Appunti Di Azionamenti Elettrici Vol1

7/18/2019 Appunti Di Azionamenti Elettrici Vol1

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Appunti di azionamenti elettrici I

Anno accademico 2009/2010Docente Petrella

Vieni a trovarmi sul mio sito: www.ivanbortolin.it

Ivan Bortolin



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Indice

1 Introduzione 7

1.1 Informazioni utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 L’azionamento elettrico 9

2.1 Definizione ed elementi di un azionamento elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Struttura di un motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Motori elettrici impiegati negli azionamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Paramentri per la progettazione di un A.E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Dimensionamento motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7 Convertitore statico di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8 Tipologie di convertitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9 Protezione del convertitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.10 Dispositivo di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.10.1 Controllo in catena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.10.2 Controllo in catena chiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Motori elettrici 21

3.1 Il motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Principio di causa/effetto in un motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Forza contro ellettro motrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.2 Scelta tra campo magnetico e campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Modellistica di un attenuatore elettromeccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.1 Equazioni elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.2 Bilancio di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.3 Energia magnetica immagazzinata. Coenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.4 Espressione della coppia elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.5 Espressione della coppia nei sistemi lineari (coenergia costante) . . . . . . . 28

3.3.6 Calcolo della coppia per l’attuatore elementare a riluttanza . . . . . . . . . . 31

3.3.7 Modello dinamico dell’attuaore elementare a riluttanza . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Attuatori con avvolgimenti multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.1 Equazioni elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.2 Energia magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.3 Espressione della coppia elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.4 Sistemi ad induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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4 INDICE

4 Dinamica del sistema motore-carico 454.1 Equazione di equilibrio meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Funzione di trasferimento del sistema meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Risposta al gradino di coppia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 Relazione velocita-posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.1 Risposta al gradino di velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4.2 Risposta alla rampa di velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5 Diagramma a blocchi del sistema meccanico completo . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6 Traiettorie tipiche del controllo di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.6.1 Traiettorie tipiche del controllo di velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.6.2 Traiettorie tipiche del controllo di posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.6.3 Azionamenti reversibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.6.4 Tipi di carico: coppie attive e passive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6.5 Caratteristiche di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Modelizzazione dei sistemi meccanici 675.1 Equazioni per il calcolo dell’inerzia equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.1 Esempio pignone cremagliera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.2 Esempio vite-madrevite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.1.3 Esempio motore con cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Analogia tra un sistema meccanico e un sistema elettrico . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.1 Esempio generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6 Il convertitore statico 756.1 IL duty-cicle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.2 Gli interrutori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2.1 Quadranti di lavoro dello switch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.2 SPST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.3 Diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.4 Silicon Controlled Rectifier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2.5 Bipolar Junction Transistor (BJT) e Insulated Gate Bipolar Transistor (IGBT) 866.2.6 Metal-Oxide Semiconductor Field Effect Transistor (MOSFET) . . . . . . . 88

6.3 Convertitori DC-DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.3.1 Convertitore Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3.2 Convertitore Buck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3.3 Convertitore Buck-Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3.4 Convertitore Chopper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.4 Convertitore CC-CA Inverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.4.1 Calcolo della tensione di uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4.2 Comando ad onda quadra (Six Step) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4.3 Rappresentazione vettoriale della tensione di uscita . . . . . . . . . . . . . . 1076.4.4 Tecniche di modulazione PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7 Macchina in corrente continua 1177.1 Struttura e schema elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.2 Principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.2.1 Funzionamento da generatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118



INDICE 5

7.2.2 Funzionamento da motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.3 Determinazione del modello dal punto di vista dei circuiti accoppiati . . . . . . . . . 126

7.3.1 Equazioni elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.3.2 Espressione della coppia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.3.3 Rappresentazione circuitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.4 Dinamica dei motori a C.C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.4.1 Modello dinamico della macchina a c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.4.2 Limiti e regioni di funzionamento del motore c.c. ad eccitazione indipendente 135

7.5 Controllo in velocita del motore in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.5.2 Caratteristica meccanica coppia-velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.5.3 Controllo di velocita dei motori in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.5.4 Comportamento dinamico del motore c.c. a flusso costante . . . . . . . . . . 152

7.6 Azionamenti con motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.6.1 Struttura dell’azionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.6.2 Azionamento con il solo anello di velocia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.6.3 Azionamenti con anelli di velocita e di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8 Motore a passo (stepper motor) 1718.1 Motori a passo a riluttanza variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.2 Motori a passo a magneti permanenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.3 Motori a passo ibridi: struttura e principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . 1778.4 Modi di alimentazione dei motori a passo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8.4.1 Eccitazione a singola fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.4.2 Eccitazione a doppia fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.4.3 Funzionamento a mezzo passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8.5 Accuratezza nel posizinamento del motore a passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8.6 Specifiche delle caratteristiche di un motore a passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.6.1 Caratteristiche statiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.6.2 Caratteristiche dinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

9 Il motore sincrono a magneti permanenti (versione light) 1919.1 Stuttura e principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1919.2 Principio di funzionamento in orientamento di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1939.3 Motore trifase a induzione o motore asincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9.3.1 Struttura e principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959.3.2 Analisi del funzionamento in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . 196



6 INDICE



Capitolo 1Introduzione

1.1 Informazioni utili

Docente: Roberto PetrellaE-mail: [email protected]: http://diegm.uniud.it/petrellaModalita d’esame:

2 o 3 domande orali (scritte)

1 esercizio

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8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE



Capitolo 2L’azionamento elettrico

2.1 Definizione ed elementi di un azionamento elettrico

Si definisce Azionamento Elettrico (A.E.) “l’isieme composto da un motore elettrico e dagli apparati

d’alimentazione, comando e controllo, avente come scopo la regolazione della coppia, della velocit a o della posizione di un albero di trasmissione”.Secondo questa definizione, l’A.E. risulta individuato da tre elementi fondamentali:

- IL MOTORE ELETTRICO

- IL CONVERTITORE STATICO DI POTENZA

- IL DISPOSITIVO DI CONTROLLO

A questi elementi ne va aggiunti un quarto, la cosiddetta

- MACCHINA AZIONATA

che rappresenta il “carico ”dell’azionamento, il quale, pur concettualmente distinto dallo stesso,ne viene a determinare, mediante le proprie caratteristiche meccaniche, tutti gli aspetti essenziali.

2.2 Motore elettrico

Il motore elettrico e l’elemento che trasforma con elevato rendimento, l’energia elettrica provenientedal convertitore statico nell’energia meccanica necessaria per imprimere il moto alla macchina

azionata.A seconda del tipo di moto reso disponibile si individuano:

- MOTORI ROTANTI

- MOTORI LINEARI

I primi, piu usuali, rendono disponibile il moto come rotazione attorno ad un asse (asse del“rotore” del motore); i secondi, invece, producono un movimento in direzione lineare (direzione dispostamento del “movente” del motore).

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10 CAPITOLO 2. L’AZIONAMENTO ELETTRICO

Figura 2.1: Elementi basilari di un azionamento elettrico

2.3 Struttura di un motore elettrico

Dal punto di vista strutturale il motore elettrico puo essere suddiviso in due parti strettamenteinteragenti tra loro: una parte fissa detta statore , ed una parte mobile detta rotore (nel caso dimoto rotatorio) o movente (nel caso lineare).Le parti fissa e mobile di un motore interagiscono tramite il campo elettromagnetico prodotto dallaalimentazione del motore. Quest’interazione si traduce in una coppia (coppia elettromagnetica)disponibile all’asse del rotore o in una forza (forza elettromagnetica) lungo la direzione del movente,rispettivamente per motori rotanti e lineari.Ai fini del progetto del convertitore statico e del dispositivo di controllo, il motore elettrico puo

essere rappresentato mediante due blocchi funzionali:

- La parte elettromagnetica , che rappresenta il comportamento degli avvolgimenti di statore erotore (nel seguito, per comodita, si fara riferimento ai soli motori rotanti, fermo restandoche per i motori lineari valgono analoghe considerazioni) della macchina elettrica, cioe laformazione delle correnti, dei campi magnetici e della coppia elettromagnetica, indicata conC e

- la parte meccanica che rappresneta il comportamento meccanico per quanto attiene alla partemobile del motore, e comprende l’ inerzia delle masse rotanti e le coppie resistenti internealla macchina

La struttura della parte elettromagnetica dipende fortemente dal tipo di motoreelettrico. Dal punto di vista funzionale viene rappresentata da modelli circuitali degli avvolgi-menti di statore e rotore, descritti da sistemi di equazioni differenziali (eq. elettriche ), e dallaespressione, in funzione delle grandezze elettriche, della coppia elettromagnetica.La struttura della parte meccanica e indipendente dal tipo di motore, e dal punto divista funzionale e descritta mediante la legge dell’equilibrio dinamico (eq. meccaniche ).In essa interviene, come disturbo esterno, la macchina azionata in termini di coppia resistente indicata con C r.



2.4. MOTORI ELETTRICI IMPIEGATI NEGLI AZIONAMENTI 11

Figura 2.2: Parti di un motore elettrico

La parte meccanica e quella elettromagnetica interagiscono tra loro in modo diretto mediante lacoppia elettromagnetica ed in modo retroattivo mediante la velocita di rotazione ω, che influenzai circuiti elettrici del motore (a livello di tensioni indotte).

2.4 Motori elettrici impiegati negli azionamenti

Negli A.E. vengono impiegati motori elettrici di vario tipo secondo le caratteristiche di moto daimprimere alla macchina azionata e della potenza necessaria. I motori posso essere:

1. A CORRENTE CONTINUA (MCC)

2. ASICRONO (MA)

3. SINCRONO A MAGNETI PERMANENTI (MSMP)

4. SINCRONO LINEARE (MSL)

5. RILUTANZA (MSR O MRC)

6. PASSO-PASSO (MPP)

Le prime 5 tipologie di motore sono a movimento continuo, mentre l’ultima e a movimentoincrementato.Vedremo nel seguito, con l’avvento dei dispositivi elettronici di potenza e degli odierni convertitoristatici, le caratteristiche di impiego dei principali motori elettrici hanno subito un profondo muta-mento. In particolare, per i motori in corrente alternata (sincroni ed asincroni) si usa distingure tra:

- motori alimentati direttamente da rete (alimentazione convenzionale)




- motori per azionamenti o “servomotori” (alimentazione da convertitore statico)

I motori sincroni si dividono a loro volta in:

- Senza magneti permanenti (sul rotore) o motori a riluttanza (REL). Sul rotore non sonopresenti magneti permanenti e la coppia dipende dal rapporto ferro-aria

- Con magneti permanenti (PMSP). I magneti sono sulla superficie del rotore e la coppiadipende dal numero di magneti.

- Con magneti permanenti interni o annegati (IPMSM: Interior Permanent Magnet Sincro-movie Motor). Sul rotore sono presenti magneti e la coppia dipende dal numero di questi edal rapporto ferro-aria.

Il motore per azionamento, destinato ad effettuare una movimentazione a velocita variabile ,

presenta in genere delle caratteristiche costruttive diverse dal motori alimentati da rete, desti-nati a funzionare a velocita circa costante .Nei motori passo-passo, le caratteristiche di funzionamento favoriscono un movimento di tipoincrementale, cioe lo spostamento attraverso posizioni successive di equilibrio distanti di una fis-sata posizione angolare (il “passo”). Sono pertanto preferiti nelle applicazioni di posizionamento.Invece, nei motori in corrente continua (c.c.) ed in corrente alternata (c.a) il movimento ot-tenuto e di tipo continuo, sono pertanto utilizzati preferibilmente (ma non esclusivamente) perla realizzazione di azionamenti a moto continuo.

2.5 Paramentri per la progettazione di un A.E.1. Alto rapporto potenza/peso

2. Spinte/coppie elevate

3. Alta velocita di avanzamento

4. Alte accelerazioni

5. Alto rendimento (perdite contenute)

6. Alta affidabilita

7. Controllabilita in remoto

8. Compattezza

9. Semplicita di installazione

Il 5 punto e importante relativamente alla generazione di calore che poi dovra essere dissipato.



2.6. DIMENSIONAMENTO MOTORE 13

2.3.1 Motore a sezione larga 2.3.2 Motore a sezione stretta

Figura 2.3: Tipologie di motori

2.6 Dimensionamento motore

Esistono due tipologie di motore:

1. A sezione larga e lunghezza proporzionale corta 2.3.1

2. A sezione stretta e lunghezza proporzionale lunga 2.3.2

La prima ha un alta inerzia e quindi utili ad esempio per la trazione e spostamento di carichi,mentre la seconda e a bassa inerzia e quindi utili per spostamenti di precisione.

2.7 Convertitore statico di potenza

E l’elemento che provvede ad alimentare il motore elettrico in modo da produrre le caratteristichedi moto richieste con le prestazioni desiderate.Esso puo essere riguardato come l’amplificatore di potenza che provvede a modificare, sotto il gov-erno del dispositivo di controllo, le caratteristiche dell’energia elettrica proveniente da una sorgente d’alimentazione primaria in modo da adattarle all’alimentazione del particolare tipo di motore.La sorgente di alimentazione primaria e in genere la rete in corretente alternata (trifase per azion-amenti di potenza superiore a qualche kW, monofase per potenze inferiori ad 1-2 kW); in casiparticolari puo trattarsi di una rete elettrica in corrente continua (azionamenti per trazione surotaia) oppure batterie di accumulatori (trazione su ruote).In ogni caso il flusso d’energia (indicato con frecce larghe nelle figure di questo capitolo) fluiscegeneralmente dalla sorgente, attraverso il convertitore, al motore elettrico e quindi alla macchinaazionata. In queste circostanze la macchina elettrica funziona da “motore”(Fig. 2.42.4.1)In alcune particolari condizioni operative, la macchina elettrica si trova a funzionare da “genera-tore”, cioe riceve energia meccanica dalla macchina azionata che si trasforma in energia elettricadisponibile ai morsetti del motore (le macchine elettriche sono reversibili , cioe possono funzionaresia da “motore”che da “generatore ”). Per mantenere una buona qualita del moto anche in tali




circostanze, il convertitore deve essere realizzato in modo da permettere il flusso dell’energia an-che nel senso dal motore verso l’alimentazione. Tale energia, quando non puo essere restituitaalla sorgente primaria (funzionamento in recupero, Fig. 2.42.4.2) deve essere opportunamentedissipata (Fig. 2.42.4.3)

2.4.1 Funzionamento da motore

2.4.2 Funzionamento da generatore con recupero

2.4.3 Funzionamento da generatore con dissipazione

Figura 2.4: Flusso d’energia in un azionamento elettrico

Come si e detto, il convertitore ha lo scopo di modificare (“convertire”, appunto) le caratter-istiche dell’energia disponibile dalla sorgente nella forma piu adatta all’alimentazione del tipo dimotore.Per un azionamento a velocita variabile anche l’alimentazione dovra essere variabile, in particolare:

- per un motore in c.c. sara necessario alimentare con una tensione continua di ampiezzavariabile.

- per un motore in c.a., sara necessario alimentare con una tensione alternata variabile inampiezza ed in frequenza.

Questa variazione deve avvenire con poche perdite e con segnali di controllo a basso livel-lo di potenza. Questa esigenza e verificata con i convertitori statici , composti da dispositivielettronici a semiconduttore di vario tipo quali:

- diodi, tiristori, GTO

- transistori di potenza (detti anche a “commutazione”) bipolari (BJT) o ad effetto di campo(MOSFET)

collegati a realizzare strutture di conversione secondo diversi tipi di schemi circuitali1.

1Il termine convertitore “statico”fa riferimento al fatto che, nei moderni convertitori, non sono presenti organi inrotazione. Storicamente, infatti sono stati utilizzati dei convertitori “rotanti”, composti da piu macchine elettriche,per ottenere l’alimentazione alternata a frequanza/ampiezza variabile, soluzione, oggi, non piu utilizzata nellapratica



2.8. TIPOLOGIE DI CONVERTITORI 15

2.8 Tipologie di convertitori

Dal punto di vista funzionale si hanno le seguenti tipologie di convertitori:

- Il CONVERTITORE AC/DC non controllato, noto come raddrizzatore , fornisce in uscitauna tensione continua di ampiezza costante a partire dalla rete alternata (di ampiezza efrequenza costante)

- Il CONVERTITORE AC/DC controllato, noto come raddrizzatore controllato, fornisce inuscita una tensione continua di ampiezza variabile (mediante opportuno comando) a partire

dalla rete alternata.

- il CONVERTITORE DC/DC, noto come chopper , fornisce in uscita una tensione continuadi ampiezza varibile a partire da una sorgente in continua a tensione costante.

- Il CONVERTITORE DC/AC, noto come inverter , fornisce in uscita una tesione alternatadi ampiezza e frequenza variabili a partire da un ingresso in continua in ampiezza.

- Il CONVERTITORE AC/AC, noto come convertitore di frequenza , fornisce in uscita una ten-sione alternata di ampiezza e frequenza varibili dalla rete alternata (di ampiezza e frequanzacostanti).

In genere i convertitori per l’alimentazione di motori a veloci a variabile sono realizzati impie-gando uno o piu di tali circuiti, in funzione della sorgente primaria di alimentazione che si ha adisposizione e del tipo di motore che occorre azionare.Il convertitore di frequenza ad esempio, per l’alimentazione in alternata di un motore a velocitavaribile, viene usualmente realizzato ponendo in cascata un raddrizzatore non controllato edun inverter, quando di alimenti dalla rete in alternata.




2.5.1 Convertiotre AC/DC

2.5.2 Convertitore AC/DC controllato

2.5.3 Convertiotre DC/DC

2.5.4 Convertitore DC/AC controllato 2.5.5 Convertitore AC/AC controllato



2.9. PROTEZIONE DEL CONVERTITORE 17

2.9 Protezione del convertitore

Ogni convertitore statico e provvisto di un opportuno sistema di protezione, il quale assicurache non accadano condizioni operative tali da danneggiare in modo irreparabile i semiconduttoridi potenza. Fra le protezioni, quella di massima corrente riveste un ruolo particolarmenterilevante, in quanto deve disinserire rapidamente l’alimentazione quando avvengono gravi disturbi

quali corto-circuiti o surriscaldamenti.Nei moderni convertitori la protezione (come anche i sensori che indicano la condizione di guasto)e parte integrante dello stesso, ma concettualemente puo essere vista in modo separato, comeindicato in Fig. 2.5

Figura 2.5: Dispositivi di protezione

Il dispositivo di protezione riceve in ingresso il segnale proveniente dai sensori di guasto (ad es-empio relativo alla corrente erogata), ed interviene bloccando il convertitore statico o disinserendo,l’alimentazione quando il segnale supera il valore di soglia.

2.10 Dispositivo di controllo

E l’elemento che determina, istante per istante, il valore delle grandezze di comando del converti-tore statico in base alla modalita ed alla strategia di controllo adottate per lo specifico azionamento.Per quanto concerne la modalit´ a di controllo occorre distinguere tra controllo in catena aperta econtrollo in catena chiusa (o in “contro-reazione”)

2.10.1 Controllo in catena

Tale modalita e caratterizzata dal fatto che la grandezza da controllare y non viene misurata, masi puo ragionevolmente ritenere individuata (in modo univoco) dalla grandezza di riferimento y

R.

L’assenza di una misura della grandezza da controllare non assicura che, a regime, questa eguagliil valore di riferimento: lo scostamento dipende dalla presenza di disturbi che intervengono sulsistema controllato, e precisamente:

- la caratteristica di carici (statica e dinamica) della macchina azionata;

- le cadute di tensione nel convertitore;

- le variazioni parametriche nel sistema controllato.




Figura 2.6: Schema del controllo in catena aperta

Con lo schema di controllo in catena aperta questi effetti possono essere, se noti, compensatia livello della legge di controllo, ma se si vuole assicurare scostamento nullo bisogna ricorrere alcontrollo in catena chiusa.

2.10.2 Controllo in catena chiusa

Figura 2.7: Schema del controllo in catena chiusa

In tale modalita la grandezza da controllare e misurata attraverso un opportuno sensore o tras-duttore ed e confrontata nel nodo comparatore con la grandezza di riferimento. La loro differenza(“errore”o “scarto”di regolazione) diventa l’ingresso del blocco di controllo in catena diretta.

Il controllo in catena chiusa e adottato quando con un azionamento in catena aperta non si possonoassicurare le prestazioni desiderate nelle regolazioni, in particolare:

- si vuole che l’errore a regime sia nullo indipendentemente dalle caratteristiche statichedel sistema controllato, dalle escursioni della coppia resistente e dalle variazioni dei parametridel motore;

- si desidera che le prestazioni dinamiche (rapidita del seguire le variazioni del riferimentocon andamento prefissabile) siano ottimali



2.10. DISPOSITIVO DI CONTROLLO 19

Pertanto, gli azionamenti di elevate prestazioni sono del tipo a catena chiusa, indicaticome servo-azionamenti Il dispositivo di controllo in senso lato puo includere diversi blocchi funzionali (anche in funzionedella modalita di controllo adottata):

- Un generatore di riferimento, avente il compito di fissare, in ogni istante, il valore delle

grandezze di comando dell’azionamento, cioe la velocita o la posizione di riferimento (yR)che le parti mobili debbono assicurare via via nel tempo durante il funzionamento ( legge di moto)

- Una legge di controllo, avente il compito di tradurre il valore di riferimento in grandezzadi comando del convertitore statico. Nella determinazione della legge di controllo occorreindividuare opportune tecniche, dette strategie di controllo, allo scopo di ottenere le miglioriprestazioni dell’azionamento di termini di:

- funzionamento dinamico (transitori di velocira o di posizione)

- funzionamento a regime (rendimento)

Nell’ambito delle strategie di controllo rientrano tecniche quali il controllo v/f del motoreasincrono, oppure il controllo vettoriale . Pertanto la strategia di controllo e fortemente legata altipo di motore elettrico, di convertitore ed alla “modalita”(catena aperta o contro-reazione) adot-tata per il controllo.All’ interno della modalita di controllo in contro-reazione vengono usati regolatori di variotipo (standard, di stato) per manipolare l’errore generato al nodo comparatore. Un unita di in-gresso/uscita(I/O), con in ingresso dei segnali provenienti dai trasduttori e dai sensori (necessarial controllo in contro-reazione) ed uscita per il comando del convertitore.Nei moderni azionamenti il dispositivo di controllo e realizzato mediante microprocessori dedicati alcontrollo dei motori elettrici, ossi disponibili sul mercato in forma di microcontrollori o processori di segnale digitale (DSP, Digital Signal Processors).

Figura 2.8: Funzioni del dispositivo di controllo




In definitiva, lo schema a blocchi di un azionamento elettrico con controllo in catena chiusa eillustrato nella figura seguente:

Figura 2.9: Schema a blocchi di un azionamneto elettrico

Le frecce tratteggiate indicano i fenomeni di contro-reazione tra la macchina azionataed il motore elettrico (dovuti alla caratteristica statica e dinamica del carico, o al collegamentotramite albero elastico), la retroazione del motore sul convertitore (cadute di tensione) e di questosulla sorgente primaria (disturbi elettromagnetici sulla rete elettrica). Il flusso di potenza del-la sorgente, attraverso il convertitore al motore ed alla macchina azionata e indicato con freccelarghe. I segnali di controllo (bassa potenza) a tratto continuo, quelli di protezione contratto-punto.



Capitolo 3Motori elettrici

3.1 Il motore elettrico

Il motore converte potenza elettrica in meccanica, il convertitore elettronico converte potenza mec-

canica in potenza elettrica.Si ha feedback quando il carico influisce sul motore e quest’ultimo influisce sul convertitore. Questopuo essere anche interpretato come un flusso di potenza al contrario, quindi parleremo di gener-atore (eolico, fotovoltaico, Diesel) di corrente elettrica. Per i generatori servono necessariamentedei convertitori bidirezionali.Ad esempio nei generatori eolici le pale girano a un ω non nota (dipendente dal vento), ma la reteelettrica ha caratteristiche precise (necessita di un convertitore)Gli elementi che vanno a costituire il motore sono:

- Lo statore : e il componente fermo composto da avvolgimenti in rame. Fig:3.1.1

- Il rotore : collegato ad un albero, e il componente che ruota. Sostenuto dentro allo statoreda dei cuscinetti che gli consentono di girare. Fig:3.1.2

3.1.1 Rotore 3.1.2 Statore

Figura 3.1: Componenti di un motore elettrico

3.2 Principio di causa/effetto in un motore elettrico

Se controlliamo la corrente negli avvolgimenti, controlliamo la coppia

21



22 CAPITOLO 3. MOTORI ELETTRICI

3.2.1 Forza contro ellettro motrice

La forza contro elettromotrice dipende dalla variazione di flusso concatenato:

F CEM = −dψ

dt (3.1)

La variazione del flusso concatenato dipende da:

- Variazione del campo magnetico B

- Variazione della posizione della spira

Figura 3.2: Spira immersa in un campo magnetico

Dimostreremo che la coppia C e proporzionale alla corrente i e che la pulsazione ω e pro-porzionale alla tensione.

3.2.2 Scelta tra campo magnetico e campo elettricoPer i motori elettrici si utilizza il campo magnetico (tranne in casi particolari) perche la sua densita

di pressione N

m2 e di diversi ordini di grandezza maggiore rispetto a quella del campo elettrico:

p = 1

2

B2

µ0= 4 ∗ 104 N

m2 B = 1T (3.2)

p = 1

2εE 2 4

N

m2 E = 105 V

cm (3.3)



3.3. MODELLISTICA DI UN ATTENUATORE ELETTROMECCANICO 23

Figura 3.3: Attuatore a riluttanza

3.3 Modellistica di un attenuatore elettromeccanico

Per introdurre i fondamenti della conversione elettromeccanica dell’energia consideriamo la strut-tura elementare illustrata in Fig. 3.3, nota come attuatore elementare a riluttanza .In essa sono individuabili gli elementi di base dei sistemi di conversione elettromeccanici: unastruttura fissa (statore ) ed una mobile (rotore ) in materiale ferromagnetico; degli avvolgimenti chehanno il compito di generare il flusso magnetico necessario al funzionamento del sistema, ed unospazio in aria (traferro) disposto tra statore e rotore per consentire il movimento.Nel caso particolare dell’attuatore a riluttanza abbiamo un solo avvolgimento disposto sullo sta-

tore ed un rotore sagomato (non cilindrico). Il rotore non essendo cilindrico e anisotropo, cioe hacaratteristiche magnetiche che dipendono dalla direzione lungo la quale esse sono considerate.Una volta alimentato l’avvolgimento si statore, si genera un flusso (detto “principale ”) che oltrepas-sa il traferro, attraversa il rotore e si chiude attraverso lo statore.Per effetto del flusso si genera un coppia (coppia elettromagnetica ) che tende ad allineare il rotorecon la posizione θr = π/2 indicata in figura (posizione allineata ). In questa trattazione ci proponi-amo di collegare, sia in termini qualitativi che analitici, la coppia alle grandezze elettriche che lagenerano (flusso di corrente).

3.3.1 Equazioni elettriche

Dal punto di vista elettrico l’equazione che descrive il sistema e rappresentata dall’equilibrio delletensioni nell’avvolgimento:

v = Ri + e (3.4)

dove:

- v tensione applicata all’avvolgimento (in Volt, [V])

- i corrente nell’avvolgimento (in Ampere, [A])

- R resistenza dell’avvolgimento (in Ohm, [Ω])




- e tensione indotta nell’avvolgimento, che in base alla legge di Faraday-Neumann-Lenz scrittacon la convezione dell’utilizzatore e data dalla (3.5)

e = dΨ

dt (3.5)

dove Ψ e il flusso concatenato con l’avvolgimento 1 (in Weber, [Wb])

E interessante comprendere, qualitativamente, la relazione esistente tra il flusso concatenatoe la corrente. Come noto, tali grandezze sono legate dalla Legge di Hopkinson dei circuitimagnetici:

N i = Φ, → N 2i = Ψ (3.6)

dove N e il numero di spire, Φ il flusso principale ed e la riluttanza del circuito magnetico,definita dalla:

= 1

µ

L

S (3.7)

essendo L ed S rispettivamente la lunghezza e la sezione del tubo di flusso, µ la permeabilita

del mezzo.Nel caso in esame, la riluttanza del circuito magnetico dipende dalla posizione del rotore.In particolare al variare di θr variera la lunghezza del percorso in aria (che presenta una permeabilitapiccola e costante) rispetto a quella del percorso in ferro (che presenta una permeabilita elevata,ma variabile per effetto del fenomeno della saturazione).Di conseguenza si puo affermare che nella posizione non allineata (θr = 0) Fig:?? in cui il traferroe grande, il flusso (a pari corrente) sara piu piccolo ma variera linearmente con la corrente e diconseguenza sara molto grande; mentre nella posizione allineata (θr = π/2) Fig.3.4, dove inveceil traferro e piccolo, il flusso sara piu grande, ma soggetto a saturazione per correnti elevate e diconseguenza la sara molto piccola.

3.4.1 Rotore a θr = 0 3.4.2 Rotore a θr = π/2

Figura 3.4: Possibili posizioni del rotore

1Il flusso concatenato e esprimibile come Ψ = N Φ, dove Φ e il flusso principale, N il numero di spiredell’avvolgimento




Le caratteristiche flusso/corrente sono indicate della seguente Fig.3.5

Figura 3.5: Caratteristica magnetica del sistema elettromeccanico elementare

Evidentemente, le due situazioni illustrate rappresentano le posizioni limite del sistema, nelsenso che a tutte le altre pozioni corrispondono caratteristiche intermedie.L’insieme di queste caratteristiche (cioe il legame flusso/corrente) insieme all’equazione della ten-sione rappresenta il modello elettrico del sistema :

v = Ri + dψ

dt (3.8)

ψ = ψ(i.θr) (3.9)

3.3.2 Bilancio di energia

Consideriamo il sistema elettromeccanico durante il generico intervallo di tempo elementare dt difunzionamento, nel quale si verifichi uno spostamento dθr: la corrente, il flusso e la posizione, chedeterminano il punto di lavoro (P) del sistema nel piano ψ − i, possono variare in modo del tuttogenerale come indicato in Fig.3.6:

Se consideriamo l’equilibrio delle tensioni e lo moltiplichiamo per idt ricaviamo il bilancio di

energie elementari del sistema come segue (Fig. 3.7)

vidt = Ri2dt + idψ (3.10)

il cui significato dei singoli termini e il seguente:

dW e = vidt (3.11)

e l’energia elettrica complessivamente fornita dalla sorgente di alimentazione al sistema nel-l’intervallo di tempo dt,




Figura 3.6: Spostamento del punto di lavoro sulla caratteristica magnetica

Figura 3.7: Bilancio di energia di un attuatore elettromeccanico

dW j = Ri2dt (3.12)

e la parte di energia dissipata per effetto Joule,

dW = idψ = dW f + dW m (3.13)

e la parte di energia elettrica rimanente (energia netta ), pari alla somma della variazione di energia immagazzinata nel campo magnetico (dW f ) e dell’energia meccanica (dW m) resa all’asse.In particolare, essendo il sistema dotato di moto rotatorio, l’energia meccanica e esprimibile

come il lavoro meccanico compiuto dalla coppia C nella direzione dello spostamento dθr:

dW m = Cdθr (3.14)

3.3.3 Energia magnetica immagazzinata. Coenergia

Per calcolare l’energia magnetica immagazzinata, immaginiamo di mantenere fisso il rotore inuna generica posizione (θr = 0). In questo caso l’energia elettrica netta fornita dall’alimen-tazione, non potendosi trasformare in energia meccanica (che richiede un movimento) si traduce




in variazione dell’energia immagazzinata nel campo magnetico, cioe:

dW = idψ = dW f (3.15)

Facendo il bilancio energetico nell’intervallo temporale [0,t] si ricava:

energia elettrica fornita dal generatore: W e = t0 vidt (3.16)

energia elettrica dissipata nella resistenza: W J =

t0

Ri2dt (3.17)

energia immagazzinata del campo magnetico: W = W e − W J = W f =

ψ0

idψ (3.18)

L’energetica magnetica e quindi rappresentabile sul piano ψ − i come l’area compresa tral’asse del flusso e la caratteristica di magnetizzazione di funzionamento Fig3.8

Figura 3.8: Definizione dell’energia e della coenergia magnetica nel piano flusso-corrente

Parallelamente all’energia magnetica e possibile definire la coenergia magnetica :

W c =

io

ψdi (3.19)

graficamente pari all’area compresa tra l’asse della corrente e la curva di magnetizzazione, Fig.3.8Evidentemente, l’energia e la coenergia magnetica sono legate dalla relazione:

W f + W c = iψ (3.20)

3.3.4 Espressione della coppia elettromagnetica

Il sistema elettromeccanico, nel generico intervallo di tempo di funzionamento ∆t, modifica il suopunto di funzionamento con variazione di corrente, flusso e posizione (spostamento 1 → 2 comeindicato in Fig.3.9).Per ricavare l’energia meccanica (e quindi la coppia elettromagnetica) possiamo pero consideraredue modalita di spostamento particolari, a flusso costante ed a corrente costante.




Figura 3.9: Variazione del punto di lavoro sulle caratteristiche flusso-corrente

Il valore della funzione di stato dell’energia magnetica dipende dallo stato iniziale e finale, manon dalla traiettoria seguita.Le variabili del sistema sono i, θr, ψ: le variazioni energetiche causano variazioni sulle variabilistesse. Dalla fig.3.9 si deduce che due sono variabili indipendenti e che ψ puo essere scritta in

funzione di i, θr, risultando quindi ψ(i, θr).Quindi si puo scrivere che:

W f = W f (i, θr, ψ) = W f (θr, ψ) (3.21)

derivando:

dW f = ∂W f (θr, ψ)

∂ψ derivo rispetto a ψ con θrcostante

+ ∂W f (θr, ψ)

∂ψ derivo rispetto a θr con ψ costante

(3.22)

Dalla 3.13 risulta:dW f = idψ − dW m (3.23)

Sostituendo nella 3.23 le equazioni 3.14 e 3.22 abbiamo:

idψ 1

− Cdθr 2

= ∂W f (θr, ψ)dψ

∂ψ 1

+ ∂W f (θr, ψ)dθr

∂θ 2

(3.24)

Da cui possiamo ricavare:

C = −∂W f (θr, ψ)

∂θr

ψ=costante

(3.25)

La 3.25 unisce l’energia magnetica alla coppia e si deduce che questa non dipende dal tempo, ma

dall’angolo θr.Nella figura 3.10 e illustrato lo spostamento (finito) a flusso costante da 1 → 2 ed il calcolo dellacorrispondente variazione di energia magnetica ∆W f (ψ1 rappresenta il valore costante del flusso).

3.3.5 Espressione della coppia nei sistemi lineari (coenergia costante)

Nei sistemi lineari la relazione flusso-corrente e una retta fig. 3.11 E facile verificare che in questacondizione l’energia e la coenergia magnetica coincidono:

W f = W c (3.26)




Figura 3.10: Spostamento a flusso costante

e dalla relazione 3.20 si ricava:

W f = W c =

1

2iψ (3.27)

Tale relazione semplifica di molto le trattazioni e verra usata estesamente nel seguito.

Figura 3.11: Energia e coenergia magnetica in sistemi lineari

Considerando il rotore fermo (θr = 0) non sara possibile produrre energia meccanica quindi:

dW m = 0 (3.28)

Dalla 3.13 ricaviamo:

dW = idψ = dW f (3.29)

e dalla 3.18 si puo scrivere:

dW = dW e − dW J (3.30)

L’energia fornita dall’alimentazione (dW e) in parte si perde per dissipazione sulla resistenza Rdell’avvolgimento e in parte va ad incrementare l’energia magnetica del sistema.




W e =

t0

dW e =

t0

vidt (3.31)

W J =

t0

dW J =

t0

Ri2dt (3.32)

Dalla equazione 3.29 si ricava:

W = W e − W J = W f =

t0

dW =

ψ(t)

0

idψ (3.33)

Riordinando:

W f =

ψ(t)

0

idψ (3.34)

W c = i(t)

0

ψdi (3.35)

E sommando membro a membro:

W c + W f = iψ(t) + ψi(t)

= iψ (3.36)

La 3.36 si puo riscrivere:

W c = iψ − W f (3.37)

In generale:

W c = (i ,ψ,θr) = W c(i, θr) = iψ − W f (ψ, θr) 2 (3.38)

dW c = d(iψ) − dW f (ψ, θr)

= idψ + ψdi − dwf (ψ, θr) (3.39)

Ricordandosi che in generale (θr variabile nel tempo):

dW f = idψ − dW m (3.40)

e che:dW m = Cdθr (3.41)

l’equazione 3.39 puo essere riscritta:

dW c(i, θr) = idψ + ψdi − idψ + dW m

= ψdi + Cdθr(3.42)

2i puo essere scritta in funzione di ψ e θr




Per l’espressione del differenziale totale derivando rispetto a i e θr

dW c(i, θr) = ∂W c(i, θr)di

∂i +

∂ W c(i, θr)dθr∂θr

= ψdi + Cdθr (3.43)

considerando la i costante:

C = ∂dW c(i, θr)

∂θri=costante

(3.44)

Si possono utilizzare M avvolgimenti e procedere al calcolo tramite la sovrapposizione deglieffetti, ma tenendo in considerazione la mutua induttanza.

3.3.6 Calcolo della coppia per l’attuatore elementare a riluttanza

Applichiamo la formula generale per il calcolo della coppia elettromagnetica al caso dell’attuatore a riluttanza di Fig. 3.3 3. Assumiamo l’ipotesi semplificativa che il sistema sia lineare,supponendo ad esempio che la corrente non raggiunga valori tali da mandare in saturazione ilflusso. La caratteristica flusso-corrente

ψ − i sono pertanto lineari come illustrato in Fig.3.12

Figura 3.12: Caratteristiche magnetiche dell’attuatore a riluttanza (supposto lineare)

In tal caso il legame tra flussi e correnti puo esprimersi come:

ψ = L(θr)i (3.45)

dove l’induttanza L(θr) rappresenta la pendenza delle varie caratteristiche funzione della po-sizione angolare.Si puo indicare qualitativamente l’andamento di tale induttanza, riflettendo sul fatto che nella

posizione allineate (asse d) Fig.3.4.2 l’induttanza e maggiore che nella posizione non allineata(asse q) Fig.3.4.1. Indicando con Ld ed Lq tali valori di induttanza, ed assumendo una variazionesinusoidale 4 con l’angolo si ottiene l’andamento in Fig. 3.13, periodico con periodo di π .

L’induttanza puo essere scritta come:

L(θr) = L0 − Lcos(2θr) (3.46)

3Questo semplice attuatore puo schematizzare il funzionamento di un motore sincrono a riluttanzacommutata(“switched reluctance”) oppure di un motore passo-passo a riluttanza

4L’andamento reale dipende dalla geometria delle superfici esposte di statore e rotore




Figura 3.13: Variazione con la posizione dell’induttanza nell’attuatore a riluttanza

con:

L0 = Ld + Lq

2L =

Ld − Lq

2 (3.47)

rispettivamente valor medio ed ampiezza del valore alternato.Per il calcolo della coppia elettromagnetica possiamo utilizzare la relazione 3.44:

C = ∂dW f (i, θr)

∂θr

i=costante

valida per i soli sistemi lineari (W c = W f ).In essa, per ricavare una espressione in forma chiusa, dobbiamo esplicitare l’energia immagazzinatanel campo magnetico W f . Per sistemi lineari questo e possibile con relativa semplicia. Sostituendola 3.45 nella 3.27 si ricava:

W f (i, θr) = 1

2L(θr)i2 (3.48)

che e la nota espressione dell’energia magnetica immagazzinata in sistemi lineari. Mettendo asistema la 3.44 e la 3.48 e risolvendo rispetto a C:

C = ∂W f (i, θr)

θr=

1

2i2 dL(θr)

dθr

= −1

2i22L(− sin(2θr))

= i2L sin (2θr)

= i

2 Ld

−Lq

2 sin(2θr)

(3.49)

Che e l’espressione della coppia nell’attuatore a riluttanza.Si nota che la coppia varia per sin(2θr); questo e dovuto alla presenza di due simmetrie delrotore nello statore, rispettivamente a (0, π) e (π/2, 3/4π). Nel caso avessimo un rotore cilindrico(Ld = Lq) la coppia sarebbe costantemente nulla, l’oggetto non avrebbe le caratteristiche di unattuatore elettromeccanico.

Viene messo anche in evidenza un aspetto molto importante dei sistemi a riluttanza variabile,ovvero che la coppia non dipende dal segno della corrente, ma solo dal valore della sua ampiezza,dalla quale la coppia dipende con legge quadratica.




Dall’analisi della Fig.3.14 si puo determinare che la coppia ha periodo π ed e massima positiva aπ/4, massima negativa a 3/4π mentre e nulla a 0 e a π/2. A 0 Fig.3.15.1 si ha un punto di equilibrioinstabile, mentre a π/2 Fig.3.15.2 si ha stabilita asintotica; questo comporta che il rotore, una voltaraggiunti i π/2, tendera ad opporsi alla rotazione, a meno di una forza aggiuntiva.La coppia risulta massima a π/4 Fig3.15.3, condizione ottimale di funzionamento. Per ottenerequest’ultima si potrebbe far ruotare lo statore in sincrono col rotore, ma non avrebbe una gran

utilita. Un altro sistema che si puo adottare e quello di far ruotare il flusso di statore ottenendocosı un motore elettrico sincrono. Per mantenere la sincronia serve un sensore che mi rilevi laposizione del rotore.

Figura 3.14: Caratteristica coppia-posizione dell’attuatore a riluttanza

3.15.1 Rotore a θr = 0 3.15.2 Rotore a θr = π/2 3.15.3 Rotore a θr = π/4

Figura 3.15: Possibili posizioni del rotore




3.3.7 Modello dinamico dell’attuaore elementare a riluttanza

Il modello dinamico dell’attuatore elettromeccanico a riluttanza e composto dalle equazioni elet-triche, le equazioni meccaniche e l’espressione della coppia elettromagnetica. Le equazioni elettriche sono:

equilibrio tensioni avvolgimento v = Ri +

dψ

dt (3.50)

relazione flusso concatenato-corrente ψ = L(θr)i (3.51)

Da queste relazioni si ottiene il modello differenziale elettrico, che puo essere espresso in funzionedei flussi o delle correnti. Sostituendo il flusso (3.50) nella (3.51), ad esempio, si ottiene il modelloin funzione delle correnti

v = Ri + d

dt[L(θr)i] = Ri + L(θr)

di

dt + i

dL(θr)

dθr

dθrdt

(3.52)

Dove essendo ωr = dθr/dt la velocita di rotazione si ottiene:

v = Ri + L(θr)di

dt I

+ idL(θr)

dθrωr

II

(3.53)

Il termine (I ) rappresenta la forza elettromotrice indotta di tipo trasformatorico, vale a diredovuta alla variazione della sola corrente; il termine (II ) rappresenta la forza elettromotrice indotta di tipo mozionale, dovuta al movimento.Il modello dinamico dell’attuatore e completato dalle equazioni meccaniche :

C −

C r = J dωr

dt (3.54)

ωr = dθr

dt (3.55)

in cui va specificata l’espressione della coppia elettromagnetica:

C = 1

2

dL(θr)

dθri2 (3.56)

Dalla (3.53), (3.55) e (3.56), introdicendo l’espressione analitica (3.46) di L(θr), si ricava un modellodifferenziale del I ordine avente per incognite (variabili di stato) la corrente i, la velocita ωr e laposizione θr, e come termine noto (ingresso) la tensione v . Il flusso (uscita ) puo essere ricavato

dalla variabile di stato corrente tramite la (3.51).Il modello differenziale e non lineare, in quanto sono presenti prodotti, potenze e funzioni nonlineari delle variabili di stato.

3.4 Attuatori con avvolgimenti multipli

Nel tracciare il bilancio della conversione elettromeccanica si e analizzato il caso semplice in cuiil sistema magnetico sia costituito da un solo avvolgimento e dunque intervenga una sola cor-rente. La metodologia, le considerazioni generali e l’epressioni (3.44), rimangono comunque valide



3.4. ATTUATORI CON AVVOLGIMENTI MULTIPLI 35

anche nel caso piu generale di un sistema magnetico formato da piu avvolgimenti. In questocapitolo si considera una particolare topologia, schematizzata in Fig.(3.16), alla quale si possonoricondurre importanti classi di macchine elettriche dinamiche. Tale figura rappresenta un sistemaelettrodinamico a due avvolgimenti mutuamente accoppiati e percorsi da due correnti i1 e i2 tenutirispettivamente a tensione v1 e v2. Ancora si suppora lineare, per semplicita, il circuito magnetico.

Figura 3.16: Attuatore elettromeccanico con avvolgimenti su statore e rotore




3.4.1 Equazioni elettriche

Dal punto di vista elettrico, il sistema puo essere schematizzato considerando le equazioni elettriche dei due avvolgimenti e le relazioni magnetiche tra essi:

tensione di statore: v1 = R1i1 + dψ1

dt (3.57)

tensione di rotore: v2 = R2i2 + dψ2

dt (3.58)

Dove ψ1 e ψ2 sono i totali flussi concatenati degli avvolgimenti di statore e di rotore rispetti-vamente, che espressi (in ipotesi di linearita) in funzione dei coefficienti di induzione magnetica siscrivono:

ψ1 = ψ11 + ψ12 = L1(θr)i1 + M 12(θr)i2 (3.59)

ψ2 = ψ21 + ψ22 = M 21(θr) + L2(θr)i2 (3.60)

doveψ11 = L1(θr)i2 e ψ22 = L2(θr)i2 (3.61)

sono i flussi propri 5 di statore e rotore rispettivamente tenuti in conto dai coefficienti di induttanza propria (o auto-induttanza ) L1 e L2;

ψ12 = M 12(θr)i2 e ψ21 = M 21(θr)i1 (3.62)

sono i flussi mutui 6 di statore e rotore rispettivamente tenuti in conto dai coefficienti di induttanza mutua (o mutue-induttanza ) M 12 e M 21

Le tensioni (3.57)-(3.58) ed i flussi concatenati (3.59)-(3.60) possono scriversi in forma compattaintroducendo la notazione matriciale:

v1

v2

=

R1 00 R2

i1

i2

+

d

dt

ψ1

ψ2

→ [v] = [R][i] +

d[ψ]

dt (3.63)

ψ1

ψ2

=

L1(θr) M 12(θr)M 21(θr) L2(θr)

i1

i2

→ [ψ] = [L(θr)][i] (3.64)

dove:

[v] =

v1

v2

[i] =

i1

i2

[ψ] =

ψ1

ψ2

(3.65)

sono i vettori delle tensioni, correnti e flussi concatenati

[R] =

R1 00 R2

L(θr) =

L1(θr) M 12(θr)M 12(θr) L2(θr)

(3.66)

sono le matrici delle resistenze e delle induttante degli avvolgimenti 7.

5Il flusso proprio e la quota-parte del flusso concatenato con un avvolgimento dovuto alla corrente che scorrenell’avvolgimento stesso

6Il flusso mutuo e la quota-parte del flusso concatenato con un avvolgimento dovuto alla corrente che scorre inun altro avvolgimento. Poiche il tubo di flusso mutuo tra due avvolgimenti e lo stesso, si ha M [12] = M 21 = M

7Costituiscono i parametri del sistema, la cui conoscenza e necessaria per descrivere il funzionamento




3.4.2 Energia magnetica

Per il calcolo della coppia elettromagnetica sviluppata da un attuatore con avvolgimenti multiplisi possono utilizzare le espressioni generali ricavate al paragrafo (3.3.6). In particolare occorre cal-colare l’energia magnetica complessivamente immagazzinata nel sistema , dovuta cioe al contributodi tutti gli avvolgimenti presenti.Estendendo la trattazione al caso generale di M avvolgimenti l’energia magnetica complessiva puoscriversi come:

W f =M k=1

W fk (3.67)

dove W fk e l’energia magnetica immagazzinatanel k-esimo avvolgimento, per la quale vale la re-lazione generale:

W fk + W ck = ikψk (3.68)

Sommando la (3.68) per tutti gli avvolgimenti ed utilizzando la notazione matriciale si ottiene:

M k=1

(W fk + W ck) =M k=1

ikψk = i1ψ1 + i2ψ2 + ... + inψn = [i]T [ψ] (3.69)

dove:

[i]T = [i1 i2 . . . in] [ψ] =

ψ1

ψ2...

ψN

(3.70)

sono i vettori delle correnti trasposto e del flusso concatenato rispettivamente.Considerando infine che in sistemi lineari si ha

W fk = W ck (3.71)

[ψ] = [L(θr)][i] (3.72)

dalla (3.69) si ricava:

M k=1

(W fk + W ck) =M k=1

2W fk = 2W f = [i]T [L(θr)][i] (3.73)

e quindi l’espressione dell’energia magnetica :

W f = 1

2[i]T [L(θr)][i] (3.74)

3.4.3 Espressione della coppia elettromagnetica

Possiamo calcolare la coppia elettromagnetica utilizzando l’espressione generale ricavata al (3.3.4)


∂θr

i=costante

(3.75)




valida in ipotesi di linearita.Sostituendo la (3.74) nella (3.75) si ricava la coppia elettromagnetica :


∂θr

i=costante

= 1

2[i]T

d[L(θr)]

dθr[i] (3.76)

Le espressioni (3.74) ed (3.75) sono la generalizzazione delle (3.48) ed (3.49), gi a ricavate per unattuatore con un solo avvolgimento, al caso generale di sistema elettromeccanico con M avvolgi-menti.Nel caso particolare dell’attuatore in Fig. 3.16 (un avvolgimento di statore ed uno di rotore) lacoppia si esplicita come8:

C = 1

2

i1 12

d

dθr

L1(θr) M (θr)M (θr) L2(θr)

i1

i2

(3.77)

C = 1

2i2

1

dL1(θr)

dθr I

+ i1i2dM (θr)

dθr II

+ 1

2i2

2

dL2(θr)

dθr II I

(3.78)

In base al tipo di struttura (geometria, particolarita costruttive) la matrice delle induttanzeL(θr) sara differente e si avranno diverse componenti di coppia. In generale avremo:

- coppie di riluttanza (termini I e I II ), proporzionali al quadrato della corrente in un soloavvolgimento. 9

- coppie di iterazione (termine I I ), proporzionali al prodotto tra una corrente di statore eduna di rotore.

Nel nostro caso consideriamo il rotore (sferico) e lo statore (vede sempre la stessa auto-

induttanza) isotropi.Per il rotore isotropo risulta:

1

2i2

1

dL1(θr)

dθr= 0 (3.79)

Per lo statore isotropo abbiamo:1

2i2

2

dL2(θr)

dθr= 0 (3.80)

e quindi la coppia ottenuta:

C = i1i2dM (θr)

dθr(3.81)

Da una prima analisi risulta evidente che il verso della coppia dipende dal segno delle correntii1 e i2 e varia rispetto all’angolo θr. Analizziamo tre possibili configurazioni Fig.(3.17)Risulta che la mutua induttanza M ha valore massimo positivo per (θr = 0) Fig(3.17.1), massimonegativo per (θr = π) Fig(3.17.2)e nullo per (θr = π) Fig(3.17.3).

8Consideriamo M 12 = M 21 = M 9Presenti quando i circuiti magnetici propri si modificano al variare della posizione reciproca tra statore e rotore,

cioe in strutture magneticamente anisotrope




Scrivendo M in funzione di un coseno:

M (θr) = M 0 cos(θr) (3.82)

e andandola a sostituire nella (3.81):

C = i1i2dM

0cos(θ

r)

dθr= −M 0i1i2 sin(θr)

(3.83)

3.17.1 θr = 0 3.17.2 θr = π

2 3.17.3 θr = π

Figura 3.17: Possibili posizionamenti dele rotore rispetto allo statore

Figura 3.18: Andamento della coppia rispetto a θr




Figura 3.19: Rotore in cui sono visibili le lamelle di alimentazione

Con due correnti costanti e positive e una posizione dell’elemento mobile tra π e 3

4π si ha

quindi una coppia positiva, cioe tale da tendere il circuito 2 nel senso delle posizioni crescenti. Se

la coppia e sufficiente a vincere la resistenza del movimento, il circuito 2 raggiungera la posizionestabile θr = 2π ove la coppia e nulla e la mutua induttanza massima (l’induttanza varia con unafunzione coseno).Il principio appena illustrato e impiegato per esempio, nelle macchine sincrone . Anche in questocaso, come per le macchine a riluttanza, l’avvolgimento 1, percorso da corrente continua, e sostituitocon un avvolgimento trifase capace di produrre un campo magnetico rotante. Se il circuito 2,alimentato attraverso contatti striscianti, assume una velocita angolare uguale a quella del campomagnetico ruotante, l’angolo θr rimane costante, come la coppia.In presenza di velocita si potra anche parlare di potenza meccanica , che sara fornita dal circuito 1alla struttura mobile per mantenerla in rotazione. Se tuttavia un agente esterno forza la rotazionedella parte mobile cosı da far assumere alla posizione θ un valore positivo, la coppia inverte il suosegno (diventa cioe frenate) e con essa anche la potenza. In tal caso si ha quindi una conversioneelettromeccanica da lavoro meccanico a lavoro elettrico.Anche le macchine a corrente continua sfruttano essenzialmente questo principio per eseguire laconversione elettromeccanica. In virtu di un loro peculiare componente, che e il commutatore alamelle Fig.(3.19), la conversione elettromeccanica nelle macchine rotanti in corrente continua siesplicita pero senza che alcun campo magnetico sia in rotazione, bensı predisponendo un certonumero di avvolgimenti equivalenti di tipo 2 sfasati tra loro ed alimentati in successione, in modoche nonostante il moto della parte mobile venga alimentato sempre l’avvolgimento che ha la giustaposizione spaziale rispetto alla parte fissa.




3.4.4 Sistemi ad induzione

Un sistema a induzione per la conversione elettromeccanica e illustrato in Fig.3.20. Esso differisceda quello di Fig. 3.18 per il fatto che l’avvolgimento 2 sulla parte mobile non e alimentato, bensıe posto in corto circuito; si mantiene ancora, per semplicita, l’ipotesi di linearita. Anche questatopologia e di grande importanza nello studio degli azionamenti elettrici, in quanto essa puo ricon-durre alla classe delle macchine elettriche ad induzione o (asincrone ), di enorme rilevanza teoricae pratica.

Figura 3.20: Semplice sistema ad induzione ad ovvolgimenti multipli

Si immagini che, mentre la corrente i1 e mantenuta costante, l’elemento mobile sia in rotazionealla velocita fissa ωr sicche ωr = θr/t. Il circuito 2 e sottoposto ad un flusso ψ variabile nel tempo.Quindi il circuito 2 avra una tensione indotta che fara circolare i2 che si opporra al flusso e al moto(legge di Lenz)

v2 = R2i2 + dψ2

dt = 0 circuito chiuso (3.84)

ψ2 = M i1 + L2i2 (3.85)

i1 = costante (3.86)

M (θr) = M 0 cos(θr) (3.87)

Derivando la 3.85 rispetto al tempo risulta:

dψ2

dt =

d

dt(M cos(θr)i1) + L2

di2

dt = −M 0 sin(θr)

dθrdt

+ L2di2

dt (3.88)




Andando a sostituire la 3.88 nella 3.84 risulta:

v2 = R2i2 − M 0 sin(θr)dθrdt

i1 + L2di2

dt = R2i2 − M 0 sin(θr)ωri1 + L2

di2

dt = 0 (3.89)

La 3.89 e un equazione differenziale in i2 del primo ordine. Ora indichiamo con Z il modulo econ ϕ la fase dell’impedenza del circuito del rotore. La risposta della corrente i2 che si instaura in

regime sinusoidale e:

i2(t) = M 0i1ωr

Z sin(ωrt − ϕ) (3.90)

Se i1 e costante ed il rotore ruota a ωr costante, viene indotta una corrente i2 che ha andamentosinusoidale, come la f.e.m ai capi del circuito. Fig. 3.21

Figura 3.21: Circuito equivalente del rotore

Sostituiamo la 3.90 nella 3.81:

C = −M 0i1i2(t)sin(θr)

= −M 0i1 M 0i1ωr

Z sin(ωr − ϕ) sin(ωrt)

= M 20 i2

1ωr

2Z cos(2ωrt − ϕ) − M 20 i2

1ωr

2Z cos(ϕ)

(3.91)

Dalla 3.91 si possono trarre alcune considerazioni:

La coppia contiene un termine costante nel tempo (se tale e la corrente i1), al quale si sovrap-pone un secondo termine alternativo a pulsazione 2ω. Quest’ultimo puo essere eliminatodisponendo sulla parte rotante piu avvolgimenti indotti, spazialmente sfasati, uno rispettol’altro, in modo uniforme. Per esempio un secondo avvolgimento identico a quello di figura,ma collocato ortogonalmente a quest’ultimo sarebbe sottoposto ad una coppia la cui compo-nente alternativa e in opposizione di fase rispetto a quella data dalla 3.91. La coppia totalesulla parte mobile risulterebbe pertanto costante.

La coppia dipende dalla velocita. A velocita nulla la coppia e nulla non essendovi correntiindotte nel circuito 2. Per velocita positive la coppia e negativa e viceversa, ossia tendead opporsi al moto di rotazione della parte mobile rispetto ai poli induttori di quella fissa.Il valore assoluto della coppia inizialmente cresce con la velocita. Ma con questa aumentaanche la frequenza della fem indotta e quindi il modulo e l’argomento dell’impedenza delcircuito 2. Oltre un certo valore di velocita si potra manifestare un decremento della coppia.




Il principio illustrato e impiegato, per esempio, nelle macchine asincrone, per questo detta an-che macchine a induzione. Per ottenere la macchina rotante, si sostituisce la struttura dissa diFig.(3.20) con un campo magnetico rotante.Se all’interno delle bobine mettiamo un altro avvolgimento in corto circuito sul rotore, a causadel flusso magnetico che si concatena con gli avvolgimenti di rotore nasce una forza elettromotriceindotta per la legge di Farady, la quale si oppone alla causa che la ha generata.

Poiche gli avvolgimenti da fare sul rotore devono essere in corto circuito e devono, quindi, sop-portare una elevata corrente, devono avere una elevata sezione, per cui si preferisce mettere dellebarre di alluminio attorno ad un nucleo di materiale ferromagnetico, costituito da lamierini alsilicio. In tal modo le barre di alluminio, chiuse in corto circuito si comportano come una insiemedi poche spire, aventi ciascuna una elevata sezione, in modo da sopportare le elevate correnti dicorto circuito. Fig(3.22)

Figura 3.22: Rotore a gabbia di scoiattolo

Queste correnti sono dovute alla tensione che si genera nelle barre a causa della legge di Farady,in quanto il campo magnetico generato dallo statore e variabile. Queste correnti danno luogo adun altro campo magnetico rotante generato sul rotore; tale campo magnetico ha verso oppostoa quello generato dallo statore. Di conseguenza il rotore, poiche si oppone al campo magneticodi statore e costretto a mettersi in movimento e quindi ruotare con la stessa velocita del campomagnetico rotante di statore.Il rotore non ruota a una velocita costante, cioe la velocita di sincronismo, ma rallenta al variaredel carico; per cui il motore non e detto sincrono ma asincrono, cioe non rispetta la velocita disincronismo imposta dallo statore.Definiamo ωs come velocita di sincronismo del campo magnetico rotante di statore ed ωr comevelocita di rotore. Il rotore ruota una velocita minore di ωs.




Consideriamo la differenza:ωs − ωr (3.92)

cioe la differenza tra la velocita del campo magnetico rotante di statore e la velocita del rotore;confrontiamola ora con la velocita di sincronismo, cioe la velocita che avrebbe dovuto avere il rotorese fosse stato in sincronismo con lo statore; poiche il confronto lo vogliamo fare in percentuale orelativo, dobbiamo mettere al denominatore di una frazione la velocita di sincronismo, che sarebbedovuta essere quella vera del rotore; otteniamo allora, il seguente rapporto:

s = ωs − ωr

ωs(3.93)

dove il rapporto s e detto scorrimento, a significare che il rotore scorre, cioe perde giri rispettoallo statore; lo scorrimento s e un numero adimensionale e varia da 0 a 1.Se s fosse uguale a 0 vorrebbe dire che il rotore sarebbe in perfetto sincronismo, cioe avrebbe lastessa velocita del campo magnetico rotante ωs.Infatti se fosse ωs = ωr allora:

ωs − ωr = 0 (3.94)

Se, invece, lo scorrimento s e uguale a 1 vuol dire che il rotore e fermo. Infatti, rotore fermo vuoldire:

ωr = 0 (3.95)

Lo scorrimento sarebbe:s =

ωs

ωs(3.96)

Quindi lo scorrimento e uguale ad 1 quando il rotore e fermo, cioe alla partenza.

Lo scorrimento non sara mai uguale a 0; infatti, se fosse uguale a 0, il rotore raggiungerebbesı la velocita di sincronismo, ma il suo campo magnetico sarebbe costante e non variabile, per

cui verrebbe meno la forza elettromotrice indotta nel rotore, in base alla legge di Farady e quindiverrebbe meno la corrente di rotore e il motore si fermerebbe.



Capitolo 4Dinamica del sistema motore-carico

4.1 Equazione di equilibrio meccanico

Nel caso di movimento rotatorio, che rappresenta il caso piu comune nel campo degli azionamenti

elettrici, il motore ed il relativo carico azionato possono essere rappresentati come un sistemadi masse rotanti secondo la schematizzata indicata in Fig. 4.2

Figura 4.1: Sistema meccanico

Supponendo che la trasmissione del moto venga effettuata mediante un albero ed un giunto ditipo rigido, in modo che la velocita dell’asse lato-motore e lato-carico sia la stessa, l’equazione diequilibrio dinamico del sistema (Legge di newton ) si scrive:;

C M = C r = d(Jω)

dt = J

dω

dt + ω

dJ

dt (4.1)

ove:

- C M coppia motrice , e la coppia elettromagnetica sviluppata dal motore elettrico espressa in[Nm]

- C R coppia resistente , rappresenta l’opposizione offerta dal carico espressa in [Nm]

- J e il movimento di inerzia delle masse rotanti rispetto all’asse di rotazione, espressa in[Kgm2]

45



46 CAPITOLO 4. DINAMICA DEL SISTEMA MOTORE-CARICO

- ω e la velocita di rotazione , espressa in [rad/s]1 (radianti meccanici, da non confonderecon i radiati elettrici che incontreremo in seguito).

Supposta trascurabile l’inerzia del giunto, ed indicata con J M l’inerzia del motore e J C l’inerzia del carico, si avra:

J = J M + J C (4.3)

Nella relazione (4.1) il termine ωdJ/dt compare nelle tipologie di carico ad inerzia variabile,come le centrifughe, le bobinatrici (industria tessile e della carta) oppure nei robot industriali dovela geometria del carico varia col tempo.Nella maggior parte delle applicazioni, peraltro, l’inerzia e (o si puo assumere) costante, da cuil’equazione meccanica si riduce alla:

C M − C R = J dω

dt (4.4)

Il termine Jdω/dt rappresenta, per omogeneita dimensionale, una coppia, detta coppia di inerzia (o inerziale ) la quale e presente solo nel funzionamento transitorio, ovvero quando la velocita

dell’azionamento varia, cioe si e in fase di accelerazione (se la velocita aumenta) o di deceler-azione (se diminuisce).Il segno della coppia inerzia e determinato in modo univoco dalla differenza tra coppia motrice eresistente. In particolare, per carichi cosidetti “passivi ”(introdotti nel seguito) si ha:

C M > C R ⇒ dω

dt > 0 accelerazione (4.5)

C M < C R ⇒ dω

dt < 0 decelerazione (4.6)

C M = C R ⇒ dω

dt = 0 ω = accelerazione, regime stazionario (4.7)

Nella formulazione dell’equazione meccanica qui presentata, nel termine “coppia resistente”sonoconglobati diversi effetti, alcuni dei quali non direttamente riconducibili al carico. In particolare,anche in assenza di carico, saranno presenti effetti resistivi dovuti ad inevitabili fenomeni dissipa-tivi quali l’attrito nei cuscinetti che sostengono l’asse di rotazione (attrito statico, Eq(4.8)) o laventilazione del fluido circostante (attrito viscoso, Eq(4.9)):

C R1 = K ssgn(ω) (4.8)

C R2 = K V ω (4.9)

Questi effetti vengono conglobati nella coppia resistente dovuta al carico, espressa in termini

di funzione C R = C R(ω), detta caratteristica di carico. Pertanto, in conclusione, si puo dire che ilcarico interviene nel funzionamento di un azionamento attraverso due soli paramentri:

- l’inerzia delle masse rotanti J C ;

- la coppia di carico C R, in termini di caratteristica C R(ω).

1La velocita di rotazione e espressa sovente in [giri/min] (rpm in inglese), pari a 2π/60 [rad/s], cioe:

ω

rad

s

=

2π

60n

giri

min

→ C M − C R = J

2π

60

dn

dt (4.2)



4.2. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA MECCANICO 47

Figura 4.2: Caratteristiche dell’attrito statico e viscoso

4.2 Funzione di trasferimento del sistema meccanico

Al fine di una analisi qualitativa delle caratteristiche del sistema meccanico, l’equazione di equi-librio meccanico (4.4) puo essere espressa in termini di funzione di trasferimento applicando latrasformata di Laplace :

C M (t)

L

−→ C M (s) (4.10)C R(t)

L −→ C R(s) (4.11)

J dω(t)

dtL −→ J [sω(s) − ω(t = 0)] (4.12)

(4.13)

da cui:

C M (s) − C R(s) = J sω(s) (4.14)

avendo assunto per semplicita ω(t = 0) = 0La funzione di trasferimento e, per definizione, il rapporto tra la grandezza di uscita e quellad’ingresso del sistema. Nel caso del sistema meccanico l’ingresso e rappresentato dalla coppiad’inerzia, l’uscita dalla velocita di rotazione, la funzione di trasferimento del sistema meccanico edata da:

Gm(s) = ω(s)

C M (s) − C R(s) =

1

J S (4.15)

cui corrisponde lo schema a blocchi in Fig. 4.3.




Figura 4.3: Schema a blocchi del sistema meccanico

Ne risulta che il sistema meccanico ha un comportamento integrale2.Possiamo allora disegnare, in modo qualitativo, le risposte canoniche del sistema meccanico, cioegli andamenti nel tempo dell’uscita ω(t) in funzione di andamenti costanti (gradino) o lineari

(rampa ) dell’ingresso C M (t) − C R(t).Tecnicamente, interessa la risposta al gradino, discussa al paragrafo 4.3

4.3 Risposta al gradino di coppia

La risposta al gradino di un sistema a comportamento puramente integrale e una rampa , Fig. 4.4.Nel caso particolare la velocita (uscita) cresce linearmente finche la coppia di inerzia C J = C M −C R(ingresso) si mantiene costante e positiva3.

Figura 4.4: Risposta al gradino di coppia

2Infatti, dalle proprieta della trasformata di Laplace, e noto che:

t

0

F (u)du L −→ F (s)

s (4.16)

cioe moltiplicare per 1/s una variabile F (s) nel dominio di Laplace equivale a farne l’integrale nel dominio deltempo.

3Si puo pensare al funzionamento a vuoto, in cui C R = 0 e quindi l’ingresso del nostro sistema e la sola coppiamotrice C J = C M



4.3. RISPOSTA AL GRADINO DI COPPIA 49

Si individuano pertanto le zone di funzionamento:

- in transitorio (velocita variabile nel tempo);

- a regime (velocita costante)

La pendenza della rampa di velocita dipende dall’ampiezza della coppia di inerzia (pro-porzionalmente) e dall’inerzia (inversamente); infatti durante il transitorio si ha:

ω(t) = C M − C R

J t 0 < t < ∆t (4.17)

Si definisce tempo di salita ∆t, il tempo necessario per raggiungere il valore di riferimento Ω∗ (il

valore della velocita a regime). Dall’espressione della velocita nel caso di transitorio a rampa siricava:

ω(∆t) = Ω∗ = a∆t (4.18)

dove:

a =

C M − C R

J

(4.19)

rappresenta l’accelerazione , da cui:

∆t = Ω∗

a [s] (4.20)

Maggiore l’accelerazione (cioe la pendenza della rampa) minore il tempo di salita. Poichel’accelerazione dipende da C J (direttamente) e da J (inversamente), si possono riportare i seguentidue casi qualitativi:

- ad inerzia costante, la velocita di riferimento viene raggiunta in tempo minore se la coppia

d’inerzia C J e piu grande (motori con rotore largo e stretto, dove la potenza erogata eproporzionale al volume del motore Fig.2.3.1);

- a coppia d’inerzia costante, la velocita di riferimento viene raggiunta in tempo minore sel’inerzia J e piu piccola. (motori con rotore stretto e lungo per ridurre i momenti d’inerziaFig. 2.3.2)




Figura 4.5: Risposta al gradino di coppia: influenza della coppia massima

Figura 4.6: Risposta al gradino di coppia: influenza dell’inerzia



4.4. RELAZIONE VELOCIT A-POSIZIONE 51

4.4 Relazione velocita-posizione

La dinamica del sistema meccanico e descritta in modo completo considerando anche la relazioneesistente tra la velocita e la posizione, importante sia per gli azionamenti per controllo di posizione (in cui la posizione e la variabile controllata) sia quando la conoscenza della posizione permette dimigliorare le prestazioni del controllo (tipico il caso del moderno controllo vettoriale degli aziona-

menti in corrente alternata).

Figura 4.7: Relazione velocita-posizione

dθ(t)

dt = ω(t) (4.21)

dove:

- ω(t) e la velocita di rotazione [rad/s]

- θ(t) e la posizione angolare in [rad] (meccanici)

Anche in tal caso, benche banale, si possono valutare le proprieta in termini di sistema applicando(per omogeneita di trattazione) la trasformazione di Laplace, e determinare la corrispondentefunzione di trasferimento ed il diagramma a blocchi

θ(t) L −→ θ(s) ω(t)

L −→ ω(s) dθ(t)

dtL −→ sθ(s) − θ(t = 0) (4.22)

da cui: sθ(s) = ω(s) (4.23)

avendo assunto per semplicita θ(t = 0) = 0. La funzione di trasferimento tra velocit a e posizionee di tipo puramente integrale:

Gθ(s) = θ(s)

ω(s) (4.24)

Il diagramma a blocchi e un semplice integratore, Fig.4.8.Anche in questo caso si possono valutare le risposte “canoniche ”del sistema, per un ingresso agradino e a rampa.




Figura 4.8: Schema a blocchi della relazione velocita-posizione

4.4.1 Risposta al gradino di velocitaLa risposta al gradino di velocita, illustrata in Fig.4.9, e una rampa di posizione. Se all’istantet = t∗ la velocita e portata a zero la posizione resta costante (albero fermo) al valore θ∗. Inpratica, il gradino di velocita (teoricamente ottenibile con un impulso di coppia d’inerzia) none fisicamente realizzabile a causa dell’inerzia del sistema meccanico.

4.4.2 Risposta alla rampa di velocita

La risposta alla rampa di velocita, illustrata in Fig.4.10, e una parabola di posizione.In particolare, una classica soluzione utilizzata per il controllo di posizione in catena chiusa e

il movimento con profilo di velocita a triangolo, nel quale il “triangolo”di velocita vienerealizzato con due tratti di rampa prima in salita e quindi in discesa, cui corrispondono andamentidi posizione a parabola con concavita opposta.

Ricordando che la velocita e la derivata della posizione (cioe corrisponde alla tangente dellafunzione posizione), si comprende come in tal caso lo spostamento avviene con la dovuta gradualitasia in fase di partenza che di arrivo (posizione rispettivamente min e max e la velocita nulla).

4.5 Diagramma a blocchi del sistema meccanico completo

Il sistema meccanico, nella sua epressione piu generale, e ottenuto considerando insieme l’equazione

dell’equilibrio dinamico e la relazione tra la velocita e la posizione , dalle quali si ricava il seguentesistema di equazioni differenziali del I ordine :

dω

dt =

1

J (C M − C R) (J costante)

dθ

dt = ω

(4.25)

In Fig.3.51 e indicato lo schema a blocchi associato al sistema (4.25), ottenuto collegando incascata gli schemi a blocchi relativi delle singole relazioni.



4.5. DIAGRAMMA A BLOCCHI DEL SISTEMA MECCANICO COMPLETO 53

Figura 4.9: Risposta al gradino di velocita

Figura 4.10: Risposta alla rampa di velocita




Figura 4.11: Schema a blocchi del sistema meccanico completo

Si puo osservare come, nel sistema azionamento, il moto sia semplicemente il risultato dell’i-posizione di una coppia, cioe le traiettorie di moto siano imposte mediante opportuni profili dicoppia. Talora si parla di datore di coppia , intendendo il sistema (controllato) in grado di gener-are, con la precisione voluta, determinati profili di coppia e quindi un movimento di determinatecaratteristiche, specie nei servo-azionamenti.

4.6 Traiettorie tipiche del controllo di moto

Supponendo di avere a disposizione un datore di coppia ideale , vale a dire un azionamento in gradodi generare un profilo di coppia qualsiasi (come si desidera), introduciamo le traiettorie tipiche nelcontrollo di moto.

4.6.1 Traiettorie tipiche del controllo di velocita

Supponiamo di avere, per semplicita, coppia resistente nulla (C R = 0), cioe un carico semplicementeinerziale (caratterizzato dalla sola inerzia).Una tipica traiettoria del controllo di velocita e quella con andamento di velocita a rampa, ilquale si ottiene imponendo un profilo di coppia a gradino. Nelle figure seguenti sono indicatigli andamenti nel caso di due tipiche sequanze di lavoto:

- avviamento ed arresto (Fig.4.12)

- avviamento, inversione di velocita ed arresto (Fig.4.13)E interessante puntualizzare che, per una determinata inerzia totale J del sistema meccanico lapendenza della rampa (cioe l’accelerazione o la decelerazione) dipende unicamente dallacoppia che il datore e in grado di fornire. Il limite, cioe la coppia massima erogabile, dipende,negli attuatori elettrici, dalla massima corrente che il motore elettrico puo erogare.Al proposito, si distingue tra corrente nominale (che e la massima corrente erogabile in continuita)e corrente di picco (che e la massima corrente erogabile per brevi periodi).

Nei transitori, si deve considerare la corrente di picco. In base al suo valore si dovra fissare unlimite di corrente nel dispositivo di controllo (questo sempre nei servo-azionamenti) cioe realizzare



4.6. TRAIETTORIE TIPICHE DEL CONTROLLO DI MOTO 55

Figura 4.12: Sequenza avviamento ed arresto

Figura 4.13: Sequenza avviamento, inversione di velocita ed arresto




un controllo in corrente. Questo aspetto sara chiaro dopo aver studiato il motore in correntecontinua.

4.6.2 Traiettorie tipiche del controllo di posizione

In questo caso, con riferimento al profilo di velocit a, si distinguono due tipiche traiettorie:

- spostamento con profilo di velocita triangolare

- spostamento con profilo di velocita a trapezio

Sempre supponendo carico inerziale (C R = 0), i due casi sono illustrati nei seguenti paragrafi.

Spostamento con profilo di velocita triangolare

Il calcolo della traiettoria nel caso dello spostamento con profilo di velocita triangolare, per la suaimportanza pratica e per la sua semplicita, viene descritto in dettaglio.

Per generalita, immaginiamo di avere le rampe in salita ed in discesa di pendenza diverse . Perquanto riguarda l’andamento della velocita si ha:

ω(t) = Ω p

∆tt 0 < t ∆t (4.26)

ω(τ ) = Ω p − Ω p

∆tτ 0 < τ ∆t (4.27)

essendo:

- Ω p il valore di picco raggiunto dalla velocita (verticale del triangolo)

- τ un’ascissa temporale (introdotta per comodita) con origine in t = ∆t

Per quanto riguarda l’andamento della posizione, si ha:

θ(t) =

t0

ω(t)dt = Ω p

∆tt2

2 + θ(0) 0 < t ∆t (4.28)

θ(τ ) =

τ 0

ω(τ )dτ + θ(0) = Ω pτ − Ω p

∆tτ 2

2 +

1

2Ω p∆t 0 < τ ∆τ (4.29)

dove la posizione iniziale θ(0) e stata assunta pari a zero e:

θ(0) = θ(∆t) = 1

2

Ω p∆t (4.30)

rappresenta lo spostamento effettuato nel tratto di salita.Lo spostamento complessivo θ∗ puo essere ricavato come segue:

θ∗ = θ (∆t) = Ω p∆t − Ω p

∆t∆t2

2 +

1

2Ω p∆t =

1

2Ω p∆t +

1

2Ω p∆t (4.31)

Introducendo le accelerazioni (in [rad/s2]) delle rampe in salita ed in discesa:

aS = Ω p

∆t; aD =

Ω p

∆t → Ω p = aS ∆t = aD∆t (4.32)




Figura 4.14: Spostamento con profilo di velocita triangolare

si ottiene:

θ∗ = 1

2aS ∆t

2+

1

2aD∆t

2(4.33)

Le relazioni (4.33) e (4.32), poste a sistema, sono in grado di risolvere questo tipo di problemi: notilo spostamento da effettuare θ∗ e le accelerazioni (pendenze) delle rampe in salita ed in discesaaS ed aD calcola il tempo di salita e di discesa e quindi il tempo totale ∆t = ∆t + ∆t dello

spostamento.Questo e il problema di verifica , cioe noto il sistema (le accelerazioni possibili, il che vuol dire cop-pia motrice disponibile, coppia resistente ed inerzia) si debbono calcolare le prestazioni(in questo caso relative ad uno spostamento).Il problema di progetto richiede l’utilizzo delle formule in modo inverso: in tal caso bisogna definirele accelerazioni (cioe la coppia motrice se il carico l’inerzia del sistema sono dati) tali da garantireun determinato movimento (ampiezza e tempi dello spostamento).

Spostamento con profilo di velocita trapezio

Questo tipo di traiettoria deve essere applicata quando la velocit a di picco Ω p, che si otterrebbein uno spostamento con profilo di velocita triangolare, e superiore al limite massimo impostoΩMAX , che puo dipendere dall’applicazione o dall’azionamento4. Nel tratto a velocita costantel’andamento di posizione e una retta.La limitazione di velocita aumenta il tempo di posizionamento.

4La velocita massima dell’azionamento puo dipendere dal carico, dal motore elettrico o dagli organi di trasmis-sione. Nel caso del motore elettrico occorre distinguerla dalla velocit a nominale, che dipende dalla tensione nominale,e che puo essere superata adottando dei controlli particolari del motore (deflussaggio). La velocit a massima mecca-nica e di norma maggiore di questa, ed e fissata in base alle forze centrifughe del sistema ed alla caratteristica deicuscinetti.




Figura 4.15: Spostamento con profilo di velocita trapezio

4.6.3 Azionamenti reversibili

Un azionamento si dice reversibile quando consente di funzionare in tutti e quattro i quadrantidel piano coppia-velocita 5. Ad esempio l’azionamento per il controllo di velocita con inversionedi moto appartiene a questa categoria. Analizziamone il funzionamento con riferimento alla Fig.

4.16, supponendo per semplicita C R = 0. Si distinguono le seguenti zone e punti di funzionamento:Se si considerano la potenza meccanica all’albero di trasmissione, data dal prodotto della coppiaper la velocita:

P m = Cω [watt] (4.34)

si possono definire le seguenti zone di funzionamento:

- nel I e III quadrante si ha P m > 0, la potenza fluisce dalla macchina elettrica verso ilcarico, il funzionamento della macchina elettrica e da motore

- II e IV quadrante si ha P m < 0, la potenza fluisce dalla macchina azionata verso lamacchina elettrica, la quale funziona da generatore o freno.

Ovviamente, l’azionamento puo fermarsi a funzionare in modo permanente (e non solo du-rante i transitori, come illustrato in questo esempio) in uno dei quattro quadranti, in funzionedi quelle che sono le caratteristiche della macchina azionata, cioe della caratteristica di caricodella macchina azionata (qui si e supposto carico nullo, C R = 0).Infatti, a regime, si ha C M = C R, per cui il punto di funzionamento ad una certa velocit a e impostodalla curva C R = C R(ω) del carico, detta appunto caratteristica di carica o della coppia resistente .

Altra osservazione importante e questa: nel funzionamento da generatore o da freno si ha

5A tale riguardo occorre distinguere tra funzionamento a regime e funzionamento trnasitorio e tra carichi attivi

e passivi , dato che (vedremo) il funzionamento a regime come generatore o freno e possibile solo con carichi attivi.




coppia/velocita quadrante funzionamentozona 1: C M > 0 ω > 0 I transitorio da motore in avantipunto 2: C M = C R = 0 ω > 0 I a regime da motore in avantizona 3: C M < 0 ω > 0 II transitorio da generatorezona 4: C M < 0 ω < 0 III transitorio da motore indietropunto 5: C M = C R = 0 ω < 0 III a regime da motore indietro

zona 6: C M > 0 ω < 0 IV transitorio da generatorepunto 0: C M = C R = 0 ω = 0 origine del piano motore fermo

Figura 4.16: Andamenti coppia-velocita durante una sequenza di moto con inversione

P m < 0, cioe la potenza meccanica fluisce dalla macchina azionata verso la macchina elettrica(l’energia meccanica restituita dal carico e energia cinetica delle masse rotanti).

E m = 1

2Kω2 [Joule] (4.35)

E in queste condizioni che il convertitore e chiamato a mettere in atto la dissipazione o ilrecupero di tale energia.




Figura 4.17: Funzionamento nel piano coppia-velocita durante una sequenza di moto con inversione

Esempio del montacarichi

Un esempio interessante di un azionamento reversibile chiamato a lavorare a regime in tuttie quattro i quadranti del piano coppia/velocita e rappresentato dal montacarichi , illustratoin Fig. 4.18.

Esso e composto da una gabbia di sollevamento di peso F (a vuoto) e di un contrappeso dipeso F + Q/2 sospesi alle estremita opposte di una fune di sollevamento (di peso supposto nul-lo). La fune e disposta su una puleggia movimentata dall’azionamento. Supponendo pari a Q ilpeso dell’oggetto da sollevare , ed assumendo positive la coppia sviluppata dall’azionamento (nelseguito semplicemente “coppia”) e la velocita nel funzionamento da motore in sollevamento (versoantiorario) sono possibili due situazioni di funzionamento a seconda che la gabbia sia piena ovuota.Nel funzionamento a gabbia piena il peso dell’insieme gabbia piu oggetto da sollevare prevalerispetto al contrappeso6, la coppia resistente e oraria qualunque sia il verso del movimento: sein salita, si funziona da motore avanti (coppia e velocita positive); se in discesa si funziona da

freno (o generatore) indietro (coppia ancora positiva e velocita negativa).

Nel funzionamento a gabbia vuota prevale il peso del contrappeso, la coppia resistente eantioraria qualunque sia il verso del movimento: se in salita, si funziona da freno (o genera-tore) avanti (coppia negativa e velocita positiva); se in discesa si funziona da motore indietro(coppia e velocita negative).

In ciascuno dei due casi, il verso (cioe il segno) della coppia resistente C R e indipendente dalla

6come da Fig. 4.18, il contrappeso viene calibrato sul peso della gabbia piu meta del pesso massimo del caricotrasportabile




Figura 4.18: Montacarichi

Figura 4.19: Caratteristiche di coppia resistente nel funzionamento a gabbia piena e vuota




Figura 4.20: Funzionamento reversibile di un azionamento per montacarichi

velocita ma dipende solo dalla differenza tra il peso della gabbia e del contrappeso. L’andamentodella caratteristica di carico C R(ω) corrispondente alle due situazioni e indicata in Fig 4.197.Il funzionamento nei quattro quadranti del piano coppia/velocita e riassunto in Fig. 4.20.

4.6.4 Tipi di carico: coppie attive e passive

I carichi di un azionamento elettrico sono classificabili in base all’andamento della caratteristicacoppia/velocita (cioe relativamente al funzionamento a regime) come carichi attivi e passivi .

4.6.4.1 Coppie attive

Le coppie di carico di tipo attivo sono dirette sempre in modo da opporsi al moto di salitao compressione. Appartengono a questa categoria i carichi dovuti alla presenza di forze gravi-tazionali (forza peso) o forze di deformazione elastica , ricollegabili ad energie potenziali.I carichi attivi hanno caratteristiche in cui il verso della coppia e indipendente dal versodel moto. Un esempio e rappresentato dalle caratteristiche di carico del montacarichi in Fig. 4.19.

4.6.4.2 Coppie passive

Le coppie di carico di tipo passivo sono dirette sempre in modo da opporsi al moto. Ap-partengono a questa categoria i carichi dovuti alla presenza di forze di attrico e taglio o forze

7Il segno caratteristico di carica tiene conto del fatto che la coppia resistente e considerata con segno menonell’equazione dell’equilibrio dinamico, cioe a regime si ha C = C R (il segno della coppia motrice e quello dellacoppia resistente coincidono)




Figura 4.21: Principali tipi di caratteristiche di carico

di deformazione in corpi rigidi non elastici , cioe forze di tipo dissipativo. I carichi passivihanno caratteristiche in cui il verso della coppia cambia con il verso del moto. Un esempioe rappresentato dalle caratteristiche di carico dell’attrito statico e viscoso in Fig. 4.2

4.6.5 Caratteristiche di carico

Le caratteristiche di coppia resistente, cioe gli andamenti coppia di carico in funzione della ve-

locita C R(ω) dipendono dalla macchina azionata. Le principali tipologie sono indicate in Fig.4.21. L’attrito statico causa una coppia resistente costante che cambia con il verso di rotazione,come mostra la caratteristica (a). A macchina ferma (ω = 0), la coppia resistente puo assumereun qualsiasi valore compreso tra i limiti imposti dall’attrito che appare in movimento. Sovente,la coppia di spunto e superiore a quella di movimento (attrito di primo distacco), come indicatonella caratteristica (b). Queste caratteristiche sono tipiche delle macchine utensili, laminatoi,rotative.La caratteristica (c) presenta una coppia resistente costante indipendente dal senso di rotazione, ede tipica degli ascensori e dei montacarichi. L’attrito viscoso (radente) provoca la caratteristica (d)con una coppia resistente proporzionale alla velocita di rotazione. Questa caratteristica si ottieneanche sui banchi prova, quando il motore da provare e accoppiato ad una macchina in correntecontinua funzionante come generatore su una resistenza di carico.I ventilatori, i compressori centrifughi e le pompe forniscono la caratteristica (e), con la coppiaresistente che cresce con il quadrato (o potenza superiore) della velocit a di rotazione. Infine, gliavvolgitori presentano la caratteristica (f) a potenza costante. La coppia resistente e inversamenteproporzionale alla velocita di rotazione, evidentemente in una zona limitata di velocita. In genere,le macchine azionate presentano caratteristiche di carico che sono una combinazione di quelle ap-pena descritte.Di seguito sono elencate le principali tipologie di macchine azionate e la corrispondente caratteris-tica di carico (nel solo quadrante di funzionamento da motore avanti ). L’andamento della potenza




assorbita dal carico (prodotto coppia-velocita) e indicata con P R.

Tipi di carico a coppia costante

- Macchine continue da carta

- Macchine rotative da stampa

- Macchine rotative tessili

- Pompe volumetriche a ingranaggi, a palette, a pistoni

- Compressori alternativi

- Compressori frigoriferi a pistoni

- Trasportatori a nastro, a catena, a scosse, coclee,rotocelle

- Funivie, seggiovie, teleferiche

- Mescolatori (non centrifughe) a pale, a tamburorotativo

- Molazze per carta, per cacao, per granulati

- Frantoi a pale, a barre, a mole, a cono, a cilindro, arulli

- Sollevatori, paranchi, argani

- Carrelli traslanti, palettizzatori, posizionatori

- Laminatoi, estrusori, trafile

Tipi di carico quadrati con la velocita

- Pompe centrifughe

- Ventilatori centrifughi

- Pompe assiali e centrifugo-assiali

- Compressori a vite e centrifughi

- Mescolatori centrifughi di liquidi

- Agitatori




Tipi di carico a potenza costante

- Torni paralleli, frontali, verticali

- Alesatrici, fresatrici, foratrici

- Piallatrici per legno

- Avvolgitoi, bobinatrici

- Mandrini di macchine utensili e di unita operatrici

- Apparecchi di sollevamento carichi

- Laminatoi reversibili

Tipi di carico lineari con la velocita

- Presse meccaniche e idrauliche

- Calandre a frizione viscose

- Freni a correnti parassite

- Pompe ad anello liquido






Capitolo 5Modelizzazione dei sistemi meccanici

La meccatronica e la prova che a livello industriale la meccanica e l’elettronica sono strettamenteinterdipendenti. Per modellizare a livello matematico un sistema meccanico complesso si puo farriferimento a 3 blocci elementari:

1. inerziale: rappresenta la capacita di un corpo di opporsi alle variazioni di velocita; si fondasul rapporto causa-effetto: per corpi che traslano la causa e una forza f e l’effetto e unavelocita lineare v; per corpi che ruotano la causa e una coppia C e l’effetto e una velocitaangolare ω :

f = M dv

dt (5.1)

C = J dω

dt (5.2)

2. elastico: rappresenta la capacita di un corpo di deformarsi accumulando energia potenziale:

f = K t(x1 − x2) (5.3)

C = K t(θ1 − θ2) (5.4)

La forza f rappresenta la reazione di tipo elastico della molla e C e la coppia elastica di unamolla torsionale. K t e il coefficiente di rigidita torsionale.

3. attrito viscoso: tiene conto degli effetti dissipativi che si hanno ogni volta che un corpo simuove in un fluido:

f = B (v1

−v2) (5.5)

C = B(ω1 − ω2) (5.6)

con B coefficiente di attrito viscoso.

5.1 Equazioni per il calcolo dell’inerzia equivalente

Se il carico non ruota bisogna trovare una conversione da moto rotatorio ad assiale per calcolareun’inerzia equivalente.

67



68 CAPITOLO 5. MODELIZZAZIONE DEI SISTEMI MECCANICI

Figura 5.1: Sistema pignone-cremagliera

5.1.1 Esempio pignone cremagliera

Dalla Fig. 5.1 si puo vedere che al ruotare del pignone, la cremagliera trasla: si ipotizza un sistemaprivo di perdite; tutta l’energia meccanica del pignone viene trasferita alla cremagliera. f C forzaresistente di cui risente l’utensile montato sul castello quando deve fresare (od altre lavorazioni)il pezzo. La cremagliera si sposta di:

x(t) = rθm(t) (5.7)

con velocitav(t) = rωm(t) (5.8)

e accelerazionea(t) = ram(t) (5.9)

con θm rotazione del pignone, ωm velocita angolare e am accelerazione angolare.Il bilancio delle potenze relative al pignone risulta:

τ mωm(t) = f v = f rωm(t) (5.10)

da cuiτ m = f r (5.11)

con τ m e la coppia di trasferimento del pignone.

τ motore = τ m + J mdωm

dt (5.12)

con J mdωm

dt coppia dovuta all’inerzia di motore e pignone.



5.1. EQUAZIONI PER IL CALCOLO DELL’INERZIA EQUIVALENTE 69

Il bilancio delle potenze relative alla cremagliera risulta:

τ m =

M

dv

dt + f c

r = M r2 dωm

dt + f cr (5.13)

Eguagliando la 5.12 con la 5.13 si ottiene:

τ motore =

J m + Mr2 dωm

dt + f cr = J eq

dωm

dt + f cr (5.14)

con J eq = (J m + Mr2) Con i contributi di J eq e f c e possibile calcolare la coppia motrice edimensionare il motore.

5.1.2 Esempio vite-madrevite

Il moto rotatorio dell’albero del motore fa girare la vite che a sua volta fa avanzare o indietreggiarela madrevite. L e il passo della vite (avanzamento della madrevite per un giro completo della vite),

Figura 5.2: Sistema vite-madrevite

per cui vale la proporzione:L

2π =

x(T )

θm(t) (5.15)

da cui:

x(t) = L

2π

θm(t) (5.16)

In questo caso quindi velocita e accelerazione valgono rispettivamente:

v(t) =

L

2π

ωm(t) (5.17)

a(t) =

L

2π

αm(t) (5.18)




Figura 5.3: Motore con trasmissione a cinghia con riduzione

L2π

rappresenta un raggio equivalente in analogia con l’esempio precedente; e quindi

possibile utilizzare le stesse equazioni sostituendo:

r =

L

2π

(5.19)

Si otterra un’inerzia equivalente pari a:

J eq = J m + M

L

2π

2

(5.20)

5.1.3 Esempio motore con cambio

Il motore e collegato al carico tramite una cinghia di trasmissione con un fattore di riduzione kdella velocita angolare:

ωm = kωc (5.21)

La potenza risulta:P m = C mωm = C cωc (5.22)

Sostituendo la 5.21 nella 5.22 otteniamo:

C m = C c

k

(5.23)

Inoltre:

J mdωm

dt = C m =

C ck

(5.24)

Sostituendo la 5.21 nella 5.24 otteniamo:

J mkdωc

dt =

C ck

(5.25)J mk2

dωc

dt = C c (5.26)



5.2. ANALOGIA TRA UN SISTEMA MECCANICO E UN SISTEMA ELETTRICO 71

Dove (J mk2) e il momento d’inerzia riportato all’albero del carico. Risultano inoltre:

J c = J mk2 (5.27)

J m = 1

k2J c (5.28)

5.2 Analogia tra un sistema meccanico e un sistema elet-trico

Si dice che due sistemi sono analoghi quando sono governati da equazioni formalmente identicheanche se riguardanti fenomeni fisici diversi.Per quanto riguarda i sistemi meccanici-elettrici si puo far riferimento all’analogia proposta daMaxwell:

coppia C → tensione vvelocita ω → corrente i

su queste analogie di base si fondano le altre:

posizione θ → carica q

infatti:

θ(t) = θ(0) +

t0

ω(t)dt → q (t) = q (0) +

t0

i(t)dt (5.29)

Per un sistema meccanico inerziale vale la relazione:

C = jdω

dt → v = L

di

dt (5.30)

per cui sara valida anche l’analogia tra:

inerzia J → induttanza L

Per un sistema elastico vale la relazione:

C = K t(θ1 − θ2) → v = 1

C (q 1) − (q 2) (5.31)


rigidita torsionale K t →

reciproco della capacita C

Per un sistema soggetto ad attrito viscoso vale la relazione:

C = B(ω1 − ω2) → v = R(i1 − i2) (5.32)


attrito viscoso B → resistenza R

Il passaggio siccessivo e modelizzare un sistema meccanico e applicare le analogie.




Figura 5.4: Sistema meccanico, esempio generale

τ m:coppia del motore θL:posizione angolare finale dell’alberoJ m:inerzia del motore e dell’albero J L:inerzia del carico

θm:posizione angolare iniziale dell’albero C L:coppia costante generata dal caricoK t:rigidita torsionale della’albero Br:coefficiente di attrito viscoso della pale

5.2.1 Esempio generale

Si possono scrivere le seguenti equazioni di bilancio meccanico:

C m = J mdωm

dt

+ K t(θm

−θL)

coppia resistente del motore

K t(θm − θL) coppia motrice

= J LdωL

dt + C L + BrωL

C R

(5.33)

Dove C r e la coppia causata dall’attrito viscoso considerando il fluido fermo.Da queste equazioni si possono ricavare le rispettive equazioni del circuito elettrico analogo:

vm = Lm

dimdt +

1

C t (im − iL)dt

1

C t

(im − iL)dt = LL

diLdt

+ vL + RiL

(5.34)

Si puo disegnare lo schema elettrico relativo:

Si vuole ora vedere come un azionamento elettrico reagisca alla variazione di uno o piu parametri.L’azionamento ha il seguente schema completo Fig. 5.8(Con R si indicano i regolatori, conl’asterisco le grandezze di riferimento e con M il motore):



5.2. ANALOGIA TRA UN SISTEMA MECCANICO E UN SISTEMA ELETTRICO 73

Figura 5.5: Circuito elettrico relativo alla primaequazione della 5.34

Figura 5.6: Circuito elettrico relativoalla seconda equazione del-la 5.34

Figura 5.7: Circuito elettrico completo analogo al sistema meccanico

Per valutare la variazione di alcuni paramentri relativi al sistema meccanico dell’esempio, sar asufficiente sostituire i componenti dell’analogo circuito elettrico (condensatori, resistenze, ecc) pi-uttosto che sostituire i componenti meccanici corrispondenti (albero, pale, ecc.). Cio comporta unnotevole risparmio economico in sede di prove di laboratorio.

Esempio numerico

Dati del problema:

C nom = 11Nm

B = 3.3Nms/rad

J m = 0.093Kg/m2

J L = 0.18Kg/m2

K t = C nom

∆θ =

11 ∗ 180

π = 630.25Nm/rad




Figura 5.8: Schema a blocchi di un motore elettrico controllato

Figura 5.9: Schema a blocchi del circuito elettrico equivalente

Per le analogie appena viste si ricavano le caratteristiche dei componenti del circuito elettricoequivalente:

vm = 11 V

vL = 5 V

Lm = 93 mH

LL = 180 mH

C t = 1586 µF

R = 3.3 Ω

Il valore della capacita del condensatore e molto alta per cui serviranno molti condensatoriin parallelo. Il valore della resistenza e molto piccolo: le resistenze dei cavi del circuito possonospostare di qualche decimo di ohm la resistenza globale, quindi e necessaria molta attenzione peril calcolo preciso.

Un gradino di coppia applicato al sistema meccanico produce un andamento della velocit aanalogo all’evoluzione della corrente iL che si puo registrare nel circuito.



Capitolo 6

Il convertitore statico

La produzione industriale dell’energia elettrica viene fatta, come e noto, quasi esclusivamente sot-to forma di corrente alternata trifase. L’impiego della corrente alternata (c.a) consente, tramite itrasformatori, un agevole adattamento dei livelli di tensione ai valori che risultano di volta in voltapiu opportuni; la scelta del sistema trifase deriva invece dalla sua maggiore economicita rispettoad altre soluzioni.Esiste pero una serie di importanti applicazioni, sia industriali che civili, che richiedono alimen-tazioni a corrente continua (c.c) o frequanza diversa da quella di rete. Si possono citare a titolode’sempio i casi delle applicazioni elettrochimiche, delle lineee di trasmissione a c.c., dei forni ainduzione , dei sistemi di carica degli accumulatori. Spesso inoltre e richiesta una rapida rego-lazione dell’ampiezza o della frequenza della corrente erogata al carico. E questo il caso di moltialimentatori regolabili e degli azionamenti a velocita variabile di motori a corrente continua o acorrente alternata.Infine va citatoi il caso di alcune utilizzazioni privilegiate (sale operatorie, centri di calcolo, ecc.),

la cui alimentazione deve essere garantita anche in caso di guasto della rete di distribuzione (ali-mentazioni a continuita assoluta).Tutti i campi applicativi sopracitati sono accumunati dall’esigenza di operare una conversionedell’ampiezza i della frequenza della tensione di rete, e si chiamano convertitori (converters ) idispositivi capaci di operare questa conversione. Alcuni dei tipi di conversione di frequenza sopraindicati possono essere effettuati tramite opportuni collegamenti fra motori e generatori a c.c.,o c.a., oppure con opportune macchine elettriche speciali. E questa la famiglia dei convertitorirotanti, che hanno avuto ampia diffusione nel passato e che trovano ancora oggi impiego in alcuneparticolari applicazioni. La soluzione piu moderna ai problemi di conversione e data dai conver-titori statici, basati sull’impiego di interruttori elettronici allo stato solido (diodi, transistori,tiristori, IGBT), che derivano il loro nome di statici dal fatto di non includere alcun organo dimovimento.I convertitori statici includono sempre uno o piu interruttori le cui aperture e chiusure vengonocontrollate in modo da operare la conversione desiderata.Le forme d’onda di corrente e di tensione che ne risultano sono spesso ricche di componenti ar-moniche indesiderate, sicche spesso i convertitori impiegano anche induttori o condensatori infunzione di filtri.L’alimentazione del convertitore puo essere continua o alternata e la sua uscita puo essere ancoracontinua o alternata, a frequenza ed ampiezza fisse o variabili. I legami tra tipo di energia iningresso ed uscita dei diversi tipi di convertitore sono indicati della seguete tabella riassuntiva:

75



76 CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO

Ingresso UscitaContinua Alternata

Continua Frazionatore o chopper InvertitoreAlternata Raddrizzatore controllato Cicloconvertitore

Tabella 6.1: Le principali categorie di convertitori

6.1 IL duty-cicle

In elettronica, in presenza di un segnale sotto forma di onda rettangolare, si definisce duty cycleD (in italiano, rapporto pieno-vuoto, letteralmente ciclo di lavoro) il rapporto tra la durata delsegnale alto ed il periodo totale del segnale, e serve ad esprimere per quanta porzione di periodoil segnale e a livello alto (intendendo con alto il livello attivo). In riferimento alla Fig.6.1, il dutycycle e:

d =

τ

T (6.1)

dove τ e la porzione di periodo a livello alto e T e il periodo totale.Il risultato del rapporto e sempre un numero compreso tra 0 e 1. Nel caso in cui si abbia unduty cycle pari a 0 o 1 si e in presenza di segnali continui. Infatti se il duty cycle ha valore zero,significa (vedi la formula 6.1) che τ e zero e quindi si ha un livello basso per tutto il periodo(segnale continuo a livello basso). Se il duty cycle ha valore uno, significa che τ e T hanno stessovalore, quindi per tutto il periodo il segnale e alto (segnale continuo a livello alto). Spesso il dutycycle e indicato sotto forma di percentuale (D%): per ottenere la percentuale basta moltiplicareper 100 il risultato del rapporto τ /T . La percentuale esprime piu chiaramente il quantitativo di

segnale alto (se D = 0, 4, D% = 40%, quindi significa che per il 40% del periodo totale il segnalee a livello alto). In particolare, se D = 0, 5 (D% = 50%) significa che per meta del periodo totaleil segnale e alto, per l’altra meta e basso: siamo quindi in presenza di un’onda quadra.

Figura 6.1: Segnale impulsivo costituente un’onda rettangolare, e in evidenza il suo duty cycle.



6.2. GLI INTERRUTORI 77

6.2 Gli interrutori

I convertitori che saranno analizzati utilizzano come componente fondamentale per il loro funzion-amento l’interrutore SPST (Single pole, single throw; o acceso o spento) Fig.6.2

Figura 6.2: Interruttore SPST

Un altra tipologia di interrutori e qualla SPDT (Single pole, double throw; singolo polo e due vie)Fig.6.3

Con un opportuna topologia del circuito un interrutore SPDT puo essere sostiruito da due inter-

Figura 6.3: Interruttore SPDT

ruttori SPST Fig.6.4; pero il circuito risultante non sara topologicamente equivalente poiche i dueSPST potranno essere entrambi chiusi od entrambi aperti, cosa non possibile con un SPDT.




Figura 6.4: Circuiti equivalenti SPDT-SPST






Figura 6.5: Switch a singolo quadrante Figura 6.6: Switch a doppio quadrante con

corrente bidirezionale

Figura 6.7: Swith a doppio quadrante con ten-sione bidirezionale

Figura 6.8: Switch a quattro quadranti




Interruttori a corrente bidirezionale

Un esempio e realizzato con un BJT (o un MOS Fig. ??) e un diodo posto in antiparallelo: puocondurre qualsiasi I ON , ma bloccare solo V OFF positive.




Figura 6.10: BJT con un diodo inantiparallello

Figura 6.11: Caratteristica i − v

Figura 6.12: MOSFET con diodo

Figura 6.13: Caratteristica i − v

Figura 6.13: Interruttori a corrente bidirezionale




Interruttori a tensione bidirezionale

Un esempio e realizzabile con un BJT e un diodo posto in serie(Fig.??): puo condurre solo I ON

positive, ma bloccare qualunque V OF

6.14.1 BJT con un diodo in serie 6.14.2 Caratteristica i − v

Interruttori a quattro quadranti

Si comportano come un interruttore ideale, bloccando qualsiasi V OFF e lasciando scorrere ogniI ON . Alcuni possibili esempi sono riportati in figura 6.14

Figura 6.14: Interruttori a quattro quadranti




6.2.2 SPST

Figura 6.15: Interruttore SPST

L’SPST puo essere attivato tramite l’applicazione di una corrente positiva (ON-state: i > 0)e spento tramite l’applicazione di una tensione positiva (OFF-state: v > 0). Il quandrante difunzionamento risulta quindi il primo Fig.6.16:

Figura 6.16: Zona di lavoro dell’interrutore SPST

6.2.3 DiodoIl diodo di potenza Fig.6.17(lo consideriamo ideale, quindi la potenza dissipata e nulla) e undispositivo a commutazione naturale percio e passivo. Lavora su un sigolo quadrante ed ha leseguenti caratteristiche:

- Puo condurre correnti positivi (ON-STATE:i > 0)

- Puo bloccare tensioni negative (OFF-state: v < 0)

Il quadrante di lavoro risulta il quarto Fig.6.18




Figura 6.17: Diodo

Figura 6.18: Caratteristica i − v del diodo




6.2.4 Silicon Controlled Rectifier

E un diodo con controllo di sola accensione. Si caratterizza per un funzionamento a latch: l’at-tivazione avviene grazie a un segnale di gate, succesivamente lo stato ON e conservato ancherimuovendo il segnale di accensione.

6.19.1 Simbolo 6.19.2 Caratteristica i − V

Figura 6.19: SCR

6.2.5 Bipolar Junction Transistor (BJT) e Insulated Gate Bipolar Tran-sistor (IGBT)

Figura 6.20: BJT Figura 6.21: IGBT

Il BJT (Fig.6.20) l’IGBT (Fig.6.21) sono dispositivi a commutazione controllata percio sonoattivi. Lavora su un sigolo quadrante ed ha le seguenti caratteristiche:




Figura 6.22: Caratteristica i − v del BJT e del IGBT

- Si puo attivare lo switch tramite il terminale C

- Lavorano su un singolo quadrante

- Possono condurre correnti positivi (ON-STATE:i > 0)

- Possono bloccare tensioni positive (OFF-state: v > 0) 2

Il quadrante di lavoro risulta il primo Fig.6.22

2Se la tensione al terminale C e 0 il transistor risulta spento, mentre se e positiva risulta accesso




Figura 6.23: MOSFET

6.2.6 Metal-Oxide Semiconductor Field Effect Transistor (MOSFET)

Il MOSFET (Fig.6.23)e un dispositivo a commutazione controllata percio e attivo. Lavora su duequadranti con corrente bidirezionale ed ha le seguenti caratteristiche:

- Si puo attivare lo switch tramite il terminale C

- Normalmente lavora su un singolo quadrante

- Puo condurre correnti sia positivi che negative

- Puo bloccare tensioni positive (OFF-state: v > 0)

Il quadrante di lavoro risulta il primo ed il secondo Fig.6.24



6.3. CONVERTITORI DC-DC 89

Figura 6.24: Caratteristica i − v del MOSFET

6.3 Convertitori DC-DC

Sono i dispositivi (frazionatori o, piu comunemente, chopper ) atti ad effettuare la conversionesa una tensione continua d’ingresso a una tensione continua di uscita di valore diverso. Questiconvertitori sono utilizzati quali alimentatori a c.c. nei piu diversi settori d’impiego: dall’elettron-ica diffusa, ai calcolatori; dalle applicazioni avioniche e spaziali, agli alimentatori da laboratorio.Trovano inoltre applicazione nei sistemi di trazione elettrica alimentati a c.c. (ferrovie, metropoli-tane, veicoli elettrici di ogni genere) per la regolazione della velocita dei motori.Esistono tre tipi fondamentali di convertitori c.c./c.c., che differiscono per prestazioni e criteri diprogetto. Essi sono:

- buck converters abbassatori di tensione

- boost converters elevatori di tensione

- buck-boost converters abbassatori-elevatori di tensione




6.3.1 Convertitore Boost

Un convertitore boost (o convertitore step-up) e un convertitore DC-DC con una tensione diuscita maggiore dell’ingresso. E una classe di alimentatori a commutazione contenenti almeno duecommutatori a semiconduttore (un diodo e un transistor) e almeno un elemento accumulatore di

energia (Fig. 6.25). Filtri composti da combinazioni di induttori e capacita sono spesso aggiuntiad un convertitore boost per migliorarne le caratteristiche. Il principio base di funzionamento di

Figura 6.25: Circuito elettrico del convertitore Boost

un convertitore boost consiste in due stati distinti (Fig. 6.26):

- nello stato on, il commutatore S e chiuso, provocando un aumento di corrente nell’induttore;

- nello stato off, il commutatore e aperto e l’unico percorso offerto alla corrente dell’induttoree attraverso il diodo D, la capacita C e il carico R. Cio provoca il trasferimento dell’energiaaccumulata durante lo stato on nella capacita.

Il Boost puo lavorare solo nel quarto quadrante.




Figura 6.26: Le due configurazioni di un convertitore boost, secondo lo stato del commutatore S.

6.3.2 Convertitore Buck

Un convertitore buck e un convertitore DC-DC riduttore (convertitore step-down). Fa parte dellacategoria dei convertitori switching. Il circuito Fig.6.27 e costituito da due interruttori, un indut-tore e un condensatore. Il modo piu semplice per ridurre una tensione continua e usare un partitoredi tensione, un metodo poco efficace, dato che l’energia eccedente viene dissipata in calore. Unconvertitore buck puo essere notevolmente efficiente (fino a 95% per i circuiti integrati) ed e moltoversatile, potendosi adattare alle varie situazioni, come ad esempio convertire la tensione tipicadella batteria (12-24 V) in un laptop fino ai pochi volt necessari alla CPU. I due switches lavoranorispettivamente nel primo e nel querto quadrante Fig. 6.28: Quindi i due interrutori possono essererispettivamente sostituiti da un BJT e da un diodo. Il circuito equivalente risulta in Fig.6.29: Ilfunzionamento del convertitore buck e semplice: tramite l’interruttore si connette l’induttore allafonte di energia che cosı si carica di energia magnetica; scollegandolo esso si scarica sul carico esul condensatore mantenendo ai capi di questo la tensione costante. I quadranti di lavoro dei due




Figura 6.27: Circuito elettrico del convertitore Buck

Figura 6.28: Quadranti di lavoro dello switch A e B

Figura 6.29: Convertitore Buck




Figura 6.30: Le due configurazioni del convertitore Buck: stato on, quando l’interruttore e chiuso,e stato off, quando l’interruttore e aperto.

Figura 6.31: Quadranti di lavoro degli switches

switches sono riportati in Fig.6.31: Siccome solo il transistor risulta un componente attivo il Buckpuo lavorare solo nel primo quadrante. Quindi se si alimentate un motore, questo potra avere solocoppia e velocita positive (Fig.6.32).




Figura 6.32: Quadrante di lavoro del convertitore Buck base

6.3.3 Convertitore Buck-Boost

Il convertitore buck-boost e una tipologia di convertitore DC-DC (Fig. 6.33), che presenta unauscita continua di valore maggiore o minore del valore della tensione in ingresso. E un alimen-tatore che ha una topologia circuitale simile a quella del convertitore buck e del boost. Il livello

dell’uscita puo essere aggiustato agendo sul duty cycle del transistore che commuta. Uno dei pos-sibili lati negativi di questo convertitore e il fatto che l’interruttore non abbia uno dei terminali aterra: questo complica la circuiteria di pilotaggio; inoltre, la polarita dell’uscita e opposta a quelladell’ingresso. Lo switch puo essere posto sia al lato della terra, o su quello dell’alimentazione. Ilprincipio di base del buck-boost e mostrato in Fig. 6.34:

- in stato ON (interruttore chiuso), la tensione di ingresso A¨ direttamente connessa all’indut-tore L; si accumula pertanto energia in L. In questo stadio, il condensatore fornisce energiaal carico di uscita.

- in stato OFF (interruttore aperto), l’induttore e collegato all’uscita ed alla capacita, in mododa trasferire energia da L a C ed R.

Rispetto al convertitore buck e al boost, le caratteristiche del buck-boost sono principalmente:

- la polarita dell’uscita, opposta a quella dell’ingresso;

- l’uscita puo variare in modo continuo da 0 a ∞ (per un convertitore ideale). Le variazionidell’uscita per un buck ed un boost sono rispettivamente da 0 a V i e da V i a ∞.

Il convertitore ha le caratteristiche del Boost e del Buck, quindi lavora nel primo e nel quartoquadrante.




Figura 6.33: Schema di un convertitore buck-boost.

Figura 6.34: I due stati di operazione di un buck-boost




6.3.4 Convertitore Chopper

Il chopper puo essere considerato equivalente a un interruttore inserito tra la sorgente di energiae il carico: controllandone la durata dei tempi di apertura e chiusura, si permette il passaggiodi energia verso e dal carico con opportune caratteristiche, indipendentemente dalla tensione diingresso. Diventa quindi possibile, con minime perdite di energia, regolare il livello di tensionecontinua sul carico, senza variare la tensione di ingresso e senza passare per la conversione inalternata, la trasformazione e il raddrizzamento.

Figura 6.35: Chopper

Il chopper a 2 e 4 quadranti

Affinche il frazionatore possa gestire situazioni in cui la corrente i assume valori negativi, adesempio quando il carico e rappresentato da un motore in condizioni di frenatura, e necessariorimuovere il vincolo di unidirezionalita della corrente corredando lo schema di Fig.6.35 di dueulteriori switches (un diodo e untransistor). E chiaro che questa situazioni si puo presentaresolamente se il carico puo essere “attivo”cioe contenere un generatore di tensione (situazione che siincontra con il motore elettrico) cosı come rappresentato in Fig.6.36. Si puo facilmente dedurre chesono possibili quattro configurazioni Fig.6.37: Con un sistema di questo tipo e possibile pilotare

motori con frenatura a recupero di energia. Analizziamo il comportamento in presenza di uncambiamento della direzione delle correnti e quindi di inversione del flusso di energia. In questocaso occorre che il dispositivo permetta il fluire della corrente da una sorgente a tensione pi u bassa(il motore)ad una con tensione piu alta (la sorgente di alimentazione), quindi il chopper funzionanella configurazione di “elevatore”.

Il chopper in classe C

Tramite l’imposizione di un opportuno Duty-cicle e possibile regolare la tensione d’uscita delchopper e quindi la velocita del motore Fig.6.38:




Figura 6.36: Chopper a 2 quadranti

Figura 6.37: Possibili configurazioni




Figura 6.38: Chopper collegato ad un motore

Figura 6.39: Quadranti di funzionamento

δ = T on

T

0 δ 1 (6.2)

V a = T on

T V d = δV d (6.3)

La regione di funzionamento quindi e il primo ed il secondo quadrante: Un possibile schema diun modulatore e riportato in Fig.6.40




Figura 6.40: Schema del modulatore

Il chopper in classe E

Volendo ora ottenere un funzionamento reversibile sia in corrente che in tensione (cioe il funzion-amento a 4 quadranti), si puo utilizzare la configurazione di Fig. 6.41. Chiudendo infatti S 2 e

Figura 6.41: Chopper in classe E

facendo funzionare S 1, si ottiene sul carico una tensione positiva con corrente bidirezionale.. Taleconvertitore e applicato al comando di motori in cui si desidera avere frenatura a recupero dienergia e funzionamento con velocita di rotazione in entrambi i versi Fig.6.42.




Figura 6.42: Zone di lavoro del chopper in classe E

Il chopper in classe E a modulazione unipolare/bipolare Vedere appunti del prof Com-plementary stuff chapter 1 (e).pdf

6.4 Convertitore CC-CA Inverte

Sono i dispositivi, detti anche invertitori (inverter ), atti ad effettuare la conversione da una tensionecontinua d’ingresso a una tensione alternata di uscita che, bel caso piu generale, deve essere regolatasia in ampiezza che in frequenza. Lo schema di un inverter trifase a tensione impressa e illustratoin Fig.6.43. Esso e composto da tre rami (insiemi di due interruttori bidirezionali collegati in serie)alimentati in parallelo da una sorgente in continua. A ciascun ramo fa capo un morsetto del caricotrifase, alimentato dal centrale tra i due interruttori. Dal punto di vista funzionale, esso e unconvertitore DC/AC, in grado di trasformare, con opportuno comando degli interruttori di ramo,la continua in ingresso in un sistema trifase di tensione alternate in uscita.Per evitare il corto circuito della sorgente continua in ingresso, il comando dei due interruttori diramo deve essere di tipo complementare, come illustrato in Fig.6.44. Negli interruttori reali (tempidi apertura e chiusura non nulli) e previsto un tempo morto (”dead time“ ) per garantire che ciascuninterruttore di ramo sia effettivamente aperto quando l’altro chiude. Nelle considerazioni seguenticonsideriamo interruttori ideali (tempi di apertura e chiusura nulli) trascurando il tempo morto.In queste condizioni, dal punto di vista logico, il comportamento di ciascun ramo e definito da unsolo segnale di comando (d).



6.4. CONVERTITORE CC-CA INVERTE 101

Figura 6.43: Schema dell’inverter trifase

Figura 6.44: Comando di ramo




6.4.1 Calcolo della tensione di uscita

Per determinare le tensioni fornite dall’inverter trifase facciamo riferimento allo schema in Fig.6.45,dove e stato ricavato il punto centrale (0) dell’alimentazione continua (che utilizzeremo comepotenziale di riferimento) e si e considerato il caso generale di un carico collegato a stella conneutro isolato. Si possono distinguere:

Figura 6.45: Tensione d’uscita dell’inverter trifase

- le tensioni di ramo V a0, V b0, V c0, che sono direttamente individuate dal comando di ramo:

d1 = 1 → V a0 = V dc

2 d1 = 0 → V a0 =

V dc2

(6.4)

d2 = 1 → V b0 = V dc

2 d2 = 0 → V b0 =

V dc2

(6.5)

d3 = 1 → V c0 = V dc

2 d3 = 0 → V c0 =

V dc2

(6.6)

- le tensioni di concatenate V ab, V bc, V ca, ottenibili come combinazione delle tensioni di ramo:

V ab = V a0 − V b0 (6.7)

V bc = V b0 − V c0 (6.8)

V ca = V c0 − V a0 (6.9)

- le tensioni di fase del carico V am, V bm, V cm

- la tensione del centro stella del carico rispetto al potenziale di riferimento V m0.




Per quanto concerne l’individuazione delle tensioni di fase, esse possono essere espresse come:

V am = V a0 − V m0

V bm = V b0 − V m0

V cm = V c0 − V m0

(6.10)

In queste relazioni occorre determinare il potenziale (incognito) del centro stella.Sommando membro a membro si ricava:

V am + V bm + V cm = (V a0 + V b0 + V c0) − 3V m0 (6.11)

Nell’ipotesi di carico trifase simmetrico collegato a stella con neutro isolato, e facile dimostrare 3

che la somma delle tensioni di fase e nulla :

V am + V bm + V cm = 0 (6.12)

da cui si ricava:

V m0 = 1

3(V a0 + V b0 + V c0) (6.13)

Pertanto, note le tensioni di ramo (dal comando), si puo calcolare il potenziale del centro stellacon la 6.13 e quindi le tensioni di fase dalle 6.10.In funzione dello stato logico (0 o 1), del comando dei tre rami, l’inverter trifase e in grado diapplicare 8 diverse configurazioni di tensione d’uscita (Tabella 6.2), delle quali 2 corrispondenti atensione nulla (stati 0 e 7) e le altre 6 a tensione non nulla.

La piu semplice modalita di comando dell’inverter trifase prevede l’applicazione in sequenza delle6 configurazioni non nulle di tensione: si tratta del comando ad onda quadra (o six-step) illustratonel paragrafo seguente.

Tabella 6.2: Stati di un inverter a due livelli

V a0 V m0 d1 d2 d3

−V dc/2 −V dc/2 0 0 0−V dc/2 −V dc/6 0 0 1−V dc/2 −V dc/6 0 1 0

−V dc/2

+V dc/6

0 1 1+V dc/2 −V dc/6 1 0 0+V dc/2 +V dc/6 1 0 1+V dc/2 +V dc/6 1 1 0+V dc/2 +V dc/2 1 1 1

3Nelle condizioni indicate si puo scrivere. V am = Zia; V bm = Zib; V cm = Zic; che sommando m. a m.fornisce:V am + V bm + V cm = Z (ia + ib + ic) = 0




Figura 6.46: Stati dell’inverter trifase

6.4.2 Comando ad onda quadra (Six Step)




6.47.1 Tensione d’uscita riferite al punto centrale del bus DC

6.47.2 Tensione d’uscita concatenata




Scomposizione in serie di Fourier

Tensioni di uscita riferite al punto centrale del bus DC

va0(t) = 4

π

V dc2

sin(ω1t) +

1

3 sin(3ω1t) +

1

5 sin(5ω1t) +

1

7 sin(7ω1t) + . . .

vb0(t) =

4

π

V dc

2 sinω1t − 2π

3 +

1

3 sin(3ω1t) +

1

5 sin5ω1t +

2π

3 +

1

7 sin7ω1t − 2π

3 + . . .vc0(t) =

4

π

V dc2

sin

ω1t − 4π

3

+

1

3 sin(3ω1t) +

1

5 sin

5ω1t +

4π

3

+

1

7 sin

7ω1t − 4π

3

+ . . .

(6.14)

Sono presenti soltanto le armonicge dispari.

K = 6 j + 1 sequenze dirette

K = 6 j + 3 sequenze omopolari

K = 6 j + 5 sequenze inverse

(6.15)

Con j = 0, 1, 2, 3, . . .

Tensioni di uscita concatenate

vab(t) = 4

√ 3

π

V dc2

sin

ω1t +

π

6

− 1

5 sin

5ω1t +

π

6

− 1

7 sin

7ω1t +

π

6

+ . . .

vbc(t) = 4

√ 3

π

V dc2

sin

ω1t +

π

6 − 2π

3

− 1

5 sin

5

ω1t + π

6

+

2π

3

− 1

7 sin

7

ω1t + π

6

− 2π

3

+ . . .

vca(t) = 4

√ 3

π

V dc2

sin

ω1t +

π

6 − 4π

3

− 1

5 sin

5

ω1t + π

6

+

4π

3

− 1

7 sin

7

ω1t + π

6

− 4π

3

+ . . .

(6.16)

Non sono presenti le sequenze omopolari nelle tensioni concatenate.

Tensioni del centro stella del carico riferita al punto centrale del bus DC

vm0(t) = 1

3(va0(t) + vb0(t) + vc0(t)) (6.17)

vm0(t) = 4

π

V dc2

1

3 sin(3ω1t) +

1

9 sin(9ω1(t)) +

1

15 sin(15ω1t) + . . .

(6.18)

Sono presenti soltanto le armoniche multiple di tre

Tensioni di fase del carico

vam(t) = 4

π

V dc2

sin(ω1t) +

1

5 sin(5ω1t) +

1

7 sin(7ω1t) + . . .

vbm(t) = 4

π

V dc2

sin

ω1t − 2π

3

+

1

5 sin

5ω1t +

2π

3

+

1

7 sin

7ω1t − 2π

3

+ . . .

vcm(t) = 4

π

V dc2

sin

ω1t − 4π

3

+

1

5 sin

5ω1t +

4π

3

+

1

7 sin

7ω1t − 4π

3

+ . . .

(6.19)

Non sono presenti le armoniche multiple di tre nelle tensioni di fase




Riepilodo delle nozioni fondamentali

- E possibile controllare la frequenza fondamentale f 1 = ω1

2π

- non e possibile controllare l’ampiezza della fondamentale:

- ampiezza 1a armonica della tensione di fase del carico V 1f = 4

π

V dc2

∼= 0.636V dc

- ampiezza 1a armonica della tensione di linea del carico V 1l = 4

π

V dc2

√ 3 ∼= 1.1V dc

- ampiezza 1a armonica della tensione di uscita dell’inverte (riferita al centro del bus DC)

ˆV

1

f 0 =

4

π

V dc

2

6.4.3 Rappresentazione vettoriale della tensione di uscita

Figura 6.47: Stati dell’inverter e tensioni ai morsetti nel comando “six-step”




Figura 6.48: Stati dell’inverter e tensioni sul carico nel comando “six-step”




Se si considerano le 6+2 possibili configurazioni delle tensioni di fase applicate al carico dal-l’inverter trifase (nelle figure precedenti sono riportate le 6 configurazioni non nulle), e si applica aciascuna di esse la trasformazione di fasi 4 (abc) → (α, β ), si ottengono altrettanti vettori di spazio(ciascuno caratterizzato da una coppia di componenti α, β ) la cui rappresentazione nel piano comp-lesso e indicata in figura(6.49): Tale rappresentazione, nota come “esagono delle tensioni di uscita

Figura 6.49: Esagono delle tensioni di uscita dell’inverter trifase

dell’inverter trifase”, consente di valutare, per ciascuna configurazione del comando, le tensioniapllicate al carico sia in termini di componeti α, β che in termini di tensioni trifasi (queste ultimesono ottenibili come le componenti di ciascun vettore sugli assi 1,2,3 sfasati di 2π/3). I sei vettori

Stato vettore di spazio d1 d2 d3

0 −→

V 0 0 0 0

1 −→

V 1 1 0 0

2 −→

V 2 1 1 0

3 −→

V 3 0 1 0

4 −→

V 4 0 1 1

5 −→V 5 0 0 16

−→V 6 1 0 1

7 −→

V 7 1 1 1

Tabella 6.3: Stati, comandi di ramo e vettori di spazio

della tensione di uscita dell’inverter delimitano altrettanti settori angolari di π/3 (“sestanti”) la

4Trasformazione a potenza di fase costante




cui individuazione e alla base di una tra le piu importanti tecniche di modulazione dell’invertertrifase, la modulazione dei vettori di spazio (SV-PWM) presentata nel seguito.

6.4.4 Tecniche di modulazione PWM

Modulazione seno-triangolo (S∆-PWM)

In questo tipo di modulazione i componenti statici vengono commutati negli stati di intersezionedi due funzioni periodiche di frequenza diversa (portante e modulante ). In questo modo e possibilesintetizzare delle tensioni di uscita (V a0, V b0, V c0) che, a bassa frequenza, hanno lo stesso contenutoarmonico (stessa forma d’onda) della funzione di riferimento a frequenza minore. Come portantee di solito usata una funzione triangolare (V t) con frequenza angolare ωt ed un valore di picco V t.Come modulanti si usano tre tensioni sinusoidali di frequenza pari a quella desiderata per lafondamentale della tensione di uscita:

V ∗a0(t) = V s sin(ω1t)

V ∗b0(t) = V s sin(ω1t − 2π

3 )

V ∗c0(t) = V s sin(ω1t − 4π

3 )

(6.20)

Parametri fondamentali

M =V s

V tindice di modulazione (6.21)

P = ωt

ω1rapporto tra le frequenze (6.22)

Tecnica di commutazione Se

V ∗a0 > V t (6.23)

allora si pone

S a+ “on”

S a− “off”




6.50.1 Modulazione S∆-PWM

6.50.2 Portante e modulante nella S∆-PWM con p=12,M=0.6

6.50.3 Tensione di uscita (fase a) riferita al punto centrale del busDC

6.50.4 Tensione concatenata




Figura 6.50: Tipico spettro della modulazione S∆-PWM (M=0.8)

Scomposizione in serie di Fourier

V a0(t) = M

V dc2 cos(α) +

2V dcπ

∞k=1

J 0 kM

π

2 sink

π

2 cos(kωtt)+

+ 2V dc

π

∞k=1

±∞n=±1

1

kJ n

kM

π

2

sin

(k + n)

π

2

cos(kωtt + nα) (6.24)

dove:α = ω1t (6.25)

J 0, . . . , J n: funzioni di Bessel del primo ordine.

Il primo termine rappresenta la tensione fondamentale che e direttamente proporzionaleall’indice di modulazione se M < 1

Il secondo termine rappresenta le componenti armoniche alla frequenza della portante e suoimultipli. Non esistono armoniche la cui frequenza e multiplo pari della frequenza portante:sin(kπ/2) = 0 se k e pari.

Il terzo termine rappresenta le bande di armoniche centrate sulle frequenze multiple dellafrequenza della portante. In accordo con il termine sin[(k + n)π/2] si ha:

- per k dispari, la banda presenta solo armoniche pari;

- per k pari, la banda presenta solo armoniche dispari.

Poiche l’armonica dominante si ha per ω = ωt, si prende un rapporto di frequenza p multiplo

di tre, in modo tale che l’armonica dominante formi una sequenza omopolare (terne di correntiomopolari non possono circolare).

(Da correggere) Per M=1, si ha il massimo valore della tensione fondamentale, che e soltantoil 78.5% della massima tensione fondamentale che si puo avere dall’inverter (che si ha con lamodulazione six-step):

V 1a0(M =1) = V dc

2 ; V 1a0(SIX −STEP ) =

4

π

V dc2

→ V 1a0(SiX −STEP )

V 1a0(M =1)

= π

4 = 0.7855 (6.26)




Figura 6.51: Ampiezza relativa delle armoniche in funzione dell’indice di modulazione (tensione di

uscita dell’inverter riferita al centrale del bus DC)

Sovramodulazione

Se l’ampiezza della modulante e maggiore di quella della portante (M > 1), il numero di buchinella tensione modulata e minore rispetto al caso M < 1, perche alcuni triangoli non intersecanola sinusoide. Di conseguenza, specie nella zona centrale delle semionde della modulante, la duratadegli impulsi e piu ampia (Fig.6.52) e l’ampiezza della prima armonica e piu elevata.

Si parla in questo caso di sovramodulazione e si tratta di un sistema utilizzato proprio per au-mentare l’ampiezza dell’armonica fondamentale della tensione, anche se si determina un maggiorecontenuto armonico nella sua forma d’onda. Lo spettro non e costituito da grappoli di armonichenell’intorno della frequenza di modulazione e dei suoi multipli, ma e ricco anche di armoniche diordine piu basso di P . Al di sopra di un certo valore di M LIM , le intersezioni modulante/portantesono pari a due per periodo e si ottiene una tensione di uscita di forma uguale a quella dell’inverterad onda rettangolare.Si deduce che, con la tecnica PWM a sottoscillazione sinusoidale, l’ampiezza V a0 della prima ar-monica della tensione di fase e al massimo pari a V dc2 (con V dc tensione continua di alimentazionedell’inverter), cioe 4/π ∼= 1.27 volte piu piccola di quella con inverter ad onda rettangolare.Con la sola modulazione lineare, non e cioe possibile regolare la tensione di uscita dell’inverter inaccordo con la frequenza, per elevati valori di quest’ultima.Con la sovramodulazione, inoltre non e piu lineare la relazione che lega l’ampiezza della fonda-mentale di tensione V a0 all’indice di modulazione M.




Figura 6.52: Sovramodulazione nella sottoscillazione sinusoidale con P = 9

Figura 6.53: Regioni diverse di tipo di modulazione




Varianti alla sottoscillazione

Numerose sono le varianti proposte della tecnica di sottoscillazione sinusoidale precedentementedescritta. Ciascuna di esse e caratterizzata da particolare proprieta (si rimanda alla letteruarturaspecifica per un piu ampio approfondimento).A puro titolo di esempio si riporta il caso della sottoscillazione con modulate distorta. Invece di unasemplice sinusoide, come modulante puo considerarsi un’onda composta da un seno con una terzaarmonica sovrapposta (Fig.6.54). Lo scopo e quello di aumentare la armonica fondamentale ditensione senza peggiorare il contenuto armonico. Il numero di buchi, infatti, rimane lo stesso dellamodulazione base (con M < 1). Si dimostra che l’ampiezza della prima armonica puo raggiungereil valore:

V ao,Max = 2√

3

V dc2

∼= 1.15V dc2

(6.27)

Il miglioramento che si consegue in termini di ampiezza V ao e inferiore a quello della sovra-modulazione, mentre il contenuto armonico e piu basso. In realta, sono presenti anche delle com-ponenti di terza armonica nella tensione di fase dell’inverter che, pero, scompaiono nella tensioneconcatenata ed in quella di fase del motore perche omopolari.

Figura 6.54: Sottoscillazione con modulante deformata di terza armonica






Capitolo 7Macchina in corrente continua

7.1 Struttura e schema elementare

Per comprendere il principio di funzionamento della macchuna in corrente continua (m.c.c) fac-

ciamo riferimento alla struttura elementare indicata in Fig.7.1.1 Lo statore e del tipo a poli salienti .

7.1.1 Struttura elementare del motore incorrente continua

7.1.2 Percorso del flusso di eccitazione

Figura 7.1

Sui poli sono avvolte le bobine che compongono l’avvolgimento di campo o di eccitazione . Taleavvolgimento e percorso da corrente continua e genera il flusso di eccitazione (o di campo) delmotore, indicato con Φe. Questo flusso e di tipo stazionario, cioe la sua configurazione spaziale(mappa) resta fissa nel tempo. Indichiamo con d l’asse magnetico (fisso) del flusso di eccitazione.Sul rotore , cilindrico, immaginiamo disposta una sola spira (avvolgimento elementare) le cui es-tre,ita 1 e 2 fanno capo a due lamelle , tra loro isolate e solidali al rotore (cioe ruotano assiemealla spira). Le lamelle sono in contatto elettrico con due spazzole (indicate con A e B), che sonoinvece solidali con lo statore e tenute in pressione sulle lamelle mediante molle.

117



118 CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA

Le spazzole permettono di accedere elettricamente, dal riferimento fisso di statore, all’avvolgimentodisposto sul rotore (qui composta dall’unica spira) detto avvolgimento di armatura .Indichiamo con a l’asse magnetico dell’avvolgimento di armatura, coincidente con l’asse della spira1-2 e fissiamo di misurare l’angolo di rotazione θr tra l’asse d e la direzione negativa dell’asse a.Lo schema della macchina in corrente continua e indicata nella seguente Fig.7.2.Visto in termini di sistema di conversione elettromeccanico la macchina in corrente continua

possiede due porte elettriche (gli avvolgimenti di eccitazione e di armatura) attraverso le qualitransita potenza elettrica (in termini di prodotto tensione-corrente ai morsetti ) ed una porta mec-canica (l’asse di rotazione) attraverso la quale transita potenza meccanica in termini di prodottovelocita di rotazione-coppia .In base ai versi di tali flussi di potenza si puo avere il funzionamento da generatore oppure damotore come illustrato nel seguito. Concordamente alla convenzione utilizzata nella scritturadell’equazione dell’equilibrio dinamico e nella definizione del piano coppia-velocita considereremopositive le potenze nel funzionamento da motore, cioe potenza elettrica entrante e potenza meccanica uscente (coppia e velocita concordi)

Figura 7.2: Schema elementare della macchina in corrente continua

7.2 Principio di funzionamento

7.2.1 Funzionamento da generatore

In questo tipo di funzionamento viene fornita potenza elettrica (P e) all’avvolgimento di eccitazionee potenza meccanica (P m) all’asse di rotazione, e si raccoglie potenza elettrica (P a) sull’avvolgimentodi armatura. La macchina in corrente continua si comporta da generatore (o dinamo) e puo essereutilizzato per alimentare un carico (indicato in figura dalla resistenza Rc).Per fissare le idee, consideriamo la struttura elementare del m.c.c. nella quale un motore primometta (dall’esterno) in rotazione il rotore (ad es. nel verso crescente di θr) mentre si alimental’eccitazione con un generatore in continua.



7.2. PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO 119

Figura 7.3: Funzionamento da generatore a vuoto

Funzionamento da generatore a vuotoAnalizziamo dapprima il caso in cui l’avvolgimento di armatura sia aperto (ia = 0) cioe il funzion-amento da generatore a vuoto1, Fig.7.3.La spira di rotore concatena una parte del flusso generato dall’eccitazione. A seguito della ro-tazione il flusso concatenato con la spira varia e si genera una tensione indotta che in base allaLegge di Faraday scritta con la convenzione dell’utilizzatore (C.d.U) fornisce:

e12 = dΦ

dt (7.1)

Il flusso concatenato sara massimo negativo per θr = 0, nullo per θr = π/2. Ipotizzando unandamento sinusoidale si puo scrivere:

Φ = −Φcos(θ) (7.2)

da cui:

e12(θr) = Φdθrdt

sin(θr) = Φω sin(θr) (7.3)

Se chiamiamo eAB la tensione raccolta sulle spazzole, in base alla rotazione del rotore si hanno leseguenti situazioni di contatto2:

- in θr ∈ (0, π) si hanno i contatti: A ≡ 1, B ≡ 2, da cui eAB = e12

- in θr ∈ (π, 2π) i contatti si invertono: A ≡ 2, B ≡ 1, da cui eAB = e21 = −e12

La tensione raccolta tra le spazzole rappresenta la tensione indotta nell’avvolgimento di armatura

( ea ≡ eAB), il cui andamento, riportato nella figura precedente, e quindi di tipo continuo, nel sensodi unipolare a valor medio (E a) non nullo, Fig.7.4.Si osserva pertanto come, con il sistema collettore a lamelle + spazzola si realizza un commutatore in grado di trasformare una alternata in una continua.Intuitivamente, estendendo il numero di spire e possibile ottenere tensioni piu continue, pratica-mente costanti, come accade nei motori reali.

1Rispetto la figura, se si trascurano le perdite per attrito e ventilazione, nel funzionamento da generatore a vuotosi avra, a regime, C = P m = 0

2Si trascurano le posizioni limite 0, π,e,2π




Figura 7.4: Tensione indotta nella spira elementare

Funzionamento da generatore a carico

Figura 7.5: Funzionamento da generatore a carico

Vediamo ora cosa succede nel funzionamento a carico (Fig.7.5), quando cioe viene chiuso l’in-terruttore e quindi fluisce una corrente ia nell’avvolgimento di armatura.Con riferimento alla Fig.7.6, in base al segno della tensione indotta si ha che per θr ∈ (0, π) l’estremo1 ha potenziale maggiore dell’estremo 2, pertanto nel circuito esterno di carico la corrente fluisceda 1 (punta della freccia) verso 2 (coda della freccia)3. Per effetto di questa corrente si generaun flusso di armatura diretto in verso opposto all’asse di magnetizzazione ( a). Per θr ∈ (π, 2π)la situazione si inverte, cioe 2 ha potenziale maggiore di 1, ma il verso delle correnti e lo stesso

3Concordamente alla convenzione del generatore (C.d.G) nell’avvolgimento di armatura la corrente fluisce dalmorsetto a potenziale minore verso quello a potenziale maggiore




Figura 7.6: Generazione del flusso di armatura nel funzionamento da generatore

e quindi anche la direzione del flusso di armatura. In sostanza, il flusso di armatura e direttosempre nel semipiano di destra della figura, e allineato e concorde con il flusso di eccitazione perθr = 0 e θr = 2π, allineato e discorde per θr = π e non allineato nelle rimanenti posizioni. Lasuccessica Fig. 7.7 illustra questo aspetto, mettendo in luce come, al ruotare della spira, il verso

della corrente sia sempre uscente per il condutttore situato nel semipiano superiore, entrante peril conduttore situato nel sempiano inferiore.

Il risultato e una coppia elettromagnetica (C ) che tende a far ruotare la spira in modo da allineare(nel verso concorde) il flusso di armatura con il flusso di eccitazione. Tale coppia sara diretta inmodo da opporsi al modo del rotore4, ed avra l’andamento qualitativo indicato in Fig.7.8 analogoalla tensione indotta (valore massimo quando i due flussi sono perpendicolari tra loro). Pertanto,per effetto del commutatore a spazzola e lamelle, e possibile sviluppare una coppia continua, nelsenso del valor medio (C m) non nullo. Estendendo il numero di spire si ottiene una coppia semprepiu costante. Ad esempio, nelle Fig.7.9, 7.10 e 7.11 e illustrato il caso (sempre elementare) di unamacchina con due spire5.

4Concordemente alle convenzioni adottate, coppia e velocita sono discordi nel funzionamento da generatore.5Questo caso puo essere compreso osservando che la seconda spira e sfasata di π/2 rispetto la prima, e le lamelle

si estendono anche per (π/2)




Figura 7.7: Flussi di eccitazione e di armatura con una sola spira di armatura

Figura 7.8: Coppia prodotta con una sola spira di armatura




Figura 7.9: Struttura elementare con due spire si armatura

Figura 7.10: Tensione indotta nel m.c.c con due spire di armatura

Figura 7.11: Coppia prodotta nel m.c.c con due spire di armatura




Figura 7.12: Flussi di eccitazione e di armatura con due spire di armatura (generatore)

7.2.2 Funzionamento da motore

Figura 7.13: Funzionamento da motore

Nel funzionamento da motore (7.13) si alimentano gli avvolgimenti di eccitazione e di armatura(ingressi) e si ricava in uscita potenza meccanica all’asse del motore sotto forma di coppia e ve-locita di rotazione. In particolare, rispetto al caso del funzionamento da generatore, il verso dellacorrente di armatura (ia) e opposto6.Cio vuol dire che il flusso di armatura e diretto anche’esso in modo opposto, rispetto al caso del

6Concordemente alla convenzione dell’utilizzatore (C.d.U) nell’avvolgimento di armatura la corrente fluisce dalmorsetto a potenziale maggiore verso quello a potenziale minore




funzionamento da generatore7.Di conseguenza, anche la coppia elettromagnetica che tende a dar ruotare la spira di rotore per

Figura 7.14: Flussi di eccitazione e di armatura con due spire di armatura (motore)

allineare i flussi di armatura ed eccitazione ha verso opposto rispetto al caso del funzionamentoda dinamo, e causa un movimento di rotazione nella sua stessa direzione (l’andamento in funzionedell’angolo θr) e lo stesso del caso di funzionamento da dinamo).

Estrapolando graficamente ad una macchina con un numero elevato di spire, il flusso di amraturasara disso a π/2 rispetto il flusso di eccitazione, le correnti nei conduttori di rotore avranno versoconcorde con tale flusso (considerando il funzionamento da motore o dinamo) e le spazzole saran-no disposte in quadratura (direzione q chiamata asse neutro) rispetto al flusso di eccitazione, asignificare il collegamento a conduttori che transitano in questa posizione8. La rappresentazione

schematica della macchina in corrente continua nel funzionamento da motore e illustrata in Fig.7.16

7In particolare il flusso di armatura e diretto sempre nel semipiano di sinistra della figura8Con tale disposizione, nella macchina reale le spazzole raccolgono la massima tensione indotta nell’avvolgimento

di armatura. Inoltre, durante la commutazione tra due lamelle successive, le spazzole vengono a cortocircuitareconduttori nei quali la tensione indotta dal flusso di eccitazione e circa nulla, limitando la corrente di corto




Figura 7.15: Generazione del flusso di armatura nel funzionamento da motore

7.3 Determinazione del modello dal punto di vista dei cir-

cuiti accoppiati

Abbiamo visto che il funzionamento del collettore a spazzola e lamelle fa si che l’avvolgimento diarmatura, benche composto da conduttori rotanti e quindi soggetti a tensione indotta dal flussodi eccitazione, generia a sua volta un flusso di armatura costantemente diretto secondo l’asse q .Questo funzionamento deve essere tenuto in debita considerazione quando si voglia detrminare ilmodello analitico della macchina in corrente continua a partire dal metodo generale dei circuitimagnetici accoppiati.A tale scopo, con riferimento alla rappresentazione in Fig.7.16, immagineremo che contraria-mente a quanto accade nella macchina reale le spazzole ruotino solidalemente al rotore. Diconseguenza, l’asse magnetico q dell’avvolgimento di armatura ruotera con l’angolo θr. Scrivere-

mo quindi le equazioni per gli avvolgimenti di eccitazione ed armatura e successivamente terremoconto del fatto che, nella macchina reale, la posizione dell’asse q e fissata in θr = π/29

9Con questo procedimento e possibile utilizzare il metodo generale per la scrittura delle equazioni in una strutturaelettromagnetica avente circuiti sul rotore e sullo statore, tenendo conto poi qualitivamente del funzionamento delcollettore



7.3. DETERMINAZIONE DEL MODELLO DAL PUNTO DI VISTA DEI CIRCUITI ACCOPPIATI 1

Figura 7.16: Rappresentazione di una m.c.c. funzionante da motore




Figura 7.17: Possibili posizioni della spira rispetto al rotore

7.3.1 Equazioni elettricheLe equazioni elettriche degli avvolgimenti sono:

va = Raia + dΨa

dt Ψa = Laia + M aeia avvolgimento di armatura (7.4)

ve = Reie + dΨe

dt Ψe = Leie + M aeie avvolgimenti di eccitazione (7.5)

In esse, i coefficenti di auto e mutua induzione presenti nelle espressioni dei flussi avranno i seguentiandamenti qualitativi in funzione di θr

10 (Fig.7.17):

- Induttanza propria dell’avvolgimento di eccitazione :

Le(θr) = Le = costante (7.6)

- Induttanza propria dell’avvolgimento di armatura (Fig.7.18):

L0 = Lad + Laq

2 (7.7)

L = Lad − Laq

2 (7.8)

La(θr) = L0 + L cos(2θr) (7.9)

- Induttanza mutua tra gli avvolgimenti di armatura ed eccitazione (Fig.7.19):

M ae(θr) = −Gae cos(θr) (7.10)

Da tali andamenti si deduce quanto segue:

10Supporemo per semplicita di tipo sinusoidale gli andamenti periodici delle induttanze




Figura 7.18: Andamento qualitativo dell’induttanza propria dell’avvolgimento di armatura

Figura 7.19: Andamento qualitativo dell’induttanza mutua armatura-eccitazione




Figura 7.20: Andamento qualitativo della derivata dell’induttanza mutua armatura-eccitazione

- la derivata dell’induttanza propria dell’avvolgimento di eccitazione rispetto la posizione θr esempre identicamente nulla;

- la derivata dell’induttanza propria dell’avvolgimento di armatura rispetto la posizoione θr enulla in corrispondenza di θr = π/2 dove l’induttanza ha un minimo;

- la derivata dell’induttanza mutua rispetto la posizione θr e del tipo (Fig.7.20)

dM aedθr

= Gae sin θr (7.11)

e il suo valore calcolato in θr = π/2 vale:

dM ae

dθr π2 = Gae (7.12)

Sostituendo le espressioni dei flussi concatenati nelle equazioni delle tensioni degli avvolgimenti siottiene:

va = Raia + d

dt(Laia + M aeie) =

La

diadt

+ iadLa

dθr

dθrdt

+ M aediedt

+ iedM ae

dθr

dθrdt

π

2

(7.13)

ve = Reie + d

dt(Leie + M aeia) =

Le

diedt

+ iedLe

dθr

dθrdt

+ M aediadt

+ iadM ae

dθr

dθrdt

π

2

(7.14)

e sostituendo le espressioni dei coefficienti induttivi e delle loro derivate calcolate in θr = π/2 si

ha:

va = Raia + Ladiadt

+ ieGaedθrdt

(7.15)

ve = Reie + Lediedt

+ iaGaedθrdt

(7.16)

I termini del tipo “variazione della posizione nel tempo”sono stati distinti nelle equazioni diarmatura ed eccitazione in quanto:




- dθr/dt nell’equazione di armatura (7.15), rappresenta la velocita tra il flusso di eccitazione e le bobine di armatura ; effettivamente, essa coincide con la velocita di rotazione delrotore ωr; [-]dθr/dt nell’equazione di eccitazione (7.16), rappresenta, la velocita tra il flussodi armatura e le bobine di campo; tale velocita e nulla, in quanto le bobine di campo sonoferme rispetto al flusso di armatura.

Pertanto, dalle precedenti considerazioni, ponendo per comodita La = Laq, si ottengono le seguentiequazioni elettriche della macchina in corrente continua :

va = Raia + Ladiadt

+ Gaeieωr tensione di armatura (7.17)

ve = Reie + Lediedt

tensione di eccitazione (7.18)

Considerando anche le equazioni dei flussi, si e soliti definire:

Φa = Laia flusso di armatura11 (7.19)

Φe = Leie flusso di eccitazione (7.20)

da cui si trova anche:

va = Raia + dΦa

dt + Gaeieωr tensione di armatura (7.21)

ve = Reie + dΦe

dt tensione di eccitazione (7.22)

Nell’equazione della tensione di armatura, il termine proporzionale alla velocita di rotazione rap-presenta la tensione indotta , che considerando il legame (7.20) tra flusso e corrente di eccitazionesi puo scrivere:

e = Gaeieωr = K eΦeωr tensione indotta (7.23)

avendo definito in coefficiente12:

ke = GaeieΦe

= Gae

Le(7.24)

Per i capitoli successivi e utile riscrivere l’equazione 7.24 in questo modo:

keΦe = Gaeie (7.25)

7.3.2 Espressione della coppia

Per quanto riguarda la coppia elettromagnetica, nel caso di una struttura elettromagnetica con unavvolgimento sullo statore (1) ed uno sul rotore (2) si aveva l’espressione generale (vedere Cap.3.4.3):

C = 1

2i2

1

dL1(θr)

dθr+ i1i2

dM (θr)

dθr+

1

2ı2

2

dL2(θr)

dθr

12Il coefficiente K e risulta costante in ipotesi di linearita del circuito magnetico.




Figura 7.21: Rappresentazione circuitale della macchina in corrente continua

procedendo come al paragrafo precedente, si puo specializzare tale espressione per la macchinain corrente continua considerando il valore della derivata dei coefficienti induttivi in θr = π/2.Sostituendo e → 1 ed a → 2 si ha:

C =

1

2i2a

dL1(θr)

dθr+ iaie

dM (θr)

dθr+

1

2ı2e

dL2(θr)

dθr

π

2

(7.26)

dalla quale si ricava immediatamente:C = Gaeiaie (7.27)

In base alle (7.20) (7.24), la coppia elettromagnetica si puo anche scrivere in funzione del flusso dieccitazione e della corrente di armatura:

C = keΦeia (7.28)

Mentre si definisce coefficiente di coppia :K eΦ (7.29)

e si puo dimensionare sia in Nm

A sia in

V

rad/s

7.3.3 Rappresentazione circuitale

Le equazioni elettriche e l’espressione della coppia, insieme all’equazione di equilibrio meccanico,definiscono il modello elettromagnetico della macchina in corrente continua. La rappresentazionecircuitale associata e illustrata in (7.21) Si puo scrivere:

J dωr

dt = C − C r (7.30)

L’induttanza d’armatura non influisce sulla coppia e per evitare alte dispersioni per effetto Joulebisogna progettare motori con un Ra piccola.



7.4. DINAMICA DEI MOTORI A C.C 133

Figura 7.22: Motore con eccitazione indipendente

7.4 Dinamica dei motori a C.C

7.4.1 Modello dinamico della macchina a c.c.

Nello studio della dinamica del motore a c.c. si trascureranno gli effetti della saturazionemagnetica, che rende non lineare il legame tra le correnti ed i flussi di macchina.In particolare, trascurando la saturazione magnetica non si ha alcun effetto della corrente di ar-matura sul flusso di eccitazione13; il quale dipende esclusivamente dalla corrente di eccitazione ede ad essa proporzionale:

[h]Φe(t) = Leie(t) (7.31)

Si consideri il motore a c.c. con eccitazione indipendente di Fig.7.22 e si scrivano le equazionidifferenziali che descrivono l’equilibrio delle tensioni elettriche nei due circuiti14:

ve(t) = Reie(t) + Le

die(t)

dt

va(t) = Raia(t) + Ladia(t)

dt + e(t)

(7.32)

La f.e.m indotta e legata al flusso di eccitazione dalla:

e(t) = keωr(t)Φe(t) (7.33)

che dalla (7.31) si puo esprimere:

e(t) = Gaeωr(t)ie(t) (7.34)

essendo

Gae = K eLe (7.35)

13Si trascura quindi anche la cosiddetta “reazione di armatura”, cioe la riduzione del flusso di eccitazione dovutoalla saturazione del circuito magnetico causata dalla corrente di armatura

14Il motore in c.c. ad eccitazione indipendente fornisce il modello di macchina nella sua formulazione piu generale.I modelli per le altre tipologie di macchina (serie, parallelo, etc) si ottengono da questo semplicemente introducendoi vincoli di alimentazione fissati dal caso specifico




In base a questa posizone la (7.32) diventa:

ve(t) = Reie(t) + Ledie(t)

dt


dt + Gaeωr(t)ie(t)

(7.36)

Il precedente sistema puo essere scritto in forma matriciale:

ve(t)va(t)

=

Re + Le

d

dt 0

Gaeωr(t) Ra + Lad

dt

ie(t)

ia(t)

= (7.37)

=

Re 00 Ra

+

Le 00 La

d

dt +

0 0Gae 0

ωr(t)

ie(t)ia(t)

(7.38)

v = Ri + Ldi

dt + ω(t)Ki (7.39)

Per completare il modello dinamico e necessario associare alle equazioni elettriche (7.36) l’espres-sione della coppia elettromagnetica, che possiamo ricavare a partire da considerazioni energetichecome segue.La totale potenza istantanea assorbita dalla macchina e pari a:

p(t) = ve(t)ie(t) + va(t)ia(t) = iTv (7.40)

Sostituendo la (7.39) nella (7.40), si ottiene:

p(t) = iT Ri + iT L didt

+ iT ωr(t)Ki (7.41)

Quindi la potenza assorbita e pari alla somma di tre addendi che si vanno ad esplicitare:

-

iT Ri =

ie(t) ia(t) Re 0

0 Ra

ie(t)ia(t)

= Rei2

e(t) + Rai2a(t) (7.42)

rappresenta le perdite per effetto Joule negli avvolgimenti:

-

iT Ldi

dt =

ie(t) ia(t)

Le 00 La

d

dt

ie(t)ia(t)

=

d

dt

1

2Lei2

e(t) + 1

2Lai2

a(t)

=

dW f (t)

dt (7.43)

rappresenta la variazione di energia magnetica W f (t) associata ai due campi;

-

iT Kωr(t)i =

ie(t) ia(t) 0 0

K t 0

ωr(t)

ie(t)ia(t)

= Gaeωr(t)ie(t)ia(t) (7.44)




Poiche l’energia del sistema si deve conservare, quest’ultimo termine deve rappresentare la quotaparte di energia elettrica trasformata in energia meccanica:

pm(t) = Gaeωr(t)ie(t)ia(t) (7.45)

dalla quale e possibile calcolare la coppia sviluppata dal motore:

c(t) = pm(t)ωr(t)

= Gaeie(t)ia(t) (7.46)

Si puo ora scrivere l’ultima equazione differenziale che, assieme alle due precedenti, permette didescrivere l’intero sistema elettromeccanico15:

c(t) = Gaeie(t)ia(t) = cr(t) + J Dωr(t)

dt + Dωr(t) (7.47)

essendo:

- J il momento d’inerzia del motore piu quello del carico16;

- D il coefficiente di attrito del motore piu quello del carico;

- cr la coppia resistente del carico

L’intero sistema elettromeccanico e quindi descritto dal sistema di equazioni differenziali chederivano dalle (7.36) e dalla (7.47)

ve(t) = Reie(t) + Le

die(t)

dt


dt + Gaeωr(t)ie(t)

cr(t) = Gaeie(t)ia(t) − J dω(t)dt

− Dωr(t)

(7.48)

Lo studio della dinamica del motore a c.c. comporta quindi la risoluzione del sistema di equazionidifferenziali (7.48) nelle variabili di stato correnti (di armatura ed eccitazione) e velocit a. Il modelloe non lineare per la presenza di prodotti tra le variabili di stato 17. L’integrazione di tale modelloin forma chiusa e possibile solo sotto alcune ipotesi semplificative, come nel caso del controllo adeccitazione costante che vedremo nel seguito. Altrimenti e possibile integrare il sistema non lineareper via numerica.

7.4.2 Limiti e regioni di funzionamento del motore c.c. ad eccitazione

indipendenteLe tensioni e le correnti che possono essere applicate ad un motore in corrente continua devonorimanere entro specifici limiti, che rappresentano i loro valori nominali o di targa, oltre i quali

15Nello scrivere la (7.47) si e trascurata l’elasticita dell’albero, descrivendo tutto il sistema meccanico con unacola velocita di rotazone ωr(t)

16Se la velocita del carico non e uguale a quela del motore per la presenza di un variatore di velocita, sia ilmomento d’inerzia che il coefficiente di attrito del carico devono essere riporrtati all’asse del motore.

17Si osservi come il sistema si non-lineare benche si sia stato considerato lineare dal punto di vista magnetico,cioe si sia trascurata la saturazione




gli avvolgimenti del motore risulterebbero eccissivamente sollecitati per un corretto e prolungatofunzionamento.Per determinare i limiti e le regioni di funzionamento del motore a corrente continua ad ecci-tazione indipendente si fa riferimento al suo funzionamento a regime (stazionario). Si intendefunzionamento a regime stazionario quando le grandezze u, i ed ω sono costanti e pari a U , I edΩ rispettivamente.

Ad esempio la corrente di armatura I a dovra avere ampiezza in valore assoluto non superiori al val-ore nominale I aN oltre il quale le perdite Joule che si producono nel circuito indotto porterebberola temperatura di regime di questo componente ad assumere valori inaccettabili per i materialiisolanti ivi presenti.Solo per brevi intervalli di tempo si ammettono correnti maggiori della nominale, sfruttando l’in-erzia termica del rotore: limite di corrente nel funzionamento intermittente . Tale limite non devecomunque superare la capacit‘a di commutazione del sistema spazzola-collettore; il suo valore,unitamente al tempo per cui e applicabile, fanno parte dei dati di targa del motore.Anche la tensione alle spazzole deve rimanere entro il suo valore nominale U aN , che dipende daicriteri di isolamento adottati e dall’esigenza di rispetatre i limiti di funzionamento del collettore.Infine anche per il circuito di campo saranno definite la corrente nominale I eN e la corrispondentetensione nominale U eN . Il progettista del motore avra evidentemente coordinato tali valori nom-inali in modo che al loro contemporaneo raggiungimento si produca il flusso nominale ΦN per ilquale e stato dimensionato il circuito magnetico del motore.In sintesi i limiti di funzionamento a regime si potranno esprimere con le:

|I a| I aN

|U a| U aN

|Φ| ΦN

(7.49)

I limiti sopra esposti non sono fra loro indipendenti e producono corrispondenti limiti di coppia

e di velocita.Tutto cio puo essere studiato ed evidenziato con l’ausilio di un piano Φ − I a, rappresentato in7.23, sul quale si possono facilmente tracciare i limiti di corrente di armatura e il limite di flussoinduttore (di quest’ultimo e stato tracciato il solo limite positivo assumendo che il flusso assuma,come solitamente accade, solo valori positivi).

Per quanto riguarda il limite di tensione esso si puo esprimere in funzione di I a e φ sfruttando le(7.22) e (7.23) scritte a regime, cioe ponendo a zero il termine derivativo, ottenendo

|RaI a + K eΦΩ| U aN (7.50)

Essendo la caduta resistiva sempre molto inferiore alla tensione nominale del motore, essa pu o

essere trascurata nella (7.50), giungendo quindi facilmente a

Φ U aN

K e|Ω| (7.51)

Il limite espresso dalla (7.51), e una retta verticale sul piano Φ − I a, la cui ascissa e espressa dalsecondo membro della (7.51) stessa. Si riconosce che il limite di tensione dipende dalla velocitadel motore come evidenziato a tratteggio in Fig.7.23.Esiste un valore di velocita per il quale la (7.51) coincide con la terza delle (7.49). Esso prende ilnome di velocita base e risulta dato da:




Figura 7.23: Limiti di tensione e di corrente d’armatura e di flusso induttore




Figura 7.24: Regioni di funzionamento del motore c.c

ΩP = U aN

K eΦN (7.52)

Per velocita inferiori alla velocita base, come Ω1 di Fig.7.23, il limite di tensione eccede quellodi flusso. Cio significa che dovendo rispettare il limite di flusso, la tensione non raggiunge il suovalore nominale. Per velocita invece superiori alla velocita base, come Ω2 in figura, il limite ditensione e piu severo di quello di flusso e dovra essere osservato riducendo opportunamente il valore

di flusso del motore. Per individuare quale flusso induttore convenga produrre nel motore, fra ivalori ammessi dai limiti appena discussi, e opportuno tracciare sul piano Φ − I a anche le curve a coppia costante che, per la (7.28) valida ovviamente anche a regime, sono delle iperbole, comemostrato ancora in Fig.7.23.Data una certa corrente di armatura, si riconosce che il motore produce la massima coppia possibilequando si impone il massimo flusso induttore ammesso. La conseguenza di tale deduzione e cheper velocita inferiori alla velocita base la macchina lavorera a flusso costante e pari al flussonominale rendendo disponibile sempre la coppia nominale, che si ottiene con corrente di armaturanominale. La regione di funzionamento con velocita inferiore alla velocita base prende per questoil nome di regione a coppia (disponibile) costante o a flusso costante . Essa e rappresentata sulpiano Ω

−T da un rettangolo centrato attorno all’origine degli assi, entro il quale cade il punto

di funzionamento come mostra la Fig.7.24 Per velocita (in valore assoluto) superiori alla velocitabase il motore lavorera invece con il piu alto valore di flusso ammesso dalla (7.51) e quindi con unflusso inversamente proporzionale alla velocita e tale da produrre a tutte le velocita una tensioneai morsetti della macchina costante e pari al valore nominale. La coppia disponibile, ottenibilesempre con corrente nominale, e in questo caso decrescente con la velocita come il flusso.Data l’ipotesi di assenza di perdite sugli avvolgimenti, la potenza meccanica disponibile, data dalprodotto della coppia disponibile per la velocita, e costante e pari alla potenza elettrica disponibileI aN U aN , come e immediato verificare.La regione di funzionamento con velocita superiore alla velocita base prende per questo il nome di



7.5. CONTROLLO IN VELOCIT A DEL MOTORE IN C.C. 139

Figura 7.25: motore ad eccitazione indipendente a regime

regione a potenza (disponibile) costante , o deflussaggio. Essa si estende teoricamente fino a velocita

infinita, ma in pratica sara impiegabile fino ad una certa velocita massima, compatibile con glisforzi centrigughi che il rotore riesce a sopportare e con la capacita del sistema spazzole-collettoredi commutare la corrente; normalmente si ha ΩM = (2 ÷ 6)ΩB. Con riferimento a quest’ultimoaspetto puo rendersi necessario ridurre al di sotto della corrente nominale il limite di corrente perle velocita piu elevate.

7.5 Controllo in velocita del motore in c.c.

7.5.1 Introduzione

La comprensione delle modalita di controllo della velocita del motore in corrente continua e basatasull’analisi delle caratteristiche di funzione statiche , vale a dire le curve che, a regime, mettonoin relazione le grandezze elettriche (tensioni e correnti), la coppia sviluppata e la velocit a di ro-tazione.Nel segutio si fara riferimento al caso del motore in corrente continua ad eccittazione indipen-dente, il cui schema elettrico a regime e illustrato in Fig.7.25. Le equazioni da considerare nelfunzionamento a regime sono:

V e = ReI e tensione di eccitazione (7.53)

Φe = LeI e flusso di eccitazione (7.54)

V a = E + RaI a tensione di armatura (7.55)

E = K eΦeωr tendione indotta (7.56)

C = K eΦeI a coppia (7.57)

C = C r equilibrio dinamico 18 (7.58)

7.5.2 Caratteristica meccanica coppia-velocita

La caratteristica meccanica esprime l’adamento C − ωr della coppia sviluppata dal motore infunzione della velocita di rotazione.




Figura 7.26: Caratteristica meccanica

Nel caso del motore in c.c. ad eccitazione indipendente, ricavando la corrente di armatura I a dalla(7.55) si ottiene:

I a = V a − E

Ra(7.59)

dalla quale, tenendo conto della (7.56), si ha:

I a = V a − K eΦeωr

Ra(7.60)

Sostituendo la (7.60) nella (7.57) si ottiene:

C = K eΦe

V a − K eΦeωr

Ra

=

K eΦeV aRa

− K 2eΦ2e

Raωr (7.61)

La (7.61) fornisce la funzione C = C (ωr), vale a dire proprio la caratteristica meccanica.Nelle ipotesi di flusso di eccitazione a tensione di armatura costante, tale caratteristica e tipica-mente una retta con pendenza negativa, della forma:

C (ωr) = a − bωr (7.62)

con

a = C S = K eΦeV aRa

b = K 2

e Φ2

eRa

(7.63)

come rappresentato in Fig.7.26 Il punto di funzionamento a regime del motore e individuato dallaintersezione tra la sua caratteristica meccanica e la caratteristica di coppia resistente. In Fig. 7.27e illustrato il caso di funzionamento a coppia nominale.

In particolare, dalla (7.61) e immediato ricavare la velocita a vuoto ωr0, alla quale si porta ilmotore quando la coppia resistente e nulla e C ∼= 0:

ωr0 = V aK eΦe

(7.64)




Figura 7.27: Punto di lavoro a coppia nominale

La velocita a vuoto risulta essere direttamente proporzionale alla tensione di armatura ed inver-samente proporzionale al flusso.Nell’espressione (7.62) le costanti a e b rappresentano rispettivamente la coppia di spunto ( C s) ela pendenza della caratteristica; entrambe queste quantita sono, in genere, molto grandi. Pertantola caratteristica meccanica dei motori in c.c. ad eccitazione indipendente da luogo ad un funziona-mento a velocita pressoche costante al variare del carico (la variazione di velocita nel funzionamentoda vuoto al carico nominale e, tipicamente, dell’ordine del 5% come illustrato in Fig.7.27).`E importante osservare che, affinche la coppia vari linearmente con la velocita, gli altri termininella (7.61) devono rimanere costanti al variare del carico19.

7.5.3 Controllo di velocita dei motori in c.c.

Ragionando sulla caratteristica meccanica (7.61) e possibile individuare le seguenti modalita dicontrollo della velocita di un motore a c.c.:

- controllando la tensione di armatura V a;

- controllando il flusso di eccitazione Φe;

- controllando la resistenza d’armatura Ra;

Controllo della tensione di armatura

In questo metodo di controllo della velocita, la tensione di armatura V a viene variata, tenendocostanti la resistenza Ra del circuito d’armatura e la corrente di eccitazione I e quest’ultima, in

19In particolare si deve ipotizzare che l’aumento di corrente di armatura che si ha al crescere del carico nondeve generare effetti di saturazione (che riducono il flusso di eccitazione) ne variazione per surriscaldamento dellaresistenza di armatura.




Figura 7.28: Controllo della tensione di armatura

Figura 7.29: Effetto della variazione della tensione di armatura sulla caratteristica meccanica

genere, al suo valore nominale in modo da garantire la massima capacita di coppia. In Fig. 7.28 emostrata una possibile soluzione realizzativa nella quale l’avvolgimento di eccitazione e alimentatodalla sorgente in continua a tensione costante (V ), mentre l’armatura e alimentata in parallelo at-traverso un’apparecchiatura, tipicamente un convertitore statico, in grado di trasformare potenza inc.c. a tensione costante in potenza in c.c. a tensione variabile20 Dall (7.62), (7.63) e (7.64) si osser-va che la tensione di armatura determina il valore della velocita a vuoto della corrente d’armatura,

I a ↑= V a ↑ −E

Rae della coppia elettromagnetica, C ↑= K eΦe(I a ↑), che determina un aumento

della velocita. Corrispondentemente si a un aumento della f.e.m indotta, E ↑= K eΦe (ωr ↑), checausa una diminuzione della corrente d’armatura; cio comporta una riduzione della coppia motrice

C fino a che, nella nuova condizione di regime, si ha C = C r per una velocita superiore a quella dipartenza.L’effetto di un aumento della tensione d’armatura sulla caratteristica C −ωr e mostrato in Fig.7.29La relazione che lega l’aumento di velocita con quello della tensione di armatura e rappresentato

dalla (7.60), qui riscritta come:

V a = RaI a + K eΦeωr (7.65)

20Si tratta di un convertitore cc/cc, il chopper descritto al par.6.3.4




Figura 7.30: Andamento tensione di armatura-velocita

Considerando la relazione di proporzionalita esistente, a flusso di eccitazione costante, tra la

corrente di armatura e la coppia (cioe il carico):

C = K eΦeI a = C r (7.66)

la (7.65) puo scriversi:

V a = kC r + K eΦeωr (7.67)

Tale relazione esprime un legame lineare tra la tensione di armatura e la velocit a. In particolare,a vuoto (C r = 0 → I a = 0) si tratta di una retta passante per l’origine, mentre a carico siha una tensione a velocita nulla pari alla caduta RaI a nella resistenza dell’avvolgimento. Talecaduta e tipicamente trascurable rispetto la tensione di armatura nominale (V an), come illustrato

in Fig.7.3021

Controllo dell’eccitazione

Il controllo dell’eccitazione e piu semplice da realizzare ed e meno costoso, poiche avviene adun livello di potenza notevolmente inferiore. Tuttavia, a causa dell’elevato valore dell’induttanzadell’avvolgimento di eccitazione, la variazione della corrente di eccitazione, e quindi della coppia,avviene lentamente, causando una lenta risposta nella variazione della velocita.In questo metodo di controllo della velocita, la resistenza d’armatura Ra e la tensione ai morsettidi macchina rimangono costanti. La velocita e controllata variando la corrente d’eccitazione I e.Una soluzione classica e illustrata in Fig. 7.31: l’avvolgimento di armatura e alimentato dalla sor-

gente in continua a tensione costante (V ), l’avvolgimento di eccitazione e alimentato in paralleloattraverso un reostato detto “di campo”Rc, agendo sul quale e possibile variare la corrente di ecc-itazione indipendentemente dalla corrente di armatura22. Trascurando l’effetto della saturazione,il flusso Φe puo ritenersi proporzionale alla corrente di eccitazione I e secondo l’equazione (7.54).Considerando pertanto le intersezioni della caratteristica coppia-velocita con gli assi, rispettiva-mente la coppia allo spunto C S (7.63) e la velocita a vuoto ωr0 (7.64), e facile verificare come la

21Nella figura e illustrato anche il punto di funzionamento “nominale”della macchina, caratterizzato da flusso(corrente) di eccitazione, tensione di armatura e corrente di armatura nominali.

22Una soluzione piu moderna prevede l’uso di un chopper per l’alimentazione dell’avvolgimento di eccitazione




Figura 7.31: Controllo della corrente di eccitazione

prima aumenta proporzionalmente al crescere di Φe mentre la seconda diminuisce in modo inver-samente proporzionale, come indicato in Fig.7.3223.Di conseguenza, la pendenza della caratteristica C −ωr cresce con il quadrato del flusso (corrente) dieccitazione, come confermato dalla (7.63). L’effetto risultante della variazione della resistenza del-l’avvolgimento di campo, e quindi della corrente di eccitazione, sulla caratteristica coppia-velocit ae illustrato in Fig.7.33. Pertanto, per un fissato valore costante di coppia resistente, una riduzione del flusso (corrente) di eccitazione provoca quindi un aumento di velocita e corrispondentementeun aumento della corrente di armatura per soddisfare l’equazione della coppia.

Il meccanismo transitorio e il seguente: se da una condizione di regime viene ridotto il flusso dieccitazione si ha una riduzione della f.e.m. indotta E ↓= K e(Φe ↓)ωr, che causa un aumento

della corrente di armatura I a ↑= V a − E ↓

Ra; tale aumento e piu importante, nell’espressione della

coppia, della riduzione del flusso, per cui la coppia aumenta C ↑= K e (Φe ↑) (I a ↑) e determina unaumento della velocita. Di conseguenza si ha un aumento della tensione indotta, una riduzionedella corrente di armatura e della coppia motrice C fino a che, nella nuova condizione di regime,si ha C = C r per una velocita superiore a quella di partenza.Quindi per condizioni di tensione d’armatura costante e pari al valore nominale, l’espressione (7.63)mostra che variando Φ, la coppia di spunto C S varia come Φ mentre la velocita ωr0 varia come ilsuo reciproco. Al variare di Φ, si ha cioe una rotazione delle caratteristiche meccaniche, attorno

al punto P; la Fig.7.34 mostra (non in scala per ovvie esigenze grafiche) le caratteristiche relativea due valori di flusso Φ e Φ − dΦ arbitrariamente vicini tra loro. E importante notare che pervelocita minori di ωP la coppia si riduce al diminuire di Φ mentre al di sopra di ω p essa cresce. Conuna caratteristica di carico come la (1) di Fig.7.34 in corrispondenza ad una diminuzione di flussosi ha allora una riduzione di velocita, mentra con una caratteristica come la (2) si ha un aumentodi velocita.

Spesso si deisdera mantenere un comportamento analogo a quello del funzionamento a vuoto

23Si noti che se si apre il circuito di eccitazione (ovvero I e → 0), la velocita puo diventare eccissiva e quindipericolosa




Figura 7.32: Andamento della velocita a vuoto in funzione della corrente di eccitazione

Figura 7.33: Effetto della variazione della corrente di eccitazione sulla caratteristica meccanica




Figura 7.34: Caratteristica meccanica nella regolazione di campo

(retta C=0), per cui si richiede un aumento di velocita al calare del flusso ed e quindi necessariorichiedere al motore coppie inferiori a quella relativa al punto P di rotazione delle caratteristichemeccaniche per ogni valore di Φ.Le coordinate del punto P di rotazione possono essere ottenute calcolando la derivata della coppiaC rispetto a Φ, determinando poi il valore ω = ωP che annulla tale derivata. Si ha:

dC

dΦ =

K eV aRa

− 2K 2eΦ

Raω (7.68)

che si annulla per

ωP = V a2K eΦ =

ωr0

2 labelequ190 (7.69)

In corrispondenza si ha

C P = K eΦV a − K eΦωP

Ra= K eΦ

V a2Ra

= C S

2 (7.70)

e la potenza assorbita nel punto P vale:

C P ωP = V 2a4Ra

(7.71)

Se si considera un azionamento a tensione d’armatura impressa e costante, il luogo tracciato sulpiano C − ω dal punto P di rotazione al variare del flusso Φ e dunque un iperbole, come mostrato

in Fig.7.35.La corrente assorbita nel punto P , si ricava dalla (7.65) e vale:

I a(ωP ) = V a2Ra

= I S

2 (7.72)

Per una tensione d’armatura pari al valore nominale, I a(ωP ) e solitamente maggiore della correntenominale del motore; in genere, quindi, si opera con coppie inferiori a C P , limitate da I a I aN . Illimite di tensione e corrente nel piano (ω − C ) e dato da un’iperbole espressa dall’equazione:

P = V aN I aN (7.73)




Figura 7.35: Rotazione delle caratteristiche meccaniche e limite di funzionamento

costante, come riportato in Fig.7.35.Minore e il flusso Φ, maggiore e la velocita e minore e la coppia disponibile. Vi e un limite inferioredi Φ ed e legato al fenomeno della commutazione.Minore e Φ, maggiore e la distorsione di campo al traferro (anche la ridotta saturazione del circuitomagnetico) dovuta alla reazione di indotto che rimane di intensit a inalterata. Cio complica la

commutazione, tenedo anche conto che la velocita e elevata. Siccome la reazione di indotto tendea far diminuire il flusso induttore, si puo manifestare una instabilita a cui si fa fronte sempre congli avvolgimenti compensatori ed eventualmente con una eccitazione di tipo serie.

Campi di funzionamento con controllo della tensione di armatura e con controllodell’eccitazione

I due metodi di regolazione di velocita illustrati hanno applicazione in differenti campi di velocita.Nel controllo dell’eccitazione, quanto piu bassa e la corrente d’eccitazione, tanto piu alta e lavelocita di rotazione e viceversa. Poiche un aumento della corrente di eccitazione causa unariduzione della velocita, esiste un valore minimo limite di velocita, corrispondente alla massimacorrente di eccitazione.Nel controllo della tensione di armatura, poiche al crescere della tensione corrisponde un aumentodella velocita, esiste un valore massimo limite di velocita, corrispondnete al valore nominale dellatensione.Se il motore lavora in corrispondenza dei valori nominali di tensione d’armatura, di corrente diarmatura e di corrente d’eccitazione, esso ruotera alla velocita nominale, nota anche come“velocita base”. Il controllo sulla corrente di eccitazione puo essere impiegato per ottenere velocitamaggiori della velocita base, ma non per velocita al di sotto di essa, in quanto in quest’ultimo casola corrente di eccitazione dovrebbe superare il suo valore massimo consentito. Il controllo sulla




Figura 7.36: Andamento della potenza meccanica massima e della coppia massima in funzionedella velocita

tensione, al contrario, puo essere impiegato per velocita minori di quella base, ma non per quellemaggiori, per le quali sarebbe necessaria una tensione maggiore della nominale.Queste tecniche di controllo della velocita sono quindi complementari, in particola:

- il controllo della tensione d’armatura viene attuato per velocita al di sotto della velocita base;

- il controllo dell’eccitazione per velocita al di sopra della velocita base .

Combinando in uno stesso motore le due tecniche di controllo, e possibile ottenere un ampio campo

di regolazione della velocita.E importante determinare gli andamenti in funzione della velocita dei valori massimi di coppia edi potenza, imposti dal massimo valore della corrente di armatura.Nel controllo della tensione d’armatura, il flusso nel motore e costante e la coppia massima vale:

C max = K eΦeI a,max (7.74)

La coppia massima e quindi costante indipendentemente dalla velocita del motore. Dato che lapotenza all’asse del motore e data da P = Cωr, la potenza massima del motore, per valori divelocita minori di quella base, e pari a:

P max = C maxωr (7.75)

cioe direttamente proporzionale alla velocita.In conclusione, con il controllo sull’armatura il motore lavora a coppia massima costante e a potenzamassima variabile linearmente con la velocita, Fig.7.36 Nel controllo dell’eccitazione, l’aumento divelocita e ottenuto riducendo il flusso, mentre la tensione di armatura e costante pari al valorenominale. Assumendo la corrente di armatura massima, dalla (7.65) si ricava:

Φe = V an − RaI a,max

K eωr∝ 1

ωr(7.76)




che indica la legge di riduzione del flusso di eccitazione al di sopra della velocit a nominale.Sostituendo il flusso dalla (7.76) nell’espressione della coppia, sempre assumendo corrente diarmatura massima, si trova:

C max ∝ 1

ωr(7.77)

In tal modo si ottiene, per velocita maggiori di quella base, un funzionamento a massima potenza

meccanica costante; si ha infatti:P max = C maxωr = K (7.78)

In definitiva nel controllo dell’eccitazione la potenza massima fornita dal motore e costante, mentrela coppia massima e inversamente proporzionale alla velocita, Fig.7.36.In qualche caso si opera anche una inversione del flusso per invertire la velocita o la coppia; taleinversione va sempre effettuata ad armatura non alimentata, dato che in assenza di flusso la f.e.m.E si annulla e tutta la tensione d’alimentazione cadrebbe sulla resistenza d’armatura, provocandouna corrente molto elevata.Per individuare i segni delle tensioni e correnti per ottenere i desiderati versi di velocita e coppia sipuo far riferimento alla tabella ??. Ove possibile non si fa l’inversione di campo, perche associata

V a ≈ E I a Φ ω C + + + + +- + + - +

+ - + + -- - + - -

+ + - - -- + - + -

+ - - - +- - - + +

Tabella 7.1: Relazione di segno tra grandezze elettriche e meccaniche

ad una induttanza generalmente di valore elevato e quindi presenta una dinamica piuttosto lentae si puo fare solo a corrente di armatura nulla.L’inversione di campo induce inoltre f.e.m. nell’avvolgimento di indotto, con possibili scarichefra le lamelle di collettore e sotto le spazzole, come si puo facilmente comprendere ricordando ilmeccanisco di induzione di una f.e.m di tipo trasformatorico nella spira in commutazione.Un tipico esempio di carico adatto per la regolazione di campo e rappresentato dagli avvolgi-tori/svolgitori. Solitmanete e richiesto che essi esercitino una forza F costante sul filo avvolto; l’e-

spressione della coppia e pertanto legata al raggio r (in continua variazione) del rocchetto avvolto,C = F ∗ r e ricordando che la velocita angolare ω e quella tangenziale v sono legate dalla relazioneω = v/r si deduce che il funzionamento richiesto e a potenza costante: C ∗ ω = F ∗ v = costante,legate direttamente alle due specifiche di progetto F e v .Si noti come questo sia un esempio in cui l’applicazione richiede un funzionamento a potenzacostante anche nella zona di funzionamento a coppia (disponibile) costante24; e importante non

24Questo e normalmente ottenuto con un opportuno controllo dela corrente di armatura nella regione a coppiadisponibile costante, facendo diminuire la corrente al crescere della velocita. L’esempio ha lo scopo di evidenziarecome il controllo in deflussaggio si adatti bene a carichi che hanno una coppia decrescente con la velocita




Figura 7.37: Distinzione tra curva e regione di funzionamento

confondere i due concetti, il primo relativo ad una strategia di controllo, il secondo legato allelimitazioni dell’azionamento. La fig.7.37 riassume quanto esposto; a tratto continuo e riportatala curva effettivamente segutia, che ha come vincolo di sottostare alle limitazioni imposte dalleregioni di funzionamento del motore, disegnate a tratteggio.

Tuttavia, le applicazioni che trovano maggiore diffusione sono quelle a coppia costante, richiestedai sistemi di sollevamento (gru, ascensori), dagli estrusori per materie plastiche e dalle macchineutensili con asportazione di truciolo.Ventilatori e pompe centrifughe sono carichi che presentano una coppia proporzionale al quadratodella velocita, mentre le calandre per la carta e le materie plastiche hanno caratteristiche di caricocon attrito viscoso e richiedono dunque una coppia che aumenta leggermente la velocit a.




Figura 7.38: Variazione della resistenza d’armatura

Variazione della resistenza d’armatura

In questo metodo, la tensione ai morsetti del motore V e la corrente di eccitazione I e (e quindi il

flusso) sono tenuti costanti ai loro valori nominali. La velocita e controllata variando la resistenzaposta in serie al circuito d’armatura, Fig.7.38. Dall’eq.(7.60), tenendo conto della resistenza Ri, siottine:

C = K eΦeV

(Ra + Ri) − K eΦ2

e

(Ra + Ri)ωr (7.79)

Se Φe e V sono costanti la (7.79) si scrive:

C = K

1(Ra + Ri) − K

2(Ra + Ri) ωr (7.80)

L’effetto della resistenza aggiuntiva Ri e quello di variare bruscamente la pendenza della caratter-istica C −ωr ed il valore della coppia di spunto, lascando inalterato il valore della velocita a vuoto,(Fig.7.39).Il controllo della resistenza d’armatura e semplice da realizzare, ma risulta essere poco effi-ciente a causa delle perdite per effetto Joule che esso comporta; per tale motivo e raramenteimpiegato.




Figura 7.39: Effetto della variazione della resistenza di armatura sulla caratteristica meccanica

7.5.4 Comportamento dinamico del motore c.c. a flusso costante

Se il flusso e costante, le equazioni del motore (7.5) e (7.23) sono lineari, in quanto i moltiplica-tori diventano operatori lineari, e si puo ricavare un modello matematico a blocchi nel dominio diLaplace (variabile s):

V a(s) = (Ra + sLa)I a(s) + K eΦΩ(s) (7.81)

Assumendo che τ L(ω, t) = τ L(t) + Bω e se si indica con C L(s) la trasformata di Laplace dellacoppia di carico τ L si uo scrivere:

K eΦI a(s) = C (s) = C L(s) + BΩ(s) + sJ Ω(s) (7.82)

Lo schema a blocchi e riportato in Fig.7.40 Per caratterizzare il comportamento dinamico delmotore c.c. assunto come comando la tensione V a, come coppia di carico (di disturbo) C L ecome uscita la velocita Ω, si possono ricavare le fuznioni di trasferimento che legano la velocitaall’ingresso e al disturbo. La prima risulta:

Ω(s)

V a(s) =

1Ra+sLa

K eΦ 1B+sJ

1 + 1Ra+sLa

(K eΦ)2 1B+sJ

=1

K eΦ

(Ra+sLa)(B+sJ )

(K e

Φ)

2 + 1(7.83)

Ponendo:

G = 1

Ra + sLaK eΦ

1

B + sJ (7.84)

eH = K eΦ (7.85)

La (7.83) puo essere riscritta in questo modo:

Ω(s)

V a(s) =

G

1 + GH (7.86)




Figura 7.40: Schema a blocchi del motore c.c. a flusso costante

Figura 7.41: Schema a blocchi ridotto del motore c.c. a flusso costante

Lo schema a blocchi relativo e rappresentato in Fig.7.41 e GH e la funzione di trasferimento adanello. Se si esplicitano i prodotti indicati al denominatore della (7.83) si puo scrivere25:

D(s) = JLa

(K eΦ)2s2 +

(RaJ + LaB)

(K eΦ)2 s +

RaB

(K eΦ)2 + 1

= s2τ aτ m1 + sτ m1

1 +

τ aτ m

+

1 +

τ m1

τ m

(7.87)

25Detti p1 e p2 le radici del polinomio D(s), ed a, b, c i coefficienti di D(s), vale p1 p2 = c/a e p1 + p2 = −b/a.




dove p1 e p2 sono le radici di D(s) = 0, poli della funzione di trasferimento del motore nellaregolazione di tensione di armatura, e si e posto

τ a = La

RaCostante di tempo elettrica del circuito d’armatura (7.88)

τ m = J

B

Costante di tempo meccanica del motore (7.89)

τ m1 = JRa

(K eΦ)2 Costante di tempo elettromeccanica del motore (7.90)

Molto sperro nelle pratica sono verificate due condizioni, di seguito illustrate, che permettono unascrittura semplificata della (7.87)

1. τ a τ m; la costante di tempo elettrica e solitamente molto minore di quella meccanica;

2. τ m1 τ m; se si sostituiscono ai simboli le relative definizioni:

JRa

(K eΦ)2 J

B (7.91)

questa disuguaglianza equivale a supporre RaB (K eΦ)2. Se moltiplichiamo quest’ultimaa destra ed a sinistra per I aN ΩN risulta:

I aN ΩN RaB (K eΦ)2I aN ΩN (7.92)

che riordinata risulta:RaI aN BΩN K eΦI aN K eΦΩN (7.93)

Ricordandoci che:

V Ra = RaI aN

C BN = BΩN

C N = K eΦI aN

E aN = K eΦΩN

La (7.93) puo essere cosı riscritta:

V RaC BN C N E aN (7.94)

e dato che V Ra E aN e che C BN C N , la (7.94) risulta legittima26

Se dunque si possono ritenere valide le approssimazioni 1 e 2, la 7.87 diventa:

D(s) = s2τ aτ m1 + 1 = τ aτ m1

s2 + s

τ a+ 1

τ aτ m1

(7.95)

e la (7.83) si puo scrivere come:

Ω(s)

V a(s) =

1K eΦ

τ aτ m1(s− p1)(s− p2)(7.96)

26Occorre prestare attenzione che le approssimazioni sono generalmente valide per motori funzionanti a vuoto.In presenza di carichi con rilevanti coefficienti di attrito viscoso (per esempio ventilatori) occorre effettuare unaverifica per non incorrere in grossolani errori numerici




Le radici del polinomio caratteristico D(s) in questo caso sono:

p1,2 = 1

2τ a

−1 ±

1 − 4τ a

τ m1

(7.97)

Il discriminante si annulla per τ m1 = 4τ a; in tal caso le radici calcolate nella (7.97) sono reali ecoincidenti:

p1,2 = −12τ a

(7.98)

Valori maggiori del momento di inerzia o minori del flusso comportano τ m1 > 4τ a, e portano dunquea radici reali e distinte, perche il discriminante rimane in tali casi positivo. Se, come spesso accade,τ m1 4τ a, allora:

p1,2 = 1

2τ a

−1 ±

1 − 2τ a

τ m1

=

− 1

τ m1

− 1

τ a+

1

τ m1

≈ − 1

τ a

(7.99)

in qunato la radice del discriminante della (7.97) puo in tal caso essere approssimata in serie diMac Laurin troncata al primo ordine27.Se, al contrario, il momento di inerzia e piccolo, tale per cui τ m1 < 4τ a, le radici sono complesseconiugate e si ha:

p1,2 = 1

2τ a

−1 ± j

4τ aτ m1

− 1

(7.100)

Il luogo delle radici e riportato in Fig.7.42 E utile scindere la (7.96) ricavando la funzione ditrasferimento intermedie, che legano la corrente alla tensione di armatura e alla velocita. Dalla7.40 risulta:

GM (s) = Ω(s)I a(s)

= K eΦB + sJ

funzione di trasferimento meccanica (7.101)

e dunque:

GE (s) = I a(s)

V a(s) =

Ω(s)I a(s)

V a(s)Ω(s) =

1/(K eΦ)

τ aτ m1(s − p1)(s − p2) Ω

V a

+ B + sJ

K eΦ I aΩ

(7.102)

Nel caso particolare di radici reali e distinte, con attrito totale trascurabile, la (7.102) cosı si sem-plifica:

GE (s) =

1/K eΦ

τ aτ m1

s + 1τ a

s + 1

τ m1

sJ

K eΦ =

Ra

Ra

1/K eΦ

(1 + sτ a)(1 + sτ m1)

sJ

K eΦ =

1

Ra

sτ m1

(1 + sτ a)(1 + sτ m1)

(7.103)Finora si e sempre trascurata l’analisi degli effetti della coppia di carico (di disturbo); la linearitadella trasformazione di Laplace consente infatti di analizzare separatamente gli effetti della ten-sione d’armatura e della coppia di carico sulla velocita, salvo poi sovrapporli qualora entrino in

27La serie di Mac Laurin per la generica funzione f (x) si esrpime come f (x) = sum∞n=0

f n(0)

n! xn. In particolare

f 1(0) = 1

−2√

1 − x

x=0

= −1

2 e dunque

√ 1 − x

x→0

≈ 1 − x

2




Figura 7.42: Luogo delle radici, motore a flusso costante

azione contemporaneamente le due cause. La funzione di trasferimento che lega velocita e coppiadi carico e:

Ω(s)

C L(s) = −

1

B + sJ

1 + 1

Ra + sLa(K eΦ)2 1

B + sJ

= −Ra + sLa

K eΦ

1

K eΦ(Ra + sLa)(B + sJ )

(K eΦ)2 + 1

= −Ra + sLa

K eΦ

Ω(s)

V a(s)

(7.104)Il denominatore e ovviamente lo stesso, ma in questo caso compare anche uno zeri a numeratore.Per momenti di inerzia sufficientemene grandi vala la (7.99) e si ha la cancellazione dello zero, percui la (7.104) diventa:

Ω(s)

C L(s) = −Ra(1 + sτ a)

K eΦ

1/K eΦ

(1 + sτ a)(1 + sτ m1) = − 1

J

τ m1

(1 + sτ m1) (7.105)

che e una funzione del primo ordine. Se, al contrario, la costante di tempo elettromeccanica none molto maggiore di quella elettrica, ad esempio quando il momento di inerzia e molto piccolo, lafunzione di trasferimento non e piu del primo ordine, anche se la risposta che ne risulta e moltosimile a quella di un primo ordine. La (7.105) mette in evidenza come il guadagno cresca aldiminuire del flusso. In altre parole, a regime si ha un errore di velocita dovuto alla sola coppiadi carico che tende a crescere al diminuire del flusso (sistema “elastico”). Naturalmente a regimel’errore puo essere comunque nullo se si adotta un opportuno sistema di controllo a catena chiusa.Quanto detto vale infatti per semplice sistema “motore”, senza legami con il controllo che si intendeadottare.



7.6. AZIONAMENTI CON MOTORE IN CORRENTE CONTINUA 157

Accorgendosi che:

Ω(s)

V a(s) = −

1

K eΦ(Ra + sLa)(B + sJ )

(K eΦ)2 + 1

(7.106)

La (7.104) puo essere riscritta:

Ω(s)C L(s)

= −Ra + sLa

K eΦΩ(s)V a(s)

(7.107)

L’equazione (7.106) risulta dopo opportune sostituzione:

Ω(s)

V a(s) =

1

K eΦτ aτ m1(s − p1)(s − p2)

(7.108)

dove:

p1,2 = 1

2τ a −1 ± 1 − 4τ aτ m1 (7.109)

e p1,2 valgono rispettivamente:

p1 = − 1

τ m1; p2 = − 1

τ a(7.110)

7.6 Azionamenti con motore in corrente continua

7.6.1 Struttura dell’azionamento

La struttura di principo di un azionamento con motore a corrente continua ad eccitazione in-dipendente, per il quale si preveda sia il controllo di armatura che quello di campo, e illustrato inFig.7.43. Il circuito di armatura e quello di eccitazione sono alimentati da due convertitori staticiche forniscono le desiderate tensioni di armatura va e di eccitazione ve proporzionali ai corrispon-denti riferimenti va,rif e ve,rif . Questi ultimo sono prodotti dal controllo dell’azionamento cheelabora i segnali di riferimento della velocita ωrif (o, quando e il caso, quello della coppia o dellaposizione) e quelli di reazione, per esempio, con riferimento alla figura, i segnali di velocita dellecorrenti di armatura e di eccitazione, ottenuti dai rispettivi trasduttori. Quando non e prevista laregolazione di campo, l’eccitazione e alimentata a tensione costante.Numerose sono le possibili configurazioni dei convertitori statici e dei sistemi di controllo. Essesaranno esaminate in dettaglio nel seguito del capitolo.Per quanto riguarda i convertitori statici, si fa qui l’assunzione che essi possano erogare tensioni

e correnti sia negative che positive e che la tensione di uscita segua linearmente quella di ingressocon una dinamica definita da una funzione di trasferimento del primo ordine. Per i convertitori diassumera pertanto la relazione in s:

CS (s) = V (s)

V rif (s) =

K c1 + sτ c

(7.111)

dove K c e il guadagno (costante) del convertitore e τ c e la costante di tempo che definisce il ritardocon cui la tensione di uscita risponde ad ogni variazione del suo riferimento.Data una funzione f (t), la sua espressione quando la si ritarda di un tempo T C diventa f (t − T C ).




Figura 7.43: Struttura generale di un azionamento con motore c.c.

Nel dominio di Laplace questo equivale a moltiplicare la trasformata di f (t), F (s), per esT C . Perpiccoli valori di T C si puo poi approssimare in serie di McLaurin la funzione esponenziale, ottenendola relazione:

esτ c

=

1

esτ c ∼= 1

1 + sτ c (7.112)

In genere il valore di τ c va dalle frazioni di millisecondo a qualche millisecondo e percio e solitamenteinferiore alla costante di tempo di armatura che, a sua volta, e inferiore a quella meccanica e aquella del circuito di eccitazione.

7.6.2 Azionamento con il solo anello di velocia

Si considerano in questo e nei prossimi paragrafi i principali schemi di controllo per azionamentiimpiegati su motori a corrente continua comandati sull’armatura e/o sull’eccitazione da adeguaticonvertitori statici di potenza. Per soddisfare alle impegnative esigenze che si incontrano nellemoderne applicazioni degli azionamenti elettrici, sia per quanto riguarda la precisione a regime siaper la prontezza dell’intero sistema, il tipo di controllo impiegato e quasi universalmente quelloa catena chiusa e tale sara quello in esame in questi appunti con riferimento ad un controllo divelocita.La configurazione piu semplice di azionamento con controllo di velocita, e quella di Fig.7.44. Inesso un motore con eccitazione costante (in pratica con eccitazione connessa, per esempio, ad unraddrizzatore a diodi non controllati) e alimentato tramite un convertitore statico con una tensionedi armatura il cui valore di riferimento e prodotto dal regolatore di velocita che elabora l’errore eωfra il riferimento di velocita ωrif e il segnale di reazione della stessa ωt.




Figura 7.44: Azionamento con motore c.c. con solo anello di velocit a

Al sistema di Fig.7.44 corrisponde lo schema a blocchi di Fig.7.45, nel quale sono messi in evidenzai blocchi che rappresentano il convertitore (Fig.7.44), il motore e il trasduttore di velocita, asuntoquest’ultimo descritto da una semplice guadagno K tω

Per un piu agile studio della dinamica dell’azionamento e una semplice esposizione dei criteridi progetto dei regolatori, allo schema di Fig.7.45 si applicano le trasfotmazioni che lo portano a

quello di Fig.7.46: In Fig.7.46 si sono posti:

Rω = K cK tωR

ω

ω∗ = ωrif /K tωv∗a = va,rif K c

(7.113)

Figura 7.45: Schema a blocchi dell’azionamento con solo anello di velocita




Figura 7.46: Schema a blocchi con costanti di trasduzione dei sensori unitarie

Figura 7.47: Schema a blocchi nel dominio di Laplace

Lo schema di Fig.7.46 corrisponde a suppore che il trasduttore di velocita e il convertitore d’ar-matura abbiano guadagni statici unitari. Un possibile vantaggio sta nel fatto che cosı facendo

i riferimenti, ora indicati con l’asterisco, sono espressi nella stessa scala e unita di misura dellegrandezze cui si riferiscono e i segnali di reazione sono rappresentati dalle stesse grandezze con-trollate a catena chiusa.Nel caso si voglia tenere in conto la dinamica del trasduttore di velocit a, che come tutti i trasdut-tori, unitamente al loro sistema di condizionamento del segnale di uscita, avr a una caratteristicapassa basso, lo schema di Fig.7.46 dovra essere completato inserendo nel canale di reazione la partedinamica (a guadagno statico unitario) del sistema di trasduzione.Assumendo che l’alimentazione dell’eccitazione del motore a tensione costante corrisponda adun funzionamento a flusso costante e che il carico meccanico sia descritto dalla relazione lineare

τ = J dω

dt + τ L(t, ω), lo schema di Fig.7.46 puo essere trasformato nel dominio di Laplace in quello

di Fig.7.47, ove, separatamente, sono messe in evidenza le funzioni di trasferimento tra tensione diarmatura e velocita e fra coppia di carico e velocita (cfr. par, 7.5.4) Le espressioni esplicite delledue funzioni di trasferimento sono gia state ricavate nel par.7.5.4; in particolare si fara riferimentoalle (7.96)28 e (7.103).In molte applicazioni pratiche non critiche si richiede semplicita circuitale del controllore di ve-locita, per mantenere bassi costi e ridotti tempi di taratura dell’azionamento. verranno di seguito

28C’e da sottolineare che la (7.96) e stata ricavata nelle ipotesi di avere τ a τ m e τ m1 τ m; tali ipotesi sonopraticamente sempre verificate se i parametri di inerzia ed attrito viscoso si riferiscono al solo motore; pu o nonesssere cosı per particolari carichi, ad esempio quelli caratterizzati da grande attrito viscoso come i ventilatori




esaminati i progetti di due regolatori, di tipo proporzionale (“P”) e proporzionale-integrale (“PI”), che uniscono semplicita realizzativa a buone prestazioni dinamiche, sufficienti a coprire graparte delle applicazioni.

Progetto con regolatore proporzionale (P)

Il regolatore P e il piu seplice dei regolatori esistenti; esso viene impiegato in questo caso per pro-durre un riferimento di tensione d’armatura u∗a proporzionale all’errore tra la velocita desiderataω∗ e la velocita effettiva del motore ω (Fig.7.47). La sua funzione di trasferimento e dunque:

Rω(s) = K pω (7.114)

La funzione di trasferimento ad anello per l’azionamento di Fig.7.47, ricordando che ci si e ricon-dotti ad avere H ( jω) = 1 ed utilizzando l’espressione (7.96) per Ω(s)/V a(s), risulta la seguente:

GH ( jω) =

K pωK eΦ

(1 + jωτ c)1 − j ω p1

1 − j ω p2

(7.115)

L’unica variabile di progetto e il guadagno K pω del regolatore P; un criterio usualmente adottatoconsiste nel fissare come specifica un certo margine di fase mϕ di cui per praticita si richiama ladefinizione dalla Teoria dei Controlli Automatici:

mϕ = π + ∠GH ( jωattr) (7.116)

dove ωattr rappresenta la pulsazione di attraversamento, per il quale il modulo della gunzione GHdiventa unitario:

|GH (Jωattr)| = 1 (7.117)

Nel caso in esame e dunque sufficiente ricavare ωattr dalla (7.116) imponendo un margine di faseopportuno (precuazionalemente non inferiore a 40) e ricavare infine il guadagno K pω sostituendoil valore di ωattr trovato nella (7.115) ed imponendo che l’espressione soddisfi la condizione (7.117).E facile verificare che questo criterio porta a dover risolvere equazioni trascendenti, per le qualie conveniente ricorrere a mezzi di calcolo automatico. In taluni casi, comunque, i valori numericiche entrano in gioco consentono si semplificare l’espressione (7.115); un caso non raro e che tra ipoli della funzione ve ne sia uno a frequenza molto elevata rispetto agli altri due, cosı da poteressere trascurato, in prima approssimazionem neu calcoli di progetto del regolatore.L’azionamento con regolatore P, non presentando una funzione di trasferimento con poli nell’orig-ine, e un sistema di tipo zero e presenta pertanto errore non nullo a regime. Di questo e facilerendersi conto se si osserva che e proprio un errore di velocita che permette la generazione dell’op-portuno riferimento di tensione d’armatura. Se, per assurdo, si annullasse l’errore di velocita, siannulerebbe anche la tensione applicata al motore e l’azionamento cesserebbe di funzionare.Un criterio alternativo per il calcolo del guadagno K pω puo consistere nell’imporre l’errore di ve-locita a regime E ω, quando il riferimento di velocita ω∗ e imposto pari alla velocita nominale ωN

ed in condizioni di carico nominali (I a = I aN ).

C = K eΦI a (7.118)




Quindi mi pongo nella situazione peggiore:

V a = V a,rif = K pωE ω = RaI a + K eΦΩ (7.119)

dove:E ω = Ω∗ − Ω1 (7.120)

Riscrivo la (7.119) nelle condizioni peggiori di coppia: V a = RaI aN + K eΦΩΩ = Ω∗ − E ω

(7.121)

che risulta:V a = RaI aN + K eΦ(Ω∗ − E ω) = K pωE ω (7.122)

Esplicitando K pω:

k pω = RaI aN + K eΦ(Ω∗ − E ω)

E ω(7.123)

salvo poi assicurarsi che rimanga un margine di fase sufficiente a garnatire la stabilitadell’azionamento. L’errore, infatti, cala al crescere del guadagno del regolatore P, ma questa azioneconduce verso una zona di instabilita, come facile rilevare tracciando ad esempio il diagramma diBode per GH ( jω). Dalla (7.123) si puo infine ricavare l’espressione che da l’errore relativo divelocita in funzione del riferimento impostato:

E ωΩ∗

= K eΦ

K pω + K eΦ +

RI a(K pω + K eΦ)Ω∗

(7.124)

Si puo notare che si tratta, al variare della corrente di armatura, di una famiglia di iperboli, e cheil minimo errore percentuale di velocita si ha a vuoto, alla massima velocita del motore.

Progetto con regolatore proporzionale-integrale (PI)

Come evidente, in molti casi non esiste un valore del guadagno proporzionale che permetta di sod-

disfare contemporaneamente a requisiti di stabilita e di prontezza della risposta di velocita. Occorrequindi ricorrere ad un regolatore piu complesso, che realizzi ad esempio una azione proporzionale-integratrice sull’errore di velocita, assicurando errore nullo a regime. La funzione di trasferimentoe in questo caso la seguente:

Rω(s) = K pω1 + sτ ω

sτ ω(7.125)

La funzione di trasferimento ad anello per l’azionamento di Fig.7.47, tenendo conto della (7.125)risulta adesso:

GH ( jω) = K pω(1 + sτ rω)

sτ rω

K c(1 + sτ c)

1/K eΦ

1 − j ω

p11 −

j ω

p2 (7.126)

Una tecnica solitamente seguite per il progetto del regolatore PI (ovvero per la determinazionedelle due costanti che lo caratterizzano, K pω e τ ω) consiste nel far cancellare dallo zero, introdottodal regolatore, il polo dominante; supponendo che questo sia p1 si pone dunque:

p1 = − 1

τ m1

p2 = − 1

τ a

(7.127)




Figura 7.48: Diagramma di Bode per il controllo di velocit a con regolatore PI

ponendo:τ rω = τ m1 (7.128)

si puo eliminare la dinamica lenta:(1 + sτ rω)

1 − j ω

p1

= 1 (7.129)

e la funzione ad anello si semplifica diventando:

GH ( jω) = K pω(sτ rω)

K c(1 + sτ c)

1/K eΦ

1−

j ω

p2 (7.130)

Il diagramma di Bode e riportato in Fig.7.48; e evidente che ora la scelta del guadagno staticodel regolatore serve a fissare un margine di fase sufficiente a garantire un funzionamento stabile,che anche in questo caso non e solitamente inferiore a 40. La procedura per il calcolo di K pω epoi analoga a quella del solo regolatore proporzionale (par. 7.6.2), ove alla (7.115) si sostituisca la(7.130). La Fig.7.48 riporta anche, a tratteggio, le caratteristiche di Bode relative ai singoli blocchipresenti nello schema di controllo. In particolare si puo notare come l’introduzione del regolatorePI conduca una curva GH traslata a destra rispetto alla caratteristica Ω(s)/V a(s) propria del mo-tore, con conseguente incremento della pulsazione di attraversamento ωattr. Per un ragionamento




Figura 7.49: Limitazione della corrente di armatura

qualitativo, qual’e da intendersi il presente, ωattr puo considerarsi legata direttamente alla bandapassante dell’anello di velocita e dunque rimane verificato che il regolatore PI permetta di miglio-rare la dinamica del sistema mantenendo nel contempo errore nullo a regime, per la presenza delpolo nell’origine della funzione GH (s). La banda passante del regolatore risulta:

BP : G

1 + GH (7.131)

Limitazione della corrente di armatura

Durante i transitori, a fronte di errore di velocita cospicui, l’uscita dei regolatori P o PI puorichiedere tensioni d’armatura molto grandi anche a piccole velocita. Considerando ad esempioil caso di regolatore P, supponendo per semplicita un carico di tipo puramente inerziale (B = 0)si puo far riferimento alla Fig.7.49. Tralasciando per il momento il circuito di limitazione dellacorrente, tratteggio in Fig7.49, e supponendo che il regolatore Rω sia caratterizzato da un guadagnoK pω, e facile rendersi conto che il legame tra riferimento di velocita Ω∗ e la corrente di armaturaI a, espresso secondo le trasformate di Laplace vale:

I a(s)

Ω∗(s) =

sK pω/La

s2 + sRa

La

+ K eΦ

LaJ

(K pω + K eΦ)=

sK pω/La

s2 + 2ξω0s + ω20

(7.132)

dove in particolare lo smorzamento ξ vale:

ξ = Ra

2

J

LaK eΦ(K pω + K eΦ) (7.133)

E evidente che per valori abbastanza alti di K pω lo smorzamento e piccolo e dunque gradini diriferimento di velocita producono sovraoscillazioni nella corrente che possono eccedere i limiti delconvertitore o del motore.




Un rimendio semplice e rappresentato, a tratteggio in Fig.7.49; la corrente di armatura viene tras-dotta, eventualmente moltiplicata per un coefficiente K ri (anche inferiore all’unita) ed infine entrain un blocco non lineare di limitazione. Fino a che la corrente rimane, in valore assoluto, all’internodel limite prefissato I L, l’uscita del limitatore e nulla, ed e quindi come se la retroazione di cor-rente non esistesse. All’opposto, quando la corrente eccede il limite, il blocco limitatore proponeil segnale retroazionato moltiplicato per un guadagno elevatissimo, di fatto facendo tendere a zero

il guadagno di anello e forzando cosı una riduzione della corrente.Come si intuisce, qualche problema di stabilita puo insorgere dato che l’azionamento in limitazionedi corrente funziona a struttura variabile, commutando tra due configurazioni di cui una dotatadi altissimo guadagno GH. Inoltre questo sistema di limitazione introduce una non-linearitA nelsistema e quindi e poco utilizzato in ambiente industriale.Questi inconvenienti spingono a ricercare soluzioni piu sofisticate ed efficaci, come quelle che con-templano la realizzazione di veri anelli di regolazione della corrente di armatura. Le strutture degliazionamenti che ne derivano saranno estesamente trattati nel paragrafo successivo.

7.6.3 Azionamenti con anelli di velocita e di corrente

Nel par.7.6.2 si sono viste diverse soluzioni per il controllo a catena chiusa della velocit a. Si eosservato, in conclusione del paragrafo, come durante i transitori della velocita la corrente possaeccedere i valori nominale del convertitore o del motore, inconveniente che va assolutamenteevitato per preservare l’integrita dell’azionamento e garantirne un buon funzionamento prolungatonel tempo. Per azionamenti di maggior pregio, si implementa, oltre ad integrazione dell’anello divelocita, una regolazione di corrente. I vantaggi di questa soluzione sono principalmente due:

- si migliora la dinamica della corrente, dato che con un opportuno progetto del regolatore dicorrente si puo compensare tra il comando (tensione di armatura) e la grandezza regolata(corrente di armatura, appunto) introdotto dalla costante di tempo elettrica del motore;

- si dispone di un efficace strumento di limitazione della corrente, che si ottiene semplicementelimitandone il riferimento dell’anello di regolazione

Struttura con regolatori in cascata

Essa consiste nell’inserire all’interno dell’anello di regolazione della velocita un anello di regolazionedella corrente, cosı come evidenziato in Fig.7.50Si noti che in Fig.7.50 tutte le costanti di trasduzione sono state riportate all’interno dei regolatori

Rω ed Ri e quindi la trattazione seguente possa beneficiare della semplicita relativa agli schemi aretroazione unitaria.Nel segutio si ipotizza che il motore operi a flusso di eccitazione costante; questo rende lineari le

equazioni dinamiche del motore e si puo ricavare un modello matemtico e a blocchi nel dominio diLaplace. Si focalizzera dapprima l’attenzione sul progetto dell’anello interno di regolazione dellacorrente, nel quale si suppone che il regolatore Ri sia di tipo PI, caratterizzato da un guadagnoK pi e da una costante di tempo τ ri

Ri(s) = K pi1 + sτ ri

sτ ri(7.134)

Le espressioni in s del convertitore statico CS(s) e della funzione di trasfermento tra tensione ecorrente di armatura GE (s) sono gia state ricavate nei paragrafi precedenti, e vengono qui riportate




Figura 7.50: Regolazione di velocita e corrente con regolatori in cascata

per praticita, supponendo B = 0;

CS (s) = V (s)

V rif (s) =

K c1 + sτ c

GE (s) = sJ/K eΦ

K eΦ

1 − s

p1

1 − s

p2

(7.135)

Se si pone τ ri = − 1

p2, lo zero del regolatore cancella il polo dominante della GE (s) e la funzione

ad anello aperto GH (s) risulta la seguente:

GH i(s) = Ri(s)GE (s)CS (s)

= 1 − sτ ri

sτ riK pi

1

1 + sτ cK c

sJ K eΦ

Ra

Ra

La

La

K eΦ(1 + sτ a)(1 + sτ m1)

= −K piK cLa p1

1 − s

p1

(1 + sτ c)

(7.136)

INSERIRE DIAGRAMMA DI BODE La scelta del guadagno K pi puo essere fatta, come di con-sueto, in base allo studio del diagramma di Bode di GH (s), imponendo un margine di fase di

almento 60

.Una approssimazione che spesso viene utilizzata nel progetto di regolatori in cascata, sfruttandol’ipotesi di retroazione unitaria, consiste nell’esprimere, data la funzione ad anello aperto GH (s),la funzione di trasferimento come:

W i(s) = G(s)

1 + G(s) ≈

1 se s < jω0i

G(s) se s > jω0i

(7.137)

dove ω0i = 1/τ 0i e la pulsazione di attraversamento dell’asse delle ascisse del diagramma di Bodedi GH (s). Applicando questa approssimazione al caso in esame consente all’anello esterno (di




regolazione della velocita) di vedere quello interno di corrente come un sistema avente funzione ditrasferimento:

W i(s) = 1

(1 + sτ 0i)(1 + sτ c) (7.138)

La (7.138) e una funzione del secondo ordine. Paragonandola alla funzione scritta in formacanonica:

W i(s) = ω2

0

s2 + 2ξsω0 + ω20

(7.139)

si ricava facilmente le espressioni delle smorzamento ξ e la pulsazione naturale ω0:

ξ = τ 0i+ + τ c

2

1√ τ 0iτ c

(7.140)

ω0 = 1

√ τ 0iτ c(7.141)

Queste espressioni permettono un calcolo agevole della banda passante (approssimata) dell’anellodi corrente:

BP = ω0

2π

1 − 2ξ 2 +

2 − 4ξ 2 + 4ξ 4 (7.142)

Un diverso approccio al progetto puo essere quello di fissare la desiderata banda passante BPdell’anello di corrente, ricavando la pulsazione di attraversamento τ 0i; questa puo essere usata perdeterminare il guadagno K pi del regolatore di corrente. E opportuno osservare che in ogni caso va

poi fatta una verifica sul margine di fase, per garantire la stabilita dell’anello di regolazione anchea fronte di sempre possibili variazioni parametriche.La limitazione della corrente si ottiene semplicemente introducendo un blocco limitatore a ±I Lall’uscita del regolatore di velocita; la corrente verra in tal modo limitata con una veloce dinamica(dettata dalla banda passante dell’anello di corrente) e con sovraoscillazioni contenute e comunquepredicibili dallo studio della (7.138).Si puo passare ora al progetto dell’anello per la regolazione della velocit a. Lo schema a blocchi a cuifar riferimento e riportato in Fig.7.51. Anche in questo caso una scelta largamente condivisa peril regolatore di velocita e un PI, caratterizzato da un guadagno K rω e da una costante di tempo τ rω :

Rω(s) = K pω = 1 + sτ rωsτ rω

(7.143)

La funzione GH (s) ad anello chiuso vale in questo caso:

GH (s) = K pωK eΦ

τ rωJ

(1 + sτ rω)

s2(1 + sτ 0i)(1 + sτ c) (7.144)

Per la presenza del polo doppio nell’origine non e in questo caso possibile scegliere τ rω in modo da




Figura 7.51: Anello di regolazione della velocita

Figura 7.52: Fase della funzione di trasferimento GH

compensare con lo zero del regolatore uno dei poli non nulli del denominatore; si puo allora seguireuna differente procedura, di seguito delineata:

- si impone una pulsazione di attraversamento ωattr = 1/τ 0i pari a circa la meta della pulsazionecorrispondente al passaggio della pendenza della caratteristica GH ( jω) da 20 a 40 dB/decadenel diagramma di Bode;Nell’ipotesi di considerare abbastanza lontani gli altri poli, si puo dimostrare, con qualcheapprossimazione, che questo porta ad avere un margine di fase mϕ di circa 64 . Si puo farriferimento alla Fig.7.52 se ci fossero solo il polo nell’origine e il polo in 1/τ 0, l’evoluzionedella fase attorni a 1/τ 0 sarebbe influenzata solo da tale polo; per una pulsazione pari allameta di quella del polo varrebbe:

arg

1

1 + jωτ 0

ω=1/2τ 0

= −atg

1

2

(7.145)




ed il margine di fase sarebbe dunque:

mΦ = π +

−1

2 − atg

1

2

≈ 64 (7.146)

Nel caso del progetto in esame non ci sono i presupposti per questa approssimazione, al-meno per l’annello di velocita; si puo comunque mantenere la scelta fatta per la pulsazione

di attraversamento, imponendo poi un margine di fase che andra soddisfatto scegliendoopportunamente lo zero del regolatore di velocita.

- si impone una condizione sul margine di fase, per esempio che non sia inferiore a 40 ; datoche la pulsazione di attraversamento e stata fissata al passo precedente, questa condizioneconduce al calcolo diretto della costante di tempo τ rω. Si ha infatti:

mΦ = π + arg(GH ( jωattr))

= π + atg(ωattrτ rω) − [π + atg(ωattrτ 0i) + atg(ωattrτ c)]

= atg τ rω

τ 0ω−atg

τ 0i

τ 0ω−atg

τ c

τ 0ω (7.147)

e quindi:

atg

τ rωτ 0ω

= mΦ + atg

τ 0iτ 0ω

+ atg

τ cτ 0ω

(7.148)

da cui e immediato ricavare il valore di τ rω.

- conoscendo la costante di tempo τ rω, si puo ora determinare in modo univoco il guadagnoK rω del regolatore di velocita, imponendo che il modulo di GH calcolato alla pulsazione diattraversamento (ωatt = 1/τ 0ω ≈ 1/2τ 0i)stabilita al primo passo della procedura sia unitario:

|GH ( jωattr)| = K pωK eΦ

Jτ rωω2attr

1 + ω2

attrτ rω(1 + ω2

attrτ 20i)(1 + ω2attrτ 2v )

= 1 (7.149)

Il progetto puo dunque considerarsi concluso; rimangono da svolgere alcune osservazioni di carat-tere pratico, che saranno riportate a margine degli esercizi.Durante l’analisi degli schemi di controllo della velocita si e sempre assimilata la coppia di caricoC L ad un disturbo, considerato nullo durante il progetto dei regolatori. A progetto ultimato, enaturalmente possibile pensare di introdurre una coppia di carico, analizzandone l’influenza sullavelocita, in termini di trasformata di Laplace Ω(s)/C L(s) (Fig 7.47). Dallo schema di Fig.7.51annullando il riferimento di velocita, e immediato ricavare la funzione di trasferimento cercata:

Ω(s)

C L(s) = −

1

sJ

1 + 1

sJ Rω(s)W i(s)K eΦ

(7.150)

dalla quale, sostituendo le epressioni esplicite, ed in particolare quella semplificata per W i, sigiunge ad una funzione razionale con due zeri e tre poli, di difficile interpretazione intuitiva. Se sifa invece l’ipotesi semplificativa che la dinamica dell’anello di corrente sia molto piu rapida di quelladell’anello di velocita ( questo e normale negli azionamneti con convertitori molto veloci, come i




chopper) si puo pensare che la funzione di trasferimento W i si riduca ad un semplice guadagnounitario; in tal caso ottiene:

Ω(s)

C L(s) = −

s

J

s2 + K pωK eΦ

J s +

K pωK eΦ

Jτ rω

(7.151)

La (7.153) e una funzione del secondo ordine; essa puo essere paragonata alla funzione scritta informa canonica, premoltiplicando per il fattore τ rω/K pωK eΦ; dal confronto si ricavano facilmentele espressioni per lo smorzamento ξ e la pulsazione naturale ω0:

ξ = 1

2

K pωτ rωK eΦ

J (7.152)

ω0 =

K pωK eΦ

Jτ rω(7.153)

Rimane confermato come lo smorzamento sia tanto migliore quanto piu alto e il guadagno del rego-latore; le espressioni ricavate permettono inoltre di caratterizzare, sia pure in modo approssimativo,l’intera dinamica dell’azionamento nei confronti dei transistori di coppia di carico. Quindi:

ξ ∝ K pω

ξ ∝ 1

J



Capitolo 8Motore a passo (stepper motor)

In questo capitolo si affrontano i principi di funzionamento e i dettagli costruttivi dei principaliattuatori a passo. verra anche fornito un semplice esempio di dimensionamento. I motori a passodi possono dividere in tre categorie:

- motori a passo a riluttanza variabile (VR)

- motori a passo a magneti permanenti (MP)

- motori a passo ibridi (HY)

8.1 Motori a passo a riluttanza variabile

La sezione dell struttura interna di una attuatore (motore) a passo a riluttanza variabile (VR), atre fasi e quattro denti di rotore (poles or teeth ), e schematicamente riportato in Fig8.1Sia lo statore che il rotore sono realizzati con materiale ferromagnetico (acciaio dolce) e presentano

marcata anisotropia radiale. Ciascuna fase di statore e composta da piu avvolgimenti, disposti sucoppie diametralmente opposte di espansioni polari (coppie polari ); la Fig. 8.1 riporta il casosemplice di un avvolgimento trifase, con una sola coppia polare per fase. Il rotore presenta DR

salienze (denti) equidistanziati tra loro di un angolo (passo di rotore ) dato da:

αR = 2π

DR(8.1)

Il proncipio di funzionamento e il seguente: si supponga di essere nella condizione indicata in Fig.8.1, con la fase a alimentata con una corrente continua e costante, a vuoto. In condizioni di equi-librio, il rotore si posiziona in modo che una sua coppia di denti si trovi allineata con l’asse della

fase alimentata, a cui corrisponde una configurazione di equilibrio stabile a minima riluttanza. Sitolga ora l’alimentazione alla fase a, e si alimenti la fase b. Sul rotore nasce una coppia che lo portain rotazione in senso antiorario fino a far coincidere la coppia di denti di rotore pi u vicina alla faseb con l’asse della fase stessa, posizione alla quale corrisponde nuovamente la minima riluttanza delsistema. Nel caso in figura si possono contare 3 fasi di statore F S .La rotazione compiuta dal rotore e detta angolo di passo αP ed il corrispondente numero di pas-si/giro e dato dalla (8.2)

αP = 2π

N P (8.2)

171



172 CAPITOLO 8. MOTORE A PASSO (STEPPER MOTOR)

Figura 8.1: Struttura di un motore a passo a riluttanza

N P e un importante parametro dei motori a passo, in quanto indicativo della risoluzione ango-lare ottenibile durante il posizionamento di un carico meccanico direttamente collegato all’albero.Ripetendo le operazioni per la fase c si ha un ulteriore passo in avanti (in senso antiorario), come

rappresentato in Fig. 8.2Si puo facilmente intuire che un ulteriore passo in avanti, ottenuto alimentando nuovamente la

fase a, porta il rotore in una posizione analoga a quella di Fig8.2(a), ruotando rispetto a questa diun passo di rotore (π/2, in questo caso). Dunque alimentando ciclicamente le tre fasi di statoresi ottiene una rotazione pari ad un passo rotorico. E possibile dunque calcolare il numero di passinecessari per completare un analogo giro e trovarsi in una posizione di rotore coincidente con quelladi partenza:

N p = DrF s (8.3)

Dove F s e il numero di fasi di statore e Dr rappresenta il numero di denti di rotore.Nello statore dei motori VR ciascuna fase puo essere disposta in modo che i denti diametrale-mente opposti abbiano polarita magnetiche coincidenti od opposte, a seconda del convertitore chesi desidera abbinare al motore.Nei motori VR il traferro (air-gap) in aria tra i denti di statore e di rotore viene tenuto quanto piupiccolo possibile per avere, a parita di corrente di eccitazione e dunque di forza magnetomotrice,induzione e quindi coppie piu elevate. A parita di coppia resistente applicata, la disponibilita di el-evata coppia massima produce abcge un ridotto scostamento (displacement ) rispetto alla posizionedi allineamento a vuoto e dunque posizionamenti piu accurati.Un’altra caratteristica ricercata dai progettisti e quella di avere un piccolo angolo di passo, checonsente elevata risoluzione nel posizionamento. Il passo α p = π/6 rad che si ottiene dalla (8.3)



8.1. MOTORI A PASSO A RILUTTANZA VARIABILE 173

Figura 8.2: Posizioni di rotore in due passi successivi

sostituendo l’esempio di Fig.8.1 (Dr = 4, F s = 3) non rappresenta naturalmente una soluzionesoddisfacente, a meno che non ri ricorra ad ingranaggi demoltiplicatori, che peraltro introduconoattriti e giochi fagli effetti indesiderati. Una prima intuitiva miglioria e costituita dall’aumento delnumero di denti di rotore, fino a quando la complessita meccanica non ne intacchi la rocustezza ol’economicita della produzione. In alternativa, si puo pensare di aumentare il numenro di fasi distatore. Anche in questo caso, il limite alla fattabilita e costituito dallo spazio a disposizione percollocare gli avvolgimenti nello statore, mentre il costo dell’azionamento e pesantemente influen-zato dal convertitore. Il numero di componenti di potenza del convertitore, infatti, e direttamentelegato alle fasi da alimentare, il cui numero influenza anche i requisiti per il microprocessore dicontrollo o l’equivalente circuiteria hardware.Un esempio di struttura con 4 fasi di statore (F s = 4) e 50 denti di rotore (Dr = 50) e riportato,a titolo d’esempio, in Fig.8.3. A tale struttura corrisponde, in base alla (8.3), un numero di passi

pari a N p = 200 passi, ovvero una risoluzione di 1.8

.Il numero di denti di statore e 40, ma risulta chiaro che questo dato non interviene nella de-

terminazione del passo del motore; va comunque sottolineato che non tutte le combinazioni sonopossibili; elaborate considerazioni portano a definire delle tabelle che contengono le combinazionipossibili.Per aumentare la risoluzione e stata studiata una struttura per i motori VR della “in cascata” (o“multi-stack”), di cui una rappresentazione schematica e riportata in Fig.8.4.

Rispetto al motore VR di Fig.8.1, che presenta uno statore a singolo stadio (“single stack”) sulquale alloggiano tutte le tre fasi, il motore multi-stack e realizzato con uno statore a tre stadi, unoper ciascuna fase. Pensando di vederle sovrapposte in un unico piano, la struttura e equivalentea quella del VR convenzionale di Fig.8.4(b), in cui per semplicita si sono disegnati solo quattrodenti di rotore e di statore. nei motori “multi-stack”i denti di statore e di rotore sono molti di piue presentano lo stesso angolo di passo; inoltre, ciascuno stadio e montato sfasato di 1/3 di passo(in generale, di α p/F s rad) rispetto al precedente, come illustrato in Fig.8.4 (a).Il principio di funzionamento e abbastanza intuitivo. Si supponga che inizialmente sia alimentatala terza fase e che dunque il rotore sia allineato con i denti del terzo stadio di statore (stack 3). Aquesto punto, alimentando la fase a si produce un avanzamento di unterzo di passo in senso orario,mentre si ottiene il mesesimo avanzamento in senso opposto alimentando la fase b.I motori VR multi-stack sono impiegati nelle macchine utensili a controllo numerico per l’ottimarisoluzione angolare che ne costituisce caratteristica peculiare.




Figura 8.3: Motore VR cpn 4 fasi di statore e 50 denti di rotore

Figura 8.4: Struttura di un motore a riluttanza variabile “multi-stack”a tre fasi



8.2. MOTORI A PASSO A MAGNETI PERMANENTI 175

Figura 8.5: Struttura di un motore a passo a magneti permanenti

8.2 Motori a passo a magneti permanenti

La sezione della struttura di un attuatire (motore) a passo a magneti permanenti (PM), a queattrofasi e schematicamenti riporatata in Fig.8.5.

Il rotore e costituito da un magnete permanente cilindrico e presenta dunque una sola coppiapolare, con polarita disposte in senso radiale; strutture piu complesse, con piu coppie polari, pos-sono essere realizzate inserendo magneti permanenti opportunamente sagomati all’interno di unastruttura rotorica portante, realizzata con gli accorgimenti necessari (traferri o interposizione dimateriali amagnetici) atti ad evitare “cortocircuiti”magnetici.

Quando una fase e percorsa da corrente, i suoi conduttori risentono di una forza che tende adisporre il piano delle spire perpendicolarmente al campo magnetico prodotto dal rotore; per ilprincipio di azione e reazione, si muovera naturalmente il rotore, ruotando fino ad allineare il suoasse con quello della fase alimentata. Con riferimento ad esempio alla Fig.8.5(a), alimentando insuccessone le fasi a → b → a → b si ottiene una rotazione in senso antiorario con passi di π/2rad.Per aumentare le amperspire coinvolte nella produzione di coppia e possibile anche na configu-razione con gli avvolgimenti collegati in serie a coppie, come illustrato in Fig.8.5(b). In tal casovi sono solo due fasi, ma il convertitore che le alimenta deve essere in grado di imporre correnti diambo i versi, soluzione che comporta generalmente un aggravio dei costi.Come evidenzia l’esempio di Fig.8.5, la risoluzione del posizionamento e piuttosto grossolana.Raddoppiando sia le fasi di statore che le coppie polari di rotore si ottiene un motore con angolodi passo α p = 45. Esistono pero limiti fisici sia al numero di denti di statore che, sopratutto,al numero di coppie polari, per cui si puo concludere che a parita di complessita tecnologica e diproduzione la risoluzione dei motori a passo PM rispetto ai motori VR e sicuramente peggiore.Inoltre, la coppia prodotta e limitata dalla massima induzione al traferro, a sua volta legata allainduzione residua dei magneti impiegti nel rotore.Generalmente, per contenere i costi, si utilizzano normali ferriti, che non presentano ne induzionene campi coercitivi particolarmente elevati.Un vantaggio dei motori a passo PM e che vi sono per il rotore posizioni di equilibrio pari al




numero di passi/giro anche in caso di eccitazione delle fasi di statore. La coppia in assenza dieccitazione e detta coppia di tenuta (detent torque, DT) e solitamente varia tra il 5% ed il 20%della coppia che di esplicita quando le fasi sono alimentate. In alcune applicazioni, ove questacaratteristica viene sfruttata, si sagomano opportunamente i denti per accentuare l’anisotropia distatore e massimizzare la coppia di tenuta; in altri casi essa introduce solo un indesiderato feno-mento di “puntamento”(cogging ) e si cerca di minimizzarla, sempre agendo sulla conformazione

dei denti di statore.Al termine dell’esecuzione di ogni angolo passo, il rotore si attesta nella posizione di equilibrio dopoin transitorio i cui paramentri caratteristici (sovraelongazione e smorzamento) dipendono dallecaratteristiche del motore e del convertitore che lo alimenta. Nei motori a passo PM la presenzadel magnete ha per effetto secondario un aumento dell smorzamento, che consente posizionamentipiu rapidi rispetto a quelli dei motori VR.



8.3. MOTORI A PASSO IBRIDI: STRUTTURA E PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO 177

Figura 8.6: Sezione e rotore di un motore a passo ibrido

8.3 Motori a passo ibridi: struttura e principio di funzion-amento

Per sfruttare al megli le peculiarita sia del motore VR che PM sono stati studiati e realizzatimotori ibridi (hybrid motor, HY) che combinano i deu principi di funzionamento, con statore erotore anisotropi ed allogiando nel rotore anche un magnete permanente a flusso assiale.Il primo brevetto per questi motir e intestato a Feiertag e Donahoo e risale al 1952; il motoreera descritto come un sincrono per applicazioni a bassa velocita e fu chiamato motore sincrono adinduzione.La sezione della struttura interna del piu tipico motore a passo ibrido, a quattro fasi e 50 denti di

rotore e riporato in Fig.8.6.La struttura dello statore e praticamente identica a quella di un motore VR, con la differenza che

mentre nel motore VR attorno a ciscun dente di statore trova posto l’avovlgimento di una singolafase, nei motori HY attorno ad ogni dente trovano posto conduttori di due fasi diverse. pertanto undente non e piu associabile ad una singola fase, bensı ad una coppia di fasi, avvolte generalmentecon versi opposti (avvolgimento bifilare) cosı che alimentate con la medesima corrente producanopolarita magnetiche opposte.Il rotore ha una struttura particolare, Il suo nucleo e costituito da un magnete permanente cilin-drico, che produce un flusso assiale unipolare come mostrato in Fig.8.7(a).

Su ciascuono dei poli del magnete permanente e allocata una struttura dentata, tipica del motoreVR e i denti delle due sezioni sono disallineati tra loro di mezzo passo di dentatura. Tali sezionisono normalmente ricavate tramite tranciatura da lamierini al silicio, anche se non sono rare lerealizzazioni in ferro al silicio pieno o sinterizzato.La Fig.8.7(b) riporta la distribuzione dei conduttori di una fase ed il percorso delle linee di campomagnetico da essi prodotto quando vengono percorsi da una corrente nel verso indicato.Nei motori ibridi la coppia nasce dall’interazione tra i due campi magnetici di statore e di rotore;il principio di funzionamento puo essere analizzato con l’ausilio dell Fig.8.8, che mostra le duestruttuture agli estremi del magnete permanente separate e “srotolate”per chiarezza espositiva.

Si assuma che il passo di rotore coincida con quello di statore, acnhe se a volte qusta ipotesi nonviene soddisfatta, per riduerre la coppia di tenuta e migliorare la precisione di posizionamento.




Figura 8.7: Percorsi magnetici in un motore a passo ibrido

Figura 8.8: Sviluppo della struttura del motore HY, sulle due estremit a del rotore



8.3. MOTORI A PASSO IBRIDI: STRUTTURA E PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO 179

Figura 8.9: Posizione di equilibrio dopo l’alimetazione della fase a

La parte superiore di Fig.8.8 mostra lo sviluppo lineare della sezione relativa alla polarita magneti-ca S, mentre la parte inferiore e relativa allo sviluppo della sezione dentata che sovrasta la polaritaN, all’altra estremita del rotore. Sono stati considerati, a titolo d’esempio, i poli indicati con A e Cin Fig.8.7(b). E facile rendersi conto che all’istante considerato l’avvolgimento del polo A produceun campo le cui linee sono entranti nel rotore, mentre il campo prodotto dall’vvolgimento del polo

C ha verso opposto. E innanzitutto da osservare che la sola struttura VR non sarebbe in grado difar produrre coppia utile, dato che alimentando la fase succesiva il rotore si troverebbe gia in unaposizione di equilibrio in ciascuna delle due sezioni, come si vede dalla Fig.8.8.Ben diversa e la situazione quando si considera la sovrapposizione con il campo prodotto dal mag-nete permanente di rotore.All’istante considerato in Fig.8.8 nel traferro della sezione relativa alla polarita i campi magneticisi sommano sotto il polo A e tendono a neutralizzarsi sotto il polo C; viceversa accade nell’altrasezione di rotore. Grazie allo sfasamento di mezzo passo di rotore, la coppia che tende ad allinearenella sezione superiore il rotore con il polo A e concorde con quella che nell’altra sezione induce ilrotore ad allinearsi con il polo C e globalmente esse imprimono una rotazione in senso antiorarioal rotore. Dopo che il rotore si e mosso di un quarto di passo rotorico in questa direzione avvienel’allinemaneto, che rappresenta una condizione di equilibrio stabile. La nuova posizione e riporatain Fig.8.9.

A questo punto si toglie l’alimentazione alla fase attuale e si alimentano gli avvolgimenti cheeccitano i poli B, H. . . di statore. Affinche il rotore venga trascinato ancora verso sinistra, appareevidente che ora esso deve tendere ad allinearsi con il polo H nella sezione superiore e con il poloB in quella inferiore, e pertanto il verso delle correnti che percorrono i conduttori avvolti attornoa tali poli risultano quelli indicati ancora in Fig.8.9.Si procede allo stesso modo per i due passi successivi, alimentando prima la fase c e poi la fase d,che interessano le stesse espansioni polati delle fasi a e b rispettivamente. Osservando la 8.10, rel-




Figura 8.10: Posizione di equilibrio dopo l’alimentazione della fase b

ativa all’almentazione della fase b (espansioni polari B, D, F, H) ci si rende conto che per ottenereun ulteriore avanzamento verso sinistra del rotore, i poli che devono essere “attivi”sono C per laparte superiore e A per la parte inferiore; la fase c deve essere dunque alimentata con correnti diverso opposto a quello della fase a, da cui la necessita degli avvolgimenti bifilari citati all’inizio delparagrafo.

In alternativa, naturalmente, si puo pensare ad una struttura con sole due fasi alimentate conconvertitori bipolari.Si puo concludere che il magnete permanente gioca un ruolo essenziale nella produzione della cop-pia mentre la struttura dentata consente di ottenere piccoli passi e dunque elevata risoluzione nelposizionamento.

8.4 Modi di alimentazione dei motori a passo.

Nei paragrafi precedenti e stato illustrato il principio di funzionamento dei diversi tipi di motorea passo, assumendo sempre che venisse alimentata separatamente ogni singola fase ( single-phase

excitation ). Questo tipo di alimentazione e piu semplice e quello che viene assunto come basenell’analisi dei meccanismi fondamentali di funzionamento; vi sono comunque metodi diversi dialimentazione dei motori ibridi, ciascuno con particolari vantaggi e svantaggi. Di seguito ne verr afornita una sintesi schematica.

8.4.1 Eccitazione a singola fase.

Come gia accennato nell’introduzione, e il metodo piu semplice, noto come “one-phase-on drive”.Nella tabella 8.1, riferita ad un motore a passo a tre fasi, e riportato un esempio di frequenza di



8.4. MODI DI ALIMENTAZIONE DEI MOTORI A PASSO. 181

comando agli interruttori che pilotano l’alimentazione di ciascuna fase. Un “1”significa che la fasee alimentata, mentre una casella vuota significa che essa e spenta.

All’inizio si suppone che il rotore sia in uno stato d’equilibrio (I) con la sola fase A alimentata.

I 1 2 3 4 5 6 7 8Fase S 1 1 1 1

Fase S 2 1 1 1Fase S 3 1 1 1

Tabella 8.1: Sequenza di comando nel modo di eccitazione a singola fase

Il primo passo in avanti viene ottenuto diseccitando la fase S 1 ed alimentando la fase S 2, quindila fase S 3 e cosı via. Invertendo la sequenza di alimentazione delle fasi si ottiene l’inversione delsenso di rotazione del motore.In base alle considerazioni sulla conversione elettromeccanica dell’energia, e possibile ricavare un’e-spressione per la coppia che agisce sul rotore quando viene alimentata la singola fase. Ad esempio,

l’autoinduttanza della fase S 1 puo essere approssimata come:

La = L0 + L2 cos(4ϑ) (8.4)

Nell’ipotesi di assenza di saturazione del circuito magnetico, la coppia prodotta dalla fase S 1 sicalcola con la 8.5

τ a = ∂W m

∂ϑ = −2L2i2 sin(4ϑ) (8.5)

e dunque ha valore massimo pari a 2L2i2 e punto di equilibrio in ϑ = 0. Allo stesso modo sitrovano, per le fasi S 2 ed S 3 rispettivamente:

Lb = L0 + L2 cos(4ϑ − 23π) (8.6)

Lc = L0 + L2 cos(4ϑ + 2

3π) (8.7)

e dunque:

τ b = −2L2i2 sin(4ϑ − 2

3π) (8.8)

τ b = −2L2i2 sin(4ϑ + 2

3π) (8.9)

L’andamento delle coppie generate dalle singole fasi e riporati in Fig.8.11La dinamica del motore a passo dipende fortemente dal tipo di alimentazione. Le equazioni chedescrivono la dinamica sia dei motori VR che PM sono differenzali non lineari; solitamente, sistudia la dinamica per piccoli spostamenti attorno ad una posizione di equilibrio del rotore, inmodo da poter linearizzare le equazioni del sistema ed applicare la trasformata di Laplace. Conqueste ipotesi, si puo dimostrare che la funzione di trasferimento per un motore a passo (sia VRche PM) alimentato con eccitazione a singola fase e quella di un sistema del secondo ordine:

Θ0

Θi=

ω2n

s2 + 2ξωns + ω2n

(8.10)




Figura 8.11: Coppie prodotte da ciascuna fase in un motore VR

dove Θ0 e Θi sono le L-trasformate rispettivamente della posizione effettiva e del riferimento. Lapulsazione naturale (natural angular frequency ) ωn e lo smorzamento ξ per il motore PM sono datida:

ωn = p2I oΛmg

2J

(8.11)

ξ = B

2Jωn(8.12)

dove p e il numero di coppie polari associato a ciascuna fase, I 0 e la corrente di equilibrio alimentatala singola fase, Λmg e il valore massimo del flusso prodotto dal magnete permanente di rotore econcatenato con la singola fase, J e B soni rispettivamente momento d inerzia e coefficiente diattrito viscoso del motore e del carico riportato al motore. E interessante notare come I 0 e Λmg

siano anche direttamente responsabili delle produzione della coppia statica. Piu crescono, piu ealta la frequenza naturale e meno smorzato risulta il posizionamento del rotore a segutio di unavariazione a gradino del riferimento.

Per il motore VR risulta invece:

ωn = 2 pI o

2L

J (8.13)

dove L rappresenta l’induttanza di fase del motore VR. Lo smorzamento ξ e ancora dato dall’e-spressione (8.12).Solitamente i motori PM risultano piu smorzati dei motori VR, per la presenza del magnete per-manente sul rotore; le espressioni (8.11-8.13) indicano comunque che vi e un notevole grado diliberta durante la progettazione del motore stesso.




8.4.2 Eccitazione a doppia fase

Questo modo prevede l’alimentazione contemporanea di due fasi (two-phase-on ioeration ). Inanalogia a quanto visto nel paragrafo precedente, si riporta di seguito la tabella con un esempiodi sequenza di comando per un motore VR con avvolgimento monofilare, a tre fasi: La Fig.8.12

I 1 2 3 4 5 6 7 8Fase S 1 1 1 1 1 1 1Fase S 2 1 1 1 1 1 1Fase S 3 1 1 1 1 1 1

Tabella 8.2: Sequenza di comando nel modo di eccitazione a doppia fase

riporta la situazione dei passi 1,2,3 della tabella, per una migliore comprensione del funzionamento.Ci si rende subito conto che ciascuna posizione di equilibrio non vede piu il rotore allinearsi con unasalienza di statore, come accadeva nel funzionamento a singola fase. Ad ogni passo corrisponde un

avanzamento di 30

, come di consueto.Ancora una volta, sfruttando i principi di conversione elettrodinamica dell’energia, e possibilederivare le diverse posizioni di equilibrio stabile analizzando la coppia che agisce sul rotore, quandosiano alimentate contemporaneamente due fasi. In modo del tutto analogo a quanto visto inprecedenza, l’induttazna relativa alla fase S 1 ha un andamento in funzione della coordinata angolareϑ che puo essere approssimata analiticamente dalla relazione:

La = L0 + L2 cos(4ϑ) (8.14)

Allo stesso modo, data la simmetria esistente, l’induttaza della fase S 2 si esprime come:

Lb = L0 + L2 cos(4(ϑ + π/6)) = L0 + L2(4ϑ + 2π/3) (8.15)

E anche facile rendersi conto che la mutua induttanza fra gli avvolgimenti nei motori a passo ariluttanza (e nei motori Switched Reluctance) puo essere trascurata. Nelle ipotesi che:

i poli di statore siano numeri pari

Figura 8.12: Posizioni di rotore nel funzionamento a doppia fase




8.13.1 Linee di campo 8.13.2 Circuito elettrico equivalente

Figura 8.13

non vi sia saturazione della parti in ferro, che si assume abbiano permeabilita infinita

i poli statorici siano alimentati a coppie

le linee di campo di ciascuna fase hanno un percorso preferenziale attraverso i poli corrispondentialla fase eccitata (Fig.8.13.1)

Lo statore ed il rotore si trovano allo stesso potenziale magnetico, quindi non vi e flusso suipercorsi magnetici dei poli di statore non alimentati, ovvero non vi e mutua induttanza. Con le

ipotesi fatte, il circuito e lineare, per cui vale la sovrapposizione degli effetti ed in generale dunqueogni fase risente solo del flusso autoconcatenato.Trascurando la mutua induttanza, ed alimentando le due fasi con uguale corrente i, l’energiamagnetica di esprime come:

W m = 1

2La(ϑ)i2 +

1

2Lb(ϑ)i2 (8.16)

e la coppia vale1

τ = ∂W m

∂ϑ = −2L2i2(sin(4ϑ) + sin(4ϑ − 2π/3)) = −2L2i2 sin(4ϑ − π/3) (8.17)

L’andamento delle due induttanze, dell’energia magnetica e della coppia prodotta nel caso dell’ali-mentazione delle due fasi S 1 ed S 2 e riportato in Fig.8.14, assumendo una corrente unitaria i = 1A,L0 = 1mH , L2 = 0.5mH .

Si puo notare come il punto di equilibrio stabile si trovi per ϑ = 15, a cui corrisponde il massimodell’energia magnetica immagazzinata dal sistema a spese dell’alimentazione delle fasi.Il risultato e in accordo con la prima situazione riportata in Fig.8.12; con ragionamenti del tuttoanaloghi si possono trovare gli altri punti di equilibrio.Confrontando la (8.5) e la (8.17) si nota che l’alimentazione a singola e a doppia fase producono la

1sin(α) + sin(β ) = 2 cos[(α − β )/2] sin[(α + β )/2]




Figura 8.14: Induttanze, energia e coppia in un motore VR con eccitazione a doppia fase

stessa coppia massima. Una notevole differenza tra i due metodi di alimentazioen e riscontrabilenella risposta al transitorio, ovvero quando viene comandata ad esempio la fase (o la coppia difasi) successiva, seguneto le Tab.8.1 e Tab.8.2. Nell’eccitazione a doppia fase si trova che le oscil-lazioni di assestamento cono molto piu smorzate che nell’altro caso. Questo fenomeno puo esserequalitivamente spiegato con l’ausilio di Fig.8.11 e della Fig.8.15.

Nel modo in esame, due fasi sono sempre eccitate e connesse alla stessa sorgente di alimentazione.Si forma pertanto un anello chiuso, nel quale si induce una fem per effetto delle variazioni di in-duttanza che seguono l’oscillazione del rotore. Tale fem provoca una corrente di circolazione chetende ad opporsi alla causa che la genera, smorzando dunque l’oscillazione meccanica. Nel casodi alimentazione della singola fase, non si forma alcun circuito chiuso, e le oscillazioni del rotorevengono smorzate solo dall’attrito meccanico del rotore.




Figura 8.15: Oscillazioni nei VR con eccitazione a doppia fase

8.4.3 Funzionamento a mezzo passo

Questo particolare modo di funzionamento e la combinazione dei modi a singola e doppia ecci-tazione descritti nei paragrafi precedenti. Un esempio di sequanza di eccitazione per un motoreVR a tre fasi e relativa ad un moto in senso antiorario, e riportata nella Tab.8.3. E facile notare

I 1 2 3 4 5 6 7 8Fase S 1 1 1 1 1 1Fase S 2 1 1 1 1 1Fase S 3 1 1 1

Tabella 8.3: Sequenza di comando nel funzionamento a mezzo passo

che vengono alimentate le fasi con sequenza S 1, S 1S 2, S 2 . . . ; la posizione di equilibrio quando ealimentata solo S 1 e ϑ = 0, come gia osservato nel Par.8.4.1. Quando passa ad alimentare contem-poraneamente S 1 ed S 2, la posizone di equilibrio risulta ϑ = 15, e poi si passa ad alimentare soloS 2 la posizione di equilibrio e ϑ = 30. Quanto appena descritto e riportato in Fig.8.16In definitiva, si ottiene un dimezzamento del passo, con un conseguente raddoppio della accuratez-

za dell posizionamento. Questo vantaggio e parzialmente sminuito dalla maggiore complessita dellalogica di controllo del motore. La coppia massima prodotta rimane naturalmente sempre la stessa,pari a 2L

2i2.

8.5 Accuratezza nel posizinamento del motore a passo

L’accuratezza nel posizionamento e un importante fattore che determina la qualita del motore apasso. Il motore a passo e disegnato affinche ruoti mediante predeterminati angoli di passo inrisposta ad un segnale e resti in una precisa posizione. Siccome l’accuratezza in assenza di caricodipende dalla precisione di realizzazione del rotore e dello statore, il motore a passo e costru-ito molto bene. Inoltre, il motore a passo e disegnato affinche la coppia antagonista e prodotta



8.5. ACCURATEZZA NEL POSIZINAMENTO DEL MOTORE A PASSO 187

quando si verifica uno spostamento dalla posizione di riposo alla coppia di carico. Sara discussosuccessivamente perche il traferro tra il rotore e lo statore deve essere il piu sottile possibile. Cosıl’accuratezza di posizione dipende solo dalle caratteristiche del motore e dal circuito di pilotaggio,mentre altri parametri elettronci non hanno effetto sull’acciratezza.Prendiamo qui in considerazione alcune terminologie che compaiono nella trattazione della massimacoppia statica, nella posizione nella quale il rotore si ferma e nell’accuratezza di questa posizione.

Definiamo ora alcune terminologie:Massima caratteristica statica di coppia:

- Holding torque definita come la massima coppia statica che puo essere applicata ad asse diun motore eccitato senza causare una rotazione continua.

- Detent torque definita come la massima coppia statica che puo essere applicata ad asse di unmotore non eccitato senza causare una rotazione continua

Posisizioni nelle quali il rotore si ferma

- nella posizione di riposo o di equilibrio: definito come “le posizioni in cui un motore eccitato

si ferma a vuoto.”

- Detent position: definita come la posizione in cui un motore che possiede un magnetepermanente all’interno del suo rotore o statore che si ferma a vuoto senza stimolo.

In alcuni motori le detent position sono utilizzate per collocare, senza stimoli, gli avvolgimenti cosıda mantenere la potenza. Le posizioni a riposo e di tenuta non sono sempre le stesse.Posizionamento di precisione:

- Step position error: definito come il piu grande errore di posizione angolare statico positivo onegativo (confrontandolo con l’angolo nominale del passo) che puo avvenire quando il rotoresi muove da una posizione di riposo all’altra.

- Positional accuracy: definito come il piu grande errore di posizione angolare in una posizionedi riposo relazionata al multiplo totale dell’angolo nominale del passo, il quale puo avveniredurante una completa rotazione del rotore quando si muove da un riferimento di posizionedi riposo.

- High torque to inertia ratio: e consigliabile che un motore a passo si muova il piu velocepossibile in risposta ad un impulso d’entrata o ad un treno d’impulsi.

Figura 8.16: Posizioni di rotore nel funzionamento a mezzo passo




8.6 Specifiche delle caratteristiche di un motore a passo

In questa sezione, sono studiati i termini tecnici usati per specificare le caratteristiche di un motorea passo.

8.6.1 Caratteristiche statiche

Le caratteristiche in relazione al motore fermo sono chiamate caratteristiche statiche.

- T /ϑ caratteristiche. In primis il motore a passo si mantiene in una posizione di riposo(equilibrio) alimentandosi da una corrente in un modo specifico di eccitazione, chiamata,fase singola o doppia fase di eccitazione. Se una coppia esterna viene applicata all’asse,si necessita di un sfasamento angolare. La relazione tra la coppia esterna e il sfasamentopotrebbe essere tracciata come si vede nella Fig.8.17. Questa curva e chiamata in modoconvenzionale, curva caratteristica T /ϑ, la coppia statica massima e denominata la “Holdingtorque”la quale avviene a ϑ = ϑM Fig.8.17. Nei sfasamenti superiori a ϑM , la coppia staticanon agisce in una direzione verso la posizione d’equilibrio originale, ma in una direzione

opposta verso la posizione d’equilibrio seguente. La holding torque e, rigorosamente, definitacome la “coppia statica massima che puo essere applicata all’asse di un motore eccitatosenza causare moto continuo”. L’angolo, nel quale la coppia di sostegno viene prodotta, none sempre separato dal punto d’equilibrio dato da un passo d’angolo.

- T /I caratteristica: la holding torque aumenta con la corrente e ci si riferisce convenzional-mente a questa relazione come alle caratteristiche T /I . La figura 8.18 confronta la caratter-istiche T /I di un tipico motore ibrido con quelle di un motore VR, avendo entrambi il passod’angolo a 1.8. La coppia statica massima che appare nel motore ibrido senza corrente e lacoppia di tenuta.

8.6.2 Caratteristiche dinamiche

Le caratteristiche inerenti ai motori i quali sono in funzione o in fase di avvio sono dette caratter-istiche dinamiche.

- Pull-in torque: queste sono alternativamente denominate le caratteristiche d’avvio e si riferisconoalla portata della coppia di blocco a frizione nella quale il motore puo avviarsi e fermarsisenza perdere passi per svariate sequenze in un treno di impulsi. Il numero di impulsi in untreno d’impulso utilizzato in questo test e di 100 o su questa cifra. La ragione per cui la paro-la “range” e usata in questo contesto invece di “massima”, e che il motore non ‘e in grado di

avviarsi o mantenere una rotazione normale a piccoli carichi d’attrito in certe frequenza comeindicato nella Fig.8.19. Quando la coppia d’accensione viene misurata e calcolata, e anchenecessario specificare chiaramente il circuito pilota, il metodo di misurazione, il metodo diaccoppiamento e l’inerzia che deve essere accoppiato all’asse. In generale, la portata d’avvioautonomo diminuisce con l’aumento dell’inerzia.

- Caratteristica di pull-out torque: questa e alternativamente denominata la caratteristica dispegnimento. Dopo che il test del motore e avviato da un pilotaggio specifico nel modo d’ec-citazione nella portata d’avvio autonoma, la frequenza d’impulso e gradualmente aumentata;eventualmente il motore non sara sincronizzato. La relazione tra la coppia di carico d’attrito



8.6. SPECIFICHE DELLE CARATTERISTICHE DI UN MOTORE A PASSO 189

Figura 8.17: Caratteristica T /ϑ

Figura 8.18: Esempio di caratteristica T /I




Figura 8.19: Caratteristica dinamica

e la frequenza d’impulso massima, con il quale il motore puo sincronizzarsi, viene chiama-ta caratteristica di pull-out. La curva d’uscita e fortemente sensibile dal circuito pilota,accoppiamento, strumenti di misurazione e altre condizioni.

- Frequenza massima d’avvio: questa viene definita come la frequenza massima di controllonella quale il motore non carico puo avviarsi e fermarsi senza perdere passi.

- Massima frequenza di pull-out: questa viene definita come la frequenza massima (passo nomi-nale) nella quale il motore non carico puo funzionare senza perdere passi ed e alternativamentechiamata la “frequenza di spegnimento massima”.

- Coppia d’avvio massima: questa e alternativamente chiamata la “coppia d’entrata massi-

ma”ed e definita come la coppia d’attrito massimo con il quale il motore puo avviarsi esincronizzarsi con il treno d’impulso con una frequenza bassacome ad esempio 10 Hz



Capitolo 9Il motore sincrono a magnetipermanenti (versione light)

9.1 Stuttura e principio di funzionamento

I motori sincroni a magnete permanente , o brushless sinusoidali , sono impiegati sempre piu diffusa-mente in ambito industriale, specialemtne nei servoazionamenti di piccola e media potenza. Essisono essenzialmente destinati ad azionamenti ad elevate prestazioni, in cui le particolari specifichegiustifichino il loro costo che e solitamente elevato per la presenza di magneti permaneti di pregionell’elemento mobile (rotore). La conversione elettromeccanica che essi attuano segue il principiodi funzionamento dei sistemi elettrodinamici in cui pero i conduttori su cui agiscono le forzesono collocati nella parte fissa (statore) ed il rotore viene posto in movimento per il principio fisicodi reazione. Una rappresentazione schematica della struttura di un motore sincrono a magnetipermanenti a due poli e mostrata in Fig.9.1.

Lo statore ed il rotore sono entrambi a forma di corona cilindrica di materiale ferromagneticolaminato e separati da un traferro in aria. Sul rotore trovano posto i magneti permanenti; datoche essi presentano generalmente una permeabilita magnetica differenziale molto simile a quelladell’aria, a seconda della loro disposizione e della forma del rotore si possono ottenere strutturedi rotore isotrope o anisotrope dal punto di vista magnetico, che caratterizzano rispettivamente imotori brushless SPM (surface permanent magnet ) e IPM (interior permanent magnet ). L’avvol-gimento di statore e di tipo trifase; le tre fasi sono reciprocamente sfasate nello spazio di 2π/3meccanici, e ciascuna fa capo ad una coppia di morsetti indicati con aa, bb, cc in Fig.9.1.1, at-traverso i quali e possibile fornire loro alimentazione da una sorgente trifase esterna. I conduttoriche compongono ciascuna fase (Fig.9.1.2) sono distribuiti lungo le cave statoriche ricavate secondola direzione delle generatrici del cilindro di statore, omesse per chiarezza nel disegno. La stessa

figura riporta, in (1), una rappresentazione schematica in cui ciascuna fase e simbolicamente rap-presentata con una sola coppia di conduttori; si intende che l’asse di ogni fase sia la retta normaleal piano che passa per ciascuna coppia di conduttori (Fig.9.1.2). In regime sinusoidale, l’equazionefasoriale di tensione (ad esempio per la fase a) e la seguente:

U e jαv = RI e jαi + jΩmeLIe jαi + jΩmeΛmge j0 (9.1)

nella quale nella quale si e supposto per praticita di porre il fasore del flusso concatenato delmagnete permanente sull’asse reale. L’ultimo addendo a secondo membro si chiama forza con-troeletromotrice E . La (9.1) da luogo alla rappresentazione fasoriale in Fig9.2. La coppia vale

191



192CAPITOLO 9. IL MOTORE SINCRONO A MAGNETI PERMANENTI (VERSIONE LIGHT)

9.1.1 Induzione al traferro prodotta dal mag-nete permanente di rotore (quasi quadra)

9.1.2 Induzione al traferro prodotta dal-l’avvolgimento statorico della fase a(sinusoidale)

Figura 9.1: Rappresentazione schematica di un motore sincrono a magneti permanenti a due poli

Figura 9.2: Rappresentazione fasoriale della tensione



9.2. PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO IN ORIENTAMENTO DI CAMPO 193

C = K τ ΛmgI sin(αi) (9.2)

dove K τ e una costante che dipende dal numero di poli del motore, Λmg e il massimo flussoconcatenato dalla fase a e prodotto dal magnete permanente e I e l’ampiezza della corrente difase di statore. La coppia e massima a parita di modulo della corrente quando αi = π/2, ovveroquando il fasore della corrente si sovrappone a quello della forza controelettromotrice E .

Risulta evidente che il corretto funzionamento del motore brushless e legato alla conoscenza esattadella posizione del flusso del magnete permanente, ovvero del rotore. Questo perche viene generatacoppia solo se i fasori della corrente di statore mantengono una costante relazione di fase con ilflusso di rotore, secondo il principio di funzionamento dei sistemi elettrodinamici.Il motore sincrono a magneti permanenti necessita dunque di un sensore di posizione assoluto(resolver o encoder assoluto). In alternativa, sono allo studio molte tecniche di stima della posizione(tecniche sensorless). Esse si basano su algoritmi matematici molto complessi, e solo di recente legrosse capacita di calcolo dei processori le ha rese implementabili in modo efficace ed abbastanzaeconomico negli azionamenti elettrici.

9.2 Principio di funzionamento in orientamento di campoSe indichiamo con ϑme la posizione assoluta del flusso del magnete permanente rispetto allo statore,il riferimento di corrente per la fase a che realizza il massimo rapporto coppia/corrente e datodall’espressione seguente:

I ∗a = I ∗ cos(ϑme + π/2) = −I ∗ sin(ϑme) (9.3)

e naturalmente per le fasi b e c si possono scrivere espressioni analoghe, sfasate di 2π/3 e 4π/3rispettivamente.

I

∗

b = −I

∗

sin(ϑme − 2π/3) (9.4)I ∗c = −I ∗ sin(ϑme − 4π/3) (9.5)

Questa particolare modalita di funzionamento prende il nome di tecnica di controllo in orienta-mento di campo. Lo schema a blocchi a cui si puo far riferimento e riportato in Fig. 9.3 Il blocco

Figura 9.3: Schema a blocchi di un controllo di velocita per PMSM in orientamento di campo

generatore di riferimento (Gen. Rif.) utilizza le equazioni (9.3), (9.6) e (9.7). In esso compaiono




elementi non lineari, quali i moltiplicatori per le funzioni trascendenti sinusoidali. I blocchi cherappresentano funzioni lineari sono stati invece espressi tramite la loro funzione di trasferimentoingresso-uscita, secondo la trasformata di Laplace.Gli azionamenti con PMSM hanno caratteristiche dinamiche di solito eccellenti, e vengono impie-gati estesamente in robotica, nelle macchine utensili, nella movimentazione assi.



9.3. MOTORE TRIFASE A INDUZIONE O MOTORE ASINCRONO 195

9.4.1 Rappresentazione schematica di un mo-tore ad induzione

9.4.2 Particolare dell’avvolgimento della fase a

Figura 9.4: Rappresentazione schematica di un motore asincrono

9.3 Motore trifase a induzione o motore asincrono

9.3.1 Struttura e principio di funzionamento

I motori a induzione , o asincroni , trifase costituiscono una delle categorie di motori in correntealternata fra le piu diffuse nelle applicazioni industriali, a velocita fissa e variabile. La conversioneelettromeccanica che essi attuano segue il principio di funzionamento dei sistemi a induzione. Una

rappresentazione schematica della struttura di un motore asincrono a due poli e mostrata in Fig.9.4.Esso comprende uno statore (parte fissa) e un rotore (parte mobile) entrambi a forma di corona

cilindrica di materiale ferromagnetico laminato e separati da un traferro in aria. Sulle superficicilindriche di statore e rotore che si affacciano al traferro sono ricavate, secondo la direzione dellegeneratrici, le cave di statore e di rotore destinate a contenere l’avvolgimento statorico e rotoricorispettivamente (omesse per chiarezza grafica nella Fig.9.4). L’avvolgimento di statore e per tuttosimile a quello di un motore brushless sinusoidale. Le sue tre fasi fanno capo alla morsettiera delmotore attraverso la quale esso puo essere alimentato da una sorgente trifase esterna.Il circuito di rotore puo essere realizzato con un avvolgimento trifase distribuito, del tutto analogoa quello di statore (rotore avvolto), i cui terminali fanno capo a tre anelli su cui strisciano trespazzole che consentono il collegamento dell’avvolgimento rotorico ad un circuito esterno. Moltopiu spesso, comunque, il circuito di rotore e realizzato mediante un insieme di sbarre di alluminio(una per ogni cava) fra loro tutte collegate alle due estremita da due anelli, cosı a realizzareuna struttura comunemente denominata rotore a gabbia . Tale struttura, sottoposta all’azione delcampo magnetico prodotto dall’avvolgimento statorico, si comporta come un avvolgimento trifasedello stesso tipo e con lo stesso numero di poli di quello di statore. D’ora in poi si fara dunqueriferimento per il rotore ad un avvolgimento trifase distribuito del tutto simile a quello di statore,senza piu preoccuparsi di quale sia l’effettiva struttura costruttiva del rotore stesso.Per richiamare il funzionamento del motore a induzione si puo partire dalle equazioni generalidi bilancio delle tensioni delle sue fasi a,b,c statoriche e rotoriche, che con la convenzione degli




utilizzatori sono per lo statore:

usa = Rsisa + dλsa

dt

usb = Rsisb + dλsb

dt

usc = Rsisc + dλsc

dt

(9.6)

e per il rotore1:

0 = Rrira + dλra

dt

0 = Rrirb + dλrb

dt

0 = Rrirc + dλrc

dt

(9.7)

dove si e omessa per semplicita la dipendenza dal tempo delle tensioni u, delle correnti i e dei flussiconcatenati λ. Ciascuno dei flussi concatenati che appare nelle (9.6) e (9.7) e dovuto all’effettocombinato di tutte le correnti presenti nel motore.Assumendo che il circuito magnetico sia privo di correnti parassite ed inoltre non manifesti sat-urazione e isteresi magnetiche, ciascun flusso concatenato, per esempio λsa, potra essere espressocome:

λsa = λssa + λsra (9.8)

dove λssa e il flusso totale che si concatena con la fase a di statore dovuto allo statore stesso,mentre λsra e il flusso totale che si concatena con la fase a di statore dovuto al rotore.Inoltre i due contributi corrispondono a:

λssa = Lssisa + M ssisb + M ssisc (9.9)

λsra = M sr cos(ϑme)ira + M sr cos(ϑme + 2π/3)irb + M sr cos(ϑme + 4π/3)irc (9.10)

Per la simmetria cilindrica e l’isotropia della struttura, si e posto costante, ovvero indipendentedalla posizione ϑme del rotore, il coefficiente Lss di auto induzione della fase di statore, costanti euguali i coefficienti di mutua induzione −|M ss| fra le fasi di statore b e c e la fase a. Ripetendo la() per le altre cinque fasi e unendo le espressioni dei flussi cosı ottenute alle (9.6) e (9.7) si ottieneil sistema differenziale che descrive la dinamica elettrica del motore in esame. Appare evidente lasua complessita dovuta anche alla dipendenza di alcuni suoi coefficienti dalla posizione rotorica.

9.3.2 Analisi del funzionamento in regime sinusoidale

Le equazioni di tensione per una fase di statore e di rotore, scritte secondo la convenzione dei fasoritemporali2, sono rispetivamente le seguenti:

1Viene posto uguale a 0 perche il rotore e chiuso in cortocircuito2Molto spesso, per convenzione, i fasori temporali vengono scritti con un modulo pari al valore efficace delle

grandezze sinusoidali a cui si riferiscono. Nella presente trattazione, che deriva da quella piu generale dei vettorispaziali, si considerano invece fasori temporali che hanno ampiezza pari al valore massimo delle grandezze sinusoidali.




Figura 9.5: Diaframmi fasoriali del motore asincrono

U s = Rs I s + jΩsLt

I s + jΩsLm

LrΛr

0 = Rr I r + j(Ωs − Ωme) Λr

(9.11)

Il flusso di rotore e prodotto dalle correnti di statore e di rotore, secondo la seguente espressione:

Λr = Lr I r + Lm

I s (9.12)

da cui esplicito la I r:

I r =˙

Λr − Lm

˙I sLr

(9.13)

e la sostituisco nella seconda della 9.11:

0 = Rr

LrΛr − Rr

Lm

LrI s + j(Ωs − Ωme) Λr (9.14)

dove Ls = Lss+|M ss| e Lr = Lrr +|M rr | prendono rispettivamente il nome di induttanza (sincrona)di statore e di rotore, Lt = Ls − L2

m/Lr e detta induttanza transitoria (transient inductance) oinduttanza di dispersione totale . Si e indicata con Ωs la velocita angolare del flusso di rotore,che naturalmente a regime coincide con la pulsazione di tutte le grandezze elettriche presenti nella

macchina. Un’altra equazione importante lega l’ampiezza del flusso di rotore a quella della correntedi statore:

| Λr| = Lm|I s| cos(αi) (9.15)

Scegliendo un sistema di assi cartesiano con l’asse reale coincidente con il flusso di rotore Λr, siottiene i seguenti diagrammi fasoriali Fig.9.5La grandezza Ωs − Ωme si definisce pulsazione di scorrimento e rappresenta la differenza tra la

velocita di rotazione del campo magnetico rotante al traferro e la velocit a meccanico-elettrica.Quest’ultima e in generale legata alla velocita meccanica Ωm del rotore dell’espressione Ωme =

p ∗ Ωm. Si noti che per un motore con una sola coppia polare (p=1) Ωm e Ωme coincidono.




Basandosi sui bilanci energetici, e possibile ricavare per la coppia un’espressione particolarmentesignificativa:

C = 3

2 p

Lm

Lr| Λr||I s| sin(αi) (9.16)

dove αi e la fase del fasore di corrente rispetto a quello del flusso di rotore, denominata anchel’angolo di coppia. A differenza del motore sincrono a magneti permanenti, nel motore asincrono ilflusso di rotore non e generato da un magnete, ma dalle correnti di rotore che nascono per effettodelle fem indotte dal campo magnetico di statore.La (9.16) racchiude il delicato concetto che le correnti di statore generano la coppia sia interve-nendo direttamente, che attraverso la formazione del flusso di rotore.Nel motore in corrente continua ad eccitazione indipendente questi ruoli erano separati, ed affidatirispettivamente alla corrente d’armatura e alla corrente magnetizzante. Il loro controllo distintoporta ad elevate prestazioni dinamiche.Allo stesso modo, i metodi di controllo piu avanzati del motore asincrono (controllo ad orienta-mento di campo) operano agendo separatamente sulla parte che produce flusso (flux-producing component) e su quella che produce coppia (torque-producing component). Si ottiene cosı di poter

sfruttare per gli azionamenti per motori asincroni molti dei risultati ottenuti con gli azionamentiin continua, emulandone le prestazioni dinamiche. Una prima osservazione e relativa alla necessitadi avere una pulsazione di scorrimento diversa da zero. In caso contrario, l’equazione di tensionedi rotore potrebbe essere soddisfatta solo se il flusso di rotore e la corrente di statore fossero infase (αi = 0), ma verrebbe prodotta una coppia nulla.Nei motori sincroni a magneti permanenti la condizione di massima coppia a parit a di modulodi corrente di statore si otteneva controllando la fase della corrente, ed in particolare imponendoche essa fosse in quadratura con il campo magnetico di rotore (αi = π/2). Si noti che nel motoreasincrono non e piu possibile agire in questo modo, perche imponendo αi = π/2 si annullerebbe ilflusso di rotore (9.12). Sostituendo la (9.15) nella (9.16) si ottiene:

C = 32 p

Lm

Lr|I s|2 sin(αi)cos(αi) (9.17)

La condizione di massima coppia a parita di corrente nel caso del motore asincrono si ha allorascegliendo l’angolo αi = π/4, che massimizza il prodotto sin(αi)cos(αi).Questa condizione non e quella che normalmente si prende il nome di orientamento di campo pergli azionamenti con motore asincrono. Infatti, quest’ultima tende a mantenere un campo costantee vicino al nominale, per ottimizzare lo sfruttamento magnetico del motore.I due diversi metodi operativi, che hanno diretto impatto sugli algoritmi di controllo, sono schema-tizzati in Fig.9.6. Si puo notare come a parita di richiesta di coppia (casi 1 e 2) il FOC richiedapiu corrente di statore rispetto al “max T /

|Is

|”. Al variare della coppia richiesta dal carico, la

tecnica FOC non varia l’ampiezza del il flusso di rotore, che e legato a circuiti con costanti ditempo elevate.In questo modo si ottimizzano le prestazioni dinamiche dell’azionamento, ed e per questo che ilFOC viene universalmente impiegato al posto della piu efficiente tecnica “max T /|Is|”. I metodi dicontrollo che valutano e controllano le fasi dei fasori delle grandezze coinvolte, e che quindi usanoestesamente la formula (9.16) si dicono metodi di controllo vettoriale.In alternativa, esistono e sono molto diffusi metodi di controllo piu semplici, che si basano suuna formulazione classica delle equazioni del motore, che porta alla creazione di un circuito elet-trico equivalente del motore asincrono. Il circuito equivalente puo essere ricavato manipolando




Figura 9.6: Diaframmi fasoriali del motore asincrono

opportunamente le eq. (9.11) e (9.14). Dalla seconda delle (9.11) si trova:

Λr = Rr

I r j(Ωme − Ωs)

→ − jΩme Λr =

− jΩmeRr I r

j(Ωme − Ωs) = Rr

1 − s

sI r (9.18)

dove si e definito lo scorrimento

s = Ωs − ΩmeΩs

(9.19)

Dunque la equazione di tensione di rotore puo essere scritta come:

0 = RrI r + jΩs Λr + Rr

1 − s

sI r = jΩsLrI r + jΩsLmI s + Rr

I r + Rr1 − s

sI r (9.20)

Sostituendo poi la (9.12) nella prima delle (9.11) si ottiene una espressione piu semplice anche perla tensione di statore:

dotU s = Rs I s + jΩs

Ls − L2

m

Lr

I s + jΩs

Lm

Lr(Lr

I r + Lm I s) = Rs

I s + jΩsLs I s + jΩsLm

I r (9.21)

E dalla (9.20) e (9.21) si puo infine derivare il circuito elettrico equivalente del motore asincrono,riportato in Fig. 9.7 Con n = N s/N r si indica il rapporto di trasformazione tra il numero di spireeffettive di una fase di statore N s e di una di rotore N r. Si intende che tali valori siano comprensividei coefficienti che servono a ricondurre un avvolgimento distribuito ad uno di tipo concentratoagli effetti del calcolo del flusso concatenato con ciascun avvolgimento.La parte di flusso prodotto dallo statore e non trasmesso al rotore e di fatto un flusso disperso,che vale:

Ls I s − Lm

I sN r

N s (9.22)




Figura 9.7: Circuito elettico equivalente di una fase del motore asincrono

Figura 9.8: Circuito elettico equivalente di una fase del motore, in regime sinusoidale

E possibile definire l’induttanza di dispersione di statore Lσs che, interessata dalla corrente I s pro-duce tale flusso disperso:

Lσs = Ls − LmN s/N r (9.23)

In modo del tutto analodo e possibile definire l’induttanza di dispersione del rotore Lσr come:

Lσr = Lr − Lm

N s/N r (9.24)

Alcuni passaggi algebrici, qui omessi per semplicita, portano alla definizione di un circuito elettricoequivalente derivato da quello di Fig.9.8. Inoltre l’espressione della coppia risulta (dimostrazionenon necessaria):

C = 3 p

n2

U s,eff

Ωs

2(Ωs − pΩm)Rr

(Rr)2 + (sΩsLσr)2 (9.25)

Si puo osservare come lo scorrimento di coppia massima NON dipenda dalla tensione di ali-mentazione, ma solo dai parametri del motore e dalla pulsazione sincrona. Allo stesso modo, e




importante notare come la massima coppia ottenibile non dipenda dalla resistenza di rotore, masolo dalla sua induttanza di dispersione.

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Appunti Di Azionamenti Elettrici Vol1