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ASINTOTAS BACHILLERATO

ASINTOTAS ASÍNTOTA VERTICAL Para calcular la asíntota vertical lo primero que tenemos que saber y tener claro es lo siguiente: las únicas funciones que van a tener asíntota vertical son; función racional !(#)

%(&) y la función logarítmica.

Los pasos para calcular la asíntota son los siguientes: • Analizamos cuando el denominador se hace cero en las funciones racionales y cuando se hace

cero lo que se encuentra dentro del logaritmo en las funciones logarítmicas. • Cuando tenemos los valores de 𝑥 que cumplen nuestro requisito de hacer cero cada una de las

cosas, tenemos que calcular los limites laterales en dichos puntos para determinar si la función será ±∞.

Veamos un ejemplo para dejar claras las cosas:

𝑦 =𝑥' − 5𝑥 + 7

𝑥 − 2

El primer paso, determinar cuando el denominador se hace cero: 𝑥 − 2 = 0 → 𝑥 = 2

Ahora lo que tenemos que hacer es calcular los limites laterales en dicho punto:

lim#→'!

𝑥' − 5𝑥 + 7𝑥 − 2 𝑦 lim

#→'"𝑥' − 5𝑥 + 7

𝑥 − 2

lim#→'!

𝑥' − 5𝑥 + 7𝑥 − 2 =

(2,1)' − 5(2,1) + 7(2,1) − 2 =

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 = +∞

lim#→'"

𝑥' − 5𝑥 + 7𝑥 − 2 =

(1,9)' − 5(1,9) + 7(1,9) − 2 =

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = −∞

¿Qué quiere decir estos valores? Como podéis observar, cuando nos acercamos a 2 por la izquierda los valores de 𝑦 se van a −∞.Por el contrario si nos acercamos a 2 por la derecha la función toma valores de 𝑦 que tienden a +∞. En definitiva, gracias al calculo de las asíntotas verticales logramos información necesaria para representar la función gráficamente. El mismo proceso tendríamos que emplear en el caso de una función logarítmica.

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ASÍNTOTA HORIZONTAL Para el calculo de las asíntotas horizontales simplemente tenemos que calcular los limites cuando 𝑥 → ±∞ de la función. Si la función tiene un valor para el limite que sea el mismo para ambos, esto quiere decir que la función tiene una asíntota horizontal en dicho punto. Veamos un ejemplo practico:

𝑦 =𝑥' + 1𝑥' − 2𝑥

Como estamos analizando la existencia de asíntotas horizontales, directamente pasaremos a calcular los limites de la función cuando 𝑥 → ±∞.

lim#→)

𝑥' + 1𝑥' − 2𝑥 =

∞∞ → 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 → 1

lim#→*)

𝑥' + 1𝑥' − 2𝑥 =

∞∞ → 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 → 1

La resolución de estos limites ya la hemos visto en apartados anteriores. Si tenéis algún problema id al apartado: indeterminación )

).

Continuando con el ejercicio, como el valor de ambos limites es el mismo, podemos afirmar la existencia de una asintota horizontal en 𝑦 = 1. ¿Qué quiere decir esta información? Como podemos observar en la imagen, la grafica presenta una asíntota horizontal en 𝑦 = 1, esto quiere decir que cuando cogemos valores de 𝑥 → ±∞ la función se acerca a 𝑦 = 1.

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ASÍNTOTA OBLICUA Lo primero que tiene que quedar claro es lo siguiente: UNA FUNCION RACIONAL 𝑦 = !(#)

%(#) SI TIENE

ASINTOTA HORIZONTAL, NO TIENE OBLICUA. Para calcular este tipo de asíntotas tenemos dos procedimientos:

• Procedimiento general (Para cualquier función) La expresión de una asíntota oblicua es: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, por tanto, es lo que tenemos que lograr

obtener. Para ello:

𝑚 = lim#→)

𝑓(𝑥)𝑥 𝑦𝑛 = lim

#→)(𝑓(𝑥) −𝑚𝑥)

• Procedimiento para funciones racionales !(#)

%(#) ;

Para calcular una asíntota en cualquier función racional lo que tendremos que hacer es, la división algebraica del polinomio 𝑃(𝑥) entre el polinomio 𝑄(𝑥).

Veamos un ejemplo para entenderlo mejor:

𝑓(𝑥) =4𝑥' + 1

𝑥

Veamos el resultado utilizando ambos procedimientos: • Particular:

• General: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

𝑚 = lim#→)

4𝑥' + 1𝑥𝑥 = lim

#→)

4𝑥' + 1𝑥' =

∞∞ → 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 → 4

𝑛 = lim#→)

(4𝑥' + 1

𝑥 − 4𝑥) = lim#→)

(4𝑥' + 1

𝑥 −4𝑥'

𝑥 ) = lim#→)

(+1𝑥 ) = 0

Nuestra función tiene una asíntota oblicua en 𝑦 = 4𝑥.

𝑥

4𝑥' + 1 4𝑥

−4𝑥'

1

El resultado de esta división algebraica es la asíntota oblicua de la función.