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CONJUNTOS FUZZY APLICADOS AO CONTROLE
DE PROCESSOS
HAROLDO RODRIGUES DE AZEVEDO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
JUNHO DE 1999
UBERLÂNDIA - MG - BRASIL
CONJUNTOS FUZZY APLICADOS AO CONTROLE DE PROCESSOS
1
1. INTRODUÇÃO
1.1. Histórico
A lógica fuzzy foi desenvolvida com base na teoria de conjuntos fuzzy, proposta em
meados da década de 60 pelo professor de ciências da computação Lotfi A. Zadeh, da
Universidade de Berkeley. A elaboração dessa teoria foi motivada, em grande parte, pela
convicção de que os métodos tradicionais de análise eram inadequados para descrever
sistemas nos quais as variáveis não estivessem relacionadas por equações diferenciais. Tais
sistemas são comuns em biologia, sociologia, economia, e mais genericamente, em campos
nos quais os sistemas são de natureza mais humanística do que mecanística. Os métodos
tradicionais de análise são voltados para o uso de técnicas numéricas. Em contraste, na
maioria das vezes a razão humana envolve o uso de variáveis cujos valores são conjuntos
nebulosos (ou fuzzy). Essa observação foi a base para a introdução da variável lingüística, isto
é, uma variável cujos valores são palavras em lugar de números. Como exemplo podem ser
citados alguns conceitos peculiares à linguagem humana: quente, morno, muito longe, mais ou
menos próximo, quase impossível, improvável, meia idade, etc. O primeiro trabalho de Zadeh
sobre o assunto, intitulado “Fuzzy Sets”, foi apresentado em 1965 no volume 8 da revista
“Information and Control”.
Os primeiros trabalhos de aplicação da lógica fuzzy a controladores foram realizados
por Assilian e Mamdani em 1974. Esses trabalhos ficaram, quase todos, restritos a montagens
em laboratórios ou a simulação computacional. Durante a década de 80 foram desenvolvidos
os primeiros dispositivos automáticos usando a lógica fuzzy, em escala industrial.
1.2. Panorama
Os controladores fuzzy, nos últimos anos tem despertado interesse cada vez maior. A
aplicação em escala mais ampla teve início no Japão em meados da década de 80. Podem ser
citados alguns produtos que usam a lógica fuzzy: lavadoras de prato, aspiradores de pó
robotizados que evitam obstáculos, câmaras de vídeo que neutralizam o tremor do operador,
máquinas de lavar roupa que detectam o grau de sujeira das peças, controle de velocidade de
trens de metrô, ar condicionado, panelas automáticas para cozinhar arroz, modelos para
previsão meteorológica, etc.
2 As pesquisas, ultimamente, tem sido voltadas para o uso de lógica fuzzy na área de inteligência
artificial. Essa teoria procura reproduzir a forma de pensar e de tomar decisões, do ser humano. Quando o
homem faz parte de um sistema de controle, agindo como um controlador, em geral se obtém um efeito
altamente estabilizante. Um exemplo que pode ser citado é o ato de andar de bicicleta. A bicicleta é um
veículo inerentemente instável. Entretanto, quando o ser humano passa a fazer parte do sistema,
desempenhando o papel de controlador, pode ser obtido um sistema bastante estável. Fora da área de
controle de sistemas a lógica fuzzy tem sido, também, objeto de intensas pesquisas. Dentro da idéia de se
buscar a imitação do processo de tomada de decisão humana uma série de estudos podem ser
desenvolvidos. Nessa linha podem ser citados: a) sistemas decisórios de suporte para o campo bio-
médico: sistemas fuzzy especialistas os quais, ao contrário dos sistemas especialistas convencionais,
podem levar em consideração a experiência pessoal e as características individuais de cada caso; controle
automático de órgãos artificiais, controle de tratamentos, b) sistemas de suporte para deficientes físicos
incluindo: cadeira de rodas inteligente, máquina de auxílio à leitura dos lábios para pessoas surdas,
sistemas de orientação para cegos comandado pela voz, c) carros inteligentes: sistemas de prevenção de
colisão, motorista automático, forma econômica de dirigir, controle de poluição, navegação comandada
pela voz, estacionamento automático, proteção ao pedestre, d) máquinas inteligentes para a execução de
serviços: operação remota semi-automática de grandes tratores, sistemas para uso na agricultura e pesca,
máquinas de fazer túneis, helicópteros não pilotados, robôs para exploração, e) robôs inteligentes de alto
nível: robôs autônomos para fins especiais, capazes de agir a partir de simples instruções, inferindo as
intenções do homem de acordo com cada situação, f) sistemas conversacionais para dar instruções e
informações sobre diversos assuntos, etc.
1.3. Breve introdução a conjuntos fuzzy
Um conjunto fuzzy é descrito por uma função que designa graus de pertinência
entre zero e um aos seus membros. Um elemento que tenha grau de pertinência igual a zero
não pertence ao conjunto. Grau de pertinência igual a um, indica que o elemento pertence
totalmente ao conjunto. Graus de pertinência entre zero e um significam que o elemento
pertence parcialmente ao conjunto. Como exemplo, considere-se o conjunto de pessoas de
meia idade. O quadro abaixo ilustra esse conjunto. Uma pessoa de 50 anos pertence, então,
ao conjunto com um grau de pertinência de 0,7 ou 70%.
Membros (idades) 30 35 40 45 50 55 60
Graus de pertinência 0,0 0,3 1,0 1,0 0,7 0,4 0,0
Tabela 1. Conjunto das pessoas de meia idade.
2. CONJUNTOS FUZZY
3 O conceito de conjunto fuzzy é o principal pilar da teoria da lógica fuzzy. Na teoria clássica há
uma clara distinção entre os elementos que pertencem e os que não fazem parte de um conjunto. A lógica
fuzzy admite a possibilidade de uma pertinência parcial. Assim, um elemento pode pertencer a um dado
conjunto, com um determinado grau de pertinência. Para tornar mais claro esse conceito, passamos a
apresentar algumas definições.
2.1. Definições Básicas
Definição 2.1. Seja U uma coleção de objetos denotados genericamente por {u}, onde U
é chamado de universo e u representa um elemento genérico de U. Um conjunto fuzzy F
num universo U é caracterizado por uma função de pertinência µµF que assume valores no
intervalo [0,1], isto é:
[[ ]]µµ F U: ,→→ 0 1
Um conjunto fuzzy F em U pode ser representado como um conjunto de pares
ordenados de um elemento genérico u e seu grau de pertinência µµF na função:
F u u u UF== ∈∈{( , ( )) / }µµ
Quando o universo é contínuo, o conjunto fuzzy F costuma ser escrito concisamente como:
F u uFU
== ∫∫ µµ ( ) /
Quando o universo U é discreto, o conjunto nebuloso F é representado como:
F u uF== ∑∑ µµ ( ) /
Sejam as definições:
Definição 2.2. O conjunto suporte de um conjunto fuzzy F é o subconjunto dos pontos
u de U tal que µµF(u) > 0.
Definição 2.3. Um conjunto fuzzy cujo conjunto suporte é um único ponto de U com
µµF=1 é chamado de conjunto fuzzy unitário ou singular (singleton).
4
Definição 2.4. Um conjunto fuzzy é vazio se, e somente se, sua função de pertinência
for identicamente igual a zero, isto é:
µµ φφ ( ) ,u u U== ∈∈0
No item 2.2 serão dados alguns exemplos com o objetivo de esclarecer o significado
das definições apresentadas.
2.2. Representação de Conjuntos Fuzzy Discretos ou Contínuos
Um conjunto fuzzy discreto é, em geral, expresso através dos elementos que
compõem seu universo e do grau de pertinência de cada um desses elementos. São
apresentadas abaixo, duas maneiras usuais de expressar um conjunto A:
A = 0/(-3) + 0/(-2) + 0,1/(-1) + 0,3/0 + 0,5/1 + 0,7/2 + 1,0/3 + 0,7/4 + 0,3/5 + 0/6
ou
A = {0/(-3); 0/(-2); 0,1/(-1); 0,3/0; 0,5/1; 0,7/2; 1,0/3; 0,7/4; 0,3/5; 0/6}
Os números localizados ao lado direito das barras são os elementos do universo. Os números
da esquerda correspondem ao grau de pertinência de cada elemento do universo. Os sinais
“+” não tem o significado convencional usado em matemática.
A seguir são apresentados exemplos relativos às definições do item 2.1:
a) Tomando-se o conjunto A apresentado acima, o conjunto suporte de A é dado por B, tal
que:
B = {0,1/(-1); 0,3/0; 0,5/1; 0,7/2; 1,0/3; 0,7/4; 0,3/5}
b) Considere-se o conjunto fuzzy C, dado por:
5
C = {0/(-1); 0/0; 0/1; 1/2; 0/3}
C é um conjunto fuzzy unitário ou singular, pois seu conjunto suporte D é dado por:
D = {1/2}
Um conjunto fuzzy contínuo é expresso por uma função matemática que relaciona os
elementos do universo com seus graus de pertinência. A função dada abaixo é um exemplo de
representação de conjunto fuzzy contínuo:
µµ A ii
uu
( )( , ( ) )
==++ −−
1
1 0 2 5 2
Nesse exemplo, os elementos do universo são representados pela variável ui. Os graus de
pertinência são denotados por µµA(ui).
3. OPERAÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS DOS CONJUNTOS FUZZY
3.1. Introdução
Serão apresentadas, a seguir, as operações e propriedades básicas dos conjuntos fuzzy. Antes,
porém, recordemos as principais propriedades satisfeitas pelos conjuntos na teoria clássica:
a) Comutativa:
A B B A
A B B A
Υ Υ
Υ Υ
====
b) Associativa:
A B C A B C
A B C A B C
Υ Υ Υ Υ
Ι Ι Ι Ι
( ) ( )
( ) ( )
====
c) Distributiva:
6
A B C A B A C
A B C A B A C
Υ Ι Υ Ι Υ
Ι Υ Ι Υ Ι
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
====
d) Idempotência:
A A A A A AΥ Ι== ==;
e) Identidade:
A A AΥ Ιφφ φφ φφ== ==;
f) Absorção:
A A B AΥ Ι( ) ==
g) Leis de De Morgan:
(A B) = A B
(A B) = A B
Ι Υ
Υ Ι
3.2. Normas triangulares
As normas triangulares são apropriadas para produzir modelos genéricos para as operações entre
conjuntos fuzzy.
Definição 3.1. A norma triangular t é uma operação tal que t : [0,1] x [0,1] →→ [0,1] satisfazendo as
seguintes propriedades:
Comutativa: A t B = B t A
Associativa: A t (B t C) = (A t B) t C
Monotônica: Se A ≤ B e C ≤ D, então A t C ≤ B t D
Contorno: A t 0 = 0; A t 1 = A
Definição 3.2. A co-norma triangular s é uma operação tal que s : [0,1] x [0,1] →→ [0,1] satisfazendo as
seguintes propriedades:
Comutativa: A s B = B s A
Associativa: A s (B s C) = (A s B) s C
Monotônica: Se A ≤ B e C ≤ D, então A s C ≤ B s D
Contorno: A s 0 = A; A s 1 = 1
3.3. Operações Básicas
7 Sejam A e B dois conjuntos fuzzy em U com funções de pertinência com µµA e µµB ,
respectivamente. A norma triangular está associada à uma família de operações de intersecção. A co-
norma triangular está associada à uma família de operações de união.
3.3.1. Interseção
A interseção equivale ao conectivo e. A função de pertinência µµ A B∩∩ da interseção
A BΙ é definida para todos u U∈∈ .
Algumas operações mais comuns de interseção, associadas à norma triangular, podem ser
citadas:
mínimo: )}u(),u(min{)u(t)u()u( BAB1ABA µµµµ==µµµµ==µµ ∩∩
produto algébrico: )}u().u({)u(t)u()u( BAB2ABA µµµµ==µµµµ==µµ ∩∩
produto limitado: ]}1)u()u([],0max{[)u(t)u()u( BAB3ABA −−µµ++µµ==µµµµ==µµ ∩∩
µµ A (u) se µµ B (u)=1
produto drástico: ==µµµµ==µµ ∩∩ )u(t)u()u( B4ABA µµ B (u) se µµ A (u)=1
0 se µµ A (u) e µµ B (u)<1
3.3.2. União
A união equivale ao conectivo ou. A função de pertinência com µµ A B∪∪ da união
A BΥ é definida para todos u U∈∈ .
Algumas operações mais comuns de união, associadas à co-norma triangular, são apresentadas a
seguir:
máximo: )}u(),u(max{)u(s)u()u( BAB1ABA µµµµ==µµµµ==µµ ∪∪
soma algébrica: )}u().u()u()u({)u(s)u()u( BABAB2ABA µµµµ−−µµ++µµ==µµµµ==µµ ∪∪
soma limitada: )]}u()u([],1min{[)u(s)u()u( BAB3ABA µµ++µµ==µµµµ==µµ ∪∪
µµ A (u) se µµ B (u)=0
soma drástica: ==µµµµ==µµ ∪∪ )u(s)u()u( B4ABA µµ B (u) se µµ A (u)=0
1 se µµ A (u) e µµ B (u)>0
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É fácil verificar que todas as operações exemplificadas, possuem as propriedades das norma ou co-norma
triangulares definidas acima. Há diversas outras operações que também se enquadram em uma das duas
famílias apresentadas, mas não serão citadas por serem menos importantes.
3.3.3. Complemento
Além das duas famílias de operações definidas nos itens precedentes, é importante
apresentar a operação de complemento que está associada ao conectivo não. Ela é definida
como sendo um conjunto cujo grau de pertinência é exatamente 1 menos o grau de
pertinência do conjunto original:
µµ µµA Au u u U−− == −− ∈∈( ) ( );1
3.3.4. Igualdade
Dois conjuntos fuzzy A e B são ditos iguais se :
µµ µµA Bu u u U( ) ( );== ∈∈
3.3.5. Produto cartesiano
Esta é uma operação realizada entre conjuntos definidos em universos de natureza
distinta e resulta, necessariamente, num conjunto cuja dimensão é a soma das dimensões dos
conjuntos participantes da operação.
É conveniente ressaltar que as famílias de operações de interseção e união não
obedecem a todas as propriedades dos conjuntos clássicos. A idempotência, por exemplo,
não é obedecida pela maioria das operações. As únicas operações conhecidas entre
conjuntos fuzzy, que obedecem a todas as propriedades dos conjuntos clássicos, são as de
mínimo e de máximo. Por isso, essas operações são as mais comumente usadas na interseção
e na união, respectivamente.
3.4. Exemplos
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Para maior clareza, são apresentados alguns exemplos. Aqui são usados os
operadores mínimo e máximo para as operações de interseção e união respectivamente.
Outros operadores, entretanto, poderiam ser usados.
Consideremos três conjuntos fuzzy de U, denominados de: grande, médio e pequeno :
grande = G = 0/1 + 0/2 + 0,3/3 + 0,7/4 + 1,0/5
médio = M = 0,3/1 + 0,7/2 + 1/3 + 0,7/4 + 1,0/5
pequeno = P = 1/1 + 0,7/2 + 0,3/3 + 0/4 + 0/5
- União : Se for usado o operador máximo, a união entre os conjuntos G e M resulta no
conjunto C:
C = 0,3/1 + 0,7/2 + 1,0/3 + 0,7/4 + 1,0/5
C representa, portanto, o conjunto de grande ou médio.
- Intersecção : Se for usado o operador mínimo, a interseção entre os conjuntos, M e P
resulta no conjunto D:
D = 0,3/1 + 0,7/2 + 0,3/3 + 0/4 + 0/5
Este é o conjunto de médio e pequeno .
- Complemento: O conjunto não grande é dado por E:
E = 1/1 + 1/2 + 0,7/3 + 0,3/4 + 0/5
- Produto cartesiano : Seja,
A = 0,1/a + 0,4/b + 0,8/c + 1,0/d + 0,6/e + 0,2/f
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O produto cartesiano para se obter a interseção entre os conjuntos G e A é dado por H.
0/1 0/2 0,3/3 0,7/4 1,0/5
0 0 0,1 0,1 0,1 0,1/a
0 0 0,3 0,4 0,4 0,4/b
H = 0 0 0,3 0,7 0,8 0,8/c
0 0 0,3 0,7 1,0 1,0/d
0 0 0,3 0,6 0,6 0,6/e
0 0 0,2 0,2 0,2 0,2/f
O resultado do produto cartesiano está representado dentro do retângulo acima. Para efeito
didático foram apresentados os conjuntos G e A nas posições horizontal e vertical,
respectivamente. Como cada conjunto participante da operação (G e A) possuia apenas uma
dimensão, o conjunto resultante (H) tem duas dimensões.
4. VARIÁVEIS LINGÜÍSTICAS
O uso de conjuntos fuzzy possibilita tratar de forma sistemática um sistema pela
manipulação de conceitos vagos e imprecisos. Em particular, empregam-se conjuntos fuzzy na
representação de variáveis lingüísticas. Variáveis lingüísticas ou variáveis fuzzy são a
princípio, os elementos simbólicos utilizados para descrever o conhecimento.
Uma variável lingüística tem a seguinte estrutura:
- Nome da variável
- Predicados que identificam lingüisticamente, diferentes regiões do universo
- Função de pertinência para cada conjunto fuzzy designado por um
predicado
- Universo
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Portanto, a variável lingüística pode ser caracterizada, por uma quádrupla
( x, T(x), G, U ) , onde x é o nome da variável; T(x) é um conjunto de predicados lingüísticos de
x (esses termos estão associados a valores em U); G i é a função de pertinência associada ao
predicado i ; e U é o universo.
Figura 4.1. Diagrama para representação fuzzy de velocidades.
Considere-se um exemplo: se a velocidade x é interpretada como uma variável
lingüística, então o conjunto de termos T(velocidade) pode ser:
T(x) = T(velocidade) = (baixa, média, alta)
onde cada termo de T(x) é caracterizado por um conjunto fuzzy no universo U. Interprete
baixa como uma velocidade inferior a cerca de 50 km/h, média como uma velocidade
próxima à 75 km/h e alta como uma velocidade superior a cerca de 100 km/h. Esses
termos podem ser caracterizados por conjuntos fuzzy cujas funções de pertinência são
mostradas na fig. 4.1.
obs.: “Crossover” é o grau de pertinência no ponto de cruzamento entre dois conjuntos
fuzzy.
No exemplo acima, tem-se três predicados fuzzy com a variável lingüística
“velocidade”: velocidade é baixa; velocidade é média; velocidade é alta. Esses termos podem
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ser caracterizados por conjuntos fuzzy cujas funções de grau de pertinência Gi são mostradas
na figura 4.1.
5. REGRAS FUZZY
Uma regra fuzzy ou afirmação fuzzy relaciona variáveis fuzzy, cada uma delas
associada a um dos seus predicados. Essas variáveis são conectadas através de operadores
lógicos como: e, ou, então , outro. Um algorítmo de controle é constituído por um conjunto
de regras fuzzy que são declarações condicionais ou incondicionais, envolvendo relações entre
entradas e saídas. Por exemplo, um sistema que utiliza um controlador baseado em lógica
fuzzy com duas entradas e uma saída, apresenta regras de controle fuzzy do tipo:
Se x é POUCO POSITIVO e y é ZERO então z é POSITIVO GRANDE
As variáveis fuzzy x, y e z associadas respectivamente aos predicados POUCO
POSITIVO, ZERO e POSITIVO GRANDE, estão relacionadas através dos conectivos
e e então . Para um controlador fuzzy de duas entradas e uma saída, com n-regras, tem-se
como i-ésima regra:
Ri: Se x é Ai e y é B i então z é Ci
onde x e y são as variáveis lingüísticas de entrada, z é a saída. Ai, B i e Ci são predicados
lingüísticos das variáveis lingüísticas x, y e z nos universos U, V e W, respectivamente, com i
= 1, ..., n.
Em um controlador fuzzy, cada regra de controle fuzzy está associada à uma relação
fuzzy gerada por ela. O comportamento do sistema como um todo será caracterizado pelo
conjunto das relações fuzzy.
6. MODIFICADORES
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Um modificador altera a forma de um conjunto fuzzy causando uma mudança na
função de pertinência. Assim, um modificador transforma um conjunto fuzzy em outro. Há
modificadores que intensificam as características do conjunto (muito, extremamente), e
há os que atenuam ou diluem a curva de pertinência (mais ou menos). O conectivo não,
pode também ser considerado como um modificador, pois forma o complemento de um
conjunto fuzzy. É possível, então expressar na forma de conjunto fuzzy certos conceitos
como: muito grande, não muito pequeno, extremamente frio, etc.
As operações correspondentes aos modificadores, geralmente são as seguintes:
muito: µµmuito a (x) =µµa2(x)
extremamente: µµextremamente a (x) = µµa3(x)
mais ou menos: µµmais ou menos a (x) = µµa1/2(x)
não: µµnão a (x) = 1- µµa (x)
Podem ser criados outros modificadores com propriedades intermediárias ou mais
intensas do que os apresentados.
Exemplo:
Retomando o exemplo do item 3.4, vamos determinar o conjunto que descreve:
grande mas não muito grande .
O conectivo mas é um operador de intersecção e pode ser considerado como sendo similar
ao operador lógico e. No exemplo, o conjunto representativo de grande era:
G = 0/1 + 0/2 + 0,3/3 + 0,7/4 + 1/5
Então:
M = muito grande = 0/1 + 0/2 + 0,1/3 + 0,5/4 + 1/5
N = não muito grande = 1/1 + 1/2 + 0,9/3 + 0,5/4 + 0/5
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Q = grande mas não muito grande é, portanto, dado pela interseção entre G e N, ou
Q G N== ∩∩ :
Q = 0/1 + 0/2 + 0,3/3 + 0,5/4 + 0/5
A expressão mais ou menos pequeno , usando o mesmo exemplo do item 3.2, seria
representada pelo conjunto T:
P = 1/1 + 0,7/2 + 0,3/3 + 0/4 + 0/5
T = 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0/4 + 0/5
Neste item, foram apresentados os principais modificadores e suas operações. A critério do
projetista é possível definir outros modificadores convenientes para cada situação.
7. CONTROLADORES FUZZY
Desde que o controlador baseado em lógica nebulosa foi proposto por Mamdani em
1974, muitos estudos têm sido realizados na aplicação desse tipo de controlador aos
processos industriais tais como processos de trocadores de calor, aquecedores de água e
tantos outros citados na literatura.
Para a elaboração de um sistema de controle fuzzy são utilizadas regras lingüísticas de
controle, com a seguinte forma genérica:
RI: Se premissa, então conclusão (ou ação, no caso de controle)
O controlador fuzzy (CF) consiste num conjunto de sentenças lingüísticas ou regras,
as quais definem ações de controle individuais.
A configuração de um sistema de controle lógico fuzzy é mostrada na fig. 7.1. Seus
principais componentes são: a fuzificação, a base de conhecimentos, a máquina de inferência e
a defuzificação.
- O processo de fuzificação envolve as seguintes funções:
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a) toma os valores numéricos (não fuzzy) das variáveis de entrada,
b) faz um mapeamento para condicionar os valores de entrada a universos
normalizados, e
c) fuzifica os valores, convertendo-os em conjuntos fuzzy, de modo que possam se
tornar instâncias de variáveis lingüísticas.
Figura 7.1. Configuração de um controlador fuzzy.
- A base de conhecimento compreende a base de regras e a base de dados:
a) a base de regras é formada por um conjunto de regras lingüísticas que definem
a estratégia de controle do sistema.
b) a base de dados é formada pelas definições dos conjuntos fuzzy que descrevem os
predicados de cada variável de entrada e saída com suas respectivas funções de pertinência,
as quais podem ser discretas ou contínuas.
- A máquina de inferência como núcleo do controlador fuzzy:
a) infere ações de controle empregando implicações fuzzy e as regras de inferência da
lógica fuzzy, e
b) simula tomada de decisões baseadas nos conceitos fuzzy.
- O processo de defuzificação desempenha as seguintes funções:
a) efetua um levantamento, no qual compatibiliza os valores normalizados das variáveis
de saída com os valores dos universos de discurso reais das variáveis,
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b) transforma as ações de controle fuzzy inferidas em ações de controle não-fuzzy.
Sistemas que utilizam controladores baseados em regras fuzzy podem possuir
o mesmo esquema dos sistemas clássicos de controle, sendo que o controle baseado em
regras fuzzy está em uma posição e função semelhantes ao de um controlador convencional.
Nos capítulos 8 e 9 serão apresentados conceitos úteis para a implementação e sintonia de
um controlador fuzzy.
8. ELABORAÇÃO DAS PARTES DE UM CONTROLADOR FUZZY (CF)
As principais etapas do projeto de um controlador fuzzy (CF) são apresentadas nos
itens a seguir:
8.1. Fuzificação
A fuzificação consiste em expressar uma variável de entrada através de um conjunto
fuzzy. A fuzificação é o primeiro estágio de um CF.
É possível haver dois tipos de variável de entrada: objetiva ou subjetiva. Na
maioria das vezes, em sistemas de controle, as variáveis são objetivas, isto é, elas tem um
valor bem determinado ou definido. Neste caso a fuzificação pode ser feita através de um
conjunto singular (singleton). Basicamente, um conjunto singular é um valor preciso e portanto,
neste caso, o processo de fuzificação não introduz nenhuma difusão. Esse método tem sido
usado largamente em controle fuzzy, já que é de simples implementação e fornece bons
resultados. Assim, uma entrada x é interpretada como sendo um conjunto fuzzy A com a
função de pertinência µµ A(x) igual a zero, exceto no ponto x0, no qual µµ A(x0) é igual a um.
Se as variáveis de entrada são mal definidas, ou são perturbadas por algum ruído
randômico, dizemos que elas são subjetivas. Neste caso, as variáveis, após a fuzificação,
serão descritas por funções de pertinência que seguem, cada uma, uma distribuição
possibilística que seja conveniente. O uso da distribuição com forma triangular é bem comum.
Há entretanto outras formas que podem ser usadas, como: trapezoidal, forma de sino, etc.
8.2. Base de Dados
A base de dados, juntamente com a base de regras, forma a base de conhecimento de
um CF. Os conceitos associados à base de dados são usados para caracterizar regras de
controle e manipulação dos dados fuzzy em um CF. A tabela 8.1 ilustra a forma da base de
dados para uma variável cujo universo foi discretizado.
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Universo
-18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18
Universo normalizado
-1 -0,83 -0,67 -0,5 -0,33 -0,17 0 0,17 0,33 0,5 0,67 0,83 1
NG 1 0,7 0,3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
NM 0,3 0,7 1 0,7 0,3 0 0 0 0 0 0 0 0
NP 0 0 0,3 0,7 1 0,7 0,3 0 0 0 0 0 0
Z 0 0 0 0 0,3 0,7 1 0,7 0,3 0 0 0 0
PP 0 0 0 0 0 0 0,3 0,7 1 0,7 0,3 0 0
PM 0 0 0 0 0 0 0 0 0,3 0,7 1 0,7 0,3
PG 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,3 0,7 1
Tabela 8.1. Exemplo de base de dados para uma variável.
Um universo em um CF pode ser discreto ou contínuo. Se o universo for contínuo,
ele pode ser discretizado para que uma base de dados discreta possa ser construída. É
possível, também, construir uma base de dados contínua, mas é mais difícil de se trabalhar
com ela. A tabela 8.1 representa uma variável que foi discretizada em 13 níveis de
quantização. O número de níveis de quantização deve ser suficientemente grande para
possibilitar uma boa precisão, mas deve ser compatível com os limites de memória do
processador. A escolha da quantidade de níveis de quantização tem uma grande influência
sobre quão fina uma ação de controle pode ser obtida. A escolha dos níveis de quantização,
se possível, deve se basear em algum conhecimento prévio. Por exemplo, uma resolução
grosseira pode ser usada para erros grandes (quando a saída do sistema está longe do valor
de referência) e uma resolução fina é conveniente para erros pequenos pois nessa região, em
geral, se requer precisão. Entre outros recursos, isso pode ser conseguido com uma
distribuição não linear dos elementos do universo.
Por conveniência de manipulação, freqüentemente prefere-se trabalhar com universos
normalizados. A tabela 8.1 fornece os valores de um universo normalizado. Através da
normalização, passa-se a ter os valores -1,0 e +1,0 como extremos do universo. É possível,
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então, ajustar os valores do universo para qualquer faixa, multiplicando-se a variável
correspondente, por um ganho apropriado.
Na tabela 8.1 cada linha corresponde a um predicado associado à variável lingüística.
As letras têm os seguintes significados: primeira letra: N=negativo , Z=zero, P=positivo ;
segunda letra: G=grande , M=médio, P=pequeno . Por exemplo: NM= negativo
médio.
O número de predicados das variáveis lingüísticas determinam a quantidade máxima
de regras de controle a serem usadas. Se, por exemplo, um CF tem 2 entradas e uma saída, e
o número de predicados das variáveis de entrada é 5 e 7 respectivamente, o número máximo
de regras será igual a 5 x 7 = 35.
Um algorítmo de controle deve ser capaz de inferir uma ação de controle qualquer
que seja o estado do processo. Essa propriedade é chamada de completude e deve ser
satisfeita tanto pela base de dados como pela base de regras. A base de dados, deve ser
construída de tal forma que o ponto de cruzamento (ver figura 4.1) de dois conjuntos fuzzy
adjacentes tenha sempre um grau de pertinência igual ou superior a 0,5. Dessa maneira, um
valor é descrito com grau de credibilidade sempre superior (ou igual) a 0,5. Quanto à base
de regras, todas as situações possíveis, relativamente às entradas, devem estar previstas e
devem ser elaboradas regras para todas as possibilidades.
Há dois métodos para definir os conjuntos fuzzy: a) numericamente e b)
funcionalmente.
A representação numérica ou discreta foi usada na tabela 8.1. O grau de pertinência
de um conjunto fuzzy é, neste caso, descrito por um vetor de números. Na representação
funcional, a função de pertinência é descrita por uma função contínua. Tipicamente as formas
mais usadas são: sino, triangular e trapezoidal. A tabela 8.2 apresenta uma situação em que os
graus de pertinência em cada conjunto fuzzy são descritos por uma função contínua em forma
de sino expressa como :
(( ))
µµσσ
ff
f
xx u
( ) exp==−− −−
2
22
19
Na expressão acima, o grau de pertinência é dado por µµf(x). A variável x representa uma
grandeza de entrada ou saída que assume valores dentro de seu universo. Os fatores uf e σσf
são parâmetros constantes dados pela tabela 8.2, para cada conjunto fuzzy.
universo
não
normalizado
universo normalizado
x
uf
σσf
NG -6 a -4,1 -1,0 a -0,7 -1,0 0,4
NM -4,1 a -2,2 -0,7 a -0.4 -0,5 0,2
NP -2,2 a -0,5 -0,4 a -0,1 -0,2 0,2
Z -0,5 a 1 -0,1 a 0,2 0,0 0,2
PP 1 a 2,5 0,2 a 0,4 0,2 0,2
PM 2,5 a 4,5 0,4 a 0,7 0,5 0,2
PG 4,5 a 6,5 0,7 a 1,0 l,0 0,4
Tabela 8.2. Exemplo de base de dados com função de pertinência contínua.
8.3. Base de Regras
A base de regras contém um conjunto de afirmações condicionais em forma
lingüística baseadas em conhecimento especialista. Estas afirmações tem usualmente a forma
de regras “se-então”. Portanto, a coleção de regras de controle fuzzy expressas pelas
afirmações condicionais, forma a base de regras de um CF.
Na literatura costumam ser citados quatro modos de elaboração das regras de
controle. Esses quatro modos não são mutuamente exclusivos e quase sempre a construção
de uma boa base de regras exige o uso da combinação de mais de um deles. Os modos são:
a) Experiência e conhecimento de engenharia de controle -
Muitos especialistas têm chegado à conclusão de que regras de controle fuzzy
fornecem uma via adequada para expressar o conhecimento. Isto explica porquê a maioria
dos CF são baseados em conhecimento e experiência, expressos na linguagem de regras fuzzy
do tipo “se-então”. Para uma característica otimizada, em geral é necessário um
procedimento adicional de tentativa e erro.
b) Ações de controle de um operador -
20
Em muitos sistemas de controle em que o homem é uma parte do sistema, as relações
entre entrada e saída não são conhecidas com precisão suficiente para que sejam empregados
métodos de teoria clássica de controle no modelamento e simulação. Assim mesmo,
operadores humanos treinados podem controlar tais sistemas com sucesso, sem possuir
qualquer modelo quantitativo em mente. Neste caso, o operador humano usa, consciente ou
inconscientemente, um conjunto de regras condicionais em suas decisões. Essas regras, então,
podem ser deduzidas da observação do comportamento do operador, analisando as suas
ações em função de cada conjunto de entradas.
c) Com base em um modelo fuzzy de um processo -
A descrição lingüística das características dinâmicas de um processo pode ser vista
como um modelo fuzzy do processo. Com base no modelo fuzzy pode ser gerado um
conjunto de regras de controle de modo que um sistema dinâmico tenha as características
desejadas. Esta técnica de construção da base de regras, embora seja confiável e resulte na
obtenção de boas características dinâmicas para o sistema não está completamente
desenvolvida ainda.
d) Com base em aprendizado -
Muitos CF tem sido construídos com o objetivo de emular a forma humana de
tomada de decisões, mas poucos tem enfocado o aprendizado humano, isto é, a capacidade
de criar regras de controle e depois modificá-las com base na experiência adquirida. Um
controlador capaz de elaborar suas próprias regras é denominado de auto-organizável. Ainda
há poucos trabalhos publicados sobre os CF auto-organizáveis.
21
b
c
e
fd
g
h
i
j
k
l
a
I
IIIII
IVV
VI VII
IX
Figura 8.1. Resposta de um sistema a ser controlado.
Há dois principais métodos para a obtenção das regras de controle:
O primeiro é um método heurístico em que uma coleção de regras fuzzy de controle é
formada pela análise das características de um processo. As regras de controle são
elaboradas e se houver um afastamento do estado desejado para o sistema, elas são
corrigidas até que as características requeridas sejam atingidas. O segundo método é
basicamente determinístico e consiste na determinação sistemática da estrutura lingüística e/ou
dos parâmetros da base de regras que satisfaçam os objetivos e restrições do controle.
A figura 8.1 mostra a resposta de um sistema a ser controlado. As variáveis de
entrada que interessam são o erro E a taxa de variação do erro DE. A saída é o
incremento a ser dado na variável de ação que vai atuar na planta CI. Na figura 8.1 a
referência tem um valor igual a 10. Quando a saída é inferior a este valor, o erro E é positivo.
Se a saída for maior do que 10, então o erro será negativo. Por outro lado, a taxa de variação
do erro DE é negativa sempre que o sinal de saída é crescente, e positiva quando ela é
decrescente. As letras a, b, c, etc., que aparecem na figura 8.1 correspondem aos pontos
onde há mudança de sinal em E ou em DE. Os algarismos romanos I, II, III, etc., indicam as
regiões compreendidas entre esses pontos. Serão adotados três predicados para cada uma
das três variáveis (de entrada e saída), na base de dados: negativo, zero e positivo.
tempo (s)
saída
erro negativo
erro positivo
22
Regra no E DE CI Ponto
1 P Z P a, e, i
2 Z N N b, f, j
3 N Z N c, g, k
4 Z P P d, h, l
5 Z Z Z reg. permanente
Tabela 8.3. Proposta de regras para os pontos da fig. 8.1, usando 3 predicados.
A tabela 8.3 apresenta uma proposta para as regras, considerando os pontos
importantes da figura 8.2 (a, b, c, d, e, etc). A tabela 8.4 fornece as regras para as regiões (I,
II, III, IV,...) A regra da região I pode ser denotada por Ri e deve ter o efeito de diminuir o
tempo de subida. A regra Rii para a região II deve ser formulada com o objetivo de fazer
diminuir a ultrapassagem (overshoot). Então, essas regras podem ser escritas da seguinte
forma:
Ri : se (E é positivo e DE é negativo) então CI é positivo
Rii: se (E é negativo e DE é negativo) então CI é negativo
Uma melhor característica pode ser obtida para o sistema se o número de predicados
for aumentado. Assim, as ações poderão variar de uma forma mais fina. Se forem usados,
por exemplo, sete predicados, (NG, NM, NP, Z, PP, PM, PG) poderão ser elaboradas as
regras das tabelas 8.5 e 8.6 para os pontos e as regiões respectivamente.
Regra no E DE CI Região
6 P N P I(subida), V
7 N N N II(ultrapas.), VI
8 N P N III, VII
9 P P P IV, VIII
10 P N Z IX
11 N P Z XI
Tabela 8.4. Proposta de regras para as regiões, 3 predicados.
23
Regra no E DE CI Ponto
1 PG Z PG a
2 PM Z PM e
3 PP Z PP i
4 Z NG NG b
5 Z NM NM f
6 Z NP NP j
7 NG Z NG c
8 NM Z NM g
9 NP Z NP k
10 Z PG PG d
11 Z PM PM h
12 Z PP PP l
13 Z Z Z reg. permanente
Tabela 8.5. Proposta de regras para os pontos da fig. 8.1, usando 7 predicados.
Regra no E DE CI Região
14 PG NP PM I(subida)
15 PP NG NM I(ultrapas.)
16 NG PP NM III
17 NP PG PM III
18 PP NP Z IX
19 NP PP Z IX
Tabela 8.6. Proposta de regras para as regiões, usando 7 predicados.
24
DE
NG NM NP Z PP PM PG
NG NG NM
NM NM
NP NP Z PM
E Z NG NM NP Z PP PM PG
PP NM Z PP
PM PM
PG PM PG
Tabela 8.7. Agrupamento das regras para os pontos e para as regiões.
As regras podem ser arranjadas em uma tabela, ao invés de estarem em uma lista
seqüencial. Isso diminui o tempo de processamento computacional e em conseqüência
melhora a resposta do controlador fuzzy. A tabela 8.7 reúne as regras das tabelas 8.5 e 8.6.
As demais regras, não existentes na tabela, podem ser inferidas heurísticamente. Outros
métodos para a construção da base de regras tem sido propostos na literatura. Alguns desses
trabalhos podem ser consultados através das referências citadas ao final do texto.
8.4. Inferência
Em geral, uma regra de controle fuzzy é uma relação que expressa uma inferência
fuzzy. Em lógica fuzzy há muitas maneiras de se definir uma relação de inferência.
Consideremos um CF com duas entradas e uma saída. Uma regra Ri da base de regras é
expressa como:
Ri : Se x é Ai e y é B i então z é Ci
25
onde x e y são entradas, z é saída, Ai Bi Ci são conjuntos fuzzy que descrevem variáveis
linguísticas. Uma relação de inferência pode ser obtida por uma operação entre os conjuntos
Ai Bi Ci :
Ri = Ai x B i x Ci
onde o sinal x denota uma operação.
Os conectivos e e então que aparecem na regra Ri estão associados à operação de
interseção. Conforme foi visto anteriormente, diversas operações tem sido propostas na
literatura, para a obtenção da relação de inferência. A operação mais utilizada para a
interseção, em controladores fuzzy, é a de mínimo já definida anteriormente.
A aplicação da base de regras para a obtenção da relação de inferência, em geral,
leva à determinação de mais de uma relação. A operação mais usada em CFs para a
obtenção de uma única relação de inferência é a união entre as relações de inferência geradas
pela base de regras. Há, entretanto, outras operações sugeridas na literatura sobre fuzzy.
Uma vez calculada a relação de inferência R, a saída fuzzy pode ser determinada pela
operação de composição:
z = y o (x o R)
onde “o” é operador de composição.
O procedimento mais usado em CFs para a composição é a operação denominada
máx -min proposta por Zadeh em 1973.
8.5. Estratégias de defuzificação
A saída fuzzy resultante da operação composição, em geral, precisa de ser traduzida
em termos de um valor numérico. O procedimento adotado para tal fim tem o nome de
defuzificação. Há três propostas para se defuzificar uma variável fuzzy. Suponhamos que a
saída fuzzy de um CF seja dada por:
26
C = 0,2/(-1) + 0,3/0 + 0,8/1 + 0,9/2 + 0,4/3 + 0,1/4
a) Critério do valor máximo
Por este critério, a saída defuzificada z é dada pelo valor do universo que tenha o maior grau
de pertinência, isto é, z = 2.
b) Médias entre os valores máximos
Neste caso a saída é dada pela média entre os valores que apresentam o máximo grau de
pertinência. No caso do exemplo só há um valor de máxima pertinência. Entretanto, é
comum haver mais de um valor com máxima pertinência. Por este critério, a saída seria dada
pela média entre esses valores.
c) Método do centro de área
Este é o método mais usado em CFs. Consiste em se calcular a média ponderada entre os
valores do universo, considerando os graus de pertinência como pesos. No exemplo
apresentado a saída seria dada por:
z =− × + × + × + × + × + ×
+ + + + +=
1 0 2 0 0 3 1 0 8 2 0 9 3 0 4 4 010 2 0 3 0 8 0 9 0 4 0 1
1 48, , , , , ,
, , , , , ,,
EXEMPLOS DE OPERAÇÕES EM CONTROLADORES FUZZY (CF):
A. CF COM UMA ENTRADA SUBJETIVA E UMA SAÍDA-
Seja um controlador com uma entrada x e uma saída y.
27
BASE DE DADOS:
Para a variável de entrada x:
pequeno
m e d i o
grande
==
′′ ==
==
{,
;,
;,
; ; }
{ ;,
;,
;,
; }
{ ; ;,
;,
;,
}
1 0
1
0 6
2
0 2
3
0
4
0
5
0
1
0 5
2
1 0
3
0 5
4
0
5
0
1
0
2
0 1
3
0 5
4
1 0
5
Para a variável de saída y:
pequeno
m e d i o
grande
==
′′ ==
==
{,
;,
;,
; ; }
{ ;,
;,
;,
; }
{ ; ;,
;,
;,
}
1 0
10
0 7
12
0 3
14
0
16
0
18
0
10
0 4
12
1 0
14
0 4
16
0
18
0
10
0
12
0 4
14
0 8
16
1 0
18
BASE DE REGRAS:
R1: Se x é pequeno, então y é grande
R2: Se x é médio, então y é médio
R3: Se x é grande, então y é pequeno
Uma vez dado o controlador, através de suas bases de dados e de regras, determinar-se-á a
saída para uma entrada existente:
Suponha-se, então, que a entrada x, já fuzificada, seja dada por:
28
x == {,
;,
;,
; ; }0 4
1
1 0
2
0 3
3
0
4
0
5
Cada uma das três regras da base de regras permite a determinação de uma relação de
inferência. Empregando-se a primeira afirmativa condicional da base de regras e aplicando-se
o produto cartesiano aos conjuntos da base de dados envolvidos nesta afirmativa, chega-se à
seguinte relação de inferência R1:
y
0 0 0,4 0,8 1,0
0 0 0,4 0,6 0,6
R1 = 0 0 0,2 0,2 0,2 x
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Se for usada a segunda afirmação condicional da base de regras. Obtém-se a seguinte relação
R2 de inferência:
y
0 0 0 0 0
0 0,4 0,5 0,4 0
R2 = 0 0,4 1,0 0,4 0 x
0 0,4 0,5 0,4 0
0 0 0 0 0
A terceira regra produz a relação de inferência R3:
y
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
R3 = 0,1 0,1 0,1 0 0 x
0,5 0,5 0,3 0 0
1,0 0,7 0,3 0 0
A relação de inferência R resultante pode ser determinada pela operação de união entre as
relações R1, R2 e R3:
0 0 0,4 0,8 1,0
0 0,4 0,5 0,6 0,6
29
R=R1 ∪∪R2 ∪∪R3 = 0,1 0,4 1,0 0,4 0,2
0,5 0,5 0,5 0,4 0
1,0 0,7 0,3 0 0
A saída pode, então, ser inferida pela operação de composição entre a relação de inferência
R e a entrada x. A composição usada aqui constará de duas operações sucessivas: mínimo e
máximo. A operação de mínimo fornece:
0 0 0,4 0,4 0,4
0 0,4 0,5 0,6 0,6
Operação de mínimo: 0,1 0,3 0,3 0,3 0,2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Operação de máximo:
}18
6,0;
16
6,0;
14
5,0;
12
4,0;
10
1,0{y ==
A defuzificação pode ser realizada pelo método do Centro de Área:
1,156,06,05,04,01,0
186,0166,0145,0124,0101,0y ==
++++++++××++××++××++××++××==
B. CF COM UMA ENTRADA OBJETIVA E UMA SAÍDA
Se a entrada é objetiva, isto é, se o valor da variável de entrada é bem definido num
dado instante, a fuzificação pode ser feita pelo uso de um conjunto fuzzy singular. Nesse caso
há uma redução considerável na quantidade de valores a serem manipulados e/ou
armazenados.
Suponhamos que a entrada x do CF considerado no exemplo A tenha um valor dado
por x = 4 . A operação de fuzificação resultará no conjunto singular:
x == {,
}1 0
4
30
Pode-se usar a relação de inferência resultante R, obtida no exemplo anterior. É fácil
verificar que a operação de composição entre a entrada x e a relação R resulta num conjunto
que coincide com a quarta linha de R:
y == {,
;,
;,
;,
; }0 5
10
0 5
12
0 5
14
0 4
16
0
18
Se o controlador é de múltiplas entradas, a relação de inferência R pode ser muito grande. A
implementação em microprocessador pode, então, ser problemática por causa da limitação de
espaço em memória. Para minorar esse problema, a saída poderia ser determinada
calculando-se somente a parte de R que afeta a saída:
Uma consulta à base de dados indica que x pode ser interpretada como sendo média ou
grande. A base de regras, por outro lado, mostra que há duas possibilidades para a saída:
média ou pequena. A segunda regra, da base de regras, fornece a relação de inferência Ra,
que é obtida por uma operação de mínimo entre o conjunto “médio” para a variável y e o
grau de pertinência do elemento “4” no conjunto médio da variável x, que é igual a 0,5. Outra
relação de inferência Rb é proveniente da aplicação do mesmo procedimento, considerando-
se a terceira regra da base de regras. Pode-se então escrever:
R
R
a
b
==
==
{ ;,
;,
;,
; }
{,
;,
;,
; ; }
0
10
0 4
12
0 5
14
0 4
16
0
18
0 5
10
0 5
12
0 3
14
0
16
0
18
A relação de inferência resultante R' é dada pela união entre as duas relações acima:
}18
0;
16
4,0;
14
5,0;
12
5,0;
10
5,0{RRR ba
' ==∪∪==
A saída y é obtida pela operação de composição entre R e a entrada x. Verifica-se,
com facilidade, que y coincidirá com a própria relação R. Portanto:
31
y == {,
;,
;,
;,
; }0 5
10
0 5
12
0 5
14
0 4
16
0
18
Pelo método do centro de área calcula-se:
y = 12,8
As três regras poderiam ter sido usadas na determinação da relação de inferência resultante.
Isso não mudaria o resultado, pois a terceira regra geraria uma relação em que todos os graus
de pertinência seriam nulos.
C. CF COM DUAS ENTRADAS SUBJETIVAS E UMA SAÍDA- Seja um controlador de duas entradas: erro εε e taxa de variação de erro ∆ ε∆ ε ;
e uma saída: ∆∆ s.
Suponha-se que o controlador seja descrito pelas seguintes bases:
BASE DE DADOS:
U N I V. D E εε
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
NG 1 .6 .2 0 0 0 0 0 0 0 0 NM 0 .4 1 .6 .2 0 0 0 0 0 0
Z 0 0 0 0 .5 1 .5 0 0 0 0
PM 0 0 0 0 0 0 .2 .6 1 .4 0
PG 0 0 0 0 0 0 0 0 .2 .6 1
32
U N I V. D E ∆ ε∆ ε
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
NG 1 .7 .3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 NM 0 .2 .6 1 .6 .2 0 0 0 0 0 0 0
Z 0 0 0 0 0 .5 1 .5 0 0 0 0 0
PM 0 0 0 0 0 0 0 .2 .6 1 .6 .2 0
PG 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .3 .7 1
U N I V. D E ∆∆ s -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
NG 1 .5 0 0 0 0 0 0 0 NM 0 .5 1 .5 0 0 0 0 0
Z 0 0 0 .4 1 .4 0 0 0
PM 0 0 0 0 0 .5 1 .5 0
PG 0 0 0 0 0 0 0 .5 1
BASE DE REGRAS:
∆∆ s ∆ ε∆ ε
NG NM Z PM PG
NG NG NG NM NM Z
NM NG NM NM Z PM
εε Z NM NM Z PM PM
PM NM Z PM PM PG
PG Z PM PM PG PG
Determinar a saída ∆∆ s, se as entradas subjetivas, já fuzificadas, são dadas por:
ε ε e ∆ ε ∆ ε representados pelos conjuntos A’ e B’, respectivamente:
A’ = {1/1; 0,25/2}
33
e
B’ = {1/-4; 0,25/-3}
Assim como no exemplo em que havia apenas uma entrada, há dois caminhos a serem
seguidos: Pode ser calculada a relação de inferência R resultante da aplicação de todas as
regras ou pode-se determinar uma relação de inferência parcial R' correspondendo apenas às
partes da relação de inferência que irão influenciar o cálculo da saída. A relação de inferência
R, nesse caso, é um conjunto fuzzy tridimensional com 11 × 13 × 9 = 1287 elementos, isto é,
o número de elementos é igual ao produto dos níveis de quantização das variáveis de entrada
e saída. O uso de R tem a vantagem de propiciar um processamento mais veloz, pois o
cálculo da relação de inferência seria feito uma só vez.. O uso de R' tem a vantagem de exigir
um espaço menor na memória, mas para cada nova entrada, R' precisa ser recalculado e o
processamento e torna mais lento. Neste exemplo será calculada apenas uma relação de
inferência parcial R', suficiente para a determinação da saída em função das entradas ora
existentes.
A base de dados mostra que εε pode ser considerado como positivo médio ou zero. Por outro
lado, ∆ ε∆ ε pode ser vista como negativa média ou negativa grande . Então, é necessário
considerar apenas quatro regras:
regras a considerar Se ε ε é e ∆ ε ∆ ε é então ∆ ∆ s será
1 PM NM Z
2 Z NM NM
3 PM NG NM
4 Z NG NM
34
Cada uma das quatro possibilidades acima gera uma relação de inferência:
Produto Cartesiano ⇒ Gera uma Relação de Inferência
Ri = Ai x B i x Ci
Possibilidade 1
A1 = {.2/1; .6/2; 1/3; .4/4} (PM)
B1 = {.2/-5; .6/-4; 1/-3; .6/-2; .2/-1} (NM)
C1 = {.4/-2; 1/0; .4/2} (Z)
R1 = A1 x B1 x C1 =
A1 C1 A1 C1
.2/1 .4/-2 1/0 .4/2 .6/2 .4/-2 1/0 .4/2
.2/-5 .2 .2 .2 .2/-5 .2 .2 .2
.6/-4 .2 .2 .2 .6/-4 .4 .6 .4
B1 1/-3 .2 .2 .2 B1 1/-3 .4 .6 .4
.6/-2 .2 .2 .2 .6/-2 .4 .6 .4
.2/-1 .2 .2 .2 .2/-1 .2 .2 .2
A1 C1 A1 C1
1/3 .4/-2 1/0 .4/2 .4/4 .4/-2 1/0 .4/2
.2/-5 .2 .2 .2 .2/-5 .2 .2 .2
.6/-4 .4 .6 .4 .6/-4 .4 .4 .4
B1 1/-3 .4 1 .4 B1 1/-3 .4 .4 .4
.6/-2 .4 .6 .4 .6/-2 .4 .4 .4
.2/-1 .2 .2 .2 .2/-1 .2 .2 .2
35
Possibilidade 2
A2 = {.5/-1; 1/0; .5/1} (Z)
B2 = {.2/-5; .6/-4; 1/-3; .6/-2; .2/-1} (NM)
C2 = {.5/-6; 1/-4; .5/-2} (NM)
R2 = A2 x B2 x C2 =
A2 C2 A2 C2
.5/-1 .5/-6 1/-4 .5/-2 1/0 .5/-6 1/-4 .5/-2
.2/-5 .2 .2 .2 .2/-5 .2 .2 .2
.6/-4 .5 .5 .5 .6/-4 .5 .6 .5
B2 1/-3 .5 .5 .5 B2 1/-3 .5 1 .5
.6/-2 .5 .5 .5 .6/-2 .5 .6 .5
.2/-1 .2 .2 .2 .2/-1 .2 .2 .2
A2 C2
.5/1 .5/-6 1/-4 .5/-2
.2/-5 .2 .2 .2
.6/-4 .5 .5 .5
B2 1/-3 .5 .5 .5
.6/-2 .5 .5 .5
.2/-1 .2 .2 .2
36
Possibilidade 3
A3 = {.2/1; .6/2; 1/3; .4/4} (PM)
B3 = {1/-6; .7/-5; .3/-4} (NG)
C3 = {.5/-6; 1/-4; .5/-2} (NM)
R3 = A3 x B3 x C3 =
A3 C3 A3 C3
.2/1 .5/-6 1/-4 .5/-2 .6/2 .5/-6 1/-4 .5/-2
1/-6 .2 .2 .2 1/-6 .5 .6 .5
B3 .7/-5 .2 .2 .2 B3 .7/-5 .5 .6 .5
.3/-4 .2 .2 .2 .3/-4 .3 .3 .3
A3 C3 A3 C3
1/3 .5/-6 1/-4 .5/-2 .4/4 .5/-6 1/-4 .5/-2
1/-6 .5 1 .5 1/-6 .4 .4 .4
B3 .7/-5 .5 .7 .5 B3 .7/-5 .4 .4 .4
.3/-4 .3 .3 .3 .3/-4 .3 .3 .3
37
Possibilidade 4
A4 = {.5/-1; 1/0; .5/1} (Z)
B4 = {1/-6; .7/-5; .3/-4} (NG)
C4 = {.5/-6; 1/-4; .5/-2} (NM)
R4 = A4 x B4 x C4 =
A4 C4 A4 C4
.5/-1 .5/-6 1/-4 .5/-2 1/0 .5/-6 1/-4 .5/-2
1/-6 .5 .5 .5 1/-6 .5 1 .5
B4 .7/-5 .5 .5 .5 B4 .7/-5 .5 .7 .5
.3/-4 .3 .3 .3 .3/-4 .3 .3 .3
A4 C4
.5/1 .5/-6 1/-4 .5/-2
1/-6 .5 .5 .5
B4 .7/-5 .5 .5 .5
.3/-4 .3 .3 .3
38
Relação de inferência resultante: R' = R1 ∪∪ R2 ∪∪ R3 ∪∪ R4
Então, R' = A C A C
-1 -6 -4 -2 0 2 0 -6 -4 -2 0 2
-6 .5 .5 .5 0 0 -6 .5 1 .5 0 0
-5 .5 .5 .5 0 0 -5 .5 .7 .5 0 0
B -4 .5 .5 .5 0 0 B -4 .5 .6 .5 0 0
-3 .5 .5 .5 0 0 -3 .5 1 .5 0 0
-2 .5 .5 .5 0 0 -2 .5 .6 .5 0 0
-1 .2 .2 .2 0 0 -1 .2 .2 .2 0 0
A C A C
1 -6 -4 -2 0 2 2 -6 -4 -2 0 2
-6 .5 .5 .5 0 0 -6 .5 .6 .5 0 0
-5 .5 .5 .5 .2 .2 -5 .5 .6 .5 .2 .2
B -4 .5 .5 .5 .2 .2 B -4 .3 .3 .4 .6 .4
-3 .5 .5 .5 .2 .2 -3 0 0 .4 .6 .4
-2 .5 .5 .5 .2 .2 -2 0 0 .4 .6 .4
-1 .2 .2 .2 .2 .2 -1 0 0 .2 .2 .2
A C A C
3 -6 -4 -2 0 2 4 -6 -4 -2 0 2
-6 .5 1 .5 0 0 -6 .4 .4 .4 0 0
-5 .5 .7 .5 .2 .2 -5 .4 .4 .4 .2 .2
B -4 .3 .3 .4 .6 .4 B -4 .3 .3 .4 .4 .4
-3 0 0 .4 1 .4 -3 0 0 .4 .4 .4
-2 0 0 .4 .6 .4 -2 0 0 .4 .4 .4
-1 0 0 .2 .2 .2 -1 0 0 .2 .2 .2
OPERAÇÃO DE COMPOSIÇÃO:
39
As entradas são: A’ = {1/1; .25/2} e B’ = {1/-4; .25/-3}
A resposta será inferida pela operação de composição entre a relação de inferência e as
entradas:
z = y o (x o R)
ou
C’ = B’ o (A’ o R)
Inicialmente calcula-se A’o R. A operação de mínimo resulta:
A C A C
1 -6 -4 -2 0 2 2 -6 -4 -2 0 2
-6 .5 .5 .5 0 0 -6 .25 .25 .25 0 0 -5 .5 .5 .5 .2 .2 -5 .25 .25 .25 .2 .2
B -4 .5 .5 .5 .2 .2 B -4 .25 .25 .25 .25 .25
-3 .5 .5 .5 .2 .2 -3 0 0 .25 .25 .25
-2 .5 .5 .5 .2 .2 -2 0 0 .25 .25 .25
-1 .2 .2 .2 .2 .2 -1 0 0 .2 .2 .2
C
Matriz máxima: -6 -4 -2 0 2
-6 .5 .5 .5 0 0 -5 .5 .5 .5 .2 .2
A’ o R = B -4 .5 .5 .5 .25 .25
-3 .5 .5 .5 .25 .25
-2 .5 .5 .5 .25 .25
-1 .2 .2 .2 .2 .2
40
Para se calcular C’ = B’ o (A’ o R), novamente faz-se uma operação de mínimo que resulta:
C
-6 -4 -2 0 2
.5 .5 .5 .25 .25 .25 .25 .25 .25 .25
O máximo entre os dois conjuntos é a saída fuzzy desejada:
C’ = { .5/-6; .5/-4; .5/-2; .25/0; .25/2}
Aplicando-se o método do centro de área resulta:
∆∆ s = - 2.75
O mesmo resultado seria obtido caso as relações de inferência geradas por todas as regras,
fossem consideradas.
D. CF COM DUAS ENTRADAS OBJETIVAS E UMA SAÍDA-
Quando as entradas são objetivas e podem ser fuzificadas através de conjuntos singulares, não
há necessidade de se fazer toda a manipulação apresentada. Além disso, a relação de
inferência resultante coincide com a saída fuzificada, e não há a necessidade da operação
composicional. Isso leva a:
- considerável simplificação do processo de cálculo.
- grande economia de memória.
Usando o mesmo CF do exemplo C, suponha-se que as entradas sejam dadas por:
εε = 1,0 e ∆ ε ∆ ε = -4,0
A fuzificação resulta em:
A’ = {1/1} e B’ = {1/-4}
41
A base de dados mostra novamente que εε pode ser considerado como positivo médio ou zero.
Também, ∆ ε∆ ε pode ser vista como negativa média ou negativa grande . Persistem,
portanto, as quatro possibilidades de interpretação consideradas no exemplo anterior:
possibilidades Se ε ε é e ∆ ε ∆ ε é então ∆ ∆ s será
1 PM NM Z
2 Z NM NM
3 PM NG NM
4 Z NG NM
As relações de inferência para cada possibilidade podem ser obtidas por uma
operação de mínimo entre o conjunto conseqüente daquela possibilidade e os graus de
pertinência dos elementos dos universos das entradas contidos nos conjuntos antecedentes da
possibilidade considerada.
Possibilidade 1
A1 = {.2/1; .6/2; 1/3; .4/4} (PM)
B1 = {.2/-5; .6/-4; 1/-3; .6/-2; .2/-1} (NM)
C1 = {.4/-2; 1/0; .4/2} (Z)
R1 = A1 x B1 x C1 =
A1 C1
.2/1 .4/-2 1/0 .4/2
B1 .6/-4 .2 .2 .2
42
Possibilidade 2
A2 = {.5/-1; 1/0; .5/1} (Z)
B2 = {.2/-5; .6/-4; 1/-3; .6/-2; .2/-1} (NM)
C2 = {.5/-6; 1/-4; .5/-2} (NM)
R2 = A2 x B2 x C2 =
A2 C2
.5/1 .5/-6 1/-4 .5/-2
B2 .6/-4 .5 .5 .5
Possibilidade 3
A3 = {.2/1; .6/2; 1/3; .4/4} (PM)
B3 = {1/-6; .7/-5; .3/-4} (NG)
C3 = {.5/-6; 1/-4; .5/-2} (NM)
R3 = A3 x B3 x C3 =
A3 C3
.2/1 .5/-6 1/-4 .5/-2
B3 .3/-4 .2 .2 .2
Possibilidade 4
A4 = {.5/-1; 1/0; .5/1} (Z)
43
B4 = {1/-6; .7/-5; .3/-4} (NG)
C4 = {.5/-6; 1/-4; .5/-2} (NM)
R4 = A4 x B4 x C4 =
A4 C4
.5/1 .5/-6 1/-4 .5/-2
B4 .3/-4 .3 .3 .3
A relação de inferência resultante é dada pela união entre as relações precedentes:
R = R1 ∪ R2 ∪ R3 ∪ R4
Portanto:
R =
A C
1 -6 -4 -2 0 2
B -4 .5 .5 .5 .2 .2
Então:
C’ = B’ o (A’ o R) = {.5/-6; .5/-4; .5/-2; .2/0; .2/2}
Esta é a saída fuzificada. Se a defuzificação for feita pelo método do centro de área, resultará:
∆∆ s = [(-6)×× .5+(-4)×× .5+(-2)×× .5+0 ×× .2+2 ×× .2] / [.5+.5+.5+.2+.2] = - 2.95
44
9. CONSIDERAÇÕES SOBRE A SINTONIA DE CONTROLADORES FUZZY
Não existe uma sistemática estabelecida para se proceder à sintonia de um CF.
Neste capítulo são apresentados alguns conceitos que podem auxiliar essa tarefa. Não são
feitas considerações a respeito da elaboração da base de regras pois esse assunto já foi
bastante comentado no item 8.3. São particularmente enfocados: a influência dos parâmetros
da base de dados e o uso do método de re-inserção de regras.
9.1. Influência dos parâmetros da base de dados
Os parâmetros da base de dados tem uma grande influência no comportamento do
CF. Pretende-se apresentar, através de gráficos tridimensionais, um estudo dessa influência. É
necessário adotar algumas hipóteses antes de começar a análise:
a) A maioria dos CFs possui duas entradas e uma saída: erro, variação de erro e incremento
da variável de ação, respectivamente. O estudo será feito para um CF desse tipo, com as
entradas in1 e in2 e a saída out .
b) As entradas são consideradas bem definidas e a fuzificação será feita usando conjuntos
singulares.
c) Os conjuntos fuzzy usados na base de dados são triangulares e, se não houver indicação
em contrário, são simétricos.
d) Todos os pontos de cruzamento ( crossover) ocorrem num grau de pertinência igual a 0,5.
e) Os universos são normalizados e suas extremidades são -1,0 e + 1,0.
f) A base de regras é simétrica e os zeros são colocados numa diagonal.
g) A relação de inferência será obtida através da operação de produto cartesiano.
h) A composição usará a operação máx-mín.
i) A defuzificação será feita pelo método do Centro de área.
j) A base de regras é montada de forma que se tenha um pequeno valor para out ao redor do
ponto de coordenadas zero (regime permanente, ponto de equilíbrio ou set point) e valor
grande em pontos distantes dessa região. Usualmente, para se conseguir uma resposta rápida,
as ações do controlador devem ser grandes em pontos distantes do ponto de equilíbrio e
45
devem ser suaves e precisas ao redor do set point porque, em geral, deseja-se um erro nulo
em regime permanente e além disso, as oscilações costumam ser inconvenientes.
As tabelas 9.1, 9.2 e 9.3 apresentam as bases de regras usadas para LL = 3 ; LL = 5
e LL = 7, onde LL = cardinalidade.
in2
in1 N Z P
N N N Z
Z N Z P
P Z P P
Tabela 9.1. Base de regras para cardinalidade = 3.
in2 in1 NB NS Z PS PB NB NB NB NB NB Z NS NB NS NS Z PB Z NB NS Z PS PB PS NB Z PS PS PB PB Z PB PB PB PB
Tabela 9.2. Base de regras para cardinalidade = 5.
in2 in1 NB NM NS Z PS PM PB NB NB NB NB NB NB NB Z
NM NB NM NM NM NM Z PB
NS NB NM NS NS Z PM PB
Z NB NM NS Z PS PM PB
PS NB NM Z PS PS PM PB
PM NB Z PM PM PM PM PB
PB Z PB PB PB PB PB PB
Tabela 9.3. Base de regras para cardinalidade = 7.
46
As figuras 9.1 a 9.13 apresentam o resultado de diversas simulações. O fator NU
que aparece na legenda das figuras, indica o número de níveis de quantização ou número de
elementos do universo em cada caso analisado. Se não houver indicação em contrário, NU
indica o número de níveis de quantização das duas entradas e da saída.
Figura 9.1. LL=3; NU=9.
Figura 9.2. LL=5; NU=9.
As figuras mostram a saída out no eixo vertical em função das entradas in1 e in2. É
possível identificar uma linha onde a superfície cruza o plano correspondente a out=0. Esta
linha pode ser definida como linha zero. A linha zero, em última análise, é uma linha de
deslizamento (sliding line) da resposta do sistema. A resposta converge para a referência (set
point) seguindo esta linha. A forma da linha zero pode ser mudada ajustando-se
principalmente, a base de regras. O número de degraus ao longo da linha zero é,
essencialmente, uma função da base de dados. Não é interessante a existência de grandes
degraus ao redor do ponto de referência. Isso poderia acarretar imprecisão em regime
permanente. Da análise de um grande número de casos, é possível concluir que um aumento
no número de níveis de quantização (aumento do universo) é mais eficiente do que um
aumento da cardinalidade, se o objetivo é obter variações mais suaves ao redor do ponto de
equilíbrio. Uma mudança no tamanho do universo não produz uma variação no número de
conjuntos fuzzy mas causa uma alteração na quantidade de elementos de cada conjunto.
As figuras 9.1 e 9.2 representam CFs com 9 elementos nos universos e com
cardinalidade 3 e 5 respectivamente. O aumento do valor da cardinalidade não melhorou as
características suavizando o controlador e os dois tem a mesma linha zero.
O número de níveis de quantização foi aumentado para 17 nas figuras 9.3 e 9.4. Novamente
os novos CFs tem a mesma linha zero e eles mostram um alisamento nas superfícies em
relação às figuras 9.1 e 9.2.
47
Uma concentração dos conjuntos fuzzy ao redor do ponto de referência, produz um
alisamento da superfície ao redor desse ponto. Este efeito pode ser visto nas figuras 9.4 e
9.5. O CF apresentado em 9.5 é o mesmo de 9.4, mas os conjuntos fuzzy sofreram uma
concentração ao redor do ponto de equilíbrio. Um resultado semelhante é obtido se for
usada uma distribuição não linear para os elementos do universo. A figura 9.6 mostra um CF
com cardinalidade = 7 e com um universo de 13 elementos linearmente distribuídos. A figura
9.7 apresenta o mesmo CF mas os elementos do universo seguem uma distribuição
quadrática. Observa-se que o efeito de suavização da superfície ao redor do ponto de
equilíbrio é bastante acentuado.
Nas figuras 9.1 a 9.7 os três universos (entradas e saída) eram do mesmo tamanho
em cada CF. É interessante observar a influência causada pelo uso de universos de diferentes
tamanhos. As figuras 9.8; 9.1; 9.9 e 9.10 apresentam uma seqüência em que a cardinalidade
é mantida constante (LL= 3), os números de elementos dos universos de in1 e in2 são
mantidos iguais a 9, mas o universo de out assume respectivamente 5; 9; 13 e 17 elementos.
A linha zero permanece quase a mesma. É possível observar que o número de degraus das
superfícies não muda substancialmente, mas os níveis desses degraus decrescem à medida
que o universo de out cresce. Isso causa um alisamento ao redor do ponto de equilíbrio mas
este efeito não é tão forte como o resultado obtido quando todos os universos tem seu
tamanho aumentado.
Uma outra análise pode ser feita variando-se o tamanho do universo de somente uma
das entradas. Nas figuras 9.11; 9.1, 9.12 e 9.13, o tamanho dos universos de in2 e out são
mantidos constantes e iguais a 9 elementos. O universo de in1 contém, respectivamente, 5, 9,
13 e17 elementos. O alisamento ao redor do ponto de referência cresce com o aumento do
universo. A superfície assume uma forma assimétrica.
48
Figura 9.3. LL=3; NU=17.
Figura 9.4. LL=5; NU=17.
Figura 9.5. LL=5; NU=17-Concentrado.
Figura 9.6. LL=7; NU=13.
Figura 9.7. LL=7; NU=13-Distribuição
quadrática.
Figura 9.8. LL=3; NUin1=9; NUin2=9;
Nuout=5.
49
Figura 7.9. LL=3; NUin1=9; NUin2=9;
Nuout=13.
Figura 9.10. LL=3; NUin1=9; NUin2=9;
Nuout=17.
Figura 9.11. LL=3; NUin1=5; NUin2=9;
Nuout=9.
Figura 9.12. LL=3; NUin1=13; NUin2=9;
Nuout=9.
Figura 9.13. LL=3; NUin1=17; NUin2=9;
Nuout=9.
50
Neste item foi apresentada uma análise
das características do CF quando os
parâmetros da base de dados são
alterados. O aumento do número de
elementos do universo é uma forte
ferramenta que pode ser usada para se
conseguir uma suavização da superfície de
saída do CF. Uma suavização ao redor
do ponto de equilíbrio pode ser
conseguida usando-se uma distribuição
não linear (quadrática, por exemplo) dos
elementos do universo ou concentrando-
se os conjuntos fuzzy ao redor desse
ponto.
9.2. Técnica de Re-inserção de Regras e Ajuste de Ganhos
Conforme foi observado nas figuras do item 9.1, a saída de um CF não é contínua,
isto é, se uma das entradas variar continuamente entre um e outro extremos do universo, a
saída variará em degraus. Foram examinadas algumas formas de se obter mais suavidade ao
redor do ponto de equilíbrio. Um procedimento usado para se obter uma ação mais suave no
ponto mencionado é o emprego de inserção de regras na base de regras. A base de regras é,
então, arranjada de modo a ter um espaço inserido ao redor do ponto de equilíbrio no qual o
mesmo conjunto de regras de controle é usado recursivamente à medida que a saída do
sistema se aproxima do valor de referência. Este método propicia uma característica quase
contínua ao redor do ponto de referência. A implementação do método se baseia na
redefinição dos universos de entrada e saída à medida que o erro se aproxima de zero. Uma
maneira cômoda de se obter essa variação dos universos é através do ajuste de ganhos nas
entradas e saídas do controlador. A figura 9.14 ilustra a presença dos ganhos:
Figura 9.14. Controlador fuzzy com ganhos de entrada e saída.
Seja : G1 = K1 αn ; G2 = K2 βn e G3 = K3 δ-n. As constantes α, β e δ devem ser
escolhidas convenientemente. O fator n assume valores inteiros (n = 0,1,2, ...) que crescem à
medida que o erro tende para zero.
10. CONCLUSÃO
Neste trabalho, lógica fuzzy foi abordada visando especificamente a sua aplicação a
sistemas de controle. Essa teoria oferece uma alternativa atraente para o desenvolvimento de
controladores que sejam usados em plantas cujos parâmetros variam ou em plantas difíceis de
serem descritas ou modeladas em termos precisos. Muitos desses sistemas apresentam
características ruins se são controlados por métodos convencionais, mas podem ter a sua
1
1
operação otimizada pelo uso de controladores fuzzy. Em geral, para projetar um CF, não é
necessário ter um profundo conhecimento matemático sobre o sistema, mas dominar
intuitivamente o seu funcionamento. Isso pode ser conseguido pela experiência e/ou por
observação.
As aplicações da lógica fuzzy transcendem à área de controle. Como foi apresentado
no capítulo introdutório, atualmente há uma grande tendência em explorar o seu uso em
equipamentos inteligentes que possam prestar grandes serviços ao ser humano.
11. REFERÊNCIAS
ZADEH, L. A., Fuzzy Sets, Inform. Control, 8, pp. 338-353, 1965. LEE, C. C., “Fuzzy Logic in Control Systems: Fuzzy Logic Controller - Parts I & II”, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, vol. 20, N. 2, pp. 404-435, Mar/Apr. 1990. COX, E., “The Fuzzy Systems Handbook”, AP Professional, USA, 1994. FERREIRA, D. P. L., Análise de Diversas Configurações de Controladores Nebulosos, Dissertação de Mestrado, UFU, 1997. VON ALTROCK, C., Fuzzy Logic and Neuro Fuzzy Applications Explained, Prentice Hall, New Jersey, 1995. BERKAN, R. C. and TRUBATCH, S. L., Fuzzy Systems Design Principles, IEEE Press, New York, 1997. PEDRYCZ, W., GOMIDE, F., An Introduction to Fuzzy Sets, MIT Press, Cambridge, 1998.
