Apostila RM 4ºSemestre 2015 Teoria

UNITAU Resistência dos Materiais Prof. Carlos Evany

1

1 VIGAS ISOSTÁTICAS

Viga é um elemento usado em um sistema estrutural para transferir qualquer tipo de

esforço recebido para o apoio (solo, parede ou pilar/coluna). As vigas podem ser: “engastada” ou

“em balanço” (um apoio), “bi-apoiada” (dois apoios) “contínua” (múltiplos apoios) ou uma

combinação das anteriores. Ver figuras a seguir:

Viga engastada Viga bi-apoiada Viga contínua Viga bi-apoiada com (em balanço) trecho em balanço

Em Mecânica Estrutural, uma viga (estrutura) é denominada “isostática” quando o

número de restrições ao movimento (ou reações de apoio) é rigorosamente igual ao número de

equações da estática (ver quadros abaixo), sendo desta forma, uma estrutura estável.

No espaço:

No plano:

Diferem das vigas “hipostáticas”, cujo número de reações é inferior ao número de

equações, e das vigas “hiperestáticas”, cujo número de reações é superior ao número de equações.


2

Viga hipostática Viga hiperstática (estrutura instável)

São exemplos de vigas isostáticas uma viga bi-apoiada com um dos apoios podendo se

movimentar horizontalmente, e uma viga engastada (em balanço).

D.C.L. (diagrama de corpo livre)

(a)

(b)


3

CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO DE VIGAS ISOSTÁTICAS

As forças ou cargas podem ser classificadas em concentradas, quando a força atua num

trecho pequeno podendo ser reduzida a um ponto; ou distribuídas, quando atua num trecho

considerável.

Dentre as cargas distribuídas mais importantes, temos:

(a) carga uniformemente distribuída (q = constante)

(b) carga triangular

(c) carga trapezoidal


4

APOIOS DA ESTRUTURA

Apoios ou vínculos são elementos que restringem movimentos nas estruturas e recebem a

seguinte classificação:

Tipo de apoio Características

Número de

vínculos (reações

de apoio)

Número de graus de

liberdade (ou de

movimento)

Engastamento

impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio.

impede movimento na direção paralela ao plano do apoio.

impede rotação.

3 (H/V/M)

0

Apoio livre fixo


impede movimento na direção paralela ao plano do apoio.

permite rotação.

2 (H/V)

1 (M)

Apoio livre móvel


permite movimento na direção paralela ao plano do apoio.

permite rotação.

1 (V)

2 (H/M)


5

2 TRAÇADO DOS DIAGRAMAS DOS ESFORÇOS SOLICITANTES

Os esforços solicitantes atuam nas seções transversais da estrutura e são provenientes da

aplicação dos esforços externos e internos (reações de apoio) sobre essa estrutura. Os “diagramas”

representam graficamente a variação dos esforços solicitantes ao longo do eixo de uma estrutura.

Considerações importantes:

(a) Forças

concentradas

distribuídas

(b) Cargas distribuídas

uniformemente distribuída (q = constante)

triangular

trapezoidal

(c) Tipos de apoio de uma estrutura

(d) Convenção de sinais

Força normal (N)

(+)N (+)N (–)N (–)N

x x eixo da estrutura


6

Força cortante (V) ou (Q)

Momento fletor (Mf)

O momento fletor é positivo quando tende a tracionar as regiões (fibras) inferiores da

viga, e negativo quando tende a tracionar as regiões (fibras) superiores da viga.

(e) Traçado dos diagramas

Força normal (N): traçam-se as forças positivas (+N) acima da linha que

representa N = 0, e as forças negativas (–N) abaixo da linha.

Força cortante (V): traçam-se as forças positivas (+V) acima da linha que

representa V = 0, e as forças negativas (–V) abaixo da linha.

Momento fletor (Mf): traçam-se os momentos fletores positivos (+Mf) do lado

que representa as fibras tracionadas, e os negativos (–Mf) do lado das fibras

comprimidas. A linha Mf = 0 representa o eixo da estutura, que contém o

C.G. (centro de gravidade), assunto que será abordado posteriormente.

(+)V

(+)V

(–)V

(–)V

x x eixo da estrutura

eixo da estrutura x x

(+)Mf

(–)Mf

(+)Mf

(–)Mf


7

3 TENSÕES NORMAIS DEVIDO A FLEXÃO

No 1º semestre verificamos que, quando elementos estruturais ou mecânicos forem

submetidos a forças axiais (tração ou compressão), surgem nestes deformações e tensões de tração

ou compressão devido a estas forças.

Em vigas submetidas a esforços transversais a seus eixos longitudinais, surgem nestes

tensões normais de flexão (tração e compressão) em suas fibras. Dependendo do tipo de

carregamento ao longo da viga, essas tensões variam tanto na magnitude como no tipo de tensão

em suas fibras (tração ou compressão).

Em flexão pura (sem a ação de forças axiais), haverá um plano ou superfície da viga que

terá tensão “nula” ( = 0), e neste caso particular, a superfície neutra contém o que chamamos de

“centro de gravidade” da seção transversal da viga.

( = 0)

y

y

linha neutra


8

Prova-se que:

ff

f

My

I

Onde:

f = tensão de flexão em qualquer ponto = f(y)

Mf = momento fletor (observado no diagrama de “Mf”)

If = momento de inércia da seção transversal da viga

y = distância da linha neutra ao ponto considerado (ver figura na página anterior)

Pode-se observar pela figura da página anterior que as tensões de tração e compressão

aumentam à medida que se afastam da superfície neutra, atingindo sua intensidade máxima nas

fibras mais distantes a ela.

Os valores de “If” são “formulados” para as seções transversais básicas (retângulo,

quadrado, círculo,...) ou “tabelados” para os perfis de vigas mais usuais na construção mecânica e

estrutural.


9

N f

Para figuras compostas:

1 1 1 2 2 2 3 3 3

cg

1 1 2 2 3 3

y A y e l y e l y e ly

A e l e l e l

i

n 2

f f i cg i

i 1

I I A y y

- Combinação das tensões normais devido a flexão e forças axiais:

Em havendo forças axiais combinado com momento fletor, a tensão total é a soma vetorial

de ambas, ou seja, deve-se levar em consideração se a força axial é de tração ou compressão e

também se a fibra fletida é de tração ou compressão. Portanto, temos:

f

f

N My

A I

e3

l2

e1

l1

l3

e2

L.R. (linha de referência) y1

y2

y3

ycg


10

Onde:

N = tensão normal devido a “N” (“N” observado no diagrama)

f = tensão de flexão devido a “Mf” (“Mf” observado no diagrama)

+ = tração (“N” ou “Mf”; observados nos diagramas)

– = compressão (“N” ou “Mf”; observados nos diagramas)

Com isso, a “linha neutra” ( = 0, tensão nula), sofrerá um deslocamento para cima ou

para baixo, ou seja, não passará pelo plano que contém o “centro de gravidade”.

Exemplo: Viga engastada com forças (horizontal e vertical) na extremidade livre.

índice “s” = fibra superior mais afastada

H

N s

F

A

f Vf s ss

f f

M F Ly y

I I

H Vss

f

F F Ly

A I

Índice “i’ = fibra inferior mais afastada

H

N i

F

A

f Vf i ii

f f

M F Ly y

I I

H Vii

f

F F Ly

A I


11

4 TENSÕES DE CISALHAMENTO DEVIDO A FLEXÃO

Nos casos de corpos submetidos a esforços cortantes durante a flexão, as tensões de

cisalhamento não se distribuem uniformemente sobre a seção transversal. A tensão máxima

ocorre na “linha neutra” (plano que contém o “CG” – centro de gravidade).

Prova-se que:

s

f

V M

I b

Onde:

V = esforço cortante (observado no diagrama de “V”)

Ms = momento estático de área

If = momento de inércia da seção transversal da viga

b = largura da viga no ponto estudado

Da Mecânica, temos que:

n

s i i

i 1

M y dA y' A

Exemplo: Cálculo do momento estático de área de uma figura composta no “CG”:

No CG:

s 1 1 2 2CG

M y' A y' A

Da fórmula de “ ” acima:

b = e (espessura da alma da viga) e

linha neutra

y’1

y’2 A1

A2

CG


12

5 s 50, pois M 0

Baseado na formulação para o cálculo de “Ms”, podemos estabelecer as fórmulas para o

cálculo das tensões de cisalhamento máximas (no “CG”) para seções transversais básicas:

Conforme já mencionado, as tensões de cisalhamento devido à flexão não se distribuem

uniformemente sobre a seção transversal, uma vez que os valores de momentos estáticos de área

são diferentes ao longo da seção. No caso de perfis com seção composta (ex.: perfil “I”), esta

variação de tensões é também devido à variação da espessura (dimensão “b” da fórmula de “ ”).

Para efeito de ilustração do abordado acima, segue abaixo a distribuição típica de tensões ao

longo do perfil “I”.

CG

e

s 2

2

f

V M

I e

s 4

4

f

V M

I e

1 s 10, pois M 0

s CG

3 max CG

f

V M

I e

y’

A

s 2

2

f

V M

I e

s 2M y' A

Documents

Apostila RM 4ºSemestre 2015 Teoria