Apostila_LOGICA

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INTRODUÇÃO À LÓGICA

Prof. Dr. Alex Sandro Romeo de Souza Poletto

CAPÍTULOS

1. INTRODUÇÃO À LÓGICA

2. OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES

3. CONSTRUÇÃO DE TABELAS da VERDADE

4. TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS

5. EQUIVALÊNCIA LÓGICA e IMPLICAÇÃO LÓGICA

6. FUNÇÕES LÓGICAS (portas lógicas)

7. CIRCUITOS COMBINACIONAIS

8. SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS UTILIZANDO ÁLGEBRA DE BOOLE E DIAGRAMAS DE VEITCH-KARNAUGH 9. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Prof. Dr. Alex Sandro Romeo de Souza Poletto – Email:[email protected]

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1. INTRODUÇÃO À LÓGICA Evolução do conceito de Lógica Origem da lógica -> criação “Aristóteles” na Grécia (lógica enquanto disciplina), sistematizou a lógica. “Aristóteles” -> (384 - 322 a.C.). Nascido em Estagina Falecido em Cálcis, ilha de Eubéia Objetivo da lógica Aristotélica -> sistematização das regras de argumentação correta. Definição de Lógica: - é uma investigação de conseqüência que existe entre as premissas e a conclusão de um argumento legítimo; - é o analise dos métodos de raciocínio; - é o interesse na forma em lugar do conteúdo; - é a formalização e catalogação dos métodos de raciocínio. Lógica Formal: - emprego de simbologia: - clareza e distinção; - não é empírica (experiência); - analogia com a matemática para distinguir-se de suas aplicações: - psicologia (processos de raciocínio) - normas para argumentação correta; Lógica Matemática: - é o trabalho em empregar técnicas matemáticas e quando estiver devotada ao estudo do raciocínio matemático; - noção de “prova matemática”.


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- o emprego da lógica, em matemática, está intuitivamente ligado à noção de prova e demonstração.

LÓGICA FORMAL

Análise - toma como seu principal tópico as proposições e argumentos dedutivos, e é de notação simbólica; constitui de um estudo à priori, constatando com as ciências naturais e as disciplinas.

The New Enciclopaedia Britannica, vol.23, p.250. - a lógica é a análise dos métodos de raciocínio interessada na forma em lugar do conteúdo. Suas principais tarefas são a formalização e a catalogação sistemáticas dos métodos de raciocínio válidos.

Mendelson, E. I ntroduction to Mathematical Logic, P.1. Para se obter um bom relacionamento entre computação e lógica matemática é necessário uma preocupação com as aplicações e à elegância matemática.

Mc Canthy, J. A Basis For a Mathematical Theory of Computation. A manipulação de símbolos é um papel importante tanto na teoria dos sistemas formais quanto na programação de computadores. Os computadores eletrônicos surgiram a vinte anos atrás usados para resolver problemas em matemática numérica e para processar dados comerciais. Durante as três últimas décadas, a ênfase deslocou-se do estudo de sistemas formais particulares para a investigação das propriedades dos sistemas formais em geral. O interesse em lógicas formais deve-se a um desejo de ampliar o escopo do uso do computador para além da área numérica.


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Tradução de linguagem, recuperação de informação, participação em jogos, etc, são aplicações que na maior parte não estão sujeitas aos procedimentos de decisão padrão, e algumas são complexas, daí a necessidade de novos algoritmos eficientes e de “atalhos” (método heurístico).

Braffort, P. ed. Op. cit., p. V - VI Para o lógico: Programa (algoritmo) -> é um procedimento finitário para resolver um problema. Lógica -> é sinônimo de sistema formal, ou seja, é o mesmo que sistema formal.

Casanova, M. et alii - Programação em Lógica. 1.1. PROPOSIÇÃO • É tudo aquilo que você pode falar ou exprimir de algum ente, etc.; • Chama-se proposição ou sentenças todo o conjunto de palavras ou símbolos

que exprimem um pensamento de sentido completo; • São entidades que podem ser verdadeiras ou falsas; • São expressas por meio de orações declarativas; • Uma proposição diz algo a respeito da verdade:

Se aquilo é proposição e corresponde à realidade, a proposição é verdadeira, se não corresponde, ela é falsa;

• Nem toda oração expressa uma proposição e orações interrogativas e imperativas não expressam proposições, já que nada afirmam a cerca da realidade, não podendo, portanto, serem verdadeiras ou falsas.

As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. Exemplos de Proposições:


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(a) A neve é branca. (b) O Presidente é competente. (c) A lua é um satélite da Terra. (d) Recife é a capital de Pernambuco. (e) “Instinto Selvagem” é o titulo do filme com Sharon Stone. Obs: são todas verdadeiras. Exemplos de orações que não são Proposições: (a) Qual é o sentido da vida? (b) Amai-vos uns aos outros! (c) Que horas são? (d) Ponha-se daqui para fora! A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes princípios (ou axiomas = noções comuns): (I) PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (II) PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda a proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro, ou seja, não tem outro termo. Por virtude deste princípio diz-se que a Lógica Matemática é uma Lógica bivalente.

Por exemplo, as proposições (a), (b), (c), (d), (e) são todas verdadeiras, mas são falsas as três seguintes proposições: (a) VASCO DA GAMA descobriu o Brasil. (b) DANTE escreveu os Lusíadas. (c) 3/5 é um número inteiro. Assim, as proposições são expressões a respeito das quais tem sentido dizer que são verdadeiras ou falsas.


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Argumento - um argumento é um conjunto de proposições, uma das quais é a conclusão e as demais são premissas. Todos os homens são mortais / Sócrates é homem. (A) (B) Logo, Sócrates é mortal. (C) z A e B são Premissas. C é Conclusão. Premissas e Conclusão é um conjunto de proposições = Argumento. 1.2. VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES - chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa. Os valores lógicos verdade e falsidade de uma proposição designam-se abreviadamente pelas letras V e F, respectivamente. Assim, o que os princípios da não contradição e do terceiro excluído afirmam é que: Toda a proposição tem um, e um só, dos valores V, F. (I) VERDADE Notação: V, 1 (II) FALSIDADE Notação: F, 0 Exemplos: (a) O mercúrio é mais pesado que a água. (b) O sol gira em torno da Terra.

O valor lógico da proposição (a) é verdade(V) e o valor da proposição (b) é a falsidade(F).


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1.3. PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS As proposições podem ser classificadas em simples ou atômicas e compostas ou moleculares. Definição de Proposições Simples ou Atômica: Aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. São geralmente designadas pelas letras minúsculas do alfabeto latino: p, q, r, s,..., chamadas letras proposicionais. Exemplos: p: Carlos é careca. q: Pedro é estudante. r: O número 25 é quadrado perfeito. Definição de Proposição Composta ou Molecular: Aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. São habitualmente designadas pelas letras maiúsculas do alfabeto latino: P, Q, R, S,..., também chamadas de letras proposicionais. Exemplos: P: Carlos é careca e Pedro é estudante. Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. R: Se Carlos é careca, então é infeliz. Obs: cada uma delas é formada por duas proposições simples, mas podendo ser mais de duas. As proposições simples e as proposições compostas também são chamadas respectivamente átomos e moléculas.


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1.4. CONECTIVOS LÓGICOS Definição: - chamam-se conectivos lógicos, palavras ou símbolos usados para formar novas proposições a partir de outras. Conectivos lógicos

E AND ∧∧∧∧ OU OR ∨∨∨∨ NÃO NOT ¬¬¬¬ (~)

SE... ENTÃO IF... THEN → SE E SOMENTE SE IF ONLY IF ↔

Exemplos: P: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. Q: O triângulo ABC é retângulo ou é isósceles. r: Não está chovendo. S: Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática. T: O triângulo ABC é eqüilátero se e somente se é eqüiângulo. 1.5. TABELA da VERDADE Segundo o Princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p é verdadeira ou é falsa, isto é, tem o valor lógico V (verdade) ou F (falsidade).

O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles unicamente determinado.

Admitido este princípio, para aplicá-lo na prática à determinação do valor lógico de uma proposição composta dada, recorre-se quase sempre a um dispositivo denominado tabela da verdade, na qual figuram todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes. Exemplo:


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- no caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são: p q 1 V V 2 V F 3 F V 4 F F Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F. No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são: p q r 1 V V V 2 V V F 3 V F V 4 V F F 5 F V V 6 F V F 7 F F V 8 F F F Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segundo proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF são os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F. REGRA-GERAL: tabela da verdade se escreve da direita para a esquerda da seguinte forma: 1-1, 2-2, 4-4, 8-8, 16-16, ... .


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1.6. NOTAÇÃO O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira(V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa(F), escrevendo: V(p) = F. Exemplos: p: O Sol é verde. q: Um hexágono tem nove diagonais. r: 2 é raiz da equação x + 3x - 4 = 0 Temos: V(p) = F, V(q) = V, V(r) = F Do mesmo modo, o valor lógico de uma proposição composta P indica-se por V(P). EXERCÍCIOS 1) Dê três exemplos de proposições simples verdadeiras e três exemplos de proposições simples falsas, designando as letras minúsculas do alfabeto latino. 2) Dê três exemplos de proposições compostas verdadeiras e três exemplos de proposições compostas falsas, designando as letras maiúsculas do alfabeto latino. 3) Dê um exemplo de proposição para cada um dos cinco conectivos lógicos. 4) Dê um exemplo de argumento (não vale repetir o exemplo da apostila) 5) Quantas possíveis atribuições (quantas linhas) têm cada uma das seguintes proposições: P(p,q,r); Q(p,q,r,s); R(p,q,r,s,t); S(p,q,r,s,t,u); T(p,q,r,s,t,u,v). 6) Montar a tabela da verdade das proposições Q, R e S do exercício 5.


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2. OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES Operações Lógicas são certas operações que, quando pensamos, efetuamos muitas vezes sobre proposições. Operações Lógicas fundamentais: negação, conjunção, disjunção, disjunção exclusiva, condicional e bicondicional. 2.1. NEGAÇÃO (¬¬¬¬)(~) Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por “não p”, cujo valor lógico é a verdade(V) quando p é falsa e a falsidade(F) quando p é verdadeira. Simbolicamente, a negação de p indica-se pela notação “¬¬¬¬p”, que se lê: “não p”. Tabela da Verdade:

p ¬¬¬¬p V F F V

Ou seja, pelas igualdades: ¬¬¬¬V = F, ¬¬¬¬F = V e V(¬¬¬¬p) = ¬¬¬¬V(p) Ex: (1) q: 7 < 3 (F) e ¬¬¬¬q: 7 < 3 (V), portanto, V(¬¬¬¬q) = ¬¬¬¬V(q) = ¬¬¬¬F = V (2) p: 2 + 3 = 5 (V) e ¬¬¬¬p: 2 + 3 # 5 (F), portanto, V(¬¬¬¬p) = ¬¬¬¬V(p) = ¬¬¬¬V = F Na linguagem comum a negação efetua-se, nos casos mais simples, antepondo o advérbio “não” ao verbo da proposição dada. Assim, p. ex, a negação da proposição: p: O Sol é uma estrela. ¬¬¬¬p: O Sol não é uma estrela. Ou expressões tais como: “não é verdade que“, “é falso que“.


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Ex: q: Paulo é policial; ¬¬¬¬q: Não é verdade que Paulo é policial; ou ¬¬¬¬q: É falso que Paulo é policial. 2.2. CONJUNÇÃO (∧∧∧∧) Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade(V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e a falsidade(F) nos demais casos. Simbolicamente, a conjunção de duas proposições p e q é indicada com a notação: “p ∧∧∧∧ q”, que se lê: “p e q”. Tabela da Verdade:

p q p ∧∧∧∧ q V V V V F F F V F F F F

Ou seja, pelas igualdades: V ∧∧∧∧ V = V, V ∧∧∧∧ F = F, F ∧∧∧∧ V = F, F ∧∧∧∧ F = F e V(p ∧∧∧∧ q) = V(p) ∧∧∧∧ V(q) Ex: (1) p: A neve é branca. (V) ¬¬¬¬q: 2 < 5 (V), portanto temos: p ∧ q: A neve é branca e 2 < 5 (V). V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = V ∧ V = V. 2.3. DISJUNÇÃO (∨∨∨∨) Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade(V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade(F) quando as proposições p e q são ambas falsas. Simbolicamente, a disjunção de duas proposições p e q, é indicada com a notação: “p ∨∨∨∨ q”, que se lê: “p ou q”.


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Tabela da Verdade:

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

Ou seja, pelas igualdades: V ∨ V = V, V ∨ F = V, F ∨ V = V, F ∨ F = F e V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) Ex: (1) p: Paris é capital da França (V) q: 9-4=5 (V), portanto temos, p ∨ q: Paris é capital da França ou 9-4=5 (V)

V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = V ∨ V = V 2.4. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (∨∨∨∨) Na linguagem comum a palavra “ou” tem dois sentidos. Assim, p. ex: consideremos as duas seguintes proposições compostas: P: Carlos é médico ou professor (disjunção inclusiva) - fraca Q: Mário é alagoano ou gaúcho (disjunção exclusiva) - forte De um modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada simbolicamente por “p ∨∨∨∨ q”, que se lê: “ou p ou q” ou “p ou q”, mas não ambos, cujo valor lógico é a verdade(V) somente quando p ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e a falsidade(F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Tabela da Verdade:

p q p ∨∨∨∨ q V V F V F V F V V F F F


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Ou seja, pelas igualdades: V ∨ V = F, V ∨ F = V, F ∨ V = V, F ∨ F = F e V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) 2.5. CONDICIONAL (→) Chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por “se p então q”, cujo valor lógico é a falsidade(F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade(V) nos demais casos. Simbolicamente, a condicional de duas proposições p e q é indicada com a notação: “p → q”, que se lê de uma das seguintes maneiras: (i) p é condição suficiente para q (ii) q é condição necessária para p Na condicional “p → q”, diz-se que p é o antecedente e q o conseqüente. O símbolo “→” é chamado símbolo de implicação. O valor lógico da condicional de duas proposições Tabela da Verdade:

p q p → q V V V V F F F V V F F V

Ou seja, pelas igualdades: V → V = V, V → F = F, F → V = V, F → F = V e V(p → q) = V(p) → V(q) Ex: (1) p: Galois morreu em duelo (V) q: pi é um número real (V) p → q: Se Galois morreu em duelo, então pi é um número real (V)

V(p → q) = V(p) → V(q) = V → V = V (2) p: O mês de Maio tem 31 dias (V)


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q: A Terra é plana (F) p → q: Se o mês de Maio tem 31 dias, então a Terra é plana (F)

V(p → q) = V(p) → V(q) = V → F = F (3) p: Dante escreveu os Lusíadas (F) q: Cantor criou a Teoria dos Conjuntos (V) p → q: Se Dante escreveu os Lusíadas, então Cantor criou a Teoria dos

Conjuntos (V) V(p → q) = V(p) → V(q) = F → V = V

(4) p: Santos Dummont nasceu no Ceará (F) q: O ano tem nove meses (F)

p → q: Se Santos Dummont nasceu no Ceará, então o ano tem nove meses (V)

V(p → q) = V(p) → V(q) = F → F = V NOTA: Uma condicional p → q não afirma que o conseqüente q se deduz ou é conseqüência do antecedente p. Assim, p. ex., as condicionais: 7 é um número ímpar → Brasília é uma cidade 3+5 = 9 → Santos Dummont nasceu no Ceará Não estão a afirmar, de modo nenhum, que o fato de “Brasília ser uma cidade” se deduz do fato de “7 ser um número ímpar” ou que a proposição “Santos Dummont nasceu no Ceará” é conseqüência da proposição “3+5 = 9”. O que uma condicional afirma é unicamente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e de conseqüente de acordo com a tabela da verdade anterior. 2.6. BICONDICIONAL (↔) Chama-se proposição bicondicional ou apenas condicional uma proposição representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade(V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade(F) nos demais casos. Simbolicamente, a bicondicional de duas proposições p e q é indicada com a notação: p ↔ q, que também se lê de uma das seguintes maneiras:


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(i) p é condição necessária e suficiente para q (ii) q é condição necessária e suficiente para p O valor lógico da bicondicional de duas proposições Tabela da Verdade:

p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V

Ou seja, igualdades: V ↔ V = V, V ↔ F = F, F ↔ V = F, F ↔ F = V e V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) Ex: (1) p: Roma fica na Europa (V) q: A neve é branca (V) p ↔ q: Roma fica na Europa se e somente se a neve é branca (V)

V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V (2) p: Lisboa é capital de Portugal (V) q: tag pi/4 = 3 (F) p ↔ q: Lisboa é capital de Portugal se e somente se tag pi/4 = 3 (F)

V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ F = F (3) p: Vasco da Gama descobriu o Brasil (F) q: Tiradentes foi enforcado (V) p ↔ q: Vasco da Gama descobriu o Brasil se e somente se Tiradentes

foi enforcado (F) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ V = F

(4) p: A Terra é plana (F) q: 2 é um número ímpar (F) p ↔ q: A Terra é plana se e somente se 2 é um número ímpar (V)

V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ F = V


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EXERCÍCIOS (1) Sejam as proposições: p e q. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições. p: Está frio. q: Está chovendo. a) ¬p c) p ∨ q e) p → ¬q g) ¬p ∧ ¬q b) p ∧ q d) q ↔ p f) p ∨ ¬q h) p ↔ ¬q i) p ∧ ¬q → p p: Jorge é rico. q: Carlos é feliz. a) q → p c) q ↔ ¬p e) ¬¬p b) p ∨ ¬q d) ¬p → q f) ¬p ∧ q → p p: Carlos fala inglês. q: Carlos fala alemão. a) p ∨ q c) p ∧ ¬q e) ¬¬p b) p ∧ q d) ¬p ∧ ¬q f) ¬(¬p ∧ ¬q) p: João é Gaúcho. q: Jaime é Paulista. a) ¬(p ∧ ¬q) c) ¬(¬p ∨ ¬q) e) ¬p ↔ ¬q b) ¬¬p d) p → ¬q f) ¬ (¬q → p) Resoluções p: Está frio. q: Está chovendo.


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a) Não está frio. b) Está frio e está chovendo. c) Esta frio ou está chovendo. d) Está chovendo se e somente se está frio. e) Se está frio, então não está chovendo. f) Está frio ou não está chovendo. g) Não está frio e não está chovendo. h) Está frio se e somente se não está chovendo. i) Se está frio e não está chovendo, então está frio. p: Jorge é rico. q: Carlos é feliz. a) Se Carlos é feliz, então Jorge é rico. b) Jorge é rico ou Carlos não é feliz. c) Carlos é feliz se e somente se Jorge não é rico. d) Se Jorge não é rico, então Carlos é feliz. e) Não é verdade que Jorge não é rico. f) Se Jorge não é rico e Carlos é feliz, então Jorge é rico. p: Carlos fala inglês. q: Carlos fala alemão. a) Carlos fala inglês ou alemão. b) Carlos fala inglês e alemão. c) Carlos fala inglês, mas não alemão. d) Carlos não fala inglês e nem alemão. e) Não é verdade que Carlos não fala inglês. f) Não é verdade que Carlos não fala inglês e nem alemão. p: João é gaúcho. q: Jaime é Paulista. a) Não é verdade que João é gaúcho e Jaime não é paulista. b) Não é verdade que João não é gaúcho. c) Não é verdade que João não é gaúcho ou que Jaime não é paulista. d) Se João é gaúcho, então Jaime não é paulista. e) João não é gaúcho se e somente se Jaime não é paulista. f) Não é verdade que, se Jaime não é paulista, então João é gaúcho.


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3. CONSTRUÇÃO DE TABELAS da VERDADE 3.1. TABELA da VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Na construção de tabelas da verdade, dadas várias proposições simples como p, q, r,..., podemos combiná-las pelos conectivos lógicos:

¬¬¬¬ ∧∧∧∧ ∨∨∨∨ → ↔ E construir proposições compostas, tais como: P(p,q) = ¬p ∨ (p → q) Q(p,q) = (p ↔ ¬q) ∧ q R(p,q,r) = (p → ¬q ∨ r) ∧ ¬ (q ∨ (p ↔ ¬r)) S(r,s) = (p ∨ q) → (¬p) (x → y) ex: p q p ∨∨∨∨ q ¬¬¬¬p (p ∨∨∨∨ q) → ¬¬¬¬p V V V F F V F V F F F V V V V F F F V V Então, com o emprego das tabelas da verdade que vimos anteriormente na apostila de operações lógicas fundamentais:

¬¬¬¬p, p ∧∧∧∧ q, p ∨∨∨∨ q, p → q, p ↔ q

É possível construir a tabela da verdade correspondente a qualquer proposição composta dada, tabela da verdade esta que mostrará exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira(V) ou falsa(F), admitindo-se, como é sabido, que o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes.


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3.2. NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA da VERDADE O número de linhas de uma tabela da verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema: A tabela da verdade de uma proposição composta com n proposições simples componentes contém 2n linhas. 2n = c n = número de variáveis c = número de combinações 3.3. CONSTRUÇÃO DA TABELA da VERDADE DE UMA

PROPOSIÇÃO COMPOSTA Na prática, começa-se por contar o número de proposições simples que a integram. Se há n proposições simples componentes: p1, p2,..., pn, então a tabela da verdade contém 2n linhas. Posto isto, à 1a proposição simples p1 atribuem-se 2n/2 = 2n-1 valores V seguidos de 2n-1 valores F; à 2a proposição simples p2 atribuem-se 2n/4 = 2n-2 valores V, seguidos de 2n-2 valores F, seguidos de 2n-2 valores V, seguidos, finalmente, de 2n-2 valores F; e assim por diante. De modo genérico, a k-ésima proposição simples pk(k <= n) atribuem-se alternadamente 2n/2k = 2n-k valores V seguidos de igual número de valores F. Ex: Suponhamos uma proposição composta com quatro (4) proposições simples componentes, a tabela da verdade conterá 24 = 16 linhas, e os grupos de valores V e F se alternaram de 8 em 8 para a 1a proposição simples p1, de 4 em 4 para a 2a proposição simples p2, de 2 em 2 para a 3a proposição simples p3, e, enfim, de 1 em 1 para a 4a proposição simples p4. 3.4. EXEMPLIFICAÇÃO Construir a tabela da verdade da proposição: P(p,q) = ¬¬¬¬ (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬(q �� p)


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1a Resolução: forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes às duas proposições componentes p e q. Em seguida, formam-se as colunas para p ∧∧∧∧ q, q ↔ p, ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ q), ¬¬¬¬(q ↔ p) e afinal forma-se a coluna relativa aos valores lógicos da proposição composta dada ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ q) v (¬¬¬¬q ↔ p). p q p ∧∧∧∧ q q ↔ p ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ q) ¬¬¬¬(q ↔ p) ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬(q ↔ p) V V V V F F F V F F F V V V F V F F V V V V F F V V F V 2a Resolução: formam-se primeiro as colunas correspondentes às duas proposições simples p e q. Em seguida, à direita, traça-se uma coluna para cada uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que figuram na proposição composta dada. p q ¬¬¬¬ (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬ (q ↔ p) V V F V V V F F V V V V F V V F F V V F F V F V V F F V V V V F F F F V F F F V F F V F 3 1 2 1 4 3 1 2 1

Portanto, simbolicamente: P(VV) = F, P(VF) = V, P(FV) = V, P(FF) = V Ou seja, abreviadamente: P(VV,VF,FV,FF) = FVVV 3.5. VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Dada uma proposição composta P(p,q,r,...), pode-se sempre determinar o seu valor lógico (V ou F) quando são dados ou conhecidos os valores lógicos respectivos das proposições componentes p, q, r, ... Ex:


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(1) Sabendo que valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V e F, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: P(p,q) = ¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ q) ↔ ¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q Resolução: Temos, sucessivamente: V(P) = ¬¬¬¬(V ∨∨∨∨ F) ↔ ¬¬¬¬V ∧∧∧∧ ¬¬¬¬F = ¬¬¬¬V �� F ∧∧∧∧ V = F ↔ F = V (2) P(p,q) = (p ∨ q) → (r ∧ s) : {V,F} → {V,F} Resolução: P(V,F,V,F) = (V ∨ F) → (V ∧ F) = V → F = F (3) Sejam as proposições p: pi = 3 e q: 2/2 = 0. Determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: P(p,q) = (p → q) → (p → p ∧ q) Resolução: As proposições componentes p e q são ambas falsas, isto é, V(p) = F e V(q) = F. Portanto: V(P) = (F → F) → (F → F ∧ F) = V → (F → F) = V → V = V (4) Sabendo que V(r) = V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: p → ¬q ∨ r. Resolução: Como r é verdadeira(V), a disjunção (¬¬¬¬q ∨∨∨∨ r) é verdadeira(V). Logo, a condicional dada é verdadeira(V), pois, o seu conseqüente é verdadeiro(V). 3.6. USO DE PARÊNTESIS O uso de parêntesis indica as prioridades e modificam as tabelas da verdade. O uso incorreto pode trazer ambigüidades Vamos adotar à seguinte convenção


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a) O conectivo (¬¬¬¬ - negação) é usado para o argumento mais próximo. Por ex: ¬¬¬¬p ∧∧∧∧ q = (¬¬¬¬p) ∧∧∧∧ q b) A ordem de precedência é: (1) ¬¬¬¬ (2) ∧∧∧∧ (3) ∨∨∨∨ (3) → (4) ↔

Ex: p ∨ q → r significa (p ∨ q) → r p ↔ q ↔ r significa p ↔ (q → r) p ∨ q ∧ r significa p ∨ (q ∧ r) EXERCÍCIOS 1) Construir as tabelas da verdade das seguintes proposições, passando pelas três resoluções citadas na apostila. a) (q ∧ r) ∨ s b) (q ∨ r) → ((q ∨ s) → (p ∨ s)) c) (p → r) → p 2) Construir as tabelas da verdade das seguintes proposições e em seguida determinar P(VV,VF,FV,FF) no caso de arranjos binários e P(VVV,VVF,VFV,VFF,FVV,FVF,FFV,FFF) no caso de arranjos ternários. a) ¬(p ∨ ¬q) b) ¬(p → ¬q) c) p ∧ q → p ∨ q d) ¬p → (q → p) e) (p → q) →p ∧ q f) q ↔ ¬q ∧ p g) (p ↔ ¬q) ↔ q → p h) (p ↔ ¬q) → ¬p ∧ q i) ¬p ∧ r → q ∨ ¬r j) p → r ↔ q ∨ ¬r l) p → (p → ¬r) ↔ q ∨ r m) (p ∧ q → r) ∨ (¬p ↔ q ∨ ¬r)


23

3) Sabendo que as proposições x=0 e x=y são verdadeiras e que as proposições y=z e y=t são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) x=0 ∧ x=y → y # z b) x#0 ∨ y=t → y=z c) x#y ∨ y#z → y=t d) x#0 ∨ x#y → y#z e) x=0 → (x#y ∨ y#t) 4) Suprimir o maior número possível de parêntesis nas seguintes proposições: a) ((q ↔ (r ∨ q)) ↔ (p ∧ (¬(¬q)))) b) ((p ∧ (¬(¬q))) ↔ (q ↔ (r ∨ q))) c) (((p ∨ q) → (¬r)) ∨ ((((¬q) ∧ r) ∧ q))) 5) Sabendo que os valores lógicos das proposições p,q e r são respectivamente V, F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) (p ↔ p → q) ∨ (p → r) b) (p → ¬q) ↔ ((p ∨ r) ∧ q) c) (p ∧ q) → (p → (q → r))


24

4. TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES, CONTINGÊNCIAS

4.1. TAUTOLOGIAS Uma Tautologia (ou proposições logicamente verdadeira) é toda proposição

composta que é verdadeira, quaisquer que sejam os valores lógicos de suas

proposições componentes, ou seja, uma proposição cuja tabela da verdade

contém somente Vez na coluna principal, isto é, cuja última coluna da sua tabela da verdade encerra-se somente com a letra V(verdade).

Exemplos:

(1) A proposição “¬(p ∧ ¬p)” (Princípio da não contradição, ou seja, uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo) é tautológica, conforme se vê pela sua tabela da verdade:

p ¬¬¬¬p p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) V F F V F V F V

Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro.

(2) A proposição “p ∨ ¬p” (Princípio do terceiro excluído, ou seja, toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes

casos e nunca um terceiro) é tautológica, como imediatamente se vê pela sua tabela da verdade:

p ¬¬¬¬p p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬p V F V F V V

Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro.

Exemplos de proposições compostas que são tautológicas:


25

(1) P(p,q) = p ∨ ¬(p ∧ q)

p q p ∧∧∧∧ q ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ q) p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ q) V V V F V V F F V V F V F V V F F F V V

(2) P(p,q) = p ∧ q → (p ↔ q)

p q p ∧∧∧∧ q p ↔ q p ∧∧∧∧ q → (p ↔ q) V V V V V V F F F V F V F F V F F F V V

(3) P(p,q,r) = ((p → q) → r) → ( p → (q → r))

p q r ((p → q) → r) → (p → (q → r)) V V V V V V V V V V V V V V

V V F V V V F F V V F V F F

V F V V F F V V V V V F V V

V F F V F F V F V V V F V F

F V V F V V V V V F V V V V

F V F F V V F F V F V V F F

F F V F V F V V V F V F V V

F F F F V F F F V F V F V F

1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1

4.2. CONTRADIÇÃO

Uma Contradição (ou proposições logicamente falsas ou contra-válidas) é

toda proposição composta que é falsa, quaisquer que sejam os valores lógicos

de suas proposições componentes, ou seja, uma proposição cuja tabela da

verdade contém somente F’s na coluna principal, isto é, cuja última coluna da sua tabela da verdade encerra-se somente com a letra F(falsidade).

Como uma Tautologia é sempre verdadeira(V), a negação de uma Tautologia é

sempre falsa(F), ou seja, é uma Contradição, e vice-versa.


26

Portanto, P(p,q,r,...) é uma Tautologia se e somente se ¬P(p,q,r,...) é uma Contradição, e P(p,q,r,...) é uma Contradição se e somente se ¬P(p,q,r,...) é uma Tautologia.

Exemplos de proposições compostas que são Contradições:

(1) P(p) = p ∧ ¬p

p ¬¬¬¬p p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p V F F F V F

Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre falso.

(2) P(p) = p ↔ ¬p

p ¬¬¬¬p p ↔ ¬¬¬¬p V F F F V F

(3) P(p,q) = (p ∧ q) ∧ ¬(p ∨ q)

p q p ∧∧∧∧ q p ∨∨∨∨ q ¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ q) (p ∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧ ¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ q) V V V V F F V F F V F F F V F V F F F F F F V F

(4) P(p,q) = ¬p ∧ (p ∧ ¬q)

p q ¬¬¬¬p ¬¬¬¬q p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q ¬¬¬¬p ∧∧∧∧ (p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) V V F F F F V F F V V F F V V F F F F F V V F F

4.3. CONTINGÊNCIA


27

Uma Contingência (ou proposições indeterminadas) é toda proposição

composta cuja na última coluna da sua tabela da verdade figuram as letras V

e F cada uma pelo menos uma vez, isto é, é toda proposição composta que não

é Tautologia e nem Contradição.

Exemplos de proposições compostas que são Contingências:

(1) P(p) = p → ¬¬¬¬p

p ¬¬¬¬p p → ¬¬¬¬p V F F F V V

(2) P(p,q) = p ∨ q → p

P q p ∨∨∨∨ q p ∨∨∨∨ q → p V V V V V F V V F V V F F F F V

(3) P(x = 3,x = y) = x = 3 ∧ (x # y → x # 3)

x = 3 x = y x # 3 x # y x # y → x # 3 x = 3 ∧∧∧∧ (x # y → x # 3) V V F F V V V F F V F F F V V F V F F F V V V F

EXERCÍCIOS

1. Determinar quais das seguintes proposições são Tautológicas,

Contradições, ou Contingentes:

a) p → (¬p → q)

b) ¬p ∨ q → (p → q)

c) p → (q → (q → p))

d) ((p → q) ↔ q) → p

e) p ∨ ¬q → (p → ¬q)


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f) ¬p ∨ ¬q → (p → q)

g) p → (p ∨ q) ∨ r h) p ∧ q → (p ↔ q ∨ r)


29

5. EQUIVALÊNCIA LÓGICA e IMPLICAÇÃO LÓGICA 5.1. EQUIVALÊNCIA LÓGICA 5.1.1. DEFINIÇÃO Diz-se uma proposição P(p,q,r,...) é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposição Q(p,q,r,...), se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas. Notação: P(p,q,r,...) ⇔ Q(p,q,r,...) Portanto, se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) forem ambas tautológicas ou ambas contradições, então são equivalentes (⇔). OBS: O Símbolo “↔“ é de operação e o símbolo “⇔“ é de relação. 5.1.2. PROPRIEDADES É imediato que a relação de equivalência lógica entre proposições goza das propriedades reflexiva (R), simétrica (S) e transitiva (T), isto é, simbolicamente: (i) (R) P(p,q,r,...) ⇔ Q(p,q,r,...) (ii) (S) Se P(p,q,r,...) ⇔ Q(p,q,r,...), então Q(p,q,r,...) ⇔ P(p,q,r,...) (iii) (T) Se P(p,q,r,...) ⇔ Q(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...), então P(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) 5.1.3. EXEMPLOS (1) ¬¬¬¬ (p ∧ ¬¬¬¬p) ⇔ p ∨ ¬¬¬¬p, se e somente se, é tautológica:


30

p ¬¬¬¬p (p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬p p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬p V F F V V F V F V F V V V V

É tautologia, logo são equivalentes. O mesmo acontece com a contradição ou contra-válida. (2) As condicionais “p → p ∧ q” e “p → q” têm tabelas-verdade idênticas:

p q p ∧∧∧∧ q p → p ∧∧∧∧ p p → q V V V V V V F F F F F V F V V F F F V V

Por conseqüência, estas condicionais são equivalentes, isto é, subsiste a equivalência lógica:

p → p ∧ p ⇔ p → q 5.2. IMPLICAÇÃO LÓGICA 5.2.1. DEFINIÇÃO Diz-se que uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...), se Q(p,q,r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p,q,r,...) é verdadeira (V). Notação: P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) OBS: O Símbolo “→“ é de operação e o símbolo “⇒“ é de relação. 5.2.2. PROPRIEDADES É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das propriedades reflexiva(R) e transitiva(T), isto é, simbolicamente: (i) (R) P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...)


31

(ii) (T) Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...) 5.2.3. EXEMPLOS (1) As tabelas-verdade das proposições: p ∧ q, p ∨ q, p ↔ q, são:

p q p ∧ q p ∨ q p ↔ q V V V V V V F F V F F V F V F F F F F V

A proposição “p ∧ q” é verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta linha, as proposições “p ∨ q” e “p ↔ q” também são verdadeiras(V). Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é:

p ∧ q ⇒ p ∨ q e p ∧ q ⇒ p ↔ q (2) “(p ↔ q) ∧ p” implica a proposição “q”, pois, a condicional “(p ↔ q) ∧ p → q” é tautológica conforme se vê pela sua tabela-verdade:

p q p ↔ q (p ↔ q) ∧ p (p ↔ q) ∧ p → q V V V V V V F F F V F V F F V F F V F V

Portanto, simbolicamente: (p ↔ q) ∧ p ⇒ q. EXERCÍCIOS 1) Demonstrar por tabelas-verdade as seguintes equivalências: a) p ∧ (p ∨ q) ⇔ p b) p ∨ (p ∧ q) ⇔ p → q c) p ↔ p ∧ q ⇔ p → q d) q ↔ p ∨ q ⇔ p → q


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e) (p → q) ∧ (p → r) ⇔ p → q ∧ r f) (p → q) ∨ (p → r) ⇔ p → q ∨ r g) (p → q) → r ⇔ p ∧ ¬¬¬¬r → ¬¬¬¬q 2) Mostrar que as proposições “x=1 ∨ x<3” e “¬(x<3 ∧ x=1) não são equivalentes”. 3) Provar as implicações: a) (¬¬¬¬p ∧ q) ⇒ ¬¬¬¬p b) (p ∧ q → r) ⇒ (p → (q → r)) e) (p → q) ⇒ ((q → r) → (p → r)) 4) Mostre que p ↔ ¬¬¬¬q não implica p → q. 5) Testes x x > 2 x < 8 x > 2 ∧ x < 8 x > 2 ∨ x < 8 7

3,14 2 -1 8,57


33

6. FUNÇÕES LÓGICAS (portas lógicas) 6.1. FUNÇÕES: E, OU, NÃO, NE e NOU Nas funções lógicas, teremos apenas dois estados: - o estado 0 (zero) = DESLIGADO - o estado 1 (um) = LIGADO O estado “0” representará, por exemplo: DESLIGADO, ou seja, portão fechado, aparelho desligado, ausência de tensão, chave aberta, não, etc; O estado “1” representará, por exemplo: LIGADO, ou seja, portão aberto, aparelho ligado, presença de tensão, chave fechada, sim, etc; ESTADO “0” ESTADO “1” Desligado Ligado Portão Fechado Portão Aberto Aparelho Desligado Aparelho Ligado Ausência de Tensão Presença de Tensão Chave Aberta Chave Fechada Não Sim Notação: se representarmos por zero (0) uma situação, representaremos por um (1) a situação contrária. 6.1.1. FUNÇÃO “E” OU “AND” (∧∧∧∧) A função “E” é aquela que executa a multiplicação de duas ou mais variáveis. Representação Algébrica: S = A ● B, onde se lê: S = A e B.

Convenções: chave aberta = 0 chave fechada = 1 lâmpada apagada = 0 lâmpada acesa = 1


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Situações Possíveis: 1ª) Se CH-A = 0 e CH-B = 0, lâmpada apagada. A=0, B=0, S= A ● B = 0 2ª) Se CH-A = 0 e CH-B = 1, lâmpada apagada. A=0, B=1, S= A ● B = 0 3ª) Se CH-A = 1 e CH-B = 0, lâmpada apagada. A=1, B=0, S= A ● B = 0 4ª) Se CH-A = 1 e CH-B = 1, lâmpada acesa. A=1, B=1, S= A ● B = 1 Portanto, só teremos a lâmpada acesa quando as chaves A e B estiverem fechadas ( 1 e 1 ). TABELA DA VERDADE - “E” OU “AND”

A B S 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

N = 2 � 2N Linhas = 22 = 4 linhas

A tabela da verdade é um “mapa” onde colocamos todas as possíveis situações com seus respectivos resultados. PORTA “E” OU “AND” A porta lógica é um circuito que executa a função “E”.

S = A ● B

Uma porta AND de N entradas terá saída “1”, se e somente se, todas as entradas forem iguais a “1”, e terá saída “0” nos demais casos.

S = A ● B ● C ● ... ● N


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Exemplos: Vamos mostrar uma porta AND de quatro entradas e sua tabela da verdade.

A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

6.1.2. FUNÇÃO “OU” OU “OR” (∨∨∨∨) A função “OU” é aquela que executa a adição de duas ou mais variáveis. Representação Algébrica: S = A + B, onde se lê => S = A ou B. Situações Possíveis: 1ª) Se CH-A = 0 e CH-B = 0, lâmpada apagada. A=0, B=0, S= A + B = 0 2ª) Se CH-A = 0 e CH-B = 1, lâmpada acesa. A=0, B=1, S= A + B = 1 3ª) Se CH-A = 1 e CH-B = 0, lâmpada acesa. A=1, B=0, S= A + B = 1 4ª) Se CH-A = 1 e CH-B = 1, lâmpada acesa. A=1, B=1, S= A + B = 1


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Portanto, só teremos a lâmpada apagada quando as chaves A e B estiverem abertas (0 e 0). Tabela da Verdade - “OU” ou “OR”

A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

N = 2 � 2N Linhas = 22 = 4 linhas

PORTA “OU” OU “OR” A porta lógica é um circuito que executa a função “OU”.

S = A + B

Uma porta OR de N entradas terá saída “0”, se e somente se, todas as entradas forem iguais a “0”, e terá saída “1” nos demais casos.

S = A + B + C + ... + N

Exemplos: Vamos mostrar uma porta OR de três entradas e sua tabela da verdade.


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A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

6.1.3. FUNÇÃO “NÃO” OU “NOT” (¬¬¬¬) A função NÃO ou função complemento é aquela que inverte o estado da variável. Representação: S = A ou S = A’, onde se lê (A barra ou apóstrofo) ou (NÃO A).

Situações Possíveis: 1ª) Se CH-A = 0, então A = 0, A = 1, lâmpada acesa. 2ª) Se CH-A = 1, haverá um curto circuito A = 1, A = 0, lâmpada apagada. TABELA DA VERDADE - “NÃO” OU “NOT”

A A 0 1 1 0

INVERSOR É o bloco lógico que executa a função NOT (NÃO) ( ‘ ) ( ) (¬)


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Representação: A ---------->o---------- A’ ou Ā o---------- após um bloco lógico ----------o antes de um bloco lógico No caso do inversor, podemos ter somente uma entrada e uma saída. 6.1.4. FUNÇÃO “NÃO E” OU “NE” OU “NAND” É uma composição da função E com a função NÃO, ou seja, teremos a função E invertida. Representação Algébrica: S = (A ● B)’ Situações Possíveis: 1ª) Se CH-A = 0 e CH-B = 0, lâmpada acesa. A=0, B=0, S= (A ● B)’ = 1 2ª) Se CH-A = 0 e CH-B = 1, lâmpada acesa. A=0, B=1, S= (A ● B)’ = 1 3ª) Se CH-A = 1 e CH-B = 0, lâmpada acesa. A=1, B=0, S= (A ● B)’ = 1 4ª) Se CH-A = 1 e CH-B = 1, lâmpada apagada. A=1, B=1, S= (A ● B)’ = 0 Portanto, só teremos a lâmpada apagada quando as chaves A e B estiverem abertas (1 e 1). TABELA DA VERDADE - “NE” OU “NAND”

A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

PORTA “NE” OU “NAND” A porta lógica é um circuito que executa a função “NE”


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S= (A ● B)’

A porta NAND é a composição da porta AND com um inversor ligado à sua saída. A porta NAND pode ter duas ou mais entrada, assim como os outros blocos lógicos. 6.1.5. FUNÇÃO “NÃO OU” OU “NOU” OU “NOR” É uma composição da função NÃO com a função OU, ou seja, a função NOU será o inverso da função OU. Representação Algébrica: S = (A + B)’ Situações Possíveis: 1ª) Se CH-A = 0 e CH-B = 0, lâmpada acesa. A=0, B=0, S= (A + B)’ = 1 2ª) Se CH-A = 0 e CH-B = 1, lâmpada apagada. A=0, B=1, S= (A + B)’ = 0 3ª) Se CH-A = 1 e CH-B = 0, lâmpada apagada. A=1, B=0, S= (A + B)’ = 0 4ª) Se CH-A = 1 e CH-B = 1, lâmpada apagada. A=1, B=1, S= (A + B)’ = 0 Portanto, só teremos a lâmpada acesa quando as chaves A e B estiverem abertas (0 e 0). TABELA DA VERDADE - “NOU” OU “NOR”

A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

PORTA “NOU” OU “NOR” A porta lógica é um circuito que executa a função “NOR”


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S= (A + B)’

A porta NOR é a composição da porta OR com um inversor ligado à sua saída. A porta NOR pode ter duas ou mais entrada, assim como os outros blocos lógicos. 6.2. EXPRESSÕES BOOLEANAS GERADAS POR CIRCUITOS LÓGICOS: Vejamos qual a expressão que o circuito abaixo executa:

CIRCUITOS OBTIDOS DE EXPRESSÕES BOOLEANAS. Vimos até agora que podemos obter uma expressão booleana que um circuito lógico executa. Vamos estudar que a partir de uma expressão booleana podemos desenhar um circuito. Por exemplo, obter o circuito lógico da seguinte expressão: S = (A + B) ● C ● (B + D) EXERCÍCIOS 1) Desenhe os circuitos lógicos que executam as seguintes expressões booleanas:


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a) S = [(A●B) + (C●D)]’ b) S = (A●B) + C + (C●D) c) S = (A●B●C) + ((A+B) ● C) d) S = {[(A●B●C) + B + C]’ ● [A’+C+D + (B●C’●D)] ● [A+B+C + (B●C’●D)]}’ e) S = [(A+B’+C)’ ● (A+D’+B)]’●A’●B●C’ f) S = [(A’+B) ● (C+D’)]’ + D’ + [B●D + D’]’ g) S = [(A’●B) ● (B●C)’ ● (B+D)’]’ h) S = [(A’●B)’ + (A●B’)’ + C’]’ ● (C+D) i) S = A●B●C + A●D + A●B●D j) S = (A’+B) + (A●B●C’) l) S = A●B●C + A●B’●C + A’●B’●C + A’●B’●C’ m) S = [(A+B)●C]’ + [D●(C+B)]’ n) S = [A●C’ + D + B]’ + [C ● (A●C●D)’]


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7. CIRCUITOS COMBINACIONAIS 7.1. INTRODUÇÃO

Um dos assuntos mais importantes da Eletrônica Digital é o que trata dos circuitos combinacionais. É por intermédio do estudo destes que poderemos compreender o funcionamento de circuitos que executam prioridades, codificadores, decodificadores e outros circuitos muito utilizados na construção de computadores e em vários outros sistemas digitais.

O circuito combinacional é aquele em que a saída depende única e exclusivamente das várias combinações entre as variáveis de entrada.

Podemos utilizar um circuito lógico combinacional para solucionar problemas em que necessitamos de uma resposta, quando acontecerem determinadas situações, situações estas, representadas pelas variáveis de entrada. Para construirmos estes circuitos, necessitamos de sua expressão característica.

Precisamos então, obter uma expressão que represente uma dada situação. Para extrairmos uma expressão de uma situação, o caminho mais fácil será o de obtermos a tabela da verdade desta situação e, em seguida, levantarmos a expressão. Esquematicamente, temos:

7.2. EXPRESSÕES E CIRCUITOS A PARTIR DE TABELAS DA VERDADE

Podemos obter expressões e circuitos a partir de tabelas da verdade. Este é o caso mais comum na prática, já que, geralmente, necessitamos representar situações por meio de circuitos lógicos. É com esta finalidade que utilizamos


43

as tabelas da verdade, já que elas mostram todas as situações possíveis e suas respostas.

7.2.1. CIRCUITOS COM DUAS (2) VARIÁVEIS

Para entendermos este processo, vamos utilizar um exemplo:

SEMÁFORO 1

SEMÁFORO 1

SEMÁFORO 2

SEMÁFORO 2

Rua A - Preferencial

O desenho representa o cruzamento das ruas A e B. Neste cruzamento, queremos instalar um sistema automático para os semáforos, com as seguintes características:

1ª. Quando houver carros transitando somente na Rua B, o semáforo 2 deverá permanecer verde para que estas viaturas possam trafegar livremente.

2ª. Quando houver carros transitando somente na Rua A, o semáforo 1 deverá permanecer verde pelo mesmo motivo.

3ª. Quando houver carros transitando nas Ruas A e B, deveremos abrir o semáforo para a Rua A, visto que ela é preferencial.


44

Para solucionarmos este problema, podemos utilizar um circuito lógico. Para montarmos este circuito lógico, necessitamos de sua expressão. Vamos, agora, analisando a situação, obter sua tabela da verdade.

Primeiramente, vamos estabelecer as seguintes convenções:

a) Existência de carro na Rua A (A = 1)

b) Não existência de carro na Rua A (A = 0 ou A’ = 1)

c) Existência de carro na Rua B (B = 1)

d) Não existência de carro na Rua B (B = 0 ou B’ = 1)

e) Verde do sinal 1 aceso (V1 = 1)

f) Verde do sinal 2 aceso (V2 = 1)

g) Quando V1 = 1 (Vm1 = 0; V2 = 0 e Vm2 = 1)

h) Quando V2 = 1 (V1 = 0; Vm2 = 0 e Vm1 = 1)

Situação A B V1 Vm1 V2 Vm2

0 0 0 1 0 1 2 1 0 3 1 1

A situação 0 (A = 0 e B = 0) representa a ausência de veículos em ambas as ruas. Se não temos carros, tanto faz qual sinal permanecer aceso. Neste caso, preencheremos a tabela da verdade da seguinte maneira:


0 0 0 Ø Ø Ø Ø

Onde o símbolo Ø significa que as variáveis podem assumir valores 1 ou 0. Esta condição é chamada condição irrelevante.

A situação 1 (A = 0 e B = 1) representa a presença de veículo na Rua B e ausência de veículo na Rua A, logo devemos acender o sinal verde para a Rua B (V2 = 1) :

Situação A B V1 Vm1 V2 Vm2 0 0 1 0 1 1 0

(V2 = 1 � V1 = 0; Vm1 = 1 e Vm2 = 0)


45

A situação 2 (A = 1 e B = 0) representa a presença de veículo na Rua A e ausência de veículo na Rua B, logo devemos acender o sinal verde para a Rua A (V1 = 1) :


0 0 1 1 0 0 1

(V1 = 1 � V2 = 0, Vm2 = 1, Vm1 = 0)

A última situação possível, a situação 3 (A = 1 e B = 1) representa a presença de veículos em ambas as ruas, logo devemos acender o sinal verde para a Rua A (V1 = 1), já que esta é preferencial. Temos, então:


0 1 1 1 0 0 1

(V1 = 1 � Vm1 = 0; V2 = 0 e Vm2 = 1)

Podemos, agora, preencher a tabela da verdade:


0 0 0 Ø Ø Ø Ø 1 0 1 0 1 1 0 2 1 0 1 0 0 1 3 1 1 1 0 0 1

No caso 0, condição irrelevante, tanto faz qual o sinal que permanece aceso. Vamos adotar, por exemplo, que o verde do sinal 2 permaneça aceso. Temos, então:

(V2 = 1 � V1 = 0 , Vm1 = 1 e Vm2 = 0)

Preenchendo novamente a tabela da verdade com os novos valores, para o caso 0, temos:

Situação A B V1 Vm1 V2 Vm2 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 2 1 0 1 0 0 1 3 1 1 1 0 0 1


46

Cada saída, ou seja, tanto V1, como Vm1, como Vm2 e como V2, possuirá um circuito independente. Vamos escrever, primeiramente, a expressão de V1.

Em que casos V1 deve acender? No caso 2 ou no caso 3.

No caso 2, temos:

V1 = 1 quando: A ● B’ = 1

No caso 3, temos:

V1 = 1 quando: A ● B = 1

Podemos escrever, então:

V1 = A ● B’ + A ● B

Em que casos Vm1 deve acender? No caso 0 ou no caso 1.

No caso 0, temos:

Vm1 = 1 quando: A’ ● B’ = 1

No caso 1, temos:

Vm1 = 1 quando: A’ ● B = 1

Assim sendo, podemos escrever a expressão de Vm1:

Vm1 = A’ ● B’ + A’ ● B

Vamos, agora, escrever a expressão de V2:

No caso 0, temos:

V2 = 1 quando: A’ ● B’ = 1

No caso 1, temos:

V2 = 1 quando: A’ ● B = 1

Assim sendo, podemos escrever a expressão de V2:

V2 = A’ ● B’ + A’ ● B

Vamos, agora, escrever a expressão de Vm2:

No caso 0, temos:


47

Vm2 = 1 quando: A ● B’ = 1

No caso 1, temos:

Vm2 = 1 quando: A ● B = 1

Assim sendo, podemos escrever a expressão de V2:

Vm2 = A ● B’ + A ● B

Resumidamente temos:

V1 = Vm2 = A ● B’ + A ● B

V2 = Vm1 = A’ ● B’ + A’ ● B

A partir das expressões, obtemos os circuitos:

Por meio deste exemplo, vimos que um circuito combinacional tem suas saídas dependentes única e exclusivamente das variáveis de entrada. No caso, o semáforo será comandado única e exclusivamente pelas variáveis A e B (vide convenções adotadas). Vimos também, como extrair expressões de tabelas da verdade, resultando em circuitos lógicos.

7.2.2. CIRCUITOS COM TRÊS (3) VARIÁVEIS

Deseja-se utilizar um amplificador para ligar três aparelhos: um toca-cd’s, um toca-fitas e um rádio FM.

Vamos elaborar um circuito lógico que nos permitirá ligar os aparelhos, obedecendo às seguintes prioridades:

1ª. Prioridade: Toca-cds 2ª. Prioridade: Toca-fitas


48

3ª. Prioridade: Rádio FM

Isto significa que quando não tivermos nenhum cd, nenhuma fita tocando, permanecerá conectado a entrada do Amplificador, o rádio FM. Se ligarmos o Toca-fitas, automaticamente o circuito o conectará a entrada do Amplificador, já que, possui prioridade sobre o Rádio FM. Se agora, ligarmos o Toca-cds, este será conectado ao Amplificador, visto que representa a 1ª prioridade. A partir disto, podemos montar o diagrama de blocos com as ligações.

Sendo:

SA: saída do circuito que dará a A a 1ª prioridade. SB: saída do circuito que dará a B a 2ª prioridade. SC: saída do circuito que dará a C a 3ª prioridade.

Convenções utilizadas:

SA = 1 � Chave 1 fechada SB = 1 � Chave 2 fechada SC = 1 � Chave 3 fechada

Situação A B C SA SB SC 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1


49

Para preenchermos a tabela da verdade, vamos analisar todas as oito situações possíveis:

Caso 0: os três estão desligados, logo, condição irrelevante.

Caso 1: Está ligado apenas o FM, logo, somente SC assume valor 1.

Caso 2: Está ligado apenas o Toca-fitas, logo, somente SB assume valor 1.

Caso 3: Estão ligados FM e Toca-fitas. O Toca-fitas tem prioridade sobre o FM, logo somente SB assume valor 1.

Caso 4: Está ligado apenas o Toca-cds, logo, somente SA assume valor 1.

Caso 5: Estão ligados Toca-cds e FM. O Toca-cds é a 1ª prioridade, logo, somente SA assume valor 1.

Caso 6: Análogo ao caso 5.

Caso 7: Análogo aos casos 5 e 6.

Feita a análise de cada situação, podemos preencher a tabela da verdade:

Situação A B C SA SB SC 0 0 0 0 Ø Ø Ø 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 3 0 1 1 0 1 0 4 1 0 0 1 0 0 5 1 0 1 1 0 0 6 1 1 0 1 0 0 7 1 1 1 1 0 0

No caso da condição irrelevante vamos considerar:

SA = SB = SC = 0

ou seja, nada ficará ligado à entrada do Amplificador.

Expressão de SC: SC assumirá valor 1 somente no caso 1, ou seja, SC = 1 quando A = 0 e B = 0 e C = 1, ou ainda SC = 1 quando A’ = 1 e B’ = 1 e C = 1, logo podemos escrever:

SC = A’ ● B’ ● C


50

Expressão de SB: SB assumirá valor 1 no caso 2 ou no caso 3:

Caso 2: A’ ● B ● C’ � SB = 1

Caso 3: A’ ● B ● C � SB = 1

SB = A’ ● B ● C’ + A’ ● B ● C Expressão de SA:

SA assumirá valor 1 no caso 4 ou 5 ou 6 ou 7:

Caso 4: A ● B’ ● C’ � SA = 1

Caso 5: A ● B’ ● C � SA = 1

Caso 6: A ● B ● C’ � SA = 1

Caso 7: A ● B ● C � SA = 1

SA = A ● B’ ● C’ + A ● B’ ● C + A ● B ● C’ + A ● B ● C A partir das expressões, obtemos os circuitos:


51

Notamos que quanto maior o número de variáveis, maior o número de situações possíveis, e, por conseguinte, maiores os circuitos. 7.2.3. CIRCUITOS COM QUATRO (4) VARIÁVEIS

Suponhamos, agora, que uma empresa queira implantar um sistema de prioridades nos seus intercomunicadores, da seguinte maneira:

Presidente : 1ª. prioridade Vice-presidente : 2ª. prioridade Engenharia : 3ª. prioridade Chefe de seção : 4ª prioridade Esquematizando, temos:

Convenções utilizadas: • Presença de chamada: 1 • Ausência de chamada: 0 • Intercomunicador do presidente: A • Intercomunicador do vice-presidente: B • Intercomunicador da engenharia: C • Intercomunicador do chefe de seção: D • Saídas: Efetivação de chamada: 1 – Não efetivação de chamada: 0 Estabelecidas as convenções, montamos a tabela da verdade:


52

A B C D SA SB SC SD 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0

Expressão de SD:

SD = 1 �� SD = A’ ● B’ ● C’ ● D Expressão de SC:

SC = 1 �� SC = A’ ● B’ ● C ● D’ + A’ ● B’ ● C ● D Expressão de SB: SB = 1 �� SB = A’ ● B ● C’ ● D’ + A’ ● B ● C’ ● D + A’ ● B ● C ● D’ +

A’ ● B ● C ● D Expressão de SA: SA = 1 �� SA = A ● B’ ● C’ ● D’ + A ● B’ ● C’ ● D + A ● B’ ● C ● D’ + A ● B’ ● C ● D + A ● B ● C’ ● D’ + A ● B ● C’ ● D + A ● B ● C ● D’ +

A ● B ● C ● D


53

A partir das expressões, obtemos os circuitos:


54


55

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Entrocamento

A figura abaixo mostra o entroncamento das ruas A, B e C.

Neste cruzamento, queremos instalar um conjunto de semáforos para as seguintes funções: a) Quando o semáforo 1 abrir para a Rua A, automaticamente os semáforos

2 e 3 devem fechar, para possibilitar ao motorista ambas as conversões. b) Analogamente, quando o semáforo 2 abrir, devem fechar os semáforos 1 e

3. c) Pelo mesmo motivo, quando o semáforo 3 abrir devem fechar os

semáforos 1 e 2. Devemos seguir também as seguintes prioridades: a) O motorista que está na rua A tem prioridade em relação ao motorista

que está na rua C. b) O motorista que está na rua C tem prioridade em relação ao motorista

que está na rua B. c) O motorista que está na rua B tem prioridade em relação ao motorista que

está na rua A. d) Quando houver carros nas três ruas, a rua A é preferencial. e) Quando não houver carros nas três ruas, a rua B é preferencial. Obtenha: a) A Tabela da Verdade. b) As Expressões dos Semáforos para os sinais verdes e vermelhos (acesos). c) Os Circuitos Lógicos das expressões.


56

d) Montar o trecho do Algoritmo que testa as condições com base na Tabela da Verdade. 2) Sistema de Votação Uma escola tem sua diretoria constituída pelos seguintes elementos: Diretor, Vice-Diretor, Secretário e Tesoureiro. Uma vez por mês esta diretoria se reúne para decidir sobre diversos assuntos, sendo que as propostas são aceitas ou não por meio de votação. Devido ao número de elementos da diretoria ser par, o sistema adotado é o seguinte:

1. Maioria absoluta – a proposta é aceita ou não se no mínimo três elementos são, respectivamente, a favor ou contra;

2. Empate – vence o voto dado pelo diretor.

Projetar um circuito que acenda uma lâmpada caso a proposta seja aprovada pela diretoria.

A resolução deste problema restringe-se à implementação de um circuito combinacional que produzirá em sua saída um nível lógico de acordo com as combinações das variáveis de entrada.

A figura a seguir mostra o diagrama de blocos deste sistema de votação.

Variáveis de entrada: D = Diretor - V = Vice-Diretor - S = Secretário - T = Tesoureiro Variável de saída: L = Lâmpada

CIRCUITO LÓGICO

D

V

S

T

CIRCUITO DE

POTÊNCIA

L


57

Definições para a montagem da tabela da verdade:

• Voto a favor: D,V,S,T = 1 • Voto contra: D,V,S,T = 0 • Proposta aceita: L = 1 • Proposta rejeitada: L = 0 a) Montar a expressão para a Lâmpada (acesa) b) Montar o circuito da expressão simplificada 3) Controle de Bombeamento de Água O desenho a seguir mostra um processo simples para encher uma caixa d’água a partir do bombeamento da água de um rio próximo.

Os sensores de nível alto (H) e de nível baixo (L) são utilizados para determinar o acionamento da bomba (B) e do alarme (A). Os sensores funcionam da seguinte forma:

H = L = 0 � sensor desacionado, ou seja, a água está abaixo dele.

H = L = 1 � sensor acionado, ou seja, a água está sobre ou acima dele.

A bomba deve ser acionada sempre que o nível da água da caixa estiver abaixo do sensor H. Se o nível da água ficar abaixo do nível do sensor L, o alarme deve ser acionado até que o nível da água suba acima de L.

Alarme (A)

Caixa d’água

H

L

Bomba (B)

Rio


58

Variáveis de entrada: H e L Variáveis de saída: B e A A partir das características acima, levantar:

a) a tabela da verdade deste circuito lógico. b) as expressões da bomba e do alarme. c) o circuito da bomba e do alarme. d) Algoritmo


59

8. SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS UTILIZANDO ÁLGEBRA DE BOOLE E DIAGRAMAS DE VEITCH-KARNAUGH 8.1. INTRODUÇÃO

No Capítulo 7, trabalhou se com os circuitos lógicos sem a preocupação com as simplificações desses circuitos. Na prática, porém, estes circuitos obtidos admitem geralmente simplificações.

Para entrar no estudo da simplificação dos circuitos lógicos, torna-se necessário fazer um breve estudo da Álgebra de Boole, principalmente no diz respeito a seus postulados, propriedades, teoremas fundamentais e identidades, visto que por intermédio desses, é que são efetuadas as mencionadas simplificações, e além disso, nota-se que é na Álgebra de Boole que estão todos os fundamentos da Eletrônica Digital.

Outra forma de realizar as simplificações é por meio dos diagramas de Veitch-Karnaugh. Estes diagramas ou mapas permitem a simplificação de maneira mais rápida dos casos extraídos de tabelas da verdade, obtidas de situações quaisquer. Serão estudados os diagramas para 2, 3, 4 e 5 variáveis.

8.2. ÁLGEBRA DE BOOLE

Nesta seção, serão apresentados os postulados, propriedades, teoremas fundamentais e identidades, utilizados para realizar as simplificações de circuitos lógicos.

8.2.1. VARIÁVEIS E EXPRESSÕES NA ÁLGEBRA DE BOOLE

Como já visto anteriormente, as variáveis booleanas são representadas por letras, podendo assumir apenas dois valores distintos: 0 ou 1. Denomina-se expressão booleana à sentença matemática composta de termos cujas variáveis são booleanas, da mesma forma, podendo assumir como resultado final 0 ou 1.

8.2.2. POSTULADOS


60

A seguir, são apresentados os postulados da complementação, da adição e da multiplicação da Álgebra de Boole, e suas respectivas identidades resultantes.

8.2.2.1. Postulado da Complementação

Este postulado, mostra como são as regras da complementação na Álgebra de Boole. Chama-se de Ā (não A) o complemento de A.

1. Se A = 0 → Ā = 1

2. Se A = 1 → Ā = 0

Através do postulado da complementação, pode se estabelecer a seguinte identidade:

Ā’ = A (negação dupla), correspondete a ¬¬p = p

Se A = 1, tem-se Ā = 0 e se Ā = 0 → Ā’ = 1.

Se A = 0, tem-se Ā = 1 e se Ā = 1 → Ā’ = 0.

Assim sendo, pode-se escrever: Ā’ = A

O bloco lógico que executa o postulado da complementação é o Inversor.

8.2.2.2. Postulado da Adição

Este postulado, mostra como são as regras da adição dentro da Álgebra de Boole.

0 + 0 0 0 + 1 1 1 + 0 1 1 + 1 1

Através deste postulado, pode se estabelece as seguintes identidades:

1) A + 0 = A. (p ∨ 0 ⇔ p) A pode ser 0 ou 1, veja, então, todas as possibilidades:


61

A = 0 → 0 + 0 = 0

A = 1 → 1 + 0 = 1

Nota-se que o resultado será sempre igual à variável A.

2) A + 1 = 1. (p ∨ 1 ⇔ 1) Veja todas as possibilidades:

A = 0 → 0 + 1 = 1

A = 1 → 1 + 1 = 1

Nota-se que se somar 1 a uma variável, o resultado será sempre 1.

3) A + A = A. (p ∨ p ⇔ p) Veja todas as possibilidades:

A = 0 → 0 + 0 = 0

A = 1 → 1 + 1 = 1

Nota-se que se somar a mesma variável, o resultado será sempre ela mesma.

4) A + Ā = 1. (p ∨ ¬p ⇔ 1) Veja todas as possibilidades:

A = 0 → Ā = 1 → 0 + 1 = 1

A = 1 → Ā = 0 → 1 + 0 = 1

Nota-se que sempre que se some a uma variável o seu complemento, tem-se como resultado 1.

O bloco lógico que executa o postulado da adição é o OU.

8.2.2.2. Postulado da Multiplicação

É o postulado que determina as regras da multiplicação booleana:


62

0 . 0 0 0 . 1 0 1 . 0 0 1 . 1 1

Através deste postulado, pode se estabelecer as seguintes identidades:

1) A . 0 = 0. (p ∧ 0 ⇔ 0) Pode se confirmar, verificando todas as possibilidades:

A = 0 → 0 . 0 = 0

A = 1 → 1 . 0 = 0

Nota-se que todo número multiplicado por 0 é resulta em 0.

2) A . 1 = A. (p ∧ 1 ⇔ p) Analisando todas as possibilidades, tem-se:

A = 0 → 0 . 1 = 0

A = 1 → 1 . 1 = 1

Nota-se que o resultado destas expressões numéricas será sempre A.

3) A . A = A. (p ∧ p ⇔ p) Esta identidade, à primeira vista estranha, é verdadeira, como pode-se confirmar pela análise de todas as possibilidades:

A = 0 → 0 . 0 = 0

A = 1 → 1 . 1 = 1

Nota-se que os resultados serão sempre iguais a A.

4) A . Ā = 0. (p ∧ ¬p ⇔ 0) Analisando todas as possibilidades:

A = 0 → Ā = 1 → 0 . 1 = 0


63

A = 1 → Ā = 0 → 1 . 0 = 0

Nota-se que para ambos os valores possíveis que a variável pode assumir, o resultado da expressão será sempre 0.

O bloco lógico que executa o postulado da multiplicação é o E.

8.2.3. PROPRIEDADES

A seguir, são descritas as principais propriedades algébricas, úteis principalmente, no manuseio e simplificação de expressões. Tal como na matemática comum, valem na Álgebra de Boole as propriedades comutativa, associativa e distributiva.

8.2.3.1. Propriedade Comutativa

Esta propriedade é válida tanto na adição quanto na multiplicação:

Adição: A + B = B + A correspondente a (p v q) ⇔ (q v p)

Multiplicação: A . B = B . A correspondente a (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)

8.2.3.2. Propriedade Associativa

Da mesma forma que na anterior, tem-se a propriedade associativa válida na adição e na multiplicação:

Adição: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C correspondente a [p ∨ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∨ r] ⇔ [p ∨ q ∨ r]

Multiplicação: A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C correspondente a [p ∧ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∧ r] ⇔ [p ∧ q ∧ r]

8.2.3.3. Propriedade Distributiva

A . (B + C) = A.B + A.C


64

correspondente a [p ∧ (q ∨ r)] ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Verifica-se esta propriedade através da tabela verdade, analisando todas as possibilidades:

A B C A . (B + C) A.B + A.C 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

Nota-se, pela tabela verdade, que as expressões se equivalem (equivalência).

8.2.4. TEOREMAS DE De Morgan

Os teoremas de De Morgan são muito empregados na prática, em simplificações de expressões booleanas e, ainda, no desenvolvimento de circuitos digitais, linguagens formais e autômatos.

8.2.4.1. 1º Teorema de De Morgan

O complemento do produto é igual à soma dos complementos:

(A . B)’ = A’ + B’ correspondente a ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q

Para provar este teorema, monta-se a tabela verdade de cada membro e comparam-se os resultados:

A B (A . B)’ A’ + B’ 0 0 1 1


65

0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0

Nota-se a igualdade de ambas as colunas.

Este teorema foi aplicado no item referente à equivalência entre blocos lógicos.

O teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis:

(A . B . C . ... . N)’ = A’ + B’ + C’ + ... + N’

8.2.4.2. 2º Teorema de De Morgan

O complemento da soma é igual ao produto dos complementos. Este teorema é uma extensão do primeiro:

(A . B)’ = A’ + B’ � 1º Teorema

Pode-se então, reescrevê-lo da seguinte maneira:

A . B = (A’ + B’)’

Nota-se que A é o complemento de A’ e que B é o complemento de B’. Chamando A’ de X e B’ de Y, tem-se então:

X’ . Y’ = (X + Y)’

Reescrevendo, em termos de A e B, tem-se:

A’ . B’ = (A + B)’ � 2º Teorema correspondente a ¬p ∧ ¬q ⇔ ¬(p ∨ q)

Da mesma forma que no anterior, o teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis:

(A + B + C + ... + N)’ = A’ . B’ . C’ . ... . N’

Nota-se, também, a aplicação deste teorema no item relativo à equivalência entre blocos lógicos.

8.2.5. IDENTIDADES AUXILIARES


66

A seguir, serão deduzidas três identidades úteis para a simplificação de expressões:

8.2.5.1. A + A.B = A � [p ∨ (p ∧ q) ⇔ p]

Prova-se esta identidade, utilizando a propriedade distributiva. Evidenciando A no 1º termo:

A.(1 + B) = A

Do postulado da soma tem-se: 1 + B = 1, logo pode se escrever:

A . 1 = A, ∴∴∴∴ A + A.B = A

8.2.5.2. (A + B) . (A + C) = A + B.C � [p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⇔ p ∨ (q ∧ r)]

Provando esta identidade:

(A + B) . (A + C)

= A.A + A.C + A.B + B.C � Propriedade distributiva

= A + A.C + A.B + B.C � Identidade A.A = A (Evidenciando A no 1º Termo) � Ex: 2.(3 + 4) = 2.3 + 2.4 � 2.3 + 2.4 = 2.(3 + 4)

= A.(1 + B + C) + B.C � Propriedade distributiva (A no 1º termo)

= A.1 + B.C � Identidades: 1 + X = 1 e A . 1 = A (Postulado da Multiplicação)

∴∴∴∴ (A + B) . (A + C) = A + B.C

8.2.5.3. A + A’.B = A + B � [p ∨ (¬p ∧ q) ⇔ p ∨ q]


67

Provando esta identidade:

A + A’.B = (A + A’.B)’’ � Identidade X’’ = X (negação dupla)

= [A’ . (A’.B)’]’ � 2º Teorema de De Morgan: (X + Y)’ = X’ . Y’

= [A’ . (A+B’)]’ � 1º Teorema de De Morgan aplicado no parêntese: (X . Y)’ = X’ + Y’

= (A’.A + A’.B’)’ � propriedade distributiva e identidade A’.A = 0

= (A’ . B’)’

= (A + B) � 1º Teorema de De Morgan

∴∴∴∴ (A + A’.B) = A + B

8.2.6. REALIZANDO SIMPLIFICAÇÕES

Utilizando o conceito da Álgebra de Boole, podem-se simplificar expressões e conseqüentemente circuitos.

1º exemplo:

S = A.B.C + A.C’ + A.B’

Evidenciando o termo A, tem-se:

S = A.(B.C + C’ + B’)

Aplicando a propriedade associativa, tem-se:

S = A.[B.C + (C’ + B’)]

Aplicando a identidade X’’ = X, tem-se:

S = A.[B.C + (C’ + B’)’’]

Aplicando o 1º Teorema de De Morgan, tem-se:

S = [B.C + (B.C)’] . A

Chamando B.C de Y, logo (B.C)’ = Y’, tem-se então:

S = A.(Y + Y’)


68

Como Y + Y’ = 1, logo: S = A . 1 = A

∴∴∴∴ S = A

Esta expressão mostra a importância da simplificação e a conseqüente minimização do circuito, já que os resultados são idênticos aos valores assumidos pela variável A, assim sendo, todo o circuito pode ser substituído por um único fio ligado à variável A.

Utilizando mapas de Veitch-Karnaugh:

2º exemplo:

S = A’.B’.C’ + A’.B.C’ + A.B’.C

Tirando A’ . C’ em evidência nos dois primeiros termos, tem-se:

S = A’ . C’ . (B’ + B) + A.B’.C

Aplicando a identidade: B + B’ = 1, tem-se:

S = A’ . C’ . (B’ + B) + A.B’.C

= A’.C’ + A.B’.C

∴∴∴∴ S = A’.C’ + A.B’.C

Utilizando mapas de Veitch-Karnaugh:


69

Exercícios

1) Provar as Propriedades Comutativa, Associativa e Distributiva com o uso de tabela da verdade.

2) Provar os Teoremas de De Morgan utilizando tabela da verdade.

3) Provar as Identidades Auxiliares por intermédio de tabela da verdade.

4) Provar por intermédio de tabelas da verdade que (A.B.C + A.C’ + A.B’) é igual a A (1º exemplo apresentado nas simplificações).

5) Provar que (A’.B’.C’ + A’.B.C’ + A.B’.C) é igual a (A’.C’ + A.B’.C) (2º exemplo apresentado nas simplificações).


70

8.3. DIAGRAMA VEITCH-KARNAUGH

Nesta seção, serão apresentados os diagramas de Veitch-Karnaugh utilizados para realizar as simplificações de circuitos lógicos.

8.3.1. DIAGRAMA VEITCH-KARNAUGH PARA 2 VARIÁVEIS

As figuras a seguir mostram a formação de um diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis:

No mapa, encontram-se todas as possibilidades assumidas entre as variáveis A e B. As figuras a seguir mostram todas as regiões do mapa.


71

Como simplificar circuitos lógicos utilizando os mapas de duas variáveis:

1. Dada a expressão booleana, correspondente ao circuito lógico combinacional, inicie a localização junto ao mapa de cada uma das partes da expressão;

2. Após as localizações (item 1), deve-se proceder com o agrupamento dos valores “1”. Em mapas de duas variáveis o agrupamento pode ser feito por intermédio da formação de pares e quadras (mapa totalmente preenchido de 1 constitui-se uma quadra);

3. Após a execução dos itens 1 e 2, obtém-se a expressão simplificada. Ver ilustrações a seguir:


72

Exercícios

1) Localizar no mapa e obter a expressão simplificada correspondente:

2) Simplificar o Circuito do Semáforo de 2 Ruas construído nas aulas

anteriores, conforme tabela verdade apresentada a seguir. Em seguida, traçar uma comparação das expressões e os circuitos originais (antes da simplificação) com as expressões e circuitos simplificados, analisando em termos de redução (Cap. 7).

A B V1 Vm1 V2 Vm2 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1




73

A

A

B B

C C C

A A A AB C B B B CC C

A B C A B C A B C A B C

A

A

B B

C C C

0 0 0 000 0 1 101 1

100 1 01 111 1 10

No mapa, encontram-se todas as possibilidades assumidas entre as variáveis A, B e C. As figuras a seguir mostram todas as regiões do mapa.


74

Como simplificar circuitos lógicos utilizando os mapas de três variáveis:


2. Após as localizações (item 1), deve-se proceder com o agrupamento dos valores “1”. Em mapas de três variáveis o agrupamento pode ser feito por intermédio da formação de pares, quadras e/ou oitavas (mapa totalmente preenchido de 1 constitui-se uma oitava);



75

Exercícios


2) Simplificar o circuito do Amplificador de Som construído nas aulas anteriores, conforme tabela verdade apresentada a seguir. Em seguida, traçar uma comparação das expressões e os circuitos originais (antes da simplificação) com as expressões e circuitos simplificados, analisando em termos de redução (Cap. 7).

A B C SA SB SC 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0

3) Idem para o Circuito do Entroncamento (Cap. 7).




76

C C

A

A

B

B

B

D D D

0 0

0 0

0 0

0 1

0 0

1 1

0 0

1 0

0 1

0 0

1 1

0 0

1 0

0 0

0 1

0 1

1 1

0 1

1 0

0 1

0 1

1 1

1 1

1 1

1 0

1 1

0 1

1 0

1 1

1 0

1 0

1 0

No mapa, encontram-se todas as possibilidades assumidas entre as variáveis A, B, C e D. As figuras a seguir mostram todas as regiões do mapa.


77


78

Como simplificar circuitos lógicos utilizando os mapas de quatro variáveis:


2. Após as localizações (item 1), deve-se proceder com o agrupamento dos valores “1”. Em mapas de quatro variáveis o agrupamento pode ser feito por intermédio da formação de pares, quadras, oitavas e/ou hexas (mapa totalmente preenchido de 1 constitui-se uma hexa);



79

Exercícios


2) Simplificar o circuito do Sistema de Intercomunicadores (Central Telefônica) construído nas aulas anteriores, conforme tabela verdade apresentada a seguir. Em seguida, traçar uma comparação das expressões e os circuitos originais (antes da simplificação) com as expressões e circuitos simplificados, analisando em termos de redução (Cap. 7)


80

A B C D SA SB SC SD 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0

3) Idem para o Sistema de Votação (Cap. 7).



D D

B

B

C

C

C

E E E

D D

B

B

C

C

C

E E E

A A


81

No mapa, encontram-se todas as possibilidades assumidas entre as variáveis A, B, C, D e E. As figuras a seguir mostram todas as regiões do mapa.


82

D D

B

B

C

C

C

E E E

D D

B

B

C

C

C

E E E

A A

Região A


83

D D

B

B

C

C

C

E E E

D D

B

B

C

C

C

E E E

A A

Região B

D D

B

B

C

C

C

E E E

D D

B

B

C

C

C

E E E

A A

Região C

D D

B

B

C

C

C

E E E

D D

B

B

C

C

C

E E E

A A

Região C


84

D D

B

B

C

C

C

E E E

D D

B

B

C

C

C

E E E

A A

Região D

D D

B

B

C

C

C

E E E

D D

B

B

C

C

C

E E E

A A

Região D


85

D D

B

B

C

C

C

E E E

D D

B

B

C

C

C

E E E

A A

Região E

Como simplificar circuitos lógicos utilizando os mapas de cinco variáveis:


2. Após as localizações (item 1), deve-se proceder com o agrupamento dos valores “1”. Em mapas de cinco variáveis o agrupamento pode ser feito por intermédio da formação de pares, quadras, oitavas e/ou hexas;



86

D D

B

B

C

C

C

E E E

D D

B

B

C

C

C

E E E

A A

1

11 11

1

1

11 1 1

0 0 0

0

0 0

0

0

0

0

0

0 0 0

0

0

0

0 0 0 0

S = A B C D E + A B C D E + A B C D E + A B C D E +A B C D E + A B C D E + A B C D E + A B C D E +A B C D E + A B C D E + A B C D E

Q1 = Quadra Vermelha(esquerdo – horizontal)Q2 = Quadra Verde (direito – horizontal)Q3 = Quadra Azul (esquerdo e direito - centro – vertical)P1 = Par Laranja (esquerdo – vertical)

S = Q1 + Q2 + Q3 + P1

Expressão Simplificada: S = A B C A B C+ C D E+ A B+ D E

Exercícios



87

8.3.5. DIAGRAMA COM CONDIÇÕES IRRELEVANTES

Chama-se condição irrelevante (X) a situação de entrada em que a saída pode assumir 0 ou 1 indiferentemente. Esta condição ocorre principalmente pela impossibilidade prática do caso de entrada acontecer, sendo utilizada em várias situações nos itens anteriores.

Para a sua utilização em diagramas de Veitch-Karnaugh, deve-se, para cada condição irrelevante, adotar 0 ou 1, dos dois, aquele que possibilitar melhor agrupamento e conseqüentemente maior simplificação.

Para esclarecer este processo, segue exemplo:

A B C S 0 0 0 X 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0

Transpondo esta tabela para o diagrama, tem-se:

O símbolo (X) indica que neste caso a saída pode assumir 0 ou 1, indiferentemente, já que, ou a situação de entrada é impossível de acontecer, ou, ainda, possibilita qualquer dos 2 valores na saída. Para fins de simplificação, deve-se adotar X = 1, já que assim sendo, pode-se obter um


88

quadra, ao invés de 2 pares (no caso de X = 0), representando maior simplificação da expressão de saída.

Convém ressaltar que, em uma tabela da verdade, podem ocorrer várias condições irrelevantes que devem ser consideradas independentemente, conforme agrupamento em que se encontram. Exemplificando:

A B C D S 0 0 0 0 X 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 X 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 X 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 X 1 1 1 0 0 1 1 1 1 X

C C

A

A

B

B

B

D D D

Expressão Simplificada: S =

C

X

1

0

0

0

0

X

1

1 1

0

1X

0X

X

Aquadra

DAquadra

CApar D

CA + DA CA D+


89

Nota-se, no exemplo, que as condições irrelevantes pertencentes aos agrupamentos receberam valor 1, enquanto as deixadas de fora, valor 0.

Exercícios

1) A Tabela a seguir, representa as possibilidades de saída obtidas de um projeto envolvendo 3 variáveis A, B e C. Determine a expressão simplificada.

A B C S 0 0 0 1 0 0 1 X 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 X 1 0 1 1 1 1 0 X 1 1 1 X

2) Simplifique a expressão representativa da tabela.

A B C D S 0 0 0 0 1 0 0 0 1 X 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 X 1 0 1 1 1 1 1 0 0 X 1 1 0 1 1 1 1 1 0 X 1 1 1 1 0


90

3) Simplificar o circuito do Controle de Bombeamento de Água construído nas aulas anteriores. Em seguida, traçar uma comparação das expressões e os circuitos originais (antes da simplificação) com as expressões e circuitos simplificados, analisando em termos de redução (ver enunciado no Cap. 7, exercício 3).

8.3.6. AGRUPAMENTO DE ZEROS

Pode-se, alternativamente, agrupar as células que valem 0 para obter-se a expressão simplificada em diagramas de Veitch-Karnaugh, porém, com esta prática, obtém-se o complemento da função, ou seja, a saída S’ (negado).


91

9. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 9.1. INTRODUÇÃO São 4 os sistemas de numeração: Sistema Decimal, Sistema Binário, Sistema Octal e Sistema Hexadecimal. O Sistema Decimal é utilizado no dia-a-dia e é, sem dúvida, o mais importante dos sistemas numéricos. Trata-se de um sistema que possui dez algarismos, com os quais pode se formar qualquer número, por meio da lei de formação. Os Sistemas Octal, Hexadecimal e Binário, são muito importantes na área de técnicas digitais e computação. Existe uma ligação forte entre circuitos lógicos e estes sistemas de numeração. 9.1.1. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS O método usado para registrar quantidades ao qual se está acostumado (sistema decimal), é por meio de um sistema de numeração posicional. Isso significa que a posição ocupada por cada algarismo em um número altera seu valor de uma potência de 10 (na base 10) para cada casa à esquerda. Por exemplo: No sistema decimal (base 10), no número 125 o algarismo 1 representa 100 (uma centena ou 102), o 2 representa 20 (duas dezenas ou 2x101) e o 5 representa 5 mesmo (5 unidades ou 5x100). Assim, o número 125 pode ser expresso na seguinte notação: 125 = 1x102 + 2x101 + 5x100 = 100 + 20 + 5 = 125. 9.1.2. BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO A base de um sistema de numeração é a quantidade de algarismos disponível na representação. Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 24 (base 16 ou sistema hexadecimal) ou, eventualmente, 23 (base 8 ou sistema octal).


92

A base 10 se dispõe de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1 Na base 8, seriam apenas 8 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 Na base 16, seriam 16 algarismos: os 10 algarismos aos quais estamos acostumados, mais os símbolos A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades. 9.2. SISTEMA BINÁRIO Computadores são constituídos internamente por circuitos elétricos ou eletrônicos. A grande maioria dos componentes de circuitos elétricos pode assumir apenas um dentre dois estados. Por exemplo: interruptores (ou transistores, se usados como “chaveadores de corrente”) podem estar fechados ou abertos; capacitores podem estar carregados ou descarregados; lâmpadas podem estar acesas ou apagadas; circuitos podem estar energizados ou não; e assim por diante. Se for estabelecido que um dos estados, representa o “um” e que o outro, representa o “zero”, tais dispositivos podem ser usados para representar números expressos no sistema binário, o sistema numérico posicional de base dois que usa apenas os algarismos, “um” e “zero”. Existem apenas dois algarismos: 0 (zero) e 1 (um). 9.2.1. CONVERSÃO DE BINÁRIO PARA DECIMAL Decimal = 59410

5x100 + 9x10 + 4x1 = 594 centena dezena unidade 5x102 + 9x101 + 4x100 = 594

Esquematizando:


93

100 10 1 5 9 4 � 5x100 + 9x10 + 4x1 = 594

102 101 100 5 9 4 � 5x102 + 9x101 + 4x100 = 594

Em sistema decimal o número 10 é base. Em sistema binário o número 2 é base. Binário = 1012

22 21 20 � 1x22 + 0x21 + 1x20 = 5 1 0 1 � 1x4 + 0x2 + 1x1 = 5

∴∴∴∴ o número 101 na base 2 (binário) é igual ao número 5 na base 10 (decimal). Tabela de Potência de 2

20 �� 1 21 �� 2 22 �� 4 23 �� 8 24 �� 16 25 �� 32 26 �� 64 27 �� 128 28 �� 256 29 �� 512 210 �� 1024 211 �� 2048 212 �� 4096 213 �� 8192 214 �� 16384

Exercícios

1) Converter de binário para decimal:

a) 10012 (resultado 910)


94

b) 011102 (resultado 1410)

c) 10102 (resultado 1010)

d) 11001100012 (resultado 81710)

e) 10011002 (resultado 7610)

f) 11112 (resultado 1510)

g) 111112 (resultado 3110)

h) 100002 (resultado 1610)

i) 100012 (resultado 1710)

j) 10101102 (resultado 8610)

l) 0110011001101012 (resultado 1310910)

9.2.2. CONVERSÃO DE DECIMAL PARA BINÁRIO Decimal = 4710 Método prático: divisão sucessiva por 2:

O último quociente será o algarismo mais significativo e ficará colocado à esquerda. Os outros algarismos seguem-se na ordem até o 1º resto. Tem-se então, no caso:

1 0 1 1 1 1 101111 = 4710


95

Último quociente

5º resto

4º resto

3º resto

2º resto

1º resto

∴∴∴∴ 1011112 = 4710. Decimal = 40010

400 2200 2

100 250 2

1

00

0

01º resto

2º resto

3º resto

4º resto

5º resto

Último quociente

25 21 12 2

0 6 20 3 2

1

6º resto

7º resto

8º resto

1 1 0 0 1 0 0 0 0 110010000 = 40010 quociente 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º

∴∴∴∴ 1100100002 = 40010. CONVERTENDO E CONFERINDO Convertendo: Decimal = 3510

35 217 2

8 24 2

210

0

01

1

2

1º resto

2º resto

3º resto

4º resto

5º resto

Último quociente


96

1 0 0 0 1 1 100011 = 3510 Último

quociente 5º

resto 4º

resto 3º

resto 2º

resto 1º

resto

Conferindo:

1x25 + 0x24 + 0x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 1x32 + 0x16 + 0x8 + 0x4 + 1x2 + 1x1

32 0 0 0 2 1 = 3510 ∴∴∴∴ 3510 = 1000112.

Exercícios

1) Converter de decimal para binário:

a) 7810 (resultado 10011102)

b) 10210 (resultado 11001102)

c) 21510 (resultado 110101112)

d) 40410 (resultado 1100101002)

e) 80810 (resultado 11001010002)

f) 542910 (resultado 10101001101012)

g) 1638310 (resultado 111111111111112)

9.2.3. NÚMEROS BINÁRIOS, DECIMAIS FRACIONÁRIOS E SUAS CONVERSÕES Binário Fracionário = 101,1012 Se pegarmos como exemplo o decimal 10,5, significaria:

101 100 10-1 � 1x101 + 0x100 + 5x10-1 1 0 5 � 1x10 + 0x1 + 5x0,1 = 10,5

Para o binário fracionário acima, agimos da mesma forma:


97

22 21 20 2-1 2-2 2-3 � 1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 1 0 1 1 0 1 � 1x4 + 0x2 + 1x1 + 1x1/2 + 0x1/4 + 1x1/8 � 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 5,62510

Binário Fracionário = 1010,11012 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 � 1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 + 1x2-1

+ 1x2-2 + 0x2-3 + 1x2-4 1 0 1 0 1 1 0 1 � 1x8 + 0x4 + 1x2 + 0x1 + 1x1/2 +

1x1/4 + 0x1/8 + 1x1/16 � 8 + 2 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 =

10,812510

Exercícios

1) Converter de binário fracionário para decimal:

a) 1111,1112

b) 1000,00012

c) 1010,10102

d) 11,112

e) 1011,112

f) 1100,0011012

Potências Negativas de 2 2-1 �� 0,5 2-2 �� 0,25 2-3 �� 0,125 2-4 �� 0,0625 2-5 �� 0,03125 2-6 �� 0,015625 2-7 �� 0,0078125 2-8 �� 0,00390625

9.2.3. CONVERSÃO DE DECIMAL FRACIONÁRIO EM BINÁRIO


98

Decimal Fracionário = 8,37510 � 8 + 0,375 = 8,375 1ª parte inteira

8 24 2

2 210

0

01º resto

2º resto

3º resto

Último quociente

2ª parte fracionária

0,3752x

0,7502x

1,500

1º

2º

Base do sistema

Atingir (1) e após a vírgula não for nulo,

separa-se esta última e reinicia-se

o processo

0,5002x

1,0003º

Aqui para-se o processo, já que a parte do número depois da vírgula é

nulo.

Assim sendo, escreve-se: 10002 = 810 e 0,0112 = 0,37510

∴∴∴∴ 8,37510 = 1000,0112 Decimal Fracionário = 4,810 � 4 + 0,8 = 4,8 1ª parte inteira

4 2

2 210

01º resto

2º resto

Último quociente

2ª parte fracionária

0,82x

1,61º Atingiu-se o

número 1 e após a vírgula não é nulo

0,62x

1,22º Atingiu-se o

número 1 e após a vírgula não é nulo

0,22x

0,43º

2x

0,84º O número 8 tornou

a aparecer.


99

O número 8 tornou a aparecer, logo se o processo continuar, a mesma seqüência já vista até aqui irá se repetir. Este é o caso equivalente a uma dízima. Assim sendo, escreve-se: 1002 = 410 e (0,1100110011001100...)2 = 0,810

∴∴∴∴ 4,810 = (100,1100110011001100....)2

Exercícios

1) Converter de decimal fracionário para binário:

a) 0,12510

b) 0,062510

c) 0,710

d) 0,9210

e) 7,910

f) 47,4710

g) 53,387610

h) 1,111110

9.3. SISTEMA OCTAL

É um sistema de numeração cuja base é 8, ou seja, utiliza 8 símbolos para a representação de quantidade. No ocidente, estes símbolos são os algarismos arábicos: 0 1 2 3 4 5 6 e 7.

O octal foi muito utilizado em informática como uma alternativa mais compacta ao binário na programação em linguagem de máquina. Hoje, o sistema hexadecimal é mais utilizado como alternativa ao binário.

É um sistema que simplifica muito a numeração do mapa de memórias de máquinas digitais com palavras em 6 bits.


100

Decimal Octal 0 �� 0 1 �� 1 2 �� 2 3 �� 3 4 �� 4 5 �� 5 6 �� 6 7 �� 7 8 �� 10 9 �� 11 10 �� 12 11 �� 13 12 �� 14 13 �� 15 14 �� 16 15 �� 17 16 �� 20 17 �� 21 . .

. .

9.3.1. CONVERSÃO DE OCTAL PARA DECIMAL Octal = 1448

82 81 80 1 4 4

� 1x82 4x81 4x80 � 1x64 4x8 4x1 � 64 32 4 = 10010

∴∴∴∴ 1448 = 10010

Exercícios


101

1) Converter de octal para decimal:

a) 148

b) 678

c) 1538

d) 15448

9.3.2. CONVERSÃO DE OCTAL PARA BINÁRIO Octal = 278 Transformar cada algarismo, no binário correspondente e em seguida juntá-los na mesma ordem.

1º Algarismo

2º Algarismo

7 2

3 211

11º resto

2º resto

Último quociente

∴∴∴∴ 278 = 101112

Exercícios

1) Converter de octal para binário:

a) 4778

b) 15238

c) 47648

d) 43218


102

9.3.3. CONVERSÃO DE BINÁRIO PARA OCTAL Binário = 1100102 Separar em grupo de três algarismos da direita para a esquerda.

Grupo 1

22 21 20 1 1 0

� 1x22 1x21 0x20 � 1x4 1x2 0x1 � 4 2 0 = 68

Grupo 2

22 21 20 0 1 0

� 0x22 1x21 0x20 � 0x4 1x2 0x1 � 0 2 0 = 28

∴∴∴∴ 1100102 = 628 Binário = 10102 Separar em grupo de três algarismos da direita para a esquerda.

Grupo 1

22 21 20 0 0 1

� 0x22 0x21 0x20 � 0x4 0x2 1x1 � 0 0 1 = 18

Grupo 2

22 21 20 0 1 0

� 0x22 1x21 0x20 � 0x4 1x2 0x1 � 0 2 0 = 28

∴∴∴∴ 10102 = 128

Exercícios


103

1) Converter de binário para octal:

a) 10112

b) 100111002

c) 1101011102

9.3.4. CONVERSÃO DE DECIMAL PARA OCTAL 1º Método: divisão sucessiva por 8 Decimal = 9210

92 8

11 813

41º resto

2º resto

Último quociente

∴∴∴∴ 9210 = 1348 2º Método: divisão sucessiva por 2 (binário e logo após para octal) Decimal = 9210

∴∴∴∴ 9210 = 10111002


104

Grupo 1

22 21 20 0 0 1

1

Grupo 2

22 21 20 0 1 1

3

Grupo 3

22 21 20 1 0 0

4

∴∴∴∴ 9210 = 1348

Exercícios

1) Converter de decimal para octal:

a) 10710

b) 18510

c) 204810

d) 409710

9.4. SISTEMA HEXADECIMAL

Apesar de o sistema binário ser o mais simples e adequado às necessidades físicas do computador, não é de fácil e rápido entendimento para qualquer olhar humano. Para tornar essa percepção mais simples, converte-se o primeiro num outro sistema - sistema hexadecimal.

Como o nome o indica, o sistema hexadecimal usa uma base de 16 dígitos distintos (de 0 a 9, mais as seis primeiras letras do alfabeto - A,B,C,D,E,F - que representam respectivamente os valores de 10 a 15).

Da mesma maneira do que o sistema decimal ou binário, cada combinação representa um valor decimal equivalente à soma dos contributos totais de cada dígito.


105

Decimal Hexadecimal 0 �� 0 1 �� 1 2 �� 2 3 �� 3 4 �� 4 5 �� 5 6 �� 6 7 �� 7 8 �� 8 9 �� 9 10 �� A 11 �� B 12 �� C 13 �� D 14 �� E 15 �� F 16 �� 10 17 �� 11 18 �� 12 19 �� 13 20 �� 14 21 �� 15 22 �� 16 23 �� 17 24 �� 18 25 �� 19 26 �� 1A 27 �� 1B . .

. .

Este sistema é muito utilizado em microprocessadores e também no mapeamento de memórias de máquinas digitais.


106

9.4.1. CONVERSÃO DE HEXADECIMAL PARA DECIMAL Hexadecimal = 3F16

161 160 3 F

� 3x161 + Fx160 � 3x161 + 15x16 � 3x16 + 15x1 � 48 + 15 = 6310

∴∴∴∴ 3F16 = 6310 Hexadecimal = 1C316

162 161 160 1 C 3

� 1x162 Cx161 3x160 � 1x162 12x161 3x160 � 1x256 12x16 3x1 = 45110

∴∴∴∴ 1C316 = 45110

Exercícios

1) Converter de hexadecimal para decimal:

a) 23816

b) 1FC916

c) 47916

d) 4AB16

e) F0CA16


107

f) BDE16

g) 2D3F16

9.4.2. CONVERSÃO DE HEXADECIMAL PARA BINÁRIO Dividir cada algarismo e dividir sucessivamente por 2. Em seguida criar grupos de 4 (quatro) algarismos para a montagem do resultado. Hexadecimal = C1316

Grupo 1

C=12 Dividir

sucessivamente por 2

=1100

Grupo 2 1

= 0001

Grupo 3 3

Dividir sucessivamente por 2

=0011

∴∴∴∴ C1316 = 1100000100112

Exercícios

1) Converter de hexadecimal para binário:

a) 1ED16

b) ABF16

c) 3716

d) 6CF916

9.4.3. CONVERSÃO DE BINÁRIO PARA HEXADECIMAL Agrupar de 4 em 4 algarismos. Binário = 100110002


108

Grupo 1

1001

23 22 21 20 1 0 0 1

=9

Grupo 2

1000

23 22 21 20 1 0 0 0

=8

∴∴∴∴ 100110002 = 9816

Exercícios

1) Converter de binário para hexadecimal:

a) 11000112

b) 110001111000111002

9.4.3. CONVERSÃO DE DECIMAL PARA HEXADECIMAL 1º Método: divisão sucessiva por 16. Decimal = 100010

3148 E=14 ∴∴∴∴ 100010 = 3E816

2º Método: divisão sucessiva por 2 e depois agrupar de 4 em 4 algarismos e converter de binário para hexadecimal para obter o decimal correspondente.


109

Dividir sucessivamente por 2: Decimal = 100010

0011111010002 Agrupar de 4 em 4 algarismos e converte de binário para hexadecimal

Grupo 1

0011

23 22 21 20 0 0 1 1

=3

Grupo 2

1110

23 22 21 20 1 1 1 0

=14 = E

Grupo 3

1000

23 22 21 20 1 0 0 0

=8

∴∴∴∴ 100010 = 3E816

Exercícios

1) Converter de decimal para hexadecimal:

a) 13410


110

b) 38410

c) 388210

111

BIBLIOGRAFIA ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Conjuntos. 20ª ed. São Paulo: Nobel, 1985. CASTRUCCI, Benedito. Elementos de Teoria dos Conjuntos. 12ª ed. São Paulo: Nobel, 1986.

COPI, Irving M. Introdução à Lógica. 2ª ed. São Paulo: Mestre Jou, 1978.

DAGHLIAN, Jacob. Lógica e Álgebra de Boole. São Paulo: Atlas, 1986.

HEGENBERG, Leônidas. Lógica: simbolização e dedução. São Paulo: EPU – Editora da Universidade de São Paulo, 1975.

IODETA, Ivan V. & CAPUANO, Francisco G. Elementos de Eletrônica Digital. 6ª ed. São Paulo: Érica, 1984. (livro central do curso) Nosso fio condutor.

________________. Introdução à lógica matemática. 6ª ed. São Paulo: GEEM – Livraria Nobel S. A., 1984.

________________. Lógica: o cálculo de predicados. São Paulo: Herder, 1973.

LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. 1ª ed. Rio de Janeiro: McGraw Hill, 1970.

MENDELSON, Elliott. Álgebra de Boole e Circuitos de Chaveamento. São Paulo: McGraw Hill do Brasil, 1977. Coleção SCHAUM.

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