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lgebra Linear e Geometria AnalticaAula 1 - MatrizesIntroduoA tabela a seguir representa as notas de trs alunos em uma etapa:

Qual a nota do aluno A em Literatura?E do aluno C em Ingls?

IntroduoA mesma tabela anterior pode ser assim representada:

IntroduoTabelas commlinhas encolunas (mennmeros naturais diferentes de 0) so denominadas matrizes m x n.

Representao de MatrizesUma matriz representada por uma letra maiscula (A, B...), e seus termos pela mesma letra, desta vez minscula, seguida de dois ndices (a11a12, amn), onde o primeiro representa a linha e o segundo a coluna em que o elemento est localizado.

ExemploDetermine os seguintes elementos da matriz Aa12 = a23 = a31 =

Exerccio Prtico 1Construir um matriz de ordem 3x3 seguindo a orientao: aij = 3i + 2j

Tipos de MatrizesUma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por caractersticas especficas.

Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma nica linha. Por exemplo, a matriz A do tipo 1 x 4:A =[4 7 -3 1],.Tipos de MatrizesMatriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma nica coluna. Por exemplo a matriz B, do tipo 3 x 1

Tipos de MatrizesMatriz quadrada:matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo nmero de linhas e colunas;Por exemplo, a matriz C do tipo 2 x 2, isto , quadrada de ordem 2.

Tipos de Matrizes Matriz QuadradaQuando a matriz quadrada, temos a presena de uma diagonal secundria e uma diagonal principal.

Tipos de MatrizesMatriz nula: matriz onde todos os elementos so nulos; representada por 0m x n.Exemplo: Construir uma matriz nula de ordem 2x3:

Tipos de MatrizesMatriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que no esto na diagonal principal so nulos. Por exemplo:

Tipos de MatrizesMatriz identidade ou unidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal so iguais a 1 e os demais so nulos; representada porIn,sendona ordem da matriz. Por exemplo:

Tipos de MatrizesMatriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Tipos de MatrizesMatriz simtrica: matriz quadrada de ordem n tal queA = At.Por exemplo,

simtrica, pois a12= a21= 5, a13= a31= 6, a23= a32= 4, ou seja, temos sempreaij= aij.

Tipos de MatrizesMatriz oposta: matriz-Aobtida a partir deAtrocando-se o sinal de todos os elementos deA. Por exemplo:

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR/INFERIOR

IGUALDADE DE MATRIZES

Exerccio Prtico 2Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais:

Adio de MatrizesDadas duas matrizesde mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.

Exerccio Prtico 3Dada as matrizes A e B determine A+B.

Propriedades da AdioSendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades:

Comutativa: A+B = B+AAssociativa: A+(B+C) = (A+B)+CElemento neutro: A+O = O+A = A

Subtrao de Matrizes

Multiplicao de um escalar por uma matrizDados um nmero realxe uma matrizAdo tipo m x n, o produto dexporA uma matrizBdo tipo m x n obtida pela multiplicao de cada elemento deAporx, ou seja, bij= xaij:Exemplo:

Propriedades da multiplicao de um escalar por uma matrizSendoAeBmatrizes do mesmo tipo ( m x n) exeynmeros reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: x . (yA) = (xy) . Ab) distributiva de um nmero real em relao adio de matrizes: x . (A + B) = xA + xBc) distributiva de uma matriz em relao adio de dois nmeros reais: (x + y) . A = xA + yAd) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A.

Multiplicao de MatrizesO produto de uma matriz por outra NO determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos.O produto das matrizes A = ( aij)m x p e B = ( bij)p x n a matriz C = (cij)m x nem que cada elementocij obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-sima linha de A pelos elementos da j-sima colunaB.ExemploMultiplicar as matrizes:

Exemplo - continuao

Exerccio Prtico 4Fazer a multiplicao BxA das matrizes do exemplo anterior.

Portanto,AB BA, ou seja, para a multiplicao de matrizes no vale a propriedade comutativa.

Exerccio Prtico 5Multiplique as matrizes

Multiplicao de MatrizesDa definio, temos que a matriz produto AB s existe se o nmero de colunas deAfor igual ao nmero de linhas deB:

Se A3 x 2e B2 x 5, ento (A.B)3 x 5Se A4 x 1e B2 x 3, ento no existe o produto.Se A4 x 2e B2 x 1, ento (AB)4 x 1

Exerccios

33Exerccios

ExercciosCalcular o produtos das matrizes:6

7 -

Exerccios

Exerccios13 Dada a matriz A, calcule AxA

14 Dada a matriz A, calcular A

Exerccios15 Calcular os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais:

a)

b)

Exerccios16 - D a matrizA = (aij)3 x 3, em que

17 - (UDESC)Sendo a matriz igual matriz identidade de ordem 2, o valor de2.x:a) 4b)6 c)4d)8 e) 8

Exerccios18 - A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, trs vezes ao dia, durante cinco dias. Cada elementoaijda matriz abaixo corresponde temperatura observada no instanteido diaj.

Determine:a)o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura;b)a temperatura mdia do paciente no terceiro dia de observao.

Exerccios19 - Os elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 x 3 so dados poraij, onde: i + j, se i j 0, se i = jDetermine M + M.

Exerccios20 Uma montadora produz trs modelos de veculos, A, B e C. Neles podem ser instalados dois tipos deair bags, D e E. A matriz [air bag modelo] mostra a quantidade de unidades deair bagsinstaladas:

Numa determinada semana foram produzidas as seguintes quantidades de veculos, dadas pela matriz [modelo quantidade]:

Respostas1 - y = 8 e x = 7 ou -72 - 3 - 4-

5 - 6 - 7 -

Respostas8 -9 - 10

11 - 12 - 13

14 - 15 a) n= 5 e m = -6 b) m = +/- 9 n = +/-3

Respostas16 -17 D

18 a) a maior temperatura do paciente ocorreu no 4 dia e no 2 instante.b) A mdia das temperaturas do terceiro dia 37,3C.

Respostas19

20 - B

Bibliografia STEINBRUCH, A.; Matrizes, determinantes e sistemas de equaes lineares. So Paulo: McGraw-Hill, 1989.http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.phphttp://www.infoescola.com/matematica/matrizeshttp://www.brasilescola.com/matematica/matriz.htm