Apostila_de_Matemática_Financeira_2012

UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO

MATEMÁTICA FINANCEIRA

SÃO PAULO

2012

2

ÍNDICE

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ...................................................... 4

Introdução ........................................................................................................................... 4 Regra de Três ...................................................................................................................... 4 Porcentagem (%) ................................................................................................................ 6 Operações sobre Mercadorias ............................................................................................. 7

Exercícios9

Juros (J) ............................................................................................................................ 13

Capital (C), Principal (P), Valor Presente (VP) ou Present Value (PV) .......................... 14 Taxa de Juros ou Interest Rate (i) ..................................................................................... 14 Prazo, Tempo ou Número de Períodos (n) ....................................................................... 14 Montante (M), Soma (S),Valor Futuro (VF) ou Future Value (FV) ................................ 14

Regimes de Capitalização ................................................................................................. 15

JUROS SIMPLES ................................................................................................................ 16

Fórmula do Montante (M) ou Valor Futuro (FV)............................................................. 18 Fórmula do Capital (C) ou Valor Presente (PV) .............................................................. 19 Exercícios ......................................................................................................................... 20

Cálculo dos Juros Simples para Períodos Não Inteiros – Taxas equivalentes ................. 22

Juro Exato e Juro Comercial ............................................................................................. 22 Exercícios ......................................................................................................................... 23

DESCONTOS ....................................................................................................................... 25

Desconto Racional Simples ou “por dentro” .................................................................... 25 Desconto Bancário ou Comercial ou “por fora” ............................................................... 26

Operações com um Conjunto de Títulos .......................................................................... 27 Exercícios ......................................................................................................................... 28

JUROS COMPOSTOS ......................................................................................................... 30

Cálculo do Montante (M) ou Valor Futuro (FV) .............................................................. 30

Cálculo do Capital (C) ou Valor Presente (PV) ............................................................... 30 Cálculo da Taxa (i) ........................................................................................................... 30 Cálculo do Prazo (n) ......................................................................................................... 30 Cálculo dos Juros (J) ........................................................................................................ 31 Cálculo dos Juros Compostos para Períodos Não Inteiros ............................................... 33

Exercícios ......................................................................................................................... 34

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO ............................................................................ 35

Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos)....................................... 36 Exercícios ......................................................................................................................... 37

OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS ........................................................................... 38

Taxas Equivalentes a Juros Compostos ............................................................................ 38 Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação.................................................................. 39

3

Taxa Nominal de Juros ..................................................................................................... 40 Exercícios ......................................................................................................................... 42

SÉRIES DE PAGAMENTOS ............................................................................................. 43

Classificação das séries de pagamentos............................................................................ 44 Série Uniforme de Pagamento POSTECIPADA .............................................................. 44

Dado o Valor Presente (PV), Calcular a Prestação (PMT) ........................................ 45 Dado o Valor Futuro (FV), Calcular a Prestação (PMT) ........................................... 46

Dado o Valor Presente (PV), Calcular o Prazo (n) ..................................................... 47

Dado o Valor Futuro (FV), Calcular o Prazo (n) ....................................................... 49

Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Futuro (FV) ............................................. 50 Exercícios ......................................................................................................................... 51 Série Uniforme de Pagamento ANTECIPADA ............................................................... 53

Dada a Prestação (PMT), Calcular o Valor Presente (PV)......................................... 53

Dado o Valor Presente (PV), Calcular a Prestação (PMT) ....................................... 54 Dado o Valor Presente (PV), Calcular o Prazo (n) ..................................................... 55

Dada a Prestação (PMT), Calcular o Valor Futuro (FV) ........................................... 56 Dado o Valor Futuro (FV), Calcular a Prestação (PMT) .......................................... 57

Exercícios ......................................................................................................................... 58

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTO ............. 60

Sistema Francês de Amortização (SFA) ........................................................................... 61 Sistema Francês (carência + juros compensatórios) ................................................... 63 Sistema Francês (carência + saldo devedor corrigido) ............................................... 66

Sistema Price de Amortização ou Tabela Price ........................................................... 69 Exercícios (SFA - Tabela Price) ....................................................................................... 72

Sistema de Amortização Constante (SAC) ....................................................................... 74 Exercícios (SAC) .............................................................................................................. 75

EXERCICIOS SUPLEMENTARES .................................................................................... 77

Porcentagem e Raciocínio Lógico .................................................................................... 77

Juro Simples ..................................................................................................................... 78 Taxa Equivalente a Juro Simples...................................................................................... 81 Juro Exato e Juro Comercial ............................................................................................. 81 Desconto Simples ............................................................................................................. 81 Juro Composto .................................................................................................................. 83

Desconto Composto .......................................................................................................... 85 Taxa Equivalente a Juro Composto – Taxas: Real, Aparente e de Inflação ..................... 86 Séries Uniformes de Pagamentos: Postecipada e Antecipada .......................................... 86 Sistemas de Amortização: SFA/PRICE e SAC ................................................................ 88

APÊNDICES ........................................................................................................................ 91

Tabela para Contagem de Dias ......................................................................................... 91 Tábua Financeira .............................................................................................................. 92

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 104

4

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Introdução

A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro

em função do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à

forma de estudo do valor do dinheiro no tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor

compreendermos o objetivo da matemática financeira.

Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco

contido nas operações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes

para medir o risco envolvido em várias operações de créditos.

Prejuízo (ou despesa): Em qualquer operação financeira, normalmente, ocorre o

pagamento de juros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e

para outros como pagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar

quanto se pagou de despesa ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira.

Lucro (ou receita): Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e

caracteriza-o como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como

lucro ou receita ou simplesmente como a remuneração do capital emprestado. A

matemática financeira nos ajuda a calcular este juro ou receita, bem como a remuneração

do capital emprestado.

Regra de Três

Chamamos de regra de três os problemas nos quais figuram uma grandeza que é

direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

A regra de três simples trabalha com apenas duas grandezas.

Exemplos:

1) Comprei 6 m de tecidos por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m?

Resolução: (grandezas diretamente proporcionais)

Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido.

Chamamos de x o valor que desejamos conhecer.

Então dispomos em duas colunas:

Comprimento(m) Preço(R$)

6 15

8 x

5

Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra x, com a ponta

voltada para ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso

exemplo, colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros

dados. Assim:

6 15

8 x

Armamos à proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas:

6 = 15

8 x

e determinamos o valor de x:

x = 8 . 15 x = 120 x = 20

6 6

Logo, o preço procurado é: R$ 20,00

2) Se seis operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a

mesma obra?

Resolução: (grandezas inversamente proporcionais)

Então dispomos em duas colunas:

Operários Dias

6 10

20 x

A coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é

assinalada com uma segunda seta vertical, de sentido contrário. Assim:

6 10

20 x

Em seguida, invertemos os valores da coluna do numero de operários (por ser uma

grandeza inversamente proporcional à de número de dias):

20 10

6 x

Daí:

20 = 10

6 x

6

e determinamos o valor de x:

x = 6 . 10 x = 60 x = 3

20 20

Logo, serão necessários: 3 dias.

Porcentagem (%)

Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como as relacionadas abaixo:

“Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.”

“Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.”

“A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%.”

“O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em maio.”

Todas essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem.

Porcentagem é o valor que representa uma quantidade tomada de outra, proporcionalmente

a uma taxa.

Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 unidades.

Principal é o valor da grandeza sobre a qual se calcula a porcentagem.

Portanto, o principal, a porcentagem e a taxa são os elementos do cálculo percentual.

Representando:

O principal por P;

A porcentagem por p;

A taxa por i;

Temos, genericamente: 100

i

P

p

3) Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00?

Resolução:

Neste caso teremos que:

p 10

800 100

100p = 800 . 10

100p = 8000

p = 8000/100

p = 80 Logo, a comissão é de R$ 80,00

7

Operações sobre Mercadorias

São problemas de percentagem ligados às operações de compra e venda de

mercadorias (lucro ou prejuízo sobre os preços de custo e de venda de mercadorias).

Vendas com LUCRO

A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço

de custo ou sobre o preço de venda.

Sobre o Preço de Custo:

PV = PC (1 + i)

Onde: PV é o Preço de Venda

i é a taxa

PC é o Preço de Custo

4) Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo.

Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00.

Resolução:

PV = (1 + 0,08) . 500

PV = (1,08) . 500 PV = R$ 540,00

Sobre o Preço de Venda:

i

PCPV

1

5) Comprou-se um objeto por R$ 60,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda.

Qual deve ser este preço?

Resolução:

PV = 60 .

1- 0,25

PV = 60 PV = R$ 80,00

0,75

DEMONSTRANDO:

(PV – i) x PV = PC

(1 – 0,25)PV = 60

0,75PV = 60

PV = 60/0,75

PV = R$ 80,00

8

Vendas com PREJUÍZO

Analogamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vendida com

prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.

Sobre o Preço de Custo:

PV = PC (1 - i)

6) Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que

esse objeto custou R$ 30,00, qual foi o preço de venda?

Resolução:

PV = (1 - 0,4) . 30

PV = (0,6) . 30 PV = R$ 18,00

Sobre o Preço de Venda:

i

PCPV

1

7) Uma casa que custava R$ 96.000,00 foi vendida com prejuízo de 20% sobre o preço de

venda. Calcule o preço de venda.

Resolução:

PV = 96.0000 .

1+ 0,20

PV = 96.0000 PV = R$ 80.000,00

1,2

Abatimentos Sucessivos

Neste item, vamos aprender a calcular os abatimentos sucessivos sobre uma

importância resultante de um negócio efetuado. Sendo que o Valor Líquido (VL) é dado

por:

VL = P(1 – i1)(1- i2)(1 – i3) .... (1 – in)

Onde i1, i2, i3, ...., in são as taxas sucessivas

NOTA:

Para aumentos sucessivos, temos:

M = P(1 + i1)(1 + i2)(1 + i3) .... (1 + in)

DEMONSTRANDO:

(PV + i) x PV = PC

(1 + 0,2)PV = 96000

1,2PV = 96000

PV = 96000/1,2

PV = R$ 80.000,00

9

8) Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de

10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000,00, qual o valor líquido da

mesma?

Resolução:

VL = P(1 – i1)(1- i2)(1 – i3)

VL = 48.000(1 – 0,1)(1 - 0,04)(1 – 0,05)

VL = 48.000(0,90)( 0,96)(0,95)

VL = 48.000(0,802800) VL = R$ 39.398,40

9) Supomos que um objeto de R$ 800,00 incide 6%, 4% e 3% respectivamente a impostos

federal, estadual e municipal. Qual o preço final do objeto?

Resolução:

M = P(1 + i1)(1 + i2)(1 + i3)

M = 800(1 + 0,06)(1 + 0,04)(1 + 0,03)

M = 800(1,06)(1,04)(1,03)

M = 800(1,135472) M = R$ 908,38

Exercícios

REGRA DE TRÊS

1) Ao comprar 2 kg de pães paguei R$ 12,50. Quanto pagaria se tivesse comprado 6 kg? R.: R$ 37,50

2) Comprei 5 m de corda por R$ 4,00. Quanto pagarei por 14 m? R.: R$ 11,20

3) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias? R. R$ 1463,00

4) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? R.: 112 voltas

5) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para

engarrafar 4000 refrigerantes? R.: 8 horas

6) Com 12 operários podemos construir um muro em 4 dias. Quantos dias levarão 8

operários para fazer o mesmo muro? R.: 6 dias

7) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários.

Tendo conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho? R.: 40

dias

8) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas

do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? R.: 10 kg

10

9) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários

construiriam essa casa? R.: 90 dias

10) Um ônibus, a uma velocidade medi de 60km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto

levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? R.: 3 horas

11) Trabalhando 5 horas por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em

quantos dias, nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 6 horas por dia? R.: 20

dias

12) Cinco máquinas impressoras, trabalhando simultaneamente executam um determinado

serviço em 5 horas. Em quanto tempo o mesmo serviço seria executado se forem utilizadas

apenas três máquinas impressoras? R.: 8,33 horas ou 8 horas e 20 minutos

PORCENTAGEM

13) Calcule as porcentagens:

a) 8% de R$ 700,00 R.: p = 56

b) 5% de R$ 4.000,00 R.: p = 200

c) 12% de R$ 5.000,00 R.: p = 600

d) 1,2% de R$ 40,00 R.: p = 0,48

14) Qual a taxa percentual que:

a) 125 representa de 250? R.: i = 50%

b) 112 representa de 320? R.: i = 35%

c) 28 representa de 80? R.: i = 35%

d) 352 representa de 1800? R.: i = 19,55%

15) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4.200,00, já incluídos

R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi

informado de que, se fizesse o pagamento a vista, teria um desconto de 10%, exceto no

valor referente às taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu,

pois, pagar o pacote de viagem a vista. Então é CORRETO afirmar que Francisco pagou

por esse pacote de viagem: (R.: c)

a) R$ 3.672,00 b) R$ 3.780,00 c) R$ 3.792,00 d)R$ 3.900,00

16) De 4000 funcionários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa percentual dos funcionários

ausentes? R.: i = 3%

11

17) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia:

R$ 367,20 x 4

ou

R$ 1.080,00 a vista

Pergunta-se: Quem comprar a prazo, pagará a mais quantos por cento? R.: 36%

18) Represente a taxa de porcentagem do ingrediente sabão do desinfetante PINHO

CHEIRO: R.: 7%

DESINFETANTE PINHO CHEIRO

Água 47g

Álcool 12g

Sabão 7g

Óleo pinho 34g

TOTAL 100g

19) Numa pesquisa sobre a preferência de cores, foram entrevistadas 50 pessoas e o

resultado obtido foi o seguinte:

PREFERENCIA NÚMERO DE PESSOAS

Azul 11

Branco 9

Preto 1

Verde 10

Amarelo 14

Vermelho 5

Pergunta-se: Qual a taxa percentual de cada cor pesquisada ? R. 22%; 18%; 2%; 20%; 28%; 10%.

20) De 800 estudantes, 40 faltaram na escola num dia normal de aula. Qual a taxa

percentual dos estudantes ausentes? R.: i = 5%

OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

21) Uma pessoa aplicou R$ 13.000,00 e teve um rendimento de 18% sobre o valor

aplicado. Qual foi o valor de seu rendimento? R.: R$ 2.340,00

12

22)Por quanto deverei vender um objeto que me custou R$ 7,20 para lucrar 30% ? R.: R$

9,36

23) Uma caneta que custava R$ 0,60 sofreu um desconto de 5%. Quanto você pagará por

essa caneta? R.: R$ 0,57

24) Ao ser paga com atraso, uma prestação de R$ 1.300,00 sofreu um acréscimo de 4%.

Qual o novo valor dessa prestação? R.: R$ 1352,00

25) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 9.500,00. Querendo obter um lucro

de 12%, qual o preço que deverá vender a mesma? R.: R$ 10640,00

26) Sobre um ordenado de R$ 380,00 são descontados 8% para o INSS. De quanto é o total

de descontos? R.: R$ 30,40

27) Um objeto que custou R$ 558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o preço de

venda. Qual o valor apurado na venda? R.: R$ 498,21

28) Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei na venda 15% sobre o preço de custo. Quanto

custou o objeto? R.: R$ 240,00

29) Comprei uma mercadoria por R$ 480,00. Sendo minha intenção vende-la com um lucro

de 20% sobre o preço de venda, qual deve ser este último? R.: R$ 600,00

30) Um terreno foi comprado por R$ 5.000,00 e vendido por R$ 6.500,00. De quanto por

cento foi o lucro sobre o preço de compra? R.: 30%

31) Quanto custou um objeto vendido por R$ 248,00 com um prejuízo de 20% sobre o

preço de custo? R.: R$ 310,00

32) Um terreno foi vendido por R$ 50.600,00, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de

venda. Quanto havia custado? R.: R$ 54648,00

33) Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 104,00. Qual a taxa pela qual se

calculou o lucro sobre o preço de custo? R.: 30%

34) Uma mercadoria foi vendida, com prejuízo de 10%, pelo preço de R$ 36,00. Quanto

havia custado? R.: R$ 40,00

35) Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500,00. Sabendo que na verdade teve um

prejuízo de 15% sobre o preço de venda, quanto custou esse carro? R.: R$ 9775,00

36) Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 40,00 para ganhar 15% sobre o

preço de custo? R.: R$ 46,00

13

37) Uma fatura de R$ 8.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos de 10% e 8%. Qual o

valor líquido a pagar? R.: VL =R$ 6624,00

38) Uma fatura de R$ 5.000,00, por motivo de atraso em seu pagamento, sofre aumentos

sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura? R.: M = R$ 6.325,00

39) Sobre uma fatura de R$ 150.000,00 foram feitos descontos sucessivos de 8%, 5% e 2%.

Qual o valor líquido da fatura? R.: VL = R$ 128478,00

40) Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu certas mercadorias por R$ 26.410,00,

perdendo, nessa transação, a quantia equivalente a 5% sobre o preço de custo. R.: R$ 1386,52

41) Sobre um objeto de R$ 12.000,00 incidi imposto federal de 8% e um estadual de 3%.

Qual o preço final desse objeto? R.: VL = R$ 13348,80

42) Baseado no exercício anterior, se os impostos fossem respectivamantes de 9% e 3,5%.

Qual seria o preço final desse objeto? R.: VL = R$ 13537,80

43) Uma empresa oferece sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 8,5% e

2,5%. Sabendo-se que o valor da fatura é de R$ 50.000,00, qual o valor líquido da mesma? R. VL = R$ 44606,25

44) Determine o preço final de um artigo de R$ 3.500,00 incidindo impostos de 8,5% e 5%. R. VL = R$ 3987,37

45) Uma nota promissória de R$ 3800,00, por motivo de atraso em seu pagamento sofreu

aumentos sucessivos de 4% e 6%. Determine o valor a ser pago por essa nota promissória. R. M = R$ 4189,12

Juros (J)

É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode

ocorrer a partir de dois pontos de vista:

- de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo,

prejuízo etc.

- de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira,

ganho etc.

Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital

próprio ou de terceiros.

14

Capital (C), Principal (P), Valor Presente (VP) ou Present Value (PV)

É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada

operação financeira. Podemos entender como data focal zero a data de início da operação

financeira ou simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo

dos juros.

Taxa de Juros ou Interest Rate (i)

É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser

representado em forma percentual ou unitária. Os conceitos e tipos de taxas são bastante

variados, como por exemplo:

- taxa de inflação;

- taxa real de juros;

- taxa nominal;

- taxa unitária;

- taxa percentual;

- taxa acumulada;

- taxa over;

- taxa equivalente, entre outras.

Prazo, Tempo ou Número de Períodos (n)

É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita

para produzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário.

Vejamos um exemplo:

- período inteiro: 1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias) etc.

- período fracionário: 3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses etc.

Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um

período de 15 dias, um período de 30 dias etc., ou seja, a forma de entendimento dos

períodos vai depender de como estão sendo tratados nos problemas.

Montante (M), Soma (S),Valor Futuro (VF) ou Future Value (FV)

É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou

financeira após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os

juros (J).

Assim temos: M = C + J

Partindo da fórmula acima, temos que: J = M – C e C = M - J

15

Exemplo 01:

Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo.

Qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78 ?

Solução algébrica:

J = 78,25 C= 1.568,78 M = ?

M = C + J

M = 1,568,78 + 78,25

M = R$ 1.647,03

Exemplo 02:

Qual o valor dos juros resultantes de uma operação em que foi investido um capital de R$

1.250,18 e que gerou um montante de R$ 1.380,75 ?


C = 1250,18 M= 1380,75 J= ?

J = M - C

J = 1380,75 – 1250,18

J = R$ 130,57

Exemplo 03:

Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1500,00, sabendo-se que o

rendimento deste investimento foi de R$ 378,25 ?


M= 1500,00 J=378,25 C= ?

C = M - J

C = 1500,00 – 378,25

C = R$ 1.121,75

Regimes de Capitalização

São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes utilizados em

Matemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTOS ou linear e exponencial,

respectivamente.

Solução pela HP-12C

1568,78

78,25

R$ 1.647,03

ENTER

+

Solução pela HP-12C 1380,75

1250,18

R$ 130,57

ENTER

-


1500

378,25

R$ 1.121,75

ENTER

-

16

Exemplo 04: Seja um capital de R$ 1000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o

valor acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples e

composta ?

Solução algébrica: 01

Regime de Capitalização Simples

n Capital aplicado

(R$)

Juros de cada período Valor acumulado ou

montante

1 1000,00 1000 . 10% = 100 1000 + 100 = 1100

2 1000,00 1000 . 10% = 100 1100 + 100 = 1200

3 1000,00 1000 . 10% = 100 1200 + 100 = R$ 1300,00

Solução algébrica: 02

Regime de Capitalização Composta

n Capital aplicado

(R$)

Juros de cada período Valor acumulado ou

montante

1 1000,00 1000 . 10% = 100 1000 + 100 = 1100

2 1100,00 1100 . 10% = 110 1100 + 110 = 1210

3 1210,00 1210 . 10% = 121 1210 + 121 = R$ 1331,00

JUROS SIMPLES

Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O

regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do

capital inicial, ou seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros.

Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples:

J= PV • i • n

Colocando o PV em evidência, teremos:

PV = J .

i•n

Colocando o n em evidência, teremos:

n = J .

PV•i

Colocando o i em evidência, teremos:

i = J ou i = FV - 1

PV•n PV

17

Exemplo 05:

Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses, com a taxa de

5,5% ao mês.


J = ? PV = 1250 i = 5,5 n = 5

J = 1250 • 0,055 • 5

J = R$ 343,75

Exemplo 06:

Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de

2,5% ao mês ?


PV = ? J= 342,96 i = 2,5 n = 11

PV = 342,96

0,025 • 11

PV = 342,96 = R$ 1.247,13

0,275

Exemplo 07:

Pedro pagou ao Banco da Praça S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso

sobre uma prestação de R$ 537,17. Qual o foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco ?

Solução algébrica: i = ? J = 2,14 PV = 537,17 n = 1 dia

i = 2,14

537,17 • 1

i = 2,14 = 0,003984....

537,17

idiária = 0,003984 • 100

idiária = 0,3984% ao dia

imensal = 0,3984 • 30

imensal = 11,95%


1250,00

0,055

5

R$ 343,75

R$ 1.121,75

ENTER

X

X


2,14

537,17

1

100 30

11,95% ao mês

ENTER

X

X

X

ENTER


342,96

0,025

11

R$ 1.247,13

ENTER

X

ENTER

18

Exemplo 08:

Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$

226,45 com uma taxa de 1,5% ao mês ?


n = ? PV = R$ 967,74 i = 1,5% ao mês J= R$ 226,45

n = 226,45 = 226,45

967,74 . 0,015 14,52

n =15,6 meses ou 15 meses e 18 dias

OBSERVAÇÃO:

- A parte inteira 15 representa os 15 meses.

-A parte decimal do número 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para

calcularmos os dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 (0,6 • 30 = 18).

Exemplo 09:

André tomou emprestados R$ 15,00 de Almir. Após 6 meses, Almir resolveu cobrar sua

dívida. André efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Almir. Qual foi a taxa de juros

acumulada nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros?


PV = 15,00

FV = 23,75

n = 6 meses

iacumulada = ?

imensal = ?

Fórmula do Montante (M) ou Valor Futuro (FV)

Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitos

inicias, onde temos que:

FV = PV + J e J = PV • i • n


226,45

967,74

0,015

15,60meses

ENTER

X

ENTER

i(ac) = 23,75 - 1 • 100

15

i(ac) = { 1,5833 – 1 } • 100

i(ac) = 0,5833 • 100

i(ac) = 58,33% a. p. ou ao semestre

imensal = 58,33 6

imensal = 9,72% ao mês


15

23,75

58,33 a. p.

6

9,72% ao mês

ENTER

%

19

Assim teremos:

FV = PV (1 + i • n)

Exemplo 10:

Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB pré-

fixado de 90 dias, a uma taxa de 1,45% ao mês? (supondo-se juros simples)


n = 90 dias (ou 3 meses) PV = R$ 84.975,59 i = 1,45% a.m. FV= ?

FV = 84.975,59 (1 + 0,0145 • 3)

FV = 84.975,59 (1 + 0,0435)

FV = 84.975,59 (1,0435)

FV = R$ 88.672,03

Fórmula do Capital (C) ou Valor Presente (PV)

A Fórmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduzida a partir da fórmula do

Montante ou Valor Futuro (FV).

Assim teremos: FV = PV(1 + i • n)

Colocando PV em evidência:

PV = FV

(1 + i • n)

Exemplo 11:

Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um

período de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês.


PV = 84.248,00

(1 + 0,0177 • 3)

PV = 84.248,00 = 84.248,00

(1 + 0,0531 ) 1,0531

PV = R$ 80.000,00


84975,59

1,45

3

R$ 88.672,03

ENTER

%

X +


84248

1

0,0177

3

R$ 80.000,00

ENTER

ENTER

ENTER

X

x

+

20

Exercícios

1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5000,00, pelo prazo de 5

meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5 % ao mês ? R.: : J = R$ 875,00

2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31.

Determine a taxa correspondente. R.: i = 2,5%

3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$

1.147,25. Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? R.: ianual = 17,655%

4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à

taxa de 5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R.: n = 16 trimestres

5) Qual o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360

dias?

R. PV = R$ 2827,38

6) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2500,00 a 7% a.a. durante 3

anos ? R.: J = R$ 525,00

7) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12

meses, à taxa de 2,5% ao mês. R.: FV = R$ 9834,51

8) Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias.

Calcular a taxa mensal de juros. R.: i = 5,73555 % a.m.

9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa simples anual

ganha? R.: i = 48% aa

10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o

rendimento deste investimento foi de R$ 148,50 ? R.: PV = R$ 221,50

11) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso

sobre uma prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela

financeira? R. i = 21,1% am.

12) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$

8.000,00 ? R. PV = R$ 5000,00

21

Mais ............ Exercícios

1) Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de

5,5% ao mês.

2) Um capital de R$ R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, à taxa de

12% a.a. Determine o juro obtido

3) Um Capital de R$ R$ 7.000,00 é aplicado à juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa

de 8% a.s. Obtenha os Juros e o Montante.

4) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for

de 2% a.m.?

5) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$150.000,00, pelo prazo

de 18 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 4% ao mês?

6) Qual o capital emprestado, que em 18 meses, produziu os juros de R$108.000,00, à taxa

de juros simples de 4% ao mês?

7) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$280.000,00, durante 15

meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês?

8) Qual o capital investido, para que possa resgatar R$23.600,00, no prazo de 6 meses, à

taxa de juros simples de 3% ao mês?

9) Que tempo de aplicação foi necessário, para que R$20.000,00, se transforme à taxa de

3% ao mês, em R$23.600,00?

Gabarito

1) R$ 343,75

2) R$ 1.800,00

3) R$ 1.680,00 e R$ 8.680,00

4) R$ 30.000,00

5) R$108.000,00

6) R$150.000,00

7) R$406.000,00

8) R$20.000,00

9) 6 meses

22

Cálculo dos Juros Simples para Períodos Não Inteiros – Taxas equivalentes

Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o

período da taxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente .

Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo

período de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento.

Exemplo 12:

Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia

de rendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias ?


PV = 15.000,00

i = 28% ao ano

n = 92 dias

J = ?

Juro Exato e Juro Comercial

Quando falamos em juro exato, estamos na verdade, nos referindo aos dias do

calendário, ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como,

por exemplo: Janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365

ou 366 dias.

No caso do juro comercial devemos considerar sempre um Mês de 30 dias, e, sendo

assim, um ano comercial vai ter sempre 360 dias.

Exemplo 13:

Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/03 sendo quitada em 15/03/03,

com a taxa de 48% ao ano. Pede-se:

a) Determinar os juros exato

b) Determinar os juros comercial

Opção1: transformando a taxa

J = 15000 . 0,28 . 92

360

J = 15000 . 0,000778 . 92

J = R$ 1.073,33

Opção2: transformando o prazo

J = 15000 . 0,28 . 92

360

J = 15000 . 0,28 . 0,255556

J = R$ 1.073,33

Opção3: transformando o produto

J = 15000 . 0,28 . 92 = 386.400,00

360 360

J = R$ 1.073,33

Solução pela HP – 12C

15000

0,28

92

360

R$ 1.073,33

ENTER

X

X

23


PV = R$ 14.500

i = 48% ao ano

a) Jexato = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 800,88

365

b) Jcomercial = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 812,00

360

Exercícios

Considerar o ano comercial (360 dias)

1) Calcular o rendimento de R$ 12.000,00 aplicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de

juros simples de 40% ao ano. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias) e

o ano exato (365 dias). R.: Jcom = R$ 3240,00 e Jex = R$ 3195,61

2) Uma prestação no valor de R$ 6.332,00 venceu em 01/04/00 sendo quitada em 17/05 do

mesmo ano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial. R. Jex = R$ 199,50 e Jcom = R$ 202,27


14500

0,48

42

365

R$ 800,88

14500

0,48

42

360

R$ 812,00

ENTER

X

X

x

X

+

X

ENTER

24

3) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano para:

a) 7 dias; R.: 0,77%

b) 29 dias; R.: 3,22%

c) 1 mês; R.: 3,33%

d) 32 dias; R.: 3,56%

e) 1 trimestre; R.: aprox. 10%

f) 45 dias; R.: : 5%

g) 1 semestre; R.: aprox. 20%

4) Calcular o valor dos juros de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita de 3,64% ao mês,

pelo prazo de 32 dias. R.: J = R$ 821,18

5) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aplicados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao

mês. R. J = R$ 268,33

6) Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% ao

mês. R. i22dias = 2,24%

7) Calcule a taxa mensal proporcional a:

a) 9% ao trimestre b)24% ao semestre c) 0,04% ao dia d)30% ao

ano. R. a) 3% ao mês; b) 4% ao mês; c) 1,2% ao mês; d) 2,5% ao

mês

8) Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano.

Determine o juro obtido. R$ 500,00

9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500, aplicado durante 2 anos, 4

meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. R. R$ 15.725,00

25

DESCONTOS

É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é

resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no

setor comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas

promissórias etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes do

vencimento. O Banco naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no

título, dito nominal.

Podemos classificar os tipos de descontos como Simples (método linear) e

Composto( método exponencial).

Desconto Racional Simples ou “por dentro”

O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou de resgate) e

o valor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros simples.

Vamos aplicar as seguintes fórmulas:

Para calcular o desconto racional simples:

DRS = VN – VL

O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte

fórmula:

DRS = VN . id . nd

( 1 + id . nd )

Para calcular o valor líquido:

VL = VN - DRS .

O Valor Líquido (VL) também pode ser encontrado pela seguinte fórmula:

VL = VN .

( 1 + id . nd )

Exemplo 01:

Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu

vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o

valor líquido?

26


Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses;

id = 2,5% ao mês; DRS = ?

DRS = 25000,00 . 0,025 . 2

( 1 + 0,025 . 2 )

DRS = 1250

1,05

DRS = R$ 1190,48

VL = VN - DRS

VL = 25000 – 1190,48

VL = R$ 23.809,52

Desconto Bancário ou Comercial ou “por fora”

O valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de

desconto fornecida pelo banco pelo prazo a decorrer até o vencimento do título.

Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula:

DBS = VN . id . nd e VL = VN – DBS

OBS.: CASO A DÍVIDA SEJA PRORROGADA: VL = VN + DBS

Exemplo 02:

Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu

vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto comercial

(bancário) e o valor líquido?



i = 2,5% ao mês; DBS = ?

DBS = 25000,00 . 0,025 . 2

DBS = R$ 1250,00

VL = 25000 – 1250,00

VL = R$ 23.750,00


25000 ENTER

0,025 X 2 X

1 ENTER

0,025 ENTER

2 X +

CHS

25000,00 +

R$ 23.809,52


25000 ENTER

0,025 X 2 X

CHS

25000 +

R$ 23.750,00

27

Exemplo 03:

Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu

vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título

de despesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobre Operações Financeiras) é 0,0041%

ao dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra

alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor

opção?



id = 2,5% ao mês; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%;

i = 2,8% ao mês(empréstimo)

VL = ? DBS = ? DIOF = ? Dadm = ?

ONDE:

D = despesas

DIOF = despesas com IOF

Dadm = despesas administrativas

VL = VN – DBS – DIOF - Dadm

DBS = VN . Id . nd

DBS = 25000 . 0,025 . 2 = R$ 1250,00

Dadm = 25000 . 0,01 = R$ 250,00

DIOF = 25000 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50

VL = 25000 – 1250 – 250 – 61,50

VL= R$ 23.438,50

Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos que a taxa

desta operação será:

i = FV - PV

PV . nd

i = 25000 – 23.438,50 = 1561,50 = 3,32 % ao mês

23.438,50 . 2 46.967,00

A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção.

Operações com um Conjunto de Títulos

Estudaremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou

borderô de títulos ou duplicatas.

Exemplo 04:

Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco

à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa ?

Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento)

A 2.500,00 25 dias

B 3.500,00 57 dias

C 6.500,00 72 dias

Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título.

28


a)Duplicata A:

DBS = 2500 . 0,03 . 25 = R$ 62,50

30

b)Duplicata B:

DBS = 3500 . 0,03 . 57 = R$ 199,50

30

c)Duplicata C:

DBS = 6500 . 0,03 . 72 = R$ 468,00

30

Valor líquido = 12500 - 62,50 – 199,50 – 468,00 = R$ 11.770,00

Exercícios

1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com

vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês ? R.: DBS = R$ 225,00

2) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor

nominal é de R$ 1000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00 ? R.: i = 3,41%

3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês,

conforme o borderô a seguir:

a) 6.000 15 dias

b) 3.500 25 dias

c) 2.500 45 dias R. VL = R$11.768,00

4) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada

por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao

cliente. R. VL = R$ 29408,00

5) Achar o valor líquido do borderô de cobrança a baixo, á taxa de desconto bancário é de

2% ao mês. R.: VL = R$ 4461,11

Duplicatas Valor (R$) Prazo (vencimento)

X 800,00 13 dias

Y 1350,00 29 dias

Z 2430,00 53 dias

6) Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado 2 meses antes do seu

vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% ao

mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R.: VL = R$ 50.000,00


vencimento, tendo sido concedido um DRS à taxa de 10% ao mês. De quanto foi o valor

pago pelo título? R.: VL = R$ 2.740,00

29


vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% ao

mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R.: VL = R$ 5.300,00

9) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo o valor nominal é de R$ 2.040,00, 4 meses

antes de seu vencimento. Qual o valor que deverá pagar pelo título, se a taxa racional

simples usada no mercado é de 5% ao mês? R.: VL = R$ 1.700,00

10) João deve a um banco R$ 190.000,00 de um título, que vencem daqui a 30 dias. Por

não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias.

Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial

simples de 72% ao ano, o valor do novo título será de: R.: VL = R$ 235.600,00

11) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa anual

empregada dever ser de 18% ao ano. Se o desconto comercial simples é de R$ 180,00, qual

o valor nominal do título? R.: VN = R$ 3.000,00

12) O DCS de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 800,00. Considerando

uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor nominal. R.: VN = R$ 4.000,00

13) Você possui uma duplicata cujo o valor de face é de R$ 150,00. essa duplicata foi

descontada 3 meses antes do vencimento, obtendo um DBS de R$ 9,50. Qual à taxa de

desconto? R.: id =2,1%

14) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$

9800,00, que sofreu um DCS de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. R.: nd = 92 dias

30

JUROS COMPOSTOS

Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos

de juros sobre juros.

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o

mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o cálculo a juros

compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros.

FÓRMULAS:

Cálculo do Montante (M) ou Valor Futuro (FV)

FV = PV( 1 + i )n

Cálculo do Capital (C) ou Valor Presente (PV)

PV = FV

( 1 + i )n

Cálculo da Taxa (i)

FV QQ/QT

i = - 1 . 100

PV

Onde: QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada)

QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operação que foi informado)

Cálculo do Prazo (n)

n = LN (FV/ PV)

LN(1 + i)

Onde: LN = Logaritmo neperiano

31

Cálculo dos Juros (J)

J = PV[(1 + i )n – 1]

Exemplo 01:

Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5

meses.


FV = 5000(1 + 0,04)5

FV = 5000(1,04)5

FV = 5000(1,2166529)

FV = R$ 6.083,26

Exemplo 02:

Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano, monta R$ 14.000 ?


PV = FV = 14000

( 1 + i ) n

(1,15)n

PV = 14000

= R$ 6.052,59

2,31306


5000

4

5

R$ 6.083,26

CHS PV

i

n

FV

V


14000

15

6

R$ 6.052,59

CHS FV

i

n

PV

V

32

Exemplo 03:

A loja “Leve Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72, sem

entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias.

Qual a taxa mensal cobrada pela loja ?

Dados:

i = ?

PV = R$ 10.210,72

FV = R$ 14.520,68

n = 276 dias


i = 14.520,68 30/276

- 1 . 100

10.210,72

i = {(1,422101...)0,108696...

– 1} . 100

i = {0,039018...} . 100

i = 3,90% ao mês

Exemplo 04:

Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento

de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês ?

Dados:

n = ? i = 3% ao mês

PV = R$ 24.278,43 FV = R$ 41.524,33


LN 41.524,33

24278,43

n =

LN ( 1 + 0,03)

n = LN(1,710338)

LN(1,03)

n = 0,536691...

0,029559... n = 18,156731... meses


10210,72

14520,68

276

30

3,90% ao mês

CHS PV

i

n

FV

V ENTER

Solução1 pela HP-12C

6

41524,33

24278,43 LN

1,03 LN

18,156731... meses

g

g

ENTER

f

Solução 2 pela HP-12C

41524,33

24278,43

3

19 meses

FV

PV

i n

CHS

33

Exemplo 05:

Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa

de 10% ao mês.

Dados:

PV = R$ 1.000,00?

i = 10% ao mês

n = 5 meses

J = ?


J= 1000[(1 + 0,10)5 – 1]

J= 1000[(1,10)5 – 1]

J= 1000[1,61051 – 1]

J= 1000[0,61051 ]

J= R$ 610,51

Cálculo dos Juros Compostos para Períodos Não Inteiros

As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se

adotarmos a convenção do prazo para dias, vejamos a seguir:

1 ano exato = 365 ou 366 dias;

1 ano = 360 dias;

1 semestre = 180 dias;

1 trimestre = 90 dias;

1 mês comercial = 30 dias;

1 mês exato = 29 ou 31 dias;

1 quinzena = 15 dias.

Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo

n = Q (Quero) , sempre considerando o prazo em dias.

T (Tenho)

Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV):

FV = PV (1 + i )Q/T


1000

10

5

1.610,51

R$ 610,51

PV

FV

i

n

CHS

RCL PV +

34

Exemplo 06:

Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25%

ao ano, para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos.

Dados:

PV = R$ 13.500,00

i =25% ao ano

n = 92 dias

FV = ?


FV = 13500(1 + 0,25)92/360

FV = 13500(1,25)0,255556

FV = 13500(1,058683)

FV = R$ 14.292,22

Exercícios

1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00,

admitindo-se uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. R.: FV = R$ 22824,27

2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, cujo

valor resgatado foi de R$ 98.562,25. R.PV = 88296,85

3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um montante de R$

45.562,45 com uma taxa de 0,98% ao mês ? R.: n = 55,32 aprox. 56

4) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital R$ 2.500,00 produzir um

montante de R$ 4.489,64 durante um ano? R.: i = 5% am.

5) Determinar os juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de

4,5% durante 7 meses. R.: J = R$ 209,38

6) A que taxa de juros um capital de R$ 13.200,00 pode transformar-se em R$ 35.112,26,

considerando um período de aplicação de 7 meses ? R.: i = 15%am

7) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros

compostos, com uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao

final de 25 meses. R. PV = R$ 1253,46

OBS.: neste caso a taxa está ao ano e o prazo está em dias.

As perguntas:

Qual é o prazo que eu Quero?

Qual é o prazo que eu Tenho ?


13500

1 0,25

92 360

R$ 14.292,22

ENTER

ENTER +

ENTER

yx X

35

8) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2%

a.m. ? R. J = R$ 875,97

9) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 10.600,00, negociada a uma taxa de 25%

ao ano, para um período de 119 dias pelo regime de juros compostos. R.: FV = R$ 11411,43

10) Determinar o capital que, aplicado por 7 meses a juros efetivos de 4% ao mês, rende R$

10.000,00. R.: PV = R$ 31652,40

11) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único

pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano? R. n = 5 anos

12) Tenho R$ 10.000,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa

de 2,5% ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do

período? R. FV = R$ 2802,32

13) André pretende aplicar R$ 30.000,00. Ele fez uma análise em três bancos diferentes.

Veja a tabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco.

BANCO X Y Z

Taxa 2% ao mês 2% ao trim 2,5% ao mês

prazo 2 bimestre 2 trimestre 3,5 meses

a) Calcule o montante referente as condições oferecidas por cada banco R.: : FVx = R$ 32.472,96; FVy = R$ 31.212,00 e FVz = R$ 32.742,07

b) Qual é a melhor opção?

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M),

(FV) ou (VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto

composto.

DRC = VN – VL

VL = VN .……

(1 + id)nd

36

Exemplo 01:

Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5000,00

considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes

do seu vencimento.

Dados:

VN = 5000; id = 3,5% ao mês; n = 3 meses; DRC ?; VL = ?


VL = 5000 .……

(1 + 0,035)3

VL = 5000 = 5000__ = R$ 4509,71 .…= …

(1,035)3

1,10872

DRC = 5000 – 4509,71 = R$ 490,29

Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos)

Considere um título de Valor Nominal (VN), com vencimento em um período (n), e

um Valor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a VN, quando aplicado

por (n) períodos a uma taxa composta de descontos (id) por período. Vamos verificar:

DBC = VN – VL

Onde: DBC = Desconto Bancário Composto

VL = VN (1 - id)nd

Exemplo 02:

Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a

uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o

valor líquido creditado na conta e o valor do desconto bancário concedido.


Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 60dias (2 meses);

id = 2,5% ao mês; VL = ? DBC = ?

VL = 25000(1+ 0,025)-2

VL = 25000(1,025)-2

VL = 25000 . 0,9518144

VL = R$ 23795,35

DBC = 25000 – 23795,35 = R$ 1204,64


5000 FV

3,5 i

3 n

PV 4509,71

5000 +

R$ 490,29


25000 CHS PV

2,5 i

-2 n

FV 23795,35

25000 -

R$ 1204,64

37

Exercícios

1) Um título no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a

taxa mensal de desconto racional composto era 10%, de quanto era o valor líquido deste

título? R. VL = R$ 45.000,00

2) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 3.000,00

considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês, sendo descontado 4 meses

antes do seu vencimento. R.: DRC = R$ 206,62

3) Uma duplicata de R$ 17.000,00, 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa

de 1,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o Valor Líquido

creditado na conta e o valor do Desconto Bancário concedido. R. VL = R$ 16.257,38 e DBC = R$ 742,61

4) Determine o valor do DRC de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5

meses antes do vencimento, sendo à taxa de 3% ao mês. R.: DRC = R$ 851,82

5) Calcule o DRC obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, resgatado 8 meses

antes do vencimento, sendo à taxa de desconto de 30% ao ano. R.: DRC = 681,17

6) Um título no valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 90 dias antes do vencimento

à uma taxa de 1,5% ao mês. Qual o valor líquido e o DBC? R.: VL = R$ 23.907,92 e DBC =

R$ 1.092,08

7) Uma nota promissória de R$ 5.000,00 foi descontada comercialmente 60 dias antes do

vencimento à taxa de juros de 3% ao mês. Calcular o valor líquido recebido e o DBC. R. VL = R$ 4. 712,97 e DBC = R$ 287,03

38

OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS

Conforme o Banco Central do Brasil S. A. , as taxas de juros de cada instituição

financeira representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos

últimos cinco dias úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de

operação de crédito.

A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela

soma da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais.

Taxas Equivalentes a Juros Compostos

Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a

um mesmo capital, por um período de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento.

ieq = ( 1 + ic)Q/T

- 1. 100

Onde:

ieq = taxa equivalente

ic = taxa conhecida

QQ = Quanto eu Quero

QT = Quanto eu Tenho

Exemplo 01:

Calcular a equivalência entre as taxas:

Taxa Conhecida Taxa equivalente para:

a) 79,5856% ao ano 1 mês

b) 28,59% ao trimestre 1 semestre

c) 2,5% ao mês 105 dias

d) 0,5 ao dia 1 ano

e) 25% (ano comercial) 1 ano exato ( base 365 dias)


a)

ieq = { ( 1 + ic)QQ/QT

- 1 } . 100

ieq = { ( 1 + 0,7958)30/360

- 1 } . 100

ieq = { ( 1 + 0,7958)0,083333

- 1 } . 100

ieq = { 1,049997 - 1 } . 100

ieq = { 0,049997 } . 100

ieq = 5% ao mês

Solução pela HP-12C - a)

1,7958

30 360

1 100

5% ao mês

ENTER

ENTER Yx

- X

x

39


Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação

Denominamos taxa aparente (i) aquela que vigora nas operações correntes

(financeiras e comerciais).

Quando não há inflação (I), a taxa aparente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando

há inflação (I), a taxa aparente (i) é formada por dois componentes:

- Um correspondente ao “juro real” e outro correspondente a inflação.

Sendo:

C: capital inicial

R: taxa real de juros

I: taxa de inflação

i: taxa aparente

Exemplo 01:

Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do

período for 11,9% ?

Resolução:

i = ? R = 9%ao ano I = 11,9%

(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)

(1 + i) = (1 + 0,09) . (1 + 0,119)

(1 + i) = (1,09) . (1,119)

(1 + i) = 1,22

i = 1,22 - 1

i = 0,22 . 100 → i = 22% ao ano

Exemplo 02:

Qual a taxa real, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se a inflação do

período for 11,9% ?

Solução algébrica

c) ieq = { ( 1 + 0,025)

105/30 - 1 } . 100

ieq = { ( 1, 025)3,5

- 1 } . 100

ieq = { 1,090269 - 1 } . 100

ieq = { 0,090269 } . 100

ieq = 9,03 %ao período


d) ieq = { ( 1 + 0,005)

360/1 - 1 } . 100

ieq = { ( 1,005)360

- 1 } . 100

ieq = { 6,022575 - 1 } . 100

ieq = { 5,022575 } . 100

ieq = 502,265% ao ano


e)

ieq = { ( 1 + 0,25)365/360

- 1 } . 100

ieq = { ( 1, 25)1,013889

- 1 } . 100

ieq = { 1,253880 - 1 } . 100

ieq = { 0,253880 } . 100

ieq = 25,39% ao período

Daí,

(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)

Resolução pela HP 12C:

1,09 ENTER

1,119 X

1 -

100 X 22


b)

ieq = { ( 1 + 0,2859)180/90

- 1 } . 100

ieq = { ( 1 + 0,2859)2 - 1 } . 100

ieq = { 1,653539 - 1 } . 100

ieq = { 0,653539 } . 100

ieq = 65,35% ao semestre

40

Resolução:

i = 22% ao ano R = ? I = 11,9%

(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)

(1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119)

(1,22) = (1+ R) . (1,119)

1,22 = (1 + R)

1,119

1,09 = (1 + R)

1,09 – 1 = R

0,09 = R

R = 0,09 . 100 → R = 9% ao ano

Exemplo 03:

Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o

rendimento real for no período 9% ?

Resolução:

I = ? R = 9%ao ano i = 22% ao ano

(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)

(1 + 0,22) = (1 + 0,09) . (1+ I)

(1,22) = (1,09) . (1 + I)

1,22 = (1 + I)

1,09

1,119 = (1 + I)

1,119 – 1 = I

0,119 = I

I = 0,119 . 100 → I = 11,9% ao ano

Taxa Nominal de Juros

Freqüentemente, os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se

refere a taxa de juros. A taxa nominal é aquela cujo o período de capitalização não

coincide com aquela a que ela se refere.

Veja as suas características a seguir:

- Aplica-se diretamente em operações de juros simples.

- É suscetível de ser proporcionalizada (dividida ou multiplicada) “n” vezes em seu

período referencial de modo que possa ser expressa em outra unidade de tempo

(caso dos juros simples) ou como unidade de medida para ser capitalizada em

operações de juros compostos.

Exemplos de taxas nominais:

- 18% ao ano capitalizada mensalmente;

- 5% ao mês capitalizada diariamente;


1,22 CHS FV

1,09 PV

1 n

i 11,9


1,22 CHS FV

1,119 PV

1 n

i 9

41

- 8% ao semestre capitalizada mensalmente e etc...

Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada semestralmente (capitalizada

duas vezes por ano), o montante ao fim de um ano será:

FV = PV 1 + ij 2.1

2

Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada mensalmente (capitalizada 12

vezes por ano), o valor do montante ao final do terceiro ano será:

FV = PV 1 + ij 12.3

12

Em geral, podemos expressar do seguinte modo o montante de um capital

aplicado pelo prazo “m” a uma taxa nominal “ij” com juros capitalizados “n” vezes durante

o período referencial da taxa nominal:

FV = PV 1 + ij n.m

n

Para o cálculo do capital:

PV = FV

1 + ij n . m

-1

n

Onde:

ij = taxa de juros nominal

n = número de vezes em que os juros são capitalizados no período a que se refere a taxa

nominal;

m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal;

PV = capital da aplicação;

FV = montante

Exemplo 04:

Calcular o montante de um investimento de R$ 1200,00 aplicado por 3 anos a juros

nominal de 16% ao ano, capitalizados mensalmente.


Dados:

PV = 1200 m = 3 anos ij = 16%ao ano n = 12 FV = ?

FV = 1200 1 + 0,16 12.3

12

42

FV = 1200 (1 + 0,01333)36

FV = 1200(1,01333)36

FV = 1200 . 1,61076

FV = R$ 1.933,15

Exemplo 05:

Qual o valor de resgate para um capital de R$ 200,00 aplicado por 27 dias a 9% ao mês

capitalizados diariamente.


Dados:

PV = 200 m = 27dias (período não inteiro) ij = 9%ao mês n = 30dias FV

= ?

FV = 200 1 + 0,09 30 . (27/30)

30

FV = 200(1,00300)27

FV = 200 . 1,08424

FV = R$ 216,85

Exercícios

1) Determinar a taxa:

a) anual equivalente a 2% ao mês R.: 26,82%

b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R.: 3,99%

c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R.: 78,57%

d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R.: 18,09%

2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano

de juros reais quando a inflação for de 5% ao ano. R.: i = 13,40%aa

3) A taxa de juros para aplicações de curtos e médios prazos, em um banco é 40% ao ano.

Que remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 38% ao ano? R.: R = 1,45%aa


16 ENTER

12 i

36 n

1200 CHS PV

FV 1.933,14792


9 ENTER

30 i

27 n

200 CHS PV

FV 216,84788

43

4) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de

juros reais, caso a taxa aparente seja de 25% ao ano ? R.I = 11,60%aa

5) Por um capital aplicado de R$ 6000,00, aplicado por dois anos, o investidor

recebeu R$ 5. 179,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inflação for de 30% ao ano

e o juro real for de 5% ao ano ? R.: i = 36,5%aa

6) Emprestamos um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no período, qual a

taxa real da operação? R.: R = 3,32%aa

7) Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8%. A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto

foi a taxa real? R.: R = 7,14%

8) Calcular o montante resultante de um investimento de R$ 1300,00 aplicado por 3 anos a

juros nominais de 16% ao ano, capitalizados mensalmente. R.: FV = R$ 2.093,99

9) Qual o valor de resgate para um capital de R$ 300,00 aplicado pelos seguintes prazos e

taxas ?

a) 6 meses a 28% ao ano capitalizados mensalmente R.: FV = R$ 344,52

b) 8 meses a 18% ao semestre capitalizados mensalmente R.: FV = R$ 380,03

c) 27 meses a 12 % ao trimestre capitalizado mensalmente R.: FV = R$ 865,01

d) 7 meses a 28% ao ano capitalizado trimestralmente R.: : FV = R$ 343,47

10) Uma aplicação de R$ 1000,00 foi efetuada em 17/03/1995 para resgate em 24/06/1998.

Para uma taxa de juros nominal de 12% ao mês com capitalização diária, calcular o valor

do resgate (considerando ano civil). R.: FV = R$ 117.974,14

11) Em quantos meses um capital de R$ 5.000,00 aplicado a juros nominal de 120% ao ano

capitalizado mensalmente, produz um montante de R$ 11.789,75? R.: m = 0,75ano ou 9 meses

12) Um capital de R$ 15000,00 é aplicado por 180 dias à taxa nominal de 24% ao trimestre

capitalizada mensalmente. Calcular o valor do resgate. R.: FV = R$ 23.803,11

SÉRIES DE PAGAMENTOS

São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em

intervalos iguais. Para classificar estes conceitos, vamos interpretar as palavras.

Séries – número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos

ou ocorrendo em sucessão espacial ou temporal.

Uniformes – que tem uma só forma; igual, idêntico; muito semelhantes.

Pagamentos – cumprimento efetivo da obrigação exigível.

44

Classificação das séries de pagamentos

a) Quanto ao tempo

Temporária - quando tem um número limitado de pagamentos;

Infinita – quando tem um número infinito de pagamentos.

b) Quanto à constância ou periodicidade

Periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais;

Não periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo

variáveis.

c) Quanto ao valor dos pagamentos

Fixos ou Uniformes – quando todos os pagamentos são iguais;

Variáveis – quando os valores dos pagamentos variam.

d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento

Imediata – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro

período da série;

Diferida – quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da

série, ou seja, ocorrerá em períodos seguintes.

e) Quanto ao momento dos pagamentos

Antecipadas – quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0”(zero) da

série de pagamentos;

Postecipadas – quando os pagamentos ocorrem no final dos períodos.

Série Uniforme de Pagamento POSTECIPADA

São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é

também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada(0 + n).

Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor de um pagamento ou

prestação (PMT) será possível calcular o valor presente(PV) de uma série de pagamentos

postecipada através da seguinte fórmula:

(1 + i)n - 1

PV = PMT

(1 + i)n . i

45

EXEMPLO 01:

Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de

R$ 1500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de

3,5% ao mês a taxa de juros negociada na operação.

Dados: PV = ? n = 6 meses i = 3,5% ao mês PMT = R$ 1500,00

Resolução algébrica:

(1 + i)n - 1

PV = PMT

(1 + i)n . i

(1 + 0,035)6 - 1

PV = 1500

(1 + 0,035)6 . 0,035

(1,035)6 - 1

PV = 1500

(1,035)6 . 0,035

1,229255 - 1

PV = 1500

1,229255 . 0,035

0,229255

PV = 1500

0,043024

PV = 1500[5,328553]

PV = R$ 7992,83

Dado o Valor Presente (PV), Calcular a Prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor presente(PV) de uma série de

pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da

seguinte fórmula:


f REG

1500 CHS PMT

6 n

3,5 i

PV 7992,83

46

(1 + i)n . i

PMT = PV

(1 + i)n - 1

EXEMPLO 02:

Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se

o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada,

considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês?

Dados: PV = 500 n = 5 meses i = 5% ao mês PMT = ?


(1 + 0,05)5 . 0,05

PMT = 500

(1 + 0,05)5 - 1

(1,05)5 . 0,05

PMT = 500

(1,05)5 - 1

1,276282 . 0,05

PMT = 500

1,276282 - 1

0,063814

PMT = 500

0,276282

PMT = 500[0,230975]

PMT = R$ 115,49

Dado o Valor Futuro (FV), Calcular a Prestação (PMT)

Resolução pela HP-12C

f REG

500 CHS PV

5 n

5 i

PMT 115,49

47

Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor futuro(FV) de uma série de

pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da

seguinte fórmula:

i

PMT = FV

(1 + i)n - 1

EXEMPLO 03:

Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês

durante 7 meses, produz um montante de R$ 5000,00, pelo regime de juros compostos.

Dados: FV = 5000 n = 7 meses i = 4% ao mês PMT = ?


0,04

PMT = 5000

(1 + 0,04)7 - 1

0,04

PMT = 5000

(1,04)7 - 1

0,04

PMT = 5000

1,315932 - 1

0,04

PMT = 5000

0,315932

PMT = 5000[0,126610]

PMT = R$ 633,05

Dado o Valor Presente (PV), Calcular o Prazo (n)

Sendo informados uma taxa(i), o valor presente(PV) e um pagamento ou

prestação(PMT) em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular

o número de pagamentos ou prazo(n), através da seguinte fórmula:


f REG

5000 FV

7 n

4 i

PMT 633,05

48

PV

LN 1 - . i

PMT

n = -

LN(1+ i)

EXEMPLO 04:

Um produto é comercializado à vista por R$ 1750,00. Uma outra alternativa seria financiar

este produto a uma taxa de 3% ao mês. Gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando

que o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações deste

financiamento.

Dados: PV = 1750 n = ? i = 3% ao mês PMT = 175,81


1750

LN 1 - . 0,03

175,81

n = -

LN(1+ 0,03)

LN [1 – (9,953928) . 0,03 ]

n = -

LN(1,03)

LN [1 – (0,298618) ]

n = -

LN(1,03)

LN[0,701382 ]

n = -

LN(1,03)


f REG

1750 PV

3 i

175,81 CHS PMT

n 12

49

-0,354702

n = -

0,02956

n = - - 12 n = 12meses

Dado o Valor Futuro (FV), Calcular o Prazo (n)

Sendo informados uma taxa(i), um valor futuro(FV) e a prestação(PMT) em uma

série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos

ou prazo(n), através da seguinte fórmula:

EXEMPLO 05:

Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um

determinado tempo observou-se que o saldo da conta era de R$ 30.032,62. Considerando

uma taxa média de poupança de 0,08% ao mês, determine a quantidade de depósito

efetuado por este poupador.

Dados: FV = 30.032,62 i = 0,08% ao mês PMT = 150,00 n = ?


30032,62 . 0,0008

LN +1

150

n = -

LN(1+ 0,0008)

24,026096

LN + 1

150

n = -

LN(1,0008)

FV . i

LN +1

PMT

n = -

LN(1 + i)


f REG

30032,62 CHS FV

150 PMT

0,08 i

n 186 meses

50

LN[ 0,160174 + 1]

n = -

LN(1,0008)

LN[ 1,160174 ]

n = -

LN(1,0008)

0,148570

n = - n = 185,712500 n = 186 meses

0,000800

Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Futuro (FV)

Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento ou prestação

(PMT) de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor

futuro (FV), através da seguinte fórmula:

FV = PMT (1 + i )n - 1

i

EXEMPLO 06:

Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de

poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o

valor acumulado após este período?

Dados: PMT = 100,00 n = 30 anos ou 360 meses i =0,8% ao mês FV = ?


FV = 100 (1 + 0,008)360

- 1

0,008

FV =100 (1,008)360

- 1

0,008

FV = 100 17,611306 - 1

0,008

FV = 100 16,611306 FV = 100 (2076,4132) FV = R$ 207.641,32

0,008


f REG

100 CHS PMT

0,8 i

360 n

FV 207.641,32

51

Exercícios

1) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1000,00, durante 5 meses,

à taxa de 5% ao mês. R.: FV = R$ 5.525,63

2) Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$

10.000,00, no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento é

remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. R.: PV = R$

53.349,24

3) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa

efetiva de 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é de R$ 1000,00 e que o prazo é

de 4 meses. R. PMT = R$ 265,82

4) Um automóvel custa à vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48

parcelas mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações. R. PMT = R$ 453,06

5) No exercício anterior, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para

recalcular o valor da prestação. R.: PMT = R$ 340,28

6) Uma pessoa deposita em uma financeira, no final de cada mês, durante 5 meses, a

quantia de $ 100.000,00. Calcule o Montante da renda, sabendo que a financeira paga juros

compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. R.: : FV = R$ 520.404,02

7) Qual o período financeiro necessário, para se aplicar $ 500,00 anualmente e se resgatar o

montante da renda de $12. 099,00, se a financiadora me oferecer 25% ao ano de

rendimento? R. n = 8,78 aprox. 9anos

8) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando

nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês

sobre o saldo credor. R.: PMT = R$ 367,66

9) Um bem cujo preço à vista é de $ 4.000 será pago em oito prestações mensais iguais

pagas ao fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% ao mês,

calcular o valor das prestações. R.: PMT = R$ 618,89

10) A juros nominais de 36% ao ano capitalizado mensalmente, determinar o tempo

necessário para liquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestações mensais

postecipadas de $ 120. R.: n = 7,99 aproxima. 8 meses

11) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 2 anos, a quantia

de R$ 200,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros

compostos de 2% ao mês. R.: FV = R$ 6.084,00

52

12) Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$

35.457,00 no final dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de

1,5% ao mês? R. PMT = R$ 750,00

13) Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800,

00, a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano? R.: FV = R$ 9.868,44

14) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de

1,5% ao mês, quanto possuirá em 22

1 anos? R.: : FV = R$ 25.526,30

15) Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para

que se tenha R$ 60.000,00 no final do vigésimo mês, dentro do conceito de renda

postecipada ? R. PMT = R$ 2.349,00

16) Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$ 900,00, necessárias para se

ter um montante de R$ 11.863,00, considerando-se uma taxa de 6% ao bimestre. R.: n = 10

prestações

17) O vendedor da loja oferece um sistema de som em oito parcelas mensais, iguais e

seguidas de R$ 1.000,00. sabendo-se que a primeira prestação vencerá um mês depois da

compra. Calcule o valor do capital desse financiamento considerando a taxa de 3,5% ao

mês. R.: PV = R$ 6.873,95

18) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais seguidas

de R$ 1.800,00, vencendo a primeira parcela um mês depois do recebimento do dinheiro.

Considerando a taxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse

financiamento. R. n = 4,99 ou 5 prestações

19) O financiamento será devolvido em 12 prestações mensais iguais e seguido de R$

550,00, sendo o pagamento da primeira prestação realizado no final do primeiro mês depois

do recebimento do dinheiro. Calcule o valor do financiamento considerando a taxa de juro

de 2,85% ao mês. R. PV = R$ 5.524,04

20) Calcule o valor financiado sabendo que o devedor pagará dez parcelas mensais de R$

1.200,00 num plano de amortização postecipado com taxa de juro de 3,65% ao mês. R.: PV

= R$ 9.904,90

.

53

Série Uniforme de Pagamento ANTECIPADA

As séries uniformes de pagamentos antecipados são aqueles em que o primeiro

pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também

chamado de sistema de pagamento com entrada (1 + n).

Dada a Prestação (PMT), Calcular o Valor Presente (PV)

Sendo informados a taxa (i), um prazo (n) e valor da prestação (PMT) será

possível calcular o valor presente (PV) de uma série de pagamento antecipada através da

seguinte fórmula:

(1 + i)n –1

PV = PMT

(1 + i )n-1

. i

EXEMPLO 01:

Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos de R$ 185,00; sabendo-se que

a taxa de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como

entrada, determine o preço à vista desta mercadoria.


Dados: n = 4 PMT = R$185,00 i=5%am PV= ?

(1 + 0,05)4 –1

PV = 185

(1 + 0,05 )4-1

. 0,05

(1 ,05)4 –1

PV = 185

(1,05 )3 . 0,05

1,215506 –1

PV = 185

1,157625 . 0,05

0,215506

PV = 185

0,057881


f REG

g BEG

185 CHS PMT

5 i

4 n

PV 688,80

OBS. : PARA SÉRIE UNIFORME

ANTECIPADA, ANTES DE

FAZER A RESOLUÇÃO PELA

HP12-C PRESSIONAR AS

TECLAS: G BEG

54

PV = 185[ 3,723248 ]

PV = R$ 688,80

Dado o Valor Presente (PV), Calcular a Prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) será possível

calcular o valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma série de pagamento

antecipada através da seguinte fórmula:

(1 + i)n-1

. i

PMT = PV

(1 + i )n - 1

EXEMPLO 02:

Um automóvel que custava à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos

iguais; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da

prestação mensal deste financiamento.


Dados: n = 36meses PMT =? i = 1,99%am PV= R$ 17.800,00

(1 + 0,0199)36-1

. 0,0199

PMT = 17800

(1 + 0,0199 )36

- 1

(1,993039)35

. 0,0199

PMT = 17800

(1,0199 )36

- 1

0,039661

PMT = 17800

2,032700 - 1

0,039661

PMT = 17800

1,032700

PMT = 17800[ 0,038405 ]

PMT = R$ 683,62


f REG

g BEG

17800 CHS PV

1,99 i

36 n

PMT 683,62

55

Dado o Valor Presente (PV), Calcular o Prazo (n)

Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o valor presente (PV) será

possível calcular o prazo (n) em uma série de pagamento antecipada através da seguinte

fórmula:

PV . i

ln 1 -

n = - PMT. (1 + i)

ln(1 + i)

EXEMPLO 03:

Um produto custa à vista R$ 1500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal

de R$ 170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de

juros contratada foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento?


Dados: n = ? PMT =R$ 170,72 i = 3%am PV= R$ 1.500,00

1500 . 0,03

ln 1 -

n = - 170,72 . (1 + 0,03)

ln(1 +0,03)

45

ln 1 -

n = - 170,72 . (1,03)

ln(1,03)

45

ln 1 -

n = - 175,84

0,029559


f REG

g BEG

1500 PV

3 i

170,72 CHS PMT

n 10 meses

56

ln [1 - 0,255972 ]

n = -

0,029559

ln [ 0,744028 ]

n = -

0,029559

- 0,295596

n = -

0,029559

n = - { - 10,000275 }

n = 10 meses

Dada a Prestação (PMT), Calcular o Valor Futuro (FV)

Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o prazo (n), será possível

calcular o valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da

seguinte fórmula:

(1 + i)n - 1

FV = PMT . (1+ i )

i

EXEMPLO 04:

Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00, e

acredita que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S/A,

com depósitos mensais de R$ 500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a

poupança paga, em média, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o poupador vai

conseguir acumular o valor que precisa?


Dados: n = 5 anos(60meses) PMT =R$ 500,00? i = 0,8%am FV= ?

57

(1 + 0,008)60

- 1

FV = 500 . (1 + 0,008)

0,008

(1,008)60

- 1

FV = 500 . (1,008)

0,008

1,612991 - 1

FV = 500 . (1,008)

0,008

0,612991

FV = 500 . ( 1,008)

0,008

FV = 500[ 76,623867 ] . (1,008)

FV = 38.311,93 . (1,008)

FV = R$ 38.618, 43 (ainda sobrará dinheiro)

Dado o Valor Futuro (FV), Calcular a Prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa (i), o valor futuro (FV) e o prazo (n), será possível

calcular o valor da prestação (PMT) em uma série uniforme de pagamento antecipada

através da seguinte fórmula:

FV . i

PMT =

[(1 + i)n – 1] . ( 1 + i)

EXEMPLO 05:

Considere o poupador do exemplo anterior, que se depositar R$ 500,00 na data de hoje,

para resgatar no final de 5 anos a importância de R$ 37.500,00, deverá resgatar um pouco

mais. Considerando a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, de quanto deverá ser o valor de

cada depósito para que o poupador consiga acumular exatamente o valor de R$ 37.500,00?


Dados: n = 5 anos (60 meses) PMT= ? i = 0,8% FV = R$ 37.500,00


f REG

g BEG

500 CHS PMT

0,8 i

60 n

FV 38.618,43

58

37.500,00 . 0,008

PMT =

[(1 + 0,008)60

– 1] . ( 1 + 0,008)

300

PMT =

[(1,008)60

– 1] . (1,008)

300

PMT =

[1,612991 – 1] . (1,008)

300

PMT =

[0,612991] . (1,008)

300

PMT = → PMT = R$ 485,52

0,617895

Exercícios

1) Uma pessoa deposita em uma financeira no início de cada mês, durante 5 meses,a

quantia de R$ 100.000,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga

juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. R.: FV = R$ 530.812,09

2) Qual o montante da renda, para aplicações mensais de R$ 120,00 cada, a taxa de juros

compostos de 3% ao mês, durante o período financeiro de 6 meses, sendo que o primeiro

depósito foi exigido no ato da abertura do contrato? R.: FV = R$ 799,49

3) Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo

a primeira dada como entrada. Se a taxa do financiamento for 14% ao mês, qual o preço à

vista? R.: PV= R$ 498.244,80

4) Uma geladeira é vendida em 5 prestações mensais de R$ 8000,00 cada uma, sendo a

primeira dada como entrada. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for

de 9% ao mês? R. PV = R$ 33.917,75

5) Um automóvel usado é vendido à vista por R$ 300.000,00, mas pode ser vendido a prazo

em 12 prestações mensais iguais(antes de serem corrigidas monetariamente), sendo a

primeira no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é 2% ao mês,

obter o valor de cada prestação antes de serem corrigidos. R.: PMT = R$ 27.811,08


f REG

g BEG

37500 CHS FV

0,8 i

60 n

PMT 485,52

59

6) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em 6 prestações

mensais, à taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Qual será o valor

de cada prestação? R.: PMT = R$ 20.000,00

7) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em prestações

mensais de R$ 20.000,00, à taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra.

Quantas prestações deverão ser pagas? R.: n = 6 meses

8) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de R$ 1.895.395,00

pagando prestações mensais antecipadas de R$ 500.000,00 a juros efetivos de 10% ao mês? R. n = 5 meses

9) Quanto deverá ser depositado no início de cada período para obter um montante de R$

305.200,00 no final de 30 períodos a uma taxa de 5% ao mês? R.: PMT = R$ 4.374,95

10) Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 termos iguais a R$

7.000,00, sendo de 2,5% ao trimestre a taxa de juros compostos. R.: FV = R$ 62.681,63

11) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituição

financeira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de modo que com 8

depósitos antecipados constitua o montante de R$ 150.000,00. Calcule a importância. R.:

PMT = R$ 17.524,73

12) Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $ 307. A juros efetivos de 10%

ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada. Qual deveria ser seu valor à

vista? R. PV = $ 2300,98

13) Um computador custa à vista $2500, 00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação

mensal de $168, 30, sendo que a 1a será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de

juros contratado foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento? R.: n = 20 meses

14) A compra de um conjunto de móveis será paga em 8 prestações de R$ 1.000,00, sendo

a primeira no ato da compra. Calcule o valor dessa compra considerando a taxa de juro de

3,5% ao mês. R.: PV = R$ 7.114,54

15) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais e seguido

de, no máximo, R$ 1.800,00, vencendo a primeira parcela no ato do recebimento do

dinheiro. Considerando a taxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse

financiamento. R. n = 4,77 ou 5 meses

16) São financiados R$ 1.000,00 com a taxa de juro de 2,3% ao mês. Calcule o valor das

quatro prestações mensais, iguais e seguidas, sabendo que a primeira prestação vencerá no

ato de assinar o contrato. R.: PMT = R$ 258,59

60

17) Calcule o montante de uma renda bimestral antecipada de 4 termos iguais a R$

6.500,00, sendo de 1,5% ao bimestre. R.: FV = R$ 26.989,73

18) A compra de roupas no valor de R$ 1.725,00 será financiada em seis prestações

mensais iguais e antecipadas. Calcule o valor das prestações considerando a taxa de

financiamento de 3% ao mês. R. PMT = R$ 309,16

19) Calcule o valor do financiado em 12 parcelas antecipadas mensais, seguidas e iguais a

R$ 256,00, considerando a taxa de juro de 3,35% ao mês. R.: PV = R$ 2.579,40

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTO

Estudaremos as metodologias de sistemas de amortização de empréstimos e

financiamentos, e ainda, a metodologia para calcular as prestações não uniformes, ou seja,

as prestações que mudam a cada período do empréstimo ou financiamento.

Empréstimo: recurso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado

quanto à sua finalidade, como por exemplo: cheque especial e CDC (Crédito

Direto ao Consumidor), entre outros.

Financiamento: recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado

quanto à sua finalidade, por exemplo: compra de automóvel, imóvel e

crediário, entre outros.

No financiamento, existe sempre a aquisição de um bem ou serviço atrelado à

liberação dos recursos financeiros financiados, enquanto no empréstimo exige-se apenas

uma garantia de devolução dos recursos financeiros emprestados.

Considere as seguintes nomenclaturas que usaremos para desenvolver as tabelas ou

planilhas de amortização.

Saldo Devedor : é o valor nominal do empréstimo ou financiamento, ou

simplesmente Valor Presente (PV) na data focal 0 (zero), que é diminuído

da parcela de amortização a cada período (n).

Amortização: parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento.

Juros compensatórios: é o valor calculado a partir do saldo devedor e

posteriormente somado à parcela de amortização.

Prestação: é o pagamento efetuado a cada período (n), composto da parcela

de amortização mais juros compensatórios.

61

Sistema Francês de Amortização (SFA)

Neste sistema, o financiamento (PV) é pago em prestações (PMT) iguais,

constituídas de duas parcelas de amortização e juros compensatórios (J), que variam

inversamente, ou seja, enquanto as parcelas de amortização diminuem ao longo do tempo,

os juros aumentam.

Este sistema é considerado o sistema de amortização mais utilizado pelas

instituições financeiras e pelo comércio em geral, conhecido também com Sistema Price e

tem como principais características:

a prestação é constante durante todo o período do financiamento;

a parcela de amortização aumenta a cada período (n), ou seja, os pagamentos

são periódicos, constantes e sucessivos;

os juros compensatórios diminuem a cada período (n).

OBS.: Seu cálculo, pela HP12C é feito na mesma forma da série de pagamentos uniformes

postecipados.

Exemplo 01:

Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5

pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de

Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébrica

Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT = ?

a) cálculo do valor da prestação do financiamento

(1 + i)n . i

PMT = PV

(1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1

PMT =10.000

(1 + 0,1)5 - 1

(1,1)5 . 0,1

PMT =10000

(1,1)5 - 1

62

1,610510 . 0,1

PMT =10000

1,610510 - 1

0,1610551

PMT =10000

0,610510

PMT = 10000[0,263797]

PMT = R$ 2.637,97

b) Cálculo dos juros (J)

J = PV . i . n

Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00

Juros para o 2o período: J2 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20




c) cálculo da parcela de amortização (PAn)

PAn = PMT - J

Parcela de amortização para o 1o período: PA = 2.637,97 - 1.000,00 = R$ 1.637,97

Parcela de amortização para o 2o período: PA = 2.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77




d) cálculo do saldo devedor (SD)

SDn = SD(anterior) - PAn

SD1 = 10.000,00 - 1.637,97 = R$ 8.362,03

SD2 = 8.362,03 - 1.801,77 = R$ 6.560,26

SD3 = 6.560,26 - 1.981,84 = R$ 4.578,32

SD4 = 4.578,32 - 2.180,14 = R$ 2.398,18

SD5 = 2.398,18 - 2.398,15 = R$ 0,03

63

Assim teremos nossa planilha de financiamento

N Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 10.000,00 0,00 0,00 0,00

1 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,97

2 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,97

3 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,97

4 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,97

5 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97

9.999,97 3.189,88 13.189,85

OBS.:A diferença de 0,03 é devido ao arredondamento.

Sistema Francês (carência + juros compensatórios)

Neste caso, não haverá a parcela de amortização durante o período da carência,

apenas o pagamento dos juros compensatórios.

Exemplo 2:


pagamentos mensais, com 2 meses de carência, calculado pelo Sistema Francês de

Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.


Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 mesesc = 2 meses i = 10% ao mês PMT = ?


f [REG]

10000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97

1 f [AMORT] 1000,00 X Y 1637,97 RCL PV – 8362,03

1 f [AMORT] 836,20 X Y 1801,77 RCL PV – 6560,26

1 f [AMORT] 656,03 X Y 1981,94 RCL PV – 4578,32

1 f [AMORT] 457,83 X Y 2180,14 RCL PV – 2398,18

1 f [AMORT] 239,82 X Y 2398,15 RCL PV – 0,03

64

a) cálculo do valor da prestação do financiamento

(1 + i)n . i

PMT = PV

(1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1

PMT =10.000

(1 + 0,1)5 - 1

(1,1)5 . 0,1

PMT =10000

(1,1)5 - 1

1,610510 . 0,1

PMT =10000

1,610510 - 1

0,1610551

PMT =10000

0,610510

PMT = 10000[0,263797]

PMT = R$ 2.637,97

b) Cálculo dos juros compensatórios

J = PV . i . n



Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior.



65





PAn = PMT - J

Parcela de amortização para o 1o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00









SD1 = 10.000,00 - 0,00 = R$ 10.000,00

SD2 = 10.000,00 - 0,00 = R$ 10.000,00

SD3 = 10.000,00 - 1.637,97 = R$ 8.362,03

SD4 = 8.362,03 - 1.801,77 = R$ 6.560,26

SD5 = 6.560,26 - 1.981,84 = R$ 4.578,32

SD6 = 4.578,32 - 2.180,14 = R$ 2.398,18

SD7 = 2.398,18 - 2.398,15 = R$ 0,03



0 10.000,00 0,00 0,00 0,00

1 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,00

2 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,00

3 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,97

4 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,97

5 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,97

6 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,97

7 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97

9.999,97 5.189,88 15.189,85

66

Sistema Francês (carência + saldo devedor corrigido)

Neste caso, não se paga juros compensatórios, na verdade os juros serão acrescidos

ao saldo devedor com base no regime de capitalização composta, e na seqüência, calcula-se

a prestação com base no conceito de uma série uniforme de pagamento postecipada.

Exemplo 3:


pagamentos mensais, com 2 meses de carência; porém, não haverá o respectivo pagamento

de juros durante o período da carência, devendo, portanto, ser incorporado ao saldo

devedor, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a

planilha de financiamento.


a) atualização do saldo devedor durante o período de carência

período 1:

SD = 10000 . 1,1 = R$ 11.000,00

Período 2:

SD = 11.000 . 1,1 = R$ 12.100,00

Dados: PV = R$ 12.100,00 n = 5 mesesc = 2 meses i = 10% ao mês PMT = ?

b) cálculo do valor da prestação


f [REG]

10000 ENTER % 1000

10000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97

X Y 10 % 1000

10000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97

1 f [AMORT] 1000,00 X Y 1637,97 RCL PV – 8362,03

1 f [AMORT] 836,20 X Y 1801,77 RCL PV – 6560,26

1 f [AMORT] 656,03 X Y 1981,94 RCL PV – 4578,32

1 f [AMORT] 457,83 X Y 2180,14 RCL PV – 2398,18

1 f [AMORT] 239,82 X Y 2398,15 RCL PV – 0,03

67

(1 + i)n . i

PMT = PV

(1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1

PMT =12.100

(1 + 0,1)5 - 1

(1,1)5 . 0,1

PMT =12100

(1,1)5 - 1

1,610510 . 0,1

PMT =12100

1,610510 - 1

0,1610551

PMT =12100

0,610510

PMT = 12100[0,263797]

PMT = R$ 3.191,95

c) Cálculo dos juros compensatórios

J = PV . i . n

Juros para o 1o período: J1 = 0,00

Juros para o 2o período: J2 = 0,00

Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior.



68




d) cálculo da parcela de amortização (PAn)

PAn = PMT - J








e) cálculo do saldo devedor (SD)


SD1 = 11.000,00 - 0,00 = R$ 11.000,00

SD2 = 12.100,00 - 0,00 = R$ 12.100,00

SD3 = 12.100,00 - 1.981,95 = R$ 10.118.05

SD4 = 10.118,05 - 2.180,14 = R$ 7.937,91

SD5 = 7.937,91 - 2.398,16 = R$ 5.539,75

SD6 = 5.539,75 - 2.637,97 = R$ 2.901,78

SD7 = 2.901,78 - 2.901,77 = R$ 0,01


n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 10.000,00 0,00 0,00 0,00

1 11.000,00 0,00 0,00 0,00

2 12.100,00 0,00 0,00 0,00

3 10.118,05 1.981,95 1.210,00 3.191,95

4 7.937,91 2.180,14 1.011,81 3.191,95

5 5.539,75 2.398,16 793,79 3.191,95

6 2.901,78 2.637,97 553,98 3.191,95

7 0,01 2.901,77 290,18 3.191,95

12.099,99 3.859,76 15.959,75

69

Sistema Price de Amortização ou Tabela Price

O Sistema Price de Amortização, ou simplesmente Tabela Price, é uma derivação

do Sistema Francês de Amortização, diferenciando-se apenas nos seguintes pontos:

a) A taxa é apresentada em termos nominais e normalmente é apresentada ao ano.

b) O período do financiamento normalmente é menor do que o tempo da taxa,

quase sempre é dado ao mês.

c) Para transformar as taxas, usa-se o critério de proporcionalidade.

Exemplo 4:

Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 12% ao ano, para ser pago em 7

pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização.

Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.


Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 7 meses i = 12% ao ano (12/12 = 1% ao mês) PMT = ?

a) cálculo do valor da prestação

(1 + i)n . i

PMT = PV

(1 + i)n - 1


f [REG]

10000 ENTER 1,1 X 1,1 X 12100

CHS PV 10 i 5 n PMT 3.191,95

1 f [AMORT] 1210,00 X Y 1981,94 RCL PV – 10.118,05

1 f [AMORT] 1011,80 X Y 2180,14 RCL PV – 7937,90

1 f [AMORT] 793,79 X Y 2398.15 RCL PV – 5539,74

1 f [AMORT] 553,97 X Y 2637,97 RCL PV – 2901,77

1 f [AMORT] 290,17 X Y 2901,77 RCL PV – 0,00

70

(1 + 0,01)7 . 0,01

PMT =10.000

(1 + 0,01)7 - 1

(1,01)7 . 0,01

PMT =10000

(1,01)7 - 1

1,072135 . 0,01

PMT =10000

1,072135 - 1

0,010721

PMT =10000

0,072135

PMT = 10000[0,148628]

PMT = R$ 1.486,28

b) Cálculo dos juros

J = PV . i . n

Juros para o 1o período: J1 = 10.000 . 0,01 = 100,00


PAn = PMT - J




SD1 = 10.000,00 - 1.386,28 = R$ 8.613,72

71



0 10.000,00 0,00 0,00 0,00

1 8.613,72 1.386,28 100,00 1.486,28

2 7.213,58 1.400,14 86,14 1.486,28

3 5.799,44 1.414,14 72,14 1.486,28

4 4.371,15 1.428,29 57,99 1.486,28

5 2.928,58 1.442,57 43,71 1.486,28

6 1.471,59 1.456,99 29,29 1.486,28

7 0,03 1.471,56 14,72 1.486,28

9.999,97 403,99 10.403,96


f [REG]

10000 CHS PV 1 i 7 n PMT 1.486,28

1 f [AMORT] 100,00 X Y 1386,28 RCL PV – 8.613,72

1 f [AMORT] 86,14 X Y 1400,14 RCL PV – 7213,58

1 f [AMORT] 72,14 X Y 1414,14 RCL PV – 5799,44

1 f [AMORT] 57,99 X Y 1428,29 RCL PV – 4371,15

1 f [AMORT] 43,71 X Y 1442,57 RCL PV – 2928,58

1 f [AMORT] 29,29 X Y 1456,99 RCL PV – 1471,59

1 f [AMORT] 14,72 X Y 1471,56 RCL PV – 0,03

72

Exercícios (SFA - Tabela Price)

1) Um empréstimo de $ 200.000 será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensais

postecipadas. A juros efetivos de 10% ao mês. Construir a planilha de amortização.


0

1

2

3

4 -------------------------

2) Para o exercício anterior, considerando agora um período de carência de 2 meses em que

serão pagos unicamente os juros devidos, construir a planilha de amortização.


0

1

2

3

4

5

6 ----------------------------

3) Para o exercício 01, considerando agora um período de carência de 2 meses em que os

juros são capitalizados e incorporados ao capital (principal), construir a planilha de

amortização.


0

1

2

3

4

5

6 ----------------------------

73

4) Um empréstimo de $ 200.000 será pago em três prestações mensais iguais consecutivas.

Considerando uma taxa de juros nominal de 180% ao ano com capitalização mensal,

construir a tabela de amortização.


0

1

2

3 -------------------------

5) Montar a planilha de amortização de um empréstimo com as seguintes características:

valor do empréstimo de $ 1.000.000; reembolso pela Tabela Price em cinco pagamentos

trimestrais com carência de dois trimestres; juros nominais de 28% ao ano capitalizado

trimestralmente; e os juros serão capitalizados e incorporados ao capital durante o período

de carência.


0

1

2

3

4

5

6

7 ----------------------------

74

Sistema de Amortização Constante (SAC)

É um sistema onde a principal característica é a da Amortização Constante.

Conhecido como Método Hamburguês, sendo utilizado em financiamentos de DFH e

Financiamentos de empresas por parte de entidades governamentais, a amortização é igual

ao valor do empréstimo dividido pelo número de prestações.

- As prestações são uniformemente decrescentes, diminuindo sempre de um

determinado fator que é constante.

- O valor dos juros é decrescente .

- Os pagamentos são periódicos e sucessivos.

Exemplo 01:


pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização

Constante (SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.


Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT = ?

a) cálculo da parcela de amortização(PAn)

PAn = PV ou SD

n

PAn = 10.000 = R$ 2.000,00

5

b) Cálculo dos juros (J)

J = PV . i . n






c) cálculo do saldo devedor (SD)


SD1 = 10.000,00 - 2.000,00 = R$ 8.000,00

SD2 = 8.000,00 - 2.000,00 = R$ 6.000,00

SD3 = 6.000,00 - 2.000,00 = R$ 4.000,00

SD4 = 4.000,00 - 2.000,00 = R$ 2.000,00

SD5 = 2.000,00 - 2.000,00 = R$ 0,00

75

d) cálculo da parcela de amortização (PAn)

PMTn = PA + Jn

PMT1 = 2.000,00 + 1.000,00 = R$ 3.000,00

PMT2 = 2.000,00 + 800,00 = R$ 2.800,00

PMT3 = 2.000,00 + 600,00 = R$ 2.600,00

PMT4 = 2.000,00 + 400,00 = R$ 2.400,00

PMT5 = 2.000,00 + 200,00 = R$ 2.200,00



0 10.000,00 0,00 0,00 0,00

1 8.000,00 2.000,00 1.000,00 3.000,00

2 6.000,00 2.000,00 800,00 2.800,00

3 4.000,00 2.000,00 600,00 2.600,00

4 2.000,00 2.000,00 400,00 2.400,00

5 0,00 2.000,00 200,00 2.200,00

10.000,00 3.000,00 13.000,00

Exercícios (SAC)

1) Emprestei de uma financiadora “X”, o valor de $ 32.000, para ser amortizado em 10

meses, à taxa de juros 1,25% ao mês. Quanto pagarei ao mês?


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

76

2) Uma composição de dívida de $ 8.000.000, a ser paga em quatro prestações anuais, com

taxa de juros de 36% ao ano. Para elaborar a planilha de pagamentos sugerimos os

seguintes procedimentos:

a) calcular a amortização;

b) calcular a parcela de juros;

c) calcular o valor das prestações;

d) apurar o saldo devedor do período.


0

1

2

3

4

3) Uma operação no valor de R$ 70.000,00 foi contratada para ser paga em 4 prestações

anuais, com taxa de juros de 17% ao ano. Então como ficará a planilha de pagamento?


0

1

2

3

4

4) Emprestei de uma financiadora o valor de $ 25.000 à taxa de juros de 2% ao ano para ser

amortizada em 10 meses pelo SAC. Qual o valor da 3a prestação?


0

1

2

3

5) Um cliente propôs pagar o saldo devedor de um empréstimo de R$ 120.000,00 em 4

parcelas, mas sugeriu que as prestações fossem decrescentes. Assim o ideal seria pelo SAC.

Qual o valor da amortização?

77

EXERCICIOS SUPLEMENTARES

Porcentagem e Raciocínio Lógico

1) Se a empresa “W4W” vende três produtos: K, T e R.: Supondo que ao longo de 4 meses

os produtos apresentam o ítem de custo de acordo com a distribuição a seguir:

Produto Custo ( R$)

K 20.000,00

T 80.000,00

R 70.000,00

Pergunta-se: De quantos por cento foi a mais o custo do produto T em relação ao produto

R ? (R.: C)

a) 21,69%

b) 21,56%

c) 14,28%

d) 16,09%

e) 12,05%

2) Dada a distribuição de freqüência referente às taxa e aos valores dos produtos:

10|-------30 4%

30|------50 2,5%

50|------70 1,5%

70|-------90 2,5%

Supondo que em suas vendas a prazo, era cobrado de seus clientes uma taxa mensal

conforme o valor da mercadoria vendida. De acordo com a distribuição acima, qual a taxa

média percentual que a “W4W” está cobrando ? (R.: E)

a) 3,02% ao mês

b) 2,92% ao mês

c) 2,33% ao mês.

d) 1,77% ao mês

e) 2,63% ao mês

3) Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual o valor da sua comissão

numa venda de R$ 3.600,00? (R.: R$ 108)

4) No departamento de contabilidade de uma empresa 26% dos funcionários são

mulheres. Quantos funcionários possui a empresa, se elas são em número de 182? (R.:

700)

5) Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00.

Qual a percentagem de lucro? (R.: 8%)

78

6) Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24 foi vendida com 25% de

abatimento. De quanto foi o abatimento? (R.: R$ 6,00)

7) Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de

comissão. Qual o valor de venda das propriedades? (R.: R$ 56.000)

8) Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida

foram pagos? (R.: R$ 37%)

9) Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com lucro de 15% sobre esse valor.

Quanto ganhou?

(R.: R$ 81,00)

10) Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 70,00 para obter um lucro de

30% ? (R.: R$ 91,00)

11) Em São Paulo colhem-se 1.268.000,00 sacas de café. Se 25% desta produção

destinam-se ao consumo interno, qual a quantidade de sacas para este consumo? (R.:

317.000sacas)

12) Em quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de 67.200

habitantes e agora é de 92.400 habitantes? (R.: R$ 37,5%)

13) Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a

receber pelas vendas de R$ 8.000,00, R$ 3.700,00 e R$ 9.500,00? (R.: R$ 636,00)

14) Em uma partida de futebol, um dos times obteve os seguintes resultados quanto aos

chutes a gol:

- bolas chutadas fora:10;

- bolas defendidas pelo goleiro adversário:6;

- bolas na trave:2;

- gols:2.

a) Qual a percentagem dos gols em relação às bolas chutadas a gol? (R.: 10%)

b) Qual a percentagem das bolas chutadas fora?(R.: 50%)

c) Qual a percentagem das bolas defendidas pelo goleiro adversário?(R.: 30%)

Juro Simples

1) Qual o capital aplicado por uma empresa que produziu R$ 300,00 a 20% a .t. durante 9

meses a juro simples?

(R.: PV =R$ 500,00)

79

2) Calcular os juros simples produzidos por uma aplicação feita por uma empresa de R$

36.000,00 à taxa de 15% aa . , durante 3 anos.

(R.: J = R$ 16200,00)

3) Determine o tempo em que uma empresa aplicando o capital R$ 12.000,00 rendeu de

juros R$ 240,00 à taxa de 0,2% a m. (R.: n = 10 meses)

4) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de

30% ao ano.Qual será o valor do juro a ser pago pelo regime de capitalização simples?

(R.: R$ 720,00)

5) Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao

mês pelo sistema de capitalização simples. Qual o valor do juro a receber? (R.: R$

108,00)

6) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200,00 à taxa de 5% ao trimestre,

durante 3 trimestre pelo regime de capitalização simples.(R.: R$ 1.380,00)

7) Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5

meses. Calcule o juro produzido pelo regime de capitalização simples. (R.: R$ 1.065,00)

8) Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano.

Determine o juro obtido.

(R.: R$ 500,00)

9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00 aplicado durante 2 anos, 4

meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano pelo regime de capitalização simples. (R.: R$

15.725,00)

10) Calcule o juro simples resultante de uma aplicação de R$ 32.500,00 à taxa de 18% ao

ano, durante 3 meses.

(R.: R$ 1.462,50)

11) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000,00 em regime de juro simples, durante 2

anos e 4 meses, à taxa de 24% ao ano. (R.: R$ 2.800,00)

12) Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo

ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago pelo regime de

juro simples? (R.: R$ 1.360,00)

13) Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para obtermos

R$ 441,00 de juro?

(R.: R$ 9.800,00)

80

14) Qual o valor principal que, aplicado a juro simples durante 1 ano e 6 meses, à taxa de

1,2% ao mês, rendeu R$ 19.008,00? (R.: R$ 88.000,00)

15)A que taxa foi empregado a juro simples o capital de R$ 12.000,00 que, no prazo de 2

anos, rendeu R$ 8.400,00 de juro? (R.: 35% aa)

16) Uma aplicação de R$ 8.000,00 pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento de R$

1.680,00. Qual a taxa anual correspondente? (R.: 42% aa)

17) Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 12.800,00 que, à

taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896,00 ao ser aplicado pelo regime de juro simples. (R.:

7meses)

18) Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00 à taxa de 36% ao ano, para

obtermos R$ 2.376,00 de juro através da capitalização simples? (R.: 1,375anos ou 1 ano

4 meses e 15 dias)

19) Um capital de R$ 10.500,00 rendeu R$ 1.225,00 de juro. Sabendo que a taxa de juro

simples contratada foi de 42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/88 qual o

tempo de vencimento? (R.: 0,278ano ou 100dias)

20) Qual o capital a ser aplicado no período de 05/06 a 30/11 do mesmo ano, à taxa de

36% ao ano, para render um juro de R$ 5.696,00 pelo regime simples de capitalização?

(R.: R$ 32.000,00)

21) A que taxa de juro simples foi aplicado um capital de R$ 6.000,00 que, durante 6

meses, rendeu R$ 1.320,00 de juro? (R.: 3,66%ao mês)

22) Durante quanto tempo foram aplicados R$ 19.680,00 que à taxa de 33,6% ao ano,

renderam R$ 9.368,00 de juro?

(R.: 1ano e 5 meses)

23) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 2,5% ao mês, durante

2 anos. (R.: R$ 8.000,00)

24) Uma pessoa aplicou R$ 90.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o

montante de R$ 180.000,00. Qual foi a taxa anual cobrada pelo regime de capitalização

simples? (R.: 20%)

25) Um capital foi aplicado a juro simples à uma taxa de 45% ao ano. Efetuou-se o

resgate no valor de R$ 107.800,00 após 3 anos. Qual o valor do capital inicial? (R.: R$

45.872,34)

26) Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 200.000, 00 a 2,5% ao mês, renda um

montante de R$ 240.000,00 pelo regime de juro simples? (R.: 8 meses)

81

27) Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00 à taxa de juro simples

de 16% ao ano, para obtermos um montante de R$ 8.320,00 ? (R.: 0,25ano ou 3 meses)

28) Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor,

após 10 meses a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro simples anual. (R.:

42%aa)

29) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 a juro simples

durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês ? (R.: R$ 40.600,00)

30) Qual é o tempo em que um capital de R$ 96.480,00 a 25% ao ano, rende R$ 79.395,00

de juro, aplicado a juro simples? (R.: 3,3 ano)

Taxa Equivalente a Juro Simples

1) Calcular a taxa anual equivalente a:

a) 6% ao mês; R.: 72%

b) 10% ao bimestre. R.: 60%

2) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a:

a) 60% ao ano; R.: 30%

b) 9% ao trimestre. R.: 18%

Juro Exato e Juro Comercial

1) Uma divida no valor de R$ 15.000,00 foi quitada 74 dias antes do vencimento, com a a

taxa de 36% ao ano. Determine;

a) O juro exato; R.: R$ 1.094,79

b) O juro bancário. R.: R$ 1.110,00

2) Calcular os juros de R$ 18.000,00 aplicados durante 5 meses ( de 30 dias) e 14 dias a

taxa de juros simples de 32% ao ano. Efetuar os cálculos para os anos comercial e exato.

R.: Jcom = R$ 2.624,00 e Jex = R$ 2.588,05

Desconto Simples

1) Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo

liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% ao ano à taxa nominal de juros

corrente, pede-se calcular:

a) O Desconto Racional Simples; R.: $ 380,10

b) O Valor descontado desta operação. R.: $ 3.619,90

82

2) Calcular o valor atual de um conjunto de duplicatas descontadas num banco a 1,3% ao

mês, conforme o borderô a seguir:

DUPLICATAS VALOR($) PRAZO

(VENCIMENTO)

C 4.500,00 12 dias

E 2.800,00 27 dias

B 1.900,00 51 dias

TOTAL................. 9.200,00 ..................................

R. DBSc = $ 23,40 DBSe = $ 32,76 DBSb = $ 41,99 VA = $

9.101,85

3) Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo

liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% ao ano a taxa de desconto

adotada, pede-se calcular o desconto comercial e o valor líquido desta operação. R.: DBS

= $ 420,00 e VL = $ 3.580,00

4) Um título no valor nominal de R$ 4.500,00 é descontado 90 dias antes de seu

vencimento, à taxa de juros simples de 3,4% ao mês. Qual é o desconto racional? (R.: e)

a) R$ 500,79

b) R$ 200,43

c) R$509,00

d) R$308,00

e) R$ 416,51

5) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 23.000,00, com

vencimento para 120 dias, à taxa de 2,4%a m?(R.: a)

a) R$ 2.208,00

b) R$ 2.356,00

c) R$ 5.167,00

d) R$ 3.000,00

e) R$ 1.500,00

6) Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o

vencimento do título, determine:

a) o valor do desconto comercial simples; (R.: R$ 189,00)

b) o valor atual (líquido) . (R.: R$ 5.811,00)

7) Determine o valor do desconto racional simples e o valor atual de um título de R$

50.000, disponível dentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês. (R.: R$ 1.923,08 e 48.076,92)

8)Determine o desconto racional simples de uma promissória de R$ 3.000, à taxa de 40%

ao ano, resgatada 75 dias antes do vencimento. (R.: R$ 230,77)

83

Juro Composto

1) Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar

hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? (R.: $

22.463,70)

2) Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8

meses à taxa de juros composta de 3,5% ao mês? (R.: $ 15.801, 70)

3) Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros

de 2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da

operação. (R.: 8 meses)

4) Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa

composta de 4,5% ao mês.

(R.: $ 21.664,02)

5) Calcule o montante de R$ 20.000 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses.

(R.: R$ 66.671,80)

6) Calcule o montante de R$ 5.000, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses.

(R.: R$ 5.465,41)

7) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200, por um prazo de 8 meses, no regime

de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. (R.: R$ 9.237,23)

8) Calcule o montante do capital de R$ 75.000, colocado a juros compostos à taxa de 24

3

% ao mês, no fim de 6 meses. (R.: R$ 82.008,22)

9) Qual o montante produzido por R$ 12.000, em regime de juros compostos, à taxa de 2%

ao mês durante 40 meses?

(R.: R$ 26.496,47)

10) Calcule o capital inicial aplicado a juros compostos que, no prazo de 5 meses, a 3% ao

mês, produziu o montante de R$ 4.058,00. (R.: R$ 3.500,46)

11) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao

mês, durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 79.475, calcule esse capital. (R.: R$

72.000,42)

12) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200, sem entrada,

para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa

mensal cobrada pela loja pelo regime de juro composto? (R.: 4%)

84

13) Calcule o montante produzido por R$ 2.000, aplicados em regime de juro composto a

5% ao mês, durante 2 meses. (R.: R$ 2.205)

14) Uma pessoa toma R$ 3.000 emprestado, a juro de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses,

com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? (R.: R$ 4.031,74)

15) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000 pode ser quitado em um único

pagamento de R$ 22.125, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime

de juro composto. (R.: 5 semestre ou 2 anos e 6 meses)

16) Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje uma quantia de R$ 12.000 para

receber R$ 16.127 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento

proposto no regime de juro composto? (R.: 3% )

17) O capital de R$ 8.700, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no

fim de certo tempo a R$ 11.456. Calcule esse tempo. (R.: 8meses)

18) Qual será o montante de R$ 3.000, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 anos e 3

meses? (R.: R$ 15.424,81)

19) Empreguei um capital de R$ 25.000, em regime de juros compostos, à taxa de 35% ao

ano, durante 2 anos e 6 meses. Quanto recebi? (R.: R$ 52.938,84)

20) Qual o montante de um capital de R$ 5.000, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano

capitalizados trimestralmente pelo regime de capitalização composta? (R.: R$ 7.969,24)

21) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000, à taxa de 3% ao mês, num prazo de

14 meses pelo regime de juro composto. (R.: R$ 12.101,71)

22) Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000, a 4,5% ao mês, capitalizado

mensalmente durante 8 meses a juro composto. (R.: R$ 8.442,01)

23) Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto,

aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês? (R.: R$ 7.894,02)

24) Calcule o montante de R$ 8.500, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses.

(R.: R$ 22.823,04)

25) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8

meses somou-se um montante de R$ 19.752. (R.: R$ 15.000)

26) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à

taxa de 3% ao mês a juros compostos? (R.: R$ 13meses)

27) Um capital de R$ 20.000 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$

3.774 de juro. Determine a taxa de aplicação. (R.: 2,5%ao mês)

85

28)O capital de R$ 12.000, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante

8 meses, elevou-se no final desse prazo a R$ 15.559. Calcule a taxa de juro. (R.39,6% aa)

29) O capital de R$ 18.000 foi aplicado a juros compostos por 2 anos a 20% ao ano,

capitalizados trimestralmente. Qual o montante? (R.: R$ 26.594,19)

30) Durante quanto tempo R$ 25.000 produzem R$ 14.846 de juro, a 24% ao ano,

capitalizado trimestralmente a juros compostos? (R.: 2,16anos)

Desconto Composto

1) Um título de valor nominal de $ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de

desconto bancário composto 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto

adotada atinge 5% ao mês. Pede-se:

a) O valor atual; R.: $ 30.243,31

b) O desconto. R.: $ 4.765,68

2) Determinar o valor atual e desconto racional composto de um título de valor nominal $

3.500,00 adotando uma taxa de juros de composto de 2,8% ao mês, sendo descontado 4

meses antes do seu vencimento.R. VL = $ 3.133,97 e DRC = $ 366,03

3) Determine o valor atual de um título de R$ 800, saldado 4 meses antes de seu

vencimento, à taxa de desconto racional composto de 2% ao mês. (R.: R$ 739,07)

4) Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120, com vencimento para

2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizado semestralmente pelo regime de

desconto bancário composto. (R.: R$ 489,56)

5) Qual o desconto bancário composto que um título de R$ 5.000 sofre ao ser descontado

3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? (R.: R$ 357,00)

6) Um título de valor nominal de R$ 1.500 foi resgatado 3 meses antes de seu

vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente.

Qual foi o desconto comercial composto concedido? (R.: R$ 107,10)

7) Em uma operação de desconto comercial composto, o portador do título recebeu R$

36.954 como valor líquido. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e a taxa de juro

mensal de 2%. Qual o valor nominal? (R.: R$ 40.000,21)

8) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de 7.000, faltando ainda 3 meses para

o seu vencimento. Calcule o valor atual, sabendo que a taxa de desconto bancário composto

é de 3,5% ao mês. (R.: R$ 6.313,59)

86

9) Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu

vencimento, sendo a taxa de desconto comercial composto de 24% ao ano. (R.: R$

29.137,83)

Taxa Equivalente a Juro Composto – Taxas: Real, Aparente e de Inflação

1) Quais as taxas de juro composto mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? (R.:

1,87%am e 5,73% at)

2) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 9% ao ano de juros

reais, caso a taxa aparente seja de 18% ao ano? (R.: I = 8,25% aa)

3) Qual a taxa real de um empréstimo contratado a uma taxa aparente de 12%, considerando

uma inflação para o mesmo período de 8% ? (R.: R = 3,70%)

4) Qual a taxa aparente ganha se a Inflação for de 18% ao ano e o juro real for de 3,5% ao

ano? (R.: i = 22,13%)

Séries Uniformes de Pagamentos: Postecipada e Antecipada

1) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia

de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros

compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente.

(R.: FV = R$ 520,40)

2) Com o objetivo de formar um montante para compra de equipamentos, no final de cada

mês uma empresa aplica $ 2.000,00. Quanto a empresa terá acumulado no final de sua sexta

aplicação anual, sabendo-se que a taxa de juro é de 12% ao ano? (R.: FV = $ 16.230,37)

3) Uma empresa necessita contratar um empréstimo de liquidez para equilibrar seu caixa de

curto prazo. Após analisar seu fluxo de caixa, verificou que sua capacidade de pagamento é

de seis parcelas mensais postecipadas de $ 3.000,00. Sabendo-se que a taxa de juro para

essa modalidade de empréstimo é de 2,59% ao mês, determinar a valor do capital que a

empresa pode tomar emprestado. (R.: PV = $ 16.474,75)

4) Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa

de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito,

forme um montante de R$ 400.000,00?

(R.: PMT = R$ 30.347,18)

5) Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00 à taxa

de 25% ao ano.

87

(R.: PMT = R$ 17.763,89)

6) Quantas prestações mensais de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês, a

fim de se construir o montante de R$ 6.706,00? (R.: n = 12 prestações mensais)

7) Qual é o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação é de $ 200, 00, sem entrada se a

taxa é de 2,5% am. em 18 meses. (R.: PV= $ 2.870,67)

8) Calcular a prestação referente a uma mercadoria, cujo preço a vista é de $ 10.000,00 caso

ocorra a seguinte hipótese sobre a taxa e respectivo prazo: taxa de juros 2,5% ao mês e

prazo de 12 meses postecipado? (R.: PMT = $ 974,87)

9) Em quantas prestações mensais de $ 1.004,62 sem entrada será pago um título de um

clube de campo, se seu valor a vista for de $ 10.000,00 e a taxa contratada for de 3% am?

(R.: n = 12 meses)

10) Uma empresa negociou uma dívida de $ 10.000,00 junto a um banco, solicitando

pagá-la em parcelas mensais postecipadas de $ 1.800,00. Sabendo-se que a taxa de juro

para essa modalidade de empréstimo é de 2,24% ao mês, quantas parcelas serão

necessárias para quitar o débito? (R.: n = 6)

11) No início de cada mês uma empresa aplica $ 2.000,00 de sua sobra de caixa. Calcular

o valor futuro formado ao final da sua sexta e última aplicação, sabendo que a taxa de juro

é de 1,5% ao mês. (R.: FV = $ 12.645,98)

12) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se

processando nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga

2,5% ao mês sobre o saldo credor. (R.: PMT = $ 367,67)

13) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de $ 1.200,00 e vai devolvê-la em 15

prestações mensais iguais, a primeira a vencer um mês após a data do empréstimo. Se os

juros são compostos, à taxa de 10% ao mês, determinar o valor de cada uma das

prestações. (R.: PMT = $ 157,76)

14) Um equipamento custa a vista $ 12.766,56, uma empresa que adquirir a prazo, com

prestação mensal de $ 1.000,00, sendo que a primeira será pago no ato da compra.

Sabendo-se que a taxa de juro cobrada será de 2% ao mês, qual a quantidade de parcelas?

(R.: n = 14,54 aprox. 15)

15) Um banco está negociando uma cessão de crédito, composta de cinco recebimentos

mensais de $ 3.000,00 com o primeiro vencendo na data da operação. Calcular o capital

que o banco deve pagar ao cedente, sabendo-se que a taxa de juro é de 1,4% ao mês. (R.:

PV = $ 14.591,47)

88

16) Se um poupador aplicar R$ 250,00 mensais a partir de hoje durante 3 anos, a uma

taxa de 1,2% ao mês, quanto terá acumulado no final do prazo determinado? (R.: FV =

R$ 11.308,66)

17) O preço a vista de um equipamento é de $ 16.000,00, pode ser pago em seis parcelas

mensais iguais, com a primeira vencendo na data da assinatura do contrato. Se a taxa de

juro é de 2,5% ao mês, qual o valor das parcelas? (R.: PMT = $ 2.833,95)

Sistemas de Amortização: SFA/PRICE e SAC

1) Montar a planilha de amortização pelo SFA, de uma dívida de $ 1.200,00 a ser paga em

4 parcelas mensais consecutivas, à taxa de 3% ao mês com 2 meses de carência.

N SD PAN JUROS PMT

0 1200,00 ----- --------- --------

1 1200,00 ----- 36,00 36,00

2 1200,00 ---- 36,00 36,00

3

4

5

6

TOTAL

2) Uma financeira empresta o valor de $15.000,00, com taxa de 16% ao ano, para ser

pago em 5 pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de

Amortização. Elabore a planilha de financiamento.

N SD PAN JUROS PMT

0 15.000,00 ----- ------ -----

1

2

3

4

5

TOTAL

3) Um banco empresta a uma empresa R$ 180.000,00 pelo prazo de 5 anos, à taxa de

8% ao ano. Sabendo que será adotado o SFA, construa a planilha de amortização.

89

N SD PAN JUROS PMT

0 180.000,00 ----- ----- -----

1

2

3

4

5

TOTAL

4) Uma financeira emprestou R$ 80.000,00, sem prazo de carência. Sendo a taxa de juro

cobrada de 12% ao ano devendo a liquidação ser feita em 8 anos, construa a planilha de

amortização pelo SFA.

N SD PAN JUROS PMT

0 80.000,00 ----- ----- -----

1

2

3

4

5

6

7

8

TOTAL

5) Uma financeira faz um empréstimo de R$ 1000.000,00, para ser pago pelo SAC em 4

prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização.

N SD PAN JUROS PMT

0 100.000,00 ----- ----- -----

1

2

3

4

TOTAL

6) Um empréstimo de R$ 200.000,00 será saldado em 8 prestações semestrais pelo SAC,

tendo sido contratada a taxa de juro de 10% ao semestre. Confeccione a planilha de

amortização.

N SD PAN JUROS PMT

0 200.000,00 ----- ----- -----

90

1

2

3

4

5

6

7

8

TOTAL

91

APÊNDICES

Tabela para Contagem de Dias

Meses

Dias

Jan.

Fev.

Mar.

Abr.

Mai.

Jun.

Jul.

Ago.

Set.

Out.

Nov.

Dez.

01 01 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335

02 02 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336

03 03 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337

04 04 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338

05 05 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339

06 06 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340

07 07 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341

08 08 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342

09 09 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345

12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346

13 13 44 72 103 133 164 194 225 1256 286 317 347

14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348

15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350

17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351

18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352

19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353

20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354

21 21 52 80 111 141 172 201 233 264 294 325 355

22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356

23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357

24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358

25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359

26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360

27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361

28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362

29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363

30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364

31 31 90 151 212 243 304 365

92

NOTA:

Se o ano é bissexto, deve-se aumentar uma unidade ao resultado, caso mês de fevereiro esteja

incluído na contagem.

Tábua Financeira

i = 0,5% i = 1%

n (1 + i)n (1 + i)

-n Ani Sni n (1 + i)

n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,00500 0,99502 0,99502 1,00000 1 1,01000 0,99010 0,99010 1,00000

2 1,01002 0,99007 1,98510 2,00500 2 1,02010 0,98030 1,97040 2,01000

3 1,01508 0,98515 2,97025 3,01502 3 1,03030 0,97059 2,94099 3,03010

4 1,02015 0,98025 3,95050 4,03010 4 1,04060 0,96098 3,90197 4,06040

5 1,02525 0,97537 4,92587 5,05025 5 1,05101 0,95147 4,85343 5,10101

6 1,03038 0,97052 5,89638 6,07550 6 1,06152 0,94205 5,79548 6,15202

7 1,03553 0,96569 6,86207 7,10588 7 1,07214 0,93272 6,72819 7,21354

8 1,04071 0,96089 7,82296 8,14141 8 1,08286 0,92348 7,65168 8,28567

9 1,04591 0,95610 8,77906 9,18212 9 1,09369 0,91434 8,56602 9,36853

10 1,05114 0,95135 9,73041 10,22803 10 1,10462 0,90529 9,47130 10,46221

11 1,05640 0,94661 10,67703 11,27917 11 1,11567 0,89632 10,36763 11,56683

12 1,06168 0,94191 11,61893 12,33556 12 1,12683 0,88745 11,25508 12,68250

13 1,06699 0,93722 12,55615 13,39724 13 1,13809 0,87866 12,13374 13,80933

14 1,07232 0,93256 13,48871 14,46423 14 1,14947 0,86996 13,00370 14,94742

15 1,07768 0,92792 14,41662 15,53655 15 1,16097 0,86135 13,86505 16,09690

16 1,08307 0,92330 15,33993 16,61423 16 1,17258 0,85282 14,71787 17,25786

17 1,08849 0,91871 16,25863 17,69730 17 1,18430 0,84438 15,56225 18,43044

18 1,09393 0,91414 17,17277 18,78579 18 1,19615 0,83602 16,39827 19,61475

19 1,09940 0,90959 18,08236 19,87972 19 1,20811 0,82774 17,22601 20,81090

20 1,10490 0,90506 18,98742 20,97912 20 1,22019 0,81954 18,04555 22,01900

21 1,11042 0,90066 19,88798 22,08401 21 1,23239 0,81143 18,85698 23,23919

22 1,11597 0,89608 20,78406 23,19443 22 1,24472 0,80340 19,66038 24,47159

23 1,12155 0,89162 21,67568 24,31040 23 1,25716 0,79544 20,45582 25,71630

24 1,12716 0,88719 22,56287 25,43196 24 1,26973 0,78757 21,24339 26,97346

25 1,13280 0,88277 23,44564 26,55912 25 1,28243 0,77977 22,02316 28,24320

26 1,13846 0,87838 24,32402 27,69191 26 1,29526 0,77205 22,79520 29,52563

27 1,14415 0,87401 25,19803 28,83037 27 1,30821 0,76440 23,55961 30,82089

28 1,14987 0,86966 26,06769 29,97452 28 1,32129 0,75684 24,31644 32,12910

29 1,15562 0,86533 26,93302 31,12439 29 1,33450 0,74934 25,06579 33,45039

93

30 1,16140 0,86103 27,79405 32,28002 30 1,34785 0,74192 25,80771 34,78489

i = 1,5% i = 2%

n (1 + i)n (1 + i)


n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,01500 0,98522 0,98522 1,00000 1 1,02000 0,98039 0,98039 1,00000

2 1,03022 0,97066 1,95588 2,01500 2 1,04040 0,96117 1,94156 2,02000

3 1,04568 0,95632 2,91220 3,04522 3 1,06121 0,94232 2,88388 3,06040

4 1,06136 0,94218 3,85438 4,09090 4 1,08243 0,92385 3,80773 4,12161

5 1,07728 0,92826 4,78264 5,15227 5 1,10408 0,90573 4,71346 5,20404

6 1,09344 0,91454 5,69719 6,22955 6 1,12616 0,88797 5,60143 6,30812

7 1,10984 0,90103 6,59821 7,32299 7 1,14869 0,87056 6,47199 7,43428

8 1,12649 0,88771 7,48593 8,43284 8 1,17166 0,85349 7,32548 8,58297

9 1,14339 0,87459 8,36052 9,55933 9 1,19509 0,83676 8,16224 9,75463

10 1,16054 0,86167 9,22218 10,70272 10 1,21899 0,82035 8,98259 10,94972

11 1,17795 0,84893 10,07112 11,86326 11 1,24337 0,80426 9,36763 12,16872

12 1,19562 0,83639 10,90751 13,04121 12 1,26824 0,78849 10,57534 13,41209

13 1,21355 0,82403 11,73153 14,23683 13 1,29361 0,77303 11,34837 14,68033

14 1,23176 0,81185 12,54338 15,45038 14 1,31948 0,75788 12,10625 15,87394

15 1,25023 0,79985 13,34323 16,68214 15 1,34587 0,74301 12,84926 17,29342

16 1,26899 0,78803 14,13126 17,93237 16 1,37279 0,72845 13,57771 18,63929

17 1,28802 0,77639 14,90765 19,20136 17 1,40024 0,71416 14,29187 20,01207

18 1,30734 0,76491 15,67256 20,48938 18 1,42825 0,70016 14,99203 21,41231

19 1,32695 0,75361 16,42617 21,79672 19 1,45681 0,68643 15,67846 22,84056

20 1,34686 0,74247 17,16864 23,12367 20 1,48595 0,67297 16,35143 24,29737

21 1,36706 0,73150 17,90014 24,47052 21 1,51567 0,65978 17,01121 25,78332

22 1,38756 0,72069 18,62082 25,83758 22 1,54598 0,64684 17,65805 27,29898

23 1,40838 0,71004 19,33086 27,22514 23 1,57690 0,63416 18,29220 28,84496

24 1,42950 0,69954 20,03041 28,63352 24 1,60844 0,62172 18,91393 30,42186

25 1,45095 0,68921 20,71961 30,06302 25 1,64061 0,60953 19,52346 32,03030

26 1,47271 0,67902 21,39863 31,51397 26 1,67342 0,59758 20,12104 33,67091

27 1,49480 0,66899 22,06762 32,98668 27 1,70689 0,58586 20,70690 35,34432

28 1,51722 0,65910 22,72672 34,48148 28 1,74102 0,57437 21,28127 37,05121

29 1,53998 0,64936 23,37608 35,99870 29 1,77584 0,56311 21,84438 38,79223

30 1,56308 0,63976 24,01584 37,53868 30 1,81136 0,55207 22,39646 40,56808

94

i = 2,5% i = 3%

n (1 + i)n (1 + i)


n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,02500 0,97561 0,97561 1,00000 1 1,03000 0,97087 0,97087 1,00000

2 1,05062 0,95181 1,92742 2,02500 2 1,06090 0,94260 1,91347 2,03000

3 1,07689 0,92860 2,85602 3,07562 3 1,09273 0,91514 2,82861 3,09090

4 1,10381 0,90595 3,76197 4,15252 4 1,12551 0,88849 3,71710 4,18363

5 1,13141 0,88385 4,64583 5,25633 5 1,15927 0,86261 4,57971 5,30914

6 1,15969 0,86230 5,50813 6,38774 6 1,19405 0,83748 5,41719 6,46841

7 1,18869 0,84127 6,34939 7,54743 7 1,22987 0,81309 6,23028 7,66246

8 1,21840 0,82075 7,17014 8,73612 8 1,26677 0,78941 7,01969 8,89234

9 1,24886 0,80073 7,97087 9,95452 9 1,30477 0,76642 7,78611 10,15911

10 1,28008 0,78120 8,75206 11,20338 10 1,34392 0,74409 8,53020 11,46388

11 1,31209 0,76214 9,51421 12,48347 11 1,38423 0,72242 9,25262 12,80780

12 1,34489 0,74356 10,25776 13,79555 12 1,42576 0,70138 9,95400 14,19203

13 1,37851 0,72542 10,98318 15,14044 13 1,46853 0,68095 10,63496 15,61779

14 1,41297 0,70773 11,69091 16,51895 14 1,51259 0,66112 11,29607 17,08632

15 1,44830 0,69047 12,38138 17,93193 15 1,55797 0,64186 11,93794 18,59891

16 1,48451 0,67362 13,05500 19,38022 16 1,60471 0,62317 12,56110 20,15688

17 1,52162 0,65720 13,71220 20,86473 17 1,65285 0,60502 13,16612 21,76159

18 1,55966 0,64117 14,35336 22,38635 18 1,70243 0,58739 13,75351 23,41444

19 1,59865 0,62553 14,97889 23,94601 19 1,75351 0,57029 14,32380 25,11687

20 1,63862 0,61027 15,58916 25,54466 20 1,80611 0,55368 14,87747 26,87037

21 1,67958 0,59539 16,18455 27,18327 21 1,86029 0,53755 15,41502 28,67649

22 1,72157 0,58086 16,76541 28,86286 22 1,91610 0,52189 15,93692 30,53678

23 1,76461 0,56670 17,33211 30,58443 23 1,97359 0,50669 16,44361 32,45288

24 1,80873 0,55288 17,88499 32,34904 24 2,03279 0,49193 16,93554 34,42647

25 1,85394 0,53939 18,42438 34,15776 25 2,09378 0,47761 17,41315 36,45926

26 1,90029 0,52623 18,95061 36,01171 26 2,15659 0,46369 17,87684 38,55304

27 1,94780 0,51340 19,46401 37,91200 27 2,22129 0,45019 18,32703 40,70963

28 1,99650 0,50088 19,96489 39,85980 28 2,28793 0,43708 18,76411 42,93092

29 1,04641 0,48866 20,45355 41,85630 29 2,35657 0,42435 19,18845 45,21885

30 1,09757 0,47674 20,93029 43,90270 30 2,42726 0,41199 19,60044 47,57542

95

i = 3,5% i = 4%

n (1 + i)n (1 + i)


n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,03500 0,96618 0,96618 1,00000 1 1,04000 0,96154 0,96154 1,00000

2 1,07122 0,93351 1,89969 2,03500 2 1,08160 0,92456 1,88609 2,04000

3 1,10872 0,90194 2,80164 3,10622 3 1,12486 0,88900 2,77509 3,12160

4 1,14752 0,87144 3,67308 4,21494 4 1,16986 0,85480 3,62990 4,24646

5 1,18769 0,84197 4,51505 5,36247 5 1,21665 0,82193 4,45182 5,41632

6 1,22926 0,81350 5,32855 6,55015 6 1,26532 0,79031 5,24214 6,63298

7 1,27228 0,78599 6,11454 7,77941 7 1,31593 0,75992 6,00205 7,89829

8 1,31681 0,75941 6,87396 9,05169 8 1,36857 0,73069 6,73274 9,21423

9 1,36290 0,73373 7,60769 10,36850 9 1,42331 0,70259 7,43533 10,58280

10 1,41060 0,70892 8,31661 11,73139 10 1,48024 0,67556 8,11090 12,00611

11 1,45997 0,68495 9,00155 13,14199 11 1,53945 0,64958 8,76048 13,48635

12 1,51107 0,66178 9,66333 14,60196 12 1,60103 0,62460 9,38507 15,02581

13 1,56396 063940 10,30274 16,11303 13 1,66507 0,60057 9,98565 16,62684

14 1,61869 0,61778 10,92052 17,67699 14 1,73168 0,57748 10,56312 18,29191

15 1,67535 0,59689 11,51741 19,29568 15 1,80094 0,55526 11,11839 20,02359

16 1,73399 0,57671 12,09412 20,97103 16 1,87298 0,53391 11,65230 21,82453

17 1,79468 0,55720 12,65132 22,70502 17 1,94790 0,51337 12,16567 23,69751

18 1,85749 0,53836 13,18968 24,49969 18 1,02582 0,49363 12,65930 25,64541

19 1,92250 0,52016 13,70984 26,35718 19 1,10685 0,47464 13,13394 27,67123

20 1,98979 0,50257 14,21240 28,27968 20 1,19112 0,45639 13,59033 29,77808

21 1,05943 0,48557 14,69797 30,26947 21 1,27877 0,43883 14,02916 31,96920

22 1,13151 0,46915 15,16712 32,32890 22 1,36992 0,42196 14,45112 34,24797

23 1,20611 0,45329 15,62041 34,46041 23 1,46472 0,40573 14,85684 36,61789

24 1,28333 0,43796 16,05837 36,66653 24 1,56330 0,39012 15,24696 39,08260

25 1,36324 0,42315 16,48151 38,94986 25 1,66584 0,37512 15,62208 41,64591

26 2,44596 0,40884 16,89035 41,31310 26 1,77247 0,36069 15,98277 44,31174

27 2,53157 0,39501 17,28536 43,75906 27 1,88337 0,34682 16,32959 47,08421

28 2,62017 0,38165 17,66702 46,29063 28 1,99870 0,33348 16,66306 49,96758

29 2,71188 0,36875 18,03577 48,91080 29 1,11865 0,32065 16,98371 52,96629

30 2,80679 0,35628 18,39205 51,62268 30 1,24340 0,30832 17,20203 56,08494

96

i = 4,5% i = 5%

n (1 + i)n (1 + i)


n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,04500 0,95694 0,95694 1,00000 1 1,05000 0,95238 0,95238 1,00000

2 1,09202 0,91573 1,87267 2,04500 2 1,20250 0,90703 1,85941 2,05000

3 1,14117 0,87630 2,74896 3,13702 3 1,15762 0,86384 2,72325 3,15250

4 1,19252 0,83856 3,58753 4,27819 4 1,21551 0,82270 3,54595 4,31012

5 1,24618 0,80245 4,38998 5,47071 5 1,27628 0,78353 4,32948 5,52563

6 1,30226 0,76790 5,15787 6,71689 6 1,34010 0,74622 5,07569 6,80191

7 1,36086 0,73483 5,89270 8,01915 7 1,40710 0,71068 5,78637 8,14201

8 1,42210 0,70319 6,59589 9,38001 8 1,47746 0,67684 6,46321 9,54911

9 1,48610 0,67290 7,26879 10,80211 9 1,55133 0,64461 7,10782 11,02656

10 1,55297 0,64393 7,91272 12,28821 10 1,62889 0,61391 7,72173 12,57789

11 1,62285 0,61620 8,52892 13,84118 11 1,71034 0,58468 8,30641 14,20679

12 1,69588 0,58966 9,11858 15,46403 12 1,79586 0,55684 8,86325 15,91713

13 1,77220 0,56427 9,68285 17,15991 13 1,88565 0,53032 9,39357 17,71298

14 1,85194 0,53997 10,22283 18,93211 14 1,97993 0,50507 9,89864 19,59863

15 1,93528 0,51672 10,73955 20,78405 15 2,07893 0,48102 10,37966 21,57856

16 2,02237 0,49447 11,23402 22,71934 16 2,18287 0,45811 10,83777 23,65749

17 2,11338 0,47318 11,70719 24,74171 17 2,29202 0,43630 11,27407 25,84037

18 2,20848 0,45280 12,15999 26,85508 18 2,40662 0,41552 11,68959 28,13238

19 2,30786 0,43330 12,59329 29,06356 19 2,52695 0,39573 12,08532 30,53900

20 2,41171 0,41464 13,00794 31,37142 20 2,65330 0,37689 12,46221 33,06595

21 2,52024 0,39679 13,40472 33,78314 21 2,78596 0,35894 12,82115 35,71925

22 2,63365 0,37970 13,78442 36,30338 22 2,92526 0,34185 13,16300 38,50521

23 2,75217 0,36335 14,14777 38,93703 23 3,07152 0,32557 13,48857 41,43048

24 2,87601 0,34770 14,49548 41,68920 24 3,22510 0,31007 13,79864 44,50200

25 3,00543 0,33273 14,82821 44,56521 25 3,38635 0,29530 14,09394 47,72710

26 3,14068 0,31840 15,14661 47,57064 26 3,55567 0,28124 14,37519 51,11345

27 3,28201 0,30469 15,45130 50,71132 27 3,733346 0,26785 14,64303 54,66913

28 3,42970 0,29157 15,74287 53,99333 28 3,92013 0,25509 14,89813 58,40258

29 3,58404 0,27902 16,02189 57,42303 29 4,11614 0,24295 15,14107 62,32271

30 3,74532 0,26700 16,28889 61,00707 30 4,32194 0,23138 15,37245 66,43885

97

i = 5,5% i = 6%

n (1 + i)n (1 + i)


n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,05500 0,94787 0,94787 1,00000 1 1,06000 0,94340 0,94340 1,00000

2 1,11302 0,89845 1,84832 2,05500 2 1,12360 0,89000 1,83339 2,06000

3 1,17424 0,85161 2,69793 3,16802 3 1,19102 0,83962 2,67301 3,18360

4 1,23882 0,80722 3,50515 4,34227 4 1,26248 0,79209 3,46511 4,37462

5 1,30696 0,76513 4,27028 5,58109 5 1,33823 0,74726 4,21236 5,63709

6 1,37884 0,72525 4,99553 6,88805 6 1,41852 0,70496 4,91732 6,97532

7 1,45468 0,68744 5,68297 8,26689 7 1,50363 0,66506 5,58238 8,39384

8 1,53469 0,65160 6,33457 9,72157 8 1,59385 0,62741 6,20979 9,89747

9 1,61909 0,61763 6,95220 11,25626 9 1,68948 0,59190 6,80169 11,49132

10 1,70814 0,58543 7,53763 12,87535 10 1,79085 0,55839 7,36009 13,18079

11 1,80209 0,55491 8,09254 14,58350 11 1,89830 0,52679 7,88687 14,97164

12 1,90121 0,52598 8,61852 16,38559 12 2,01220 0,49697 8,38384 16,86994

13 2,00577 0,49856 9,11708 18,28680 13 2,13293 0,46884 8,85268 18,88214

14 2,11609 0,47257 9,58965 20,29257 14 2,26090 0,44230 9,29498 21,01507

15 2,23248 0,44793 10,03758 22,40866 15 2,39656 0,41727 9,71225 23,27597

16 2,35526 0,42458 10,46216 24,64114 16 2,54035 0,39365 10,10590 25,67253

17 2,48480 0,40245 10,86461 26,99640 17 2,69277 0,37136 10,47726 28,21288

18 2,62147 0,38147 11,24607 29,48120 18 2,85434 0,35034 10,82760 30,90565

19 2,76565 0,36158 11,60765 32,10267 19 3,02560 0,33051 11,15812 33,75999

20 2,91776 0,34273 11,95038 34,86832 20 3,20714 0,31180 11,46992 36,78559

21 3,07823 0,32486 12,27524 37,78608 21 3,39956 0,29416 11,76408 39,99273

22 3,24754 0,30793 12,58317 40,86431 22 3,60354 0,27751 12,04158 43,39229

23 3,42615 0,29187 12,87504 44,11185 23 3,81975 0,26180 12,30338 46,99583

24 3,61459 0,27666 13,15170 47,53800 24 4,04893 0,24698 12,55036 50,81558

25 3,81339 0,26223 13,41393 51,15259 25 4,29187 0,23300 12,78336 54,86451

26 4,02313 0,24856 13,66250 54,96598 26 4,54938 0,21981 13,00317 59,15638

27 4,24440 0,23560 13,89810 58,98911 27 4,82235 0,20737 13,21053 63,70577

28 4,47784 0,22332 14,12142 63,23351 28 5,11169 0,19563 13,40616 68,52811

29 4,72412 0,21168 14,33310 67,71135 29 5,41839 0,18456 13,59072 73,63980

30 4,98395 0,20064 14,53375 72,43548 30 5,74349 0,17411 13,76483 79,05819

98

i = 6,5% i = 7%

n (1 + i)n (1 + i)


n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,06500 0,93897 0,93897 1,00000 1 1,07000 0,93458 0,93458 1,00000

2 1,13422 0,88166 1,82063 2,06500 2 1,14490 0,87344 1,80802 2,07000

3 1,20795 0,82785 2,64848 3,19922 3 1,22504 0,81630 2,62432 3,21490

4 1,28647 0,77732 3,42580 4,40717 4 1,31080 0,76290 3,38721 4,43994

5 1,37009 0,72988 4,15568 5,69364 5 1,40255 0,71299 4,10020 5,75074

6 1,45914 0,68533 4,84101 7,06373 6 1,50073 0,66634 4,76654 7,15329

7 1,55399 0,64351 5,48452 8,52287 7 1,60578 0,62275 5,38929 8,65402

8 1,65500 0,60423 6,08875 10,07686 8 1,71819 0,58201 5,97130 10,25980

9 1,76257 0,56735 6,65610 11,73185 9 1,83846 0,54393 6,51523 11,97799

10 1,87714 0,53273 7,18883 13,49442 10 1,96715 0,50835 7,02358 13,81645

11 1,99915 0,50021 7,68904 15,37156 11 2,10485 0,47509 7,49867 15,78360

12 2,12910 0,46968 8,15873 17,37071 12 2,25219 0,44401 7,94269 17,88845

13 2,26749 0,44102 8,59974 19,49981 13 2,40985 0,41496 8,35765 20,14064

14 2,41487 0,41410 9,01384 21,76730 14 2,57853 0,38782 8,74547 22,55049

15 2,57184 0,38883 9,40267 24,18217 15 2,75903 0,36245 9,10791 25,12902

16 2,73901 0,36510 9,76776 26,75401 16 2,95216 0,33873 9,44665 27,88805

17 2,91705 0,34281 10,11058 29,49302 17 3,15882 0,31657 9,76322 30,84022

18 3,10665 0,32189 10,43247 32,41007 18 3,37993 0,29586 10,05909 33,99903

19 3,30859 0,30224 10,73471 35,51672 19 3,61653 0,27651 10,33560 37,37896

20 3,52365 0,28380 11,01851 38,82531 20 3,85968 0,25842 10,59401 40,99549

i = 7,5% i = 8%

n (1 + i)n (1 + i)


n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,07500 0,93023 0,93023 1,00000 1 1,08000 0,92593 0,92593 1,00000

2 1,15562 0,86533 1,79557 2,07500 2 1,16640 0,85734 1,78326 2,08000

3 1,24230 0,80496 2,60053 3,23062 3 1,25971 0,79383 2,57710 3,24640

4 1,33547 0,74880 3,34933 4,47292 4 1,36049 0,73503 3,31213 4,50611

5 1,43563 0,69656 4,04588 5,80839 5 1,46933 0,68058 3,99271 5,86660

6 1,54330 0,64796 4,69385 7,24402 6 1,58687 0,63017 4,62288 7,33593

7 1,65905 0,60275 5,29660 8,78732 7 1,71382 0,58349 5,20637 8,92280

8 1,78348 0,56070 5,85730 10,44637 8 1,85093 0,54027 5,74664 10,63663

9 1,91724 0,52158 6,37889 12,22985 9 1,99900 0,50025 6,24689 12,48756

10 2,06103 0,48519 6,86408 14,14709 10 2,15892 0,46319 6,71008 14,48656

11 2,21561 0,45134 7,31542 16,20812 11 2,33164 0,42888 7,13896 16,64549

12 2,38178 0,41985 7,73528 18,42373 12 2,51817 0,39711 7,53608 18,97713

99

13 2,56041 0,39056 8,12584 20,80551 13 2,71962 0,36770 7,90378 21,49530

14 2,75244 0,36331 8,48915 23,36592 14 2,93719 0,34046 8,24424 24,21492

15 2,95888 0,33797 8,82712 26,11836 15 3,17217 0,31524 8,55948 27,15211

16 3,18079 0,31439 9,14151 29,07724 16 3,42594 0,29189 8,85137 30,32428

17 3,41935 0,29245 9,43396 32,25804 17 3,70002 0,27027 9,12164 33,75023

18 3,67580 0,27205 9,70601 35,67739 18 3,99602 0,25025 9,37189 37,45024

19 3,95149 0,25307 9,95908 39,35319 19 4,31570 0,23171 9,60360 41,44626

20 4,24785 0,23541 10,19449 43,30468 20 4,66096 0,21455 9,81815 45,76196

i = 8,5% i = 9%

n (1 + i)n (1 + i)


n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,08500 0,92166 0,92166 1,00000 1 1,09000 0,91743 0,91743 1,00000

2 1,17722 0,84946 1,77111 2,08500 2 1,18810 0,84168 1,75911 2,09000

3 1,27729 0,78291 2,55402 3,26222 3 1,29503 0,77218 2,53129 3,27810

4 1,38586 0,72157 3,27560 4,53951 4 1,41158 0,70843 3,23972 4,57313

5 1,50366 0,66505 3,94064 5,92537 5 1,53862 0,64993 3,88965 5,98471

6 1,63147 0,61295 4,55359 7,42903 6 1,67710 0,59627 4,48592 7,52333

7 1,77014 0,56493 5,11851 9,06050 7 1,82804 0,54703 5,03295 9,20043

8 1,92060 0,52067 5,63918 10,83064 8 1,99256 0,50187 5,53482 11,02847

9 2,08386 0,47988 6,11906 12,75124 9 2,17189 0,46043 5,99525 13,02104

10 2,26098 0,44229 6,56135 14,83510 10 2,36736 0,42241 6,41766 15,19293

11 2,45317 0,40764 6,96898 17,09608 11 2,58043 0,38753 6,80519 17,56029

12 2,66169 0,37570 7,34469 19,54925 12 2,81266 0,35553 7,16073 20,14072

13 2,88793 0,34627 7,69095 22,21094 13 3,06580 0,32618 7,48690 22,95338

14 3,13340 0,31914 8,01010 25,09887 14 3,34173 0,29925 7,78615 26,01919

15 3,39974 0,29414 8,30424 28,23227 15 3,64248 0,27454 8,06069 29,36092

16 3,68872 0,27110 8,57533 31,63201 16 3,97031 0,25187 8,31256 33,00340

17 4,00226 0,24986 8,82519 35,32073 17 4,32763 0,23107 8,54363 36,97370

18 4,34245 0,23028 9,05548 39,32300 18 4,71712 0,21199 8,75563 41,30134

19 4,71156 0,21224 9,26772 43,66545 19 5,14166 0,19449 8,95011 46,01846

20 5,11205 0,19562 9,46334 48,37701 20 5,60441 0,17843 9,12855 51,16012

i = 10% i = 11%

n (1 + i)n (1 + i)


n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,10000 0,90909 0,90909 1,00000 1 1,11000 0,90090 0,90090 1,00000

2 1,21000 0,82645 1,73554 2,10000 2 1,23210 0,81162 1,71252 2,11000

3 1,33100 0,75131 2,48685 3,31000 3 1,36763 0,73119 2,44371 3,34210

4 1,46410 0,68301 3,16987 4,64100 4 1,51807 0,65873 3,10245 4,70973

5 1,61051 0,62092 3,79079 6,10510 5 1,68506 0,59345 3,69590 6,22780

6 1,77156 0,56447 4,35526 7,71561 6 1,87041 0,53464 4,23054 7,91286

100

7 1,94872 0,51316 4,86842 9,48717 7 2,07616 0,48166 4,71220 9,78327

8 2,14359 0,46651 5,33493 11,43589 8 2,30454 0,43493 5,14612 11,85943

9 2,35795 0,42410 5,75902 13,57948 9 2,55804 0,39092 5,53705 14,16397

10 2,59374 0,38554 6,14457 15,93742 10 2,83942 0,35218 5,88923 16,72201

11 2,85312 0,35049 6,49506 18,53117 11 3,15176 0,31728 6,20652 19,56143

12 3,13843 0,31863 6,81369 21,38428 12 3,49845 0,28584 6,49236 22,71319

13 3,45227 0,28966 7,10336 24,52271 13 3,88328 0,25751 6,74987 26,21164

14 3,79750 0,26333 7,36669 27,97498 14 4,31044 0,23199 6,91887 30,09492

15 4,17725 0,23939 7,60608 31,77248 15 4,78459 0,20900 7,19087 34,40536

16 4,59497 0,21763 7,82371 35,94973 16 5,31089 0,18829 7,37916 39,18995

17 5,05447 0,19784 8,02155 40,54470 17 5,89509 0,16963 7,54879 44,50084

18 5,55992 0,17986 8,20141 45,59917 18 6,54355 0,15282 7,70162 50,39594

19 6,11591 0,16351 8,36492 51,15909 19 7,26334 0,13768 7,83929 56,93949

20 6,72750 0,14864 8,51356 57,27500 20 8,06231 0,12403 7,96333 64,20283

i = 12% i = 15%

n (1 + i)n (1 + i)


n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,12000 0,89286 0,89286 1,00000 1 1,15000 0,86957 0,86957 1,00000

2 1,25440 0,79719 1,69005 2,12000 2 1,32250 0,75614 1,62571 2,15000

3 1,40493 0,71178 2,40183 3,37440 3 1,52087 0,65752 2,28323 3,47250

4 1,57352 0,63552 3,03735 4,77933 4 1,74901 0,57175 2,85498 4,99337

5 1,76234 0,56743 3,60478 6,35285 5 2,01136 0,49718 3,35216 6,74238

6 1,97382 0,50663 4,11141 8,11519 6 2,31306 0,43233 3,78448 8,75374

7 2,21068 0,45235 4,56376 10,08901 7 2,66002 0,37594 4,16042 11,06680

8 2,47596 0,40388 4,96764 12,29969 8 3,05902 0,32690 4,48732 13,72682

9 2,77308 0,36061 5,32825 14,77566 9 3,51788 0,28426 4,77158 16,78584

10 3,10565 0,32197 5,65022 17,54874 10 4,04556 0,24718 5,01877 20,30372

11 3,47855 0,28748 5,93770 20,65458 11 4,65239 0,21494 5,23371 24,34928

12 3,89598 0,25688 6,19437 24,13313 12 5,35025 0,18691 5,42062 29,00167

13 4,36349 0,22917 6,42355 28,02911 13 6,15279 0,16253 5,58315 34,35192

14 4,88711 0,20462 6,62817 32,39260 14 7,07571 0,14133 5,72448 40,50471

15 5,47357 0,18270 6,81086 37,27971 15 8,13706 0,12289 5,84737 47,58041

16 6,13039 0,16312 6,97399 42,75328 16 9,35762 0,10686 5,95423 55,71747

17 6,86604 0,14564 7,11963 48,88367 17 1076126 0,09293 6,04716 65,07509

18 7,68997 0,13004 7,24967 55,74971 18 12,37545 0,08081 6,12797 75,83636

19 8,61276 0,11611 7,36578 63,43968 19 14,23177 0,07027 6,19823 88,21181

20 9,64629 0,10367 7,46944 72,05244 20 16,36654 0,06110 6,25933 102,44358

i = 18% i = 20%

n (1 + i)n (1 + i)


n (1 + i)

-n Ani Sni

101

1 1,18000 0,84746 0,84746 1,00000 1 1,20000 0,83333 0,83333 1,00000

2 1,39240 0,71818 1,56564 2,18000 2 1,44000 0,69444 1,52778 2,20000

3 1,64303 0,60863 2,17427 3,57240 3 1,72800 0,57870 2,10648 3,64000

4 1,93878 0,51579 2,69006 5,21543 4 2,07360 0,48225 2,58873 5,36800

5 2,28776 0,43711 3,12717 7,15421 5 2,48832 0,40188 2,99061 7,44160

6 2,69955 0,37043 3,49760 9,44197 6 2,98598 0,33490 3,32551 9,92992

7 3,18547 0,31393 3,81153 12,14152 7 3,58318 0,27908 3,60459 12,91590

8 3,75866 0,26604 4,07757 15,32700 8 4,29982 0,23257 3,83716 16,49908

9 4,43545 0,22546 4,30302 19,08585 9 5,15978 0,19381 4,03097 20,79890

10 5,23384 0,19106 4,49409 23,52131 10 6,19174 0,16151 4,19247 25,95868

11 6,17593 0,16192 4,65601 28,75514 11 7,43008 0,13459 4,32706 32,15042

12 7,28759 0,13722 4,79322 34,93107 12 8,91610 0,11216 4,43922 39,58050

13 8,59936 0,11629 4,90951 42,21866 13 10,69932 0,09346 4,53268 48,49660

14 10,14724 0,09855 5,00806 50,81802 14 12,83918 0,07789 4,61057 59,19592

15 11,97375 0,08352 5,09158 60,96527 15 15,40702 0,06491 4,67547 72,03511

16 14,12902 0,07078 5,16235 72,93901 16 18,48843 0,05409 4,72956 87,44213

17 16,67225 0,05998 5,22233 87,06804 17 22,18611 0,04507 4,77463 105,93056

18 19,67325 0,05083 5,27316 103,74028 18 26,62333 0,03756 4,81219 128,11667

19 23,21444 0,04338 5,31624 123,41353 19 31,94800 0,03130 4,84350 154,74000

20 27,39303 0,03651 5,35275 146,62797 20 38,33760 0,02608 4,86958 186,68800

i = 24% i = 25%

n (1 + i)n (1 + i)


n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,24000 0,80645 0,80645 1,00000 1 1,25000 0,80000 0,80000 1,00000

2 1,53760 0,65036 1,45682 2,24000 2 1,56250 0,64000 1,44000 2,25000

3 1,90662 0,52449 1,98130 3,77760 3 1,95312 0,51200 1,95200 3,81250

4 2,36421 0,42297 2,40428 5,68422 4 2,44141 0,40960 2,36160 5,76562

5 2,93116 0,34111 2,74538 8,04838 5 3,05176 0,32768 2,68928 8,20703

6 3,63522 0,27509 3,02047 10,98006 6 3,81470 0,26214 2,95142 11,25879

7 4,50767 0,22184 3,24232 14,61528 7 4,76837 0,20972 3,16114 15,07349

8 5,58951 0,17891 3,42122 19,12294 8 5,96046 0,16777 3,32891 19,84186

9 6,93099 0,14428 3,36550 24,71245 9 7,45058 0,13422 3,46313 25,80232

10 8,59443 0,11635 3,68186 31,64344 10 9,31323 0,10737 3,57050 33,25290

11 10,65709 0,09383 3,77569 40,23787 11 11,64153 0,08590 3,65640 42,56613

12 13,21479 0,07567 3,85136 50,89495 12 14,55192 0,06872 3,72512 54,20766

13 16,38634 0,06103 3,91239 64,10974 13 18,18989 0,05498 3,78010 68,75958

14 20,31906 0,04921 3,96160 80,49608 14 22,73737 0,04398 3,82401 86,94947

15 26,19563 0,03969 4,00129 100,81514 15 28,42171 0,03518 3,85926 109,68684

16 31,24259 0,03201 4,03330 126,01077 16 35,52714 0,02815 3,88741 138,10855

102

17 38,74081 0,02581 4,05911 157,25336 17 44,40892 0,02252 3,90993 173,63568

18 48,03860 0,02082 4,07993 195,99416 18 55,51115 0,01801 3,92794 218,04460

19 59,56786 0,01679 4,09672 244,03276 19 69,38894 0,01441 3,94235 273,55576

20 73,86415 0,01354 4,11026 303,60062 20 86,73617 0,01153 3,95388 342,94470

i = 30% i = 35%

n (1 + i)n (1 + i)


n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,30000 0,76923 0,76923 1,00000 1 1,35000 0,74074 0,74074 1,00000

2 1,69000 0,59172 1,36095 2,30000 2 1,82250 0,54870 1,28944 2,35000

3 2,19700 0,45517 1,81611 3,99000 3 2,46037 0,40644 1,69588 4,17250

4 2,85610 0,35013 2,16624 6,18700 4 3,32151 0,30107 1,99695 6,63287

5 3,71293 0,26933 2,43557 9,04310 5 4,48403 0,22301 2,21996 9,95438

6 4,82681 0,20718 2,64275 12,75603 6 6,05345 0,16520 2,38516 14,43841

7 6,27485 0,15937 2,80211 17,58284 7 8,17215 0,12237 2,50752 20,49186

8 8,15731 0,12259 2,92470 23,85769 8 11,03240 0,09064 2,59817 28,66401

9 10,60450 0,09430 3,01900 32,01500 9 14,89375 0,06714 2,66531 39,69641

10 13,78585 0,07254 3,09154 42,61950 10 20,10656 0,04974 2,71504 54,59016

11 17,92160 0,05580 3,14734 56,40535 11 27,14385 0,03684 2,75188 74,69672

12 23,29809 0,04292 3,19026 74,32695 12 36,64420 0,02729 2,77917 101,84057

13 30,28751 0,03302 3,22328 97,62504 13 49,46967 0,02021 2,73939 138,48476

14 39,37376 0,02540 3,24867 127,91255 14 66,78405 0,01497 2,81436 187,95443

15 51,18589 0,01954 3,28324 167,28631 15 90,15847 0,01109 2,82545 254,73848

16 66,54166 0,01503 3,28324 218,47220 16 121,71393 0,00822 2,83367 344,89695

17 86,50416 0,01156 3,29480 285,01386 17 164,31381 0,00609 2,83975 466,61088

18 112,45541 0,00889 3,30369 371,51802 18 221,82364 0,00451 2,84426 630,92469

19 146,19203 0,00684 3,31053 483,97343 19 299,46192 0,00334 2,84760 852,74834

20 190,04964 0,00526 3,31579 630,16546 20 404,27359 0,00247 2,85008 1.152,21026

i = 36%

n (1 + i)n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,36000 0,73529 0,73529 1,00000

2 1,84960 0,54066 1,27595 2,36000

3 2,51546 0,39754 1,67349 4,20960

4 3,42102 0,29231 1,96580 6,72506

5 4,65259 0,21493 2,18074 10,14608

6 6,32752 0,15804 2,33878 14,79866

7 8,60543 0,11621 2,45498 21,12618

8 11,70338 0,08545 2,54043 29,73161

9 15,91660 0,06283 2,60326 41,43499

10 21,64657 0,04620 2,64945 57,35158

103

11 29,43933 0,03397 2,68342 78,99815

12 40,03750 0,02498 2,70840 108,43749

13 54,45099 0,01837 2,72676 148,47498

14 74,05335 0,01350 2,74027 202,92598

15 100,71256 0,00993 2,75020 276,97933

16 136,96908 0,00730 2,75750 377,69188

17 186,27795 0,00537 2,76287 514,66096

18 253,33801 0,00395 2,76681 700,93891

19 344,53969 0,00290 2,76972 954,27692

20 468,57398 0,00213 2,77185 1.298,81661

i = 40%

n (1 + i)n (1 + i)

-n Ani Sni

1 1,40000 0,71429 0,71429 1,00000

2 1,96000 0,51020 1,22449 2,40000

3 2,74400 0,36443 1,58892 4,36000

4 3,84160 0,26031 1,84923 7,10400

5 5,37824 0,18593 2,03516 10,94560

6 7,52954 0,13281 2,16797 16,32384

7 10,54135 0,09486 2,26284 23,85338

8 14,75789 0,06776 2,33060 34,39473

9 20,66105 0,04840 2,37900 49,15262

10 28,92547 0,03457 2,41357 69,81366

11 40,49565 0,02469 2,43826 98,73913

12 56,69391 0,01764 2,45590 139,23478

13 79,37148 0,01260 2,46850 195,92869

14 111,12007 0,00900 2,47750 275,30017

15 155,56810 0,00643 2,48393 386,42024

16 217,79533 0,00459 2,48852 541,98833

17 304,91347 0,00328 2,49180 759,78367

18 426,87885 0,00234 2,49414 1.064,69713

19 597,63040 0,00167 2,49582 1.491,57600

20 836,68255 0,00120 2,47901 2.091,70638

104

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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