aula_05_06

Condutores, dielétricos e capacitância

Prof

Daniel Silveira

Introdução

Objetivos–

Aplicar métodos anteriores a materiais condutores e dielétricos

–

Definir corrente elétrica e densidade de corrente elétrica

Introdução

André-Marie Ampère (1775-1839)–

Contribuições na física e matemática

–

Estabeleceu relações entre eletricidade e magnetismo e fundou a eletrodinâmica

–

Explicou o fenômeno da deflexão da bússola pela corrente elétrica

–

Fios paralelos carregando corrente poderiam atrair ou repelir

–

Desenvolveu a base matemática do eletromagnetismo

Corrente e densidade de corrente

Corrente–

Cargas elétricas em movimento

–

Medida em Ampère–

Definida como a taxa de movimento de cargas que passam em um dado ponto de referência em C/s

–

1 A = 1C de carga que passa por um plano de referência em 1s

–

Movimento de cargas positivas, embora a condução em metais seja feita por elétrons

•

Mesmo sentido do campo elétrico

dtdQI =


Densidade de corrente–

É

um vetor com unidade de A/m2

–

Integrando a componente de perpendicular a área S temos a corrente total que passa por esta área

–

Está

relacionada à

velocidade da densidade volumétrica de cargas no ponto

Jr

Jr

Sdr

Jr

∫ ⋅=S

SdJIrr


Relação entre e ρv

–

No caso de um Δv cúbico em movimento no eixo x, durante o intervalo Δt, o volume que ultrapassa um plano paralelo zy é

Jr

tQIΔΔ

=Δ vQ vΔ=Δ ρ

xSv ΔΔ=Δ


–

Então

–

Em geral

–

Ex: A/m2

–

Determine em–

Determine a corrente total que flui para fora da faixa circular

txS

tQI v Δ

ΔΔ=

ΔΔ

=Δ ρ

xSQ v ΔΔ=Δ ρ

xvvSI ρ=

ΔΔ

vJ vrr

ρ=

φρ φρρ aazJ rrr22 cos410 −=

Jr

( )2;30;3 === zoφρ

8,22;20;3 <<<<= zπφρ

vr é

velocidade!

Continuidade de corrente

Princípio da conservação de cargas–

Cargas não podem ser criadas nem destruídas, embora quantidades iguais de cargas positivas e negativas possam ser simultaneamente criadas

Equação da continuidade–

Fluxo e cargas que sai de uma superfície fechada é

igual a taxa com que a carga total dentro da superfície diminui

dtdQSdJI

área

−=⋅= ∫rr Forma integral da

equação da continuidade



Pelo teorema da divergência

–

Se a superfície não varia com o tempo

∫∫∫ −=−=⋅∇=⋅vol

vvolárea

dvdtd

dtdQdvJSdJ ρ

rrr

Forma pontual daequação da continuidade

∫∫ ∂∂

−=⋅∇vol

v

vol

dvt

dvJ ρr

tJ v

∂∂

−=⋅∇ρr


Equação da continuidade

–

A carga por segundo (corrente) que diverge de um pequeno volume é

igual à

taxa de diminuição da carga

por unidade de volume em cada ponto–

Exemplo pag

117:

–

Calcular I (esfera de raio r), ρv e

tJ v

∂∂

−=⋅∇ρr

rtae

rJ rr

−=1

vr



E5.2:

–

Calcule a corrente total pela superfíciena direção

zazJ rr5,1610−=

m1,0=z

m200 μρ ≤≤

zar

Condutores metálicos

Materiais condutores apresentam elétrons livres que podem se movimentar na direção oposta de um campo elétricoElétrons livres são elétrons ligados aos últimos orbitais atômicos que se liberam da atração do núcleoA força exercida em um elétron por um campo elétrico será

onde e é

a carga do elétronNo espaço livre, o elétron aceleraria aumentando sua velocidade

EeFrr

−=


No metal, o elétron se choca com os átomos de modo a adquirir uma velocidade média constante (velocidade de deriva)

onde μe é

a mobilidade elétricaSabemos que

Temos que a densidade de corrente devido ao movimento de elétrons em um condutor na presença de um campo elétrico é

onde ρe é

a densidade de carga de elétrons livres

Ev ed

rr μ−=

dvr

vJ vrr

ρ=

EJ ee

rrμρ−=


Podemos definir condutividade elétrica como

–

Medida em Siemens por metro (S/m), onde S é

A/V–

Inverso da resistividade

A condutividade elétrica é característica do material de modo que

Condutores metálicos obedecem relação linear –

Condutividade é

constante para grandes intervalos de–

Se esta propriedade se mantém para todas as direções, o material é

chamado de material isotrópico–

Senão, ele é

chamado de material anisotrópico

eeμρσ −=

EJrr

σ= Forma pontual da Lei de Ohm

EJrr

e


A condutividade é função da temperatura–

Para temperaturas de poucos K, a resistividade tende a zero

–

Propriedade chamada de supercondutividade–

Maior a temperatura, maior vibração dos átomos, menor velocidade de deriva, menor mobilidade, menor condutividade e maior resistividade


Seja um condutor cilíndrico no qual é aplicado um campo elétrico uniformeHá uma densidade de corrente de forma que a corrente total é

Como o campo é constante, a diferença de potencial entre as extremidades do condutor é

JSSdJIS

=⋅= ∫rr

ELVLELELdELdEV abba

b

a

b

aab =⇒⋅=⋅−=−=⋅−= ∫∫

rrrrrrrr


Do cálculo da corrente total

Então

R é definida como resistência elétrica e é medida em ohm (Ω)Pode ser interpretada como resistência à passagem de elétronsR aumenta com o comprimento e diminui com a condutividade e com a área

SIJ = S

ILV

SIEJ =⇒==

σσ

ISLVσ

= RIVSLR == então σ

Lei de Ohm


Exemplo 5.1: Dado um fio de cobre #16 com uma milha de comprimento (1609 m) e diâmetro 1,291 mm de diâmetro.–

Determine a resistência R–

Para uma corrente de 10 A, calcule J e a diferença de potencial nas extremidades do fio

–

Quais os valores de E , da velocidade de deriva e de ρe ?

Introdução

Objetivos–

Apresentar os três tipos de materiais

•

Condutores•

Semi-condutores

•

Dielétricos

Revisão

Lei de Ohm

–

Condutividade elétrica

onde μe é

a mobilidade elétrica e

ρe é

a densidade de carga de elétrons livres

Equação da continuidade

eeμρσ −=

EJrr

σ=

tJ v

∂∂

−=⋅∇ρr

Condutores

Materiais com grande quantidade cargas livres (elétrons)Dentro do condutor –

Se houvesse campo as cargas se moveriam (Lei de Ohm)

ρv=0 dentro do condutor

Cargas residem na superfícieCondutor é um equipotencial

0=⋅−=− ∫A

BBA LdEVV

rr

0Er

-

---

1Er

-

-

+

+++

+

+

0=Er

000 =⋅∇=⇒=⇒= DDE v

rrrρ

Condutores e condições de fronteira

E na borda?Campo elétrico pode ser decomposto em componentes normal e tangencial–

Tangencial é

nulo, pois não há

movimento de cargas–

Densidade de fluxo tangencial também é

nula–

DN (C/m2)= ρS (C/m2)


Considerando um percurso fechado abcda

–

Como dentro o campo elétrico é

nulo

–

Fazendo Δh→0

∫∫∫∫∫ +++==⋅a

d

d

c

c

b

b

a

LdE 0rr

022 ,, =Δ

+Δ

−ΔhEhEwE aNbNt

00 =⇒=Δ tt EwE


Considerando um pequeno cilindro (Lei de Gauss)

–

Campo elétrico no interior e tangencial são nulos, logo teremos apenas a primeira integral

∫∫∫∫ ++=⋅=ladobasetopo

SdDQrr

SNSN DSQSD ρρ =⇒Δ==Δ

SNE ρε =0


Em condições estáticas, superfície condutora é uma equipotencial, já que Et=0 e a densidade de fluxo que deixa a superfície é igual a densidade superficial de cargaEm resumo

vácuo

condutor

Nar

NSN

NN

t

t

aD

DE

DE

rr

rr

ρ

ε

=

=

==

0

00


E5.5: Dado o campo potencial no espaço livre V=100senh 5x sen5y V, e o ponto P(0,1 0,2 0,3), calcule em P:

–

V –

E–

|E|–

|ρs

| caso P esteja posicionado na superfície de um condutor

Método das imagens

Dipolo elétrico–

Existe um plano infinito de potencial nulo na metade da distância entre as cargas

–

Duas cargas iguais e opostas podem ser substituídas por uma carga simples e um plano condutor sem afetar o campo acima da superfície V=0

Método das imagens

E5.6: Um plano condutor perfeito está localizado no espaço livre em x=4, e uma linha de cargas infinita e uniforme de 40 nC/m posiciona-se ao longo da reta x=6, y=3. Seja V=0 no plano condutor. Em P(7, -1, 5), calcule:

a)

Vb) E

SemicondutoresEstes materiais também seguem a Lei pontual de Ohm ( )Nestes materiais existem dois tipos de portadores de cargas presentes–

Elétrons

•

Carga negativa –e, mobilidade μe e densidade volumétrica ρe

–

Lacunas (holes)•

Carga positiva +e, mobilidade μh e densidade volumétrica ρh

A condutividade, que aumenta com a temperatura (ao contrário dos condutores metálicos), é dada por

EJrr

σ=

hhee μρμρσ +−=

SemicondutoresSemicondutores intrínsecos também satisfazem à lei de Ohm, a condutividade é razoavelmente constante com a densidade de correntePortadores de carga e a condutividade podem ambos ser aumentados dramaticamente pela adição de impurezas. Materiais doadores propiciam elétrons adicionais (semicondutores tipo n) e receptores fornecem lacunas adicionais (tipo p) => DopagemUma concentração de doadores de uma parte em 107 provoca um aumento na condutividade de um fator de 105

Dielétricos

São materiais que possuem pouca ou nenhuma condutividadeModeladas matematicamente como um Dipolo

Pela ação de um campo elétrico externo, a energia potencial é armazenada como uma mola pelo deslocamento das posições das cargas positivas e negativas

+

-Er

+

-

Dielétricos

Os dipolos assim constituídos são denominados cargas de polarização, pois os elétrons não são livresMomento do dipolo

Para um volume Δv com n dipolos

Polarização (no limite e por unidade de volume)

(C.m) dQprr

= +

-

dr+Q

-Q∑Δ

=

=vn

iitotal pp

1

rr

)(C/m 1lim 2

10 ∑Δ

=→Δ Δ

=vn

iiv

pv

P rr

Dielétricos

Surgem cargas de polarizaçãoDentro do material dielétrico, a densidade de fluxo aumenta

Em muitas circunstâncias

onde χe é

a susceptibilidade elétrica

PEDrrr

+= 0ε

+ + + + + + +

- - - - - - -

–

+ –

+

–

+ –

+

–

+ –

+

–

+ –

+

EPrr

≈ EP e

rrχε 0=

DielétricosDensidade de fluxo

onde ε é

a permissividade elétricaPermissividade relativa ou constante dielétrica–

É

a relação entre a permissividade elétrica com a permissividade do vácuo

–

Usando εR do material, não é

preciso fazer considerações sobre dipolos, momentos do dipolo, polarização ou susceptibilidade

( )ED e

rrχε += 10 ED

rrε=

( )eR χεεε +== 1

0

DielétricosE6.1) Uma placa de material dielétrico tem uma constante dielétrica relativa de 3,8 e contém uma densidade de fluxo elétrico uniforme de 8nC/m2. Se o material for sem perdas, calcule:

a)

Eb)

Pc)

O número médio de dipolos por metro cúbico, se o momento do dipolo for de 10-29

C.m

Introdução

Objetivos–

Dielétricos

•

Condições de fronteira

–

Capacitância

Dielétricos

Materiais com cargas de polarização (dipolos)Densidade de fluxo

Permissividade relativa

PEDrrr

+= 0ε ( )ED e

rrχε += 10

EDrr

ε=

( )eR χεεε +== 1

0

Dielétricos e condições de fronteira

O que ocorre na interface entre dois dielétricos (ε1 e ε2)?Considerando um percurso fechado

–

Fazendo Δh→0

–

Densidade de fluxo

02,1, =Δ−Δ wEwE tt

0=⋅∫ LdErr

2,1, tt EE =

2

2,

1

1,

εεtt DD

=

2

1

2,

1,

εε

=t

t

DD


Considerando um pequeno cilindro (Lei de Gauss)

–

Campo elétrico tangencial é

constante, logo teremos apenas a primeira e a segunda integral

–

Para um dielétrico perfeito (ρS =0)

∫∫∫∫ ++=⋅=ladobasetopo

SdDQrr

SQSDSD SNN Δ=Δ=Δ−Δ ρ2,1,

22,11, εε NN EE =

SNN DD ρ=− 2,1,

2,1, NN DD =


Refração–

Podemos decompor

–

Se ε1

>ε2

então θ1 ≥θ2

Dr

2,22111, coscos NN DDDD === θθ

2

1

22

11

2,

1,

sensen

εε

θθ

==DD

DD

t

t

221112 sensen θεθε DD =

2

1

2

1

tantan

εε

θθ

=

21 DD ≥

21 EE ≤


E na fronteira entre um dielétrico e um condutor?Temos configuração de cargas igual a fronteira condutor-vácuo, assim a demonstração e os resultados são os mesmosEm resumo dielétrico

condutor

Nar

NSN

NN

t

t

aD

DE

DE

rr

rr

ρ

ε

=

=

==

00


E6.2: Seja a região z < 0 composta de material dielétrico uniforme para o qual εR2=3,2, enquanto a região z > 0 é caracterizada por εR1=2. Seja

Calcule: •

DN,1

•

Dt,1

•

Dt,1

•

D1

θ1

21 nC/m 705030 zyx aaaD rrr

++−=

• P1• DN,2• Dt,2• D2• P2• θ2

Capacitância

Considere dois condutores mergulhados em um dielétrico perfeitoCondutores M2 com carga positiva Q na superfície e M1 com carga negativa -Q na superfícieSó existe componente de campona direção normal às superfíciescondutoras Cada condutor é uma superfícieequipotencialO fluxo e o campo estão dirigidosde M2 para M1

Capacitância

Definimos capacitância como a razão entre a magnitude da carga total em ambos os condutores e a magnitude da diferença de potencial entre os condutores

V0 é encontrado deslocando uma carga de teste positiva da superfície negativa para a positivaC independe do potencial e da carga total (Lei de Gauss), sendo função somente das dimensões físicas e da permissividade do dielétrico

∫

∫

∫

∫+

−

+

−

⋅−

⋅=

⋅−

⋅==

LdE

SdE

LdE

SdD

VQC SS

rr

rr

rr

rrε

0

0V

-

---

-

-

+

+++

+

+

ErDr

d

ε

+-

Sρ+Sρ−

Capacitância

Capacitância é medida em Farads (C/V)–

Normalmente valores pequenos (μF, nF, pF)Considerando duas placas paralelas infinitasde condutores idênticos e distribuição uniformede carga ρS e as condições de fronteira

Energia armazenadadS

VQC ε

==0

0V

-

---

-

-

+

+++

+

+

ErDr

d

ε

+-

Sρ+Sρ−

SQ Sρ= dEdV S

ερ

==0

2

222

0 02

22

21

21

21

21

ερε

ερ

ερεε d

dSSddydSdvEW SS

S dS

volE ==== ∫ ∫∫

Capacitância

Energia armazenada

Ex: Calcule C de um capacitor de placasparalelas com εR =6, placa com área 10in2

e separadas por 0,01in. Qual a energia armazenadase V0 =2V

0V

-

---

-

-

+

+++

+

+

ErDr

d

ε

+-

Sρ+Sρ−

CQQVCVWE

2

02

0 21

21

21

===

Exemplos de capacitância

Capacitor coaxial–

Diferença de potencial

–

Carga total

–

Capacitância

abV L

ab ln2περ

=

LQ Lρ=

( )abLC

ln2πε

=


Capacitor esférico de raios a e b (b>a)–

Diferença de potencial

–

Carga total

–

Capacitância

–

Se b→∞

Q

ba

C 114

−=

πε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

baQVab

114πε

aC πε4=


Capacitor de placas paralelas com dielétricos ε1 e ε2

221121 dEdEQ

VVQ

VQC

+=

+==

Sd

Sd

SdQ

SdQ

QC

2

2

1

1

2

2

1

1

1

εεεε+

=+

=

21

111

CC

C+

= Capacitores em série


Capacitor de placas paralelas com dielétricos ε1 e ε2

212121 CC

VQ

VQ

VQQ

VQC +=+=

+==

Capacitores em paralelo

VVV == 21

21 CCC +=

1S 2S

1ε 2εd


Capacitância de uma linha de fios paralelos–

Considerando a linha como cilindro de raio b

baV L 2ln

2περ

= LQ Lρ=

( )baLC

2ln2πε

=

Exemplos de capacitânciaE6.4) Calcule a permissividade relativa do material dielétrico presente em um capacitor de placas paralelas se:

a)

S=0,12 m2, d=80 μm, V0

=12 V e o capacitor contém 1 μuJ de energia

b)

A densidade de energia armazenada é

100 J/m3, V0

=200 V e d=45 μm

c)

E=200 kV/m, ρs

=20 μC/m2

e d=100 μm

Exemplos de capacitânciaE6.5) Calcule a capacitância de:

a)

Um cabo coaxial de 35B/U de 30,4 cm de comprimento, que possui um condutor interno de 2,654 mm de diâmetro, um dielétrico de polietileno (εr

=2,26), e um condutor externo que possui diâmetro interno de 1,73cm

b)

Uma esfera condutora de raio 2,5 mm, coberta por uma camada de polietileno de 2 mm de espessura, envolvida por uma esfera condutora de raio de 4,5 mm

c)

Duas placas condutoras retangulares, de 1 cm por 4 cm, com espessura desprezível, entre as quais estão três camadas de dielétrico, cada uma de 1 cm por 4 cm e de 0,1 mm de espessura, possuindo constantes dielétricas de 1,5, 2,5 e 6.

Lista de exercícios5.1, 5.2, 5.3, 5.5, 5.9, 5.11, 5.13, 5.15, 5.17, 5.18, 5.20, 5.23, 5.25, 5.26

Lista de exercícios6.2, 6.3, 6.5, 6.7, 6.8, 6.10, 6.12, 6.15, 6.17, 6.19, 6.21

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