Chapter 5

La limite de Roche

Dans les cas extremes les forces de marees peuvent deformer les corps celestes au point de les briser.Certains anneaux planetaires, comme ceux de Saturne, serait le resultat de l’eclatement d’un satellitesous l’e↵et des forces de marees. Nous allons voir ici qu’il existe une distance limite entre deux corpsavant que l’un d’eux ne se brise. Cette distance est connue sous le nom de “limite de Roche” du nom del’astronaute francais Edouard Roche, qui fit le calcul pour la premiere fois au 19eme siecle.

Figure 5.1: La limite de Roche: Le rayon et la densite de la planete sont R et ⇢M . Ceux du satellite sontr et ⇢m

La force de maree due a la masse M en negligeant la rotation du satellite autour de la planete sur lesatellite ci-dessus a point A et point B serait.

aM (B) =2GM

d3r

En prenant compte de l’orbite avec une vitesse angulaire de ! = 2⇡P , il faut ajouter une acceleration

centripte de a = !2d ou d est la distance entre le centre de la planete et le centre du satellite. Cetteacceleration centrip‘ete ajit sur la surface du satellite selon sa distance du centre de la planete de sorteque l’acceleration au point A est aA = !(d � r), celle de point C est aC = !d, et celle de point B estaB = !2(d+ r).

34

Figure 5.2

A cause de l’acceleration centrip‘ete vers la planete, une “pseudoforce” se ressent a la surface de la planeteavec une norme egale a celle de la force centripete mais en sens inverse. Pour chercher l’accelerationdi↵erentielle ressentie au point A ou au point B, on soustrait la pseudoforce ressentie au point C. Cespseudoforces ressenties revient a

a(B) = !2(dr)� !2d

= !2r

La troisime loi de Kepler nous dit aussi que

d3

P 2

=GM

4⇡2

, ! =2⇡

P=)

!2 =GM

d3alors

a(B) =GM

d3r rappellons que l’acceleration due a la force de maree est

a(B)maree

= 2GM

d3r

On a donc ainsi une autre acceleration di↵erentielle due a la rotation du satellite autour de la planetequi est la moitie de la force de maree. Celle-ci s’ajoute a la force de maree.

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Quand la somme de la force ressentie due a la ro-tation du satellite et la force de maree depassent laforce de la pesanteur du satellite, le satellite subitune rupture!

kamaree

+ apseudo

k > kgk3GM

d3r >

Gm

r2

d =

✓3M

m

◆1/3

r

La distance au dessous de laquelle une rupture seproduit se determine aussi par la densite des deuxcorps. C’est a dire que, pour ⇢ = constante:

Figure 5.3

m =4

3⇡r3⇢m

M =4

3⇡r3⇢M , substituant dans l’equation ci-dessus

dRoche

= 1.4

✓⇢M⇢m

◆1/3

R

Celui-ci donne un calcul approximatif qui ne tient pas compte des forces de cohesion de la planete. Lecalcul exact trouverait

dRoche

= 2.5

✓⇢M⇢m

◆1/3

R

Si on a une distance plus petite, le satellite va eclater sous le↵et combine des forces de marees et desforces d’acceleration centripete de sa planete mere.

En fait dans le systme solaire les corps les plus a↵ectes par la limite de Roche sont probablement lescometes. Elles passent a grande vitesse a travers tout le systeme solaire et s’approchent donc souvent deforts champs de gravitation ou les cometes peuvent se briser si elles passent la limite de Roche. C’est cequi est arrive a la comete Shoemaker-Levy 9 en mai 1994 a son passage pres de Jupiter. La comete s’estdisloquee en 21 morceaux sur une distance d’environ 1 million de kilometres. Trois mois plus tard cesdebris sont revenus vers Jupiter pour finalement s’y ecraser le 16 Juillet 1994, marquant la surface de laplanete de multiples points d’impact visibles pendant plusieurs jours et dont la taille pouvait atteindrela taille de la Terre.

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Chapter 6

Les cometes

6.1 IntroductionUne comete a quelques km de diametre tout au plus, et elleest a 80 % de glace d’eau et de composes organiques telsque le carbone, l’hydrogene, l’oxygene et l’azote. Alors, lescometes proviennent d’un vaste nuage de forme spheriquea la limite du systeme solaire qui est connue sous le nomde Nuage d’Oort. La geomtrie spherique du nuage et sataille supposee, d’environ 100,000 unites astronomiquessont deduites du fait que les orbites cometaires sont par-fois extremement excentrees, donc extremement allongees. Elles ont parfois de tres grandes periodes orbitales,jusqu’a plusieurs siecles, comme la comete de Haley, avec76 ans de periode. Les inclinaisons orbitales sont presquealeatoires, donc les cometes nous proviennent d’un peutoutes les directions de facon completement aleatoire. Depetites perturbations gravitationnelles, dues aux autresetoiles de la voie lactee sont capables de decrocher de

Figure 6.1: Noyaux cometaires avec desdiametres de 7.6 km et 2.2 km

temps a autre une comete et de la faire plonger vers lesoleil. Donc le nuage d’Oort constitue en quelque sorteun reservoir naturel de cometes, forme en meme tempsque le systeme solaire. Alors, l’approche du soleil, lasurface du noyau cometaire fond et le materiel est ejecteen de larges queues di↵uses. A doite, on voit la queueionisee de gaz et une autre queue, plus di↵use composeede poussieres.

Pour explorer comment se developpent les queuescometaires, on considere une particule a la surface d’unecomete, usr un orbite de periode P

1

a une certaine dis-tance du soleil. Pendent que le comete passe par le Soleil,il y aune competition entre deux forces: d’un cote, la forcede gravitation, qui agit sur ce grain, et de l’autre cote, ona la pression de radiation.

Figure 6.2: Comete de Haley

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Il y a une competition entre la pressionde radiation due aux flux de photonssolaires, collectee sur une certaine sec-tion e�cace, et la force de gravitationqui depend aussi de la taille du grain, atravers sa densite. La pression de radi-ation est proportionelle a R2, la sectione�cace du grain, et la masse est propor-tionelle a R3 ou R est le rayon du grain.Alors, des que la pression de radiation estplus grande que la force de gravitation,le grain est ejecte de la surface cometairepour partir radialement par rapport ausoleil, changeant d’orbite.

Figure 6.3

D’apres la troisieme loie de Kepler, et on voit que la periode orbitale grandit quand le rayon de l’orbitegrandit. Ceci produit une queue cometaire courbee.

La pression de la radiation est une force que sedonne par F rad = E

c �g ou E = h⌫ = pc, l’energiedu photon, et �g est la section e�cace du grain.Alors les di↵erentes forces qui interviennent sont1) la pression de radiation

Frad =E

c�g E =

L0

4⇡r2, �g = ⇡R2

=L0

4⇡r2c⇡R2

Fgrav = GM�mg

r2ou mg est la masse du grain

= GM�r2

· ⇢g · 43⇡R3

Figure 6.4

De ceci, on peut etablir le rapport entre le module de la force de gravitation et le module de la force depression de radiation

Fgrav

Frad=

16⇡GM�R⇢gc

3L�

partir de ceci, on peut definir un rayon de grain pour que les forces soient en equilibre, Fgrav

Frad= 1. Ce

rayon est environ 2000 A. Comme on a demontre ci-dessus, la masse du grain marche en R3 et la sectione�cace marche en R2. Donc, au dessus d’un certain rayon (⇠ 2000 A), le grain ne se voit pas balaye dela surface du comete plutot il y reste lie.

Dans la photo de Fig. 6.3, en bleu a gauche, il y a une queue de ions, des particules extremement petiteset legeres qui sont propulsees directement hors de l’orbite de la comete par les photons solaires. A gauche,il y a une queue blanche de particules beaucoup plus lourdes auxquelles se transfere de la quantite demouvement des photons solaire. Ce tranfert change l’orbite des particules. Hors de l’orbite de la cometeet influencees par la troisieme loi de Kepler, celles-ci prendent du retard par rapport a l’orbite de lacomete pour creer une queue courbee.

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Chapter 7

Les planetes

Figure 7.1

7.1 Bilan energetique des planetesLe bilan energetique des planetes, donc le bilan entre les energies recues et emises, determine completementles conditions physiques a leur surface.

On commence par examiner l’energie recue par la Terre. Elle recoit du soleil un flux d’energie, unepuissance, qui s’appelle la constante solaire. Ce flux est de l’ordre de S� = 1.37 ⇥ 106 erg. s�1. cm�2.On peut exprimer cette energie solaire comme fonction de la distance du soleil par

S(d) = S�4⇡d2

� · 1

4⇡d2

= S

✓d�d

◆2

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ou d� est la distance Terre-Soleil en unites astronomiques et d se mesure en unite astronomiques.

De l’autre cote du bilan, on a une certaine energie emise par la planete due a la radioactivite dansle manteau de l’ecorce terrestre. Puis, on a de l’energie rayonnee sous forme de corps noir. L’energieabsorbee (Eabs), l’energie emise (Eem) et l’energie de corps noir (Ecn) se relient par

Eabs + Eem = Ecn (7.1)

On peut exprimer l’energie absorbee en termes de le constante solaire fois la section e�cace de la Terre.On exprime le fait qu’une partie de l’energie est reflechie par le facteur (1�A) ou A s’appelle l’albedo1.

Eabs = S · ⇡R2

� · (1�A)

Pour la Terre A = 0.3, ce qui implique que 70% de l’energie solaire est absorbe.

Le rayonnement emis par la la radioactivite du magma en fusion sous l’ecorce terrestre s’exprime par Q,l’energie produite par cette radioactivite au niveau du sol fois la surface de la Terre:

Eem = 4⇡R2

� ·Q

Q pour la Terre est Q = 0.06 W. m�2 au niveau de sol. Finalement, l’energie rayonnee sous forme decorps noir se donne par

Ecn = �T 4

eff · 4⇡R2

�

ou Teff est la temperature e↵ective.

Alors, on peut rearranger l’equation 7.1

1 +4Q

(1�A)S=

4�T 4

eff

(1�A)S

Avec les chi↵res a droite, on trouve que la temperature ef-fective de corps noir del la Terre est de Teff = 255K�, dansinfrarouge.

Pour la Terre:

A = 0.3

Q = 0.06 W. m�2

S� = 1.37⇥ 106 erg. s�1. cm�2

1albedo est le pouvoir reflechissant d’une surface, soit le rapport de l’energie lumineuse reflechie a l’energie lumineuse

incidente.

40

Figure 7.2Il se trouve que l’atmoshere agit commeun filtre, de sorte que il y a un rayon-nement de pic a 5780 K dans l’ultravioletqui l’entre a partir du soleil, pourtantun rayonnement de pic a 255 K dansinfrarouge qui le quitte vers l’exterieur.Ce filtre est constitue de plusieurscouches. Di↵erentes molecules se trou-vent a di↵erentes hauteurs et absorbentdi↵erentes longueurs d’onde de radiations.L’O

2

et l’O3

(l’ozone) se trouve a 10-12 km ou ils absorbent presque toutesles longueurs d’onde inferieures 300nanometres, a savoir, les ondes ultra-violettes. L’eau (H

2

O) se trouve assezhaut dans l’atmosphere apportee par lacombustion du kerosene dans les moteursd’avions, y encore proche du sol.

Figure 7.3

Elle absorbe la plupart des longueurs d’onde au-dessus de 700 nm. Quand les spectres d’absorptiondes gaz de l’atmosphere sont combines, il reste des “fenetres” de faible opacite, autorisant le passage decertaines bandes lumineuses. La fenetre optique va d’environ 300 nm (ultraviolet-C) jusqu’aux longueursd’onde que les humains peuvent voir, la lumiere visible, a environ 400700 nm et continue jusqu’aux infra-rouges vers environ 1100 nm. Il y a aussi des fenetres atmospheriques de radios qui transmettent certaineslongueurs d’onde plus importantes.

Les changements dans l’atmosphere dus a l’age moderne comprennent la destruction de la couche d’ozonepar les CFC (chlorofluorocarbones) qui laisse le rayonnement UV rentre jusqu’au sol, chau↵ant plus laTerre. Il y aussi une couche spplementaire de l’eau et le CO

2

cree par la combustion d’hydrocarburesqui bloque la sortie du rayonnement infra-rouge. On a donc retention d’energie au niveau du sol. Ensomme, normalement on a un equilibre naturel des filtres qui bloquent du rayonnement entrant et sortant

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quand on n’a pas l’action de l’Homme. Pourtant, cet equilibre peut etre rompu en ajoutant des filtresd’eau et de C02, ou en detruisant des filtres d’ozone qui bloquent au niveau du rayonnement entrant dansl’ultraviolet.

7.2 Atmosphere planetaires

7.2.1 Equation d’equilibre hydrostatique

L’un des outils que nous avons a notre disposition pour caracteriserles atmospheres planetaires est l’equation d’equilibre hydrostatique.Comme son nom l’indique, c’est un equilibre entre la pression gazeusequi agit vers le haut et la force de gravitation qui agit dans l’autre sens.A droite, on represente ces 2 forces agissant sur un element de volume,sur une colonne d’atmosphere. Parce qu’il est en equilibre, la force depression dans l’element de volume egale la force de gravitation:

dP dA = �dFg

= �gdm = �g⇢ dV, ⇢ = f(h), g = f(h)

= �⇢(h)g(h)dA dh =)dP

dh= �⇢(h)g(h)

Tres souvent, on peut simplier, selon les conditions dans lesquelles onutilise cette equation, en prenant ⇢ = constante. Et dans le cas d’unegrosse planete avec une atmosphere relativement fine, g ne va quasimentpas varier avec l’atmosphere:

dP

dh= �⇢g (7.2)

Pour resoudre cette equation, on profite de l’equation de Boltzmann

P = nkT

ou T est la temperature, k la constante de Boltzmann, et n la densitenumerique de particules, avec

Figure 7.4: L’element de vol-ume se trouve a une certaine al-titude h. Il une surface dA, unehauteur dh et une densite ⇢.

n =⇢

µ ·mµ

ou µ est la masse moleculaire moyenne etmµ = 1.66⇥10�27 kg est l’unite de masse atomique. Alors, gracea l’equation des gaz parfaits, on peut tirer une expression pour ⇢ qu’on peut substituer dans l’equation

42

7.2 ci-dessus

dP

dh= �⇢g, ⇢ =

Pµmµ

kT

= �gP µmµ

kT=)

dP

P= �gµmµ

kT· dh, H =

kT

gµmµ

dP

P= � 1

Hdh en integrant

P = kehH = P

0

ehH

ou H est la hauteur caracteristique de l’atmosphere et P0

est la pression au niveau du sol. Donc le profilde pression par rapport a l’altitude est une exponentielle.

7.2.2 Masse moleculaire moyenne µ

Pour calculer la masse moleculaire moyenne, on commence par compter le nombre de paricules (nucleons)moyen dans l’atmosphere. L’atmosphere est constituee d’a peu pres 78% azote moleculaire (N

2

) et22% oxygene moleculaire (O

2

). L’azote a 7 protons et 7 neutrons par atome, donc 28 nucleons parmolecule d’azote moleculaire. L’oxygene moleculaire en a 32. Donc la masse moyenne de molecules dansl’atmosphere se donne par

µ =(0.78⇥ 28) + (0.22⇥ 32)

0.78 + 0.22= 29 uma (unites de masse atomique)

7.2.3 Condition pour retenir une atmosphere

Pour determiner si une planete quelconque peutretenir son atmosphere, on veut comparer lavitesse d’ejection d’une molecule de l’atmosphreavec sa vitesse la plus probable. On trouve lavitesse d’ejection en egalant l’energie cinetique dela particule a son energie potentielle

1

2mv2e = mgR

ve =p2gR

ou R est le rayon de la planete. En revanche, lavitesse la plus probable se donne par Figure 7.5

vm =

s2kT

µmµ=

p2gH

Quand on compare ces deux termes ve et vm, on voit que quand R > H la planete peut retenir sonatmosphere.

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