Aula 2_4 - Conversao de Energia II

Conversão de Energia II

Aula 2.4

Departamento de Engenharia Elétrica

Aula 2.4

Máquinas Rotativas

Prof. João Américo Vilela

Torque nas Máquinas Síncronas

Os anéis coletores da máquina síncrono servem para alimentar oenrolamento de campo (rotor) com corrente contínua.


Anéis coletores de uma máquina síncronaEnrolamento de campo no rotor da

máquina síncrona.


Corrente nos enrolamentos do rotor e do estator produzem forçasmagnetomotriz. Essa condição corresponde ao surgimento de pólosmagnéticos em ambos o estator e o rotor (veja figura abaixo). Oconjugado é produzido pela interação da força magnetomotriz do estator(campo girante) com a corrente no rotor.


O torque pode ser calculado pela relação entre densidade de fluxo ecorrente no condutor, sendo sempre a corrente perpendicular ao fluxo.

iBsenliBF ,α⋅⋅⋅=

Dessa forma a corrente em todosos fios contribui para o movimentodo motor.



Força Fmmrotor

A defasagem entre a Fmm do rotor e do estator interfere no torque, poiscom um ângulo menor que 90º alguns condutores geram torque contrário.

O torque é função do módulo dasFmm e do ângulo entre elas,conforme pode ser visto no gráficoabaixo.

Fmmrotor



Força

Como existe uma relação direta entre corrente no rotor e Fmm produzidapelo rotor. Assim, podemos calcular o torque em função das Fmms dorotor e estator, conforme equação abaixo.

( )erre senFFkT δ⋅⋅⋅−=

Quando δer é positivo o conjugado énegativo e a máquina estáfuncionando como gerador. De modo



funcionando como gerador. De modosemelhante, um valor negativo de δercorresponde a um conjugadopositivo é, correspondentemente,funciona como motor.

A constante k na equação do torque é obtida pelo método da co-energia,ficando a equação de torque da seguinte forma:

( )erre senFFg

lDpT δ

πµ⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅⋅⋅

−=

22

0

Onde:

l = comprimento axial do entreferro;



l = comprimento axial do entreferro;

D = diâmetro médio;

g = comprimento total do entreferro;

Fe = Fmm produzida no estator (composição das três fases), onda senoidal espacial.

Fr = Fmm produzida no rotor, onda senoidal espacial.

δer = ângulo de fase entre os eixos magnéticos em graus elétricos das ondas de Fmm do estator e do rotor

Um gerador de 60 [Hz] síncrono trifásico de dois pólos ligado em Y erotor cilíndrico tem um enrolamento de campo com Nr espiras distribuídase um fator de enrolamento kr. O enrolamento de armadura tem Nfs espiraspor fase e fator de enrolamento ka. O comprimento do entreferro é g, e oraio médio do entreferro é r. O comprimento ativo do enrolamento dearmadura é l. As dimensões e os dados do enrolamento são:

Exercício

Nr = 68 espiras em série;Nfs = 18 espiras em série/fase;r = 0,53 [m];

kr = 0,945;ka = 0,933;g = 4,5 [cm];


l = 3,8 [m];

Para uma corrente contínua de campo de Ir = 720 [A] e as correntes noestator são de 100 A/fase eficaz, calcule:a) O torque máximo produzido pelo motor nas condições especificadas?

Torque no motor de Indução

No motor de indução todas as barras do rotor estão em curto circuito.

Campo girante induzindo tensão nas barras do rotor

Fluxo máximo na espira destacada.


dt

dNe

φ⋅=Campo girante no ângulo Φ = 0.


Quando o fluxo é máximo a tensão induzida é zero, quando o fluxo é zeroa variação do fluxo é máxima e por consequência a tensão induzida émáxima.


dt

dNe

φ⋅=Campo girante no ângulo Φ = 90.


Rotor com características puramente resistiva

- Corrente em fase com a densidade de fluxo (tensão induzida)


Fmmrotor

Rotor com elevada reatância indutiva

- Corrente defasada da densidade de fluxo.



Fmmrotor

O campo girante produzido noestator induz uma tensão nasbarras do rotor girantetambém.

Essas barras em curto-circuitoproduzem uma corrente quenão esta totalmente em fasecom a tensão induzida devidoa indutância do rotor



O valor de Φ2 é função darelação entre reatância eresistência no rotor.

Fmm do rotor está defasadade mais de 90º graus elétricosda tensão induzida na barra,prejudicando o torque domotor.



A tensão no rotor é induzida pelo campo girante produzido no estator, eestá sempre 90º defasada do campo girante. A corrente pode estardefasada da tensão induzida devido a característica reativa das barras dorotor.

( )erre senFFkT δ⋅⋅⋅=


Fmmestator

Reescrevendo a equação em funçãodo ângulo ψ.


Fmmrotor

( )ψcos⋅⋅⋅= re FFkT

do ângulo ψ.

Torque no motor

Pela lei circuital de Ampère o percursoapresentado na figura “a” representa aFmm produzido pela corrente nas barrasdo rotor.

Considerando a distribuição de correntesenoidal a Fmm no percurso apresentadoé:

JdsenJF ⋅=α⋅α⋅= ∫π

2


mmp JdsenJF ⋅=α⋅α⋅= ∫ 20

2

Onde:

Jm = valor de pico da densidade da lâmina de corrente no rotor;

F2p = representa a Fmm por par de pólos;

m

p

rotor JF

Fmm ==2

2

Em lugar do condutor e da corrente quecircula nele, aproximamos para uma

O percurso apresentado na figura “a”envolve dois entreferro. Assim, a Fmm depico por pólo (por travessia do entreferro)é:



circula nele, aproximamos para umalâmina continua de corrente.

( ) α⋅α⋅=α⋅= dsenJdJi m

Vamos considerar os angulo em grauselétricos.

A densidade de fluxo é produzida pelo campogirante do estator. Lâmina de corrente representa acorrente induzida no enrolamento do rotor.

Considerando uma defasagem ψ entre a densidade de fluxo e a lâmina de



( )α⋅ψ+α⋅⋅⋅α⋅== dsenJlsenBBilF mme )())((

Considerando uma defasagem ψ entre a densidade de fluxo e a lâmina decorrente.

Calculo da força elementar (Fe) produzida numa faixa de correnteelementar do enrolamento de armadura.

Obs. a corrente no motor é perpendicular a densidade de fluxo

O torque elementar é obtido multiplicando a força elementar pelo raio domotor.

α⋅ψ+α⋅α⋅⋅⋅⋅=⋅= dsensenrlJBrFT mmee )()(

Calculo do torque total desenvolvido na lâmina de corrente sobre um póloda distribuição de campo.

∫π

α⋅ψ+α⋅α⋅⋅⋅⋅= )()( dsensenrlJBT mmP



∫0

Para um motor com p pólos o torque total será:

∫π

α⋅ψ+α⋅α⋅⋅⋅⋅⋅=0

)()( dsensenrlJBpT mm

Utilizando alguns artifícios trigonométricos obtemos:

)cos(2

ψ⋅π

⋅⋅⋅⋅⋅= rlJBpT mm



2

A equação é válida para distribuições senoidais da densidade de fluxo e dedensidade de corrente.

Quando o angulo ψ é diferente de zero uma parcela da corrente gera torquecontrário o que produz uma redução do torque total.

lrBlrB ⋅⋅⋅=

⋅⋅π⋅⋅

⋅=φ422

Área associada a um pólo do motor

lrp

Ap ⋅⋅π⋅=2

O fluxo máximo produzido pela bobina do estator (Φpico) é dado por:



lrBp

lrp

B mmpico ⋅⋅⋅=

⋅⋅π⋅⋅

⋅

π=φ

Colocando o fluxo por pólo na equação de torque obtemos:

].)[cos(8

2mNJpT mpico ψ⋅⋅φ⋅⋅

π=

Onde:

p = número de pólos;

Φpico = fluxo máximo por pólo [Wb];

Jm = valor de pico da lâmina de corrente equivalente que representa uma distribuição ideal de ampère-condutor [A/rad];



distribuição ideal de ampère-condutor [A/rad];

ψ = ângulo de deslocamento de fase entre o início da lâmina de corrente e o início da onda de densidade de fluxo debaixo de um pólo;

A distribuição de ampère-condutores (lâmina de corrente) se relacionacom a Fmm produzida no rotor.

mr JFmm =

Relembrando que o valor de pico da Fmm por pólo é:


rr

rr Ip

NkFmm ⋅⋅⋅=

π

4


Onde:

Ir = corrente de pico no enrolamento do rotor [A];

p = número de pólos;

kr = fator de enrolamento do rotor;

Nr = número de espiras no enrolamento do rotor.

pπ

O principio de geração de torque no motor de indução é semelhante ao domotor síncrono. Contudo, no motor de indução a corrente é induzida norotor.

)cos(8

2 ψφπ

⋅⋅⋅⋅= rpico FmmpT


lrB ⋅⋅⋅=4

φ

A relação entre fluxo de pico é densidade de fluxo é:


lrBp

mpico ⋅⋅⋅=4

φ

Obtendo assim:

)cos(4

8

2 ψπ

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅= rm FmmlrB

ppT

A equação de torque fica:


A relação entre densidade de fluxo produzida no estator e a Fmme docampo girante produzido no estator.

)cos(2

ψπ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅= rm FmmlrBpT

HBm ⋅= 0µ gHgBm ⋅⋅=⋅⇒ 0µ em FmmgB ⋅=⋅⇒ 0µ


assim:

HBm ⋅= 0µ gHgBm ⋅⋅=⋅⇒ 0µ em FmmgB ⋅=⋅⇒ 0µ

g

FmmB e

m

⋅= 0µ

)cos(2

0 ψµπ

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅= r

e Fmmlrg

FmmpT

Reorganizando a equação


Considerando que o diâmetro dividido por dois é igual ao raio.

)cos(2

0 ψπµ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅= re FmmFmmg

lrpT

)cos(22

0 ψπµ

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= re FmmFmm

g

lDpT


)cos(22

ψ⋅⋅⋅⋅

⋅= re FmmFmmg

T

O ângulo entre Fmm do estator edistribuição de corrente no rotor é ψ.Defasado de 90º temos a Fmmproduzida no rotor.


Fmmestator

( )090)cos( += ψψ sen

090+=ψδer


assim:

)(2

0erre senFmmFmm

g

lrpT δ

πµ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

Fmmrotor

Essa equação é idêntica a equação de torque da máquina síncrona.

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