ARSiM IIIINUMERIČKI OSNOVI RAČUNARSKE TEHNIKE

PODACI I NJIHOVO PREDSTAVLJANJERiječ podatak potiče od množine latinske riječi datum (data mn.) što znači dio informacije.

Neki oblici podataka su:

tekstualnizvučni, slikovni ibrojevni.

Obrada podataka je proces pretvaranja podataka u informacije.

Da bi podatak postao informacija mora imati značenje novosti za primaoca, odnosno mora uticati na povećanje nivoa znanja primaoca.

VRSTE PODATAKA:Numerički podaci (brojevi)Znakovni podaci (alphabet (slova), znakovi interpunkcije…)Logički podaci (istina, laž)Slikovni podaci (fotografije,video-zapis…)Audio podaci

BROJNI SISTEMINEPOZICIONI BROJNI SISTEMI

Cifre uvijek predstavljaju istu vrijednost, bez obzira na kojoj poziciji u broju se nalaze.

Najpoznatiji nepozicioni brojni sistem je rimski brojni sistem.

cifra I V X L C D M

vrijednost 1 5 10 50 100 500 1000

RIMSKI BROJNI SISTEM:

dekadski

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

rimski I II III IV V VI VII VIII

IX X

dekadski

11 19 20 21 30 40 50 60 90 100

rimski XI XIX XX XXI

XXX

XL L LX XC C

dekadski

101

119

190

200

300

400

500

501

900

1000

rimski CI CXIX

CXC

CC CCC

CD D DI CM M

• Vigezimalni sistem, osnova 20.• Sabiranje i oduzimanje brojeva manjih od 20 bilo je jednostavno

Hibridni brojni sistemiKoriste sabiranje i množenje cifara da bi se predstavio broj.

Rimski brojni sistem koristi se za obilježavanje (spratova, poglavlja), ali ne i za računske operacije.Izvođenje aritmetičkih operacija sa rimskim brojevima bilo bi nepraktično. Zbog toga se ovaj sistem nije ni razvio u tom smjeru nego je tu ulogu preuzeo pozicioni brojni sistem.

POZICIONI BROJNI SISTEMITEŽINSKI BROJNI SISTEMICifra na različitim pozicijama ima različitu težinu!

Vrijednost svake cifre zavisi od njene veličine i njene pozicije u broju.Najpoznatiji pozicioni brojni sistem je dekadski (decimalni brojni sistem).U upotrebu je ušao veoma davno, najvjerovatnije zbog 10 prstiju na rukama.U Mesopotamiji su ljudi koristili sistem sa osnovom 60, a postoje zabilješke i o brojnim sistemima sa osnovom 20 (Maje).U računarstvu se još koriste binarni, oktalni i heksadecimalni brojni sistem. U principu je moguć brojni sistem na bilo kojoj bazi.Svaki brojni sistem karakterišu OSNOVA (BAZA) i skup simbola, tj. CIFRE (ALFABET). B cifara azbuke sistema čini njegovu osnovu. U decimalnom sistemu postoji 10 cifara (0,1,2,...9) koje čine azbuku decimalnog sistema, pa kažemo da je OSNOVA decimalnog sistema B=10.PRIMJER 1Koliko različitih brojeva je moguće prikazati korišćenjem n cifara u brojnom sistemu sa osnovom B?

Cifra najmanje težineCifra najveće težine

4915

PRIMJER 2a) Na 5 pozicija u dekadskom sistemu (osnova 10) moguće je prikazati? b) Na 3 pozicije u binarnom sistemu (osnova 2) moguće je prikazati?c) Na 32 pozicije u binarnom sistemu (osnova 2) moguće je prikazati?d) Na 8 pozicija u oktalnom sistemu (osnova 8) moguće je prikazati?e) Na 2 pozicije u heksadecimalnom sistemu (osnova 16) moguće je prikazati?f) Na 4 pozicije u ternarnom sistemu (osnova 3) moguće je prikazati?

Primjer brojeva u različitim brojnim sistemima

DEKADSKI EKVIVALENT

• metoda poređenja koja poredi traženi broj sa prvim manjim brojem koji je stepen dvojke sve dok rezultat nije jednak 1 ili 0.

KONVERZIJA U BINARNI BROJNI SISTEM

••metoda uzastopnog dijeljenja koja decimalni broj dijeli brojem 2 sve dok rezultat dijeljenja ne bude jednak nuli.Prevođenje cijelih decimalnih brojeva u broj neke druge baze, vrši se metodom ponovljenog dijeljenja tog decimalnog broja sa bazom sistema u koji želimo broj konvertovati. Pošto u ovom slučaju vršimo konverziju u binarni brojni sistem, decimalni broj dijelimo sa 2.

1. NACIN: INDIREKTNA KONVERZIJA

BINARNIDEKADSKIŽELJENI BROJNI SISTEM

2. NACIN: DIREKTNA KONVERZIJA U OKTALNI

Ako se radi o bazama koje su potencije broja ”2” (npr. 2, 4, 8, 16), tada se konverzija može vršiti direktno.

S tri bita možemo predstaviti svaku oktalnu cifru. Broj se podijeli u grupe od po 3 cifre.

PREDSTAVLJANJE U RAČUNARU

OSNOVNE INFORMACIONE JEDINICE

Bit (BInary digiT=b) je najmanja jedinica za pohranjivanje podataka i može poprimiti dva stanja:1 ili 0.U binarnom zapisu svaka 0 ili 1 predstavlja jedan BIT. Nosilac elementarne (binarne) informacije

Veće jedinice:kilobit - 1kb=103

b= 1000 bitamegabit – 1Mb=106

b= 1.000.000 bita gigabit –

1Gb=109

b=1.000.000.000 bita

Termin kilobit najčešće se koristi u digitalnim komunikacijama za izražavanje brzine prenosa podataka (kbps).

Bajt (B) je kombinacija od 8 bita i predstavlja osnovnu jedinicu memorije kojoj se može pristupiti (adresirati).

2000. god. IEC (International Electrotechnical Commission )– uvodi kibibajt (1024 bajta), mebibajt, gibibajt...

Jednim bajtom moguće je prikazati 256 (28

) različitih kombinacija binarnih brojeva.

Veličina memorije računara izražava se brojem bajtova (npr. 512 MB).

Nibl se sastoji od 4 bita.

Nibl (engl. zrno) se sastoji od 4 bita, dovoljno za jednu cifru heksadecimalnog brojnog sistema ili jednu cifru dekadnog broja zabeleženog u binarno-kodovanom dekadnom sistemu. Nibl je izuzetno praktičan jer se bajt sastoji od 8 bita pa se može predstaviti sa dva nibla po 4 bita. Tada se jedan bajt umjesto 8 binarnih cifara može zapisati sa 2 heksadecimalne cifre:

010010102

= 4A16

što se veoma često koristi u situacijama kada programeri barataju podacima na

najnižem nivou.

Broj bajtova koji se mogu pohraniti na tvrdi disk određuje njegov kapacitet (npr. 100 GB).

Disketa ima kapacitet 1.44 MB; CD ima kapacitet 700 MB; DVD ima 4,7 GB.

CJELOBROJNI PODACI (INTEGER)

neoznačeni cijeli brojevi (unsigned integer)

cijeli brojevi bez predznaka (pozitivni + nula)

označeni cijeli brojevi (signed integer)

cijeli brojevi sa predznakom (pozitivni + negativni + nula)

Podtipovi cjelobrojnog tipa:- Tradicionalna podjela cjelobrojnog tipa:Byte (B) – bajt, oktet; L=8 bitaWord (W) – riječ; L=16 bitaLong word (L) – dugačka riječ; L=32 bitaQuad word(Q) – četverostruka riječ; L=64 bita Octa word (O) – osmerostruka riječ; L=128 bita

-Novija podjela cjelobrojnog tipa s obzirom na standardnu 32-bitnu riječ:

Poluriječ (Half word); L=16 bitaRiječ (word); L=32 bitaDvostruka riječ (Double word); L=64 bita

Tako je nekad riječ bila 16 bita, a danas je 64. Veličina riječi određena je arhitekturom računara.Označava broj bita koje centralni procesor može istovremeno obraditi.

Te su veličine istorijski bile 4, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, a napredak tehnologije najavljuje i veće. Zbog istorijskih razloga (DOS i slično) zadržala se ponegdje i stara podjela gdje je riječ 16 bita.

neoznačeni cijeli brojevi (unsigned integer)

cijeli brojevi bez predznaka (pozitivni + nula)

Niz od 8, 16, 32 ili 64 bita.

bn-1

bn-2

···b1b0 Vrijednost:

V=bn-1

·2n-1

+···+ b1·2

1+ b

0·2

0

neoznačeni cijeli brojevi (unsigned integer)

cijeli brojevi bez predznaka (pozitivni + nula)

označeni cjelobrojni podaci (signed integer)

cijeli brojevi sa predznakom (pozitivni + nula + negativni)

U matematici, negativni brojevi se pišu sa predznakom minus.

Ako bi ovaj koncept – ideju pokušali da prebacimo u hipotetički računar, on bi bio skup u memorijskom smislu.

Trebao bi nam 1 bajt za predznak predstavljen preko ASCII koda i jedan bajt za sam broj.

VRIJEDNOST S PREDZNAKOM (SIGNED MAGNITUDE)

Sljedeće logično rješenje bi bilo da se iskoristi jedan bit iz postojećeg prostora za podatke da bi prikazali predznak.

Ovaj koncept ima veliki nedostatak – pozitivna i negativna nula.

Osim toga postupak sabiranja i oduzimanja je relativno komplikovan.

cijeli brojevi sa predznakom (pozitivni + nula + negativni)

Niz od 8, 16, 32 ili 64 bita. bn-1

bn-2

···b1b0

bn-1

ovdje je BIT ZNAKA. 0=pozitivan, 1=negativan

VRIJEDNOST S PREDZNAKOM (SIGNED MAGNITUDE)

pozitivna i negativna nula

PREDSTAVLJANJE DODAVANJEMexcess ili bias predstavljanjeVrijednost broja pomjerena za određenu vrijednost – bias.

Sve nule se dodaju najmanjoj negativnoj vrijednosti (bias), a zatim se uvecava po jedan.

(-128)10=000000002

(127)10=111111112

Ako dodajemo broj 128 onda je npr za 12: (+12)10 slijedi (128+12=140)10=(10001100)2 (-12)10 slijedi (128-12=116)10=(01110100)2

Lakše je uociti razliku među brojevima, binarne predstave za negativne brojeve su manje vrijednosti u odnosu na pozitivne brojeve.

Tehnika prvog komplementa:Negativan broj predstavljamo zamjenom svih nula

u jedinice i obratno.To

nazivamo komplementiranje bita. Takođe imemo dvije nule (+0 i -0). +0 00000000-0 11111111

Najčešće se koristi tehnika

drugog komplementa

Dobije se kao:prvi komplement +1

Vrijednost tako zapisanog broja se racuna ovako:

V= b0·20+···+ bn-2·2

n-2-bn-12n-

1

PREDSTAVLJANJE ZNAKOVA (KARAKTERA)

Računar raspolaže odgovarajućim skupom znakova:

• upravljački znakovi – npr. za upravljanje štampačem i sl.• slova, cifre, znakovi interpunkcije, grafički simboli

Znakovi se koduju

neoznačenim cjelobrojnim vrijednostima.Koriste se 6-bitni, 7-bitni, 8-bitni i 16-bitni kodovi.

• 6-bitni kodovimaksimalno 26 = 64 znaka (npr. 26 slova, 10

cifara i 28 drugih) • 7-bitni kodovi

maksimalno 27 = 128 znakov

• najpoznatiji ASCII (American Standard Code for Information Interchange)• ASCII kod je prvobitno bio 7-

bitni kod (jer ima 128 znakova, a oni se mogu kodovati sa 7 binarnih cifara).

Pošto je sadržavao samo internacionalnu latinicnu azbuku, ovaj kod je bilo nemoguce koristiti za druge jezike i pisma (osim engleskog).

• 8-bitni kodovimaksimalno 28 = 256 znakova

EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code), prošireni ASCII

• 16-bitni kodovimaksimalno 216 = 65536 znakova

UNICODE (Windows)

U poslednje vrijeme, a posebno za potrebe Interneta koristi se UNICODE.

Ovaj kod se pojavljuje u više varijanti, a UTF-16 je 16-bitna varijanta (Unicode Transformation Format).

Razlomljeni brojevi se dijele na -podatke u fiksnom zarezu (fixed point), i-podatke u pokretnom zarezu (floating point), koji mogu biti

jednostruke, ili dvostruke tačnosti.

Brojevi u fiksnom zarezu imaju najširu primjenu u administraciji.U njemu se tačno (i uvijek) zna broj "decimalnih" mjesta. Zato se ovi brojevi zovu brojevi u fiksnom zarezu (fixed point), jer zarez ne mijenja svoje mesto.U opštem slučaju fixed

point izgleda ovako:

Broj pozicija za cijeli dio (n-1, odnosno n uključujući i poziciju za znak) ibroj pozicija za razlomljeni dio (iza zareza), nisu u opštem slučaju određeni, iodređuje ih programer kada definiše tip podataka koje koristi u programu.

BCD kodovanje (Binary Coded Decimal)BCD se najčešće koristi kod kalkulatora i poslovnih aplikacija, jer postoje neki problemi kod predstavljanja decimalnih

brojeva sa konačnim brojem decimalnih mjesta u binarni sistem.

PREDSTAVLJANJE BROJEVA U POKRETNOM ZAREZU

Predstavljanje realnih brojeva. Floating Point=FP.Opšti oblik broja u pokretnom zarezu:V=(-1)S∙F∙BE

S: Znak:0 – pozitivan1 – negativan,B – brojna osnovaE - eksponentF – frakcija (mantisa)

IEEE 754 FP standard

Najpoznatiji standard i najšire primjenjivan u praksi (1985). Postoje 3 formata FP podataka:obična preciznost (single precision) – 32 bita

dvostruka preciznost (double precision) – 64 bita