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APPUNTI DI MATEMATICA
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
• I radicali
• Le equazioni di secondo grado
ALESSANDRO BOCCONI
Indice
1 I radicali 2
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Definizione di radicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Le condizioni di esistenza dei radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 I radicali aritmetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Le due proprieta fondamentali dei radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 La proprieta invariantiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Semplificazione dei radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Prodotto e quoziente di radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Il portare fuori dal segno di radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Addizione e sottrazione fra radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.11 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Le equazioni di secondo grado 19
2.1 Le equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Casi Particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Equazioni di secondo grado pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Equazioni di secondo grado spurie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Equazioni di secondo grado monomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Il caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 La formula ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Relazione fra coefficienti e soluzioni di un’equazione di secondo grado . . . . . . . . . 26
2.6 Scomposizione di un trinomio di secondo grado tramite le equazioni . . . . . . . . . 29
2.7 Problemi risolubili tramite equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.10 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
Capitolo 1
I radicali
1.1 Introduzione
Molto spesso in matematica e nelle sue applicazioni capita di dover risolvere il seguente problema:assegnato un numero, determinare quel numero che, elevato ad una certa potenza, sia uguale alnumero assegnato. Sono problemi di questo tipo quelli illustrati nei seguenti
Esempi
. Determinare quel numero che elevato alla seconda dia come risultato 9.
. Determinare quel numero che elevato alla terza dia come risultato 125.
. Determinare quel numero che elevato alla quarta dia come risultato −16.
e cosı via.
�
I problemi precedenti si risolvono tramite un procedimento chiamato di “estrazione di radice”. Piuin generale risulta estremamente utile saper effettuare determinate operazioni con le radici (ched’ora in avanti chiameremo radicali), ed e questo lo scopo del presente capitolo.
1.2 Definizione di radicale
Col simbolon√a
si intende un generico radicale in cui n e l’indice del radicale e a e l’argomento del radicale (dettoanche radicando).
Quindi ad esempio4√
27
e un radicale di indice 4 e di radicando 27; mentre
3√x+ y
e un radicale di indice 3 e di radicando x+ y.
Osservazione. L’indice del radicale deve essere un numero naturale maggiore di zero, mentre ilradicando puo essere qualunque numero reale.
Alessandro Bocconi 3
Quindi ha perfettamente senso il radicale:
4√
2, 718
mentre non ha senso il radicale:3,7√
20
�
A questo punto, tramite un’espressione, diamo la seguente:
Definizione di radicale.n√a = b⇔ bn = a
che si legge: la radice ennesima (cioe di indice n) di a e quel numero b che elevato all’esponente nha come risultato a.
�
Chiariamo con alcuni esempi:
. 2√
25 = 5 perche 52 = 25
Notiamo come questo esempio deriva dal caso generale della definizione sostituendo a n il numero2, ad a il numero 25 e a b il numero 5.
. 3√
8 = 2 perche 23 = 8
(n = 3, a = 8 e b = 2).
.√
16, 81 = 4, 1 perche 4, 12 = 16, 41
(n = 2, a = 16, 81 e b = 4, 1).
. 4√
15 = 1, 9679896712 . . . perche (1, 9679896712 . . .)4 = 15
(n = 4, a = 15 e b = 1, 9679896712 . . .).
. 7√
1 = 1 perche 17 = 1
(n = 7, a = 1 e b = 1).
. 5√
0 = 0 perche 05 = 0
(n = 5, a = 0 e b = 0).
�
Osservazione. Guardando il primo degli esempi appena affrontati potremmo fare un’obiezioneimportante: 5 non e l’unico numero che elevato alla seconda e uguale a 25, infatti sappiamo cheanche −5 elevato alla seconda e 25 (ricordiamoci che un numero negativo elevato ad esponentepari ha risultato positivo). Si pone quindi il problema che, se l’indice e pari, uno stesso radicalefornirebbe 2 risultati diversi e questo non e accettabile in matematica. Per evitare questa situazionee stata adottata la seguente:
Convenzione. La radice di un numero positivo e sempre un numero positivo.
Grazie a tale convenzione possiamo affermare che 2√
9 = 3 e non −3 sebbene valga che anche(−3)2 = 9; 4
√16 = 2 e non −2 sebbene valga che anche (−2)4 = 16 e cosı via.
�
Alessandro Bocconi 4
Osservazione. Se l’indice della radice e 1, dalla definizione risulta che:
1√a = b⇔ b1 = a
ma noi sappiamo che b1 = b, quindi la formula appena scritta puo essere letta come: la radice diindice 1 di a e quel numero b che e uguale ad a. Quindi risulta che:
1√a = a
�
Osservazione. Dal penultimo esempio ricaviamo facilmente che
n√
1 = 1
per qualunque valore di n; mentre dall’ultimo esempio risulta che
n√
0 = 0
per qualunque valore di n.
�
Convenzione. Dal momento che la radice di indice 2 (la “famosa” radice quadrata) e quella usatapiu frequentemente, e stata adottata la convenzione che se l’indice non e specificato e sottintesoche l’indice del radicale sia 2.
Esempi:√
100 equivale a 2√
100;√
28 equivale a 2√
28 e cosı via.
�
Abbiamo osservato in precedenza che a puo essere qualunque numero reale e quindi anche negativo.Consideriamo allora un radicale di indice pari e di radicando negativo, come ad esempio:
√−9
dalla definizione di radicale sappiamo che il risultato e quel numero che, elevato alla seconda, euguale a −9. Ma noi sappiamo che un numero elevato alla seconda non puo essere negativo e quindinon puo esistere la radice quadrata di −9, o di qualunque altro numero negativo. Piu in generalepossiamo affermare che un numero elevato ad esponente pari non e mai negativo. Vale quindi laseguente:
Regola dei radicali di indice pari e radicando negativo. Non esiste la radice di indice paridi un numero negativo.
�
Consideriamo adesso un radicale di indice dispari e di radicando negativo, come ad esempio:
3√−27
sempre dalla definizione di radicale sappiamo che il risultato e quel numero che, elevato alla terza,e uguale a −27. In questo caso un numero elevato alla terza e negativo se la base e negativa. Inparticolare risulta che:
3√−27 = −3 perche (−3)3 = −27
Piu in generale sappiamo che un numero negativo elevato ad esponente dispari e negativo. Valequindi la seguente:
Regola dei radicali di indice dispari e radicando negativo. La radice di indice dispari di unnumero negativo esiste ed e un numero negativo.
�
Alessandro Bocconi 5
1.2.1 Le condizioni di esistenza dei radicali
Abbiamo appena constatato che non esiste un radicale di indice pari e radicando negativo. Unproblema interessante risulta allora quello di determinare le condizioni di esistenza (abbreviatoC.E.) di un radicale. Premettiamo la seguente:
Definizione di condizione di esistenza di un radicale di indice pari. Le condizioni diesistenza di un radicale sono l’insieme dei valori che puo assumere la parte letterale affinche ilradicando sia non negativo.
�
Esempi
. Determinare le C.E. del seguente radicale: 4√x− 5.
L’indice del radicale e pari quindi il radicando deve essere non negativo (cioe maggiore o uguale azero). Le C.E. si trovano risolvendo:
x− 5 ≥ 0→ x ≥ 5
quindi le C.E. risultano:C.E. = {x ∈ R|x ≥ 5}
. Determinare le C.E. del seguente radicale:√
8− 3a.
L’indice del radicale e pari (sappiamo gia che quando non e specificato l’indice e sottinteso che sia2). Le C.E. si trovano risolvendo:
8− 3a ≥ 0→ −3a ≥ −8→ a ≤ −8
−3→ a ≤ 8
3
quindi le C.E. risultano:
C.E. = {a ∈ R|a ≤ 8
3}
. Determinare le C.E. del seguente radicale: 5√
7x+ 23.
L’indice del radicale e dispari quindi il radicando puo essere sia positivo che negativo che zero equindi tutti i valori di x fanno parte delle C.E.; risulta allora:
C.E. = {x ∈ R}
. Determinare le C.E. del seguente radicale: 5
√7x+232x−6 .
L’indice del radicale e dispari quindi il radicando puo essere sia positivo che negativo che zero. Inquesto caso pero il radicando e una frazione algebrica il cui denominatore deve essere diverso (enon maggiore!!) da zero. Quindi per determinare le C.E. risolviamo:
2x− 6 = 0→ 2x = 6→ x =6
2→ x = 3
risulta allora:C.E. = {x ∈ R|x 6= 3}
�
Alessandro Bocconi 6
1.3 I radicali aritmetici
Definizione di radicale aritmetico. Per radicale aritmetico si intende un radicale il cui radi-cando e non negativo e, nel caso il radicando sia un prodotto di fattori, tutti questi fattori sononon negativi.
Osservazione. Si consideri il radicale √a · b
per essere un radicale aritmetico non solo deve essere non negativo il radicando (cioe il prodottoa · b) ma sia a che b devono essere non negativi.
�
Nel resto del capitolo tratteremo solo di radicali aritmetici.
1.4 Le due proprieta fondamentali dei radicali
Prima proprieta fondamentale dei radicali. Vale che:
( n√a)n = a
�
Seconda proprieta fondamentale dei radicali. Vale che:
n√an = a
�
Esempi
. Determinare ( 4√a)4
Applicando la prima proprieta fondamentale si ottiene ( 4√a)4 = a
. Determinare 3√
(x+ y)3
Applicando la seconda proprieta fondamentale si ottiene 3√
(x+ y)3 = x+ y
. Determinare 3√x3 + y3
L’esempio e simile al precedente, ma in questo caso non si puo applicare nessuna proprieta fonda-mentale perche x3 + y3 non e il cubo di nessun binomio!
. Determinare 6√
6
Anche in questo caso non si puo applicare nessuna proprieta fondamentale perche il radicando deveavere l’esponente uguale all’indice della radice e non, come in questo caso, al radicando stesso.
. Determinare 5√
32
In apparenza, non avendo il radicando nessun esponente (e quindi sottointeso esponente 1) non sipuo applicare nessuna proprieta fondamentale. Pero, scomponendo 32 si ottiene 32 = 25 e quindiil radicale diventa:
5√
32 =5√
25 = 2
�
Alessandro Bocconi 7
1.5 La proprieta invariantiva
Proprieta invariantiva dei radicali. Moltiplicando l’indice della radice ed esponente del radi-cando per uno stesso numero si ottiene un radicale equivalente.
Esempi
. Il radicale5√a2 e equivalente a
15√a6: infatti il secondo radicale e ottenuto dal primo moltipli-
cando sia l’indice del radicale sia l’esponente del radicando per il numero 3.
. Il radicale 3√x+ y e equivalente a 6
√(x+ y)2: infatti il secondo radicale e ottenuto dal primo
moltiplicando sia l’indice del radicale sia l’esponente del radicando per il numero 2.
. Il radicale 3√
4 e equivalente a 9√
64: infatti il secondo radicale e ottenuto dal primo moltiplicandosia l’indice del radicale sia l’esponente del radicando per il numero 3 (ricordiamo che 64 = 43).
�
La proprieta invariantiva risulta estremamente utile per ridurre piu radicali allo stesso indice.
Metodo per la riduzione di piu radicali allo stesso indice.
1. Si considerano gli indici dei radicali e se ne determina il loro minimo comune multiplo.
2. Si riscrivono i radicali con, al posto del loro indice originale, il minimo comune multiploprecedentemente determinato.
3. Per ciascun radicale si divide il mcm con l’indice originale. Si moltiplica l’esponente delradicando per il risultato di tale divisione.
Esempi
. Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali:
3√x+ y;
6√x3;
9√
5
Gli indici sono 3; 6 e 9 e quindi il minimo comune multiplo e 18. I radicali dovranno avere tuttiindice 18.
Si divide il minimo comune multiplo per l’indice originale del radicale e si moltiplica l’esponentedel radicando per il risultato di tale divisione. Quindi per il primo radicale:
18 : 3 = 6; l’esponente di x+ y e 1 quindi moltiplichiamo 1 · 6 = 6 e il radicando diventa (x+ y)6.
Per il secondo radicale:
18 : 6 = 3; l’esponente di x3 e 3 quindi moltiplichiamo 3 · 3 = 9 e il radicando diventa x9.
Per il terzo radicale:
18 : 9 = 2; l’esponente di 5 e 1 quindi moltiplichiamo 2 · 1 = 2 e il radicando diventa 52 cioe 25.
Riassumendo i radicali ridotti allo stesso indice sono:
18√
(x+ y)6;18√x9;
18√
25
. Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali:√x+ 2
3;
6√x5
Alessandro Bocconi 8
Gli indici sono 2 e 6 quindi il minimo comune multiplo e 6. I radicali dovranno avere tutti indice 6.
Si divide il minimo comune multiplo per l’indice originale del radicale e si moltiplica l’esponentedel radicando per il risultato di tale divisione. Quindi per il primo radicale:
6 : 2 = 3; l’esponente di x+23 e 1 quindi moltiplichiamo 1 · 3 = 3 e il radicando diventa (x+2
3 )3 che
preferiamo scrivere come (x+2)3
27 .
Per il secondo radicale l’indice rimane uguale e quindi rimane uguale anche il radicando.
Riassumendo i radicali ridotti allo stesso indice sono:
6
√(x+ 2)3
27;
6√x5
�
Osservazione. Il lettore attento avra trovato una somiglianza fra l’applicazione della proprietainvariantiva per portare due radicali allo stesso indice e la somma di frazioni. Vediamolo col seguenteesempio:
. Portare i seguenti radicali allo stesso indice:4√x5;
6√x7.
• Si determina il mcm fra 4 e 6 che e 12. Tale numero sara l’indice comune dei 2 radicali
• Si divide 12 per 4 (che e l’indice del primo radicale), ottenendo 3. Si moltiplica l’esponentedel primo radicando (5) per 3 ottenendo 15. Il primo radicale diventa quindi:
12√x15
• Si divide 12 per 6 (che e l’indice del secondo radicale), ottenendo 2. Si moltiplica l’esponentedel secondo radicando (7) per 2 ottenendo 14. Il secondo radicale diventa quindi:
12√x14
Consideriamo adesso la seguente somma di frazioni: 54 + 7
6
• Si determina il mcm fra 4 e 6 che e 12. Tale numero sara il denominatore della somma delle2 frazioni
• Si divide 12 per 4 (che e il denominatore della prima frazione), ottenendo 3. Si moltiplica ilnumeratore della prima frazione (5) per 3 ottenendo 15. La prima frazione diventa quindi:1512
• Si divide 12 per 6 (che e il denominatore della seconda frazione), ottenendo 2. Si moltiplicail numeratore della seconda frazione (7) per 2 ottenendo 14. La seconda frazione diventaquindi: 14
12
• Possiamo adesso effettuare la somma che e 15+1412 = 29
12
Appare quindi evidente l’analogia dei 2 procedimenti dove l’indice del radicale corrisponde aldenominatore della frazione e l’esponente del radicando corrisponde al numeratore.
�
1.6 Semplificazione dei radicali
Teorema. Se l’esponente del radicando e l’indice del radicale hanno un divisore comune, dividendosia l’esponente che l’indice per tale divisore si ottiene un radicale equivalente. Tale operazione sichiama semplificazione di un radicale.
�
Alessandro Bocconi 9
Osservazione. In un certo senso si puo dire che la semplificazione e l’inverso dell’applicare laproprieta invariantiva, infatti se abbiamo il radicale
5√a3 e lo vogliamo trasformare in un radicale
equivalente di indice, ad esempio, 15 applicando la proprieta invariantiva otteniamo:
5√a3 =
15√a9
Ma il radicale15√a9, in accordo con il teorema, puo essere semplificato dividendo sia l’indice che
l’esponente per 3, tornando quindi a essere5√a3 che e il radicale di partenza.
�
Esempi
. Semplificare il radicale6√x4
L’indice del radicale e 6 e l’esponente del radicando e 4. Sono entrambi divisibili per 2, quindi inbase al teorema risulta che:
6√x4 =
3√x2
. Semplificare il radicale: 8
√x4
y6
Quando parliamo di esponente del radicando intendiamo l’esponente di una potenza in cui la basee tutto il radicando. E quindi sbagliato dire che l’esponente del radicando e 4 perche il numeratoreha esponente 4 oppure che e 6 perche il denominatore ha esponente 6. Per le proprieta delle potenzepossiamo affermare che:
x4
y6=(x2y3
)2a questo punto osserviamo che tutta la frazione e elevata alla seconda e quindi possiamo semplificareil 2 con l’indice 8 della radice:
8
√x4
y6= 8
√(x2y3
)2= 4
√x2
y3
in pratica quindi bisogna determinare un divisore comune a tutti i fattori del radicando e all’indicee dividere tutto per tale divisore.
. Semplificare il seguente radicale: 4√xy6
L’indice del radicale e 4, l’esponente del fattore x e 1 e l’esponente del fattore y e 6. L’unico divisorecomune e 1 e quindi il radicale non puo essere semplificato.
. Semplificare il seguente radicale: 4√x2 + y2
In questo caso x e y non sono fattori (e una addizione) e quindi il radicando va visto come unapotenza di base x2 + y2 e esponente 1. Il radicale non e quindi semplificabile.
. Semplificare il seguente radicale: 4√
(x+ y)2
Anche se il radicale appare simile al precedente in questo caso l’esponente 2 e riferito a tutto ilradicando e quindi puo essere semplificato. Si ottiene quindi:
4√
(x+ y)2 =√x+ y
. Semplificare il seguente radicale: 4√x2y2
In questo caso x2 e y2 sono fattori. Possiamo quindi semplificare:
4√x2y2 =
√xy
. Semplificare il seguente radicale: 4√
16
Alessandro Bocconi 10
In apparenza l’esponente del radicando e 1 e quindi il radicale non risulta semplificabile. Sescomponiamo il numero 16 si ottiene pero 16 = 24 e quindi il radicale e semplificabile e si ottiene:
4√
16 =4√
24 =1√
2 = 2
. Semplificare il seguente radicale: 8√
225
In apparenza l’esponente del radicando e 1 e quindi il radicale non risulta semplificabile. Se scom-poniamo il numero 225 si ottiene pero 225 = 32 · 52 e quindi il radicale e semplificabile e siottiene:
4√
225 =4√
32 · 52 =√
3 · 5 =√
15
. Semplificare il seguente radicale: 6√x2 + 2x+ 1
In apparenza l’esponente del radicando e 1 e quindi il radicale non risulta semplificabile. Se pro-viamo a scomporre il polinomio x2 + 2x+ 1 si ottiene x2 + 2x+ 1 = (x+ 1)2 e quindi il radicale esemplificabile e si ottiene:
6√x2 + 2x+ 1 = 6
√(x+ 1)2 = 3
√x+ 1
�
1.7 Prodotto e quoziente di radicali
E estremamente semplice determinare il prodotto o il quoziente fra due radicali grazie al seguente:
Teorema. Il prodotto (quoziente) fra due radicali aventi lo stesso indice e un radicale che ha lostesso indice e come radicando il prodotto (quoziente) dei radicandi.
�
Quindi per eseguire un prodotto (quoziente) fra 2 radicali, basta portarli allo stesso indice tramitela proprieta invariantiva e poi fare il prodotto (quoziente) fra i radicandi.
Esempi
. Eseguire la moltiplicazione: 3
√3x
(x+y)2· 2
√x+yx3
Il minimo comune multiplo fra i 2 indici e 6: bisogna quindi trasformare, tramite la proprietainvariantiva, entrambi i radicali in radicali equivalenti aventi indice 6. Il primo radicale ha indice3, quindi dato che 6 : 3 = 2 ottiene:
3
√3x
(x+ y)2= 6
√[ 3x
(x+ y)2
]2= 6
√9x2
(x+ y)4
Il secondo radicale ha indice 2, quindi dato che 6 : 2 = 3 ottiene:
2
√(x+ y)
x3=
6
√[(x+ y)
x3
]3=
6
√(x+ y)3
x9
quindi il prodotto iniziale diventa:
6
√9x2
(x+ y)4· 6
√(x+ y)3
x9
Alessandro Bocconi 11
Per il teorema si ottiene che:
6
√9x2
(x+ y)4· 6
√(x+ y)3
x9= 6
√9 6x2
(x+ y)64· 6(x+ y)3
x697= 6
√9
x7(x+ y)
che conclude l’esercizio.
. Eseguire la divisione: 10
√27
(x+y)3:√
3x+y
Il minimo comune multiplo fra i 2 indici e 10: bisogna quindi trasformare, tramite la proprietainvariantiva, entrambi i radicali in radicali equivalenti aventi indice 10. Il primo radicale ha giaindice 10 e rimane quindi invariato, mentre il secondo radicale ha indice 2, quindi dato che 10 : 2 = 5ottiene: √
3
(x+ y)= 10
√[ 3
x+ y
]5= 10
√35
(x+ y)5
quindi il quoziente iniziale diventa:
10
√27
(x+ y)3: 10
√35
(x+ y)5
Per il teorema si ottiene che:
10
√27
(x+ y)3: 10
√35
(x+ y)5= 10
√27
(x+ y)3:
35
(x+ y)5= 10
√27
(x+ y)3· (x+ y)5
35
e dato che 27 = 33 si ottiene:
10
√6336(x+ y)3
· (x+ y)652
3652=
10
√(x+ y)2
9
che conclude l’esercizio.
1.8 Il portare fuori dal segno di radice
Premettiamo che con l’espressione 2 3√a intendiamo che il fattore 2, fuori dalla radice, moltiplica il
radicale 3√a, oppure con l’espressione a2 5
√ab si intende che il fattore a2, fuori dalla radice, moltiplica
il radicale 5√ab.
Detto questo lo scopo del presente paragrafo e quello di “trasportare”, se possibile, dei fattori checostituiscono il radicando fuori dal segno di radice. Per vedere come consideriamo il seguente:
Esempio
. Portare fuori dal segno di radice nel radicale4√a9
Tramite le proprieta delle potenze possiamo scrivere il radicando a9 come a4 · a4 · a. Quindi ilradicale diventa:
4√a9 =
4√a4 · a4 · a
Ma da quanto abbiamo visto nel paragrafo 1.7, letto da destra a sinistra vale che:4√a4 · a4 · a =
4√a4 · 4√a4 · 4√a
per la seconda proprieta fondamentale:4√a4 · 4√a4 · 4√a = a · a · 4
√a = a2 4
√a
Il fattore a e stato portato fuori dal segno di radice come richiesto dall’esercizio.
�
Alessandro Bocconi 12
Il procedimento appena effettuato e abbastanza laborioso ma ha il pregio di spiegare i vari passaggidel portare fuori dal segno di radice. Piu veloce e senz’altro il seguente:
Metodo per portare un fattore fuori dal segno di radice. Per portare un fattore fuori dalsegno di radice si effettua la divisione fra l’esponente del fattore stesso e l’indice del radicale. Ilrisultato di tale divisione e l’esponente del fattore “portato fuori” mentre il resto della divisione el’esponente del fattore “rimasto dentro” il radicale.
Applichiamo questo metodo all’esempio appena visto:4√a9. Si effettua la divisione fra l’esponente
del radicando (9) e l’indice del radicale (4). Il risultato e 2 con resto 1. Quindi il fattore a portatofuori dalla parentesi ha esponente 2 mentre il fattore a rimasto dentro ha esponente 1. Cioe a2 4
√a
in accordo col risultato trovato col precedente procedimento.
�
Osservazione. Dal metodo precedente risulta che se un fattore ha esponente minore dell’indicedel radicale non puo essere portato fuori dal segno di radice.
�
Esempi
. Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale3√a6b2c11
Dall’osservazione precedente risulta che b avendo esponente minore dell’indice del radicale non puoessere portato fuori. Vediamo a6: si divide l’esponente (6) per l’indice della radice (3) e si ottiene2 con resto 0. Quindi a fuori dalla radice avra esponente 2 mentre nella radice avra esponente 0 (equindi non verra scritto perche qualunque potenza di esponente 0 e 1 e quindi e inutile scriverla).c ha esponente 11, quindi dato che 11 : 3 = 3 con resto 1, c fuori dalla radice avra esponente 3 edentro 1. In conclusione
3√a6b2c11 = a2c3
3√b2c
. Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale√
32a
Dall’osservazione precedente risulta che a avendo esponente minore dell’indice del radicale non puoessere portato fuori. Anche 32 ha esponente 1 e quindi minore dell’indice, ma come ben sappiamo32 = 25 e quindi il radicale diventa
√25a. Dato che 5 : 2 = 2 con resto 1, 2 fuori dalla radice avra
esponente 2 e dentro 1. In conclusione
√32a = 22
√2a = 4
√2a
�
. Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale 3
√16a5
b4
16 = 24 quindi 4 : 3 = 1 con resto 1 e il fattore 2 fuori dalla radice avra esponente 1 e anche nellaradice avra esponente 1. a ha esponente 5, quindi dato che 5 : 3 = 1 con resto 2, a fuori dalla radiceavra esponente 1 e dentro 2. b e al denominatore dentro la radice e quindi anche portato fuori saraal denominatore. b ha esponente 4, quindi 4 : 3 = 1 con resto 1 da cui b fuori dalla radice avraesponente 1 e anche nella radice avra esponente 1. Concludendo:
3
√16a5
b4=
2a
b
3
√2a2
b
. Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale 3√
24
Alessandro Bocconi 13
24 = 23 · 3 quindi il fattore 2 puo essere portato fuori dalla radice, e fuori avra esponente 1 mentredentro, dovendo avere esponente 0 non verra scritto. 3 avendo esponente minore dell’indice nonpuo essere portato fuori. Concludendo:
3√
24 = 23√
3
. Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale√x5 + y4
In questo caso siamo di fronte ad un’addizione e il radicando va visto come un fattore unico (cioex5 + y4) avente esponente 1. Quindi non puo essere portato fuori.
. Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale 3√
(x+ y)5
In questo caso l’unico fattore, x+ y ha esponente 5 e quindi puo essere portato fuori, ottenendo
3√
(x+ y)5 = (x+ y) 3√
(x+ y)2
�
1.9 Addizione e sottrazione fra radicali
Definizione di radicali simili. Due radicali si dicono simili se hanno lo stesso indice e lo stessoradicando.
Esempi
. 3√a+ b e 3
√a2 + b non sono simili perche hanno lo stesso indice ma radicando diverso.
. 4√a2 + b e 3
√a2 + b non sono simili perche hanno uguale radicando ma indice diverso.
. 3√a+ b e 5 3
√a+ b sono simili perche hanno lo stesso indice e lo stesso radicando.
�
Teorema. Due radicali si possono sommare fra loro se e solo se sono simili.
Esempio
. Effettuare la seguente addizione fra radicali:
√9 +√
16
questi 2 radicali non sono simili e, per il teorema, sappiamo che non possono essere sommati. Infattise si scrivesse: √
9 +√
16 =√
25
(abbiamo scritto 25 perche e la somma fra 9 e 16) commetteremmo un grave errore. Infatti noisappiamo che: √
9 = 3;√
16 = 4;√
25 = 5
quindi se la somma fosse giusta dovrebbe verificarsi che 3 + 4 = 5 che e ovviamente falso.
�
Il lettore si sara ricordato che la parola simili era stata usata anche per i monomi e anche per imonomi, come per i radicali, vale che possono essere addizionati o sottratti se e solo se sono simili.L’addizione e la sottrazione dei radicali si effettua in maniera uguale all’addizione e sottrazione deimonomi. Si veda per questo il seguente:
Alessandro Bocconi 14
Esempio
. Si determini la seguente somma: a− 32a+ 2
5a
I tre monomi sono simili e possono essere sommati:
a− 32a+ 3
5a = (1− 32 + 3
5)a = 10−15+610 a = 1
10a
Analogamente si procede per una somma di radicali come la seguente: 3√x− 3
23√x+ 2
53√x
I tre radicali sono simili e possono essere sommati:
3√x− 3
23√x+ 3
53√x = (1− 3
2 + 35) 3√x = 10−15+6
103√x = 1
103√x
�
Esempi
. Si risolva la seguente espressione di radicali:√a+ 3
√b− 7
√b+ 4
√a
Questi radicali non sono tutti simili, ma lo sono il primo con il quarto e il secondo con il terzo percui:√a+ 3
√b− 7
√b+ 4
√a = (1 + 4)
√a+ (3− 7)
√b = 5√a− 4
√b
. Si determini la seguente somma di radicali: 3√
2 + 3√
16
In apparenza i 2 radicali non sono simili, ma sappiamo che 16 = 24 e quindi il fattore 2 puo essereportato fuori dalla radice. Quindi:
3√
2 + 3√
16 = 3√
2 +3√
24 = 3√
2 + 2 3√
2 = 3 3√
2
Da questo esempio, e anche dai precedenti degli altri paragrafi, possiamo affermare chese un radicale ha un numero come radicando, conviene sempre scomporre tale numeroper vedere se il radicale e semplificabile, o se possiamo portare fuori un fattore.
. Si risolva la seguente espressione di radicali:√
12 +√
75−√
27
In apparenza questi radicali non sono simili, ma, seguendo il consiglio dell’ultimo esempio, scom-poniamo i 3 radicandi:
12 = 22 · 3; 75 = 3 · 52; 27 = 33
quindi√
12 +√
75−√
27 =√
22 · 3 +√
3 · 52 −√
33
portando fuori otteniamo:√
22 · 3 +√
3 · 52 −√
33 = 2√
3 + 5√
3− 3√
3 = 4√
3
�
1.10 Domande
Parafrafo 1.2
1. L’indice del radicale puo essere decimale?
2. L’indice del radicale puo essere negativo?
3. Il radicando puo essere decimale?
Alessandro Bocconi 15
4. Dai la definizione di radicale
5. Perche√
9 = 3 e non −3?
6. Quanto vale 1√a?
7. Quanto vale n√
1?
8. Quanto vale n√
0?
9. Esiste la radice di indice pari di un numero negativo?
10. Esiste la radice di indice dispari di un numero negativo?
11. Cosa sono le condizioni di esistenza di un radicale?
Parafrafo 1.3
12. Cos’e un radicale aritmetico?
Parafrafo 1.4
13. Cosa stabilisce la prima proprieta fondamentale.
14. Cosa stabilisce la seconda proprieta fondamentale.
Parafrafo 1.5
15. Enuncia la proprieta invariantiva dei radicali
16. Come si puo ridurre piu radicali allo stesso indice?
17. A cosa “assomiglia” il metodo per ridurre piu radicali allo stesso indice?
Parafrafo 1.6
18. Cosa afferma il teorema della semplificazione di un radicale
19. Di quale proprieta e l’inverso la semplificazione?
Parafrafo 1.7
20. Come si effettua il prodotto fra 2 radicali aventi lo stesso indice?
21. Come si effettua il prodotto fra 2 radicali aventi indice diverso?
Parafrafo 1.8
22. Si puo portare fuori dal segno di radice un fattore avente esponente minore dell’indice?
Parafrafo 1.9
23. Quando 2 radicali si dicono simili?
24. Quando 2 radicali si possono sommare o sottrarre?
1.11 Esercizi
Parafrafo 1.2
Determinare le condizioni di esistenza dei seguenti radicali
1. 4√
5− x;√
8x+ 4; 3√
8x− 4
Alessandro Bocconi 16
2. 8√
30x+ 2; 7
√8x+4x−2 ; 6
√x
3. 8√
3− 30x+ 2; 7
√8x+4x ; 5
√x
Parafrafo 1.4
Determina i seguenti radicali:
4.3√x3;
(5√x+ y
)5;√
72
5.(
3√a2b)3
; 4√x4y4;
√72 · b2
6.(
6√a+ x4
)6;(√x− 34y
)2;√
64
Parafrafo 1.5
Completa le seguenti uguaglianze:
7.√
3 = 6√. . .; 4
√7 = 8√. . .; 3
√a =
...√a4
8. 5√
10 = 15√. . .; 3
√1 = 30
√. . .;
√a3 =
...√a9
9. 4√
0 = 16√. . .; 9
√2 = 27
√. . .;
3√a4 =
...√a4
10.√a+ b = 6
√. . .; 4
√a− 2b = 8
√. . .; 3
√a+ b = ...
√(a+ b)4
Porta allo stesso indice i seguenti radicali:
11.√
3; 4√
7; 8√a
12.3√a2;
6√a5; 9
√a
13. 12√
2;6√
72;3√a5
14.10√
32; 5√x+ 2; 10
√20
15.6√
2a2b3;3√a2b; 12
√a+ 3b3
16. 5√x+ 3;
10√x3;
15√a7
17.√
xy ;
√2x7 ; 4
√x
18.√x+ 3y; 4
√x+12 ; 8
√x− 10
19.√
x+3yx−3y ; 4
√7; 4
√8x
Parafrafo 1.6
Semplifica i seguenti radicali
20.6√
53;12√a4;
9√
36
21. 10√
32;12√
8a3; 10
√x2
y4
22. 9√x3y9;
22√a11;
√x2 + 4x+ 4
23. 6√x8 + 2x7y + x6y2; 9
√27a6
; 4√
400
Alessandro Bocconi 17
24.6√
216a6;12√a6b8; 20
√36
Parafrafo 1.7
Esegui le seguenti operazioni fra radicali
25. 3√
20 · 3
√32 ;
√x+yx−y ·
√(x−y)2x+y ;
√x3
5 ·3√
5
26.√
50 ·√
2;√
10xy ·
√x2
5 ;√
95 ·√
59
27.3√a2b5 :
√ab2;
√x+yx−y :
√(x+y)2
10 ;√
1285 :√
85
28. 3
√2 + 5
2 ·3
√169 ;
√ab ·
4√ab;
4√a3 · 6√a5
29. 3
√20a : 5
√20a ; 4
√x+yx−y ·
√1;
√x3
5 ·3√
0
30.4√a3 :
8√a2; 5
√x+yx−y : 10
√(x−y)2x+y ;
√x3
y : 3
√xy
Esegui le seguenti espressioni
31. 3√
5 · 3
√32 : 3√
5
32. 3
√a+ba−b : 6
√a+b4 ·
3
√a−b2
33. 3√
2 · 4√
2 · 6√
2 · 12√
2
34. 3
√a+ba : 3
√a−bb : 6
√b2(a+b)a2(a−b)
35. 4√
56 :√
2 : 4√
7
36. 6
√4x−4y9x : 3
√2x−2y3x : 6
√x2
37.√
ab6 ·√
42 · 3
√24b49
38.6√
3x3 · 3
√10x : 3
√5x
Parafrafo 1.8
Porta fuori, quando possibile, i fattori dal segno di radice
39.√a5b;
5√a4b5c7; 3
√x4y2
z5
40.√
32; 3√
81;√
9a2
8
41.√a5(a− 1)3;
3√a13bc6;
√450
42.√
18x2y;5√
64a4b5; 3
√x6y3
z9
43.√
b100 ;
√x2 + 2xy + y2; 3
√125z5
44. 4√a5b+ a4c;
√9a+ 9b− 9c; 3
√x4y2−x4
y5
Alessandro Bocconi 18
Parafrafo 1.9
Effettua le seguenti espressioni contenenti addizioni e sottrazioni fra radicali
45. 3√
7 + 2 3√
7; 5√a− 7
√a; −3 5
√10− 5
√10
46. 12
3√
7− 2 3√
7; 54
√a− 7
2
√a; −3
85√
10− 18
5√
10
47. 3 3√
7− 72
√a+ 2
53√
7 + 5√a− 7
√a
48. 3√
7 + 3√
56; 5√
4a− 7√a; −3
√32−√
2
49. 3√
108− 2 3√
32 + 13
3√
600
50.√
50 + 12
√72 + 1
3
√75− 3
√2 +√
12
51.√
20 + 23
√45 + 2
5
√125 + 2
7
√245
52. 5√
64 +√
8 + 3√
16 + 4√
32
53. 7√
128 + 2 6√
64 + 3 5√
32 + 4 4√
16 + 5 3√
8 + 6√
4 + 7 1√
2
54.√
89 +√
274 +
√3225 +
√2449
Capitolo 2
Le equazioni di secondo grado
2.1 Le equazioni di secondo grado
Abbiamo gia affrontato le equazioni di primo grado e conosciamo la tecnica per risolverle: dopoaver tolto parentesi e denominatori, si portano tutti i monomi contenenti l’incognita (la x) al primotermine cioe a sinistra dell’uguale, e tutti i monomi che non la contengono (e quindi i numeri senzaparte letterale) al secondo termine cioe a destra dell’uguale. Alla fine ci riduciamo alla forma:
ax = b
dove a e b sono dei numeri. A questo punto, dividendo per a (ammesso che a sia diverso da zero)si ottiene la soluzione x = a
b .
Per essere un equazione di primo grado, ovviamente, non devono essere presenti monomi con parteletterale di grado maggiore di 1.
Analogamente un equazione e di secondo grado se il grado massimo dei monomi e 2. Dal momentoche l’unica lettera presente e l’incognita x, questo significa che ci saranno monomi aventi come parteletterale x2, che ci possono essere monomi con parte letterale x e monomi senza parte letterale.Giungiamo quindi alla:
Definizione di forma normale di un’equazione di secondo grado. Un’equazione di secondogrado e in forma normale se si presenta nella forma:
ax2 + bx+ c = 0
dove a, b e c sono dei numeri.
Esempi
. L’equazione2x2 − 3x+ 7 = 0
e in forma normale con a = 2, b = −3 e c = 7.
. L’equazione3x2 + x− 4 = 3x+ 5
e di secondo grado ma non e in forma normale perche al secondo termine non c’e zero. Si puocomunque facilmente portare a forma normale portando i monomi al secondo termine a sinistradell’uguale:
3x2 + x− 4 = 3x+ 5→ 3x2 + x− 4− 3x− 5 = 0→ 3x2 − 2x− 9 = 0
abbiamo portato l’equazione in forma normale con a = 3, b = −2 e c = −9
Alessandro Bocconi 20
2.2 Casi Particolari
2.2.1 Equazioni di secondo grado pure
Consideriamo adesso il caso particolare in cui b = 0. Dalla forma normale scompare quindi ilsecondo termine e rimane:
ax2 + c = 0
Un’equazione di secondo grado di questo tipo si dice pura.
Per risolvere questo tipo di equazioni si procede nel seguente modo: si porta c al secondo terminecambiandogli il segno:
ax2 + c = 0→ ax2 = −c
dividiamo entrambi i termini per a:
ax2 = −c→ 6a x2
6a= − c
a→ x2 = − c
a
a questo punto conosciamo x2, ma a noi interessa trovare x, cioe vogliamo determinare quel numeroche elevato alla seconda e uguale a − c
a .
Dobbiamo quindi dividere 2 casi:
• se − ca e minore di zero non esiste nessun numero che elevato alla seconda sia uguale a un
numero negativo e quindi, in questo caso, l’equazione non ha soluzioni.
• se − ca e positivo allora esistono 2 numeri, uno opposto dell’altro, che elevati alla seconda sono
uguali a − ca . Tali numeri si trovano estraendo la radice quadrata di − c
a . Quindi le 2 soluzionisono x = +
√ca e x = −
√ca . In modo piu sintetico possiamo scrivere x = ±
√ca .
Osservazione Nel primo caso, dal momento che l’equazione non ha soluzioni si dice che l’insiemedelle soluzioni e vuoto e si scrive S = ∅; mentre nel secondo caso si scriveS = {x ∈ R|x = −
√ca , x = +
√ca}
�
Esempi
. Risolvere l’equazione 2x2 − 72 = 0
Si tratta di un’equazione di secondo grado pura con a = 2 e c = −72. Risolviamola:
2x2 − 72 = 0→ 2x2 = 72→ 6262x2 =
672 36
62→ x2 = 36
36 e un numero positivo e si puo quindi estrarre la radice quadrata ottenendo:
x = ±√
36→ x = ±6
quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x = −6, x = 6}
. Risolvere l’equazione 3x2 + 12 = 0
Si tratta di un’equazione di secondo grado pura con a = 3 e c = 12. Risolviamola:
3x2 + 12 = 0→ 3x2 = −12→ 6363x2 = − 612 4
63→ x2 = −4
Alessandro Bocconi 21
-4 e un numero negativo quindi non esistono soluzioni e si scrive S = ∅
. Risolvere l’equazione 2x2 − 50 = −4
L’equazione non e in forma normale. Portiamola quindi in tale forma:
2x2 − 50 = −4→ 2x2 − 50 + 4 = 0→ 2x2 − 46 = 0
Si tratta di un’equazione di secondo grado pura con a = 2 e c = −46. Risolviamola:
2x2 − 46 = 0→ 2x2 = 46→ 6262x2 =
646 23
62→ x2 = 23
23 e un numero positivo e si puo quindi estrarre la radice quadrata ottenendo:
x = ±√
23
quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x = −√
23, x = +√
23}
�
In conclusione possiamo affermare che un’equazione di secondo grado pura o ha 2soluzioni o non ne ha nessuna.
2.2.2 Equazioni di secondo grado spurie
Affrontiamo adesso il caso in cui c = 0 e quindi l’equazione di secondo grado si presenta nella forma:
ax2 + bx = 0
Osserviamo che i 2 monomi hanno in comune x che puo quindi essere messo a fattor comuneottenendo:
x(ax+ b) = 0
Sappiamo gia che il prodotto di 2 fattori e zero se e soltanto se uno dei due fattori e zero. Quindiaffinche l’equazione sia verificata deve verificarsi che:
x = 0 oppure ax+ b = 0
abbiamo quindi trasformato un’equazione di secondo grado in 2 equazioni di primo grado di cuiuna, x = 0, e gia risolta e l’altra ha soluzione:
ax+ b = 0→ ax = −b→ 6a6ax = − b
a→ x = − b
a
quindi S = {x ∈ R|x = 0, x = − ba}.
Possiamo quindi concludere che un’equazione spuria ha sempre due soluzioni di cuiuna e sempre x = 0.
Esempio
. Risolvere la seguente equazione: 3x2 + 11x = 0
Si tratta di un’equazione spuria con a = 3 e b = 11. Raccogliamo la x e otteniamo:
x(3x+ 11) = 0
pertanto una soluzione e x = 0 e l’altra si ottiene risolvendo:
3x+ 11 = 0→ 3x = −11→ 6363x = −11
3→ x = −11
3
quindi otteniamo S = {x ∈ R|x = 0, x = −113 }
Alessandro Bocconi 22
2.2.3 Equazioni di secondo grado monomie
Quando si verifica che b = 0 e c = 0, siamo di fronte ad un’equazione monomia che si presentasotto la forma:
ax2 = 0
dividiamo entrambi i termini per a:
6a6ax2 =
0
a→ x2 = 0
quindi la soluzione e data da quel numero che elevato alla seconda e uguale a zero. Ma l’uniconumero che elevato alla seconda e zero, e lo zero stesso. Quindi abbiamo che S = {x ∈ R|x = 0}.
Possiamo quindi concludere che un’equazione monomia ha un’unica soluzione che esempre x = 0.
Esempio
. Risolvere −5x2 = 0
e un’equazione monomia pertanto l’unica soluzione e x = 0 quindi S = {x ∈ R|x = 0}.
�
2.3 Il caso generale
Veniamo adesso al caso generale quello in cui a, b e c sono tutti diversi da zero e quindi l’equazionesi presenta nella forma:
ax2 + bx+ c = 0
Per arrivare alla formula generale sono necessari alcuni passaggi che sfruttano i principi di equiva-lenza validi per tutte le equazioni. Inizialmente moltiplichiamo ambo i termini per 4a:
4a · (ax2 + bx+ c) = 4a · 0→ 4a2x2 + 4abx+ 4ac = 0
Aggiungiamo b2 sia al primo che al secondo termine:
4a2x2 + 4abx+ 4ac+ b2 = b2
Portiamo il monomio 4ac a destra dell’uguale cambiandogli il segno:
4a2x2 + 4abx+ b2 = b2 − 4ac
E notiamo che al primo termine abbiamo il quadrato del binomio 2ax+ b, quindi:
(2ax+ b)2 = b2 − 4ac
Un quadrato e una quantita che non e mai negativa, quindi, affinche l’equazione abbia soluzionideve essere non negativa anche l’espressione b2−4ac. Per motivi che vedremo in seguito indichiamocon la lettera greca 4 (delta) la quantita b2 − 4ac. Cioe:
4 = b2 − 4ac
Abbiamo quindi 3 casi possibili:
• se 4 < 0 l’eguaglianza non e mai verificata e quindi l’equazione non ha soluzioni (e impossi-bile) e si indica S = ∅.
Alessandro Bocconi 23
• se 4 = 0 l’eguaglianza diventa(2ax+ b)2 = 0
ma noi sappiamo che una potenza e zero se e soltanto se e zero la base, quindi:
(2ax+ b)2 = 0→ 2ax+ b = 0→ 2ax = −b→ 62a62ax = − b
2a→ x = − b
2a
quindi l’equazione ha un’unica soluzione S = {x ∈ R|x = − b2a}
• se 4 > 0 allora per ricavarsi 2ax + b bisogna estrarre la radice come abbiamo fatto per leequazioni pure; quindi:
(2ax+ b)2 = 4→ 2ax+ b = ±√4
portiamo allora b al secondo termine e dividiamo per 2a ottenendo:
2ax+ b = ±√4→ 2ax = −b±
√4→ x =
−b±√4
2a
Quindi l’equazione ha 2 soluzioni che si ottengono facendo precedere la radice una volta dalsegno meno e l’altra dal segno piu.
L’ultima formula che abbiamo trovato, che per la sua importanza riscriviamo di seguito, e chiamataformula risolutiva per le equazioni di secondo grado.
x =−b±
√4
2a
Definizione di discriminante. La quantita b2 − 4ac che abbiamo indicato con la lettera greca4 prende il nome di discriminante. Il motivo di questo nome deriva dal fatto che “discrimina” ilnumero di soluzioni di un’equazione. Infatti:
• se 4 < 0 l’equazione non ha soluzioni
• se 4 = 0 l’equazione ha un’unica soluzione x = − b2a
• se 4 > 0 l’equazione ha 2 soluzioni che si determinano mediante la formula risolutiva delleequazioni di secondo grado.
�
Osservazione. Come vedremo in seguito e in future applicazioni spesso e conveniente interpretareil caso 4 = 0 non come un’equazione che ha un’unica soluzione ma che ha 2 soluzioni uguali fraloro.
�
Convenzione Spesso il discriminante e chiamato piu semplicemente delta.
�
Esempi
. Risolvere l’equazione 2x2 − 3x+ 9 = 0
Alessandro Bocconi 24
Osserviamo innanzitutto che l’equazione di secondo grado e in forma normale ed e completa. Ivalori dei parametri sono a = 2, b = −3 e c = 9. Calcoliamoci il discriminante:
4 = b2 − 4ac = (−3)2 − 4 · 2 · 9 = 9− 72 = −63
Il discriminante e negativo e quindi l’equazione non ha soluzioni e si scrive: S = ∅
. Risolvere l’equazione x2 − 7x+ 10 = 0
Osserviamo innanzitutto che l’equazione di secondo grado e in forma normale ed e completa. Ivalori dei parametri sono a = 1, b = −7 e c = 10. Calcoliamoci il discriminante:
4 = b2 − 4ac = (−7)2 − 4 · 1 · 10 = 49− 40 = 9
Il discriminante e positivo e quindi l’equazione ha 2 soluzioni che si determinano tramite la formularisolutiva:
x =−b±
√4
2a=
7±√
9
2 · 1=
7± 3
2→ x =
7− 3
2= 2, x =
7 + 3
2= 5
peranto S = {x ∈ R|x = 2, x = 5}
. Risolvere l’equazione x2 + 10x+ 8 = 4x− 1
Osserviamo innanzitutto che l’equazione di secondo grado non e in forma normale. Portiamola intale forma:
x2 + 10x+ 8 = 4x− 1→ x2 + 10x+ 8− 4x+ 1 = 0→ x2 + 6x+ 9 = 0
L’equazione e completa e i valori dei parametri sono a = 1, b = 6 e c = 9. Calcoliamoci ildiscriminante:
4 = b2 − 4ac = (6)2 − 4 · 1 · 9 = 36− 36 = 0
Il discriminante e zero e quindi l’equazione ha un’unica soluzione che e
x = − b
2a= − 6
2 · 1= −3
peranto S = {x ∈ R|x = −3}
�
Osservazione importantissima. In queso paragrafo e nel precedente, abbiamo visto che a se-conda del tipo di equazione esiste una tecnica diversa per determinare le soluzioni. Questo puorendere difficile ricordare, a seconda dei casi, quale tecnica applicare. Fermo restando che le tec-niche indicate sono le piu efficaci nei vari casi, la formula risolutiva puo essere usata perrisolvere qualunque tipo di equazione di secondo grado. In altre parole, se ad esempiodobbiamo risolvere un’equazione spuria, usare la formula risolutiva non e la strada piu veloce maporta comunque al risultato giusto.
�
Verifichiamo quanto appena detto applicando la formula risolutiva a tutti gli esempi del precedenteparagrafo:
Esempi
. Risolvere l’equazione 2x2 − 72 = 0
Alessandro Bocconi 25
E un’equazione di secondo grado con a = 2, b = 0 e c = −72. Calcoliamo il discriminante:
4 = b2 − 4ac = 02 − 4 · 2 · (−72) = −8 · (−72) = 576
Il discriminante e maggiore di zero, ci aspettiamo quindi 2 soluzioni che determiniamo tramite laformula risolutiva:
x =−b±
√4
2a=
0±√
576
2 · 2=±24
4→ x =
−24
4= −6, x =
24
4= 6
peranto S = {x ∈ R|x = −6, x = 6}. Si confronti tale soluzione con quella del medesimo esempiodel paragrafo 2.2.
. Risolvere la seguente equazione: 3x2 + 11x = 0
E un’equazione di secondo grado con a = 3, b = 11 e c = 0. Calcoliamo il discriminante:
4 = b2 − 4ac = 112 − 4 · 3 · 0 = 121
Il discriminante e maggiore di zero, ci aspettiamo quindi 2 soluzioni che determiniamo tramite laformula risolutiva:
x =−b±
√4
2a=−11±
√121
2 · 3=−11± 11
6→ x =
−22
6= −11
3, x =
0
6= 0
peranto S = {x ∈ R|x = −113 , x = 0}. Si confronti tale soluzione con quella del medesimo esempio
del paragrafo 2.2.
. Risolvere l’equazione x2 + 10x+ 8 = 4x− 1
Portata in forma normale l’equazione diventa:
x2 + 6x+ 9 = 0
L’equazione e completa e i valori dei parametri sono a = 1, b = 6 e c = 9. Calcoliamoci ildiscriminante:
4 = b2 − 4ac = (6)2 − 4 · 1 · 9 = 36− 36 = 0
Il discriminante e zero e quindi l’equazione ha un’unica soluzione. Applichiamo la formula risolutiva:
x =−b±
√4
2a=−6±
√0
2 · 1=−6
2= −3
peranto S = {x ∈ R|x = −3} che e lo stesso risultato ottenuto precedentemente.
�
2.4 La formula ridotta
Nel caso che il coefficiente b sia un numero pari, esiste una formula, detta formula ridotta, cheproviene dalla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Il vantaggio di tale formula,rispetto a quella risolutiva, sta nel fatto che permette di trovare le soluzioni tramite calcoli piusemplici.
Ricaviamoci allora tale formula che, come gia detto, funziona solo se b e un numero pari. Essendoun numero pari esiste un altro numero, chiamiamolo β (lettera greca che si legge beta), uguale allameta di b. Quindi b = 2β.
Alessandro Bocconi 26
Scriviamo allora la formula risolutiva con 2β al posto di b. Il discriminante diventa:
4 = (2β)2 − 4ac = 4β2 − 4ac = 4(β2 − ac)
e la formula risolutiva:
x =−2β ±
√4
2a=−2β ±
√4(β2 − ac)
2a=
possiamo portare il 4 fuori dalla radice e raccogliere il 2:
=−2β ± 2
√β2 − ac
2a=62 (−β ±
√β2 − ac)
62 a=−β ±
√β2 − aca
la formula ridotta e quindi:
x =−β ±
√β2 − aca
Osservazione Per la formula ridotta non serve calcolarsi il discriminante (cioe b2 − 4ac) ma esufficientamente calcolare la quantita β2 − ac (indicata con l’espressione 4
4 perche equivale aldiscriminante diviso 4)
Esempio
. Risolvere l’equazione x2 + 8x− 33 = 0
b = 8 quindi β = 4 quindi:44
= β2 − ac = 16− 1 · (−33) = 49
applichiamo la ridotta:
x =−β ±
√β2 − aca
=−4±
√49
1= −4± 7→ x = −11; x = +3
quindi S = {x ∈ R|x = −11, x = 3}
Risolviamo adesso lo stesso esercizio con la formula tradizionale:
4 = b2 − 4ac = 82 − 4 · 1 · (−33) = 64 + 132 = 196
applichiamo la formula risolutiva
x =−b±
√4
2a=−8±
√196
2=−8± 14
2→ x =
−8− 14
2= − 622 11
62= −11; x =
−8 + 14
2=66 3
62= +3
quindi si trovano le stesse soluzioni ma con calcoli piu difficili.
�
2.5 Relazione fra coefficienti e soluzioni di un’equazione di secon-do grado
Come prevedibile esiste una relazione fra le soluzioni (chiamate anche radici) di un’equazione disecondo grado e i coefficienti dell’equazione stessa. Consideriamo tre casi a seconda che il 4 siamaggiore, minore o uguale a zero.
Alessandro Bocconi 27
• 4 > 0. In questo caso l’equazione ha 2 soluzioni. Chiamiamole x1 e x2 per distinguerle fraloro. Sappiamo che:
x1 =−b−
√4
2a; x2 =
−b+√4
2a
Osserviamo adesso che la somma delle soluzioni e:
x1 + x2 =−b−
√4
2a+−b+
√4
2a=−b−
√4− b+
√4
2a=− 62 b62 a
= − ba
mentre il prodotto e:
x1 · x2 =−b−
√4
2a· −b+
√4
2a=
(−b−√4) · (−b+
√4)
4a2
al numeratore c’e il prodotto di una somma per una differenza quindi:
(−b)2 − (√4)2
4a2=b2 −4
4a2=b2 − (b2 − 4ac)
4a2=b2 − b2 + 4ac
4a2=646a c64 a62
=c
a
Abbiamo quindi stabilito che, se x1 e x2 sono le due soluzioni di un equazione di secondogrado vale che:
x1 + x2 = − ba
; x1 · x2 =c
a
• 4 = 0. In questo caso abbiamo un’unica soluzione, o meglio, come abbiamo osservato inprecedenza, ne abbiamo 2 fra loro uguali. Continuiamo a chiamarle x1 e x2 con
x1 = x2 = − b
2a
Inoltre se 4 = 0 significa che b2 − 4ac = 0 cioe b2 = 4ac. Quindi:
x1 + x2 = − b
2a− b
2a=− 62 b62 a
= − ba
x1 · x2 = − b
2a· (− b
2a) =
b2
4a2=
ma, dato che b2 = 4ac, possiamo sostituire 4ac a b2:
=646a c64 a62
=c
a
quindi anche nel caso 4 = 0 la somma e il prodotto delle soluzioni e uguale del caso 4 > 0.
• 4 < 0 in questo caso non ci sono soluzioni quindi non ci puo essere alcuna relazione frasoluzioni e coefficienti.
Conoscere queste relazioni puo essere estremamente utile per risolvere il problema inverso a quelloche siamo soliti affrontare: generalmente viene assegnata un’equazione di cui bisogna determinarele soluzioni; supponiamo invece di dover risolvere il seguente:
Problema inverso. Dati 2 numeri determinare un’equazione di secondo grado che abbia tali nu-meri come soluzioni. Determinare un’equazione di secondo grado significa determinare i coefficientia, b e c.
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Alessandro Bocconi 28
Per risolvere questo problema risultano fondamentali le relazioni fra soluzioni e coefficienti, comesi vede dai seguenti:
Esempi
. Determinare un’equazione di secondo grado che abbia come soluzione i numeri 3 e 5.
Risulta quindi che x1 = 3 e x2 = 5. Dal momento che x1 + x2 = − ba abbiamo che:
8 = − ba→ b
a= −8
Inoltre dato che x1 · x2 = ca risulta che:
15 =c
a→ c
a= 15
Dal momento che abbiamo 3 incognite e 2 sole equazioni possiamo dare ad una delle tre incogniteun qualunque valore. Scegliamo (come faremo sempre in questo tipo di problemi) a = 1, quindidalle precedenti relazioni si ricava:
b = −8; c = 15
quindi l’equazione cercata e: x2 − 8x+ 15 = 0.
Verifichiamo che tale equazione abbia come soluzione proprio 3 e 5:
4 = b2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 1 · 15 = 64− 60 = 4
applicando la formula risolutiva otteniamo:
x =−b±
√4
2a=
8±√
4
2=
8± 2
2→ x =
8− 2
2=66 3
62= 3; x =
8 + 2
2=610 5
62= 5
che conferma che l’equazione trovata e quella che risolve il problema assegnato.
. Determinare un’equazione di secondo grado che abbia come soluzione il numero −2.
Abbiamo gia osservato che un’unica soluzione puo essere vista come 2 soluzioni coincidenti. Quindix1 = x2 = −2. Da cui (ponendo sempre a = 1):
−4 = − b1→ b = 4
Inoltre:4 =
c
1→ c = 4
quindi l’equazione cercata e: x2 + 4x+ 4 = 0.
Verifichiamo che tale equazione abbia come soluzione proprio −2:
4 = b2 − 4ac = (4)2 − 4 · 1 · 4 = 16− 16 = 0
applicando la formula risolutiva otteniamo:
x =−b±
√4
2a=−4± 0
2=− 64 2
62= −2
che conferma che l’equazione trovata e quella che risolve il problema assegnato.
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Alessandro Bocconi 29
2.6 Scomposizione di un trinomio di secondo grado tramite leequazioni
Le equazioni di secondo grado risultano utili anche per la scomposizione di un trinomio di secondogrado. Ricordiamoci che scomporre un polinomio significa scriverlo come un prodotto di polinomidi grado minore.
Come scomporre un trinomio di secondo grado tramite un equazione di secondo grado e sintetizzatodal seguente:
Teorema. Siano x1 e x2 le due soluzioni di un’equazione di secondo grado, allora il polinomioax2 + bx+ c puo essere scomposto come:
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)
si osservi che abbiamo scritto il trinomio di secondo grado come il prodotto di 2 binomi di primogrado e quindi lo abbiamo scomposto.
Dimostrazione: e sufficiente verificare l’uguaglianza del teorema.
a(x− x1)(x− x2) = a(x2 − x1x− x2x+ x1x2) = a[x2 − (x1 + x2)x+ x1x2]
ma abbiamo visto prima che x1 + x2 = − ba e x1 · x2 = c
a . Sostituendo otteniamo:
a[x2− (x1 +x2)x+x1x2] = a[x2− (− ba
)x+c
a] = a(x2 +
b
ax+
c
a) = ax2+ 6a · b
6ax+ 6a c
6a= ax2 + bx+ c
che verifica l’uguaglianza.
�
Osservazione. Il teorema vale anche nel caso l’equazione di secondo grado abbia un’unica soluzione(o due coincidenti). In questo caso, dato che x1 = x2, si ottiene:
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2) = a(x− x1)2
�
Osservazione. Se l’equazione di secondo grado non ha soluzioni allora il trinomio non e scompo-nibile e quindi e irriducibile.
�
Esempi
. Scomporre il trinomio 2x2 − 4x− 30.
Risolviamo l’equazione associata: 2x2 − 4x− 30 = 0.
4 = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 2 · (−30) = 16 + 240 = 256
x =−b±
√4
2a=
4±√
256
4=
4± 16
4→ x1 =
4− 16
4=− 612 3
64= −3; x2 =
4 + 16
4=620 5
64= 5
Quindi la scomposizione risulta:
2x2 − 4x− 30 = 2(x+ 3)(x− 5)
Alessandro Bocconi 30
. Scomporre il trinomio 3x2 − 4x+ 1.
Risolviamo l’equazione associata: 3x2 − 4x+ 1 = 0.
4 = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 3 · 1 = 16− 12 = 4
x =−b±
√4
2a=
4±√
4
6=
4± 2
6→ x1 =
4− 2
6=− 6266 3
=1
3; x2 =
4 + 2
6=6666
= 1
Quindi la scomposizione risulta:
3x2 − 4x+ 1 = 3(x− 1
3)(x− 1)
. Scomporre il trinomio x2 − 10x+ 25.
Risolviamo l’equazione associata: x2 − 10x+ 25 = 0.
4 = b2 − 4ac = (−10)2 − 4 · 1 · 25 = 100− 100 = 0
x =−b±
√4
2a=
10±√
0
2=
10± 0
2→ x1 =
10
2= 5
Quindi la scomposizione risulta:x2 − 10x+ 25 = (x− 5)2
. Scomporre il trinomio x2 − 2x+ 5.
Risolviamo l’equazione associata: x2 − 2x+ 5 = 0.
4 = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 · 1 · 5 = 4− 20 = −16
quindi, essendo il discriminante negativo, l’equazione non ha soluzioni ed il trinomio e irriducibile.
�
Osservazione. Il lettore, scomponendo un trinomio tramite le equazioni di secondo grado, si sararicordato della scomposizione del particolare trinomio di secondo grado. In tale scomposizionedovevamo trovare due numeri p e q tali che la loro somma fosse uguale al coefficiente di x e illoro prodotto fosse uguale al termine noto. Una volta trovati la scomposizione risultava essere(x + p)(x + q) (tutto cio funzionava se il coefficiente di x2 era 1). Ovviamente scomporre tramiteil particolare trinomio oppure scomporre tramite l’equazione di secondo grado porta allo stessorisultato: bisogna pero aggiungere che la scomposizione tramite equazione di secondo grado siapplica ad un numero maggiore di casi.
�
2.7 Problemi risolubili tramite equazioni di secondo grado
Le equazioni di secondo grado possono essere utilizzate, al pari delle equazioni di primo grado, perrisolvere dei problemi.
I passi da seguire sono i seguenti:
1. Definire cosa indichiamo come incognita (cioe cosa ci chiede il problema)
Alessandro Bocconi 31
2. Stabilire i vincoli a cui deve sottostare l’incognita (ad esempio se deve essere intera, positiva,minore di qualcosa ecc.)
3. Impostare l’equazione risolutiva e risolverla
4. Verificare se la soluzione soddisfa i vincoli
Esempi
. In un cinema tutte le file sono composte dallo stesso numero di sedie. Il numero di file e ugualeal numero di sedie per fila aumentato di 3 (in altre parole se ci fossero 10 sedie per fila le filesarebbero 13, oppure se ci fossero 15 sedie per fila le file sarebbero 18 e cosı via). In tutto il cinemaha 208 posti. Quante sedie ci sono per ogni fila?
1. L’incognita x e il numero di sedie per fila. Dal momento che il numero di file supera di 3 ilnumero di sedie per fila, il numero di file e x+ 3
2. Vincoli: ovviamente x deve essere positivo e intero.
3. Impostiamo l’equazione risolvente: il numero di posti equivale al numero di sedie per fila (cheabbiamo chiamato x) moltiplicato il numero di file (x + 3). Dal momento che i posti totalisono 208 risulta che:
x · (x+ 3) = 208
Cioex2 + 3x− 208 = 0
Risolviamola:4 = b2 − 4ac = (3)2 − 4 · 1 · (−208) = 9 + 832 = 841
x =−b±
√4
2a=−3±
√832
2=−3± 29
2→ x =
−3− 29
2=− 632 16
62= −16; x =
−3 + 29
2=626 13
62= 13
4. Una soluzione e negativa e quindi non rispetta il vincolo mentre l’altra, 13 e positiva ed interae quindi soddisfa i vincoli e risolve il problema.
Il numero di sedie per fila e quindi 13.
. Francesca vuole organizzare una festa di compleanno e invita un certo numero di ragazze/i.Ciascun invitato, a sua volta, invita lo stesso numero di persone che ha invitato Francesca (in altreparole se Francesca invita 10 persone, ciascuna di queste 10 persone ne invita altre 10 e cosı via.In questo caso abbiamo 10 persone invitate da Francesca piu 10 · 10 = 100 persone invitate dagliinvitati). Alla fine, alla festa ci sono, compreso Francesca, 241 persone. Quante persone ha invitatoFrancesca?
1. L’incognita x e il numero di persone invitato da Francesca. Dal momento che ciascuno deglix invitati puo invitarne altri x gli invitati dagli invitati sono x2.
2. Vincoli: x deve essere positivo e intero.
3. Impostiamo l’equazione risolvente: alla festa ci sono gli invitati dagli invitati (che sono x2),gli invitati direttamente da Francesca (che sono x) e Francesca stessa. Dal momento che intutto alla festa ci sono 241 persone risulta che:
x2 + x+ 1 = 241
Cioex2 + x− 240 = 0
Alessandro Bocconi 32
Risolviamola:4 = b2 − 4ac = (1)2 − 4 · 1 · (−240) = 1 + 960 = 961
x =−b±
√4
2a=−1±
√961
2=−1± 31
2→ x =
−1− 31
2=− 632 16
62= −16; x =
−1 + 31
2=630 15
62= 15
4. Una soluzione e negativa e quindi non rispetta il vincolo mentre l’altra, 15 e positiva ed interae quindi soddisfa i vincoli e risolve il problema.
Il numero di invitati direttamente da Francesca e quindi 15.
�
2.8 Domande
Paragrafo 2.1
1. Qual’e la forma normale di un’equazione di secondo grado?
Paragrafo 2.2
2. Quando un’equazione di secondo grado si dice pura?
3. Quali sono le soluzioni di un’equazione pura?
4. Quando un’equazione di secondo grado si dice spuria?
5. Quali sono le soluzioni di un’equazione spuria?
6. Quando un’equazione di secondo grado si dice monomia?
7. Quali sono le soluzioni di un’equazione monomia?
Paragrafo 2.3
8. Quanto e il discriminante 4 di un’equazione di secondo grado?
9. Perche il 4 si chiama discriminante?
10. Quante soluzioni ha un’equazione di secondo grado con il discriminante negativo?
11. Quante soluzioni ha un’equazione di secondo grado con il discriminante zero?
12. Quante soluzioni ha un’equazione di secondo grado con il discriminante positivo?
13. Scrivere la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado
Paragrafo 2.4
14. In quali casi puo essere usata la formula ridotta?
15. Scrivi la formula ridotta per risolvere un’equazione di secondo grado.
Alessandro Bocconi 33
Paragrafo 2.5
16. Se il discriminante e maggiore di zero, a quanto equivale la somma delle soluzioni di un’equa-zione di secondo grado?
17. Se il discriminante e maggiore di zero, a quanto equivale il prodotto delle soluzioni di un’e-quazione di secondo grado?
18. Le risposte precedenti valgono anche nel caso che il discriminante sia uguale a zero?
19. Le relazioni fra soluzioni e coefficienti sono utili per risolvere un problema inverso. Quale?
Paragrafo 2.6
20. Se x1 e x2 sono le due soluzioni di un’equazione di secondo grado, come si scompone untrinomio di secondo grado.
21. Se x1 e l’unica soluzione di un’equazione di secondo grado, come si scompone un trinomio disecondo grado.
22. Se il discriminante e negativo il trinomio di secondo grado puo essere scomposto?
23. Quale tecnica di scomposizione assomiglia a quella tramite le equazioni di secondo grado?
Paragrafo 2.7
24. Elenca i 4 passi per risolvere un problema tramite un’equazione di secondo grado
2.9 Esercizi
Paragrafo 2.1
Porta in forma normale le seguenti equazioni di secondo grado:
1. x2 + 2x+ 3 = 8; 2x2 − 3x = 7 + 5x2 + 8x; 0 = x2 + 2x+ 3
2. x(x+ 4) + 2x− 3 = −18; −3x = 7(x+ 1) + 5x2 + 8x; x2 − 2x = 4x2 − 2x+ 3
3. 7(x+ 5) + x2 + 2x− 10 = 8x2 + 25; −2x2 − 3(x− 5) = 7 + 4x2; −x− x2 = x2
4. x(2x+ 4) + 5(2− x) = 10− x; 6x = 3(x2 − 5)− 4x; 2x2 = 0
Paragrafo 2.2
Risolvere le seguenti equazioni
5. x2 − 9 = 0; 5x = 2x2 2x2 + 50 = 0
6. x2 − 5x+ 6 = 6(2x+ 1); 4x2 − 9x = 0 2x2 + 50− 8x = 2(25− 4x)
7. 3x2 − 5(x− 6) = 30; 4x2 − 9 = 0 50x2 − 8x = 2x(3− 4x)
8. x2 − 5x = 0; −8x2 + 32 = 0 2x2 + 50 = 2(25− 4x) + 8x
9. 7x− 3x2 = 0; −3x2 − 48 = 0 4x2 + 22x+ 5 = 5(x+ 1)
10. 4x2 − 1 = 0; 4x2 + 8 = 8 4x(x− 3) = 0
11. 3x+ 2 = x(x+ 3); 2x2 − 10 = 0 70x− 3(10x+ 5) + x2 = −15
Alessandro Bocconi 34
12. 4x2 − 16x = 0; 7x2 − 21 = 0 x = x2
13. 4(x2 − 3x) + 12x− 7− 3x2 = 0; 5x+ 21 = 3− 7x2 + 5x 100 = x2
14. 2x2 − 9 = 0; 7(x2 − 3) + 21 = 0 x+ 3 = x2 − 2x+ 3
Paragrafo 2.3
15. x2 − 5x+ 6 = 0; 4x2 − 9x = 0 2x2 + 50− 7x = 2(25− 4x) + 12
16. x2 − 7x+ 12 = 0; 4x2 − 12x+ 9 = 0 2x2 + x+ 10 = 0
17. x2 − 5x+ 6 = −5(x+ 2); 4x2 − 3(x+ 5) = −3x+ 15 2x2 + 7x+ 8 = 5
18. x2 − 6x+ 6 = 0; 2x− 8 + x2 = 0 18x2 + 48x+ 32 = 0
19. 2x2 − 5x− 7 = x2 + 1; −4x2 + 3x− 6 = 3(x− 5) x2 + 10− 7x = 0
20. x2 + 11x+ 18 = 0; −x2 + 5x− 6 = 0 3x(x− 2) + 9x = 18
21. 2x2 − 5x+ 6 = 3(2 + x); x2 − 9x = 9(1− x) 2x2 + 3x+ 3 = 1
22. x2 + 9x+ 14 = 0; x2 − 4x+ 4 = 0 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + x2 + x+ 2x+ 3x+ 4x = 0
23. x2 + 2x− 14 = 1; x2 + x+ 1 = 0 2x2 + 3x− 1 = 0
24. x2 + 5x+ 6 = 0; 4x2 − 4x+ 1 = 0 x2 + 11x− 10 = 2
25. x2 − 3x− 2 = 0; 4x2 − x+ 2 = 0 x2 + 11x+ 30 = x+ 6
26. 3x2 − 5x− 2 = 0; 4x2 + x− 5 = 0 x2 − 10x+ 9 = 0
27. x(x− 3) = 10; x2 − x = 0 x(x− 7) + 6 = −6
28. x+ 2 = x2; 10x2 − 9x = 9x x2 + 5x+ 4 = 0
29. x2 + 8x+ 16 = 0; 3x2 − x+ 1 = 0 x2 − 7x+ 10 = 0
Paragrafo 2.4
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado usando se possibile la formula ridotta:
30. x2 + 8x+ 16 = 0; x2 − 4x+ 1 = 0 x2 − 6x+ 8 = 0
31. x2 + 12x+ 20 = 0; 3x2 − 4x+ 1 = 0 x2 + 2x+ 1 = 0
32. x2 + 8x+ 3 = 0; x2 − 10x+ 24 = 0 5x2 − 6x+ 1 = 0
Paragrafo 2.5
Delle seguenti equazioni determinare, senza risolverle, quanto e la somma e il prodotto dellesoluzioni:
33. x2 + 8x+ 16 = 0; 2x2 − 4x+ 1 = 0 x2 − 6x+ 8 = 0
34. 4x2 + 21x+ 16 = 0; x2 − x− 1 = 0 2x2 − 8x+ 3 = 0
35. x2 − 8x+ 15 = 0; 3x2 − 6x+ 8 = 0 6x2 − 12x− 9 = 0
Alessandro Bocconi 35
Date le seguenti coppie di numeri o un numero solo, determinare le equazioni di secondo gradoche hanno tali numeri come soluzioni. Successivamente risolvi l’equazione per verificare diaver trovato l’equazione giusta:
36. (2; 3); (−1; 2); (5)
37. (10;−3); (−1; 4); (−2)
38. (2; 1); (4; 0); (4)
39. (4;−3); (−2; 2); (0)
40. (1;−1); (1; 3); (1)
41. (−2;−5); (−4;−4); (−10)
Paragrafo 2.6
Scomponi tramite le equazioni i seguenti trinomi di secondo grado. Se non e possibile scriviirriducibile:
42. x2 + 8x− 20; 4x2 − 4x+ 1 x2 − 6x+ 8
43. x2 + 3x− 40; x2 + 3x+ 6 5x2 − 6x+ 1
44. 2x2 + 8x− 42; x2 − 2x+ 1 3x2 − 7x+ 4
45. x2 − 10x+ 25; 4x2 + 7x+ 3 x2 + 3x+ 2
46. x2 + 2x+ 5; 9x2 + 6x+ 1 x2 − 4x− 32
47. x2 + 5x− 14; 2x2 − 9x+ 9 x2 + x− 30
48. 3x2 + 8x+ 4; x2 − 4x+ 4 x2 + 5x+ 4
2.10 Problemi
1. Una scuola ha tutte le classi formate dallo stesso numero di allievi. Il numero delle classisupera di 2 il numero di allievi per classe (per esempio se le classi fossero formate da 8 allievile classi sarebbero 10). In tutto gli allievi sono 255. Quanti allievi ha ciascuna classe?
2. Sommando la misura dell’area di un quadrato con quella del suo perimetro si ottiene 117.Quanto misura il lato di questo quadrato?
3. Un rettangolo di area 88 m2 ha un lato maggiore di 3 metri dell’altro. Quanto misurano ilati del rettangolo?
4. Per una manifestazione partono in pulman da firenze 1200 persone. Ogni pulman contiene lostesso numero di manifestanti e questo numero supera di 10 il numero complessivo di pulman.Quanti pulman ci sono in totale?
5. Quando Mario va al bar prende sempre la stessa cosa e spende sempre lo stesso prezzo. Allafine del mese di ottobre Mario si e accorto che e andato al bar tante volte quanti sono gli euroche spende ciascuna volta. In tutto, nel mese di ottobre, ha speso 81 euro. Quante volte eandato al bar in ottobre?
6. Una stanza e piastrellata con mattonelle quadrate. Il numero delle righe e il triplo di quellodelle colonne. In tutto le mattonelle sono 363. Di quante colonne di mattonelle e compostala stanza?
