ARTHUR BEN JAM IN & M ICH AEL SH ERM ER

FEJSZÁMOLÁSBO SZO RKÁ N YO S M ATEM ATIKA I TRÜ KKÖ K

Tudtad, hogy balról jobbra könnyebb összeadni és kivonni? Hinnéd, hogy másodpercek alatt gyerekjáték fejben négyzetreemelni egy háromjegyű számot?

A Fejszámolás - Boszorkányos matematikai trükkök című könyv birtokában nem kell matem atikazseninek lenned, mert egy­kettőre megtanulod, hogyan lehet fejben elvégezni a bonyolult számítási műveleteket.

Arthur Benjamin matematikus közreadja azokat a fogásokat, amelyekkel képes leszel szupergyors fejszámolásra és memóri­ád elképesztő működtetésére. A könyvből megismert trükkökkel elkápráztathatod barátaidat, de nagyon jól jönnek egy villám­gyors pókerjátékban, vagy fizetéskor az étteremben.

„Benjámin és Shermer fejszámolási fogásai a legugyetlenebbe- ket is felbátorítja. Könyvükkel nem csak az olvasók matematikai képességét fejlesztik, de megismertetnek a számok csodálatos világával is."

B rian G r een e ,A COLUMBIA EGYETEM H EKU SA ,

AZ E l EGANS UNIVERZUM CÍMŰ KÖNYV SZEMZŐJE

Arthur Benjamin a Harvey Mudd Főiskola matematikdprofesz* szora. Michael Shermer a Scientific American munkatársa.

www.partvonal.hu

ISBN 963 964-439-0

ARTHUR BENJAMIN & MICHAEL SHERMER

BOSZORKÁNYOS MATEMATIKAI TRÜKKÖK

9.

2

2 8

/12

Az írókról

Dr. ARTHUR BENJAMIN a kaliforniai Claremontban ta­lálható Harvey Mudd Főiskola matematikaprofesszora. M a­tematika PhD-jét 1989-ben a Hopkins Egyetemen szerezte meg. 2000-ben az Amerikai Matematikai Szövetség a Ki­emelkedő Főiskolai Oktatásért járó Haimo-díjjal jutalm az­ta. Emellett Arthur Benjamin hivatásos bűvész, aki gyakran szerepel a hollywoodi Magic Castle-ben. Világszerte bemu­tatta és elmagyarázta csodás fejszámoló tehetségét a közön­ségnek. A Reader's Digest 2005-ben ..Amerika legjobb ma­tekmágusának” nevezte.

Dr. MICHAEL SHERMER a Scientific American állandó szerzője és havi rovatának szerkesztője, a Skeptic magazin kiadója, a Skeptics Society (Szkeptikusok Társasága) ügy­vezető igazgatója, és a Caltech nyilvános előadás-sorozatá­nak házigazdája. Sok tudományos könyvet irt, többek között a Why People Believe Weird Things (Miért hisznek az emberek furcsa dolgokban?), How We believe (Hogyan hiszünk?), The Science o f Good and Evil (A Jó és a Rossz tudománya), The Borderlands o f Science (A tudomány ha­tárvidéke) és a Science Fiction (Tudományos-fantasztikus irodalom) című müveket.

Köszönetnyilvánítás

A könyv írói szeretnék megköszönni a Random House ki­adónál dolgozó Steve Ross és Katie McHugh támogatását. Különösen hálásak Natalya St.Claimek, aki az elsó kézira­tot tördelte, amelyet részben a Mellon Foundation által nyújtott támogatás fedezett.

Arthur Benjamin külön szeretne köszönetét mondani azok­nak. akik arra ösztönöztek, hogy matematikus és mágus legyen: William G. Chase kognitív pszichológusnak, Paul Gertner és James Randi mágusoknak, illetve Alan J. Gold­man cs Edward R. Scheinerman matematikusoknak. Kö­szöni továbbá a segítséget az összes kollégájának és diákjá­nak a Harvey Mudd Főiskolán, nem utolsó sorban pedig a folyamatos ösztönzést feleségének, Deenának, és leányai­nak, Laurelnek és Arielnek.

Tartalom

Előszó, írta Bili Nye (The Science Guy®) Előszó, írta James Randi Bevezető, írta Michael Shermer Bevezető, írta Arthur Benjamin

1 Gyors trükkök:Egyszerű (és látványos) számítások

2Egy kis adok-kapok:Mentális összeadás és kivonás

3Az elbaltázott ifjúság eredménye:Alapszorzások

4Új és továbbfejlesztett módszerek:Közepes szintű szorzások

5Oszd meg és uralkodj:Osztás fejben

6Nem is olyan rossz:A találgatás művészete

7Matek a táblán:Számolás papírral és ceruzával 163

8Egy felejthetetlen fejezet:Számok memorizálása 185

9A nehéz dolgok könnyűvé tétele:Emelt szintű szorzások 197

10Csiribí-csiribá:A matekmágia művészete 235

Utószó, írta Michael Shermer Hogyan segít a matek abban,hogy elmerenghessünk a furcsa dolgokon 259Megoldások 271Bibliográfia 309

Előszóírta Bill Nye (a Science Guy®)

Az egyik kedvenc időtöltésem, hogy azokra az emberekre gondolok, akiknek először jutott eszébe megszámolni a dol­gokat. Biztosan már az első pillanatban rájöttek, hogy az uj- jaiknak nagy hasznát vehetik. Talán Samu (egy tipikus ős­ember pasi), esetleg az egyik barátja vagy társa azt mondta: „Egy, kettő, három, négy... öten vagyunk itt, úgyhogy öt gyümölcsre van szükségünk.” Később valaki felkiáltott (vagy dünnyögött): „Figyeljetek! Az ujjainkon meg tudjuk számolni, hogy hány ember ül a tábortűznél, hány madár ül a faágon, hány követ tettünk sorba, mennyi faágat hoztunk tüzelőnek, vagy a fürtön mennyi szőlőszem van.” Csodás kezdet volt. s nagyon valószínű, hogy így ismertük meg a számokat.

Valószínűleg már hallottál arról, hogy a tudományok és a természet nyelve a matematika. Nos, ez igaz is. Minél töb­bet tudunk meg a világegyetemről, annál inkább bebizo­nyosodik, milyen szoros kapcsolatban áll a matematikával. A növényekben például olyan spirálok vannak, amelyek egy bizonyos számsor alapján sorakoznak fel (ezt Fibo- nacci-sorozatnak nevezzük), igy e spirálokat leírhatjuk, il­letve mi is létrehozhatjuk. A tengeri kagyló formája töké­letes matematikai görbéket alkot (logaritmikus spirálokat), amelyek a kémiai egyensúly miatt jönnek létre. Vagy ha fel­nézünk az égre, több millió, sőt akár milliárd kilométerről is megfigyelhetjük, ahogy a csillaghalmazok egy matemati­kai táncrend mentén rángatják egymást.

Több évszázadot töltöttünk el azzal, hogy megértsük a természet matematikai oldalát, és minden egyes felfedezés­

11

nél valakinek végig kellett számolnia az egyenletet, hogy biztosak lehessünk az eredmény helyességében. A Fejszá­molás segítséget nyújt neked abban, hogy otthonosan erezd magad a számok világában, és megismerd a természet szá­mos titkának némelyikét: ki tudja, ez a tudás milyen utakra vezet majd?

A válaszok a kisujjadban lesznek - és ez nem tréfa, mivel minden így kezdődött. Az embernek tíz ujja van, ezért az általunk leggyakrabban használt számrendszer szintén ennyi alapelemből áll: a nullával kezdődik és a kilencig tart. Őseink azonban elég gyorsan kifogytak az ujjakból, és valószínűleg ez történt Veled is. Mégsem lehel egyszerűen figyelmen kívül hagyni a nagy számokat és széttárni a kezünket, mondván, nincs is ennyi ujjunk (most viccelek).

Szükségünk van a számokra. Hétköznapi életünk részei, olyannyira, hogy már szinte észre sem vesszük. Figyelmesen hallgasd végig egyik barátoddal folytatott beszélgetésedet. Ha telefonon csevegtek, szükséged lesz a telefonszámára. A napnak azt a bizonyos időpontját, amikor felhívod, termé­szetesen órákban és percekben, vagyis számokkal fejezzük ki. Minden történelmi dátum - ide értve a fontosakat is, mint például a születésnapod számokban van megadva. Még olyan esetekben is számokat használunk, amikor az adott do­lognak semmi köze a számoláshoz: „Az egyik tizenkilenc, a másik egy híján húsz” - annyit tesz, hogy egyik sem jobb, mint a másik. Vagy az amerikai rendőrfiimekből megismert 10-4 (ten-four) kód, ami azt jelenti, hogy „igen, értettem” vagy „vettem”. Az emberek számokkal írják le egymás ma­gasságát, súlyát; és természetesen mindenki szereti tudni, hogy mennyi pénze van, vagy mennyibe kerül egy adott tárgy, legyen az dollárban, pesóban, jüanban, rúpiában, koro­nában, forintban, euróban vagy jenben. Ez a könyv abban is segítségedre lesz, hogyan takaríts meg időt, amikor nagy­számú nagy számot kell megjegyezned.

12

Ha valamilyen okból kifolyólag nem bolondulsz a szá­mokén, olvass még egy kicsit. Természetesen én, a Science Ciuy, abban reménykedem, hogy szereted a matekot. Vagyis abban reménykedem, hogy imádod. De igazából teljesen mindegy, mit érzel vele kapcsolatban, mert fogadni mernék, sokszor azonnal tudni szeretned a választ, és nem akarsz mindent aprólékosan leirni, majd lassan és figyelmesen ki­számolni. vagy esetleg megállni, hogy megragadj egy számológépet. Tudni akarod a választ, ahogy mi mondjuk „varázsütésre”. Az az igazság, hogy rengeteg matekfelada- tot meg lehet oldani egy szempillantás alatt, és ez a könyv megmutatja, hogyan kell ezt csinálni.

A varázslásban az a lenyűgöző és érdekes, hogy a kö­zönség ritkán tudja meg. mi volt a trükk („Hogyan csinálta? Nem tudom, de bámulatos!”). Ha van közönséged, a reak­ciókból látni fogod, hogy a könyvben szereplő trükkök és gyors megoldási módok nagyban hasonlítanak egy bűvész­mutatványhoz. A néző nem tudja, hogyan csináltad, egy­szerűen csak tetszik neki. Persze meg kell jegyeznem, hogy nem érdemes varázsolni, amikor senki sem figyel. És még valami: a Fejszámolás titkainak értékéből nem von le az, ha tudják, hogyan működik. Mikor a számtan könnyen megy, akkor nem akadunk el magával a számolással, és a számok csodálatos természetére koncentrálhatunk. Elvégre a matek működteti a világegyetemet.

Dr. Benjamin a villámgyors fejszámolást a hecc kedvé­ért kezdte el, mellyel bizonyára lenyűgözte tanárait és osz­tálytársait. A bűvészről általában a közönség néhány tagja azt hiszi, hogy emberfeletti ereje van, a matekmágusról pedig azt. hogy zseni. Ötleteink megosztásának egyik ősi módja az. ha felkeltjük a nézők figyelmét. Ha lenyűgözöd őket, akkor valószínűleg meghallgatják a mondandódat. Próbáld ki a matekmágiát! A barátaid valószínűleg el fog­nak ájulni, és ez rendben is van. De észre fogod venni, hogy

13

olyan problémákat is meg tudsz oldani, amelyről azt gon­doltad. soha nem fog menni. Végül le fogod nyűgözni... önmagadat.

Az ujjaidon való számolásnak megvan a saját értéke (egy ujjnyi). Megesik veled, hogy hangosan számolsz vagy mo­tyogsz - esetleg más hangokat adsz ki miközben össze­adod a számokat? Ez majdnem mindig megkönnyíti a mate­kozást, csak van vele egy kis gond: mások azt gondolhatják, hogy nincs ki az összes kereked. Dr. Benjáminnál megtanul­hatod ezt a „hangos működést” úgy kihasználni, hogy általa könnyebben, gyorsabban és pontosabban számolj, s mind­ezt úgy, hogy az agyad közben folyamatosan tovább gondol­kodhat.

Megtanulod ugyanúgy megoldani a matekfeladatokat, mint ahogyan olvasol, balról jobbra. Képes leszel nagy problémákat gyorsan kezelni jó, sőt kiváló becslések segít­ségével, amelyek hibahatára egy százalékon belül van. Megtanulod, hogyan kell a számtanpéldákat gyorsan meg­oldani, hogy több időt tölthess azzal, mit jelentenek a kapott értékek. Samu elgondolkodik: „Van elég gyümölcsünk, hogy a tűz körül ülők közül mindenkinek jusson egy? Ha nem, akkor lehet, hogy gond lesz.” Te elgondolkodhatsz: „Van elég hely a számitógépemen, hogy az összes zeném ráférjen? Ha nem. akkor lehet, hogy gond lesz.”

Mindez többről szól, mint puszta becslésről vagy szá­molgatásról. Megtanulhatod, hogyan kell kiszámolni valaki születési dátuma (év, hónap és nap) alapján, hogy a hét me­lyik napján látta meg a napvilágot. Kevesen tudják, hogy a Titanic 1912. április 15-én süllyedt el. azt pedig még keve­sebben. hogy ez hétfőn történt. Valószínűleg azt soha senki nem fogja elfeledni, hogy az Egyesült Államokat 2001. szeptember 11-én támadták meg. de a Fejszámolás titkainak segítségével te mindig be tudod bizonyítani, hogy ez egy keddi nap volt.

14

A természetben vannak olyan összefüggések, amelyeket a számok jobban kifejeznek, mint bármilyen más nyelv. Az egész számoknál eleinte segítenek az ujjaink (1, 2, 3 és a többi), de e számok között is végtelen sok szám van. A törtek, azután azok, amelyeknek soha sincs végük. Le­hetnek olyan nagyok, amekkorát csak akarunk, vagy olyan kicsik, hogy azt már el sem tudjuk képzelni. Ezeket mind megismerheted. A Fejszámolás elsajátításával a racionális számok (két egész szám hányadosa) olyan gyorsan eszedbe jutnak majd, hogy a fejedben kicsit több hely marad azon gondolkodni, miért működik így a világ, és rájössz arra, hogy a természetben mindennek megvan a végeredménye.

15

Előszóírta James Randi

A matematika egy bámulatos, elegáns és hihetetlenül prak­tikus nyelv. Megvan a saját szókincse, mondattana, igéi, fő­nevei, jelzői, saját dialektusa és pátosza. Sokan ügyesen használják, míg mások kevésbé. Néhányan félnek attól, hogy felfedezik el vontabb területeit, míg mások úgy hasz­nálják, mint egy fényes kardot, és megtámadják az adóbe­vallási iveket, vagy mint egy óriási adathalmazt, mely ellen­áll a kevésbé bátraknak. Ez a könyv nem ad garanciát arra, hogy olyan leszel, mint Leibniz, vagy felkerülsz a katedrá­ra. mint algebratanár, de - reményeink szerint - segit abban, hogy új, izgalmas, és egyben szórakoztató módon szemléld a számok világának csodálatos felfedezését.

Mindannyian úgy gondoljuk, eleget tudunk a számtanról ahhoz, hogy ne legyen vele gondunk, és nincs lelkiismeret- furdalásunk, ha előkapjuk az életünk szerves részévé vált számológépet. Ám ahogy a fényképek elvakíthatnak bennünket, és nem látjuk meg egy Vermeer-festmény szép­ségét, vagy ahogyan egy szintetizátor elfeledteti velünk egy Horovvitz-szonáta nagyszerűségét, a technika vívmányaiba vetett túlzott bizalom is megvonja tőlünk azokat az élvezeteket, amelyeket az itt szereplő oldalakon megtalál­hatunk.

Emlékszem, milyen hatalmas öröm volt gyermekkorom­ban, mikor megmutatták, úgy tudok egy számot 25-tel be­szorozni. hogy egyszerűen két nullát teszek a szám végére, és ezt néggyel osztom, vagy amikor megtanultam eldönteni, melyik szám osztható 9-cel, anélkül, hogy magát az osztást elvégezném. A keresztbe szorzás e lsa iá íí^ íV ö flí^ á ^ v le t-

17

tem, és egy rövid időre elviselhetetlen matekimádóvá vál­tam. Az effajta betegségre nincs védőoltás, az embernek egyedül kell kigyógyulnia a kórból, úgyhogy: vigyázat!

Ez egy szórakoztató könyv. Nem tartanád a kezedben, ha nem akarnád fejleszteni a matektudásodat, vagy csillapítani e lenyűgöző témával kapcsolatos kíváncsiságodat. Előfor­dulhat, hogy csak tíz százalékát jegyzed meg az itt leírtak­nak. ugyanúgy, mint más, gyakorlati útmutatót adó könyv esetében, de már ez is megéri azt az időt. amelyet ráfordí­tottál.

Mindkét írót elég jól ismerem. Arthur Benjamin nem csupán egyike azoknak a zsenigyerekeknek, akik miatt na­gyokat nyögtünk az iskolában. Ő az a típus, aki felmegy a hollywoodi Magic Castle (Varázskastély, a ford.) színpadá­ra, és bemutatja képességét - sőt egyszer még Japánba is elutazott, hogy egy élő televíziós műsorban összemérje tu­dását egy matematikus hölggyel. Michael Shermer, a tudo­mány kiváló ismeröjeként, remekül átlátja a matematika gyakorlati alkalmazását, igy segíteni tud nekünk abban, ho­gyan hasznosítsuk a hétköznapi életben.

Amennyiben ez az első találkozásod egy jóféle matekos cuccal, akkor nagyon irigyellek. Minden egyes új módszer, amellyel megtámadhatod a számokat, rá fog ébreszteni, hogy az iskolában valamiből kimaradtál. A matematika, fő­leg a számtan, egy erős és megbízható szerszám a minden­napi életben, lehetővé teszi, hogy magabiztosan és pontosan kézben tartsuk bonyolult életünket. Engedd meg, hogy Art és Michael megmutassa, hogyan tudod lerövidíteni az utat, hogyan vághatsz át a számok közlekedési dugóján. Tartsd észben Dr. Sámuel Johnson szavait, aki minden vonatko­zásban egy kiemelkedően gyakorlatias lélek: „A számtani gyakorlatok szórakozást nyújtanak a magányban, látvá­nyosságukkal pedig biztos sikerre számíthatunk a nyilvá­nosság előtt.”

18

Mindenekfelett élvezd a könyvet, hagyd, hogy szórakoz­tasson! Ez minden, amit az élettől kérhetünk: mulatság, néhány jó cselekedet, egy szelet pizza (szardínia nélkül!) és a barátok. Hát, majdnem minden. Talán még egy Ferrari...

19

Jó barátom, Dr. Arthur Benjamin, a claremonti Harvey Mudd Főiskola matematikaprofesszora mindig tapsvihar közepette megy föl a Magic Castle színpadára, ahol bemutatja a „ma­tekmágia”, vagy az ö szavaival élve. a gyors fejszámolás mű­vészetét. Art nem úgy néz ki. mint egy jó nevű főiskola tanára. Hihetetlenül gyors észjárású, és otthonosan mozog a Castlc-ben fellépi) többi fiatal bűvész között, hiszen ő maga is bűvész.

Artot az teszi különlegessé, hogy bármilyen közönség előtt bemutathatja műsorát - legyenek a nézők hivatásos matematikusok, vagy akár bűvészek - . mivel olyat tud. ami­re majdhogynem mindenki más képtelen. Gyorsabban tud számokat fejben összeadni, kivonni, szorozni és osztani, mint ahogy mások beütnék a számológépbe. Négyzetre tud emelni két-, három-, és négyjegyű számokat, illetve négy­zetgyököt és köbgyököt tud vonni anélkül, hogy a számítá­sait papírra vetné. És meg tud tanítani Téged is, hogy képes legyél saját matematikai mágiádra.

A múltban a bűvészek nem voltak hajlandók leleplezni trükkjeiket. Ha megtették volna, eltűnik a varázslat érdekes­sége és titokzatossága. De Art azt akarja, hogy az embereket lázba hozza a matek, és tudja, ezt úgy érheti el leginkább, ha felfedi „matekzsenialitásának” titkait. E mutatványok segítségével majdnem mindenki képes lesz arra, amire Art minden egyes alkalommal, amikor felmegy a színpadra va­rázsolni.

Azon a bizonyos estén a Magic Castle-ben Art azzal kezdte, hogy megkérdezte, van-e a közönség soraiban valakinél egy számológép. Egy mérnökcsoport jelentkezett, majd felmentek mellé a színpadra. Annak érdekében, hogy

Bevezetőírta Michael Shermer

20

kipróbálhassák, a számológépek biztosan jól működnek-e, Art megkérte a közönséget, mondjanak egy kétjegyű szá­mot. „Ötvenhét” - kiáltotta egy férfi. Ezután Art egy másik emberre mutatott, aki a huszonhármat választotta.

Art a színpadon állókra nézett, és azt mondta: „Szoroz­zák össze a kél számot, majd bizonyosodjanak meg arról, hogy az eredmény 1311, mert ha nem, akkor a számológé­pük elromlott.” Art türelmesen várt, mig az önkénlesek be­ütötték a számokat. Amikor az összes mérnök felolvasta a 1311 -et, a közönség visszafojtotta a lélegzetét. A bámulatos Art saját térfelükön verte meg a számológépeket!

Ezt követően Art közölte a közönséggel, hogy gyorsab­ban fog négy darab kétjegyű számot négyzetre emelni, mint amelyen gyorsan a gombnyomogatók teszik. A közönség a 24-et, 38-at, 67-et és a 97-et kiabálta be. Art pedig nagy be­tűkkel - hogy mindenki jól lássa - a kővetkező számokat irta a táblára: 576, 1444. 4489, 9409. Aztán odafordult a se­gítőihez, akik ekkor végeztek a számításokkal, és megkérte őket, mondják el az eredményeket. Válaszukat tapsvihar követette, amely természetesen Artnak szólt. A mellettem ülő nő tátott szájjal nézte az előadást.

Ekkor Art felajánlotta, hogy háromjegyű számokat emel négyzetre anélkül, hogy a végeredményt leírná. „Ötszázhet- venkettő” - mondta egy úr. A megoldás egy másodpercen belül érkezeit: „Az 572 négyzete 327 184”. Barátom azon­nal rámutatott a közönség egy másik tagjára, aki a 389-et kiáltotta, amelyet azonnali válasz követett: „Az eredmény 151 321”. Valaki más a 262-et mondta. „Ennek négyzete 68 644” - de mivel Art úgy érezte, ezzel a válasszal egy pil­lanatot késett, megígérte, hogy a következő számmal be­hozza a lemaradást. S azonnal jött is a kihívás: 991. Art kés­lekedés nélkül négyzetre emelte: „982 081”. Még néhány háromjegyű szám elhangzott, és Art hibátlanul megadta az eredményt. A nézők hitetlenkedve ingatták a fejüket.

21

Mivel a közönség már a tenyeréből evett. Art bejelen­tette. hogy megpróbál egy négyjegyű számot négyzetre emelni. Erre egy nő bekiabálta az 1036-ot, Art pedig azon­nal válaszolt: „Az 1 073 296”. A közönség felnevetett, mire Art magyarázkodni kezdett: „Nem, nem, ez egy túlságosan egyszerű szám volt. Ezekkel a számokkal nem hinném, hogy valóban legyőztem a számológépeket. Próbáljuk meg egy másikkal!” Egy férfi a 2843-at ajánlott. A számok kö­zött kis szüneteket tartva, Art a következőket mondta: „Néz­zük csak, ennek a négyzete 8 m illió... 82 ezer... 649.” A válasza természetesen helyes volt, és a közönség tombol­va fejezte ki elragadtatottságát - ugyanolyan hangosan, mint az előző bűvész esetében is, aki egy nőt fűrészelt ketté és eltüntetett egy kutyát.

Arthur Benjamin bárhová megy, legyen az egy gimnázi­um nagyterme, egy főiskolai tanterem, egy szakmai konfe­rencia, vagy a Magic Castle, mindig ugyanez történik. Egye­di bűvészmutatványát számos élő televíziós talkshow-ban is bemutatta szerte az Egyesült Államokban. 1961. március 19-én született (ami számításai szerint vasárnapra esett - ezt a trükköt a 10. fejezetben el is magyarázza majd). Hiperaktiv gyermekként megőrjítette tanárait bohóckodásával, és azzal, hogy kijavította számolási hibáikat, melyeket egyszer-egy- szer vétettek. Ebben a könyvben, miközben felfedi előttünk a matematikai titkait, elmeséli, hol és mikor jutott e képesség birtokába, ezért meghagyom neki, hogy lenyűgöző történetét maga mondja el.

Arthur Benjamin egy kivételes személy, aki egy kivéte­les program során megtanít a gyors fejszámolásra. Ezt a ki­jelentést minden tétovázás nélkül tetszem. Mindketten eg­zakt tudományok területén lettünk elismertek - Art a matematikában, én a tudománytörténetben ezért sohasem tennénk kockára szakmai tekintélyünket (vagy hírnevünket) azzal, hogy olyat állítunk, ami nem igaz. Vagyis, mindez

22

működik, és gyakorlatilag bárki képes rá, mivel a ..matek- zseni’* művészete egy elsajátítható készség. Úgyhogy javít­hatod a matektudásodat, lenyűgözheted a barátaidat, csi­szolhatod a memóriádat, és ami a legfontosabb, mind­eközben jól fogod érezni magad!

23

Bevezetőírta Dr. Arthur Benjamin

Gyerekkorom óta szeretek a számokkal játszani, és ebben a könyvben szeretném megosztani veled ezt a szenvedélye­met. Mindig is úgy éreztem, a számoknak mágikus vonz­ereje van, ezért megszámolhatatlan órát töltöttem el azzal, hogy magamat és másokat is csodálatos tulajdonságaikkal szórakoztattam. Kamaszkoromban büvészelőadásokat tar­tottam. később pedig összekötöttem a matek és a varázslat iránti imádatomat egy teljes estés előadás formájában, amely a Mathemagics (Matekmágia - a ford.) nevet kapta, ahol bemutattam és felfedtem a gyors fejszámolás titkait. Mióta megszereztem a PhD-met, matematikát tanítok a Harvey Mudd Főiskolán, és még mindig élvezettel adom át a számok iránt érzett szeretetemet bárhol és bárkinek a vilá­gon. Ebben a könyvben elárulom a titkaimat. Tisztában va­gyok azzal, hogy a bűvészeknek nem szabad leleplezni trükkjeiket, de a matekmágusok egy másik etikai elv szerint élnek. Ok nem titokzatosak, hanem lenyűgözők.

Hogy mit fogsz megtanulni ebből a könyvből? Gyorsab­ban fogsz fejben számolni, mint ahogy azt valaha is elkép­zelted. Egy kis gyakorlás után drasztikusan javul majd a számmemóriád, és elméd olyan bravúrokat fog megmutat­ni, amelyek lenyűgözik a barátaidat, kollégáidat és tanárai­dat. Emellett pedig megtanulod, hogy a matek mint elfog­laltság, valójában rendkívül szórakoztató tud lenni.

Általában a matekot úgy tanítják, mintha csupán egy merev szabálykészlet lenne, igy kevés lehetőség marad a kreatív gondolkodásra. De ahogy látni fogod, gyakran több­féle módon is meg lehet oldani ugyanazt a feladatot, és a

24

nehezebbeket le lehet bontani kisebb, kezelhető egysegek­re. A lényeg, hogy speciális jellemzőket keressünk, ame­lyekkel könnyebb eljutni a végeredményhez. Ennek a szem­léletmódnak a nagybetűs ÉLETben is hasznát látod, mert segítségével mindenféle problémát megközelíthetsz, legyen az matematikai, vagy valami más.

„De a matematikai készség velünk született tehetség?”- ez a kérdés rendszeresen elhangzik. Sokan meg vannak győződve arról, hogy a fejszámolók átlagon felüli adottsá­gokkal rendelkeznek. Talán én tényleg rendkívül érdeklődő embernek születtem, legyen szó akár matekfeladatról, vagy bűvészmutatványról, sokéves tanári tapasztalatom azonban meggyőzött arról, hogy a gyors fejszámolás egy olyan képesség, amelyet bárki elsajátíthat. Bizonyára te is tudod, ha kiemelkedő akarsz lenni valamiben, akkor sokat kell gyakorolni, és odaadóan kell foglalkozni a témával. Ám a kívánt eredmény elérése érdekében nagyon fontos, hogy megfelelő módon gyakorolj. Engedd meg, hogy megmutas­sam, hogyan csináld!

Matekos üdvözlettel.

Dr. Arthur Benjamin Claremont, Kalifornia, 2006.

25

1 .

Gyors trükkök: Egyszerű (és látványos) számítások

Ebben a fejezetben megtanítalak a gyors fejszámolás első lé­péseire. Ha szánsz egy kis időt a könyvben szereplő módszerek gyakorlására, sokkal könnyebben fogsz elbánni a számokkal, mint eddig; még több gyakorlással pedig képes leszel legyőzni azt, aki számológépet használ. Egyelőre azonban lássunk néhány egyszerű, mégis látványos számítást, amelyeket könnyű megtanulni. A komolyabb dolgokat hagyjuk későbbre.

AZONNALI SZORZÁSKezdjük az egyik kedvenc matekmutatványommal. Hogyan szorozzunk meg tizeneggyel egy kétjegyű számot fejben? Ez nagyon könnyű, ha ismered a trükköt. Nézzük a feladatot:

3 2 x 11

Egyszerűen add össze a két számot (3 + 2 = 5). majd he­lyezd az 5-öt a 3 és a 2 közé, és máris megvan a megoldás:

3 5 2

Van ennél egyszerűbb? Akkor most Te is próbáld meg:

5 3 x 11

Mivel 5 + 3 = 8, a megoldás egyszerű:

5 8 3

Na még egyet! Anélkül, hogy megnéznéd a választ, vagy bármit leírnál, mennyi

27

81 x 11 ?

Az eredmény 891? Gratulálok!

Még mielőtt nagyon izgatottá válsz, várj egy picit, mert még csak a felét mutattam meg annak, amit tudnod kell. Mi van, ha a feladat:

8 5 x 1 1 ?

Annak ellenére, hogy a 8 + 5 = J_3, a megoldás NEM 8135! Ahogy eddig mindig, a 3 most is a számok közé kerül, de az I-e t hozzá kell adni a 8-hoz, hogy megkapjuk a helyes választ, amely:

9 3 5

Gondolj a problémára a következő módon:

18 3 59 3 5

Itt van egy másik példa. Próbáld meg az 57 x 11-et.Mivel 5 + 7 = 12. a megoldás:

15 2 76 2 7

Rendben, akkor most amilyen gyorsan csak tudod, mennyi:

7 7 x 1 1 ?

Ha a válaszod 847, akkor veregesd meg a vállad. Úton vagy afelé, hogy matekmágus váljon belőled.

Tapasztalatból tudom, ha elmondod egy barátodnak vagy tanárodnak, hogy bármelyik kétjegyű számot meg tudod szorozni fejben 11 -gyei. akkor nemsokára azt fogják kérni.

28

oldd meg a 99 x 11-et. Csináljuk meg most. hogy felkészülj előre.

9 + 9 = 18. a megoldás:

19 8 9

1 0 8 9

Rendben, akkor szakíts néhány percet arra, hogy gyakorold az új mutatványodat, majd kezdj el dicsekedni. Meg fogsz lepődni a fogadtatáson. (Ne feledd: tőled függ, hogy elmon­dod-e a titkod, vagy sem!)

Örülök, hogy visszatértél. Most valószínűleg van néhány kérdésed, amelyeket szeretnél feltenni, mint például:Ezt a módszert használhatom három- vagy annál több j e ­gyű szám ok tizeneggyel való szorzására?Természetesen igen. Például, ha a feladat 314 x 11. a meg­oldás továbbra is 3-mal kezdődik, és a vége 4 lesz. Mivel 3 + 1 = 4 és 1 + 4 = 5, a megoldás 3454. De a nehezebb feladatokat hagyjuk meg későbbre.Ami ennél is praktikusabb kérdés, az a következő:Ez csodálatos arra az esetrey ha tizeneggyel kell szoroz­nom , de m i van a nagyobb számokkal? Hogyan kell tizen­kettővel, tizenhárom mal vagy tizennéggyel szorozni?A válaszom erre: Türelem! Erről szól a könyv többi része. A 3., 4., 7., és 9. fejezetben olyan módszereket tanulhatsz meg, melyek segítségével gyakorlatilag bármilyen két számot képes leszel hibátlanul összeszorozni fejben. S ami még jobb, nem kell minden egyes számhoz speciális szabályokat megje­gyezned. csupán néhány fogásra van szükséged.

NÉGYZETRE EMELÉS, ÉS MÉG NÉHÁNY DOLOGAzt már valószínűleg tudod, egy szám négyzetét úgy kapjuk meg, ha megszorozzuk önmagával. Például 72 = 7 x 7 = 49.

29

Később majd megtanítalak arra, hogyan tudod könnyedén kiszámolni bármilyen többjegyü szám négyzetét. A mód­szer akkor a legegyszerűbb, ha a szám kétjegyű és 5-re vég­ződik, ezért most ezt a trükköt csináljuk meg.

Csupán két dolgot kell szem előtt tartani:1. A megoldás eleje mindig az első szám x a nála eggyel

nagyobb számmal.2. A megoldás mindig 25-re végződik.

Például a 35 négyzetre emelésénél egyszerűen megszoroz­zuk az első számot (3-at) a nála eggyel nagyobb számmal (4-gyel), majd hozzábiggyesztjük a 25-öt. Mivel 3 x 4 = 12, ezért a megoldás: 1225. Lépéseinket a következőképpen tudnánk leírni:

35

x 35

3 x 4 = 1 2

5 x 5 =____25

M e g o ld ás : 1 2 2 5

Lássuk a 85 négyzetét! Mivel 8 x 9 = 72. azonnal tudjuk, hogy 85 x 85 = 7225.

85

X 85

8 x 9 = 72

5 x 5 =____ 25

M eg o ld ás : 7 2 2 5

Egy ehhez hasonló trükköt tudunk alkalmazni akkor, ha a kétjegyű számok első száma azonos, és a második számok összege 10. Vegyük például a 83 x 87-et. Mindkét szám 8-cal kezdődik, és 3 + 7 = 10. A megoldás ugyanúgy indul.

30

ahogy fent (az első számot megszorozzuk a nála eggyel nagyobb számmal), majd a két második számot össze­szorozzuk, ez lesz az eredmény vége. Tehát: 8 x 9 = 72 és 3 x 7 = 21, ezért a megoldás: 7221.

83

X 8 7

8 x 9 = 72

3 x 7 = 21

M egold ás : 7221

Ehhez hasonlóan, a 84 x 86 = 7224.Most te következel! Próbáld ki a következőt:

2 6 x 2 4

Mivel kezdődik a megoldás? A 2 x 3 = 6-tal. És mi lesz a vége? 6 x 4 = 24. Vagyis: 26 x 24 = 624.

Ne feledd, ahhoz, hogy ezt a módszert alkalmazni lehessen, az első számoknak azonosnak kell lenniük, és a második számok összege 10 kell. hogy legyen. És ekkor azonnal meg tudjuk állapítani, hogy:

31 x 3 9 = 1 2 0 9

3 2 x 38 = 1 2 1 6

3 3 x 3 7 = 1221

3 4 x 3 6 = 1 2 2 4

3 5 x 35 = 1225

Talán felmerült benned a következő kérdés:M i van akkor, ha az utolsó számok összege nem 10? Ezt a módszert használhatjuk a 22 x 23 megoldásához is?Nos, nem igazán. De a 9. fejezetben mutálok egy egysz.eiíi eljárást az ilyen esetekre. Ezt a közel egymáshoz mód­

31

szerének hivom. (Hogy kiderítsük, mennyi 22 x 23, el kell végezni a következő műveleteket: 20 x 25 és 2 x 3 , így megkapjuk, hogy 500 + 6 = 506, de most egy kicsit elő­reszaladtam, mindezt majd később!) Nemcsak azt fogod megtanulni, hogyan használd ezeket a fogásokat, hanem azt is meg fogod érteni, miért működnek.Vannak trükkök arra, hogyan kell fe jben összeadni és k i­vonni?Természetesen, és a következő fejezet pont erről szól. Ha arra kényszerítenének, összegezzem a módszeremet két szóban, akkor ezt mondanám: ..Balról jobbra.” Itt van egy kis ízelítőként az alábbi kivonás:

1241

- 5 8 7

A legtöbben ezt a feladatot nem akarnák fejben (vagy akár papiron!) megoldani, de egyszerűsítsük le a problémát: 587 helyett inkább vonjunk ki 600-at. Mivel 1200 - 600 = 600, ezért

1241

- 6 0 0

641

De így 13-mal többet vontunk ki (a 2. fejezetben megmu­tatom, hogyan lehet ezt gyorsan megállapitani), ezért a fáj­dalmasnak tűnő kivonási feladatunk egy könnyű össze­adássá változik, főleg akkor, ha balról jobbra csinálod.

641

+ 13

6 5 4

Tehát: 1241 - 5 8 7 = 654.

32

Egy csipetnyi matekmágiával, amelyet a 10. fejezetben megtalálsz, azonnal ki tudod majd számolni az alábbi tiz szám összegét is.

9

5

14

19

33

52

85

137

222 + 3 5 9

9 3 5

Habár most nem árulom el a titkot, adok egy kis segítséget: a megoldás (935) már szerepelt valahol ebben a fejezetben. A 7. fejezetben találsz majd több olyan trükköt, amely meg­könnyíti a papíron való számolást, és a következő két szám hányadosának megadása sem fog problémát jelenti szá­modra:

3 5 9 / 2 2 2 = 1,61 (két tizedesjegy pontosságig)

Az 5. fejezetben többet fogunk foglalkozni az osztással (be­leértve a tizedes és a közönséges törteket is).

MÉG NÉHÁNY PRAKTIKAItt van egy gyors tipp arra, hogyan számoljuk ki a borra­valót. Tegyük fel. hogy egy étteremben a számlánk 3000 Ft, és 15%-os borravalót akarunk adni a pincérnek. Először számoljuk ki. hogy mennyi a 3000 Ft 10%-a. Aztán a kapott

33

összeget (300) felezzük meg. így megvan a számla 5%-a, ami 150 Ft. Ha ezt a két számot összeadjuk, akkor 450-ct kapunk, pontosan a számla 15%-át.

A 6. fejezetben olyan stratégiákat fogunk megbeszélni, amelyekkel könnyedén kiszámolhatjuk a forgalmi adót, a leértékeléseket, a kamatos kamatot és más praktikus dolgo­kat, illetve olyan módszerekről is szó lesz, amelyek segít­ségével gyors becsléseket adhatunk azokban az esetekben, mikor nincs szükségünk a pontos végeredményre.

MEMÓRIÁNK CSISZOLÁSAA 8. fejezetben elsajátíthatsz egy hasznos technikát arra, hogyan memorizáld a számokat - mely a tantermen belül és kívül is jól jöhet. Ez egy tanulási segítő módszer, lényege pedig az, hogy a számokhoz szavakat társítunk, így bármi­lyen számol gyorsan és könnyedén meg tudunk jegyezni, legyen az egy dátum, tclefonszám, vagy akármi más.

S ha már a dátumokról beszélünk, szeretnéd, ha lenne a fejedben egy öröknaptár, hogy mindig tudd, egy adott dátum a hét mely napjára esik? Ez születésnapoknál, történelmi dátumoknál, leendő randevúknál és egyéb alkalmakkor is praktikus lehet. A 10. fejezetben részletesen elmagyarázom majd, de lássunk most egy egyszerű módszer arra, hogyan számoljuk ki, milyen napon lesz újév a 21. század bármelyik évében. Először ismerkedj meg a következő táblázattal:

Hétfő K e d d S ze rd a C sü tö rtö k Pén tek Szo m b at V a s á rn a p

1 2 3 4 5 6 7 vagy 0

Nézzük például, milyen napra esik 2030. január 1-je Ve­gyük az évszám két utolsó számjegyét, és tekintsünk rá úgy. mint egy éttermi számlára - ezúttal azonban legyünk turisták Amerikában, mert forintban kicsit kevés a végösszeg. Szóval, a számla értéke 30$. Most adjunk hozzá egy 25%-os bor­

34

ravalót. de tartsuk meg az aprót. (Ezt úgy lehel kiszámolni, hogy az összeget megfelezzük, majd megint, és figyelmen kivül hagyjuk az aprót: a 30$ fele 15S, ennek pedig 7,5$. Ha zsebre vágjuk az aprót, akkor a végeredmény 7$ lesz.) így a számla és a borravaló együtt 37$ lesz. Ezután vonjuk ki a végösszegből a 7-nek azt a legnagyobb szorzatát (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 ...), ami még nem ad negatív ered­ményt, és megkapjuk a napot. Ebben az esetben 7 x 5 , tehát 35-öt kell kivonnunk. 37 - 35 = 2, úgyhogy 2030. január 1. a második napon, vagyis kedden lesz:

számla: 3 0

borravaló: + 7

3 7

kivonjuk a 7 legnagyobb szorzatát: - 35

2 = kedd

Milyen napra esik 2043. január 1-jc?

számla: 43

borravaló: + 1 0

53

kivonjuk a 7 legnagyobb szorzatát: ~ 4 9

4 = csütörtök

Kivétel: Ha az adott év szökőév, akkor a borravalóból le kell vonnunk lS-t. majd a megadott módon kell folytatni a feladatot. Tehát: 2032. január 1. esetén a számla 32$, a bor­ravaló pedig 8$ (32-nek a 25%-a. apró nem maradt), amiből el kell venni az 1 dollárt. Az eredmény 32 + 7 = 39. Most kivonjuk a 7 legnagyobb szorzatát: 39 - 35 = 4. Ennek ér­telmében 2032. január 1. a hét 4. napjára esik, vagyis csü­törtökön lesz. Ha még többet akaisz tudni a/, üiükiiaptánól. akkor nézd meg a Csiribí-csiribá, A matekmágia művészete

cimü fejezetet. (Sőt, azzal sincs gond, ha azt a fejezetet olvasod először!)Tudom, hogy most mire gondolsz:Ezeket miért nem tanították meg nekünk az iskolában? Sajnos vannak olyan kérdések, amelyekre még én sem tudom a választ.

Készen állsz arra. hogy új dolgokat tanulj a varázslatos matekról? Hát akkor mire várunk? Csapjunk a lovak közé!

36

2.Egy kis adok-kapok: Összeadás és kivonás fejben

Amióta az eszemet tudom, mindig is könnyebben ment az összeadás és a kivonás, ha balról jobbra csináltam, és nem fordítva. Rájöttem, ha igy számolok, az órán már azelőtt be tudom kiabálni a választ, mielőtt az osztálytársaim letennék a ceruzát - és nekem még ceruza sem kellett!

Ebben a fejezetben megtanuljuk a balról jobbra tech­nikáját, hogy képes legyél összeadni és kivonni fejben min­den olyan számot, amellyel a hétköznapi életben szembe­találhatod magad. Ezek a fortélyok nemcsak a könyvben található trükkök elvégzéséhez szükségesek, de az iskolá­ban. a munkahelyen, vagy bármikor máskor is jól jöhetnek, amikor számokkal van dolgod. Nemsokára agyad teljes ka­pacitását kihasználod majd, amikor két-, három-, és négy­jegyű számokkal végzel villámgyors műveleteket, a számo­lógépet pedig nyugdíjba küldheted.

ÖSSZEADÁS BALRÓL JOBBRAÁltalában a papíron való számolást jobbról balra tanuljuk, s ezzel nincs is semmi gond. De ha fejben akarunk számolni (és sokkal gyorsabban, mint ahogy azt papíron tennénk), akkor több okunk is van arra, miért tegyük ezt pont az el­lenkező irányból. Elvégre balról jobbra olvassuk cl a szá­mokat, balról jobbra mondjuk ki őket, ezért sokkal termé­szetesebb, ha így gondolunk rájuk, és igy is számolunk velük. Ha fejben is jobbról balra oldod meg a feladatot, akkor visszafelé hozod létre a választ - ezért olyan nehéz

37

gyorsnak lenni. Ráadásul, ha meg akarunk becsülni egy eredményt, akkor sokkal fontosabb a/.t tudni, a megoldás „egy kicsit több, mint 1200”, mint azt, hogy „a megoldás 8- ra végződik". Ily módon, amikor balról jobbra fogsz hozzá egy példához, a legfontosabb számokkal foglalkozol. Ha megszoktad a hagyományos irányt, lehet, hogy eleinte eről- tetettnck tíinik majd az új. De miután gyakoroltad, rá fogsz jönni, ez a fejben számolás legtermészetesebb és leghatá­sosabb módszere.

Az első adag feladatnál - amikor kétjegyű számokat adunk össze - nem biztos, hogy a balról jobbra módszer előnyösnek tűnik. De légy türelmes! Ha kitartasz mellet­tem, látni fogod, ez az egyetlen egyszerű módja a háromje­gyű, vagy annál nagyobb számok összeadásának; minden kivonásnak; és egyértelműen minden egyes szorzásnak és osztásnak is, amit fejben akarunk elvégezni. Minél előbb megszokod ezt a módszert, annál jobb.

Kétjegyű szám ok összeadásaAbból a feltételezésből indulunk ki, tudod, hogyan kell egyjegyű számokat összeadni és kivonni, ezért a kétjegyű számok összeadásával fogjuk kezdeni - amelyről szintén azt gondolom, hogy már aránylag könnyen megy fejben. Azért van mégis szükség a következő feladatokra, mert ki­válóan alkalmasak a gyakorlásra, és mert a velük meg­szerzett készség nélkülözhetetlen lesz a nagyobb számok összeadásánál, valamint a későbbi fejezetekben szerep­lő összes szorzásnál és osztásnál. Emellett a fejszámolás alapvető elvét is megmutatja neked, mégpedig: egyszerű­sítsd a feladatot azzal, hogy kisebb, kezelhető egységekre szabdalod szét. Gyakorlatilag a könyvben szereplő összes módszernek ez a kulcsa. Egy régi mondást átírva, a siker­hez három dolog kell: egyszerűsítés, egyszerűsítés, egysze­rűsítés.

38

A kétjegyű számok összeadása akkor a legegyszerűbb, ha nincs maradék, amit át kell vinni, vagyis akkor, ha az azonos helyértékü számok összege nem haladja meg a 9-et. Például:

4 7

♦ 3 2 (30 ♦ 2)

Ennél a feladatnál a 47-hez előbb a 30-at, majd a 2-t adjuk hozzá. Ha igy teszünk, akkor az első lépés után (47 + 30) már egy egyszerűbb feladattal nézünk szembe (77 + 2), amelynek az eredménye 79. A megoldás illusztrálása:

4 7 + 3 2 = 7 7 + 2 = 7 9

(először hozzáadjuk a 30-at) (majd a 2-t)

A fenti ábra egyszerű bemutatása annak a mentális folya­matnak. amely módszerünk használata közben játszódik le, mig eljutunk a megoldáshoz. Bár a könyv forgatásához meg kell tanulnod elolvasni és megérteni ezeket az ábrákat, a módszer maga nem igényli, hogy bármit is leirj.

Akkor most próbáljunk meg egy olyan feladatot, amely­ben át kell vinni egy számot:

6 7

+ 2 8 (20 + 8)

Mivel balról jobbra adjuk össze a számokat, ezért az egysze­rűsítés módja a következő: 67 + 20 = 87, majd 87 + 8 = 95.

6 7 + 2 8 = 8 7 + 8 = 9 5

(először hozzáadjuk a 20-at) (majd a 8-at)

Most próbálj meg egy fejszámolást egyedül, majd nézd meg, mi hogyan csináltuk:

8 4

+ 5 7 (50 + 7)

39

Na, milyen volt? Első lépésként kiszámoltad, hogy 84 + 50 = 134, majd hozzáadtál 7-et (134 + 7 = 141).

Ha a maradék átvitele egy kissé megakaszt, akkor se aggódj emiatt. Valószínűleg ez az első alkalom, hogy rendezett módon próbálsz fejben számolni, és a legtöbb emberhez hasonlóan neked is eltart majd egy ideig, amíg ezt meg­szokod. Ugyanakkor egy kis gyakorlás után látni és hullani fogod a számokat gondolatban, és a maradékot automatiku­san a megfelelő helyértéken adod majd hozzá. Próbálj meg egy újabb feladatot, ismét számold ki fejben, aztán gyere vissza, és ellenőrizd le:

68

■f 4 5 (40 + 5)

Először 68 + 40 = 108, majd 108 + 5 = 113. Ugye milyen egyszerű? Ha szeretnéd kipróbálni magad néhány további összeadásban, akkor oldd meg az alábbi feladatokat. (A meg­oldások és a megoldás módja a könyv végén található.)

FELADATOK: KETJEGYU SZAMOK OSSZEADASA

1. 2. 3. 4. 5.

23 6 4 9 5 34 8 9

+ 16 + 4 3 + 3 2 + 2 6 + 78

6. 7. 8. 9. 10.73 4 7 19 55 3 9

+ 58 + 36 + 17 + 4 9 + 38

Háromjegyű szám ok összeadásaHáromjegyű szamok összeadásakor a stratégia ugyanaz, mint ami a kétjegyű számoknál volt, tehát itt is balról jobb­

40

ra haladunk. Minden egyes lépés után egy új (és egysze­rűbb) összeadáshoz jutunk. Nézzük a következőt:

5 3 8

♦ 3 2 7 (30 0 + 2 0 + 7)

Az 538-hoz először a 300-at, majd a 20-at, végül a 7-et adjuk hozzá. Az első művelet után (538 + 300 = 838) a fel­adatból 838 + 27 lesz, majd miután hozzáadtuk a 20-at (838 + 20 = 858), az összeadás még jobban leegyszerű­södik: 858 + 7 = 865. Ezt a gondolatmenetet a követke­zőképpen lehet ábrázolni:

5 3 8 + 3 2 7 = 8 3 8 + 2 7 = 8 5 8 + 7 = 8 6 5

+ 300 + 20 + 7

Minden összeadást meg lehet oldani fejben ezzel a mód­szerrel. A cél az, hogy addig egyszerűsítsük a feladatot, míg az egyik tag egyjegyű szám nem lesz. Figyeld meg, hogy az 583 + 327 hat szám fejbentartását igényli, mig a 838 + 27 és a 858 + 7 kiszámításakor csupán öl és négy számot kell megjegyezned. Ahogy egyszerűsíted a feladatot, úgy lesz egyre könnyebb!

Próbáld meg a következő feladatot fejben kiszámolni, még mielőtt megnéznéd, mi hogyan oldottuk meg:

6 2 3

+ 1 5 9 (10 0 + 5 0 + 9)

Csökkentetted és egyszerűsítetted a problémát azzal, hogy balról jobbra haladtál? Miután összeadtad a százasokat (623 + 100 = 723), maradt a 723 + 59. Ezután hozzá kellett adnod a tízeseket (723 + 50 = 773), amitől a feladat pofon­egyszerű lett (773 + 9), igy megszületett a végeredmény: a 782. A feladat ábrája a következőképpen néz ki:

6 2 3 + 1 5 9 = 7 2 3 + 5 9 = 7 7 3 + 9 = 7 8 2

+ 100 + 50 + 9

41

Mikor az ilyen feladatokat fejben oldom meg, akkor nem látni, hanem inkább hallani próbálom a számokat. A 623 + 159 így hangzik: hatszázhuszonhárom plusz egyszázötvenki- lenc. Kiemelem a „százat”, ezért tudom, hol kell kezdeni az összeadást. Hat plusz egy egyenlő hét, úgyhogy a következő feladat a hétszázhuszonhárom plusz ötvenkilenc, és igy to­vább. Mikor először oldasz meg így egy matematikai prob­lémát, mondd ki hangosan a számokat. Ha verbálisán meg­erősíted magad, sokkal gyorsabban megtanulod ezt a men­tális technikát.

A háromjegyű számok összeadása nem igazán lehet ne­hezebb, mint a következő példa:

8 5 8

+ 6 3 4

Nos, nézzük a megoldást:

8 5 8 + 6 3 4 = 1 4 5 8 + 3 4 = 1 4 8 8 + 4 = 1492

+ 600 + 30 + 4

Minden lépésnél hallom (és nem látom) az „új” feladatot. A fejemben a következőképpen hangzik:

8 5 8 plusz 6 3 4 egyenlő 14 5 8 plusz 3 4 egyenlő 1 4 8 8

plusz 4 egyenlő 1 4 9 2 .

Lehetséges, hogy a te „belső monológod” nem úgy hangzik, mint az enyém (és talán te inkább „látod” a számokat, nem pedig „hallod” őket), de bármit mondasz vagy vizualizálsz magadban, a lényeg, hogy feladat közben erősítsd meg a számokat, igy nem felejted el, hol tartasz, és nem kell újra­kezdened az egészet.

Lássunk még egy próbafeladatot:

7 5 9

+ 4 9 6 ( 4 0 0 + 9 0 + 6)

42

Először csináld meg fejben, majd nézd meg a mi számítá­sunkat:

7 5 9 + 4 9 6 = 1 1 5 9 + 9 6 = 1 2 4 9 + 6 = 1255

+ 400 + 9 0 + 6

Ez az összeadási feladat egy kicsit nehezebb, mint az előző, mivel ebben az esetben mind a három lépésnél van maradék. Ugyanakkor ennél a feladatnál lehetőséged van arra, hogy egy alternatív módszert alkalmazz. Biztosan egyetértesz az­zal, hogy sokkal könnyebb 500-at hozzáadni a 759-hez, mint 496-ot, ezért tegyük ezt. majd vonjuk ki a különbséget.

7 5 9

+ 4 9 6 ( 5 0 0 - 4)

7 5 9 + 4 9 6 = 1 2 5 9 - 4 = 1 2 5 5

(először odd hozzó oz 500-at) |mojd vond ki a 4-ef|

Eddig minden alkalommal a második számot bontottuk fel részekre, és így adtuk hozzá az elsőhöz. Valójában mindegy, hogy melyik számot választod, de célszerű következetesnek lenni, hogy az agyadnak ne kelljen a döntésre pazarolnia az időt. Ha az első szám sokkal egyszerűbb, mint a második, akkor néha felcserélem őket, mint az alábbi példában:

2 0 7

+ 5 2 8

2 0 7 + 5 2 8 = 5 2 8 + 2 0 7 = 7 2 8 + 7 = 7 3 5

(c$erc) + 200 + 7

Fejezzük be az összeadás típusú matematikai műveleteket azzal, hogy három- és négyjegyű számokat használunk. Mi­vel az emberi agy egy időben csupán hét-nyolc számot tud megjegyezni, ezért ezek a legnehezebb feladatok, amelye­ket segédeszköz - például az ujjaid, a számológép, vagy a 8. fejezetben bemutatott mnemotechnika - nélkül meg tudsz

43

oldani. A hétköznapi életben felmerülő összeadásoknál, kü­lönösen pedig a szorzási feladatoknál, sokszor az egyik vagy mindkét szám nullával végződik, úgyhogy az effajta felada­tokat fogjuk gyakorolni. Kezdjük egy könnyűvel:

2 7 0 0

+ 5 6 7

Mivel 27 száz + 5 száz = 32 száz, egyszerűen csak hoz­zátesszük a 67-et, igy az eredményünk 32 száz 67, vagyis 3267 lesz. A következő feladatokban ugyanezt a módszert alkalmazhatjuk.

(Az angol nyelvben az ezres helyértéket százasokban is kifejezhetik, például az ezerötszáz helyett tizenötszázat mon­danak. Bár a magyar nyelvben ez nem használatos, mégis megkönnyítheti a számolást - a ford .)

3 2 4 0 3 2 4 0

±____ 18 +____ 72

40 + 18 = 58. az első feladat megoldása tehát 3258. A második lépésnél viszont látjuk, hogy a 40 + 72 meghaladja a 100-at, ezért tudjuk, hogy a megoldás 33 száz és még valamennyi lesz. Mivel 40 + 72 = 112, ezért a végeredmény: 3312.

tizek a feladatok azért egyszerűek, mert a (nem nullás) helyértékek csupán egyetlen helyen fedik egymást, s igy egy lépéssel meg lehet oldani az összeadást. Azokban az esetekben, ahol ezek a (nem nulla) helyértékek két helyen is fedik egymást, két lépésre van szükség. Például:

4 5 6 0

+ 171 (10 0 + 71)

A lépések sorrendje az alábbi ábrán látható:

4 5 6 0 + 171 = 4 6 6 0 + 71 = 4731

♦ 100 +71

44

Gyakorold a következő háromjegyű összeadásokat egészen addig, mig elég magabiztos nem vagy a fejszámolásban, és már nem kell a papírra tekingetned - és ha gondolod, adj hozzájuk még néhányat (a poén nem véletlen!). A megoldá­sokat a könyv végén találod.

FELADATOK: HÁROMJEGYŰ SZAMOK OSSZEADASA

1. 2. 3. 4. 5.

2 4 2 3 1 2 6 3 5 4 5 7 9 1 2

+ 137 + 2 5 6 + 8 1 4 + 241 + 4 7 5

6. 7. 8. 9. 10.

8 5 2 4 5 7 8 7 8 2 7 6 8 7 7

+ 3 7 8 + 2 6 9 + 7 9 7 + 6 8 9 + 5 3 9

11. 12. 13. 14. 15.

5 4 0 0 1 8 0 0 6 1 2 0 7 8 3 0 4 2 4 0

+ 2 5 2 + 8 5 5 + 136 + 3 4 8 + 371

KIVONÁS BALRÓL JOBBRAA legtöbbünk számára könnyebb összeadni, mint kivonni. Ám ha továbbra is balról jobbra számolsz, és a feladatot egyszerűbb részfeladatokra bontod, akkor a kivonás majd­nem olyan egyszerűvé válik, mint az összeadás.

C arl Friedrich G a u ss , a m atem atiku s cso d a g y e re k

A csodagyerekek hihetetlenül tehetséges fiatalok, aki szinte mindig felülmúlják kortársaikat, és általában zse­

45

ninek tartják őket. A német matematikus, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) is egy ilyen gyermek volt. Gyakran azzal dicsekedett, hogy előbb tudott számolni, mint be­szélni. Háromévesen - mielőtt még egyáltalán találkoz­hatott volna a számtannal - kijelentette, hogy édesapja fizetési jegyzékében „a számítás hibás", és kijavította. A számok ellenőrzése után bebizonyosodott, hogy neki volt igaza.Tízéves diákként Gaussnak a következő matematikai fel­adattal kellett megbirkóznia: mi a számok összege 1-től 100-ig? Miközben az osztálytársai papírt és ceruzát ragadtak, majd gyorsan számolni kezdtek, Gauss az 1 és 50 közötti számokat fejben, balról jobbra egymás mellé helyezte, aztán az 51 és 100 közötti számokat jobbról balra közvetlenül alájuk képzelte, majd azt vette észre, hogy a két sor egymás alatt lévő elemeinek össze­ge mindig 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 és így tovább). Mivel 50 kombináció van, a megoldás 101 x 50 = 5050. Mindenki legnagyobb meglepetésére - beleértve a ta­nárt is - a fiatal Carl nem csak hihetetlenül gyors volt, de az egész számítást fejben végezte el. Az eredményt ráír­ta az írótáblájára, majd a tanár asztalára hajította, s kihívóan azt mondta „Tessék, ott van.". A tanár elismeré­se jeléül saját pénzéből megvette a lehető legjobb szám­tankönyvet, és Gaussnak ajándékozta, majd hozzáfűzte: „Túltett rajtam, én nem tudok újat mondani neki."Gauss mások tanára lett, idővel pedig a történelem egyik legnagyobb matematikusa. Elméletei a mai napig a tu­domány alapjának számítanak. Azon vágya, hogy a matematika nyelvén keresztül jobban megértse a termé­szetet, a mottójául választott shakespeare-i sorokban összegződik: „Természet, istenem vagy: hódolok / Tör­vényednek." (Lear király, I. felvonás 2. b í̂ii, fordította Vörösmarty Mihály)

46

Kétjegyű szám ok kivonásaMikor kétjegyű számokat vonunk ki egymásból, a cél az, hogy a feladatot egy egyjegyű szám kivonásáig (vagy hozzáadásáig) egyszerűsítsük. Kezdjük egy nagyon könnyű példával:

86

- 2 5 (20 + 5)

Minden egyes lépés után egy új, de egyszerűbb feladattal találjuk szemben magunkat. Először vonjuk ki a 20-at (86 - 20 = 66). majd az 5-öt, amivel elérünk a legegyszerűbb mű­velethez, az egyjegyű szám kivonásához: 66 - 5. A megol­dás 61. Ábrával szemléltetve:

8 6 - 2 5 = 6 6 - 5 = 6 1

(először kivonunk 20-ot) (majd kivonunk 5-öt)

Természetesen sokkal egyszerűbbek azok a kivonási felada­tok, ahol nem kell az egyik helyértékről a másikra számot átvinni. Ha viszont az utolsó helyértéken szereplő számok közül a kivonandó a nagyobb, akkor ezt nem úszhatjuk meg (például a 74 - 26-nál az utolsó helyértéken szereplő szá­mok a 4 és a 6, és az utóbbi a nagyobb). A jó hir az. hogy az ilyen „nehéz” kivonásokat át lehet alakítani „könnyű” összeadássá, az alábbi módon:

86

- 2 9 (20 + 9) v a g y ( 3 0 - 1 )

Ezt a feladatot két különböző módon is meg lehet oldani fejben:

1. 8 6 - 2 9 = 6 6 - 9 = 5 7(először kivonunk 20-ot) (mojd 9-ot)

De én inkább a következő módszert választanám:

2. 8 6 - 2 9 = 5 6 + 1 = 5 7(először kivonunk 30-of] (mojd hozzáadunk 1 -et)

47

Itt egy szabály, hogyan alakítsd át összeadássá a kivonást: Ha a kétjegyű számok kivonásakor a feladat megkíván­

ná az átvitelt, akkor inkább az egész kivonandó számot ke­rekítsd fel a 10 következő, legkisebb többszörösére, végezd el a kivonást, majd add hozzá a végeredményhez a felke­rekített és az eredeti szám különbségét. Ez igy kicsit bo­nyolultnak tűnhet, de lássuk egy példával szemléltetve:

Az 54 - 28 esetében a 8 nagyobb, mint a 4, ezért inkább a 28-at felkerekítjük 30-ra. majd kiszámoljuk, hogy 54 - 30 = 24. Mivel azonban a 30 kettővel több, mint a 28 - vagyis kettővel többet vontunk ki. mint kellett volna ezért a részvégeredményhez hozzáadunk 2-t, és igy megkapjuk a végeredményt: a 26-ot.

54

- 2 8 (30 - 2)

5 4 - 28 = 2 4 + 2 = 26

- 3 0 + 2

Most próbáld ki magad (vagy a fejed) a következő feladat­tal: 81 - 37. Mivel a 7 nagyobb, mint az 1. ezért a 37-et felkerekítjük 40-re, kivonjuk a 81-ből (81 - 40 = 41), majd hozzáadjuk a különbséget (3), és igy megkapjuk a végered­ményt:

81 - 3 7 = 41 + 3 = 4 4

- 4 0 + 3

Egy kis gyakorlás után mindkét módszert kényelmesen tu­dod majd használni.

FELADATOK: KETJEGYU SZAMOK KIVONASA

1. 2. 3. 4. 5.3 8 8 4 9 2 6 7 79

- 2 3 - 5 9 - 3 4 - 4 8 - 2 9

48

6. 7. 8. 9. 10.

6 3 51 8 9 125 148

- 4 6 - 2 7 - 4 8 - 7 9 - 86

Háromjegyű szám ok kivonásaAkkor most próbáljuk meg kivonni egymásból kél három­jegyű számot.

9 5 8

- 4 1 7 ( 4 0 0 + 10 + 7)

Ennél a feladatnál nem kell semmilyen számot átvinnünk (mivel annak a számnak, amit kivonunk, minden helyérté­kén kisebb szám szerepel), ezért ezt a feladatot könnyedén meg tudod oldani. Egyszerűen az azonos helyértéken sze­replő számokai vond ki egymásból, s ezzel balról jobbra haladva folyamatosan egyszerűsíted a feladatot.

9 5 8 - 4 1 7 = 5 5 8 - 17 = 5 4 8 - 7 = 541

- 4 0 0 - 1 7 - 7

Most nézzünk egy olyan kivonást, amelyben át kell vinni egyik helyértékről a másikra:

7 4 7

- 5 9 8 (6 0 0 - 2)

Első ránézésre valószínűleg kifejezetten kemény feladatnak tűnhet, de ha előbb kivonunk 600-at (747 - 600 = 147), majd hozzáadunk 2-t (147 + 2 = 149), akkor megkapjuk a végeredményt.

7 4 7 - 5 9 8 = 1 4 7 + 2 = 1 4 9 - 6 0 0 + 2

Most próbálj meg egyet egyedül:8 5 3

- 6 9 2

49

Először a 853-ból kivontál 700-at, ugye? Ha igen, akkor az eredmény 153 lett. Mivel azonban 8-cal többet vontál ki, mint amennyit kellett volna, hozzáadtál az eredményhez ugyanennyit, hogy a végeredményed 161 legyen.

8 5 3 - 6 9 2 = 15 3 + 8 = 161

- 7 0 0 + 8

Igazság szerint eddig megkönnyítettem a helyzetedet azzal, hogy olyan számokat kellett kivonnod, amelyek közel vol­tak a 100 többszöröseihez. (Észrevetted?) De mi történik az olyan feladatoknál, mint például:

7 2 5

- 4 6 8 ( 4 0 0 + 6 0 + 8) v a g y (50 0 - ?)

Ha egyenként, a helyértékek mentén haladsz, és ezzel folya­matosan egyszerűsítesz, akkor így fog kinézni a gondolat­meneted:

7 2 5 - 4 6 8 = 3 2 5 - 6 8 = 2 6 5 - 8 = 2 5 7

(először kivonod a 400-ot) (mojd a ó0-at) (végül a 8 at)

Mi történik akkor, ha 500-ra kerekítesz, és azt vonod ki?

7 2 5 - 4 6 8 = 2 2 5 + ? = ?

(kivonsz 500-of| (majd hozzóodsz ?)

Az 500 kivonása gyerekjáték: 725 - 500 = 225. Csakhogy igy túl sokat vonlunk le, és a trükk cppen az, hogy rájöjjünk, pontosan mennyivel többet.

Első ránézésre a válasz korántsem tűnik egyszerűnek. A megoldáshoz ugyanis tudnunk kell. hogy a 468 milyen messze van az 500-tól. Létezik erre egy remek kis techni­ka, a „kiegészítők”, vagyis a komplementerek használata, amelynek hála, sok háromjegyű szám kivonása egyszerűb­bé válik.

50

A komplementerek használataEzek a számok mennyire vannak a száztól? Gyorsan vála­szolj !

5 7 6 8 4 9 21 79

A válaszok:5 7 6 8 4 9 21 79

+ 4 3 ♦ 3 2 + 51 + 7 9 + 21

100 100 100 100 100

Figyeld meg, hogy minden olyan számpárnál, amelynek tagjait összeadva 100-at kapsz, az első helyértéknél (bal oldal) a számok összege 9, a másodiknál (jobb oldal) pedig10. Ezért a 43 az 57 komplementere, a 32 a 68-é, és igy to­vább.

Most keresd meg a következdő kétjegyű számok komp­lementerét:

3 7 5 9 9 3 4 4 08

Ahhoz, hogy megtaláld a 37 komplementerét, tudnod kell, mennyit kell hozzáadnod a 3-hoz, hogy az eredmény 9 le­gyen (a megoldás 6.) Ezután a 7-hez, hogy 10 legyen (3). Ennek értelmében a 37 komplementer száma a 63.

A többi megoldás: 4 1 ,7 , 56, 92. Figyeld meg, hogy a komplementerek kiszámítása is balról jobbra történik - hasonlóan mindenhez, amit matekmágusként teszel. Láttuk tehát, hogy az első helyérték összege 9, és a másodiké10 (kivételt képeznek azok a számok, amelyek 0-val vég­ződnek, például 30 + 70 = 100, de ezek a komplementerek egyszerűek!).

De mi közük van a komplementer számoknak a kivo­náshoz? Nos, segítenek abban, hogy a bonyolult kivonási feladatokat átváltoztasd egyszerű összeadásokká. Nézzük meg a legutóbbi feladatot, amely egy kis fejtörést okozott:

51

7 2 5

- 4 6 8 ( 5 0 0 - 32)

Azzal kezdteti, hogy 468 helyett 500-at vontál ki, és igy az eredmény 225 lett. Mivel azonban igy túl sokat vettél el, pótolni kellene a hiányt. Ne aggódj, a komplementerek se­gítségével egy pillanat alatt meg is lesz a válasz. Mennyi kell ahhoz, hogy a 468-ból 500 legyen? Ugyanannyi, mint amennyi a 68 és a 100 távolsága. Ha úgy keresed a 68 komp­lementerét, ahogy mulattam, akkor látni fogod, hogy ez a 32. Ezt követően hozzáadjuk a 32-t a 225-höz, és az ered­mény 257 lesz, ami egyben a végeredményünk is.

7 2 5 - 4 6 8 = 2 2 5 + 3 2 = 2 5 7

(először kivonjuk oz 500-at) (mcjd hozzáadjuk a 32-t)

Nézzünk egy másik háromjegyű kivonást:

821

- 2 5 9 ( 3 0 0 - 4 1 )

Próbáld meg fejben kiszámolni! Először a 821-ből vonj ki 300-at, így megkapod az 521-ct, majd add hozzá az 59 komplementeréi (41), és így megkapod a végeredményt, az 562-t. A folyamat a következőképp fest:

821 - 2 5 9 = 521 + 41 = 5 6 2

- 3 0 0 +41

Itt van még egy feladat, amelyet kipróbálhatsz:

6 4 5

- 3 7 2 ( 4 0 0 - 28)

Ellenőrizd le a végeredményt és a folyamatot a követke­zőkön:

6 4 5 - 3 7 2 = 2 4 5 + 28 = 2 6 5 + 8 = 2 7 3

- 400 ♦ 20 + 8

52

Egy háromjegyű számot kivonni egy négyjegyű számból majdnem ugyanilyen egyszerű, ahogy a következő példán is látni fogod:

12 4 6

- 5 7 9 ( 6 0 0 - 2 1 )

A felfelé kerekítéssel 600-at vonsz ki az 1264-ből, megma­rad 646, és ehhez hozzáadod a 79 komplementerét, a 21-et. A megoldás: 646 + 21 = 667.

1 2 4 6 - 5 7 9 = 6 4 6 + 21 = 6 6 7

- 6 0 0 ♦ 21

Oldd meg az alábbi példákat, aztán találj ki Te magad is feladatokat, hogy tovább gyakorolhasd a kivonást (vagy az összeadást?).

FELADATOK: HÁROMJEGYŰ SZÁMOK KIVONÁSA

1. 5 8 3

- 271

2 .

9 3 6

- 7 2 5

3.

5 8 7

- 2 9 8

4 .

7 6 3

- 4 8 6

5.

2 0 4

- 185

6.7 9 3

- 4 0 2

7.

2 1 9

- 176

8.

9 7 8

- 7 8 4

9.

4 5 5

- 3 1 9

10.7 7 2

- 5 9 6

11. 12. 13. 14. 15.

8 7 3 5 6 4 1 4 2 8 2 3 4 5 1 7 7 6

- 3 5 7 - 2 2 8 - 571 - 6 7 8 - 9 8 7

3.Az elbaltázott ifjúság eredménye: Alapszorzások

Gyermekkoromban valószínűleg túl sok időt töltöttem az­zal, hogy kifejlesszem a gyors fejben szorzás művészetét. Megállapították, hogy hiperaktiv vagyok, és a szüleimmel közölték, csak rövid ideig vagyok képes egyetlen dologra koncentrálni, ezért az iskolában vélhetően nem leszek sike­res. (Szerencsémre a szüleim figyelmen kívül hagyták a , jó ” tanácsot, és az első iskolai éveimben a világ legtü- relmesebb tanárai tanitottak.) De talán pont ez a kevésbé kitartó figyelem volt az. ami a gyors számolás kifejlesz­tésére késztetett, mert nem hinném, hogy elég türelmem lett volna írásban megoldani a feladatokat. Ha egyszer te is mesterévé válsz a fejezetben szereplő technikák alkalma­zásának, nem lesz többé szükséged papírra és ceruzára.

Megtanulhatod, hogyan szorozz össze egyjegyű számo­kat két- és háromjegyű számokkal, és elsajátíthatod azt a módszert is, amellyel a kétjegyű számok négyzetre emelése hihetetlen gyorsasággal elvégezhető. A barátaid még szá­mológéppel sem tudnak majd lépést tartani veled. Hidd el. mindenki ámulni fog azon. hogy ezek a feladatok nemcsak hogy fejben, de hamar kiszámolhatok. Néha eltűnődöm, va­jon az iskolában nem vágtak-e át minket, hiszen ezek a módszerek olyan egyszerűek, mint az egyszeregy.

Egyetlen feltétele van a most következő trükkök elsajátítá­sának: tudnod kell fejből a tizes szorzótáblát. Sőt, hogy gyor­san haladhassunk, elölről hátúira, hátulról előre és még talán keresztbe sem ártana kapásból tudni a választ. Azok. akiknek

54

egy kissé fel kell eleveníteni az általános iskolai tananyagot, nézzek meg a lenti táblázatot. Ha már betéve tudod a szor­zótáblát, kezdhetjük is.

Tízes szorzótáblaX 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

KÉTJEGYŰ SZÁMOK SZORZÁSA EGYJEGYŰ SZÁMOKKALHa végigszámoltad az előző fejezetet, megszokhattad, hogy az összeadást és a kivonást balról jobbra végezzük. Nos, a szorzással sincs ez másképp. Kétségtelenül ez pont az ellenkezője annak, amit az iskolában tanultál, de nemsokára látni fogod, hogy mennyivel könnyebb balról jobbra gondol­kodni, mint jobbról balra. (Az egyik előnye például, hogy már azelőtt elkezdheted hangosan kimondani a választ, mielőtt még befejezted volna a számolást. Így még gyorsabb fejszámolónak tűnsz, mint amilyen valójában vagy!)

Küzdjünk meg az első feladattal:

4 2

x 7

55

Nézzük: 40 x 7 = 280 (figyeld meg, hogy a 40 x 7 ugyan­olyan, mint a 4 x 7. csupán csatlakozott hozzá egy barátságos nulla). Számoljuk ki a 2 x 7-et, majd adjuk össze a 280-at és a 14-et (természetesen balról jobbra), és megkapjuk a 294-et. A megoldást a következő módon illusztrálhatjuk:

4 2 (40 + 2)

X____ 7

4 0 x 7 = 2 8 0

2 x 7 = + 14

2 9 4

Az ábrán nem tüntettük fel a 280 + 14 kiszámolásának módját, mivel az összeadást már az előző fejezetben meg­tanultad. Eleinte szükséged lesz arra, hogy rápillants a pa­pírra, de ha elég gyakorlatot szerzel, ki tudod hagyni ezt a lépést, és az egész feladatot képes leszel fejben megoldani. Próbáljunk meg egy újabb szorzást: 48 x 4

48 (40 + 8)

X 4

Első lépésként a szorzást olyan részfeladatokra kell bonta­nod, amelyeket fejben könnyedén meg tudsz oldani. Mivel a 48 = 40 + 8, ezért szorozd meg a 40-et 4-gyel (160), majd add hozzá a 8 x 4 = 32-t. A megoldás 192. (Ha kíváncsi vagy rá, miért működik ez az eljárás, nézd meg a fejezet végén található Miért működnek ezek a trükkök? című részt.

4 8 (40 + 8)

X 4

4 0 x 4 = 160

8 x 4 = + 3 2

192

56

Itt van még két feladat, amiket aránylag gyorsan meg fogsz tudni oldani. Először számold ki a 62 x 3-at, majd oldd meg a 71 x 9-et. Próbáld meg fejben elvégezni a szorzásokat, és csak aztán nézd meg, mi hogyan csináltuk:

6 2 (60 + 2) 71 (70 + 1)

x 3 x 9

180 7 0 x 9 = 6 3 0

+ 6 1 x 9 = + 9

186 6 3 9

Ezek a példák azért kifejezetten egyszerűek, mert a szorzá­sok végén maradó számokat (180 + 6) könnyű összeadni, a megoldást szinte halljuk: száznyolcvan... hat! Ugyanilyen gyorsan el lehet végezni fejben az olyan szorzásokat is. ahol az egyik tag 5-tel kezdődik. Ha az ötöt páros számmal szorozzuk, az első részeredmény mindenképpen a 100 valamelyik szorzata lesz, igy az összeadás úgy megy majd, mint a karikacsapás.

58 (50 + 8)

x 4

5 0 x 4 = 2 0 0

8 x 4 = + 3 2

2 3 2

Próbáld ki magad a következő feladattal:

8 7 x 5

6 0 x 3 =

2 x 3 =

57

8 7 (80 + 7)

X 5

8 0 x 5 = 4 0 0

7 x 5 = + 35

4 3 5

Figyeld meg. hogy ez a feladat mennyivel könnyebb balról jobbra fejben, mint jobbról balra papíron. Sokkal kevesebb időbe telik kiszámolni mennyi 400 + 35, mint leírni az 5-öt, majd átvinni a 3-at.

A következő két feladat egy kicsit nehezebb:

Mint mindig, ezeket a példákat is lebontjuk könnyebb részfeladatokra. A 38 x 9 megoldásához, először kiszá­moljuk a 30 x 9. majd a 8 x 9-et, igy az eredmény 270 + 72. Az összeadási feladat itt egy kicsit nehezebb, mint koráb­ban. mivel át kell vinni a maradékot. Ebben az esetben 270 + 70 + 2 = 340 + 2 = 342.

Egy kis tréning után sokkal ügyesebb leszel az ilyen mutatványok megoldásában, és az olyan összeadásokat is kirázod majd a kisujjadból, ahol a maradékot át kell vinni a következő helyértékre.

Kerekítsünk felfeléAz előző fejezetben már láttad, milyen praktikus a kivoná­soknál a kerekítés. Ugyanez igaz a szorzásokra is, főleg akkor, ha olyan számokat szorzol, amelyek vége 8 vagy 9.

38 x 9 és 6 7 x 8

3 8 (30 + 8)

X_____ ?

6 7 (60 + 7)

x___ 83 0 x 9 = 2 7 0

8 x 9 = ± _ 7 2

3 4 2

6 0 x 8 = 4 8 0

7 x 8 = + 5 6

5 3 6

58

Nézzük meg a lent kidolgozott 69 x 6-ot. A bal oldalon van az idáig használt módszer, amelyben összeadjuk a 360 + 54-et, ugyanakkor a jobb oldalon a 69-et felkerekí­tettük 70-re, és a 420-ból vontunk ki 6-ot. Ez egyszerűbb, nem?

6 9 (60 + 9) vagy 6 9 (70 - 1)

x 6 x___6

6 0 x 6 = 3 6 0 7 0 x 6 = 4 2 0

9 x 6 = + 5 4 - 1 x 6 = - 6

4 1 4 4 1 4

A következő feladat (78 x 9) is azt példázza, hogy a felfelé kerekítés mennyire megkönnyítheti a dolgodat:

78 (70 + 8) vagy 78 (80 - 2)

X 9 X 9

70 x 9 = 6 3 0 8 0 x 9 = 7 2 0

8 x 9 = + 7 2 - 2 x 9 = - 18

7 0 2 7 0 2

Ez a kivonásos módszer kifejezetten jól működik azoknál a feladatoknál, amelyekben a kétjegyű szám közel van a 10 valamelyik szorzatához. Ha viszont több mint 2-vel kell felfelé kerekíteni, akkor a művelet végén szereplő kivonás válik komplikáltabbá. Ezért maradhatsz az összeadás mel­lett is, te döntőd cl. Én személy szerint ilyenkor kizárólag az összeadásos módszert használom, mert annyi idő alatt, amíg kitalálom, melyik út lenne a legjobb, régen meg lehet oldani a feladatot!

A technika tökéletesítéséhez gyakorold a kétjegyű és egyjegyű számok szorzását. Találsz lent 20 feladatot, ame­lyeknek akár most azonnal nekiveselkedhetsz. A megoldá­sokat és részmegoldásokat a könyv végén találod. Ha még

59

többet szeretnél gyakorolni, találj ki saját feladatokat. Fej­ben számolj, majd egy számológéppel ellenőrizd le a meg­oldást. Miután magabiztosan és gyorsan meg tudod oldani ezeket a szorzásokat, készen állsz arra, hogy a fejszámolás következő szintjére lépj.

FELADATOK: KÉTJEGYŰ SZÁMOK

SZORZÁSA EGYJEGYŰ SZÁMOKKAL

I . 2. 3. 4. 5.

82 4 3 6 7 71 9 3

x 9 x 7 x 5 x 3 x 8

6. 7. 8. 9. 10.

4 9 28 53 8 4 58

x 9 x 4 x 5 x 5 x 6

I I . 12. 13. 14. 15.

9 7 7 8 9 6 75 5 7

x 4 x 2 x 9 x 4 x 7

ló . 17. 18. 19. 20.

3 7 4 6 7 6 2 9 6 4

x 6 x 2 x 8 x 3 x 8

60

HÁROMJEGYŰ SZAMOK SZORZASA EGYJEGYŰ SZÁMOKKALMost, hogy már kétjegyű számokat könnyedén szorzol egy­jegyű számokkal fejben, rá fogsz jönni, hogy a három- és egyjegyű számok összeszorzása sem sokkal nehezebb. A kö­vetkező feladattal (amely valójában egy álruhába bújt kétje­gyű szám szorzása) el is kezdheted a gyakorlást: 320 x 7

3 2 0 ( 3 0 0 + 20)

X _____ 7

3 0 0 x 7 = 2 1 0 0

2 0 x 7 = + 140

2 2 4 0

Könnyen ment? (Ha ezzel a feladattal meggyűlt a bajod, akkor lehet, hogy át kellene nézned a 2. fejezetben található összeadásokat.) Próbáljunk meg egy újabb szorzást, ami annyiban tér el az előző példától, hogy a 0-át felcseréltük egy 6-ossal, igy egy újabb lépést kell beiktatnod a meg­oldáshoz. 326 x 7

3 2 6 (30 0 + 2 0 + 6)

X_____ 7

3 0 0 x 7 = 2 1 0 0

2 0 x 7 = + 140

2 2 4 0

6 x 7 = +____4 2

2 2 8 2

Mivel nincs maradék, amelyet át kellene vinni, ezért ez a feladat egyszerű: össze kell adni a 6 x 7 eredményét (42) az első két szorzás összegéhez (2282), igy megkapjuk a vég­eredményt, a 2282-t.

61

Itt. és más háromjegyű számok szorzásakor az jelenthet problémát, hogy az első összeget fejben tartsuk (ebben az esetben a 2240-et), miközben a következő szorzást elvégez­zük (a 6 x 7-et). Nincs varázslat arra, hogyan lehet az első számot megjegyezni, de Ígérem: a sok gyakorlástól a kon­centrációs készséged is javulni fog, így könnyedén fejben tartasz majd számokat úgy. hogy közben egy másik részfel­adatot végzel.

Nézzük a következő példát: 647 x 4

6 4 7 (60 0 + 4 0 + 7)

x_____ 4

6 0 0 x 4 = 2 4 0 0

4 0 x 4 = + 16 0

2 5 6 0

7 x 4 = +____ 28

2 5 8 8

A folyam at egyszerű még akkor is, ha olyan nagy számokkal kell dolgoznunk, mint például: 987 x 9

9 8 7 (90 0 + 8 0 + 7)

X_______?

9 0 0 x 9 = 8 1 0 0

8 0 x 9 = + 7 2 0

8 8 2 0

7 x 9 = + 6 3

8 8 8 3

Valószínűleg néha a papírra kell majd pillantanod, mintegy emlékeztetőül, mi is volt az eredeti feladat. Ez eleinte telje-

62

sen rendben van, de idővel próbálj megszabadulni ettől a szokástól, hogy minél előbb kizárólag fejben számolj.

Az előző részben, a kétjegyű és egyjegyű számok szor­zásánál láthattuk, hogy azok a feladatok, ahol a kétjegyű szám 5-tel kezdődik vagy az egyjegyű szám 5, könnyebben megoldhatók. Ugyanez igaz a háromjegyű számok esetében is. 563 x 6

5 6 3 ( 5 0 0 + 6 0 + 3)

x____6

5 0 0 x 6 = 3 0 0 0

6 0 x 6 = 3 6 0

3 x 6 = + 18 3 3 7 8

Figyeld meg. hogy amikor egy szorzás első részeredménye 1000-rel osztható (3000). akkor a feladat utolsó lépéseként elvégzendő összeadás (3000 + 360 + 18) egyáltalán nem jelent gondot. Ez azért van, mert nincs maradék, amelyet tovább kellene vinned, igy az ezres helyértéken nincs vál­tozás. Ha mások előtt számolod ki ezt a szorzást, teljes ma­gabiztossággal kimondhatod hangosan a végeredmény elejét: „Háromezer...”, mivel biztos lehetsz abban, hogy nem lesz mégis négyezer a végén. (Ráadásul azt az illúziót keltheted, hogy már kiszámoltad az egészet!) Még olyankor is érdemes hangosan gondolkodni, ha egyedül gyakorolsz - igy fel­szabadítasz egy kis helyet a memóriádban a következő részfeladat, a megmaradt kétjegyű és egyjegyű szám szor­záshoz, amelyet aztán hozzátoldhatsz a megoldás elejéhez:

. .háromszázhetvennyolc” .Próbáld meg ezt az eljárást a következő szorzásnál, ahol

most a szorzó lesz öt: 663 x 5

63

6 6 3 ( 6 0 0 + 6 0 + 3)

X____ 56 0 0 x 5 = 3 0 0 0

6 0 x 5 = 3 0 0

3 x 5 = +___153 3 1 5

Mivel az első két számjegy ugyanaz (663). amint nekifogsz a számolásnak, máris mondhatod a végeredményt, mivel az utolsó részfeladatot (az összeadást) nem kell külön el­végezned - gyakorlatilag már a szorzások alatt megcsinál­tad. Szeretnéd, ha minden szorzás ilyen egyszerű lenne, ugye?

De inkább emeljük a tétet olyan feladatokkal, ahol van maradék: 184 x 7 és 684 x 9

1 8 4 (1 0 0 + 8 0 + 4)

X____7

1 0 0 x 7 = 7 0 0

8 0 x 7 = + 5 6 0

1 2 6 0

4 x 7 = + 28

1288

6 8 4 ( 6 0 0 + 8 0 + 4)

X_____9

6 0 0 x 9 = 5 4 0 0

8 0 x 9 = + 7 2 0

6 1 2 0

4 x 9 = +____ 3 6

6 1 5 6

64

A kővetkező két feladatban nem az elején, hanem a végén kell továbbvinned a maradékot: 648 x 9 és 376 x 4

6 4 8 (6 0 0 + 4 0 + 8)

X_____ 9

6 0 0 x 9 = 5 4 0 0

4 0 x 9 = + 3 6 0

5 7 6 0

8 x 9 = +____ 7 2

5 8 3 2

3 7 6 ( 3 0 0 + 7 0 + 6)

X______ 4

3 0 0 x 4 = 1 2 0 0

7 0 x 4 = + 2 8 0

1 4 8 0

6 x 4 = +____ 2 4

1 5 0 4

Mindkét feladat eleje elég egyszerű ahhoz, hogy gyorsan kiszámold. A nehézséget inkább az jelenti, hogy fejben kell tartanod az első részeredményt, miközben a végeredmény­nyel foglalkozol. Azt könnyű kiszámolni, hogy 5400 + 360 = 5760, de lehet, hogy többször el kell ismételned magad­ban az 5760-at, miközben megoldod a 8 x 9 = 72-t, hogy aztán hozzáadd (5760 + 72). Ennél az összeadásnál tudjuk, hogy át kell majd vinnünk a maradékot, ezért világos, hogy az 5700-ból 5800 lesz. Tehát most is elkezdhetjük mondani a megoldás elejét: „Ötezer nyolcszáz...” , majd megállunk, kiszámoljuk 60 + 72 = 132-t. Mivel a maradékot már hoz­záadtuk, csupán az utolsó két számot kell hozzátennünk a mondat végéhez: „harminckettő”, és meg is van a válasz (5832).

65

A következő két példánál két számot kell átvinned, ezért lehetséges, hogy tovább fog tartani, mint azok, amelyeket már megoldottál. De minél többet gyakorolsz, annál gyor­sabb leszel!

4 8 9 (4 0 0 + 8 0 + 9)

X_____ 7

4 0 0 x 7 = 2 8 0 0

8 0 x 7 = + 5 6 0

3 3 6 0

9 x 7 = + 6 3

3 4 2 3

2 2 4 (2 0 0 + 2 0 + 4)

x_____ ?

2 0 0 x 9 = 1 8 0 0

2 0 x 9 = + 18 0

1 9 8 0

4 x 9 = + 3 6

2 0 1 6

Mikor először fogsz neki ezeknek a feladatoknak, mondd ki hangosan a részeredményeket, miközben a számolás többi részét megoldod. Például az elsőnél kezdd azzal, hogy néhány­szor elismétled „kétezer-nyolcszáz plusz ötszázhatvan”, igy mialatt összeadod, egyúttal az emlékezetedbe is vésed a szá­mokat. Az eredményt szintén ismételd „háromezer-három- százhatvan”, miközben kiszámolod, hogy 9 x 7 = 63. Ezután addig hajtogasd, hogy „háromezer-hatszázhatvan plusz hat­vanhárom”, míg el nem jutsz a végeredményhez, a 3423-hoz. Ha elég gyorsan tudsz gondolkodni, rögtön sejteni fogod, hogy a 60 cs a 63 összeadásánál át kell vinned a maiadékut, és igy fél másodperccel előbb alakot kezd ölteni benned a válasz.

66

minthogy a teljes végeredményt tudnád: „háromezer­négyszáz... huszonhárom!”.

Fejezzük be ezt a részt olyan speciális szorzási felada­tokkal. amelyeknél két lépés helyett csupán egyre van szük­ség, és ezért egy pillanat alatt meg lehet oldani őket.

511 (5 0 0 + 11)

X______ 7

5 0 0 x 7 = 3 5 0 0

1 1 x 7 = +___ 773 5 7 7

9 2 5 (9 0 0 + 25)

x____89 0 0 x 8 = 7 2 0 0

2 5 x 8 = + 2 0 0

7 4 0 0

8 2 5 (8 0 0 + 25)

X_____ 3

8 0 0 x 3 = 2 4 0 0

2 5 x 3 = + 75

2 4 7 5

Általánosságban: ha a háromjegyű szám utolsó két száma (5_LL) és az egyjegyű szám (7) szorzatát (11 x 7) anélkül is tudod, hogy azt ki kellene számolnod, gyorsabban eljutsz a megoldáshoz. Például, ha tudod, hogy 75 x 4 = 300, akkor könnyű kiszámolni a 975 x 4-t:

9 7 5 (9 0 0 + 75)

x _____4

9 0 0 x 4 = 3 6 0 0

75 x 4 = + 3 0 0

3 9 0 0

67

Annak érdekében, hogy rögzüljenek a most tanultak, szá­mold ki fejben a következő feladatokat, majd nézd meg a mi megoldásainkat (a könyv végén) és ellenőrizd magad. Hidd el, a fejben számolás olyan, mint a biciklizés vagy a gépe­lés. Lehet, hogy először lehetetlennek tűnik, de amint elsa­játítod. soha sem fogod elfelejteni, hogyan kell csinálni.

FELADATOK: HÁROMJEGYŰ SZÁMOK

SZORZÁSA EGYJEGYŰ SZÁMMAL

1.431

x 6

2 .

6 3 7

X 5

3.8 6 2

X 4

4.

9 5 7

x 6

5.

9 2 7 x 7

6 .

7 2 8

x 2

7.

3 2 8

x 6

8 .

5 2 9

x 9

9.

8 0 7

x 9

10.

5 8 7

X 4

11.184

x 7

12.2 1 4

x 8

13.7 5 7

X 8

14.

2 5 9

x 7

15.

2 9 7

x 8

ló.

751

x 9

17.

4 5 7

x 7

18.3 3 9

x 8

19.

134

x 8

20.

611

x 3

21. 5 7 8

x 9

22 .

2 4 7

X 5

23.188

x 6

24.

9 6 8

x 6

25. 4 9 9

x 9

68

26. 6 7 0

x 4

27. 4 2 9

x 3

28. 8 6 2

X 5

29.

2 8 5

x 6

30. 4 8 8

X 9

31.6 9 3

x 6

32. 7 2 2

x 9

33. 4 5 7

x 9

34.

7 6 7

x 3

35. 3 1 2

x 9

36. 691

x 3

AZOK A GYÖNYÖRŰ NEGYZETEK: A KÉTJEGYŰ SZÁMOK NÉGYZETRE EMELÉSEEgy számot négyzetre emelni (megszorozni önmagával) a fejszámolás legegyszerűbb, ugyanakkor leglenyűgözőbb mutatványa. Még mindig emlékszem arra, amikor rájöttem, hogyan kell csinálni. Tizenhárom éves voltam, egy buszon ültem, és apám munkahelyére tartottam Cleveland belvá­rosába. Ezt az utat gyakran megtettem már korábban, úgy­hogy az agyam barangolni indult. Nem tudom miért, de elkezdtem azon gondolkodni, melyek azok a számok, ame­lyek összege 20, és kél ilyen szám szorzata vajon mennyi. A közepén kezdve: 1 0 x 1 0 (vagy 102) az 100. A következő a 9 x 11 = 9 9 .8 x 12 = 96 ,7 x 13 = 9 1 ,6 x 14 = 84 ,5 x 15 = 75, 4 x 16 = 64 és igy tovább. Észrevettem, hogy a végeredmények egyre csökkennek, 100-tól (102) mért tá­volságuk pedig 1,4 ,9 , 16, 25 ,3 6 ... vagyis 12, 22, 32,4 2, 52,62 (lásd az alábbi táblázatot).

69

Számok, Távolságuk amelyek 10 -től

összege 20

10 10 0

9 11 1

8 12 2

7 13 3

6 14 4

5 15 5

4 16 6

3 17 7

2 18 8

1 19 9

Szorzatuk Szorzatuktávolsága

1 0 0 -tól

100 0

99 1

96 4

91 9

84 16

75 25

64 36

51 49

36 64

19 81

Meglepődtem a rendszerességen. Ezután találomra kipró­báltam azokat a számokat is, amelyek összege 26. és hason­ló eredményre jutottam. Először kiszámoltam, hogy a 13 x13 (132) = 169, majd a 12 x 14 = 168. 1 1 x 1 5 = 165, 10 x 16 = 160, 9 x 17 = 153, és így tovább. Ugyanúgy, mint korábban, a végeredmények l 2, 22, 32, 42... távolságra voltak a 169-től, vagyis a 13 négyzetétől.Valójában a jelenségre van egy egyszerű számtani magya­rázat (lásd ennek a fejezetnek a végét), de ebben az időben még nem ismertem annyira az algebrát, hogy be tudjam bizonyítani, ez a séma mindig jelen van. Ahhoz azonban elég feladatot megoldottam, hogy biztos legyek a dolgom­ban. és rájöttem, mindez segíthet abban, hogy könnyebben kiszámolhassam a számok négyzetét. Tegyük fel, hogy négyzetre akarom emelni a 13-at:

70

Szám ok/ Távo lságuk am e lyek 13-től

összege 26

13 13 0

12 14 1

11 15 2

10 16 3

9 17 4

8 18 5

Szorzatuk Távolságuk169-től

169 0

168 1

165 4

1 6 0 9

153 16

144 25

Ahelyett, hogy elvégezném a 13 x 13-at, miért ne kaphat­nék egy hozzávetőleges eredményt azzal, hogy két olyan számot használok, amelyek összeszorzása könnyebb és összegük ugyancsak 26? Én a 10 x 16-ot választom, hiszen ez a legegyszerűbb; az eredmény: 160. Ehhez már csak hozzá kell adni a 32 = 9 (mivel a 10 és a 16 távolsága is 3 a 13-tól), így 132 = 160 + 9 = 169. Jó, mi?

Ezt a módszert a következőképp lehel leírni:

16

13 2 16 0 + 3 2 = 169

10

Most nézzük meg, hogyan működik egy másik négyzetre emelésnél:

Ahhoz, hogy négyzetre emeljük a 41-et, egyszer vonjunk ki belőle, egyszer pedig adjunk hozzá 1-et, így megkapjuk a 40-et és a 42-t. Ezután szorozzuk össze a két számot (40 x 42). Csak semmi pánik! Ez egy egyszerű szorzás álruhába bújtat­va (a 4 x 42). Mivel 4 x 42 = 168, ezért 40 x 42 = 1680. Majdnem kész vagyunk! Most már csak annyi a teendő, hogy négyzetre emeljük az I-et (hiszen ennyit vettünk el, és adtunk hozzá a 41-hez), igy a végeredmény a 1680 + l = 1681.

Létezik, hogy ilyen egyszerű egy kétjegyű szám négyzet­re emelése? Igen, ezzel a módszerrel és egy kis gyakorlással abszolút. Az pedig teljesen mindegy, hogy felfelé vagy lefelé kerekítesz:

5 8 8 0 + 7 2 = 5 9 2 9

5 9 2 0 + 3 2 = 5 9 2 9

Ebben az esetben a felfelé kerekítés előnye, hogy amint be­fejezted a szorzást, gyakorlatilag készen is vagy, hiszen na­gyon egyszerű, ha csupán egy 9-est kell hozzáadnod egy olyan számhoz, amely 0-ra végződik!

Tulajdonképpen minden kétjegyű számnál abba az irány­ba kerekítek, amely közelebb van a 10 valamelyik többszö­röséhez. Úgyhogy ha a négyzetre emelendő szám vége 6. 7.8 vagy 9, akkor felfelé kerekítek, ha pedig 1, 2, 3 vagy 4, ak-

72

kor lefelé. (Ha a szám 5-tel végződik, csináld meg mindket­tőt!) Ezzel a módszerrel csupán l-et, 4-et, 9-et, 16-ot vagy 25-öt kell hozzáadni az első szorzás eredményéhez.

Számold ki fejben az 56 négyzetét, még mielőtt lent megnéznéd, hogy mi hogyan csináltuk:

6 0

V 3 1 2 0 + 4 2 = 3 1 3 6

52

Az 5-tel végződő számoknál még egyszerűbb a helyzet. Mivel felfelé és lefelé kerekítve is nullára végződő számot kapunk, a szorzás és az összeadás is kifejezetten egyszerű. Nézd meg. a 852 és 352 ábráját:

7 2 0 0 + 5 2 = 7 2 2 5

1 2 0 0 + 5 2 = 1225

Ahogy azt már az 1. fejezetben is láttad, mikor egy ötre végződő számot emelsz négyzetre, akkor a fel- és lekere- kitésnek köszönhetően a megoldás első részét gyorsan ki­mondhatod, s egyszerűen hozzátüzöd a 25-öt. Például, ha a75 négyzetét akarod kiszámolni, akkor felfelé kerekíted 8(J-ra es lefelé 70-re, aztán meg is van az eredmény: „ötezer- hatszáz... huszonöt!)

73

Az 5-re végződő számok esetében nem jelenthet gondot számodra, hogy lepipálj egy számológépet használó embert, és egy kis gyakorlás után bármilyen kétjegyű szám négyzetre emelésében is megvered majd. A nagyobb szá­moktól sem kell tartanod. Ha megkérsz valakit arra, hogy mondjon egy számot, mondjuk kilencvensokat, úgy fog tűnni, hogy egy lehetetlen számítási feladatot kért. De va­lójában ezek a számok még egyszerűbbek, mivel itt felke­rekíthetsz 100-ra.

Tegyük fel, hogy a közönség a 96 négyzetét akarja. Próbáld megoldani, majd nézd meg az ábrát.

100

9 2 0 0 + 4 2 = 9 2 1 6

FELADATOK: KETJEGYU SZAMOK NEGYZETE

Számold ki a következőket:

1. 14 2 2. 2 7 2 3. 6 5 2 4. 8 9 2 5. 9 8 2

ó. 3 1 2 7. 4 1 2 8. 5 9 2 9. 2 6 2 10. 5 3 2

11. 2 1 2 12. 6 4 2 13. 4 2 2 14. 5 5 2 15. 7 5 2

16. 4 5 2 17. 8 4 2 18. 6 7 2 19. 1 0 3 2 20. 2 0 8 2

74

MIÉRT MŰKÖDNEK EZEK A TRÜKKÖK?A matekmágiához szerencsére nincs szükség arra, hogy értsd, miért működnek a trükkök, elég annyit tudnod, ho­gyan kell használni őket. Néhány ember azonban legalább annyira érdekesnek találja az elméletet, mint a gyakorlatot, ezért ajánlom ezt a részt a tanároknak, a diákoknak, a matek szerelmeseinek és mindenkinek, aki kiváncsi arra, a négy­zetre emelésnél mi a titok nyitja. Minden varázslatnak meg­van a racionális magyarázata, és a matekmágia sem kivétel ez alól. A matekmágus most felfedi kártyáit!

Ebben a fejezetben a szorzási feladatoknál a következő té­tel érvényesül: a valós számok esetében a szorzás az össze­adásra nézve disztributiv tulajdonságú (tagolható), azaz egy összeg szorzásánál mindegy, hogy előbb összeadnunk és utá­na szorzunk, vagy pedig a tagokat külön-külön szorozzuk, s a szorzatokat adjuk össze. A matematika nyelvén ezt disztri­butiv törvénynek, más néven a szorzás szétválasztási törvé­nyének hívjuk. A tétel a, b és c tetszőleges számokkal leírva:

(b + c) x a = (b x a) + (c x a)

Például a 42 x 7 szorzási feladatnál úgy is megkapjuk a vég­eredményt, ha a 42-t felbontjuk 40 + 2-re, majd a tagokat egyenként megszorozzuk a 7-tel, aztán pedig összeadjuk őket:

42 x 7 = (40 + 2) x 7 = (40 x 7) + (2 x 7) = 280 + 14 = 294

Ha esetleg nem érted, ez a szabály miért működik, megpró­bálom egy másik módon szemléltetni a feladatot, hogy rá- érezz a lényegre. Képzelj el 7 db bugyellárist, amelyek mind­egyikében 42 db fémpénz van, 40 arany és 2 ezüst. Hány fémpénzed van összesen? Egyrészt rögtön elvégezheted a szorzást, így tudod, hogy 42 x 7 db fémpénzed van. Más­részt úgy is nézheted a dolgot, hogy 40 x 7 aranypénz és 2 x 7 ezüstpénz van a bugyellárisokban. Ennek értelmében

75

összesen (40 x 7) + (2 x 7) pénzed van. Mivel kétféleképp is megkaptuk a végeredményt, igy láthatjuk, hogy 42 x 7 = (40 x 7) + (2 x 7). Természetesen a 7, 40 és 2 számokat fel­cserélhetjük bármilyen más számokkal (a, b vagy c), és a szabály rájuk is alkalmazható lesz. Ezért működik a diszt- ributiv törvény!

Ha arany-, ezüst- és rézpénzeket használunk, ugyanezzel az érveléssel az alábbi következtetésre jutunk:

(b + c + d) x a = (b x a) + (c x a) + (d x a)

A 326 x 7 megoldásához tehát szétbontjuk a 326-ot a kő­vetkező összeadássá: 300 + 20 + 6, majd mindegyik tagot megszorozzuk 7-tel. Számokkal kifejezve: 326 x 7 = (300 + 20 + 6) x 7 = (300 x 7) + (20 x 7) + (6 x 7). Aztán a rész- szorzások eredményét összeadjuk, és megkapjuk a végered­ményt.

A négyzetre emelésnél a következő egyenlet igazolja a módszeremet, bármilyen A és d szám esetében:

A 2 = (A + d) x (A - d) + d 2

Az W az a szám. amit négyzetre emelünk, a 'cT pedig bár­milyen szám lehet - de azt javaslom, válasszuk mindig az A' és az ' A’-hoz legközelebb eső. tízzel maradék nélkül osztható szám különbségét. Ennek értelmében a 77 négyzetre emelésekor a d = 3, mert a 77-hez legközelebb eső, tízzel osztható szám (100) és a 77 különbsége 3. A képletet hasz­nálva: 772 = (77 + 3) x (77 - 3) + 32 = (80 x 74) + 9 = 5929.

Az alábbi algebrai összefüggés is segít abban, hogy elmagyarázzam a négyzetre emelés általam kifejlesztett módszerét:

(z + d )2 = z 2 + 2 zd + d 2 = z(z + 2 d) + d 2

Amikor négyzetre emeljük a 41-et. megállapítjuk, hogy Z = 40 és d - I, igy hát:

76

(41)2 = (40 + l )2 = 4 0 x (40 + 2) + l 2 = 1681

Ugyanígy:

(x - d )2 = z(z - 2 d) + d 2

Hogy megtudjuk, mennyi 77 négyzete, ha a z = 80 és a d = 3:

(77)2 = (80 - 3 )2 = 80 x (80 - 6 ) + 32 = 80 x 74 + 9 = 5929

Zerah Colburn: Szórakoztató szám olások

Az egyik első fej számoló, aki tőkét kovácsolt a tehetsé­géből, Zerah Colburn (1804-1839) volt, egy Vermont- ban élő amerikai farmer fia, aki már azelőtt megtanulta a 100-as szorzótáblát, mielőtt írni és olvasni tudott vol­na. Hatéves korától édesapja fellépéseket szervezett neki, a befolyó összeg pedig elégnek bizonyult ahhoz, hogy Zerah-t párizsi és londoni iskolákba járassák. Nyolcéves korára Zerah már nemzetközi ismertséget szerzett. Londonban is bemutatkozott villámgyors fejszá- moló-tudományával, ahol az Annual Register így írt ró­la: „O az emberi eleme csodálatos működésének leg­különlegesebb képviselője, aki valaha élt". Olyan híres tudósok, mint Michael Faraday és Sámuel Morse is tiszelettel adóztak előtte.Bárhová is ment, Colburn minden kihívást, amivel csak találkozott gyorsan és pontosan megoldott. Az önéletraj­zában leírta, hogy 181 1 júniusában, New Hampshire- ben a következő feladatokkal találta szemben magát: „Hány napja és hány órája tart a katolikus éra, ha 1811 éwel ezelőtt kezdődött?" A megoldáshoz húsz másodpercre volt szüksége: „óó l 015 nap|a vagy15 864 360 órája." „Tizenegy év alatt hány másod­

77

perc telik el?" A válasz négy másodperc múlva érkezett: „346 896 000." Colburn szintén azokat a technikákat használta, amelyeket ebben a könyvben leírtunk, és min­den feladatot fejben oldott meg. A nagy számokat pél­dául kisebb számok szorzatára bontotta, és csak ezután fogott hozzá az eredeti feladat elvégzéséhez. A 21 734 x 543 kiszámolásakor az 543-at 181 x 3-ra bontotta, majd beszorozta a 21 734-et 181-gyei, az eredményt (3 933 854) pedig 3-mal. A végeredmény: 11 801 562. Ahogy az lenni szokott, a tehetsége iránti érdeklődés gyorsan lanyhulni kezdett, ezért húszéves korában vissza­tért az Egyesült Államokba és metodista lelkésznek állt. Fiatalon, harmincöt évesen hunyt el.

78

4.Új és továbbfejlesztett módszerek: Közepes szintű szorzások

A matekmágia akkor válik igazán izgalmassá, mikor közön­ség előtt mutatod be a tudományod. Én az első nyilvános szereplésemet a nyolcadik osztályban, meglett tizenhárom évesként éltem át, de a legtöbb matekmágus sokkal koráb­ban kezdi. Például Zerah Colbumről az a hir járta, hogy már hatévesen közönség előtt szerepelt! Szóval, tizenhárom éves voltam, amikor a matektanárom a táblánál egy olyan feladatot oldott meg, amelynek a végeredménye 108- lett. Én nem elégedtem meg azzal, hogy itt megálljunk, ezért be­kiabáltam a választ: „A 108 négyzete 11 664!”

A tanár erre elvégezte írásban a szorzást, és mivel ugyanazt az eredményt kapta, kissé riadtan rám nézett. „Igen, ez a helyes válasz. Hogy számoltad ki?” - kérdezte, mire elmondtam neki a módszeremet: „A 108-ból kivontam 8-at, ami 100, és hozzáadtam ugyanennyit, ami 116, aztán összeszoroztam a két számot, igy megkaptam a 11 600-at. Ezután hozzáadtam a 8 négyzetét, a végeredmény tehát: 11 6 6 4 ”

A tanárom még sohasem találkozott ezzel a módszerrel. Erre nagyon izgatott lettem, mert meggyőződésem volt. hogy felfedeztem valami újat. Mikor néhány evvel később rátaláltam a módszer leírására egy Martin Gerdner által irt matekkönyvben (Mathematical Carnival, 1965.), az egész napom tönkrement! Ugyanakkor az mégiscsak izgalmas volt, hogy erre én magam is rájöttem, csak nem én voltam az első.

79

Te is lenyűgözheted a barátaidat (vagy tanáraidat) néhány kifejezetten csodás fejben szorzással. Az előző fejezet végén megtanultad, hogyan kell egy kétjegyű számot négyzetre emelni, azaz önmagával megszorozni. Ebben a fejezetben megtanulod, hogyan kell két különböző kétjegyű számot összeszorozni, amely ugyan nagyobb kihívás, de sokkal kre­atívabb feladat. Ezután próbára teheted magad - vagyis az agyadat - a háromjegyű számok négyzetre emelésével. Mivel a két módszernek semmi köze egymáshoz, mindegy, me­lyikkel kezded.

KÉTJEGYŰ SZÁMOK SZORZÁSA KÉTJEGYŰ SZÁMOKKALMikor kétjegyű számokat emelünk négyzetre, a módszer mindig azonos volt. De ha egy kétjegyű számot egy másik kétjegyű számmal szorzunk, akkor sokféle módon eljut­hatunk a végeredményhez. Számomra itt kezdődik az igazi szórakozás.

Az első, amit megmutatok, az „összeadásos módszer", amelyet minden esetben bevethetsz.

Az összeadásos módszerCsupán annyit kell tenned, hogy két darab kétjegyű x egy­jegyű feladatra bontod az eredeti szorzást, majd összeadod ezek végeredményét. Például: 46 x 42

4 6

x____4 2 (4 0 + 2)

4 0 x 4 6 = 1 8 4 0

2 x 4 6 =+_____ 9 2

1 9 3 2

80

A 42-t kettébontottuk 40-re és 2-re, vagyis olyan számokra, amelyekkel könnyű szorozni. Elvégeztük a 40 x 46-ot. ami valójában 4 x 46, egy nullával megtoldva - igy megkaptuk az 1840-et. Aztán jön a 2 x 46 = 92, végül összeadjuk a két részeredményt: 1840 + 92 = 1932.

Most nézzük ugyanennek a feladatnak egy másik meg­oldási módját:

4 6 (40 + 6 )

X____4 2

4 0 x 4 2 = 1680

6 x 4 2 = -i- 2 5 2

1 9 3 2

Itt az a bökkenő, hogy a 42 x 6 nehezebb, mint az első fela­datban szereplő 46 x 2. Ráadásul az 1840 + 92 is könnyebb, mint az 1680 + 252. Na de akkor mi alapján döntsük el. hogy melyik számot célszerű szétbontani? Én általában azt választom, amelyik könnyebb összeadási feladatot eredmé­nyez. Ezért a legtöbb esetben - de nem mindig - azt a szá­mot kell szétbontani, amelynek második tagja kisebb, mivel igy lesz kisebb az a szám is, amit az első eredményhez hoz­záadsz.

Próbáld ki magad a következő feladatokkal: 48 x 73 és81 x 59

4 8 81 (80 + 1)

x____7 3 (70 + 3) x 59

7 0 x 4 8 = 3 3 6 0 8 0 x 5 9 = 4 7 2 0

3 x 4 8 = + 1 4 4 1 x 5 9 = + 5 9

3 5 0 4 4 7 7 9

Az utolsó feladat mutatja, hogy miért az 1 -re végződő szá­mokat olyan nagyszerű szétbontani. Ha mindkét szám

81

ugyanazzal a számmal végződik, akkor pedig a nagyobbat érdemes részekre szedni, ahogy ez a 84 x 34-nél is látható:

8 4 (80 + 4)

X____3 4

8 0 x 3 4 = 2 7 2 0

4 x 3 4 = + 136

2 8 5 6

Ha az egyik szám sokkal nagyobb mint a másik, akkor ál­talában kifizetődőbb ezt szétbontani, még akkor is, ha ennek nagyobb az utolsó számjegye. Amint kipróbálod a 74 x 13 megoldásának mindkét útját, érteni fogod, mire gondolok:

Gyorsabbnak találtad az első módszert, mint a másodikat?

Itt van még egy kivétel az alól a szabály alól, amely sze­rint mindig a kisebb végű számot kell szétbontani. Mikor ötven-valamennyit szorzol meg egy páros számmal, akkor ezt az ötven-valamennyit célszerű szétbontani: 84 x 59

7 4 (70 + 4)

X 13

7 4

x 13 (1 0 + 3)

7 0 x 13 = 9 1 0

4 x 1 3 = + 52

9 6 2

1 0 x 7 4 = 7 4 0

3 x 7 4 = + 2 2 2

9 6 2

Én igen.

84

x____5 9 (50 + 9)

5 0 x 8 4 = 4 2 0 0

9 x 8 4 = + 7 5 6

4 9 5 6

82

A 84-nek kisebb a második számjegye, mint az 59-nek, de ha mégis ez utóbbit bontod fel. akkor az eredmény a 100 valamelyik szorzata lesz, mint ahogy a fenti példában a 4200. Ennek hála az összeadási feladat nagyon egyszerűvé válik.

És akkor most próbálj ki egy másik - másféleképp - egyszerű szorzást: 42 x 11

Bár a fenti számolási feladat elég egyszerű, mégis van egy még egyszerűbb és még gyorsabb módja annak, hogy egy kétjegyű számot 11-gyei megszorozz. Ez a matek varázsla­tok netovábbja! Nem fogsz hinni a szemednek, mikor meg­látod (kivéve persze akkor, ha emlékszel rá az 1. fejezet-

A következőképpen működik: Végy egy kétjegyű szá­mot, amelyben a számjegyek összege maximum 9. Aztán add össze a kétjegyű szám számjegyeit, majd az eredményt helyezd az eredeti számod két számjegye közé. Például a42 x 11 esetében először összeadod a 4 + 2-t, igy 6-ot kapsz. Ezután beteszed a 6-ot a 4 és a 2 közé. és máris megvan a végeredmény: a 462!

X

4 2

11 (10 + 1)

10 x 4 2 = 4 2 0

1 x 4 2 = + 4 2

4 6 2

bői)!

4 2 4 2 = 4 6 2

x 11 6

Most próbád ki az 54 x 11-nél is ezt a módszert.

5 4 5 ________ 4 = 5 9 4

x 11 9

83

Mi lehetne ennél egyszerűbb? Mindössze annyit kellett tenned, hogy a 9-et az 5 és a 4 közé helyezted, s igy megkaptad a végeredményt, az 594-et.

De mi történik akkor, ha a kétjegyű szám számjegyeinek összege több mint 9. Ebben az esetben a tizes helyértéken szereplő számot eggyel növelni kell. és csak az összeg második tagját kell a két szám közé illeszteni ugyanúgy, mint korábban. Például a 76 x 11-nél a 7 + 6 = 13, ezért a 76-ban található hetest nyolcra növeled, majd a 3-at a 8 és a 6 közé teszed, igy megkapod a végeredményt, a 836-ot. Ugyanezt lásd a lenti ábrán:

7 6 7 ____________ 6 = 8 6 3

x 1 1 3

Most te jössz! A feladat: 68 x 11

6 8 6 ____________ 8 = 7 4 8

X 11 1 4

Ha ez a trükk már csípőből megy, soha többé nem fogsz más módon tizeneggyel szorozni. Csinálj meg néhány fel­adatot, majd ellenőrizd le a megoldásokat a könyv hátul­jában.

FELADATOK: SZORZÁSOK TIZENEGGYEL

1. 2. 3.

3 5 4 8 9 4

X 11 X 11 X 11

Visszatérve az összeadásos módszerhez, a következő fel­adat igazi kihívást jelent az első alkalommal. Próbáld meg fejben kiszámolni a 89 x 72-t, és ha szükséges, pillants a

84

feladatra. Akkor sincs semmi baj, ha netán többszöri neki­futásra sikerül csak.

89

X_____ 7 2 (70 + 2)

7 0 x 8 9 = 6 2 3 0

2 x 8 9 = + 178

6 4 0 8

Ha elsőre, vagy akár másodikra sikerült megoldani, akkor veregesd meg a saját válladat. Két kétjegyű szám szorzása ennél nem igazán lehet nehezebb. Ha nem jutottál el a vég­eredményhez azonnal, akkor se aggódj. A következő két részben olyan stratégiákat fogok megmutatni, amelyekkel az effajta feladatokat sokkal könnyebben meg tudod oldani. De mielőtt még továbbmennél, gyakorold a lenti feladatok segítségével az összeadásos módszert.

FELADATOK: SZORZÁSI FELADATOK

AZ ÖSSZEADÁSOS MÓDSZERHEZ

1.

31

X 41

ó .

23

X 8 4

1 1 .

85

X 11

2.

2 7

x 18

7.

6 2

X 9 4

3.

5 9

x 26

8.

88 X 76

4.

53

x 5 8

9.

9 2

x 35

5.

77

X 4 3

10.34

X 11

85

A kivonásos módszerA kivonásos módszer akkor nagyon hatékony, amikor az összeszorzandó számok egyike 8-ra vagy 9-re végződik. A következő feladaton bemutatom, hogy mire is gondolok: 59 x 17

5 9 ( 6 0 - 1)

x____ 17

6 0 x 17 = 1 0 2 0

- 1 x 1 7 = r ____ 17

1 0 0 3Bár a legtöbb ember számára az összeadás könnyebben megy, mint a kivonás, mégis be kell látnunk, hogy sokkal könnyebb kivonni egy kisebb számot, mint hozzáadni egy nagyobbat. (Ha a fenti feladatot az összeadásos módszerrel csináltuk volna, akkor a végen a 850 + 153 = 1003 feladat vár ránk.)

Akkor most nézzük az előző rész végén található, ki­hívást jelentő feladatot: 89 x 72

8 9 ( 9 0 - 1)

X____ 72

9 0 x 7 2 = 6 4 8 0

- 1 x 7 2 = _̂___72

6 4 0 8

Hát nem egyszerűbb igy? Akkor most nézzünk egy olyan feladatot, amelyben az egyik szám 8-ra végződik: 88 x 23

8 8 (90 - 2)

X____ 23

9 0 x 2 3 = 2 0 7 0

- 2 x 2 3 = =____4 6

2 0 2 4

86

Ebben az esetben úgy kell tekinteni a 88-ra, mint 90 - 2-re, majd el kell végezni a 90 x 23-at (2070). így viszont többel szoroztunk, de vajon mennyivel? Pont 2 x 23-mal, vagyis 46-tal több az eredmény. Ezért most ki kell vonni a 46-ot a 2070-ból, és igy megkapjuk a végeredményt, a 2024-et.

Szeretném hangsúlyozni, hogy nem elegendő csupán megnézni ezeket a feladatokat, nagyon fontos, hogy fejben ki is számold őket. Csináld végig lépésről lépésre, és akár hangosan mondd is ki a folyamatot, hogy megerősítsd a gondolataidat.

A kivonásos módszert nemcsak azoknál a számoknál használom, amelyek 8-ra vagy 9-rc végződnek, hanem akkor is, ha az egyik szám kilecven-valamennyi, mert a 100 olyan kényelmes szám a szorzásra. Például, ha valaki megkér arra, hogy számoljam ki fejben a 96 x 73-at, akkor a 96-ot azonnal felkerekítem 100-ra:

9 6 ( 1 0 0 - 4 )

X____ 73

10 0 x 7 3 = 7 3 0 0

- 4 x 7 3 = - 2 9 2

7 0 0 8

Mikor egy szorzási feladat kivonásos részfeladatánál egy számot át kellene vinned, akkor a komplementer haszná­lata (amelyet az 2. fejezetben elsajátítottál) sokat segíthet abban, hogy gyorsan eljuss a végeredményhez. Látni fo­god, hogy mire gondolok, ahogy a lent található szorzá­sokon átrágod magad. Például oldd meg a 340 - 78-at. Tudjuk, hogy az eredmény kétszáz-valamennyi lesz. A 40 és a 78 közötti különbség 38. Most számoljuk ki a 38 komp­lementerét. s igy megkapjuk a 62-t. És ez a megoldás: 262!

87

3 4 0

78

2 6 2

78 - 4 0 = 38

38 komplementere = 62

Akkor most próbáljunk meg egy másik feladatot: 88 x 76

8 8 (90 - 2)

X____ 76

9 0 x 7 6 = 6 8 4 0

- 2 x 7 6 = - 152

Kétféleképpen is meg lehet oldani ennek a feladatnak a kivonásos részét. A „hosszabbik” mód az, ha kivonunk 200-at és hozzáadunk 48-at

6 8 4 0 - 1 5 2 = 6 6 4 0 + 4 8 = 6 6 8 8

A gyorsabb variáció az, ha rájövünk, hogy a megoldás hat- ezcjhaiszázrvalamennyi lesz. Ahhoz, hogy megtudjuk, meny­nyi is az a valamennyi, kivonjuk az 52-ből a 40-et (12), majd megkeressük a 12 komplementerét, amely a 88. így meg is van a megoldásunk: 6688.

Most végezd el a következő feladatot: 59 x 67

Itt is látod, hogy a megoldás 3900 és valamennyi lesz. Mivel 67 - 20 = 47, és ennek a komplementere az 53, ebből az következik, hogy a megoldás 3953.

(kivonunk 200-at) (hozzáadunk 48 at)

5 9 ( 6 0 - 1)

X____6 7

6 0 x 6 7 = 4 0 2 0

-1 x 6 7 = - ____6 7

3 9 5 3

88

Valószínűleg már rájöttél arra, hogy nemcsak az olyan szorzási feladatoknál használhatod ezt a megoldási folya­matot, ahol a kivonásos módszert alkalmazod, hanem bár­milyen olyan kivonásnál, ahol át kellene vinned a mara­dékot.

Mindez további bizonyíték arra. hogy a komplementerek nagyon hatásos csodaszerek a matekmágusok kezében (fe­jében). Tanuld meg ezt a technikát, és az emberek hama­rosan a csodádra járnak!

FELADATOK: SZORZÁSI FELADATOK A KIVONÁSOS MÓDSZERHEZ

1.29

X 45

2 .

98

X 4 3

3.4 7

x 5 9

4.

68 x 38

5.

9 6

X 2 9

6 .

79

X 5 4

7.37

x 19

8 .

87

x 2 2

9.

8 5

X 3 8

10.

57

x 3 9

11.

88 x 4 9

A (szorzó)tényezőkre bontás módszereEz a kedvenc megoldási módom, ha kétjegyű számokat két­jegyű számokkal szorzok, mert itt nem kell összeadni vagy kivonni. Akkor lehet alkalmazni, ha az egyik kétjegyű szá­mot szét lehet bontani egyjegyű számok szorzatává.

89

A 24-et például szétbonthatjuk 8 x 3-ra vagy 6 x 4-rc. (Persze 12 x 2-re is bonthatnánk, de mi egyjegyű számokkal szeretünk dolgozni.)

íme néhány példa:

4 2 = 7 x 6

6 3 = 9 x 7

8 4 = 7 x 6 x 2 vagy 7 x 4 x 3

Hogy lásd, miként könnyíti meg a tényezőkre bontás a szorzási feladatot, gondold végig az alábbiakat: 46 x 42

4 6

X 4 2 = 7 X 6

Eddig úgy oldottuk meg az ilyen példákat, hogy elvégeztük a 46 x 40 és a 46 x 2 szorzásokat, majd e két szorzás ered­ményét összeadtuk. A tényezőkre bontás módszerénél a 42- re úgy tekintünk, mint 7 x 6, és azzal kezdjük, hogy kiszá­moljuk a 46 x 7-et, amelynek eredménye 322. Ezután jön a 322 x 6 = 1932, s igy megkaptuk a végeredményt. Mivel már tudod, hogyan kell megoldani a kétjegyű x egyjegyű és a háromjegyű x egyjegyű feladatokat, mindez nem okoz nehézséget:

4 6 x 4 2 = 4 6 x (7 x 6 ) = (4 6 x 7) x 6

= 3 2 2 x 6 = 1 9 3 2

Természetesen ezt a feladatot úgy is meg lehet oldani, hogy felcseréljük a 42 szorzóit:

4 6 x 4 2 = 4 6 x (6 x 7) = (4 6 x 6 ) x 7

= 2 7 6 x 7 = 1 9 3 2

Ebben az esetben a 322 a 6 könnyebb szorzás, mint a 276 x 7. Általában a nagyobb szorzóval szorzom meg az el­

90

ső kétjegyű számot, és a kisebb szorzót hagyom meg a fel­adat második részére, a háromjegyű szám szorzására.

A tényezőkre bontás eredménye az, hogy két darab két­jegyű szám szorzását leegyszerűsítettük egy háromjegyű x egyjegyű (illetve néhány esetben egy kétjegyű x egyjegyű) feladatra. A fejben számolásnál a szorzókra bontás előnye az, hogy nem kell olyan sok mindent a fejedben tartanod. Nézzünk egy másik példát: 75 x 63

7 5 x 6 3 = 75 x (9 x 7) = (75 x 9) x 7 = 6 7 5 x 7 = 4 7 2 5

Ahogyan eddig, most is egyszerűsítjük a feladatot azzal, hogy a 63-at szorzóira bontjuk (9 x 7), majd ezzel szoroz­zuk meg a 75-öt. (Mellesleg a szorzások asszociatív tulaj­donságának köszönhetően kedvünk szerint változtathatjuk a zárójel helyét a második lépésben.)

6 3 x 75 = 6 3 x (5 x 5 x 3) = (63 x 5) x 5 x 3

= 3 1 5 x 5 x 3 = 1 5 7 5 x 3 = 4 7 2 5

Gyakorlásképpen próbáld meg a következő feladatot:

5 7 x 2 4 = 5 7 x 8 x 3 = 4 5 6 x 3 = 1 3 6 8

A 24-et felbonthatod 6 x 4-re is, a számolás igy is egyszerű lesz:

5 7 x 2 4 = 5 7 x 6 x 4 = 3 4 2 x 4 = 1368

Hasonlítsd össze az összeadásos és a szorzókra bontás mód­szerét: 57 x 24

91

57

X____2 4 (20 + 4)

vagy 5 7 (50 + 7)

x____ 2 4

2 0 x 5 7 = 1 1 4 0

4 x 5 7 = + 2 2 8

1 3 6 8

5 0 x 2 4 = 1 2 0 0

7 x 2 4 = + 168

1 368

Az összeadásos módszerrel 2 db szorzást és 1 db összeadást kell elvégezni. A (szorzó)tényezökre bontással csupán 2 db szorzási feladatunk van: kétjegyű x egyjegyű és háromjegyű x egyjegyű, aztán kész is vagyunk. Ez utóbbi általában ke­vésbé terheli meg a memóriádat, mivel kevesebb műveletet kell megjegyezned.

Nézzük megint azt a bizonyos nehéz szorzást, ami már többször előkerült: 89 x 72. Aránylag egyszerűen megoldot­tuk a kivonásos módszerrel, de a tényezőre bontással még gyorsabban megy majd:

8 9 x 7 2 = 8 9 x 9 x 8 = 801 x 8 = 6 4 0 8

A feladat már csak azért is könnyű, mert a 801 közepén van egy 0. A következő feladat mutatja, hogy néha célszerű azért alkalmazni a tényezőre bontást, hogy kihasználjuk ezt a lehetőséget. Nézzünk két megoldás arra. hogy kiszá­moljuk a 67 x 42-t:

6 7 x 4 2 = 6 7 x 7 x 6 = 4 6 9 x 6 = 2 8 1 4

6 7 x 4 2 = 6 7 x 6 x 7 = 4 0 2 x 7 = 2 8 1 4

Általában 7 x 6-ra bontjuk a 42-t - mint az első feladatnál és a szabálynak megfelelően a nagyobb számmal szorzunk először. De a feladatot könnyebb megoldani akkor, ha a 42-t inkább 6 x 7-re választjuk szét (vagyis felcseréljük a két szá-

92

mot), mivel igy az eredmény közepén egy 0 lesz. és a szorzási feladat igy könnyebb. Ezt barátságos eredménynek nevezem. Keress barátságos eredményt a következő feladatban, ame­lyet kétféleképpen oldottunk meg:

4 3 x 5 6 = 4 3 x 8 x 7 = 3 4 4 x 7 = 2 4 0 8

4 3 x 5 6 = 4 3 x 7 x 8 = 301 x 8 = 2 4 0 8

A második megoldási könnyebbnek találtad?A következő lista segit abban, hogy bármikor könnye­

dén megtaláld a barátságos eredményeket. Nem várom el, hogy az egészet bemagold, először csak ismerkedj meg ve­le. Egy kis gyakorlat után úgyis könnyedén ráérzel majd ezekre a szorzásokra, és akkor a listának is nagyobb jelentő­sége lesz:

Barátságos eredményű szorzások12: 1 2 x 9 = 108

13: co X 00 II o ív

15: 1 5 x 7 = 105

17: 1 7 x ó = 102

18: 00 X O II o co

21: 21 x 5 = 105

23: 23 x 9 = 207

25: 25 x 4 = 100, 25 x

8CNII

00

26: 26 x 4 = 104, 26 x 8 = 208

27: 2 7 x 4 = 108

29: 29 x 7 = 203

34: 34 x 3 = 102, 34 x 6 = 204, 34 x 9 = 306

35: 3 5 x 3 = 105

36: 3 6 x 3 = 108

93

38 38 x 8 = 304

41 41 x 5 = 205

43 43 x 7 = 301

44 44 x 7 = 308

45 45 x 9 = 405

51 51 x 2 = 102,

52 52 x 2 = 104,

53 53 x 2 = 106

54 54 x 2 = 108

56 56 x 9 = 504

61 61 x 5 — 305

63 63 x 8 = 504

67 67 x 3 - 201,

68 68 x 3 = 204,

72 72 x 7 - 504

76 76 x 4 = 304 ,

77 77 x 4 - 308

78 78 x 9 = 702

81 81 x 5 = 405

84 84 x 6 = 504

88 X

coco 8 = 704

89 89 X 9 — 801

Korábban megtanultad, milyen könnyű tizeneggyel szoroz­ni. Ha valamelyik szám 11 vagy annak többszöröse, érde­mes a szorzótcnyezökre bontás módszerét használni, mint ahogy az alábbi feladat is mutatja:

5 2 x 3 3 = 5 2 x 11 x 3 = 5 7 2 x 3 = 1 7 1 6

83 x 6 6 = 83 x 11 x 6 = 9 1 3 x 6 = 5 4 7 8

94

FELADATOK: SZORZÁSI FELADATOK

A TÉNYEZŐKRE BONTÁS MÓDSZERÉHEZ

1. 2.

5.

9.

2 7

X 14

5 6

x_29

33

x 16

6.

10.

86 x 28

83

x 18

6 2

x 77

3.

7.

11.

57

x J_4

72

x 17

45

x 3 6

8 .

12.

81

x 4 8

85

x 4 2

4 8

x 37

SZOROZZUNK KREATÍVANA fejezet elején említést tettem arról, hogy azért olyan nagyszerűek a szorzásos feladatok, mert többféleképpen is meg lehet oldani őket. Most, hogy már tudod, mire gondol­tam, használjuk fel a fejezetben tanult mindhárom módszert egyetlen feladat, a 73 x 49 megoldásához. Az összeadásos módszerrel fogjuk kezdeni:

73 (70 +3)

x____4 9

7 0 x 4 9 = 3 4 3 0

3 x 4 9 = + 147

3 5 7 7

95

Most próbáld meg a kivonásos módszert:

73

x_____ 4 9 ( 5 0 - 1)

5 0 x 7 3 = 3 6 5 0

- 1 x 73 = - _____73

3 5 7 7

Figyeld meg, hogy a kivonásos módszernél a két utolsó számjegyet megkaphatjuk úgy is, hogy összeadjuk az 50-et és a 73 komplementerét: 50 + 27 = 77. vagy azzal, hogy kivonjuk a 73 - 50, tehát a 23 komplementerét, a 77-et.

S végül próbáljuk meg a szorzótényezőkre bontás mód­szerét:

7 3 x 4 9 = 7 3 x 7 x 7 = 511 x 7 = 3 5 7 7

Gratulálok! Most már elsajátítottad a kétjegyű számok két­jegyű számokkal való szorzását, és megvan az alaptudásod ahhoz, hogy gyors fejszámoló legyél. A villámgyors fejszá­moló titulus megszerzéséhez csupán rengeteg gyakorlásra van szükséged!

FELADATOK: KÉTJEGYŰ SZÁMOK ÖSSZESZORZÁSA

- MINDEN MEGENGEDETT!

Az itt következő feladatok közül sokat többféleképpen is meg lehet oldani. Próbáld meg mindegyiket annyifélekép­pen kiszám olni, ahány m ódszer eszedbe ju t. majd ellenőrizd le a megoldásokat és a számolást a könyv végén. (Többféle matekvarázslatot is figyelmedbe ajánlok, és mindig azzal kezdem, amit a legegyszerűbbnek tartok.)

96

1. 2. 3. 4. 5.5 3 81 7 3 8 9 77

x 3 9 x 5 7 x 18 x 5 5 x 3 6

9 2

x 5 3

7.

8 7

x 87

8 .

6 7

x 58

9.

5 6

x 3 7

10.

5 9

x 21

A következő kétjegyű x kétjegyű feladatok a későbbiekben a háromjegyű x kétjegyű, háromjegyű x háromjegyű és öt­jegyű x ötjegyű számok részfeladataiként fognak megjelen­ni. Ezeket most gyakorlásképp megcsinálhatod, és később fellapozhatod őket. amikor a nehezebb példáknál megjelen­nek.

11.3 7

x 7 2

12.5 7

x 73

13.

38

x 63

14.

4 3

x 76

15.

43

x 75

16.7 4

x 6 2

17.

61

x 3 7

18.

3 6

X 41

19.

5 4

X 53

20.

53

x 53

21.

83

x 58

22 .

91

X 4 6

23.52

X 4 7

24.

2 9

x 26

25.41

X 15

26.65

x 19

27.3 4

x 27

28.6 9

x 78

29.9 5

x 81

30.65

x 4 7

97

31. 32. 33.6 5 9 5 41

x 6 9 x 2 6 x 9 3

HÁROMJEGYŰ SZÁMOK NÉGYZETRE EMELÉSEA háromjegyű számok négyzetre emelése az elme leg­lenyűgözőbb bűvészmutatványa. A kétjegyű számokat úgy emeltünk négyzetre, hogy a számot a 10 legközelebb eső szorzatáig kerekítettük fel vagy le. A háromjegyű számok­nál a 100 legközelebb eső szorzatáig kell kerekíteni. Ve­gyük például a 193-at:

200

186

A 193-at felkerekítettük 200-ra és 186-ra, és ezzel a három­jegyű x háromjegyű szorzást átalakítottuk egy sokkal egy­szerűbb háromjegyű x egyjegyű szorzásra. Elvégre a 200 x 186 igazából 2 x 186 = 372, amelyhez hozzá kell csapnunk két nullát. Már majdnem készen vagyunk! Csak annyit kell tenni, hogy hozzáadjuk még a l 2 = 49-et, hogy megkapjuk a végeredményt, a 37 249-et.

Akkor most emeljük négyzetre a 706-ot:

7 1 2

98

A 6-ot kivonva lefelé kerekitettünk 700-ra, tehát felfelé is ugyanennyit kell hozzáadnunk a számhoz (712). Mivel a 712 x 7 = 4984, ezért a 712 x 700 = 498 400. Ha hozzáad­juk még a 6- = 36-ot. megkapjuk a végeredményt: 498 436. Az utóbbi feladatok nem túl nehezek, mivel az összeadási részfeladat szinte egyáltalán nincs jelen, ráadásul a 6 és a 7 négyzetét fejből tudod. A száztól távolabb eső számok négyzetre emelése azonban egy kicsit keményebb dió.

Próbáld meg a 3142:

3 2 8

10Ennél a négyzetre emelésnél egyszer kivonunk és egyszer hozzáadunk 14-et a 314-hez, igy 300-at és 328-at kapunk. Ezt a két számot összeszorozzuk: 328 x 300 = 98 400 (tu­dod: 328 x 3 és két nulla). Aztán hozzáadjuk a 14 négyzetét. Ha ez hirtelen beugrik (az emlékeidből vagy mert gyorsan kiszámoltad) akkor jó formában vagy. Most add össze a 98 400 + 196-at és megkapod az eredményt: 98 596. Ha időre van szükséged ahhoz, hogy kiszámold a I42, akkor néhány­szor ismételd el magadban a 98 400-at még mielőtt tovább­mész. (Másképp lehet, hogy ugyan kiszámolod a 14 négy­zetét, de elfelejted, hogy milyen számhoz kellene hozzá­adnod.)

99

Minél inkább eltávolodsz a 100 valamelyik szorzatától, annál nehezebbé válik egy háromjegyű szám négyzetre emelése. Nézzük a 529-:

5 5 8

+29/ \

5 2 9 2 2 7 9 0 0 0 + 2 9 2 = 2 7 9 841

-2 9 \ /5 0 0

28

Ha közönség előtt számolsz, és le akarod nyűgözni őket. akkor hangosan kimondhatod a 279 000-t még mielőtt ki­számolod a 29 négyzetét. De ez néhány feladatnál lehe­tetlen. Próbáld meg négyzetre emelni a 636-ot:

6 7 2+36/ \6 3 6 2 4 0 3 2 0 0 + 3 6 2 = 4 0 4 4 9 6

\ /-3 6

6 0 0

3 6 1 2 8 0 + 4 2 = 1 2 9 6

A32

100

Most már tényleg meg kell dolgoztatni az agyad, ugye? Itt az a legfontosabb, hogy többször ismételd el magadban a403 200-at. Ezután emeld négyzetre a 36-ot a már meg­szokott módon, igy megkapod az 1296-ot. A nehézség ott kezdődik, hogy össze kell adni a 403 200-at és az 1296-ot. Haladj lassan, balról jobbra, s így megkapod a megoldást, a404 496-ot. Hidd el nekem, ahogy egyre jobban megy majd a kétjegyű számok négyzetre emelése, úgy a háromjegyű feladatok is egyre könnyebbé válnak.

Itt van egy még nehezebb feladat, a 8632:

Az első feladatod az. hogy eldöntsd, mely számokat kell összeszoroznod. Egyértelmű, hogy az egyik szám a 900 lesz, a másik pedig nyolcszáz-valamennyi. De melyik szám lesz az? Kétféleképpen is kiszámolhatod:1. A nehezebb módszer: a 863 és a 900 különbsége 37 (ami

a 63 komplementere). Vonj ki 37-et a 863-ból, és igy megkapod a 826-ot.

2. Az egyszerűbb módszer: duplázd meg a 63-at. így 126-ot kapsz, aztán ennek a számnak fogd a két utolsó számjegyét, ezzel az eredmény: 826.Az egyszerűbb módszer azért működik, mert mindkét szám ugyanolyan távol van a 863-tól, tehát a két szám összegének meg kell egyeznie a 863 kétszeresével, vagyis az 1726-tal. Az egyik szám 900, úgyhogy a másik szám csakis a 826 lehet.

A feladatot ezután igy számolod ki:

9 0 0

101

+37/ \8 6 3 2 ' 7 4 3 4 0 0 + 3 7 2 = 7 4 4 7 6 9

- 3 7 \ /

8 2 6

9 0 0

1 3 6 0 + 3 2 = 1 3 6 9

34

Ha lehetetlennek találod, hogy emlékezz a 743 400-ra mi­után négyzetre emelted a 37-et, akkor ne aggódj. Egy ké­sőbbi fejezetben megtanulhatsz majd egy remek emlékezést segitő rendszert arra, hogy könnyebb legyen az ilyen nagy számok megjegyzése.

Akkor most próbáld meg az eddigi legnehezebb felada­tot, a 359 négyzetre emelését:

4 0 0

+ 4 l / \

3 5 9 2 1 2 7 2 0 0 + 4 1 2 = 128 881

- A /3 1 8

4 2

/ \2 1 6 8 0 + l 2 = 1681

/4 0

Hogy eljuss a 308-hoz, vagy kivonod a 41-et (az 59 komp­lementerét) a 359-ből, vagy elvégzed a 2 x 59 = 118 at, és

102

az utolsó két számjegyet használod. Ezután számold ki a 400 x 318 = 127 200-at. majd add hozzá a 412-t, vagyis a 1681 -et, amivel megkapod a végeredményt: 128 881. Ez az! Ennél nehezebb feladatot nem is kaphatsz. Ha már elsőre ki tudtad számolni, akkor meg is hajolhatsz!

Akkor most fejezzük be ezt a részt egy nagy feladattal, amelyet könnyű megoldani, 9872:

1000

♦ 13 / \

9 8 7 * 9 7 4 0 0 0 + 132 = 9 7 4 1 6 9

-,3\ /9 7 4

16

'■ + * / ' \1 3 * 160 + 3 2 = 1 6 9

A /10

Mi van az 1-es számú ajtó mögött?

1991-ben felbukkant egy matematikai rejtély, ami miatt min­denki megbolondult. A kiváltó ok egy cikk volt, amit Marilyn vos Savant írt, az a hölgy, akinek a Guinness rekordok könyve szerint a legmagasabb az intelligenciahányadosa a világon. Ez a paradoxon a Monty Hali-problémaként vált híressé, és a következőképpen hangzik:Játékos vagy a Lets Make a Deal* nevű televíziós műsorban. Monty Hall arra kér, hogy válassz egyet a három ajtó közül, amelyek valamelyike mögött a főnyeremény, a másik két ajtó mögött pedig eyy-eyy kecske lapul. Te a 2 es számú ajtót vá­lasztod. Monty, mielőtt még megmutatná, hogy mit nyertél,

103

megmutatja, mi van a 3-as számú ajtó mögött: egy kecske. Ezután Monty kínzó ajánlatot tesz. Kitartasz a 2-es számú ajtó mellett vagy kockáztatni akarsz, és megnézed, hogy mi van az 1 -es mögött? Mit tegyél? Feltételezve, hogy Monty csak azt az ajtót fogja felfedni, ahol nem a főnyeremény van, vélhetően az egyik vigaszdíjat rejtő ajtót fogja kinyitni. Ennek köszönhetően két ajtó marad, az egyik mögött a főnyeremény, a másik mögött még egy vigaszdíj. Akkor most annak az esélye, hogy az általad választott ajtó mögött van a főnyeremény 50-50%, ugye?Nem! Annak az esélye, hogy az első választásodkor döntöttél jól 1:3. Annak az esélye viszont, hogy a nagy nyeremény a másik ajtó mögött van 2:3 , mert a valószínűség összegének egynek kell lennie. így, ha a másik ajtó mellett döntesz, akkor megduplázod annak esélyét, hogy nyersz! (A probléma fel­tételezi, hogy Monty mindig megadja az esélyt a játékosnak, hogy a másik ajtó mellett döntsön; hogy mindig a „nem nyer­tes" ajtót nyitja ki; és ha az első választásod a megfelelő, a fennmaradt két ajtó közül véletlenszerűen fog választani.) Gon­dold végig úgy, hogy 10 ajtóval játszol, s miután elkötelezted magad az egyik ajtó mellett, kinyitsz 8 „nem nyertes" ajtót. Itt az ösztöneid valószínűleg azt fogják mondani, hogy változtasd meg eredeti döntésedet, és válaszd mégis a megmaradt két ajtóból a másikat. Az emberek összetévesztik ezt a feladatot egy változóval: ha Monty nem tudja, hogy hol van a főnye­remény, és kinyitja a hármas ajtót, amely mögött egy kecske lapul (bár megvolt az esélye annak, hogy itt a főnyeremény lesz), akkor 50 % esélye van annak, hogy az 1 -es ajtó mögött van a nagy ajándék. Ez a megoldás annyira ellentmond az ösztönnek, hogy Marilyn Savant rengeteg levelet kapott, többek között tudósoktól és matematikusoktól, akik azt javasolták neki, ne írjon többet a matekról. Mindannyian tévedtek.(* A Let's Make a Deal (vagyis Kössünk Üzletet) egy hires te­levíziós játék volt, amelyet egy Monty Hall nevű férfi vezetett.

104

Az adás végén az a játékos, aki aznap legyőzte játékostár­sait, lehetőséget kapott arra, hogy a színpadon levő három hatalmas ajtó közül kiválasszon egyet, annak reményében, hogy e mögött az ajtó mögött lesz az aznapi főnyeremény- a ford.)

FELADATOK: HÁROMJEGYŰ SZAMOK

NÉGYZETRE EMELÉSE

1. 2. 3. 4.

4 0 9 2 8 0 5 2 2 1 7 2 8 9 6 2

5. 6. 7. 8.

3 4 5 2 3 4 6 2 2 7 6 2 6 8 2 2

9. 10. 11.

4 3 1 2 7 8 1 2 9 7 5 2

A KÖBRE EMELÉSEzt a fejezetet azzal zárjuk, hogy bemutatunk egy új mód­szert arra. hogyan emelj köbre kétjegyű számokat. (Em­lékeztetőül: egy szám köbe az, mikor a számot önmagával kétszer megszorozzuk. Például 53 = 5 x 5 x 5 = 125.) Látni fogod, ez majdnem olyan egyszerű, mint a kétjegyű számok összeszorzása. Ez a módszer a következő algebrai megfi­gyelésen alapszik (ahol d bármilyen szám lehet):

A3 = (A - d) A (A + d) + d2A

Ugyanúgy, mint a számok négyzetre emelésénél, én a d-\ úgy határozom meg. hogy kiszámolom a kübie emelendő szám és a tiz legközelebb eső szorzatának a különbségét.

105

Például, ha a 13-at kell köbre emelni, akkor a d = 3 (mivel a 13 és a 10 különbsége 3).

133 = (1 0 x 13 x 16) + (32 x 13)

Mivel 13 x 16= 1 3 x 4 x 4 = 52 x 4 = 208, és 9 x 13= 117, ezért:

13 3 = 2 0 8 0 + 1 1 7 = 2 1 9 7

Mennyi lehet a 35*̂ 7 Itt a d = 5.

3 5 3 = (3 0 x 3 5 x 40) + (52 x 35)

Mivel 30 x 35 x 40 = 30 x 1400 = 42 000, és 35 x 5 x 5 = 175 x 5 = 875, ezért

3 5 3 = 4 2 ,0 0 0 + 8 7 5 = 4 2 ,8 7 5

Mikor a 49-et emeljük köbre, akkor a d = 1, annak érde­kében, hogy 50-re kerekítsünk. Itt:

4 9 3= (48 x 4 9 x 50) + ( l 2 x 49)

A 48 x 49 megoldhatjuk tényezőkre bontással is, de az ef­fajta feladatoknál sokkal jobban kedvelem a közel egy­máshoz módszert, amelyet a 9. fejezetben fogok leimi (ha érdekel, akkor nyugodtan lapozz oda, és nézd meg!). így a 48 x 49 = (50 x 47) + (1 x 2) = 2352. Ezt megszorozzuk 50- nel, az eredmény pedig 117 600, ezért:

4 9 3 = 1 1 7 6 0 0 + 4 9 = 1 1 7 6 4 9

Itt van egy nagy falat. Próbáljuk meg a 92 köbét kiszámolni:

9 2 3 = (9 0 x 9 2 x 94) + 2 2 x 9 2

Ha gyorsan négyzetre tudod emelni a számokat, akkor ki tudod számolni, hogy a 92 x 94 = 932 - 1 = 8648. Vagy al­kalmazhatod a kö zti egymáshoz módszert is: 92 x 94 = (90 x 96) + (2 x 4) = 8648. Ezt megszorozzuk 9-ceI (hogy miért.

106

azt lásd a 9. fejezet elején), így 9 x (8600 + 48) = 77 400 + 432 = 77 832-t kapunk, és ennek értelmében 90 x 92 x 94 = 778 320. Mivel 4 x 92 = 368, ezért:

9 2 3 = 7 7 8 3 2 0 + 3 6 8 = 7 7 8 6 8 8

Megjegyzem, hogy amikor a közel egymáshoz módszert alkalmazzuk a kétjegyű számok köbre emelésének szorzási feladatainál, akkor a kis hozzáadandó összeg (attól füg­gően, hogy d - 1, 2, 3, 4 vagy 5) az 1 x 2 = 2, 2 x 4 = 8, 3 x 6 = 18, 4 x 8 = 32 vagy 5 x 10 = 50 lesz. Fejezzük be ezt a részt a 96 köbre emelésével.

9 6 3 = (92 x 9 6 x. 100) + (42 x 96)

A 92 x 96 = 8832-t többféleképpen is megkaphatjuk. Ünne­peljük meg ennek a fejezetnek a végét azzal, hogy néhányat elvégzünk. Azzal kezdem, amelyet a legnehezebbnek tar­tok, s azzal fogom befejezni, ami szerintem a legkönnyebb. Az összeadásos módszerrel: (90 + 2) x 96 = 8640 + 192 = 8832; a kivonásos módszerrel: 92 x (100 - 4) = 9200 - 368 = 8832; a tényezőkre bontásának módszerével: 92 x 6 x 4 x4 = 552 x 4 x 4 = 2208 x 4 = 8832; négyzetre emeléssel: 942- 22 = 8836 - 4 = 8832; és a közel egymáshoz módszerrel: ha az alapja 90: (90 x 98) + (2 x 6) = 8820 + 1 2 = 8832; és, ha az alapja 100: (100 x 88) + ( - 8 x - 4) = 8800 + 32 = 8832.A 42 x 96 végeredményét (1536) is több módon meg­kaphatjuk, például 96 x 4 x 4 = 384 x 4 = 1536. vagy 16 x

(100 - 4 )= 1600 - 6 4 = 1536. S végül, mivel 8832 x 100 = 883 200, ezért a végeredmény:

107

9 6 3 = 8 8 3 2 0 0 + 1 5 3 6 = 8 8 4 7 3 6

FELADATOK: KETJEGYU SZAMOK

KÖBRE EMELÉSE

1. 2. 3. 4. 5.1 2 3 17 3 2 1 3 2 8 3 3 3 3

6. 7. 8. 9. 10.3 9 3 4 0 3 4 4 3 5 2 3 5 6 3

11. 12. 13. 14. 15.6 5 3 7 1 3 7 8 3 8 5 3 8 7 3

16.9 9 3

108

5.Oszd meg és uralkodj: Osztás fejben

Mind az üzleti életben, mind a mindennapokban kifejezet­ten praktikus, ha tudsz fejben osztani. Vajon hetente hány­szor kerülsz olyan helyzetbe, amikor valamit egyenlő ré­szekre kell osztanod? Például a számlát egy étteremben, vagy amikor egy kiárusítás során szeretnéd megtudni, meny­nyibe kerül egyetlen kutyakonzerv, ha csak kartononként lehet megvenni. Ha osztozkodni kell a pókemyereményen, vagy egyszerűen csak szeretnéd kiszámolni, 3000 forintból hány liter benzint tudsz tankolni - s mindezt anélkül, hogy minden egyes alkalommal elővennéd a számológépet.

Amikor fejben osztasz, teljesen egyértelmű a balról job­bra számolás. így tanultuk az iskolában, úgyhogy azt kell tenned, ami már eleve természetes. Emlékszem, gyermek­koromban arra gondoltam, balról jobbra kellene az összes számtanfeladatot megoldani, ugyanakkor azon is eltűnőd­tem, ha a tanárok megtalálták volna annak módját, hogyan erőltessék rá az oszlásra is a jobbról balra módszert, akkor biztosan osztani is igy tanulunk meg.

OSZTÁS EGYJEGYŰ SZÁMMALElső lépésként rá kell jönnünk, hány jegyű szám lesz a vég­eredmény. Hogy értsd, mire gondolok, lássuk a következő feladatot:

1 7 9 / 7

109

Megoldásként azt a Q számot keressük, amit ha megszor­zunk 7-tel, eredményül a 179-et kapjuk. A 179-es szám a 70 (10 x 7) és a 700 (100 x 7) közé esik. ezért a Q biztosan a 10 és a 100 között van valahol, ami azt jelenti, hogy a meg­oldásunk egy kétjegyű szám lesz. Ezután - a kört tovább szűkítendő - megkeressük a tíznek azt a legnagyobb több­szörösét. ami osztható 7-tel. és nem több. mint 179. Tudjuk, hogy 20 x 7 = 140 (ez kevesebb, mint 179) és azt is, hogy30 x 7 = 210 (ami viszont már jóval több), vagyis a meg­oldásunk biztosan huszon-valamennyi lesz. Következő lé­pésként a 179-ből kivonunk 140-et (a 20 x 7-et, hiszen már megállapítottuk, hogy a végeredmény huszon-valamennyi), ez 39. A feladatunk most már a 39 / 7 műveletre redukáló­dott. Mivel az 5 x 7 = 35, ami 4-gyel kevesebb, mint a 39. megvan az újabb részmegoldásunk: 5 és maradt 4 (vagy 5 és 4/7). A végeredmény pedig 25, a maradék 4, vagy ha igy szimpatikusabb: 25 4/7. A folyamat igy néz ki (a végered­mény különböző helyértékein megjelenő számokat dőlt be­tűvel kiemeltük):

179- 140 (20 x 7)

39- 35 (5 x 7)

4 maradék

A megoldás: 25 és maradt a 4, vagy 25 y

Lássunk egy hasonló osztási feladatot, és használjuk ugyan­ezt a módszert:

675 / 8

110

A 675-ös szám 80 (8 x 10) és 800 (8 x 100) közé esik, így a végeredmény biztos, hogy 100 alatt lesz, vagyis kétjegyű. Ezután megkeressük a tíznek azt a legnagyobb többszörö­sét, ami osztható 8-cal, és nem több 675-nél. Mivel 8 x 80 = 640 és 8 x 90 = 720, ezért a 675 / 8 megoldása nyolcvan­valamennyi lesz. De mennyi az a „valamennyi”? Hogy kiderítsük, vonjuk ki a 675-böl a 640-et (a 8 x 80-at), az eredmény: 35. A feladat ezzel a 35 / 8-ra egyszerűsödött. Mivel 8 x 4 = 32, ezért a példa megoldása 84 és maradt a 3, vagy 84 és 3/8. A feladatot a következőképpen illusztrál­hatjuk:

675 -6 4 0 (80 x 8)

3532 (4 x 8)

3 maradék

A megoldás: 84 és maradt a 3, vagy 84 jj

A fejben elvégzett többi matematikai művelethez hasonlóan- összeadás, kivonás és szorzás - az osztásra is úgy kell te­kintenünk, mint egyszerűsítések folyamatára. Minél töb­bet számolsz, annál könnyebb lesz a dolgod. Ami először 675 / 8-ként indult, egy kisebb feladattá egyszerűsödött.35 / 8 lett belőle.

Most próbáljunk meg egy olyan példát, amelynek vég­eredménye háromjegyű szám lesz:

947 / 4

111

Ez alkalommal a megoldás azért háromjegyű, mert a 947 több. mint 400 (100 x 4), de kevesebb, mint 4000 (1000 x 4). Meg kell tehát találnunk a száznak azt a legnagyobb többszörösét, ami osztható 4-gyel. és nem több 947-nél. A 200 x 4 = 800. vagyis a megoldásunk mindenképp két­száz-valamennyi. Ezután kivonjuk a 947-ből a 800-at, és megkapjuk az új osztást: a 147 /4 . Mivel 30 x 4 = 120, ezért a végeredményről még több információt tudunk: azt, hogy kétszázharminc-valamennyi. Miután kivontuk a 147-böl a 120-at. kiszámoljuk a 27 / 4-et, így megkapjuk a megoldás utolsó számjegyét, a 6-ot, a maradék pedig 3. A végered­mény: 236 és maradt a 3, vagy 236 3/4.

947- 800 (200 x 4)

147- 120 (30 x 4)

27- 24 (6 x 4)

3 maradék

A megoldás: 236 ^

A folyamat akkor is ilyen egyszerű, ha egy négyjegyű szá­mot osztunk egy egyjegyű számmal, mint ahogy azt a kö­vetkező feladatnál is láthatod:

2196 / 5

A megoldás itt is háromjegyű, mert a 2196 több, mint 500 (100 x 5) és kevesebb, mint 5000 (1000 x 5). Miután kivon­tuk a 2196-ból a 2000-t (vagyis a 4UU x 5-öt), egyrészt tud­juk, hogy a megoldás négyszáz-valamennyi lesz, másrészt a

112

feladat leegyszerűsödik 196 / 5-re. amelyet ugyanúgy meg lehet oldani, mint az előző feladatokat.

2196- 2000 (400 x 5)

196- 150 (30 x 5)

46-4 5 (9 x 5)

1 maradék

A megoldás: 439 ^

Az igazság azonban az, hogy van egy sokkal könnyebb megoldási módja ennek a feladatnak: egyszerűen csak dup­lázzuk meg mindkét számot, és úgy végezzük el az osztást. Mivel 2196 x 2 = 4392. és 2196 / 5 = 4392 / 10. ezért a megoldás 439.2 vagyis 439 2/10. A következő részben még több ilyen trükköt mutatok majd.

FELADATOK: OSZTÁS EGYJEGYŰ SZÁMMAL

1. 2. 3.318 / 9 726 / 5 428 / 7

4. 5. 6.289 / 8 1328 / 3 2782 / 4

AZ UJJSZABÁLYMikor nem papiron, hanem fejben számolsz, nehézséget okozhat, hogy megjegyezd a részei ed menyeket miközben haladsz előre a feladat megoldásában. Ahogy azt már láttad.

113

az egyik lehetőség, ha mindig kimondod hangosan azt. ahol éppen tartasz. A nagyobb drámai hatás érdekében azonban lehet, hogy te is inkább azt a variációt választod, amelyet én használok: a számokat az ujjaimon tartom, és a végered­ményt egyben mondom ki. Ebben az esetben gondjaid me­rülhetnek fel az olyan számoknál, amelyek ötnél nagyobbak. Megoldásként használd azt a jelbeszéden alapuló, speciális technikát, amelyet én ujjszabálynak hivok. Rendkívül hatá­sos, mikor háromjegyű vagy annál nagyobb számokat kell észben tartanod, és nem csupán ebben a fejezetben lesz hasznodra, jól fog jönni az „ujj" fejezeteknél is (bocs a szó­viccért!), ahol még nagyobb feladatokkal és még hosszabb számokkal kell majd megküzdened.

Te is tudod, a számokat 1-től 5-ig hogyan kell a kezünk­kel jelezni: egyszerűen annyi ujjunkat emeljük fel, ameny- nyit mutatni akarunk. Ha azonban a hüvelykujjadat más­képp is bevonod a játékba, tehát nem csak az 1-et mutatod vele, akkor 6-tól 9-ig is ugyanolyan egyszerű lesz kifejezni a számokat. Itt vannak az ujjszabályok:

• Hogy észben tartsd a 6-ot: helyezd a hüvelykujjadat a kis- ujjadra.

• Hogy észben tartsd a 7-et: helyezd a hüvelykujjadat a gyű­rűsujjadra.

• Hogy észben tartsd a 8-at: helyezd a hüvelykujjadat a kö­zépső ujjadra.

• Hogy észben tartsd a 9-et: helyezd a hüvelykujjadat a mu­tatóujjadra.

A háromjegyű számok esetében a százas helyértéken szerep­lő számot tartsd a bal kezeden, a tizes helyértéken szereplőt pedig a jobb kezeden. Mikor elérsz az egyes helyértékhez, akkor már a feladat végén vagy (kivéve persze, ha van mara­dék). Tehát, először mondd ki a bal kezeden található számot,

114

majd a jobb kezeden levőt, ezután azt. amit éppen most szá­moltál ki az egyes helyértéken, és végül a maradékot (amit a fejedben tartasz). Tessék - már meg is van a válaszod!

Gyakorlásképpen próbáld meg kiszámolni a következő osztási feladatot: 4579 / 6

4 5 7 9

- 4 2 0 0 (7 0 0 x 6 )

3 7 9

- 3 6 0 (60 x 6 )

19

- 18 (3 x 6 )

1 maradék

A m e g o ld ás : 7 6 3 g

Az „ujjszabályt” használva úgy fogod ujjban tartani a meg­oldást, hogy a bal kezeden a 7-et (a hüvelykujjadat a gyű­rűsujjadra helyezve), és a jobb kezeden a 6-ot (a hüvelyk- ujjadat a kisujjadra rakva) mutatod. Amint kiszámoltad az utolsó számot (ami ebben az esetben a 3) és a maradékot (1), rögtön „leolvashatod" a megoldást az ujjaidról, balról jobbra: 7 ... 6 ... 3, és a maradék l.

Előfordul, hogy négyjegyű számok osztásakor a megol­dás is négyjegyű lesz. Ebben az esetben, mivel csupán két kezed van, az ezres helyértéken szereplő számot ki kell mondanod hangosan, és az ujjszabályt csak a megoldás többi részének kézbentartására használhatod.

Például: 8 3 5 2 /3

115

8 3 5 2

- 6 0 0 0 (2 0 0 0 x 3)

2 3 5 2

- 2 1 0 0 (7 0 0 x 3)

2 5 2

- 2 4 0 (8 0 x 3)

12

- 12 (4 x 3)

0 maradék

A m eg o ld ás : 2 7 8 4

OSZTÁS KÉTJEGYŰ SZÁMOKKALEbben a részben abból indulunk ki. hogy már tökéletesen tudsz egyjegyű számmal osztani. Az osztási feladatok ter­mészetesen annál nehezebbek, minél nagyobb az osztó. Szerencsére azonban van néhány trükk az ingujjamban, amelyek meg fogják könnyíteni az életedet.

Először próbálkozzunk egy aránylag egyszerű feladattal:

5 9 7 / 14

Az 597 a 10 x 14 (140) és a 100 x 14 (1400) között van. ezért a megoldás (más néven hányados) 10 és 100 közé fog esni, tehát kétjegyű lesz. Első lépésként meg kell határoznunk, hogy a 14 körülbelül hányszor van meg az 597-ben. Ilyenkor mindig könnyű számmal szorozz! Mivel 40 x 14 = 560, vi­szont az 50 x 14 már 700, ezért tudjuk, hogy a végeredmény negyven-valamennyi lesz, amit már ki is mondhatunk.

Ezután vonjuk ki az !>6ü-at az !>97-böl, ami 37. Az osz­tási feladatot ezzel leegyszerüsitettük a következő kérdésre:

116

37-hen hányszor van meg a 14? Mivel 2 x 14 = 28, ezért a megoldás 42. Azzal, hogy a 37-ből kivonjuk a 28-at, meg­kapjuk a maradékot is. a 9-et. A folyamat, amellyel eljutot­tunk a végeredményhez, a következőképpen ábrázolható:

597- 560 (40 x 14)

37r_28 (2 x 14)

9 maradék

A megoldás: 42

A következő feladat egy kicsit nehezebb, mert a kétjegyű osztó itt valamivel nagyobb: 682 / 23

A megoldás most is kétjegyű szám lesz, mivel a 682 a 10 x 23 (230) és a lOOx 23 (2300) közé esik. Hogy megtudjuk a tizes helyértéken szereplő számot, először fel kell tennünk a kérdést: körülbelül hányszor van meg a 682-ben a 23? Ha 30-cal próbálkozol, tapasztalni fogod, hogy ez egy icipicit sok. mert 30 x 23 = 690, igy most már tudod, hogy a megoldás húszon-valamennyi lesz Ezután vonjuk ki a 20 x 23 = 460-at a 682-böl, megkapjuk a 222-t. Mivel 9 x 23 = 207. ezért a megoldás 29. a maradék pedig 222 - 207 = 15.

682-4 6 0 (20 x 23)

222- 207 (9 x 23)

1 5 maradék

A megoldás: 29 ^

117

Most próbálkozzunk a következővel: 4 9 1 /6 2A 491 kevesebb, mint a 10 x 62 = 620, ezért a megoldá­

sunk biztosan egyjegyű szám lesz, és lesz maradékunk. Ta­lán a 8-ra fogsz tippelni, de az egy kicsit sok: 8 x 62 = 496. Mivel 7 x 62 = 434, ezért a megoldás 7, a maradék pedig 4 9 1 - 434 = 57, vagyis 7 57/62.

491-4 3 4 (7x 62)

5 7 íjiaradék

A megoldás: 7 ^

De van egy jó hírem: remek trükköm van arra, hogy az ilyen típusú feladatokat könnyebbé tegyük. Emlékszel, hogy ami­kor a 8 x 62-vel próbálkoztál, az eredmény (a 496) egy kicsit több volt a kelleténél? Nos, az erőfeszítés nem volt hiábavaló. Egyrészt megtudtuk, hogy a megoldás „eleje” csakis 7 lehet, másrészt azonnal ki tudjuk számolni a maradékot is. Mivel a 496 pontosan 5-tel több, mint a 491, a maradék ugyan­ennyivel lesz kevesebb az osztónál, vagyis a 62-néI. Tehát: 62 - 5 = 57, vagyis a megoldás 7 57/62. Ez a trükk azért működik, mert: 491 = (62 x 8 ) - 5 = 62 x ( 7 + l ) - 5 = (62 x 7 + 62) - 5 = (62 x 7) + (62 - 5) = 62 x 7 + 57.

Most próbáld meg kiszámolni a 380 / 39-celt az imént tanult trükkel. A 10 x 39 = 390, ami 10-zel több, mint ami nekünk kell. A megoldás tehát 9, a maradék: 39 - 10 = 29.

Újabb kihívásként ossz el egy négyjegyű számot egy kétjegyű számmal:

3657 / 54

Mivel 100 x 54 = 5400, és az osztandó számunk jóval kisebb ennél, ezért tudjuk, hogy a megoldás csak kétjegyű

118

szám lehet. Ahhoz, hogy megkapjuk a végeredmény első számjegyét, tudnunk kell, körülbelül hányszor van meg a 3657-ben az 54. Mivel 70 x 54 = 3780, és ez valamivel több, ezért tudjuk, hogy a megoldás hatvan-valamennyi lesz.

Végezzük el a 60 x 54-ct, és vonjuk ki 3657-ből (3657 - 3240 = 417). Amint kimondtad a hatvanat, a feladatod le­egyszerűsödött 417 / 54-re. Mivel 8 x 54 = 432, és ez egy kicsit sok, ezért a második számjegy a 7, a maradék pedig: 5 4 - 15 = 39.

3657- 3240 (60 x 54)

417 -3 7 8 (7 x 54)

39 maradék

A megoldás: 67

Most próbálj meg egy olyan feladatot, amelynek a megol­dása háromjegyű szám lesz: 9467 / 13

9467 -9 1 0 0 (700 x 13)

367-2 6 0 (20 x 13)

107- 104 (Ő x 13)

3 maradék

A megoldás: 728 ^

119

Az osztási feladatok egyszerűsítéseHa mostanra felforrt az agyad, akkor nyugi! Ahogy Ígér­tem, el akarok mondani néhány trükköt, ami bizonyos fej­ben végzett osztásokat leegyszeríisit. A kiindulás mindig az, hogy megkeressük az osztandó és az osztó szám közös osztóját, vagyis azt a számot, amellyel mindkettő maradék nélkül osztható. Ha a feladatban ráadásul mindkét szám páros, akkor a számolást kétszer olyan egyszerűvé teheted azzal, ha először mindkét számot kettővel osztod, és csak utána látsz neki a folytatásnak. Például a 858 / 16 esetében a felezés után egy sokkal egyszerűbb feladattal állunk szemben: 429 / 8.

8 5 8 / 16 osztva 2-vel 4 2 9 / 8

8 5 8 4 2 9

- 8 0 0 (50 x 16) - 4 0 0 (5 0 x 8 )

58 29

^ 4 8 ( 3 x 16) - 2 4 (3 x 8 )

10 5

A megoldás: 53 A megoldás: 53 §16 8

Mindkét számolási módszert elvégeztük, hogy lásd, igy mennyivel egyszerűbb. Gondolom észrevetted, hogy a két maradék - a 10 és az 5 - nem egyenlő; de ha a maradékot tört formájában irjuk fel, akkor látni fogod, hogy a 10/16 ugyanannyi, mint az 5/8. Ezért amikor ezt a módszert alkal­mazod, a megoldást mindig törtben kell kifejezni.

120

Most próbálj meg te is egyet gyakorlásképpen: 3 6 1 8 /5 4

361 8 / 54 osztva 2-vel 1 809 / 27

- 3240 (60 x 54) - 1620 (60 x 27)378 189

-3 7 8 (7 x 54) - 189 Í7 x 27)

A megoldás: 67

A jobb oldali feladatot sokkal könnyebb fejben kiszámolni, mint a bal oldalit. Ha pedig igazán éber vagy, és/reveszed, hogy az eredeti feladat mindkét számát 18-cal osztva még egyszerűbb feladatot kapsz: 201 I 3 = 61.

Figyelj oda azokra a feladatokra, amelyeket kétszer is lehet 2-vel osztani, mint például a 1652 / 36-t:

1652 / 36 = 826 / 16 = 413 / 9=/2 n

413

- 360 (40 x 9)

53

-4 5 (5 x 9)8 maradék

8

Számomra egyszerűbb, ha mindkét számot kétszer osztom 2-vel, mintha egyszer osztanám 4-gyel. A következő pél­

121

dában, ahol mindkét szám 0-val végződik, mindkettőt oszt­hatod 10-zel:

5 8 0 / 7 0 = 58 / 7/io

5 8

- 5 6 (8 x 7)

2 maradék

A megoldás: 8 j

Ha pedig egy feladatban mindkét szám 5-re végződik, az egyszerűsítéshez először duplázd meg őket, majd oszd el mindkettőt 10-zel.

4 7 5 / 35 = 9 5 0 / 7 0 = 9 5 / 7x 2 / 10

95

- 7 0 (7 0 x 7)

25

- 21 (3 x 7)

4 maradék

A megoldás: 13 ^

Végül, ha az osztó 5-re, és az osztandó szám 10-re vég­ződik, akkor mindkettői szorozd meg 2-vel, majd oszd el 10-zel, ugyanúgy, ahogy azt fent is tetted:

122

8 9 0 / 4 5 = 1 7 8 0 / 9 0 = 178 / 9x 2 / 10

178

- 9 0 ( JO x 9)

88- 81 ( 9 x 9 )

7 maradék

A megoldás: 19 ^

FELADATOK: OSZTÁS KETJEGYU SZAMOKKAL

Az alábbi osztások segítségével kipróbálhatod, vajon meny­nyire sikerült elsajátítanod a fejezet korábbi szakaszaiban leirt egyszerűsítési technikákat. A könyv végén található megoldásokkal és magyarázatokkal ellenőrizheted magadat.

1. 2. 3.7 3 8 / 17 591 / 2 4 321 / 79

4. 5. 6.4 2 6 8 / 2 8 7 2 1 4 / 11 3 0 7 4 / 18

ELME KONTRA SZÁMOLÓGÉP: TANULJUNK MEG TIZEDES TÖRTRE VÁLTANIBiztosan kitaláltad már, hogy szeretek varázsolni, amikor közönséges törteket tizedes törtekké alakítok át. Az egyje­gyű közönséges törtek esetében (a „keltedtől” egészen a

123

„tizenegyedig”) az a legjobb megoldás, ha bemagolod a velük egyenértékű tizedes törteket. Hz nem olyan nehéz, mint amilyennek első hallásra tűnik. Lent látni fogod, hogy a legtöbb közönséges törtnek egyedi jellemzői vannak, amelynek hála. nehéz őket elfelejteni. Ha bármikor le tudsz egyszerűsíteni egy közönséges törtet egy olyan számmá, amelyet már ismersz, akkor felgyorsitod a számolást. (A vég­telen, illetve a szakaszos végtelen tizedes törtek ismétlődő számjegyeit vízszintes vonallal jelöltük.)

Nagy valószínűséggel a következő közönséges törtek tizedes tört alakját már ismered:

I = 0 ,5 0 1 = 0 ,3 | = 0 ,6

és ezeket is:

I = 0 ,2 5 | = 1 = 0 ,5 0 3 = 0 ,7 54 4 2 4

Az ötödöket könnyű megjegyezni:

I = 0 ,2 0 | = 0 ,4 0 3 = 0 ,6 0 | = 0 ,8 05 5 5 5

A hatodokhoz csupán két új számot kell megtanulnod:

1 = 0 ,1 6 1 = 1 = 0 ,3 3 = 1 = 0 ,5 06 6 3 6 2

| = I o ,6 | = 0 ,8 3

Mindjárt rátérek a hetedekre, de előbb lássuk a nyol- cadokat, amik hihetetlenül egyszerűek:

1 = 0 ,1 2 5 | = 1 = 0 ,2 5

124

3 = 0 ,3 7 5 (3 x i = 3 x 0 ,1 2 5 = 0 ,3 7 5 ) 8 8

4 . 1 = 0.50

| = 0 ,6 2 5 (5 x 1 = 5 x 0 ,1 2 5 = 0 ,6 2 5 ) 8 8

| = | = 0 ,7 5

Z = 0 , 8 7 5 ( 7 x 1 = 7 x 0 , 1 2 5 = 0 , 8 7 5 )8 8

A kilencedeknek megvan a saját varázslatuk:

1 = 0,1 | = 0 ,2 | = 0 ,3 | = 0 ,4

| = 0 ,5 | = 0 ,6 Z = 0 ,7 | = 0 ,8

A tizedeket már úgyis tudod:

,1 = 0,10, í ■ « • » i^ - 0 3 0

A = 0,40 J = 0.50í é = 0 6 0

1-Z = 0,70

o00%0II

001 or— i l = ° '90

A ti zenegyedeknél, ha fejben tudod tartani, hogy i/n = akkor a többi semmiség:

_ L = 0,09 11

XCN12oIICH| — 0,0909)

^ = 0,27 (3 x 0,0909)t1 - ° ' 5 5

125

^ = 0 ,4 5 J | = 0 ,5 4 J = 0 ,6 3

^ = 0 ,7 2 ^ = 0 ,81 = 0 ,9 0

A hetedek igazán egyediek. Ha megjegyzed, hogy 1/7 = 0,142857, akkor már tudod is az összes többit anélkül, hogy ki kellene számolnod őket:

1 = 0 ,1 4 2 8 5 7 | = 0 ,2 8 5 7 1 4 3 = 0 ,4 2 8 5 7 1

| = 0 ,5 7 1 4 2 8 | = 0 ,7 1 4 2 8 5 | = 0 ,8 5 7 1 4 2

Figyeld meg, hogy mindegyik törtnél ugyanabban a sorrend­ben követik egymást a számok, csupán a kiindulási pont (szám) változik. A kiindulási pontot viszont egy szorzás se­gítségével pillanatok alatt kiszámolhatjuk: számláló x 0,14. A 2/7 esetében: 2 x 0,14 = 0,28. A számsor tehát 2-vel fog kezdődni: 0,285714. Ugyanígy kell eljárni a 3/7-del is. Mivel3 x 0,14 = 0,42, a számsornak a 4-gyel kell kezdődnie: 0,428571.

Amikor egy közönséges tört számlálójában és nevező­jében 10-nél nagyobb szám szerepel, úgy kell tekintenünk rá, mint bármilyen más osztásra. De mindig legyünk ébe­rek, mert lehet, hogy egyszerűsíteni tudjuk a feladatot! Például a 18/34-et úgy, hogy mind a számlálót, mind a ne­vezőt osztjuk 2-vel, igy 9/17-re „csökkentettük”, amelyet könnyebb kiszámolni.

Ha a tört nevezője páros szám. akkor úgy egyszerűsít­hetünk, hogy az egész törtet osztjuk 2-vel. még akkor is, ha a számláló páratlan. Például:

9 - 4 ,514 7

126

igy a nevezőbe 7 került, és bár a 4,5/7 nem szerepel a „he­tedeket*’ bemutató táblázatban, amint elkezded a számolást, be fog ugrani a korábban bemagolt szám. Először a szám­lálót szorozzuk 10-zel, mert igy könnyebb kiszámolni a fel­adatot: 45 / 7.

4 5- 4 2 (6 x 7)

3 maradék

Tehát a 45 / 7 = 6 és maradt a 3, vagyis 6 3/7. A 3/7-ről tud­juk, hogy 0,428571, ezért a 6 3/7 = 6,428571. Mivel azonban a számlálót korábban szoroztuk 10-zel, most ezt az ered­ményt osztanunk kell ugyanennyivel, hogy megkapjuk a 4.5/7 végeredményét, a 0,64282857 l-et.

Mint láthatod, nem kell az egész feladatot végigszámol­nod. Amikor a kerekítés után eljutottál odáig, hogy a 3-at 7- tel kell osztanod, a dolgod már egészen könnyű.

Ha a nevező 5-re végződik, akkor majdnem mindig ki­fizetődőbb, ha a nevezőt és a számlálót is kettővel megszor- zod, majd 10-zel osztod. Például:

2 9 = 58 -^5/8 - £ 4 4 45 9 0 9

x 2 / 10

Azokat a számokat, amelyek 25-tel vagy 75-tel végződnek szorozzuk 4-gyel, majd osszuk el 100-zal.

3 1 = 1 2 4 s 1/24 25 100

* 4 / 100

6 2 = 2 4 8 = 2*48 = 0 ,8 2 6 675 3 0 0 3

x 4 / 100

127

FELADATOK: VÁLTÁS TIZEDES TÖRTRE

A következő feladatok megoldásánál ne felejtsd el használ­ni azokat az egyjegyű törteket, amelyek tizedes tört alakját már tudod. Ahol lehetséges, ott egyszerűsíts, mielőtt még nekifognál az átváltásnak.

1. 2. 3. 4.2 4 3 95 7 8 12

5. 6. 7. 8.5 6 14 13

12 11 2 4 2 7

9. 10. 11. 12.18 10 6 194 8 14 3 2 4 5

AZ OSZTHATOSAG ELDONTESEAz előző részben láthattuk, egy osztási feladat mennyivel egyszerűbb lesz, ha a két számnak vannak közös osztói. A fe­jezet zárásaként most röviden megbeszéljük, hogyan lehet megállapítani, hogy egy adott szám vajon osztója-e egy másik számnak. Ha képesek vagyunk ezt könnyedén eldönteni, le­egyszerűsíthetjük az osztási feladatokat, a szorzásokat pedig sokkal gyorsabban megoldhatjuk. A magasabb szintű feladatok­nál különösen jól fog jönni ez a tudás, hiszen a kél-, három-, vagy akár ötjegyű számok szorzásakor fontos lesz, hogy az adott számot minél hamarabb szorzóira tudjuk bontani. Mindemel­lett, a szabályok némelyike egyszerűen gyönyörű.

Mikor osztható egy szám 2-vel? Ezt könnyű megállapí­tani, hiszen mindössze annyit kell tennünk, hogy megnéz­zük az utolsó számjegyet. Ha ez 2, 4, 6, 8 vagy 0, tehát pá­ros szám, akkor az egész szám osztható 2-vel.

Hogy cldüntsd, egy szám osztható-e 4-gyel, nézd meg az utolsó két számjegyét. Ha ezek oszthatók, akkor az egész

128

szám is osztható lesz 4-gyel. Az 57 852 a 4 többszöröse, mivel 52 = 13x 4. A 69 346 nem osztható 4-gyel, mivel a 46 sem. Ez a trükk azért működik, mert a 100 maradék nélkül osztható 4-gyel, és igy a 100 többszöröseire is igaz lesz mindez. Ennek értelmében az 57 800 biztosan osztható 4- gyel (hiszen a 100 többszöröse), és ha az 52 is. akkor tud­juk, hogy e két szám összege, az 57 852 szintén osztható lesz maradék nélkül 4-gyel.

Hasonlóan, mivel az 1000 osztható 8-cal, ezért csak az utolsó három számjegyet kell megvizsgálnunk, hogy kide­rítsük, az egész szám osztható-e 8-cal. A 14 918 estében a 918-at kell megnéznünk, és mivel az osztás után van ma­radék (918 / 8 = 114 6/8), ezért a szám nem osztható 8-cal. Erre egyébként abból is rájöhetünk, hogy a 18 (a 14 918 két utolsó számjegye) nem osztható 4-gyel. és ha nem osztható4-gyel, akkor 8-cal sem.

A 3-mal való oszthatóság megállapítására van egy tuti jó szabály, amit nagyon könnyű megjegyezni: egy szám akkor, és csak akkor osztható 3-mal. ha számjegyeinek összege osztható 3-mal - teljesen függetlenül attól, hogy az adott szám milyen hosszú. Osztható-e az 57 852 3-mal? A válasz­hoz egyszerűen add össze a számokat: 5 + 7 + 8 + 5 + 2 = 27. Mivel a 27 a 3 többszöröse, ezért a válaszunk: igen, az 57 852 osztható 3-mal.

Ugyanez a szabály igaz a 9-cel való oszthatóságra is: egy szám akkor, és csak akkor osztható 9-cel, ha a számje­gyek összege osztható 9-cel. Ennek értelmében az 57 852 igen, mig a 31 416 nem, mivel ennek számjegyeit összead­va 15-öt kapunk. A módszer működésének alapja az, hogy egy szám és a számjegyeinek Összege 9-cel osztva ugyanazt a maradékot adja. Például ha a 46-ot elosztjuk 9-cel, a maradék ugyanúgy I lesz. mint amikor a 4 + 6-ot, tehát a 10- et osztjuk 9-cel. Vagyis, ha a számok összegét osztva nincs maradék, akkor az egész számot osztva sem lesz. Logikus

129

módon a 3-mal való oszthatóság megállapításának módsze­re is ugyanezen az elven alapul: egy szám és a számjegyei­nek összege 3-mal osztva azonos maradékot ad.

Egy szám csak akkor osztható 6-tal, ha páros és osztható3-mal - ez elég könnyű, nem?

Még ennél is egyszerűbb megállapítani, hogy egy szám osztható-e 5-tel. Minden szám, ami 5-re vagy Ü-ra végző­dik, az biztosan az 5 többszöröse.

A 11 -gyei való oszthatóság eldöntése csak egy kicsit nehezebb annál, mint amikor azt néztük, hogy egy szám osztható-e 3-mal vagy 9-ccl. Ha a számjegyeket sorban, váltakozó előjellel összeadjuk, és az eredmény 0, 11 vagy annak többszöröse lesz. akkor a szám osztható I l-gyel (az mindegy, hogy elölről vagy hátulról kezded az összeadást, és az is, hogy az első számot pozitívnak vagy negatívnak veszed, a lényeg a váltakoztatás!). Például 73 958 nem osztható 1 l-gyel, mivel 7 - 3 + 9 - 5 + 8 = 16. Ugyanakkor a 8492 és a 73 194 a 11 többszörösei, mivel számjegyeik összege 8 - 4 + 9 - 2 = 1 1 és 7 - 3 + 1 - 9 + 4 = 0. A mű­ködési elv is hasonló, mint a 3-mal és a 9-cel oszthatóság szabályánál volt: egy szám és a számjegyeinek összege1 l-gyel osztva azonos maradékot ad.

A 7-tel való oszthatóság megállapítása egy kicsit trük­kösebb. A vizsgált számhoz addig kell hozzáadni vagy ki­vonni belőle a 7 többszöröseit, mig egy olyan számhoz nem érünk, amelyről már könnyen eldönthető, osztható-e 7-tel. Én a 7-nek mindig olyan többszörösét választom, amely a hozzáadás vagy kivonás után 0-ra végződő számot eredmé­nyez. Például az 5292 esetében kivonok 42-t (a 7 több­szörösét). így 5250-et kapok. Ezután megszabadulok a 0-tól (mivel a 10-zel való osztás nem befolyásolja a 7-tel való oszthatóságot), a számom tehát 525 lesz. Ezt követően hoz­záadok 35-üi (a 7 többszörösét), mellyel 560-at kapok. Ismét megszabadulok a 0-tól, marad az 56, amelyről tudom.

130

hogy a 7 többszöröse. Ennek értelmében az eredeti szám, az 5292 osztható 7-tel.

Ezzel a módszerrel nemcsak azt dönthetjük el, hogy egy adott szám osztható-e 7-tel, hanem minden olyan páratlan számmal való oszthatóságát is. amely nem 5-re végződik. Például ahhoz, hogy megtudjuk, a 8792 osztható-e 13-mal, először kivonunk 4 x 13 = 52-t a 8792-ből, igy 8740-et kapunk. Ha megszabadulunk a 0-tól, akkor a számunk 874 lesz. Ehhez hozzáadunk 2 x 1 3 = 26-ot, igy 900-at kapunk. Ismét eltávolítjuk a 0-ákat, marad a 9, amely nem több­szöröse a 13-nak. Tehát a 8792 nem osztható 13-mal.

FELADATOK: AZ OSZTHATÓSÁG ELDÖNTÉSE

Ezekben az utolsó feladatokban légy különösen óvatos, ami­kor a 7-tel és a 17-tel való oszthatóságot vizsgálod. A többi könnyedén menni fog.Oszthatóság 2-vel

1 .5 3 4 2 8 2 .2 9 3 3 .7 2 4 1 4 .9 8 4 6

Oszthatóság 4-gyel

5. 3 9 3 2 6. 6 7 3 4 8 7. 3 5 8 8. 5 7 9 2 9

Oszthatóság 8 -cal

9 5 9 3 6 6 1 0 .7 3 4 8 8 1 1 .2 4 8 12 6111

Oszthatóság 3-mal

1 3 .8 3 671 14 9 4 7 3 7 15 .73 59

16 3 2 6 7 4 8 6

Oszthatóság 6 -tal

17. 5 3 3 4 18 6 7 3 8 6 19 2 4 8 20 5991

131

Oszthatóság 9-cel

2 1 .1 2 3 4 2 2 .8 4 6 9

23. 4 425 575 24 314 159 265

Oszthatóság 5-tel

2 5 .4 7 8 3 0 2 6 .4 3 7 6 2 2 7 .5 6 7 8 5 2 8 .3 7 2 1 0

Oszthatóság 11-gyei

29 53 867 30 4969 31. 3828 32 941 369

Oszthatóság 7-tel

33. 5 7 8 4 34. 73 3 6 35. 8 7 5 36. 11 83

Oszthatóság 1 7-tel

37. 69 4 38. 62 9 39 8 2 7 3 40. 13 8 55

A KOZONSEGES TÖRTEKHa tudsz bánni az egész számokkal, akkor a törtekkel való számolás is majdnem ugyanolyan könnyű lesz számodra. Ebben a részben átvesszük a tőnek Összeadásának, kivoná­sának, szorzásának, osztásának és egyszerűsítésének alapve­tő módszereit. Azok. akik otthonosan mozognak a törtek vi­lágában, nyugodtan átlapozhatják ezt a részt anélkül, hogy bármiből is kimaradnának.

A törtek szorzásaEgyszerűen szorozd össze egymással a felső számokat (a számlálókat) és az alsó számokat (a nevezőket). Például:

2 x 4 __8 1 x 5 =_53 5 “ 15 2 9 18

132

Nincs is ennél egyszerűbb! Csináld meg a következő fel­adatokat, még mielőtt továbbmennél:

FELADATOK: TÖRTEK SZORZASA

1. 2. 3. 4.3 * 2 4 x U 6 x 3 9 x 75 7 9 7 7 4 10 8

A törtek osztásaTörteket osztani ugyanolyan egyszerű, mint szorozni. Csu­pán egy pluszlépés van: a második törtet fordítsd fejjel le­felé (ezt hívják reciproknak), majd szorozd össze a két tör­tet. Például a 4/5 reciproka az 5/4. Ennek értelmében:

2 / 4 _ 2 x 5 _ 1 03 5 3 4 12l / 5 - l x ? - _ ?2 9 2 5 10

FELADATOK: TÖRTEK OSZTASA

Most te jössz! Számold ki az alábbi feladatokat:

1. 2. 3.2 / 1 1 / 6 2 / 35 2 3 5 5 5

A törtek egyszerűsítése:A törtekre gondolj úgy, mint apró osztásokra. Például a 6/3

ugyanaz, mint a 6 / 3 = 2. Az 1/4 ugyanannyi, mint a I / 4 (amely tizedes tört alakban 0,25 ). Azt tudjuk, hogy ha egy szamot megszorzunk l-gycl. akkor a/, ugyanannyi marad. Például: 3/5 = 3/5 x 1. De ha az 1-et 2/2-re cseréljük, akkor

133

3/5 = 3 / 5 x 1 = 3/5 x 2/2 = 6/10-et kapunk. Vagyis kijelent­hetjük, hogy 3/5 = 6/10. Ugyanígy, ha az 1-et 3/3-ra cse­réljük, akkor 3/5 = 3/5 x 3/3 = 9/15. Más szavakkal: ha a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal szorozzuk, akkor egy olyan új törtet kapunk, amely egyenlő az erede­ti törttel.

Például:

2 - 2 x 5 - 1 03 3 5 " 15

És természetesen az is igaz, hogy ha a számlálót és a ne­vezőt ugyanazzal a számmal osztjuk, akkor az így kapott tört egyenlő az eredeti törttel.

Például:

4 - 4 / 2 - 2 8 6 2 3

25 - 25 / 5 - 535 “ 32 5 7

FELADATOK: TÖRTEK EGYSZERŰSÍTÉSE

írd fel az alábbi törteket úgy, hogy a nevezőben 12 szere­peljen.

1. 2. 3. 4.1 5 3 5 3 6 4 2

Egyszerűsítsd a következő törteket.

5. 6. 7. 8._8 _ 6 24 2010 15 36 36

134

A törtek összeadásaA dolgunk egyszerű, ha a nevezők egyformák. Ilyenkor csak összeadjuk a számlálókat, és a nevezőkkel semmit sem teszünk.

Például:

Néha a megoldási még le is lehet egyszerűsíteni:

1 + 5 - 6 _ 3 8 8 8 4

FELADATOK: TÖRTEK ÖSSZEADÁSA

Egy kicsit trükkösebb, ha a nevezők különböznek. Mert ebben az esetben a törteket közös nevezőre kell hoznunk a behelyettesítés módszerével. Ilyenkor az egyik törtet áta­lakítjuk úgy, hogy az ő nevezőjében is ugyanaz a szám szerepeljen, mint a másik tört nevezőjében.

Például, az

3 + 1 - 4 5 5 " 5

4 + 2 = 67 7 7

1. 2 . 3._ 5 + _ 4 _ 5 + _6 12 12 18 18

4._3 + _3 10 10

1 + A3 15

megoldásához észre kell vennünk, hogy az

1 = _53 15

és igy a végeredmény:

135

l + ^ = _5 + ^ = ^3 15 15 15 15

Vagy az

kiszámolásakor tudjuk, hogy az

1 _ 42 " 8

tehát:

I la a feladat

1 + 7 - 4 . 7 - 1 12 8 8 8 8

3 5akkor látnunk kell, hogy az

I _ _53 1 5 ” 5 1 5I = -5 és a ? = 6

ezertl + 2 - _5 + _ 6 - ü3 5 15 15 15

FELADATOK: TÖRTEK OSSZEADASA

(KÜLÖNBÖZŐ NEVEZŐK)

1. 2. 3. 4.1 + _1 1 + _5 i + l 2 + _5 5 10 6 18 3 5 7 21

5. 6. 7.2 + 3 3 + 3 __2 + 53 4 7 5 11 9

136

A törtek kivonásaA törtek kivonása nagyon hasonlít a törtek összeadásához. Példákkal lb&juk bemutatni, és adunk feladatokat is, hogygyakorolhass.

3 - 1 - 25 5 5

5 - 1 - 4 - 1 8 8 " 8 2

7 - 1 - Z - 4 - 3 8 2 8 8 8

2 - l - _ 8 - _ 7 - J L7 4 "28 28 28

4 - 2 - 27 7 7

1 - _2 - _5 - _2 - _3 - 13 15 ” 15 15 15 5

1 - Z - 4 . Z - - 32 8 8 8 8

2 - 5 = !6 -1 _5 = _ !3 8 24 24 24

FELADATOK: TÖRTEK KIVONÁSA

1. 2. 3._ 8 _ _3 1 2 . 8 13 - _511 11 7 7 18 18

4. 5. 6.4 - J . _? - 3 3 . 25 15 10 5 4 3

7. 8. 9.Z - _ l 4 - 2 8 - 18 16 7 5 9 2

137

6.A találgatás művészete

A korábbi fejezetekben olyan technikákat sajátítottál el, amelyek segítségével ki lehet számolni egy feladat pontos végeredményét. Gyakran azonban elegendő számunkra egy hozzávetőleges becslés is. Tegyük fel, hogy egy új jelzálog- hitelt akarsz felvenni, és a hitelintézetek különböző ajánla­tokat tesznek. Az információgyűjtés szakaszában csupán egy durva becslésre van szükséged, hogy lásd, körülbelül mekkora lesz a havi törlesztőrészleted. Vagy együtt vacso­ráztál a barátaiddal egy étteremben, és szeretnéd kiszámol­ni mindenkinek a számláját, de nem akarod minden egyes embernek filléres pontossággal megmondani, mennyit fogyasztott. Ebben a fejezetben olyan becslési módszereket fogok mutatni, amelyek megkönnyítik a dolgod az ilyen és ehhez hasonló helyzetekben. Az összeadás, a kivonás, az osztás és a szorzás mind olyan matematikai műveletek, amelyek megengedik a becslést - és mint általában, most is balról jobbra fogjuk végezni a számolást.

BECSLÉS AZ ÖSSZEADÁSI FELADATOKBANA becslés kiváló arra, hogy megkönnyítse az életedet, ami­kor egy feladatban a számok túl hosszúak ahhoz, hogy fejben tartsd őket. A trükk az, hogy a számokat vagy felfelé, vagy lefelé kell kerekíteni:

139

8367 + 5819 14 186

8000 + 6000 14 000

George Parker Bidder: A számító mérnök

A britek is kivették a részüket a villámgyors fejszámolók felvonultatásában, például a Devonshire-ben született George Parker Bidderrel (1806-1878), akinek előadá­sai éppoly lenyűgözők voltak, mint bárki másnak. Mint a legtöbb fejszámoló, Bidder is fiatal fiúként kezdte a „szakmát". Üveggolyók segítségével tanult meg számol­ni: összeadni, kivonni, szorozni és osztani, és édesapjá­val már kilencévesen járni kezdte az országot, hogy bemutassa tudományát.Gyakorlatilag nem volt olyan kérdés, amely túl nehéznek bizonyult volna számára. „Ha a Hold 198 800 km-re van a Földtől, és a hang 340 métert tesz meg egy má­sodperc alatt, akkor milyen gyorsan érnek el a hangok a Földtől a Holdig?" A fiatal Bidder majdnem egy percig összeráncolt homlokkal gondolkodott, majd válaszolt: „21 nap, 9 óra és 34 perc." (Ma már tudjuk, hogy a Hold-Föld-távolság 384 000 km, és a hang nem terjed az űrben.) Tízéves korában harminc másodperc alatt fejben kiszámolta a 119 550 669 121 négyzetgyökét, ami 345 761. 1818-ban összehozták Zerah Colburnnel, az amerikai fejszámolóval egy párbajra, amelyben Bid­der „túlszámolta" ellenfelét.George Bidder hírnevét meglovagolva jutott be az Edin- burgh-i Egyetemre, és később Anglia egyik legtisztelet­reméltóbb mérnöke lett. Gyakran behívták tanúként a vasútfejlesztéssel kapcsolatos parlamenti vitákra, ami miatt az ellenzéket kiverte a víz. Az egyik képviselő a

140

következőket mondta róla: „A természet olyan képes­ségekkel ruházta fel, ami miatt nem lehet egyenlő félként küzdeni vele." Colburnnel ellentétben, aki húszéves korában visszavonult mint fejszámoló, Bidder egész életében használta tehetségét. 1878-ban, nem sokkal halála előtt kiszámolta, hogy hány fényhullám éri az ember szemét egyetlen másodperc alatt. Abból indult ki, hogy 1 mm-re körülbelül 1453 vörös fényhullám esik, és a fény terjedési sebessége 300 000 km/s.

Figyeld meg, hogy az első számot lefelé, a másodikat pedig felfelé kerekitcttük a legközelebbi ezresre. Mivel a pontos megoldás 14 186, ezért a „tévedésünk" aránylag kicsi.

Ha még pontosabb akarsz lenni, akkor csak a százas helyértékig kerekíts:

8367 8400+ 5819 - + 580014 186 14 200

A megoldás csupán 14-gyel több a pontos összegnél, és ez kevesebb, mint 0,1%-os eltérés. Ezt hívom én művészi ta­lálgatásnak!Oldd meg a következő, ötjegyű számokból álló összeadást úgy, hogy a százas helyértéken kerekítesz:

46 1 87 46 200♦ 19 378 - ♦ 19 400

65 565 65 600Ha mindig a százas helyértéken kerekítünk, akkor a téve­désünk biztosan kevesebb lesz, mint 100. Ez azt jelenti, hogy ha a megoldás több, mint 10 000, akkor a pontos végered­ményhez képest a mi becslésünk csupán 1%-os eltérési mutat. Most próbálj ki valami vadat:

141

23 859 379 24 000 000 23,9 millió+ 7 426 087 - + 7 000 000 vogy + 7,4 millió31 285 466 31 000 000 31,3 millió

Ha egész milliókra kerekíted a számokat, akkor 31 milliót fogsz kapni, ami körülbelül 285 000-rel tér el a valós vég­eredménytől. Ez nem rossz, de sokkal közelebb kerülsz a pontos megoldáshoz, ha a százezres helyértékig kerekítesz csak, mint ahogy azt mi tettük a jobb oldali példánál. A té­vedésed itt is 1 %-on belül lesz. Ha ezeket a kisebb példákat pontosan ki tudod számolni, akkor bármilyen összeadási feladat végeredményét meg tudod majd becsülni.

Becslés a bevásárlóközpontbanPróbáljunk meg egy feladatot a valós életből. Előfordult már veled, hogy a boltban előbb szeretted volna tudni, meny­nyit kell majd fizetned, mielőtt még a pénztáros beütötte volna a tételeket a gépbe? Az én technikám ilyenkor az, hogy általában az árak végét 50 vagy 100 forintra kerekí­tem. Míg a pénztáros beüti a bal oldalon szereplő össze­geket, addig én fejben összeadom a jobb oldalon szereplő számokat:

139 15087 10 0

246 25061 50

329 350299 3002 1 0 2 0 0

117 10 065 50

293 300

142

+ 319 + 3002165 2150

Az általam számolt összeg általában 100 forinttal tér el a végeredménytől.

BECSLÉS A KIVONÁSI FELADATOKBANA kivonási feladatoknál ugyanúgy kell megbecsülni a vég­eredményt, mint az összeadásoknál - a legközelebbi ez­resre, vagy ami még jobb, csak a százas helyértéken kere­kítjük az összegeket:

Láthatod, hogy az első esetben a megoldás elég messze esik a valóságtól. Ha a második számjegyig kerekítesz (ami a példánkban a százas helyérték), akkor a tévedés mértéke általában 3%-on belül marad. Ennél a megoldás­nál csupán 52-vel tértünk el a pontos végeredménytől, ami 2%-ot jelent. Ha a harmadik számjegyig kerekítesz (a fenti feladatban ez a tizes, a lentiben pedig az ezres helyérték), akkor az arányos hibaszázalék általában 1% alatt lesz. Például:

Azzal, hogy a számokat a második helyett a harmadik számjegyig kerekíted, nagyban növeled a becslés pontos­ságát.

8367 - 5819 2 548

8000-6 0 0 0

2.000

8400

439 412 440 000 439 000- 24 926 - - 20 000 vogy - 25 000 414 486 420 000 414 000

143

BECSLES AZ OSZTÁSI FELADATOKBANAz első és legfontosabb lépés, amikor egy osztási feladat vég­eredményét meg akaijuk becsülni, hogy nagyjából megállapít­suk a teijedelmét, vagyis azt, hány számjegyből állhat:

5 7 8 6 7 / 6 = 9 6 4 4 ,5 - 5 8 0 0 0 / 6

58 000 - 54 000 (9000 x 6)

4 0 0 0

- 3 6 0 0 (6 0 0 x 6 )

4 0 0 stb.

A becsült megoldás 9 ^ ezer = 9 6 6 7

A következő, hogy a számot ezresekre kerekítjük, így az 57 867-ből 58 000 lesz. Ha az 58-at 6-tal osztjuk, akkor 9-et kapunk, és valamennyi maradékot. De a legfontosabb az, hogy hová helyezzük a 9-et?

Ha kiszámoljuk a 6 x 90-et, 540-et kapunk, ha a 6 x 900-at, akkor az eredmény 5400, de mindkettő túl kevés. Ám 6 x 9000 = 54 000, ami már elég közel van az eredeti számunkhoz. Ebből tudjuk, hogy a megoldás kilencezer-valamennyi. A „va- lamenynyit” úgy is kiszámolhatjuk, hogy az 58-ból kivonjuk az 54-et, igy 4-et kapunk. A maradékot aztán tovább kell osz­tani 6-tal, ezért „lehozhatunk’? három 0-át (hiszen eredetileg58 000 - 54 000-ről van szó), igy a feladatból 4000 / 6 lesz, amit könnyebb kiszámolni úgy, hogy 4 0 /6 , ami 6 és megint maradt a 4, és így tovább. De ha odafigyeltél a számokra, akkor észrevetted, hogy ha a 4-et 6-tal osztod, akkor az 4/6 vagyis 2/3, ami « 0,667. Mivel tudjuk, hogy a megoldás kilencezer*vala­mennyi, akkor most már meg tudjuk becsülni még pontosab­ban a megoldást, hiszen ha 2/3 « 0,667, akkor a 4000 / 6 « 667, vagyis a becsült megoldásunk: 966/. A valódi megoldás 9645 - nagyon közel jártunk!

144

Az osztás ezen a szinten egyszerű. De mi van akkor, ha nehezebb osztási feladattal találjuk szemben magunkat? Tegyük fel, hogy ki akarjuk számolni, mennyit pénzt keres naponta egy profi atléta, ha évente 5 000 000 dollárt visz haza:

5 000 000 dollár / 365 nap

Először meg kell saccolni a megoldás nagyságát. A sportoló naponta 1000 dollárt keres? Nos, 365 x 1000 = 365 000, ami túl kevés.

Esetleg napi 10 000 dollárt? 365 x 10 000 = 3 650 000, és ez már jóval közelebb van a tényleges évi keresethez. Ahhoz, hogy becsült választ tudjunk adni, el kell osztanunk egymással a számok első két számjegyét (vagyis az 50-et 36-tal), ami 1 14/36 vagyis 1 7/18. Mivel a 70-ben a 18 körül­belül 4-szer van meg, ezért arra következtethetünk, hogy az atléta megközelítőleg 14 000 dollárt keres naponta. A pon­tos megoldás 13 698,63 dollár. Nem is rossz becslés (és a fizetés se semmi!)

Itt egy galaktikus feladat számodra: hány másodpercig tart, míg a Naptól a fény eléri a Földet? Nos, a fény 300 000 kilométert tesz meg egyetlen másodperc alatt és a Nap kb. 149,6 millió kilométerre van a Földtől. Kétlem, hogy szívesen nekiveselkednél ennek a feladatnak papírral és ceruzával. Szerencsére aránylag könnyen meg tud­juk becsülni a megoldást. Először is leegyszerűsítjük a fel­adatot:

149 600 000 / 300 000 - 1496 / 3

Most adjunk hozzá az 1496-hoz 4-et, így 1500-at ka­punk, amit már könnyű elosztani 3-mal: a mi becsült eredményünk 500 másodperc, és nincs maradék. A jó megoldás 498,67, úgyhogy ez egy elég pontos becslés volt.

145

BECSLÉS A SZORZÁSI FELADATOKBANA fenti technikák nagy részét használhatod akkor is, amikor szorzások végeredményét akarod megbecsülni. Például:

88 90x 54 x 50

4752 ~ 4500

Nagymértékben megkönnyítette a számolást, hogy mindkét számot a 10 legközelebbi többszörösére kerekítetted, de igy 252-vel távolabbra kerültél a pontos eredménytől, amely 5%-os eltérés. Jobban jársz akkor, ha mindkét számot ugyanazzal az összeggel kerekíted, csak az egyiket fel, a másikat pedig le. Tehát, ha a 88-hoz hozzáadtál 2-t, akkor az 54-böl vonj ki ugyanennyit:

88 90x 54 - x 524752 4680

így most az egyjegyű x egyjegyű feladat helyett (hiszen a 90 x 50 az gyakorlatilag 9 x 5 ) egy egyjegyű x kétjegyű szorzást kaptál (9 x 52). de ez még mindig elég egyszerű ahhoz, hogy megoldjad, és cserébe a becslésed csupán 1,5%-kaI té ré i a pontos megoldástól.

Ha egy szorzási feladatnál a nagyobb számot felfelé és az alacsonyabb számot lefelé kerekíted, akkor a végered­ményed egy kicsit kevesebb; ha pedig a nagyobb számot lefelé és a kisebb számot felfelé kerekíted, akkor a meg­oldásod egy kicsit több lesz, mint a valós végeredmény. Minél nagyobb a kerekítés „összege”, annál nagyobb lesz az eltérés a becslés és a pontos megoldás között. Például:

73 70x 65 — x 684745 4760

146

Mivel a számok a kerekítés után egymáshoz közel kerültek- hiszen a nagyobbat lefelé, a kisebbet felfelé kerekítettük- ezért a becsült megoldás kicsit sok lett.

67 70x 67 - x 644489 4480

Mivel a számok egymástól távolabb vannak, a becsült megoldás valamivel kevesebb, bár itt is csak egy kicsivel tér cl a pontos végeredménytől. Láthatod, hogy a szorzásnál a becslés egészen jól működik! De észre kell venned azt is, hogy ez a feladat valójában egy négyzetre emelés (672), és a mi megközelítési módunk (a becslés) csak az első lépése a négyzetre emelési technikák elsajátításának.

Most próbáljunk meg még egy feladatot:

83 85X 52 - X 504316 4250

Megfigyelhetjük, hogy a becslésünk akkor a legpontosabb, ha az eredeti számok közel vannak egymáshoz. Próbáld megsaccolni a következő, háromjegyű x kétjegyű feladat eredményét:

728 731x 63 - x 60

45 864 43 860

Azzal, hogy a 63-at 60-ra kerekíted és a 728-at 731-re (mi­vel célszerű ugyanannyival kerekíteni mindkét számnál), egy háromjegyű x egyjegyű szorzást hoztál létre (731 x 6), amelynek eredménye 2004-gyel tér el a pontos megoldás­tól, ez pedig 4,3%-os hibaszázalék.

Most próbáld meg a következő háromjegyű x háromje­gyű feladat végeredményét megbecsülni:

147

367 359x 492 - 500180 564 179 500

Figyeld meg, annak ellenére, hogy mindkét számot ugyan­annyival (8) kerekítetted fel és le. a tévedésed mégis több mint 1000-rel tér cl a pontos megoldástól. Ez azért van, mert a szorzási feladatban szereplő, és kerekítéshez hasz­nált szám is nagy, igy a becsült összeg szintén nagyobb mértékben tér el a valós megoldástól. Ugyanakkor az ará­nyos hibaszázalék még igy is 1% alatt van.

Milyen nagy számokig lehet a szorzásoknál a becslés módszerét használni? A dolog bármekkora számoknál mű­ködik, csupán a számok nevét kell tudnod. Ezer ezres az egy millió, és ezer millió az egy milliárd. Most veselkedj neki a következő feladatnak:

28 657 493 29 millióx______ 13 864 - x 14 ezer

Ugyanúgy mint korábban, a cél az, hogy a számokat egy­szerűbb számokra kerekítsük, mint például a 29 000 000 és 14 000. Most hagyjuk el a nullákat, igy két kétjegyű szám szorzása a feladat: 29 x 14 = 406 (29 x 14 = 29 x 7 x 2 = 203 x 2 = 406), aminek a vegére csak oda kell csapni az előbb elvett összes nullát. Ennek értelmében a megoldás durván 406 milliárd, mivel ezer millió = egy milliárd.

BECSLÉS A NÉGYZETGYÖK KISZÁMOLÁSAKOR: OSSZ ÉS ÁTLAGOLJ!A Vn azt jelenti, hogy az n szám négyzetgyökét keressük, vagyis egy olyan számot, amit ha megszorzunk önmagával, akkor /i-et kapunk. Például a 9 négyzetgyöke 3, mivel 3 x 3 = 9. A számok négyzetgyökét többféle tudományágban és

148

mérnöki problémánál használják, és az esetek nagy részé­ben számológéppel számolják ki. A következők módszer a megoldás viszonylag pontos becslését teszi lehetővé.

A cél az. hogy egy olyan számmal rukkolj elő. amit ha megszorzol önmagával, akkor az eredmény megközelitoleg egyenlő legyen azzal a számmal, aminek a négyzetgyökét kerested. Mivel a legtöbb szám négyzetgyöke nem egész szám, ezért a becsült végeredmény sokszor közönséges vagy tizedes tört lesz.

Kezdjük a 19 négyzetgyökével. Az első lépés az. hogy megkeressünk azt a számot, amelyet ha megszorzunk önmagával, akkor egy 19-hez közel eső eredményt kapunk. A 4 x 4 = 16 és az 5 x 5 = 25. Mivel a 25 túl sok, ezért a megoldás 4 egész valamennyi lesz. A következő lépés az, hogy a 19-et elosszuk 4-gyel, igy 4.75-öt kapunk. Mivel tudjuk, hogy a 4 x 4.75 (19) több. mint a 4 x 4 (16), de kevesebb, mint a 4,75 x 4,75. ezért azt is tudjuk, hogy a 19 a 4- és 4,752 között van. Ennek értelmében a 19 négyzet­gyöke a 4 és a 4,75 között található, méghozzá szerintem valahol félúton, vagyis nagyjából 4,375. A valóságban a 19 négyzetgyöke 4.359 (három tizedes pontosságig), úgyhogy a becslésünk elég közel volt. A folyamatot a következőkép­pen illusztráljuk:

Osztás: Átlagolás:

1 9 / 4 4 + 4,75 = 4,3752

19,0- 16 (4 x 4)

3 maradék

Tehát 4^ , vagyis 4,75

Az igazság az, hogy ezt az eredményt egy másik módszer- rel is megkaphatjuk, amit vélhetően könnyebbnek fogsz

149

találni. Tudjuk, hogy a 16 négyzetgyöke 4. és a 16 három­mal kevesebb, mint a 19. Hogy a becslésünk pontosabbá váljon, a 4-hez hozzáadjuk a hiány és a becslésünk dup­lájának hányadosát. Ebben az esetben: 4 + (3 / 8), ami 4 3/8 = 4,375. Megjegyezzük, hogy ezzel a módszerrel a meg­oldás mindig egy kicsit több. mint a pontos végeredmény. Akkor most próbálj meg egy nehezebb feladatot. Mi a 87 négyzetgyöke?

Osztás: Átlagolás:

8 7 ,0 / 9 = 9 ,6 6 9 + 9 ,6 6 = 9 ,3 32

Először is csinálj egy viszonylag pontos becslést. Ehhez rá kell jönnöd, hogy 9 x 9 = 81 és 10 x 10 = 100, ami azt jelen­ti, hogy a megoldás 9 egész valamennyi lesz. Most oszd el a 87-et 9-cel (százados pontossággal), igy 9,66-ot kapsz. Hogy a becslésed még pontosabb legyen, számold ki a 9 és a 9.66 átlagát, ami 9.33. Ez lesz a 87 négyzetgyöke (száza­dos pontossággal számolva). Azt is megtehetted volna, hogy: 9 + (hiány) / 18 = 9 + 6/18 = 9,33.

Ezzel a technikával aránylag egyszerű a kétjegyű szá­mok négyzetgyökét megbecsülni. De mi van a háromjegyű számokkal? Éppenséggel, ezek sem sokkal nehezebbek. Most azonnal elárulhatom, hogy az összes háromjegyű és négyjegyű számnak a négyzetgyöke kétjegyű szám, és a négyzetgyökök kiszámolásának módszere mindig azonos, teljesen függetlenül attól, hogy a számunk mekkora. Pél­dául ahhoz, hogy megtaláljuk a 679 négyzetgyökét, először durva becslést végzünk. Mivel a 20 négyzete 400. és a 30 négyzete 900. ezért a 679 négyzetgyöke 20 és 30 között kell hogy legyen.

Mikoi a 679-ei 20-szal osztod, megközelítőleg 34-et kapsz. A 20 és a 34 átlaga 27, ami egyben a becsült megol­

150

dásod is. De van itt egy még pontosabb megoldási mód: ha tudod, hogy a 25 négyzete 625, akkor a hiányod: 679 - 625 = 54. Ha ezt 50-nel osztod (a becsült 25 kétszeresével), akkor 54/50 = 108/100, vagyis 1,08-at kapsz. Ennek éneimében a tökéletesített becslésünk 25 + 1,08 = 26,08. (Még ennél is pontosabb becslési kaphatsz, ha tudod, hogy a 26 négyzete 676. így a hiány (679 - 676) 3 lesz, vagyis a 26-hoz a 3/52-t (a hiány és a becslésünk duplájának hányadosát) kell hozzá­adni, az eredmény pedig 26,06.) A pontos eredmény egyéb­ként 26,057 (három tizedes pontosságig).

A négyjegyű számok négyzetgyökének becsléséhez elő­ször nézd meg az első kél számjegyet, hogy meg tudd álla­pítani a megoldás első számjegyét. Például a 7369 négy­zeténél keresd meg a 73 négyzetgyökét. Mivel 8 x 8 = 64 és 9 x 9 = 81, ezért a négyzetgyök első számjegye 8 kell hogy legyen. Ezért a megoldás nyolc van-valamennyi lesz. És most folytasd a megszokott módon. Ha a 7369-et 80-nal osztod, akkor 92 és valamennyit kapsz, ezért a jó becslés nagyjából 86. Ez négyzetre emelve 7396, ami 27-tel több, úgyhogy ki kell vonni a 86-ból 27/172-et. tehát körülbelül0,16-ot. Ezzel a pontosított becslésed 85,84 és ez egyben a megoldás is (kerekítve).

Egy hatjegyű szám, mint például az 593 472 négyzet­gyökének a megbecslése a beavatatlanok számára lehetetlen feladat, de neked nem jelenthet gondot. Mivel 7002 = 490 000 és 800- = 640 000, ezért az 593 472 négyzetgyöke 700 és 800 között kell hogy legyen. Valójában minden öt- és hatjegyű számnak a négyzetgyöke háromjegyű szám lesz. A gyakorlatban a hatjegyű számok esetében az első két számjegy négyzetgyökét kell megkeresned (az ötjegyüeknél pedig az első számjegyét). Ha tudod, hogy az 59 négyzet­gyöke 7 és 8 között van, akkor azt is tudod, hogy a meg­oldásod hétszáz-valamennyi les/..

És most a megszokott módon folytasd:

151

Osztás:593 472 / 700 = 847 - 5934 / 7 = 847

Átlagolás:700 + 847 _ 7 7 3 ,5

Az 593 472 négyzetgyöke 770,37 (két tizedes pontosságig), úgyhogy elég közel jársz. De még pontosabb is lehettél volna, ahogy azt a következő trükk mutatja. Figyeld meg, hogy az első két számjegy (59) közelebb van a 64-hez (8 x 8), mint a 49-hez (7 x 7). Emiatt a becslést a 8-as számmal is kezdhetted volna, s innen folytatod:

Osztás:

593 472 / 800 = 741 - 5934 / 8 = 741

Átlagolás:

800 ♦ 741 - 7 7 0 ,5 8

A hecc kedvéért csináljunk meg egy irtó nagy feladatot: számoljuk ki a 28 674 529 négyzetgyökét. Ez nem olyan nehéz, mint amilyennek tűnik. Az első lépés az, hogy a legközelebbi nagy számra kerekítsd fel a számol - ebben az esetben találd meg a 29 négyzetgyökét.

Osztás: ÁHagolás:

29,0 / 5 = 5,8 5 + 5,8 = 5,42

29- 25 (5 x 5)

4 maradék

Tehát 5 4 , vagyis 5,8

152

Minden hét- és nyolcjegyű szám gyöke négyjegyű szám, úgy­hogy az 5,4-ből 54(X)-at kell csinálnunk - és ez lesz a becsült végeredményünk. A pontos négyzetgyök egy hajszállal keve­sebb csak, 5354.8. Nem rossz!És ezzel vége is van a találgatás művészetének. Miután meg­csináltad a fejezet végén szereplő feladatokat, haladj tovább a papír-ceruza matekhoz, ahol megtanulod, hogyan kell írásban megcsinálni a feladatokat, de sokkal gyorsabban, mint ahogy eddig tetted.

Évariste Galois matem atika párbajaA francia matematikus, Evariste Galois (1812-1832) tragi­kus története - aki húszéves korában egy rossz hím, kacér nőért vívott párbajban vesztette életét - legendává vált a matematika történetének krónikáiban. Galois, a koraérett, briliáns tanuló fektette le a csoportelmélet néven ismert ma­tematikai terület alapjait. A fáma szerint a párbaj előtti éj­szaka, érezvén utolsó órája közeledtét, leírta teóriáját, mert tudását hátra akarta hagyni a matematikus közösségnek. Ezen az éjjelen Auguste Chevalier-nek a következőket írta: „Néhány új felfedezést tettem az algebra területén. Az első az egyenletek problémáját érinti, a többi az integrálszámí­tással kapcsolatos." Miután leírta ezeket, megkérte barát­ját: „Nyilvánosan kérdezd meg Jacobit vagy Gausst, hogy mi a véleményük; nem a tételek igazságáról, hanem fontos­ságáról. Utána remélem akadnak emberek, akik érdemes­nek tartják ennek a zagyvaléknak a kisilabizálását." Romantikus legenda és történelmi igazság ugyanakkor nem mindig jár kéz a kézben. Amit Galois a halála előtti éjszakán leírt, az azoknak a dokumentumoknak a javított és szerkesz­tett változata volt, amelyeket a Tudományos Akadémia már korábban elfogadott. Legkorábbi írásait három évvel a pár­baj előtt nyújtotta be, amikor még csak 17 éves volt! Galois csupán ezután keveredett politikai botrányba, ekkor letartóz­

153

tatták, és egy kis időt börtönben kellett töltenie. Végül nézet- eltérésbe keveredett egy nő miatt, és a párbajban meghalt. Galois tisztában volt azzal, hogy megelőzte korát, mikor megjegyezte: „Olyan felfedezésre jutottam, amely sok tu­dóst megállásra fog kényszeríteni a saját kutatásaiban." Ezt több, mint egy évszázadig igaznak is bizonyult.

MÉG TÖBB TIPP A JATTRAAhogy azt az I. fejezetben is mutattuk, a legtöbb helyzetben könnyű kiszámolni a borravalót. Például egy 10%-os borrava­lónál egyszerűen beszorozzuk a számlát 0,1-gyei (vagy a számlát 10-zel osztjuk). Például, ha a számla 4200 Ft, akkor a 10%-os borravaló 420 Ft. Ha 20% borravalót szeretnénk adni, egyszerűen beszorozzuk a számlát 0,2-vel vagy megdupláz­zuk a 10%-os borravaló összegét. Ennek megfelelően a 4200 forintos számlának a 20%-os jattja 820. A 15%-os borravaló megállapítására több lehetőségünk is van. Ha elsajátítottad a 3. fejezetben tanultakat, és minden gond nélkül tudsz 15-tel (5 x 3) szorozni, akkor beszorozhatod a számlát 15-tel, majd oszthatod 100-zal. Ez egy 4200 forintos számla esetében 4200 x 15 = 4200 x 5 x 3 = 21 000 x 3 = 63 000, amelyet 100-zal osztunk, igy a borravaló 630 forint. Persze egyszerűbb rögtön 42 x 15-tel számolni, és akkor nem kell se nagy számokkal bajlódni, se a végén 100-zal osztani. Egy másik módszer, ha a 10%-os és a 20%-os borravaló átlagát vesszük. A korábbi szá­molásainknak megfelelően ez:

4 2 0 + 8 4 0 = 1 2 6 0 = 6 3 0 2 2

Talán a 15%-os borravaló kiszámolásához a legnépszerűbb megoldás az. ha vesszük a 10%-os összeget, ezt megfelez­zük (amely egy 5%-os borravalónak felel meg), majd a két számot összeadjuk. A 4200 forintos számla esetében ez 420. plusz ennek a fele. ami 210, és igy megkapjuk:

154

4 2 0 + 2 1 0 = 6 3 0Használjuk mind a három módszert arra, hogy kiszámoljuk egy 6700 forintos számla 15%-os borravalóját. Az egyenes módszerrel 67 x 3 x 5 = 201 x 5 = 1005. Az átlagolós mód­szerrel a 10%-os 670 forintos összeget a 20%-os 1340-nel átlagoljuk, hogy megkapjuk a végeredményt:

6 7 0 + 1 3 4 0 = 2 0 1 0 = 10052 2

Az utolsó módszernél hozzáadjuk a 670-hez a felét, vagyis 335-öt, és így megkapjuk a végeredményt:

6 7 0 + 3 3 5 = 1005

Végül kétféle módszert ajánlunk ahhoz, hogy kiszámolj egy 25%-os borravalót. Először beszorozhatod az összeget 25-tel, majd oszthatod 100-zal, vagy az összeget oszthatod4-gyel (akár úgy is, hogy kétszer felezed). Például a 4200- as összegnél számolhatod a következőképp: 4200 x 25 = 4200 x 5 x 5 = 21 000 x 5 = 105 000, majd ezt az összeget 100-zal osztod. Vagy az eredeti összeget 4-gyel osztod, vagy kétszer felezed: a 4200 fele 2100, és ennek a fele 1050 forint. Egy 6700-as számlánál valószínűleg egyszerűen4-gyel osztanám. Mivel 6700 / 4 = 1600 és még 300 / 4, amiről tudjuk a 3/4 miatt, hogy 75, igy a borravaló 1600 + 75, vagyis 1675 forint.

NÉHÁNY „KAMATOS" SZÁMOLÁSVégül dióhéjban említést teszünk néhány kamattal kapcso­latos gyakorlati tudnivalóról, amelyek akár a befektetésed ér­tékének növekedése, vagy a felvett hitel visszafizetése szem­pontjából is érdekes lehet.

A híres 70-es szabállyal kezdjük, amely megmutatja, mennyi időnek kell eltelnie ahhoz, hogy a pénzed kétszere­

155

sere nőjön: Hogv m egkapd az évek szám át, amely a la tt a befektetett pénzed m egduplázódik, oszd el a 70-et a kam at szám ával.

Tegyük fel, hogy egy olyan befektetést találsz, amely éves szinten 5%-os kamatot ígér. Mivel 70 / 5 = 14. ezért megközelítőleg 14 év kell ahhoz, hogy a pénzed megduplá­zódjon. Ha például 100 000 forintot fektetsz be egy taka­rékbetétkönyvbe, amely 5% kamatot ígér, akkor 14 év után 100 000(1,05)14 = 197 993 forintod lesz. 7%-os kamattal a 70-es szabály azt mutatja, hogy megközelítőleg 10 év kell ahhoz, hogy a pénzed megduplázódjon. A valóságban, ha befektetsz 100 000 forintot ezzel az éves kamattal, akkor 10 év után 100 000(1.07)10 = 196 715 forintod lenne. 2%-os kamattal pedig 35 év kellene ahhoz, hogy a pénzed meg­duplázódjon, és tényleg:

10 0 0 0 0 (1 ,0 2 )35 = 1 9 9 9 8 8

Egy ehhez hasonló, általam 110-esnek nevezeti szabályt arra lehet használni, hogy megállapítsuk, hány évig tart. amíg a pénzed megháromszorozódik. Például 5%-os kamattal, mivel 110/5 = 22, ezért megközelítőleg 22 év kell ahhoz, hogy 100000 forint 300 000-re hízzon. Mindez bizonyított a 100 00()(1,05)22 = 292 526 számítással. A 70-es és 110-es szabá­lyok működésének alapja az a természetes logaritmus, mely az e = 2,71828 matematikai állandót használja, és amely a kamatos kamat kiszámításában is segítséget nyújt. Ezt a ma­gasabb szintű matematikát általában a főiskolán tanítják, de szerencsére nekünk nem kell értenünk a logaritmusokhoz, hogy a szabályokat alkalmazni tudjuk.

Tegyük fel. hogy kölcsönt vettél fel, amelyet vissza kell fizetni. A kölcsön összege legyen 360 000 forint, és az éves kamat 6% (amelyet úgy fogunk értelmezni, hogy a kamat havonta 0,5%-kal növekszik), a visszafizetésre pedig 30 éved van (vagyis a futamidő 30 év). A kérdés: havonta mennyit

156

kell törlesztened? Először is a 360 000 x 0.5% = 1800 forin­tot havonta, és ez még csak a kamatokat fedezi. (De az igaz­ság az, hogy a kamattartozás mérteke idővel csökkeni fog, mivel a visszafizetendő tőke is csökken, a kamatot pedig arra szabják ki.) Mivel 30 év alatt 30 x 12, vagyis 360 hónap lelik el. ezért a tőkerészt, a 360 000 forint hitelt 360 hónapra le­bontva havi l(XX) forinttal tudod visszafizetni, igy a legma­gasabb havi törlesztőrészleted 1800 + 1000 = 2800 forint lesz. De szerencsére nem kell ekkora többletet visszafizetned. Itt van az én szabályom arra, amivel megbecsülhetjük a havi törlesztőrészletedet

A havi kamatláb legyen (Ez az éves kamat osztva 12- vel.) Hogy visszafizesd a P kölcsönt /V hónap alati. a havi részleted (M) nagyjából:

M = PiM + i)N (1 + i)N - 1

Az előző példánál a P = 360 000, az i = 0.005 (6% = 0.06, ezt osztjuk 12-vel), ezért a képlet azt mutatja, hogy a havi törlesztörészlet:

M = 3 6 0 0 0 0 (0 .0 0 5 )1 1 .0Q 5)360

(1 ,0 0 5 )360 - 1

Figyeld meg. hogy a számlálóban az első két szám szorzata 1800. Számológépet használunk (a változatosság kedvéért), hogy kiszámoljuk a l1005?6()-t ami 6,02. igy a havi részlet körülbelül 1800 x 6,02 / 5,02, ami megközelítőleg 2160 forint.

Itt van még egy példa. Tegyük fel, hogy vettél egy tévét, és miután letetted a szükséges előleget, 180 000 forint tar­tozásod marad, amelyet 5 év alatt fizetsz ki 4% kamatra. I la nem lenne kamat, akkor I80 000 / 60 = 3000 forint lenne a havi kiadásod. Mivel az első év kamata 180 (K)U(U,Ü4) = 7200 forint, tudod, hogy 3000 + (7200 / 12) = 3600 forint­

157

nál nem kell többet fizetned havonta. A képletet használva, mivel a havi kamat i = 0,04/12 = 0,00333, ezért:

M = 1 8 0 0 0 0 (0 ,0 3 3 3 K 1 ,0 0 3 3 3 )60 (1 ,0 0 3 3 3 )6 0 - 1

Mivel 1,003336° = 1,22, a havi törlesztőrészlet megköze­lítőleg 6000(1,22) / (0.22) = 3330 forint.

A fejezetet néhány olyan feladattal zárjuk, amelyeknél remélhetőleg kamatoztatni tudod az eddig tanultakat.

„Becsüld végig” a következő feladatokat, majd a végered­ményeket és a megoldásokat nézd meg a könyv hátuljában.

FELADATOK: BECSLES AZ OSSZEADASOKNAL

Kerekítsd fel vagy le a következő számokat, majd nézd meg, mennyire kerültél közel a pontos megoldáshoz:

1. 2.

1479 57 293-+ 1105 + 3 7 421

3. 4.

3 1 2 02 5 8 971 011+ 79 4 1 9 + 4 0 1 6 367

Add össze fejben a következő oszlopban szereplő összege­ket úgy, hogy a legközelebbi 50 forintra kerekíted a szá­mokat:

2 6 7

195

7 3 5

921

4 9

158

112112

6 1 4

+ 831

FELADATOK: BECSLES A KIVONÁSOKNÁL

A feladatokat úgy végezd el, hogy csak a második vagy har-madik számjegyig kerekítesz:

1. 2.

4 9 2 6 6 7 221- 1 6 5 9 - 9 8 7 4

3. 4.

5 2 6 9 7 8 8 3 4 9 241- 4 2 0 0 9 - 6 103 8 3 9

FELADATOK: BECSLES AZ OSZTÁSOKNÁL

Változtasd meg úgy a számokat, hogy meg tudd becsülni akövetkező feladatok végeredményét:

1. 2. 3.

4 3 7 9 / 7 2 3 9 5 8 / 5 5 4 9 2 1 3 / 13

4. 5.

5 102 3 5 7 / 2 8 9 8 3 2 9 4 8 3 / 2 0 3 6 3 7

159

FELADATOK: BECSLÉS A SZORZÁSOKNÁLKerekítsd úgy a szám okat, hogy meg tudd becsüln i a meg­oldást:

1. 2. 3. 4.

9 8 76 8 8 5 3 9x 2 7 x 4 2 x 8 8 x 17

5. 6. 7. 8.

3 1 2 6 3 9 4 2 8 51 2 7 6x 9 8 x 107 x 3 1 3 X 4 8 9

9. 10.

1 0 4 9 7 2 5 4 6 2 741x 11 2 0 1 x 2 0 3 4 1 3

t

FELADATOK: BECSLES A NÉGYZETGYÖK

KISZÁMOLÁSÁNÁL

Becsüld meg a következő számok négyzetgyökét az osztás és átlagolás módszerével:

1 . V T 7 2. V 3 5 3. V Í 6 3 4. V 4 2 7 9 5 V 8 0 3 9

FELADATOK: HÉTKÖZNAPI MATEK

1. Számold ki a 8800 forint 15%-át.

2. Számold ki az 5300 forint 15%-át.

3. Számold ki a 7400 forint 25%-át.

4. Mennyi idő alatt duplázódik meg a pénzed, ha az éves

kamat 10%-os?

160

5. Mennyi idő alatt duplázódik meg a pénzed, ha az éves

kamat 6%-os?

6. Mennyi idő alatt háromszorozódik meg a pénzed, ha az

éves kamat 7%-os?

7. Mennyi idő alatt négyszereződik meg a pénzed, ha az

éves kamat 7%-os?

8. Becsüld meg egy 1 000 000 forintos kölcsön havi tör­

lesztőrészletét, ha a futamidő 10 év, és a kamat 9%.

9. Becsüld meg egy 300 000 forintos kölcsön havi tör­

lesztőrészletét, ha a futamidő 4 év, és a kamat 5%.

161

7.Matek a táblán: Számolás papírral és ceruzával

A könyv bevezetőjében számos előnyét soroltam fel annak, ha tudsz fejben számolni. Ebben a fejezetben mégis szeretnék be­mutatni egy-két olyan módszert, amelyek segítségével írásban is gyorsabban tudsz majd számolni. A számológépek a legtöbb esetben felváltották a papír és ceruza használatát, ezért úgy döntöttem, hogy a négyzetgyökök kiszámolásának letűnt mű­vészetére és a nagy számok látványos keresztbe-kasul szor­zására koncentrálok. Mivel ezek inkább mentális tomagyakor- latok, és a mindennapi életben ritkán van szükségünk rájuk, ezért először olyan trükköket szedtem csokorba, amelyek az összeadást és a kivonást, illetve a megoldások ellenőrzését gyorsítják fel. Ezeket a technikákat már valóban be lehet vetni a hétköznapi életben - ahogy azt látni is fogod.

Ha türelmetlenül várod a nagyobb kihívást jelentő szorzásokat, akkor nyugodtan ugord át ezt a részt, és lapozz egyenesen a 8. fejezethez, amely elengedhetetlen ahhoz, hogy a 9. fejezetben található bonyolultabb feladatok meg­oldását elsajátítsd. Ha viszont szükséged van egy kis lazí­tásra, vagy szeretnél egy kicsit szórakozni, akkor azt javas­lom, menj végig a következő pár oldalon, és újra élvezettel fogsz játszani a papírral és a ceruzával.

SZÁMOSZLOPOKHosszú számoszlopok összeadásával gyakran összefuthatsz az üzleti életben, vagy olyankor, amikor a család pénzügyeit

163

számolgatod. Add össze a következő számoszlopot úgy. ahogy általában szoktad, majd nézd meg, én hogyan csinál­tam:

4 3 2 8

8 8 4

6 2 0

1 4 7 7

6 1 7

♦ 7 2 5

8651

Ha van a kezem ügyében papír és ceruza, akkor a számokat fentről lefele és jobbról balra adom össze, pontosan úgy, ahogy az iskolában tanultam. Egy kis gyakorlással az effajta feladatokat fejben ugyanolyan gyorsan, vagy akár még gyor­sabban kiszámolhatod, mint egy számológéppel. Amikor összeadom a számokat, az egyetlen dolog, amit „hallok”, az a részeredmény. Vagyis, amikor az első, jobb oldali oszlopban elkezdem kiszámolni, hogy 8 + 4 + 0 + 7 + 7 + 5, akkor a következőt hallom: „8 ... 12... 19... 26 ... 31” . Ezután leírom az 1 -et és továbbviszem a 3-at (tehát a következő oszlop tete­jén nem a 2, hanem a 3 lesz az első szám gondolatban), aztán itt is elkezdem fentről lefelé összeadni a számokat, ami igy hangzik: 3 ... 5 ... 13... 15... 22 ... 23 ... 25. Miután minden oszlopot kiszámoltam és eljutottam a teljes megoldásig, akkor azt leirom, majd úgy ellenőrzőm, hogy most lentről felfelé adom össze a számokat, és abban reménykedem, hogy ugyanarra a végeredményre fogok jutni.

Például az elró oszlop alulról felfelé 5 + 7 + 7 + 0 + 4 + 8 (amely a fejemben úgy hangzik, hogy: 5 ... 12... 19... 23... 31), majd továbbviszem a 3-at. és összeadom a 3 + 2 + I + 7 + 2 + 8 + 2, és igy tovább. Azzal, hogy másféle sorrendben adod össze a számokat, kisebb a valószínűsége annak, hogy

164

ugyanazt a hibát kétszer is elköveted. Természetesen, ha a megoldások eltérnek, akkor legalább az egyik végeredmény hibás.

MOD ÖSSZEGEKHa nem vagyok biztos a végeredményben, akkor néha az általam mod összegeknek nevezett módszerrel ellenőrzőm le magamat (ami az elegáns moduláris aritmetikán alap­szik). Bevallom, ez nem minden esetben hatásos, de könnyű a használata.

A módszer lényege, hogy össze kell adni a szám szám­jegyeit, egészen addig, mig egy egyjegyű számot nem ka­punk. Például a 4328 mod összegét igy számoljuk ki: 4 + 3 + 2 + 8 = 17. majd 1 + 7 = 8. Ennek értelmében a 4328 mod összege 8. Az előző feladatnál igy alkalmazhatjuk ezt a módszert:

4 3 2 8 ------► 17 ------► 8

8 8 4 ------► 2 0 ------► 2

6 2 0 ------► 8 ------► 8

1 4 7 7 ------► 19 ------► 1 0 ------► 1

6 1 7 ------► 14 ------► 5

+ 7 2 5 ------► 14 ------ ► + 5

8651 29

20

*2

11

165

Ahogy fent is látszik, miután kiszámoltuk a számok mod összegét, most ezeket a mod összegeket kell összeadnunk (8 + 2 + 8 + 1 + 5 + 5). Ez 29, amelynek számjegyeit összead­va 11-et kapunk, majd ebből 2-t. Figyeld meg, hogy a vég­eredménynek, vagyis a 8651-nek a mod összege is 2. Ez nem véletlen! Ha jól számoltál, akkor a végső mod össze­geknek azonosnak kell lenniük. Ha különböznek, akkor va­lahol hibáztál. Annak az esélye, hogy a mod összegek vé­letlenül egyeznek, 1:9-hez. Tehát, ha hibáztál, akkor ez a módszer 9 esetből 8-szor rá fog mutatni a tévedésedre.

A mod összegek módszerét a matematikusok és a köny­velők az ellenőrzés kilenccel néven ismerik, mivel egy szám mod összege megegyezik azzal az összeggel, amelyet maradékként kapunk, ha a számot 9-cel osztjuk. A fenti szám esetében a mod összeg 2 volt. Ha a 8651-et 9-cel oszt­juk, akkor a megoldás 961, és a maradék 2.

Ennél a módszernél van egy kivétel. Emlékszel arra, hogy ha egy szám számjegyeinek összege osztható 9-cel, akkor a szám osztható 9-cel? Ennek értelmében, ha a szám 9-cel osztható, akkor a mod összege 9 lesz annak ellenére, hogy a maradék 0.

KIVONÁS PAPÍRONTermészetesen papíron nem lehet ugyanazon a módon ki­vonni a számoszlopokat, mint ahogy összeadtad őket. Ehelyett a kivonást számonként végzed el. ami annyi tesz, hogy minden kivonási feladatban összesen két szám van. Most, hogy ismételten rendelkezésünkre áll a papír és a ce­ruza, a kivonást könnyebb jobbról balra elvégezni. A meg­oldás leellenőrzéséhez egyszerűen adjuk össze az ered­ményt azzal a számmal, amit kivontunk, igy ha jó i oldottuk meg a feladatot, ükkor azt kapjuk, amiből eredetileg kivon­tunk.

166

Ha akarod, itt is használhatod a mod összegeket ahhoz, hogy leellenőrizd a megoldásodat, de most a kapott mod összegeket ki kell vonni egymásból, majd ezt a számot kell összehasonlítani a végeredmény mod összegével:

65 7 1 7 ---------------------► 8 ------------------------------ 38 491 ------► zJL

27 2 2 6 ---------------------► 1

19 ------- ► lO ------- ► 1

Van itt azonban egy extra csavar. Ha a mod összegek kü­lönbsége negatív szám, akkor adj hozzá 9-et. Például:

42 689 2 - 18 764 - 8

23 925 - 6 + 9 = 3

\t

21

\ '

3

A NÉGYZETGYÖK KISZÁMÍTÁSA PAPÍRRAL ÉS CERUZÁVALA zsebszámológépek feltalálásával egy szám négyzetgyö­kének papíron való kiszámolása gyakorlatilag elfeledett művészetté vált. Már tudod, hogyan kell fejben megbecsül­

167

ni egy szám négyzetgyökét, most pedig megmutatom, ho­gyan kell papíron pontosan kiszámolni. Emlékszel arra. hogy valamivel korábban megsaccoltuk a 19 négyzet­gyökét? Akkor most nézzük ezt a feladatot még egyszer, de használjunk egy olyan módszert, amely megadja a pontos végeredményt.

V l 9 ,0 0 0 0 0 0 = 4 ,3 5 8

4 2 = 16

8 _ x _ < 3 0 0

8 3 x 3 = 2 4 9

8 6 _ x _ < 5 1 0 0

8 6 5 x 5 = 4 3 2 5

8 7 0 _ x _ < 7 7 5 0 0

8 7 0 8 x 8 = 6 9 6 6 4

Leírom az általános módszert, amely minden esetben alkal­mazható, és a fenti példával fogom illusztrálni. Itt ugyan egy egész számnak keressük a négyzetgyökét, de betettük a tizedesvesszőt, hogy a tizedes törtek négyzetgyökének ki­számolása se okozzon később problémát.1. lépés: Ha a tizedesvesszőtől balra található szám egy-, három-, öt-, hét-, vagyis páratlan jegyű, akkor a végered­mény első szám jegye az a szám lesz, amelynek a négyzete az eredeti szám első számjegyénél kisebb. Ha a tizedesvesz- szőtől balra található szám kettő-, négy-, hat- , tehát páros jegyű, akkor a megoldás első számjegye az a szám lesz, amelynek négyzete az eredeti szám első két számjegyénél kisebb. Ebben az esetben a 19 egy kétjegyű (vagyis páros jegyű) szám, úgyhogy a megoldás első számjegye az a szám lesz, amelynek a négyzete kisebb, mini 19. Ez a 4. Ezt a számot irjuk le.

168

2. lépés: Vond ki a 19-böl az első lépésben megszületett szám négyzetét, majd hozzál le két számjegyet a tizedes­vessző mögül. Mivel 42 = 16, ezért 19 - 16 = 3, amihez lehozunk két 0-t, igy a jelenlegi maradékunk 300.3. lépés: Duplázd meg a megoldásunk eddig meglévő, első számjegyét, a 4-et (a tizedcsvesszővel most ne törődj), és hagyj utána egy üres helyei. Tehát 4 x 2 = 8. Aztán írd le ezt a jelenlegi maradék (300) bal oldalára: 8_ x4. lépés: A megoldásunk m ásodik szám jegye az a szám lesz, amelyet mindkét üres helyre be lehel imi anélkül, hogy az igy született szorzás eredménye meghaladná a je ­lenlegi maradékot. Ebben az esetben ez a szám a 2, mivel 83 x 3 = 249 (a 84 x 4 = 336, ami már túl sok). Ezt a számot írd a megoldásunk első számjegye mögé: 4,3.5. lépés: Ha szeretnéd tovább pontosítani a megoldásodat, akkor megint számold ki a maradékot (300 - 249 = 51), és ehhez csapd hozzá tizedesvesszö utáni harmadik és ne­gyedik számot: így az 51-ből 5100 lesz - ez most az aktu­ális maradék. Ezután ismételd meg a 3. és 4. lépést.

Ahhoz, hogy megkapd a megoldás harm ad ik szám je­gyét, duplázd meg az eddig tudott megoldásunkat, és most is hagyd figyelmen kívül a tizedesvesszőt (43 x 2 = 86). Helyezd el a 86_ x _-t az 5100-tól balra. Az 5-ös szám adja azt a legnagyobb szorzatot (865 x £ = 4325), ami még kevesebb, mint 5100. Az 5 a már meglevő 4,3 ulán Írandó, igy az eredményünk 4,35. Ha még tovább akarsz számolni, folytasd ugyanígy.

Itt van egy példa arra, ha a tizedesvessző előtt egy páratalan jegyű szám áll (tehát számjegyeinek darabszáma páratlan):

\/8 3 9 ,4 0 0 0 = 2 8 ,9 7

169

2 2 = 4

4 _ x _ < 4 3 9

4 8 x 8 = 3SA 5 6 _ x _ < 5 5 4 0

5 6 9 x 9 = 5121

5 7 8 _ x _ < 41 9 0 0

5 7 8 7 x 7 = 4 0 5 0 9

Most egy négyjegyű szám gyökét fogjuk kiszámolni. Ebben az esetben - ugyanúgy, mint a kétjegyű számoknál - a szám első két számjegyét vizsgáljuk meg, hogy megállapítsuk a megoldás első számjegyét:

V 6 7 3 5 ,0 0 0 0 = 8 2 ,0 6

87 = 6 4

x _ < 3 3 5

162 x 2 = 3 2 4

16 4 _ x _ < 1 1 0 0

1 6 4 0 x 0 = 0

16 4 0 _ x _ < 1 1 0 0 0 0

1 6 4 0 6 x 6 = 9 8 4 3 6

Befejezésül: ha a maradékunk egyszercsak 0, és nincs mit lehozni, ebből rögtön tudni fogjuk, hogy a szám, amelynek a gyökét ki akarjuk számolni, egy teljes négyzet.

Például:V T o ,8 9 = 3 ,3

3 2 = 9

6 _ x _ < 1 8 9 6 3 x 3 = 1 8 9

0

170

SZORZÁS PAPÍRONA papírral és ceruzával végzett szorzásoknál én a keresztbe- kasul módszert használom, és ennek hála az egész megoldási le tudom írni egyetlen sorban anélkül, hogy a részeredmé­nyeket papírra kellene vetnem! Ez az egyik leglenyűgözőbb matekmágia, a múltban sok villámgyors fejszámoló ennek segítésével vívta ki hírnevét. Kaptak két nagy számot, és a megoldást szinte azonnal leírták. A módszert a legegysze­rűbben egy példa segítségével lehet bemutatni:

4 7

x 3 4

1 5 9 8

1. lépés: Először szorozzuk össze a 4-et és a 7-et, így 28-at kapunk, majd írjuk le a 8-at. és a 2-t vigyük tovább a kö­vetkező számoláshoz.

4 7

3 4

2. lépés: Az ábrát követve számoljuk ki, hogy a 2 + (4 x 4) + (3 x 7) = 32, irjuk le a 9-et, majd vigyük át a 3-at az utol­só lépéshez.

3. lépés: Befejezésül számoljuk ki a 3 + (3 x 4)-et, ami 1£- Ezl irjuk is le, hiszen ezzel el is énünk a végeredményhez.

171

4 7

ami 1598.Próbáljunk megoldani egy másik kétjegyű x kétjegyű fel­adatot a keresztül-kasul módszer segítségével:

83

X 6 5

5 3 9 5

A lépések és az ábrák a következőképpen festenek:

1. lépés: 5 x 3 = 1 5 8 3

6 5

3 4

2. lépés: 1 + (5 x 8 ) + (6 x 3) = 52 8

3. lépés: 5 + (6 x 8) = 51 8 3

6 5

A megoldás: 5395A módszer egy kicsit komplikáltabbá válik, ha két három­jegyű számot akarunk összeszorozni:

8 5 3 X 7 6 2

6 4 9 9 8 6

172

Az alábbi séma mulatja a számolás menetet:

1. lépés: 2 x 3 = 6 8 5

2. lépés: (2 x 5) + (6 x 3) = 28 8

65 3

3. lépés: 2 + (2 x 8) + (7 x 3) + (6 x 5) = 62

8

5. lépés: 8 + (8 x 7) = 64

7 6 2A megoldás: 649 986Figyeld meg, hogy a különböző lépéseknél a szorzások szá­ma 1, 2, 3. 2 és 1. A keresztül-kasul módszer mögött a szorzás szétválasztási törvénye, vagyis a disztri buti vitás (tagolhatóság) rejlik. Példánknál maradva: 853 x 762 = (800 + 50 + 3) x (700 + 60 + 2) = (3 x 2) + [(5 x 2 ) + (3 x 6)] x 10 + [(8 x 2) + (5 x 6) + (3 x 7)] x 100 + [(8 x 6) + (5 x 7)1 x 1000 + [8 x 7] x 10 000, amelyek pontosan a ke­resztül-kasul módszer számitásai.

173

A megoldást le tudod ellenőrizni a mod összegek mód­szerével úgy, hogy a két szám mod összegét összeszorzod, hiszen most szorzásról van szó, majd az ebből adódó szám mod összegét is kiszámolod. A kapott összeget hasonlítsd össze a végeredmény mod összegével. Ha a megoldás pon­tos, akkor a számoknak meg kell egyezniük:

8 5 3 7

x 7 6 2 x 6

6 4 9 9 8 6 4 2

}'

4 2 6

*6

Ha a mod összegek nem stimmelnek, akkor valahol hibát kö­vettél el. Ezzel a módszerrel átlagosan 9 alkalomból 8-szor a hiba kiderül.

A háromjegyű x kétjegyű számok esetében az eljárás ugyanaz, mint fent, csupán annyi a különbség, hogy „csa­lunk" egy kicsit. Úgy teszünk, mintha a kétjegyű számunk is háromjegyű lenne, mégpedig úgy, hogy a százas helyér­tékre beteszünk egy nullát.

8 4 6

x 0 3 7

31 3 0 2

1. lépés: 7 x 6 = 42 8

174

2. lépés: 4 + (7 x 4) + (3 x 6) = 50

8 4

0 3

3. lépés: 5 + (7 x 8) + (0 x 6) + (3 x 4) = 73

4. lépés: 7 + (3 x 8) + (0

8

0

5. lépés: 3 + ( 0 x 8 ) = 3 8 4 6

0 3 7A megoldás: 31 302.

Természetesen a gyakorlatban a 0-val való szorzást figyel­men kivül hagyod.A keresztül-kasul módszert bármilyen nagy szorzási fela­dathoz használhatod. Két ötjegyű szám összeszorzásához kilenc lépésre van szükség. A szorzások száma lépésenként1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2 és 1, vagyis összesen 25 szorzás:

4 2 8 6 7

5 2 0 4 9

2 231 1 8 4 4 8 3

175

1. lépés: 9 x 7 = 63 4 2 8 6 7

5 2

2. lépés: 6 + (9 x 6) + (4 x 7) = 88

4 2 8

5 2 0

3. lépés: 8 + (9 x 8) + (0 x 7) + (4 x 6) = 104

8

5 2 0 4 9

4. lépés: 10 + (9 x 2) + (2 x 7) + (4 x 8) + (0 x 6) = 74

4 2 8 6 7

5 2 0 4 9

5. lépés: 7 + (9 x 4) + (5 x 7) + (4 x 2) + (2 x 6) + (0 x 8) = 98

4 2 8 6 7

5 2 0 4 ' 9

6. lépés: 9 + (4 x 4) + (5 x 6) + (0 x 2) + (2 x 8) = 71

4 2 8 6 7

176

7. lépés: 7 + (0 x 4) + (5 x 8) + (2 x 2) = 51

4 2 8 6 7

5 2 0 4 9

8. lépés: 5 + (2 x 4) + (5 x 2) = 23

4 2 8 6 7

5 2 0 4 9

9. lépés: 2 + (5 x 4) = 22

4 2 8 6 7

5 2 0 4 9

A megoldás: 2 231 184 483

A megoldási a mod összegek módszerével ellenőrizheted:

HZ ÖO/ ----------------- ► V

5 2 0 4 9 ----------------- ► x 2

2 231 1 8 4 4 8 3

1

18

iT

36

1

T9

9

ELLENORZES TIZENEGGYELHogy még egyszer megbizonyosodj a megoldás helyessé­géről, az. ellenőrzés tizeneggyel módszert is alkalmazhatod. Ez nagyon hasonlii a m od összegek technikájára, de ebben

177

az esetben a számokat jobbról balra, felváltva kell kivonni és összeadni, a törteket pedig figyelmen kívül kell hagyni. Ha a végeredmény negatív szám, akkor adj hozzá II -et. (Talán csábítóbb lenne balról jobbra végezni a műveleteket, ugyanúgy, mint a mod összegeknél, de most muszáj jobbról balra csinálni, mert csak így működik).

Például:234,87 — ► 7 - 8 + 4 - 3 + 2 = 2 --------------- ► 2

+ 58,61 — ► 1 - 6 + 8 - 5 = - 2 —► - 2 + 11 = + 9

293,48 11

8 - 4 + 3 - 9 + 2 = 0 1 - 1 = 0

Shakuntala Devi: Ez kiszámíthatatlan!

1976-ban a The N ew York 7/mesban megjelent egy cikk egy Shakuntala Devi (1940 - ) nevű indiai nőről, aki fej­ben kiszámolta a 25 842 + 111 201 721 + 370 247 830 + 55 511 315 megoldását, majd beszorozta 9878- cal, és megkapta a helyes végeredményt, az 5 559 369 456 432-t, ráadásul mindezt kevesebb, mint 20 másod­perc alatt. Nehéz elhinni, de a szegény szülők iskolázat­lan gyermeke az Egyesült Államokban és Európában is hírnévre tett szert, mint villámgyors fejszámoló. Sajnálatos módon Devi valóban hihetetlen számolásait, amelyeket nem az ismert „szakmai trükkökkel" végzett, alig dokumentálták. A legnagyobb neki tulajdonított tel­jesítmény - amely során két tizenhárom jegyű számot szorzott össze papíron - a mai napig szerepel minden Guinness rekordok könyvében az „Emberi számítógép" példájaként. Ugyanakkor, még a legnagyobb jóindulat­tal is megkérdőjelezhető az az idő, amely alatt a szá­molást elvégezte. Devi, aki a keresztül-kasul módszer

178

szakértője volt, 1980. június 18-án kiszámolta a londoni Imperial Főiskola Számítástechnikai tanszékén véletlen­szerűen generált két szám, a 7 686 369 774 870 és a 2 465 099 745 799 szorzatát. A helyes megoldásig, a 18 947 668 177 995 426 773 730-ig, állítólag 20 másodperc alatt jutott el. A Guinness a következő meg­jegyzést fűzte az eseményhez: „Néhány köztiszteletben álló matematikai szakíró megkérdőjelezte azokat a kö­rülményeket, amelyek között Mrs. Devi ezt a teljesítményt elérte, és azt állítják, szigorú felügyelet mellett lehetetlen lenne megismételni ezt a bemutatót/' A 20 másodperc, amely a feladat kiszámításához kellett, azt feltételezi, hogy a 169 szorzási és 167 összeadási, vagyis a 336 matematikai művelet elvégzésekor egy műveletre egyti- zed másodpercet jutott - hiba ejtése nélkül - , hiszen csak így maradt idő arra, hogy Devi még a megoldás 26 számjegyét is leírja. Már maga a reakcióidő miatt ez a világcsúcs tényleg a „Kiszámíthatatlan!" kategóriájába tartozik.Shakuntala Devi tehát bebizonyította gyors számo­lási képességét, és még egy saját könyvet is írt a té­máról.

Ugyanez a módszer beválik a kivonási feladatoknál:6 5 7 1 7 -------- ► 14 -------- ► 3

- 3 8 491 -------- ► - (-9) -------- ► í l 9

2 7 2 2 6 --------------------------------► 1 2 -------- *-1

i1

179

És még a szorzásoknál is működik:8 5 3 -----------------------► 6

7 6 2

6 4 9 9 8 6

I- 4

7

x_318

Ha nem egyeznek a számok, akkor valahol biztosan hibáz­tál. Ám ha megegyeznek, még akkor sem lehetsz ezer szá­zalékig biztos magadban. Ez a módszer ugyanis 11 esetből „csak" 10-szer szűri ki a hibát, vagyis 11:1 az esélye annak, hogy a hiba átcsúszik az ellenőrzés tizeneggyel. és 9:1, hogy az ellenőrzés kilenccel szűrőjén. Annak azonban, hogy mindkét technika csődöt mondjon, csupán 99:1 az esélye. Ha erről vagy más káprázatos matekmágiáról szeretnél még többet megtudni, akkor melegen ajánlom Martin Gardner bármelyik könyvét (/. a könyv hátuljában).

Szerintem most már készen állsz a papíron számolás végső megmérettetésére, ezért szorozz össze két tízjegyü számot. Persze ennek a feladatnak praktikus haszna iga­zából nincs, kivéve talán azt, hogy villoghatsz vele! (Ami engem illet, én úgy gondolom, hogy már két ötjegyű szám összeszorzása is lenyűgöző teljesítmény, mivel a legtöbb zsebszámológép megközelítőleg ennyire képes.) A műve­letet azért mutatjuk be, hogy bebizonyítsuk, tényleg meg lehet csinálni egy ilyen nehéz feladatot is. A keresztül-kasul módszer ugyanazt az alapmintát fogja követni, mint az öt­jegyű x ötjegyű példánál. A megoldás 19 lépésből fog állni, és a tizedikben tiz keresztbe szorzás lesz! Hát akkor, essünk neki:

180

2 7 6 6 8 2 9 4 5 1

x 4 4 2 5 5 7 5 2 1 6

1 . lé p é s : 6 x 1 = 6

2. lé p é s : | 6 x 5 ) + (l x 1 ) « 31

3 . lé p é s : 3 + (6 x 4) + (2 x 1) + (1 x 5 | » 34

4 . l é p é s : 3 + (6 x 9 ) + {5 x 1) + (1 x 4 ) + (2 x 5 ) = 76

5. l é p é s : 7 + (6 x 2 ) + (7 x 1) + (1 x 9 ) + (5 x 5) + (2 x 4 ) = 68

6 . l é p é s : 6 + (6 x 8) + (5 x 1) + (1 x 2) + (7 x 5) + (2 x 9) + (5 x 4 ) =

134

7. lé p é s : 13 + (6 x 6 ) = {5 x 1) + {1 x 8] + (5 x 5) + (2 x 2) + (7 x 4)

♦ ( 9 x 5 ) = 164

8. lé p é s : 16 + (6 x 6 ) + (2 x 1) + (1 x 6 ) + (5 x 5) + (2 x 8) + (5 x 4)

+ (5 x 2) + (7 x 9) = 194

9. lé p é s : 19 + (6 x 7) + (4 x 1) + (1 x 6) + (2 x 5) + (2 x 6) + (5 x 4)

+ ( 5 x 8 ) + ( 5 x 9 ) + ( 7 x 2 | = 212

1 0 . lé p é s : 21 + (ó x 2} + (4 x 1) + (1 x 7) + (4 x 5) + (2 x 6 ) + (2 x 4)

+ (5 x 6 ) + (5 x 9) + (7 x 8 ) + (5 x 2) = 22 5

1 1 . lé p é s : 22 + ( I x 2 ) + (4 x 5) + (2 x 7) + (4 x 4) + (5 x 61 + (2 x 9)

+ (7 x 6) + (5 x 2 )+ ( 5 x 8 ) = 21 4

12. l é p é s : 21 + (2 x 2) + (4 x 4) + (5 x 7) + (4 x 9 ) + (7 x 6 ) + (2 x 2)

+ (5 x 6) + (5 x 8 ) = 228

1 3 . l é p é s : 22 + (5 x 2) + (4 x 9) + (7 x 7) + (4 x 2) + (5 x 6 ) + (2 x 8)

+ (5 x 6 ) = 2 0 1

1 4 . lé p é s : 2 0 + (7 x 2) + (4 x 2) + (5 x 7) + (4 x 8 } + (5 x 6) + (2 x 6)

= 151

15. lé p é s : 15 + (5 x 2) + (4 x 8) + (5 x 7) + (4 x 6 ) + (2 x 6) = 128

1 6 . lé p é s : 12 + (5 x 2) + (4 x 6 ) + (2 x 71 + (4 x 6 ) = 84

1 7 . lé p é s : 8 + (2 x 2 ) + (4 x 6) + (4 x 7 ) = 64

1 8 . lé p é s : 6 + (4 x 2 ) + {4 x 7) = 42

1 9 . lé p é s : 4 + (4 x 2 ) = 1 2

181

Ha elsőre sikerült végigverekedni magadat ezen a rendkívül nehéz feladaton, akkor közel a pillanat, hogy tanoncból a matekmágia mesterévé avassunk!

Ellenőrzés mod összegekkel:

2 7 6 6 8 2 9 451 ----------------► 5

x 4 4 2 5 5 7 5 2 1 6 ----------------► x_5

12 2 4 4 811 8 4 5 2 4 4 4 8 6 4 1 6 ----------------► 25

t7 9 7

i16

FELADATOK: SZÁMOSZLOPOK

Add össze a következő számoszlopokat fentröl lefelé, aztán ellenőrizd magad először úgy, hogy újra összeadod a szá­mokat, de most lentről felfelé, másodszor pedig a mod összegek módszerével. Ha a két mod összeg nem stimmel, nincs más hátra, ellenőrizz még egyszer!

1.

6 7 2

1 3 6 7

107

7 8 4 5

3 5 8

210

+ 9 1 6

182

Add össze ezeket a tizedes törteket:

2 .

2 1 ,5 6

1 9 ,3 8

211,02 9 ,1 6

2 6 ,1 7

♦ 1 ,4 3

FELADATOK: KIVONÁS PAPÍRON

Oldd meg a következő feladatokat, majd a megoldásokat el­lenőrizd le a mod összegekkel, aztán pedig úgy, hogyösszeadod a végeredményt és az alsó számot, hogy megkapda felsőt:1. 2.

7 5 4 2 3 8 7 6 4 5 2

- 4 6 2 9 8 - 5 9 3 8 7 6

3. 4.

3 2 4 9 2 0 2 4 5 3 9 4 3 5 8

- 2 9 0 3 4 4 5 - 3 6 4 7 2 6 5 9

FELADATOK: A NÉGYZETGYÖK

KISZÁMÍTÁSA PAPÍRRAL ÉS CERUZÁVAL

Számold ki az alábbi számok pontos négyzetgyökét a dup­lázás és osztás technikájával:

1. \ZV5 ? V5Ö2 3. V 4 3 9 ,2 4 V 3 6 1

183

FELADATOK: SZORZÁS PAPÍRON

Ezt a feladatcsokrot zárjuk azzal, hogy kiszámolod a követ­kező szorzások végeredményét a keresztül-kasul módszer segítségével. A számokat egy sorba, jobbról balra ird le a feladatok alá, végül pedig ellenőrizd magad a mod össze­gekkel.

1. 2. 3.5 4

X 3 7

27 3

x 2 1 7

7 2 5

x 6 0 9

5. 6 .

52 8 1 9 3 9 2 3 7 5 9

x 4 7 8 2 0 x 2 6 7 4 0 9 3

3 3 0 9

x 2 8 6 8

184

8.Egy felejthetetlen fejezet Számok memorizálása

Az emberek leggyakrabban a memóriámmal kapcsolatban tesznek fel kérdéseket nekem. Nem. kedves olvasó, nincs ki­vételes emlékezőtehetségem, egyszerűen csak használok egy olyan módszert, amely segít az emlékezésben, és amelyet bárki elsajátíthat. Kísérletek kimutatták, hogy szinte minden ember, aki átlagos intelligenciával rendelkezik, megtanítható arra, hogyan tökéletesítse számmemóriáját.

Ebben a fejezetben megmutatjuk neked ezt a módszert, amely nemcsak egyértelmű gyakorlati előnyöket nyújt, mint például dátumok vagy telefonszámok észben tartása, hanem segít a matekmágusoknak abban, hogy nagyon bo­nyolult feladatokat fejben megoldjanak. A 9. fejezetben azt is megmutatjuk, hogyan tudsz az itt tanultakat felhasználva ötjegyű számokat fejben összeszorozni.

A MNEMOTECHNIKA ALKALMAZÁSAA most következő módszer tulajdonképpen egy mnemo- technikai eljárás, amely megkönnyíti az emlékezést: a kó­dolást (elhelyezés a memóriában), a tárolást (megőrzés a memóriában) és az előhívást (visszanyerés a memóriából). Működésének alapja, hogy az értelmetlen adatokat (mint például a számsorok) átalakítjuk értelmes dolgokká. Szakíts egy kis időt a következő mondat memorizálására:

A mátrai télapó nyája elé mely faebképu hómanóm fér?

185

Olvasd el többször a mondatot, aztán nézz fel, és addig mondogasd magadban, amíg kívülről nem tudod. Próbáld vizualizálni a szavakat. Megvan?

Gratulálok! Az imént bemagoltad a * (pi) első 20 szám­jegyét. Gondolom emlékszel arra, hogy az iskolában a jt-t a kör kerületének és átmérőjének arányaként definiáltuk, és értékét 3,14-ként. vagy 22/7-ként határoztuk meg. Az igaz­ság az, hogy a ji egy irracionális szám (nem irható fel két egész szám hányadosaként, ezért végtelen, nem szakaszos tizedes tört), amelynek pontos értékét modem számítás­technikai módszerekkel már több, mint 1 billió tizedesje­gyig kiszámították.

Egy csipetnyi J t - t Alexander Craig AitkennekA fejszámolás talán egyik leglenyűgözőbb mutatványát Alexander Craig Aitken (1895-1967), az Edinburgh-i Egyetem professzora adta elő, aki nemcsak megtanulta a ti első ezer számjegyét, de amikor egyik előadása közben váratlanul arra kérték, mutassa be bámulatos emlékezőtehetségét, azonnal eldarálta az első 250 szá­mot. Ekkor újabb kihívásként azt a feladatot kapta, hogy ugorjon előre az 551 -dik számig, és innentől mondjon el még 150 számot. O ezt sikeresen, egyetlen hiba nélkül meg is tette.Hogyan csinálta? Aitken a következőt mondta közön­ségének: „a titok nyitja a relaxáció - amit általában a koncentráció gyökeres ellentétének tartanak." Technikája szokatlan módon a hallásra támaszkodott. A számokat ötvenes csoportokba rendezte, majd egy adott ritmus szerint memorizálta. Megingathatatlan bizonyossággal magyarázta. „A n megtanulása abszolút felesleges lett volna akkor, ha nem lett volna olyan egyszerű."

186

Aitkent nem az tette villámgyors fej számolóvá, hogy megtanulta a n első ezer számjegyét, hanem az , hogy könnyedén össze tudott szorozni két ötjegyű számot fejben. Thomas O ' Bierne matematikus így emlékezett vissza Aitkenre, miután találkozott vele egy asztali szá­mológép termékbemutatóján: „A z eladó valami olyas­mit mondott, hogy akkor most megszorozzuk a 23 586-ot 71 283-mal, mire Aitken azonnal rávágta: »és akkor egy milliárd... kapunk» - már nem is tudom mi volt a megoldás. A férfi annyira el volt foglalva azzal, hogy eladja a masinát, hogy ezt észre sem vette, de a főnöke, aki figyelt, meghallotta. Amikor látta, hogy Ait* kennek igaza van, majdnem dührohamot kapott (velem együtt)."Aitken ironikusan megjegyezte, hogy amikor vett magá­nak egy asztali számológépet, fejszámoló képessége gyorsan romlani kezdett. Látva, hogy mit hoz a jövő, így sopánkodott: „Talán a fejszámolók, éppúgy mint Taz- mánia őslakosai vagy a maorik, kihalásra vannak ítélve, ezért egy érdekes egyed megtekintése szinte antropoló­giai érdeklődést válthat ki, néhány nézőm pedig elmond­hatja a 2000. évben, hogy »lgen, én ismertem egy ilyen embert«." Szerencsére a történelem igazolta, hogy Ait­ken tévedett!

A KÓDOLÁSBiztosan elgondolkodtál azon, hogy a fenti mondatból ho­gyan lesz a ji első 20 számjegye.

Nos, a kód feltöréséhez először be kell magolnod a lenti kódrendszert, amelyben nullától kilencig minden számhoz hozzárendeltünk egy vagy több mássalhangzót.

187

1 / vagy d2 n3 m4 r5 /6 j, C5 vagy s1 k vagy g8 /v a g y v9 p vagy /?0 z vagy

Ezt a kódrendszert nem olyan nehéz megjegyezni, mint ahogy azt elsőre gondolnád. Egyrészt, amelyik számnál több betű található, ott a betűk kiejtése hasonlít. Például a k hasonlít a g-re (ennek az az oka. hogy a két hang képzése csak minimálisan tér el egymástól, az egyik zöngés, a másik zöngétlen). Emellett a következő kis trükkök is segíthetnek abban, hogy az agyadba vésd a kódokat:

1 A nyomtatott /-nek és J-nek csupán 1 szára van.2 A nyomtatott /i-nek 2 lába van.3 A nyomtatott m-nek 3 lába van.4 Nos. ez a ,jn ráad ás” (hisz 3 a magyar igazság és...)5 A kezedet tartsd úgy. hogy 4 ujjad felfelé mutasson, a

hüvelykujjaddal pedig zárj be 90 fokos szöget. Az 5 uj­jad most úgy néz ki, mint egy L.

6 A j egy kicsit úgy néz ki, mint egy fejre állított 6-os.7 Le tudod rajzolni úgy a K-1, hogy két 7-est háttal egy­

másra fektetsz.8 A folyóírással le írt/hason lít egy 8-asra.9 A 9 úgy néz ki, mint egy háttal álló P, vagy egy fejre

állított b.0 A zéió 4-vel kezdődik.

188

Vagy próbáld meg megjegyezni a Tóni Marloskovipsz ne­vet, ha sikerül, ez biztosan emlékeztetni fog a kódokra!

Gyakorold a listát. Körülbelül 10 perc után valószínűleg már minden egyjegyű számhoz hozzákapcsoltad a mással­hangzóját. Ezután alakítsd a számokat szavakká úgy, hogy magánhangzókat teszel a mássalhangzók közé. Például a 32 bármelyik lehet a következők közül: mini, menő, manó, mén. ámen. és igy tovább.

A következő szavak nem tudják a 32-es számot jelölni, mivel nem csak ni és n van bennük: menta, mancs, munka. Ezek a szavak (sorrendben) a 321, 326 és a 327. Azokat a mássalhangzókat, amelyek nem szerepelnek a listában (c, h, y, dz. dzs, zs) bármikor felhasználhatod, igy könnyebb a szó­alkotás. A 32 igy akár humán vagy meny is lehet. (Az y azért különösen hasznos, mert a g, /?, / betűkhöz illesztve a variá­ciók még nagyobb lehetőségét kinálja, ellenben az ly nem túl szerencsés választás, hiszen a kiejtés azonossága miatt köny- nyen összetéveszthető a 7-vel - a ford.)

A alábbi lista ötleteket ad arra, hogy a számokból milyen szavakat hozhatsz létre a megtanult kódrendszer segítségé­vel. Ezeket nem kell bevágnod, csupán használd inspiráció­ként, amikor kitalálod a saját szavaidat. És ne feledd, a ki­maradt mássalhangzókat használd bátran!

0 szó 9 apa 18 táv 27 nyög1 tea 10 dísz 19 táp 28 név2 nő 11 dada 20 néz 29 nép3 ima 12 dán 21 nád 30 mozi4 ér 13 dóm 22 néne 31 mód5 lé 14 tér 23 néma 32 manó6 só 15 tél 24 nyerő 33 mama7 kő 16 tej 25 inai 34 már8 vő 17 tág 26 nasi 35 meló

189

36 máj 52 len37 mák 53 lom38 hamva 54 lira39 amőba 55 lila40 ráz 56 lecsó41 rúd 57 luk42 erény 58 lufi43 rém 59 lép44 ráró 60 csésze45 relé 61 csat46 rács 62 sün47 rág 63 csomó48 rév 64 sár49 répa 65 sál50 láz 66 sas51 lét 67 csók

68 séf 84 vér69 seb 85 fül70 kéz 86 fej71 kút 87 fog72 kín 88 fii-fa73 kém 89 fóbia74 kar 90 busz75 kiló 91 pad76 kacsa 92 bűn77 kuka 93 puma78 kávé 94 bér79 kép 95 bél80 víz 96 baj81 fut 97 pék82 fon 98 páva83 fém 99 baba

A szám -szó listaGyakorlásképpen alakítsd át a/, alábbi számokat szavakká, és ahol lehetséges, találj ki minél több megoldást:

4274

67

86

94

10

55826

951620

8451

190

Itt van néhány azok közül, amiket én találtam ki

42 rohan, Áron, nyáron, urna, renyhe74 kár. kér. kérő, kóró, guru67 csók, jég, sok. csak, sik86 fej, faj, vas94 por, bor10 tűz, túsz, tesz, dísz55 lila, lel, alul, elöl

826 fincsi, fonás, vonás951 pilóta, bolt, példa620 sansz8451 varázslat!

Most a szavakat alakítsd át számokká:

témavénkeretversenybanánkarátpapírtrükkmatematika fej számoló hodzsa

Megoldások:

téma vén keret verseny

1382

7 4 1

8462

191

banán 922karát 741papír 992trükk 1477matematika 31317fejszámoló 86 035 hodzsa (semmi, beugratás)

Habár egy számot többféle szóvá is át lehet alakítani, egy szó csak egyetlen számot jelenthet. Ez egy nagyon fontos jellemzője a módszernek, amelynek hála, nagy számokra is emlékezni tudunk.

Ezzel a kódrendszerrel bármilyen számsort (legyen az te­lefonszám. társadalombiztosítási azonosító jel vagy jogosit- ványszám) szóvá vagy akár mondattá alakíthatunk. Lássuk, hogyan lelt a első 20 számjegyéből a következő mondat:

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4

A mátrai télapó nyája elé mely faebképü hómanóm fér?

Mivel ez a mondat kizárólag a fenti 20 számot jelentheti, ezzel meg is tanultad a első 20 számjegyét!

Igazán büszke lehetsz magadra, ha ugyanolyan gyorsan vissza tudod fordítani számokká ezt a mondatot, mint amilyen gyorsan elmondtad. De a világcsúcs megdöntéséhez sokai kell még gyakorolnod. A japán Hiroyuki Goto 1995-ben 17 óra és 21 perc alatt fejből elmondta a első 42 195 számjegyét.

HOGYAN KÖNNYÍTI MEG A FEJSZÁMOLÁST A MNEMOTECHNIKAA mncmotcchnika a hosszú számsorok memorizálása mel­lett abban is segit, hogy nehéz feladatok közben elraktározd

192

a részmegoldásokat. Például egy háromjegyű szám négyzet­re emelésekor igy könnyíti meg a dolgunkat:

+ 42 3 8 4 dúdol

Biztosan emlékszel arra a 4. fejezetből, hogy a 342 négyzetre emelésénél először a 300 x 384-et kell kiszámolni, majd ehhez a részeredményhez hozzá kell adni a 422-t. De mire kiszámo­lod, hogy a 422 = 1764, addigra lehet, hogy elfelejted az első számot, a 115 200-at. Nos. ekkor vágtat a megmentésedre az emlékezést segitő módszerünk. A 115 200 megjegyzéséhez a 200-at „tedd” a kezedre úgy, hogy felemeled két ujjadat, a 115-öt pedig alakítsd át egy szóvá, például dúdolva. (Mel­lesleg, szerintem nem csalsz azzal, ha a 200-at az ujjaidon tar­tod, elvégre azért vannak ujjaink, hogy számoljunk rajtuk!) Ismételd el magadban a dúdolt egyszer vagy kétszer. Ezt könnyebb megjegyezni, mint a 115 200-at, főleg akkor, ha el­kezded kiszámolni a 42 négyzetét. Mikor eljutsz a 1764-hez. akkor ezt add hozzá a dúdol 2 kódodhoz, vagyis a 115 200- hoz, így megkapod a végeredményt, a 116 964-et.

Nézzünk egy ú jabb példát:

+ 27 3 0 0 kém

+ 2 2 = 1 7 6 4

- 2 4 0

Miután kiszámoltad, hogy 300 x 246 = 73 800, a 73-at alakítsd ál kém re, aztán a 800-at helyezd a kezedre úgy, hogy 8 ujjadat felemeled. Számold ki a 27 négyzetét (729) és egyszerűen add hozzá a kém tf-at, vagyis a 73 800-at. A végösszeg 74 529 lesz. Ez a módszer eleinte talán túl időigényesnek tűnik, de egy kis gyakorlás után a számok szavakká, majd a szavak számokká alakítása úgy fog menni, mint a karikacsapás!

Láthatod, milyen könnyű a kétjegyű számokból szavakat csinálni. De a háromjegyű számokat nem mindig ilyen egyszerű átalakítani. Ha teljesen lehetetlennek tűnik, hogy találj egy megfelelő értelmes szót, akkor egy furcsa vagy nem létező is ugyanúgy megteszi. Például ha a 236 vagy a 226 esetében nem ju t eszedbe semmi, akkor az olyan szavak kombinációja, mint a „nem jó", vagy akár egy badarság, mint a „neneje”. szintén kiválóan beválik. Még ezek a fur­csa szavak is könnyebben eszedbe jutnak egy hosszú szá­molás során, mint a 236 vagy a 226. A következő fejezetben található hatalmas feladatoknál ezek a mnemotechnikai trükkök nélkülözhetetlenek lesznek.

EMLÉKEZET-VARÁZSLATA mnemotechnika használata nélkül egy átlagos ember (ide értve engem is) egyszerre csupán 7 vagy 8 számjegyet tud megjegyezni. De ha a számokat mesteri módon át tudod váltani szavakká, a kapacitásodat nagyban megnö­velheted. Kérj meg valakit, hogy lassan mondjon el egy­más után 16 számjegyet, közben pedig egy másik ember irja fel őket egy táblára vagy egy papírra. Mikor már az összes számot leírták, kezdd el visszamondani a számokat a megfelelő sorrendben anélkül, hogy a táblára vagy a pa­pírra pillantanál! Mondd vissza a megfelelő sorrendben a számot anélkül, hogy a táblára, vagy a papírra néznél!

194

Nemrégen, az egyik bemulató előadásomon a következő számsort kaptam:

1 , 2 , 9 , 7 , 3 , 6 , 2 , 7 , 9 , 3 , 3 , 2 , 8 , 2 , 6 , 1

Ahogy kimondták a számokat, mindegyiket átalakítottam egy szóvá a korábban bemutatott kódrendszer segítségével, aztán egy buta kis történetet fűztem köréjük, hogy köny- nyebben észben tudjam tartani őket. A 12 Duna lett, a 97 pék , a 36 máj, a 27 nyög, a 93 pum a , a 32 /wö/íó, a 82 /<?m és a 61 pedig jut.

Aztán elképzeltem, amint a Duna partján egy pék májas kenyeret eszik, örömében nagyokat nyög. Arra jön egy pu­ma és egy manó, és mindkettő fen i a fogát. Jut nekik is. Talán ez a történet egy kissé bizarr, de minél nevetségesebb, annál könnyebb megjegyezni - és egyébként is, igy sokkal szórakoztatóbb.

195

9.A nehéz dolgok könnyűvé tétele: Emelt szintű szorzások

Mostanra - ha átrágtad magad az összes fejezeten - megta­nultál fejben összeadni, kivonni, szorozni és osztani, illetve el­sajátítottad a becslés művészetét, a matekmágia használatát Írásban, és a számok memorizálását segítő mnemotechnikát. Ez a fejezet a mindenre elszánt, komoly matekmágusoknak szól, akik elméjüket olyan briliánsra akarják pallérozni, ameny- nyire csak lehetséges. A négyjegyű számok négyzetre emelé­sétől indulunk, és eljutunk egészen addig a nehéz mutatványig, amelyet én közönség előtt szoktam előadni, a két különböző ötjegyű szám szorzásáig.

Annak érdekében, hogy ezeket a feladatokat meg tudd oldani, kifejezetten fontos, hogy magabiztosan és aránylag gyorsan alkalmazd a számok memorizálására használt kód­rendszert. Ha pedig előrelapoztál a fejezetben, és a felada­tok elsőre túlságosan nehéznek tűntek, hadd mondjam el még egyszer a könyv két alaptételét:1) A fejszámolás készségét szinte mindenki el tudja sajátí­

tani.2) A megoldás kulcsa: a nehéz feladatot könnyebb felada­

tokká kell egyszerűsíteni, igy minden gyorsabb és egyszerűbb.

Sem ebben a fejezetben, sem máshol, ahol hasonló pédákkal találkozhatsz, nincs olyan probléma, amelyen ne lehetne felülkerekedni a korábban megtanult egyszerűsítési techni­kákká!. Feltételezve, hogy már mestere vagy a szükséges módszereknek, többnyire illusztrációk segítségével fogunk

197

tanítani, ahelyett, hogy szóról szóra végigvezetnénk a felada­tokon. Ennek ellenére, azért majd sokszor emlékeztetünk arra, hogy a nehezebb feladatok felszíne alatt könnyebb fel­adatok lapulnak, amelyekkel viszont már a korábbi fejezetek­ben találkoztál.

A négyjegyű számok négyzetre emelésével fogjuk kez­deni. Sok sikert!

NÉGYJEGYŰ SZÁMOK NÉGYZETRE EMELÉSEA négyjegyű számok négyzetre emelésének előfeltétele, hogy képes vagy egy négyjegyű és egy egyjegyű szám összeszorzására - amelyet úgy oldunk meg, hogy két darab kétjegyű x egyjegyű feladatra bontjuk. Emlékeztetőül álljon itt néhány példa:

4 8 6 7 ( 4 8 0 0 + 6 7 )

X _____ 9

9 x 4 8 0 0 = 4 3 2 0 0

9 x 6 7 = + 6 0 3

4 3 8 0 3

2 7 8 1 ( 2 7 0 0 + 8 1 )

x ______ 4

4 x 2 7 0 0 = 1 0 8 0 0

4 x 8 1 = + 3 2 4

1 1 1 2 4

6 7 1 8 ( 6 7 0 0 + 1 8 )

x____ 8

8 x 6 7 0 0 = 5 3 6 0 0

8 x 1 8 = f 1 4 4

5 3 7 4 4

198

4 2 6 9 ( 4 , 2 0 0 + 6 9 )

X ________ 5

5 x 4 2 0 0 = 2 1 0 0 0

5 x 6 9 = + 3 4 5

2 1 3 4 5

Ha mindezt már álmodból felébresztve is megcsinálod, ak­kor készen állsz a négyjegyű számok négyzetre emelésére. Lássuk hát a 4267 négyzetét! Ugyanazt a módszert fogjuk használni, mint a kétjegyű és háromjegyű számoknál, vagy­is a 4267-böl kivonunk 267-et, ezzel 4000-re kerekítjük, majd ugyanennyit hozzáadva 4534-re is felkerekítjük. Ezután a két számot összeszorozzuk (4534 x 4000 - ami va­lójában egy négyjegyű x egyjegyű feladat) és az eredmény­hez hozzáadjuk annak a számnak a négyzetét, amivel ke­rekítettünk, tehát a 2672-t. Tehát:

+ 267 4 5 3 4 tömés

4 2 6 7 2 / 1 8 1 3 6 0 0 0 (4534 x 4000)

- 2 6 7 4 0 0 0 + 7 1 2 8 9 (2 6 7 2 )

1 8 2 0 7 2 8 9 f+ 3 3 / 3 0 0

' / \2 6 7 2 ^ 7 0 2 0 0 (300 x 234)

- 33 2 3 4 + 1 0 8 9 (332)

7 1 2 8 9

Nos, eléggé egyértelmű, hogy nagyon sok minden történik ebben a feladatban. Tisztában vagyok azzal, hogy nagyon könnyű azt mondani: „adjuk hozzá a 267 négyzetét", de ezt ki is kell számolni, ráadásul nemcsak az eredményt kell megjegyezni, hanem azt is, mihez kell majd hozzáadni. Először is, miután kiszámoltad a 4534 x 4-et és megkaptad

199

a 18 136-ot. máris kimondhatod a megoldás első részét: 18 millió... Ezt azért teheted meg, mert az eredeti számot mindig az ezer legközelebb lévő többszörösére kerekitjiik. Ennek értelmében a következő lépésben a legnagyobb há­romjegyű szám, amelyet négyzetre emelhetsz az az 500. Az 500 négyzete 250 000. ezért amint látod, hogy a megoldás többi része (ebben az esetben a 136 000) kevesebb, mint 750 000. akkor tudod, hogy a milliók nem fognak változni. Mikor kimondtad a 18 milliót, már csak a 136 000-t kell észben tartanod, mielőtt négyzetre emelnéd a 267-et. És itt jön a felmentő sereg az előző fejezetből, a mncmotechnika! A kódokat használva a 136-ot lefordíthatod például tömésre (1 = t, 3 = in, 6 = s), aztán elkezdhetsz a feladat következő részére koncentrálni (természetesen, miután megjegyezted a tömést; és hogy 3 nulla van mögötte). Ha a számolás közben elfelejted az eredeti feladatot, akkor pillants rá a számra, vagy ha nincs leírva, akkor kérd meg a közönséget, hogy ismételje el (ez azt az illúziót kelti, hogy a feladatot az elejéről kezded, pedig az igazság az, hogy a számítások egy részét már elvégezted)!

Most végezd cl a háromjegyű szám (267) négyzetre emelését, ahogy azt korábban tanultad, így megkapod a 71 289-et. Egy időben nehézséget jelentett számomra, hogy a százas helyértéken szereplő számot megjegyezzem (ebben az esetben a 2-t). Ezt úgy küszöböltem ki. hogy felemeltem két ujjamat. Ha netán az utolsó két számjegyet (89) felej­tenéd cl, akkor térj vissza az eredeti számhoz (4267), emeld négyzetre ennek az utolsó két számjegyét (672 = 4489), majd vedd a szám kél utolsó tagját, és meg is vannak az elveszett számok.

A végeredmény befejezéséhez össze kell adnod a 71 289-et és a tömést (ami számokra visszafordítva 136 000), igy megkapod a 207 289-et, amelyet hozzábiggyeszthetsz a 18 millióhoz.

200

Csináljuk meg még egy négyjegyű szám négyzetre emelését, a feladat: 84312

+ 431 8 8 6 2 főpasa

Nem megyek végig a feladaton lépésről lépésre, mint az előbb, hanem inkább kiemelek néhány érdekesebb részt. Miután kiszámoltad, hogy a 8862 x 8 = 70 896, észre kell venned, hogy a 896 több, mint a 750, ezért valószínűleg át kell vinni egy számot. Sőt, mivel a 4312 nagyobb, mint a 4002 (160 000), ezért biztosan át kell vinni egy számot, amikor a második számot hozzáadod a 896 000-hez. Tehát, ezen a ponton biztonsággal kimondhatod, hogy 71 millió...

Ha négyzetre emeled a 431-et. az eredmény 185 761 lesz. Add hozzá a 896-hoz a 185-öt, megkapod az 1081-et, és kimondhatod a megoldás többi részét. De ne feledd, már korábban számítottál arra, hogy át kell vinned a maradékot, ezért csak annyit tegyél a 71 millió után, hogy 81 ezer 761, és már kész is vagy!Egy újabb finomságot mutatunk be a 2753 négyzetre eme­lésével:

\ /-31 4 0 0 ♦ 9 6 1 (312)

1 8 5 7 6 1

201

+ 2 4 7 3 0 0 0 életfo

2 7 5 3 7 { y 7 5 1 8 0 0 0 (3 0 0 0 x 2506)

- 2 4 7 2 5 0 6 + 6 1 0 0 9 (247?)

7 5 7 9 0 0 9 f+ 4 7 / 2 9 4

/ \2 4 7 2 ' ^ 5 8 8 0 0 ( 2 9 4 x 200)

- 4 7 2 0 0 ♦ 2 2 0 9 (472)

6 1 0 0 9

Mivel a 2753-at 3000-rc kerekíted, ezért a 3000-et egy kétezer-valamekkora számmal fogod majd megszorozni, amit kiszámolhatnál úgy is, hogy a 2753-ból kivonsz 247-et (hiszen előbb ennyit adtál hozzá, most ennyit kell kivonni), de ez egy kissé nehézkes. Hogy a kétezer... utolsó három számjegyét megkapd, duplázd meg a 753-at, igy 1506-ot kapsz. Ennek az utolsó három számjegye (506) lesz a kétezer-valamennyi utolsó három számjegye is, a keresett szám tehát a 2506! Ez a trükk azért működik, mert a két összeszorzandó szám összegének kétszer akkorának kell lennie, mint az eredeti szám ([3000 + 2506] / 2 = 2753). Ezután járj el a megszokott módon. Számold ki, hogy a 3000 x 2506 = 7 518 000. majd az 5 18-at alakítsd át egy szóvá: életfa (nekem inkább csak egy szóféleség jutott eszembe), és mondd ki a megoldás első részét: 7 millió... . Ezt teljes magabiztossággal megteheted, mivel az 518 ke­vesebb, mint a 750, úgyhogy nem lesz maradékunk.

A 7 millió + életfa hoz add hozzá a 247 négyzetét. Ne fe­ledd. hogy a 247 az 573 komplementere. Ezt követően ugyanúgy járj el, mint a korábbi, négyjegyű számokat tar­talmazó pcldák esetében.

202

Thomas Fuller: A tanult és az ostoba emberek

A tanulás terén szinte lehetetlen felülmúlni Helen Kellert*, aki testi fogyatékosságai ellenére képes volt teljes életet élni, de Thomas Fuller, az írástudatlan rabszolga története is igazán figyelemreméltó. Fuller 1710-ben született Afrikában, ahon­nan erőszakkal Virginia ültetvényeire vitték dolgozni. Eliza­beth Cox asszony „tulajdonaként", egyetlen napot sem tölt- hetett az iskolában, de autodidakta módon megtanult százig elszámolni, majd tudásvágyát úgy csillapította, hogy minden kéznél levő dolgot megszámolt - legyen az a magok száma egy véka búzában, vagy akár egy tehén farkának szőrszálai (2872).Az egyszerű feladatoktól eljutott odáig, hogy képes volt meg­mondani, hány cserép kell egy ház tetejének befedéséhez, hány oszlop szükséges a ház bekerítéséhez, és minden épí­tőanyag mennyiségét, amely egy építkezéshez kell. Bámulatos képessége egyre fejlődött, a hírneve pedig vele együtt nőtt. Idős korában két pennsylvaniai kihívója olyan feladat elé állí­totta, amely a legjobb fejszámolókat is megizzasztja. A kö­vetkező kérdést tették fel neki: „Ha egy farmernek hat kocája van, és mind a hat kocának az első évben hat nősténymalaca születik, majd mind ugyanilyen iramban szaporodnak tovább, akkor nyolc év elteltével hány kocája lesz a farmernek?" A feladatot a következőképpen lehet leírni: 78 x 6 vagyis [(7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7) x 6]. Fuller tíz percen belül megadta a választ, ami hibátlan volt (34 588 806).Halálakor a Columbian Sentinel a következőket írta róla: „Bármilyen távolságot meg tudott adni pole-ban, yardban, lábban, colban vagy az árpaszemek számában, akár a Föld pályájának átmérőjét is; és minden számítása során helyes megoldásra jutott, méghozzá kevesebb idő alatt, mint ameny- nyi száz emberből kilencvenkilencnek kellene úgy, hogy pa­píron számol." Mikor Fullert megkérdezték, nem bánja-e,

203

hogy nem részesült hagyományos oktatásban, a következőt válaszolta: „Nem, uram. Az a legjobb, hogy nem tanítottak, mivel sok tanult ember nagyon ostoba."

Helen Keller 1880-ban született egy észak-alabamai kisvárosban. Másfél éves korában egy súlyos agyvérzést követően elvesztette lá­tását. hallását, és megnémult. A teljes sötétségben és csöndben vege­táló kislányhoz hétéves korában gyógypedagógus érkezett a fiatal Anne Sullivant személyében, aki a kézbe bctű/.és módszerével bele­fogott védence tanításába. Helen a sok gyakorlás és ismétlés révén végre kapcsolatba került a külvilággal, majd hosszú és fáradságos munkával nemcsak beszélni, de a Braille-írás segítségével olvasni, sőt később németül és franciául is megtanult. Elvégezte az egyetemet, majd világszerte előadások formájában hívta fel a figyelmet a fogya­tékos emberek támogatására, önéletrajzi irása Életem története cím ­mel jelent meg magyarul. (A J'ord.}

FELADATOK: NEGYJEGYU SZAMOK

NÉGYZETRE EMELÉSE

1. 1 2 3 4 2 2 8 6 3 9 2 3. 5 3 1 2 2

4 9 8 6 3 2 5. 3 6 1 8 2 6. 2 9 7 1 2

HÁROMJEGYŰ SZÁMOK SZORZÁSA KÉTJEGYŰ SZÁMOKKALKét kétjegyű szám összeszorzásakor láthattuk, hogy több­féleképpen is meg lehet oldani ugyanazt a példát. Ha a fel­adatban szereplő számok számjegyét növeljük, a választ­ható módszerek száma is több lesz. Ezért úgy gondolom, ki­fizetődő, ha szánunk néhány pillanatot egy háromjegyű x kétjegyű feladat megvizsgálásra, hogy megtaláljuk azt a módszert, amely a legkevésbé erőlteti meg az agytekervé- nyeinket.

204

A (szorzó)tényezőkre bontás módszereAzok a szorzások a legegyszerűbbek, ahol a kétjegyű szá­mot szorzótényezökre lehet bontani.Például: 637 * 56

6 3 7 x 5 6 ( 8 x 7)

6 3 7 x 5 6 = 6 3 7 x 8 x 7 = 5 0 9 6 x 7 = 3 5 6 7 2

Ezek a feladatok azért csodásak, mert nem kell semmit sem összeadni. Egyszerűen szorzóira bontod az 56-ot, igy 8 x 7 - et kapsz, majd elvégzel egy háromjegyű x egyjegyű (637 x 8 = 5096), végül pedig egy négyjegyű x egyjegyű szorzást (5096 x 7 = 35 672). Nincs semmilyen pluszlépés, és nem kell fejben tartanod a részeredményeket.

A kétjegyű számok több mint felét szétbonthatjuk a 11 és annál kisebb számok szorzatára, úgyhogy ezt a módszert nagyon sok feladatnál használhatod. Itt van egy példa erre:

8 5 3 x 4 4 ( 1 1 x 4 )

8 5 3 x 11 x 4 = 9 3 8 3 x 4 = 3 7 5 3 2

A szorzásnál a 853-at 850 + 3-ként kezeled, és a követke­zőképpen jársz el:

8 5 0 x 11 = 9 3 5 0 3 x 1 1 = + 3 3

9 3 8 3

Most kiszámolod a 9383 x 4-et úgy, hogy a 9383-at 9300 + 83-nak tekinted, vagyis:

9 3 0 0 x 4 = 3 7 2 0 0 8 3 x 4 = + 3 3 2

3 7 5 3 2

Ha a kétjegyű számot nem lehet szorzótényezőkre bontani, akkor nézd meg a háromjegyű számot, hátha azt lehet: 144 x 76

205

1 4 4 ( 6 x 6 x 4 )X 7 6

Figyeld meg, hogy a szorzási feladatok sorrendje: kétjegyű x egyjegyű, majd háromjegyű x egyjegyű és végül négyje­gyű x egyjegyű. Mivel ezeket a feladatokat aránylag egy­szerűen meg tudod oldani, ezért az effajta háromjegyű x kétjegyű feladatok nem fognak nehézséget okozni.

Itt van még egy olyan példa, amelyben a kétjegyű szá­mot nem lehet tényezőkre bontani, de a háromjegyűt igen: 462 x 53

4 6 2 (1 1 x 7 x 6 ) x 5 3

5 3 x 1 1 x 7 x 6 = 5 8 3 x 7 x 6 = 4 0 8 1 x 6 = 2 4 4 8 6

Itt a sorrend: kétjegyű x kétjegyű, háromjegyű x egyjegyű és végül négyjegyű x egyjegyű szorzás. Amikor egy három­jegyű szám egyik szorzótényezője I I , akkor bevetheted a könyv elején tanult 11-es módszert is. igy első lépésben egy nagyon egyszerű szorzást kapsz (53 x 11 = 583).

Ha a kétjegyű szám nem, és a háromjegyű szám csupán egy kétjegyű x egyjegyű feladattá bontható tovább, a prob­léma még mindig egyszerűen kezelhető a kétjegyű x kétje­gyű és a négyjegyű x egyjegyű szorzással: 423 x 83

4 2 3 ( 4 7 x 9 ) X 8 3

8 3 x 4 7 x 9 = 3 9 0 1 x 9 = 3 5 1 0 9

Ebben az esetben észre kell venned, hogy a 423 osztható 9-cel, tehát a feladat igy is felírható: 83 x 47 x 9. A 83 x 47 kiszámolása nem egyszerű, de ha a 83-at 80 + 3-ként ke­zeled, akkor:

76 x 144 = 7 6 x 6 x 6 x 4 = 4 5 6 x 6 x 4 = 2 7 3 6 x 4 = 10944

206

83 (80 + 3)X 47

80 x 47 = 37603 x 47 = ♦ 141

3901

Ezután végezd el a négyjegyű x egyjegyű szorzást (3901 x 9), igy megkapod a végeredményt: 35 109.

Az összeadásos módszerHa kétjegyű számol szorzunk háromjegyű számmal, és egyik számot sem lehet szorzólényezökre bontani, akkor általában az összeadásos módszerre kell hagyatkoznunk: 721 x 37

7 2 1 ( 7 2 0 + 1)X_____ 3 7

7 2 0 X 3 7 = 2 6 6 4 Ó (ne feledd: a 7 2 = 9 x 8)

1 x 3 7 = +_____ 3 72 6 6 7 7

Össze kell adnod a kétjegyű (x 10) x kétjegyű és a kétjegyű x egyjegyű feladat eredményét. Ezek a példák általában ne­hezebbek, mint azok, amelyeket a tényezőkre bontás mód­szerével meg lehet oldani, mivel észben kell tartanod egy ötjegyű számot (az első részeredményt), amelyhez majd hozzáadod a második részfeladat megoldását. Tulajdon­képpen a dolog egyszerűbb úgy, ha a 721 -et 103 x 7-re bon­tod, és igy számolsz: 37 x 103 x 7 = 3811 x 7 = 26 677.

Egy másik példa: 732 x 57

7 3 2 ( 7 3 0 + 2 )X_____ 5 7

7 3 0 x 5 7 = 4 1 6 1 0 (a 73-at kezeld 7 0 + 3-ként)

2 x 5 7 = + 1 1 4 41 7 2 4

207

A legtöbb esetben a háromjegyű számot alakítjuk át összeadássá, de néha jobban járunk, ha inkább a kétjegyű számot választjuk - különösen akkor, ha az utolsó számje­gye 1 vagy 2, mint a következő példánál:

3 8 6_x____51 (50 + 1)

5 0 x 3 8 6 = 1 9 3 0 0

1 x 3 8 6 = + 3 8 6 19 686

így a háromjegyű x kétjegyű szorzásunk háromjegyű x egy­jegyűvé egyszerűsödött, és ami még tovább könnyíti a dol­gunkat, hogy a második lépésben 1 -gyei kell majd szorozni. Figyeld meg azt is. hogy egy páros számot kell megszoroz­nunk 5-tel (50-nel), ami miatt lesz még egy nullánk, igy a befejező összeadási feladatnál (19 300 + 386) csak egy helyértéken kell valóban összeadást végeznünk - íme, egy újabb segítség.

Egy másik példa, ahol egy páros számot kell 5-tel meg­szorozni: 835 x 62

8 3 5X______6 2 ( 6 0 + 2 )

6 0 x 8 3 5 = 5 0 1 0 02 x 8 3 5 = + 1 6 7 0

5 1 7 7 0

Mikor összeszorzod a 60-ban szereplő 6-ot a 835-ben sze­replő 5-tel, akkor a megoldásban egy újabb nullát kapunk, és ezzel az összeadási feladat kifejezetten egyszerűvé válik.

A kivonásos módszerNéha sokkal egyszerűbb, ha a háromjegyű x kétjegyű szor­zásokat is a kivonásos módszerrel oldjuk meg. Nézzük a629 x 38-at és a 758 x 43-at.

208

6 2 9 ( 6 3 0 - 1)X_____3 8

6 3 0 x 3 8 = 2 3 9 4 0 (63 = 9 x 7)- 1 x 3 8 = - ____ 3 8

2 3 9 0 2

7 5 8 ( 7 6 0 - 2 ) x 4 3

7 6 0 x 4 3 = 3 2 6 8 0 (43 = 4 0 + 3)- 2 x 4 3 = =______8 6

3 2 5 9 4

Összehasonlításképpen nézzük meg az előbbi feladat meg­oldását az összeadásos módszerrel:

7 5 8 ( 7 5 0 + 8 ) x______4 3

7 5 0 x 4 3 = 3 2 2 5 0 (75 = 5 x 5 x 3)8 x 4 3 = + 3 4 4

3 2 5 9 4

Én személy szerint inkább a kivonásos módszerrel oldanám meg a feladatot, mivel mindig arra törekszem, hogy a végé­re a lehető legegyszerűbb kivonási vagy összcadási feladat maradjon. Ebben az esetben inkább kivonok 86-ot. mint­hogy 344-et kelljen hozzáadnom egy számhoz, annak el­lenére, hogy a kivonásos módszernél található két kétjegyű szám szorzása (76 x 43) egy kicsit nehezebb, mint az összeadásos módszernél (75 x 43).

A kivonásos módszert érdemes alkalmazni az olyan há­romjegyű számoknál is, amelyek egy kicsit kevesebbek, mint a 100 valamelyik többszöröse, vagy ha a szám közel áll az 1000-hez, mint a következő két példában: 293 x 87 és 988 x 68

2 9 3 ( 3 0 0 - 7 ) x_____8 7

3 0 0 x 8 7 = 2 6 1 0 0- 7 x 8 7 = - 6 0 9

2 5 4 9 1

209

9 8 8 ( 1 0 0 0 - 1 2 )x 6 8

1 0 0 0 X 6 8 = 6 8 0 0 0- 1 2 x 6 8 = - 8 1 6 0 2 = 6 x 2)

6 7 1 8 4

A megoldások utolsó három számjegyét úgy kaptuk meg, hogy vettük az 509 (609 - 100) és a 816 komplementerét. Végül a következő feladatnál is a kivonásos módszerrel bontjuk fel a kétjegyű számot, de figyeld meg. hogy úgy vonjuk ki a 736-ot, hogy előbb kivonunk 1000-et, majd hozzáadjuk a 736 komplementerét: 736 x 59

7 3 6 4 4 1 6 0x____ 5 9 ( 6 0 - 1 ) - 1 0 0 0

6 0 x 7 3 6 = 4 4 1 6 0 4 3 1 6 0- 1 x 7 3 6 = ~ 7 3 6 + 2 6 4 (a 7 3 6 komplementere)

4 3 4 2 4 4 3 4 2 4

FELADATOK: HÁROMJEGYŰ SZAMOK SZORZASA

KÉTJEGYŰ SZÁMOKKAL - AZ ÖSSZEADÁSOS,

KIVONÁSOS ÉS A TÉNYEZŐKRE BONTÁS MÓDSZERÉVEL

Oldd meg a következő szorzásokat a három módszer va­lamelyikével. A legtöbb esetben - ahol az lehetséges - a tényezőkre bontás a legegyszerűbb. A megoldások a könyv végén szerepelnek.

1. 2 . 3 . 4.8 5 8 7 9 6 1 4 8 7 7 3

x 1 5 x 1 9 x 6 2 x 4 2

5 . 6 . 7. 8.9 0 6 9 5 2 4 1 1 9 6 7

x 4 6 x 2 6 x 9 3 x 5 1

210

9. 10. 11. 12.4 8 4 1 2 6 1 5 7 6 1 6

x 7 5 x 8 7 x 3 3 x 3 7

13. 14. 15. ló.8 4 1 3 6 1 2 1 8 5 3 8

x 7 2 x 4 1 x 6 8 x 5 3

17. 18. 19. 20.8 1 7 6 6 8 4 9 9 1 4 4

x 6 1 x 6 3 x 2 5 x 5 6

21. 22. 23.2 8 1 9 8 8 3 8 3x 4 4 x 2 2 x 4 9

Az alábbi háromjegyű x háromjegyű szorzási feladatok meg fognak jelenni az ötjegyű számok négyzetre emelésénél és az ötjegyű x ötjegyű számok szorzásánál is.

24. 25. 26. 27.5 8 9 2 8 6 8 5 3 8 7 8

8 7 x 6 4 x 3 2 x 2 4X

28. 29. 30. 31.4 2 3 1 5 4 8 3 4 5 4 5x 6 5 x 1 9 x 3 4 x 2 7

32. 33. 34.6 5 3 2 1 6 8 2 2

x 6 9 x 7 8 x 9 5

ÖTJEGYŰ SZÁMOK NÉGYZETRE EMELÉSEEgy kis időbe telik míg a háromjegyű x kétjegyű szorzá­sokat mestertokon üzod. de ha ezt elérted, már mehetsz is tovább az ötjegyű számok négyzetre emeléséhez, mivel

211

ezek az előbbi szorzásokra, illetve kétjegyű és háromjegyű számok négyzetre emelésére egyszerűsíthetők. Figyelj!

Ha ki akarod számolni a 46 7922, kezeld igy a prob-

,émál: 4 6 0 0 0 + 7 9 2X 4 6 0 0 0 + 7 9 2

Amit aztán a disztributiv törvényt alkalmazva a következőre egyszerűsíthetsz:

1. 2. 3.(46 0 0 0 x 4 6 0 0 0 ) + 2 (4 6 0 0 0 )(7 9 2 ) + (7 9 2 x 792)

Még egyszerűbben:

4 6 2 x 1 millió + (4 6 )(79 2)(20 00) + 7 9 2 2

A számításokat azonban nem ebben a sorrendben végzem el. Követve az „előbb szabaduljunk meg a nehezebb felada­toktól" elvét, a közepén fogom kezdeni, mivel a háromje­gyű x kétjegyű szorzás nehezebb, mint a két- és háromjegyű számok négyzetre emelése. Megcsinálom a 792 x 46 x 2 szorzást, majd a végére biggyesztem a három 0-t:

7 9 2 x 4 6

7 9 2 (8 0 0 - 8 )X____4 6

3 6 8 0 0- 3 6 8 íicsúr3 6 4 3 2 x 2 0 0 0 = 7 2 8 6 4 0 0 0

A kivonásos módszert használva - mint ahogy fent bemu­tattuk - számold ki a 792 x 46 = 36 432-t, majd ezt a szá­mot duplázd meg, igy 72 864-et kapsz. Az előző fejezetben tanult kódrendszer segítségével a 864-et jegyezd meg például a ficsúr szóval, igy a részeredmény 72 ficsúr lesz.A következő lépés a 462 x I millió, ami 2 116 000 000. Ennél a pontnál kimondhatod, hogy 2 m illiárd ...

8 0 0 x 4 6 = - 8 x 4 6 =

212

Emlékezz a 72 ficsűrból a 72-re. és add hozzá a 116 milliót, ami 188 millió. Még mielőtt kimondod ezt a számot, meg kell bizonyosodnod arról, hogy amikor hozzáadod a ficsún . vagyis a 864-et a 792 négyzetéhez, lesz-c valami, amit át kell vinned. Most még nem kell kiszámolni, hogy pontosan mennyi a 7922, ehelyett megnézed, a becsült eredmény elég nagy-e ahhoz, hogy ha hozzáadunk 864 000-t. akkor átlép­jük az egymilliót. (A becsléskor eszedbe jut, hogy a 8002 =640 000, aminél a 7922 nem sokkal kevesebb, tehát a 864000 + 7922 biztosan több, mint egymillió, igy feljebb kap­csolsz egy számmal, és kimondod ... 189 m illió ...)

A fic sú n még mindig fejben tartva a háromjegyű szá­mok négyzetre emelésének módszerével kiszámolod a 792 négyzetét (fel- és lekerekítesz 8-cal, stb.). igy 627 264-et kapsz. Most végre hozzáadhatod a 627-hez a ficsú n , vagyis 864-et, és megkapod az 1491-et. Mivel az 1-et már az előbb átvitted, ezért azt felejtsd el, és mondd ki: ...491 ezer 264.

Néha megesik, hogy elfelejtem a végeredmény 3 utolsó számjegyét, mert annyira el vagyok foglalva a nagyobb feladatok elvégzésével. Ezért a végső számítást előtt a 264- ből a 2-t az ujjaimra „teszem”, a 64-et pedig megpróbálom megjegyezni, ami általában sikerül is, hiszen azokra a dol­gokra, amelyeket a közelmúltban hallottunk, általában emlékezni szoktunk. Ha ez nem válik be, akkor úgy is eljut­hatok az utolsó két számhoz, hogy az eredeti szám két utol­só számjegyét ismét négyzetre emelem (922 = 8464), és ennek az utolsó két számjegye az, amire szükségem van, vagyis a 64. (Vagy azt is megtehetjük, hogy a 264-et egy szóvá formáljuk).

Tudom, ez nagyon sok információ volt egyszerre. Hogy újra átvegyük az egész feladatot, nézzük a 46 792 négyzet­re emelését egyetlen ábrával illusztrálva:

213

7 9 2 (8 0 0 - 8 )x____4 6

8 0 0 x 4 6 = 3 6 8 0 0- 8 x 4 6 = - 3 6 8 ficsúr

3 6 4 3 2 x 2 0 0 0 = 7 2 8 6 4 0 0 0

72 8 6 4 0 0 0 (46 0 0 0 )2 = + 2 116 0 0 0 0 0 0

2 188 8 6 4 0 0 0 + 6 2 7 2 6 4

2 189 491 26 4

8 0 0 6 2 7 2 0 0 (800 x 784)

7 9 2 2 ^ _______6 4 ( 8 2 )

- 8 7 8 4 6 2 7 2 6 4

Nézzük meg még egy ötjegyű szám négyzetét:

8 3 5 2 2 2

Az előző feladathoz hasonlóan a megoldást a következő sorrendben számoljuk ki:

83 x 522 x 2000 aztán 832 x 1 millió végül az 5222

Először észre kell vennünk, hogy az 522 a 9 többszöröse (58 x 9), a 83-at pedig kezeljük 80 + 3-ként:

5 2 2 (58 x 9) x 8 3

83 x 5 8 x 9 = 4 8 1 4 x 9 = 4 3 3 2 6

Ha megduplázzuk a 43 326-ot, akkor 86 652-t kapunk, ame­lyet megjegyezhetünk a 86 csalán kóddal. Mivel 832 = 6889, ezért kimondhatjuk: 6 m illiárd ...

Ha összeadjuk a 889-et és a 86-ot. akkor 975-öt kapunk. Még mielőtt kimondjuk a 975 milliót, meg kell bizonyo­sodnunk arról, hogy a csalán (652 000) miatt nem kell-e

214

átvinnünk egy számot, miután négyzetre emeltük az 522-t. Az 5222 becslésünk szerint 270 000 (500 x 540), tehát lát­ható. hogy erre nem lesz szükség, igy biztonságban kimond­hatjuk: ...975 m illió...

Végül a megszokott módon négyzetre emeljük az 522-t, aztán hozzáadjuk a csalánhoz (272 484 + 652 000) és igy megkapjunk a végeredmény végét: ...924 484.

A megoldás ábrán bemutatva:8 3 5 2 2 2

5 2 2 x 8 3

8 3 x 5 8 x 9 = 4 8 1 4 x 9 = 4 3 3 2 6

csalón

4 3 3 2 6 x 2 0 0 0 = 8 6 6 5 2 0 0 0

8 3 0 0 0 2 = + 6 8 8 9 0 0 0 0 0 0

6 9 7 5 6 5 2 0 0 0

5 2 2 2 = 4 2 7 2 4 8 4

6 9 7 5 9 2 4 4 8 4

+ 22J 5 4 4 2 7 2 0 0 0 (544 x 500)

5 2 2 ^ \ 4 8 4 Í 2 2 2 )^ S -------------

- 22 5 0 0 2 7 2 4 8 4

FELADATOK: ÖTJEGYŰ SZÁMOK NÉGYZETRE EMELÉSE

1 . 4 5 7 9 5 2 2 2 1 2 3 1 2 3. 5 8 3 2 4 2

4 6 2 4 5 7 2 5. 8 9 8 5 4 * ó. 7 6 9 3 4 2

215

HÁROMJEGYŰ SZÁMOK SZORZÁSA HÁROMJEGYŰ SZÁMOKKALEz a feladattípus az utolsó legyőzendő akadály a nagy fi­nálé, a két ötjegyű szám szorzása előtt. Akárcsak a kétjegyű és háromjegyű számok szorzásánál, most is többféle mód­szer közül választhatunk a számok egyszerűsítése érde­kében.

A (szorzó)tényezőkre bontás módszereSajnálatos módon a legtöbb háromjegyű számot nem lehet egyjegyű számokká bontani, de ha mégis, akkor a számolás viszonylag egyszerű. Nézzük a 829 x 288-at

8 2 9

x 2 8 8 ( 9 x 8 x 4 )

8 2 9 x 9 x 8 x 4 = 7 4 6 1 x 8 x 4 = 5 9 6 8 8 x 4 = 2 3 8 7 5 2

Figyeld meg a sorrendet. Leegyszerűsítheted a két háromje­gyű szám összeszorzását (829 x 288) egy 3-1 - 1 -1 jegyű szám szorzásává azzal, hogy a 288-at szorzóira bontod (9 x 8 x 4). Ezután kapsz egy 4-1-1 (7461 x 8 x 4), végül pedig egy 5-1 számjegyű szorzást (59 688 x 4), amiből végül megvan a végeredmény, a 238 752. Ennek a módszernek az a szépsége, hogy semmit sem kell összeadni, és semmit sem kell észben tartani. Amikor eljutsz az ötjegyű és egyjegyű szám szor­zásához, már csak egy lépésre vagy a megoldástól.

Ezt az utolsó részfeladatot két lépésben is meg lehet oldani úgy, hogy az 59 688-ra 59 000 + 688-ként tekintünk. Kiszámoljuk az 59 000 x 4 és a 688 x 4 eredményét, majd a kettőt összeadjuk, és meg is van a végeredmény:

5 9 6 8 8 ( 5 9 0 0 0 + 6 8 8 )x______ _4

5 9 0 0 0 x 4 = 2 3 6 OŐ Ó 6 8 8 x 4 = + 2 7 5 2

2 3 8 7 5 2

216

Ha két háromjegyű számot fel lehet bontani egy 2-1 jegyű szám szorzásává, akkor az eredeti 3-3 jegyű szorzást le tudjuk egyszerűsíteni egy 2-2-1-1 jegyű szorzássá. Lássunk erre egy példát: 513 x 246.

5 1 3 ( 5 7 x 9 )

x 2 4 6 (4 1 x 6 )

5 7 x 4 1 x 9 x 6 = 2 3 3 7 x 9 x 6

= 2 1 0 3 3 x 6

= 1 2 6 1 9 8

Mint mindig, most is jobb, ha először a feladat legnehezebb részével, a két kétjegyű szám szorzásával végzünk. Amikor ez megvan, akkor jön a 4-1 -1. majd az 5-1 jegyű szám szor­zása.

A legtöbb esetben azonban csak az egyik háromjegyű számot lehet szorzótényezőkre bontani. Ebben az esetben a feladat egy 3-2-1 jegyű szám szorzásává egyszerűsödik, ahogy a következő példa is mutatja:

4 5 9 (5 1 x 9 )

X 5 2 6

5 2 6 x 4 5 9 = 5 2 6 x 5 1 x 9

= 5 2 6 x ( 5 0 + 1 ) x 9

= 2 6 8 2 6 x 9

= 2 4 1 4 3 4

A következő 3-3 számjegyű szorzás valójában csak egy ál­ruhába bújt kétjegyű és egy háromjegyű szám szorzása:

6 2 4 x 4 3 5

Ha megduplázzuk a 435-ot és megfelezzük a 624-et, a fel­adat még ugyanaz marad:

217

8 7 x 5 2 x 6 x 1 0 = 8 7 x ( 5 0 + 2 ) x 6 x 1 0

= 4 5 2 4 x 6 x 1 0

= 2 7 1 4 4 x 1 0

= 2 7 1 4 4 0

3 1 2 (52 x 6)

x 8 7 0 (8 7 x 10)

A közel egym áshoz módszereKészen állsz valami egyszerűbbre? A következő egy­szerűsítési mód egy szorzás - amelyről az 1. fejezetben már esett néhány szó alapja pedig az alábbi algebrai képlet:

(z + a)(z + b) = z2 + za + zb + ab

Az egyenletet a következő módon is felírhatjuk:

(z + a)(z + b) = z(z + a + b) + ab

Az a, b é s z helyére bármilyen szám behelyettesíthető, amit ki is fogunk használni akkor, ha két olyan háromjegyű szá­munk van, amelyek közel esnek egy könnyű z számhoz, igy a két számot felírhatjuk (z + a) és (z + b) formájában. Például a következő szorzást:

1 0 7x 1 1 1

tekinthetjük úgy is, mint: (100 + 7)( 100 + 11).A z = 100, az a = 7 és a b = 11, képletbe behelyettesítve:

1 0 0 ( 1 0 0 + 7 + 1 1 ) + 7 x 11 = 1 0 0 x 1 1 8 + 7 7

= 11 8 7 7

A példa ábrával illusztrálva:

218

1 0 7 (7)

X 111 i l l )

1 0 0 x 118 = 11 8 0 0

7 x 1 1 = ±____ 7 7

11 8 7 7

A zárójelben levő számok az eredeti számok és a mi ké­nyelmes „alapszámunk” (ebben az esetben z = 100) különb­séget jelzik. A 118-at vagy a 107 + 11 -gyei, vagy pedig a 111+ 7-tel kapjuk meg. Algebrai értelemben ezek a számok mindig egyenlők, mivel a (z + a) + b = (z + b) +a.

De a szavak helyett most már inkább számoljunk: 109 x104

1 0 9 (9)

X 1 0 4 (4)

100 X 1 1 3 = 11 3 0 0

9 x 4 = +_____3 6

11 3 3 6

Ügyes!Akkor most emeljük a tétet magasabb számokkal: 408 x

409

4 0 8 (8 )

X 4 0 9 (9)

4 0 0 x 4 1 7 = 1 6 6 8 0 0

8 x 9 = +______ 72

1 6 6 8 7 2

Bár ezt a módszert általában a háromjegyű számok szor­zásánál szoktuk használni, azért a kétjegyű számoknál is bevethetjük: 78 x 73

219

78 (8 )

X 7 3 (3)

7 0 x 81 = 5 6 7 0

8 x 3 = + 2 4

5 6 9 4

Az alapszám itt a 70. amelyet 81-gyei (78 + 3) szorzunk. Az összeadás elemei, ahogy látható, általában nagyon egy­szerűek.

A közel egymáshoz módszere akkor is alkalmazható, ha a két szám kevesebb, mint az alapszám - a következő fel­adatban például minkét szám egy kicsivel 400 alatt van:

3 9 6 (- 4)

3 8 7 h 13)

4 0 0 x 3 8 3 = 153 2 0 0

- 4 x - 13 = +______ 5 2

153 2 5 2

A 383-at a 396 - 13 vagy a 387 - 4 eredményeként kapjuk meg. Én ezt a módszert az alábbihoz hasonló kétjegyű szá­mok szorzásánál is alkalmaznám:

9 7 (- 3)

X 9 4 (- 6 )

100 x 91 = 9 1 0 0

- 3 x - 6 = + 18

9 1 1 8

7 9 (- 1)

X 78 (- 2)

8 0 x 7 7 = 6 1 6 0

- 1 x - 2 = +____2

6 1 6 2

220

A most következő példában az alapszám a két szám közé esik:

3 9 6 ( - 4 )

X 4 1 3 ( 1 3 )

4 0 0 x 4 0 9 = 1 6 3 6 0 0

- 4 x 1 3 = =________ 5 2

1 6 3 5 4 8

A 409 = 396 + 13 vagy 4 1 3 - 4 . Mivel a - 4 és a 13 ellenté­tes előjelű számok, ezért az 52-t ki kell vonnunk a 163 600- ból.

Emeljük a tétet még egy kicsit azzal, hogy a második lé­pésben két kétjegyű számot kell összeszorozni:

6 2 1 ( 2 1 )

x 6 3 7 ( 3 7 )

6 0 0 x 6 5 8 = 3 9 4 8 0 0

2 1 x 3 7 = + 7 7 7 (37 x 7 x 3)3 9 5 5 7 7

Meg kell jegyeznem, hogy a szorzási feladat első lépése (600 x 658) már önmagában is egy elég jó becslés, hiszen alig kevesebb a pontos megoldásnál, amelyhez módsze­rünknek köszönhetően gyorsan eljuthatsz.

8 7 6 ( - 2 4 )

8 5 3 ( - 4 7 )

9 0 0 x 8 2 9 = 7 4 6 1 0 0

- 2 4 x - 4 7 = + 1 1 2 8 (47 x 6 x 4)

7 4 7 2 2 8

Figyeld meg, hogy mindegyik példában az első lépésben szereplő szorzás számainak összege ugyanannyi, mint az

221

eredeti számok összege. Például ebben a feladatban a 900 + 829 = 1729 és a 876 + 853 = 1729. Ez azért van, mert:

z + [(z + a) + b] = (z + a) + (z + b)

így tehát azért, hogy megkapd azt a számot, amellyel az alapszámot (a 900-at) meg kell szoroznod - amiről tudjuk, hogy nyolcszáz-valamennyi lesz - , csupán a 76 + 53 = 129 utolsó két számjegyét kell megnézned, hogy megállapítsd, a keresett szám a 829.

A következő feladatnál amint kiszámoljuk, hogy a 827 + 761 = 1588, rögtön tudjuk, hogy egyszerűen csak el kell vé­geznünk a 800 x 788-at, aztán ki kell vonni belőle a 27 x 39-et:

8 2 7 ( + 2 7 )

7 6 1 ( - 3 9 )

8 0 0 x 7 8 8 = 6 3 0 4 0 0

- 3 9 x 2 7 = - 1 0 5 3 (39 x 9 x 3)

6 2 9 3 4 7

Ez a módszer nagyon hatásos, ezért ha két háromjegyű szám szorzásánál a két szám távol esik egymástól, akkor néha érdemes megváltoztatni a feladatot úgy, hogy az egyi­ket elosztod, a másikat pedig megszorzod ugyanazzal a számmal, igy közelebb kerülnek egymáshoz.

Például a 672 x 157 a következő módon is megoldható:

6 7 2 (/ 2 ) = 3 3 6 ( 3 6 )

X 1 5 7 ( x 2) = X 3 1 4 ( 1 4 )

3 0 0 x 3 5 0 = 1 0 5 0 0 0

3 6 x 1 4 = + 5 0 4 (36 x 7 x 2)

1 0 5 5 0 4

Amikor a két összeszokandó szám azonos (ennél nem is lehetnének közelebb egymáshoz!), figyeld meg, hogy a közel

222

egymáshoz módszere pontosan ugyanazt a számolási technikát eredményezi, mint a hagyományos négyzetre emelés:

3 4 7 ( 4 7 )

X 3 4 7 ( 4 7 )

3 0 0 x 3 9 4 = 1 1 8 2 0 0

4 7 2 = ^ 2 2 0 9

1 2 0 4 0 9

Az összeadásos módszerHa az említett eljárások közül egyik sem működik, érdemes az összeadásos módszert megvizsgálni mint lehetséges megoldási módot, különösen akkor, ha az egyik háromjegyű szám első két számjegyével könnyen lehet dolgozni. Pél­dául a következő feladatnál a 641-ből a 64-et szorzóté­nyezőkre (8 x 8) tudjuk bontani, ezért a 373 x 641-et igy oldanám meg:

3 7 3

6 4 1 ( 6 4 0 + 1 )

6 4 0 x 3 7 3 = 2 3 8 7 2 0 (373 x 8 x 8 x 10)1 X 3 7 3 = 4 3 7 3

2 3 9 0 9 3

A következő feladatban a 427-ből a 42-t szintén fel lehet bontani (7 x 6). és az összeadásos módszert alkalmazva a 427-et 420 + 7-ként kezelhetjük:

6 5 6

x 4 2 7 ( 4 2 0 + 7 )

4 2 0 x 6 5 6 = 2 7 5 5 2 0 (656 x 7 x 6 x 10) 7 x 6 5 6 = -i- 4 5 9 2

2 8 0 1 1 2

223

Gyakran megesik, hogy az utolsó összeadási részfeladatot két lépésre bontom:

2 7 5 5 2 0

7 x 6 0 0 = + 4 2 0 0

2 7 9 7 2 0

7 x 5 6 = 4 3 9 2

2 8 0 1 1 2

Mivel az összeadásos módszer elég kim entő tud lenni, min­dent megteszek azért, hogy a számolás végére egy egyszerű számtani feladat maradjon. Az előbbi feladatot egyébként a szorzótényezökre bontás módszerével is meg lehet oldani, ezért én inkább ezt választanám:

6 5 6

x 4 2 7 (6 1 x 7 )

6 5 6 x 6 1 x 7 = 6 5 6 x ( 6 0 + 1) x 7

= 4 0 0 1 6 x 7

= 2 8 0 1 1 2

Az összeadásos módszerrel azokat a feladatokat lehet köny- nyen megoldani, amelyekben az egyik szám közepén van egy nulla: 732 x 308

7 3 2

X_____ 3 0 8 ( 3 0 0 + 8 )

3 0 0 x 7 3 2 = 2 1 9 6 0 0

8 x 7 3 2 = + 5 8 5 6

2 2 5 4 5 6

Az ilyen példák annyival egyszerűbbek, hogy érdemes min­den háromjegyű számot tartalmazó szorzási feladatban meg-

224

nézni, vajon át lehet-e alakítani valamelyik számot úgy, hogy legyen benne nulla. A kővetkező „nulla nélküli” szorzások­ból például igy lesz 732 x 308:

2 4 4 x 3 = 7 3 2 vagy 3 6 6 x 2 = 7 3 2

x 9 2 4 / 3 = x 3 0 8 x 6 1 6 / 2 = x 3 0 8

Mutatok még egy megoldási módot erre a feladatra: felezd meg a 732-t, igy az eredeti példából 308 x 366 x 2 lesz, majd használd ki a 308 és a 366 közelségét.

Végül számoljuk ki a 739 x 443 végeredményét az eddig használt módszerrel:

7 3 9

x 4 4 3 ( 4 4 0 + 3 )

4 4 0 x 7 3 9 = 3 2 5 1 6 0 (739 x 11 x 4 x 10)

3 x 7 0 0 = + 2 1 0 0

3 2 7 2 6 0

3 x 3 9 = + 1 1 7

3 2 7 3 7 7

A kivonásos módszerA kivonásos módszert akkor használom, ha az egyik három­jegyű számot fel lehet kerekíteni egy nullára végződő, igen „segítőkész” számra. Nézzük a 719 x 247-et:

7 1 9 ( 7 2 0 - 1)

2 4 7

7 2 0 x 2 4 7 = 1 7 7 8 4 0 (2 4 7 x 9 x 8 x 10)

- 1 x 2 4 7 = - 2 4 7

1 7 7 5 9 3

225

5 3 8 ( 5 4 0 - 2 )

X 3 4 6

5 4 0 x 3 4 6 = 1 8 6 8 4 0 (346 x 6 x 9 x 10)

- 2 x 3 4 6 = - 6 9 2

1 8 6 1 4 8

Az „am ikor semmi sem válik be" módszereHa minden más kudarcot vallott, és nincs más mód a szá­mokban rejlő lehetőségek kiaknázására, akkor a következő bombabiztos módszert alkalmazom: a 3-3 jegyű számok szorzását három részre bontom, 3-1. 2-1 és 2-2 jegyű számok szorzatára. Miután minden egyes számítással végeztem, összeadom a részeredményeket, és megvan a megoldás. Ezek a feladatok nehezek, főleg akkor, ha nem pillanthatunk újra az eredeti számokra. A Háromjegyű számok szorzása három­jegyű számokkal és Az ötjegyű számok szorzása ötjegyű szá­mokkal cimű részekben a megoldás módját leírom, de igazá­ból minden számítást fejben végzek el.

Például vegyük a 851 x 527-et:

8 5 1

5 2 7

5 0 0 x 8 5 1 = 4 2 5 5 0 0

2 7 x 8 0 0 = + 2 1 6 0 0

4 4 7 1 0 0

2 7 x 5 1 = + 1 3 7 7

4 4 8 4 7 7

A számolás folyamata a gyakorlatban (fejben) így néz ki: Időnként a mnemotechnikai kódokat használom arra, hogy

Aztán az 538 x 346-ot:

226

az ezreseket fejben tartsam (például a 447 = orrok), a száza­sokat pedig az ujjaimra „rakom".

8 5 1

x 5 2 7

5 x 8 5 1 = 4 2 5 5

8 x 2 7 = + 2 1 6 orrok

4 4 7 1 x 1 0 0 = 4 4 7 1 0 0

5 1 x 2 7 = + 1 3 7 7

4 4 8 4 7 7

A feladat most legyen a 923 x 673, de ezúttal az első szá­mot fogom szétbontani. (Majdnem mindig a nagyobb szám­mal teszem ezt, hogy az összeadási feladat könnyebb le­gyen.)

9 2 3

x 6 7 3

9 x 6 7 3 = 6 0 5 7

6 x 2 3 = + 1 3 8 csudába

6 1 9 5 x 1 0 0 = 6 1 9 5 0 0

7 3 x 2 3 = ^ 1 6 7 9

6 2 1 1 7 9

FELADATOK: HÁROMJEGYŰ SZAMOK

SZORZÁSA HÁROMJEGYŰ SZÁMOKKAL

1. 2. 3. 4. 5.6 4 4 5 9 6 8 5 3 3 4 3 8 0 9

x 2 8 6 x 1 6 7 x 3 2 5 x 2 2 6 x 5 2 7

ó. 7. 8.9 4 2 6 9 2

x 8 7 9 x 6 4 4

9. 10.4 4 6 6 5 8 2 7 3

x 1 7 6 x 4 6 8 x 1 3 8

227

11. 12. 13. 14. 15.8 2 4 6 4 2 7 8 3 8 7 1 3 4 1

x 2 0 6 x 2 4 9 x 5 8 9 x 9 2 6 x 7 1 5

16. 17. 18. 19.4 1 7 5 5 7 9 7 6 7 6 5

x 2 9 8 x 7 5 6 x 8 7 8 x 3 5 0

Az alábbi feladatok meg fognak jelenni a következő rész­ben, amikor ötjegyű számokat szorzunk ötjegyű számokkal:

20. 21. 22. 23.1 5 4 5 4 5 2 1 6 3 9 3

x 4 2 3 x 8 3 4 x 6 5 3 x 8 2 2

Ötjegyű szám ok szorzása ötjegyű szám okkalEz a legnehezebb feladat, amit még fejben meg lehet oldani. A siker feltétele, hogy mesterfokon kell űznöd a 2-2. 2-3 és a 3-3 jegyű számok szorzását, valamint kívülről kell fújnod az előző fejezetben bemutatott kódrendszert. A dolgod ezután csak annyi, hogy ezeket mind összegyúrd.

Ugyanúgy, mint az ötjegyű számok négyzetre emelésé­nél, most is a disztributiv törvényt fogjuk használni arra. hogy a számokat szétbontsuk. Elsőként nézzük a 27 639 x52 196-ot:

2 7 6 3 9 ( 2 7 0 0 0 + 6 3 9 )

x 5 2 1 9 6 ( 5 2 0 0 0 + 1 9 6 )

Innen elindulva szétbonthatod a feladatot négy egyszerűbb szorzásra. A folyamatot a keresztül-kasul módszeréve 1 mu­tatom meg úgy, hogy elvégzek egy 2-2, két 2-3. aztán pedig egy 3-3 számjegyű szorzást, majd a részeredményeket összeadom, és végül megkapom a megoldást. Akkor, fog­junk hozzá:

228

(27 x 52) millió + [(27 x 196) + (52 x 639)] ezer + (639 x 196)

Mint az ötjegyű számok négyzetre emelésénél, most is a közepén kezdem, a 2-3 jegyű számok szorzásánál, és közü­lük is a nehezebbet választom:

mama, a néni fő

1 52 x 639 = 52 x 71 x 9 = 3692 x 9 = 33 228

A 33 228-at a kódrendszer segítségével ,jmuna, a néni fo"- vé alakítom, az emlékezetembe vésem, majd áttérek a má­sodik szorzásra:

2 27 x 196 = 27 x (200 - 4) = 5400 - 108 = 5292

Aztán az eredményt hozzáadom ahhoz a számhoz, amit „eltettem”:

3. 33 228 (mama, a néni fő)+ 5292 38 520

így kapok egy új részeredményt, amelyet szintén meg kell jegyeznem:

Mivé Ion a szó (38 millió 520 ezer).

Észben tartva ezt a mondatot, kiszámolom a kétjegyű szá­mok szorzatát:

4 52 x 27 = 52 x 9 x 3 = 1404

Ezen a ponton már megadhatom a végeredmény elejét. A kétjegyű számok (52 és 27) milliókat jelölnek, igy az 52 x 27 valójában 1404 millió, azaz I milliárd 404 millió. Mivel a 404 millió miatt nem kell számot továbbvinnem, ezért nyugodtan kimondhatom, hogy: 1 m illiá rd ...

5 404 + mivé (38) = 442

229

Ebben a lépésben összeadom a 404-et a mivével (38), így 442-t kapok, amit ki is mondhatok: ...442 m illió ... Ezt azért jelenthetem ki ilyen biztosan, mert tudom, hogy a 442 miatt nem kell majd semmit sem továbbvinnem - hiszen előrepillantottam a háromjegyű számok szorzásához, megsaccoltam az eredményt, és látom, hogy a 442-höz hoz­záadva nem lépem túl az egy milliót. Ha arra jutnék, hogy igen, akkor kimondanám a 443 milliót, de mivel a lön a szó = 520 000, és a háromjegyű számok (639 x 196) szorzata nem fo&ja meghaladni az 500 000-t (durva becslés szerint 600 x 200 = 120 000) ezért biztonságban vagyok.6 639 x 196 = 639 x 7 x 7 x 4 = 4473 x 7 x 4

= 31 311 x 4 = 125 244

Miközben észben tartom a lön a szót, kiszámolom a három­jegyű számok szorzatának eredményét a tényezőkre bontás módszerévé 1, igy megkapom a 125 244-et. Az utolsó lépés egy egyszerű összeadás,

7. 125 244 + lön a szó (520 000)

aztán már ki is mondhatom a megoldást végét: ...645 244. Mivel egy kép többet ér ezer számolásnál, ezért bemutatjuk, hogy néz ki az ábránk:

27 639 x 52 196

mama, a néni fő

639 x 52 = 33 2281 96 x 27 = + 5 292 mivé Ion a szó

38 520 x 1000 = 38 520 00052 x 27 x 1 millió = + 1 404 000 000

1 442 520 000639 x 196 = +_________125 244

1 4 4 2 6 4 5 2 4 4

230

Zárójelben meg kell jegyeznem, amennyiben nincs mód arra. hogy a feladat két ötjegyű számát felírjuk egy táblára vagy egy papírra, akkor a számok első két és utolsó három számjegyére a kódrendszer segítségével ki kell találni sza­vakat. A fenti feladatnál például:

2 7 6 3 9 ----- unoka, csempe

x 5 2 1 9 6 ----- len, dobos

A megoldás ebben az esetben így nézne ki: len x csempe, dobos x unoka, len x unoka és végül dobos x csempe. Ter­mészetesen ez egy kicsit lelassítaná a dolgot, de ha szereted a kihívásokat, akkor igy is meg tudod oldani a feladatot.

És befejezésül még egy utolsó példa:

7 9 8 3 8 x 4 5 5 4 7

A lépések ugyanazok, mint az előző feladatnál. A nehezebb 3-2 számjegyű szorzással kezded, és a megoldást szavan­ként tárolod:

1. 5 4 7 x 7 9 = 5 4 7 x ( 8 0 - 1 ) = 4 3 7 6 0 - 5 4 7

= 4 3 2 1 3 ---- Róma, anatómia

Majd elvégzed a másik 3-2 számjegyű szorzást:

2 8 3 8 x 4 5 = 8 3 8 x 5 x 9 = 4 1 9 0 x 9 = 3 7 7 1 0

A két szorzás végeredményét összeadod, és ezt az új össze­get megjegyzed:3. 4 3 2 1 3 Róma, anatómia

+ 3 7 7 1 0

8 0 9 2 3 víz, Panama

4. 7 9 x 4 5 = 7 9 x 9 x 5 = 7 1 1 x 5 = 3 5 5 5

A kél kétjegyű szám szuizata megadja a végeredmény első számjegyét, amelyet magabiztosan kimondhatsz: 3 m illiárd...

231

5. 5 5 5 + viz ( 8 0 ) = 6 3 5

A megoldás millióinál egy számot tovább kell vinni, igy a 635-böl 636 lesz. mert a Panamá hoz (923) csupán 77 (XX) kell, hogy egy ugorjunk milliót, és a két háromjegyű szám szorzata (838 x 547) könnyedén meghaladja ezt az összeget. Ezért a megoldást igy folytatod: ...636 m illió...

A két háromjegyű szám szorzását az összeadásos mód­szerrel célszerű elvégezni:

6 . 8 3 8

x 5 4 7 ( 5 4 0 + 7 )

5 4 0 x 8 3 8 = 4 5 2 5 2 0 (838 x 9 x 6 x 10)

7 x 8 0 0 = + 5 6 0 0

4 5 8 1 2 0

7 x 3 8 = + 2 6 6

4 5 8 3 8 6

Végül ezt a számot hozzáadod a Panamához (923 000):

7. 9 2 3 0 0 0

+ 4 5 8 3 8 6

1 3 8 1 3 8 6

Mivel az 1 milliót már hozzáadtad a 635 millióhoz, ezért csak az utána szereplő számokat kell kimondanod: ...381 ezer... 386, és már meg is hajolhatsz!

Ezt a feladatot a következőképpen lehet illusztrálni:

7 9 8 3 8

x 4 5 5 4 7

232

Róma, anatómia

5 4 7 x 7 9 = 4 3 2 1 3

8 3 8 x 4 5 = + 3 7 7 1 0 víz. Panama

8 0 9 2 3 x 1 0 0 0 = 8 0 9 2 3 0 0 0

7 9 x 4 5 x 1 millió = + 3 5 5 5 0 0 0 0 0 0

3 6 3 5 9 2 3 0 0 0

8 3 8 x 5 4 7 = 4 5 8 3 8 6

3 6 3 6 381 3 8 6

FELADATOK: ÖTJEGYŰ SZAMOK SZORZASA

ÖTJEGYŰ SZÁMOKKAL

2. 3. 4.6 5 15 4 3 4 5 4 5 6 9 2 1 6 9 5 3 9 3

x 19 4 2 3 x 2 7 8 3 4 x 7 8 6 5 3 x 81 8 2 2

233

1 0 .

Csiribí-csiribá: A matekmágia művészete

Játék a számokkal - egy elfoglaltság, ami nagyon sok örö­met szerzett nekem, hiszen a számtan ugyanolyan szórakoz­tató tud lenni, mint a varázslás. De ahhoz, hogy megértsd a titkait, ismerned kell az algebrát. Természetesen több okból is szükségünk lehet az algebrára. Az érettségi vizsgán; ha programozni akarunk; vagy szeretnénk otthonosan mozog­ni a magasabb szintű matematikai problémák körében- hogy csak néhányat említsek. Én például azért fordultam az algebra felé, mert meg akartam érteni néhány matemati­kai trükk működését, amelyeket most veled is megosztok!

GONDOLATOLVASÓ MATEKA közönség egyik tagját kérd meg, gondoljon egy tetszőleges számra, és hogy saját dolgát megkönnyítse, ez a szám legyen egy- vagy kétjegyű. Miután emlékezteted az önként jelent­kezőt, hogy semmiképpen sem tudhatod, melyik számra gon­dolt, kérd meg, hogy:

1. duplázza meg a számot,2. adjon az eredményhez 12-t,3. az összeget ossza el 2-vel,4. majd vonja ki az eredeti számot.

Ezután kérdezd meg tőle: „Most a hatos számra gondol?” A feladatsort először próbáld ki te magad is. Látni fogod.

235

hogy a választolt számtól függetlenül a végeredmény min­dig 6 lesz.

Miért működik ez a trükk?Az alapja egyszerű algebra, ezért használom időnként ezt a trükköt arra. hogy a diákokat bevezessem e matematikai részterület világába. A tetszőleges számol az x képviseli. Nézzük a számításokat abban a sorrendben, ahogyan azokat fent elvégeztük:

1. 2c (a szám megduplázása)2. Ív + 12 ía 12 hozzáadása)3. (2x + 12) / 2 = x + 6 (osztás 2-vel)4. x + 6 - .v = 6 (az eredeti szám kivonása)

Az eredmény tehát mindig 6. Ha megismétled a trükköt, a következő önként jelentkezői arra kérd, hogy a második lé­pesnél ne 12-t, hanem egy másik számot adjon hozzá az eredeti szám kétszereséhez, mondjuk 18-at. A végeredmény ebben az esetben ennek a számnak a fele lesz, vagyis 9.

A VARÁZSLATOS 1089!Ez a trükk már évszázadok óta elkápráztatja a közönséget. Kérj meg ismét a nézők közül valakit, hogy vegyen elő pa­pirt és ceruzát, majd:

1. irjon le egy olyan háromjegyű számot, amelyben a szá­mok csökkennek (mint például a 851 vagy 973),

2. aztán írja fel a szám számjegyeit visszafelé, és ezt az új számot vonja ki az eredeti számból.

3. végül az eredményt adja hozzá a visszafelé feliri ered­ményhez.

236

A feladat elvégzése után meg fog jelenni a varázslatos 1089. függetlenül attól, hogy a néző milyen számot válasz­tott. Például:

851- 158

693 + 396 1089

Miért működik ez a trükk?Teljesen mindegy, hogy ebben a játékban milyen számol választottunk, a végeredmény mindig 1089 lesz. Az isme­retlen háromjegyű szám legyen abc, ahol a > b > c. Algebrai nyelven kifejezve:

10 0 a + 1 0 b + c

Amikor megfordítjuk a számok sorrendjét, cba-1 kapunk, pontosabban:

1 0 0 c + 1 0 b -f a

Most ki kell vonnunk a cba-1 az eredeti abc számból:

1 0 0 a + 1 0 b + c - (1 0 0 c + 1 0 b + a)= 1 0 0 (a - c) + (c - a)= 99(a - c)

Miután a második lépésben elvégeztük a kivonást, az ered­mény mindenképpen a 99 valamelyik következő többszö­röse kell hogy legyen: 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 és 891 - hiszen az (a - c) sosem lehet 1 vagy negatív szám. mert olyan számra gondoltunk, amelynek számjegyei csök­kennek. tehát a > c. Ha ezek közül bármelyik számhoz hoz­záadjuk önmaga fordítottját, az eredmény mindig 1089 lesz, ahogy az a harmadik lépésben látható volt.

237

A HIÁNYZÓ SZÁMJEGYAz előző trükkből használjuk az 1089-et. Adj egy önként jelentkezőnek egy számológépet, rnajd kérd meg, szorozza meg a számot egy tetszőleges háromjegyű számmal, de ne árulja el azt a bizonyos számot. (Tegyük fel. hogy a 256-ot választotta: 1089 x 256 = 278 784.) Kérdezd meg, hogy hány számból áll a megoldás. A válasz 6.

Ezután kérd arra, hogy tetszőleges sorrendben mondjon el a hat számjegyből ötöt, majd közöld a közönséggel, hogy megpróbálod kitalálni a hiányzó számot.

O a 2 ...4 ...7 ...8 ...8 számokat mondja, mire te helyesen azt válaszolod, hogy a 7-es számot hagyta ki a felsorolásból.

A titok nyitja a következő: egy szám akkor és csak akkor osztható 9-eel, ha számjegyeinek összege osztható 9-cel. Mivel1 + 0 + 8 + 9 = 18. és ez a szám a 9 többszöröse, ezért az 1089 is az. Ennek értelmében, ha az 1089-et megszorozzuk bármi­lyen egész számmal, akkor az szintén a 9 többszöröse lesz. A néző által megadott számok összege 29, és mivel a 9 leg­közelebb eső, de ennél nagyobb többszöröse a 36 lesz, ezért a nézőnek a 7-et kellett kihagynia (mert 29 + 7 = 36).

Vannak bonyolultabb módjai is annak, hogy az önként jelentkező mindenképpen a 9 valamelyik többszörösét kap­ja eredményül. Itt van néhány a kedvenceim közül:

1. A néző válasszon ki egy tetszőleges hatjegyű számot, ennek számjegyeit keverje össze, majd a kisebb hatjegyű számot vonja ki a nagyobbikből. Mivel két olyan számot vonunk ki egymásból, amelyek mod összege azonos (a számjegyek összege egyenlő), ezért a végeredmény mod összege 9 lesz, vagyis ez a szám a 9 többszöröse. Ezt követően ugyanúgy folytasd, mint fent, hogy meg­találd a hiányzó számot.

2. Kérd meg a közönség egyik tagját arra, hogy titokban válasszon ki egy négyjegyű számot, a számjegyek sor­

238

rendjét cserélje fel, majd a kisebb számot vonja ki a nagyobból. (Az eredmény itt is a 9 többszöröse lesz). Ezután az eredményt szorozza meg egy tetszőleges há­romjegyű számmal, és a végeredmény hat számjegye közül csak ötöt mondjon el. Hogy a hetediket kitaláld, folytasd úgy, mint fent.

3. Az egyik önként jelentkező szorozzon össze egyjegyű számokat addig, mig a végeredmény egy hétjegyű szám nem lesz. Nem garantált, hogy ez a szám a 9 valamelyik többszöröse lesz, de az esetek 90%-ában bejön (nagy az esélye annak, hogy az egyjegyű számok között szerepelt egy darab 9-es vagy két 3-as vagy két 6-os, vagy egy 3-as és egy 6-os). Ezt a trükköt gyakran alkalmazom akkor, ha haladó matekosok előtt szerepelek, mert ők könnyen átláthatnak a többi trükkön.

Egyetlen probléma adódhat, amire oda kell figyelni. Tegyük fel, hogy az öt bemondott szám összege a 9 valamelyik többszöröse (mondjuk 18). Ekkor semmilyen módszer sincs arra. hogy megállapítsd, a hiányzó hatodik szám a 0 vagy a 9. Hogyan lehet ebből kikászálódni? A megoldás egyszerű: csalsz! „Ugye nem a nullát hagyta ki, vagy igen?”- kérde­zed a nézőtől. Ha tényleg ezt a számot hagyta ki. akkor si­keresen megcsináltad a trükköt. Ha viszont nem a nulla a hatodik szám. akkor csak a 9-es lehet, ezért ezt mondod: „ Biztos, hogy nem az 1,2. 3. 4, 5, 6, és nem a 7 vagy a 8 a hiányzó szám, ezért a megoldás a 9, ugye?” . A válasz pozi­tív lesz, te pedig megkapod a megérdemelt tapsot!

UGRÓBÉKÁS ÖSSZEADÁSEz a trükk egy gyors fejszámolás és egy elképesztő jóslás kombinációja. A nézőnek adj egy papírt, amelyen sorban egymás alatt tiz darab számozott vonal van, majd kérd meg, hogy gondoljon két pozitív számra 1 és 20 között, és írja be

239

őket az első két vonalra. Ezután adja össze a két számot, és az eredményt irja be a harmadik sorba, majd adja össze a második és harmadik számot, ezek összegét irja a negyedik sorba, és így tovább.

Mikor végzett, kérd meg, hogy mutassa meg a lapot. Egy röpke pillantás, és meg tudod mondani a tíz szám összegét. Például a fenti feladatnál azonnal bejelentheted - sokkal gyorsabban annál, mint ahogy a néző számológéppel kiszá­molná hogy a számok összege 671. Ráadásként adj neki egy számológépet és kérd meg, ossza el a tizedik sorban szereplő számot a kilencedik sorban lévővel, ami ebben az esetben 257/159, majd mondja meg az eredmény első há­rom számjegyét (1,616). Ekkor fordítsd meg a papirt (amelyre, miközben számolt, te már ráírtad a jóslatodat). Meg lesz lepődve azon. hogy a két szám egyezik.

Miért működik ez a trükk?A gyors fejszámolás trükkje, hogy egyszerűen megszorzod a hetedik sorban lévő számot 11-gyei. Ebben az esetben61 x 11 = 671. Nézzük meg a lenti táblázaton, miért mű­ködik ez a mutatvány. Ha az első éh második sorban talál­ható számokat elnevezzük .v-nek és y-nak, akkor a tiz szám

240

összege 55* + 88v, ami igy is felirható: (5.v + 8v)l 1. vagyis a hetedik sorban található szám szorozva 1 l-gyel.

1 &2 X3 x + v4 x + 2v5 2k.± 3 v

6 3x + 5y7 5x + 8v8 8x + 13y9 i3 x + JH y

10 21x + 34vÖsszesen: 55.x +_88y

A jóslásnál azt a tényt használjuk ki, hogy ha a/b és c/d törtet - ahol a. b , c. d pozitív számok és az a/b < c/d- rosszul adjuk össze (például összeadod a számlálókat és a nevezőket), akkor egy olyan törtet kapunk, amely az ere­deti két tört közölt helyezkedik el a számegyenesen. Tehát, ha az i/2-t (0,5) és a 3/4-et (0.75 ) rosszul adod össze ( 1 + 3 / 2 + 4), és 4/6-ot kapsz (0,6). akkor látható, hogy a 0,6 a 0,5 és a 0,7 között van. Az algebra nyelvén:

a < a + c K c b b + d d

Ennek értelmében, ha a tizedik sort a kilencedikkel osztjuk (2 Ijc + 3 4 v) / (13a- + 2 Í v), és úgy tekintünk az osztásra, mint­ha két tört rossz összeadása lenne, akkor a megoldásnak az

1,615... = £Lx < 21 x + 34y < M * = 1,619... 13x 13x + 21y 21y

között kell lennie. így a hányadosunk két tizedesjegy pon­tosságig 1.61 le sz -a h o g y megjósoltad!

241

Ha az ugróbékás összeadást a végtelenségig folytatod, ak­kor az egymást követő sorok közötti arány egyre jobban megközeliti, a

. 1 , 6 1 8 0 3 3 9 8 8 7 . . .

számot.Ennek a számnak, amelyet aranymetszésnek is nevez­

nek, rengeteg gyönyörű és titokzatos tulajdonsága van.

VARÁZSNÉGYZETKészen állsz egy újfajta kihívásra? A varázsnégyzet és el­készítési módja régóta foglalkoztatja az emberiséget, hiszen már az ősi Kina idejéből is vannak feljegyzések a témáról. A következő pár oldalon megmutatunk egy-két ilyen bűvös négyzetet és azt, hogyan lehet szórakoztató módon bemu­tatni a közönségnek. Ezt a módszert már évek óta hasz­nálom.

Előveszek egy névjegykártyát, amelynek hátulján a kö­vetkező ábra látható:

8 11 14 1

13 2 7 12

3 16 9 6

10 5 4 15

= 34

Aztán ezt mondom: „Ez egy varázsnégyzet. Igazából a legkisebb varázsnégyzet, amely létrehozható az 1 és 16 kö­zötti számokból. Ha megfigyelik, akkor láthatják, hogy az összes sort és oszlopot összeadva ugyanazt a számot kapjuk: a 34-et. Sokat foglalkoztam a varázsnégyzetekkel. ezért felajánlom, hogy itt és most készítek egy újat Önöknek.”

242

Megkérem a közönségem egyik tagját, hogy mondjon egy 34-nél nagyobb számot. Tegyük fel. hogy a 67-et mondja. Ekkor előveszek egy másik névjegykártyát, rajzolok egy négyszer négyes üres négyzetet, és mellé irom a 67-es szá­mot. Ezt követően arra kérem a nézőt, hogy egyenként, tet­szőleges sorrendben mutasson a kis négyzetekre. Ahogy az üres helyekre mutat, én azonnal beirok egy számot. A vég­eredmény a következőképpen néz ki:

16 19 23 9

22 10 15 20

11 25 17 14

18 13 12 24

= 67

Az előadást igy folytatom: „Az első varázsnégyzetnél a sorokban és az oszlopokban szereplő számok összege 34 volt. - Ezen a ponton általában elrakom az első kártyát. - Most nézzük az új négyzetünket. - Miután megnézik, hogy minden sor és oszlop összege 67. folytatom tovább: - De én nem csupán ennyit csináltam. Csak az Önök kedvéért egy lépéssel továbbmentem. Figyeljék meg, hogy mind a két át­lónak az összege is 67.”

Ezután felhívom a figyelmüket arra, hogy a bal fe lső négyzetekben található négy szám összege szintén 67 (16 +19 + 22 + 10), ugyanúgy, mint a három másik sarokban található négy négyzetnek, a középen található négyzetek­nek, és a négy kis saroknégyzetnek (16 + 9 + 18 + 24) az összege is annyi! „Mindegyik 67. De ne higgyenek nekem! Kérem, tartsák meg a varázsnégyzetet. Ez az én ajándékom Önöknek, számoljanak és ellenőrizzék le saját maguk is!”

243

HOGYAN KÉSZÍTSÜNK VARÁZSNÉGYZETETBármilyen varázsnégyzetet készíthetsz, ha a számoláshoz felhasználod az eredeti négyzetünket, amelyben minden sor és oszlop számainak összege 34 volt. Miközben az új négy­szer négyes táblázatot rajzolod, tartsd az eredetit szem előtt, és végezd el a következő lépések közül az első kettőt fejben:

1. Vonj ki 34-et a megadott számból (például 67 - 34 = 33).2. Oszd el a kapott számot 4-gyel (33 / 4 = 8, a maradék 1).

A hányados, vagyis a 8 lesz az első „varázsszám”, am i­vel dolgozni fogunk. A hányados plusz a maradék pedig a második (9).

3. Amikor a néző rámutat egy iires négyzetre, akkor nézd meg az eredeti 34-es varázsnégyzetben, hogy ott milyen szám szerepel. Ha a 13, 14, 15 vagy 16, akkor add hozzá a második számot (a 9-et), és az eredményt írd be. Ha más szám van ott, akkor ahhoz az első varázsszámot (a8-at) add hozzá.

4. Illeszt be a megfelelő számokat mindaddig, míg a va­rázsnégyzet el nem készül.

Fontos, hogy amikor a kapott szám páros, de nem a 4 több­szöröse, akkor a fenti módszerrel a/, első és második va­rázsszámod is ugyanaz lesz. Például, ha a néző a 78-at adja, akkor 78 - 34 = 44, 44 / 4 = II. Mivel nincs maradék, a második varázsszám is II , ami azt jelenti, hogy az eredeti 34-es négyzet minden egyes számához ezt a számot kell hozzáadnod.

Miért működik ez a trükkA trükk működésének alapja egyértelműen az, hogy az ere­deti varázsnégyzetünk minden sorában, oszlopában, átló­jában (és más alakzatában) a számok összege 34. Tegyük fel, hogy a kapott szám a 82. Mivel 82 - 34 = 4S és 48 / 4 = 12. ezért minden számhoz 12-t adunk hozzá. Ekkor min-

244

den négyes csoportban, ahol a számok összege az eredetin 34 volt, most 82 les/ (34 + 48). Nézzük az új varázsnégy­zetet:

2 0 2 3 2 6 13

2 5 14 1 9 2 4

15 2 8 21 18

2 2 17 16 2 7

= 82

Ha a kapott szám a 85, akkor a 12 és a 15 lesznek a va­rázsszámok, úgyhogy 3-mal többet adunk azokhoz a négy­zetekhez, ahol a 13, 14, 15 vagy 16 van. És mivel minden sorban, oszlopban, négyes csoportban szerepel egy szám ezek közül, igy minden négyes csoportnak az összege 34 + 48 + 3 = 85 lesz:

2 0 2 3 2 9 13

2 8 14 19 2 4

15 31 21 18

2 2 17 16 3 0

= 85

És egy kis matematikai érdekességként hadd mutassam meg a hires háromszor hármas varázsnégyzet egy másik hihetet­len tulajdonságát:

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Itt nemcsak arról van szó, hogy a sorok, oszlopok és állók számainak az összege 15, de ha a varázsnégyzet sorait úgy tekinted, mint háromjegyű számokat, akkor a számoló­géped segítségével megbizonyosodhatsz arról, hogy a

245

4922 + 3572 + 8162 = 2942 + 7532 + 6182. Illetve, hogy a 4382 + 9512 + 2762 = 8342 + 1592 + 6722. Ha kiváncsi vagy arra. hogy ez miért van így, akkor olvasd el a bibliográfiá­ban jelzett Magic „Squares" Indeed! (Varázslatos ..négyze­tek”, tényleg!) cimü dolgozatomat.

KÖBGYÖK - GYORSANKérj meg valakit arra, hogy válasszon ki egy kétjegyű szá­mol. és tartsa titokban. Ezután emelje köbre, vagyis kétszer szorozza meg önmagával (használjon számológépet). Például ha a titkos szám a 68. akkor 68 x 68 x 68 = 314 432. Most kérd meg az illetőt, hogy árulja el a végeredményt. Amikor kimondja a 314 432-es számot, rögtön felfedheted az eredeti, titkos számot, vagyis a 68-at. Hogyan?

Először is meg kell tanulnod 1 — 10-ig a számok köbét:

l 3 - 123 s 8

33 S 27

4 3 s 64

53 S 125

6 3 = 216

73 — 343

83 = 51293 S 729

1 0 3 — 10 0 0

Ha ezeket megjegyezted, akkor egy tetszőleges szám köb- gyokének a kiszámítása olyan egyszerű lesz, mint az egy­szeregy. Nézzünk egy gyakorlópéldát:

246

M i a 314 432 köbgyöke?Talán kezdésnek nehéz feladatnak tiinik. de ne ess pánikba, ez tényleg nagyon egyszerű. Mint mindig, most is lépésről lépésre haladunk:

1. Nézd meg az ezreseket (ebben a feladatban a 314-et).2. A 314 a 63 (216) és a 73 (343) között van. ezért a köb­

gyök hatvan-valamennyi lesz (mivel a 603 = 216 000 és a 703 = 343 000). Ennek megfelelően a köbgyök első száma a 6.

3. A második szám meghatározásához azt kell észreven­nünk, hogy csupán a 8-nak van olyan köbe, amely 2-vel végződik (83 = 512), ezért a második szám csak a 8-as lehet.

Vagyis a 314 432 köbgyöke 68. Három egyszerű lépés, és máris megvan a végeredmény. Figyeld meg. hogy a fenti listán minden köbgyök végén más szám van. és minden szám 0-9-ig csak egyszer szerepel. Sőt, a köbgyök utolsó számjegye egyenlő a köb utolsó számjegyéből vont köb­gyök utolsó számjegyével. Tehát, a 22 (köbgyök) utolsó számjegye (2) egyenlő a 10 648 (köb) utolsó számjegyéből(8) vont köbgyök (2) utolsó számjegyével. Na erre varrjál gombot!

Most próbálj meg Te is egy feladatot:

M i a 19 683 köbgyöke?1. A 19 a 8 és a 27 között van (23 és 33).2. Ezért a köbgyök húszon-valamennyi lesz.3. A szám utolsó számjegye a 3, ami egybevág a 7 köbének

utolsó számjegyével (343), úgyhogy a megoldás a 27.

Figyeld meg, hogy az utolsó szám kikövetkeztetése kizá­rólag akkor működik, ha az eredeti szám egy egész szám köbe. Például a 19 684 köbgyöke 27,0004572..., ami

247

egyértelműen nem a 24. Ezért van az, hogy ezt a trükköt A matekmágia művészeté be, és nem egy korábbi fejezetbe tettük. (Nem is beszélve arról, hogy a számolás olyan gyors, mint egy varázslat!)

LEEGYSZERŰSÍTETT NÉGYZETGYÖKÖKEgy szám négyzetgyökét is egyszerűen ki lehet számolni abban az esetben, ha a szám négyzetgyöke egész szám. Például ha valaki azt mondja neked, hogy egy kétjegyű szám négyzete 7569. akkor azonnal tudni fogod, hogy az eredeti szám, amit négyzetre emelt (vagyis a 7569 négy­zetgyöke) a 87. Lássuk, hogyan:

1. Nézd meg a százasokat (ebben az esetben a 75-öt).2. A 75 a 82 (64) és a 92 (81) között van. ezért tudjuk, hogy

a négyzetgyök nyolcvan-valamennyi lesz, vagyis a négyzetgyök első számjegye a 8-as. No mármost, két olyan szám van, amelynek négyzete 9-cel végződik: a 32(9) és a 1- (49). Ezért az utolsó számjegy a 3-as vagy a 7-es. tehát a négyzetgyök vagy a 83, vagy a 87. De vajon melyik?

3. Hasonlitsd össze az eredeti számot a 85 négyzetével (amit könnyedén ki tudunk számolni: 80 x 90 + 25 = 7225. Mivel a 7569 nagyobb, mint 7225, ezért a négy­zetgyök a nagyobb szám, vagyis a 87.

Csináljunk meg még egy példát:

M i a 4761 négyzetgyöke?A 47 a 62 (36) és a 72 (49) között van, ezért a megoldásnak hatvan-valamennyinek kell lennie. A négyzet utolsó száma1, ezért a négyzetgyök utolsó száma az 1 vagy a 9 - hiszen ennek a két számnak a négyzete végződik 1 -re. Mivel a

248

4761 nagyobb, mint a 652 (4225), ezért a négyzetgyök csak a 69 lehet. Ugyanúgy, mint a fenti köbgyök-trükknél, ezt a módszert is csak akkor lehet alkalmazni, ha az eredeti szám négyzetgyöke egész szám.

EGY „HIHETETLEN" ÖSSZEADÁSA következő trükköt a „Káprázatos” James Randi mutatta meg nekem, aki lenyűgözte vele a közönségét. A varázslat lényege, hogy a mágus meg tudja jósolni négy véletlensze­rűen kiválasztott háromjegyű szám összegét.

Erre a trükkre előre fel kell készülni. Szükséged lesz há­rom csomagra, mindegyikben 9 darab kartonlappal, és egy darab papírra, amire ráírod a 2247-es számot, majd bete­szed egy lezárt borítékba. A kartonlapokkal ezután tedd a következőt:

Az „A,? csomag minden egyes kartonjára irj egyet a kö­vetkező számokból:

4286 5771 9083 6518 2396 6860 2909 5546 8174

A „B” csomag lapjaira ezeket a számokat:

5792 6881 7547 3299 7187 6557 7097 5288 6548

Végül a „C” csomag lapjaira ezeket írd fel:

2708 5435 6812 7343 1286 5237 6470 8234 5129

A közönségből válassz ki három embert, mindegyiknek adj egy csomagot, majd kérd meg őket, hogy húzzanak ki egyet a náluk lévő kartonlapokból. Tegyük fel. hogy a lapokon a 4286, az 5792 és az 5435 szerepel. Most kérd meg őket, hogy sorrendben - először az „A” csomag tulajdonosa, majd a „B” és végül a „C* - mondjanak egy tetszőleges szá­mot a saját négyjegyű számuk számjegyei kozul. Ök a 8-as,9-es és az 5-ös számot választják. írd le a számokat (895) és

249

fordulj a nézőkhöz: „Be kell látniuk. Hölgyeim és Uraim, hogy a számok teljesen véletlenszerűen lettek kiválasztva, és nem lehetett őket előre megjósolni.”

Ezután kérd meg a három személyt, hogy most válassza­nak még egy számot a lapról. Az újabb számok a 4, az 5 és a 3. írd a 453-at a 895 alá. Még kétszer kérd tőlük ugyanezt, így négy háromjegyű számot kapsz, mint például:

A B C8 9 5

4 5 3

2 2 4

___________6 7 5

2 2 4 7

Egy másik néző adja össze a négy számot, majd kérd meg. hogy jelentse be a végeredményt, egy ötödik nézőt pedig arra, hogy nyissa ki a borítékot és olvassa fel a te jóslatodat. Azt hiszem, meg is hajolhatsz!

Miért működik ez a trükk?Nézd meg a számokat az egyes csomagokban, és keress ha­sonlóságot közöttük. Minden szám számjegyeinek összege ugyanannyi. Az „A” számok mod összege 20, a ..B” számo­ké 23 és a „ C számoké 17. Mivel a jobb oldalon (minden háromjegyű szám utolsó számjegyeként) mindig egy „C” csomagból származó szám valamelyik számjegye szerepel, és négy van belőlük (5, 3. 4, 5), ezért a háromjegyű számok összeadásakor az egyes helyértéken a számok összege is 17 lesz. Leírjuk tehát a 7-ct, és az 1-et (maradék) tovább­visszük. A tizes helyértéken ..B” számok szerepelnek, össze­gük ezért 23, amihez hozzáadjuk a/. 1-et. Megkapjuk a 24-et. ebből a 4-et leírjuk és a 2-t továbbvisszük. Végül

250

a százas helyértéken az „A” számok összege 20, hozzáad­juk a 2-t, és meg is van a végeredmény: 2247!

MELYIK NAPON SZÜLETTÉL?A könyvet a fejszámolás egyik klasszikus mutatványával zárjuk. Beavatunk a titokba, hogy ezentúl bárkinek meg tudd mondani, a hét melyik napján látta meg a napvilágot. Ez nagyon praktikus dolog. Nem fordul elő túl gyakran az emberrel, hogy arra kérik, emeljen négyzetre egy háromje­gyű számot, de szinte naponta megemlít valaki körülöttünk egy dátumot a múltból vagy a jövőből. Ezentúl nemcsak azt fogod tudni egy jeles történelmi eseményről, hogy mikor történt, de egy kis gyakorlás után könnyen és gyorsan ki tudod majd számolni azt is. melyik napon.

Először is rendelünk a hét minden napjához egy kód­számot:

Nap Kód

Hétfő 1

Kedd 2

Szerda 3

Csütörtök 4

Péntek 5

Szombat ó

Vasárnap 7 vagy

Ezt a listát könnyen meg lehel jegyezni, mivel mindegyik nap azt a számot kapta, ahányadik a héten.

Most kell egy kód az év minden hónapjának is:

251

Hónap KódJanuár 6

Február 2

Március 2

Április 5

Május 0

Június 3

Július 5

Augusztus 1

Szeptember 4

Október 6

November 2

December 4

Mindig ezeket a kódokat használjuk, kivéve akkor, ha szö­kőévről van szó (mint például a 2000., 2004. vagy 2008. év). Ebben az esetben a január kódja 5, a februáré pedigI lesz. Sajnos nincs túl sok választásod, a számokat egytől egyig be kell magolnod. Esetleg gyárthatsz emlékeztetőket, segítségül az olyan esetekre, amikor nem jut eszedbe vala­melyik hónap számkódja. Például: a január azért 6, mert a neve hat betűből áll. A február a 2. hónap az évben, az augusztus az ábécé 1. betűjével kezdődik, és október 6-án végezték ki az aradi vértanúkat.

Nézzünk egy tetszőleges dátumot 2006-ban. és számol­juk ki, milyen napra esik. Aztán megnézünk egyet 2007-ben, 2008-ban. és így tovább, egészen az életed végéig. Mikor már az összes eljövendő dátumot megvizsgáltuk, jöhetnek a múlt eseményei, bármi az I9O0-as evekből vagy akármelyik századból - amit csak akarsz.

252

Az éveknek is megvan a saját kódszáma, a 2006-é ép­pen a 0.

A számolás módja egyszerű: össze kell adni az év kód­ját. a hónap kódját és a napot. Például 2006. december 3-a vasárnap lesz. mert

évkód + hónapkód + nap = 0 + 4 + 3 = 7

Mi a helyzet 2006. november 18-ával? A november kódja a2, ezért:

évkód + hónapkód + nap = 0 + 2+ 18 = 20

Mivel 7 nap után új hét kezdődik, ezért ha 7 bármelyik több­szörösét kivonjuk a válaszból (1. 14. 21. 28, 35...). ez nem fogja megváltoztatni azt, hogy az adott dátum milyen napra esik. Utolsó lépésként tehát kivonjuk a 7-nek azt a legna­gyobb többszörösét, ami még nem eredményez negatív szá­mol, ebben az esetben 20 - 14 = 6. Vagyis 2006. november 18-a szombatra fog esni.

Mi a helyzet 2007-tel? Nczd meg, mi történik a születés­napoddal egyik évről a másikra. A legtöbb évben 365 nap van. és mivel a 364 a 7 többszöröse (7 x 52 = 364), ezéri a születésnapod minden évben egyetlen nappal eltolódik a héten. Ha 366 nap telik két születésnapod között, akkor abban az évben két napot „ugrik” előre. 2007-ben ugyanúgy kell számolnunk, mint az előbb, de most az év kódja 1 lesz. A következő esztendő, a 2008 szökőév. (Ez négyévente for­dul elő, ezért a 21. század szökőévei a 2000., 2004., 2008.,2012., és így tovább egészen 2096-ig.) Ilyenkor az évkód kettővel növekszik, ezéri a 2008 évkódja 3. 2009. nem szö­kőév. ezért a kódja csak eggyel lesz több az előző év kód­jánál, vagyis a számunk a 4-es.

2007. május 2.

évkód + hónapkód + nap =1 + 0 + 2 = 3

253

Úgyhogy ez egy szerdai nap.2008. szeptember 9.

évkód + hónapkód + nap: 3 + 4 + 9 = 1 6

Kivonjuk a 7 legnagyobb többszörösét, ami még kisebb mint a számunk: 16 - 14 = 2, vagyis kedd.

2008. január 16-odika szökőévben van. ezért a január kódja 6 helyett 5 lesz:

évkód + hónapkód + nap = 3 + 5+ 16 = 24

A 24-böl kivonjuk a 21-et. tehát ez a dátum a hét harmadik napjára, szerdára fog esni. Segítségképpen felírtuk a 21. szá-zad éveinek kódját:

Év Kód Év Kód Év Kód Év Kód2000 0 2025 3 2050 6 2075 22001 1 2026 4 2051 0 2076 42002 2 2027 5 2052 2 2077 52003 3 2028 0 2053 3 2078 62004 5 2029 1 2054 4 2079 02005 ó 2030 2 2055 5 2080 22006 0 2031 3 2056 0 2081 32007 1 2032 5 2057 1 2082 42008 3 2033 6 2058 2 2083 52009 4 2034 0 2059 3 2084 02010 5 2035 1 2060 5 2085 12011 6 2036 3 2061 6 2086 22012 1 2037 4 2062 0 2087 32013 2 2038 5 2063 1 2088 52014 3 2039 6 2064 3 2089 62015 4 2040 1 2065 4 2090 02016 ó 2041 2 2066 5 2091 12017 0 2042 3 2067 6 2092 3

254

2018 1 2043 4 2068 1 2093 4

2019 2 2044 6 2069 2 2094 52020 4 2045 0 2070 3 2095 6

2021 5 2046 1 2071 4 2096 1

2022 6 2047 2 2072 6 2097 2

2023 0 2048 4 2073 0 2098 32024 2 2049 5 2074 1 2099 4

A jó hir az, hogy nem kell bemagolni ezt a táblázatot. Fejben is ki tudjuk számolni bármelyik év kódját 2000-töl 2099-ig. Ha az év 2000 + .t, akkor egyszerűen fogjuk az x / 4-et (figyelmen kívül hagyva a maradékot), és hozzáadjuk az-r-hez, igy meg is kaptuk a kódot. Az évkód szintén egyszerűsíthető úgy, hogy kivonjuk a kapott összegből a 7 legnagyobb többszörösét.

2061-nél például láthatjuk, hogy 61 / 4 = 15 (a maradék az 1, de ez most nem számít), ezért az év kódja 61 + 15 = 76. Most kivonjuk a 7 legnagyobb többszörösét (76 - 6), és meg is kaptuk az egyszerűbb kódot, a 6-ot.

Milyen napra esik 2061. március 19.?

évkód + hónapkód + nap = 6 + 2+ 19 = 27

2 7 - 2 1 = 6 , tehát ez a nap egy szombat lesz.Mi a helyzet az 1900 és 1999 közé eső születésna­

pokkal? A feladatot pontosan ugyanúgy kell megoldani, mint az előbb, de a végeredményt egy nappal el kell tolni (vagy egyszerűen az évkódhoz kell hozzáadni l-et). így tudjuk, hogy 1961. március 19. vasárnapra esett.

1998. december 3. esetében 98 / 4 = 24 (a maradék 2. de ezt figyelmen kiviil hagyjuk). így az évkód 98 + 24 + 1 = 123, ahol plusz 1-et azért adtuk hozzá, mert 1900-as évről van szó. Ezután kivonjuk a 7 legnagyobb többszörösét. Mankóként itt vannak a 7 többszörösei:7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98,

105, 112, 119, 126...

255

Mivel 123 - 119 = 4, ezért most már tudjuk, hogy az 1998 évkódja 4. 1998. december 3. tehát milyen napra esett?

évkód + hónapkód + nap = 4 + 4 + 3= 11

A 1 1 - 7 = 4, úgyhogy ez egy csütörtöki nap volt.Az 1800-as évek dátumainál az évkódhoz 3-at adunk.

Például Charles Darwin és Abraham Lincoln is 1809. feb­ruár 12-én született. Mivel a 2009-nek az évkódja 4, ezért az 1809 évkódja 4 + 3 = 7, amelyet akár le is csökkent­hetünk nullára, ha kivonjuk belőle a 7 legnagyobb több­szörösét. vagyis a 7-et. Tehát:

évkód + hónapkód + nap = 0 + 2 + 12 = 14

Mivel 14 - 14 = 0, így tudjuk, hogy mindketten vasárnap születtek.

Az 2100-as évek dátumainál az évkódhoz hozzáadunk 5-öt vagy kivonunk belőle 2-t. A kettő ugyanaz, hiszen például a 2009 évkódja 4, ezért a 2109 évkódja 4 + 5 = 9, amely a 7 kivonása után 2 lesz. Az 1700-as évekkel ugyan­úgy járunk el, mint a 2100-as évekkel (vagyis hozzáadunk 5-öt vagy kivonunk 2-t).

Végül szerelnélek figyelmeztetni egy fontos dologra. 1582-ben a Gergely-naptár bevezetésekor október 4. csü­törtök után okióber 15. péntek következett, ezért a mi mód­szerünk az ennél korábbi dátumok esetében nem működik, hiszen akkor a Julianus-naptárt használták. És még valami. A Gergely-naptárban a szökőévek - ahogy már mondtuk- négyévente ismétlődnek, kivéve azokat az éveket, ame­lyek oszthatók százzal. De a kivételnek is van kivétele, mert azok az évek, amelyek négyszázzal oszthatók, mégis szö­kőévek. Ezért 1600.. 2000., 2400., 2800. mind szökőév, de az 1700., 1800., 1900., 2100., 2200., 2300. és 2500. nem azok. Előnye is van azonban XIII. Gergely pápa reformjá­nak. A naptár 400 évenként ismétlődik, ezéri bármelyik

256

dátumot átválthatod egy 2000-hez közeli dátumra. Például 2361. március 19. és 2761. március 19. ugyanazon a napon lesz, mint 1961. március 19.. amelyről már megállapítot­tunk, hogy vasárnap.

FELADATOK: MELYIK NAPON SZÜLETTÉL?

Számold ki. hogy a következő dátumok milyen napra esnek:

1. 2007. január 19.

2. 2012. február 14.

3. 1993. június 20.

4. 1983. szeptember 1.

5. 1954. szeptember 8.

6. 1863. november 19.

7. 1776. július 4.

8. 2222. február 22.

9. 2468. június 31.

10. 2358. január 1.

257

Utószó, írta Michael Shermer

Hogyan segít a matek abban, hogy elmerenghessünk a furcsa dolgokon?

A Skeptic magazin kiadójaként, a Szkeptikusok Társasá­gának ügyvezető igazgatójaként és a Scientific American havi rovatának, a „Szkeptikus" szerkesztőjeként rengeteg levelet kapok olyan emberektől, akik rendhagyó tapasztala­tokról számolnak be, például kisértetházakról, szellemek­ről, halál közeli és testen kívüli élményekről. UFO-észle- lésekröl és a/, idegenek emberrablásairól, halált megjósló álmokról, és még sok minden másról.

Számomra azok a legérdekesebb levelek, amelyek na­gyon valószínűtlen eseményekről számolnak be, mert iróik burkoltan arra céloznak, hogy ha nem tudok megfelelő, ter­mészetes magyarázatot adni arra a bizonyos eseményre, ak­kor a természetfeletti létezésének elismerése szükségszerű. A leggyakoribb történet az, hogy valaki megálmodta egy barát vagy egy rokon halálát, majd a következő napon csön­gött a telefon, és a hivó beszámolt az álomban szereplő ille­tő hirtelen és váratlan haláláról. Mekkora az esélye annak, hogy ez véletlen? - kérdik tőlem.

ükkor hívhatjuk segítségül a matematikát a logikus ok­fejtéshez. Nem akarok misét tartani arról, hogy a matemati­ka hogyan tanítja meg a diákokat a kritikus gondolkodásra, mivel ezt szinte minden tanár minden iskolában legalább évente egyszer elmondja a matekórán. Inkább konkrét pél­dákat mutatok arra. hogyan használom én ezt a tudományt

259

a munkám során, amikor magyarázatot keresek a hihetet­lennek tűnő dolgokra.

Habár nem tudok minden egyedi esetet megfejteni, de a valószínüség-számitás egyik alapelve, a nagy számok törvé­nye szerint, ha egy véletlen esemény megtörténésének esélye kevés kísérlet alatt kicsi, sok kísérlet alatt a megtörténés való­színűsége igen nagy lesz. Vagy ahogy én szeretem mondani: olyan dolgok, amelyekre az esély csupán 1:1 000 000-hoz, naponta 295-ször fordulnak elő az Egyesült Államokban.

Kezdjük a halált mcgjósló álmokkal. Itt van egy általam végzett rövidke számítás. A pszichológusok azt mondják, hogy a legtöbb ember naponta ötször álmodik, amely évente 1825 álmot jelent. Ha csak minden tizedik álmunkra emlék­szünk, ez akkor is fejenként 182,5 darab álom évente. Ame­rikában 295 millió ember él, tehát évente 53.8 milliárd olyan álom van, amit nem felejtettek el. Az antropológusok és a szociológusok véleménye szerint mindannyian körülbelül 150 embert ismerünk aránylag jól (vagyis egy átlagos ember­nek körülbelül 150 olyan személy neve szerepel a telefon­könyvében, akiről tudna valami szignifikáns, egyedi dolgot mondani). Ez azt jelenti, hogy a 295 millió amerikai szemé­lyes kapcsolatai egy 44,3 milliárdos hálózatot alkotnak. Az USA-ban évente 2,6 millió ember hal meg. Elkerülhetetlen tehát, hogy az 53,8 milliárd emlékezetünkben megmaradt álomból néhány ne a 44,3 milliárd kapcsolattal rendelkező 295 millió amerikai közül elhalálozott 2,6 millió ember egyi­kének haláláról szóljon. Igazából csoda lenne, ha a haláljós­ló álmok közül egyetlen sem válna valóra.

Ha az általam megadott számok nagyon távol járnak a valóságtól, az elmélet akkor is megállja a helyét. Mekkora az esélye annak, hogy egy halált mcgjósló álom valóra vá­lik? Elég nagy.

Egy másik pszichológiai tényező, a megerősítési torzítás is közrejátszik ezekben az esetekben. Ha egyszer egy néze­

260

tünket kinyilvánítottuk, felfigyelünk azokra a bizonyítékok­ra. amelyek alátámasztják kedvenc elméletünket, és elvet­jük vagy figyelmen kívül hagyjuk azokat, amelyek nem. A megerősítési torzítás magyarázatot ad arra is, hogyan működnek az összeesküvés-elméletek. Azok az emberek, akik fogékonyak ilyen elméletek gyártására (például szep­tember 11 -ével kapcsolatban arra. hogy a merénylet mögött a Bush-kormány állt, az ok pedig egy közel-keleti háború kirobbantása), mindenütt olyan bizonyítékokat fognak ke­resni és találni, amelyek alátámasztják elméletük helyessé­gét (Bush egy osztályteremben ült és gyerekeknek olvasott fel egy kecskéről, mintha tudta volna, hogy biztonságban van), és eközben minden olyan bizonyítékot semmibe vesz­nek. amelyek egy másik, valószínűbb magyarázatot igazol­nak (Osama bin Laden és az ő nemzetközi terrorszervezete okolható a 2001. szeptember 11 -én történtekért). Ugyanez a pszichológiai jelenség zajlik le akkor, amikor az asztroló­gusok. tarotkártya-jósok és látnokok olyan sikeresen ki tudják olvasni az emberek jövőjét. Azok, akik elmennek jó ­soltatni. valószínűleg nagyon sok mindenre emlékezni fog­nak abból, ami stimmel, és elfelejtik azt a rengeteg dolgot, ami nem felel meg a valóságnak. Ha megszámoljuk a talála­tokat és a mellélövéseket - amit én egyszer megtettem az ABC-televizió által készített, látnokokról szóló műsorban akkor kiderül, hogy az egész nem más. mint találgatás és véletlenszerű egybeesések sorozata.

Úgy tűnik, ha néhány em ber a nagy nyilvánosság előtt elmeséli a vele történt csodálatos dolgokat, a természet- feletti létezése máris bizonyítást nyert. Az igazság azonban az, hogy ilyenkor a nagy számok törvénye szerint történhe­tett meg az, ami megtörtént.

Miközben a furcsa dolgokon, mintegy matematikailag elgondolkodtam, eszembe jutott egy másik „csodás" szá­molás. Az emberek általában akkor használják a csoda szót.

261

mikor igazán szokatlan eseményeket mesélnek el - olya­nokat, amelyeknek csupán 1:1 000 000-hoz a valószí­nűsége, hogy megtörténik. Hát rendben, fogadjuk el ezt definíciónak. Nevezzük azt az eseményt csodának, aminek előfordulására ennyi az esély. No mármost, egy átlagos napon nagyjából másodpercenként jutunk információhoz a körülöttünk lévő világról és eseményekről az érzékszer­veinken keresztül. Jártunkban-keltünkben. mondjuk nyolc óra leforgás alatt, napi 30 000, havi szinten pedig 1 millió adat jut el a tudatunkig. Ezeknek az információknak és eseményeknek a legnagyobb része teljesen érdektelen, ezért agyunk kiszűri és elfelejti őket, különben túlhajszolná ma­gát. De azt várnánk, az előbb felvázolt előfordulási való­színűség miatt, hogy egy hónap leforgása alatt legalább egyszer történni fog velünk egy rendkívüli és csodálatos esemény. Ha ehhez hozzáadjuk a megerősítési torzítást - amelynek hála meg fogjuk jegyezni a szokatlan eseménye­ket, és minden mást elfelejtünk elkerülhetetlen, hogy ne legyen havonta valahol valaki, aki beszámol egy csodáról. A bulvársajtó pedig ott lesz, hogy hírül adja!

Ha szeretnék megérteni, hogyan működik a világ, meg kell tudnunk állapítani, mi a valódi és mi nem. Mi az, ami véletlenül történik, és mi az. ami egy adott, megjósolható ok miatt következik be. A probléma, amellyel szemben ál­lunk. hogy az emberi agy az evolúciós fejlődés során meg­tanult szelektálni, igy csak a nagyon szokatlan eseményeket veszi észre, és mellőzi azt a rengeteg adatot, amivel nap mint nap találkozunk. A statisztikára és valószínűség-szá­mításra támaszkodó megközelítés tehát nem jön magától, a tudományos gondolkodásmód nem velünk született adott­ság, képzést és gyakorlást igényel.

Emellett ott vannak azok a bosszantó kognitív (megis- mciö) torzítások - a már említett megerősítési torzítás, és még sok egyéb. Az információ nem egy önmagában álló

262

valami, egy szubjektív és elfogult elme vizsgálja meg. Az énmegerösitő torzítás például azt diktálja, hogy önma­gunkat sokkal pozitivabb módon szemléljük, mint ahogy mások látnak bennünket. Országos felmérések azt mulatják, hogy a legtöbb üzletember úgy gondolja, ö sokkal erköl­csösebb. mint a kollégái, mig a pszichológusok, akik az er­kölcsi ösztönöket tanulmányozzák, sokkal erkölcsösebbnek tartják magukat más, ugyanezzel a témával foglalkozó pszi­chológusnál. Egy egyetemi felvételi során felmérést végeztek és megkérlek 829 000 középiskolai végzős diákot, értékeljék magukat a kapcsolatteremtés képessége szempontjából, vagyis hogy mennyire tudnak jól kijönni másokkal. A meg­kérdezettek 0% értékelte magát „átlagon alulinak” , mig 60% a felső 10%-ba sorolta be magát. Egy 1997-cs U.S. News and World Report tanulmányban szereplő adatok sze­rint az emberek 52% esélyt látnak arra, hogy Bili Clinton a mennyországba jut, 60%-ot adnak Diana hercegnőnek, 65%-ot Michael Jordannek. 79%-ot Teréz anyának, de az a személy, akinek a legnagyobb esélye van erre, összesen 87%, az maga a megkérdezett!

Emily Pronin, a Princton Egyetem pszichológiaprofesz- szora és kollégái a vakfolteffektusi tanulmányozták, amelyet az emberi szemben található vakfoltról nevezetek el. Az ala­nyok más emberekben felismerték nyolc különböző tor­zítási mód létezését és befolyásoló hálását, de önmagukban nem vetlék észre ezek meglétét. A Stanford Egyetem diák­jaival végzett kísérletben megkérték a diákokat, hogy ha­sonlítsák össze magukat diáktársaikkal olyan személyes tulajdonságok alapján, mint a barátságosság és önzés. A résztvevők az elvártnak megfelelően sokkal jobbra érté­kelték önmagukat. Amikor felhívták a figyelmüket az önmagunk túlértékelése - effektusra, és megkérték őket, hogy gondol jak újra saját jellemzésüket, 63%-uk úgy vélekedett, hogy az első értékelése objektív volt, és 13% állította azt.

263

hogy az clsö alkalommal túl szerényen Ítélte meg önmagát! Egy másik kísérlet során Pronin teljesen véletlenszerűen adott magasabb vagy alacsonyabb pontokat a diákoknak egy szociális intelligenciát mérő teszten. Előre megjósol­ható módon, azok közül, akik magasabb pontot értek el. sokkal többen gondolták úgy, hogy a teszt igazságos és hasznos volt. mint az alacsonyabb pontszámmal rendel­kezők közül. Mikor megkérdezték a „rosszabbul” értékelt diákoktól, lehetséges-e, hogy a teszt hasznosságát illetően befolyásolta őket a kapott pontszám, akkor azt válaszolták, a többieket sokkal jobban befolyásolta a pozitív megítélés­ben. Egy harmadik tanulmányban Pronin arról kérdezte az alanyokat, milyen módszert használnak, amikor felmérik a saját és mások elfogultságait. Azt találta, hogy amikor má­sokat vizsgálunk, általános viselkedésmintákat értékelünk, de amikor önmagunkat, akkor valóban belső, introspektiv elemzést végzünk. Az önelemzés illúziójanak köszönhetően azonban nem bizunk abban, hogy rajtunk kivül más is képes reálisan megítélni önmagát: - Én képes vagyok rá, de más nem.

A Kaliforniai Berkeley Egyetem pszichológusával. Frank J. Sullowayjel hasonló felfedezést tettünk az attribú- ció (oktulajdonitás) folyamatának torzításává] kapcsolat­ban, amikor arról készítettünk tanulmányt, hogy az embe­rek vajon mivel indokolják saját vallásosságukat, és mivel másokét. Általában a legtöbb ember olyan intellektuális okokkal magyarázza istenhitéi, mint a világ csodálatos megtervezettsége és összetettsége, míg mások hitének ér­zelmi okokat tulajdonit: vigaszt nyújt, értelmet ad. vagy a vallásos neveltetés hatása. Politikai elemzők is hasonló eredményre jutottak a politikai hovatartozás tekintetében. A republikánusok saját konzervatív beállítottságukat ész­szerű érvekkel igazolhatónak tartják, és azt állítják, hogy a demokraták „vérző szívű liberálisok” , a demokraták pedig

264

azt gondolják, hogy saját liberális beállítottságuk a legész- szerűbb döntés, a republikánusok pedig „szívtelenek".

A tudomány hogyan kezeli az ilyen mértékű szubjektív elfogultságot? Mikor tudjuk egy állításról, hogy igaz vagy merő badarság? Szeretnénk nyitottak lenni az új és radikális ötletekre, amikor nagy ritkán felbukkannak, de azért nem szeretnénk elveszíteni józan Ítélőképességünket sem. Ez a probléma arra késztetett minket a Szkeptikusok Társaságánál, hogy létrehozzunk egy segédeszközt, ame­lyet Badarságészlelő csomagnak neveztünk el. A csomag­ban 10 kérdés található, amelyeket célszerű feltenni minden olyan esetben, amikor nem tudjuk eldönteni egy állításról, hogy elfogadásával túlságosan elrugaszkodunk-c a valóságtól, illetve az elutasítással nem leszünk-e zárkózot- tabbak a kelleténél.

/. Mennyire megbízható az állítás forrása? Ahogy azt Dániel Kevles olyan hatásosan bemutatta The Baltimore Affair (A Baltimore-ügy) című 1999-es könyvében, ami­kor egy feltételezett tudományos csalást vizsgálunk ki. határt kell húznunk a csalásra utaló jelek és a tudomá­nyos munka során elkerülhetetlenül előforduló hibák és pontatlanságok között. Az említett nyomozás során an­nak a laboratóriumnak a kutatási feljegyzéseit nézték át, amely kapcsolatban állt a Nobel-dijas amerikai viroló- gussal, David Baltimore-ral. A Kongresszus által létre­hozott független bizottság meglepően sok hibát talált, a tudomány azonban sokkal rendetlenebb, mint ahogy azt az emberek gondolnák. Amikor egyértelművé vált, hogy az adatokat nem manipulálták szándékosan, Baltimore-t tisztázták.

2. A forrás gyakran halmozza az állításokat? Az áltudó­soknak az a szokásuk, hogy messze túlszárnyalják a ténye­

265

két, úgyhogy amikor valaki megszámlálhatatlan rendkívüli állítást tesz. talán több egy egyszerű tekintélyrombolónál. Ez a mennyiségi arányosítás esete, mivel néhány nagy gondolkodó a kreatív spekuláció során torzítva értelmezi az adott adatokat. A Cornell Egyetem Thomas Goldja hírhedt a radikális ötleteiről, de elég sokszor volt igaza ahhoz, hogy más tudósok meghallgassák a mondandóját. Gold például felvetette, hogy az olaj nem fosszilis tüze­lőanyag, hanem a mély, forró bioszférának a mellékter­méke. Az általam megkérdezett Föld-kutatók közül alig néhányan veszik komolyan ezt a teóriát, ennek ellenére Goldot nem tartják hóbortosnak. Ebben az esetben a szél­sőséges gondolkodást kell kiszűrnünk, amely állhatatosan figyelmen kívül hagyja vagy elferdíti az adatokat.

3. Az állításokat alátámasztotta-e egy másik forrás? Az ál­tudósok gyakran tesznek olyan kijelentéseket, amelyeket tu­dományosan senki sem igazolt, vagy olyasvalaki támasztot­ta alá. aki egy követ fúj velük. Fel kell tennünk a kérdést: ki ellenőrzi az állításokat, és ki ellenőrzi az ellenőrzőket? Pél­dául a hidegfúzió bukásánál nem arról volt szó. hogy Stan­ley Pons és Martin Fleischnam alapvetően tévedtek volna, hanem arról, hogy hihetetlen felfedezésüket bejelentették (nem máshol, mint egy sajtókonferencián) még mielőtt más laboratóriumok alátámasztották volna az állítás helyességét. S ami még rosszabb, mikor a hidegfúziót nem tudták megis­mételni, továbbra is ragaszkodtak az állításukhoz.

4. Az állítás hogyan illik bele abba, amit a világ működé­séről tudunk? Egy hihetetlen állítást nagyobb kontextusba kell helyezni, hogy megnézzük, hogyan illik bele. Ha vala­ki azt állítja, hogy a piramisokat és szfinxeket több mint10 000 evvel ezelőtt egy koiábban élt. fejlett emberi kö­zösség építette, akkor mutassa fel ennek a korai civilizáció*

266

nak a nyomait. Hol vannak az egyéb leletek? Hol vannak a művészeti alkotásaik, fegyvereik, ruháik, eszközeik vagy a szemetük? A régészet egyszerűen nem igy működik.

5. Volt valaki, aki mindent megtett azért, hogy az állí­tást megcáfolja, vagy kizárólag igazoló bizonyítéko­kat kerestek? Ez a megerösitési torzítás tipikus példája, vagyis az a hajlandóság, hogy csak a minket igazoló bizonyítékokat keressük, és visszautasítjuk vagy elvet­jük az állításunkat cáfoló tényeket. Ez a fajta torzítás erős és ferdítő, és szinte senki se tudja elkerülni. Ezért fektetnek nagy hangsúlyt a tudományos módszerek az ellenőrzésre, újraellenőrzésre, bizonyításra, majd a kí­sérlet és a számítások ismétlésére, és végül arra, hogy az állítást megpróbálják megdönteni.

6. A bizonyítékok legnagyobb része az állítás kijelentőjé­nek következtetését támasztja alá, vagy egy másik ál­lítást? Az evolúcióelméletet például több független kuta­tási terület bizonyítékai alapján igazolták. Nincs egyetlen kövület, egyetlen biológiai vagy paleontológiai lelet, amelyre rá lenne vésve az „evolúció” szó, ehelyett össze­futó, azonos irány felé mutató több százezer bizonyító ere­jű adattal van dolgunk, amelyeket összerakva megkapjuk az élet fejlődésének történetét. A teremtéselméletben hivő emberek figyelmen kívül hagyják ezt, és helyette az élet történetének triviális szabálytalanságaira, vagy jelenleg még megmagyarázatlan jelenségeire helyezik a hangsúlyt.

7. Az állítás kijelentője a gondolkodás elfogadott szabá­lyait követi, és az elfogadott eszközöket használja kutatásaiban, vagy ezeket figyelmen kívül hagyta, hogy olyanokat használjon, amelyek a kívánt ered­ményt mutatják? Az UFO-kutatók mindig a téves kö­

267

vetkeztetés hibájába esnek, mivel kizárólag a maroknyi megmagyarázatlan légköri anomáliára és a szemtanúk vizuális félreértéseire támaszkodnak, és kényelmesen figyelmen kivül hagyják azt a tényt, hogy az UFO-ész­lelések legnagyobb hányadát (90-95%) teljesen hétköz­napi dolgokkal meg lehet magyarázni.

8. Aki tagad egy állítást, felmutatott-e egy másik alterna­tívát a megfigyelt jelenség magyarázatára, vagy csu­pán tagadja a létező magyarázatot? Ez egy klasszikus vitastratégia - kritizáld az ellenfeled, de sose áruld el, hogy te miben hiszel, men így elkerülheted a kritikát. Ez a csel elfogadhatatlan a tudományban. Például az ősrob­banás-elmélet szkeptikusai figyelmen kivül hagyják azo­kat a bizonyítékokat, amelyek a világ keletkezésének mo­dellje mellett szólnak, és néhány, az elfogadott modellben található apró hibára összpontosítanak. De még mindig nem mutattak fel elfogadható alternatívát a világ keletke­zésére. és nem igazolták saját elméletüket sem.

9. Az új állítás ugyanannyi jelenségre ad magyarázatot, mint a régi? Egyes szkeptikusok azt állítják, hogy az élet­stílus, és nem a WV-virus okozza az AIDS-betegséget. Ez­zel figyelmen kivül hagyják azokat a bizonyítékokat, ame­lyek alátámasztják, hogy a HIV-virus az AIDS kiváltója, és szemet hunynak afölött a tény fölött is, hogy a vérzékeny emberek körében jelentősen megnőtt az AIDS előfordulása akkor, am ikora vérkészletbe HIV-virussal fertőzött vér ke­rült. Ráadásul ez az alternatív teória nem ad magyarázatot annyi dologra, mint a HIV-elmélel.

10. Az állítás kijelentőjét személyes hite és elfogultsága vezette a végeredményhez, vagy fordítva? Minden tu­dósnak megvan a saját társadalmi, politikai és ideológiai

268

hite, amely talán elferdítheti az adatok értékelését. De vajon személyes beállítottságunk és előfeltevéseink ho­gyan hatnak a kutatásra? Általában az újraellenőrzés során ki lehet gyomlálni ezeket a torzító tényezőket, kü­lönben a tanulmány nem jelentethető meg. Nem szabad intellektuális vákuumban dolgozni. Ha te nem találod meg a hibákat a kutatásaidban, akkor valaki más majd megtalálja.

Nincs semmilyen előre meghatározott kritériuma annak, hogy mennyire legyünk nyitottak, amikor új állításokkal vagy ötletekkel találkozunk. De a valószínűség kiszámításá­val és azzal, hogy feltesszük a szükséges kérdéseket, meg­tettük az első lépést afelé, hogy megfejtsük furcsa és cso­dálatos világát.

269

Megoldások

2. Egy kis adok-kapok

Kétjegyű számok összeadása (40. oldal)1. 23 + 16 = 23 + 10 + 6 = 33 + 6 = 392. 64 + 43 = 64 + 40 + 3= 104 + 3 = 1073. 95 + 32 = 95 + 30 + 2= 125 + 2 = 1274. 34 + 26 = 34 + 20 + 6 = 54 + 6 = 605. 89 + 78 = 89 + 70 + 8= 159 + 8 = 1676. 73 + 58 = 73 + 50 + 8 = 123 + 8 = 1317. 47 + 36 = 47 + 30 + 6 = 77 + 6 = 838. 19 + 17 = 19 + 10 + 7 = 29 + 7 = 369. 55 + 49 = 55 + 40 + 9 = 95 + 9 = 104

10. 39 + 38 = 39 + 30 + 8 = 69 + 8 = 77

Háromjegyű számok összeadása (45. oldal)1. 242 + 137 = 242+ 100 + 30 + 7 = 342 + 30 + 7 = 372 + 7 =

3792. 312 + 256 = 312 + 200 + 50 + 6 = 512 + 50 + 6 = 562 + 6 =

5683. 635 + 814 = 635 + 800+10 + 4 = 1435+ 10 + 4 =

1445 + 4 = 14494. 457 + 241 = 457 + 200 + 40 + l = 657 + 40 + 1 = 697 + 1 =

6985. 912 + 475 = 912 + 400 + 70 + 5 = 1312 + 70 + 5

1382 + 5 = 13876. 852 + 378 = 852 + 300 + 70 + 8 = 1152 + 70 + 8

1222 + 8 = 12307. 457 + 269 = 457 + 200 + 60 + 9 = 657 + 60 + 9 = 717 + 9 =

7268. 878 + 797 = 878 + 700 + 90 + 7 = 1578 + 90 + 7 =

1668 + 7 = 1675vagy 878 -h 797 = 878 + 800 - 3 = 1678 - 3 = 16/b

9. 276 + 689 = 276 + 600 + 80 + 9 = 876 + 80 + 9 =956 + 9 =965

271

10. 8 7 7 + 5 3 9 = 87 7 + 5 0 0 + 3 0 + 9 = 1377 + 3 0 + 9 = 1407 + 9 = 1416

1 1 . 5 4 0 0 + 2 5 2 = 5 4 0 0 + 2 0 0 + 5 2 = 5 6 0 0 + 5 2 = 5 6 5 212. 1800 + 8 5 5 = 1800 + 8 0 0 + 5 5 = 2 6 0 0 + 55 = 2Ó5513. 6 1 2 0 + 1 3 6 = 0 1 2 0 + 100 + 3 0 + 6 = 6 2 2 0 + 3 0 + 6 =

6 2 5 0 + 6 = 6 2 5 614. 7 8 3 0 + 34 8 = 7 8 3 0 + 3 0 0 + 4 0 + 8 = 8 1 3 0 + 4 0 + 8 =

8 1 7 0 + 8 = 817815. 4240 + 371 = 4240 + 300 + 70 + 1 = 4540 + 70 + 1 =

4610+ 1 = 4611

Kétjegyű szám ok kivonása (48 . oldal)1. 3 8 - 23 = 3 8 - 2 0 - 3 = 1 8 -3 = 152. 84 - 59 = 84 - 60 + 1 = 24 + 1 = 253. 92 - 34 = 92 - 40 + 6 = 52 + 6 = 584 . 6 7 -48 = 6 7 -5 0 + 2= 17 + 2= 195. 79 - 29 = 79 - 20 - 9 = 59 - 9 = 50

vagy 79 - 29 = 79 - 30 + 1 = 49 + 1 = 506 . 6 3 -4 6 = 6 3 -5 0 + 4= 13 + 4= 177. 51 - 27 = 51 - 30 + 3 = 21 + 3 = 248 . 89 - 48 = 89 - 40 - 8 = 49 - 8 = 419 . 125-79= 125-80 + 1 = 45 + 1 = 46

10. 1 4 8 -8 6 = 1 4 8 -9 0 + 4 = 58 + 4 = 62

Háromjegyű szám ok kivonása (53. oldal)1. 583-271 = 5 8 3 -2 0 0 -7 0 -1 = 383 - 70 - 1 = 313 - 1

= 3122. 936 - 725 = 936 - 700 - 20 - 5 = 236 - 20 - 5 = 216 - 5

= 2113. 587 - 298 = 587 - 300 + 2 = 287 + 2 = 2894 . 763 - 486 = 763 - 500 + 14 = 263 + 14 = 2775. 204- 185 = 204-200+ 15 = 4+ 15 = 196 . 793 - 402 = 793 - 400 - 2 = 393 - 2 = 3917. 219-176 = 219-200 + 24 = 19 + 24 = 438 . 978 - 784 = 978 - 800 + 16 = 178 + 16= 1949 . 455-319 = 455-400 + 81 =55 + 81 = 136

10. 772 - 596 = 772 - 600 + 4 = 172 + 4 = 1761 1. 873 - 357 = 873 - 400 + 43 = 473 + 43 = 51612. 564 - 228 = 564 - 300 + 72 = 264 + 72 = 33613. 1428-571 = 1428-600 + 29 = 828 + 29 = 8571 4 . 2 3 4 5 - 6 7 0 = 2 3 4 5 - 7 0 0 + 2 2 = 1 6 4 5 + 2 2 = 1ÓÓ715. 1776-987= 1776- 1000+ 13 = 776+ 13 = 789

272

3. Az elbaltázott ifjúság eredménye

Kétjegyű számok szorzása egyjegyű számokkal (60. oldal)

1. 2. 3. 4. 5.82 43 67 71 93

x 9 x 7 x 5 x 3 x 8720 280 300 210 720

+ 18 + 21 + 35 + 3 + 24738 301 335 213 744

6. vagy 7. 8. 9. 10.49 49 28 53 84 58

x 9 x 9 x 4 x 5 x 5 x 6360 450 80 250 400 300

+ 81 - 9 + 32 + 15 + 20 + 48441 441 112 265 420 348

11. 12. 13 14, 15.97 78 96 75 57

x 4 x 2 x 9 X 4 x 7360 140 810 280 350

+ 28 + 16 + 54 + 20 + 49388 156 864 300 399

16. 17. 18. 19 20.37 46 76 29 64

x 6 x 2 x 8 x 3 x 8180 80 560 60 480

+ 42 + 12 + 48 + 27 + 32222 92 608 87 512

Háromjegyű számok szorzása egyjegyű számokkal(68., oldal)1. 2. 3. 4.

431 637 862 957x 6 x 5 x 4 x 62400 3000 3200 5400+ 180 + 150

oVCN+ + 300

2580 3150 3440 5700+ 6 + 35 + 8 + 422586 3185* 3448 5742

273

13.

5. 6 . 7.927 728 328

x 7 x 2 x ...66300 1400 1800

+ J4 0 + 40 + 1206440 1440 1920

+ 49 + 16 + 486489 1456 1968

9. 10 . 11 .807 587 184

X 9 x 4 x 77200 2000 700+ 63 + 320 + 5607263 2320 1260

+ 28 + 28*2348 1288

14. 15.757 259 297 297

x 8 x 7 x 8 vaqy x 85600 1400 1600 300 x 8 = 2400

+ 400 + 350 + 720

CN1IIcoX

co1

6000 1750 2320 2376+ 56 + 6 3 + 566056 1813 2376

17. 18. 19.457 339 134

x 7 x 8 x 82800 2400 800

+ 350 + 240 + 2403150 2640 1040+ 49 + 72 + 323199 2712 1072

2 1 . 2 2 . 23.578 247 188

x 9 x 5 x 64500 1000 600

+ 630 + 200 + 4805130 1200 1000

+ 72 + .35 + 485202 •1235 1128

529x____94500

+ 180 4680

+ 81 4761

12.214

x__81600

± 80 1680 ±_32 1712

16.751

x___ 96300

±_45Q 6750

±___ 96759

20.611

x 3 1800 + 33 1833

24.968

x _____ 6

5400 + 360 5760

+ 48 5808

274

25. 26. 27. 28.499 499 670 429 862

x 9 vaqy x 9 x 4 x 3 x 53600 500 x 9 = 4500 2400 1200 4000

+ 810 -1 x 9 = - 9 + 280 + 60 + 3004410 4491 2680 1260 4300

+ 81 + 27 + IQ4491 1287 •4310

29. 30. 31. 32.285 488 693 722

X 6 x 9 x 6 x 91200 3600 3600 6300

+ 480 + 720 + 540 + 1801680 4320 4140 6480

+ 30 + 72 + 18 + 181710 4392 4158 6498

33. 34. 35. 36.457 767 312 691

x 9 * 3 x 9 X 33600 2100 2700 1800

+ 450 + 180 + 90 + 2704050 2280 2790 2070

+ 63 + 21 + 18 ± 34113 2301 2808 2073

* Az effajta izoí-zósoknól nyugodtan hoogown uámolhatsz, miközben megoldod a feladatot.

Kétjegyű szám ok négyzetre emelése (74. oldal)

1.

142

2.272

3.

652

-4

♦3

"-3

♦5

- 5

18.

10'

30.

24'

70-

60'

180 + 42= 196

720 + 32 = 729

4200 + 52 = 4225

275

► 1680 + 12 = 1681

3480 + 12 = 348J

660 + 42 = 67ó

2800 + 32 = 2809

440 + 12 = 44]

4080 + 42 s 409ó

1760 + 22 = 1764

276

14.

552

15.

752

16.

452;

17.

842.

18.

6 7 2 ;

19.

1032;

20. 2082-

+5

^5

+5

-5

♦5

+3

~̂ 2

+3

"-3~

♦8

-8

’50

-80-

’70'

.50 .

'40 '

.88 .

*80'

.70-

‘64

.106.

•100‘

216.

200"

.60.3000 + 52 = 3025

5600 + 52 = 5625

2000 + 52 = 2025

7040 + 42 * 7056

4480 + 32 = 4489

10 600 + 32= 10 609

43 200 + 82 = 43 264

4. Új és továbbfejlesztett m ódszerek

Szorzás tizeneggyel (84. oldal)

1 • 35 3___ 5 * 385 2. 48 4 8 = 528*_LL 8 x j j 12

3. 94 9___ 4 = 1034x 11 13

277

Szorzási feladatok az összeadásos módszerhez (85. oldal)1 . 3 1 (3 0 + 1 ) vagy 31

x 41 x 41 (40 + 1)3 0 x 41 = 1230 40 x 31 = 1240

1 x 41 = + 41 1 x 31 » + 311271 1271

2. 27 (20 + 7) 3. 59 (50 + 9) *. J.8 x 2^

20 x 1 8 = 360 5 0 x 2 6 = 1 3 0 07 x 18 g + 126 9 x 26 = + 234

486 1534

4. 5 3 (5 0 + 3) 5. 77x 58 x 43 (40 + 3)

5 0 x 5 8 = 2900 4 0 x 7 7 = 30809 x 58 = + 174 3 x 77 = + 231

3074 3311

6 . 23 (20 + 3) vagy 23x 84 x 84 (80 + 4)

2 0 x 84= 1680 8 0 x 23 = 18403 x 84 = + 252 4 x 23 = + 92

1932 1932

7. 6 2 (6 0 + 2) 8 . 8 8 (8 0 + 8) x 94 x 76

60 x 94 = 5640 80 x 76 = 60802 x 94 = + 188 8 x 76 = + 608

5828 6688

9. 92 (90 + 2) x _ 3 5

9 0 x 35= 31502 x 35 = + 70

3220

1 0 . 34 3___ 4 = 374 vagy 340x 11 7 + 34

374

1 1 . 85 8 5 = 935 vagy 850 x 11 T T i 85

935

278

Szorzási feladatok a kivonásos módszerhez(89. oldal)

1. 2 9 ( 3 0 - 1 ) x 45

2 .

3 0 x 4 5 = 1350 -1 x 4 5 = - 45

1305

3. 47x 5 9 ( 6 0 - 1 )

6 0 x 4 7 = 28 2 0 -1 x 4 7 = - 4 7

2773

5. 9 6 ( 1 0 0 - 4 ) x 29

100 x 2 9 = 29 0 0 - 4 x 2 9 - - 116

2784

6. 7 9 ( 8 0 - 1 ) x 54

80 x 5 4 = 4 3 2 0 -1 x 54 = - 54

42 6 6

8. 8 7 (9 0 - 3)x 22

90 x 2 2 = 1980- 3 x 22 = n _ 6 6

1914

1 0 . 5 7X 3 9 ( 4 0 - 1)

4 0 x 5 7 = 2280 -1 x 5 7 = - 5 7

2223

9 8 ( 1 0 0 - 2 ).4 3

1 0 0 x 4 3 = 43 0 0 - 2 x 43 = z_Q6

42 1 4

4. 68 (7 0 - 2) x 38

7 0 x 38 = 26 6 0 - 2 x 38 = - 76

2584

vagy 96x 2 9 ( 3 0 - 1)

30 x 9 6 = 2880 -1 x 96 = - 96

2784

7. 3 7x 1 9 ( 2 0 - 1 )

2 0 x 3 7 = 74 0 -1 x 3 7 = : _ 3 7

703

9. 85x _ 3 8 (4 0 - 2)

4 0 x 85 = 3 4 0 0 - 2 x 85 = - 170

3 2 3 0

11. 88x 4 9 ( 5 0 - 1 )

5 0 x 88 = 44 0 0-1 x 88 = ^_88

43 1 2

279

1. 27 x 1 4 = 27 x 7 x 2 = 189 x 2 = 378 vagy 14 x 27= 14 x 9 x 3 = 126 x 3 = 378

2. 86 x 28 = 86 x 7 x 4 = 602 x 4 = 2408

3 . 57 x 14 = 57 x 7 x 2 = 399 x 2 = 798

4 . 81 x 48 = 81 x 8 x 6 = 648 x 6 = 3888 vagy 48 x81 = 48 x 9 x 9 = 432 x 9 = 3888

5. 56 x 29 = 29 x 7 x 8 = 203 x 8 = 1624

6 . 83 x 1 8 = 83 x 6 x 3 = 498 x 3 = 1494

7. 72 x 17 = 17 x 9 x 8 = 153 x 8 = 1224

8 . 85 x 42 = 8 5 x 6 x 7 = 5 1 0 x 7 = 3570

9 . 33 x 16 = 33 x 8 x 2 = 264 x 2 = 528 vagy 1 6 x 33= 1 6 x 11 x 3 = 176 x 3 = 528

10. 62 x 77 = 62 x 11 x 7 = 682 x 7 = 4774

1 1 . 45 x 36 = 45 x 6 x 6 = 270 x 6 = 1620 vagy 45 x 36 = 45 x 9 x 4 = 405 x 4 = 1620 vagy 36 x 45 = 36 x 5 x 9 = 324 x 5 = 1620 vagy 36 x 45 = 36 x 5 x 9 = 180 x 9 = 1620

12. 48 x 37 = 37 x 8 x 6 = 296 x 6 = 1776

Szorzási feladatok a tényezőkre bontás módszeréhez(95. oldal)

Kétjegyű szám ok összeszorzása (96. oldal)Minden megengedett!

1 . 53 X 3 9 ( 4 0 - 1 )

40 x 5 3 = 21 2 0 -1 x 53 = - 53

20 6 7

2 . 8 1 ( 8 0 + 1 ) x 5 7

80 x 5 7 = 4 5 6 01 x 5 7 = + _5 7

4 6 1 7

3. 73 7 3 x 18 = 7 3 x 9 x 2 = 6 5 7 x 2 = 1 3 1 4x 18 (9 x 2) vagy 73 x 18 = 73 x 6 x 3 = 438 x 3 = 1314

vagy 53 (5 0 + 3)x 39

5 0 x 3 9 = 1950 3 x 3 9 = + 117

2067

vagy 5 7 x 8 1 = 5 7 x 9 x 9 = 5 1 3 x 9 = 4 6 1 7

280

4. 89 (9 0 - 1) x 55

vagy 89 x 55 = 89 x 11 x 5 979 x 5 * 4895

90 x 55 = 4950 -1 x 55 « z_55

4895

5. 77 77 x 36 = 77 x 4 x 9 = 308 x 9 = 2772x 36 (4 x 9) vagy 77 x 36 = 77 x 9 x 4 = 693 x 4 = 2772

6 . 92 7.X 53 (50 + 31 *3 90,

5 0 x 9 2 = 4600 872 ̂3 x 92 = + 276 -3 84"

4876

7560 + 32 = 7569

8 . 67x__5fi (60 - 2)

6 0 x 67= 4020 -2 x 67 = - 154

3886

9. 56 (8 x 7) 37 x 56 = 37 x 8 x 7 = 296 x 7 = 2072 x 37 vagy 37 x 56 = 37 x 7 x 8 = 259 x 8 = 2072

10. 59 vagy 5 9 (6 0 - 1 )x _ _ 2 1 ( 2 0 + 1 ) x _ 2 1

2 0 x 59= 1180 6 0 x 21 = 12601 x 59 = +_59 -1 x21 = - 21

1239 1239

vagy 59 x 21 = 59 x 7 x 3 = 413 x 3 = 1239

1 1 . 37X 72 (9 X 8)

37 x 9 x 8 = 333 x 8 = 2664

1 3 . 38x 63 (9 x 7)

38 x 63 - 38 x 9 x 7 = 342 x 7 = 2394

1 2 . 57X 73 (70 + 3)

70 x 57= 39903 x 57 = + 171

4161

14. 43 (40 + 3)x 76

4 0 x 76= 30403 x 76 = + 228

3268

281

43 x 75 = 43 x 5 x 5 x 3 =215 x 5 x 3 = 1075 x 3 = 3225

15. 43X 75 (5 X 5 X 3)

17. 61 (6 0 + 1 ) x 37

60 x 37 = 22201 x 37 = +_37

2257

19. 54 (9 x 6)x 53

54 x 53 = 53 x 9 x 6 = 477 x 6 = 2862

2 1 . 83 (80 + 3) x 58

80 x 58 = 46403 x 58 = + 174

4814

23. 52 (50 + 2) x 47

50 x 47 = 23502 x 47 = + 94

2444

25. 41x J 5 (5 x 3)

41 x 15 = 41 x 5 x 3 = 205 x 3 = 615

27. 34x 27 (9 x 31

34 x 27 = 34 x 9 x 3 = 306 x 3 = 918

1 6 . 74X 62 (60 + 2)

60 x 74 = 44402 x 74 o -f 148

4588

18. 3 6 (6 x 6 ) x 41

41 x 36 = 41 x 6 x 6 =246 x 6 = 1476

20.+3 56

532C ^ J> 2 8 0 0 + 32 = 2809 -3 50

22. 91 (90+ 1) x 46

9 0 x 4 6 = 4140 1 x 46 = + 46

4186

24. 29 (3 0 - 1 )x 26

30 x 26= 780-1 x 26 = ^_26

754

26. 65X 1 9 (2 0 -1 1

2 0 x 6 5 = 1300 -1 x 65 = z_65

1235

28. 69 (7 0 - 1 ) x 78

70 x 78 = 5460 -1 x 78 = z_Z8

5382

282

29. 95x 81 (9 x 9 )

95 x 81 = 95 x 9 x 9855 x 9 = 7695

31. 65.6 9 (7 0 - 1 )

70 x 65 = 4550 -1 x 65 = - 65

4485

33. 41 (40+ 1)93

40 x 93 = 37201 x 93 = + 93

3813

30. 65 (60 + 5)x 47

60 x 47 = 28205 x 47 = + 235

3055

32. 95_26 (20 + 6)

2 0 x 95= 19006 x 95 = + 570

2470

Háromjegyű szám ok négyzetre emelése (105. oldal)

1.

4092;

2.

8052:

3.

2172;

+9 4 1 8 .

^ 9 ^ 4 0 0 "

+ 5 ^ 8 1 0 .

T ^ S O O '

+17 2 3 4 .

^ tT ^ 2 0 0 '

4.

8962:+4 _ 9 0 0 .

-4 892'

167 200 + 92= 167 281

:648 000 + 52 = 648 025

;46 800+ 172 = 47 089

\ *3 20172< T ^ 2 8 0 + 32 = 289

-3 14

: 802 800 + 42 = 802 816

283

5.

3452=♦45_390.

-45 300‘

6.3462:

* 4 6 .3 9 2 .

-46 300'

7.

2762;+24 300.

-27^252 '

8.

6822:+18__700.

-18<$64'

117 000 + 452= 119 025

I +5 504 5 2 < f > 2 0 0 0 + 52 = 2025

-5 40

117 600 + 462= 119 716

462<7 > 2 1 0 0 + 42 = 2116 - 4 42

:75 600 + 242 = 76 176

+ 4 2 8 ^

242̂ ^ > 5 6 0 + 42 = 576 - 4 20

'464 800+ 182 = 465 124

/ +2 20182< T ^ > 3 2 0 + 22 = 324

- 2 1 6

800 + 312 = 185 761

/ +' 323 1 ^ ^ > 9 6 0 + 12 = 961

-1 30

600+ 192 = 609 961

/ *i 20192^ ^ > 3 6 0 + 12 = 361

-1 18

284

11.

9752;♦25 10 0 0 ^

950 000 + 252 = 950 Ó25

/ +5 30252< ^ 3 ^ 6 0 0 + 52 = 625

-5 20

Kétjegyű szám ok köbre emelése (108. oldal)

1. 1232. 173

3. 213

4. 2835. 3336. 3937. 4038. 4439. 523

10. 56311. 653

274

12. 713

1 3 . 783

1 4 . 853614

1 5 . 873

1 6 . 993

= (1 0 x 12 x

= (14 x 17 x

= (20 x 21 x

= (26 x 28 x

= (30 x 33 x

= (38 x 39 x

= (40 x 40 x

= (40 x 44 x

= (50 x 52 x

= (52 x 56 x

= (60 x 65 x 625

= (70 x 71 x

= (76 x 78 x

= (80 x 85 x125

= (84 x 87 x

= (98 x 99 x

14)+ (22 x 12)

20) + (32 x 17)

22) + (12x 21)

30) + (22 x 28)

36) + (32 x 33)

40)+ (12x 39)

40) = 64 000

48) + (42 x 44)

54) + (22 x 52)

60) + (42 x 56)

70) + (52 x 65)

72)+ (12X71) 80) + (22 x 78) 90) + (52 x 85)

1680 + 48 = 1728

4760+ 153 = 4913

9240 + 21 =9261

21 840+ 112 = 21 952

35 640 + 297 = 35 937

59 280 + 39 = 59 319

84 480 + 704 = 85 184

140 400 + 208= 140 608

174 720 + 896= 175 616

273 000+ 1625 =

357 840 + 71 = 357 911

474 240 + 312 = 474 552

612 000 + 2125 =

90) + (32 x 87) = 657 720 + 783 = 658 503

100) + (12 x 99) = 970 200 + 99 = 970 299

285

5. Oszd meg és uralkodj: Osztás fejben Osztás egyjegyű számmal (113. oldal.)1. 2 .

31 8 / 9 = 3 5 3 /9 7 2 6 / 5 = 145 1/5

318- 27 0 (3 0 x 9)

48- 4 5 (5 x 9)

3 m aradék

3.4 2 8 / 7 = 61 1/7

428 - 4 2 0 (6 0 x 7)

8= 7 (1 x 7 )

15.

1328 / 3 = 44 2 2/3

1328- 1200 (4 0 0 x 3)

128- 120 (4 0 x 3)

8z 6 (2 x 3)

2

7 2 6- 5 0 0 (1 0 0 x 5)

226 - 2 0 0 (4 0 x 5)

26- 25 (5 x 5)

14.

2 8 9 / 8 = 3 6 l/ó

289 - 2 4 0 (3 0 x 8)

4 9- 4 8 (6 x 8)

16.

27 8 2 / 4 = 6 9 5 2/4

2782 - 2 4 0 0 (6 00 x 4)

382 - 3 6 0 (9 0 x 4)

22- 20 (5 x 4)

2

Osztás kétjegyű szám okkal (123. oldal)

1. 2 .73 8 / 17 = 4 3 7/17 591 / 24 = 2 4 15/24

73 8 591- 6 8 0 (40 x 17) - 48 0 (2 0 x 241

58 111^ 5 1 ( 3 x 17) - 9 6 (4 x 24)

7 15

286

3. 4.321 / 79 = 4 5/79 4268 / 28 = 152 12/28

5.

321- 3 1 6 (4 x 79)

5

7214 / 11 = 655 9/11

7214- 6600 (600 x 11)

614- 550 (50 x 11)

64z _ 5 5 (5 x 11)

9

6.

4268- 2800 (100 x 281

1468- 1400 (50 x 28)

68i_56 (2 x 28)

12

3074 / 18 = 170 U/18

3074- 1800 (100 x 18)

1274- 1260 (70 x 18)

14

Váltás tizedes törtre (128. oldal.)

1. 2. 3.2 = 0 ,40 - = 0,571428 3 = 0,3755 7 8

4. 5. 6.-2- = 0,75 A = 0,4166 A = 0,5454

7. 8. 9.14 = 0,5833 13 = 0,481 = 0,375

24 27 48

10. 11. 12.10 = 0,714285 A = 0,1875 12 = 0,42214 32 45

287

Az oszthatóság eldöntése (131. o.)Oszthatóság 2-vel

1. 2. 3. 4.53 428 293 7241 9846

Igen Nem Nem Igen

Oszthatóság 4-gyel

5. 6. 7. 8.3932 67 348 358 57 929Igen Igen Nem Nem

Oszthatóság 8-cal

9. 10. 11. 12.59 366 73 488 248 61H

Nem Igen Igen Nem

Oszthatóság 3-mal13.

83 671Nem, mert 8 + 3 + 6 + 7 + 1 = 25

14.94 737

Igen, mert 9 + 4 + 7 + 3 + 7 = 3 015.

7359Igen, mert 7 + 3 + 5 + 9 = 24

16.3 267 486

Igen, mert 3 + 2 + 6 + 7 + 4+ 8 + 6 = 36

Oszthatóság 6 -tal

17.5334

Igen, mert 5 + 3 + 3 + 4 = 1518.

67 386Igen, mert 6 + 7 + 3 + 8 + 6 = 30

288

19.248

Nem, mert 2 + 4 + 8 = 1420 .

5991Nem, mert páratlan szám

Oszthatóság 9-cel 2 1 .

1234Nem, mert 1 + 2 + 3 + 4 = 10

2 2 .8469

Igen, mert 8 + 4 + 6 + 9 = 2723.

4 425 575 Nem, mert 4 + 4 + 2 + 5 + 5 + 7 + 5 = 32

24.314 159 265

Igen, mert 3+ 1 + 4 + 1 + 5 + 9 + 2 + 6 + 5 = 36

Oszthatóság 5-tel25. 26.

47 830 43 762Igen Nem

Oszthatóság 11 -gyei29.

53 867Igen, mert 5 - 3 + 8 - 6 + 7= 11

31.3828

Igen, mert 3 — 8 + 2 — 8 = —11

Oszthatóság 7-tel33.

5784Nem, mert 5784 - 7 = 5770

5 7 7 -7 = 57057

27.56 785

Igen

28.37 210

Igen

30.4969

Nem, mert 4 - 9 + 6 - 9 = - 8

32.941 369

Igen, mert 9 - 4 + 1 - 3 + 6 - 9 = 0

34.7336

Igen, mert 7336 +14 = 7350 7 3 5 - 35= 700

7

289

35. 36.875 1183

Igen, mert 875 - 35 = 840 Igen, mert 1183 + 7 = 1190 8 4 - 1 4 = 70 119 + 21 = 140

7 14

Oszthatóság 17-tel

37. 38.694 629

Nem, mert 694 - 34 = 660 Igen, mert 629 + 51 = 680 66 68

39. 40.8273 13 855

Nem, mert 8273 +17 = 8290 Igen, mert 13 855 + 85 = 13 940 829 + 51= 880 1394-34 = 1360

88 136 + 34 = 17017

Törtek szorzása (133. oldal)1. 6

352. 44

633. 18 _ 9

28 144. 63

80

Törtek osztása (133. oldal)1. 4

52. 5

183. 10

15_ 2

3

Törtek egyszerűsítése (134. oldal)1. 1 _ 4

3 122. 5 _ 10

6 123. 3 = _9

4 124. 5 _

23012

10 56. 6 _ 2

15 57. 24 _ 2

36 38. 20 .

36_ 5

9

Törtek összeadása (135. oldal)

1. 2 + 5 _ 7 2. _5. + J = _2 = 39 9 9 12 12 12 4

3. _5_ + _ 6 _ - ü 4 . _3 + _3 _ _6 _ 318 18 18 10 10 10 5

290

Törtek összeadása (különböző nevezők/ 136. oldal)1. 1 + _L-_2 + _L = _3 2. 1 + _5 = _3 + _5 = _8 = 4

5 10 10 10 10 6 18 18 18 18 9

3. l + l_ _ 5 + _3__8 4. 2 + _5 = _ó + _5 = i l3 5 15 15 15 7 21 21 21 21

5. 2 + 3 „ 8 + 9 _ J_7 6 . 3 + 3 = ]5 + 21 = 363 4 12 12 12 7 5 35 35 35

7. _2 + 5 _ i 8 + 5 5 _ 7 311 9 99 99 99

Törtek kivonása (137. oldal)

1. _ 8 _ 3 _ _ 5 2. 12 _ 8 _ 411 11 11 7 7 7

3. 13 _ _5 _ _8 = 4 4. 4 _ J = J 2 _ _ L = U 18 18 18 9 5 15 15 15 15

5. _ 9 _ 3 _ _ 9 _ _ ó = _3 6 . 3 _ 2 = _ 9 _ _ 8 _ J . 10 5 10 10 10 4 3 12 12 12

7. Z - 1 = 14 _ _L _ 13 8 . 4 _ 2 _ 2 0 _ 1 4 _ _ 6 8 16 16 16 16 7 5 35 35 35

9 . 8 _ 1 _ 16 _ 9 _ 79 ? ~ T 8 r e ’ re

291

6 . A találgatás művészete Becslés az összeadásoknál (158. oldal)

Pontos érték1. 1479 2. 57 293 3. 312 025

+ 1105 + 37 421 +79 4192584 94 714 391 444

Becsült érték

1. 1500 vagy 1480 2. 57 000+ 1100 + 1100 + 37 000

2600 2580 94 000

3. 310 000 vagy 312 000 4. 9 millió+ 80 000 +79 000 + 4 millió390 000 391000 13 millió

Pontos érték Becsült érték267 250195 200735 750921 90049 50

1121 110012 0

614 600+ 831 + 8504745 4700

Becslés a kivonásoknál (158. oldal)

Pontos érték1. 2. 3.

4926 67 221 526 978- 1659 - 9 87A - 42 009

3267 57 347 484 969

4. 8 971 011+ 4 016 36712 987 378

vagy 57 300 + 37 400

94 700

vagy 8,9 millió + 4.0 millió 12,9 millió

vagy 8,97 millió + 4.02 millió 12,99 millió

8 349 241 - 6 103 839

2 245 402

292

Becsült érték

1. 2. 3. 4.4900 67 000 530 000

- 1700 - 10 000 - 40 OOP3200 57 000 490 000

Becslés az osztásoknál (159. oldal)

Pontos érték 1. 2.

4379 / 7 = 625,57 23 958 / 5 =

3. 4.549 213 / 13 = 42 247,15 5 102 357 / 289

5. 8 329 483 / 203 637 = 40,90

Becsült érték1. 4 4 0 0 / 7 = 6302. 24 0 0 0 / 5 = 48003. 550 0 0 0 / 13 = 42 000

4. 5 100 000 / 300 51 000 / 3 = 17 000

5. 8 000 0 0 0 /2 0 0 000 2 0 0 /8 0 0 0 = 40

Becslés a szorzásoknál (160. oldal)Pontos érték

1. 2. 3. A98 76 88

x 27 x 42 x 882646 3192 7744

5. 6 . 7. 8312 639 428

x 98 x 107 x 31330 576 68 373 133 964

9 . 10.104 972 5 462 741

x t I 201 x___________203 4131 175 791 372 1111 192 535 033

8,3 millió - 6,1 millió

2,2 millió

4791,6

= 17 655,21

539 x 17 9163

51 276 489

25 073 964

293

Becsült érték

1. 2. 3. 4.100 78 9 0 54 0

x 25 x 40 x 8 6 x 172 5 0 0 3 1 2 0 7 7 4 0 9 1 8 0

6. vagy 7. 8.6 4 6 64 0 4 3 0 51 00 0

x 100 X 110 x 3 1 0 x 49 064 6 0 0 7 0 40 0 133 3 0 0 24 9 9 0 00 0

9. 10.105 0 0 0 5 5 0 0 00 0

x 11 0 0 0 x 20 00 0

5.310

x 10031 000

1 15 5 millió = 1 .155 milliárd 1100 milliárd = 1 . 1 billió

Becslés a négyzetgyök kiszám olásánál (160. oldal)

Pontos eredm ény (százados pontosságig)

1. 2. 3.V T7 = 4 ,12 v^35 = 5,91 v T ó 3 = 12 ,76

4. 5.V4279 = 65,41 V8039 = 89,66

O ssz és átlagolj1 . 1 7 / 4 = 4 ,2 4 + 4 .2 = 4.1 2 . 3 5 / 6 = 5 .8 6 + 5 .8 = 5 .9

2 2

3. 163/10= 16,3 10+16.3= 13,152

4. 4 2 7 9 / 6 0 = 71 6 0 + 71 = 6 5 ,52

5. 8 0 3 9 / 9 0 = 8 9 9 0 + 8 9 = 8 9 ,52

Hétköznap matek (160. oldal)

1 . 8 8 0 + 4 4 0 = 1 3 2 02. 530 + 265 = 7953. 7 4 0 0 / 2 / 2 = 1 8 5 04. Mivel 7 0 / 10 = 7 év

294

5.6.

7.

8.

9.

Mivel 70 / 6 = 11,67 = 12 év kell ahhoz, hogy megduplázódjon Mivel 1 1 0 / 7 = 15,857 = 16 év kell ahhoz, hogy meghárom­szorozódjonMivel 7 0 / 7 = 10 év kell ahhoz, hogy megduplázódjon, és még 10 év ahhoz, hogy ismét megduplázódjon, ezért 20 év kell ahhoz, hogy megtriplázódjon.M = 1 000 000(0,00751(1,0075)’20 = 1 9 ^7n

(1 ,0075)'20- 1 M = 300 000(0,004167)( 1,004167)** = 693o

(1,004167)43- 1

7. Matek a táblán

Számoszlopok (182. oldal)

1A7?

---- ►

l .W107 w ft

7H4 w A3^8 W 7210 ----► 3

+ 916 ► 711 475 9

2.21,56 19,38

211,02 9,16

26,17 + 1.43 288,72

-►5 -► 3 -►6-► 7 -► 7 -► 3

9

Kivonás papíron (183. oldal)1 . 75 423 -------- ► 3 2. 876 452

- 46 298 -------- ► 2 - 593 87629 125 -------- ► 1 282 576

3. 3 249 202 - 2 903 445

345 757

-►4-►9-►4

4. 45 394 358 - 36 472 659

8 921 699

-►5 -► 6 -►8

A négyzetgyök kiszám ítása papíron (183. oldal)

1. V l5,0000 = 3,87 2 . ^502,0000 = 22,4032 = 9

60068 x 8 = 544

5600767 x 7 = 5369

22 = 4102

4 2 x 2 = 84

444 x 4

4480 x 0

180017762400

0

295

22 = 4____039

4 0 x 0 = 0

3. V439,2000 = 20,95

3920409 x 9 = 368)

239004185 x 5 = 20925

4 . V 30I = 19 pontosan 12= 1

26129 x 9 = 261

0

Szorzás papíron (184. oldal)

1.

4.

54x J J T .1998

3309

9 490 212

5.

• 9 J .• 9

•6

—► 9

52 819 4Z. 820 .

2. 27321L

59 241

3. 725jS09

441 525

2 525 804 580

7 6 . 3 923 759 3 *________ 2 .6 Z á m3 10 492 496 475 5 87

9. A nehéz dolgok könnyűvé tétele

Négyjegyű szám ok négyzetre emelése (204. oldal)

1.1468

♦234/ fájává12342 v / 1 4 6 8 000 ,34 268

— x ----------------- - 342/ \-34 ' - - y

-234 N1000 + 54 7 5 6 (2342) 2 3 4 2 ' ^ 53 6001 522 756 _34 200 + 1 156 (342)

54 756

296

00 co

lo Cn

9000♦3ól / la z á n

86392 / ^ 7 4 502 000 +39 400-361 8278 + 130 321(3612} 3 612/ \

74632 321 "39 3 22

2.

3 .5624

+312 / \ tenisz 53122 \ / 28 120 000 +12 324

-3»2 5000 + 97 3 4 4 (3122) 312 2 / \ 28 217 344 " 12 300

4 .10 000

+ 1 3 7 / \ nasi 98632 \ / 97 260 000 +37 174

-137 9726 + 18 769 (1372) 1 3 7 */ \97 278 769 100

5 .4000

+382 / \ borra 40036182 \ / 12 944 000 +13/ \

-382 3236 + 145 924 (3822) 3392 v /13 089 924 "18 364

6.3000

+29 / \ (kódra nincs szükség) 29712 \ / 8 826 000

-29 2942 + 841 (292)8 826 841

128 800 + 1 521 (392) 130 321

97 200 + 144 (122) 97 344

17 400+ 1 369 (372)18 769

145 600 + 324(182) 145 924

297

Háromjegyű szám ok szorzása kétjegyű szám okkal- az összeadásos, kivonásos és a tényezőkre bontás módszerével (2 1 0 . oldal)

1. 858x 1 5 (5 x 3 )

858 x 15 = 858 x 5 x 3 = 4290 x 3 =12 870

3. 148 vagyx 62 (60 + 2)

60 x 148 = 88802 x 148 = ->• 296

9176

4. 773 x 42 (7 x 6)

773 x 42 = 773 x 7 x 6 =5411 x 6 = 32 466

6 . 952 (950 + 2) 7x____26

950 x 26 = 24 7002 x 26 = + 967

49 317

967x____ 51 (51 + 1)48 350 ♦ 96749 317

10. 1 2 6 ( 9 x 7 x 2 )x 87

126 x 87 = 8 7 x 9 x 7 x 2 =783 x 7 x 2 = 5 481 x 2 = 10 962

1 2 . 616 (610 + 6) x. 37

6 1 0 x 37 = 22 5706 x 37 = + 222

22 792

2. 796 (800 - 4)x____ 19

800 x 19= 15 200-4 x 19 = =____76

15 124

148 (74 x 2)x 62 (60 + 2)

62 x 148 = 62 x 74 x 2 =4588 x 2 = 9176

5. 906 (900 + 6)x___ 46

900 x 46 - 41 400 6 x 4 6 = + 296

41 676

411 (410+ 1) x 93

410 x 93 = 38 1301 x 93 - +____93

38 223

9. 484x 75 (5 x 5 x 31

484 x 75 = 484 x 5 x 5 x 3 = 2,420 x 5 x 3 = 12 .100x 3 = 36 300

11. 157x 33 (11 x 3)

157 x 33 = 157 x 11 x 3 = 1727 x 3 = 5181

13. 841x 72 (9 x 8)

841 x 72 = 841 x 9 x 8 = 7569 x 8 = 60 552

8.

50 x 967 = 1 x 967 =

298

14. 361 (360 + 1 41

360x411 x 41

16.

14 760+___4114 801

538 (540 - 2) 53

540 x 53 = 28 620 -2 x 53 = - 106

28 514

17. 817 61 (6 0 + 1 )

6 0 x 817 = 49 020 1 x 817 = + 817

49 837

19. 499 (5 0 0 - 1 ) 25

5 0 0 x 2 5 = 1 2 500-1 x 25 = =____25

12 475

2 1 . 281x 44 (11 x 4)

281 x 44 = 281 x 11 x 4 3091 x 4 - 12 364

22 .

1000x 22 = 22 000-12 x 22 = - 264

23 736

24. 589 (6 0 0 -1 1 ) 87

600 x 87 = 52 200 87 x - 11 = - 957

51 243

15. 21868 (7 0 - 2 )

7 0 x 218 = 15 260 - 2 x 2 1 8 = - 436

14 824

vagy 538 (530 + 8) _ 5 3

530 x 53 = 28 090 8 x 53 = + 424

28 514

18. 668x 63 (9 x 71

668 x 63 = 668 x 9 x 7 = 6 0 1 2 x 7 = 42 084

20 . 144X 56 (7 X 8 )

144 x 56 = 144 x 7 x 8 1008 x 8 = 8064

vagy 281 (2 8 0 + 1 ) _4 4

280 x 44 = 12 320 1 x 44 = + 44

12 364

988 (1000-12) 22

23.

383 x 49 2681 x 7

25.

383x 49 (7 x 7)

383 x 7 x 7 18 767

286 x 64 (8 x 8)

286 x 64 = 286 x 8 x 8 288 x 8 = 18 304

299

26.

853 x 32 = 824 x 4 =

28.

423 x 6 5 .3 055 x 9

30.

800 x 3434 x 34

32.

650 x 6< 3xó<

34.

10 0 x 822-5 x 822

853x 32 (8 x 41

= 853 x 8 x 4 = 6 27 296

27. 878x 24 (8 x 31

878 x 24 = 878 x 8 x 3 = 7024 x 3 = 21 072

423 (47 x 9) x 6547 x 9 x 65=

= 27 495

834 (800 + 34) 34

27 200 ■f 115628 356

653 (650 + 3) 69

? = 44 850> = ±___ 69

45 057

82295 (1 0 0 -5 )

= 82 200 = -4 1 1 0

78 090

29. 1 5 4 (1 1 x 1 4 )x 19

154 x 19= 11 x 14 x 19 = 209 x 7 x 2 = 1463 x 2 = 2926

31. 545x 27 (9 x 31

545 x 27 = 545 x 9 x 3 = 4 9 0 5 x 3 = 14 715

33. 216 (6 x 6 x 6) x 78

2 1 6 x 7 8 = 6 x 6 x 6 x 7 8 468 x 6 x 6 = 2 808 x 6 =16 848

300

Ötjegyű szám ok négyzetre emelése (215. oldal)

1. 45 79527 9 5 (8 00 - 5)

x 45 80 0 x 4 5 = 3 6 00 0

- 5 x 4 5 = - 225 lea láz35 7 7 5 x 2 0 0 0 = 71 5 5 0 00 0

71 5 5 0 0 0 0 *5 80045 0002 = + 2 0 2 5 0 0 0 0 0 0 7 9 5 2 ^ 63 2 0 0 0

2 09 6 5 5 0 0 0 0 S -5 7 9 0 ±_____ 25 (5 2)7952 = + 6 3 2 0 2 5 X 632 02 5

2 0 9 7 182 02 5

2. 21 2 3 1 2231

x 21 ( 7 x 3 )

231 x 7 x 3 = 1 6 1 7 x 3 = 4851

köszöni4851 x 2 0 0 0 = 9 7 0 2 0 0 0 262

21 00Q2 = + 441 0 0 0 0 0 0 +3l / \4 5 0 70 2 0 0 0 2312 ^ . 5 4 20 0

2312 = + 5 3 361 -3! \ / + 961 (312)4 5 0 75 5 361 20 0 5 3 361

3. 58 3242324 (9 x 6 x 6) x 58

324 x 58 = 58 x 9 x 6 = 522 x 6 x 6 =

3 1 3 2 x 6 = 18 792

lóvér18 79 2 x 2 0 0 0 = 3 7 58 4 0 0 0 348

58 00Q2 = + 3 364 0 0 0 0 0 0 + 24/^ \3 401 58 4 0 0 0 3242 104 40 0

3 2 4 2 = + 104 9 7 6 / + 57 6 (242)3 4 0 1 6 8 8 97 6 30 0 104 976

301

4. 62 4572457

X____62 (60 + 2)60 x 457 = 27 4202 x 457 = + 914 csacsivá

28 334 x 2000 = 56 668 000

56 668 000 50062 0002 = + 3 844 000 000 +43/ \

3 900 668 000 4572 ^ >207 000 (500 x 414) 4572 = + 208 849^ -43X / + 1 849 (432)

3 900 876 849 414 208 849

5. 89 8542854

x 89 (9 0 -1 )90 x 854 = 76 860-1 x 854 = - 854 szitán

76 006 x 2000=152 012 000

152 012 000 90089 0002 = + 7 921 000 000 v

8 073 012 000 8 5 4 2 ^ > 727 200 (900 x 808) 8542 = + 729 316 -4 ó \ / + 2 11 6 Í4621

8 073 741316 808 729 316

6 . 76 9342934 (930 + 4)

x___76930 x 76 = 70 680

4 x 76 = + 304 epesav70 984 x 2000= 141 968 000

968141 968 000 +34/ \

76 0002 = + 5 776 000 000 9342 871 200 (968 x 900) 5 917 968 000 f - 3a\ / -»• 1 156 (342)

9342 = + 872 356 900 872 356 5 918 840 356

302

Háromjegyű számok szorzása háromjegyű szám okkal (227. oldal)

1. 644 (640 + 4)x 286

6 4 0 x 286 = 183 0404 x 200 = + 800

183 8404 x 86 = + 344

184 184vogy

644 (7 x 92) x 286

684 x 286 = 286 x 7 x 92 = 2002 x 92 - 184 184

2. 596(600 - 4) x 167

600 x 167= 100 200- 4 x 167 = - 668

99 532

3. 853x 325 (320 + 5)

320 x 853 = 272 9605 x 853 = + 4 265

277 225

4. 343 (7 x 7 x 7)x 226

343 x 226 = 226 x 7 x 7 x 7 = 1582 x 7 x 7 = 11 074 x 7 =

77518

5 . 809 (800 + 9) x .. 527

800 x 527 = 421 6009 x 527 = + 4 743

426 343

6 . 942 (+ 42) x 879 (-21)

900 x 921 - 828 900 -21 x 42 = - 882

828 018

303

700 x 636 (-8) x (-56)

7.

8.

4 4 6 x 176 =

= 78 496

9.

658 x 468 = 7 x 2 = 1 5 3

10.

273 x 138 =

11.824 x 200 824 x 6

12.

642 x 249 =

13.

783 x 589 =

14.

900 x 897 -29 x 26

692 (+8) x 644 (-56)

= 445 200 = + 448

445 648

446x 1 7 6 (11 x 8 x 2)

446 x 11 x 8 x 2 = 4906 x 8 x 2 = 39 248 x 2

658 (47 x 7 x 2) x 468 (52 X 9)

= 52 x 4 7 x 9 x 7 x 2 = 2444 x 9 x 7 x 2 = 21 996 x972 x 2 = 307 944

273 (91 x 3) x 138 (46 x 3)

■ 91 x 46 x 9 = 4186 x 9 = 37674

824x 206

= 164 800= + 4 944

169 744

642 (107 x 6 ) x 249 (83 x 3)

107 x 83 x 18 = 8881 x 9 x 2 = 79 929 x 2 = 159 858

783 (87 x 9) x 589

= 5 8 9 x 8 7 x 9 = 51 243 x 9 = 461 187

871 (-29) x 926 (+26)

= 807 300= z____754

806 546

304

15. 3412LZL5

7 x 341 = 23873 x 15 = + 45

2432 x 100 = 243 00041 x 15 a + 615

243 815

16. 417X 298 (300 - 2)

300 x 417= 125 100 - 2 x 4 1 7 = - 834

124 266

1 7 . 557x 756 (9 x 84)

557 x 756 = 557 x 9 x 84 = 5013 x 7 x 6 x = 2 1 0 5 4 6 x 2 = 421 092

18. 9 7 6 (1 0 0 0 -2 4 ) x §78

1000 x 878 = 878 000- 24 x 878 = - 21 072

856 928

19. 765x 350 (7 x 5 x 10)

765 x 350 = 765 x 7 x 5 x 10 = 5355 x 5 x = 267 750

20. 154(11 x 14) x 423 (47 X 9)

154 x 423 = 47 x 11 x 14 x 9= 517 x 9 x 7 = 9 3 0 6 x 7 = 65 142

21 . 5 4 5 (1 0 9 x 5) x 834

100x 834= 83 4009 x 834 = + 7 506

90 906 x 5 = 454 530

2 = 35 091 x 6 x 2

10 = 26 775 x 10

x 2 = 4653 x 2 x 7

305

216 x 653 = 653 x 6 x 6 x 6 = 3918 x 6 x 6 = 23 508 x 6 = 141 048

22. 216(6x6x6)x 653 (83 x 3)

23. 393 (400 - 7)x 822

400 x 822 = 328 800 -7 x 822 = - 5 754

323 046

Ötjegyű szám ok szorzása (233. oldal)

1. 65 154x 19 423

nagy rabló 423 x 6 5 = 27 495 154 x 19 = + 2 926

30 421 x 1000 =65 x 19 x 1 millió =

154 x 423 =

34 545 x 27 834

834 x 34 545 x 27

nevem: Laja = 28 356 = + 14715

43 071 x 1 000 34 x 27 x 1 millió

834 x 545

69 216 x 78 653

relé szálka 653 x 69 = 45 057216 x 78 = +16 848

61 905 x 100069 x 78 x 1 millió

21 6 x6 5 3

hómezőrend30 421 000

+ 1 235 000 000 1 265 421 000

+ 65 1421 265 486 142

Róma székét 43 071 000

+ 918 000 000 961 071 000

+ 454 530 961 525 530

csatába, szél!61 905 000

±3 382 000 0005 443 905 000

+ 141 0485 444 046 048

306

4 . 95 393x 81 822

kefe szabász 822 x 95 = 78 090393 x 81 = + 31 833 tüzbe bényomá

109 923 x 1 000= 109 923 00095 x 81 x 1 millió = + 7 695 000 000

7 804 923 000 393 x 822= + 323 046

7 805 246 046

Melyik napon születtél? (257. oldal)

1. 2007. január 19-e péntek: 6 + 19 + 1= 26; 26-21 =52. 2012. február 14-ekedd: 1 + 14 + 1 = 16; 16 - 14 = 23. 1993. június 20-a vasárnap: 3 + 5 + 20 = 28; 28 - 28 = 04 . 1983. szeptember 1 -je csütörtök: 4+1 + 6=11 ; 11 - 7 = 45. 1954. szeptember 8-a szerda: 4 + 8 + 5= 17; 17 - 14 = 36 . 1863. november 19-e csütörtök: 2 + 19 + 4 = 25; 25-21 =47. 1776. július 4*e csütörtök: 5 + 4 + 2=11 ; 11- 7 = 48 . 2222. február 22-e péntek: 2 + 22 + 2 = 26; 26 - 21 = 59. 2468. június 31-e, nem létezik (mivel a június hónapban csak

30 nap van), de 2468. június 30-a szombat, úgyhogy az ezt követő nap vasárnap

10. 2358. január 1 -je szerda: 6+1 + 3 = 10; 1 0 - 7 = 3

307

Bibliográfia

Gyors szám olásokCutler, Ann, and Rudolph McShane. The Trachtenberg

Speed System of Basic Mathematics. New York: Doubleday, I960.

Devi, Shakuntala. Figuring: The Joys of Numbers. New York: Basic Books, 1964.

Doerfler, Ronald W. Dead Reckoning: Calculating Without Instruments. Houston: Gulf Publishing Company, 1993.

Flansburg, Scott and Victoria Hay. Math Magic. New York: William Morrow and Co, 1993.

Handley, Bill. Speed Mathematics: Secrets o f Lightning Mental Calculation. Queensland. Australia: Wrightbooks, 2003.

Julius. Edward H. Rapid Math Tricks and Tips: 30 Days to Number Power. New York: John Wiley & Sons, 1992.

Lucas. Jerry. Becoming a Mental Math Wizard. Crozet, Virginia: Shoe Tree Press, 1991.

Menninger. K. Calculator’s Cunning. New York: Basic Books: 1964.

Smith, Steven B. The Great Mental Calculators: The Psychology. Methods, and Lives of Calculating Prodigies, Past and Present. New York: Columbia University Press, 1983.

Sticker. Henry. How to Calculate Quickly. New York: Dover, 1955.

Stoddard, Edward. Speed Mathematics Simplified. New York: Dover, 1994.

Tirtha, Jagadguru Swami Bharati Krishna, Shankaracharya of Govardhana Pitha. Vedic Mathematics or “Sixteen

309

Simple Mathematical Formulae from the Vedas.” Banaras Hindu University Press, 1965.

MemóriaLorayne, Harry, and Jerry Lucas. The Memory Book.

New York: Ballantine Books, 1974.Sanstrom. Robert. The Ultimate Memory Book. Los

Angeles: Stepping Stone Books, 1990.

Szórakoztató matematikaGardner, Martin. Magic and Mystery. New York:

Random House, 1956.Gardner, Martin. The Unexpected Hanging and Other

Mathematical Diversions. New York: Simon & Schuster, 1969.

Gardner. Martin. Mathematical Magic Show. New York: Random House, 1977.

Gardner. Martin. Mathematical Carnival. Washington,D.C.: Mathematical Association of America, 1989.

Huff, Darrell. How to Lie with Statistics. New York: Norton, 1954.

Paulos, John Allen. Innumeracy: Mathematical Illiteracy and Its Consequences. New York: Hill and Wang, 1988.

Stewart, Ian. Game, Set, and Math: Enigmas and Conundrums. New York: Penguin Books, 1989.

M agasabb szintű matematika(irta Arthur Benjamin)

Benjamin, Arthur T. and Jennifer J. Quinn. Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. Washington: Mathematical Association of America, 2003.

Benjamin, Arthur T. and Kan Yasuda. Magic “Squares” Indeed!, The American Mathematical Monthly, Vol.

Dp. 152-156, February, 1999.

310