Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare

A.A. 2006/7

Il corso, inizialmente, riprende brevemente alcuni argomenti sviluppati nel corso di IFNS, che sono alla base delle molteplici applicazioni che hanno beneficiato delle ricerche della Fisica Nucleare. Gli argomenti trattati verteranno principalmemte su: I)Metodi della Fisica Nucleare e Fisica del neutroneII) Energia dalla Fusione e Fissione nucleareIII) Applicazioni Industriali ed Analitiche

Testi di riferimento:- Introductory Nuclear Physics - Kenneth S. Krane, Wiley- Nuclear Physics (Principles and Applications) - John Lilley, Wiley- Nuclear Methods in Science and Technology - Y.M.Tsipenyuk, IoP

Proprieta’ del nucleo, Tecniche nucleari, Acceleratori, Sensori

Unita’ di massa atomica, u= m(12C)/12

Dove va a finire la massa mancante?

Binding Energy , B/c2 = Zmp + Nmn - m(A,Z)

Mass Excess (amu), Δ = m(Α,Ζ) − Α

Δ < 0 , 20 < Α < 180, nuclidi stabili

Δ > 0 , 20 > Α > 180, nuclidi instabili

€

BA

= Mn −ZA

Mn − M H( ) − MA

L’energia media per nucleone

€

= Mn −1( )− ZA

Mn − M H( ) −Δ

dominante

€

BA≅ 0.008982 − 0.46(0.000840) + 0.0006

= 0.0092amu /nucleone= 8.5MeV / nucleone

Per 40Ca<A<120Sn, <Z/A> = 0.46

amu/nucleon

Q-value e reazioni nucleari

Per ogni reazione a due corpi Ogni reazione nucleare ha un caratteristico Q-valueQ>0 reazione esotermicaQ<0 reazione endotermica

€

510B + n→3

7Li +α + QQ = B Li( ) + B α( )− B B( )= 39.245 + 28.295 − 64.750= 2.791MeV

Energia di Separazione Energia di legame per un singolo nucleone separato dal nucleo

€

Sa = Ma A' ,Z '( ) + M A − A ',Z − Z '( )− M A,Z( )[ ]c2

Last Neutron binding energy

€

Sn = Mn + M A −1,Z( ) − M A,Z( )[ ]c 2

Numeri Magici ->Modello a shell

€

i + I → f + F + Q

Q ≡ Mi + MI( ) − M f + MF( )[ ]c 2

Q = Tf + TF − Ti + TI( ) = B f( ) + B F( ) − B i( ) − B I( )

Abbondanza e stabilita’ dei nuclei

Abbondanza estabilita’ dei nucleilegati alla strutturanucleare

Nuclei proton-rich o neutron-rich diventano piu’ stabilimediante decadimento radiattivo β e γ, nuclei con A>209preferiscono decadimento α.

€

M A,Z( )c2 ≈ A Mnc2 − aa + as / A1/3[ ]+ xZ + yZ 2 − δ

dove x = −4 Mn − MH( )c2 ≅ −4aa;y =4aa

A+

ac

A1/3

Parabola della massa e stabilita’

Dalla formula di Weizsaecker, si ricava M(A,Z), con i coefficienti, di volume, superficie, carica, asimmetria e pairing, ricavati fittando le masse.

€

aa =16,as = 18,ac = 0.72, aa = 23.5,ap = ±11 / A

€

ZA ≈Mn − MH( )c 2A1/3

2ac

≈ 0.9A1/3

Per A costante la Z assume forma di parabolacon minimo in

€

ZA − x / 2y ≈A / 2

1+14

ac

aa

A2/ 3

Senza il termine di asimmetria e pairing si avrebbe la relazione NON REALISTICA

Il termine ac diventa importante al crescere di Z,la linea di stabilita’ si discosta da Z=N=A/2, favorendo ZA<A/2

infatti per Z=20, A=9

I nuclidi instabili per eccesso di protoni o neutroni attivano processi di decadimento β per portarsi verso il punto di stabilita’

Modelli nucleari

Nucleo atomico e’ un esempio di sistema quantistico a molticorpi.Impossibile sviluppare teoria esatta della struttura nucleare.

Sono due i tipi base di modello nucleare semplice:

1. Un sistema collettivo senza stati di particella individuale. Un esempio e’ il Liquid Drop Model che e’ alla base della formula semiempirica.

2.Un modello a particella individuale con i nucleoni in stati di energia discreta, per es. il Fermi Gas Model o lo Shell Model.

Modello a goccia:* per spiegare la stabilita’ della materia nucleare, * perche’ i nuclei stabili hanno un certo numero di protoni e neutroni,* per calcolare la energia di legame dei nuclei stabili ed instabili

Modello a shell:* per tener conto della struttura dei livelli energetici, * per permettere di calcolare la istemazione dei livelli e la loro densita’,* per fornire una descizione dlle proprieta’ dinamiche del nucleo.

Modello a gocciaSperimentalmente e non Weizsaecker(1935), propose il modello di nucleo a goccia di liquido carico incompressibile.

€

V ∝A

€

V ∝A2

€

α = 15.75MeV ,β = 17.8MeV,γ = 0.71MeVε = 23.7MeV,δ = 12MeV con k = +1,0,−1

La formula e’ uno strumentoindispensabile per studiare le proprieta’ di stabilita’ dei nuclidi artificiali sconosciuti e di ottenere chiare indicazioni dei processidi decadimento dei differenti nuclei

€

Eb =αA −βA2/3 − γZ 2A−1/3 −ε(N − Z)2 A−1 + kδA−1/3

Modello a ShellBasato sul modello a shell atomico che spiega le proprieta’ periodiche degli atomi in termini di occupazione dei livelli energetici elettronici.

Quando il gruppo di livelli energeticiassociati con una shell sono tutti occupati si hanno atomi particolarmente stabili (chimicamente)-i gas nobili.

Nel caso nucleare ci sono particolari valori di Z e N ( cosidetti numeri magici) che sono significativi per quantoriguarda la struttura dei nuclei.

1. C’e’ un gran numero di isotopi, isotoni a quei particolari valori. Evidenziatodall’abbondanza degli elementi

2. Gli elementi stabili al termine delle principali serie radioattive hanno un numero magico di neutroni e/o protoni

3. La sez.d’urto dei nuclei con numero magico N di neutroni e’ due ordini di grandezza inferiore a quella degli altri.Indice che il nucleo e’ molto legato

4. I momenti di quadrupolo elettrico debbono essere zero per nuclei con shell complete perche’ essi hanno simmetria sferica

5. Nuclei con shell chiuse sono relativamente stabili e richiedono una considerevole energia per portarli fuori dallo stato fondamentale.

La lista di numeri magici per Z o N 2,8,(14),20,28.50,82,126

Un modello dellla struttura del nucleo deve includere la spiegazione dei numeri magici.

Il modello a shell e’ quello piu’ accreditato.Si basa sull’approssimazione di singola particellain cui l’effetto di tutti gli altri nucleoni e’ rappresentato da un potenziale.

€

V (r) = −V (0) /(1+ e( r−b )/a )con V(0)≈60 MeV,b≈1.25 A1/3fm, a≈0.65fm da exp. di scattering

€

Ψ(r) = Rnl (r)Υlm (θ,φ)

Le

€

Ψlm sono le stesse armoniche sferiche delle funzioni d’ondadell’atomo di idrogeno e l’equazione per la funzione radiale

€

Rnl

puo’ essere scritta come

Per un potenziale centrale le variabili si possono separare e lafunzione d’onda prende forma

€

d2(rRnl) / dr2 +2mh-2[E - V(r) - l(l -1)h2 (2mr2)−1](rRnl) = 0

Il termine rappresenta l’effetto centrifugo del momento angolare

Per momento angolare zero un’approssimazione semplice per una buca quadrata finita

V(r)=-V(0) per r<bV(r)= 0 per r>b

ha forma rRnl=Asin(kr) per r<b rRnl=Bexp(-Kr) per r>b

dove k=nπ/b,

€

K = (-2mR)1/2 / hA,B ed E si ricavano imponendola continuita’ per r=b.

N.B. per E solo certi valori permessi.

€

l(l -1)h 2(2mr2)−1

I livelli nell’ordine sono:

I totali non sono in accordo con i “numeri magici”, manca l’accoppiamentospin-orbita, della forma

V(r)l•s ----> attrattivo per j=l+1/2 repulsivo per j=l-1/2

effetto sul potenziale deltermine spin-orbita

Col modello a shell si spiegano :- i momenti angolari,- i Momenti magnetici,- i Momenti di quadrupolo elettrico- gli stati rotazionali del nucleo

deformato.

Livelli energetici nucleonicinel nucleo

€

ΔEls = (l + 1/ 2)h2Cls

Lo splitting dei livelli energetici per l’accoppiamento spin-orbita cresce con l, importante per nuclei pesanti dove l grande. costante interazione

spin-orbita

Predizione del modella a shella. Momenti angolari

Nuclei E-E monento angolare nulloNuclei E-O momento angolare del nucleone ONuclei O-O no predizione

b. Momenti magnetici

Nuclei O hanno MM del nucleone Oµ/µN = (j-1/2)gl+gs se l=j-1/2 per nucleone Oµ/µN={(j+3/2)gl-gs}[j/(j+1)] se l=j+1/2 per nucleone O

c. Momenti di quadrupolo elettrico gl=1 per p, 0 per n, gs=2.79 per p, -1.91 per n

Per solo protone O Qp~-R2(2j-1)/2(j+1) --->Qnper Nuclei E-E Q--->0

In buono accordo

Il modello non spiega i momenti di quadrupolo elettrico, molto grandi, per i nucleicon A compreso tra 150-190 e >200. spiegati da modello collettivo

Stati nucleari eccitatiCome risultato di reazioni nucleari e/o trasformazioni nucleari un nucleopuo’ anche occupare stati di energia al di sopra dello stato fondamentale,tutti questi stati eccitati formano lo spettro di eccitazione del nucleo atomico.

Livelli eccitati Singola particellaMoto collettivo rotazionale del nucleo Stati vibrazionali della superficie nucleare

Il modell a shell di singola particella descrive bene gli stati eccitati solo per shell chiuse, lontano dei nuclei magici effetti cooperativi tra nucleonidiventano dominanti e si hanno fenomeni di moto coordinato di nucleoni-many-particle motion.

Nuclei con shell chiuse -->nuclei sferici-->moti vibrazionali della superficieNuclei deformati--> moti rotazionali

Modello a goccia descrive bene moti rotazionali e vibrazionali e stati eccitati nucleari

Schema di vibrazioni nucleari

ottuppolo l=3quadrupolo l=2

Frequenza delle vibrazioni superficiali

€

ω l = (k + kC ) /µ

€

k =12

4παD2 R2Termine di supericie

con α coefficiente di tensione superficiale

€

kC = −3Z 2e 2 / R3

Coefficiente di variazione dell’energia Coulombiana con la deformazione

da cui l’energia vibrazionale di quadrupolo

€

hωquad ≅ (2− γ) / A MeV

€

µ ≅3D

Rm massa in vibrazione

del nucleo

La relazione fornisce stime dei livelli vibrazionali in buon accordo con i valori misurati, es. per il Nickel da’ un valore del primo livello eccitato di circa 3.5MeV

€

γ = 0.047Z 2 / A

Ec/ Es nucleo sferico

Il nucleo deformato presenta anche stati eccitati di bassa energia dovuti alla rotazione

€

Erot = E0 +h2

2ℑJ(J +1)

Livelli rotazionali per 167ErLivelli rotazionali per 166Er

Momento d’Inerzia

Eo --> Energia dello stato base della banda rotazionale J=l+s

Le bande rotazionali si aggiungono allo stato fondamentale ed a ciascun stato eccitato

Nei nuclei e-e per simmetria la differenza di momento angolaretra livelli rotazionali successivi e’ la stessa ed e’ uguale a 2

I=0+,2+,4+,...

Vibrazioni di dipolo nucleare

Nel nucleo esiste un particolare moto collettivo: vibrazione della massa neutronica relativa alla massa protonica: vibrazioni di dipolo nucleare.Conseguenza: separazione parziale dei protoni dai neutroni. Le energie di queste vibrazioni sono alte, circa 15-20 MeV, risonanze giganti.

Energia delle risonanze giganti dipende da A.

In un oscillatore la frequenza di risonanza

€

ω0 = k / mcon k = rigidita’ dell’oscillatore e m=massa vibrante

Nel caso di vibrazioni di dipolo k e’ proporzionale alla frazione di nucleoni shiftati, quindi alla superficie.

€

ω0 = k / m ∝ R2 / R3 ∝ R−1/2 ∝ A−1/6

Ad energie di eccitazione attorno a 5-6 MeV il numero dei livelli nucleari e’ molto grande, specie per nuclei pesanti, e quindi la separazione e’ molto piccola. Difficile definire gli stati quantici dei livelli.Importante e’ la densita’ dei livelli e la loro dipendenza dall’energia: modello statistico del nucleo

Sperimentalmente si e’ visto che la densita’ dei livelli e’ esprimibile come

€

ρ(E ) = Ce2 αE

con a e C calcolate derivate da considerazionistatistiche del modello.

In particolare per energie tra 3-5Mev la relazionediventa

€

ρ(E)∝ 1T

exp( E − E0

T)

e

€

ΔE =1/ ρ(E)Temperatura del nucleo

Tipica struttura dello spettro dei livellidi energia degli stati nucleari eccitati (sinistra) e dipendenza dall’energia della sezione d’urto (destra).

Radioattivita’ e decadimenti radioattivi

Tutti i nuclidi radiattivi naturali e la maggior parte di quelli generati artificialmente sono attivi α, attivi β o ( occasionalmente ) entrambi ed emettono una combinazione di α,β e γ.

I nuclidi radioattivi che esistono nell’ambiente, insieme ai raggi cosmici dallo spazio, generano la radiazione di fondo cui noi tutti siamo soggetti

Nuclidi instabili prodotti artificialmente possono decadere emettendo protoni, neutroni o anche ioni pesanti.

Nella fissione spontanea sono emessi frammenti di massa elevata.

Decadimento AlphaPer nuclei alpha-attivi vale la relazione empirica , Geiger-Nuttal

€

lnT1/2 = a + b / E

con T (sec), E energia della alpha emessa (MeV) Z n.Atomico nucleo figlio e a, b costanti

€

a ≈ −1.6Z 2/3 − 21.4, b ≈1.6Z

nel nucleo i 4 nucleoni (2p+2n) sono indistinguibili, ma esiste una probabilita’ (~ 10-6) che i 4 nucleoni in un certo breve tempo sitrovino in prossimita’ FORMARE un gruppo di 4 nucleoni.La particella alpha pero’ e’ distinguibile solo separata dal nucleo ed a grande distanza ( su scala nucleare).

Il decadimento e’ possibile se #E = E(A-4,Z-2 + Ea - E(A,Z) > 0

Eb di una particella α e’ ~ 28 MeV, ~ 7 MeV/nucleone, il decadimento possibile solo per nuclei con energia di legame media inferiore a ~7 MeV/nucleone.

La costante di decadimento e’ uguale al prodotto della Probabilita’ di trovare la α fuori dal nucleo con energia E per la probabilita’ che la α si trovi sul bordo del nucleo

E modificata dal momento angolare del nucleo nel rinculo

€

E =12

mv2 + L2 / 2mr2 + U(r)

L=mvtrmomento angolare del nucleo figlio

La variazione di momento angolare dovuto al decadimento α aumenta lo spessore effettivo della barriera e aumenta λ1/2 del decadimento.

L’aumento di λ1/2 dipende dal rapporto

per Z=90, z=2,R=10-12 cm. Effetto di l trascurabile sulla penetrabilita’

€

λ =h

mR2 Pα

Pα = exp[−2h

2m(U − E)R

rt

∫ dr]

€

σ =altezza barr.centrifuga

altezza barr.Coulombiana=

l(l +1)h2

2mz(Z − 2)e2R≈ 0.002l(l +1)

Lo spettro energetico del decadimento α ha una struttura fine piccata, in generale, all’energia max.

Energy spectrum 212Bi83

Decadimento α da nucleo eccitato per decadimento beta

Emissione AlphaNuclei pesanti, 82<Z<92 e quelli transuranici artificiali, Z>92, decadono per emissione α; il nucleo genitore perde massa e carica.

L’emissione di α e’ preferita rispetto ad altre particelle leggere (d,t,3He...)perche’ e’ una reazione esotermica, Q>0.

Energia cinetica disponibile€

A,Z( )→ A − 4,Z −2( )

Con nucleo a riposo, nucleo figlio e α hanno direzioni opposte e ugual momento

€

ED

Eα

=1/ 2mDvD

2

1/ 2mαvα2 =

mα

mD

€

mDvD = mαvα

€

Qα = Eα 1+ED

Eα

= Eα 1+

mα

mD

con energie cinetiche

conoscendo

€

Q e le masse, si ricavano le energie cinetiche!

€

Qα = mp −mD −mα( )c2 = ED + Eα

€

Q = B 4He( ) + B Z −2, A − 4( ) −B Z, A( )

≅ 28.3− 4av + 8 3( )asA−1 3 + 4acZA−1 3 1− Z 3A( ) − 4aa 1− 2Z A( )2

+ 3ap A−7 4

La dipendenza di Q da A ha un andamento sistematicoben rappresentato dalle predizioni della formula semiempirica

La Formula semiempirica permette di calcolare conbuona precisione la Q dei decadimenti e da’ un correttoQ>0 per nuclei pesanti e predice bene la decrescita di Q alcrescere di A nella sequenza di isotopi di un nuclide.

Decadimento ßProcesso spontaneo di trasformazione di un nucleo instabile con carica che varia #Z±1

Il processo e’ un decadimento debole,10-14 rispetto ad interazione nucleare,half-life dei nuclei ß-attivi piu’ lunga,ordine di minuti e ore.

3 casi

Caso A: EZ+1 < EZ transizione possibile , decadimento ß-

Caso B: EZ+1--->EZ energeticamente possibile solo se nucleo Z+1 assorbe elettrone da shell K,L,M

Caso C: EZ+1 ≥ EZ+2mc2 energeticamente proibita, ma possibile se protone acquista energia dal nucleo.

Quale momento angolare per il ß ?

Momento angolare |rxp|< Rope

€

se Ee = Te =1 MeV; pe ≅1.4MeV / c

Ro per nucleo medio ~6 fm ,

Rope~2.8 10-23 MeVsl=0 momento angolare okl=1 il valore del momento angolare dovrebbe essere ~30 volte maggiore di quello richiesto perun nucleo di media grandezza. l>1 idem

€

I momenti angolare permessi

l(l +1) / h → 0, 2h,L

Decadimento ß permesso con L=0;L=1 primo proibito, L=2 secondoproibito.

Energetica Emissione ß e cattura elettronica

€

A = Z + N = Const. Z → Z ±1,N → m1

Utilizzato dai nuclidi per discendere parabola di massa fino a isobaro stabile

€

Q = mn − mp − me − mυ ( )c 2

€

n → p + e− +υ Nel caso di

con neutrone a riposo

€

Q = Tp + Te + Tυ dove

€

Tp = 0.3KeV

e

€

Q ≈ Ee( )max = 0.782 ± 0.013MeV

Il Q-value calcolato usando le masse

€

Q = 939.573MeV − 938.380MeV − 0.511MeV −mv c2

€

= 0.782MeV −mυ

Con la precisione di misura di

€

E e( )max circa 13KeV, il neutrino ha massa ~zero

Calcolo di

€

Qβ −( )

Beta-decay in un nucleo

€

ZA XN→Z +1

A ′ X N−1 + e− +υ

€

Qβ − = mN Z

A X( )− mN Z +1A ′ X ( )− me[ ]c 2

€

mN =massa nucleo

massa atomica

€

m A X( )c 2 = mNA X( )c 2 + Zmec

2 − Bii

Z

∑ B.E. i-mo elettrone

€

Qβ = m A X( ) − Zme[ ] − m A ′ X ( ) − Z +1( )me[ ] −me{ }c 2 + Bi − Bii

Z +1

∑i

Z

∑

€

= m A X( )−m A ′ X ( )[ ]c2 = Te + Eυ

€

Te( )max = Eυ( )max = Qβ

€

Te ⊕ Eυ → 0quando

Calcolo Q per 210Bi

€

→210Po

€

Qβ = 209.984095u −209.982848u( ) 931.502MeV / u( ) =1.61MeV C.V.D.

€

β +Decay

€

ZA XN→Z −1

A ′ X N +1 + e+ +υ

€

Qβ + = m A X( ) −m A ′ X ( ) − 2me[ ]c 2

€

Electron Capture

€

ZA XN + e→Z−1

A ′ X N +1 +υ

€

Qe = m A X( ) −m A ′ X ( )[ ]c2 = Bn

BE elettrone shell-n

N.B.

Decadimento beta positivo e cattura elettronica portano allo stesso nucleo finalema non sempre entrambi possono essere energeticamente possibili, quando

€

Qe > 0,Qβ < 0 seΔm ≤ 2mec2 =1.022MeV

N.B.: se stato finale e’ stato eccitato

€

Qex = Qground −Qex

€

Electron Capture vs βdecay

€

t1 2 = 2.602y

€

90.4%€

9.5%

€

0.06%

€

β +

La misura del γ permette di identificare l’isotopo radiattivo con precisione; questa tecnica e’ molto piu’ efficace che la misura del βnelle applicazioni di tracciamento,irraggiamento o imaging medicale.

Radiazione γ

L’emissione γ avviene quando il nucleo eccitato non ha sufficiente energia per emettere nucleoni o altre particelle. La diseccitazione via γ e’ la piu’ probabile.

Sono transizioni multipolari. Il multipolo del campo e.m. e’ uno stato caratterizzatoda momento totale e parita’.

Stato con momento L e parita’ (-1)L --->2L-polo el., EStato con momento L e parita’ (-1)L+1--->2L-polo mag.,M

€

W =1

3c3 ω4d2

€

1τ

=Whω

=d2

3hc 3 ω3

€

ΔEτ ≅ h

Potenza irradiata da dipolo

€

Eγ = hωPer

Ampiezza del livello e vita media

Per la maggior parte dei nuclei il tempo di transizione 10-14-10-17s.

Favorite le γ-emission di polarita’ bassa: E1,E2,M1,E3,M2.....

probabilita’ di transizione diminuisce di

€

(D / R)2

al crescere di L

€

Γγ ∝ E 3

Il fotone emesso nello stato 2L porta vai al nucleo un momento angolare L

€

| Ji − J f |≥ L ≥ Ji + J fTransizioni nucleari permesse

Radiazione γ dipolo (L=1) emessa in transizione

€

ΔJ = 0,±1, no 0-0 per radiazione γ quadrupolo (L=2) transizione

€

ΔJ = ±2,±1,0

Vita media di nuclei eccitati che decadono via γ-emission e’ molto breve 10-7-10-11s.

Stati eccitati di nuclei che decadono γ con tempi macroscopici sono detti isomeri, le transizioni sono fortemente proibite con γ poco energetici.

Stati isomeri appartengono al primo stato nucleare eccitato, usualmentea quello dei nuclei con numeri magici di nucleoni.

Energetica:

€

Ei = E f + Eγ + TR ; 0 =r p R +

r p γ

€

ΔE = Ei − E f = Eγ + TR = Eγ +Eγ

2

2Mc2

back-to-back

calcolo€

Emissione Gamma

€

Eγ = Mc 2 −1± 1 + 2 ΔEMc 2

1 2

€

Eγ ≅ ΔE −ΔE( )2

2Mc 2

ricavo€

TR = pR2 2M

€

pR = pγ

dato

ma

€

ΔE ≤10MeV << Mc2

espandendo

€

€

TR ≈100eVN.B.: per γ di 5-10MeV , possibile radiation damage nel lattice cristallino per spostamento di atomo

€

Conversione Interna

Compete con emissione gamma: transizione tra stati del nucleo inducono interazioni EM con elettroni atomici che risulta in espulsione elettrone.

NON e’ un processo two-step!

€

Te = ΔE − Be

dipende dalla shell:K,L,M...

€

ΔEEnergia disponibile per emissione γ

Energia dell’elettrone sparato fuori dalla shell

Se energia sufficienteanche pair conversion

Rate del decadimanto radioattivo

€

N t( ) = N 0( )e−λtN(t) =numero di nuclidi al tempo t, erano N(0) a t=0.

€

λ = λ1 + λ2 +LProbabilita’ di decadere per unita’ di tempo

€

t1 2 = τ ln2 e’ il tempo di dimezzamento

€

A → B →C →LCatena di decadimenti

il tempo medio di esistenza del nuclide €

A → B

€

dNB dt = −λBNB + λANA moltiplico per

€

eλB t

€

ddt

NBeλB t( ) = λANA 0( )e λB−λA( ) t

€

NBeλB t =λA

λB − λA

NA 0( )e λB −λA( )t + Kper t=0 NB(0)=0Integro

€

NB t( ) =λA

λB − λA

NA 0( ) e−λA t − e−λB t( )

Similmente per C ed altri prodotti nella catena di decadimento, arrivando alla cosidetta equazione di Bateman per la sua soluzione.

€

τ =tdN∫dN∫

=te−λtdt

0

∞

∫

e−λt dt0

∞

∫=

1λ

€

τ A >> τ B

€

τA ≅ τB

€

τ A << τ B

Attivita’ A = rate decadimento di campione radioattivo = λN

1 Curie = 3.7 1010Bq

Decay chain

Quattro serie radioattive naturali, esistenti dalla formazione della terra 4.5 x 109 anni fa: U238,U235,Np237 e Th232

Fissione nucleare spontaneaScoperta nel ‘40 successivamente a quella indotta da neutroni lenti

Per un nucleo pesante e’ energeticamente vantaggioso scindersi in due o piu’ frammenti nucleari perche’ questi hanno una energia di legame maggiore avendo Numero Atomico minore.

Il processo di fissione nucleare e’ legato alla deformazione del nucleo pesante dovuta a roto-vibrazioni e quindi alla variazione dell’energia.

€

E0 = Vp + Ek + Vc

Energia totale nello stato fondamentaledel nucleo

E cinetica nucleoni

E pot. int. CoulombianaE pot. int. nucleare

€

Vp = −V0(v− γS)

Con base il modello a goccia si puo’ scrivere che l’energia potenzialenucleare consista di due termini,uno proporzionale al volume e l’altro alla superficie

Idem per Energia cinetica

€

E k = Ek 0 (v −εS)γ misura la differenzatra energia legame nucleoni superficiali e quelli piu’ interni

Energia nucleare totale ha forma

€

v(Ek −V0 ) + S(γV0 −εE 0) +12

ρiρ j

ri − rj

dvi∫∫ dv j

A volume costante il primo termine si puo’ trascurare, rimangono il termine di superficie e il termine Coulombiano.

A piccole deformazioni il termine di superficie cresce ma poi domina la repulsione Coulombiana :si forma una barriera di energia, simile alla barriera coulombiana peril decadimento alpha.

Barriera fissione ---> piccola probabilita’ di fissione---> effetto tunnel---> fissione spontanea

deformazioe

x nucleo pesante in uno stato eccitato E, la probabilita’ di fissione cresce esponenzialmente.

Un modello di barriera di fissione (Hill e Wheeler, 1953), ha forma diparabola con due parametri, altezzadella barriera Ef e curvatura

€

hω f

€

Pf = 1+ exp − 2πhω f

(E − Bf )

−1

€

Z 2 / Aparametro di fissionabilita’ e’ proporzionale al rapporto tra energia Coulombiana e di superficie

L’intervallo di energia in cui la penetrabilita’passa da 0.1 a 0.9 e’

€

0.7hω

Per una energia di eccitazione pari a Efla penetrabilita’ e’ 0.5.

Radioattivita’ esotica

In principio, un nuclide, nello stato fondamentale puo’ emettere nucleoni o gruppi di nucleoni, es. apha, se e’ energeticamente permesso.Due modi di decadimento sono conosciuti: radioattivita’ protonica (proton radioactivity) e la radiattivita’ da emissione di frammenti pesanti(f-radioactivity)

€

58 Ni+96 Ru→151 Lu + p + 2n; 151Lu→150 Yb + pProton radioactivity(1982)

Il nuclide Yb-150 decade con T1/2=(85±10)ms con emissione di protone da 1.23 MeV

Esistono anche processi di emissione di protoni ritardati da nuclidi in stato eccitato con difetto di neutroni.

f-radiaactivity

E’ stata osservata in certi nuclidi con Z=87-97, con emissione di frammenti pesanti14C,20O, 24-26Ne, 28-30Mg, 32Si.La probabilita’ di emissione spontanea di frammenti e’ 10-8-10-16 la probabilita’ di decadere alpha, ma e’ piu’ grande della probabilita’ di fissione spontanea.

€

223Ra →14C+209Pb

Radionuclidi per energia

L’energia della radiazione α, β e γ, catturata in un mezzo e’ convertita in calore.

Il vantaggio dei nuclidi α-radioattivi, dal punto di vista energetico, risiede nell’alta energia rilasciata nel decadimento, energia in forma di energia cinetica del nucleofiglio e dell’alpha. Nel β-decay l’energia rilasciata e’ solo ~1 MeV.

I nuclidi energeticamente utili sono circa 10, i piu’ usati sono:

90Sr, 144Ce, 137Cs, 238Pu, 244Cmcon 0,936, 26.7, 0.144, 0.58 e 122.5 W/hr potenza di calore specifico

90Sr (T1/2=28.8 Yr) elemento comunemente usato generatore termoelettrico da radiazione238Pu (T1/2=86.41 yr) elemento usato principalmente per impianti di lunga durata

Vantaggi radionuclidi come generatori di energia termica e potenza elettrica: sorgenti di elettricita’ autonome, alto contenuto di energia specifica ( >103 W hr/kg),alta affidabilita’ ed operabilita’ ( nessun problema di circuiti)

I Radionuclide thermal-electric generators (RTEG) sono molto utilizzati come PSdi stazioni autonome, es. radiofari, stazioni spaziali, missioni spaziali,.......

Luce da radioisotopi, es. tritio. Il tritio- nucleo tritone, emettettitore ßdi 18KeV, T1/2=12.26 yr, accoppiato conmateriale fosforoso, fornisce luce fluorescente autonoma.

Fisica del neutrone

Il Neutrone e’ duale: corpuscolo e onda

€

Thermal ≤100 ≈103 0.4 − 0.1

€

Slow ≤106 ≈107 0.05 − 0.001

€

Epitherm ≤103 ≈104 0.1− 0.05

€

Cold ≤10 ≈102 3−04

€

Type E(meV ) Temp(K) λ nm( )

λ (nm) = 395.6/v (m/s) E(meV) = 0.02072k2 (k in nm-1)€

Fast ≤ 2×1010 ≈1011 0.001−10−5

€

Massa:mn =1.675 ×10−27Kg = 939.573MeV /c 2

•Carica = 0;Spin =1 /2•Momento dipolo magnetico:µ =1.913µN

•Magnetone nucleare:µN = eh 4π mp = 5.051×10−27 JT−1

•E = mnv2 2 = kBT = hk 2π( )2 / 2mn; k = 2π λ = mnv h 2π( )

Reazioni NucleariRutherford 1916 osserva:

€

α+14N→17O + p

Cockcroft&Walton, 1930 primo acceleratore:

€

p+7Li→4He +α

€

≤10MeV / nucleone

€

100MeV −1GeV / nucleone

€

≥1GeV / nucleone

Low EnergyMedium EnergyHigh Energy

neutrone

€

a + X →Y + b ⇔ X a,b( )Y-Scattering elastico-Scattering inelastico-Knockout reaction-Transfer reaction

Y e b sono nello stato fondamentaleY o b sono in uno stato eccitato

a e b sono gli stessi, + un altro nucleoneNucleoni trasferiti da X e Y

-Direct reaction-Compound nucleus reaction-Resonance reaction

Interazione diretta tra a e nucleone di X a e X formano nucleo composto

Formazione di stato quasilegato

Leggi di conservazione nelle reazioni nucleari

In un sistema isolato, come puo’ essere il sistema composto da nucleo e particella,la energia totale e il momento angolare sono conservati, come la carica elettrica, parita’ ed il numero barionico.

La conservazione di energia nel processo A(a,b)B richiede

€

Q = Ei − E f = Tf −Ti

€

E 01 + T1 = E02 + T2

€

E01 = (M A + ma )c2 , T1 = TA + Ta

E02 = (MB + mb)c 2, T2 = TB + Tb

e Q-value

con

con targhetta A a riposo

€

(E a + E A )2 − p2c2 =M 2c 4

2E aE A + m2c 4 + M 2c 4 =M 2c 4

2Ta Mc 2 + (m + M)2c4 =M 2c 4

ed essendo Ta=Ea-mc2che si scrive come

Ricordare: Q>0 reazione esotermica, Q<0 reazione endotermica

L’energia di soglia Tthr = energia minima perche’ la particella incidente attivi la reazione

€

Tathr =

M2 − (m + M)2

2Mc2

essendo Q = (m + M −M)c 2

Tathr = −QM + m + M

2M

nel caso non relativistico

€

M ≅ m + M

Tathr = Q (1+ m / M)

Le reazioni nucleari si dividono praticamente in due gruppi:- reazioni di nucleo composto- reazioni dirette

Nucleo Compostola particella proiettile e’ catturata dal nucleo tarhetta per formare un stato intermedio.Il susseguente decadimento e’ praticamente indipendente dal modo di formazione, laprobabilita’ di un certo tipo di stato finale dipende solo dall’energia di eccitazione disponibile.

Evidenza degli stati a vita media lunga si ha dall’analisi della struttura della xsectdelle reazioni nucleari fortemente risonante,es. xsect dell’Indio per neutroni

€

ΔEΔt ≈ h→Δt ≈10−16 s confrontare con ~10-22 s tempo per traversare nucleo

Un modello di formazione di nucleo composto prevede che la particella proiettile,che ha energia positiva, sia intrappolata momentaneamente in uno degli stati virtuali di singola particella.

Per un potenziale a corto raggio sono possibili stati quasi legati o stati virtuali di singola particella con energia positiva.

Il decadimento avviene quando, scambiando energia con i nucleoni interni, uno o piu’ nucleonisi portano negli stati eccitati, con conseguente probabilita’ di decadere.

Potenziale complesso -----> modello ottico

Uno stato eccitato decade con probabilita’

€

λ =1 / τ , inverso vita media

€

ΔEΔt = h→ΔE = h /τ

λ = λii∑ ; Γ = Γii∑ = λh = h / τ

Cenni su Modello ottico Modello semplice usato per trattare in modo generale processi di scattering con assorbimento

Equazione di Schroedinger risolta con potenziale complesso

€

U(r) = −V (r)− iW (r)Per nucleoni V parametrizzato alla Woods-Saxon e W smile, ma parametrizzazioni anche diverse.

Il potenziale W fa si’ che l’onda incidente sia attenuata all’interno del nucleo.

Onda piana propagantesi lungo z in potenziale Uniforme U(r) ha forma eikz con numero d’onda

€

k = kr + ki = 2m(E −U) / h2 = 2m(E + V + iW ) / h2

W<<(E+V), espandendo e prendendo solo il primo termine in W si ottiene

€

kr =2m(E + V )

h2 ; ki =krW

2(E + V )

L’onda incidente

€

ψ = eikz = eikr ze− iki z presenta un’ampiezza che decresce man mano che procede, viene assorbita.

In molti casi V>>W, si puo’ stimare il libero cammino medio d, come la distanza per cui l’ampiezza si attenua diun fattore 1/e come 1/2ki o il tempo medio di attenuazione dt ~ h/4%W.

Es. per protoni di 30Mev, V=50 MeV e W=10 MeV si calcola d~4 fm, questo significa che il protonepenetra nel nucleo e viene a contatto col la regione piu’ interna e non solo con la superficie

€

σ ab =σcΓb /Γ€

A +a →C →B +b

Xsect delle reazioni nucleari nella regione delle risonanze

Quando in una reazione nucleare la ECM~Ei* di uno stato eccitato del nucleo composto

la xsect della reazione

€

A +a →C →B +b prende la forma di una distribuzione di Lorentz

ed e’ data dalla equazione di Breit-Wigner

€

σ(E )∝ 1( E − Er)

2 + (Γ / 2)2

€

σαβ = gα (J) πkα

2

ΓαΓβ(E − Er )

2 + (Γ / 2)2

€

α →A +a channel , β →B +B channelkα = n.d'onda canale α, gα (J) = fattore di spin

Limite superiore per scattering elastico

€

α ≡ β, no assorbimento Γα = Γ

Ampiezza totale

€

Γ = Γβ∑

€

σαα (max) =σ lel = (2l +1) 4π

kα2

La xsect di assorbimento e’ proprzionale a

€

Γα Γβα≠β

∑ = Γα (Γ −Γα ) che ha il max per

€

Γα = Γ / 2

€

σ labs(max) = (2l +1) π

kα2

per particelle senza spin il limite superiore si ha per E=Er

€

gα (J) =2J +1

(2Ia +1)(2IA +1)

€

64 Zn*[ ]

€

p +63Cu

α +60Ni

€

63Zn + n62Cu + n + p62Zn + 2n

€

Ti*

mac2 + mXc2

E*

mC*c2 0.0€

Tf*

mb c2 + mYc2

a + X → [C*] → Y + b

€

σ(a,b ) =σa +X →C * ⋅ PC* →b +Y

Reazione in due passi- formazione del nucleo-decadimento del nucleo

€

d +6 Li→α +α

€

Td = 2MeV

€

θ

€

φ

€

r p α1

€

r p d

€

r p α2

€

Ti*

mdc2 + mLic2

E*

mBec20.0

€

Tf*

mα c2 + mαc2

Scattering elastico di particelle lente su nucleiCaso di neutrone lento su singolo nucleo. Non c’e’ barriera coulombiana.Nel caso di neutroni lenti, es. E<25 eV la lunghezza d’onda λ>10-10cm >> ro, quindi solo scattering in onda s, mentre le altre componenti rimangono invariate. L’onda scatterata e’ caratterizzata da momento ZERO e dipende solo da r.

€

ψ(r)r>ro

= eik0r + f eikr

r

con ko,k -->vettore d’onda del neutrone incidente,uscente

f ampiezza di scattering indipendente dall’angolo, onda s, scattering isotropico

La sezione d’urto totale

€

σ t =σ s +σ a = 4π Im f / kLa ampiezza di scattering e’ sempre complessa e la sua parte immaginaria e’ proporzionale alla sezione d’urto totale di interazione di una particella con un nucleo.

Per =

€

σa = 0; σ t =σ s;

ne segue Im f =σ s

4πk → 0 con E → 0

e si puo’ dimostrare che

€

a = −k→0

lim f

a lunghezza di scattering---> raggio della sfera solida equivalente

Scattering di neutrone sulla totalita’ dei nuclei.

Per λ≥ 10-10cm l’elemento scatterante macroscopico puo’ essere considerato compostoda un mezzo ottico omogeneo con indice di rifrazionen=k1/k, essendo k e k1 vettori d’onda del neutronenel mezzo e fuori dal mezzo.

λ<<l

€

eikz −ar0

∞

∫ eikrNl2πydy = eikz − 2πNla eikrdrz

∞

∫€

eikzeikl(n−1)Attraversato la targhetta l’onda ha forma

oppure somma di onda incidente + onda scatterata

€

= −eikz / ik

€

eikl( n−1) = 1− i 2πNlak

ma kl(n-1)<<1 , exp[ikl(n-1)]≈ 1+ikl(n-1)

€

n =1−2πNaD2

a>0 per la maggior parte dei materiali,

per i neutroni lenti quasi tuttimateriali sono otticamente meno densi dell’aria, n=1

I neutroni incidenti su una superficie subiranno riflessione totale solo per piccoli angoli.

€

N | a | D 2 <<1La relazione dell’indice di rifrazione e’ valida solo per

Sfruttando analogia onde e meccanica classica si ottiene un’altra relazione per n.

L’indice di rifrazione si puo’ ottenere come

rapporto tra le velocita’ di fase dell’onda neutronicanel vuoto e nel mezzo

rapporto tra la velocita’ del neutrone nel mezzo v2 e la sua velocita’ nel vuoto v1, i.e. n=v2/v1

€

mv12 / 2 = mv2

2 / 2 + Ucambio di velocita’ dovuto a cambio dienergia potenziale nel passaggio tra i due mezzi

€

p = hk

€

n2 = v22 / v1

2 = 1− 2U / (mv12) = 1− 2mUλ2 / h2

€

per n ≅1 si puo' scrivere n = 1− mUλ2 / h 2 = 1− 2πNaD2

€

n2 =1−Naλ2 /πsi ottiene

Al diminuire dell’energia del neutrone il secondo termine

€

Naλ2 /π >1, INDICE DI RIFRAZIONE diventa immaginario, si ha RIFLESSIONE TOTALE

UltraColdNeutrons (UCN), En ≈10-7 eV, subiscono riflessione totale, “kept in bottles”

Anche il campo magnetico puo’ essere usato per confinare neutroni.

Includere termine scattering magnetico del neutrone.

€

n2 = 1− λ2(Na /π ± 2mµn B / h 2)

I neutroni possono subire riflessione totale in regioni di alto campo magnetico (magnetic mirrors).

in termini di energia del neutrone la condizione di magnetic mirror si ha per

€

λ2 2mµnBh 2 =

µn BE

≥1

µB > E per avere riflessione totale, con E=10-7eV B>1.7x104Gs.

Si possono preparare specchi magnetici depositandone uno strato sottile, ~0.5 mm,su substrato di rame ed inserendo lo specchio in un campo magnetico con B>0.65Bsat,essendo Bsat il valore di induzione magnetica di saturazione.

Stima qualitativa della sezione d’urto delle reazioni nucleareBohr suggeri’ che le reazioni nucleari sono a due stadi: formazione di un nucleo composto C e decadimento nei prodotti di reazione.

€

X(a,b)Y

€

σ ab =σ c(a)Gc(b)data la reazione con

€

Gc(b)b∑ = 1

Si fanno tre assunzioni sulla struttura del nucleo come visto dalla particella incidente (neutrone)

a) Un nucleo ha una superficie sferica di raggio Rb) Internamente la superficie sferica la particella a ha una Energia cinetica Tkin ~25 MeV che e’ > Energia fuori del nucleo, pochi MeV c) Nel nucleo vi e’ intenso scambio di energia tra nucleoni e particella incidente

Nella regione di alta energia ~1GeV,

€

D << R , nucleo visto come un black body. Cross section coincide circa con “target area”

€

σ c(a) ≅ πR2

Nel regime a basse energie necessarie correzioni dettate da fenomeni meccanico-ondulatori.

a) Incertezza della posizione nel limite della lunghezza d’onda ridotta

€

R → (R + D)

b) La particella incidente, al bordo del nucleo, trova una barriera di potenzialeche riflette le onde incidenti.

La probabilita’ di oltrepassare la barriera e’

si ottiene cosi’

€

σ c (a) ≅ π (R + D)2 4kK(k + K)2

€

P = 4kK / (k + K)2 con k = 2mE / h e K = 2m(E ' + Vo) / h

€

E '<< Vo i.e. k >> K e D = h / 2mE ' >> R

€

σ c (a) ≈ 4πD E 'Vo

Per energie piccole

si ottiene

A piccole energie la xsec e’ inversamente proporzionale alla velocita’ del neutrone, (legge di Bethe 1/v) che si interpreta come: la xsec e’ proporzionale al tempo di interazione di una particella col nucleo, essendo approssimativamente uguale allaregione di interazione (~2R) diviso perla velocita’

Discorso differente per particelle cariche!!!

Per Energie vicine al valore della barriera Coulombiana

Per una particella ( massa m, Energia Eo, carica ze)quando la traiettoria e’ tangente al nucleo, per conservazione di E e p

€

E − zZe2 / R = Eo , b 2mEo = a 2mE

€

b = a E / E o = a 1− zZe2 / REo

€

σ = πR 2(1− zZe2 / REo )

€

σ = π (R + D)2[1− zZe 2

Eo(R + D)]

la xsect diventa

xsect proporzionale a b-max, b max per a=R

e per l’incertezza sulla posizoionedella particella

Particella Carica

Comportamento simile di neutrone, protone e alphaa basse energie ( ~ MeV).

Reazioni diretteReazioni dirette si dicono reazioni nucleari in cui non c’e’ formazione di Nucleo Composto , si possono pensare come reazioni di superficie, avendo a mente che la superficie e’ gran parte del nucleo anche di quelli pesanti.

A prova di queste reazioni si possono portare esempi quali:- scattering inelastico, scatteing della particella incidente con singolo nucleone del nucleo targhetta

- Scattering inelastico in cui il nucleone scatterato si porta via la maggior parte dell’energia

- La particella incidente non entra realmente nel nucleo ma eccita il nucleo nel passare vicino

- Un protone incidente scambia carica con neutrone che esce ( reazioni di scambi carica)

- Un nucleone incidente aggancia un altro nucleone del nucleo creando un deuterone (pick up reactions, i.e. (n,d)

- Un deuterone incidente o nucleo leggero lascia nel nucleo un nucleone ( stripping reaction )

Energetica delle reazioni nucleari

€

Q = min −m fi( )c2 = mX + ma −mY −mb( )c 2

€

= Tfi − Tin = TY + Tb − TX −Ta

€

Q > 0Q < 0Q = 0

Prodotti finali acquistano KE KE iniziale convertita in massa o BEScattering elastico

θ

ξa

X

b

Y

papy

pb

€

a + X →Y + b

€

pa = pb cosθ + pY cosξ0 = pb sinθ − pY sinξ

€

θ,ξ,TY ,Tb3 eq. 4 incognite :In termini solo di Tb e

€

θ

€

Tb1 2 =

mambTa( )1 2 cosθ ± mambTa cos2θ + mY + mb( ) mY Q+ mY −ma( )Ta[ ]{ }1 2

mY + mb

Reazioni con Q>0 non hanno soglia e sono single value, diversamente dalle reazioni con Q<0. €

3He n, p( )3H

€

14N n, p( )14C

€

14C p,n( )14 N

€

3H p,n( )3He

€

Q < 0

Sorgenti di neutroni

Ra-226 si hanno Alpha di circa 5-8 MeV, lo spettro energetico dei neutroni varia fino a 13 MeV.

Neutroni non monoenergetici per via di:- molti livelli energetici di decadimento- rallentamento nel materiale- emissione a largo spettro angolare - possibile che C-12 sia in stato eccitato

La rate e’ di circa ~10**7 neutroni/secper un Ci di

€

226 Ra

€

210 Po 138d( ),238 Pu 86 y( ),241Am 458 y( )

Attualmente si impiegano

Ra-Be Po-Be

Sorgenti Radioattive

€

α+9Be→12C +n+5.7MeV

Sorgenti FotoneutronicheSorgente di neutroni puo’ essere ottenuta similmente a (α,n) con una reazione (γ,n).

€

γ+9Be→8Be+n

Neutrone quasi monoenergetico, se fotone monoenergetico. Il 24Na emette γ di 2.76 MeV, maggiore energia legame neutroni.

Lo yield e’ buono, 2 106 neutroni/s per ogni Ci di 24Na,

ma vita media breve (15h).

Altra sorgente di γ e’ l’isotopo 124Sb(60 d) che emette un γ di energia di poco superiore all’energia di legame del neutrone, che viene emessocon una bassa energia, appena 24 KeV.

Last neutron BE per il Be-9 e’ di solo 1.66 MeV.

Fissione spontanea

Isotopi iperuranici, quali il 252Cf(2.65 y) soggetti a fissione spontanea costituiscono ottime sorgenti di neutroni.

I neutroni vengono prodotti direttamente nel processo ad una rate di circa 4 neutroni per fissione

La rate di fissione, nel 252Cf e’ del 3%, con decadimento alpha 97%. Lo yield e’ di 2.3x10**12 n/s/g oppure di 4.3x10**9 n/s per Ci.

Energia media dei neutroni e’ di 1-3 MeV, tipica del processo di fissione

Un limite e’ l’alto costo, (e’un prodotto transuranico artificiale), e la vita media di dimezzamento corta, appena 2.65 anni.

Neutroni prodotti con acceleratoriScegliendo energia particella incidente e angolo emissione neutrone, possibileottenere neutroni monoenergetici di energia desiderata tra KeV e 20MeVReazioni piu’ comuni sono:

€

3H + d→4 He + n Q = +17.6MeV9Be+ 4He→12C + n Q = +5.7MeV7Li + p→7Be + n Q = −1.6MeV2H + d→3He + n Q = +3.3MeV

Il grafico mostra la dipendenza dell’energia dall’energia incidente e dall’angolo nella reazione3H(d,n)4He

Con la reazione p+t-->3He+n-0.735 MeVpossibile ottenere neutroni monoenergetici perche’ il 3He non ha stati eccitati.

La reazione T(d,n)4He ha un picco di risonanza per Ed=109KeV, con una xsect 100 volte maggioredella xsect della reazione D(d,n)3He.

Neutron generators si chiamano macchine speciali che sfruttano le due reazioni, si possonoottenere fino a 1012 neutroni/s.

I reattori come sorgenti di neutroni

In un reattore a fissione si ha un alto flusso di ~1014 neutroni/cm2/s. Lo spettro energetico si estende fino a 5-7 MeV con un picco a 1-2 MeV.

Questi vengono rallentati, ma esiste pur sempre una certa percentuale di neutroni veloci. Estraendo questi neutroni e selezionando la loro energia si possono ottenere fasci di neutroni per attivita’ di ricerca ed industriali.

Gli alti flussi dei neutroni nei reattori, di ricerca, sono anche usati per la produzione di radioisotopi, mediante cattura neutronica o attivazione neutronica o nucleosintesi.

La fissione nei reattori e’ indotta da neutroni con alte Energie cinetiche (>MeV) per nuclei e-e

nulle o basse Energie cinetiche (< eV) nei nuclei e-o

Lo spettro dei neutroni prompt come essi sono prodotti in un evento di fissione e’ il risultato dell’evaporazione da un nucleo originariamente eccitato.

La distribuzione riflette la distribuzione delle energie dei neutroni nel nucleo.

Per ottenere dei neutroni termici si debbono rallentare e quindi trasportarli fuori dal reattore.

Spallazione

L’urto di una particella energetica, protone, >1 GeV, su nucleo pesante produce una reazione chiamata “spallation”.

Reazione in due tempi: prima eccitazione del nucleo, in secondo tempo evaporazione

Protoni sparati in bunch su atomi alto A, es. tungsteno, mercurio producono neutroni impulsati

In media sono espulsi 30-40 neutroniper ogni protone incidente.

€

q +Ai Zi →A f Z f + np p + nnn + nd d + nαα +L

European Spallation Source Project

I neutroni impulsati sono rallentati e portati alle aree sperimentali attraverso beam guide apposite.

Hanno intensita’ 50-100 volte maggiore neutroni da reattore.

Ogni impulso di neutroni contiene neutroni con range di energia e lunghezza d’onda diverse, che possono essere separati lungo un cammino di pochi metri e permettere l’analisi mediante TOF.

Possibile effettuare misure con spettro continuoper ogni impulso

Fraser(circa 1965) ha trovato sperimentalmente una relazione tra yield e spessore targhetta in funzione dell’energia dei protoni incidenti.

Yield lineare con l’energia dei protoni significa una rate di produzione di neutroni costante per unita’ di tempo di potenza del fascio di protoni.

Per un fascio di 1 GeV di protonisu una targhetta sottile di tungsteno si hanno in media 10 neutroni per protone incidente, circa 1 neutrone ogni 56 MeV di energia del protone.

Lo spettro energetico e la distribuzione angolare dei neutroni mostra che per neutroni di energia attorno ad 1 MeV c’e’ un picco quasi isotropo,sopra i 10 MeV la interazione diretta dei neutroni domina la distribuzione favorendo la distribuzione in avanti.

Assorbimento e rallentamento dei neutroni

Un fascio di neutroni e’ attenuato a causa delle reazioni nucleari innescate nel materiale attraversato;-per neutroni veloci le reazioni piu’ probabili sono le (n,p), (n,α) o (n,2p)-per neutroni lenti o termici e’ la cattura in forma di (n,γ)

Al di fuori della zona delle risonanze, attorno ad 1 eV, la sezione d’urto decresce al crescere della velocita’, come 1/v; piu’ sono lenti piu’ sono assorbiti.

L’intensita’ decresce come

vale solo per neutroni monoenergetici, perche’ σ dipende da energia

dove σt= sezione d’urto totale N = densita’ atomicadx = spessore materiale

σt=σs+σa€

I = I0e−Nσ tx

In termini di sezione d’urto macroscopica l’intensita’ trasmessa diviene

€

I = I0e−Σx = I0e

−x /λ

€

Σ = Nσ

€

λ = 1/ Σcon

essendo λ la lunghezza di attenuazione media, che e’ uguale al libero cammino medio. La probabilita’ di trovare un neutrone tra x e x+dx e’ proporzionale a exp(-x/λ) e quindi il cammino medio si trova come la distanza media percorsa prima di interagire

€

xe−x/λdx0

∞

∫

e−x /λdx0

∞

∫= λ

€

Σ = N(σ s +σ a ) = Σs + Σa

€

1λ−

1λs

+1λa

La sezione d’urto macroscopica sara’ relazionata alle sezioni d’urto di scattering e assorbimento

e il libero cammino medio sara’

€

σ a >>σ s neutroni assorbiti prima di scatterare

€

σ s >>σ a neutroni subiscono molti scattering e perdono energia, slowing down

E

m

v

M

E’,v’

m M

v*

v*

Vcm

v’

w*w*

Laboratorio C.M.

€

mv = (m + M)Vcmil CM si muove con Vcm

nel CM energia cinetica neutrone e targhetta conservata, nel Laboratoriola velocita’ del neutrone = somma velocita’ CM + velocita’ neutrone nel CM

€

v = v∗ + VCM

ma

€

v∗ =vM

m + M( )e

si ha

€

v'2 = v *2 +V 2CM + 2v *VCM cosθ

Slowing down dei neutroni

€

r v '=

r v * +

r V cm

€

E ' /E = (v' /v)2Sostituendo v* e Vcm e ricordando che

Si ottiene l’energia del neutrone scatterato nel laboratorio

€

E '= EM 2 + m2 + 2Mmcosθ

M + m( )2

Se

€

θ = π

Si ottiene il valore dell’energia minima assunta dal neutrone dopo lo scattering

€

E '(min) = EM − mM + m

2

=αE

Quindi: urto elastico neutrone, A=1, energia iniziale E con atomo massa A a riposo.

L’energia dopo urto E’ vs E

€

E 'E

=A2 + 1+ 2Acosθ

A + 1( )2misurato nel C.M.

θ =1800 collisione centrale, minimo di Energia del neutrone

€

E '(min)E

=A−1( )2

A +1( )2 =α

Per energie <10 MeV, urto isotropico in CM, quindi indipendente da θ

€

P(θ)dθ =2π sinθdθ

4π=

12

sinθdθ = −P(E ')dE '

€

dE 'dθ

= −2AE 'sinθ

A +1( )2ma

€

P(E ' )dE '=A +1( )2

4AEdE '= dE '

1−α( )E

Energia del neutrone,dopo urto, uniformemente tra E’(min) ed E.

Dopo ogni collisione il neutrone perde in media

€

E '= 12

1−α( )E

La perdita frazionaria di energia dopo ogni urto e’ sempre uguale.

Decremento logaritmico dell’energia ε dopo ogni singola collisione.

Per urto isotropico nel CM

indipendente da energia iniziale

€

ξ = ln(E / E ')

€

= ln(E / E ' )P(E ')dE 'αE

E

∫

€

ξ =1

1−αln xdx =

1

α

∫ 1+α

1−αlnα

€

x =E 'E

prendendo

dopo n collisioni

Un espressione semplice, precisa al 1%, di ξ per A>6 mostra

il n di urti necessari per rallentare un neutrone dall’energiainiziale E all’energia media E’ saranno

€

Nucleo α ε n .Urti1H 0 1.000 182H 0.111 0.725 25

4He 0.360 0.425 4312C 0.716 0.158 115238U 0.983 0.0084 2200

Nel regime termico la distribuzione delle energie dei neutroni sara’ piu’ correttamente descritta dalla distribuzione maxwelliana delle velocita’ perche’ saranno in equilibrio termico con il moderatore a temperatura T

€

ξ = ln E − ln E '

€

ln E ' = ln E − nξ

€

ξ =2A−

43A2

€

n =1ξ

ln EE '

7Li n=689Be n=8716O n=152

€

f (v)dv = 4πn( m4πkT

)3/2v 2e−mv 2 / 2kT dv

€

f (E)dE =2πn

(πkT)3/2 E1/2e−E / kT dE

La distribuzione maxwelliana delle velocita’ del neutrone in equilibrio termico col moderatore sara’ quindi

che in termini di energia si scrive

Rivelatori per neutroniI neutroni non ionizzano, sono rivelati attraverso prodotti ionizzanti generati da reazioni indotte, quali (n,p),(n,a)(n,γ) o (n,fissione).

Reazioni utilizzate:

€

10B + n→7Li∗ +α + 2.8MeV

€

3He + n→3H + p + 0.76MeV

€

6Li + n → 7Li( )→3He+4He + 4.8MeV

stato eccitato di 0.48MeVSi usano camere a ionizzazione con BF3 o contatore proporzionale fatto di boro metallico o composto di boro.

Altra reazione

Oppure

Questa reazione non produce stati eccitati nei prodotti finali per cui e’ preferita quando non c’e’ schermatura dai raggi gamma

Tre sono i tipi principali di rivelatori per neutroni:

- contatori proporzionali contenenti Boro, Litio o Elio

- contatori a luminescenza, contenenti B,Li o He

- camere a fissioneContatori proporzionali: - gas BF3 , rivela principalmente alpha, con

capacita’ di discriminare il fondo di γ e beta, dall’analisi dell’ampiezza di impulso.

-gas 3He , impiegati per spettroscopia neutronica fino a energie di 0.5 MeV

Contatori a luminescenza: impiega scintillatori, principalmente cristalli di LiI dopati di Tallio; altri dopanti B e 235U

Camere a fissione: camere ionizzanti, multilayer, con elettrodi ricoperti da strato di ossido di 235U

Scintillation CounterSi basano sull’eccitazione atomica/molecolareda parte della particella carica, consuccessiva diseccitazione, fluorescenza,con emissione di luce

Scintillatori Inorganici, es NaIEccitazione atomica

Scintillatori Organici plastici, es. Plexiglas, o liquidi

Gli scintillatori organici, per il loro altocontenuto idrogenato sono adattiprincipalmente a misure di neutroni veloci.

Fission Chamber

Il gas , Ar, e’ ionizzato dai frammentidi fissione

La fission chamber e’ usatain ambienta ad alta rate neutronica,perche’ ha il vantaggio che larisposta e’ direttamente proporzionale, in saturazione,alla fission rate.Puo’ operare fino a flussi di 1015n cm-2s-1

La fission rate e’ calcolatariferita alla fission rate di unisotopo di referenza 235U o 239Pu.

€

Rx

Rref

=Ix

Iref

dove Rx e’ la fissin rate dell’isotopo X (

fissions cm-3s-1), Rref fission rate dell’isotopo di riferimento, Ix , Iref corrente di saturazione (uA).

La sez.d’urto per le 3 reazioni sono molto grandi per i neutroni termici e varia come 1/v fino a valori di centinaia di KeV, cio’permette di calcolare facilmente la densita’ dei neutroni.

€

dR = Nσn(v)vdvR=Rate di conteggio

N=nuclei di Boro

n(v)dv=n.neutroni per unita’ volume e velocita’ compresa tra v e v+dv.

€

R = Nσn(v)vdv = NC n(v )dv = NCn∫∫

ora

€

σ ∝1 /v

€

C ∝σv

La Rate di conteggi e’ proporzionale alla densita’ di neutroni per ogni distribuzione di velocita’, finche’ vale la 1/v.

n(v)vdv=flusso di neutroni attraversoil rivelatore

Altra tecnica per misurare l’intensita’ del flusso di neutroni:

- Esposizione ad un materiale che diventa radioattivo per cattura neutronicaBisogna conoscere bene la sezione d’urto di cattura per le varie energie, si misura la radiattivita’ indotta..

-Misura della velocita’ dei neutroni con un selettore di velocita’ realizzato con materiale che assorbe molto i neutroni termici

-Tempo di Volo,ToF, per i neutroni termici.

I neutroni termici hanno una velocita’ di circa 2200 m/s facilmente misurabile.

Misure di energia:

- in regime termico si usa la diffrazione con cristalli.

la lunghezza d’onda di deBroglie e’ circa 0.1 nmstessa dimensione lattice cristallino

Legge di Bragg

€

nλ = 2d sinθ

- in regime veloce si usa la tecnica del recoil

scattering tra neutrone e targhetta leggera (H,2H,3He,4He,.....)

€

(ER )max = E − E 'min = E 4A(A + 1)2

La Er max per H=E,

per 3He max = 0.75 E

La risposta in energia dovrebbe essere uno spettro uniforme lungo tutto il range, ma viene modificato nella parte bassa dalla non linearita’ dello scintillatore.

Per Idrogeno (ER)max= E , per 3He, (ER)=0.75E

Non linearita’ dello scintillatore

Risoluzione del rivelatore

Spettro di neutroni monoenergetici di 14 MeV in uno scintillatore

N.B. l’efficienza degli scintillatori nel rivelare protoni di rinculo, caso neutroni veloci, e’ 50%

Cattura Neutronica

Nel processo di cattura neutronica, per neutroni termici, il processo piu’ probabile e’ (n,γ)

€

(Z,A) + n → (Z, A + 1) + γ

Nel decadimento g tutti gli stati eccitati possono essere occupatitenuto conto delle regoledi selezione

La cattura neutronica e’ un mezzoper spettroscopia degli statieccitati del nucleo catturante

Importante il caso in cui lo stato fondamentale del nucleo dopo catturae’ lo stesso del nucleo radioattivo, quindi se (Z,A+1) instabile

€

(Z, A +1)→ (Z +1,A +1) + β− + ν

€

Α = 0.602 mAσ

φ3.7 •1010 (1− e−λt )

In questo caso, quando il nuclide e’ sottoposto ad un fascio di neutroni termicila sua attivita’ aumenta

dove σ e’ la sezione d’urto di cattura, φ il flusso di neutroni termici(neutroni/cm2/s) e t durata bombardamento neutronico.

Conoscendo σ e φ si puo’ fare analisi qualitativa e determinare m,questa tecnica va sotto il nome di Neutron Activation Analysis, NAA.

Neutron Scattering

- I neutroni interagiscono con i nuclei atomici via forze a corto range (~fm)- I neutroni interagiscono anche con elettroni spaiati via int. dipolo magnetico

In un tipico esperimento di neutron scattering si illumina il campione di materia con un flusso di neutroni e si misura la distribuzione spaziale dei neutroni scatterati o/e la variazione della loro energia.

Sezioni d’urto

€

d2σdΩdE

=Numero neutroni scatterati per secondo in dΩ& dE

ΦdΩdE€

d σdΩ

=Numero neutroni scatterati per secondo in dΩ

ΦdΩ

€

Φ = Numero di Neutroni incidenti per cm2 per secondo

€

σ = Numero di Neutroni scattterati per secondo /Φ

€

σ = in barn: 1 barn = 10-24 cm2

Attenuazione=exp (-Nσt)N= #Atomi/unita’ di volumet = spessore (cm)

Scattering da un singolo nucleo (fisso)

En troppo piccola per cambiare energia del nucleo e il neutrone non puo’ trasferire KE al nucleo fisso,scattering e’ elastico.

Scattering lontano risonanze nucleari, σa ~0

€

vdS |ψscatt |2= vdSb2 / r2 = vb2dΩIl Nn attraverso un’area S per secondo dopo lo scattering e’:

€

Φ = v |Ψinc |2= v

€

dσdΩ

=vb2dΩΦdΩ

= b2

€

σ tot = 4πb2

Il Nn attraverso l’area unitaria e’

per cui e quindi

b=scattering length: caratteristica di ogni isotopo, misura sperimentale

Scattering point like, λ >> 1 fm, range azione forze nucleari

Notare come b sia circa la meta’ del raggio nucleare

Scattering di neutroni da Materia

Lo scattering non e’ necessariamente elastico, perche’ i singoli atomi nella materia sono liberi di muoversi, attorno a certe posizioni.Possono acquistare o cedere energia e momento.

€

Momentum Transfer h2π

Q =h

2π(k − k ' )

Q = vettore di scattering

Negli esperimenti di scattering da neutronisi misura l’intensita’ dei neutroni scatterati,per neutrone incidente, come una funzione delle variabili Q ed ε, I(Q,ε)= neutron scattering law,indicando con ε l’energia trasferita.

Van Hove (1954) ha mostrato che la legge dello scattering puo’ essere scrittaesattamente in termini di correlazione time-dependent tra le posizioni di coppie di atomi nel campione, vale a dire che la I(Q,ε) e’ proporzionale alla trasformata di Fourier di una funzione che e’ la probabilita’ di trovare due atomi ad una certa distanza.

Due tipi di effetti:

Scattering coerente: in cui la funzione d’onda del neutrone interagisce con la materia come un tutt’uno cosicche’ le onde scatterate dai diversi nuclei interferiscono tra di loro. Lo scattering dipende dalla posizione relativa dei singoli atomi e cosi’ si ha informazione sulla struttura del materiale.

Scattering coerente elastico

€

ε = 0( ) , informazioni su struttura atomica in equilibrio

Scattering coerente inelastico

€

ε ≠ 0( ) , informazioni su moti collettivi degli atomi

Scattering incoerente: la funzione d’onda del neutrone scattera indipendentemente con ciascun nucleo del materiale cosicche’ le onde scatterate da differenti nuclei NON interferiscono, ma si sommano incoerentemente.Lo scattering incoerente puo’ essere dovuto all’interazione dell’onda del neutrone con lo stesso atomo ma in posizione e tempi diversi.

Lo scattering incoerente fornisce informazioni sulla diffusione atomica.

Diffrazione o scattering di BraggUno scattering elastico coerente e’ la diffrazione

Per un lattice tridimensionale con un singolo isotopo, la legge di scattering di Van Hove si scrive semplicemente:

€

I Q( ) = b2coh

j ,k∑ e iQ⋅ rj −rk( )

rj,rk posizioni atomi j,k

bcoh lunghezza di scattering coerente degli atomi j,k

S(Q) =intensita’ misurata in un esperimentodi diffrazione neutronica con un cristallo reale S(Q)= Funzione di Struttura

La S(Q) e’ una somma incoerente su molti nuclei, in media vale zero, eccetto per certi valori unici di Q.

€

= b coh eiQ⋅ rj

j∑

2

≡ S(Q)

(valida solom per piccoli angoli < 1o )

€

S(Q) ≠ 0 solo per certi valori di QQ relazionata a

€

rj − rk distanza tra atomi

Quali valori di Q per diffrazione?

Se Q perpendicolare a un piano atomico

€

Q = n ⋅2π / d

€

Q ⋅ (rj − rk) = n ⋅ 2π

€

(rj − rk) = d

S(Q) e’ NON zero perche’ ciascun termineesponenziale vale UNO

S(Q)!0 per

Q deve essere perpendicolare ai pianidegli atomi nel lattice ed il suo valoredeve essere un multiplo intero di 2π/d

I valori di Q per cui si ha diffrazione neutronica soddisfano alla relazione di Bragg (1912) per la diffrazione della luce.

€

Q = n(2π / d) = 2k sinθ

€

essendo λ = 2π / k si ha la legge di Bragg nλ = 2dsinθ

La diffrazione si ha ruotando i piani del cristallo, non singolo,in modo da soddisfare la legge di Bragg. Il segnale osservato da un rivelatore di neutroni ad un particolare angolo e’ detto picco di Bragg.

L’intensita’ dei neutroni scatterati I(Q) e’ proporzionale alla densita’ degli atomi nei piani atomici, la somma e’ fatta su tutti gli atomi j,k dei piani del lattice; piu’ sono vicini i piani piu’ sono densi gli atomi.

In condizioni di interferenza il contributo a I(Q) nell’integrale derivadai contributi unitari dell’esponenziale ogni qualvolta la legge di Bragge’ soddisfatta: questo significa che osservare un picco di Bragg permette di dedurre sia la spaziatura dei piani, d, sia la densita’ degli atomi, dal suo valore.

€

I Q( ) = b2coh

j,k∑ eiQ⋅ rj −rk( )

La misura procede in questo modo: prima si posiziona il rivelatore ad un certoangolo θ, angolo di Bragg, poi si ruota il cristallo finche’ non si osserva il picco.

Cosa succede se il materiale non e’ costituito da singole celle cristalline tutte uguali? es: materiale policristallino?

In questo caso il contributo a I(Q) dei fattori esponenziali e’complesso e le fasi di queste quantita’ non possono essereottenute direttamente da una misura di diffrazione di Bragg.

I materiali policristallini, consistono di singoli cristalli orientati a caso, produrranno in ogni caso diffrazione neutronica qualsiasi sia l’orientazione del campione relativa al fascio di neutroni incidenti. Ci saranno sempre dei grani di cristallo che avranno piani ortogonali al fronte d’onda dei neutronimonoenergetici.

Ogni qualvolta l’angolo di scattering 2q, e la lunghezza d’onda l, soddisfano la legge di Bragg per un set di piani si otterra’ una riflessionela cui intensita’ e’ funzione delle proprieta’ del grano cristallino intercettato.

Questa tecnica va sotto il nome di powder diffraction

Come fare con strutture grandi quali: polimeri, colloidi o virus? idea: formare una probe wave nel campione

L’onda incidente e quella scatterata formano delle onde stazionarie secondarie nel mezzo che debbono accordarsi alla periodicita’ media della struttura del campione scatterato, con dimensioni di 10 e 1000 Angstrom.La

€

λprobe si puo’ adattare in due modi: - agendo sull’angolo di scattering - agendo sulla lunghezza d’onda dei neutroni

E’ la tecnica detta Small Angle Neutron Scattering (SANS)

€

λprobe = λneutron / 2sinθ

Small Angle Neutron Scattering (SANS) e’ usato per misurare oggetti grandi (~10nm - 1um)

Ricordare: per scattering elastico e che

€

λ = 2π / k = 2π / (Q / 2sinθ) = 4π sinθ /Q

Dalla legge di Bragg

€

r Q =

r k '−

r k o = 2ko sinθ

€

λ = 2d sinθ si ricava che

€

d = 2π / Q o per piccoli angoli θ d ≈ λ / 2θ

i.e. piccoli Q ---> scale di lunghezza grande

Scattering a piccoli angoli testa scale di lunghezza grandi

Angoli tipici di scattering per SANS sono ~0.3o a 5o

Dove si puo’ impiegare il metodo SANS ?

- Con la tecnica SANS si risolvono strutture su scale di lunghezza di 1-1000nm.

- I neutroni possono essere usati con campioni grandi ( spessore 1-2 mm)..

- Il metodo SANS e’ sensibile agli elementi leggeri, quali H,C e N.

- Il metodo SANS e’ sensibile agli isotopi, quali H e D.

Tipiche applicazioni della tecnica SANS

Biologia- organizzazione di complessi biomolecolari in soluzione- variazione di conformazione di proteine, enzimi,...- meccanismi di aggregazione di proteine e DNA

Polimeri- conformazione di molecole di polimeri in soluzioni e substrati- strutture di copolimeri- fattori che regolano la miscibilita’ di mescole di polimeri

Chimica- strutture colloidali- meccanismi di self-assemblaggio molecolare in soluzioni

Risoluzione strumentale per il metodo SANS

€

€

Q =4πλ

sinθ ⇒ ∂Q2

Q2 =∂λ2

λ2 +cos2θ ⋅ ∂θ

sin2 θ

Per SANS

€

θ e' piccolo e (∂λ / λ)rms ~ 5% cosi' ∂Q 2

Q2 = 0.0025 +∂θ 2

θ 2

Per una distanza sorgente-campione = distanza campione-rivelatore, L, e uguale apertura sorgente e campione di h, la

Il piu’ piccolo valore di

€

θ e’ determinato dalla dimensione del fascio diretto:

€

2θmin ~ 1.5h /L

Con questo valore di

€

θ , domina la risoluzione angolare

€

∂Qrms ~ (∂θrms /θmin )Qmin ~ ∂θrms 4π / λ ~ (2π / λ)h / L

L’oggetto osservabile maggiore ha dimensioni di

Questo significa un massimo di ~5um prt una L-40m usando un fascio di neutroni di 15Angstrom.

NOtare a grandi valori di theta, impostati dalla distanza L e dalle dimensioni del rivelatore, la risoluzionedella lunghezza d’onda domina. €

~ 2π /∂Qrms ~ λL / h

€

∂θrms = 5 /12h / L

The NIST 30m SANS Instrument Under Construction

Small Angle Neutron ScatteringPer neutroni scatterati a piccoli angoli la intensita’ ha espressione:

€

I(Q) = b(r)eiQ⋅rd 3r∫2

con integrale su tutto il volume e b(r), la densita’ di scatt-length, calcolata sommando le scatt-len coerente di tutti gli atomi di un piccolo volume e dividendo per quel volume.

Nel caso di particole con densita’ di scatt-len uniforme, bp, disperse in un mezzo uniforme di scatt-len bm, l’integrale si puo’ separare in un integrale uniforme su tutto il campione ed un termine che dipende dalla differenza tra le scatt-len, (bp-bm) chiamata fattore di contrasto.

Se particole identiche e posizioni scorrelate, l’integrale diventa

sul volume di una particola Vp, con Np = il numero di particole nel campione.

L’integrale del fattore di fase

€

eiQ⋅ r sopra una particola e’ chiamato form factor di quella particola, calcolabile facilmente per forme semplici, es. sferiche ( Lord Rayleigh, 1911).

€

I(Q) = (bp − bm )2 Np eiQ ⋅rdr3

V p

∫2

Scattering inelasticoL’energia termica fa oscillare gli atomi attorno ai loro sitiin un volume ridotto con il sito del lattice al centro.

Se neutrone scattera con un mezzo con moto, si ha interazione inelastica con scambio di energia.

Il moto termico degli atomi e’ descritto come una sovrapposizione di onde che si muovono attraverso il lattice: fononi.

Quando un neutrone e’ scatterato da un solido cristallino, esso puo’assorbire o emettere un quanto di energia uguale al quanto di energia del fonone,

€

hνSi ha scattering inelastico coerente se |Enf-Eni|= ε, energia del fonone.

Nella maggior parte dei solidi ν vale qualche 1012 Hz che corrisponde ad una energia dei fononi di qualche meV, (1012Hz = 4.18 meV).

La variazione in energia di qualche meV e’ dell’ordine dell’energia dei neutronitermici per cui si misura bene e cio’ rende lo scattering neutronico inelastico uno strumento ideale per misurare la frequenza dei fononi e quindi per ottenere informazioni circa le forze che tengono la materia insieme.

Lo pseudo potenziale di FermiNell’approssimazione di Born, la probabilita’ di un’onda piana incidente con vettore d’onda k, scatterata da un potenziale debole V(r), di diventare un’onda uscente piana con vettore k’ e’ proporzionale a

Il potenziale V(r) e’ lo pseudo potenziale di Fermi che ha forma essendo bj la scattering length del nucleo j alla posizione rj.

Per un lattice di nuclei il potenziale e’ la somma delle interazioni individuali neutrone-nuclei

Un po’ di formalismo matematico

Van Hove ha mostrato che la scattering law, la intensita’ dei neutroni scatteratipuo’ essere scritta come

La somma e’ su coppie di nuclei (j,k), con il nucleo j nella posizione rj(t) al tempo t ed il nucleo k nella posizione rk(0) al tempo t=0..

media su tutti i possiblistati del sistema

La somma sui siti atomici puo’ essere riscritta come:

dove compare una delta di Dirac in termini di r e una differenza tra la posizione del nucleo j al tempo t e quella del nucleo k al tempo zero.

Se

€

(bj = bk = b) diventa

dove N = # atomi

probabilita’ che un atomo sia all’origine coordinate al tempo t=0 ed un atomo sia alla posizione r al tempo t.

G(r,t) e’ detta funzione di correlazione di coppia dipendente dal tempo perche’ descrive come evolve col tempo la correlazione tra due particelle.

La legge di scattering d Van Hove si scrive quindi come

I(Q,ε) e’ proporzionale alla trasformata spazio tempo di Fourier della funzione di correlazione di coppia time-dependent.

Questo risultato fornisce una descrizione generale per tutti gli esperimenti di scattering neutronico.

Il fatto che la I(Q,ε) sia semplicemente la trasformata di Fourier di una funzione che da’ la probabilita’ di trovare due atomi ad una certa distanza, e’ reponsabile della potente capacita’ di analisi dello scattering neutronico.Invertendo la equazione si possono ottenere informazioni circa sia la struttura che la dinamica della materia condensata.

Scattering coerente ed incoerenteLe scatt-len, anche un singolo isotopo, non sono uguali causa lo stato dello spin dell’isotopo che spesso ne ha diversi, ma generalmente non esiste correlazione tra spin e posizione, per cui le scatt-len possono essere mediate sugli stati di spin senza danno.

Si possono effettuare due medie degli stati di spin:

€

b− e b2( )

La somma sulle scatt-len puo’ essere arrangiata come

Ajk essendo l’integrale

coherent scattering incoherent scattering

Coherent scattering length :

€

bcoh = b Incoherent scattering length:

€

binc = b 2 − (b )2

L’espressione per lo scattering coerente e’ una somma su j e k e la correlazione tra la posizione dell’atomo j al tempo zero e la posizione dell’atomo k al tempo t

Lo scattering incoerente tiene conto della posizione dello stesso atomo al tempo t.

Scattering coerente essenzialmente descrive l’interferenza tra onde prodotte dallo scattering di un singolo neutrone da tutti i nuclei nel campione.

Intensita’ per questo tipo di scattering varia fortemente con l’angolo di scattering

Nello scattering incoerente, somma delle onde scatterate dai diversi nuclei, non c’e’ interferenza l’una con le altre. Lo scatt. incoerente fornisce un buon metodo invece per esaminare processi in cui gli atomi diffondono. Esso e’ isotropico per natura e quindi in un proceso di scattering coerente si presenta come rumore uniforme.

I valori delle scatt-len coerente ed incoerente per i differenti elementi e isotopi non variano in modo sistematico, dipendendo dagli stati di spin. ad es. l’idrogeno ha una grande scatt-len incoerente (25.18 fm) ed una piccola scatt-len coerente ( -3.74 fm)al contrario il deuterio ha un piccola scatt-len incoerente (3.99 fm) e una scatt-len coerente piu’ grande (6.67 fm)

La differenza tra le scatt-len dell’idrogeno e deuterio e’ alla base dellatecnica di isotopic-labeling: contrast matching.Particolarmente importante nelle applicazioni dello scattering neutronico per la scienza strutturale biologica e dei polimeri

DiffrazioneLa equazione di Van Hove puo’ essere usata per descrivere la diffrazione, ad es. per un cristallo di un singolo isotopo.

La diffrazione e’ un processo principalmente elastico, ε=0, ma sperimentalmente i diffrattometri integrano sulle energie dei neutroni scatterati, cosi’ per calcolare la intensita’diffratta si integra l’equazione della scattering law su ε, includendo cosi’ gli effetti delle vibrazioni atomiche.

L’integrazione su ε introduce una delta di Dirac δ(t), che obbiga a calcolare la funzione di correlazione G(r,t) ad essere valutata per t=0 per la diffrazione. Per un cristallo formato solo da isotopi uguali si ha

€

I(Q) = b2coh 〈e iQ⋅ ( r j −rk )

〉j, k∑

in cui le posizioni di j e k sono valutate allo stesso istante.

Se atomi fermi, la media termodinamica <> si potrebbe eliminare, perche’ le r sarebbero costanti; maatomi oscillano attorno a posizioni stazionarie per cui la media termodinamica introduce un fattore, detto fattore di Debye-Waller per tenerne conto

dove <u2> e’ lo spostamento quadratico medio. L’intensita’ diffratta e’ chiamata S(Q), funzione di struttura

€

I(Q) = b2 eiQ⋅(rj −rk )e−1/2Q 2 <u2 >

j ,k∑ ≡ S(Q)

Scattering a piccoli angoli (SANS)

La scattering law si semplifica nel caso di scattering a piccoli angoli. Quando Q e’ molto piccolo rispetto alle distanze interatomiche, i fattori esponenziali non variano molto da atomo ad atomo e la somma sui siti atomici puo’ essere sostituta da un integrale. La legge dello scattering per scattering elastico coerente da un insieme di “oggetti” puo’ essere scritta quindi come:

Lo scatterina a piccoli angoli di neutroni (SANS) e’ una tecnica molto usata per l’analisi strutturale ad es.di superfici.

€

I(Q) = b(r)e−iQ ⋅r d 3r∫2

b(r) e’ la densita’ della scatt-len e l’integrale si estende su tutto il campione.

b(r) si calcola, ad es. per una molecola grande, sommando le scatt-len degli atomi nella molecola, diviso il volume molecolare.

L’equazione, pur approssimata, e’ lo strumento analitico per l’analisi con scattering di neutroni a piccoli angoli

Scattering magneticoIl neutrone ha momento magnetico, con momento di dipolo pari a

€

µn = −γµBme

mr σ

che e’ 960 volte piu’ piccolo del momento dell’elettrone.

il neutrone sente una forza di origine magnetica quando passa vicino ad un’altra particella magnetica, come un elettronenella materia. La maggior parte degli elettroni negli atomi o nella materia sono accoppiati cosicche’ il momento magnetico della coppia e’ nullo, ma ci sono anche elettroni spaiati, in certi composti e i neutroni sono scatterati dal momento magnetico risultante. Esperimenti di diffrazione possono essere usati per misurare la densita’ degli elettroni spaiati tra gli atomi di un solido.

Materiali ferromagnetici , come l’acciaio, sono magnetici perche’ i momenti degli elettroni spaiati tendono ad allinearsi spontaneamente. E’ come se per tali materiali ci fosse un piccolo momento magnetico ad ogni sito atomico con tutti i momenti orientati in una unica direzione. Questi momenti danno luogo a fenomenidi diffrazione alla Bragg di neutroni alla stessa maniera della diffrazione neutronica. La riflessione di Bragg per scattering magnetico ha la stessa intensita’ di quella nucleare perche’ l’interazione nucleare e magnetica hanno la stessa grandezza.

UNICA differenza e’ che lo scattering magnetico non e’ isotropico, che significa che per i neutroni la natura dipolare della interazione magnetica fa si’ che solo la componente della magnetizzazione del campione nte perpendicolare alvettore di scattering, Q, e’ effettivo nello scattering neutronico.

Lo scattering neutronico e’ quindi sensibile alla direzione di magnerizzazione nel materiale e d anche alla sua distribuzione spaziale.

I picchi di Bragg, magnetico e nucleare, che nei materiali ferromagnetici capitano per gli stessi valori di Q si possono separare tenendo conto della natura anisitropia della interazione magnetica. Se i momenti degli elettroni si allineano con un campo magneticoesterno, i picchi magnetici di Bragg per cui Q e’ // alla magnetizzazione indotta svaniscono lasciando solo i picchi nucleari, mentre se il campo e’ ortogonale a Q i picchi di Bragg magnetici e nucleari sono presenti contemporaneamnte.

Per i materiali antiferromagnetici ( materiali con elettroni spaiati che hanno sistemazioni alternate o antiparallele), la distanza di replica dei piani dei momenti magnetici e’ doppia di quella dei piani atomici.

Questo significa che la legge di Bragg e’ soddisfatta per angoli di scattering il cui seno e’ la meta’ di quello per scattering Bragg normale.Meta’ dei picchi di Bragg magnetici saranno posizionati a meta’ tra due picchi nucleari corrispondenti, mentre l’altra meta’ si coincideranno. E’ quindi facile la separazione dei contributi magnetici e nucleare.

Interferometro a cristalli per neutroni termici

ΔD e’ la differenza di lunghezza di cammino introdotta dal materiale che introduce un phase shift