Aula UTM Irineu 2012

7/28/2019 Aula UTM Irineu 2012

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Prof. Dr. Irineu da SilvaEESC-USP

Curso de Geomtica

Aula UTM


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13.05.2012 Irineu da Silva Page 2

As Distncias na Mensurao

Tipos de distncias

Existem vrias distncias a serem consideradas na Mensurao.So elas:

- distncia inclinada;- distncia horizontal;- distncia esfrica;

- distncia plana.


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Distncia Inclinada e Distncia Horizontal

Sejam dois pontos P e Q sobre o terreno, conforme indicado a seguir.

s = distncia inclinada entre P e Q;

s = distncia horizontal entre P e Q;

= ngulo de altura da direo PQ.

= ngulo zenital da direo PQ

s = scos b ou s =ssen q


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Distncia Esfrica

Considerando a curvatura da Terra e adotando a esfera como asuperfcie de referncia, tem-se a seguinte situao:

R0 = raio mdio da esfera terrestre;HP = altitude do ponto P;HQ = altitude do ponto Q;sP = distncia esfrica ao nvel de P;sQ = distncia esfrica ao nvel de Q;s0 = distncia esfrica ao nvel do

mar (H=0)


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Distncia Esfrica

As superfcies so esferas concntricas e permitem obter as seguintesrelaes:

s

R

s

R H

s

R H

o

o

P

o P

Q

o Q

Para um ponto P de altitude H, tem-se:

o

o

p

o

o

po

P sR

Hs

R

HRs .1.

o

p

Po

R

Hss

1


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Distncia Esfrica

Para os clculos prticos pode-se operar com valores em ppm,adotando-se uma altitude mdia para a regio de clculo. Nesse caso,a reduo ao nvel do mar pode ser dada por:

ppmHR

Hd

o

610.Re

As redues podem tambm ser efetuadas aplicando-se um fatorde escala denominado Fator de Escala Altimtrico (Kalt), conformeindicado abaixo.

HR

HK

o

alt

1


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Distncia Esfrica

A tabela a seguir apresenta a variao das distncias horizontais, em

relao a variao das altitudes, para diversos valores de H (para Ro =6.362.735m na latitude = 21o58 00S, no Campus da UniversidadeFederal de So Carlos).

H(m)\ s(m) 1000 2000 5000 10000

5000 0,785 1,570 3,925 7,850

2000 0,314 0,628 1,571 3,142

1000 0,157 0,314 0,786 1,571

500 0,078 0,156 0,393 0,786



Relao entre a Distncia Esfrica e a Distncia Horizontal

A distncia horizontal entre dois pontos situa-se no plano horizontal que

passa pelo ponto inicial. A distncia esfrica entre dois pontos situa-sena superfcie esfrica que passa pelo ponto inicial. Tm-se assim asseguintes relaes:

Q= projeo de Q sobre a superfcie esfrica;s = distncia horizontal em P;

sP = distncia esfrica ao nvel de P;cP = corda PQ; = ngulo no centro da terra.

tan.

2..2:

.:,,

Po

PoP

PoP

HRs:PQtangente

senHRcQPcorda

HRsQParco




A diferena entre a corda PQ e o arco PQ e entre a tangente PQ e o

arco PQ esto relacionadas na tabela a seguir (para Ro = 6.362.735me para Hp = 870m).

sP (m) sP - cP (mm) sP - s (mm)

1000 +0,001 -0,008

2000 +0,008 -0,064

5000 +0,13 -1,03

10000 +1,03 -8,23




Constata-se atravs desta tabela que, para distncias inferiores a

10km, a diferena entre a corda e o arco desprezvel, o que j noocorre para a diferena entre a tangente e o arco.

Evidentemente, se os pontos P e Q no estiverem na mesma altitude,haver uma diferena de distncia conforme se adote o planohorizontal passando por P ou por Q. Essa diferena de distncias, namaioria dos casos, pode ser desprezada.



Sistemas de Projeo Cartogrfica




As coordenadas planas da superfcie terrestre so obtidas a partir do

uso de um sistema de projeo, atravs do qual se estabelece umarelao pontual e unvoca entre a superfcie de referencia, esfrica, e asuperfcie do desenho, plana. Trata-se, portanto, de obter ascoordenadas planas x, y a partir de um ponto de coordenadas (, ) dasuperfcie esfrica. Na literatura distinguem-se os seguintes tipos de

projees cartogrficas:

- Projeo conforme, que so aquelas que conservam osngulos;

- Projeo equivalente, que so aquelas que conservam assuperfcies;

- Projees que no conservam nem os ngulos e nem assuperfcies mas que possuem outras caractersticasimportantes.


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importante salientar que no existe nenhuma projeo cartogrfica

que mantenha os comprimentos. Sendo a esfera e o elipside duassuperfcies esfricas, torna-se impossvel estabelecer umarepresentao plana delas sem causar algum tipo de deformaolinear.

Geralmente os pases preferem adotar as Projees Conforme para adeterminao das suas bases cartogrficas. As ProjeesEquivalentes so mais interessantes para o estabelecimento de cartascom escala reduzida (Atlas Geogrfico).


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Principais Projees Cartogrficas

Cilndricas, Cnicas e Azimutais


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Principais Projees Cartogrficas


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Projees Cilndricas


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Projees Cilndricas

As Projees Cilndricas podem ser

- Projeo Cilndrica Normal: o eixo do cilindro coincidecom o eixo de rotao da Terra e o cilindro tangente superfcieesfrica ao longo do equador.

- Projeo Cilndrica Transversa: o eixo do cilindrocoincide com o plano do equador e o cilindro tangente a superfcieesfrica ao longo do meridiano. Exemplo, Projeo TM.

- Projeo Cilndrica Obliqua: o eixo do cilindro obliquoem relao ao eixo de rotao da Terra e o cilindro tangente asuperfcie esfrica ao longo de um grande arco de crculo qualquer.


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Projees Cilndricas

Entre as Projees Cilndricas mais importantes vale a pena citar aProjeo de Mercator


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Projees Cilndricas

Como curiosidade, apresenta-se a seguir uma imagem de uma Projeo

Cilndrica Equivalente. Neste caso a Cilndrica Equivalente de Lambert.


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Projees Cnicas

Em uma projeo cnica, a superfcie esfrica projetada sobre um

cone tangente, o qual posteriormente desenvolvido para se obter acarta plana.


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Projees Cnicas

A projeo cnica mais conhecida a Projeo Cnica Conforme de

Lambert.


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Projees Azimutais

- Projeo Gnmica: o centro de projeo o eixo da Terra. Essa

projeo no conforme e nem equivalente.

- Projeo Estereogrfica: o centro de projeo o plo oposto aoplano de tangncia. Ela uma projeo conforme.

- Projeo Ortogrfica: o centro de projeo est no infinito. Essaprojeo no conforme e nem equivalente.


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Exemplos de Cartas com Projeo Azimutal

Azimutal Gnmica


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Azimutal Esterogrfica


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Azimutal Ortogrfica


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A Projeo UTM

A projeo UTM, originada a partir da Projeo Conforme de Gauss, foi

usada pela primeira vez, em larga escala, pelo Servio de Cartografia doExrcito Americano (US Army Map Service - AMS), durante a SegundaGuerra Mundial. A sua principal vantagem que ela permite representargrandes reas da superfcie terrestre, sobre um plano, com poucasdeformaes e com apenas um grupo de frmulas.

A projeo UTM representada sobre um sistema de coordenadasretangulares, o que a torna bastante til para ser aplicada naMensurao.


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Caractersticas da Projeo UTM

A projeo UTM uma projeo cilndrica conforme que pode ser

visualizada como um cilindro secante superfcie de referncia,orientado de forma que o eixo do cilindro esteja no plano do equador.

O cilindro secante possui um dimetro menor do que o dimetro dasuperfcie de referncia, criando, assim, duas linhas de interseo entreo cilindro e a superfcie de referencia. A rea de projeo compreendeapenas uma parcela da superfcie de referncia. Essa rea denominada fuso ou zona. Cada fuso representado pelo nmero dofuso ou pela longitude do seu meridiano central. As coordenadas nadireo horizontal so denominadas Este e representadas pela letra E.As coordenadas na direo vertical so denominadas Norte e

representadas pela letra N.


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As principais caractersticas da projeo UTM so as seguintes:

a) Amplitude dos fusos: 6;b) Latitude da origem: 0 (equador);c) Longitude da origem: a longitude do meridiano central do fuso;d) Falso Norte (translao Norte): 10.000.000 m para o hemisfrio Sul;e) Falso Este (translao este): 500.000 m;

f) Fator de escala no meridiano central: 0,9996;g) Numerao das zonas: as zonas so numeradas de 1 a 60, a partir

do antemeridiano de Greenwich, para leste. Assim,zona 1 - de 180 W a 174 Wzona 60 - de 174 E a 180 E;

h) Limites das latitudes: 80 N e 80 S;i) Os meridianos de longitude e os paralelos de latitude interceptam-seem ngulos retos na projeo;


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j) A linha do equador e a linha do meridiano central de cada fuso sorepresentadas por linhas retas na projeo. Os demais meridianosso representados por linhas cncavas em relao ao meridianocentral e os paralelos so representados por linhas cncavas emrelao ao polo mais prximor.


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k) O espaamento entre os meridianos aumenta a medida que eles

se afastam do meridiano central. Para manter a proporcionalidadeda projeo conforme, a escala na direo Norte-Sul tambm distorcida acarretando, assim, a existncia de uma escaladiferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado domeridiano.


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Determinao do Meridiano Central da Projeo UTM

O meridiano central determinado considerando-se que a sua

variao ocorre de 6 em 6. O primeiro meridiano central possuilongitude igual a 177 e o ltimo possui longitude igual a 3. Osmeridianos centrais possuem, portanto, valores iguais a: 3, 9,15, 21, ..........., 45, 51, 57, e assim por diante. Para conhecero valor da longitude do meridiano central de um ponto de longitudeconhecida, basta situ-lo no fuso. A relao fuso/meridiano central dada pelas frmulas:

6

183 CMFuso

MC = 183 - 6 . Fuso


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Os Fusos da Projeo UTM


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Transformao de Coordenadas Geodsicas em UTM

Para a transformao de coordenadas, tanto para o problema diretocomo para o problema inverso, existem frmulas cujas dedues

podem ser encontradas em obras especializadas. Para os propsitosdeste curso, sero apresentadas a seguir as frmulas relativas atransformao de coordenadas geodsicas para coordenadas UTM.

As coordenadas retangulares E, N da Projeo UTM podem ser

calculadas pelas seguintes frmulas:

5

3

6

42

)()('

)()()('

BpVpIVE

ApIIIpIIIN

Onde,


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N = N - Para o Hemisfrio NorteN = 10.000.000N - para o Hemisfrio Sul

E = 500.000 + E- para pontos situados a leste do meridiano central MCE = 500.000E- para pontos situados a oeste do meridiano central MC

(I) = koS

]63072354)

102445

25615(

2)1024

45

32

3

8

3()

256

5

64

3

4

11[(

664

642642

senesenee

seneeeeeeaS

2

10"1cos)(

8

0

2

ksensenNII

160

44222

34

10)cos'4cos'9tan5(24

cos"1)( keesenNsenIII

4

0 10"1cos)( ksenNIV

12

0

22233

10)cos'tan1(6

cos"1)(

ke

NsenV


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"0001,0 p

MC

24

0

32224256

6

6 10)'330cos'270tantan5861(

720

cos"1ksenee

senNsenpA

20

0

22224255

5

5 10)'58cos'14tantan185(120

cos"1ksenee

NsenpB


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A Convergncia Meridiana

Os ngulos medidos no elipside esto referidos ao Norte Geogrfico(NG), cuja representao, na projeo UTM, dada por uma linha curva,cncava em relao ao meridiano central. As quadrculas UTM, por outrolado, formam um sistema de coordenadas retangular, com a direo Y(NQ) na direo Norte-Sul. As duas linhas formam, portanto, um ngulovarivel para cada ponto, denominado convergncia meridiana.


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A Convergncia Meridiana

A convergncia meridiana, no hemisfrio sul, positiva para os

pontos situados a Oeste do meridiano central e negativa, para osponto situados a Leste do meridiano central.

Um clculo aproximado do valor da convergncia meridiana pode serdado pela seguinte frmula indicada a seguir.

C senOnde,

C = Convergncia Meridiana = Diferena de longitude entre a longitude do ponto

considerado e a longitude do meridiano central(Long Pt Long MC)

= Latitude do ponto considerado


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Reduo Corda ou Reduo Angular

Uma linha unindo dois pontos na superfcie de referncia esfrica

representada no plano (na projeo) como uma linha curva (arco). Paraas dimenses dos trabalhos topogrficos, entretanto, a curvatura dessalinha muito pequena e, em muitos casos, pode ser desconsiderada,aceitando-se a corda que une os dois pontos como a referncia paracalcular a distncia e o azimute entre eles. O ngulo formado pelacorda e pela tangente curva denominado ngulo de reduo corda ou ngulo de reduo angular, e representado pela letragrega , conforme indicado a seguir.


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Reduo Corda ou Reduo Angular

O valor mximo de , para uma

linha de 10 Km da ordem de 7.


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O Fator de Escala

Para se obter a distncia plana entre dois pontos A e B, necessrio,inicialmente, corrigir a distncia medida na superfcie topogrfica, emrelao aos fatores meteorolgicos e erros instrumentais, em seguidareduzi-la ao elipside de referncia e, finalmente, reduzi-la superfcieplana. Para a reduo da superfcie de referncia superfcie plana,utiliza-se um fator de escala, representado pela letra kUTM.

A distncia plana obtida multiplicando-se a distncia esfrica (sobre oelipside de referncia) pelo fator de escala kUTM.

0

sksUTM


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O Fator de EscalaPara evitar que as deformaes tornem-se exageradas nas bordas dosfusos, adotou-se, para a projeo UTM, um fator de escala

k0 = 0,9996, para os pontos situados sobre o meridiano central.A partir do meridiano central o fator de escala cresce para Oeste epara Leste at atingir o valor k=1,000, nas vizinhanas deE=320.000,00 m e E=680.000,00, continuando a crescer at o valorkUTM=1,0010, nas bordas dos fuso, no equador.


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O Fator de Escala

REkk

2

021.

2

0UTM

onde,

kUTM = fator de escalak0 = 0,9996 (fator de escala no MC)E = ordenada entre o meridiano central e o ponto

considerado (500 000 Ept)

Ro = Raio mdio de curvatura


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O Fator de Escala

Para aplicar o fator de escala para a correo da distncia entre

dois pontos, pode-se usar o valor do fator de escala mdio, se adistncia for pequena, ou uma mdia ponderada entre os pontosextremos e o ponto mdio, se a distncia for grande. Porexemplo,

Para distncias inferiores a 15 km prope-se adotar

Par distncias maiores do que 15 km prope-se adotar

2

kBkAk

UTM

6

kB4kAk

meioUTM

K


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ngulos a serem considerados na Projeo UTM

Quando se trabalha com coordenadas UTM necessrio considerarvrios tipos de elementos angulares. Os principais elementos so:

- azimute plano ou azimute da quadrcula (UTM);- azimute geodsico projetado (proj);- azimute geodsico (geod);- convergncia meridiana (c);- reduo corda ().


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O azimute plano ou azimute da quadrcula o ngulo, na projeo,entre o Norte da quadrcula UTM e a linha reta que une os dois pontos a

serem considerados.

UTM = Arctg E/NO azimute geodsico projetado o ngulo, na projeo, entre o Norte

da quadrcula e a tangente ao arco representativo da distncia projetadaentre os dois pontos a serem considerados.

proj = UTM +

O azimute geodsico o ngulo, na projeo, entre o meridiano quepassa pelo ponto inicial e a tangente ao arco representativo da distnciaprojetada entre os dois pontos considerados

geod = UTM c

l id d P j UTM


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l id d P j UTM


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Transformao de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).

A transformao das coordenadas UTM para coordenadas locaisconsiste em realizar uma rotao e a aplicao de um fator de escala.

A rotao feita em funo da convergncia meridiana e o fator deescala adotado deve ser o fator de escala da projeo UTM, corrigidopara considerar a altitude mdia do local (kTotal).

Para aplicar a transformao, inicialmente, deve-se escolher umponto de coordenadas conhecidas como origem da rotao. Emseguida, calcula-se a convergncia meridiana e o fator de escala totaldesse ponto, que sero adotados como ngulo de rotao e fator deescala da transformao.


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O procedimento completo de clculo o seguinte:

1) escolher o ponto para origem do sistema (P0);

2) calcular a convergncia meridiana e o fator de escala desseponto:

3) corrigir o fator de escala UTM considerando a altitude mdiada regio;

4) calcular o UTM dos alinhamentos Po - Pi e corrigir com o valorda convergncia meridiana;

5) calcular as projees

X YP P P Po i o ie

de cada alinhamento, considerando o fator de escala total(KT=KUTMxKalt);

6) calcular as coordenadas transformadas para cada ponto Pi


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N

E

arctgUTM

senc .

cUTMGeod

geod

T

PP

PP senk

sX o

io.

geod

T

PP

PPk

sY o

iocos.

X X XP P P Pi o o i

Y Y YP P P Pi o o i

T f d C d d UTM (E N) C d d Pl L l (X Y)


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Exemplo:

Dadas as coordenadas planas UTM de dois pontos, determinar assuas coordenadas retangulares no sistema topogrfico local.

NA = 6.953.623,380 m NB = 6.954.016,624 mEA = 601.613,787 m EB = 602.002,535 m = 27 32 14.483485 S = 27 32 01.599853 S = 43 58 15.310008 W = 43 58 01.258185 W

H = 870,000

Raio Mdio R0 da Terra no local = 6.365.883,810 m



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1. Clculo da Convergncia Meridiana

2. Clculo do fator de escala altimtrico

3. Clculo do fator de escala UTM

Para o Pt A

Para o Pt B = 0,99972843

KUTM (mdio)= 0,99972794

99986335.01

HR

HK

o

alt

99972745,02

1.2

0

R

Ekk

2

0

UTM

"92.32'2800 sencA



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4. Clculo do KT

KT = KUTM x Kalt = 0,99959133

5. Origem adotada para o Pt A

XA = 5.000,000

YA = 10.000,000

6. Clculo da distncia plana AB

961,552)()( 22 ABABAB EENNs



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7. Clculo da distncia elipsoidal AB (s0)

111,5530 UTMK

ss

8. Clculo da distncia topogrfica AB

ou

9. Clculo do azimute plano AB

10. Clculo do azimute geodsico AB

187,553

TK

s

s

"14'40440

AB

ABAB

NN

EEArctg

"41'11440)( AABABgeo c

187,553

0 AltK

s

s



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11. Clculo das projees

12. Clculo das coordenadas (X,Y) do Pt B

621,396cos.626,385.

geoAB

geoAB

sYsensX

626,385.5

626,385

000,000.5

B

AB

A

ABAB

X

X

mXXXX

621,396.10

621,396

000,000.10

B

AB

A

ABAB

Y

Y

mYYYY

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