7/24/2019 ARCHIVO 4 ORTOGONONALIZACION

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Ortogonalizacin :

Llamemos a una onda genrica que representa cada smbolo si(t); al pasar por

el canal probablemente se contaminar en forma aditiva con ruido blancogaussiano w(t).

El receptor debe cada ! segundos (tiempo entre smbolo " smbolo) a partir

de la suma de esas dos se#ales determinar cual fue el smbolo mi

transmitido;

en realidad se obtendr un estimado del mismo.

ING. CARLOS RODENAS REYNA

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Se puede representar cada forma de onda si(t) en funcin de un

con!unto finito de "ases ortonorma#es u!(t).

Esto tiene $arias $enta!as%

Se puede $isua#i&ar e# pro"#ema de transmisin de se'a#es deuna manera rfica* adems* #os c#cu#os in$o#ucrados se puedensimp#ificar.

+or otra parte e# pro"#ema de deteccin estar directamentere#acionado con #a distancia euc#idiana en este espacio.

Cada forma de onda tendr,a asociada una cierta com"inacin decoeficientes si!.

Esto es e-ui$a#ente a #a representacin de $ectores en funcin de"ases ortoona#es.

s(t) s s/0. sn 1 (t)

s/(t) s/ s//0..s/n 1/ (t). .

. 2 .

. .

sm(t) sm sm/0smn 1m (t)

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$upongamos que se tiene un con%unto de funciones ortonormales

es decir que cumplen en el intervalo (&!) lo siguiente'

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+odemos apro3imar una se'a# s(t) a tra$4s de este con!unto defunciones ortonorma#es* de ta# manera -ue #os coeficientes s!seconsiuen minimi&ando #a ener,a de #a se'a# de error respecto a s i.

Es decir cuando el coeficiente s%se

calcula pro"ectando la se#al sobre la

base ortonormal u%(t).

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Si #os $emos como $ectores% -ueremos representar s(t) enfuncin de dos $ectores en e# p#ano5 #a se'a# apro3imada es#a pro6eccin de s(t) en e# p#ano. O"ser$e -ue e# errorresu#ta ortoona# a# p#ano o espacio de se'a#es

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Procedimiento de ortogonalizacin de Gram-Schmidt:

Cua#-uier con!unto de se'a#es de ener,a puede representarsepor un con!unto de "ases ortonorma#es deri$adas de #as se'a#esoriina#es.En enera#%

Suponamos -ue tenemos un con!unto de se'a#es de ener,a

si(t) (7i7m) -ue -ueremos representar a tra$4s de un con!untode funciones "ases u!(7!7n)* en un inter$a#o de tiempo (8*9)de #a siuiente manera%

Suponamos -ue #as funciones "ases forman un con!unto defunciones ortonorma#es* es decir* -ue cump#en* en e# inter$a#o(8*9) #o siuiente%

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En enera# se :ace

;asta -ue se consia un ui(t)285 esto sinificar -ue se:a"r,a conseuido un con!unto comp#eto de funcionesortonorma#es.

E# procedimiento iterati$o puede resumirse en #as siuientesecuaciones%

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Suponamos a:ora -ue esta se'a# es en$iada por un cana#-ue suma ruido "#anco aussiano.

E# receptor de"e tener dos e#ementos fundamenta#es%

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Este receptor #o -ue :ace es "uscar #os coeficientes si-ue representan e#contenido de #a se'a# en #a "ase u i(t). Si #a se'a# ##ea #impia* #a sa#idasern #as componentes -ue representan a #a se'a# de entrada en e#espacio de se'a#es enerado.

En cam"io cuando #a se'a# se contamina* a cada rama inresa #a se'a#3(t)2s(t)=n(t).

Se rea#i&a #a intera# de# producto de #a misma con #a "ase u!(t)5#a sa#idaser% si!=>! para !20*N.

La componente de ruido so"re #a "ase u!(t) ser >!

La c#a$e est en representar e# ruido en "ase a #as se'a#es u?(t).

Lueo #a pro"a"i#idad de error se pondr en funcin de #as componentesde ruido encontradas.

(e3istirn a#unas componentes de# ruido n(t) -ue no tendrn pro6eccinso"re #as "ases ui(t) pero estas no ofrecern sa#ida a#una -ue tomar encuenta).

Si n(t) es un proceso a#eatorio ausseano con media nu#a* entonces

todas #as componentes nisern ausseanas de media nu#a.ING. CARLOS RODENAS REYNA