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MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 25

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Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

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AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

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Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

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AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

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Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

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Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

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AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

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Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Exemplos

Exemplo

T uma rotao de 90 = T (x , y) = (y ,x).

Incluir Figura: rotao de 90 graus

Nenhuma direo preservada!

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Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Exemplos

Exemplo

T uma rotao de 90 = T (x , y) = (y ,x).

Incluir Figura: rotao de 90 graus

Nenhuma direo preservada!

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Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Exemplos

Exemplo

T uma rotao de 90 = T (x , y) = (y ,x).

Incluir Figura: rotao de 90 graus

Nenhuma direo preservada!

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Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autovalor e Autovetor

Definio

Seja T : V V TL. Dizemos que0 6= v V autovetor associado ao autovalor se Tv = v.

Observao

pode ser zero, mas v no!(Se v = 0, ento Tv = v .)

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Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autovalor e Autovetor

Definio

Seja T : V V TL. Dizemos que0 6= v V autovetor associado ao autovalor se Tv = v.

Observao

pode ser zero, mas v no!(Se v = 0, ento Tv = v .)

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Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autovalor e Autovetor

Definio

Seja T : V V TL. Dizemos que0 6= v V autovetor associado ao autovalor se Tv = v.

Observao

pode ser zero, mas v no!(Se v = 0, ento Tv = v .)

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Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autoespao

Se T v = v ento T v v = T v (I)v = 0.

Logo (T I)v = 0.

Portanto v N(T I).

Definio

O autoespao associado a N(T I).

Observao

autoespao assoc. a = {autovetores assoc. a } {0}

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AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autoespao

Se T v = v ento T v v = T v (I)v = 0.

Logo (T I)v = 0.

Portanto v N(T I).

Definio

O autoespao associado a N(T I).

Observao

autoespao assoc. a = {autovetores assoc. a } {0}

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Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autoespao

Se T v = v ento T v v = T v (I)v = 0.

Logo (T I)v = 0.

Portanto v N(T I).

Definio

O autoespao associado a N(T I).

Observao

autoespao assoc. a = {autovetores assoc. a } {0}

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Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autoespao

Se T v = v ento T v v = T v (I)v = 0.

Logo (T I)v = 0.

Portanto v N(T I).

Definio

O autoespao associado a N(T I).

Observao

autoespao assoc. a = {autovetores assoc. a } {0}

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Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autoespao

Se T v = v ento T v v = T v (I)v = 0.

Logo (T I)v = 0.

Portanto v N(T I).

Definio

O autoespao associado a N(T I).

Observao

autoespao assoc. a = {autovetores assoc. a } {0}

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Definio Autoespao

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