.

e) Frege, Wittgenstein e Kant.

SOLUO:

Do enunciado, podemos organizar as informaes na tabela a seguir:

LucianoCludioFernanda

Frege

Kant

Wittgenstein

De acordo com cada premissa podemos eliminar (X) os cruzamentos incorretos:

1) Se Cludio ou Fernanda estuda Frege, mas no ambos, ento Luciano no estuda Frege

LucianoCludioFernanda

FregeF

Kant

Wittgenstein

2) Se Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas no ambos, ento Cludio no estuda Kant

LucianoCludioFernanda

FregeF

KantF

Wittgenstein

3) Se Luciano estuda Frege ou Cludio estuda Wittgenstein, mas no ambos, ento Cludio estuda Wittgenstein pois j tnhamos concludo que Luciano no estuda Frege

LucianoCludioFernanda

FregeF

KantF

WittgensteinFVERDADEF

Como Luciano no estuda nem Frege, nem Wittgenstein ento por excluso ele estuda Kant. Nesse caso resta apenas que Fernanda estuda Frege

LucianoCludioFernanda

FregeFVERDADE

KantVERDADEF

WittgensteinFVERDADEF

03. Trs crianas Astolfo, Belarmino e Cleosvaldo brincavam, cada qual, com um nico tipo de brinquedo. Considere as seguintes informaes:

Os brinquedos so: Falcon, Playmobil e Atari;

As idades dos trs so: 11, 8 e 6;

Astolfo no brincava com um Falcon e nem com o Atari;

A criana que tem 11 anos, brincava de Atari;

Cleosvaldo tem menos de 8 anos.

Com base na informaes dadas, correto afirmar que

a) Belarmino tem 11 anos.

b) Astolfo tem 11 anos.

c) Belarmino brincava com um Falcon.

d) Cleosvaldo brincava com um Atari.

e) Astolfo no tem 8 anos.

SOLUO:

Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:

ASTOLFOBELARMINOCLEOSVALDO

IDADE

BRINQUEDO

Sabendo que Astolfo brincava com um Playmobil e que Cleosvaldo tem 6 anos, temos:

ASTOLFOBELARMINOCLEOSVALDO

IDADE6

BRINQUEDOPlay

Como A criana que tem 11 anos, brincava de Atari, apenas Belarmino se encaixa, logo

ASTOLFOBELARMINOCLEOSVALDO

IDADE116

BRINQUEDOPlayAtari

Por excluso, temos

ASTOLFOBELARMINOCLEOSVALDO

IDADE8116

BRINQUEDOPlayAtariFalcon

04. Trs amigas, Anna, Bruna e Camila, encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas azul, o de outra preto, e o de outra branco. Elas calam pares de sapatos destas mesmas trs cores, mas somente Anna est com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Bruna so brancos. Camila est com sapatos azuis. Desse modo,

a) o vestido de Bruna azul e o de Anna preto.

b) o vestido de Bruna branco e seus sapatos so pretos.

c) os sapatos de Bruna so pretos e os de Anna so brancos.

d) os sapatos de Anna so pretos e o vestido de Camila branco.

e) o vestido de Anna preto e os sapatos de Camila so azuis.

SOLUO:

Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:

ANNABRUNACAMILA

VESTIDO

SAPATOS

Sabendo que Camila est com sapatos azuis, temos:

ANNABRUNACAMILA

VESTIDO

SAPATOSAz

Sabendo que Nem o vestido nem os sapatos de Bruna so brancos, ento Anna tem que ter sapatos brancosANNABRUNACAMILA

VESTIDO

SAPATOSBrAz

Como Anna est com vestido e sapatos de mesma cor, temos

ANNABRUNACAMILA

VESTIDOBr

SAPATOSBrAz

Por excluso, deduz-se que Bruna est com sapatos pretos e sabendo que somente Anna est com vestido e sapatos de mesma cor, temos

ANNABRUNACAMILA

VESTIDOBrAzPr

SAPATOSBrPrAz

EXEMPLOS DO 3 CASO VERDADES E MENTIRAS: HIOPTESES05. Quando a me de Alysson, Bosco, Carlos e Daniel, chega em casa, verifica que seu vaso preferido havia sido quebrado. Interrogados pela me, eles fazem as seguintes declaraes:

"Me, o Bosco foi quem quebrou" disse Alysson

"Como sempre, o Daniel foi culpado" disse Bosco

"Me, sou inocente" disse Cleber

Claro que o Bosco est mentindo" disse Daniel

Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, diga quem quebrou o vaso.

a) Alysson

b) Bosco

c) Cleber

d) Daniel

SOLUO:

Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, onde sero analisadas as declaraes mediante as hipteses:

ANLISE DAS DECLARAES

HIPTESESALYSSONBOSCOCLEBERDANIEL

ALYSSON

BOSCO

CLEBER

DANIEL

Analisaremos as declaraes de cada criana, de acordo com as hipteses dos culpados. Por exemplo, Alysson declara que Bosco foi quem quebrou, ento ele estar falando a verdade somente no caso de Bosco realmente ser o culpado, ou seja, ele mente (F) na hiptese de outra pessoa ser o culpado, logo:

ANLISE DAS DECLARAES

HIPTESESALYSSONBOSCOCLEBERDANIEL

ALYSSONF

BOSCOV

CLEBERF

DANIELF

Como Bosco disse que Daniel foi o culpado, nota-se que apenas no caso de Daniel ser o culpado ele estar dizendo a verdade, ento para qualquer outra hiptese de culpado ele mente (F), logo temos:ANLISE DAS DECLARAES

HIPTESESALYSSONBOSCOCLEBERDANIEL

ALYSSONFF

BOSCOVF

CLEBERFF

DANIELFV

Como Cleber se declara inocente, apenas na hiptese dele ser o culpado, sua declarao dita como falsa (F), em todas as demais hipteses ele realmente ser considerado inocente, logo:

ANLISE DAS DECLARAES

HIPTESESALYSSONBOSCOCLEBERDANIEL

ALYSSONFFV

BOSCOVFV

CLEBERFFF

DANIELFVV

Como Daniel disse que Bosco est mentindo", ento nesse caso, sempre a declarao de Daniel ter valor lgico contrrio ao de Bel, pois eles se contradizem, ento Daniel s ir mentir no caso dele ser o culpado, ou seja:

ANLISE DAS DECLARAES

HIPTESESALYSSONBOSCOCLEBERDANIEL

ALYSSONFFVV

BOSCOVFVV

CLEBERFFFV

DANIELFVVF

Anlise das hipteses:

1 Hiptese: Alysson culpado (REJEITADA)(Dois mentiram (F) e dois falaram a verdade (V)

2 Hiptese: Bosco culpado (REJEITADA)(Somente um mentiu (F)

3 Hiptese: Cleber culpado (ACEITA)(Somente um falou a verdade (V)

4 Hiptese: Bosco culpado (REJEITADA)(Dois mentiram (F) e dois falaram a verdade (V)

Observe que somente na hiptese de Cleber ser o culpado que apenas uma das declaraes se torna verdadeira (V), sendo ento trs falsas (F). Como somente Daniel diz a verdade, a terceira hiptese a nica aceita, logo Cleber declarado culpado.

06. Cinco jovens encontram-se diante de trs portas na Caverna do Drago, buscando um caminho para voltar para casa. Diante das portas esto trs guardies. As portas levam: ao castelo do Vingador, a um labirinto e finalmente uma passagem para seu mundo, mas no nessa ordem. Cada um dos guardies declara:

1 Guardio: O castelo do seu inimigo no est na porta da direita

2 Guardio: A porta do meio a passagem para seu mundo

3 Guardio: A porta do centro leva a um labirinto e a da direita ao Castelo do Vingador

Quando o Mestre dos Magos aparece, avisa aos garotos de que apenas dois dos guardies estava falando a verdade. Logo, eles concluram que:

a) o labirinto est na porta da esquerda

b) a passagem est na porta da esquerda

c) a passagem est na porta do centro

d) o castelo do Vingador est na porta do centro

e) o castelo do Vingador est na porta da direita

SOLUO:

Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, que mostra as possibilidades para cada porta:

ANLISE DAS DECLARAES

HIPTESES1 GUARDIO2 GUARDIO3 GUARDIO

CLP

CPL

PCL

PLC

LPC

LCP

O 1 guardio declarou que O castelo no est na porta da direita, ento ele s estar mentindo (F) no caso do castelo est na porta da direita, ou seja, o que ocorre na 4 e na 5 hiptese, logo temos:

ANLISE DAS DECLARAES

HIPTESES1 GUARDIO2 GUARDIO3 GUARDIO

CLPV

CPLV

PCLV

PLCF

LPCF

LCPV

J o 2 guardio declarou que A porta do meio a passagem para seu mundo, ento na 2 e na 5 hiptese ele s estar mentindo (F), pois nestas hipteses supe-se que a passagem (P) est no meio, logo:

ANLISE DAS DECLARAES

HIPTESES1 GUARDIO2 GUARDIO3 GUARDIO

CLPVF

CPLVV

PCLVF

PLCFF

LPCFV

LCPVF

O 3 guardio fez duas declaraes, que a porta do centro leva a um labirinto e que a porta da direita leva ao Castelo do Vingador, ento ele s estar falando a verdade (V) no caso das duas afirmaes ocorrerem, ou seja, apenas na 4 hiptese, logo temos:

ANLISE DAS DECLARAES

HIPTESES1 GUARDIO2 GUARDIO3 GUARDIO

CLPVFF

CPLVVF

PCLVFF

PLCFFV

LPCFVF

LCPVFF

Observe que apenas na 2 hiptese, dois dos guardies falam a verdade e um mente, o que satisfaz a condio imposta no enunciado da questo, ento a ordem ser:

Castelo (C), Passagem (P) e Labirinto (L)

Portanto, a passagem est na porta do centro.

EXERCCIOS PROPOSTOS01. Joo mais velho do que Pedro, que mais novo do que Carlos; Antnio mais velho do que Carlos, que mais novo do que Joo. Antnio no mais novo do que Joo e todos os quatro meninos tm idades diferentes. O mais jovem deles :

a) Joo

b) Antnio

c) Pedro

d) Carlos

02. Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, mineiro. H tambm um paulista, um carioca e um baiano. Paulo est sentado direita de Oliveira. Norton, direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que no carioca, encontra-se frente de Paulo. Assim,

a) Paulo paulista e Vasconcelos baiano.

b) Paulo carioca e Vasconcelos baiano.

c) Norton baiano e Vasconcelos paulista.

d) Norton carioca e Vasconcelos paulista.

e) Paulo baiano e Vasconcelos paulista.

03. Na residncia assaltada, Sherlock encontrou os seguintes vestgios deixados pelos assaltantes, que julgou serem dois, pelas marcas de sapatos deixadas no carpete:

Um toco de cigarro

Cinzas de charuto

Um pedao de goma de mascar

Um fio de cabelo moreno

As suspeitas recaram sobre cinco antigos empregados, dos quais se sabia o seguinte:

- Indivduo M: s fuma cigarro com filtro, cabelo moreno, no mastiga goma.

- Indivduo N: s fuma cigarro sem filtro e charuto, cabelo louro, no mastiga goma.

- Indivduo O: no fuma, ruivo, mastiga goma.

- Indivduo P: s fuma charuto, cabelo moreno, no mastiga goma.

- Indivduo Q: s fuma cigarro com filtro, careca, mastiga goma.

Sherlock concluir que o par de meliantes :

a) M e Q

b) N e P

c) M e O

d) P e Q

e) M e P04. (ESAF) Trs bandeiras A, B e C foram pintadas: uma de vinho, uma de prola e uma de amarelo, no necessariamente nessa ordem. Leia atentamente as declaraes abaixo:

A amarela B no amarela C no prolaSabendo(se que apenas uma das declaraes acima verdadeira, podemos afirmar corretamente que:

a) A bola A vinho, a bola B prola e a bola C amarelab) A bola A vinho, a bola B amarela e a bola C prolac) A bola A prola, a bola B amarela e a bola C vinhod) A bola A prola, a bola B vinho e a bola C amarelae) A bola A amarela, a bola B vinho e a bola C prola05. Em uma loja de telefonia celular, trabalham quatro funcionrios Pedro, Carlos, Tiago e Valmir subalternos a um gerente. O gerente sabe que exatamente um deles ligou um aparelho em uma tomada de voltagem errada, danificando o mesmo. Colocados frente a frente em uma sala, o gerente perguntou a todos quem tinha feito a ligao. Pedro respondeu que havia sido Carlos ou Valmir. Carlos declarou que tinha sido Tiago. Tiago disse que ele no fez a ligao. Valmir declarou que Tiago mentiu. Sabendo que apenas um dos quatro funcionrios falou a verdade, podemos concluir que quem falou a verdade e quem fez a ligao em voltagem errada foram, respectivamente:

(A) Tiago e Carlos;

(B) Tiago e Pedro;

(C) Tiago e Valmir;

(D) Carlos eTiago;

(E) Pedro e Carlos.06. Perguntou-se a trs pessoas qual delas se chamava Antnio. A primeira pessoa respondeu: Eu sou Antnio. A seguir, a segunda pessoa respondeu: Eu no sou Antnio. Finalmente, a terceira respondeu: A primeira pessoa a responder no disse a verdade. Sabendo-se que apenas uma delas se chama Antnio e que duas delas mentiram, correto concluir que Antnio:a) foi o primeiro a responder e que somente ele disse a verdade.

b) foi o primeiro a responder e que a segunda pessoa foi a nica a dizer a verdade.

c) foi o primeiro a responder e que a terceira pessoa foi a nica a dizer a verdade.

d) foi o segundo a responder e que somente ele disse a verdade.

e) foi o segundo a responder e que a terceira pessoa foi a nica a dizer a verdade.

07. Um agente de viagens atende trs amigas. Uma delas loira, outra morena e a outra ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Anna, outra se chama Bruna e a outra se chama Carine. Sabe, ainda, que cada uma delas far uma viagem a um pas diferente da Europa: uma delas ir Alemanha, outra Frana e a outra ir Inglaterra. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informaes:

A loira: No vou Frana nem Inglaterra

A morena: Eu e Bruna, visitaremos Carine em outra viagem

A ruiva: Nem eu nem Bruna vamos Frana

O agente de viagens concluiu, ento, acertadamente, que:

a) A loira Carine e vai Alemanha.

b) A ruiva Carine e vai Frana.

c) A ruiva Anna e vai Inglaterra.

d) A morena Anna e vai Inglaterra.

e) A loira Bruna e vai Alemanha.

08. (FCC) Quatro empresas (Maccorte, Mactex, Macval, Macmais) participam de uma concorrncia para compra de certo tipo de mquina. Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Thor, Hrcules, Netuno, Zeus) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14 dias. Sabe-se que:

Sobre os prazos de entrega, Macval apresentou o menor e Mactex o maior.

O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte, com prazo de entrega de 2 dias a menos do que a Mactex.

O modelo Hrcules seria entregue em 10 dias.

Macval no apresentou o modelo Netuno.

Nessas condies, o modelo apresentado pela empresa

a) Macval foi o Hcules.

b) Mactex foi o Thor.

c) Macmais foi o Thor.

d) Mactex foi o Netuno

e) Macval foi o Netuno

09. (FCC) Certo dia, trs tcnicos judicirios Altamiro, Benevides e Corifeu receberam, cada um, um lote de processos para arquivar e um lote de correspondncias a serem expedidas. Considere que:

tanto a tarefa de arquivamento, quanto a de expedio devem executadas no mesmo dia e nos seguintes horrios: das 10 s 12 horas, das 14 s 16 horas e das 16 s 18 horas;

dois funcionrios no podem ficar responsveis pela mesma tarefa no mesmo horrio;

apenas Altamiro arquivou os processos e expediu as correspondncias que recebeu em um mesmo horrio;

nem as correspondncias expedidas e nem os processos arquivados por Benevides ocorreram de 10 s 12h;

Corifeu expediu toda a correspondncia de seu respectivo lote das 16 s 18 horas.

Nessas condies, verdade que

a) os processos dos lotes de Altamiro foram arquivados das 16 s 18 horas.

b) as correspondncias dos lotes de Altamiro foram expedidas das 14 s 16 horas.

c) Benevides arquivou os processos de seu lote das 10 s 12 horas.

d) o lote de processos que coube a Benevides foi arquivado das 10 s 12 horas.

e) Altamiro expediu as correspondncias de seu lote das 10 s 12 horas.010. (CESPE) Trs amigos Ari, Beto e Carlos se encontram todos os fins-de-semana na feira de carros antigos. Um deles tem um Chevett, outro tem um Landau e o terceiro, um Fusca. Os trs moram em bairros diferentes (Buritis, Praia Grande e Cruzeiro) e tm idades diferentes (45, 50 e 55 anos). Alm disso, sabe-se que:

Ari no tem um Chevett e mora em Buritis;

Beto no mora na Praia Grande e 5 anos mais novo que o dono do Fusca;

O dono do Chevett no mora no Cruzeiro e o mais velho do grupo.

A partir das informaes acima, correto afirmar que

a) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e proprietrio do Landau.

b) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e proprietrio do Chevett.

c) Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e proprietrio do Chevett.

d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e proprietrio do Fusca.

011. (CESPE) Trs contadores A, B e C esto sendo avaliados para o preenchimento de uma posio em uma empresa. Esses contadores estudaram em diferentes universidades (USP, UnB e FGV), possuem diferentes tempos de experincia na profisso (3, 5 e 8 anos) e foram classificados em trs opes: 1., 2. e 3.. Considere tambm que

o contador A estudou na USP e tem menos de 7 anos de experincia.

o contador C ficou na 3. opo, no estudou na UnB e tem 2 anos de experincia a menos que o contador que foi classificado na 2. opo.

Com base nas informaes acima, conclui-se que

a) o contador B estudou na UnB, tem 8 anos de experincia e ficou em primeira opo.

b) o contador B estudou na UnB, tem 5 anos de experincia e ficou em primeira opo.

c) o contador C estudou na FGV e tem 5 anos de experincia.

d) o contador A tem 3 anos de experincia.

012. Sabe-se que um crime cometido por um dos quatro suspeitos: Aurisvanderson, Belarmino, Cleosvaldo e Denysgleison. Interrogados na delegacia, eles fazem as seguintes declaraes:

Auri: "Cleo o culpado"

Bel: "Acreditem, sou inocente"

Cleo: "Denys realmente o culpado"

Denys: "Cleo est mentindo"

Sabendo que apenas um dos quatro mentiu, diga quem o verdadeiro culpado.

a) Aurisvanderson

b) Belarmino

c) Cleosvaldo

d) Denysgleison

013. (CESPE) Marcos e Newton carregam fichas nas cores branca ou preta. Quando Marcos carrega a ficha branca, ele fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ele fala somente mentiras. Por outro lado, quando Newton carrega a ficha branca, ele fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades. Cada um deles deu a seguinte declarao: MARCOS: "Nossas fichas so iguais"

NEWTON: Nossas fichas so diferentes"

Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir.

a) Marcos e Newton carregam fichas brancas.

b) Marcos e Newton carregam fichas pretas.

c) Marcos carrega ficha preta e Newton carrega ficha branca.

d) Marcos carrega ficha branca e Newton carrega ficha preta.

014. (ESAF) Pedro encontra-se frente de trs caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das trs caixas contm um e somente um objeto. Uma delas contm um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrio, a saber:

Caixa 1: O livro est na caixa 3.

Caixa 2: A caneta est na caixa 1.

Caixa 3: O livro est aqui.

Pedro sabe que a inscrio da caixa que contm o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrio da caixa que contm a caneta falsa, e que a inscrio da caixa que contm o diamante verdadeira. Com tais informaes, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 esto, respectivamente,

a) a caneta, o diamante, o livro.

b) o livro, o diamante, a caneta.

c) o diamante, a caneta, o livro.

d) o diamante, o livro, a caneta.

e) o livro, a caneta, o diamante.

015. (ESAF) Cinco moas, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, esto vestindo blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moas que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda so, respectivamente:

a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela.

b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela.

c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela.

d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela.

e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.016. (ESAF) Uma empresa produz andrides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligncia Artificial, est examinando um grupo de cinco andrides fabricados por essa empresa rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e psilon para determinar quantos entre os cinco so do tipo V. Ele pergunta a Alfa: Voc do tipo M? Alfa responde mas Dr. Turing, distrado, no ouve a resposta. Os andrides restantes fazem, ento, as seguintes declaraes: Beta: Alfa respondeu que sim.

Gama: Beta est mentindo.

Delta: Gama est mentindo.

psilon: Alfa do tipo M.

Mesmo sem ter prestado ateno resposta de Alfa, Dr. Turing pde, ento, concluir corretamente que o andride que certamente do tipo V o andride:a) Alfab) Betac) Deltad) Gama

e) psilon

17. Trs tcnicos: Amanda, Beatriz e Cssio trabalham no banco um deles no complexo computacional, outro na administrao e outro na segurana do Sistema Financeiro, no respectivamente. A praa de lotao de cada um deles : So Paulo, Rio de Janeiro ou Porto Alegre. Sabe-se que:

_ Cssio trabalha na segurana do Sistema Financeiro.

_ O que est lotado em So Paulo trabalha na administrao.

_ Amanda no est lotada em Porto Alegre e no trabalha na administrao.

verdade que, quem est lotado em So Paulo e quem trabalha no complexo computacional so, respectivamente,

a) Cssio e Beatriz.

b) Beatriz e Cssio.

c) Cssio e Amanda.

d)) Beatriz e Amanda.

e) Amanda e Cssio.18. Sabe-se que um dos quatro indivduos Marcelo, Z Bolacha, Adalberto ou Jos cometeu o crime da novela A prxima Vtima. 0 delegado Olavo interrogou os quatro obtendo as seguintes respostas:

- Marcelo declara: Z Bolacha o criminoso.

- Z Bolacha declara: O criminoso Jos.

- Adalberto declara: No sou o criminoso.

- Jos protesta: Z Bolacha est mentindo.

Sabendo que apenas uma das declaraes verdica, as outras trs so falsas, quem o criminoso?

"Inspirado na novela da Rede Globo - A PRXIMA VTIMA"

a) Z Bolacha

b) Jos

c) Adalberto

d) Marcelo

e) Impossvel de descobrir.19. Os cursos de Mrcia, Berenice e Priscila so, no necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianpolis, e a outra em So Paulo. Mrcia realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice no realizou seu curso em So Paulo e no fez Medicina. Assim, cursos e respectivos locais de estudo de Mrcia, Berenice e Priscila so, pela ordem:

a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianpolis, Biologia em So Paulo.

b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianpolis, Medicina em So Paulo.

c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianpolis, Psicologia em So Paulo.

d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em So Paulo, Psicologia em Florianpolis.

e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em So Paulo, Psicologia em Florianpolis.20. Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:

Armando: Sou inocente

Celso: Edu o culpado

Edu: Tarso o culpado

Juarez: Armando disse a verdade

Tarso: Celso mentiu

Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado :

a) Armando

b) Celso

c) Edu

d) Juarez

e) TarsoGABARITO

01. C02. A03. #04. E05. C06. E07. E08. D09. D10. E11. A12. C13. A14. C15. E16. D 17. # 18 # 19. # 20. #EXERCCIOS DE FIXAO

01. Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, mineiro. H tambm um paulista, um carioca e um baiano. Paulo est sentado direita de Oliveira. Norton, direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que no carioca, encontra-se frente de Paulo. Assim,

a) Paulo paulista e Vasconcelos baiano.

b) Paulo carioca e Vasconcelos baiano.

c) Norton baiano e Vasconcelos paulista.

d) Norton carioca e Vasconcelos paulista.

e) Paulo baiano e Vasconcelos paulista.

02. Um agente de viagens atende trs amigas. Uma delas loira, outra morena e a outra ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Milena, outra se chama Monyke e a outra se chama Carine. Sabe, ainda, que cada uma delas far uma viagem a um pas diferente da Europa: uma delas ir Alemanha, outra Frana e a outra ir Inglaterra. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informaes:

A loira: No vou Frana nem Inglaterra

A morena: Meu nome no Monyke nem Carine

A ruiva: Nem eu nem Monyke vamos Frana

O agente de viagens concluiu, ento, acertadamente, que:

a) A loira Carine e vai Inglaterra.

b) A ruiva Carine e vai Frana.

c) A ruiva Milena e vai Inglaterra.

d) A morena Milena e vai Inglaterra.

e) A loira Monyke e vai Alemanha.

03. Cinco camisetas de cores diferentes foram dispostas em uma pilha. A verde est abaixo da amarela e acima da azul. A rosa est acima da marrom e esta fica abaixo da verde. A amarela e a verde se encostam, assim como esta e a marrom. Qual a cor da camiseta do topo da pilha?

a) Azul

b) Amarela

c) Verde

d) rosa

e) Marrom04. (FCC) Pesquisados sobre o hbito de tomar caf no horrio do almoo, no perodo de segunda a sexta-feira, trs colegas afirmaram:

EUCLIDES:No tomo caf s teras, nem s sextas-feiras.

LUS:Tomo caf todas as teras, quintas e sextas-feiras e no tomo nos demais dias.

FRANCISCO: Tomo caf todas as segundas e quartas-feiras e no tomo nos demais dias.

Sabe-se que todos os dias pelo menos um deles toma caf no almoo e h um dia em que os trs tomam caf juntos. Se apenas Francisco no falou a verdade, ento os trs tomam caf juntos na

a) sexta-feira

b) quinta-feira

c) quarta-feira

d) tera-feira

e) segunda-feira

05. Joo mais velho do que Pedro, que mais novo do que Carlos; Antnio mais velho do que Carlos, que mais novo do que Joo. Antnio no mais novo do que Joo e todos os quatro meninos tm idades diferentes. O mais jovem deles :

a) Joo

b) Antnio

c) Pedro

d) Carlos

06. (FCC) Quatro empresas (Maccorte, Mactex, Macval, Macmais) participam de uma concorrncia para compra de certo tipo de mquina. Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Thor, Hrcules, Netuno, Zeus) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14 dias. Sabe-se que: Sobre os prazos de entrega, Macval apresentou o menor e Mactex o maior.

O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte, com prazo de entrega de 2 dias a menos do que a Mactex.

O modelo Hrcules seria entregue em 10 dias.

Macval no apresentou o modelo Netuno.

Nessas condies, o modelo apresentado pela empresa

a) Macval foi o Hcules.

b) Mactex foi o Thor.

c) Macmais foi o Thor.

d) Mactex foi o Netuno

e) Macval foi o Netuno

07. (FCC) Cinco times: Antares, Bilbao, Cascais, Deli e Elite, disputam um campeonato de basquete e, no momento, ocupam as cinco primeiras posies na classificao geral. Sabe-se que:

Antares est em um primeiro lugar e Bilbao est em quinto;

Cascais est exatamente na posio intermediria entre

Antares e Bilbao;

Deli est frente do Bilbao, enquanto que o Elite est imediatamente atrs do Cascais.

Nessas condies, correto afirmar que:

a) Cascais est em segundo lugar.

b) Deli est em quarto lugar.

c) Deli est em segundo lugar.

d) Elite est em segundo lugar.

e) Elite est em terceiro lugar.

08. Marcos e Paulo pertencem a um grupo de mentirosos programados. Marcos mente sempre na tera, quarta e quinta, dizendo a verdade nos outros dias da semana. Paulo mente sempre na sexta, sbado e domingo, fazendo questo de dizer a verdade nos outros dias. Certo dia, dialogando entre eles, afirmaram:

Marcos: Eu mentirei amanh, assim como ontem

Paulo: Hoje tera-feira

Em que dia da semana ocorreu esse dilogo?

a) segunda

b) tera

c) quarta

d) quinta

e) sexta

09. Sabe-se que um crime cometido por um dos quatro suspeitos: Aurisvanderson, Belarmino, Cleosvaldo e Denysgleison. Interrogados na delegacia, eles fazem as seguintes declaraes:

Auri: "Bel o culpado"

Bel: "Denys realmente o culpado"

Cleo: "Acreditem, eu no sou culpado"

Denys: "Bel est mentindo"

Sabendo que apenas um dos quatro mentiu, diga quem o verdadeiro culpado.

a) Aurisvanderson

b) Belarmino

c) Cleosvaldo

d) Denysgleison

010. Trs bolas A, B e C foram pintadas: uma de vermelho, uma de preto e uma de azul, no necessariamente nessa ordem. Leia atentamente as declaraes abaixo:

A azul

B no azul

C no preta

Sabendo(se que apenas uma das declaraes acima verdadeira, podemos afirmar corretamente que:

a) A bola A vermelha, a bola B preta e a bola C azul

b) A bola A vermelha, a bola B azul e a bola C preta

c) A bola A preta, a bola B azul e a bola C vermelha

d) A bola A preta, a bola B vermelha e a bola C azul

e) A bola A azul, a bola B vermelha e a bola C preta

011. Percival encontra-se frente de trs portas, numeradas de 1 a 3, cada uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz drago. Em cada uma das portas encontra-se uma inscrio:

Porta 1: Se procuras a linda princesa, no entres; ela est atrs da porta 2.

Porta 2: Se aqui entrares, encontrars um valioso tesouro; mas cuidado: no entres na porta 3 pois atrs dela encontra-se um feroz drago.

Porta 3: Podes entrar sem medo pois atrs desta porta no h drago algum.

Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscries falsa (sendo as duas outras verdadeiras), Percival conclui, ento, corretamente que atrs das portas 1, 2 e 3 encontram-se respectivamente:

a) o feroz drago, o valioso tesouro, a linda princesa

b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz drago

c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz drago

d) a linda princesa, o feroz drago, o valioso tesouro

e) o feroz drago, a linda princesa, o valioso tesouro

012. (ESAF) Trs amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas azul, o de outra preto, e o de outra branco. Elas calam pares de sapatos destas mesmas trs cores, mas somente Ana est com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Jlia so brancos. Marisa est com sapatos azuis. Desse modo,

a) o vestido de Jlia azul e o de Ana preto.

b) o vestido de Jlia branco e seus sapatos so pretos.

c) os sapatos de Jlia so pretos e os de Ana so brancos.

d) os sapatos de Ana so pretos e o vestido de Marisa branco.

e) o vestido de Ana preto e os sapatos de Marisa so azuis.

013. (ESAF) Uma empresa produz andrides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligncia Artificial, est examinando um grupo de cinco andrides rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e psilon , fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco so do tipo V. Ele pergunta a Alfa: Voc do tipo M? Alfa responde mas Dr. Turing, distrado, no ouve a resposta. Os andrides restantes fazem, ento, as seguintes declaraes:

Beta: Alfa respondeu que sim.

Gama: Beta est mentindo.

Delta: Gama est mentindo.

psilon: Alfa do tipo M.

Mesmo sem ter prestado ateno resposta de Alfa, Dr. Turing pde, ento, concluir corretamente que o nmero de andrides do tipo V, naquele grupo, era igual a

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

014. Sete funcionrios de uma empresa (Arnaldo, Beatriz, Carlos, Douglas, Edna, Flvio e Geraldo) foram divididos em 3 grupos para realizar uma tarefa. Esta diviso foi feita de modo que: cada grupo possui no mximo 3 pessoas;Edna deve estar no mesmo grupo que Arnaldo; Beatriz e Carlos no podem ficar no mesmo grupo que Geraldo; Beatriz e Flvio devem estar no mesmo grupo; Geraldo e Arnaldo devem ficar em grupos distintos; nem Edna nem Flvio podem fazer parte do grupo de Douglas. Estaro necessariamente no mesmo grupo:

a) Arnaldo e Carlos;

b) Arnaldo e Douglas;

c) Carlos e Flvio; d) Douglas e Geraldo;

015. (CESPE) Trs amigos Ari, Beto e Carlos se encontram todos os fins-de-semana na feira de carros antigos. Um deles tem um Gordini, outro tem um Sinca e o terceiro, um Fusca. Os trs moram em bairros diferentes (Buritis, Praia Grande e Cruzeiro) e tm idades diferentes (45, 50 e 55 anos). Alm disso, sabe-se que:

Ari no tem um Gordini e mora em Buritis;

Beto no mora na Praia Grande e 5 anos mais novo que o dono do Fusca;

O dono do Gordini no mora no Cruzeiro e o mais velho do grupo.

A partir das informaes acima, correto afirmar que

a) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e proprietrio do Sinca.

b) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e proprietrio do Gordini.

c) Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e proprietrio do Gordini.

d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e proprietrio do Fusca.

GABARITO

01. A02. E03. D04. B05. C

06. D07. C08. B09. B10. C

11. E12. C13. B14. D15. DTEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOSSituao Problema ...........

Um funcionrio do departamento de seleo pessoal de uma indstria automobilstica, analisando o currculo de 47 candidatos, conclui que apenas 3 deles nunca trabalharam em montagem ou pintura, 32 j trabalharam em montagem, e 17 j trabalharam nos dois setores.

De acordo com essas informaes, quantos desses candidatos j trabalharam apenas na pintura.

Aps os contedos que sero apresentados nesta aula como o que so conjuntos e como represent-los, iremos resolver problemas como este, que envolvem quantidades de elementos de conjuntos finitos.

Conceitos primitivos*

Na teoria dos conjuntos, os conceitos primitivos so: conjunto, elemento de um conjunto e pertinncia entre elemento e conjunto. A ideia de conjunto a mesma de coleo, reunio, etc .......

A coleo de apostilas que voc utiliza um conjunto de apostilas. A apostila de Matemtica um elemento que pertence a esse conjunto.

Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto de alunos. Voc um elemento que pertence a esse conjunto.

*Os conceitos que iniciam uma teoria so aceitos sem definio, pois, no existindo ainda teoria, no h recursos para defini-los.

Representao

Representao tabular um conjunto em que os elementos so apresentados entre chaves e separados por vrgula ou ponto e vrgula.

Exemplos:

A = {a,e,i,o,u}

B = {1,2,3,4}

Note que u ( A, ou seja, u elemento do conjunto A, mas no elemento do conjunto B, ou seja, u ( B.

Conjunto unitrio e Conjunto Vazio

Conjunto unitrio aquele formado por um nico elemento.

Conjunto vazio aquele que no possui elemento algum. Representa-se o conjunto vazio por { } ou .

Observao: {} um conjunto unitrio.

Representao por diagrama de Veen aquela em que os elementos so simbolizados por pontos interiores a uma regio plana delimitada por uma linha fechada que no se entrelaa.

Subconjuntos

Considere B o conjunto formado por todas as pessoas Brasileiras. Com os elementos de B, podemos formar o conjunto H, formado por todos os homens Brasileiros e o conjunto M, formado por todas as mulheres Brasileiras, dizemos ento que:

H e M so subconjuntos de B

H ( B (l-se H est contido em B)

M ( B (l-se M est contido em B)

Observao

I. A relao de pertinncia ( ( ) usada apenas para relacionar um elemento com um conjunto.

II.A relao de incluso ( ( ) usada para relacionar um conjunto com outro conjunto.

III.Podemos representar os conjuntos mencionados acima da seguinte forma:

B ( H (l-se B contm H)

IV.O total de subconjuntos formados por um conjunto finito A dado por:

2n(A)

Onde: n(A) o nmero de elementos de A

Operaes entre conjuntos

UNIOA UNIO (A U B) de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A ou a B.

INTERSECOA INTERSECO (A B) de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e a B.

DIFERENAA DIFERENA (A B) de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e no pertencem a B.

COMPLEMENTARQuando dois conjuntos A e B so tais que A B, d se o nome de COMPLEMENTAR DE B EM A diferena B A.

Problemas que envolvem conjuntos

Cardinalidade o nmero de elementos do conjunto. Cardinalidade da unio:

n(A ( B) = n(A) + n(B) n(A ( B)O nmero de elementos da unio de dois conjuntos igual soma do nmero de elementos de cada conjunto, menos a quantidade de elementos repetidos.EXERCCIOS PROPOSTOS

01.O conjunto A possui 30 elementos; o conjunto A ( B possui 12 elementos; o conjunto A ( B possui 50 elementos. O nmero de elementos do conjunto B :

a) 28

b) 32

c) 40

d) 48

e) 5202.Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o nmero mximo de subconjuntos distintos :

a) 21

b) 128

c) 64

d)nenhuma dessas

03.Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7}, ento o complementar de B em A :

a) (b) {8}

c) {8, 9, 10}

d) {9, 10, 11 }

e) {1, 5, 8}

04.Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e}, o conjunto (A C) ( (C B) ( (A ( B ( C) :

a) {a, b, c, e}

b) {a, c, e}

c) A

d) {b, d, e}

e) {a, b, c, d}

05.Supondo que:

A ( B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A ( B = {4, 5}

A B = {1, 2, 3}, ento B :

a) {6, 7, 8}

b) {4, 5, 6, 7, 8}

c) {1, 2, 3, 4}

d) {4, 5}

e) (06.Numa comunidade constituda de 1.800 pessoas h trs programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.

Programas N de Telespectadores

E

400

N

1220

H

1080

E e N 220

N e H 800

E e H 180

E, N e H 100

Atravs desses dados, verifica-se que o nmero de pessoas da comunidade que no assistem a qualquer dos trs programas :

a) 200

b) os dados do problema esto incorretos

c) 900

d) 100

e) n.d.a

07.Numa certa cidade so consumidos trs produtos A, B e C, sendo:

A um tipo de desodorante

B um tipo de sabonete

C um tipo de creme dental

Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os dados da tabela abaixo:

Produto N de consumidores

A

120

B

180

C

250

A e B

40

A e C

50

B e C

60

A, B e C

30

Nenhum dos trs180

O conjunto das pessoas consultadas constitui uma amostra. Note-se que os trs primeiros dados da tabela (120, 180 e 250) no representam os que consomem apenas A ou apenas B ou apenas C, e sim o nmero total de consumidores dos 3 produtos (isolados ou conjuntamente). Nessas condies, quantas pessoas foram consultadas?

a) 500

b) 560

c) 610

d) 730

e) 910

08.O quadro abaixo mostra o resultado de uma pesquisa realizada com 1.800 pessoas, entrevistadas a respeito da audincia de trs programas favoritos de televiso, a saber: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H).

De acordo com os dados apresentados, o nmero de pessoas entrevistadas que no assistem a algum dos trs programas :

a) 900

b) 200

c) 100

d) 300

e) 400

09.Num grupo de 50 esportistas, 25 jogam tnis, 29, basquete e 15 praticam os dois esportes. Sabendo-se que x esportistas do grupo no jogam tnis ou basquete, o valor de x

a) 4

b) 6

c) 10

d) 11

e) 39

10.Numa escola h n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem apenas um dos dois jornais e 66 no leem o jornal B. O valor de n

a) 249

b) 137

c) 158

d) 127

e) 183

11.Num grupo de 2000 adultos, apenas 20% so portadores do vrus da hepatite B. Os homens desse grupo so exatamente 30% do total e apenas 10% das mulheres apresentam o vrus. O nmero total de homens desse grupo que no apresenta o vrus , exatamente,

a) 140

b) 260

c) 340

d) 400

e) 600

12.Num grupo de estudantes, 80% estudam Ingls, 40% estudam Francs e 10% no estudam nenhuma dessas duas lnguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as lnguas :

a) 25%

b) 50%

c) 15%

d) 33%

e) 30%

a) Todas as afirmaes so verdadeiras.

b) Somente a ultima afirmao verdadeira.

c) II, IV e VI so falsas.

d) III, IV e V so verdadeiras.

e) Todas as afirmaes so falsas.

13.Em uma pesquisa de opinio, foram obtidos estes dados:

( 40% dos entrevistados lem o jornal A.

( 55% dos entrevistados lem o jornal B.

( 35% dos entrevistados lem o jornal C.

( 12% dos entrevistados lem os jornais A e B.

( 15% dos entrevistados lem os jornais A e C.

( 19% dos entrevistados lem os jornais B e C.

( 7% dos entrevistados lem os trs jornais.

( 135 pessoas entrevistadas no lem nenhum dos trs jornais.

Considerando-se esses dados, correto afirmar que o nmero total de entrevistados foi:

a) 1 200

b) 1 500

c) 1 250

d) 1 350

14.Na escola do professor Golias, so praticadas duas modalidades de esportes: o futebol e a natao. Exatamente 80% dos alunos praticam futebol e 60%, natao. Se a escola tem 300 alunos e todo aluno pratica pelo menos um esporte, ento o nmero de alunos que praticam os dois esportes :

a) 240

b) 204

c) 180

d) 139

e) 120

15.Num clube, dentre os 500 inscritos no departamento de natao, 30 so unicamente nadadores, entretanto 310 tambm jogam futebol e 250 tambm jogam tnis. Os inscritos em natao que tambm praticam futebol e tnis so em nmero de:

a) 80

b) 90

c) 100

d) 110

e) 120

16.Em uma pesquisa feita a 30 alunos sobre o tipo de revista que costumam ler, 14 responderam que leem a revista X, cinco responderam que leem a revista Y e sete responderam que leem a revista Z. Sabendo-se que trs lem as revistas X e Y, dois leem as revistas X e Z, dois leem as revistas Y e Z e somente um l as trs revistas, o nmero dos que leem pelo menos uma destas trs revistas :

a) 8

b) 12

c) 19

d) 20

e) 26

17.Uma populao utiliza 3 marcas diferentes de detergente: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados tabelados abaixo.

Marcas Nmero de

consumidoresA

109

B

203

C

162

A e B 25

A e C 28

B e C 41

A, B e C 5

Nenhuma delas 115

Pode-se concluir que o nmero de pessoas que consomem ao menos duas marcas

a) 99

b) 94

c) 90

d) 84

e) 79

18.O conjunto A possui 20 elementos; o conjunto A ( B possui 12 elementos; o conjunto A ( B possui 60 elementos. O nmero de elementos do conjunto B :

a) 28

b) 36

c) 40

d) 48

e) 52

19.Foi consultado um certo nmero de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 assistem ao canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O nmero de pessoas consultadas :

a) 800

b) 720

c) 570

d) 500

e) 600

20.Num grupo de estudantes, 80% estudam Ingls, 40% estudam Francs e 10% no estudam nenhuma dessas duas lnguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as lnguas :

a) 25%

b) 50%

c) 15%

d) 33%

e) 30%

GABARITO - CONJUNTOS

0102030405

BBEBB

0607080910

ACBDC

1112131415

CEBEB

1617181920

DDEDE

SILOGISMO

Proposies so sentenas que podem ser julgadas como verdadeiras V ou falsas F , mas no como ambas.As quatro proposies categricas de Aristteles (384 a 322 a.C.), componentes fundamentais de seus silogismos, podem ser simbolizadas pelas frmulas da linguagem da lgica de 1. ordem, mostradas na tabela abaixo.

Denotando por AB qualquer uma das quatro proposies categricas, e denominando A e B os termos de AB, ento um silogismo consiste (sintaticamente) de uma seqncia de trs proposies categricas construdas com trs termos, de modo que cada duas delas tenham exatamente um termo comum.

Para os termos A, B e C, a tabela abaixo apresenta os quatro possveis modelos de silogismos.

CB (PREMISSA MAIOR)

Todo homem mortal.AC (PREMISSA MENOR)

Scrates homem.AB (CONCLUSO)

Logo, Scrates mortal.

O termo semelhante nas premissas desaparece, restando na concluso os termos restantes das premissas.

QUANTIFICADORES

So elementos que transformam as sentenas abertas em proposies.

Eles so utilizados para indicar a quantidade de valores que a varivel de uma sentena precisa assumir para que esta sentena torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposio.

TIPOS DE QUANTIFICADORESa) Quantificador existencial: o quantificador que indica a necessidade de existir pelo menos um elemento satisfazendo a proposio dada para que esta seja considerada verdadeira.

indicado pelo smbolo (, que se l existe, existe um ou existe pelo menos um.

EXEMPLO:

(p) (x(R / x ( 3

(q) Existe dia em que no chove.

b) Quantificador universal: o quantificador que indica a necessidade de termos todos os elementos satisfazendo a proposio dada para que esta seja considerada verdadeira.

indicado pelo smbolo (, que se l para todo ou qualquer que seja.

EXEMPLO:

(m) (x(R ( x ( 5 (L-se: para todo x pertencente aos reais, tal que x maior ou igual a 5)

(n) Qualquer que seja o dia, no chover.

TEORIA DOS CONJUNTOS

NOMENCLATURA UTILIZADA

( -conjunto dos nmeros reais

(* - conjunto dos nmeros reais no nulos

(+ - conjunto dos nmeros reais no negativos

(*+ - conjunto dos nmeros reais positivos

Q - conjunto dos nmeros racionais

Q* - conjunto dos nmeros racionais no nulos

Z - conjunto dos nmeros inteiros

Z+ - conjunto dos nmeros inteiros no negativos

Z* - conjunto dos nmeros inteiros no nulosN- conjunto dos nmeros naturais

N*- conjunto dos nmeros naturais no nulos

(- conjunto vazio

(- smbolo de unio entre dois conjuntos

(- smbolo de interseco entre dois conjuntos

(- smbolo de pertinncia entre elemento e conjunto

(- smbolo de incluso entre dois conjuntos

(- qualquer que sejaOPERAES COM CONJUNTOS

UNIO ( ( )

Unio de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos.

INTERSEO ( ( )

Interseo de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a ambos os conjuntos dados.

DIFERENA ( ) ou COMPLEMENTAR

Diferena entre os conjuntos A e B, nesta ordem, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, porm, no pertencem a B. O conjunto A B tambm chamado de complementar de B e em A, pois o que falta para B completar o conjunto A.

CONJUNTOS LGICOS

NENHUM

No existe interseo entre os conjuntos.

EX.:

A: Nenhum soldado covarde

ALGUNS

Existe pelo menos um elemento na interseo entre os conjuntos, mas nem todos.

EX.:

B: Alguns soldados so covardes

TODOS

Um dos conjuntos subconjunto do outro.

EX.:

C: Todos os soldados so covardes

TIPOS DE PROPOSIES COMPOSTAS

Uma proposio chamada de composta quando formada a partir de outras proposies mais simples (p, q, r, ...) mediante o uso de:

modificadores (~)

conectivos (( e ()

condicionais (( e ().

TAUTOLOGIA

Dizemos que uma proposio composta uma tautologia, ou seja, uma proposio logicamente verdadeira, quando tem o valor lgico verdadeiro independentemente dos valores lgicos das proposies parciais usadas na sua elaborao. Ex.: p(q: No concurso Joo foi aprovado ou reprovadoCONTRADIO

Dizemos que uma proposio composta uma contradio, ou seja, uma proposio logicamente falsa, quando tem o valor lgico falso independentemente dos valores lgicos das proposies parciais usadas na sua elaborao. Ex.: p(q: Sophia nasceu em Fortaleza e em So PauloCONTINGNCIA

Dizemos que uma proposio composta uma contingncia quando ela pode ter os valores lgico verdadeiro ou falso.EXEMPLOS

01. (IPAD) Supondo que todos os cientistas so objetivos e que alguns filsofos tambm o so, podemos logicamente concluir que:

a) no pode haver cientista filsofo.

b) algum filsofo cientista.

c) se algum filsofo cientista, ento ele objetivo.

d) alguns cientistas no so filsofos.

e) nenhum filsofo objetivo.

SOLUO:

Dadas as premissas:

A: todos os cientistas so objetivos

B: alguns filsofos so objetivos

Sejam

O Objetivos

C Cientistas

F Filsofos

Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas possveis:

Dessa forma, temos que se algum filsofo cientista ele fica de acordo com o 2 ou 3 diagrama, o que implica necessariamente que esse filsofo ser objetivo, pois todo cientista objetivo.

Resposta: C

02. (IPAD) Supondo que cronpios e famas existem e que nem todos os cronpios so famas, podemos concluir logicamente que:

a) nenhum cronpio fama.

b) no existe cronpio que seja fama.

c) todos os cronpios so famas.

d) nenhum fama cronpio.

e) algum cronpio no fama.

SOLUO:

Dada a premissa:

A: Nem todos os cronpios so famas

Sejam

C Cronpios

F Famas

Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes diagramas possveis:

Podemos concluir que Se nem todo cronpio fama, ento necessariamente existe pelo menos um cronpio que no fama.

Resposta: E

03. (IPAD) Em um pas estranho sabe-se que as pessoas esto divididas em dois grupos: o grupo dos que tm uma idia original e o grupo dos que tm uma idia comercializvel. Sabe-se tambm que 60% das pessoas tm uma idia original e apenas 50% tm idias comercializveis. Podemos afirmar que:

a) 15% das pessoas tm idias originais e comercializveis.

b) 10% das pessoas tm idias originais e comercializveis.

c) 30% das pessoas tm idias comercializveis, mas no originais.

d) 70% das pessoas tm idias originais e no comercializveis.

e) 65% das pessoas tm idias originais e no comercializveis.

SOLUO:

Sejam

A grupo dos que tm uma idia original ;

B grupo dos que tm uma idia comercializvel;

Como todas as pessoas (100%) esto em pelo menos um dos grupos (A ou B), temos:

Sabendo que

n(A ( B) = n(A) + n(B) n(A ( B)

100% = 60% + 50% x

x = 10%

portanto

10% das pessoas tm idias originais e comercializveis

Resposta: B

04. verdade que "Alguns A so R" e que "nenhum G R" ento necessariamente verdade que:

a) Alguns A no G.

b) Algum A G.

c) Nenhum A G.

d) Algum G A.

e) Nenhum G A.

SOLUO:

Sabe-se que todos os A que tambm so R, no podem ser G, pois nenhum G R, ento existem alguns A que nunca sero G.

Resposta: A

OBS.:Os outros itens esto errados por que podem ser verdade ou no, dependendo de como for o diagrama. Mas como no se pode garantir que G e A tm interseo ou no, nada se pode afirmar.

05. Supondo que Nenhum advogado foi reprovado e que Alguns bancrios foram reprovados, podemos logicamente concluir que:

a) no pode haver advogado bancrio.

b) algum advogado bancrio.

c) nenhum advogado bancrio.

d) todos os advogados so bancrios.

e) alguns bancrios no so advogados.

SOLUO:

Do enunciado temos os possveis diagramas:

Dessa forma, percebemos que nas duas possibilidades alguns bancrios no so advogados, pois aqueles bancrios que foram reprovados, jamais podero ser advogados, pois nenhum destes foi reprovado.

Resposta: E

O PRINCPIO DO POMBAL OU PRINCPIO DA CASA DOS POMBOS a afirmao de que se n pombos devem ser postos em m casas, e se n > m, ento pelo menos uma casa ir conter mais de um pombo. Matematicamente falando, isto quer dizer que se o nmero de elementos de um conjunto finito A maior do que o nmero de elementos de um outro conjunto B, ento uma funo de A em B no pode ser injetiva.

tambm conhecido como TEOREMA DE DIRICHLET OU PRINCPIO DAS GAVETAS DE DIRICHLET, pois supe-se que o primeiro relato deste principio foi feito por Dirichlet em 1834, com o nome de Schubfachprinzip ("princpio das gavetas").

O princpio do pombal um exemplo de um argumento de calcular que pode ser aplicado em muitos problemas formais, incluindo aqueles que envolvem um conjunto infinito.

Embora se trate de uma evidncia extremamente elementar, o princpio til para resolver problemas que, pelo menos primeira vista, no so imediatos. Para aplic-lo, devemos identificar, na situao dada, quem faz o papel dos objetos e quem faz o papel das gavetas.

Exemplo

Todos os pontos de um plano so pintados de amarelo ou verde. prove que podemos encontrar dois pontos de mesma cor que distam exatamente um metro:Soluo: Basta imaginarmos um tringulo equiltero de lado igual a um metro. Como so duas cores (casas) e trs pontos (pombos),pelo PCP (princpio da casa dos pombos) teremos dois de mesma cor.

Embora este princpio seja uma observao trivial, pode ser usado para demonstrar resultados possivelmente inesperados. Por exemplo, em qualquer grande cidade (digamos com mais de 1 milho de habitantes) existem pessoas com o mesmo nmero de fios de cabelo. Demonstrao: Tipicamente uma pessoa tem cerca de 150 mil fios de cabelo. razovel supor que ningum tem mais de 1.000.000 de fios de cabelo em sua cabea. Se h mais habitantes do que o nmero mximo de fios de cabelo, necessariamente pelo menos duas pessoas tero precisamente o mesmo nmero de fios de cabelo.

Generalizaes do princpioUma verso generalizada declara que, se "n" objetos distintos para ser alocados "m" recipientes, ento pelo menos um recipiente deve conter no menos que objetos, onde denota o menor inteiro igual ou superior a x (a funo tecto).

Uma generalizao probabilstica do princpio da casa dos pombos define que se "n" pombos so colocados aleatoriamente em "m" casas com uma probabilidade uniforme 1/m, ento pelo menos uma casa de pombos ter mais de um pombo com probabilidade:

onde um fatorial decrescente. Para n = 0 e para n = 1 (e m > 0), que provavelmente zero; em outras palavras, se tem apenas um pombo, ento no deve haver conflitos. Para n > m (mais pombos do que casa de pombos) um, neste caso coincide com o princpio de casa dos pombos normal. Mas mesmo que o nmero de pombos no exceda o nmero de casa de pombos (n m), devido a natureza da atribuio aleatria das casas aos pombos existe uma chance substancial que um confronto ocorra muitas vezes. Por exemplo, se 2 pombos so colocados na 4 casa de pombos, h uma chance de 25% que pelo menos uma casa de pombo ter mais do que um pombo, para 5 pombos e 10 casas, a probabilidade de 69,76%; e para 10 pombos em 20 casas a probabilidade de 93,45%.MAIS EXERCCIOS | O SEGREDO EXERCITAR!!!01. Qual a negao de Todo artista elegante.

a) Nenhum artista elegante

b) Todas as pessoas so elegantes

c) Ningum elegante

d) Todo artista no elegante

e) Pelo menos um artista no elegante

02. Dizer que Alguns alunos vo passar implica que:

a) No h aluno que v passar

b) Todas as pessoas vo passar

c) Pelo menos um aluno vai passar

d) Todos os alunos vo passar

e) Todos os alunos no vo passar

03. A equivalncia de Nenhum poltico honesto :

a) Todas as pessoas so honestas

b) Todos os polticos so desonestos

c) Ningum honesto

d) Todo poltico honesto

e) Pelo menos um poltico honesto

04. Dadas as proposies:

I Toda mulher boa motorista.

II Nenhum homem bom motorista.

III Todos os homens so maus motoristas.

IV Pelo menos um homem mau motorista.

V Todos os homens so bons motoristas.A negao da proposio (V) :

a) I

b) II

c) III

d) IV

e) V

05. Assinale a alternativa que apresenta uma contradio.a) Todo espio vegetariano e algum vegetariano no espio.

b) Nenhum espio vegetariano e algum espio no vegetariano.

c) Todo espio no vegetariano e algum vegetariano espio.

d) Algum espio vegetariano e algum espio no vegetariano.

e) Todo vegetariano espio e algum espio no vegetariano.

06. Das premissas:

A: Nenhum heri covarde

B: Alguns soldados so covardes

Pode(se corretamente concluir que:

a) Alguns heris so soldados

b) Alguns soldados so heris

c) Nenhum heri soldado

d) Alguns soldados no so heris

e) Nenhum soldado heri

07. "Se alguns Smaugs so Trois e alguns Trois so Ludgans, ento alguns Smaugs so definitivamente Ludgans". Esta sentena :

a) VERDADEIRA

b) FALSA

c) Nem Falso nem verdadeiro

d) impossvel de dizer

08. bem conhecido que os marcianos tem, ao menos, uma cabea. Um cientista assegura: "Todo marciano tem exatamente duas cabeas". Mais tarde se demonstra que estava equivocado. Qual das seguintes afirmaes necessariamente correta?

a) No h marciano com duas cabeas.

b) Todo marciano, ou tem uma cabea, ou tem mais de duas cabeas.

c) H um marciano que tem uma cabea.

d) H um marciano que tem mais de duas cabeas.

e) H um marciano que, ou tem uma cabea, ou tem mais de duas cabeas.

09. Se no verdade que Alguma professora universitria no d aulas interessantes, ento verdade que:

a) Todas as professoras universitrias do aulas interessantes

b) Nenhuma professora universitria d aulas interessantes

c) Nenhuma aula interessante dada por alguma professora universitria

d) Nem todas as professoras universitrias do aulas interessantes.

e) Todas as aulas no interessantes so dadas por professoras universitrias.

010. Sabe-se que de um grupo 25 atletas, alguns so baianos e dos 30 baianos, alguns so comerciantes, mas nenhum dos 40 comerciantes atleta. Sabe-se ainda que o nmero de atletas baianos o mesmo que dos comerciantes baianos, que tambm igual ao nmero de baianos que no so nem atletas nem comerciantes. Dessa forma, determine o nmero de comerciantes que no so baianos.

a) 35

b) 30

c) 25

d) 20

011. A sentena ( x ( R(x = a + b a negao de:

a) ( x ( R(x ( a + b

b) ( x ( R(x > a + b

c) ( x ( R(x < a + b

d) ( x ( R(x = a + b

e) ( x ( R(x ( a + b

012. Em determinada universidade, foi realizado um estudo para avaliar o grau de satisfao de seus professores e alunos. O estudo mostrou que, naquela universidade, nenhum aluno completamente feliz e alguns professores so completamente felizes. Uma concluso logicamente necessria destas informaes que, naquela universidade, objeto da pesquisa,

a) nenhum aluno professor.

b) alguns professores no so alunos.

c) alguns alunos so professores.

d) nenhum professor aluno.

e) todos os alunos so professores.

013. Atravs de uma pesquisa, descobriu-se que nenhum cientista rico e que alguns professores so ricos. Assim, pode-se afirmar que:

a) Alguns cientistas so professores

b) Alguns professores so cientistas

c) Alguns professores no so cientistas

d) Nenhum cientista professor

e) Nenhum professor cientista

014. Todos os alunos de matemtica so, tambm, alunos de ingls, mas nenhum aluno de ingls aluno de histria. Todos os alunos de Portugus so tambm alunos de informtica, e alguns alunos de informtica so tambm alunos de histria. Como nenhum aluno de informtica aluno de ingls, e como nenhum aluno de Portugus aluno de Histria, ento:

a) Pelo menos um aluno de portugus aluno de ingls

b) Pelo menos um aluno de matemtica aluno de histria

c) Nenhum aluno de Portugus aluno de matemtica

d) Todos os alunos de informtica so alunos de matemtica.

e) Todos os alunos de informtica so alunos de portugus

015. Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras so, tambm, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos tm tambm olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos alta e magra e como, neste grupo de amigas, no existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, ento:

a) Pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis

b) Pelo menos uma menina loira tem olhos azuis

c) Todas as meninas que possuem cabelos crespos so loiras

d) Todas as meninas que possuem cabelos crespos so alegres

e) Nenhuma menina alegre loira

016. Sabe-se que existe pelo menos um A que B. Sabe-se, tambm, que todo B C. Disto resulta que:

a) Todo C B.

b) Todo C A

c) Algum A C

d) Nada que no seja C A

e) Algum A no C

017. Supondo que todos os alunos so inteligentes e que Nem todos os filsofos tambm so inteligentes, podemos logicamente concluir que:

a) no pode haver aluno filsofo.

b) algum filsofo aluno.

c) alguns aluno no so filsofos.

d) se algum filsofo aluno, ento ele inteligente.

e) nenhum filsofo inteligente.

018. Em uma gaveta existem 3 meias pretas, 2 meias brancas, 4 meias azuis, 1 meia vermelha e 2 meias rosas. Nesse contexto, qual o nmero mnimo de tentativas que uma pessoa dever realizar para ter certeza de ter retirado duas meias da mesma cor:

a) 13b) 14

c) 15d) 16e) 17019. Considere que os argumentos so verdadeiros:

Todo comilo gordinho;

Todo guloso comilo;

Com base nesses argumentos, correto afirmar que:

a) Todo gordinho guloso.

b) Todo comilo no guloso.

c) Pode existir gordinho que no guloso.

d) Existem gulosos que no so comiles.

e) Pode existir guloso que no gordinho.

020. (FCC) Considere que as seguintes afirmaes so verdadeiras:

Alguma mulher vaidosa.

Toda mulher inteligente.

Assim sendo, qual das afirmaes seguintes certamente verdadeira?

a) Alguma mulher inteligente vaidosa.

b) Alguma mulher vaidosa no inteligente.

c) Alguma mulher no vaidosa no inteligente.d) Toda mulher inteligente vaidosa.

e) Toda mulher vaidosa no inteligente.

GABARITO

01. E02. C03. B04. D05. C 06. D07. B08. E09. A10. B

11. E12. B13. C14. C15. E16. C17. D18. A19. C20. AALGEBRA DAS PROPOSIES

INTRODUO

A Lgica Matemtica, em sntese, pode ser considerada como a cincia do raciocnio e da demonstrao. Este importante ramo da Matemtica desenvolveu-se no sculo XIX, sobretudo atravs das idias de George Boole, matemtico ingls (1815 - 1864), criador da lgebra Booleana, que utiliza smbolos e operaes algbricas para representar proposies e suas inter-relaes. As idias de Boole tornaram-se a base da Lgica Simblica, cuja aplicao estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computao e da eletrnica.

LGICA MATEMTICA

A lgica matemtica (ou lgica simblica), trata do estudo das sentenas declarativas tambm conhecidas como proposies, as quais devem satisfazer aos dois princpios fundamentais seguintes:

PRINCPIO DO TERCEIRO EXCLUDO: uma proposio s pode ser verdadeira ou falsa, no havendo alternativa.

PRINCPIO DA NO CONTRADIO: uma proposio no pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

Diz-se ento que uma proposio verdadeira possui valor lgico V (verdade) e uma proposio falsa possui valor lgico F (falso). Os valores lgicos tambm costumam ser representados por 0 (zero) para proposies falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposies verdadeiras ( 1 ou V ).

As proposies so indicadas pelas letras latinas minsculas: p, q, r, s, t, u, ...

De acordo com as consideraes acima, expresses do tipo, "O dia est bonito" , "3 + 5" , "x um nmero real" , "x + 2 = 7", etc., no so proposies lgicas, uma vez que no poderemos associar a ela um valor lgico definido (verdadeiro ou falso).

Exemplificamos a seguir algumas proposies, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lgico V ou F. Poderia ser tambm 1 ou 0.

p: "a soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180 " ( V )

q: "3 + 5 = 2" ( F )

r: "7 + 5 = 12" ( V)

s: "a soma dos ngulos internos de um polgono de n lados dada por Si = (n 2).180 ( V )

t: "O Sol um planeta" ( F )

w: "Um pentgono um polgono de dez lados " ( F )

SENTENA ABERTA: No pode ser atribudo um valor lgico

EX.:

Algum est nascendo nesse exato momento Pode ser Verdadeiro (V) ou Falso (F), no se pode afirmar.

SENTENA FECHADA: Pode ser atribudo um valor lgico V ou F.

EX.:

O professor Pedro Evaristo ensina Matemtica Sentena Verdadeira (V)

A soma 2 + 2 igual a 5 Sentena Falsa (F)SMBOLOS UTILIZADOS NA LGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES)

PRIVATE no

e

Ou

se ... ento

se e somente se

tal que

Implica

Equivalente

Existe

existe um e somente um

qualquer que seja

O MODIFICADOR NEGAO

Dada a proposio p, indicaremos a sua negao por ~p ou (p. (L-se "no p" ).

EXEMPLOS:

p: 2 pontos distintos determinam uma nica reta (V)

~p: 2 pontos distintos no determinam uma nica reta (F)

q: Joo magro

~q: Joo no magro

~q: No verdade que Joo magro

s: Fernando honesto

(s: Fernando no honesto

(s: No verdade que Fernando honesto

(s: Fernando desonesto

OBS.:

Duas negaes equivalem a uma afirmao, ou seja, em termos simblicos: ~(~p) = p.

p: Diego dirige bem

~p: Diego no dirige bem

~(~p): No verdade que Diego no dirige bem

ESTRUTURAS E OPERAES LGICAS

As proposies lgicas podem ser combinadas atravs dos operadores lgicos , , e , dando origem ao que conhecemos como proposies compostas. Assim, sendo p e q duas proposies simples, poderemos ento formar as seguintes proposies compostas: pq, pq, pq, pq.

Estas proposies compostas recebem designaes particulares, conforme veremos a seguir:

CONJUNO: p q (l-se "p e q" )

DISJUNO: p q (l-se "p ou q")

CONDICIONAL: p q (l-se "se p ento q")

BI-CONDICIONAL: p q (l-se "p se e somente se q")

Conhecendo-se os valores lgicos de duas proposies simples p e q, como determinaremos os valores lgicos das proposies compostas acima? Isto conseguido atravs do uso da tabela a seguir, tambm conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.CONJUNO (E)

A conjuno s ser verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B tambm for verdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjuno toda torna-se falsa.

EXEMPLO:

Analise a afirmao: Nesse final de semana estudarei raciocnio lgico e informtica.

A:Estudar raciocnio lgico

B:Estudar informtica

TABELA VERDADE

ABA ( B

VVV

FVF

FFF

VFF

CONCLUSES:

S existe uma possibilidade para o fim de semana. Para que a afirmao seja verdadeira, deverei estudar raciocnio lgico e informtica.

Observe que a afirmao falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas.

A ( B

Premissa A e premissa B

DISJUNO NO-EXCLUDENTE (OU)

PREMISSAS NO EXCLUDENTES: so aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o ou significa dizer que pelo menos uma das premissas dever ser verdadeira. Nesse caso o ou significa que pelo menos uma das premissas verdadeira.

EXEMPLO:

Analise a afirmao: Este final de semana irei praia ou ao cinema.

A:Irei praia

B:Irei ao cinema

TABELA VERDADE

ABA ( B

VVV

VFV

FVV

FFF

CONCLUSES:

Sabendo que ele foi praia, conclui-se que ele pode ter ido ou no ao cinema.

Sabendo que ele no foi praia, conclui-se que certamente foi ao cinema.

Sabendo que ele foi ao cinema, conclui-se que ele pode ter ido ou no praia.

Sabendo que ele no foi ao cinema, conclui-se que certamente foi praia.

Observe que, nesse caso, o ou significa que eu irei a pelo menos um desses lugares no fim de semana (o fim de semana longo e nada impede de ir aos dois lugares).

A v BPremissa A ou premissa B

DISJUNO EXCLUDENTE (OU...OU)

Quando estamos trabalhando com disjunes, devemos analisar inicialmente se as premissas so excludentes ou no excludentes.

PREMISSAS EXCLUDENTES: so aquelas que no podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o ou significa dizer que exatamente uma das premissas dever ser verdadeira. Caso seja usado ou...ou, devemos entender que se trata de disjuno excludente.

EXEMPLO:

Analise a afirmao: Felipe nasceu ou em Fortaleza, ou em So Paulo.

A:Felipe nasceu em Fortaleza

B:Felipe nasceu e