Janina ulien

Ar moki MATEMATIKA

UDK 51(075.3) u 2 1

Pirmasis leidimas 2005 2003

Visi io l e id imo p a k a r t o t i t i raai yra be pake i t im ir ga l io ja . P i rmas i s skaiius r o d o pasku t in iu s le idinio t i r aav imo me tus .

S C t t N l I w C t o M l E M m s

ISBN 5-430-03617- Janina ulien, 2003 Leidykla viesa", 2003

SKAIIAI, SKAIIAVIMAI, ALGEBRA SKAII TEORIJOS ELEMENTAI

Dalumas Daugyba

Kok nors skaii (daugin) padauginti i sveikojo skaiiaus (dau-giklio) reikia daugin paimti kaip dmen tiek kart, kiek vienet turi daugiklis. Gautas skaiius vadinamas sandauga. 1 p a v y z d y s . 12 5 = 60; ia 12 dauginys, 5 daugiklis, 60 sandauga. 12 5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 60. Daugin ir daugikl sukeitus vietomis, sandauga ilieka ta pati. 2 p a v y z d y s . 2 - 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 ir 5 - 2 = 5 + 5 = 10. Abu, ir daugin, ir daugikl, galima vadinti daugikliais.

Dalyba

Tai veiksmas, kuriuo i duotos dviej skaii sandaugos ir vieno i skaii randamas antrasis skaiius. Duotoji sandauga vadinama dali-niu, inomas daugiklis dalikliu, o iekomas daugiklis dalmeniu. 1 p a v y z d y s. 48 : 6 = 8; ia 48 dalinys, 6 daliklis, 8 dalmuo. Dalyb galima patikrinti taip: daliklis 6 padauginamas i dalmens 8 ir gaunamas dalinys 48. Dalmuo, gaunamas dalijant vien sveikj skaii i kito sveikojo skai-iaus, gali bti ir ne sveikasis skaiius. Tuomet dalmuo gali bti irei-kiamas trupmena. Jei dalmuo yra sveikasis skaiius, tai sakoma, kad pir-masis mint skaii dalijasi i antrojo be liekanos. 2 p a v y z d y s . 35 dalijasi be liekanos i 5, nes dalmuo yra sveikasis skaiius 7. Dalyba natralij skaii aibje galima tik tada, kai egzistuoja toks na-tralusis skaiius k, su kuriuo n = k m (k, m, n natralieji skaiiai). Skaiius k vadinamas skaiiaus n dalikliu, o skaiius n skaiiaus k kartotiniu.

3 p a v y z d y s . 5 yra skaii 25, 60, 80 daliklis; 60 yra skaii 15, 20, 30 kartotinis. Daugeliu atvej nedalijant galima suinoti, ar vienas sveikasis skaiius dalijasi be liekanos i kito sveikojo skaiiaus. Tam tereikia inoti dalumo poymius:

Skaiius n dalijasi i: Dalumo poymis

Pavyzdys

2 Skaiiaus n paskutinis

skaitmuo yra lyginis, t. y. 0, 2, 4, 6 arba 8

486064 : 2 = 243032

3 arba 9 Skaiiaus n skaitmen suma

dalijasi i 3 arba 9 273 : 3 = 91 (nes 2 + 7 +

+ 3 = 12, o 12 : 3 = 4)

5 Skaiiaus n paskutinis skaitmuo yra 0 arba 5

13525 : 5 = 2705

10 Skaiiaus n paskutinis

skaitmuo yra 0 13470 : 10 = 1347

Lyginiai ir nelyginiai skaiiai

Skaiiai, kurie be liekanos dalijasi i 2, vadinami lyginiais skai-iais. iuos skaiius galima urayti taip: 2n (n sveikasis skaiius). Nelyginiai skaiiai uraomi taip: 2n + 1 (n sveikasis skaiius). P a v y z d i a i . 2, 4, 6, 42, 102 lyginiai skaiiai; 3, 11, 21, 1055 nelyginiai skaiiai.

Pirminiai ir sudtiniai skaiiai

Visi sveikieji skaiiai, iskyrus 1, turi maiausiai du daliklius: 1 ir save pat. Skaiiai, kurie neturi joki kit dalikli, vadinami pirminiais (arba neskaidiaisiais). 1 p a v y z d y s . 7, 41, 53 pirminiai skaiiai. Skaiiai, kurie turi daugiau nei du daliklius, vadinami sudtiniais (arba skaidiaisiais). 2 p a v y z d y s . 21 - sudtinis skaiius (jo dalikliai 1, 3, 7, 21). Skaiius \ nepriskiriamas nei prie pirmini, nei prie sudtini skaii.

Skaidymas pirminiais daugikliais

Kiekvien sudtin skaii galima vieninteliu bdu ireikti pirmi-ni daugikli sandauga. Nedidelius skaiius lengva iskaidyti mintinai, o dideliems galima pritaikyti toliau pavyzdyje paaikint skaidymo bd.

1 p a v y z d y s . Sakykime, duotas skaiius 1421. Imkime i eils pirmi-nius skaiius ir sustokime ties tuo, kuris yra duotojo skaiiaus daliklis. Remdamiesi dalumo poymiais, matome, kad skaiiai 2, 3, 5 nra skai-iaus 1421 dalikliai. Paband padalyti i 7, nustatome, kad 1421 i 7 dalijasi. Gauname dalmen 203. Nubr brkn, kairje jo pusje para-ome skaii 1421, deinje pusje prieais j dalikl 7, o po skaiiu-mi dalmen 203. Toliau tokiu pat bdu itiriame skaii 203. Pirmini skaii 2, 3 ir 5, kurie i pat pradi pasirod netinkami, nelieiame ir pradedame tirti nuo 7. Pasirodo, kad 7 yra skaiiaus 203 daliklis. Vl deinje brknio pusje prieais 203 raome dalikl 7, po 203 dalmen 29. Skaiius 29 pirminis, todl skaidym baigiame, alia skaiiaus deinje paraydami dalikl 29. Skaidymo rezultatas:

1421 7 1421 = 7 - 7 - 2 9 203 7

29 29 1

Didiausiasis bendrasis daliklis (DBD)

Keli skaii bendruoju dalikliu vadinamas skaiius, kuris yra kiekvieno j daliklis. 1 p a v y z d y s . Skaii 12, 18 ir 30 bendrieji dalikliai yra 2, 3 ir 6. Tarp vis bendrj dalikli visada yra didiausias daliklis, ms pavyzdyje skaiius 6, kuris vadinamas didiausiuoju bendruoju dalikliu (DBD). P a v y z d i a i . Skaii 16, 20, 28 DBD yra 4. Raoma: DBD (16, 20, 28) = 4. Skaii 30, 60, 90, 5 DBD yra 5. Raoma: DBD (30, 60, 90, 5) = 5. Nedideli skaii DBD lengva rasti mintinai. Norint rasti keli skaii didiausij bendrj dalikl, reikia tuos skaiius iskaidyti pirmi-niais daugikliais, paimti kiekvien i daugikli su maiausiu i turim rodikliu ir rasti j sandaug. Raskime DBD (252, 441, 1080). Pirmiausia visus tris skaiius iskaidome pirminiais daugikliais:

1080 2 252 2 441 3 1080 = 23 33 5 540 2 126 2 147 3 270 2 63 3 49 7 252 = I 1 32 7 135 3 21 3 7 7 45 3 7 7 1 441 = 32 I 1

15 3 1 5 1

5

Bendras visiems skaiiams yra tik pirminis daugiklis 3. Maiausias rodik-lis yra 2. Taigi DBD (1080, 441, 252) = 32 = 9.

Gali pasitaikyti, kad pirmini daugikli, kurie bt bendri visiems duo-tiesiems skaiiams, nra. Tada didiausiasis bendrasis daliklis lygus 1. Du skaiiai, kuri didiausiasis bendrasis daliklis lygus 1, vadinami tar-pusavyje pirminiais skaiiais. 2 p a v y z d y s . 15 ir 22 tarpusavyje pirminiai skaiiai.

Maiausiasis bendrasis kartotinis (MBK)

Keli skaii bendruoju kartotiniu vadinamas skaiius, kuris yra kiekvieno j kartotinis. 1 p a v y z d y s . Skaii 15, 6 ir 10 bendrieji kartotiniai yra 180, 90, 60 ir 30. Tarp vis bendrj kartotini visada yra maiausias, iuo atveju skaiius 30. is skaiius vadinamas maiausiuoju bendruoju kartotiniu ( M B K ) .

Nedideli skaii MBK nesunku rasti mintinai. Kai skaiiai dideli, daro-me taip: duotus skaiius iskaidome pirminiais daugikliais. Po to vieno skaiiaus vis skaidin paraome pirminiais daugikliais, papildydami j trkstamais kit skaidini daugikliais. Vis j sandauga ir bus MBK.

2 p a v y z d y s . Raskime MBK (780, 656). Pirmiausia abu skaiius i-skaidome pirminiais daugikliais:

780 2 656 2 390 2 328 2 195 5 164 2 39 39 82 2

1 41 1

41

Tuomet MBK (780, 656) = 2 - 2 - 5 - 39 - 2 - 2 - 41 = 127 920. DBD ir MBK taikomi sprendiant ir odinius udavinius. 3 p a v y z d y s . Trys autobusai 7 h ryto ivaiavo i aiktels trimis kryp-timis. Pirmasis autobusas gro po 2 h 20 min ir vl ivaiavo po 20 min, antrasis gro po 1 h 52 min ir vl ivaiavo po 8 min, o treiasis auto-busas gro po 1 h 36 min ir vl ivaiavo po 4 min. Kuriuo artimiausiu metu jie vl kartu ivaiuos i aiktels? Sprendimas. Pirmasis autobusas kelionje ir stotyje i viso utruko 2 h 40 min, arba 150 min, antrasis 2 h, arba 120 min, treiasis 1 h 40 min, arba 100 min. Norint suinoti, kuriuo artimiausiu metu jie vl kartu ivaiuos i aiktels, reikia rasti j MBK. Taigi visus tris skaiius iskaidome pirminiais daugikliais:

150 = 2 3 5 5; 120 = 2 2 2 3 5; 100 = 2 2 5 5.

Dabar apskaiiuojame MBK: MBK (150, 120, 100) = 2 3 5 5 2 2 = 600. Taigi autobusai vl kartu ivaiuos po 600 min, arba po 10 h. Vadinasi, tai vyks 7 + 10 = 17 (h).

Ats.: 17 valand autobusai vl kartu ivaiuos i aiktels.

Realieji skaiiai Natralij skaii aib ymima TV= {1, 2, 3, 4, 5...}.

Bet kur natralj skaii galima urayti jo skyri suma. Kiekvienas tolesnis skyriaus skaiius gaunamas padauginus prie j esant skyriaus skaii i 10. Taigi dvienklis skaiius ab = 10 a + b\ trienklis skaiius abc = 100 a + 10 b + c.

Skaitmens vietos skaiiuje lentel

Mi l i jon klas Tkstani klas Vienet klas

Mili

jon

i

mta

i

Mili

jon

de

im

tys

Mili

jona

i

Tks

tan

i

im

tai

Tks

tan

i

dei

mty

s

Tks

tan

iai

im

tai

De

imty

s

Vie

neta

i

Sveikj skaii aib ymima Z = {...-5, -4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1, 2, 3, 4, 5...}. ~a yra prieingas skaiiui a. Jei a = 7, tai -a = - 7 , o jei a = -8 , tai -a = 8. Vienas kitam prieing skaii suma lygi 0, t. y. a + ( -a) = 0. Skaiiaus modulis ymimas |cr|. Jo reikm:

a, kai a > 0, I = 0, kai a = 0,

-a, kai a < 0.

Skaiiaus modulis parodo, per kiek vienet skaii tiesje skaiius yra nutols nuo nulio. Prieing skaii moduliai yra lygs. Racionalij skaii aib ymima Q. Racionalieji skaiiai uraomi trup-

m 1 mena ; ia m e Z, n e N. Skaiius yra atvirktinis skaiiui a.

n a 1

Vienas kitam atvirktini skaii sandauga lygi 1, t. y. a = 1. Racio-nalj skaii galima urayti baigtine arba begaline periodine deim-taine trupmena.

1 1 25 P a v y z d i a i . - = 0 , 5 ; - = 0,3333... = 0,(3); =0, (75) .

Iracionalij skaii aib ymima I. J sudaro skaiiai, kuriuos galima ireikti begaline neperiodine deimtaine trupmena.

P a v y z d i a i . -Jb = 1,732...; = 3,1415926535...; 0,1010010001.. .

Realij skaii aib ymima R. J sudaro racionalieji ir iracionalieji skaiiai. Skaiiaus a iraika a = b IOm (1 < || < 10, m e Z) vadinama standar-tine skaiiaus iraika, o laipsnio rodiklis m skaiiaus eile. 1 p a v y z d y s . 632 000 000 = 6,32 IO8; 0,0012 = 1,2 103 . Du realieji skaiiai a ir b laikomi lygiais (a = b), jeigu j iraikos be-galinmis deimtainmis trupmenomis yra vienodos. Realieji skaiiai lyginami pagal ias taisykles: 1) du realieji skaiiai a ir b yra lygs, jeigu j skirtumas lygus nuliui

(a - b = 0); 2) skaiius a yra didesnis u skaii b, jeigu j skirtumas a - b yra

teigiamasis skaiius (a - b > 0); 3) skaiius a yra maesnis u skaii b, jeigu j skirtumas a - b yra

neigiamasis skaiius (a - b < 0). Realij skaii lygybms bdingos tokios savybs: 1) jei a = b ir b = c, tai a = c; 2) jei a = b ir c = d, tai a + c = b + d ir a - c = b - d\

a _b 3) jei a = b ir c = d (c 0), tai ac = bd ir

4) jei a = b, tai a" = b", n e N; 5) jei a = b, tai a + c = b + c ir a - c = b - c;

a _ ^ 6) jei a b ir c 0, tai ac = bc ir - . c c

Realij skaii nelygybi savybs: 1) jei a > b ir b > c, tai a > c; 2) jei a > b ir c > d, tai a + c > b + d\ 3) jei a > b ir c < d, tai a - c > b - d;

a b 4) jei a > b > 0 ir c > d > 0, tai ac > bd ir >

d c 5) jei a > b, tai a" > b", n e N;

6) jei a > b, tai a + c > b + c ir a - c > b - c; b

7) jei a > b ir c > O, tai ac > bc ir > ; c c a b

8) jei a > b ir c < O, tai ac < bc ir - < - . c c

P a s t a b a . Ivardytos nelygybi savybs tinka ir vadinamosioms negrie-toms nelygybms: a > b arba a < b. Skaiiaus apvalinimo iki kurio nors jo skyriaus taisykls: 1) visus po to skyriaus einanius skaiius paveriame nuliais; 2) jeigu pirmasis po to skyriaus einantis skaitmuo yra lygus 5 arba dides-

nis u 5, tai paskutinj paliekam skaitmen padidiname vienetu; 3) jeigu pirmasis po to skyriaus einantis skaitmuo yra maesnis u 5, tai

paskutinio paliekamo skaitmens nekeiiame.

Raome: 825 = 830. enklas = reikia apytiksliai lygu".

SKAIIAVIMAI Veiksmai su skaiiais Paprastosios trupmenos

m Paprastoji trupmena tai skaiius, kurio iraika ; ia m

ir n natralieji skaiiai. Skaii m vadiname trupmenos skaitikliu, m

n vardikliu. Kai n = 1, turime trupmen , bet daniau raome

tiesiog m. Tai reikia, kad kiekvien natralj skaii galima ireikti m

paprastja trupmena, kurios vardiklis yra 1. Ura galima rayti ir

taip: m : n. Paprastosios trupmenos skirstomos taisyklingsias ir netaisyklingsias.

m Trupmen , kurios skaitiklis yra maesnis u vardikl, vadiname tai-

n syklingja trupmena, o trupmen, kurios skaitiklis yra didesnis u var-dikl arba jam lygus netaisyklingja. Kiekvien netaisyklingj trupmen galima ireikti natraliojo skaiiaus ir taisyklingosios trupmenos suma (arba natraliuoju skaiiumi, kurio skaitiklis yra vardiklio kartotinis). Natraliojo skaiiaus ir taisyklingosios trupmenos suma raoma be sud-ties enklo. Taip parayt skaii vadiname miriuoju. Tok skaii

sudaro dvi dalys: sveikoji ir trupmenin. Kiekvien netaisyklingj trup-men galima parayti kaip mirj skaii (arba kaip natralj skaii). Teisingas ir atvirkias teiginys: kiekvien mirj skaii galima ireikti netaisyklingja trupmena. I dviej trupmen su vienodais vardikliais didesn yra ta, kurios skaitik-lis yra didesnis. I dviej trupmen su vienodais skaitikliais didesn yra ta, kurios vardik-lis yra maesnis.

d _ c Dvi trupmenos ir laikomos lygiomis, kai ad = bc.

b d a am

I trupmen lygumo iplaukia, kad trupmenos 7 ir ~ yra lygios, t. y. b bm

a _am ~b~~bm' T f u P m e n o s skaitikl ir vardikl padauginus ar padalijus i to

paties natraliojo skaiiaus, gaunama jai lygi trupmena. Si savyb vadi-nama pagrindine trupmenos savybe. Taikant pagrindin trupmenos savyb, kartais trupmen pavyksta pakeisti jai lygia trupmena, taiau tokia, kurios skaitiklis ir vardiklis maesni. Tai vadinama trupmenos prastinimu. J atliekame trupmenos skaitikl ir var-dikl padalydami i to paties natraliojo skaiiaus. Bendruoju atveju trupmen galima suprastinti visada, kai tik skaitiklis ir vardiklis nra tarpusavyje pirminiai skaiiai. Trupmen, kurios skaitik-lis ir vardiklis yra pirminiai skaiiai, vadiname nesuprastinamja trup-mena. Pagrindinis trupmenos prastinimo tikslas pakeisti trupmen jai lygia trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis neturi bendr dalikli.

14 _ 14 :7 _ 2 36 _ 36 :36 _ 1 P a v y z d i a i . - - - 7 2 ~ 7 2 3 6 ~ 2 '

2 15 1 p a v y z d y s . Imkime dvi trupmenas: ir . J vardikliai nesutam-

J O pa, 3 * 8 , bet, pritaikius pagrindin trupmenos savyb, kiekvien i t trupmen galima pakeisti kita, jai lygia trupmena ir, be to, tokia, kad gautj trupmen vardikliai bt vienodi. Tok pertvarkym vadiname

2 trupmen bendravardiklinimu. Padaugin trupmenos skaitikl ir var-

15 2 - 8 1 6 dikl i 8, o trupmenos skaitikl ir vardikl i 3, gauname:

8 3 -8 24 15 3 _ 45 2 15

- . Taigi trupmenos ~ ir subendravardiklintos: 8 3 24 3 8

2 ^ _ 1 6 45 3 _ 2 4 ' 8 ~~ 24 '

Ir apskritai bendrasis vardiklis gali bti kiekvienas skaiius, kuris dalijasi i 3 ir i 8. ie skaiiai vadinami papildomaisiais daugikliais. Vadinasi, trupmenas subendravardiklinti galima daugeliu bd, bet paprastai sten-giamasi imti maiausij bendrj vardikl, kuris lygus trupmen vardikli maiausiajam bendrajam kartotiniui. Taigi norint subendravardiklinti trupmenas (imant maiausij bendrj vardikl), reikia: 1) rasti trupmen vardikli maiausij bendrj kartotin; 2) dalijant maiausij bendrj kartotin i kiekvieno vardiklio, rasti

papildomuosius daugiklius; 3) kiekvienos trupmenos skaitikl ir vardikl padauginti i atitinkamo

papildomojo daugiklio. Paprastj trupmen sudtis atliekama taip: a) jeigu trupmen vardikliai vienodi, tai prie pirmosios trupmenos skai-

tiklio" pridedamas antrosios trupmenos skaitiklis, o vardiklis palieka-nt c a + c mas tas pats: + = ; b b b

b) jeigu trupmen vardikliai skirtingi, tai i pradi trupmenos subendra-vardiklinamos (paprastai imamas maiausiasis bendrasis vardiklis), paskui taikoma taisykl a).

Paprastj trupmen atimtis atliekama taip: a) jeigu trupmen vardikliai vienodi, tai i pirmosios trupmenos skaitiklio

atimamas antrosios trupmenos skaitiklis, o vardiklis paliekamas tas pats: a c _a-c

b) jeigu trupmen vardikliai skirtingi, tai i pradi trupmenos subendra-vardiklinamos, po to taikoma taisykl a).

Paprastj trupmen daugyba atliekama taip: a c _ ac ~b"d~M'

t. y. atskirai sudauginami skaitikliai, atskirai vardikliai.

Paprastj trupmen dalyba atliekama taip: a c a d _ad b d b c bc'

a . c d t. y. dalinys ~r dauginamas i dalikliui atvirktins trupmenos ~ .

Deimtains trupmenos

Deimtaine trupmena galima ireikti taisyklingj trupmen, kurios vardiklis lygus 10, 100, 1000 ir apskritai 10". Panaiai galima i-reikti ir mirj skaii ar netaisyklingj trupmen (prie tai pavertus j miriuoju skaiiumi) su mintais vardikliais. Tada miriojo skaiiaus svei-koji dalis atskiriama kableliu nuo trupmenins dalies skaitiklio. Taigi de-imtain trupmena tai tik trupmenos, kurios vardiklis 10", kitoks u-raymo bdas. Deimtaine trupmena galima paversti kiekvien paprastj trupmen, ku-rios vardiklis yra kurio nors 10 laipsnio daliklis. Taigi paprastj trupmen galima paversti deimtaine trupmena, jeigu trupmenos vardiklio skaidinyje pirminiais daugikliais yra tik dvejetai ir penketai. Jeigu nesuprastinamosios trupmenos vardiklio skaidinyje, be dvejet ir penket, yra kit pirmini daugikli, tai tos trupmenos nega-lima paversti deimtaine. Deimtainje trupmenoje po kablelio gali bti bet kiek trupmenins dalies skyri: deimtj, imtj, tkstantj, deimt tkstantj ir t. t. Jeigu prie deimtains trupmenos i deins priraysime vien ar kelis nulius, tai gausime jai lygi trupmen. Jeigu deimtain trupmena baigia-si vienu ar keliais nuliais, tai juos galime nubraukti gausime jai lygi trupmen. Nagrinjant deimtaines trupmenas, prireikia reikminio skaitmens svo-kos. Skaiiaus reikminiais skaitmenimis vadinami visi jo skaitmenys, iskyrus pradioje esanius nulius. Deimtains trupmenos sudedamos taip, kaip sudedami natralieji skai-iai, tik jas reikia taip parayti vien po kita, kad vienavardiai skyriai bt vienas po kitu, kablelis po kableliu. Atimant deimtaines trupmenas vien i kitos, vietoj pliuso enklo raomas minuso enklas ir atliekamas atimties veiksmas. Deimtaines trupmenas galima dauginti ir neveriant j paprastosiomis trupmenomis: tereikia sudauginti skaiius nekreipiant dmesio kablelius (kaip natraliuosius skaiius), po to, skaiiuojant i deins, atskirti kableliu tiek gauto rezultato skaitmen, kiek j i viso yra po kablelio abiejuose daugikliuose. Inagrinkime, kaip deimtain trupmena dauginama i 10, 100, 1000 ir t. t. Padauginkime trupmen 12,733 i 10. Nekreipdami dmesio kab-lelius, gauname 12733 10 = 127330. Dabar atskirkime i deins kableliu tris skaitmenis: 12,733 10 = 127,330. Bet 127,330 = 127,33, vadinasi, 12,733 10 = 127,33. Todl, dauginant deimtain trupmen i 10, utenka kablel perkelti per vien skaitmen dein.

Apskritai, norint padauginti deimtain trupmen i 10, 100, 1000 ir t. t., tereikia toje trupmenoje perkelti kablel per 1, 2, 3... skaitmenis dein. Daugindami deimtain trupmen i 0,1, 0,01, 0,001, . . . , jos kablel per-keliame kair per tiek enkl, kiek nuli turi skaiius 0,1, 0,01, 0,001, ... (skaitant ir sveikj nul). Dalydami deimtain trupmen i natraliojo skaiiaus, atliekame pana veiksm, kaip dalydami natralj skaii i natraliojo skaiiaus. Dalme-nyje dedame kablel ten, kur baigiama dalyti sveikoji dalis. Jeigu dalyda-mi dalinio trupmenin dal gauname nelygi nuliui liekan, tai prie jos priraome reikiam skaii nuli ir dalijame tol, kol liekana pasidaro lygi nuliui. Dalin ir dalikl padalijus ar padauginus i to paties skaiiaus, dalmuo nepakinta. Dalydami deimtain trupmen i deimtains trupmenos, dauginame da-lin ir dalikl i tokio deimties laipsnio, kad daliklis virst natraliuoju skaiiumi. Tuomet dalijame naujj dalin i naujojo natraliojo daliklio. Norint padalyti deimtain trupmen i 10, 100, 1000, ..., jos kablel te-reikia perkelti kair per tiek enkl, kiek nuli turi skaiius 10, 100, 1000, ...

Dalydami deimtain trupmen i 0,1, 0,01, 0,001, ..., tos trupmenos kab-lel perkeliame dein per tiek enkl, kiek nuli turi skaiius 0,1, 0,01, 0,001, ... (skaitant ir sveikj nul). Apskaiiuojant skaitinius reikinius, taikomi sudties ir daugybos dsniai, atimties ir dalybos savybs.

Sudties dsniai 1. Perstatomumo a + b = b + a 2. Jungiamumo (a + b) + c = a + (b + c) 3. Sudties su nuliu a + 0 = a

Atimties savybs 1. a 0 = a 2. a - a = 0

Daugybos dsniai 1. Perstatomumo a b = b a 2. Jungiamumo (a b) c = a (b c) 3. Skirstomumo (a + b) c = a c + b c

(a - b) c = a c - b c

Dalybos savybs

1. (a c) : (b c) = a : b 2. (a : c) : (b : c) = a : b

Jei skaiius a dalijasi i skaiiaus b, tai a : b = c ir a = b c. Jei skaiius a nesidalija i skaiiaus b, tai a : b = c {d liekana) ir a = = b c + d.

Skaiiuojant svarbi veiksm tvarka: 1) jei reikinyje yra tik sudties ir atimties veiksmai, tai juos atliekame

i kairs dein ta tvarka, kuria jie yra parayti; 2) jei reikinyje yra tik daugybos ir dalybos veiksmai, tai juos atliekame

i kairs dein ta tvarka, kuria jie yra parayti; 3) jei reikinyje yra daugybos, dalybos, sudties ir atimties veiksmai, tai

pirmiausia atliekame visus daugybos, dalybos veiksmus ta tvarka, ku-ria jie yra parayti, paskui sudties ir atimties veiksmus;

4) jei reikinyje yra skliaust, tai pirmiausia atliekame veiksmus skliaus-tuose, paskui daugybos, dalybos veiksmus, galiausiai sudties ir atimties veiksmus i kairs j dein ta tvarka, kuria jie yra parayti.

Paklaidos

Turint tam tikro dydio artin m, pravartu inoti, kiek jis skiriasi nuo tikslios dydio reikms x, t. y. kokia yra jo paklaida. Tikslios dydio reikms ir jo artinio m skirtumas - m vadinamas artinio m paklaida. Pavyzdiui, skaii = 5,3 keisdami artiniu su trkumu a = 5, darome paklaid - a = 0,3. Jeigu skaiiaus artiniu su pertekliumi laikysime b = 6, tai io artinio paklaida bus - b = -0 ,7 . Artinio su trkumu paklaida visuomet yra teigiama ( - a > 0), o artinio su pertekliumi neigiama (x - b < 0). Tikslios dydio reikms .r ir jo artinio m skirtumo modulis \x - m\ va-dinamas artinio m absoliuij paklaida. Absoliuioji paklaida ymima graikika raide (delta). Inagrintame pavyzdyje = \x ~ | = 0,3 ir = \x - b\ = | - 0 , 7 | = 0 ,7 . Artinys su trkumu skaiius 5 yra geresnis, nes jis maiau skiriasi nuo skaiiaus = 5,3. Apskritai geriausias artinys yra tas, kurio absoliu-ioji paklaida yra maiausia. Nustatant artinio absoliuij paklaid, reikia inoti tiksli dydio reik-m. O k daryti, kai ji neinoma? Inagrinkime pavyzd. Sakykime, kad inome atkarpos ilgio (cm) rius: 5 < < 6. Atkarpos ilgio (cm) artinys gali bti skaiius 5 arba skaiius 6, arba bet kuris kitas skaiius, esantis tarp j. Paprastai artiniu imamas ri aritmetinis vidurkis. Todl atkar-pos ilgio artiniu laikysime skaii 5,5. Neinodami tikslios reikms, negalime apskaiiuoti ir io artinio absoliuiosios paklaidos. Taiau ai-ku, kad reikm negali skirtis nuo 5,5 daugiau negu 0,5, t. y. artinio 5,5 absoliuioji paklaida nebus didesn u skaii 0,5 (pus ri skirtumo). Artinys, kurio absoliuioji paklaida yra ne didesn u skaii h, vadina-mas artiniu h tikslumu.

Nagrintame pavyzdyje skaiius 5,5 yra atkarpos ilgio (cm) artinys 0,5 tikslumu. Tarkime, kad .v tiksli dydio reikm, m jos artinys h tikslumu. Vadinasi, teisinga nelygyb

\x - m\ < h, m - h < < tn + h.

Sutrumpintai visa tai uraoma taip: = m h, o skaitoma ,, lygus m h tikslumu". Kartais h dar vadinamas absoliuiosios paklaidos riu, nes \x - m\ = = < h. Su tikslumo svoka susijusi skaitmens patikimumo svoka. Skaiiaus artinio kurio nors skyriaus skaitmuo vadinamas patikimu, jeigu artinio absoliuioji paklaida yra ne didesn u io skyriaus vienet. 1 p a v y z d y s . Sakykime, = 6,38547 0,005. Skaiiaus artinio 6,38547 imtj skyriaus skaitmuo 8 yra patikimas, nes absoliuiosios paklaidos ris h = 0,005 yra ne didesnis u imtj skyriaus vienet (nelygyb 0,005 < 0,01 teisinga). Akivaizdu, kad ir skaitmenys 3 bei 6, esantys kair nuo 8, yra patikimi (nelygybs 0,005 < 0,1 ir 0,005 < 1 taip pat teisingos). Apie skaitmenis 5, 4 ir 7 negalime pasakyti, kad jie yra patikimi (pavyzdiui, nelygyb 0,005 < 0,001 neteisinga). Artiniu tikslumas dar nenusako matavimo arba skaiiavimo kokybs. J nusako santykin paklaida. Artinio absoliuiosios paklaidos ir artinio modulio santykis vadinamas artinio santykine paklaida. Jeigu tiksli tam tikro dydio reikm, m 0 j o s artinys, tai artinio

santykin paklaida lygi :.. Ji ymima graikika raide (omega). \m\

Pavyzdiui, suapvalin skaii 1,53 iki deimtj, gauname artin, lyg 1,5. Apskaiiuojame santykin paklaid:

\x-m\ [1,53-1,5| 0 03 = 1 , 5 3 ; m = 1,5; 1 T T i = 1 , , ' = = 0 ,02 .

IH M 1,5 Suapvalin t pat skaii iki vienet, gauname artin, lyg 2. Jo santy-

l ,53-21 0,47 kin paklaida = = 0 ,235.

Ix - m\ Santykin paklaida danai reikiama procentais: 1 1 IOO %. Inagri-

m ntame pavyzdyje pirmuoju atveju apvalinimo santykin paklaida yra 2 %, o antruoju 23,5 %.

Procentai

Procentu vadiname vien imtj skaiiaus dal, t. y. 1 % = .

1 Promile vadiname vien tkstantj skaiiaus dal, t. y. 1 %o = .

A Dviej skaii A ir B procentinis santykis X = 100 %.

B Sakinys p % skaiiaus a yra skaiius " reikia, kad skaiiai a ir b sudaro atitinkamai 100% ir p %. Todl suinoti 1 % galima dviem b-dais: a dalijant i 100, arba b dalijant i p. Vadinasi:

a : 100 = b : p. (1) inodami du i trij (1) proporcijos skaii a, b ir p, galime rasti treij skaii. Remiantis tuo, sprendiami trij tip procentiniai udaviniai, ku-riuose reikia: 1) apskaiiuoti p % skaiiaus ; 2) rasti skaii, kurio p % lygu skai-iui b; 3) suinoti, kiek procent skaiiaus a sudaro skaiius b. Visus tris udavinius sprendiame, rasdami atitinkam (1) proporcijos nar: 1) b = {a p) : 100 = (,a : 100) p\ 2) a = {b 100) : p = {b : p) 100; 3) p = (b 100) : a = (b : a) : 100.

ALGEBRA

Algebriniai reikiniai Skaii, kintamj ir j laipsni sandaugos vadinamos vienana-

riais. Skaiius, esantis prie kintamojo, vadinamas koeficientu. P a v y z d i a i . Skaiius 8, kintamasis k, kintamasis, pakeltas laips-niu 4, skaiiaus ir kintamj sandauga - labc. Vienanari algebrin suma vadinama daugianariu. 1 p a v y z d y s . 2,5ab + cd. Algebrin reikin, kur sudaro kintamieji ir skaiiai ir kuriame vartojami sudties, atimties, daugybos, klimo natraliuoju laipsniu ir dalybos, kai dalijama i skaiiaus arba i reikini su kintamaisiais, veiksmai, vadina-me racionaliuoju reikiniu.

a 2 + 3 P a v y z d i a i . 5ab + cd"-, (a + l)_ab-

Tapatieji daugianari pertvarkiai

Tapatieji daugianari pertvarkiai gali bti tokie: 1) panai nari sutraukimas, pavyzdiui, 2a - 3b + a + 2b = 3a - b\ 2) atskliautimas, pavyzdiui, 4(x - 1) = 4x - 4; 3) bendrojo daugiklio iklimas prie skliaustus, pavyzdiui,

5p + IOq - 5 = 5(p + 2q - 1); 4) vienanario dauginimas i dvinario, pavyzdiui,

3 ( + 2b) = 3 a2 + 6 ab\ 5) dviej daugianari daugyba, pavyzdiui,

(3 + 2)(4a2 - 2a + 3) = 12a3 - 6a2 + 9a + 8a2 - 4a + 6 = = 12a3 + 2 a2 + 5a + 6;

6) jei prie skliaustus yra minusas, atskliaudiant kiekvieno vienanario enklas keiiamas prieingu, pavyzdiui, (ab - 3) - (45a + 2b) = ab - 3 - 45a - 2b.

Veiksmai su racionaliosiomis trupmenomis

1. Trupmen prastinimas, pavyzdiui, 5x _ 5x _ 5

2 + 6 x x(x + 6) + 6 2. Racionaliojo reikinio reikms radimas, kai inomos jo kintamj

reikms, pavyzdiui,

(3a + 3b) .. r , : cia a = 5, b = 7. 6

Pirmiausia reikin suprastiname: (3a + 3b) _3(a + b) _(a + b)

6 ~ 6 2

ra = 5 ir b = 7, gauname a + b_ 5 + 7 _ 6

2 3. Trupmen daugyba, pavyzdiui,

(2 a)2 2a 10 _ ( 2 - q ) 2 - 2 ( a - 5 ) _ 2 ( 2 - q ) (a2-5a) 4-a2 ( - 5 ) ( 2 - ) ( 2 + ) (2 + ) '

4. Trupmen dalyba, pavyzdiui, 3 4 1 2 _ q 3 b3 _ (a-3)-b3 _ b 4b2' b3 ~ 462 4 - 1 2 ~ 4i>2 4( 3) _ 16

5. Trupmen su vienodais vardikliais sudtis, pavyzdiui, 3^x-6_3 + (x-6)_3 + x-6_x-3

6. Trupmen su skirtingais vardikliais sudtis, pavyzdiui,

2 4 " 6 | 2(jc + 6) + j t ( jc-2) _ 2 x + 12 + x 2 - 2 x _ 12 + x2

X + 6 x(x + 6) x(x + 6) x(x + 6)

7. Trupmen su vienodais vardikliais atimtis, pavyzdiui,

7 + _ 5 + 2x _ (7 + x) - (5 + 2x) _ 7 + x - 5 - 2 x _ 2 - _ _ x-2 _ _ x 2 x-2 2 x - 2 2 x 2

8. Trupmen su skirtingais vardikliais atimtis, pavyzdiui, - 7 4 * " 7 x - 7 ^ _ ( x - 7 ) ( x - 7 ) - 3 ( x - 7 ) _ ( x - 7 ) ( x - 7 - 3) = x - 1 0

3 x - 7 ~ 3 ( x - 7 ) ~ 3 ( x - 7 ) ~ 3

Greitosios daugybos formuls

(a + b)(a - b) = a1 - A2; ( b = a2 2ab + b2; a3 + b3 = (a + b)(a2 - + ft2); a3 - ft3 = (a - ft)(a2 + aft + ft2); ( ft)3 = 3 3a2b + 3ab2 b3.

P a v y z d i a i . Apskaiiuokite:

1) (a + I)3 - (a - I)3 = (a3 + 3a2 + 3a + 1) - (a3 - 3a2 + 3a - 1) = = a3 + 3a2 + 3a + 1 - a3 + 3a2 - 3a + 1 = 6a2 + 2 = 2(3a2 + 1) arba (a + 1 - a + l)((a + I)2 + (a + l)(a - 1) + (a - I)2) = 2(a2 + + 2a + 1 + a2 - 1 + a2 - 2a + 1) = 2(3a2 + 1).

2) m 6 - / ? 6 _ (w3)2 - ( 3 ) 2 _ (/3 -n3)(/w3 + 3 ) = m2 - 2 W2 - 2 ( - h)(/w + n)

_(m n){m2 + + /2 )(/ + n)(m2 - mn + n1) _

(m n)(m + n)

= (m2 + n2 + mri)(m2 + n2 - mn) = (m2 + n2)2 - m2n2.

Lygtys

Tapatybe vadinama lygyb, kuri yra teisinga su visomis j ei-nani kintamj leistinosiomis reikmmis. Lygtimi vadinama lygyb, kurioje yra kintamasis. Neinomuoju vadinamas kintamasis, galintis gyti vairias reikmes.

Lygties sprendiniu vadinama neinomojo reikm, su kuria lygtis tampa teisinga skaitine lygybe. Neinomojo leistinj reikmi sritimi vadinama aib kintamojo reik-mi, su kuriomis lygtis turi prasm. Ekvivaleniosiomis lygtimis vadinamos lygtys, turinios tuos paius sprendinius (arba neturinios sprendini).

Pagrindiniai ekvivalentieji lygi pertvarkiai

1) Prie abiej lygties pusi galima pridti arba i abiej pusi atimti t pat skaii arba reikin (turint prasm su bet kuriomis neinomojo reikmmis);

2) abi lygties puses galima dauginti arba dalyti i to paties, nelygaus nuliui skaiiaus arba reikinio (turinio prasm su bet kuriomis nei-nomojo reikmmis).

Lygtis, sudaryta i racionalij reikini, vadinama racionalija lygtimi.

^ 3 - I , P a v y z d i a i . Ix2 + 3x = 4; = 1

-1 Tiesins ir kvadratins lygtys yra paprasiausios racionaliosios lygtys. Tiesine lygtimi su vienu neinomuoju vadiname lygt ax = b; ia a ir b realieji skaiiai. Skaiius a vadinamas kintamojo koeficientu, b laisvuoju nariu. Galimi trys tiesins lygties ax = b sprendimo atvejai:

b 1) 0; tada lygties sprendinys lygus ;

2) a = 0, b = 0; tada lygtis virsta 0 = 0, o tokia lygyb teisinga su kiekvienu x;

3) a = 0, b 0; tada lygtis virsta 0 = b ir neturi sprendini. Tiesine lygtimi su dviem neinomaisiais vadiname lygt, kurios uraas yra ax + by = c; ia ir y neinomieji, a, b ir c skaiiai. Lygties su dviem neinomaisiais sprendiniu vadinama tokia neinomj reikmi pora, kuri paveria t lygt teisinga skaitine lygybe. Kvadratine lygtimi vadiname lygt, kuri galima urayti taip: ax2 + + bx + c = 0; ia neinomasis, a, b, c realieji skaiiai ir a 0. Kai a = 1, tai kvadratin lygt vadiname redukuotja, kai a I, ne-redukuotja. Skaiius a vadinamas pirmuoju koeficientu, b antruoju koeficientu, c laisvuoju nariu. Jei kvadratins lygties ax2 + bx + c = 0 n vienas i koeficient nelygus nuliui (b 0 ir c 0), tai ji vadinama pilnja kvadratine lygtimi.

Jei kvadratins lygties ax2 + bx + c = O bent vienas i koeficient b, c yra lygus nuliui (b = O arba c = 0), tai tokia lygtis vadinama nepilnja kvad-ratine lygtimi.

Lygties iraika Sprendini skaiius Sprendiniai

ax1 + c = 0 Kai ir c enklai skirtingi, yra du sprendiniai

Kai ir c enklai vienodi, sprendini nra

- + bx = 0 Du x , = 0 ; X 2 = - *

2 = 0 Vienas x = 0

Dvinario kvadrato iskyrimas

2 + bx + c a , b c

+-X+- b b2

Trupmenos b2 -4

4 -vardiklyje yra reikinys 42. Kadangi a O, tai 4a2

visada teigiamas. Vadinasi, trupmenos enklas priklauso nuo skaitiklio enklo. Skaitiklyje yra reikinys b2 - 4ac. Sis reikinys gali bti tiek teigiamas, tiek neigiamas, tiek lygus nuliui. Reikinys b2 - 4ac vadinamas kvadratins lygties diskriminantu ir ymimas raide D.

Perraome lygt: X + 2 a

D 4a2

= 0.

Nuo diskriminanto enklo priklauso lygties sprendini skaiius. Kai D < 0, tai lygtis bus tokia:

\2 X + -

2 a + teigiamasis skaiius = 0.

i lygtis sprendini neturi. Kai D = 0, kvadratin lygtis turi vien sprendin (du lygius sprendinius):

b +

2 a

0

4a2 = 0,

\2

X + 2 a

b b = 0, = 0, = .

2a 2 a Kai D > 0, lygtis turi du sprendinius. Kairij lygties pus iskaidykime daugikliais:

\2 (

+

b JD X +

2a 2a

V D 4?

b VrD + +

2a 2 a

= 0, + \2

2a / 2a

\ 0, H + -

2a \ /

- 0 ,

b + yjD 2a

v

= 0.

I ia gauname:

X + -

X, =--

b-yfP 2a

b-Vd 2a '

-b + Vd 2a '

= 0 arba X + />+VD

= 0,

X, = -

2 a

b+Vd

X2

2a

--JD 2a

Taigi kvadratins lygties ax2 + bx + c = 0 sprendinius galima rasti pagal formules:

-b+ Jb1 -Aac -b-Jb1 -4 ac 2 a 2 a

Kai b = 2k (ax2 + 2kx + c = 0), formuls virsta tokiomis:

-v, = -2k + JAk2 -Aac _ -2k + y]4(k2 - ) _-2k + 2-Jk 2

2 2 2

_ 2{- + Jk2 - ) _ - + Jk2 - , 2

, = -2 - JAk2 -4 _ -2 - ^4(2-) _-2k-2-Jk 2 2 2 2

_ 2(- - yjk2 -) _ -- [~2 '-2 2

Vieto teorema

Jei redukuotoji kvadratin lygtis 2 + px + q = O turi du sprendi-nius, tai j suma lygi lygties koeficientui prie su prieingu enklu, o sprendini sandauga lygi laisvajam nariui. rodymas. Iekome redukuotosios kvadratins lygties x2 + px + q = O sprendini. ios lygties diskriminantas D = p2 - Aq > 0. Lygtis turi du sprendinius:

- p - y f D -p+ JD X, = ir X, .

' 2 2 2

Raskime sprendini sum ir sandaug:

-P-JD -p+JD -2p , +x? = + = = -p; ' 2 2 2 2

- P - J d -p+ JD J--(JD)2 =p2-D_ 2 2 4 - 4

= P2-(P2-Aq) = 4q_ A 4

Gavome: + = -P'

Xx - X1 = q.

P a s t a b a . Kai D = O, galima sakyti, kad redukuotoji kvadratin lygtis turi du lygius sprendinius, tad Vieto teorem galima taikyti ir iuo atveju.

Atvirktin Vieto teorema

Jei skaii m ir n suma lygi -p, o j sandauga lygi q, tai ie skaiiai yra lygties x2 + px + q = O sprendiniai.

rodymas. Pagal slyg m + n = -p, o m n = q. Vadinasi, lygt x2 + px + q = O galima urayti taip:

2 {m + n) + mn = 0. Patikrinkime, ar skaiiai m ir n yra ios lygties sprendiniai. Vietoj ra skaii m, gauname:

m2 - (m + n) m + mn = m2 m2 mn + mn = 0. Vadinasi, skaiius m yra lygties sprendinys. Vietoj ra skaii n, gauname:

n2 (m + ri) n + mn = n2 n2 mn + mn = 0. Vadinasi, skaiius n taip pat yra lygties sprendinys. Lygtis 4 + bx2 + = O, kurios O, vadinama bikvadratine lygtimi. Bikvadratins lygtys sprendiamos naujo kintamojo vedimo metodu: paymjus x2 = y, vl gaunama kvadratin lygtis ay2 + by + c = 0. Sura-dus y reikmes, apskaiiuojamos jas atitinkanios reikms. Jei yx > 0 ir y2 > O, bikvadratine lygtis turi 4 sprendinius; jei viena i y reikmi yra neigiama, lygtis turi 2 sprendinius; jei abi y reikms yra neigiamos arba lygties ay2 + by + c = O D < O, bikvadratine lygtis sprendini neturi.

A(x) Lygtis = O, kurios A(x), B(x) yra daugianariai, vadinama trupmeni-

B(x) ne racionalija lygtimi. J sprendiame perraydami lygt tokia sistema:

\A(x) = 0,

[B(x) 0.

+ 1 - 5 1 p a v y z d y s . r 4 - 4 ,

x - 3

(3x + l)x + (x - 5)(x - 3) = 4x(x - 3),

O ir 3,

3x2 + + 2 - 8x + 15 = 4x2 - 12x,

5x = - 1 5 ,

= - 3 . Ats.: = - 3 .

Udavini sprendimas sudarant lygtis

Udavini sprendimo sudarant lygtis bendroji tvarka:

1) vedamas kintamasis, t. y. raidmis x, y, z paymimi neinomieji dy-diai, kuriuos reikia rasti udavinyje arba kuri prireikia iekant nei-nom dydi;

2) naudojantis vestais kintamaisiais ir udavinyje duotais skaiiais bei j ssajomis, sudaroma lygi sistema (arba lygtis);

3) sprendiama sudaryta lygi sistema (arba lygtis), po to atrenkami sprendiniai, tinkantys pagal udavinio prasm.

1 p a v y z d y s . Ar galima tam tikro ilgio viel sukarpyti tris vienodo ilgio virbalus taip, kad, vien sutrumpinus metru, o kit dviem metrais ir sujungus j galus, susidaryt statusis trikampis? Jeigu galima, tai kokio ilgio ta viela turt bti?

Sprendimas. Tarkime, vieno virbalo ilgis m. Sudarome lygt:

( - 2)2 + (x - I)2 = 2, X 2 + 2 - 4x - 2x + 5 = 2, X 2 - 6x + 5 = O, D = 36 - 20 = 16, , = 1 (netinka), x2 = 5 (m).

Taigi bendras vielos ilgis lygus 3 = 3 5 = 15 (m).

Ats.: vielos ilgis lygus 15 m.

2 p a v y z d y s . Du darbininkai turi nupjauti futbolo aikts vej. Dirb-dami kartu, j ie gali nupjauti vej per 4 valandas. Pirmasis darbininkas, dirbdamas vienas, nupjaut vej 6 valandomis greiiau negu antrasis. Per kiek valand pirmasis darbininkas nupjaut futbolo aikts vej? Sprendimas. Tarkime, antrasis darbininkas vej nupjaus per valand,

1 tuomet per 1 valand jis atliks darbo dal.

Pirmasis darbininkas vej nupjaus per - 6 valandas, taigi per 1 valand 1

jis atliks ~ darbo dal.

1 Kadangi abu per 1 valand atliks darbo dal, tai sudarome lygt:

I i 1 _ 1

6 4

Sprendiame j:

Ux - 24 + 4x = 2 - 6x,

[ O, 6,

4x - 24 + 4x = x2 - 6x,

2 - \4x + 24 = O,

D = 100,

Xi = 12,

X2 = 2 (netinka),

= 12,

- 6 = 6.

Ats.: pirmasis darbininkas nupjaus vej per 6 valandas.

Nelygybs

Du reikinius f(x) ir g(x) sujungus enklais < ", >", < " ir > ", gaunama nelygyb. Nelygybs j(x) > g(x) apibrimo sritis yra reikini /(x) ir g(x) apibr-imo srii sankirta. Nelygybs sprendiniu vadinama jos apibrimo sri-ties kintamojo reikm, su kuria nelygyb yra teisinga. Isprsti nelygyb reikia rasti jos sprendini aib. Dvi nelygybs, kuri sprendini aibs sutampa, vadinamos ekvivalenio-siomis toje aibje.

Ekvivalentieji nelygybi pertvarkiai

1. Jei vienos arba abiej nelygybs pusi reikinius tapaiai pertvarkysi-me (nepakeisdami apibrimo srities), tai gausime nelygyb, ekviva-leni pradinei.

2. Jei kur nors dmen perkelsime i vienos nelygybs puss kit, pakeis-dami jo enkl prieingu, gausime nelygyb, ekvivaleni pradinei.

3. Jei abi nelygybs puses padauginsime arba padalysime i to paties teigiamo skaiiaus, tai gausime nelygyb, ekvivaleni pradinei.

4. Jei abi nelygybs puses padauginsime arba padalysime i to paties neigiamo skaiiaus ir nelygybs enkl pakeisime prieingu, tai gau-sime nelygyb, ekvivaleni pradinei.

Nelygybi sistemos

Nelygybi sistemas, turinias tuos paius sprendinius, vadiname ekvivaleniosiomis nelygybi sistemomis. Norint isprsti nelygybi sistem, reikia rasti kiekvienos nelygybs sprendinius ir i j irinkti tuos, kurie yra bendri abiem sistemos nelygy-bms. Jei nors viena sistemos nelygybi sprendini neturi, tai j neturi ir visa sistema. Kartais nelygybi sprendinys gali bti tik vienas skaiius.

fix) fix) Nelygybs, kuri iraika yra >O arba - < 0 , sprendiamos

g(x) g(x) pakeiiant jas nelygybi sistemomis.

f i x ) Nelygyb > 0 keiiama sistema g(x)

7 w > 0 , [ / ( * ) < 0,

g ( x ) > 0 , a r b a [g(x) < 0 .

fix) Nelygyb < 0 keiiama sistema

g 0 0 f () > 0 , J / ( x ) < 0,

g(x) < 0, a r b a U ( x ) > 0 .

Skaii sekos Skaii sekos ir j reikimo bdai

Skaii aib X, kurioje apibrta skaitinio argumento funkcija f , gali bti bet kokia. Tuo atveju, kai ji sutampa su natralij skaii aibe N, funkcija vadinama skaii seka. Skaii seka vadinama skaitin funkcija, apibrta natralij skaii aibje N. Kai funkcija / yra skaii seka, vietoj J(n) daniausiai raoma an, o pati seka ymima simboliu (a(l). Skaiiai a ..., an, ... vadinami sekos nariais. Nurodant sek, jos -tasis narys danai ireikiamas kintamuoju n. 1 p a v y z d y s . Paraysime penkis pirmuosius sekos ( a j narius, kai an = - 1.

Sprendimas. iuo atveju: a, = I3 - 1 = 0; a2 = 23 - 1 = 7; a 3 = 33 -- 1 = 26; A1 = 43 - 1 = 63, a5 = 53 - 1 = 124, todl penki pirmieji ios sekos nariai yra skaiiai: 0, 7, 26, 63, 124.

Beje, ie penki skaiiai vienareikmikai neapibria reikinio n3 - 1, i kurio jie yra gauti. Tuos paius skaiius gautume, pavyzdiui, ir i rei-kinio H3 - 1 + (n - 1)( - 2) (n - 3)(n - 4) (n - 5). Todl, inodami kelet pirmj sekos nari, galime surasti tik vien i formuli, apibriani i sek. Seka apibriama ne tik formule, ireikiania an kintamuoju n, bet ir rekurentikai. Taip vadinamas bdas, kai sekos /-tasis narys ireikia-mas (n - l)-uoj, ..., (n - A')-tuoju nariu; ia k fiksuotas skaiius. Apibriant sek iuo bdu, be formuls, ireikianios -tj sekos nar prie j esaniais nariais, dar reikia nurodyti k pirmj sekos nari. Pa-vyzdiui, aritmetin progresija, kurios skirtumas d, apibriama rekuren-ija formule an = an , + d. Norint visikai nusakyti i progresij, dar reikia pateikti pirmj jos nar a,. Geometrin progresija, kurios vardiklis , irgi apibriama rekurenija formule bn = bn_, q.

2 p a v y z d y s . Kiekvienas sekos narys, pradedant treiuoju, lygus dviej prie j esani nari sumai, t. y. an = an. 2 + an _ n > 3. Rasime eis pirmuosius jos narius, kai ios sekos pirmieji du nariai yra , = O ir Ci1 = 1.

Sprendimas. Pagal slyg, 3 = a, + a2 = O + 1 = 1, a = a2 + a3 = 1 + 1 = 2, a5 = a3 + a4 = 1 + 2 = 3, ae = a4 + as = 2 + 3 = 5. Seka, apibriama rekurenija formule an = an. 2 + an _, ir pagrindinmis slygomis a, = O ir CILL = 1, vadinama Fibonaio seka. Galima rodyti, kad bendrasis ios sekos narys ireikiamas formule

(i, =-i + V

V

1--J 2

V -I

Sek, apibriam rekureniosiomis formulmis, pasitaiko daugelyje ma-tematikos srii. Pavyzdiui, norint apytiksliai itraukti kvadratin akn, sudaroma rekurentikai apibrta seka. Apskaiiuojant Va, imamas bet kuris teigiamasis skaiius Xi ir sudaroma seka Jt1, x2, ..., x, ...; ia

,,.1 X..+-

Didjanioji ir majanioj! seka

Seka ( a j , kurios kiekvienas narys (pradedant antruoju) yra maes-nis u prie j einant nar, vadinama majanija seka, t. y.

an > an+v Seka (a), kurios kiekvienas narys (pradedant antruoju) yra didesnis u prie j einant nar, vadinama didjanija seka, t. y.

> Didjanios arba majanios sekos vadinamos monotoninmis sekomis.

P a v y z d i a i . _ 1 1 1 1

1. Seka a ~ ~ yra majanti, nes - = = >0 , n n /7 + 1 /7-(/1+1)

t- , > +\

-\ _ 3/7 + 2 3/7 - 1 _ 2. Seka a = yra didjanti, nes a + \ ~ a - :

n /7 + 1 /7

1

/ 7 . ( / 7 + 1 ) > 0 '

3. Nemonotonin seka: 0; 1; 0; 1; 0; 1; ...

Aprtoji ir neaprtoji seka Seka (an) yra aprta i viraus, jei galima rasti tok skaii M, kad

su kiekvienu /7 yra teisinga nelygyb an < M. Seka (an) yra aprta i apaios, jei galima rasti tok skaii //;, kad su kiekvienu n yra teisinga nelygyb an > m. Seka (a), kuri yra aprta ir i viraus, ir i apaios, vadinama aprtja seka. Visi aprtosios sekos nariai tenkina lygyb m < an < M. Prieingu atveju ji vadinama neaprtja seka.

1 p a v y z d y s . Seka 1; ; ...; --;... yra aprtoji, nes ji aprta ir i 2 3;

viraus ( M = 1), ir i apaios (m = 0), t. y. 0 <

is skaiius vadinamas aritmetins progresijos skirtumu ir ymimas rai-de d. I apibrimo iplaukia, kad

d = A2 - , = A3 - a2 = ... = an - an = ... Norint apibdinti aritmetin progresij (an), pakanka inoti jos pirm-j nar a, ir skirtum d. Pavyzdiui, jei a, = 1 ir d = 2, tai turime progre-sij 1; 3; 5; ... Kai d > O, aritmetin progresija yra didjanti seka, kai d < O majanti seka. Kai d = O, visi jos nariai lygs ir progresija yra pastovi seka. Aritmetins progresijos ( a J -tasis narys ireikiamas formule

An = , + d(n - 1). Aritmetins progresijos nari savybs: 1. Bet kuris aritmetins progresijos narys, iskyrus pirmj ir paskutinj,

a , + a yra jo gretim nari aritmetinis vidurkis: an = " " .

2. Baigtins aritmetins progresijos (c/,, a2, a}, ..., cin_2, an_v ) nari, vienodai nutolusi nuo jos pradios ir galo, sumos yra lygios:

a, + an = Ci2 + a,= + an , = ... Aritmetins progresijos pirmj n nari sumos formul:

S n = a ^ - n . 2

ioje lygybje vietoje an para , + d(n - 1), gauname kit aritmetins Ial +d(n-\) progresijos nari sumos iormul: Sii .

1 p a v y z d y s . Laisvai krintantis knas pirmj sekund nukrinta 4,9 m, o kiekvien tolesn sekund 9,8 m daugiau negu prie tai buvusi. I tam tikro aukio buvo paleistas kristi vienas knas, o po 5 s i to paties aukio buvo paleistas kristi kitas knas. Ar po 7 s atstumas tarp j bus lygus 220,5 m? Atsakym pagrskite.

Duota: a, = 4,9 m, d = 9,8 m, i = V s, n2 = 7 s - 5 s = 2 s. Rasti: Si-S2 = 220,5 m. Sprendimas. Naudodamiesi aritmetins progresijos -tojo nario ir nari sumos formulmis, raskime ani ir S1: an] = a, + (, - \) d, an] = 4,9 + (7 - 1) 9,8 = 4,9 + 6 9,8 = 63,7,

(fl,+ = (4,9 + 63,7)-7 = 68,6-7 _ 2 1 ( )

Pagal tas paias formules apskaiiuokime an2 ir S2:

a ,a = a\ + ("2 - 1 K

an2 = 4,9 + (2 - 1) 9,8 = 4,9 + 9,8 = 14,7, _ (, +2)2

^ 2 " 2 '

(4,9 + 14,7)-2 S2 = ^ ^ = 4,9 + 14,7 = 19,6,

Si-S2 = 240,1 - 19,6 = 220,5.

Ats.: taip, po 7 s laisvo kritimo knai bus nutol vienas nuo kito per 220,5 m.

Geometrin progresija Skaii seka, kurios pirmasis narys nelygus nuliui, o kiekvienas

narys, pradedant antruoju, yra lygus prie j esaniam nariui, padau-gintam i to paties nelygaus nuliui skaiiaus, vadinama geometrine pro-gresija. Sis skaiius vadinamas geometrins progresijos vardikliu ir ymimas rai-de q (q 0). Pagal geometrins progresijos (bn) apibrim,

b2 = \ = 2 q\ ...; bn = bn , q. Norint apibdinti geometrin progresij (bn), pakanka inoti jos pirmj nar b{ ir vardikl q.

1 1 p a v y z d y s . Jei bt = 1 ir q = turime geometrin progresij:

1 - i - ' 2 ' 4 ' - 2 " ' -

Kai q > 0, geometrin progresija yra didjanti seka, kai 0 < q < 1 majanti seka. Jei q > 0 (q 1), geometrin progresija yra monotoni-n seka. Jei

2. Baigtins geometrins progresijos (bt, b2, } ... bn 2, bn ,, b) nari, vienodai nutolusi nuo jos pradios ir galo, sandaugos yra lygios: \ = b2 bn 1 = bJ -2 = -

Geometrins progresijos pirmj n nari suma

q-1

ioje lygybje vietoje bi: para b] q"\ gauname kit geometrins pro-

gresijos nari sumos formul: S = M i ? 12

3 p a v y z d y s . Trupmen 0,(4) ireikkime paprastja.

Sprendimas. 0,(4) = 0,4444... = 0,4 + 0,04 + 0,004 + ... Taikydami 0,04 0,4

sumos formul, kai q = = 0,1, 6, = 0,4, gauname 0,(4) = o 4 1-0,1

- M - 4

~ 0,9 ~ 9 '

4 p a v y z d y s . Trupmen 6,(13) ireikkime paprastja.

Sprendimas. 6,(13) = 6,131313... = 6 + 0,13 + 0,0013 + 0,000013 + 0,13 , 0,13 , 1 3

+ ... = 6 + = 6 + = 6 . 1 - 0 , 0 1 0,99 99

5 p a v y z d y s . Trupmen 0,4(35) ireikkime paprastja.

Sprendimas. 0,4(35) = 0,4353535... = 0,4 + 0,035 + 0,00035 + ... =

_ 4 0,035 _ 4 _ _35_ _ 4-99 + 35 _ 431 " 1 0 1 - 0 , 0 1 " 10 990 ~ 990 ~ 990

4 3 5 - 4 _ 431 Si trupmen galima parayti taip: C}9Q

Taigi keisdami periodines trupmenas paprastosiomis, galime taikyti ias dvi taisykles. 1 taisykl. Grynoji periodin trupmena lygi tokiai paprastajai trupmenai, kurios skaitiklyje paraytas periodas, o vardiklyje skaiius, turintis tiek devynet, kiek periodas turi skaitmen.

6 _ 2 P a v y z d i a i . 0,(6) =

2,(36) = 2 ^ = 2 ^ . 99 11

2 taisykl. Mirioji periodin trupmena lygi tokiai paprastajai trupmenai, kurios skaitiklyje yra skaiius ligi antrojo periodo be skaiiaus, esanio prie period, o vardiklyje skaiius, turintis tiek devynet, kiek pe-riodas turi skaitmen, ir tiek nuli, kiek yra skaitmen tarp kablelio ir pirmojo periodo.

2 3 6 - 2 _ 234 _ 13 P a v y z d i a i . 0 ,2(36)= " 9 9 0 " ^

, 1 2 4 - 1 2 28 5,12(4) = 5 = 5 , 900 225

Sudtini procent (palkan) apskaiiavimo formuls:

= v 1 + -100

ir S.=Sn- 1-100

ia S0 pradinis dydis, p palkan norma, n skaiiavimo tarpsni skaiius. 6 p a v y z d y s . Asmuo, bank padjs 5000 Lt indl, po dvej met atsim 5832 Lt. Kiek procent metini palkan sumokjo bankas? Sprendimas. Paymime banko mokam palkan procentus x. Sudarome lygt:

5000 \2

1 + 100

=5832.

inome, kad 1 + > 0, todl

1 + 100 V 5000

5832

1 + = 1,08, 100

jc = 8.

Ats.: 8 %.

7 p a v y z d y s . Du kartus sumainus preks kain tiek pat procent, ji atpigo nuo 30 Lt iki 19,2 Lt. Po kiek procent buvo mainta jos kaina abu kartus? Sprendimas. Procentus paymsime x. Pasinaudoj antrja procent ap-

skaiiavimo formule Sn = S0

. \ 2

P 100

, sudarome lygt:

30 1 -100

= 19,2, 1 >0, 100

~ 100 J

100

j = 0,64, = 0,8,

= 0,2, 100

= 20.

Ats.: 20 %.

2. 33

GEOMETRIJA PLANIMETRIJA

Takai ir tiess

Pagrindins plokiosios geometrins figros yra takas ir ties. Takai ymimi didiosiomis raidmis: A, B, C, D, ... . Tiess ymimos maosiomis raidmis: a, b, c, d, ... . Paveiksle matome tak A ir ties a. Pagrindins tako ir tiess savybs: ^ 1) kad ir kokia bt ties, yra tak, priklau- * a

sani tai tiesei, ir tak, nepriklausani tai tiesei;

2) per bet kuriuos du takus galima nubrti vienintel ties; 3) dvi skirtingos tiess arba nesusikerta, arba susikerta tik viename take; 4) jei atkarpos galai priklauso vienai pusploktumei, tai atkarpa nekerta

tiess. Jei atkarpos galai priklauso skirtingoms pusploktumms, tai atkarpa kerta ties;

5) i trij tiess tak tik vienas yra tarp kit dviej tak; 6) ties dalija ploktum dvi pusploktumes.

Lygiagreiomis tiesmis vadiname dvi ploktumos tieses, kurios nesusi-kerta (laikoma, jog tiess neribotai pratstos abiem kryptimis). ymima a \\ b. Ploktumoje per tak, nepriklausant turimai tiesei, galima nubrti ne daugiau kaip vien ties, lygiagrei tai tiesei. Dvi lygiagreias tieses kertant treija tiese, gaunami tokie kampai: Z 3 ir Z5, Z 4 ir Z 6 vidaus vienaaliai kampai, Z 3 ir Z6 , Z 4 ir Z 5 vidaus prieiniai kampai,

Z l ir Z5 , Z 2 ir Z6 , Z 3 ir Z7 , Z 4 ir Z 8 atitinkamieji kampai, Z l ir Z8 , Z 2 ir Z 7 iors prieiniai kampai.

Be to, Z l = Z5 , Z 2 = Z6, Z 3 = Z7, Z 4 = Z8, Z 4 + Z 6 = 180, Z 3 + Z 5 = 180, Z l + Z 7 = 180, Z 2 + Z 8 = 180.

Tiesi lygiagretumo poymiai: 1) jei dvi tieses perkirtus tiese gaunami lygs prieiniai kampai, tai tos

dvi tiess yra lygiagreios; 2) jei dvi tieses perkirtus tiese gaut vienaali kamp suma lygi 180,

tai tos tiess yra lygiagreios; 3) jei dvi tieses perkirtus tiese gaunami lygs atitinkamieji kampai, tai tos

dvi tiess yra lygiagreios.

Statmenomis tiesmis vadinamos dvi tiess, kurios susikerta staiu kam-pu. Statmenumas ymimas a L b. Per kiekvien tiess tak galima nubrti tik vien jai statmen ties. Statmeniu duotajai tiesei vadiname jai statmenos tiess atkarp, kurios galas yra t tiesi susikirtimo takas. Sis atkarpos galas vadinamas stat-mens pagrindu.

Atkarpos Paveiksle pavaizduota atkarpa AC. Atkar-

pos AC ilgis lygus atkarp AB ir BC sumai. Pagrindin atkarpos savyb yra ta, kad kiekvie-na atkarpa turi ilg, didesn u nul. Jei atkarp takas dalija dalis, tai atkarpos ilgis lygus t dali ilgi sumai.

Kampai Kampu vadiname figr, kuri sudaro dvi

skirtingos pustiess, turinios bendr pradios tak kampo virn. Paveiksle pavaizduotas kampas O. Kampas ymimas ZAOB arba ZO. Vidurin raid ymi kampo virns tak. Pagrindins kampo savybs: 1) kiekvienas kampas turi laipsnin mat, didesn u nul. Itiestinis kam-

pas lygus 180. Jei spindulys, einantis tarp kampo kratini, dalija j du kampus, tai i kamp laipsnini mat suma lygi pradinio kampo laipsniniam matui;

2) kampas, kurio kratins yra vienos tiess papildomosios pustiess, vadinamas itiestiniu;

3) du kampai, kuri viena kratin bendra, o kitos dvi kratins yra pa-pildomieji spinduliai (sudaro ties), vadinami gretutiniais kampais. Gretutini kamp suma yra lygi 180;

4) du kampai, kuri vieno kratins yra kito kampo kratini papildomie-ji spinduliai, vadinami kryminiais kampais. Kryminiai kampai yra lygs;

5) kampas, kurio virn yra apskritimo centras, vadinamas jo centriniu kampu. Kampas, kurio virn yra apskritimo takas, o kratins ker-ta apskritim, vadinamas jbrtiniu kampu.

Trikampiai Trikampiu vadiname figr, kuri sudaro trys takai, nepriklausan-

tys vienai tiesei, ir trys atkarpos, jungianios kiekvienus du i t tak. Kampai vadinami trikampio virnmis, o atkarpos jo kratinmis. Trikampis ymimas AABC. A, B k C trikampio virns.

Pagrindins trikampio savybs: 1) trikampiai, kuri kratins atitinkamai lygios ir kampai atitinkamai ly-

gs, vadinami lygiais; 2) trikampis, kurio visos trys kratins yra vienodo ilgio arba visi kampai

lygs 60, vadinamas lygiakraiu; 3) trikampis, kurio dvi kratins yra vienodo ilgio arba du kampai yra

vienodo didumo, vadinamas lygiaoniu; lygiosios kratins vadina-mos jo oninmis kratinmis, treioji kratin vadinama lygiaonio trikampio pagrindu;

4) trikampio kamp suma lygi 180; 5) trikampio dviej kratini ilgi suma visada yra didesn u likusios

kratins ilg, t. y. a < b + c. Trikampio nelygyb:

Trikampio pusiaukratin, pusiaukampin ir auktin

Statmen, ivest i trikampio virns ties, kurioje yra prie virn esanti kratin, vadiname auktine. Trikampio kampo pusiaukampins atkarp, kuri jungia trikampio virn su prie j esanios kratins taku, vadiname trikampio pusiaukampin. Trikampio pusiaukampin dalija kratin (esani prie kamp, i kurio ji ivesta) santykiu, lygiu gretim kratini santykiui.

a < b + c, b < a + c, c < a + b. Trikampio perimetras randamas, sudedant vis jo kratini ilgius: P = a + b + c. a

Atkarp, kuri jungia trikampio virn su prie j esanios kratins viduriu, vadiname trikampio pusiaukratine. Trikampio pusiaukratins susikerta viename take ir tas takas kiekvien j dalija santykiu 2 : 1 skaiiuojant nuo trikampio virni. Trikampio vidurine linija vadinama atkarpa, jungianti dviej jo kratini vidurio takus.

Teorema. Trikampio vidurin linija yra lygiagreti trikampio kratinei ir lygi jos pusei. Lygiaonio trikampio pusiaukratine, nubrta pagrind, sutampa su pu-siaukampine ir auktine. Trikampis, kurio visos kratins lygios, vadinamas lygiakraiu, t. y. a = b = c. Visi lygiakraio trikampio kampai yra lygs 60. Trikampis, kurio vienas kampas yra status, vadinamas staiuoju. Jo ZC = 90, a ir b statiniai, c ambin. Staij trikampi savybs: 1) staiojo trikampio dviej smailij kamp suma lygi 90, t. y. ZA +

+ ZB = 90; 2) staiojo trikampio statinis, esantis prie 30 kamp, lygus pusei am-

bins, t. y. jei ZA = 30, tai a = c : 2; 3) jei staiojo trikampio statinis lygus pusei ambins, tai prie t statin

esantis kampas lygus 30.

Trikampi lygumo poymiai

1. Jei vieno trikampio dvi kratins ir kampas tarp j atitinkamai lygs kito trikampio dviem kratinms ir kampui tarp j, tai tie trikampiai yra lygs. AABC = ADEF, Jl Ji AB = DE, y S \ ' \ AC = DF, s ' \ s ' \ ZA = ZD. H ^C D^S- H Af

2. Jei vieno trikampio kratin ir prie jos esantys kampai atitinkamai lygs kito trikampio kratinei ir kampams, esantiems prie jos, tai tie trikampiai yra lygs. AABC = ADEF, B E AC = DF, = ZD, ZC = ZF.

Jei vieno trikampio trys kratins atitinkamai lygios kito trikampio trims kratinms, tai tie trikampiai yra lygs.

B E AABC = ADEF, AB = DE, AC = DF, BC = EF. ^C D

Staij trikampi lygumo poymiai

Jei vieno staiojo trikampio ambin ir smailusis kampas atitinkamai lygs kito trikampio ambinei ir smailiajam kampui, tai tie trikampiai yra lygs.

AABC = ADEF, BC = EF, AC = ZE.

Jei vieno staiojo trikampio statinis ir prie j esantis kampas atitinka-mai lygs kito trikampio statiniui ir prie j esaniam kampui, tai tie trikampiai yra lygs.

AABC = ADEF, AC = DE, ZB = ZF.

B D

3. Jei vieno staiojo trikampio ambin ir statinis atitinkamai lygs kito trikampio ambinei ir statiniui, tai tie trikampiai yra lygs.

AABC = ADEF, CB = EF, AB = DF.

Apibendrintoji Talio teorema A

Jeigu dvi lygiagreios tiess kerta kampo krati-nes, tai atkirstos atkarpos yra proporcingos.

\N

Duota: kampas, kurio virn A, MN MB _ NC

BC II EF.

M\

Talio teorema

Jei lygiagreios tiess, kertanios kampo kratines, vienoje jo kra-tinje ikerta lygias atkarpas, tai jos ir kitoje kratinje ikerta lygias atkarpas. Jei MB = BE, tai NC = CF.

Trikampi panaumo poymiai

1. Jei vieno trikampio dvi kratins proporcingos kito trikampio dviem atitinkamoms kratinms ir kampai tarp t kratini lygs, tai tie tri-kampiai yra panas.

AABC -ADEF,

ZA = ZD, AB : DE,

AC : DF. " D " ^

2. Jei vieno trikampio du kampai atitinkamai lygs kito trikampio dviem kampams, tai tie trikampiai yra panas. E

AABC - ADEF, B

ZA = ZD, ZC = ZF.

3. Jei vieno trikampio trys kratins proporcingos kito trikampio trims atitinkamoms kratinms, tai tie trikampiai yra panas.

AABC - ADEF, E B

AB : DE,

BC : EF,

AC : DF. Skaiius, lygus trikampi atitinkam kratini santykiui, vadinamas panaumo koeficientu.

Panaij trikampi atitinkamos auktins proporcingos atitinkamoms kratinms. Panaij trikampi plot santykis lygus t trikampi panaumo koefi-ciento kvadratui. Panaij trikampi perimetr santykis lygus t trikampi panaumo ko-eficientui.

Trikampio kamp suma

Teorema. Trikampio kamp suma lygi 180. rodymas. Raskime trikampio ABC kamp sum. Per trikampio virn, pavyzdiui, B, nubrkime ties, lygiagrei prie j esaniai kratinei AC. Paymkime j raide p. Kadangi Zl ir ZA yra lygiagrei tiesi p ir AC bei kirstins AB suda-romi prieiniai vidaus kampai, tai Zl = ZA. Kadangi Z2 ir ZC yra lygiagrei tiesi p ir AC bei kirstins BC sudaromi prieiniai vidaus kampai, tai Z2 = ZC. Taiau Zl, Z2 ir ZB sudaro itiestin kamp, todl Zl + ZB + Z2 = 180.

Tada ir ZA + ZB + ZC = 180. Teorema rodyta.

Pitagoro teorema Staiojo trikampio ambins kvadratas yra

lygus jo kratini kvadrat sumai: c2 = a1 + b1.

Duota: AABC, BC = a, AC = b, AB = c.

Reikia rodyti: c2 = a2 + b2. rodymas. Trikampio ABC statin CB = a prats-kime ilgiu b, o statin CA- b ilgiu a ir nubrai-ykime kvadrat CDEF. Kvadrato kratinse DE ir EF paymkime takus G ir H taip, kad DG = EH = a, ir nubraiykime keturkamp ABGH. Kvadrat CDEF padalijame penkias dalis: ke-turis lygius staiuosius trikampius ( A A B C = = ABGD = AGHE = AHAF pagal dvi kratines

ir kamp tarp j) ir keturkamp ABGH. rodykime, kad keturkampis ABGH yra kvadratas, t. y. kad jo kratins lygios ir kampai stats. I keturi trikampi gauname: AB = BG = GH = HA = c. Vadinasi, keturkampis ABGH yra rombas. ZBGD = ZGHE ir ZBGD + ZHGE = 90. Tuomet ZBGH = 180 -- (ZBGD + ZHGE) = 180 - 90 = 90. Vadinasi, rombas ABGH yra kvadratas. Apskaiiuokime kvadrato ABGH plot dviem bdais:

1) Sabch c-\

2) S 4 s c w = SCDEF - 4SAabc = (a + b)2 - 4 0,5ab = a2 + lab + b2 -- lab = a2 + b2.

Vadinasi, c2 = a2 + b2. Teorema rodyta.

Atvirktin Pitagoro teorema

Jei trikampio krati- BI

AB2 = CA2 + CB2.

rodymas. Pasirink bet kur statj kamp, pavyzdiui, ZC 1 = 90, jo kratinse atidkime atkarpas, lygias trikampio ABC kratinms CA ir CB (CiAi = CA, CiBx = CB). Nubr atkarp ^ 1 S 1 , gausime statj trikamp AiBiCi. Remdamiesi Pitagoro teorema, raome: ^1S1 2 = CiA2 + CiBi2. I i lygybi gauname, kad AiBi = AB. Vadinasi, trikampio AIBICI kratins yra lygios trikampio ABC krati-nms. Remdamiesi treiuoju trikampi lygumo poymiu (pagal tris kra-tines), darome ivad, kad AAIBICI = AABC. Vadinasi, ZC 1 = ZC, taigi Z C = 90 ir AABC statusis. Teorema rodyta.

Metrins trikampio element priklausomybs

1) Staiojo trikampio statinis yra ambins ir to statinio projekcijos am-binje geometrinis vidurkis:

a2 = c ac (arba a = Jc ac ) ir b2 = c bc.

ns kvadratas lygus kit dviej kratini kvadrat sumai, tai tas trikampis yra statusis. Reikia rodyti, kad

2) Staiojo trikampio auktin, nubrta i staiojo kampo virns, yra statini projekcij ambi-nje geometrinis vidurkis: h2 = ac bc. C' b

Smailiojo kampo sinusu vadiname statinio, esanio prie t kamp, ir ambins santyk. Smailiojo kampo kosinusu vadiname statinio, esanio prie to kampo, ir ambins santyk. Smailiojo kampo tangentu vadiname statinio, esanio prie t kamp, ir statinio, esanio prie to kampo, santyk. Smailiojo kampo kotangentu vadiname statinio, esanio prie to kampo, ir statinio, esanio prie t kamp, santyk.

Sinus teorema

Trikampio kratins yra proporcingos prie jas esani kamp sinusams. Duota: AABC,

AB = c, AC = b, ZCAB = a.

a _ b _ c Reikia rodyti:

Irodymas. Nagrinsime du atvejus:

a) kai < 90 (smailusis trikampis) b) kai > 90 (bukasis trikampis)

C C

Apskaiiuosime kiekvienu atveju trikampio plot S = ch. I staij

trikampi ACD turime: h h

sin = , b

h = b sin arba sin (180 - ) =

h = b sin (180 - ) = b sin . 1

Vadinasi, abiem atvejais trikampio plotas S = be sin .

Analogikai io trikampio ploto formules gauname imdami kitas dvi tri-kampio kratines bei kamp tarp j. Taigi

C C

S = be sin , S = sin (3, S = ab sin . 2 ' 2 2

Kadangi S yra to paties trikampio plotas, tai 1 1 1 be sin = sin = ab sin .

I ia iplaukia trys lygybs:

b sin = a sin , sin = b sin , sin = a sin ,

arba

a = ^ = . Teorema rodyta, sin sin sin

I v a d a . =- = =2R\ ia R apie trikamp apibrto s i n a sin s iny

apskritimo spindulys.

Kosinus teorema

Trikampio kratins kvadratas lygus kit dviej kratini kvadrat sumai minus dviguba t kratini ir kampo tarp j kosinuso sandauga.

Duota: AABC, AB = c, AC = b, BC = a.

Reikia rodyti: a2 = b2 + c2 - 2be cos .

rodymas. Nagrinsime du atvejus:

a) kai < 90 (smailusis trikampis) b) kai > 90 (bukasis trikampis)

Nubrkime AABC auktin CD ir paymkime: AD = p, DB = c - p arba DB = c + p.

Statiesiems trikampiams ADC ir BDC kiekvienu atveju pritaikome Pita-goro teorem:

b2 = h2 + p2, b2 = h2 + p2, a2 = (c - p)2 + h2 = c2 - Icp + a2 = (c + jo)2 + A2 = c2 + 2cp + + p2 + h2 = c2 - 2cp + b2 = + p2 + h2 = c2 + Icp + b2 = c2 + = c2 + b2 - Iep, +b2 + 2 cp.

I staiojo A D C randame atkarpos AD ilg p:

p = b cos , p = b cos (180 - ) = -b cos , nes cos (180 - ) = - cos .

{ra p a2 iraik, abiem atvejais gauname tok pat sry a2 = b2 + + e2 - 2be cos . Teorema rodyta.

Trikampio ploto teorema

Trikampio plotas lygus jo pagrindo ir j nuleistos auktins san-daugos pusei: S = 0,5 ah. rodymas. Sakykime, trikampio ABC pagrindas yra kratin . Jos ilg paymkime raide a, pagrind nuleistos auktins AD ilg raide h. Teorem rodysime staiajam trikampiui, smailiajam trikampiui ir buka-jam trikampiui.

Duota\ AABC statusis trikampis, AC = h, BC = a.

Reikia rodyti: S = 0,5ah.

rodymas. Takas A yra staiojo trikampio smailiojo kampo virn. Tada statinis AC yra pagrind BC nuleista auktin. Per smailiuosius kampus A ir B nubr trikampio statiniams lygiagreias tieses ir j sankirtos tak paymj raide E, gausime staiakamp ACBE, sudaryt i trikam-pio ACB ir jam lygaus trikampio . Staiakampio matmenys a ir h. Remdamiesi ploto aksiomomis bei staiakampio ploto formule, gauname:

SABC = >5SACBE = 0,5a/;. iuo atveju teorema rodyta. Pravartu sidmti ir toki gautos formuls formuluot: staiojo trikampio plotas lygus jo statini sandaugos pusei. A Duota: AABC smailusis trikampis,

AD = h, BC = a.

Reikia rodyti: S = 0,5ah. ^

rodymas. Auktins AD pagrindas D yra pagrindo vidaus takas. Auk-tin AD trikamp dalija du staiuosius trikampius ABD ir ACD, o j plotus apskaiiuoti jau mokame. Taigi SABC = SABD + SACD = 0,5 BD h + 0,5 DC h = 0,5 BC h = 0,5ah. Taigi ir iuo atveju teorema rodyta.

Duota\ A C B bukasis trikampis, y ^ AD = h, BC = a.

Reikia rodyti: S = 0,5ah. D C a a

rodymas. Auktins AD pagrindas D yra pagrindo BC iors takas. iuo atveju trikampio plot ireikiame kaip dviej staij trikampi plot skirtum:

Sabc = sABD - SACD = 0,5 BD h - 0,5 CD h = 0 ,5(BD - CD)h = = 0,5 BC h = 0,5ah. Teorema rodyta.

Herono formul

Teorema. Trikampio plotas S = yfp(p - a)(p - b)(p - c);

1

ia a, b, c trikampio kratins; p = ^ (a + b + c) jo puspe-

rimetris. rodymas. lygyb sin2 C = 1 - eos2 C = (1 - cos C)(l + cos C) ra

kosinus teoremos cos C iraik, gauname: sin2 = - 2 ab

(+ b)2 - c2 _(c-a + b)(c + a -b)(a + b-c)(a + b + c) _ lab ~ (Iab)2

(2 p- 2a)(2 p 2b)(2 p -2c)2 p (2 ab)2 '

Kadangi trikampio kamp sinuso reikms yra teigiamos, tai

2 Jp(p - a)(p - b)(p - c) sin C =

ab

trikampio ploto formul S= ab sin C ra rastj sin C iraik,

gauname S = Jp(p - a)(p - b)(p - c). Teorema rodyta.

Daugiakampiai

Keturkampiu vadinama figra, kuri sudaro keturi takai ir ketu-rios nuosekliai juos jungianios atkarpos.

Lygiagretainis ir jo savybs

Keturkampis, kurio prieingosios kratins yra lygiagreios (poro-mis), vadinamas lygiagretainiu.

A B ABCD lygiagretainis, AB y CD: AD I I . D

Teorema. 1) Kamp, esani prie vienos lygiagretainio kratins, suma lygi 2d (180); 2) lygiagretainio prieingieji kampai yra lygs.

rodymas. 1) Prie lygiagretainio ABCD kratins AB esantys kampai A \x B yra dviej lygiagreij tiesi DA ir CB bei j kirstins AB sudaromi vienaaliai kampai. Pagal lygiagreij tiesi ir j kirstins vienaali kamp savyb, t kamp suma yra lygi 2d (180).

2) Remdamiesi lygiagretainio kamp 1) savybe, raome:

ZA + ZB= 180, ZB + ZC= 180. I ia = ZC. Lygiai taip pat galima rodyti, kad ZB = ZD. Teorema rodyta.

Teorema. Lygiagretainio prieingosios kratins yra lygios.

rodymas. Nubrkime lygiagretainio ABCD striain AC. Gausime tri-kampius ABC ir CDA, kuri kratin AC bendra, ZBAC = ZDCA, ZBCA = ZDAC (kaip dviej lygiagrei tiesi ir j kirstins sudaromi vidaus prie-iniai kampai). Remdamiesi antruoju tri-kampi lygumo poymiu (pagal kratin ir du kampus prie jos), gauname: AABC = ACDA, todl BC = DA ir BA = DC. Teorema rodyta.

Teorema. Lygiagretainio striains susikirsdamos dalija viena kit pusiau. rodymas. Lygiagretainio ABCD striains yra atkarpos AC ir BD. Pirmiausia rodysime, kad ios striai-ns susikerta. Kadangi lygiagretainis ikilasis keturkampis, tai jis yra dviejo-se pusploktumse ir , o virn C yra kampo BAD vidaus takas. Tada spindulys yra kampo BAD viduje. Vadi-nasi, jis kerta atkarp BD, jungiani kampo kratini AB ir AD takus B ir D.

itaip rodytume, kad spindulys BD kerta atkarp AC. I to iplaukia, kad atkarpos AC ir BD, t. y. lygiagretainio striains, susikerta. Lygiagretainio striaini sankirtos tak paymkime raide O. Pasirinki-me du susidariusius trikampius AOB ir COD, kuri AB = CD (lygiagre-tainio prieingosios kratins), ZOAB = ZOCD (lygiagreij tiesi AB ir CD bei j kirstins AC sudaromi prieiniai kampai). Remdamiesi ant-ruoju trikampi lygumo poymiu, nustatome, kad AAOB = ACOD, todl AO = CO ir BO = DO. Teorema rodyta. Lygiagretainio plotas apskaiiuojamas pagal formul S = ah. Perimetras P = 2(a + b). Lygiagretainio pagrindu laikoma bet kuri jo kratin.

Teorema. Lygiagretainio plotas lygus lygiagretainio pagrindo ir j nu-leistos auktins sandaugai.

rodymas. Lygiagretainio ABCD striain BD j dalija du lygius trikam-pius. Lygiagretainio ir trikampio ABD pagrindu pasirinkime kratin AB. Tada lygiagretainio auktin yra ir tri-kampio auktin. Lygiagretainio pagrin-do ir auktins ilgius paymj raidmis a ir h, randame lygiagretainio plot S:

1 S = 2 ah = ah.

Teorema rodyta.

Staiakampis

Lygiagretainis, turintis statj kamp, vadinamas staiakampiu.

ABCD staiakampis; status. Remdamiesi lygiagretainio kamp savy-be, sitikiname, kad visi staiakampio kampai stats. Staiakampis pasiymi visomis lygiagre-tainio savybmis, taiau jis turi ir kit savybi.

Teorema. Staiakampio striains yra lygios. rodymas. rodysime, kad staiakampio ABCD striain AC = BD. Nagrinkime staiuosius trikampius ABC ir BAD, kuri BA = AB (bendras stati-nis), BC = AD (lygs statiniai , nes jie yra lygiagretainio prieingosios krati-ns). Todl AABC = ABAD ir AC = BD. Teorema rodyta. Staiakampio plotas S = ab, perimetras P=2(a + b).

Kvadratas

Staiakampis, kurio dvi gretimos kratins ly-gios, vadinamas kvadratu. Aiku, kad kvadrato visos kratins lygios ir visi kampai stats. Todl galima sakyti, kad kvadratas yra rombas, turintis statj kamp. Kadangi kvadra-tas yra ir lygiagretainis, ir staiakampis, ir rombas, tai kvadratui bdingos visos j savybs. Kvadrato plotas S = a\ perimetras P = 4a.

Rombas

Lygiagretainis, kurio dvi gretimos kratins lygios, vadinamas rombu. Paveiksle pavaizduoto lygiagretainio ABCD greti-mos kratins lygios (AD = AB), todl ABCD yra rombas. Remdamiesi lygiagretainio kratini savy-be, sitikiname, kad rombo visos kratins lygios. Kadangi rombas yra lygiagretainis, tai rombui b-dingos visos lygiagretainio savybs. Taiau jis turi ir kit savybi.

Teorema. Rombo striains: 1) dalija jo kampus pusiau; 2) yra viena kitai statmenos.

rodymas. Nagrinkime romb ABCD.

1) Kadangi rombo kratins lygios (pvz., BA = ), tai trikampis ABC yra lygiaonis, o AC jo pagrin-das. Prisiminkime, kad rombas yra lygiagretainis, o jo striains susi-kirsdamos take O dalija viena kit pusiau. Taigi OA = OC ir OB lygiaonio trikampio ABC pusiaukratine, todl ji yra virns kampo pusiaukampin. Vadinasi, striain BD rombo kamp B dalija pusiau. Taip pat rodytume, kad striain BD dalija pusiau rombo kamp D, o striain AC rombo kampus A ir C.

2) Kadangi lygiaonio trikampio ABC pusiaukratine , nubrta pa-grind AC, yra ir auktin, nuleista i virns B, tai BO yra statmena AC, taigi rombo striains yra viena kitai statmenos.

Teorema rodyta. AC BD

Rombo plotas S = ah arba S = ~r , perimetras P = 4a.

Trapecija

Keturkampis, kurio dvi kratins lygiagreios, o kitos dvi nely-giagreios, vadinamas trapecija.

M C

N E

a)

B A

M C

N E

b)

D

B A,F

M C

N E

c)

B

Paveiksle AB || DC, AD^BC, todl ABCD trapecija. Trapecijos lygiagreiosios kratins AB ir DC vadinamos trapecijos pagrindais, o nelygiagreios AD ir BC trapecijos oninmis krati-nmis.

Trapecija, kurios onins kratins lygios (AD = ), vadinama lygiao-ne trapecija (pav., b). Lygiaons trapecijos striains yra lygios. Trapecija, turinti statj kamp (ZA = 90), vadinama staija trapecija (pav., c). Statmuo, nuleistas i trapecijos pagrindo tako ties, kurioje yra kitas pagrindas, vadinamas trapecijos auktine. Paveiksle atkarpos CE, DF, MN trapecijos ABCD auktins.

Teorema. Trapecijos plotas lygus puss pagrind sumos (vidurins lini-jos) ir auktins sandaugai. rodymas. Sakykime, trapecijos ABCD pa-grindai AB = a, CD = b ir auktin DE = h. striain BD dalija trapecij trikampius ABD ir BCD, kuri pagrindai yra trapecijos pagrindai, o auktin trapecijos auktin, todl trapecijos plotas

1 1 a + b S = ah + bh = - h. Teorema rodyta.

Trapecijos plotas S = a + b

A, perimetras P = AD + DC + CB + AB

Trapecijos vidurine linija vadinama atkarpa, jungianti jos onini kra-tini vidurio kratus.

Teorema. Trapecijos vidurin linija yra lygiagreti pagrindams ir lygi j sumos pusei.

Taisyklingasis daugiakampis

Ikilasis daugiakampis, kurio visos kratins lygios ir visi kampai lygs, vadina-mas taisyklinguoju daugiakampiu.

ZA = ZB = ZC = ZD, AB = BC = CD = DA.

Ikilasis daugiakampis

Keturkampis KLMN yra kiekvienos tiess KL, LM, MN, KN vienoje pusje. Taigi keturkampis KLMN yra vienoje kiekvienos tiess, einanios per keturkampio kratines, pusje. Kitaip sakant, is daugiakampis yra pusploktumi, kuri kratai per daugia-

Kl

' N

kampio kratines einanios tiess, sankirta. Tai ikiloji figra. Ji vadina-ma ikiluoju daugiakampiu.

Ikilojo keturkampio plotas lygus striaini ilgi ir kampo tarp j sinuso

sandaugos pusei, t. y. S = d I sin ; ia d, I striains.

Daugiakampio kamp suma

Teorema, -kampio kamp suma lygi 2(n - 2)d; ia d = 90, arba 180( - 2). Teorem galima rodyti dviem bdais. I bdas, -kampio A i A 2 AyA n (n = 7) vi-daus tak B sujunkime su visomis vir-nmis. Gausime n trikampi. Vis i tri-kampi kamp suma bus -kampio kamp suma, prie kurios pridta vis virns B esani kamp suma, lygi 4d. Pagal tri-kampio kamp sumos teorem, -kampio kamp suma lygi 2d n - 4d = 2( - 2 )d . Teorema rodyta.

II bdas. Nubrkime -kampio AiA2AyAn ( = 7) striain A1A3. Tada -kampis bus padalytas vien trikamp A1A2A3 ir ( - l)-kamp AlAyAll. Vl nubrkime striain A1A4, tada -kamp padalysime du trikampius A1A2A3 bei AiA3A4 ir ( - 2)-kamp AiAr--An ir t. t. Nubrkime striain

Tada -kampis bus padalytas (n - 4) trikampius ir keturkamp An^iAn. Nubrkime striain AiAn i. Mint keturkamp padalysi-

me 2 trikampius, o nagrinjam -kamp ( - 4 ) + 2 = - 2 trikampius. J kamp suma 2( - 2)d yra -kampio kamp suma. Teorema rodyta.

^ lA-2 - 2

brtu apskritim daugiakampiu (brtiniu daugiakampiu) vadinamas daugiakampis, kurio visos kratins lygios ir visi kampai vienodo didumo. Apibrtu apie apskritim daugiakampiu (apibrtiniu daugiakampiu) va-dinamas daugiakampis, kurio visos kratins lieia vien apskritim.

a)

Ties ir apskritimas gali tur-ti vien bendr tak, du ben-drus takus arba gali ivis j neturti:

Nuopjova

Apskritimas ir skritulys

Ipjova

Apskritimu vadiname figr, kuri sudaro vi-si ploktumos takai, vienodai nutol nuo vieno ta-ko. Tas takas vadinamas apskritimo centru. Atstu-m nuo bet kurio apskritimo tako vadiname apskritimo spinduliu. Apskritimo, kurio centras su-tampa su koordinai pradia, lygtis yra

2 + y1 = R2. Apskritimas, kurio centras yra takas O (a; b), apra-omas lygtimi (.v2 - )2 + (y - b)2 = R2. Apskritimo apribota ploktumos dalis vadinama skrituliu. Skritulio plo-tas S = TlR2. Skritulio ipjova vadinama skritulio dalis, kuri riboja lan-kas ir du spinduliai, jungiantys lanko galus su skritulio centru. Ipjovos

TiR1O. plotas S = .

Skritulio nuopjova vadinama skritulio ir pusploktums bendroji dalis. TiR1O. TiR1O.

Nuopjovos plotas S = + SA, kai > 180 (a) ir S= - S A, 360 j o U

kai < 180 (b).

Ties, kuri su apskritimu turi du bendrus takus, vadinama apskritimo kirstine, o kuri turi tik vien bendr tak liestine; apskritimo ir Iies-tins bendras takas vadinamas lietimosi taku. Teorema. Stygai statmenas apskritimo skersmuo dalija j pusiau. Duota. DC 1 AB, DC skersmuo. Reikia rodyti: AE = EB. rodymas. Briame apskritimo spindulius OA ir OB. AO = OB, nes yra apskritimo spindu-liai. ABOA yra lygiaonis. Lygiaonio trikam-pio auktin taip pat yra ir pusiaukratin, to-dl dalija AB dvi lygias dalis. Taigi AE = EB.

Teorema. Jei dvi apskritimo stygos susikerta, tai vienos stygos atkarp ilgi sandauga yra lygi kitos stygos atkarp ilgi sandaugai: AC CB = EC CF. Teorema. Apskritimo liestin yra statmena spinduliui, nubrtam lietimosi tak. At-virktin teorema: ties, einanti per apskritimo spindulio gal, priklausant} apskritimui, ir stat-mena tam spinduliui, yra apskritimo liestin. Duota: I liestin, OM spindulys, nubr-tas apskritimo ir liestins / lietimosi tak M, Mx bet kuris liestins takas. Reikia rodyti: OM L I. rodymas. OM1 > OM, nes OMx kerta apskri-timo rib. Taigi OM yra trumpiausias atstu-mas tarp tiess ir tako. O trumpiausias atstu-mas, nuleistas i tako ties, yra statmuo. Taigi OM 1 /. Teorema. Apskritimo liestini, ieinani i vieno tako, atkarpos yra lygios. Duota: AB ir AD liestins. Reikia rodyti: AB = AD. rodymas. AB _L OB, nes liestin yra statmena lietimosi tak nubrtam spinduliui. AD L _L OD, nes tai yra liestin ir j nubrtas spin- A dlys. AABO ir AADO lygs, nes jie yra sta-tieji trikampiai, turintys bendr ambin ir po vienod statmen. Taigi AB = AD.

Teorema. Tarkime, kad PA yra i tako P, esanio alia apskritimo, nubrta liestin, PB kirstin, einanti per apskritimo takus B ir C. Tuomet PA2 = PB PC.

A

Teorema. Tarkime, kad i tako P, esanio alia apskritimo, nubrtos dvi kirstins PB ir PD, kurios apskritim kerta atitinkamai takuose A, B ir C, D. Tuomet PB PA = PD PC.

Apskritimo dalis, esanti per du jo takus einanios tiess vienoje pusje, vadinama apskritimo lanku. Lankas ymimas ^ A C , ^ A B .

%Ra Apskritimo lanko, kurio laipsninis matas oc, ilgis / = 0 0 1 ou Lankas, kurio galus jungianti atkarpa (styga) yra apskritimo skersmuo, vadinamas pusapskritimiu. Apskritimo lanko, kurio kampinis didumas yra radian, ilgis / = . Apskritimo lanko, ne didesnio u pusapskritim, laipsniniu matu vadina-mas j atitinkanio centrinio kampo laipsninis matas. Didesnio u pusapskritim lanko laipsniniu matu laikoma 360 - a ; ia to lanko papildomo lanko laipsninis matas. Aiku, kad lygi apskritimo lank laipsniniai matai yra lygs, ir atvirk-iai: jei apskritimo lank laipsniniai matai lygs, tai ir lankai yra lygs. Apskritimo centriniai kampai lygs tik tada, kai j lankai yra lygs. brtiniai kampai, kurie remiasi pusapskritimio lank, yra stats.

brtiniai kampai, kurie remiasi j t pat apskri-timo lank, yra lygs: ZABC = ZADC = ZAEC. brtinis kampas matuojamas puse lanko, j kur jis remiasi. Daugiakampis, kurio virns yra apskritimo takai, vadinamas brtiniu daugiakampiu, o apskritimas apibrtiniu apskritimu. Api-brto apie daugiakamp apskritimo centras yra vienodai nutols nuo to daugiakampio virni. Taigi apie daugiakamp nordami apibrti apskri-tim, tursime surasti tak, vienodai nutolus nuo daugiakampio virni. Taiau ne apie kiek-vien daugiakamp galima apibrti apskritim. Jei keturkampio prieing kamp suma lygi 180, tai apie j galima apibrti apskritim.

Teorema. Kiekvieno brtinio keturkampio prieing kamp suma lygi 180.

Duota. ABCD brtinis keturkampis. Reikia rasti: ZA + ZC = 180, ZB + ZD = = 180.

rodymas. Kadangi kampas A remiasi lank BCD, o kampas C lank BAD ir ie lankai sudaro vis apskritim, tai ZA + ZC = 360 : : 2 = 180. Dl t pai savybi ir ZB + ZD = = 360 : 2 = 180. Teorema rodyta. Apie kiekvien trikamp galima apibrti apskritim ir to apskritimo cen-tras yra trikampio kratini vidurio statmen susikirtimo takas.

Apie trikamp apibrto apskritimo spindulys R = ^^ ; ia a, b, c

trikampio kratini ilgiai, o S trikampio plotas. 4 - S

Staiojo trikampio apibrto apskritimo spindulys lygus pusei ambins: c

Daugiakampis, kurio kratins lieia apskritim, vadinamas apibrtiniu daugiakampiu, o apskritimas brtiniu apskritimu. kiekvien trikamp galima brti apskritim. To apskritimo centras yra trikampio pusiaukampini susikirtimo takas.

[brto apskritimo spindulys r = ; ia p pusperimetris.

O Taiau ne visus daugiakampius galima brti apskritim. Teorema. daugiakamp galima brti apskritim tik tuomet, kai daugia-kampio prieing kratini sumos yra lygios. Duota: ABCD apibrtinis keturkampis. Reikia rodyti: AB + CD = AD + .

rodymas. Keturkampio kratini ir skritu- B Iio lietimosi takus paymkime K, L, M, N. Remdamiesi liestini, ivest i vieno tako savybe, paymkime j ilgius: AK = AN = a, KB = BL = b, ND = MD = d, LC=CM= c. Turime: AB + CD = b + c + a + d u BC + + AD = b + c + a + d. Taigi AB + CD = = BC + AD. Teorema rodyta. A N D

Taisykl ingas daug iakampis

Taisyklingieji ikilieji daugiakampiai yra brtinis ir apibrtinis daugiakampis. 1 p a v y z d y s . Apie apskritim apibrtos lygiao-ns trapecijos pagrindai lygs 36 ir 100. Apskaiiuosime: 1) trapecijos onin kratin; 2) auktin; 3) plot. Duota\ ABCD trapecija, AD = BC, AB = 36, CD = 100. Reikia rasti: 1) AD = BC = ? 2) AH = ?

SABCD ?

Sprendimas. 1) Tarkime, kad AD = BC = x. AD + BC = AD + DC (jei keturkampis api-brtas apie apskritim, tai jo prieing kra-tini ilgi sumos lygios), tuomet 2x = 126, = 68.

Ats.: AD = BC = 68.

2) AH2 = AD2 - DH2 (Pitagoro teorema trikampiui A H D), AD inome, iekome DH:

DC - HH, DH= - j - *

nes ADAH = AH1BC (pirmasis trikampi lygumo poymis; / = BC, nes ABCD lygiaon trapecija; AH = H1B, nes abi yra statmenos lygiagre-ioms AB ir CD- ZDAH = ZCBHi, taigi 90 - ZADH = 90 - ZBCH1); HHx = AB (AHHtB staiakampis, nes visi jo kampai stats). Taigi

DH = DC-AB

DH = 1 0 0 - 3 6

= 32

AH = >/68"-32 ' =60.

Ats.: AH = 60. AH -(AB + CD)

3) S ABCD

jABCD

(trapecijos ploto formul);

60-(36 + 100) = 4080 (ploto vienetai).

Ats.: SABCD = 4080 (ploto vienetai).

Simetrija

Simetrija gali bti dviej ri: simetrija tiess atvilgiu ir simet-rija tako atvilgiu (centrin simetrija). 1. Simetrija tiess atvilgiu yra tuomet, kai figros (takai) yra simetri-

kos tiess atvilgiu. Dvi figros yra simetrikos tiess atvilgiu, jeigu kiekvienas vienos figros takas yra simetrikas kitos figros takui tos tiess atvilgiu.

d - simetrijos ais

d/

Takai A ir A1 yra simetriki tie-ss d atvilgiu, jeigu: a) atkarpa AAt yra statmena tie-

sei d; . LJ

b) ties /eina per atkarpos/L-I1 A f A1 vidur.

Kiekvien tiess d tak laiky-sime simetriku paiam sau. 2. Simetrija centro atvilgiu yra tuomet, kai figros (takai) yra simetri-

kos viena kitai tako atvilgiu. Dvi figros yra simetrikos centro at-vilgiu, jeigu kiekvienas vienos figros takas yra simetrikas kitos figros takui to centro atvilgiu.

A O - simetrijos centras

Takai A ir Ai yra simetriki tako O atvil- ' giu, jeigu takas O yra atkarpos AAi vidurio takas, t. y. AO = OAi. Tak O lai- N. kyime simetriku paiam sau. N. 1. Ties, kurios atvilgiu figra yra simetrika pa-

ti sau, vadinama tos figros simetrijos aimi. Lentelje pavaizduota kai kuri geometrini figr simet-rijos ays. J1

Figra Simetrijos ays Simetrijos ai skaiius

Simetrijos ai padtis

Atkarpa Dvi Vidurio statmuo. Ties, einanti per t atkarp

Kampas Viena Ties, einanti per kampo pusiaukampin

Staiakampis Dvi Tiess, einanios per prieing kratini vidurio takus

Rombas Dvi Tiess, einanios per striaines

Kvadratas Dvi Tiess, einanios per prieing kratini vidurio takus ir per striaines

Apskritimas Be galo daug Kiekviena ties, einanti per apskritimo centr

2. Takas, kurio atvilgiu figra yra simetrika pati sau, vadinamas fig-ros simetrijos centru.

Simetrik figr centro atvilgiu pavyzdiai:

Figra Simetrijos centras Simetrijos centro padtis

Atkarpa Vidurio takas

Kvadratas X striaini susikirtimo takas Apskritimas ( Apskritimo centras

STEREOMETRIJA

Pagrindins stereometrijos svokos

Yra keturios pirmins stereometrijos svokos: takas, ties, plok-tuma ir atstumas. Svoka aib taip pat yra pirmin (neapibriama) ne tik geometrijoje, bet ir visose kitose matematikos srityse. Bet kuri tak aib geometrijoje vadinama figra. Ties ir ploktuma gali bti figr pavyzdiai. Pirmini svok pagrindins savybs ireikiamos stereometrijos aksio-momis. 1 aksioma. Egzistuoja bent viena ties ir bent viena ploktuma. Kiekviena ties ir kiekviena ploktuma yra nesutampanti su erdve netuia tak aib. 2 aksioma. Per bet kuriuos du skirtingus takus eina tik viena ties. 3 aksioma. Ties, einanti per du skirtingus ploktumos takus, yra toje ploktumoje. 4 aksioma. Per tris takus, nepriklausanius vienai tiesei, eina tik viena ploktuma. 5 aksioma. Jeigu dvi skirtingos ploktumos tu-ri bendr tak, tai jos turi ir bendr ties, ku-rioje yra visi bendri t ploktum takai. 6 aksioma. Bet kuriuos du takus A ir B atitin-ka neneigiamas dydis, vadinamas atstumu nuo tako A iki tako B. Atstu-mas \AB\ lygus nuliui tik tada, kai takai AnB sutampa. 7 aksioma. Atstumas nuo tako A iki tako B lygus atstumui nuo tako B iki tako A:

\AB\ = \BA\. 8 aksioma. Kokie bebt takai A, B ir C, atstumas nuo A iki C yra ne didesnis u atstum nuo A iki B ir nuo B iki C sum:

\AC\ < \AB\ + \BC\. Tiess erdvje gali susikirsti, bti lygiagreios arba prasilenkianios.

Susikertaniosios tiess

Lygiagreiosios tiess

Prasilenkianiosios tiess

Lygiagreiosiomis tiesmis erdvje vadinamos dvi tiess, kurios yra vie-noje ploktumoje ir neturi bendr tak. ymima a || b. Dvi tiess, kurios nra vienoje ploktumoje, vadinamos prasilenkianio-siomis tiesmis. Duotos dvi prasilenkianiosios tiess AB ir CD. Pasirinkime bet kur ta-k M ir per j iveskime ties ,S1, lygiagrei AB. Gavome kamp (r. pav., b). Jis ir yra kampas tarp prasilenkianij tiesi.

Ties erdvje gali kirsti ploktum arba bti jai lygiagreti. Ties ir ploktuma vadinamos lygiagreio-siomis, kai jos neturi bendro tako arba kai ties yra ploktumoje. Teisingas toks tiess ir ploktumos lygiagre-tumo poymis: jei ties yra lygiagreti tiesei, esaniai plok-tumoje, tai duotoji ties ir ploktuma yra ly-giagreios: jei c Il b, tai c || a .

Jei ploktuma eina per ties, lygiagrei kitai ploktumai, ir kerta t ploktum, tai plok-tum susikirtimo linija yra lygiagreti duota-jai tiesei. Ties ir ploktuma vadinamos statmenomis, kai ties yra statmena kiekvienai tiesei, esan-iai ploktumoje: a J. a . Jeigu ties statmena kiekvienai i dviej su-sikertani tiesi, esani ploktumoje, tai ties ir ploktuma yra statmenos.

Ploktumos erdvje gali kirstis arba b-ti lygiagreios. Dvi ploktumos vadinamos lygiagreio-siomis, kai jos neturi bendro tako arba sutampa: || . Jei vienos ploktumos dvi susikertan-ios tiess yra atitinkamai lygiagreios kitos ploktumos dviem susikertanioms tiesms, tai tos ploktumos yra lygiagre-ios.

Kai dvi lygiagreisias ploktumas ker-ta treioji ploktuma, tai j susikirtimo linijos yra lygiagreios: jei || ir jas abi kerta, tai a || b.

M1 flb

V

/ J /

/ /^r J y / /

Statmuo ir pasviroji

Per tak A, esant alia ploktu-mos a , iveskime jai statmen ties. Tiess ir ploktumos susikirtimo tak paymkime raide C. Atkarpa AC vadinama statmeniu, nuleistu i tako A ploktum , o takas C to statmens pagrindu arba tako A projekcija ploktumoje a . I tako ploktum galima nuleisti vienin-tel statmen. Visos kitos tiess, nubrtos i tako A ir kertanios plok-tum a , nebus jai statmenos. Per tak A ir pasirinkt ploktumos tak B ivedame ties AB, kuri nra statmena ploktumai. Atkarpa AB vadinama pasvirja, ivesta i tako A ploktum , o takas B pasvirosios pagrindu. Atkarpa CB vadinama pasvirosios projekcija ploktumoje a . Kampu tarp ploktumos ir tiess, kuri nra jai statmena ir j kerta, vadi-namas kampas, esantis tarp tiess ir jos projekcijos ploktumoje. Pasviroji BA su ploktuma sudaro kamp ABC.

Teorema. Jei i to paties tako, esanio alia ploktumos, nuleistas statmuo ploktumai ir ivestos kelios pasviro-sios, tai:

'A

n/ C / /

/ /

a) dvi pasvirosios, kuri projekcijos lygios, yra lygios; b) i dviej pasvirj ilgesn ta, kurios projekcija yra ilgesn. Atvirktin teorema. Lygi pasvirj projekcijos yra lygios, o i dviej projekcij ilgesn yra ta, kuri atitinka ilgesn pasvirj. Atstumas nuo tako iki ploktumos yra statmens, nuleisto i to tako ploktum, ilgis. Atstumas nuo tako A iki ploktumos yra trumpiausia i vis atkarp, jungiani tak A su bet kuriuo ploktumos taku. Trij statmen teorema. Ties, ivesta ploktu-moje per pasvirosios pagrind ir statmena jos projekcijai toje ploktumoje, yra statmena ir pa-iai pasvirajai. Atvirktin teorema. Ties, ivesta ploktumoje per pasvirosios pagrind ir statmena pasvirajai, yra statmena jos projekcijai.

A

/ H / /

Geometriniai knai

Prizm. Tai briaunainis, kurio dvi sienos (pagrindai) yra lygiagreiose ploktumose esan-tys lygs daugiakampiai, o kitos sienos (oni-ns) lygiagretainiai. Daugiakampiai A1A2...An ir B1B2...Bn prizms pagrindai. Lygiagre-tainiai AiA2B2Bl, ..., AllAtBlBn prizms oni-ns sienos, o AiBi, A2B2, ..., AnBn onins briaunos.

Prizm

Atkarpa, jungianti bet kurio daugiakampio prie-ingsias virnes, vadinama sienos striaine (AiB ir D1C). Atkarpa, jungianti prizms bet kurias prieing-sias virnes, vadinama prizms striaine (BD1 ir AiQ.

Prizm kertant ploktuma, gaunamas pjvis (daugiakampis). C

CA

f ; /

Y i * '

bA

Pasvirosios prizms statmenuoju pjviu vadinamas jos pjvis, gautas perkirtus prizm oninms briaunoms statmena ploktuma. Prizms striiniu pjviu vadinamas jos pjvis, gautas perkirtus prizm ploktuma, einania per jos pagrind striaines. Staioji prizm. Tai prizm, kurios onins briaunos yra statmenos pa-grindams. Staiosios prizms viso paviriaus plotas S apskaiiuojamas pagal formul

Spav = P h + 2 Spagr; ia Spagr prizms pagrindo plotas, h auktin. Staiosios prizms tris Frandamas pagal formul V = Spasr h, o oninio paviriaus plotas SJON pagal formul Sion = P h.

A1 B1

B

C

a) trikamp Staiosios prizms: