1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS

MÉTODOS DE PESQUISA OPERACIONAL

Profª Drª Leoni Pentiado Godoy

2

MÉTODOS DE PESQUISA OPERACIONAL PROGRAMA UNIDADE 1. PESQUISA OPERACIONAL

1 Introdução 03

1.1 Origem e natureza da PO 03

1.2 A Pesquisa Operacional e sua Influência no Processo Decisório 06

1.3 Conceito e Características da Pesquisa Operacional 06

1.4 Objetivos da Pesquisa Operacional 08

1.5 Enfoque Gerencial da PO 08

1.6 Programação Linear - teoria 10

1.7 Metodologia da Pesquisa Operacional 11

UNIDADE 2. PROGRAMAÇÃO LINEAR

2.1 Introdução 12

2.2 Método Gráfico 15

2.3 Método Algébrico Simplex 18

2.4 1Problema de Transporte ou Alocação Linear 24

2.5 Problema de Designação 33

UNIDADE 3. PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE, PERT - (Técnica de

Avaliação e Revisão de Projetos). CRITICAL PATH METHOD, COM - (Método do Caminho

Crítico)

3.1 Introdução 37

3.2 Construção da rede 37

3.3 Termos PERT e CPM 38

3.4 Características principais do PERT/CPM 38

3.5 Conceitos básicos 39

3.6 Representação gráfica 39

3.7 Atividades 40

3.8 Cuidados no traçado da rede 42

3.9 Metodologia de utilização 42

3.10 Exemplo 1 43

3.11 Cronograma PERT/CPM 48

ANEXO 1 – Programação Linear - Lista de exercícios 1 51

ANEXO 2 – Lista de Exercícios de Transporte 58

ANEXO 3 – Lista de Exercícios de Designações 62

ANEXO 4 – Lista de exercícios de Programação Linear 65

ANEXO 5 - Lista de exercícios PERT/CPM 68

ANEXO 6 - Tabela de Áreas da Curva Normal 70

3

MÉTODOS DE PESQUISA OPERACIONAL

1. INTRODUÇÃO

1.1 Origem e natureza da PO

Durante a Segunda Guerra Mundial foram convocados na Inglaterra um grupo de

cientistas para estudarem problemas de estratégia e de tática associados com a defesa do país.

O objetivo era decidir sobre a utilização mais eficaz de recursos militares limitados. A

convocação deste grupo marcou a primeira atividade formal de Pesquisa Operacional, PO.

Os resultados positivos conseguidos pela equipe de PO inglesa motivaram os

Estados Unidos a iniciarem atividades semelhantes. Apesar de ser creditada à

Inglaterra a origem da Pesquisa Operacional, sua propagação deve-se principalmente à

equipe de cientistas liderada por George B. Dantzig, dos Estados Unidos, convocada

durante a Segunda Guerra Mundial. Ao resultado deste esforço de pesquisa, concluído

em 1947, deu-se o nome de Método Simplex.

Com o fim da guerra, a utilização de técnicas de Pesquisa Operacional atraiu o

interesse de diversas outras áreas. A natureza dos problemas encontrados é bastante

abrangente e complexa, exigindo, portanto uma abordagem que permita reconhecer os

múltiplos aspectos envolvidos. Tal algoritmo permitiu a resolução manual de diversos

problemas de PO, especialmente aqueles de baixa complexidade. O segundo foi a

proliferação dos microcomputadores e o rápido aumento em sua velocidade de

processamento.

A pesquisa operacional vem se constituindo num auxílio poderoso para os executivos

que devem tomar suas decisões nos diferentes campos das atividades industriais, econômicas

e militares. Sob o ponto de vista histórico o nome pesquisa operacional é relativamente novo e

de origem militar, e foi usado, pela primeira vez, na Grã-Bretanha durante a Guerra.

4

O fato que marcou o surgimento da pesquisa operacional foi a formação de uma equipe

de especialistas de diversas disciplinas, com treino científico para fins de estudar a melhor

eficiência no uso de equipamentos de radar. Esta equipe foi chefiada pelo físico Blackett, e ficou

conhecida como Circo de Blackett, e embora recebesse esse nome depreciativo foi altamente

eficiente na tarefa que lhe foi confiada. Houve fatos anteriores, mas este marcou o início dos

trabalhos das equipes de analistas operacionais que começaram a se expandir na Grã-

Bretanha e após no Canadá, na Austrália e nos E.E.U.U.

Para Andrade (2002) desde o seu nascimento, esse novo campo de análise de decisão

caracterizou-se pelo uso de técnicas e métodos científicos qualitativos por equipes

interdisciplinares, no esforço de determinar a melhor utilização de recursos limitados e para

programação otimizada das operações.

O mesmo autor afirma que a PO deu origem a um novo enfoque – o enfoque sistêmico

– dos problemas de tomada de decisão das empresas, indo além da especialidade. O

especialista tem tendência natural de enquadrar todos os problemas nos limites de sua cultura,

mesmo porque é nesse campo que ele se sente mais confortável. Outra característica

importante na PO, que facilita muito o processo de análise de decisão, é a utilização de

modelos.

Com relação a aplicação para problemas de Administração, pode-se identificar as

origens da pesquisa operacional em épocas anteriores a Primeira Revolução Industrial, mas foi

certamente durante ela que começaram os problemas que esta disciplinas auxilia o

desenvolvimento, devido a Revolução Industrial marcar o início da expansão industrial.

À medida que expandiam as empresas diminuía cada vez mais a possibilidade de

serem administradas por um único homem. Conseqüentemente, o dono da indústria começou a

dividir seu trabalho, atribuindo parte deste as outras pessoas. Começaram a surgir, por

exemplo, os gerentes de produção, os gerentes de venda, de pesquisa e de desenvolvimento.

Com o crescimento industrial que se seguiu, tais funções foram, por sua vez,

fracionadas. Por exemplo: a produção subdividiu-se, em alguns casos, em: compras,

manutenção, transporte, controle de qualidade e programação.

Novos mercados surgiram, novas fontes de matéria-prima foram descobertas, tornando

as operações industriais geograficamente dispersas, exigindo a criação de novos centros de

produção e escritórios de vendas, cada qual com administração própria.

5

Novos tipos de ciência aplicada desenvolveram-se para prestar auxílio a cada tipo novo de

administração que aparecia, assim surgiram a Engenharia Química, a Engenharia Mecânica, a

Engenharia Industrial, a Metodologia, a Micro-economia Industrial, a Psicologia e Sociologia

Industrial e outras disciplinas de aplicação científica orientadas para a Administração. Um

aspecto muito importante e negativo desta evolução foi que não se aplicou o conhecimento

científico às novas funções de direção que iam surgindo na Administração. Até pouco tempo o

dirigente vivia isolado com seus problemas e, para solucioná-los, usava apenas a sua

capacidade de julgamento adquirida através da experiência.

Entretanto exigia-se cada vez mais do dirigente, que passou a necessitar de ajuda de

pessoas com mais experiência dos problemas que surgiam e com mais tempo para consultá-

los. Isto provocou o desaparecimento dos consultores de administração, cuja atividade no início

não se baseava nem na ciência nem na pesquisa científica.

Somente após o surgimento efetivo da pesquisa operacional, desenvolvida nas organizações

militares a partir da2 Segunda Guerra Mundial é que tivemos o emprego da pesquisa científica

para auxiliar o dirigente.

Sabemos que em Administração, a tarefa de integrar as diferentes sub-funções para

melhorar a eficiência aos interesses (interesse global da empresa) que constitui a função de

direção ou função executiva. Para que esta função possa ser exercida, é necessário o

estabelecimento de objetivos e medidas de avaliação do desempenho das unidades que lhe

são subordinadas. É no estabelecimento destas medidas que a pesquisa operacional contribui

valiosamente através de suas diversas técnicas.

Em resumo, após uma década de crescimento vigoroso nas organizações militares, a

pesquisa operacional continuou a crescer não só nesse meio, mas também nas organizações

industriais, acadêmicas e governamentais. É, hoje, uma disciplina regular dos cursos ligados ao

setor administrativo, econômico e industrial, tanto de graduação como de pós-graduação.

A seguir procuraremos conceituar, definir objetivos, características e áreas de

aplicação da pesquisa operacional.

6

1.2. A Pesquisa Operacional e sua Influência no Processo Decisório

São várias as definições e conceitos de decisão, mas a que exprime bem a maneira da

tomada de decisão na PO, diz que: “uma decisão é um curso de ação escolhido pela pessoa,

como meio mais efetivo à sua disposição, para alcançar os objetivos pretendidos”, (ANDRADE,

2004)

Em suma, uma decisão é o resultado de um processo que se desenvolve a partir do

instante em que o problema foi detectado, o que geralmente ocorre através da percepção de

sintomas.

Assim, que o processo se dá de acordo com a Figura 1.2.

Figura 1.2 - O início do processo de tomada de decisão

As organizações se utilizam de treinamento para desenvolver suas equipes de modo a

criar capacitação e mecanismos para que o processo transcorra com rapidez e naturalidade.

O conceito de tomada de decisão como um processo gerencial explicita claramente a

importância das atividades de preparação na tomada de decisão, (ANDRADE, 2004).

1.3. Conceito e Características da Pesquisa Operacional

Conceito: conjunto de técnicas e métodos aplicados por equipes multidisciplinares para

se determinar a melhor utilização de recursos limitados e para programação otimizada das

operações de uma empresa.

Sintomas

Identificação do Problema Sintomas

Processo de tomada de decisão

7

A PO baseia-se, principalmente, no método científico para tratar de seus problemas. A

observação inicial e a formulação do problema estão entre os mais importantes passos da

solução de um problema da PO.

Podemos considerar a pesquisa operacional como:

a) Aplicação do método científico por equipes interdisciplinares;

b) Problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados (homem-

máquina) com a finalidade de obter as soluções que melhor satisfaçam aos

objetivos da organização, como um todo.

c) Assim, podemos enumerar as características da pesquisa operacional baseadas

nesta definição:

a) Orientação para sistemas (ou para sua direção). Esta orientação baseia-se no

fato de que em sistemas organizados o comportamento de qualquer parte afeta

todas as demais. Assim, os analistas em pesquisa operacional procuram avaliar o

problema de todos os ângulos possíveis, a fim de darem uma solução favorável ao

todo e não a um departamento específico.

b) Emprego de equipes interdisciplinares. É necessário analisar e avaliar o

problema segundo o maior número de pontos de vista possível. Eis a razão das

equipes de pesquisa interdisciplinar.

Como existem mais de cem disciplinas científicas, puras e aplicadas, é,

evidentemente, impossível incorporá-las todas a cada projeto de pesquisa.

Mesmo assim é aconselhável que o maior número possível de disciplinas estejam

representado na equipe, e que o resultado seja analisado e criticado por um grande

número de especialistas das disciplinas não representadas.

c) Aplicação do método científico a problemas de controle. Uma vez construído o

modelo, pode-se usá-lo para a determinação de valores para controle de variáveis

que produzem o melhor desempenho do sistema.

8

1.4 Objetivos da Pesquisa Operacional

O objetivo da pesquisa operacional é a elaboração de uma estratégia dirigida a

regulação dos resultados potenciais de operações futuras através da construção de modelos

científicos da situação aplicada a particularidade mecanismo transformadores de valores, nos

quais atuam homens, equipamentos e meios.

Isto é, seu objetivo é resolver problemas de decisão nas áreas econômica, financeira,

administrativa, da organização em geral, através de uma abordagem científica de tais

problemas.

Então a pesquisa operacional se propõe a determinar a solução ótima para um

sistema através do método científico. A otimização é obter o melhor desempenho de um

sistema dentro de dos critérios de: maximização (de lucros) e de minimização (de custos e

tempo).

Mas o objetivo da pesquisa operacional não é apenas produzir informações e sim

melhorar o desempenho dos sistemas, logo, os resultados da pesquisas devem ser implantados

para isso devem ser aceitos pelas pessoas da empresa.

3 Exemplo de um problema: Quando e quanto produzir de um determinado produto para

minimizar a custos de produção?

1.5 Enfoque Gerencial da PO

A PO tem sido vista pelos pesquisadores sobre dois aspectos diferentes quanto a

abordagem:

Enfoque Clássico: busca da solução ótima;

Enfoque atual: uso do modelo para identificação do problema certo.

9

ENFOQUE CLÁSSICO DA PESQUISA OPERACIONAL

Figura 1.5.1 – Enfoque clássico da PO ENFOQUE ATUAL DA PO

Figura 1.5.2 – Enfoque atual

IDENTIFICAÇÃO

DO PROBLEMA

INFORMAÇÕES

NECESSÁRIASMODELAGEM

E

SOLUÇÃORESULTADO

ÓTIMO

ACEITAROU

RECUSAR

EXPERIÊNCIA

E INTUIÇÃO

IDENTIFICAÇÃO

DO PROBLEMA

INFORMAÇÕES

NECESSÁRIASMODELAGEM

E

SOLUÇÃORESULTADO

ÓTIMO

ACEITAROU

RECUSAR

EXPERIÊNCIA

E INTUIÇÃO

IDENTIFICAÇÃO

DO PROBLEMA

INFORMAÇÕES

NECESSÁRIAS

MODELAGEM

E

SOLUÇÃO

RESULTADO

ÓTIMO

EXPERIÊNCIA

E

INTUIÇÃO

ACEITAR

OU

RECUSAR

Informaçõessão

relevantes?

Problema certo?

Novas

percepções

IDENTIFICAÇÃO

DO PROBLEMA

INFORMAÇÕES

NECESSÁRIAS

MODELAGEM

E

SOLUÇÃO

RESULTADO

ÓTIMO

EXPERIÊNCIA

E

INTUIÇÃO

ACEITAR

OU

RECUSAR

Informaçõessão

relevantes?

Problema certo?

Novas

percepções

10

Fases de um estudo de Pesquisa Operacional:

Definição do Problema;

Construção do Modelo;

Solução do Modelo;

Validação do Modelo;

Implementação dos Resultados e,

Avaliação.

1.6 Programação Linear - teoria

Tem-se uma equação do primeiro grau ou linear para a qual, se deseja obter um

resultado mínimo (Equação de custo) ou máximo (equação de lucro). O sistema está sujeito a

uma série de restrições ou limitações (restrições das variáveis), que são representadas por

equações lineares e cuja solução determinará o valor ótimo das variáveis do sistema, este

valor determinará a situação de minimização de custos ou maximização de lucros.

Exemplos de aplicações:

- Programa de produção – Simplex;

- Distribuição de tarefas – Consignações;

- Distribuição de mercadorias – transportes.

4

1.6.1. Teoria das Redes

Onde se estuda a programação das atividades de maneiras a minimizar tempo e

custos. Entre seus métodos temos: PERT TEMPO, PERT CUSTO, CPM.

Exemplos de aplicações:

- Engenharia civil;

- Projetos industriais;

- Elaboração de propostas orçamentárias;

- Operações administrativas;

- Vendas - Lançamento de produtos;

- Operações militares;

- Tarefas da vida comum.

Profa. Dra. Leoni Pentiado Godoy

11

1.7 Metodologia da Pesquisa Operacional

O método científico consiste numa organização particular do desenvolvimento das

atividades que conduzem à resolução do problema formulado.

Em pesquisa operacional esse método compreende as seguintes fases:

a) Definição ou postulado do problema

Deve ser muito precisa e destacar os objetivos procurados, as características

fundamentais de interligação entre as diferentes variáveis existentes e as restrições que pesam

sobre o sistema, através da influência de outros fatores.

Quanto mais precisa esta definição, mais fáceis serão as etapas posteriores.

b) Estabelecimento de um modelo.

Estando bem definida as características do caso em estudo, deve-se construir

uma representação formal dele, isto é, deve-se conseguir expressar, de forma, mais ou

menos exata, a realidade através de um modelo.

Modelo é a representação simbólica do problema, sendo geralmente um problema

matemático.

c) Desenvolvimento analítico.

Dispondo-se do modelo, procura-se aplicar um método de resolução, geralmente

matemático, que leva a solução ótima do sistema.

Este desenvolvimento analítico consiste em trabalhar com as variáveis existentes no

modelo de forma que alguma grandeza que expressa uma característica desejável do sistema

(a medida da efetividade ou da utilidade) atinja valor ótimo (maximização ou minimização).

Solução ótima - é aquela que maximiza (conforme o critério definido na postulação) a medida

do desempenho no modelo, sujeita as condições e restrições nele representadas.

12

d) Obtenção de dados.

Sendo possível aplicar um desenvolvimento analítico se procura determinar o conjunto

de dados necessários para se chegar a tal solução. Podem os dados previstos para resolução

de o modelo ser ou não passíveis de obtenção, o que vai implicar numa reformulação dos

passos anteriores, no caso negativo.

e) Comparação

Faz-se uma comparação dos resultados obtidos a partir do modelo, com a experiência

que se tem sobre o que ocorre realmente no sistema. Isto é, a concordância entre o modelo e

realidade deverá ser aferida (testada) e a solução avaliada. Deve-se comparar o desempenho

da política ótima obtida com a política que ela irá substituir. Conforme os resultados, ou se

retrocede as etapas anteriores refazendo o problema, no caso negativo, ou passa-se a fase da

implantação da solução obtida, no caso satisfatório.

f) Implantação da solução ótima

É o processo de levar à prática a solução obtida através do modelo. Este processo

exige o contínuo controle das etapas anteriores.

2. PROGRAMAÇÃO LINEAR

2.1 Introdução

Identificar e modelar problemas de tomada de decisão sobre a alocação de recursos que

podem ser resolvidos por PL.

Resolver problemas de PL por meio da utilização do método gráfico, algoritmo Simplex e do

programa Ms- Excel.

Analisar a solução final obtida com o propósito de otimizar a alocação de recursos da

empresa.

13

Os problemas de alocação de recurso dizem respeito à atribuição e distribuição de

recursos entre as diversas tarefas ou atividades que devem ser realizadas. Na maioria das

empresas os recursos disponíveis não são suficientes para que todas as atividades sejam

executadas no nível mais elevado que se possa desejar. Portanto, o que se deseja encontrar é

a melhor distribuição possível dos recursos entre as diversas tarefas ou atividades, de modo a

atingir um valor ótimo do objetivo estabelecido.

2.1.1 Conceito

A P.L. é definida como sendo um conjunto de técnicas matemáticas com as quais pode

ser determinada uma solução ótima para problemas que apresentam várias soluções possíveis.

A P.L. indica um método iterativo que determina a melhor combinação de valores que

as variáveis do modelo devem assumir a fim de otimizar a solução e cada variável obedecendo

a certas restrições.

52.1.2 Objetivos

A programação linear tem como objetivo otimizar uma solução onde:

Z = C1X1 + C2X2 + . . . + CNXN

N

Z = JXJ J=1

É chamada de Função Objetivo, onde “C “ é o custo ou lucro unitário, isto é, o resultado

de “Z “ nos fornece o valor da solução ótima (custo ou lucro global).

2.1.3 Conceituação

As variáveis X1, X2,......, Xn 0 devem satisfazer as “M“ inequações, que restringem o

modelo assim:

.

14

A11X11 + A12X12 +..........+ A1nX1n B1

A21X21 + A22X22 +.........+ A2nX2n B2

A31X21 + A32X32 +.........+ A3nX3n B3

........................................................................

Am1Xm1 + Am2Xm2 +..........+ AmnXmn Bm

N

AiJXJ Bi, J=1

Onde: Os coeficientes AiJ, podem assumir valor negativo, positivo ou nulo, onde estes caracterizam a

quantidade de recursos "i", consumidos na atividade "j".

Sendo as disponibilidades de recursos representadas por "Bi".

E obviamente que, todas as variáveis de decisão Xj, são não negativas, isto é, Xj 0 para

j = 1, 2, . . ., N Para todos i = 1, 2, . . ., m.

2.1.4 Formulação do Modelo

Exemplo 1.

Uma indústria produz dois produtos, (produto A e produto B). O produto A é produzido com um

lucro de US$ 300,00 U.M. por unidade, e o produto B com um lucro de US$ 100,00 U.M. por

unidade. O produto “A” requer 3 horas de fabricação, ocupa uma área de 3 m2/unidade no

armazenamento e necessita uma hora de pintura. Já o produto B requer 2 horas de fabricação,

ocupa 4m2 /unidade no armazenamento e não necessita de pintura.

O tempo disponível para elaboração encontra-se limitado em 24 horas, o espaço para

armazenagem em 36 m2 e a secção de pintura dispõe de 6 horas. Pergunta-se:

a) Quanto produzir da cada produto para atingir o lucro máximo?

b) Qual esse lucro?

c) Quais os setores que possuem folga de recursos?

15

Exemplo 2.

Uma fábrica produz dois produtos A e B. Cada um deve ser processado por duas máquinas,

M1 e M2. Devido à programação de outros produtos, que também utilizam essas máquinas, a

máquina M1 tem 24 horas de tempo disponível para os produtos A e B, enquanto a máquina M2

tem 16 horas de tempo disponível. Para produzir uma unidade do produto A, gastam-se 4

horas em cada uma das máquinas M1 e M2. Para produzir uma unidade do produto B, gastam-

se 6 horas na máquina M1 e 2 horas na máquina M2. Cada unidade vendida do produto A gera

um lucro de R$ 80 e cada unidade do produto B, um lucro de R$ 60. Existe uma previsão

máxima de demanda para o produto B de 3 unidades, não havendo restrições quanto a

demanda do produto A.

Deseja-se saber quantas unidades de A e B devem ser produzidas, de forma a maximizar o

lucro e, ao mesmo tempo, obedecer a todas as restrições desse enunciado.

2.2 Método Gráfico

A seleção de uma combinação ótima é uma introdução ideal aos métodos de P.L..

Determinar a proporção de produção de cada produto quando os recursos de produção são

limitados é um exemplo típico das aplicações da P.L., que mostram como utilizar recursos

escassos para maximizar o lucro.

Uma combinação de dois produtos tem como vantagem a simplicidade que permite

colocar em questão os fatos básicos. Uma das tarefas difíceis da avaliação dos sistemas de

produção é reconhecer qual a melhor maneira de atacar o problema.

O conhecimento das exigências da P.L. que serão dadas a seguir deverá revelar se o problema

está sujeito a esta forma de solução.

1º) O objetivo deve ser definido explicitamente;

2º) Deve-se dispor de cursos alternados de ação;

3º) Os recursos devem ser limitados;

4º) As varáveis devem ser linearmente relacionadas. E estes relacionamentos são expressos

por inequações ou equações.

16

2.2.1 Teorema do ponto extremo

O Teorema do Ponto Extremo determina que o valor ótimo da função objetivo ocorre

em um dos pontos extremos da região viável.

Um ponto extremo num espaço bidimensional é definido pela interseção de duas retas

(equações) ou de uma reta com um eixo (havendo também duas equações), sendo assim as

coordenadas de um ponto extremo são obtidas pela solução do sistema formado por essas

duas equações.

Este teorema também afirma que uma única e finita solução ótima existem para um

problema de PL. Existem três exceções, que são os casos de:

Soluções Múltiplas quando uma equação é proporcional a Z;

Soluções Ilimitadas ou indeterminadas (caso em que todas as inequações ( ) e a

função de Max);

Problemas sem solução não existem solução viável (incompatibilidade de restrições).

2.2.2 Etapas para Resolução do Método Gráfico

a) Construir o modelo original;

b) Considerar as inequações como equações;

c) Determinar dois pontos para cada equação;

d) Representar cada equação num gráfico bidimensional;

e) Determinar a área das soluções possíveis;

f) Obter o ponto ótimo;

g) Determinar os valores ótimos;

h) Verificação e conclusão.

Como obter o ponto ótimo?

O ponto ótimo é obtido através da reta da função Z para um valor arbitrário de Z,

conforme o processo do item C, que mostrará a inclinação da reta de custo ou lucro, e o ponto

ótimo será:

17

1. No caso de Max.

O ponto ótimo será o ponto do polígono mais afastado da origem e por onde passará a

reta de Max lucro. Esse ponto é obtido tirando-se paralelas da reta da função Z até encontrar o

ponto do polígono mais afastado da origem.

2. No caso de Min.

O ponto ótimo será o ponto do polígono mais próximo da origem cortado pela

inclinação da reta da função de mínimo custo.

Exercícios, resolver pelo método gráfico.

1) Função objetivo Max Z = 4X1 + 5X2

Restrições: A) X1 + X2 4 B) X1 + X2 7

C) 8X1 + 4X2 = 32 Com X1, X2 0

2) Função objetivo Min Z = 7X1 + 2X2

Restrições: A) 2X1 + 4X2 12 B) X1 5 C) 2X1 - 2X2 0

D) 6X1 + 7X2 42 Com X1, X2 0

3) Função objetivo Max Z = X1 + 2X2

Restrições: A) X1 + X2 4 B) X1 + X2 6 Com X1, X2 0

4) Função objetivo Max Z = X1 + 2X2

Restrições: A) -X1 + X2 2 B) X1 + X2 4 com X1, X2 0

5) Função objetivo Max Z = 4X1 + 7X2

Restrições: A) -X1 + X2 2 B) 4X1 + 7X2 28 C) 2X1 - 3X2 0

D) 3X1 + 7,5X2 15 Com X1, X2 0

6) Função objetivo Max Z = 12X1 + 2X2

Restrições: A) - X1 + X2 2 B) 4X1 + 7X2 28 C) 2X1 – 3X2 0

D) 3X1 + 7,5X2 15 E) 5X1 + 4X2 20 Com X1, X2 0

18

Condição: se trocarmos a função objetivo para Min Z = 2X1 + 4X2, o que altera na solução?

2.3 Método Algébrico Simplex

2.3.1 Fundamentação

Teorema do ponto Extremo

- O valor ótimo da função objetiva ocorre em um dos pontos extremos da região viável;

- Um ponto extremo é definido pela interseção de duas equações (retas);

- O sistema de "m" equações e "n" varáveis, quando n > m, tem um infinito número de soluções,

se o sistema for compatível, porém terá um número finito de pontos extremos;

- Os pontos extremos podem ser determinados pelo teorema básico da P.L.– Centro de

Tecnologia – UFSM.

2.3.2 Teorema Básico da P.L.

Num sistema de "m" equações e "n" varáveis, onde n > m, a solução na qual, no mínimo m-n

variáveis tem valor zero, logo é um ponto extremo.

Então, tomando-se n-m variáveis como iguais a zero, a solução do sistema resultante para

as "n" variáveis restantes será um ponto extremo. Esta solução é chamada "SOLUÇÃO

BÁSICA".

O número de soluções básicas:

n!

m!(n - m)! número de pontos extremos

Etapas Gerais:

1. Conversão das desigualdades em equações:

a. Através das variáveis de folga;

b. Obtenção das Soluções Básicas Viáveis (obtenção dos pontos extremos);

c. Avaliação de cada solução básica viável quanto a otimidade.

2.3.3 Algoritmo Simplex.

O algoritmo Simplex é um processo iterativo para determinar soluções básicas viáveis para um

sistema de equações e testá-las quanto a otimidade.

19

Envolve as seguintes etapas:

a) Transformação das desigualdades em equações através das variáveis de folga

(falta ou excesso).

- inequações ( ) adiciona-se a variável de folga;

- inequações ( ) subtrai-se a variável de folga.

b) Montagem do Quadro Simplex

Os coeficientes da função objetiva (Cj), os coeficientes das variáveis nas equações (Aij) e os

termos independentes (Bi) são então transferidas para uma tabela com o seguinte formato:

Cb Cj C1 C2 C3 .............. Cn S

BASE X1 X2 X3 .............. Xn Bi

0 Xn+1 A11 A12 A13 .............. A1n B1

0 Xn+2 A21 A22 A23 .............. A2n B2

............. ............ ........... ............ ............ .............. ........... .........

0 Xn+m Am1 Am2 Am3 .............. Amn Bm

Zj 0 0 0 .............. 0

Cj - Zj C1 C2 C3 .............. Cn

Na coluna Cb os coeficientes Cj das variáveis básicas. (Nulos na Solução Básica Inicial)

A linha ZJ m

Zj = ( Cbi.Aij)

i=1

c) Troca de Base

Em cada iteração será determinada uma nova solução básica (outro ponto extremo). Para isso

é necessário realizar a troca de base.

20

A escolha da variável que deve entrar na base é feita pela REGRA SIMPLEX 1.

Regra Simplex 1.

A seleção da Variável que entra na base depende dos valores de Cj - Zj.

Para Maximização

A variável selecionada será aquela que apresentar o maior valor de Cj - Zj.

Se todos os valores de Cj - Zj são = 0, a solução já é ótima.

Para Minimização

A variável selecionada será aquela que apresentar o menor valor de Cj - Zj.

Se todos os Cj - Zj = 0, a solução já é ótima.

A variável que sai da base é dada pela REGRA SIMPLEX 2.

Regra Simplex 2

A seleção da variável que deve deixar a base é feita pelo valor obtido pela divisão dos números

da coluna solução (Bi) pelos coeficientes Aij na coluna da variável que entrar na base.

Selecione a linha com a menor razão (ignore as razões com denominador zero ou negativo).

A variável desta linha deve deixar a base.

Esta regra é válida para Max. e Min. Bi/Aij (tal que Ai,j seja maior do que zero)

d) Pivoteamento

O processo de pivoteamento envolve a obtenção da matriz dos coeficientes das

variáveis básicas como uma matriz identidade, visto que somente uma variável básica entra na

tabela, a cada iteração. A matriz identidade é completada usando as

operações de linha para obter coeficiente unitário na posição do elemento pivô, Aij, na linha

que sai da base e coluna de entrada e coeficientes zeros nas demais posições da coluna pivô

(coluna da variável que entrou na base).

ISTO É FEITO POR:

Primeira Operação de Linha:

- Para obter coeficiente unitário na posição pivô.

21

- Dividem-se os termos da linha pivô (linha da variável que deixou a base) pelo elemento

pivô.

- Registra-se a nova linha no novo quadro.

A nova linha pivô é multiplicada a um número tal que somando ou subtraindo esta linha

modificada a cada equação do quadro anterior obtenham-se ZEROS na coluna pivô.

Isso é feito para cada linha que não seja pivô e cada equação resultante é registrada no novo

quadro.

Obtém-se, assim, a matriz dos coeficientes das variáveis básicas como matriz identidade.

Na coluna solução tem-se os valores das variáveis básicas, sendo as variáveis não básicas

nulas.( = 0).

e) Verificação da Otimidade

A seguir calcula-se os novos coeficientes de :

n

Zj = ( Aij . Cbi)

i=1

e após os Cj - Zj, para cada coluna.

Para a Maximização, se todos os valores Cj - Zj 0 a solução é ótima, porém se existir algum

Cj - Zj > 0, repete-se o processo desde a troca de base, isto é, calcula-se a próxima solução

básica.

Para minimização, será ótima quando todos os Cj - Zj 0.6

2.3.4 - Utilização das Variáveis Artificiais

OCORRÊNCIA:

a) Quando há inequação de sinal ( ) pois nesse caso teremos que colocar variável de folga

negativa;

b) Quando existir BI negativo e a inequação for do tipo ( );

c) Quando tiver uma equação perfeita.

Profa. Dra. Leoni Pentiado Godoy – Centro de Tecnologia – UFSM.

22

Método Algébrico Simplex quando aparecer variáveis artificiais

1º) Trabalha-se anulando as variáveis artificiais.

2º) Otimizar a max. ou min. ( função objetivo Z).

2.3.5 Casos Especiais - Método Algébrico Simplex

A - Exceções do Teorema do Ponto Extremo

Soluções não viáveis

O problema de PL não terá solução viável quando as restrições são incompatíveis. No

algoritmo Simplex, isto é indicado por:

- a linha Cj - Zj já está otimizada, isto é, todos os valores Cj - Zj 0, na maximização

ou 0, na minimização, porém ainda existe variável artificial na base. ( não é possível

continuar pois não existe coluna pivô).

Soluções Múltiplas ou alternativas

A existência de valores Cj - Zj, igual a zero em colunas de variáveis não básicas

significa que o problema tem outras soluções igualmente ótimas.

Para obter a solução alternativa realiza-se uma nova iteração do algoritmo com a

coluna pivô na posição da variável que tem Cj - Zj = 0 ( a qual vai entrar na base).7

Soluções Ilimitadas

1. Quando a função objetiva pode crescer infinitamente (polígono aberto), então a solução

é ilimitada. No Algoritmo Simplex, é indicado pela seguinte situação.

2. A solução ainda não é ótima, uma variável é selecionada para entrar na base e na

coluna pivô, todos os valores dos coeficientes Aij são menor ou igual a zero ( 0), o que

impede o cálculo da razão BI/AIS ,que determina a seleção da variável que sai da BASE,

pela Regra Simplex 2.

Problemas degenerados

A existência de um BI = 0, em qualquer fase do Simplex, caracteriza uma

degenerescência, o que impede a continuação do cálculo. Para se contornar o problema

23

escolhe-se a linha BI = 0, para linha pivô na 1ª vez, e depois desconsidera-se a mesma nas

próximas iterações como linha pivô, escolhendo-se para pivô, a linha de menor BI /AIS .

EXEMPLOS:

Solução Múltipla ou Soluções Alternativas:

MAX Z = X1 + 2X2

Restrições: X1 3 X2 4 X1 + 2X2 9

X 1 , X2 0

Degeneração:

MAX Z = 5X1 + 2X2

Restrições: X1 3 X2 4 3 X1 + 4X2 9

X 1 , X2 0

82.4 PROBLEMA DE TRANSPORTE OU ALOCAÇÃO LINEAR

Introdução

O modelo de transporte tem por objetivo minimizar o custo total de transporte necessário para

abastecer “n” centros consumidores (destinos) a partir de “m” centros fornecedores (origem).

Nomenclatura Utilizada

m = número de origens ou fornecedores;

n = número de destinos ou consumidores;

i = um fornecedor qualquer, i = 1,2,3,...,m;

j = um consumidor individual, j = 1,2,3,...,n;

Pi = número de unidades que um fornecedor i dispõe – OFERTA;

Dj = número de unidades que o consumidor j quer adquirir – DEMANDA;

Cij = custo, unitário de transporte do fornecedor i ao consumidor j;

Xij = número de unidades que devem ser transportadas do fornecedor i ao consumidor j;

Matematicamente, o problema é definido da seguinte forma:

m n

Cij Xij i=1 j=1

24

Sujeito as restrições:

Restrição de fornecimento na origem:

i = 1, 2, ....m

Restrição de necessidades do produto no destino:

J = 1, 2,....,n

Profa. Dra. Leoni Pentiado Godoy – Centro de Tecnologia – UFSM.

XiJ 0 , para todo i e J.

OBS. O problema deve ser equilibrado, somatório da oferta = ao somatório da

demanda.

Envolve problemas com um só tipo de unidade.

Os coeficientes das variáveis são unitários

São problemas de minimização.

Quadro de forma tabular do problema de transporte

XiJ= ai

i=1

Xij = bj J=1

m n

ai = bj i=1 J=1

25

Destinos Origem

1 2 ...... N OFERTA

1 C11 X11

C12 X12

..... ......

C1n X1n

ai

2

C21 X21

C22 X22

..... .....

C2n X2n

a2

.....

..... ......

..... .......

..... ......

..... ......

....

M

Cm1 Xm1

Cm2 Xm2

..... ......

Cmn Xmn

am

DEMANDA

b1

b2

......

bn

am

bn

OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO BÁSICA INICIAL

1) Método do Custo Mínimo

a) Localize no quadro de custos o menor Cij que não tenha oferta ou demanda nula;

b) Coloque na célula correspondente do quadro de soluções a maior quantidade

permitida pela oferta e demanda correspondente;

c) Atualize os valores de oferta e demanda e volte ao item a.

2) Método Vogel

a) Determinar para cada linha e cada coluna do quadro a diferença entre os dois

menores custos;

b) Procurar a linha ou coluna que possui a maior diferença e nesta linha ou coluna

escolher a célula de menor custo;

c) Nesta célula de menor custo colocar a maior quantidade possível permitida pela

oferta e demanda correspondente;

d) Repetir o processo a partir do item “a “ até preencher as demais células,

desconsiderando as células já preenchidas para o cálculo das diferenças.

26

VERIFICAÇÃO DA OTIMIDADE DA SOLUÇÃO

Verificar se a solução é ótima aplicando o Método U-V ou Distribuição Modificada.

MÉTODO U – V

A) Arbitrar Ui = 0

B) Encontrar para todas as células ocupadas os valores restantes dos Ui e Vj

através de :

Cij = Ui + Vj

C) Encontrar para todas as células vazias os valores:

Qij = Cij - Ui - Vj .

D) Verificar se existe algum Qij < 0

- Se não existir, a solução é ótima;

- Existindo Qij < 0, aplicar o MÉTODO DE ALPONDRAS.

MÉTODO DE ALPONDRAS OU CIRCUITO DE ALPONDRAS

A) Na célula vazia que apresentar o Qij de maior valor negativo, iniciar o Circuito de

Alpondras. Encontrar um circuito possível que, partindo dessa célula vazia, volte a

esse ponto (essa célula), de maneira a só mudar de direção quando encontrar

células ocupadas.

B) À célula inicial do circuito, atribuir o sinal (+) e atribuir alternadamente os sinais

(+) e (-) em cada célula que mudar de direção\ (células ocupadas).

C) Escolher a menor consignação das células onde o sinal do circuito é negativo,(-)

D) Nas células do circuito somar ou subtrair, conforme forem os sinais (+) e (-), a

menor consignação escolhida.

27

E) Verificar se existe Qij < 0; se não existir, a solução é ótima.

- Interpretar.

F) Se existir Qij < 0, repetir o processo desde o início, até que não haja mais Qij < 0.

G) Se não existir Qij < 0, INTERPRETAR.

Exemplo 1.

Problema Equilibrado.

Um fazendeiro possui quatro granjas A, B, C e D que produzem diariamente 50.000, 50.000,

60.000, e 30.000 litros de leite, respectivamente. Vende toda a produção em três cidades I, II e

III, que necessitam de 70.000, 70.000 e 50.000 litros de leite diariamente. O custo de transporte

por litro está na tabela abaixo:

CIDADE I CIDADE II CIDADE III

GRANJA A 10 15 12

GRANJA B 15 10 16

GRANJA C 12 16 10

GRANJA D 13 18 16

Formular o modelo de transporte para determinar o programa que torna mínimo o custo total de

transporte entre as quatro granjas e as três cidades.

Resolução:

Seja XiJ ( i = A, B, C e D; J = I, II e III) a quantidade a ser transportada da granja "i "para a

cidade "j".

O modelo de transporte será:

Min Z = 10 XAI + 15 XAII +12 XAII I+15 XBI +10 XBII +16 XBIII +12 XCI +16 XCI I+

10 XCI II+13 XDI +18 XDI I+16 XDIII

Sujeito a:

Oferta:

XAI + XAII + XAII I = 50.000

XBI + XBII +XBIII = 50.000

XCI + XCI I+XCI II = 60.000

28

XDI + XDI I + XDIII = 30.000

Demanda

XAI + XBI + XCI XDI = 70.000

XAI I + XBII+ XCII + XDI I = 70.000

XAI II + XBIII + XCIII XDIII = 50.000

e XiJ 0 para i = A, B, C, D e J = I, II, III.

OBS.: A oferta total de 190.000 litros de leite é igual a demanda total de 190.000 litros de leite.

O problema é equilibrado.

CASOS ESPECIAIS DO PROBLEMA DE TRANSPORTE

a) Problemas desequilibrados

Quando a somatória da oferta é diferente da somatória da demanda .

a.1. Somatória da Oferta maior que a somatória da Demanda.

Cria-se um consumidor fictício para consumir a produção em excesso, com custos bem mais

altos que os demais, aplicam-se os métodos normais de resolução.

a.2. Somatório da Demanda maior do que o somatório da Oferta.

Cria-se uma fábrica fictícia para produzir o que falta para atender à demanda, custos altos

como no item a.1.

b) Impossibilidade de relacionar um dado fornecedor a um dado consumidor ou vice-

versa.

Coloca-se um custo muito alto na célula correspondente para evitar que a célula

seja ocupada.

c) Soluções Alternativas ou Múltiplas

29

Há soluções alternativas quando houver em alguma(s) célula(s) da Solução Ótima

um valor Qij = 0. Cada solução alternativa é obtida pela aplicação do Circuito de

Alpondras, partindo o Circuito da célula que tiver o Qij = 0.

Ver exemplo 1.

d) Problemas de Maximização

Os problemas de maximização podem também ser resolvidos pelo algorítmico dado,

invertendo-se as decisões. Pode-se usar extremamente as regras de minimização caso se

transforme a matriz original numa matriz tal que, minimizada, corresponda ao máximo da

primeira.

Essa transformação pode ser feita da seguinte maneira:

- Escolhe-se o valor de lucro mais alto da tabela e dele se subtrai os demais termos da

tabela de lucro, constituindo, assim, uma nova matriz.

e) Degeneração ou Degenerescência

Em qualquer fase da resolução de um problema de transporte, o número de células

ocupadas deve ser igual a (m + n) – 1.

Quando o número de células ocupadas é menor que (m + n ) - 1, ocorre uma degeneração,

o que impossibilita o cálculo dos Ui e Vj do método U-V, em alguma(s) célula(s).

A degeneração poderá ser resolvida em qualquer estágio da solução, da seguinte maneira:

a) Coloca-se uma quantidade infinitésima em uma célula apropriada;

b) A atribuição é feita pela inspeção e não influencia os totais de linha e coluna, porque é

uma quantidade muito pequena;

b) Quando a solução ótima é obtida, é igualado a zero.

OBSERVAÇÕES:

1) Existem casos em que se tem de adicionar mais de um

2) A degeneração pode aparecer em uma solução inicial ou em qualquer solução

subseqüente;

3) é tão pequeno que não tem efeito algum quando adicionado ou subtraído de qualquer

número inteiro positivo.

30

Exemplo 2.

Problema Desequilibrado.

Existe, no Rio Grande do Sul, quatro Cooperativas, localizadas em lugares estratégicos,

para receber sacas de arroz de três lugares onde há grandes plantações. O lugar "A " colhe

200.000 sacas, o lugar "B", 180.000 sacas, e o lugar "C", 200.000 sacas. A capacidade de

cada Cooperativa é a seguinte:

Cooperativa 1 = 100.000 sacas;

Cooperativa 2 = 200.000 sacas;

Cooperativa 3 = 150.000 sacas;

Cooperativa 4 = 180.000 sacas.

As sacas de arroz são transportadas por caminhões dos lugares de plantio até as

Cooperativas sendo os custos de transporte dados na tabela abaixo.

Determine a programação de maneira que o custo de transporte seja mínimo.

n

m

C1

C2

C3

c4

LA 17 15 13 12

LB 16 15 26 25

LC 15 14 15 17

Exemplo 3.

Problema de Maximização.

Uma empresa de transporte recebe cargas de quatro fábricas de móveis localizadas

em Bento Gonçalves para descarregar em Porto Alegre. O lucro por unidade de

produto transportado é dado na tabela abaixo.

Fábricas Vendedor 1 Vendedor 2 Vendedor 3

Fa 40 60 80

Fb 30 50 70

Fc 20 40 60

Fd 30 40 25

31

As unidades a serem transportadas são: Fa; 40 unidades, Fb; 30 unidades, Fc; 20

unidades e Fd; 25 unidades. Os vendedores necessitam de V1; 40 unidades, V2; 50

unidades e V3; 25 unidades.

Determine:

a) Quantidade a ser transportada das fábricas para os vendedores.

b) Lucro total que a transportadora recebe pelo carregamento.

c) O número de soluções ótimas que o problema possui.

d) Apresente mais duas soluções.

Exemplo 4.

Problema degenerado

Os custos de transporte dos depósitos até os armazéns são dados da tabela abaixo:

Depósitos Armazém 1 Armazém 2 Armazém 3

D1 15 20 20

D2 20 18 16

D3 25 17 20

Os depósitos devem entregar mensalmente as seguintes unidades para os armazéns: D1 = 50

unidades; D2 = 30 unidades e D3 = 20 unidades. Os armazéns devem receber mensalmente as

quantidades: Ar1 = 50 unidades; Ar2 = 20 unidades e Ar3 = 20 unidades.

2.5 PROBLEMA DE DESIGNAÇÃO

2.5.1 Introdução

Se no modelo de transporte forem introduzidas as restrições:

a) Número de origens = número de destinos (m = n);

b) Capacidade de cada origem = 1 (ai = 1 para todo i);

c) Demanda de cada destino = 1(bj = 1 para todo j), obter-se-á o modelo de designação

que tem o seguinte aspecto:

32

Uma origem i abastecerá um único destino J, de modo que as últimas restrições do modelo,

sejam equivalentes a:

Xij = 1, se a origem i for designada para abastecer o destino J;

Xij = 0, caso contrário.

O problema consiste em determinar como as designações devem ser feitas de modo a

minimizar o custo total.

Como a capacidade de cada origem e a demanda de cada destino é unitário, o algoritmo da

designação será baseado apenas na seguinte matriz:

Destinos

Origens

1 2 ....... m

1 C11 C12 ........ C1m

2 C21 C22 ........ C2m

..... ..... ..... ....... ......

n Cn1 Cn2 ....... Cnm

Os problemas de designações ocorrem quando se tem de distribuir uma determinada

quantidade de itens (homens, máquinas, etc.) em uma quantidade de igual localização

(tarefas, locais, etc.)

A solução é ótima quando é possível fazer a correspondência de cada item com um local,

sem repetir.

n n

MIN Z = Cij Xij , i=1 j=1 sujeito a:

m

Xij = 1 , i = 1,2,..,m e

i=1 n

Xij = 1 j=1,2,..n

j=1 Xij 0 ( i = 1,2,..., m) e ( j = 1, 2,.., n)

33

RESOLUÇÃO MÉTODO HÚNGARO OU DE FLOOD (Minimização) a) Subtrair o menor elemento de cada linha dos elementos restantes desta mesma linha;

b) Subtrair o menor elemento de cada coluna dos elementos restantes desta mesma

coluna; (a ordem destas duas primeiras etapas pode ser invertida.

c) Verificar a otimidade. – testar a otimalidade da designação – traçando um número mínimo

de retas que cubram todos os zeros da tabela. Se o número de retas for igual ao número de

linhas ou colunas, a solução encontrada é a ótima. As retas traçadas horizontal ou

verticalmente, não sendo permitida reta em diagonal.

d) Quando a solução ótima não é alcançada, escolhe-se o menor custo não cobertos pelas

retas e soma-se este mesmo valor aos valores das células que estão na intersecção das

retas. Os valores de custos riscados uma única vez permanecem inalterados.

e) Verificar novamente a otimidade - Se a solução não for ótima repetir o traçado de retas

(item d). Repetir o item (d) até encontrar a solução ótima. Se a solução for ótima – escolhe-

se os zeros na tabela, obedecendo as restrições em que apenas uma correspondência será

atribuída para cada origem.

Exemplo1.

Problema Equilibrado

Quatro construções diferentes A, B, C e D devem ser levantadas em um Campus Universitário

por quatro empreiteiras I, II, III e IV. Como todas as empreiteiras contribuem muito para o fundo

dos alunos, cada uma delas deve construir um edifício. Cada empreiteira fez suas propostas no

tocante as quatro construções que aparecem na tabela abaixo em U$.

34

EI EII EIII EIV

CA 480 480 500 440

CB 560 600 600 680

cC 960 940 900 850

cD 420 440 540 460

O problema consiste em determinar qual construção designar a cada empreiteira

para que o custo da obtenção dos quatro edifícios permaneça mínimo.

CASOS ESPECIAIS

A) Problemas Desequilibrados - quando o número de origens for diferente do número de

destinos, criam-se origens ou destinos fictícios para equilibrar com custos ou tempos

nulos.

B) Soluções Múltiplas ou Soluções Alternativas - quando é possível estabelecer mais de

uma correspondência entre origens e destinos.

C) Problema de Maximização – é considerado um caso especial.

Transforma-se a tabela de maximização para minimização conforme o caso de

transporte, utilizando a regra de Min Z = MAX (-Z).

Exemplo 2 - problema desequilibrado e soluções múltiplas.

Uma fábrica possui quatro locais (L1, L2, L3, L4) para receber três máquinas novas (A,B,C). O

lugar quatro não é permitido para a máquina A, por restrições físicas. O custo de manuseio de

materiais em u.m. por hora, envolvendo cada máquina com as respectivas posições, é dado a

seguir:

L1 L2 L3 L4

Ma 50 10 30 x

Mb 30 10 40 30

Mc 30 30 40 20

35

Sabe-se que não existe nenhum fluxo de material entre as novas máquinas. O objetivo é

designar as novas máquinas aos locais disponíveis de modo a minimizar o custo total de

manuseio de materiais.

Exemplo 3 - problema de maximização.

Um departamento didático necessita designar professores para 5 disciplinas. Existem 5

professores que tem capacidade para lecionar qualquer uma delas, porém possuem diferentes

graus de eficiência, avaliados por experiências anteriores e titulação do professor. O quadro

abaixo mostra esses graus. sabendo-se ainda que o professor D não deve ser indicado para a

disciplina 5, por questões particulares, determine a relação professor - disciplina, que

maximize a eficiência do ensino das referidas disciplinas.

D I S C I P L I N A S

1 2 3 4 5

A 5 10 8 6 6

B 5 6 7 4 8

C 9 5 6 5 5

D 6 8 5 4 X

E 4 10 7 6 7

Exemplo 2 - problema desequilibrado e soluções múltiplas.

Uma fábrica possui quatro locais (L1, L2, L3, L4) para receber três máquinas novas (A,B,C). O

lugar quatro não é permitido para a máquina A, por restrições físicas. O custo de manuseio de

materiais por hora, envolvendo cada máquina com as respectivas posições, é dado a seguir:

3. REDE PERT/CPM

3.1 Introdução

O sistema PERT (Program Evaluation and Review Tecnique), que segundo a ABNT, foi o

termo inicialmente empregado para caracterizar o tempo probabilístico como atributo de cálculo,

foi desenvolvido pela empresa Booz-Allen and Hamilton, para a Marinha dos Estados Unidos no

programa Polaris, onde cerca de 10.000 empresas (entre contratantes e subcontratantes)

36

tinham que ser coordenadas e necessitavam se comunicar numa mesma linguagem. O método

reduziu de cinco para três anos a duração do projeto.

O sistema CPM (Critical Path Method), que, segundo a ABNT, foi o termo inicialmente

empregado por caracterizar o tempo determinístico como atributo de cálculo, foi desenvolvido

pela DUPONT e UNIVAC, na mesma época do PERT ( 1957/1958). A diferença entre os dois é

que no PERT predominam os chamados esquemas probabilísticos e no CPM os esquemas

determinísticos, não havendo maiores vantagens práticas em considerá-los como dois sistemas

diferentes. Hoje em dia, tais sistemas se encontram integrados sob a denominação PERT/CPM.

3.2 Construção da rede

O Modelo PERT/CPM é um conjunto de processos e técnicas para planejamento,

programação e controle de um empreendimento ou operação, tendo como característica

fundamental a indicação, dentre as várias seqüências operacionais, aquela que possui duração

máxima, além de permitir a indicação de graus de prioridade relativos, demonstrando

distribuição de recursos e interdependência entre as várias ações necessárias ao

desenvolvimento do projeto.

A seguir apresenta-se termos e conceitos fundamentais para a construção da rede

PERT/CPM.

3.3 Termos PERT e CPM

PERT - PROGRAM EVALUATION AND REVIEW (Técnicas de Avaliação e Revisão de

Projetos).

CPM - CRITICAL PATH METHOD (Método do Caminho Crítico).

PERT – O tempo de duração das atividades é estimado – probabilístico.

CPM – O tempo de duração das atividades é determinado – determinístico.

Rede PERT/CPM é usado para estabelecer o plano mais adequado para um projeto e

acompanhar o seu andamento eficientemente, quando se conhece a duração de todas as

atividades envolvidas. Setas são usadas para representar cada atividade do plano, formando

uma rede que evidencia o sequenciamento das atividades e suas relações de subordinação. A

37

partir de tal diagrama, torna-se possível analisar os tempos de maneira conjunta, identificar as

atividades críticas e discutir meios para melhorar o plano e ganhar tempo.

3.4 Características principais do PERT/CPM

A) Abordagem de um projeto de um ponto de vista sistêmico:

Fornece uma visão de totalidade do projeto (devido a necessidade de se estabelecer a

interdependência entre as várias ações necessárias ao desenvolvimento do projeto);

Ressalta as entradas (diretrizes de recursos), o processo (o desenvolvimento das ações

de acordo com as relações de correspondência entre elas) e as saídas (resultado final

desejado);

Conduz à montagem de um esquema feedbacck, através do estabelecimento de um

sistema de comunicações, que abasteça e permita à administração decidir, em função

dos dados e informações que convergem de diversos setores, sobre o andamento do

projeto.

B) Dá ênfase aos objetivos

C) Visa à otimização da chamada regra dos 5 Ps (política, performance, prazo, preço e

perigo).

D) É uma ferramenta interdisciplinar e de comunicação.

E) Estabelece claramente as relações entre clientes e fornecedores (internos e externos).

3.5 Conceitos Básicos

PROJETO - Conjunto de ações e processos envolvendo recursos humanos, matéria-prima,

materiais financeiros, entre outros, organizados para a realização de um objetivo.

REDE – É a representação gráfica de um programa no qual se apresenta um seqüência lógica

do planejamento com as suas interdependências, e é composta de eventos e atividades.

ATIVIDADES – É a execução real de uma tarefa, consome tempo e recursos. As atividades são

representadas por setas de linha contínua. Toda seta inicia-se em um nó ou "evento",

38

denominado evento-início de atividade, e termina em outro, chamado de evento-fim de

atividade.

EVENTO - Um evento é um marco no tempo, um ponto de controle que indica o início ou o fim

de uma ou mais atividades. É importante observar que ele não significa a execução de uma

tarefa; portanto não consome tempo ou recursos. Para fins de identificação e referência, cada

evento é identificado por um número inteiro, envolto por um pequeno círculo.

3.6 Representação Gráfica

Representação da Rede - Método Americano. Aij i - evento inicial da atividade Aij j - evento final da atividade Aij O encadeamento das setas indica a seqüência cronológica das atividades.

3.7 Atividades:

3.7.1 Atividade Fantasma ou Fictícia

São as atividades que não tem execução real, a duração é nula e auxiliam o traçado da rede,

permitindo uma representação correta da rede.

São utilizadas em atividades em paralelo para permitir a representação correta.

a) Permite a representação de certas dependências entre as atividades na rede, sem

alterar a ordem tecnológica.

Representação:

a)

i j

ATIVIDADE EVENTO

39

Entre dois eventos sucessivos só pode existir uma única atividade.

b) Supondo que os trechos abaixo pertençam a uma mesma rede

A B

Observe que a atividade B(3,5) dependa da atividade A (1,3), que a atividade D(3,6)

dependa da atividade A(1,3) e C(2,3), para obtermos a representação correta, introduzimos uma

atividade fictícia:

3.7.2 Atividades Precedentes – são as que incidem para dentro de um evento inicial.

- A atividade A precede a atividade B.

3.7.3 Atividades Sucessoras – são as que incidem para fora de um evento final.

- A atividade D sucede a atividade C.

3.7.4 Atividade de Espera – são atividades que embora não representam execução real,

consomem tempo. Ex.: Secagem de uma laje.

A D C

1

2

3 6

1 3 5

1

4

3

5

A B

D C

INCORRETA CORRETA

40

3.7.5 Atividades em série – são realizadas uma após a outra são dependentes, sem a

realização da atividade A (1,2) não poderá iniciar a atividade B (2,3).

A B C 3.7.6 Atividades em paralelo – são as atividades que podem ser realizadas simultaneamente. A B C

3.8 Cuidados no traçado da rede

Pode-se construir a rede a partir de um evento da esquerda para a direita. Cada

atividade vai ter um evento inicial e um evento final. Do evento inicial partem todas as atividades

iniciais da rede e no evento final insere nele todas as atividades finais do projeto. A rede vai

possuir um único evento inicial e único evento final. Cuidados:

a) Não permitir circuitos.

b) Entre eventos sucessivos só pode existir uma única atividade.

c) A rede PERT/CPM, tem um único evento inicial e um único evento final.

d) A ordem de numeração dos eventos é ordem crescente do evento inicial ao final da rede.

e) O número do evento - início de uma atividade deve ser sempre menor que o número do

evento-fim.

3.9 Metodologia de Utilização

3.9.1 - Fase do Planejamento:

Determinação das atividades que compreendem o projeto

4 1 2 3

1

2

3

4

41

a - Atividades a serem executadas;

b - Ordem tecnológica;

c - Duração das atividades.

3.9.2 - Fase do traçado da rede:

Relacionar as atividades, suas dependências e suas durações.

3.9.3 - Fase do cálculo da rede:

a - Determinação do tempo de execução do projeto;

b - Determinação dos tempos operacionais das atividades;

c - Determinação das folgas;

d - Determinação do caminho critico.

3. 10 EXEMPLO 1

Atividades para organizar uma conferência.

Para o programa de atividades, determinar:

a) Rede PERT/CPM.

b) Caminho critico.

Atividade

Simb

Atividade

Precedente

Atividade

Sucessora

Duração

(dias)

Escolher a cidade A - B,C 1,0

Escolher o auditório B A G,F 3,5

Escolher patrocinadores C A G,F 2,0

Programar conferências D - E 4,0

Recolher conferencistas E D J,H 6,0

Remeter convites F B,C I 10,0

Preparar local e divulgar G B,C H 10,0

Preparar material H E,G K 2,0

Selecionar participantes I F K 3,0

Transporte conferencistas J E K 5,0

Recepção conferencistas K H,I,J - 1,5

42

CÃLCULOS 3.10.1 CÁLCULOS DA REDE a) Datas:

A data mais cedo de um evento é o tempo necessário para que o evento seja atingido,

considerando que não haja atrasos imprevistos nas atividades que o precedem. Ao evento

inicial atribui-se o valor zero (0) e para os demais eventos usamos a fórmula:

DCj = Max (DCi + Dij)

Onde:

DC = data mais cedo

i = evento inicial da atividade

j = evento final da atividade

Dij = duração da atividade

A data mais tarde de um evento é a data limite, restrições de um evento para que um

evento seja otimizado. É a última data que o evento será concluído, e é dado por:

DTi = Min (DTj - Dij)

Este cálculo é realizado no sentido inverso da rede – do evento final da rede para o evento inicial.

b) Os Tempos Operacionais das Atividades:

E J D H K G A B F I C

1 2

3 4

6

7

5

8

9 10

43

O tempo de início mais cedo (TIC) de uma atividade é o valor correspondente a data

mais cedo do evento inicial da referida atividade.

TICij = Dci

O tempo de término mais cedo (TTC) de uma atividade é a soma da data mais cedo

do evento inicial da referida atividade mais a duração da atividade.

TTCij = TICij + Dij ou TTCij = DCi + Dij

O tempo de término mais tarde (TTT) de uma atividade é a valor correspondente a

data mais tarde do evento final da referida atividade.

TTTij = DTj

O tempo de início mais tarde (TIT) de uma atividade é a data mais tarde do evento

final da referida atividade menos a duração da atividade.

TIT ij = TTTij – Dij ou TITij = DTij – Dij

c) As folgas Folga do evento (FE) é o intervalo de tempo existente entre a data mais cedo e a data mais

tarde

FEi = DTi – DCi

Folga total de uma atividade (FT) é o tempo máximo que o início de uma atividade pode ser

retardado sem que altere o tempo total de execução do projeto.

FTij = TTTij - TICij – Dij ou FTij = DTj - DCi – Dij

Folga livrre de uma atividade (FL) é o tempo que o início de uma atividade pode ser retardada

sem interferir no início de qualquer atividade sucessora.

FLij = DCj - DCi – Dij

Para o exemplo 1, calcular os tempos operacionais e as folgas das atividades.

44

SIMB. DUR. TICij TTCij TITij TTTij FTij FLij

A 1,0 0,0 1,0 0,0 1,0 0,0 0,0

B 3,5 1,0 4,5 1,0 4,5 0,0 0,0

C 2,0 1,0 3,0 2,5 4,5 1,5 0,0

D 4,0 0,0 4,0 2,5 6,5 2,5 0,0

E 6,0 4,0 10,0 6,5 12,5 2,5 0,0

F 10,0 4,5 14,5 4,5 14,5 0,0 0,0

G 10,0 4,5 14,5 5,5 15,5 1,0 0,0

H 2,0 14,5 16,5 15,5 17,5 1,0 1,0

I 2,0 14,5 17,5 14,5 17,5 0,0 0,0

J 5,0 10,0 15,0 12,5 17,5 2,5 2,5

K 1,5 17,5 16,0 17,5 19,0 0,0 0,0

d) Caminho Critico (CC)

É todo o caminho de maior duração em um projeto. Nesse caminho os eventos e

atividades são críticas. As folgas dessas atividades críticas são nulas.

A data mais cedo - do evento final define a duração do projeto e a duração do caminho crítico.

Não existem folgas nos eventos do caminho crítico e folga de atividades, portanto qualquer

atraso em uma de suas atividades pode acarretar um atraso de mesmo valor na atividade.

Desta forma justifica-se a determinação do CC da rede, onde se exerce mais controle e

concentração de recursos para evitar atrasos ou até mesmo acelerarmos um projeto.

3.10.2 CÁLCULOS PROBABILÍSTICOS

No CPM admite-se que a estimativa de duração seja feita com uma precisão aceitável,

correspondendo este valor à duração mais provável e, portanto, com um grau de incerteza

desprezível, correspondendo ao chamado esquema determinístico. Mas para o sistema PERT

considera-se difícil uma precisão aceitável para a duração de uma atividade, adotando-se,

mais de uma estimativa de tempo para cada atividade que nos permita deduzir a probabilidade

de ocorrência de datas, corresponde ao chamado esquema probabilístico.

a) Tempo esperado de execução de uma atividade (te)

São dadas três estimativas de tempo para a duração de cada atividade. As quais

seguem aproximadamente a distribuição BETA de probabilidades. Estas são :

45

TEMPO OTIMISTA (a ) É o menor tempo no qual à atividade pode ser executada,

considerando que ocorra nas melhores condições possíveis.

TEMTO MAIS PROVÃVEL (m) É o tempo normal e usual de ocorrência da atividade (médio ou regular).

TEMPO PESSIMISTA (b) É o maior tempo no qual a atividade pode ser executada

considerando que ocorra as piores condições possíveis.

Uma hipótese que se faz é a de que os tempos de atividades são distribuídos segundo

uma distribuição beta, onde a estimativa “mais provável”, (m) é a moda e a distribuição pode

ser inclinada para direita, para a esquerda ou centrada, dependendo da relação entre a, m, e b.

Pela distribuição BETA têm-se:

Onde a variância é dada por:

A Variância total de um projeto é a soma das variâncias do caminho crítico,

representada por: (T2).

OBS.: Mede a variabilidade das estimativas. Quanto menor as variâncias mais precisas serão

as estimativas.

b) Tempo total esperado do projeto (Te)

É o somat6rio dos tempos esperados das atividades do Caminho Critico (*)

a + 4m + b te = 6

T² = ²*

b-a 2

Vx = 6

46

V

c) Desvio padrão total do projeto

É a raiz quadrada da variância total do projeto.

"

PROBABILIDADE DE REALIZAÇÃO DE UM EVENTO NUMA DATA PRÉ-FIXADA

Usa-se a Distribuição Normal. ,

Calcula-se o fator de probabilidade K. Entrando com K em uma tabela da distribuição.

normal reduzida teremos a probabilidade procurada.

NOTA: Se houver mais de um caminho com a maior duração toma-se aquele que tiver MAIOR

VARIÂNCIA.

3.11 CRONOGRAMA PERT/CPM

Devem ser consideradas as datas brutas das atividades, pois, os tempos de duração das

atividades são considerados como datas líquidas, onde os domingos e feriados não são

computados.

Folga total da atividade

Primeira chance de realizar a atividade (TTC)

Última chance de realizar a atividade

Caminho crítico da Atividade

Te = te*

T - T

K = T

47

Exemplo 2.

Determinar :

a) Rede PERT/CPM.

b) Caminho Crítico.

c) Desvio Padrão total do projeto .

d) Probabilidade de ocorrência de 50 T 49.

ATV. ATV. PREC. ATV. SUC. te (horas) t²

A - D 10 0,12

B - E 4 0,44

C - E,F 5 0,22

D A I 11 0,18

E B,C G,H 6 0,10

F C G,H 7 0,75

G E,F J 9 0,62

H E,F K 11 ,080

I D M 15 1,00

J G L 13 1,45

K H L 14 0,90

L J,K - 12 0,42

M I - 12 0,13

BIBLIOGRAFIA ANDRADE, Eduardo L. Introdução a Pesquisa Operacional. Ed. LTC. Rio de Janeiro – 2004. BELCHIOR, P. G. O. Técnicas de Avaliação e Revisão de Projetos. Tecnoprint Gráfica S. A. São Paulo. 1974.

48

BOITEUX, Colbert D. PERT/CPM/ROY e outras técnicas de Programação e Livros Controle Técnicos e Científicos. RJ, 1985. BRONSON, Richard. Pesquisa Operacional. Editora . McGraw-Hill,1978. CUKIERMAN, Zigmundo S. O Modelo PERT CPM aplicado a projetos. Ed. Qualitymark. RJ,1993. ELLENRIEDER, Alberto. Programação Linear. Editora Almeida, 1993. EPPEN, G. D. e GOULD, F.J. Introductory Management Science. University of Chicago. Prentice-Hall. New Jersey. 1994. FITZSMMONS, A. J e FITZSMMONS M. J. Administração de serviços. 2ª Edição. Porto Alegre. 2005. MIRSHAWKA, Victor. Pesquisa Operacional. Vol. I. Livraria Nobel S. A.., 1979. MOREIRA, Daniel Augusto. Pesquisa Operacional: Curso Introdutório.Thomson, 2007. PUCCINI, Abelardo. Introdução a Programação Linear. Editora Técnica S.A.,1975. SHAMBLIN, James e G.T. Stevens Jr. Pesquisa Operacional - Uma Abordagem Básica. Editora Atlas S.A.,1979.

49

ANEXOS

ANEXOS 1 PROGRAMAÇÃO LINEAR - LISTA DE EXERCÍCIOS 1

1. Um fabricante produz dois tipos de liga (liga tipo A e liga tipo B), a partir de três tipos de

matéria-prima: cobre, zinco e chumbo. A tabela mostra as composições das ligas, seus preços

e as limitações na disponibilidade da matéria-prima.

Atividades Itens

Liga A Liga B

Matéria-prima disponível

Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15

Preço Unitário $ 30 $ 50

O fabricante deseja maximizar a receita bruta. Formule como programação linear.

2. Uma pequena empresa fabrica dois produtos P1 e P2, que passa por três Deptos. de

fabricação conforme mostram as tabelas abaixo. Considerando que a produção é vendida em

sua totalidade, com lucro unitário para P1 de 10 dólares e de P2 15 dólares. Determine:

a) Quanto fabricar de cada produto para se fazer o melhor uso possível das instalações

produtivas?

b) Quais os Deptos que possuem folga de tempo de fabricação?

c) Qual o lucro máximo encontrado?

Tabela 1- Exigências de tipo de fabricação para se produzir uma unidade do produto por

Depto.

PRODUTOS

TEMPO DE FABRICAÇÃO EM HORAS

DEPTO. A DEPTO. B DEPTO. C

P1 2 1 4

P2 2 2 2

50

Tabela 2 - Limites de capacidade de fabricação

DEPTOS.

HOMENS/ HORA/SEMANA DISPONÍVEL

DEPTO. A 160

DEPTO. B 120

DEPTO. C 280

3. Uma loja de equipamentos de som vende os equipamentos com descontos, está planejando

uma liquidação especial. A loja tem 400 m2 de espaço disponível para expor as ofertas da

semana: um receptor modelo X e uma série de alto-falantes modelo Y. Cada receptor custa

$100 no atacado, necessita de 2m2 de espaço, e será vendido por $150. O custo de um par de

alto-falantes no atacado é $50; o par necessita de 4 m2 para ser exposto, e será vendido a $

70. O orçamento para estocar os equipamentos é de $ 8.000. O potencial de vendas para o

receptor é de no máximo 60 unidades; entretanto o preço dos alto-falantes parece atrair uma

demanda ilimitada. O gerente da loja, desejando obter o maior lucro possível, precisa decidir

quantos receptores e quantos alto-falantes devem comprar e estocar.

4. Uma pequena fábrica produz dois tipos de peças para máquinas agrícolas. A fábrica compra

unidades fundidas, que são torneadas, furadas e retificadas. Os dados relativos a produção

estão na tabela:

Peça A Peça B

Capacidade de Torneamento 25 unid./hora ou 40 unid./hora

Capacidade de Furação 28 unid./hora ou 35 unid./hora

Capacidade de Retificação 35 unid./hora ou 25 unid./hora

As unidades para A e B custam U$ 20 e 30 cada. O preço de venda é de U$ 60 e U$ 70

respectivamente. As três máquinas tem custos operacionais de U$ 200 ,U$140 e U$175 por

hora, respectivamente.

Determinar quantas unidades devem ser produzidas de cada peça, a fim de maximizar o

lucro, determine também as folgas existentes nas máquinas utilizadas.

51

5.Um agricultor pode produzir bois para abate e ovelhas para lã. A produção de um boi por ano

requer a existência de um rebanho bovino que ocupa 11 has de pastagens e que exige uma

hora de trabalho por dia. A produção de uma tonelada de lã por ano requer a existência de um

rebanho ovino que ocupa 60 has de pastagens e que exige duas horas de trabalho por dia. O

produtor prevê lucros de $8 por boi e $12 por tonelada de lã. Seus recursos produtivos são

limitados a 500 has. de pastagens e, dado que seus dois filhos o auxiliam no trabalho, dispõe

de 24 horas de trabalho diárias. O produtor desejaria seguir um plano que maximizasse seus

lucros totais, sabendo quantos bois e quantas toneladas de lã deverão produzir por ano.

6. As especificações para construção de uma estrada determinam uma espessura de

revestimento de 12 a 48 cm. O revestimento pode ser feito com concreto e/ou asfalto.

As especificações também requerem uma resistência final de no mínimo 9 cm de concreto.

Sabe-se que 3 cm de asfalto equivalem a resistência de um cm de concreto. Sabe-se também

que cada cm de espessura custa 1000 u.m. e 350 u.m. para concreto e asfalto,

respectivamente. Se o objetivo é minimizar:

a) Quais as espessuras de asfalto e concreto a adotar?

7. Uma refinaria fabrica dois tipos de gasolina (1 e 2) a partir de dois tipos de petróleo bruto (A

e B). Os custos dos preços de vendas e requisitos para fabricar a gasolina são:

Petróleo Máx.Quant.Disp. Custo Unit. Gasol. Mín. % "A"requerida Preço de Venda A 100 6 dólares 1 60 8dól./unid. B 200 3 dólares 2 30 5dól./unid. Montar o modelo matemático do problema proposto. 8. A empresa Dalai-Lama deseja planejar a produção de incensos. Os incensos requerem dois

tipos de recursos: mão-de-obra e materiais. A empresa fabrica três tipos de incenso, cada qual

com diferentes necessidades de mão-de-obra e materiais, conforme tabela abaixo:

52

MODELOS

A B C

Mão-de-obra (horas por unidade) 7 3 6

Materiais (g/unidade produzida) 4 4 5

Lucro ($ / unidade) 4 2 3

A disponibilidade de materiais é de 200 g/dia. A mão-de-obra disponível por dia é de 150 horas.

Formule um problema de programação linear para determinar quanto deve ser produzido de

cada tipo de incenso, tal que o lucro total seja maximizado.

9. Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade

de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a

possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o

departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um

lucro de $ 120,00 por unidade e P2 $ 150,00 por unidade. O departamento de produção

forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.

PRODUTO Recurso R1/unid Recurso R2/unid Recurso R3/unid

P1 2 3 5

P2 4 2 3

Disponib. de recursos/mês

100 90 120

Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do

sistema.

10. Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades

produtivas:

A (Arrendamento) – Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de

açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra R$

300,00 por alqueire por ano.

P(Pecuária) - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens

requer adubação (100 Kg/Alq) e irrigação (100.000L. de água/Alq) por ano. O lucro estimado

nessa atividade é de R$ 400,00 por alqueire por ano.

53

S (Plantio de soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 Kg

por alqueire de adubos e 200.000 L. de água/ Alq. Para irrigação por ano.

Disponibilidade de recurso por ano:

12.750.000 L de água.

14.000 kg de adubo

100 alqueires de terra.

Quantos alqueires deverão ser destinados a cada atividade para proporcionar o melhor retorno?

Construa o modelo de decisão.

11. Certo fabricante de combustível para avião vende dois tipos de combustível, A e B. O

combustível do tipo A possui 25% de gasolina tipo 1, 25% de gasolina tipo 2 e 50% de gasolina

tipo 3. O combustível do tipo B tem 50% de gasolina tipo 2 e 50% de gasolina tipo 3. Há

disponível para a produção de 500 galões-hora de gasolina tipo 1 e 200 galões -hora da

gasolina tipo 2 e tipo 3. Os custos são de $30 por galão do tipo 1, $60 por galão do tipo 2 e $50

por galão tipo-3. O preço de venda do combustível tipo A é de $75 por galão e do tipo B é de

$90 por galão.

a) Quanto se deve produzir de cada combustível para maximizar o lucro?

12. A fábrica de aço DKS tem duas instalações A e B, cada uma produzindo dois tipos de aço

CA-50 e CA-60. Nenhuma das instalações pode funcionar mais do que 18 horas por dia. Na

instalação A leva-se duas horas para produzir uma tonelada do aço CA-50 e 1 hora para

produzir uma tonelada do aço CA-60. Na instalação B, leva-se uma hora para produzir uma

tonelada do aço CA-50 e três horas para cada tonelada do aço CA-60. A usina tem que produzir

diariamente pelo menos 14 toneladas do CA-50, e 16 toneladas do aço CA-60. Na instalação

A, o custo por tonelada do aço CA-50 é de U$ 3500 e de U$ 3000 para o aço CA-60. Na

instalação B, o custo por tonelada é de U$ 2500 para qualquer tipo de aço. Como deve ser

organizada a produção para que o custo da quantidade necessária de cada tipo de aço seja o

menor possível?

13. Uma refinaria produz gasolina e óleo combustível. Sua matéria-prima é o petróleo, que

pode ser adquirido em três países diferentes, A, B e C. A partir de um barril de petróleo do País

A, que custa U$ 30.000 a refinaria obtém 20 litros de gasolina e 40 kg de óleo combustível. A

partir de um barril de petróleo do País B, que custa U$ 28.000 a refinaria obtém l7 litros de

54

gasolina e 43 kg de óleo combustível. A partir de um barril de petróleo do País C, que custa U$

34.000 a refinaria obtém 25 litros de gasolina e 35 kg de óleo combustível. A gerência da

refinaria assinou contrato para a entrega de pelo menos 200.000 litros de gasolina e pelo

menos 380.000 Kg de óleo combustível por semana, nos próximos dois meses. Por problemas

de transporte e armazenamento fica limitada em 70.000 barris a quantidade a ser comprada

semanalmente. Que quantidade de barris deve ser adquirida de cada País de modo que a

refinaria possa cumprir seus contratos com o menor custo possível?

14. Vamos nos propor a constituir uma alimentação para gado. Esta alimentação deve conter

obrigatoriamente quatro componentes nutritivos: A, B, C e D. A indústria alimentícia produz dois

tipos de alimentos, M e N que contém os componentes exigidos. O Kg de alimento M contém:

100g de A, 100g de C e 200g de D, enquanto o alimento N contém: 100g de B, 200g de C e

100g de D.

Um animal deve consumir no mínimo diariamente: 0,4Kg de A; 0,6Kg de B; 2 Kg de C e 1,7Kg

de D. O alimento M custa U$ 100/Kg e o N 400/kg. Qual deverá ser a quantidade de M e N

utilizada diariamente da maneira a satisfazer alimentação exigida dentro de um custo mínimo?

15. O nutricionista do Hospital está preparando um Milk-shake especial como tratamento para

pacientes da pediatria que se recuperam de cirurgia. O nutricionista quer garantir que o nível de

colesterol não irá exceder 175 unidades e que o nível de gordura saturada não irá exceder 150

unidades. O conteúdo de proteínas na refeição deveria ser de pelo menos 200 unidades, e as

calorias deveriam exceder 100 unidades. O nutricionista selecionou 3 possíveis ingredientes:

um pudim à base de ovos (quindim), sorvete e um xarope caramelado. Uma unidade de pudim

custa 15 centavos e contribui com 50 unidades de colesterol sem gordura, 70 unidades de

proteínas e 30 calorias. Uma unidade de sorvete custa 25 centavos e contribui com 150

unidades de colesterol, 100 unidades de gordura, 10 de proteína e 80 calorias. Uma unidade do

xarope custa 10 centavos e contribui com 90 unidades de colesterol, 50 de gordura, não possui

proteínas, e 200 calorias. Quantas unidades de cada ingrediente devem ser incluídas no Milk-

shake se desejamos minimizar o custo?

16. Um fazendeiro deve decidir qual a quantidade de vários tipos de grão que deve comprar de

forma que sua criação receba o mínimo requerido dos nutrientes abaixo relacionados, ao menor

custo possível.

As informações são as seguintes:

55

Nutrientes Uma unidade monetária de Quantidade

Mínima do nutriente Grão 1 Grão 2 Grão 3 Grão 4

Nutriente 1 4 5 6 3 1.000

Nutriente 2 2 1 0 3 850

Nutriente 3 1 2 3 1 700

Nutriente 4 2 3 1 2 1.320

Nutriente 5 0 2 1 1 550

Custo/ u.m. 0,35 0,42 0,45 0,37

Formule o problema de programação linear para determinar a mistura de grãos que minimiza os custos.

56

ANEXOS 2

LISTA DE EXERCÍCIOS DE TRANSPORTE 1. Uma vinícola do sul de Santa Catarina possui três fábricas e três armazéns nos quais os

vinhos são envelhecidos. Como as fábricas e os armazéns estão localizados em diferentes

locais do estado, a empresa deseja saber quantos tonéis de vinho deve enviar de cada fábrica

para cada armazém de forma a minimizar o seu custo de transporte. As capacidades das

fábricas e dos armazéns (em número de tonéis), bem como custos de transporte por tonel,

estão explicitados na tabela a seguir.

Armazéns Capacidade das fábricas

Fábricas

A1 A2 A3

F1 20 16 24 300

F2 10 10 8 500

F3 12 18 10 200

Capacidade dos armazéns

200 400 300

2. Considerando o esquema que mostra as estradas existentes entre as fábricas e os

consumidores de um determinado produto, as capacidades de produção, os pedidos e os

custos unitários. Determine o melhor esquema de distribuição para minimizar os custos. A

fábrica A pode trabalhar em horário-extra aumentando sua capacidade em 10.000 unidades,

porém com custos dobrados.

20.000 21.000 6/Unid. 5/Unid. 18.000 12/Unid 2/Unid. 7/Unid 12.800 6/Unid 34.500 10/Unid. 35.000

Fabrica A

Fábrica C Fábrica B

Consumidor 1

Consumidor 3

Consumidor 2

57

3. Uma determinada empresa de transporte terrestre compra ovos nas granjas A, B, C para

vendê-los nas cidades 1, 2 e 3. São dados:

a) Preço da dúzia de ovos (u.m.) b) Disponibilidade de ovos (dúzia) Granja A: 40 Cidade 1: 80 Granja A: 40

Granja B: 50 Cidade 2: 100 Granja B: 30

Granja C: 60 Cidade 3: 120 Granja C: 20

c) Consumo nas cidades (dúzias):

Cidade 1: 30

Cidade 2: 40

Cidade 3: 20

Custo de Transporte ( u.m./dúzia)

CIDADES

GRANJAS 1 2 3

A 10 8 9

B 12 6 5

C 2 X 4

Não existe estrada ligando a granja C a cidade 2. Quanto a empresa deve transportar de cada

granja para cada cidade para maximizar o lucro total? Qual o lucro máximo?

4. Quatro vendedores de gasolina, A, B, C e D necessitam respectivamente de 50.000, 40.000,

60.000 e 40.000 litros mensalmente. É possível receber gasolina de três locais I, II, e III que

dispõe respectivamente de 80.000, 100.000 e 50.000 litros. O lucro de envio de 1.000 litros,

são dados na tabela abaixo:

58

Vendedores

Locais

I II III

A 70 50 80

B 60 80 50

C 60 60 80

D 60 70 60

Determinar as quantidades de gasolinas que devem ser enviadas de cada localidade para cada

vendedor, de tal forma que as necessidades sejam satisfatórias e o lucro seja máximo.

5. Um grupo empresarial composto por duas fábricas A e B produzem determinados produtos

nas condições abaixo. Abastece 3 consumidores que necessitam em um determinado período

de 220, 250 e 200 unidades do produto, respectivamente, C1, C2 e C3. Os custos de

transporte, custos de produção e capacidade de cada fábrica, para esse período são dados

abaixo:

Fábricas Custo Unitário

de Produção

Capacidade de

Produção

Custo Adicional

p/hora extra

Capacidade

Hora Extra

A 30 300 10 130

B 35 200 10 100

Fábrica

CONSUMIDORES

C1 C2 C3

Fáb. A 17 22 20

Fáb. B 15 10 12

a) Determinar qual deverá ser o destino da produção de cada fábrica com o objetivo de

minimizar os custos totais envolvidos.

b) O custo total mínimo.

c) Quantas soluções ótimas tem o problema? Justifique sua resposta.

59

6. Uma empresa decidiu produzir 3 novos produtos devido a 5 de suas filiais estarem

com a capacidade de produção ociosa. O custo unitário de fabricação do 1º produto

será de R$ 26.00, R$ 28.00, R$ 24.00, R$ 30,00 e R$ 27.00, nas filiais 1, 2, 3, 4, e 5

respectivamente. O custo do 2º produto será de R$ 29.00, R$ 33.00, R$ 28.00, R$

32.00 e R$ 31.00 nas filiais 1, 2, 3, 4, e 5 respectivamente. O custo do terceiro produto

será de R$ 49,00, R$ 43,00 e R$ 39,00 nas filiais 1, 2, e 3, respectivamente, sendo que

as filiais 4 e 5 não possuem equipamentos para produção destes produtos. O

departamento de vendas indicou que 300, 200, e 400 unidades dos produtos 1, 2 e 3

devem ser produzidos diariamente.

As filiais 1, 2, 3, 4 e 5 tem capacidade ociosa correspondente a 200, 400, 200,

500 e 300 unidades diárias. A direção deseja saber como distribuir a fabricação dos

novos produtos nas diversas filiais, de maneira a minimizar o custo total da produção.

60

ANEXOS 3 LISTA DE EXERCÍCIOS DE DESIGNAÇÕES

1. Quatro locais L1, L2, L3, L4 exigem certa peça sobressalente. As quatro peças

sobressalentes estão estocadas em quatro armazéns diferentes. Se a quilometragem entre os

armazéns e os locais for a que aparece no quadro seguinte, determine o programa de

expedição de quilometragem mínima.

LOCAIS

Consumidor 1 Consumidor 2 Consumidor 3 Consumirdor 4

Armazém 1 230 200 210 240

Armazém 2 190 210 200 200

Armazém 3 200 180 240 220

Armazém 4 220 180 210 230

2. O diretor de uma empresa precisa enviar 4 gerentes para 4 lojas localizadas em cidades

vizinhas. A seleção será realizada através da eficiência obtida pelos vendedores em cada

cidade. O diretor atribuía a nota conforme as vendas realizadas por cada um deles, conforme

tabela abaixo.

C1 C2 C3 C4

A 8 9 7 5

B 7 7 8 3

C 6 8 5 7

D 5 5 6 8

Se o objetivo é maximizar as vendas,qual a cidade atribuída a cada vendedor? 3. Uma companhia de transporte tem cinco caminhões disponíveis localizados nas cidades A,

B, C, D e E. Necessita-se de um caminhão nas cidades 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A quilometragem entre

as cidades aparece na tabela abaixo. Qual a designação dos caminhões que minimiza a

quilometragem percorrida?

Apresente todas as alternativas.

61

CAMINHÕES PARA AS CIDADES

DAS CIDADES C1 C2 C3 C4 C5 C6

A 20 15 26 40 32 12

B 15 32 46 26 28 20

C 18 15 2 12 6 14

D 8 24 12 22 22 20

E 12 20 18 10 22 15

4. Certo gerente esta diante do problema de ter que designar quatro métodos novos para três

instituições produtoras. A designação dos novos métodos aumentara os lucros conforme as

quantidades mostradas. Se apenas um método puder ser atribuído a cada instituição produtora,

determine a atribuição ótima.

Lucros em U$ (000 omitidos).

MÉTODO

INSTITUIÇÃO PRODUTORA

1 2 3

A 12 9 13,5

B 10 11 12,5

C 11,5 10 10

D 13 12 10,5

5. Uma empresa de construção civil tem possibilidade de executar 4 obras num determinado

período, para o qual tem disponível 5 grupos de trabalho. Os custos por m², de cada obra para

cada grupo são:

Obra 1 Obra 2 Obra 3 Obra 4

Grupo A 15,000 17.000 12.000 16.000

Grupo B 16.000 16.000 14.000 18.000

Grupo C 18.000 20.000 15.000 16.000

Grupo D 15.000 16.000 15.000 18.000

Grupo E 20.000 15.000 19.000 14.000

Custo por metro quadrado (R$/m²)

A dimensão de cada obra, bem como o preço a ser cobrado pela empresa pelo m² construído

são dados na tabela.

62

Obra 1 Obra 2 Obra 3 Obra 4

Dimensão(m²) 100 200 150 180

Preço de venda R$ /m²

25.000 27.000 20.000 28.000

Sabendo-se que o grupo C não pode ser designado para obra 4, por haver desentendimentos

entre as partes, determinar qual grupo deverá executar cada obra a fim de que a empresa

maximize seus lucros por m²?

Qual o lucro total máximo obtido pela venda das 4 obras?

6. Uma indústria possui fábricas em 4 cidades diferentes. Os produtos fabricados são entregues

em 4 locais. Baseando-se na tabela de distâncias entre as cidades e os locais, determine:

A) A designação que torna a distância mínima.

B) A distância mínima percorrida.

C) Quantas soluções têm o problema? Justifique.

TABELA EM KM.

L1 L2 L3 L4

Fa 150 300 350 300

Fb 150 350 300 250

Fc 150 200 250 350

Fd 350 250 300 150

63

ANEXO 4 - Lista de exercícios – Programação Linear

1. Uma indústria produz três produtos A, B, e C em 4 operações: Estamparia, Montagem,

Solda e Pintura.

O tempo de processamento em horas, requerido por unidade de produto, nas 4 secções

são:

Secções Produto A Produto B Produto C Capacidades mínimas mensais

Estamparia 10 10 10 60.000 horas

Montagem 15 10 5 60.000 horas

Solda 8 5 3 40.000 horas

Pintura 10 8 8 80.000 horas

Os produtos A, B e C custam respectivamente R$ 10,00; R$ 30,00 e R$ 20,00 por unidade

respectivamente.

a) Quanto deve ser produzido mensalmente de cada produto para minimizar o custo de

produção?

b) Quais as secções que não apresentam folga de recurso? Apresente essas folgas.

2. A firma Rápida tem como diretores dois Engenheiros, Carlos e Matias, os quais, têm

métodos bastante diferentes para resolverem problemas. A firma produz, parafusos, porcas e

arruelas. O lucro dos parafusos é de R$ 3,00 por unidade; porcas de R$ 2,00 e arruelas e R$

2,50. A primeira vista, parece que o mais lógico seja produzir tão somente parafusos, a firma

sofre certas restrições na produção, o que torna mais proveitoso produzir uma linha mais

variada.

Recursos Parafusos Porcas Arruelas Quantidade Disponível

Horas de MO. 6 2 2 12

Máquina A 2 0 1 2

Máquina B 2 2 2 4

Carlos e Matias têm discutido sobre as quantidades ideais a serem produzidas. Carlos estimou

que um parafusos e quatro porcas é o que deveria ser produzido. Matias não quis acreditar, e

quer saber:

a) Se a solução de Carlos é a melhor? Se não qual seria?

b) Quantas horas ociosas têm a máquina A?

64

3. Dos muitos produtos produzidos pela empresa Flecha S.A, apenas os produtos P1, P2, P3 e

P4 passam pelas secções S1, S2, S3 e S4.

As unidades de produtos por hora e o lucro em R$ são dados da tabela 1.

Tabela 1. PRODUTO

SECÇÕES

S1 S2 S3 S4 Lucro/Unitário

P1 0,5 2,0 0,5 3,0 R$ 8,00

P2 1,0 1,0 0,5 1,0 R$ 9,00

P3 1,0 1,0 1,0 2,0 R$ 7,00

P4 0,5 1,0 1,0 3,0 R$ 6,00

As capacidades disponíveis em horas nas secções e as necessidades mínimas de vendas

dos produtos são:

Tabela 2. SECÇÕES CAPACIDADE HORAS VENDAS MÍNIMAS

S1 1.800 P1 100

S2 2.800 P2 600

S3 3.000 P3 500

S4 6.000 P4 400

Determina:

a) A quantidade dos produtos P1, P2, P3 e P4 que devem ser produzidos para que o lucro seja

máximo e qual esse lucro máximo?

b) Quais as secções que possuem folga e qual essa folga?

4. Uma fábrica pode produzir sapatos feminino, infantis e masculinos. A produção de uma

dezena de pares de calçados femininos requer 2 horas de serviço de montagem e 8 horas de

serviço no setor de acabamento. A produção de uma dezena de pares de calçados infantis

requer uma hora de serviço no setor de montagem e 6 horas de serviço no setor de

acabamento. A produção de uma dezena de pares de calçados masculinos requer 2 horas de

serviço no setor de montagem e 4 horas de serviço no setor de acabamento.

Os ganhos líquidos por dezena de pares são de: R$10,00; R$ 8,00 e R$ 10,00, para os

calçados feminino, infantis e masculinos, respectivamente. Em cada turno de trabalho a fábrica

dispõe de 300 horas de serviço no setor de montagem e 720 horas de serviço no setor de

acabamento. No setor de empacotamento a capacidade é de 320 dezenas de pares de

calçados, englobando os três tipos.

Determine o plano de produção que maximiza os ganhos líquidos totais.

65

5. Uma empresa fabrica 3 produtos P1, P2, e P3 a partir de 3 materiais M1, M2 e M3. Os 3

produtos usam os materiais de acordo com a seguinte tabela:

Produto M1 M2 M3

P1 2 0 3

P2 3 2 2

P3 0 5 4

As disponibilidades dos 3 materiais são: M1 =16; M2 = 25; M3 = 18. Enquanto que os lucros

unitários são R$13,00; R$22,00 e R$18,00; para P1, P2 e P3, respectivamente.

O departamento de vendas informa que a venda máxima para o produto P2 será de 8

unidades, e que a venda do produto P1 mais o dobro da venda do produto P2 deverá atingir

no mínimo 8 unidades.

Determinar:

a) Quais os produtos que devem ser produzidos e em que quantidades para que o lucro seja

máximo?

b) Quais os materiais que estão sendo adquirido em excesso de acordo com a solução ótima?

Especifique o excesso de cada recurso.

6. A Procloro S. A precisa produzir exatamente 10.000 de uma mistura especial no decorrer de

um mês. Esta mistura consiste dos ingredientes A, B e C que custam respectivamente, R$

8.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 11.000,00 por tonelada. Sabe-se ainda que a mistura deve ter não

mais que 3.000 toneladas de A e ao menos 1.500 toneladas e 2.000 toneladas respectivamente

de B e C.

Quantas toneladas dos ingredientes A, B e C devem ser usados para obter a

produção de 10.000 toneladas com o menor custo possível?

66

ANEXO 5

LISTA DE EXERCÍCIOS PERT/CPM

1. Dado o programa de atividades, determine: a) Montar a rede PERT/CPM. b) Qual é o caminho crítico? c) Qual a atividade que possui o maior grau de certeza na estimativa de seu tempo? d) Quais as atividades que podem sofrer atraso sem interferir no tempo total do projeto?

e) Probabilidade de ocorrência de 50 T.

ATV. ATV. PREC ATV.SUCESS. te (dias) ²

A _ D 10 0,12

B _ E 4 0,44

C - E,F 5 O,22

D A I 11 0,18

E B,C G,H 6 0,10

F C G,H 7 0,75

G E,F J 9 0,62

H E,F K 11 0,80

I D M 15 1,00

J G L 13 1,45

K H L 14 0,90

L J,K - 12 0,42

M I - 12 0,13

2. Para o programa de atividades, determinar:

a) A rede PERT/CPM.

b) O caminho crítico.

c) Qual o tempo total da execução do projeto?

d) Qual o desvio padrão total do projeto?

ATIV. ATIV. PREC. ATIV. SUCESS. te ²

A - D 3 0,12

B - D,E 2 0,23

C - F,G 5 0,23

D A,B I 7 0,50

E B H 8 1,20

F C H 12 1,53

G C J,K 10 0,18

H E,F J 12 2,61

I D J 6 3,00

J I,H,G L 5 0,55

K G M 4 0,65

L J N 8 1,25

M K N 7 2,00

N L,M - 10 0,35

67

3. Para o programa de atividades, determinar:

a) Rede PERT/CPM

b) Folga dos eventos

c) As atividades cujo mínimo atraso, influenciará em atraso do tempo total do projeto.

ATIV ATIV.PREC. ATIV.SUCES. te ²

A - B,D,E,N 10 1,0

B A C 20 0,5

C B I 30 0,6

D A G 15 1,0

E A G 10 0,8

F - I 25 1,4

G D,E J,K,L 22 0,2

H - J,K,L 12 0,4

I F,C,N J,K,L 15 0,6

J I,G,H - 8 1,0

K I,G,H M 20 0,5

L I,G,H - 26 1,0

M K - 18 0,8

N A I 10 0,7

4. Para o programa de atividades, determinar:

a) Rede PERT/CPM

b) Atividades que poderão sofrer atraso sem influenciar no tempo total de execução do projeto. Justifique

sua reposta.

c) O caminho crítico.

ATIV. ATIV.PREC. ATIV.SUCESS. DURAÇÃO

A H C 2

B H C 1

C A,B,G - 7

D - F 2

E - I,J,K 5

F D G 2

G I,F C 4

H - A,B 3

I E G 4

J E L 9

K E - 10

L J - 6

68

ANEXO 6 - Tabela de Áreas da Curva Normal Frações da área total da curva normal entre a média e qualquer ponto da linha de base dado em desvio-

padrão.

(Fonte: Modelo PERT-CPM – Sistemática de sua aplicação à Administração de Projetos, de Moysés

Jocob Lilenbaum).

Z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

0,0 0000 0040 0080 0120 0160 0199 0239 0279 0319 0359

0,1 0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0753

0,2 0793 0832 0871 0910 0948 0987 1.026 1.064 1.103 1.141

0,3 1.179 1.217 1.255 1.293 1.331 1.368 1.406 1.443 1.480 1.517

0,4 1.554 1.591 1.628 1.664 1.700 1.736 1.772 1.808 1.844 1.879

0,5 1.915 1.950 1.985 2.019 2.059 2.088 2.123 2.157 2.190 2.224

0,6 2.257 2.291 2.324 2.357 2.389 2.422 2.454 2.486 2.517 2.549

0,7 2.580 2.611 2.642 2.673 2.703 2.734 2.764 2.794 2.823 2.852

0,8 2.884 2.910 2.939 2.967 2.995 3.023 3.051 3.078 3.106 3.133

0,9 3.159 3.186 3.212 3.238 3.264 3.289 3.315 3.340 3.365 3.389

1,0 3.413 3.438 3.461 3.485 3.508 3.531 3.554 3.577 3.599 3.621

1,1 3.643 3.665 3.686 3.708 3.729 3.749 3.770 3.790 3.810 3.830

1,2 3.849 3.869 3.888 3.907 3.925 3.944 3.962 3.980 3.997 4.015

1,3 4.032 4.049 4.066 4.082 4.099 4.115 4.131 4.147 4.162 4.177

1,4 4.192 4.207 4.222 4.236 4.251 4.265 4.279 4.292 4.306 4.319

1,5 4.332 4.345 4.357 4.370 4.382 4.394 4.406 4.418 4.429 4.441

1,6 4.452 4463 4.474 4.484 4.495 4.505 4.515 4.525 4.535 4.545

1,7 4.554 4.564 4.573 4.582 4.591 4.599 4.608 4.616 4.625 4.633

1,8 4.641 4.649 4.656 4.664 4.671 4.678 4.686 4.693 4.699 4.706

1,9 4.713 4.719 4.726 4.732 4.738 4.744 4.750 4.756 4.761 4.767

2,0 4.772 4.778 4.783 4.788 4.793 4.798 4.803 4.808 4.812 4.817

2,1 4.821 4.826 4.830 4.834 4.838 4.842 4.846 4.850 4.854 4.857

2,2 4.861 4.864 4.868 4.871 4.875 4.878 4.881 4.884 4.887 4.890

2,3 4.893 4.896 4.898 4.901 4.904 4.906 4.909 4.911 4.913 4.916

2,4 4.918 4.920 4.922 4.925 4.927 4.929 4.931 4.932 4.934 4.936

2,5 4.938 4.940 4.941 4.943 4.945 4.946 4.948 4.949 4.951 4.952

2,6 4.953 4.955 4956 4.957 4.959 4.960 4.961 4.962 4.963 4.964

2,7 4.965 4.966 4.967 4.968 4.969 4.970 4.971 4.972 4.973 4.974

2,8 4.974 4.975 4.976 4.977 4.977 4.978 4.979 4.979 4.980 4.981

2,9 4.981 4.982 4.982 4.983 4.984 4.984 4.985 4.985 4.986 4.986

3,0 4.986 4.986 4.987 4.987 4.988 4.988 4.988 4.989 4.989 4.990