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GEOMETRIA ESPACIAL
PIRÂMIDE
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Definição / Elementos
A
V
B
CD
Consideremos:
Um polígono num plano αααα;
E um ponto V fora de αααα.
A reunião dos segmentos de reta comuma extremidade em V e a outra numponto do polígono é um sólidodenominado de PIRÂMIDE.
vértice
base
H
Mais elementos:
Arestas Laterais;
Arestas da Base.
face lateral
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Natureza de uma Pirâmide
Pirâmide Base
triangular triângulo
quadrangular quadrilátero
pentagonal pentágono
hexagonal hexágono
... ...
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Pirâmide RegularV
A
B C
D
EF
Definição
A base é um polígono regular;
A projeção ortogonal do vérticesobre o plano da base é o centroda base.
Propriedades
As arestas laterais são congruentes;
As faces laterais são triângulos isóscelescongruentes.
MO
H
g
m
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Pirâmide Regular – Relação NotávelV
B
AC
H
m
g
g2
= H2
+ m2
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Cálculo do Apótema
Pirâmide triangular regular m =
Pirâmide quadrangular regularm =
Pirâmide hexagonal regular m =
2
L
2
3L.
6
3L.
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Pirâmide: Áreas e Volume A
b= área do polígono da base;
Aℓℓℓℓ = soma das áreas das faces laterais;
AT = A b
+ Aℓℓℓℓ;
V = HA3
1..
b
No caso da Pirâmide Regular, temos que:
Aℓℓℓℓ
= pb
. g
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Tronco de Pirâmide
H
V
BA
CD
H
h
HT
L
Onde:
b = área da base menor;
B = área da base maior;
H = altura da pirâmide;
h = altura da pirâmide menor; HT = altura do tronco;
V1 = volume da pirâmide maior;
V2 = volume da pirâmide menor;
gT = apótema do tronco.
gT
PROPRIEDADES
P1.
P2.
P3.
H
h
L=
ℓ
2
H
h
B
b
=
3
1
2
H
h
V
V
=
E
G
Fℓℓℓℓ
b
B
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Fórmulas do Tronco de Pirâmide
HT
L
PIRÂMIDE QUALQUER gT
H
BA
CD
E
G
Fℓℓℓℓ
b
B
( )BBbb3
HV T
T ++= .
( )BbT ppgA += .ℓ
PIRÂMIDE REGULAR
( ) BBbbBbTT mpmpppgA ... +++=
Onde:
pb = semi - perímetro da base menor;
pB = semi-perímetro da base maior;
mb = apótema da base menor;
mB = apótema da base maior.
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Pirâmide Especial:Tetraedro Regular
G
A
B
C
DH
M
a a
a
DEFINIÇÃO
pirâmide triangular regular;
quatro faces congruentes;Consequentemente:
as faces são triângulos eqüiláteros;
6 arestas congruentes.
g
FÓRMULAS
2
3ag
. =
3
6aH
. =
4
3a
A
2
b
. = 3aA
2
T .=
12
2aV
3.
=
