Approximativa metoder för analys av komplexa …bme.lth.se/.../Trans_forel3_2016_del1.pdf01/02/16 1 Medicin och Teknik/ Introduktion till Medicin och Teknik/ 2011-11-16 Approximativa

01/02/16

1

Medicin och Teknik/ Introduktion till Medicin och Teknik/ 2011-11-16

Approximativa metoder för analys av komplexa fysiologiska flöden

(Kapitel 4)

2016-02-01


Idag: Kapitel 4

•  Balansekvationerna på integralform •  Gränsskikt

01/02/16

2


Styrande ekvationer

•  Massans bevarande, kontinuitetsekvationen: •  Rörelsemängdens bevarande, impulsekvationen:

∂ρ∂t+∇•(ρv ) = 0

ρ∂v∂t+ ρv •∇v = −∇p+∇•τ + ρg


Styrande ekvationer, hur såg de ut?

•  Kontinuitetsekvationen: •  Impulsekvationen:

( ) ( ) ( ) 0=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

zw

yv

xu

tρρρρ

zyxxpg

zuw

yuv

xuu

tu zxyxxx

x ∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ τττ

ρρ

zyxypg

zvw

yvv

xvu

tv zyyyxy

y ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ τττ

ρρ

zyxzpg

zww

ywv

xwu

tw zzyzxz

z ∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ τττ

ρρ

Lokal acceleration

konvektiv acceleration gravitation trycket

viskös effekt

01/02/16

3


Om fluiden är inkompressibel och Newtonsk:

•  Kontinuitetsekvationen: •  Impulsekvationen:

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

zw

yv

xu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

zu

yu

xu

xpg

zuw

yuv

xuu

tu

x µρρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

zv

yv

xv

ypg

zvw

yvv

xvu

tv

y µρρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

zw

yw

xw

zpg

zww

ywv

xwu

tw

z µρρ

Navier-Stokes ekvationer


Kontinuitetsekvationen på integralform:

•  Kontinuitetsekvationen:

•  Kan skrivas som:

•  Om massan är konstant:

( ) ( ) ( ) 0=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

zw

yv

xu

tρρρρ

∂ρ∂t

= −∇• ρv( ) ⇒dmdt

= − ρv •n dSS∫

⇒dmdt

= !mii=1

p

∑ − !mjj=1

q

∑

Qii=1

p

∑"

#$

%

&'in

= Qjj=1

q

∑"

#$$

%

&''ut

01/02/16

4


Exempel: Flöde genom en förgrening

Qii=1

p

∑"

#$

%

&'in

= Qjj=1

q

∑"

#$$

%

&''ut

⇒Q1 =Q4 +Q5

Q1 = v •n( )dS1S1

∫ = −v1πR12

Q4 = v •n( )dS4S4

∫ = v4πR42

Q5 = v •n( )dS5S5

∫ = v5πR52


Impulsekvationen på integralform

ρ∂v∂t+ v •∇v

#

$%

&

'(= −∇p+∇•τ + ρgUtgå ifrån impulsekvationen:

Vänsterledet står för ändringen i rörelsemängd och högerledet står för summan av krafter som påverkar kontrollvolymen. Integrera över kontrollvolymen dΩ: ρ

∂v∂t+ v •∇v

#

$%

&

'(

Ω

∫ dΩ = −∇p+∇•τ + ρg( )Ω

∫ dΩ

∂ ρv dΩΩ

∫∂t

+ vρ n •v( )S∫ dS = − pn dS + n

S∫ •τ dS +mg

S∫

Utnyttja Gauss sats igen!

3 ekvationer: x-, y- z-led

01/02/16

5


Exempel på rörelsemängdens bevarande

Strömning över en platta:

Ändringen i rörelsemängd är lika stor som de krafter som verkar på kontrollvolymen (bredd b) => Vid inloppet: Vid utloppet: Kontinuitetsekvationen: ”drag force”

Reynolds transportteoremRörlesemängdens bevarandeExempel

CV1 2

𝑣 𝑦

Kraften på plattan:

−𝐹 = −𝜌𝑈 𝑑𝐴 + 𝜌𝑣 𝑑𝐴 = −𝜌𝑈 ℎ𝑏 + 𝜌𝑏 𝑣 𝑑𝑦

1:𝑈

𝑉 𝑛 = −𝑈

2: 𝑉 𝑛 = 𝑣 𝑦

Strömlinje𝑦 = ℎ

𝑦 = 𝛿

Kontinuitetsekvationen ger

𝜌𝑉 𝑉 𝑛 𝑑𝐴 = 𝐹 = −𝐹

𝜌 𝑉 𝑛 𝑑𝐴 = 0

𝜌𝑏 −𝑈 𝑑𝑦 + 𝜌𝑏 𝑣 𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝑈 ℎ = 𝑣 𝑦 𝑑𝑦 𝐹 = 𝜌𝑏 𝑣 𝑈 − 𝑣 𝑑𝑦

Kontroll-volym

ρv v •n( )A∫∫ dA = F = −FD∑ v •n( ) =U0 v •n( ) = vx (y)

−FD = −ρU02 dA+1∫∫ ρvx

2 dA =2∫∫ − ρU0

2bh+ ρb vx2 dy

0

δ

∫

ρ v •n( )dA = 0⇒ ρb −U0 dy+ ρb vx (y)dy = 0⇒U0h = vx (y)dy0

δ

∫0

δ

∫0

h

∫A∫∫

⇒ FD = ρb vx U0 − vx( )0

δ

∫ dy


Impulsekvationen på integralform, specialfall

ρv •∇v = −∇p+ ρg

Utgå ifrån impulsekvationen:

Antag stationär, förlustfri och isoterm strömning: Följ en strömlinje: Integrera längs strömlinjen:

ρ∂v∂t+ v •∇v

#

$%

&

'(

Ω

∫ dΩ = −∇p+∇•τ + ρg( )Ω

∫ dΩ

dp+ ρvdv+ ρgdz = 0

p+ ρ v2

2+ ρgz = konst.

Bernoulli´s ekvation

01/02/16

6

Bernoullis ekva.on Strömning genom förträngt rör

Vena contracta

Tryckfördelning längs centrumlinjen

Vena contracta


Bernoulli’s utvidgade ekvation

Utgå ifrån energiekvationen och ifrån att strömningen är •  Inkompressibel •  Endimensionell •  Att ändringar i potentiell energi kan försummas

p1 − p2 =ρ2

v22

2−v12

2"

#$

%

&'+

dvdtdl + Ev

v •n dS∫l=1

2

∫viskösa förluster

hastigheten har ett tidsberoende

01/02/16

7


Gränsskiktsekvationerna

Antag plan strömning (x,y) och utgå ifrån •  Kontinuitetsekvationen •  Impuls i x-led •  Impuls i y-led

Eftersom gränsskikt är tunna gäller följande: , ,

∂u∂x+∂v∂y

= 0

ρ u∂u∂x+ v ∂u

∂y"

#$

%

&'= −

∂p∂x+µ

∂2u∂x2

+∂2u∂y2

"

#$

%

&'

ρ u ∂v∂x+ v ∂v

∂y"

#$

%

&'= −

∂p∂y+µ

∂2v∂x2

+∂2v∂y2

"

#$

%

&'

v << u∂v∂x

<<∂v∂y

∂u∂x

<<∂u∂y

Rex =ρUxµ

>>1


Gränsskiktsekvationerna

•  Impuls i y-led •  Impuls i x-led

•  Bernoulli:


∂y"

#$

%

&'= −

∂p∂x+µ

∂2u∂x2

+∂2u∂y2

"

#$

%

&'

ρ u ∂v∂x+ v ∂v

∂y"

#$

%

&'= −

∂p∂y+µ

∂2v∂x2

+∂2v∂y2

"

#$

%

&'

liten liten liten liten

⇒∂p∂y

≈ 0

∂2u∂x2

<<∂2u∂y2


∂y"

#$

%

&'= −

∂p∂x+µ

∂2u∂y2

∂p∂x

= −ρU dUdx

⇒ ρ u∂u∂x+ v ∂u

∂y"

#$

%

&'= −ρU

dUdx

+µ∂2u∂y2

∂u∂x+∂v∂y

= 0

Skall integreras!

01/02/16

8


Gränsskiktsekvationerna, integralform

•  von Karmans ekvation (4.5.17)

•  Jämför med exemplet med strömning över platta

FD = ρb vx U0 − vx( )0

δ

∫ dy

Gränsskikt

Återvänd till tidigare exempel, strömning över plan platta:

𝐹 = 𝜌𝑏 𝑣 𝑈 − 𝑣 𝑑𝑦

Jämför med von Karmans ekvation om U=U0=konstant (ekv. 4.5.17)

𝜏 = 𝜌𝜕𝜕𝑥

𝑣 𝑈 − 𝑣 𝑑𝑦 + ρ𝑑𝑈𝑑𝑥

𝑈 − 𝑣 𝑑𝑦 = 𝜌𝜕𝜕𝑥

𝑣 𝑈 − 𝑣 𝑑𝑦

𝐹 = 𝜏 𝑑𝑥𝑑𝑧 om U =U0 = konst.

I Exempel 4.5 beräknas en approximation för Beror på Re!

δ(x)


Avlösning (flow separation)

∂p∂x y=0

= µ∂2ux∂y2 y=0

01/02/16

9


Avlösning


Avlösning

01/02/16

10


Idag: Kapitel 4

•  Balansekvationerna på integralform •  Gränsskikt

Obs! 4.7, 4.8 Hoppas över!

Documents

Approximativa metoder för analys av komplexa …bme.lth.se/.../Trans_forel3_2016_del1.pdf01/02/16 1 Medicin och Teknik/ Introduktion till Medicin och Teknik/ 2011-11-16 Approximativa