Arif

[KELOMPOK 6 ; Fagil Rachman D.P & Fitri S.M] April 1, 2013

BAB II

PEMBAHASAN

Turunan Berarah dan Vektor Gradien

1.1 Turunan Berarah 2 variabel

Teorema 1

Definisi: andai f suatu fungsi dari z fariabel x dan y. bila ū adalah vektor

satuan cos Ɵi + sin Ɵj, maka turunan berarah dari f dalam arah ū ditentukan

oleh :

DU→ f ( x , y )=lim

h→ 0

f ( x+h cosƟ , y+h sinƟ )−f ( x , y )h

Contoh : tentukan DU→ f ( x , y ) jika f(x,y)=3x2 – y2 + 4x dan ū adalah vector

satuan arah 16

π .

Penyelesaian:

u⃗=cosƟi+sin Ɵju⃗=cosπ6

i+sinπ6

j

u⃗=cos30o i+sin 30o j

u⃗=12

√3 i+12

j


h→ 0

f ( x+hcosƟ , y+hsinƟ )−f (x , y )h

=limh → 0

f (x+ 12

√3 h , y+ 12

h)−f (x , y )

h

f (x+12

√3 h , y+ 12

h) → f ( x , y )=¿ 3x2 – y2 + 4x

¿3(x+ 12√3h)2 – (y+ 1

2h¿2 + 4(x+1

2√3 h¿

|Turunan Berarah dan Vektor Gradien 1


= 3(x2 + √3 xh + 34

h2) – (y2 + yh + 14

h2) + (4x + 2 √3h)

= 3x2 + 3√3 xh + 94

h2 – y2 - yh - 14

h2)+ 4x + 2 √3h

= 3x2 + 3√3 xh + 2 h2 – y2 - yh + 4x + 2 √3h

f (x+12

√3 h , y+ 12

h)−f ( x , y )

¿3x2 + 3√3 xh + 2 h2 – y2 - yh + 4x + 2 √3h - 3x2 + y2 - 4x

¿3√3 xh + 2 h2 – yh + 2 √3h

¿ h (3√3 x + 2 h – y + 2 √3 )

limh→ 0

f (x+12√3 h , y+ 1

2h)−f ( x , y )

h = lim

h→ 0

h (3√3 x+2 h– y+2√3)h

= 3√3 x + 2 .0 – y + 2 √3

= 3√3 x– y + 2 √3

Teorema 2

Definisi: andai f suatu fungsi dari z fariabel x dan y yang didiferensialkan dan

u⃗=cosƟi+sin Ɵj maka:

DU→ f ( x , y )=¿ fx (x,y) cosƟ + fy (x,y) sinƟ

Contoh : tentukan DU→ f ( x , y ) jika f(x,y) = 3x2 – y2 + 4x dan ū adalah vector

satuan arah 16

π .

Penyelesaian:

Mula – mula cari turunanya dahulu;

f(x,y)=3x2 – y2 + 4x

f’(x,y)=6x – 2y + 4



karena 4 turunan dari variabel x maka dapat di tulis 6x + 4 – 2y, maka

penyelesainya:


= (6x + 4) cos 16

π + (-2y) sin16

π .

= (6x + 4) 12√3 + (-2y)

12

= 3√3 x– y + 2 √3

1.2 Turunan Berarah 3 variabel

Definisi misalkan f adalah fungsi 3 variabel x, y dan z dan

u⃗ = cosα i + cosβ j + cosγ k. sebagai vector satuan, maka turunan berarah

dari u⃗ yang didefinisikan:

DU→ f ( x , y , z )=lim

h→ 0

f (x+h . cosα , y+h . cosβ , z+h . cosγ )−f ( x , y , z )h

Atau

DU→ f ( x , y , z )=f x (x , y , z ) cosα+f y ( x , y , z ) cosβ+ f z ( x , y , z ) cosγ

Contoh soal:

diketehui f ( x , y , z ) = 3x2 + xy – 2y 2 – yz + z2. Carilah laju perubahan

f ( x , y , z ) pada titik (1, -2, -1) dalam arah vektor 2i - 2j – k.

Penyelesaian:

Vektor satuan dalam arah vektor 2i - 2j – k.

ǀaǀ = √22+(−2)2+(−1)2 = √9 = 3

Jadi vektor satuannya 23

i−23

j−13

k



DU→ f ( x , y , z )=(6 x+ y ) cosα+ (x−4 y−z )cosβ+ (− y+2 z ) cos γ

¿ (6 x+ y ) 23+( x−4 y−z )(−2

3 )+(− y+2 z )(−13 )

= 123

x+ 23

y−23

x+83

y+ 23

z+13

y−23

z

= 103

x+113

y

Pada (1, -2, -1)

DU→ f ( x , y , z )=10

3.1+11

3. (−2 )

= 103

−223

=−123

=−4

1.3 Gradien Fungsi 2 Variabel

Definisi : Andaikan f adalah fungsi dari 2 variabel x dan y, fx dan fy ada

maka gradien f ditulis ∇ f dengan definisi :

∇ f =( ∂∂ x

i+ ∂∂ y

j) f ( x , y )

∇ f = ∂∂ x

f (x , y ) i+ ∂∂ y

f ( x , y ) j

atau

∇ f =f x ( x , y ) i+f y ( x , y ) j

Contoh Soal :

Diketahui f ( x , y )= 116

x2+ 19

y2

1) Carilah gradien f dititk (4,3)

2) Carilah laju perubahan f ( x , y )dalam arah 14

π pada titik (4,3)

Penyelesaian :



a) f ( x , y )= 116

x2+ 19

y2

∇ f =( 18

x )i+( 29

y ) j

pada titik (4,3)

∇ f =18

.4 i+ 29

.3 j

∇ f =12

i+ 23

j

b). Dū f ( x , y )=f x ( x , y )Cosϴ+ f y ( x , y ) Sinϴv

Dū f ( x , y )=18

xcos14

π+ 29

y sin14

π

Dū f ( x , y )=18

x (12

√2)+ 29

y ( 12

√2)Dū f ( x , y )= 1

16√2 x+ 1

9√2 y

Pada titik (4,3)

Dū f ( x , y )= 116

√2.4+ 19√2.3

Dū f ( x , y )=14

√2+ 13

√2

Dū f ( x , y )= 712

√2

14. Gradien Fungsi 3 Variabel

Definisi : Misalkan f adalah fungsi ari 3 variabel yaitu x, y dan z, dan

turunan-turunan parsial pertamanya maka gradien f ditentukan oleh ∇ f

dengan definisi :

∇ f =f x ( x , y , z ) i+ f y (x , y , z ) j+ f z ( x , y , z )k

Contoh Soal :

Diketahui f ( x , y , z )= y2+z2−4 xy P(-2, 1, 3) dan ū=27

i−67

j+ 37

k



a) Carilah gradien f pada P(-2, 1, 3)

b) Tentukan laju perubahan pada P dalam arah ū

Penyelasaian :

a) ∇ f =f x ( x , y , z ) i+ f y (x , y , z ) j+ f z ( x , y , z )k

∇ f =(−4 y )i+(2 y−4 x ) j+(2 z ) k

Pada P(-2, 1, 3)

∇ f =(−4.1 ) i+ (2.1−4 (−2 ) ) j+(2.3 ) k

∇ f =−4 i+10 j+6 k

b) Dū f ( x , y , z )=f x (x , y , z ) i+ f y ( x , y , z ) j+ f z ( x , y , z ) k

Dū f ( x , y , z )=−4 y ( 27 )+(2 y−4 x )(−6

7 )+2 z ( 37 )

Dū f ( x , y , z )=−87

y−127

y+ 247

x+ 67

zDū f ( x , y , z )=−207

y+ 247

x+ 67

z

Pada P(-2, 1, 3)

Dū f ( x , y , z )=−207

.1+ 247

(−2 )+ 67

.3

Dū f ( x , y , z )=−207

−487

+ 187

Dū f ( x , y , z )=−687

+ 187

Dū f ( x , y , z )=−507



BAB III

PENUTUP

a. Kesimpulan

Adapun kesimpulan dari makalah ini adalah:

1. Turunan berarah 2 variabel

Teorema 1

Definisi: andai f suatu fungsi dari z fariabel x dan y. bila ū adalah

vektor satuan cos Ɵi + sin Ɵj, maka turunan berarah dari f dalam arah

ū ditentukan oleh :


h→ 0

f ( x+hcosƟ , y+hsinƟ )−f (x , y )h

Teorema 2

Definisi: andai f suatu fungsi dari z fariabel x dan y yang

didiferensialkan dan u⃗=cosƟi+sin Ɵj maka:


2. Turunan berarah 3 variabel

Definisi misalkan f adalah fungsi 3 variabel x, y dan z dan

u⃗ = cosα i + cosβ j + cosγ k. sebagai vector satuan, maka turunan

berarah dari u⃗ yang didefinisikan:

DU→ f ( x , y , z )=lim

h→ 0

f (x+h . cosα , y+h . cosβ , z+h . cosγ )−f ( x , y , z )h

Atau

DU→ f ( x , y , z )=f x (x , y , z ) cosα+f y ( x , y , z ) cosβ+ f z ( x , y , z ) cosγ

3. Gradien fungsi 2 variabel



Definisi : Andaikan f adalah fungsi dari 2 variabel x dan y, fx dan fy

ada maka gradien f ditulis ∇ f dengan definisi :

∇ f =( ∂∂ x

i+ ∂∂ y

j) f ( x , y )

∇ f = ∂∂ x

f (x , y )i+ ∂∂ y

f ( x , y ) j

Atau

∇ f =f x ( x , y )i+f y ( x , y ) j

4. Gradien fungsi 3 variabel

Definisi : Misalkan f adalah fungsi ari 3 variabel yaitu x, y dan z, dan

turunan-turunan parsial pertamanya maka gradien f ditentukan oleh ∇ f

dengan definisi :

∇ f =f x ( x , y , z )i+ f y (x , y , z ) j+ f z ( x , y , z )k

5. Turunan berarah menggunakan aturan rantai

Review aturan rantai,

Teorema Aturan Rantai

Misalkan fungsi V adalah fungsi dari x dan y yang terdeferensial dan

didefinisikan oleh V = f (x,y) misalkan pula x = F (r,s) , y = G (r,s)

dan ∂ x∂r

,∂ x∂ s

,∂ y∂ r

dan∂ y∂ s

semuanya ada maka V suatu fungsi r dan s

serta:

1.∂ u∂ r

= ∂ u∂ x

.∂ x∂ r

+ ∂u∂ y

+ ∂ y∂ r

2.∂ u∂ s

= ∂ u∂ x

.∂ x∂ s

+ ∂ u∂ y

.∂ y∂ s

b. Penutup

Demikian makalah yang dapat penulis berikan. Penulis menyadari,

makalah ini tidaklah sempurna karena masih banyak kekurangan. Untuk

itu penulis mengharapakan kritik dan saran yang sifatnya membangun,

guna memperbaiki di masa mendatang. Ucapan terimakasih penulis



sampaikan kepada rekan-rekan kerja, dan dosen pembimbing yang telah

membantu dalam proses penyusunan makalah ini. Semoga makalah ini

bermanfaat, menginspirasi dan memperluas pengetahuan kita.

BAB 1

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pembelajaran pada saat ini tidak hanya diberikan oleh guru, tetapi

dengan kemajuan teknologi mahasiswa diharapkan bisa mandiri dan

bermotivasi mencari bahan pembelajaran dan mendiskusikannya. Oleh karena

itu, Mata Kuliah Kalkulus 3 ini pembelajarannya dilakukan dengan model

diskusi presentasi kelompok. Makalah ini dibuat sebagai hasil diskusi

kelompok kami tentang materi Turunan Berarah Dan Vektor Gradien yang

dipresentasikan.

Makalah ini akan menyajikan materi tentang Turunan Berarah Dan

Vektor Gradien. Dalam Turunan Berarah Dan Vektor Gradien akan dibahas 2

masalah beserta penyelesaiannya.

Makalah ini akan membahas secara detail materi- materi yang

disebutkan diatas. Tidak hanya definisi atau penjelasannya saja yang akan

dibahas, tetapi makalah ini juga akan memberikan beberapa contoh dan

penyelesaiannya serta beberapa latihan sehingga pembaca dapat paham betul

tentang materi tersebut.

B. Prasyarat

Materi prasyarat yang dibutuhkan agar dapat memahami makalah ini

adalah sebagai berikut :

1. Kalkulus 1

2. Kalkulus 2



C. Ruang Lingkup Pembahasan Dan Batasan

Dalam makalah ini pembahasan hanya dibatasi pada “Turunan Berarah

Dan Vektor Gradien”.

D. Maksud Dan Tujuan Penulisan

Pada dasarnya tujuan penulisan makalah ini dibagi menjadi dua, yaitu

tujuan umum dan tujuan khusus. Tujuan umum dari penulisan makalah ini

yaitu untuk memenuhi tugas mata kuliah “Kalkulus 3”. Sedangkan tujuan

khusus dari penulisan makalah ini diantaranya:

1. Mahasiswa dapat menyelesaikan tugas kelompok mata kuliah Kalkulus 3.

2. Mahasiswa dapat menjelaskan kembali definisi serta konsep Turunan

Berarah Dan Vektor Gradien.

3. Mahasiswa dapat mengetahui ketentuan dan teorema-teorema dalam

Turunan Berarah Dan Vektor Gradien.

4. Mahasiswa mampu menyelesaikan soal-soall yang berkaitan dengan

Turunan Berarah Dan Vektor Gradien.



DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR..............................................................................ii

DAFTAR ISI...........................................................................................iii

BAB 1 PENDAHULUAN.......................................................................iv

Latar Belakang .............................................................................iv

Prasyarat .......................................................................................iv

Ruang Lingkup Pembahasan Dan Batasan ..................................iv

Maksud Dan Tujuan Penulisan......................................................v

BAB II PEMBAHASAN.........................................................1

Turunan Berarah dan Vektor Gradien.......................................1

Turunan Berarah 2 variabel............................................................1

Turunan Berarah 3 variabel............................................................3

Gradien Fungsi 2 Variabel.............................................................4

Gradien Fungsi 3 Variabel.............................................................5

BAB III PENUTUP..................................................................................7

Kesimpulan ...................................................................................7

Penutup...........................................................................................8


Documents

Arif